? – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания Ливио Марио

В той мере, в какой математические законы относятся к реальности, они не слишком точны, а там, где они точны, они не относятся к реальности.

Альберт Эйнштейн (1879–1955)

Мне видится во Вселенной определенный порядок, и единственный способ сделать его зримым – это математика.

Мэй Сартон (1912–1995)

Когда именно человек начал считать – то есть измерять множество количественным способом – никто не знает. По сути дела, мы даже не знаем, что было раньше – количественные числительные (один, два, три) или порядковые (первый, второй, третий). Количественные числительные показывают просто множественность набора предметов – например, количество учеников в классе. А порядковые числительные, напротив, показывают порядок, последовательность конкретных элементов группы, например, дату – число в месяце – или номер места в определенном ряду в концертном зале. Изначально считалось, что счет возник именно для того, чтобы решать какие-то мелкие повседневные задачи, а из этого, конечно, следует, что первыми возникли количественные числительные. Однако некоторые антропологи полагают, что изначально числа возникли на исторической сцене в рамках каких-то ритуалов, во время которых те или иные действующие лица должны были появляться в определенном порядке, последовательно. Если это так, то, согласно этой концепции, понятие о порядковых числительных появилось раньше, чем о количественных.

Очевидно, чтобы перейти от простого пересчета предметов к подлинному осознанию чисел как абстрактных понятий, потребовался куда более значительный интеллектуальный скачок. Таким образом, поначалу число, вероятно, относилось в основном к контрасту, противопоставлению, причем в ситуациях, имеющих отношение, вероятно, к жизни и смерти (сколько там волков – один или целая стая?), а подлинное понимание того, что две руки и два дня – это выражения одного и того же числа «два», вероятно, пришло лишь спустя многие столетия. Для этого нужно было пройти этап распознавания не только контрастов, но и общих черт, соответствий. Во многих языках сохранились явные следы того, что первоначально простой акт подсчета количества не соотносился с абстрактными представлениями о числе. Например, на островах Фиджи десять кокосовых орехов называются «коро», а десять лодок – «боло». Подобным же образом у народности тауаде, живущей в Новой Гвинее, пары мужского пола, женского пола и смешанные обозначаются разными словами. Да и мы с вами зачастую обозначаем множества различных предметов разными словами: например, мы говорим «табун лошадей», но никогда не скажем «табун собак».

Конечно, абстрактному пониманию числа «два» во многом поспособствовал тот факт, что у людей столько же рук, сколько ног, глаз и грудей. Но и здесь, скорее всего, ушло довольно много времени, чтобы научиться ассоциировать это число с предметами неодинаковыми – например, с двумя основными светилами, солнцем и луной. Нет никаких сомнений, что первоначально люди научились различать один и два, а затем – два и «много». Этот вывод делается на основании результатов исследований, проведенных в XIX веке среди племен, относительно незнакомых с европейской цивилизацией, а также лингвистических различий в терминах, обозначающих различные числа и в древних, и в современных языках.

Три – это уже много

Первые свидетельства того, что числа больше двух когда-то объединялись в понятие «много», мы находим в истории пятитысячелетней давности. В шумерском языке, на котором говорили в Междуречье, числительное «три» – «эш» – служило также обозначением множественности как таковой (как суффикс -s в английском языке). Подобным же образом этнографические исследования населения островов Торресова пролива между Австралией и Папуа – Новой Гвинеей, проведенные в 1890 году, показали, что местные жители пользовались так называемой «системой счета через “два”». Слово «урапун» означало у них «один», «окоса» – «два», а дальше шли различные их сочетания: «окоса-урапун» – «три», «окоса-окоса» – четыре. Для чисел больше четырех островитяне применяли слово «рас» – «много». Почти такие же системы номенклатуры обнаружены и у других туземных племен от Бразилии (ботокудо) до Южной Африки (зулусы). Например, австралийское племя аранда словом «нинта» называло «один», «тара» – «два», а дальше шли «тара-ми-нинта» – «три», «тара-ма-тара» – «четыре», а все остальные числа назывались просто «много». Среди этих племен был также распространен обычай считать предметы не по отдельности, а парами.

Возникает интересный вопрос: почему языки, где приняты подобные системы счета, доходят именно до «четырех» и затем останавливаются (несмотря на то, что они уже выражают «три» и «четыре» через «один» и «два»)? Одно из объяснений состоит в том, что на руках у нас по четыре пальца, находящихся в похожем положении. Другое, более тонкое объяснение гласит, что ответ таится в физиологической ограниченности визуального восприятия человека. Согласно нескольким исследованиям, мы способны охватить одним взглядом – без подсчета – самое большее четыре-пять предметов. Может быть, вы помните, что в фильме «Человек дождя» Дастин Хоффман играет аутиста с необычайно развитой наблюдательностью и памятью на числа (на самом деле подобные способности в реальной жизни встречаются лишь в единичных случаях). В одном эпизоде по полу рассыпаются все зубочистки из коробочки, кроме четырех, и герой Хоффмана с первого взгляда подсчитывает, что на полу их 246. Конечно, рядовому человеку такой фокус не по силам. Это подтвердит всякий, кто когда-либо подсчитывал результаты голосования вручную. Обычный прием при этом – отмечать голоса пятерками, причем первые четыре обозначаются прямыми черточками, а пятый – черточкой поперек первых. Это придумали именно потому, что человеку трудно одним взглядом охватить больше четырех черточек. Подобную систему изобрели в английских пабах, где бармену приходилось подсчитывать количество кружек пива, и там она называется «ворота из пяти перекладин». Любопытно, что эксперимент, описанный историком математики Тобиасом Данцигом (1884–1956) в 1930 году в чудесной книге «Число, язык науки» (Tobias Dantzig, «Number, the Language of Science») показывает, что распознавать и различать до четырех предметов способны также некоторые птицы. Вот что рассказывает Данциг:

Один помещик решил пристрелить ворону, которая свила гнездо на смотровой башне его поместья. Он несколько раз пытался застать птицу врасплох, но безуспешно: при приближении человека ворона улетала из гнезда. А затем устраивалась на дереве вдали и выжидала, когда челове покинет башню, после чего возвращалась в гнездо. Однажды помещик придумал уловку: два человека вошли в башню, один остался внутри, а другой вышел наружу и удалился. Однако обмануть птицу не удалось: она держалась в отдалении, пока не вышел тот, кто оставался в башне. В последующие дни опыт повторили с участием двух, трех, а потом и четырех человек – но безуспешно. Наконец были отправлены пять человек; как и прежде, в башню вошли все, один остался внутри, а остальные вышли и удалились. Тут-то ворона и сбилась со счета. Она не смогла отличить пять от четырех и быстро вернулась в гнездо.

Есть много и других свидетельств в пользу гипотезы, что первоначальные системы счета создавались согласно концепции «один, два, много». Это следует из лингвистических различий в образовании множественного числа и дробей. Скажем, в иврите есть особая форма множественного числа для пар одинаковых предметов (например, рук и ног) и особые слова для предметов, у которых есть две одинаковые части (то есть для брюк, очков, ножниц), отличающиеся от обычного множественного числа. Обычно существительные во множественном числе оканчиваются на «им» в мужском роде и на «от» в женском, однако множественное число для глаз, грудей и т. п. и для предметов, у которых есть две одинаковые части, кончается на «аим». Подобные формы есть и в финском и когда-то, в Средние века, были в чешском. Но главное не это: переход к дробям, который, конечно, требует более основательного знакомства с числами, характеризуется явными лингвистическими отличиями в названиях всех дробей, кроме половины. В индоевропейских языках и даже в некоторых неиндоевропейских, например, в иврите и венгерском, названия трети, пятой части и т. д. в целом образуются от соответствующих числительных – три, пять и т. д. Например, «три» на иврите – «шалош», а «одна треть» – «шлиш». По-венгерски «три» – «харом», а «одна треть» – «хармад». А вот слово «половина» и в этих языках никак не связана с числительным «два». Скажем, по-румынски «два» – «дой», а «половина» – «юмате», на иврите «два» – «штаим», а «половина» – «хеци», по-венгерски «два» – «кеттё», а «половина» – «фел». Из этого можно сделать вывод, что хотя человечество довольно рано поняло, что такое 1/2 как число, однако представление о том, что другие дроби как-то связаны с целыми числами («одна какая-то»), вероятно, возникло лишь после того, как был перейден барьер «три – это уже много».

Как подсчитать бесчисленные пальцы

Еще до того как системы счета оказались в полной мере развиты, человеку надо было иметь возможность как-то записывать определенные количества предметов. Древнейшие археологические находки, которые, как полагают, так или иначе связаны со счетом, – это кости с нанесенными через равные интервалы насечками. Самая древняя находка, датируемая примерно 35 000 лет до н. э., – бедренная кость бабуина, обнаруженная в пещере в горах Лебомбо в Африке. На этой кости нанесено двадцать девять насечек. Другая подобная «бухгалтерская» находка – волчья кость с пятьюдесятью пятью насечками (объединенными в две группы – двадцать пять и тридцать, – причем первая разбита еще и на подгруппы по пять), – обнаружена археологом Карелом Абсолоном в 1937 году на стоянке в Долне Вестонице в Чехословакии; ее относят к ориньякской культуре (около 30 000 лет назад). Группировка насечек по пять в особенности говорит в пользу концепции основания системы счисления, о чем я еще упомяну. Точное предназначение этих насечек нам неизвестно, однако, возможно, это учет охотничьей добычи. Группировка, вероятно, помогала охотнику вести счет, не подсчитывая каждый раз все насечки. Подобные размеченные кости были найдены и во Франции, и в пещере Пекарна в Чехии – они относятся к мадленской культуре (около 15 000 лет назад).

Большой интерес ученых вызвала так называемая кость Ишанго, обнаруженная в 1950 году археологом Жаном де Хайнзелином де Брокуром на стоянке Ишанго близ границы между Угандой и Заиром (рис. 6). Это костяная рукоять какого-то орудия, датируемая примерно 9000 г. до н. э., с тремя рядами насечек, организованных в следующие группы: (i) 9, 19, 21, 11; (ii) 19, 17, 13, 11; (iii) 7, 5, 5, 10, 8, 4, 6, 3. Сумма чисел в первых двух рядах – по 60 в каждом, что натолкнуло некоторых ученых на мысль, что они, вероятно, отражают запись фаз Луны в двух лунных месяцах (если предположить, что некоторые насечки из третьего ряда, где сумма составляет всего 48, стерлись). Были предложены и другие, более хитроумные и куда менее правдоподобные толкования. Например, де Хайнзелин, исходя из того, что второй ряд состоит из простых чисел, следующих подряд (то есть чисел, которые делятся только на 1 и сами на себя), а первый ряд – из чисел, которые на единицу отличаются от 10 или 20, предположил, что у жителей Ишанго были какие-то рудиментарные познания в арифметике и что они даже знали о простых числах. Нет нужды говорить, что многим исследователям подобная интерпретация кажется несколько смелой.

Рис. 6

Другую интересную систему записи чисел подарил нам Ближний Восток; она восходит к периоду от девятого до второго тысячелетия до н. э. В самых разных местах, от Анатолии на севере до Судана на юге, археологи находили множество маленьких, похожих на игрушки глиняных предметов разной формы. Это были диски, цилиндры, конусы, пирамидки, зверюшки и т. п. Археолог Дениза Шмандт-Бессера из Техасского университета в Остине изучала эти предметы в конце 1970 годов и выдвинула интереснейшую теорию: она убеждена, что эти глиняные предметы служили при торговле жетонами-пиктограммами и символизировали разные типы подсчитываемых предметов. Скажем, глиняный шарик, вероятно, обозначал какое-то количество зерна, один цилиндр – одну голову скота и т. д. Таким образом, доисторические ближневосточные торговцы могли, согласно гипотезе Шмандт-Бессера, вести учет своего бизнеса, выкладывая в ряды жетоны, соответствующие разным типам товаров, участвующих в торговле.

Какими бы символами ни передавали различные числа – насечками на кости, глиняными фигурками, узелками на бечевке (этой системой пользовались инки, она называлась «кипу») или просто на пальцах, – в какой-то момент в истории человечеству пришлось решать задачу, как передавать большие числа и манипулировать ими. Символические системы, у которых для каждого числа было свое название или свой обозначающий предмет, были обречены на вымирание по сугубо практическим причинам. Нужно было разработать и принять минимальный набор символов, при помощи которых можно было охарактеризовать любое число – точно так же, как буквы в алфавите в некотором смысле можно назвать минимальным набором символов, при помощи которых можно выразить весь наш лексикон, все письменные знания. Эта необходимость подвела нас к концепции основания системы счисления – идее, что числа можно организовывать иерархически, в соответствии с определенными порядками. Наша система счисления основана на 10, и мы в повседневной жизни настолько к этому привыкли, что нам трудно представить себе, как можно выбрать другое основание.

Почему у нас именно десятичная система счисления, объясняется довольно просто – что вовсе не означает, что на ее развитие не понадобилось много времени. Мы группируем состав числа таким образом, что десять единиц на каждом иерархическом уровне составляют одну единицу уровнем выше. То есть 10 раз по единице – это 1 десяток, 10 десятков составляют 1 сотню, 10 сотен – 1 тысячу и т. д. Собственно имена числительные и расположение цифр также отражают иерархическую группировку. Когда мы записываем, например, число 555, то повторяем одну и ту же цифру три раза, однако каждый раз ее значение меняется. Первая цифра справа обозначает 5 единиц, вторая – 5 десятков или 5 раз по 10, третья – 5 сотен, то есть 5 раз по 10 десятков (или 510²). Это важнейшее правило позиции, позиционную нумерацию, придумали вавилоняне (их система счисления имела основание 60, то есть была шестидесятеричной, о чем мы поговорим чуть дальше) примерно во втором тысячелетии до н. э., а затем в течение примерно 2500 лет ее независимо открыли китайцы, майя в Центральной Америке и индийцы.

Из всех индоевропейских языков самые ранние дошедшие до нас тексты написаны на санскрите – языке, зародившемся на севере Индии. В частности, четыре древних священных писания индуизма, в названии которых есть санскритское слово «веда» – «знание» – датируются V в. до н. э. Все числа от 1 до 10 на санскрите называются разными, неродственными словами: эка, два, три, чатвар, панча, шаш, сапта, ашта, нава, даша. Все числа от 11 до 19 представляют собой просто сочетание количества единиц и слова «десять». То есть 15 – это «панча-даша», 19 – «нава-даша» и т. д. Подобные числительные имеются, скажем, в английском, где все числа от 13 до 19 кончаются на -teen. Если вам вдруг станет интересно, откуда в английском языке взялись «eleven» и «twelve» («одиннадцать» и «двенадцать»), поясню: «eleven» произошло от «an» («один») и «lif» («осталось» или «остаток», то есть «один остался»), а «twelve» – от «two» («два») и «lif» (то есть «два осталось»). То есть эти числительные означают, что после десяти осталось еще один или два. Названия десятков в английско и санскрите также образуются одинаково – при помощи числа и слова «десять» во множественном числе («twenty», «thirty» и пр.): скажем, 60 на санскрите – «шашти»; более того, все индоевропейские языки образуют числительные очень похожими способами. Так что все, кто говорит на этих языках, очевидно, усвоили одну и ту же систему счисления – десятичную.

Почти не приходится сомневаться, что практически всемирная популярность десятичной системы счисления объясняется всего-навсего тем обстоятельством, что у нас десять пальцев – так уж захотела природа. Гипотезу эту впервые выдвинул греческий философ Аристотель (384–322 до н. э.), когда в своем сочинении «Проблемы» задался вопросом: «Почему все люди, и варвары, и греки, считают до десяти, а не до какого-нибудь другого числа?» На самом деле основание 10 ничем не лучше, скажем, основания 13. Можно даже теоретически поспорить, что раз 13 – простое число, то есть делится только само на себя и на единицу, в качестве основания системы счисления оно даже удачнее 10, поскольку в такой системе счисления большинство дробей окажутся несократимыми. Например, в десятичной системе счисления число 36/100 можно записать также как 18/50 или 9/25, в системе счисления вроде тринадцатеричной подобная неоднозначность записи исключена. Однако десятичная система одержала верх, потому что у каждого человека перед глазами было десять пальцев, и пользоваться ими было просто. В некоторых малайско-полинезийских языках слово «ладонь» – «лима» – означает и «пять». Означает ли это, что десятичную систему счисления приняли все известные цивилизации? Нет.

Среди прочих оснований систем счисления, которые применяли некоторые народы по всему миру, самым популярным оказалось 20 (двадцатеричная система счисления). В этой системе, которая когда-то была распространена на больших территориях Западной Европы, разряды формируются не на основе 10, а на основе 20. Очевидно, что для расширения базы к пальцам на руках присовокупили и пальцы на ногах. Например, у эскимосов «двадцать» обозначается выражением «теперь человек цельный». Во многих современных языках следы двадцатеричной системы счисления еще сохраняются. Например, по-французски «восемьдесят» будет «quatre-vingts» («четыре двадцатки») и когда-то существовала и архаическая форма «six-vingts» («шесть двадцаток»). А еще более яркий пример – название больницы в Париже, основанной в XIII веке: она до сих пор называется «L’pital de Quinze-Vingts» – «Больница пятнадцати двадцаток» – поскольку первоначально была рассчитана на 300 коек для слепых ветеранов. Подобным же образом по-ирландски «сорок» – «daichead» от «da che» («дважды двадцать»), по-датски слова «шестьдесят» и «восемьдесят» («tresindstyve» и «rsindstyve» соответственно, сокращенно «tres» и «rs») буквально означают «три двадцатки» и «четыре двадцатки».

Однако самая удивительная система счисления в древности, а может быть, и за всю историю человечества – это шестидесятеричная система. Этой системой пользовались шумеры, жители Междуречья, и хотя корнями она восходит к четвертому тысячелетию до н. э., следы ее заметны и в наши дни: мы измеряем время в часах, минутах и секундах и делим окружность на 360 градусов (60  6), а каждый градус подразделяем на минуты и секунды. Шестьдесят как основание системы счисления требует отличной памяти, поскольку подобная система, в принципе, предполагает индивидуальные названия и символы для всех чисел от 1 до 60. Шумеры понимали, что это трудно, и прибегли к некоторой уловке, чтобы числа было легче запоминать: ввели 10 как промежуточную ступень. Введение 10 позволило им ограничиться отдельными словами только для чисел от 1 до 10, а десятки от 10 до 60 передавались словосочетаниями. Скажем, шумерское слово «сорок» – «нимин» – это сочетание слова «двадцать», «ниш», и слова «два», «мин». Число 555 в шестидесятеричной системе счисления, то есть 5  (60)² + 5  (60) + 5, в нашей, десятеричной системе счисления будет означать 18 305.

По поводу того, какая логика обстоятельств вынудила шумерцев выбрать столь необычное основание для своей системы счисления, выстроено много гипотез. Некоторые из них опираются на особые математические свойства числа 60: это первое число, которое делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Другие гипотезы пытаются связать 60, например, с количеством месяцев и дней в году (округлив число дней до 360) в каком-то сочетании с числами 5 и 6. Совсем недавно учитель математики и писатель из Франции Жорж Ифра в своей замечательной книге «Всеобщая история чисел» (Georges Ifrah. A Universal History of Numbers) заметил, что выбор числа 60 мог быть следствием смешения двух народов-иммигрантов, один из которых пользовался пятеричной, а другой – двенадцатеричной системой счисления. Очевидно, что основание 5 происходит от количества пальцев на одной руке, и следы подобной системы еще видны в некоторых языках, например, у кхмеров, жителей Камбоджи, а еще заметнее – в мертвом языке саравека, на котором говорил южно-американский народ сараве. Основание 12, множество следов которого заметны даже в современных языках и культурах – возьмем хотя бы британскую систему мер и весов – вероятно, происходит от количества фаланг на четырех пальцах (без большого пальца, потому что именно им производился подсчет).

Иногда в самых разных местах попадаются и экзотические системы счисления. В «Алисе в Стране Чудес» Льюиса Кэрролла Алиса, чтобы удостовериться, что она понимает, в каких странных обстоятельствах очутилась, говорит: «А ну-ка, проверю, помню я то, что знала, или нет. Значит так: четырежды пять – двенадцать, четырежды шесть – тринадцать, четырежды семь… Так я до двадцати никогда не дойду!» (Пер. Н. Демуровой). Знаменитый писатель-популяризатор математики Мартин Гарднер в своих комментариях к книге Кэрролла приводит остроумное объяснение такой необычной таблицы умножения, к которой прибегла Алиса, почерпнутое из книги А. Л. Тейлора «Белый рыцарь» (A. L. Taylor. The White Knight. L., 1952): «Для системы счисления, использующей как основание 18 (“восемнадцатеричная”), 4  5 действительно равняется 12. В системе счисления с основанием 21 справедливо равенство 4  6 = 13. Если продолжить эту прогрессию, каждый раз увеличивая основание на 3, то произведения будут увеличиваться на единицу, пока мы не дойдем до 20. Здесь впервые наш метод откажет: 4  13 равняется не 20 (для системы чисел с основанием 42), а “1”, за которой будет следовать символ, играющий роль “10”» (Пер. Н. Демуровой). Эта гипотеза, несомненно, подкрепляется тем фактом, что Чарльз Доджсон, избравший себе псевдоним Льюис Кэрролл, был математиком и читал лекции в Оксфорде.

Наши числа – наши боги

Какие бы системы счисления, с какими бы основаниями ни применяли древние цивилизации, прежде всего, они понимали и усваивали множество целых (натуральных) чисел. Это прекрасно нам знакомые 1, 2, 3, 4… Когда люди сумели осознать, что эти числа – абстрактные понятия, им было уже несложно начать приписывать числам особые качества. По всему миру, от Греции до Индии, числа наделялись тайной властью. В некоторых древнеиндийских текстах утверждается, что числа практически божественны, обладают «природой Брамы». В этих манускриптах содержатся выражения, очень похожие на обожествление чисел, например, «слава единице». Подобным же образом знаменитый афоризм греческого математика Пифагора, о жизни и деятельности которого мы еще поговорим в ближайшем же будущем, гласит: «Все есть число». С одной стороны, подобная восторженность привела к значительному прогрессу в теории чисел, однако с другой – породила нумерологию, набор догм, согласно которым жизнь Вселенной во всех своих аспектах связана с числами и их индивидуальными свойствами. Для нумеролога числа – основа бытия, а их символические значения связаны с отношениями между небесами и деятельностью человека. Более того, если в священных писаниях упоминается то или иное число, это не может быть просто так, в любом числе есть потаенный смысл. Иногда умерологические поветрия затрагивали целые страны. Например, в 1240 году христиане и иудеи Западной Европы ожидали пришествия некоего царя-мессии с Востока, поскольку так случилось, что 1240 год по христианскому календарю совпал с 5000 годом календаря иудейского. Не спешите отмахиваться от подобных всплесков эмоций – мол, все это наивная романтика, и подобное могло случиться лишь много веков назад: давайте вспомним, какая невероятная, смехотворная шумиха сопровождала конец минувшего тысячелетия.

Среди разновидностей нумерологии особняком стоит иудейская гематрия (вероятно, слово это родственно словосочетанию «геометрическое число» на древнегреческом) и ее исламский и греческий аналоги – хисаб аль-джумал («вычисление целого») и изопсефия (от греческого

Один из самых ярких примеров нумерологии – 666, «число Зверя». «Зверем» принято считать Антихриста. В «Откровении Иоанна» (13:18) мы читаем: «Здесь мудрость. Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое; число его – шестьсот шестьдесят шесть». Слова «это число человеческое» подвигли многих христианских мистиков на то, чтобы искать и выявлять исторических лиц, имена которых, согласно гематрии или изопсефии, имели значение 666. Среди прочих это были и Нерон Цезарь, и Диоклетиан – оба они преследовали христиан. Если написать «Нерон Цезарь» буквами древнееврейского алфавита –  – и затем подсчитать их числовое значение согласно гематрии, получится (справа налево) 50, 200, 6, 50; 100, 60, 200 – то есть 666 в сумме. Подобным же образом, если сосчитать в имени императора Диоклетиана DIOCLES AVGVSTVS сумму значений тех букв, которые одновременно служат и римскими цифрами – D, I, C, L, V – получится опять же 666 (500 + 1 + 100 + 50 + 5 + 5 + 5). Очевидно, что все эти умозаключения не только надуманны, но и попросту ошибочны (например, чтобы вывести такое числовое значение слова «Цезарь», надо опустить из общепринятого написания одну букву с числовым значением 10).

Как ни поразительно, в 1994 году была «открыта» даже связь между числом зверя и золотым сечением (статья об этом опубликована в популярном журнале «Journal of Recreational Mathematics»). При помощи карманного калькулятора, где есть тригонометрические функции синус и косинус, можно вычислить значение выражения [sin 666° + cos (6  6  6)°]. Введите 666, нажмите клавишу [sin], сохраните это число, затем введите 216 (= 6  6  6), нажмите клавишу [cos] и сложите результат с тем числом, которое вы сохранили. Полученное число окажется довольно точным приближением к числу (с обратным знаком). Кстати, бывший президент США Рональд Рейган и его супруга Нэнси сменили номер своего дома в Калифорнии с 666 по Сент-Клод-роуд на 668, чтобы избежать ассоциаций с числом зверя; кроме того, кодом 666 открывался загадочный чемоданчик в фильме «Криминальное чтиво» Квентина Тарантино.

Очевидно, что мистическое отношение к целым числам зачастую связано с тем, что они проявляются в организме человека и животных и в космосе, каким его воспринимали древние культуры. Число 2, скажем, широко представлено не только в нашем теле – глаза, руки, ноги, ноздри, уши и пр.: у нас два пола, два основных светила – Солнце и Луна – и т. п. Далее, субъективное восприятие времени делится на прошлое, настоящее и будущее, а поскольку ось вращения Земли всегда направлена более или менее в одно место – примерно в сторону Полярной звезды (с небольшими отклонениями, о которых мы поговорим в главе 3) – у нас четыре времени года. Смена времен года отражает попросту то обстоятельство, что в течение года ориентация земной оси относительно солнца меняется. Чем ближе к перпендикуляру падают на Землю солнечные лучи, тем дольше день и выше температура. В целом числа во многих обстоятельствах служили своего рода посредниками между космическими явлениями и повседневной жизнью человека. Например, названия семи дней недели во многих языках, в том числе в английском, происходят от названий небесных тел, которые раньше совокупно считали планетами: Луны, Марса, Меркурия, Юпитера, Венеры, Сатурна и Солнца.

Целые числа подразделяются на четные и нечетные, и более всех подчеркивали их различия и приписывали им всевозможные диковинные качества не кто иные как пифагорейцы. В частности, как мы вскоре убедимся, интерес к золотому сечению пробудился именно благодаря тому, что пифагорейцы весьма почитали число 5 и восхищались пятиконечной звездой.

Пифагор и пифагорейцы

Пифагор родился около 570 года до н. э. на острове Самос в Эгейском море (у побережья Малой Азии), а где-то между 530 и 510 годом переселился в гречекую колонию Кротон в южной Италии, которую тогда называли Великой Грецией. По всей видимости, покинуть Самос Пифагору пришлось из-за безжалостной тирании Поликрата (казнен ок. 522 г. до н. э.), который добился доминирования Самоса в Эгейском море. Вероятно, Пифагор последовал совету математика Фалеса Милетского, который, возможно, был его учителем; так или иначе, он некоторое время (чуть ли не 22 года, по некоторым источникам) прожил в Египте, где, видимо, изучал математику и философию и перенимал религиозные воззрения у египетских жрецов. Когда Египет захватили персидские войска, Пифагора, возможно, взяли в плен и вместе с египетскими священнослужителями доставили в Вавилон. Там он, вероятно, и познакомился с математическими достижениями Междуречья. Однако египетской и вавилонской математики пытливому уму Пифагора оказалось мало. Для обоих этих народов математика ограничивалась практическими «рецептами» для конкретных вычислений. А Пифагор был одним из первых, кто понял, что числа – это абстрактные понятия, существующие сами по себе.

В Италии Пифагор начал читать лекции по философии и математике, и вокруг него быстро сложился кружок последователей, в который, возможно, входила и юная прелестная Феано (дочь Милона, оказавшего ученому гостеприимство), на которой Пифагор впоследствии женился. Атмосфера Кротона оказалась крайне благоприятной для учения Пифагора, поскольку в тамошнем обществе была мода на самые разные полумистическипе культы. Для своих последователей Пифагор установил жесткие правила, обратив особое внимание на час пробуждения и час отхода ко сну. «Все дела сначала обдумай, чтоб не было худо», – повторял про себя каждый пифагореец поутру. А вечером напоминал себе:

Подробности жизни Пифагора и подлинный его вклад в развитие математики скрыты завесой неопределенности. Одна легенда гласит, что на бедре у него было золотое родимое пятно (либо бедро было целиком золотое), по которому его последователи определили, что он сын бога Аполлона. До нас не дошло ни одной биографии Пифагора, написанной в античные времена, а более поздние жизнеописания, например, «О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов» Диогена Лаэртского, относящееся к III в., зачастую полагаются на множество различных источников, не всегда надежных. Очевидно, сам Пифагор не оставил сочинений, и все же его влияние было так велико, что наиболее преданные его последователи образовали тайное общество – братство – и впоследствии стали называться пифагорейцами. Аристипп из Кирены рассказывал, что Пифагора так нарекли потому, что он излагал () истину, подобно дельфийскому оракулу ().

Обстоятельства смерти Пифагора столь же туманны, сколь и факты его биографии. Согласно одной легенде, дом в Кротоне, где он жил, подожгла возмущенная толпа завистников – пифагорейцы считались элитой общества, – а сам Пифагор пытался бежать и был убит, поскольку очутился у поля, засеянного бобами, а топтать бобы он не мог: для пифагорейцев они были священны. Другую версию предложил греческий ученый и философ Дикеарх из Мессены (ок. 355–280 гг. до н. э.), который утверждал, что Пифагор укрылся в храме Муз в Метапонте, где и умер, по доброй воле прожив сорок дней без пищи и воды. Совершенно иную историю рассказывал Гермипп: якобы Пифагора убили сиракузяне во время войны против армии Акраганта, к которой примкнул Пифагор.

Хотя ни самому Пифагору, ни его последователям нельзя с уверенностью приписать никаких конкретных математических достижений, несомненно, именно им удалось слить воедино математику, жизненную философию и религию, и это единство не знает себе равных в истории. С этой точки зрения интересно, пожалуй, отметить одно хронологическое совпадение: Пифагор был современником Будды и Конфуция.

В сущности, считается, что именно Пифагору мы обязаны словами «философия» («любовь к мудрости») и «математика» («предмет изучения»). «Философ» для Пифагора – тот, кто «всецело отдается поиску смысла и цели самой жизни… раскрытию тайн природы». Учение Пифагор ставил выше всех других занятий, поскольку, по его словам, «большинству людей от рождения или по природе недостает средств для достижения благосостояния и обретения власти, однако способность приобретать новые знания есть у всех». Кроме того, он прославился и доктриной метемпсихоза, переселения душ: согласно Пифагору, душа бессмертна и возрождается в телах людей и животных. Из этой доктрины следовало и строгое вегетарианство, которого придерживались пифагорейцы, поскольку в убитых животных, возможно, переселились души их друзей. Для очищения души пифагорейцы соблюдали строгие правила: например, им было запрещено есть бобы и предписывалось всячески упражнять память. Великий греческий философ Аристотель, по свидетельству Диогена Лаэртского, приводит несколько причин, по которым пифагорейцы воздерживались от бобов: «…то ли потому, что они подобны срамным членам, то ли вратам Аида, то ли потому, что они – не коленчатые, то ли вредоносны, то ли подобны природе целокупности, то ли служат власти немногих (ибо ими бросают жребий)» (Пер. А. Ф. Лосева).

Более всего Пифагор и пифагорейцы прославились тем, что, скорее всего, сыграли важнейшую роль в развитии математики и в ее применении к концепции порядка – будь то порядок музыкальный, космический или даже этический. Каждый ребенок в школе изучает теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы. Геометрический смысл этой теоремы (рис. 7, справа) состоит в том, что площадь квадрата, построенного на самой длинной стороне (гипотенузе) прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на двух коротких сторонах. Иначе говоря, если длина гипотенузы составляет с, то площадь квадрата, который на ней построен, составит с², а площади квадратов, построенных на двух других сторонах (длиной а и b) равны а² и b² соответственно. Значит, теорема Пифагора может быть представлена в таком виде: в каждом прямоугольном треугольнике а² + b² = с². Когда в 1971 году в республике Никарагуа отбирали десять математических формул, изменивших мир, чтобы выпустить серию почтовых марок, теорема Пифагора была напечатана на второй из них. Числа вроде 3, 4 и 5 или, скажем, 7, 24 и 25 составляют пифагоровы тройки: 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25), а 7² + 24² = 25² (49 + 576 = 625). Треугольники с такими длинами сторон будут прямоугольными.

рис. 7

Кроме того, на рис. 7 представлено, пожалуй, самое простое доказательство теоремы Пифагора: с одной стороны, если вычесть из квадрата со стороной а + b площади четырех равных треугольников, получится квадрат, построенный на гипотенузе (в середине). С другой стороны, если вычесть из того же квадрата те же четыре треугольника, расположив их несколько иначе (слева), получится два квадрата, построенных на коротких сторонах. То есть, очевидно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей двух меньших квадратов. В своей книге «Пифагорейская гипотеза», вышедшей в 1940 году (Elisha Scott Loomis. «The Pythagorean Proposition»), математик Элиша Скотт Лумис представил 367 доказательств теоремы Пифагора – в том числе доказательства Леонардо да Винчи и Джеймса Гарфилда, двадцатого президента США.

На самом деле, пифагоровы тройки научились распознавать задолго до Пифагора, хотя теорема Пифагора как «истина», объединяющая все прямоугольные треугольники, еще не была сформулирована. Пятнадцать таких троек перечислены на вавилонской глиняной табличке, относящейся к старовавилонскому периоду (до 1600 г. до н. э.).

Вавилоняне открыли, что пифагоровы тройки можно составлять по простому правилу – «алгоритму». Возьмите любые два целые числа p и q, так чтобы p было больше q. Теперь можно составить пифагорову тройку из чисел p² – q²; 2 pq; p² + q². Пусть, например, q = 1, p = 4. Тогда p²– q² = 4²–1² = 16–1 = 15; 2 pq = 2  4  1 = 8; p² + q² = 4² + 1²= 16 + 1 = 17. Набор чисел 15, 8, 17 – это пифагорова тройка, потому что 15² + 8² = 17² (225 + 64 = 289). Вы и сами можете с легкостью показать, что это справедливо для любых целых чисел p и q. (Заинтересованный читатель найдет краткое доказательство в Приложении 1.) Следовательно, пифагоровых троек существует бесконечное множество – этот факт доказал Евклид Александрийский.

Однако в пифагорейском мире закономерности отнюдь н ограничивались одними треугольниками и вообще геометрией. Традиционно Пифагору приписывают открытие гармонических последовательностей музыкальных нот: он обнаружил, что музыкальные интервалы и высота нот соотносятся с относительной длиной вибрирующей струны. Пифагор отметил, что если разделить струну на целое количество равных промежутков, это (до некоторого предела) приводит к гармоническим и красивым (созвучным) музыкальным интервалам. Когда две произвольно выбранные музыкальные ноты звучат одновременно, обычно их сочетание кажется на наш слух грубым (несозвучным). Приятные звуки получаются лишь в отдельных сочетаниях. Пифагор обнаружил, что эти редкие созвучия возникают тогда, когда ноты производят похожие струны, чьи длины соотносятся как первые несколько целых чисел. Унисон достигается, если струны одинаковой длины (соотношение 1:1), октава – когда струны соотносятся как 1:2, квинта – 2:3, кварта – 3:4. Иначе говоря, можно ущипнуть струну и извлечь ноту. Если ущипнуть струну, которая натянута так же, как первая, но длиной вдвое меньше, услышишь ноту, которая выше первой ровно на одну гармоническую октаву. Подобным же образом 6/5 струны до дают ноту ля, 4/3 от нее дают ноту соль, 3/2 – ноту фа и т. д. Эти замечательные открытия, сделанные еще в древности, заложили основу для более глубокого понимания музыкальных интервалов, которое возникло в XVI веке (вышло так, что в разработке музыкальной теории в то время участвовал и Винченцо Галилей, отец Галилео Галилея). В 1492 году на фронтисписе книги «Theorica Musice» Франкино Гафури поместил чудесный рисунок, изображающий Пифагора, экспериментирующего со звукоизвлечением из различных предметов и устройств – тут и молотки, и струны, и бубенцы, и свирели (рис. 8; справа вверху – библейский Иувал, «отец всех играющих на гуслях и свирели» (Быт. 4:21)).

Рис. 8

Но тут пифагорейцы задумались: если даже музыкальную гармонию можно выразить в числах, вдруг получится математически описать все мироздание? Поэтому они сделали вывод, что все предметы во Вселенной обязаны своими свойствами природе числа. Скажем, астрономические наблюдения показывали, что движение небесных светил также подчинено вполне определенному порядку. Это привело к концепции прекрасной «гармонии сфер» – идее о том, что небесные тела в своем размеренном движении также создают некую гармоническую музыку. Философ Порфирий (ок. 232–304 гг. н. э.), создавший свыше семидесяти трудов по истории, метафизике и литературе, написал также (в рамках четырехтомной «Истории философии») краткое жизнеописание Пифагора – оно так и называется «Жизнь Пифагора». Вот что рассказывает Порфирий: «сам же [Пифагор] умел слышать даже вселенскую гармонию, улавливая созвучия всех сфер и движущихся по ним светил, чего нам не дано слышать по слабости нашей природы» (здесь и далее пер. М. Гаспарова). Перечислив еще несколько выдающихся качеств Пифагора, Порфирий продолжает: «Звуки семи планет, неподвижных звезд и того светила, что напротив нас и называется Противоземлей, он отождествлял с девятью Музами» (Противоземля, согласно пифагорейской теории Вселенной, вращалась напротив Земли по ту сторону огня, образующего центр мироздания). Прошло более двух тысяч лет, и знаменитый астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) возродил и переосмыслил концепцию «гармонии сфер». Кеплеру довелось узнать много горя и столкнуться с ужасами войны, и он пришел к выводу, что на самом деле Земля порождает две ноты – ми, что значит «miseria» (лат. «несчастье») и фа, что значит «fames» (лат. «голод»). Вот как писал об этом сам Кеплер: «Земля поет “ми-фа-ми”, так что даже по первому слогу можно догадаться, что в нашем доме верховодят Несчастье и Голод».

Великий Аристотель даже посмеивался над пифагорейской одержимостью математикой. В своем труде «Метафизика» (IV век до н. э.) он писал: «В это же время и раньше так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили ее и, овладев ею, стали считать ее начала началами всего существующего» (пер. А. Кубицкого). Хотя в наши дни некоторые причудливые идеи пифагорейцев и вправду могут показаться забавными, однако нужно понимать, что фундаментальные истины, которые за ними стоят, на самом деле не слишком отличаются от того, что говорил Альберт Эйнштейн (в письмах к Морису Соловину): «Математика – лишь средство выразить законы, управляющие природными явлениями». И в самом деле, законы физики, которые зачастую именуют законами природы, представляют собой всего-навсего математические формулы, описывающие те естественные процессы и явления, которые мы наблюдаем. К примеру, основная мысль общей теории относительности Эйнштейна состоит в том, что гравитация – не загадочная сила притяжения, действующая на расстоянии, а скорее выражение геометрии неразделимо связанных пространства и времени. Позвольте на простом примере пояснить, как геометрическое свойство пространства можно принять за силу притяжения вроде гравитации. Представьте себе, что два человека отправляются из двух разных точек, лежащих на экваторе Земли, точно на север. Это означает, что поначалу они будут двигаться параллельно, а параллельные линии, как нас учат в школе, на плоскости никогда не пересекаются. Однако на северном полюсе путешественники неминуемо встретятся. Если эти люди не знают, что на самом деле путешествуют по изогнутой поверхности сферы, они могут сделать вывод, будто их притянула некая сила: ведь они начали двигаться по параллельным линиям, а потом пришли в одну точку. Получается, что геометрическое искривление пространства может проявляться как сила притяжения. Вероятно, пифагорейцы первыми осознали абстрактную концепцию, состоящую в том, что основные силы во Вселенной можно выразить языком математики.

Особенно пифагорейцев интересовали различия между четными и нечетными числами; возможно, это было связано с простыми гармоническими соотношениями в музыке – 1:2, 2:3, 3:4. Пифагорейцы приписывали нечетным числам мужские качества, а также, не без предвзятости, свет и добро, а четным – женские качества, и связывали их с темнотой и злом. Некоторые предрассудки, связанные с четными и нечетными числами, сохранялись веками. Например, римский ученый Плиний Старший (23–79 н. э.) в своей «Historia Naturalis» (энциклопедии по естественной истории в тридцати семи томах) писал: «Почему мы придерживаемся мнения, будто для всякой цели лучше всего подходят именно нечетные числа?» Сравним эпизод из «Виндзорских насмешниц» Шекспира (акт V, сцена I), где сэр Джон Фальстаф говорит: «Я верю в нечет и всегда ставлю на нечетные числа – говорят, счастье их любит» (пер. С. Маршака, М. Морозова). Подобной точки зрения придерживаются и ближневосточные религии. Согласно исламской традиции, пророк Мухаммед, закончив пост, съел нечетное число фиников, а иудейские молитвы зачастую требуют нечетного числа (трех или семи) повторений.

Помимо ролей, которые пифагорейцы отвели четным и нечетным числам в целом, они еще и приписали особые качества некоторым отдельным числам. Например, число 1 считалось прародителем всех остальных чисел, а поэтому само оно словно бы не считалось числом. Кроме того, считалось, что оно характеризует здравый смысл. Геометрически число 1 соответствовало точке, которая сама по себе считалась прародительницей всех измерений. Число 2 было первым женским числом, а также числом разногласий и разделения. Это немного похоже на инь и ян китайской религиозной космологии, которым приписывались те же качества: инь – женское, отрицательное начало, пассивность и темнота, а ян – яркое, мужское начало. Даже в наши дни во многих языках число 2 так или иначе ассоциируется с лицемерием и ненадежностью – вспомним персидское слово «двуличный» или слово «двурушник» (или слова со значением «обладатель двойного языка», которые есть и в немецком, и в арабском). То, что число 2 изначально связали с женским началом, а 3 – с мужским, вероятно, было вызвано очертаниями женской груди и мужских гениталий. Этот вывод, пусть и с осторожностью, можно подтвердить тем обстоятельством, что такие же ассоциации возникли у восточно-африканской народности консо. В повседневной жизни мы прибегаем к разделению на две категории сплошь и рядом: хорошее и плохое, верх и низ, право и лево. С геометрической точки зрения, числу 2 соответствовала прямая (ее однозначно определяют две точки), у которой одно измерение. Три было первым настоящим мужским числом, а также числом гармонии, поскольку в нем сочетаются единство (число 1) и разделение (число 2). Для пифагорейцев число 3 вообще было в некотором смысле первым числом, поскольку у него есть и «начало», и «середина», и «конец», в отличие от числа 2, у которого «середины» нет. Геометрическое выражение числа 3 – треугольник, поскольку три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют треугольник, а сам он – двумерная геометрическая фигура.

Интересно, что военные подразделения в библейские времена также строились на основе тройки. Например, во Второй книге Царств (23) упоминаются «трое сих храбрых» воина под началом у царя Давида. В той же главе говорится и о «тридцати вождях», которые «пошли и вошли во время жатвы к Давиду в пещеру Одоллам», однако к концу главы редактор, перечислив храбрецов, вставляет ремарку: «Всех тридцать семь».

Очевидно, что «тридцать» здесь просто название подразделения, а на самом деле в нем могло быть и другое количество воинов. В Книге Судей, в главе 7, когда Гедеону предстоит воевать с мидьянитянами, он отбирает триста – три сотни – человек, всех тех, «кто будет лакать воду языком своим, как лакает пес». Если перейти к более крупным подразделениям, мы обнаружим, что в Первой Книге Царств, в главе 13, «выбрал Саул себе три тысячи из Израильтян», чтобы воевать с филистимлянами, поскольку «собрались Филистимляне на войну против Израиля: тридцать тысяч колесниц». Наконец, во Второй Книге Царств, «собрал снова Давид всех отборных людей из Израиля, тридцать тысяч», чтобы разгромить филистимлян.

Число 4 было для пифагорейцев числом порядка и справедливости. Четыре ветра – четыре направления – обеспечивали людям необходимые ориентиры, помогали понять, где они находятся в пространстве. Геометрически, четыре точки, не лежащие в одной плоскости, образуют тетраэдр (пирамиду с четырьмя треугольными гранями), обладающую объемом, то есть тремя измерениями. Однако особый вес числу 4 в глазах пифагорейцев придавало и еще одно обстоятельство: пифагорейцы почитали число 10, которое образовывало священную тетрактиду – сумму первых четырех чисел. Число 10 пифагорейцы ставили выше всех, поскольку оно символизировало мироздание в целом. А поскольку 1 + 2 + 3 + 4 = 10, между 4 и 10 они видели тесную связь. Одновременно это соотношение свидетельствовало, что 10 не просто объединяет числа, отражающие все измерения, но и обладает всеми свойствами единства (которое символизирует число 1), полярности (символом которой служит 2), гармонии (3) и пространства и материи (4). Следовательно, 10 было числом всего сущего, и его свойства лучше всего выразил пифагореец Филолай около 400 г. до н. э.: «Высшее, могущественное, творец всего сущего, начало и руководитель божественного и всего живого на Земле».

Число 6 было первым совершенным числом, числом творения. Прилагательным «совершенный» описывали числа, которые равны сумме всех своих делителей, – например, 6 = 1 + 2 + 3. Кстати, следующее такое число – 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14), а после него – 496 (1 + 2 + 4 + 16 + 31 + 62 + 124 ++ 248); когда же мы доберемся до девятого совершенного числа, в нем окажется 37 цифр. Кроме того, 6 – порождение первого женского числа 2 и первого мужского числа 3. Иудей Филон Александрийский, эллинистический философ (ок. 20 гг. до н. э. – ок. 40 н. э.), в чьих трудах совмещалась греческая философия и иудейские священные писания, предположил, что Господь создал мир за шесть дней, поскольку шесть – совершенное число. Ту же идею разработал и дополнил Блаженный Августин (354–430) в своей книге «О граде Божием»: «Все это… ради совершенства числа шесть через шестикратное повторение того же дня совершается в шесть дней. Это не потому, что для Бога необходима была продолжительность времени, – как бы Он не мог сотворить разом все, что после соответствующими движениями производило бы времена, – но потому, что числом шесть обозначено совершенство творения».[1] Некоторые толкователи Библии считали, что опорным числом Верховного Зодчего было и число 28, указывая на 28 дней лунного цикла. Увлеченность совершенными числами проникла даже в иудаизм; в двенадцатом веке рабби Иосиф бен-Иегуда ибн-Акнин пишет о них в своем трактате «Исцеление душ».

Приводя примеры особого отношения пифагорейцев к числам, я умышленно оставил число 5 напоследок, поскольку это число, кроме всего прочего, подводит нас к истокам золотого сечения. Пять – это союз между первым женским числом 2 и первым мужским числом 3, поэтому это число любви и брака. Очевидно, пифагорейцы считали пентаграмму – пятиконечную звезду (рис. 3) – символом принадлежности к своему братству и называли ее «гигия» – «здоровье». Греческий писатель и ритор II века Лукиан писал в своем «Оправдании ошибки, допущенной в приветствии»: «… Все ученики его [Пифагора] при переписке друг с другом, всякий раз как писали о чем-нибудь значительном, в самом начале письма ставили пожелание здоровья, как наиболее отвечающее ладу и души, и тела и обнимающее собою всю совокупность человеческих благ. Трижды повторенный треугольник пифагорейцев, образующий взаимосечениями пентаграмму, которой они пользовались, как условным знаком, при встрече с единомышленниками, называлась у них тем же словом, что и здоровье» (пер. Н. Баранова).

Изобретательное (хотя, пожалуй, не совсем логичное) объяснение, почему пентаграмма связывалась со здоровьем, предложил А. де ла Фей в своей книге «Пифагорейская пентаграмма, ее распространенность и применение в клинописи» (A. de la Fue. Le Pentagramme Pythagoricien, Sa Diffusion, Son Emploi dans le Syllabaire Cuneiform, 1934). Де ла Фей предполагает, что пентаграмма символизирует греческую богиню здоровья Гигию, а пять лучей звезды – это схематическое изображение богини (рис. 9).

Рис. 9

Рис. 10

Кроме того, пентаграмма тесно связана с правильным пятиугольником – геометрической фигурой с пятью равными сторонами и равными углами (рис. 10). Если соединить все вершины правильного пятиугольника диагоналями, получится пентаграмма. Кроме того, диагонали образуют еще и маленький пятиугольник в центре, а диагонали этого пятиугольника образуют пентаграмму и пятиугольник еще меньше (рис. 10). Продолжать это можно до бесконечности, создавая пятиугольники и пентаграммы все меньше и меньше. Поразительное свойство всех этих фигур состоит в том, что если посмотреть на получившиеся отрезки в порядке убывания длины (на рисунке они помечены a, b, c, d, e, f), можно с легкостью, при помощи элементарной геометрии, доказать, что каждый отрезок меньше предыдущего на множитель, в точности равный золотому сечению – числу . То есть отношение длин а и b – это число , отношение длин b и c – тоже число и т. д. А главное, можно опереться на тот факт, что процесс создания череды вписанных друг в друга пентаграмм и пятиугольников можно продолжать бесконечно, строить фигуры все меньших и меньших размеров – чтобы упорно доказывать, что диагональ и сторона пятиугольника несоизмеримы, то есть отношение их длин (равное ) невозможно выразить отношением двух целых чисел. А это значит, что им нельзя подобрать никакую общую единицу измерения – такую, чтобы диагональ пятиугольника содержала целое число этих единиц измерения и чтобы сторона пятиугольника тоже содержала целое число таких же единиц измерения (для читателей, более склонных к точным наукам, в Приложении 2 приведено доказательство). Вспомним, что числа, которые нельзя представить в виде отношения двух целых чисел (то есть в виде дробей, или рациональных чисел) называются иррациональными числами. Следовательно, перед нами доказательство того факта, что число  – это иррациональное число.

Несколько ученых (в том числе Курт фон Фриц в статье под названием «Гиппас из Метапонта как первооткрыватель несоизмеримости» (Kurt von Fritz. The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum, 1945) предположили, что открыли золотое сечение и несоизмеримость именно пифагорейцы. Эти историки математики отстаивали ту точку зрения, что одержимость пентаграммой и правильным пятиугольником, свойственная пифагорейцам, в сочетании с набором геометрических познаний, накопившихся к середине V века до н. э., весьма способствовали тому, чтобы пифагорейцы, а в частности, вероятно, Гиппас из Метапонта, открыли золотое сечение, а как следствие из него – и несоизмеримость. Доводы этих историков, по крайней мере, отчасти, подтверждаются трудами основателя сирийской неоплатонической школы Ямвлиха (ок. 245–325 гг. до н. э.). Согласно одному из рассказов Ямвлиха, пифагорейцы поставили Гиппасу надгробный камень, будто мертвому, за открытие несоизмеримости, которое подрывало самые основы их учения. Однако в другом месте Ямвлих сообщает, что «…о Гиппасе говорят, что он был из числа пифагорейцев; за то, что разгласил и достроил впервые сферу из двенадцати пятиугольников, он погиб в море как нечестивец, зато снискал славу первооткрывателя, хотя все [открытия должны принадлежать] «оному мужу» – так [пифагорейцы] величают Пифагора, не называя его по имени» (пер. А. В. Лебедева). Говоря «достроил сферу из двенадцати пятиугольников», Ямвлих имеет в виду (несколько неточно, поскольку получившаяся фигура на самом деле не сфера) додекаэдр, геометрическое тело с двенадцатью гранями, каждая из которых представляет собой правильный пятиугольник, – одно из пяти геометрических тел, известных как платоновы тела. Платоновы тела теснейшим образом связаны с золотым сечением, и мы еще вернемся к ним в главе 4. Несмотря на то что все эти рассказы подозрительно напоминают легенды, историк математики Уолтер Баркерт в своей книге «Древний пифагореизм. Наука и легенды» (Walter Burkert. Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, 1972) приходит к заключению, что «хотя сведения о Гиппасе и овеяны легендами, в них есть здравое зерно». Доказательство справедливости этого заявления мы видим на рис. 10 (и в Приложении 2). Вывод о том, что диагональ и сторона правильного пятиугольника несоизмеримы, основан на очень простом наблюдении, что строить все меньшие и меньшие пятиугольники можно до бесконечности. То есть совершенно очевидно, что это доказательство было вполне доступно и математикам, жившим в V веке до нашей эры.

Для существа рационального невыносимо только нерациональное[2]

Хотя, разумеется, возможно, и даже, пожалуй, вероятно, что несоизмеримость и иррациональные числа были открыты в связи с золотым сечением, более традиционная точка зрения гласит, что на эти концепции мыслителей натолкнуло соотношение стороны и диагонали квадрата. Аристотель в своей «Первой аналитике» пишет, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной, «потому что, если допустить их соизмеримость, то нечетное было бы равно четному» (пер. Б. Фохта). Здесь Аристотель вскользь намекает на доказательство несоизмеримости, которое я приведу полностью, поскольку это прелестный пример доказательства логическим методом, известным как reductio ad absurdum («доведение до абсурда», или метод «от противного»). Более того, когда в 1988 году журнал «The Mathematical Intelligencer» предложил читателям проранжировать двадцать четыре теоремы в соответствии с их «красотой», доказательство, которое я сейчас представлю, заняло седьмое место.

Изящный метод «от противного» основывается на том, что верность утверждения доказывается тем, что противоположное ему утверждение ложно. Самый авторитетный иудейский ученый Средневековья Маймонид (Моше бен Маймон, 1135–1204) даже пытался применить этот логический прием, дабы доказать существование Творца. В своем фундаментальном труде «Мишне Тора» (Законы основ Торы), где делается попытка охватить все стороны религии, Маймонид пишет: «Основа основ и столп мудрости – знать, что есть Первичная Сущность, которая является причиной существования всего сущего. И все, что есть на небесах и на земле, и все, что между ними, существует благодаря Истинной Сущности. И если представить, что Его нет – ничто не могло бы существовать» (пер. И. Верника). В математике же метод «от противного» применяется следующим образом. Сначала вы предполагаете, что теорема, истинность которой вы стремитесь доказать, на самом деле ложна. Далее вы совершаете последовательность логических шагов и выводите нечто, представляющее собой явное логическое противоречие – например, 1 = 0. Из этого вы делаете вывод, что первоначальная теорема не могла быть ложной, а следовательно, она должна быть истинной. Обратите внимание, что если вы хотите, чтобы метод оказался действенным, вам следует предположить, что теорема или утверждения могут быть либо истинными, либо ложными: вы либо читаете эти строки, либо нет.

d = 2

Прежде всего, посмотрите на квадрат на рис. 11, сторону которого мы примем за единицу. Если мы хотим найти длину диагонали, можно при помощи теоремы Пифагора вычислить гипотенузу любого из двух прямоугольных треугольников, на которые разделен квадрат. Вспомним, что теорема гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов. Пусть длина гипотенузы – d, тогда d² = 1² + 1², а следовательно, d² = 2. Если мы знаем квадрат числа, то само число можем найти, если извлечем квадратный корень. Например, если мы знаем, что квадрат числа X равен 25, то X = 5. Следовательно, из d² = 2 мы выводим, что d = 2. Итак, отношение диагонали к стороне квадрата равно квадратному корню из 2. (Карманный калькулятор подскажет, что 2 = 1,41421356…) А теперь нам хочется показать, что 2 невозможно выразить соотношением двух целых чисел (а слдовательно, это иррациональное число). Задумайтесь на минуту: сейчас мы докажем, что хотя в нашем распоряжении бесконечное множество целых чисел, но как бы мы ни искали, нам никогда не найти двух таких, чтобы их отношение точно равнялось 2! Это же просто поразительно!

Рис. 11

Вот как выглядит доказательство «от противного» в данном случае. Начнем мы с того, что предположим, что верно противоположное тому, что мы стремимся доказать, а именно предположим, что на самом деле 2 равен какому-то отношению двух целых чисел a и b, то есть 2 = a/b. Если у a и b есть общие делители, как, например, у 9 и 6 есть общий делитель 3, можно упростить эту дробь, разделив числитель и знаменатель на эти делители, пока мы не получим два числа p и q, у которых общих делителей уже нет. (В примере с 9 и 6 это превратит 9/6 в 3/2). Очевидно, что не может быть такого, чтобы и p, и q были четными (иначе у них был бы общий делитель 2). Следовательно, наше предположение состоит в том, что p/q = 2, причем p и q – числа, у которых нет общих делителей. Теперь возводим обе части равенства в квадрат и получаем p²/q²= 2. Далее умножаем обе части равенства на q² и получаем p² = 2 q². Обратите внимание, что правая часть равенства, что совершенно очевидно, четное число, поскольку представляет собой какое-то число q², умноженное на 2, а это всегда дает четное число. Поскольку p² равно четному числу, p² тоже четное число. Однако если квадрат числа – четное число, значит, и само это число тоже четное (напомню, что квадрат – это число, умноженное само на себя, а при умножении нечетного числа на себя результат будет нечетным). Таким образом, мы доказали, что число p – четное. Вспомним, что это значит, что q должно быть нечетным: ведь у p и q нет общих делителей. Однако если p четное число, значит, его можно записать в виде p = 2r, ведь у четного числа должен быть делитель 2. А следовательно, вышеуказанное уравнение p² = 2 q² можно записать в виде (2r) ² (мы просто заменили p на 2r), то есть поскольку (2r)²= (2r)  (2r)] 4r² = 2 q². Теперь разделим обе части равенства на 2 и получим 2r² = q². Однако из этого следует – по тем же логическим выкладкам, которые мы только что применяли, – что q² – четное число (поскольку равно дважды повторенному другому числу), а следовательно, и q – тоже четное число. Однако отметим, что выше мы доказали, что q должно быть нечетным! Итак, мы пришли к очевидному логическому противоречию – доказали, что число должно быть и четным, и нечетным одновременно. Этот факт показывает, что наше первоначальное предположение – что существуют два целых числа p и q, отношение которых равно 2 – ложно, что и требовалось доказать. Числа вроде 2 – это новый вид чисел, иррациональные числа.

Похожим способом можно доказать, что квадратный корень любого натурального числа, не являющегося полным квадратом (вроде 9 или 16), – иррациональное число. Числа вроде 3 и 5 – иррациональные.

Невозможно переоценить значимость открытия несоизмеримости и иррациональных чисел. До этого открытия математики предполагали, что если у вас есть любые два отрезка, один из которых длиннее другого, всегда можно найти какую-то меньшую единицу, чтобы измерить длины обоих отрезков и получить целое число этих единиц. Если, скажем, один отрезок длиной 21,37 дюймов, а второй – 11,475 дюймов, можно измерить оба в единицах в одну тысячную дюйма, и тогда в первом будет 21 370, а во втором – 11 475 таких единиц. Поэтому древние ученые были убеждены, что подобную общую единицу измерения можно найти всегда, надо только набраться терпения. Открытие несоизмеримости означает, что два отрезка прямой, находящиеся между собой в отношении золотого сечения (АС и СВ на рис. 2), диагональ и сторона квадрата или диагональ и сторона правильного пятиугольника не обладают такой общей единицей измерения, и найти ее невозможно. В 1988 году в журнале «Mathematics Magazine» был опубликован стишок Стивена Кашинга, отражающий нашу естественную реакцию на иррациональные числа:

Нам станет легче осознать, какой огромный интеллектуальный скачок был проделан, чтобы открыть иррациональные числа, если мы поймем, каким судьбоносным открытием (или изобретением) для человечества стали даже дроби – рациональные числа вроде 1/2, 3/5 или 11/13. Живший в XIX веке математик Леопольд Кронекер (1823–1891) выразил свое мнение по этому вопросу следующим образом: «Господь сотворил натуральные числа, а все остальное – измышления человека».

О том, насколько древние египтяне были знакомы с дробями, мы знаем в основном по папирусу Ринда (Ахмеса). Это огромный папирус (18 футов длиной и 12 дюймов шириной), скопированный около 1650 года до н. э. писцом по имени Ахмес с более ранних документов. Найден папирус в Фивах, в 1858 году его приобрел шотландский антиквар Генри Ринд, а сейчас папирус хранится в Британском музее (за исключением нескольких фрагментов, которые неожиданно оказались собранием медицинских документов и сейчас находятся в Бруклинском музее). Папирус Ринда, в сущности, представляет собой справочник счетовода, и простыми словами в нем называются лишь дроби с числителем 1 – 1/2, 1/3, 1/4 и т. д., – а также 2/3. В некоторых других папирусах есть еще особое название для 3/4. Все прочие дроби древние египтяне выражали в виде суммы дробей с числителем 1. Например, чтобы выразить 4/5, они писали 1/2 + 1/5 + 1/10, а 2/29 выражали как 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232. Чтобы выразить доли меры объема зерна под названием «гекат», древние египтяне применяли так называемые дроби «глаз Гора». Легенда гласит, что в битве между богом Гором, сыном Осириса и Изиды, и убийцей Осириса Сетом Гор потерял глаз, а Сет то ли раздавил его пальцем, то ли наступил на него. Затем бог письма и вычислений Тот нашел части глаза и хотел собрать его. Однако он обнаружил лишь части, которые соответствовали дробям 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/64. Тот подсчитал сумму и выяснил, что собрал лишь 63/64 глаза, и тогда он наколдовал оставшуюся 1/64, что и позволило ему восстановить глаз.

Как ни странно, египетская система дробей с числителем 1 еще много столетий применялась и в Европе.  эпоху Возрождения составители учебников по математике приводили для тех, кому было трудно запомнить, как складывать и вычитать дроби, стихотворные правила. Забавный пример приводит Томас Хиллес в книге «Искусство популярной арифметики в целых числах и в дробях» (Thomas Hylles. The Art of Vulgar Arithmetic, both in Integers and Fractions), вышедшей в 1600 году.

Несмотря на завесу тайны, которая окутывала Пифагора и содружество пифагорейцев, а может быть (в некоторой степени), и благодаря ей, пифагорейцам стремились приписать некоторые значительные математические открытия, в число которых входят и золотое сечение, и несоизмеримость. Однако если учесть колоссальный авторитет и успехи математиков Древнего Египта и Вавилона, а также то обстоятельство, что и сам Пифагор, вероятно, учился математике в Египте и Вавилоне, можно задаться вопросом: быть может, эти (или еще какие-нибудь) цивилизации открыли золотое сечение еще до пифагорейцев? Особенно интересным этот вопрос покажется, когда мы обнаружим, как много книг и статей написано о том, что золотое сечение обнаруживается в параметрах Великой пирамиды Хеопса в Гизе. Чтобы найти ответ, нам придется предпринять исследовательскую экспедицию в область археологической математики.

Название этой главы позаимствовано из «Посвящения Шекспиру» великого английского поэта Джона Мильтона (1608–1674). Мильтон, которого считали вторым по гениальности поэтом после Шекспира, писал:

Как мы вскоре убедимся, пирамиды и в самом деле ориентировали по звездам. Однако многим писателям, похоже, оказалось мало того, что эти сооружения сами по себе столь грандиозны: они настаивают, что параметры великих пирамид основаны на золотом сечении. Для всех поклонников золотого сечения подобная связь лишь добавляет загадочности, которая в целом свойственна числу . Но правда ли это? Знали ли древние египтяне о числе  – и если да, сознательно ли они обессмертили его, создав на его основе одно из Семи чудес света?

Если учесть, что первоначально интерес к золотому сечению вспыхнул, вероятно, из-за его связи с пентаграммой, нам сперва придется проследить историю пентаграммы с самого начала, поскольку это приведет нас к самым первым появлениям золотого сечения на исторической арене.

Попросите любого ребенка нарисовать звездочку – и он, скорее всего, нацарапает пентаграмму. На самом деле это следствие того, что звезды мы видим сквозь атмосферу Земли. Движение воздуха рассеивает звездный свет, и кажется, что звезды постоянно меняют очертания – вот почему они мерцают. Люди хотели передать лучики, которые видятся нам в результате мерцания, и нарисовали пентаграмму, у которой есть и еще одна привлекательная черта – ее можно начертить, не отрывая инструмента для письма от глины, папируса или бумаги.

Шли годы, и подобные «звезды» стали символом качества (вспомним пятизвездочные отели, кинофильмы и рецензии на книги), достижений (кино- и телезвезды), способностей («хватает с неба звезды») и авторитета (воинские знаки отличия). А если вспомнить, что эта символика сочетается с романтическим очарованием звездной ночи, неудивительно, что пятиконечные звезды украшают флаги более шестидесяти государств и что подобный рисунок встречается на бесчисленном множестве фирменных логотипов – от «Тексако» до «Крайслера».

Некоторые из первых дошедших до нас пентаграмм относятся к IV тысячелетию до нашей эры и найдены в Междуречье. Изображения пентаграмм были обнаружены при раскопках города Урук, где также были обнаружены и первые памятники письменности, и в Джемдет-Насре. Древний вавилонский город Урук – это, вероятно, библейский Эрех, упоминаемый в Книге Бытия (глава 10) как один из городов во владениях «сильного зверолова» Нимрода. Пентаграмма обнаружена на глиняной табличке, датируемой примерно 3200 г. до н. э. В Джемдет-Насре пентаграммы примерно того же периода были обнаружены на вазе и на пряслице. В шумерской культуре пентаграмма или ее клинописный вариант означали «все края Вселенной». Пентаграммы рисовали и в других частях древнего Ближнего Востока. В Тель-Эсдаре в израильской пустыне Негев нашли пентаграмму на кремневом скребке эпохи халколита («Медного века», 4500–3100 до н. э.). В Израиле пентаграммы обнаруживали и в других местах – при раскопках в Гезере и Тель-Захария, – однако они датируются существенно более поздним временем (V в. до н. э.). Несмотря на то что пятиконечные звезды довольно часто встречаются на древнеегипетских артефактах, геометрически правильные пентаграммы распространены не слишком сильно, хотя на кувшине в Накаде близ Фив обнаружена пентаграмма, относящаяся примерно к 3100 г. до н. э. В целом иероглифический символ звезды, вписанной в круг, означал «подземный мир» или мифическое место пребывания звезд в сумерки, а звезды без кругов служили просто обозначением ночных светил.

Однако главный вопрос, на который нам нужно ответить в контексте этой книги, состоит не в том, придавали ли ранние цивилизации какое-либо символическое или мистическое значение пентаграммам и правильным пятиугольникам, а в том, осознавали ли эти цивилизации особые геометрические свойства этих фигур, а в особенности – золотое сечение.

В те дни, как не был прахом Вавилон[3]

Исследования клинописных табличек, датируемых II тысячелетием до н. э. и найденных в 1936 году в Сузах в Иране, практически не оставляют сомнений, что вавилоняне времен первой династии знали формулу, позволяющую хотя бы приблизительно вычислить площадь правильного пятиугольника. Интерес вавилонян к пятиугольнику, вероятно, объяснялся тем простым фактом, что это фигура, которая получается, если прижать к глиняной табличке кончики всех пяти пальцев. На одной табличке из Суз мы читаем: «1 40, постоянная пятисторонней фигуры». Поскольку у вавилонян была принята шестидесятеричная система счисления, числа 1 40 следует толковать как 1 + 40/60, то есть площадь правильного пятиугольника со стороной 1 равна 1,666… На самом деле площадь правильного пятиугольника со стороной 1 не так уж далека от этой величины – 1,720. Вавилоняне вычислили подобное приближенное значение и для числа  – отношения длины окружности к диаметру. По сути дела, вычисление приближенного значения и числа , и площади правильного пятиугольника опирается на одно и то же соотношение. Вавилоняне предположили, что периметр любого правильного многоугольника (фигуры с любым количеством равных сторон и равных углов) равен радиусу окружности, в которую вписан этот многоугольник, умноженному на 6 (рис. 12). На самом деле это совершенно справедливо для правильного шестиугольника (он и изображен на рис. 12), поскольку все шесть треугоьников, из которых он состоит, равнобедренные. Согласно вычислениям вавилонян, число равнялось 3 + 1/8, то есть 3,125. И правда, очень неплохое приближение, ведь значение числа составляет 3,14159… Для правильного пятиугольника неточное предположение, что «периметр равен шести радиусам», дает приблизительное значение площади в 1,666… – то есть тот самый коэффициент, который мы видим на табличке из Суз.

Рис. 12

Рис. 13

Несмотря на эти важные ранние открытия в математике и на теснейшую связь системы пентаграммы-пятиугольника и золотого сечения, нет ни малейших математических свидетельств, что вавилоняне знали о золотом сечении. Тем не менее, в некоторых книгах и статьях утверждается, что золотое сечение будто бы наблюдается в пропорциях ассиро-вавилонских стел и барельефов. Например, в увлекательной книге Майкла Шнайдера «Конструирование Вселенной. Руководство для начинающих» (Michael Schneider. A Beginner’s Guide to Constructing the Universe) утверждается, что вавилонская стела (рис. 13) с изображением жрецов, которые ведут инициируемого на «встречу» с богом Солнца, «во многих отношениях связана с золотым сечением». А в статье, опубликованной в 1976 году в журнале «The Fibonacci Quarterly», искусствовед Хелен Хедиан пишет, что барельеф ассирийского крылатого полубога, созданный в IX в. до н. э. (в настоящее время он хранится в музее Метрополитен в Нью-Йорке) идеально вписывается в прямоугольник с соотношением сторон, соответствующим золотому сечению. Более того, Хедиан предполагает, что четкие контуры крыльев, ног и клюва также построены в соответствии с долями числа . Нечто подобное Хедиан говорит и о вавилонской «Умирающей львице» из Ниневии, которую датируют примерно 600 г. до н. э. и которая сейчас хранится в Британском музее в Лондоне.

Так можно ли сказать, что при создании всех этих артефактов из Междуречья действительно было использовано золотое сечение, или это просто научное заблуждение?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется ввести какие-то критерии, которые позволят определить, истинны или ложны те или иные заявления о появлении золотого сечения. Очевидно, что присутствие золотого сечения можно доказать безо всяких сомнений лишь в том случае, если сохранилась какая-то документация, из которой следует, что художники или архитекторы сознательно прибегали к этому соотношению. К несчастью, вавилонские таблички и барельефы никакой подобной документацией не подкрепляются.

Разумеется, преданный поклонник золотого сечения возразит на это, что отсутствие доказательств не есть доказательство отсутствия, и что достаточным подтверждением применения золотого сечения могут стать параметры произведения искусства сами по себе. Однако, как мы вскоре увидим, попытки найти золотое сечение в параметрах предметов – затея, которая ни к чему хорошему не приводит. Позвольте подтвердить это простым примером. На рис. 14 приведен чертеж маленького телевизора, который стоит у меня в кухне. На чертеже указаны некоторые измерения – их я сделал сам. Легко видеть, что соотношение толщины и высоты задней части телевизора равно 10,6/6,5 дюймов, то есть 1,63, а соотношение ширины передней части и высоты экрана 14/8,75 = 1,6, то есть оба эти соотношения, несомненно, очень близки к золотому сечению – 1,618…. Означает ли это, что изготовители телевизора решили выстроить его архитектуру в соответствии с золотым сечением? Ясно, что нет. Это пример просто показывает две главные ошибки тех, кто ищет золотое сечение в архитектуре или в произведениях искусства на основании одних размеров: (1) подсчеты всегда несколько натянуты, а (2) неточность измерений не учитываются. Каждый раз, измеряя параметры какой-то относительно сложной структуры (картины, стелы, телевизора), вы получаете в свое распоряжение большой набор длин – есть из чего выбрать. И есть чем пренебречь – можно не обращать внимания на остальные детали изучаемого предмета, так что нужно лишь набраться терпения и по-всякому играть и манипулировать числами, и тогда обязательно найдется какая-нибудь интересная комбинация. Вот и я, исследуя телевизор, «открыл» некоторые измерения, отношения которых близки к золотому сечению.

Рис. 14

Второе обстоятельство, которое часто не принимают во внимание излишне рьяные любители золотого сечения, состоит в том, что я измерял все эти длины с некоторой погрешностью. Важно понимать, что любая неточность в измерении длин приводит к еще большей неточности в вычислении их отношения. Представьте себе, например, что вы измерили две длины по 10 дюймов с погрешностью в 1 %. Это значит, что результат измерения каждой длины может попасть в промежуток от 9,9 до 10,1 дюймов. Отношение этих длин может получиться даже 9,9/10,1 = 0,98, то есть погрешность окажется уже в 2 %, вдвое больше, чем при измерении каждой длины по отдельности! Таким образом, излишне страстные почитатели золотого сечения вполне могут изменить два параметра на 1 % – а это повлияет на итоговое отношение уже на 2 %.

Теперь снова рассмотрим рис. 13 с учетом этих предостережений – и окажется, в частности, что длинный вертикальный сегмент был выбран так, что в него входит и база барельефа, а не только клинописный текст. Подобным же образом и точка, до которой измеряется длинный горизонтальный сегмент, выбрана произвольно и расположена правее, а не левее края барельефа.

Пересмотрев с этой точки зрения все существующие материалы, я был вынужден сделать заключение, что открытие вавилонянами золотого сечения крайне маловероятно.

По всей египетской земле[4]

Что же касается древних египтян, тут ситуация несколько сложнее и требует основательного детективного расследования. Здесь мы сталкиваемся с огромным количеством текстов, где утверждается, что число встречается, например, в пропорциях великих пирамид и других древнеегипетских монументов; казалось бы, возразить против таких доказательств нечего.

Однако позвольте начать с двух самых простых случаев – Осириона и гробницы Петосириса. Осирион – это храм, который считают кенотафом фараона Сети I, правившего Египтом в период XIX династии (ок. 1500 г. – ок. г. 1290 до н. э.). Храм обнаружил в 1901 году известный археолог сэр Флиндерс Петри, масштабные раскопки завершились в 1927 году. Сам храм, судя по архитектурной символике, служит иллюстрацией к мифу об Осирисе. Осирис, супруг Изиды, когда-то был египетским фараоном. Его брат Сет убил его, расчленил тело и разбросал куски. Изида собрала их и возродила Осириса к жизни. Впоследствии Осирис стал царем подземного мира и богом циклических превращений – жизни, смерти и возрождения – и на личном, и на вселенском уровне. В период Среднего царства (2000–1786 гг. до н. э.) культ мертвых был развит еще больше, и Осирис стал судьей, определяющим судьбу души после смерти.

Рис. 15, а / Рис. 15, б

Храм Осирион был целиком засыпан землей и напоминал, таким образом, могилу. На плане Осириона (рис. 15, а) видна центральная часть с десятью квадратными колоннами; видимо, она была окружена рвом, наполненным водой. Считается, что такая структура символизирует сотворение первобытных вод.

В небезынтересной книге Роберта Лоулора «Священная геометрия. Философия и практика» (Robert Lawlor. Sacred Geometry: Philosophy and Practice, 1982) высказано предположение, что геометрия Осириона «соответствует пропорциям золотого сечения», поскольку «золотое сечение – это трансцендентная “форма-идея”, которая, несомненно, существовала априори, в вечности, до того, как в пространстве и времени возникли и развились любые прогрессии». В подтверждение своего предположения о повсеместном присутствии числа , золотого сечения, в архитектуре храма Лоулор предлагает подробнейший геометрический анализ, образчик которого представлен на рис. 15, б. Более того, автор утверждает, что «подчеркивание мотива правильного прямоугольника служит ярким символом представления о том, что после смерти фараон превратился в звезду».

Несмотря на то что геометрический анализ Лоулора отличается красотой и зрелищностью, мне он кажется неубедительным. Мало того, что линии, которые, как предполагается, отражают золотое сечение, проводятся, похоже, в совершенно произвольных местах, но и видеть правильные пятиугольники там, где ясно читается прямоугольник, это, сдается мне, некоторая натяжка. То, что сам Лоулор предлагает и другие интерпретации геометрии храма, где опять же то и дело возникает  в соотношениях самых разных измерений, лишь подтверждает, что подобное вчитывание – в сущности, произвол и спекуляция и что при желании золотое сечение можно увидеть и там, где его нет.

Положение дел с гробницей Петосириса, которую раскопал в начале 1920 годв археолог Гюстав Лефевр, примерно такое же. Гробница гораздо моложе Осириона, она датируется лишь примерно 500 г. до н. э. и построена для верховного жреца бога Тота. Поскольку гробница датируется периодом, когда золотое сечение уже было известно (грекам), оно в принципе могло проявиться в геометрии гробницы. Более того, Лоулор в той же «Священной геометрии» приходит к выводу, что «Жрец Петосирис обладал полным и крайне глубоким представлением о золотом сечении». Этот вывод основан на анализе геометрии раскрашенного барельефа с восточной стены священной части гробницы (рис. 16, а). На барельефе изображен жрец, совершающий возлияние на голову мумии усопшего.

Рис. 16, а / Рис. 16, б

К сожалению, геометрический анализ, который предлагает Лоулор, представляется несколько надуманным (рис. 16, б): линии проведены из произвольно выбранных точек, которые никак нельзя назвать узловыми. Более того, и отношения, которые в результате получаются, слишком громоздки (например, (2(1–²))/²) и потому неправдоподобны. Поэтому лично мне представляется, что хотя представление Лоулора о том, что «погребальные практики в традиции фараонов были призваны не только воздать дань уважения физическому телу покойного, но и создать вместилище метафизических знаний, которые он накопил при жизни», исключительно верно, но все же, в сокровищницу метафизических знаний Петосириса золотое сечение не входило.

Следует подчеркнуть, что доказать, что золотое сечение не встречается в египетских археологических памятниках, когда об этом свидетельствуют только геометрические параметры, практически невозможно. Однако никаких документов, которые подтверждают, что египтяне сознательно применяли золотое сечение, до нас не дошло, а без них золотое сечение в произведениях искусства или в архитектуре должно прямо-таки бросаться в глаза, а не прятаться так глубоко, что для его выявления требуется очень сложный анализ. Как мы еще увидим, подробный разбор нескольких более поздних случаев, когда некоторые исследователи также полагали, что художники применяли золотое сечение, показывает, что эти предположения столь же необоснованны.

Однако я, пожалуй, не стану разбирать другие относительно малоизвестные объекты, например, египетскую стелу, датируемую примерно 2150 годом до н. э., размеры которой, как полагают некоторые ученые, также относятся как золотое сечение, а перейду сразу к кульминации – к великой пирамиде Хеопса.

Пирамида чисел/p>

По традиции, правителем Верхнего Египта, который завоевал мятежное царство Нижнего Египта (в дельте Нила) и тем самым объединил Египет около 3110 г. до н. э., был Менес (или Нармер). В правление III династии (ок. 2780–2680 гг. до н. э.) был введен культ Солнца в качестве главной религии, а также вошли в обиход мумифицирование умерших и строительство крупных каменных монументов. Эпоха великих пирамид достигла расцвета при IV династии, около 2500 г. до н. э. – и ее высочайшим достижением стали три знаменитые пирамиды в Гизе (рис. 17). «Великая пирамида» (на фотографии она на заднем плане) служит не только памятником фараону, но и символом успеха организации древнеегипетского общества в целом. Ученый Курт Мендельсон в своей книге «Загадка пирамид» (Kurt Mendelssohn. The Riddle of the Pyramids, 1974) пришел к заключению, что целью всего сооружения пирамид было в большой степени не применение их по назначению, то есть в качестве надгробных сооружений, но их возведение само по себе. Иначе говоря, главным были не сами пирамиды, а их строительство. Это объясняет очевидное несоответствие между колоссальным вложением сил в то, чтобы нагромоздить около 20 миллионов тонн добытого в каменоломнях песчаника, и единственным предназначением пирамид – похоронить трех фараонов.

В 1996 году египтолог-любитель Стюарт Киркленд Вьер, работавший под эгидой Денверского музея естествознания, подсчитал, что на строительстве великой пирамиды в Гизе должны были трудиться примерно 10 000 рабочих. Оценка количества энергии, необходимой, чтобы доставить каменные блоки из каменоломни к месту строительства, а также поднять камни на требуемую высоту, позволила Вьеру прикинуть необходимое количество работы. Предположив, что строительство заняло двадцать три года (продолжительность царствования фараона Хеопса), и сделав несколько разумных допущений – сколько энергии мог потратить египетский рабочий в день и как выглядел распорядок рабочего дня, – Вьер сумел оценить количество потребовавшейся рабочей силы.

Рис. 17

До самого недавнего времени датировка пирамид в Гизе опиралась в основном на сохранившиеся перечни фараонов и продолжительность их царствования. Поскольку такие списки редки, почти никогда не бывают полными и, как известно, противоречивы, хронология, как правило, составляется с точностью примерно до ста лет. (Такая же погрешность у датировки методом радиоуглеродного анализа). В ноябре 2000 года в журнале «Nature» была опубликована статья, в которой Кейт Спенс (Kate Spence) из Кембриджского университета предлагает иной метод датировки, согласно которому великая пирамида Хеопса была выстроена в 2480 году до н. э. (с погрешностью всего в пять лет). Метод Спенс – тот самый метод, который первым предложил астроном сэр Джон Гершель в середине XIX века, а основан он на том, что пирамиды всегда ставили с очень точной ориентацией на север. В частности, пирамида Хеопса ориентирована на север с погрешностью меньше чем 3 угловые минуты (всего 5 % градуса!) Несомненно, что египтяне определяли север с такой точностью благодаря астрономическим наблюдениям.

Северный полюс небесной сферы определяется как точка в небе, соответствующая оси вращения Земли – та точка, вокруг которой, как видится глазу, вращаются звезды. Однако сама по себе ось Земли не закреплена в пространстве, она медленно вращается, примерно как ось вращающегося волчка или гироскопа. В результате этого движения – оно называется прецессией – северный полюс небесной сферы каждые 26 000 лет описывает на северном небе большой круг. В наши дни северный полюс небесной сферы определяется с погрешностью в 1 градус по положению Полярной звезды (астрономы называют ее Альфой Малой Медведицы), однако во времена строительства великих пирамид дело обстояло иначе. Спенс предположила, по каким двум звездам древние египтяне находили север – это Дзета Большой Медведицы и Альфа Малой Медведицы, – а затем тщательно изучила ориентацию восьми пирамид и сумела определить дату возведения пирамиды Хеопса: 2480 год до н. э., то есть примерно на 74 года позднее, чем полагали раньше.

Мало какие археологические сооружения окутаны такой плотной завесой легенд и противоречий, как пирамида Хеопса. Например, пристальное внимание к пирамидам и к оккультной стороне их изучения было центральной темой учения розенкрейцеров (его основал Христиан Розенкрейц в 1459 г.). Члены этой секты претендовали на весьма глубокое знание тайн природы, магических знаков и знамений и т. п. Из отдельных ответвлений культа розенкрейцеров берет начало масонство. Ближе к нашему времени интерес к науке о пирамидах вспыхнул снова – возможно, благодаря вышедшей в 1859 году книге ушедшего на покой английского издателя Джона Тейлора «Великая пирамида. Кто и зачем ее построил?» (John Taylor. The Great Pyramid: Why Was It Built and Who Built It?), проникнутой религиозным духом. Тейлор был настолько убежден, что пирамида до мельчайших деталей построена по математическим формулам, о которых древние египтяне и не подозревали, что сделал вывод, будто это сооружение – результат божественного вмешательства. Находясь под влиянием модного в те годы представления, что англичане будто бы потомки потерянных колен Израилевых, Тейлор, в частности, предположил, что основной единицей измерения при строительстве пирамид был библейский «локоть» (чуть больше 25 английских дюймов и в точности 25 «пирамидальных дюймов»). Предполагается, что именно на эту меру длины опирался Ной при строительстве Ковчега и царь Соломон при строительстве Храма. Тейлор пошел дальше и заявил, что этот священный локоть был дарован свыше, поскольку основан на длине радиуса Земли – расстояния от центра до полюса: «пирамидальный дюйм» якобы равен одной пятисотмиллионной доле полярной оси Земли. Эта книга, совершенно безумная, обрела горячего сторонника в лице Чарльза Пиацци Смита, королевского астронома Шотландии (то есть директора Королевской обсерватории Эдинбурга), который в 1860-е годы опубликовал ни много ни мало три объемистых тома о великой пирамиде, первый из которых назывался «Великая пирамида как наше наследие» (Charles Piazzi Smyth. Our Inheritance in the Great Pyramid). Энтузиазм Пиацци Смита был вызван отчасти тем обстоятельством, что он был ярым противником введения в Великобритании метрической системы. Его псевдонаучная или теологическая логика была примерно такова: великая пирамида Хеопса рассчитана в дюймах, математические свойства пирамиды показывают, что ее строительство вдохновлялось свыше, следовательно, дюйм – величина богоданная, не то что сантиметр, порождение «самой дикой, самой кровожадной, самой безбожной революции» (Великой Французской, разумеется). Далее Пиацци Смит излагает свою точку зрения на диспут о системе мер и пишет, в частности, в книге «Великая пирамида, ее секреты и раскрытые тайны» («The Great Pyramid, Its Secrets and Mysteries Revealed»):

А значит, те билли, которые предлагали в Парламенте профранцузски настроенные агитаторы за метрическую систему, столь часто не проходили не благодаря усилиям отдельных защитников британских мер и весов, а скорее из-за того, что эта весьма пронырливая система греховна сама по себе, и наша задача – уберечь избранный народ, сохранившийся, несмотря на все исторические коллизии, не допустить, чтобы этот народ по недомыслию облачился в отравленные одежды, в те самые, в каких явится антихрист, и, словно Исав за чечевичную похлебку, за жалкую сиюминутную выгоду в торговле отказался от установления, принадлежащего ему по праву рождения, от установления, которое наши авраамические предки так стремились сохранить до той поры, когда таинства Господни затронут, наконец, все человечество.

Прочитав этот текст, мы уже не станем удивляться, когда узнаем, что писатель Леонард Коттрел решил назвать главу о Чарльзе Пиацци Смите в своей книге «Горы фараоновы» (Leonard Cottrell. The Mountains of Pharaoh) «Великий пирамидиот».

И Пиацци Смит, и Тейлор своим нумерологическим анализом параметров пирамид, в сущности, поспособствовали возрождению пифагорейской одержимости числом 5. Они отметили, что у пирамиды (что очевидно) пять вершин и пять граней, если считать основание, что «священный локоть» содержит примерно 25 (5 в квадрате) дюймов (или ровно 25 «пирамидальных дюймов»), что «пирамидальный дюйм» составляет одну пятисотмиллионную земной оси и т. д. Писатель и популяризатор науки Мартин Гарднер обнаружил прелестный пример, демонстрирующий нелепость «пятерочного» анализа Пиацци Смита. В своей книге «Чудачества и заблуждения во имя науки» (Martin Gardner. Fads and Fallacies in the Name of Science, 1957) Гарднер пишет:

Если заглянуть в «World Almanac» и выяснить некоторые факты, касающиеся монумента Вашингтона, можно найти довольно много «пятерочностей». Высота его составляет 555 футов 5 дюймов. Основание – квадрат со стороной 55 футов, а окна расположены на высоте в 500 футов от основания. Если умножить основание на 60 (а это число месяцев в году, умноженное на 5), получим 3300 – а это точный вес его замкового камня в фунтах. К тому же в слове «Washington» ровно десять букв – то есть дважды пять. А если умножить вес замкового камня на площадь основания, получится 181 500 – достаточно точное приближение к скорости света в милях в секунду.

Однако настала пора сделать самое скандальное заявление о великой пирамиде Хеопса с точки зрения нашего интереса к золотому сечению. В той же книге Гарднер упоминает одно утверждение, которое, если оно истинно, доказывает, что золотое сечение и вправду использовалось при проектировании великой пирамиды. Гарднер пишет: «Геродот утверждает, что пирамиду построили с таким расчетом, чтобы площадь каждой грани равнялась площади квадрата, сторона которого равна высоте пирамиды». Греческого историка Геродота (ок. 485–425 гг. до н. э.), великий римский оратор Цицерон (106–43 гг. до н. э.) назвал «отцом истории». Гарднер не понимал, что, в сущности, следует из утверждения Геродота, однако был не первым и не последним, кто его приводит.

Знаменитый английский астроном сэр Джон (Фредерик Уильям) Гершель (1792–1871) в статье под названием «Британский модульный стандарт длины» («British Modular Standard of Length»), опубликованной в «The Athenaeum» 28 апреля 1860 года, пишет:

Такой же уклон… принадлежит пирамиде, характеризуемой таким свойством, что каждая из ее граней равна квадрату со стороной, равной высоте пирамиды. Это характерное соотношение, которое, как ясно и очевидно говорит нам Геродот, умышленно придали пирамиде ее строители – и теперь нам известно, что оно ей действительно придано.

А уже совсем недавно, в 1999 году, французский писатель и специалист по телекоммуникациям Мидхат Газале написал в своей интересной книге «Гномон. От фараонов до фракталов»: «Говорили, что греческий историк Геродот узнал у египетских жрецов, что квадрат высоты великой пирамиды равен площади ее треугольной боковой стороны». Почему это утверждение так важно? По той простой причине, что это все равно что сказать, что великая пирамида была создана так, чтобы отношение высоты ее треугольной стороны к половине стороны основания было равно золотому сечению![5]

Рис. 18

Не пожалейте минуты и внимательно посмотрите на чертеж пирамиды на рис. 18, где а – половина стороны основания, s – высота треугольной стороны, а h – высота самой пирамиды. Если утверждение, которое приписывают Геродоту, верно, это будет означать, что h² (квадрат высоты пирамиды) равен s  а (площади треугольной стороны, см. Приложение 3). Элементарные геометрические выкладки показывают, что это равенство означает, что соотношение s/a в точности равно золотому сечению (доказательство см. в Приложении 3). Естественно, на ум сразу же приходит вопрос, так ли это. Основание великой пирамиды Хеопса на самом деле не совсем правильный квадрат, длины его сторон разнятся от 755,43 футов до 756,08 футов. Средняя длина стороны, 2а, равна, таким образом, 755,79 футов. Высота пирамиды h = 481,4 фута. Применив теорему Пифагора, мы находим, исходя из этих величин, что высота треугольной стороны s равна 612,01 футов. Итак, мы нашли, что отношение s/a = 612,01/377,90 = 1,62, что и в самом деле очень близко к золотому сечению (погрешность составляет меньше 0,1 %).

Если понимать это буквально, получается, что древние египтяне и правда знали, что такое золотое сечение, поскольку это число не просто появляется в параметрах великой пирамиды, но и существует исторический документ, подтверждающий, что именно таково было намерение создателей сооружения: об этом нам говорит Геродот. Но так ли это? Или мы просто стали свидетелями явления, которое канадский математик Роджер Герц-Фишлер называл «одной из самых хитроумных оплошностей в истории науки»?

Очевидно, что параметры пирамиды изменить нельзя, поэтому единственная часть «доказательства» наличия золотого сечения, в которой можно усомниться, это утверждение Геродота. Несмотря на то что это высказывание многократно цитируется на протяжении истории, несмотря даже на то, что невозможно устроить перекрестный допрос человеку, жившему 2500 лет назад, по меньшей мере четверо ученых взяли на себя труд проделать «детективную» работу и выяснить, что именно сказал Геродот и что он на самом деле имел в виду. Результаты двух таких расследований подытожили Герц-Фишлер и математик из Университета штата Мэн Джордж Марковски.

Оригинальный отрывок содержится в 124 параграфе книги II «Истории» Геродота, которая называется «Евтерпа». В классическом переводе читаем: «Она четырехсторонняя, каждая сторона ее шириной в 8 плефров и такой же высоты» (пер. Г. Стратановского). Обратите внимание, что плефр – это 100 греческих футов (примерно 101 английский). Что-то этот текст совсем не похож на то, что нам представляют как цитату из Геродота (что квадрат высоты равен площади стороны). Более того, параметры пирамиды, которые приводит Геродот, вообще не соответствуют действительности. Великая пирамида высотой далеко не 800 футов (напомним, что ее высота всего 481 фут), и даже сторона ее квадратного основания (около 756 футов) и то существенно меньше 800 футов. Так откуда же взялась эта «цитата»? Первая подсказка – статья сэра Джона Гершеля в «The Athenaeum». Согласно Гершелю, «заслуга выявления» этой особенности пирамиды и обнаружения цитаты из Геродота принадлежит не кому-нибудь, а Джону Тейлору в его книге «Великая пирамида. Кто и зачем ее построил?» Герц-Фишлер проследил, откуда пошла дезинформация, которая, видимо, была вызвана всего лишь неверным толкованием Геродота в книге Джона Тейлора, которая в наши дни приобрела мрачную славу.

Начинает Тейлор с перевода из Геродота, который не слишком отличается от процитированного: «Каждая грань этой пирамиды, которых четыре, с каждой стороны имеет по восемь плефров, и высота такова же». Однако тут автор дает волю воображению – и предполагает, что Геродот имел в виду, будто количество квадратных футов в каждой грани равняется количеству квадратных футов в квадрате со стороной, такой же, как высота пирамиды. Однако даже при такой «вольной» интерпретации у Тейлора остается еще одна небольшая трудность – упомянутое число (восемь плефров) сильно расходится с действительными размерами пирамиды. Тейлор предлагает способ преодолеть эту трудность – и этот способ еще возмутительнее. Без какой бы то ни было логической аргументации Тейлор заявляет, что нужно умножить восемь плефров на площадь основания одной из меньших пирамид, стоящих к востоку от пирамиды Хеопса.

Из всего этого следует, что текст Геродота едва ли можно считать документальным подтверждением наличия в проекте великой пирамиды золотого сечения. Совершенно необоснованная интерпретация текста, порожденная книгой Тейлора и впоследствии повторявшаяся бесчисленное множество раз, на самом деле бессмысленна и служит разве что очередным примером подтасовки данных.

С этим выводом согласны не все. В статье под названием «Икосаэдр как основа дизайна великой пирамиды», опубликованной в 1992 году, Хьюго Ф. Ферхейен выдвигает предположение, что золотое сечение как мистический символ, вероятно, умышленно скрыли в параметрах великой пирамиды как «послание к посвященным». Однако, как мы еще увидим, для сомнений, что золотое сечение вообще учитывалось при строительстве пирамид, есть и другие основания.

Когда мы поймем, что великая пирамида Хеопса по количеству книг, ей посвященных, опережает даже легендарную Атлантиду, нас уже не слишком удивит, что пирамидология интересуется не только числом  – ее привлекает и другое уникальное число, число .

Теория впервые появилась в 1838 году в произведении Г. Эгнью под названием «Письмо из Александрии о свидетельствах практического применения квадратуры круга в конфигурации великих египетских пирамид» (H. Agnew. Letter from Alexandria, on the Evidence of the Practical Application of the Quadrature of the Circle, in the Configuration of the Great Pyramids of Egypt), однако в целом ее приписывают Тейлору, который на самом деле просто пересказал теорию Эгнью. Суть ее в том, что отношение периметра основания пирамиды (8а в наших прежних обозначениях, где а – половина стороны основания) к высоте пирамиды h равна 2 . Если мы подставим в эту формулу те же числа, что и раньше, то получим, что 8а/h = 4  755,79/481,4 = 6,28, что с достаточной точностью равно 2 (погрешность всего около 0,05 %).

Следовательно, прежде всего надо отметить, что из параметров великой пирамиды как таковых было бы невозможно определить, использовались ли при ее строительстве и  (или хотя бы одно из этих чисел). Более того, в статье, напечатанной в 1968 году в журнале «The Fibonacci Quarterly», полковник Р. С. Бирд из Беркли (Калифорния) сделал следующий вывод: «Бросьте кости и выбирайте себе теорию».

Если выбирать между и  как потенциальными мерилами архитектуры пирамид, очевидно, что у  перед есть преимущество. Во-первых, папирус Ринда (Ахмеса), один из основных источников о познаниях египетских математиков, сообщает нам, что древние египтяне, жившие в XVII веке до н. э., по крайней мере приблизительно знали значение , а о том, что им было известно число , нет никаких свидетельств. Вспомним, что Ахмес переписывал свой справочник по математике примерно в 1650 году до н. э., в гиксосский период или период «царей-пастухов». Однако он отмечает, что оригинальный документ относился к периоду фараона Аменмехмета (Аменемеса) III из Двенадцатой династии, и в принципе возможно, хотя и маловероятно, что содержание документа было известно и во времена строительства великой пирамиды Хеопса. В папирусе содержится 87 математических задач, которым предшествует таблица дробей. У нас есть достаточно доказательств (и другие папирусы, и исторические источники), что этой таблицей продолжали пользоваться как справочным материалом почти две тысячи лет. Ахмес пишет, что этот документ – «врата в знания обо всем сущеми обо всех неведомых тайнах». Принятое в Египте приближенное значение числа фигурирует в задаче номер 50 папируса Ринда, где идет речь о вычислении площади круглого поля. Ахмес предлагает такое решение: «Отними 1/9 диаметра, а остаток возведи в квадрат». Из этого мы делаем вывод, что египтяне предполагали, что  = 3,16049…, что отличается от точного значения 3,14159… менее чем на 1 процент.

Второе преимущество перед следует из интересной теории о том, что строители учитывали  при проектировании пирамид, даже не зная его точного значения. Эту теорию выдвинул Курт Мендельсон в «Загадке пирамид». Логика Мендельсона такова. Поскольку нет абсолютно никаких свидетельств, что египтяне времен Древнего Царства знали математику на уровне хоть сколько-нибудь выше самого элементарного, присутствие в геометрии пирамид наверняка можно считать следствием не теоретических, а практических строительных приемов. Мендельсон предполагает, что древние египтяне, вероятно, при измерении вертикальных и горизонтальных размеров пользовались разными мерами длины. Похоже, чтобы измерять высоту пирамид (в локтях), они применяли веревки из пальмового волокна, а чтобы измерять длину стороны основания – каталки-барабаны (диаметром в локоть). То есть горизонтальную длину считали в оборотах – можно сказать, в «катальных локтях». Выходит, египетскому зодчему оставалось всего лишь выбрать, сколько локтей в высоту должны построить рабочие на каждый горизонтальный катальный локоть. Поскольку каждый катальный локоть равен локтям (длина окружности с диаметром в 1 локоть), этот метод строительства придал бы параметрам пирамид соотношение , даже если строители не имели бы об этом ни малейшего представления.