Главная
Стюарт Иэн
Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса
Читать онлайн бесплатно

Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса Стюарт Иэн

Сейчас существуют специальные высокоскоростные методы проверки таких чисел, и мы знаем о пяти ошибках Мерсенна. Его числа получаются составными, если р = 67 и 257, и есть три пропущенных им простых числа с р = 61, 89, 107. На сегодня известно 49 чисел Мерсенна. Поиски новых могут считаться хорошей проверкой новых компьютеров, но не имеют практического значения.

Диофант

Мы уже упоминали Диофанта Александрийского в связи с алгебраическими символами, но самое большое влияние на математику он оказал в области теории чисел. Он предпочитал изучать более глобальные вопросы, а не свойства отдельных чисел, хотя его ответы как раз и представляют собой отдельные числа. Например, «найдите три таких числа, чтобы их сумма, а также сумма любых двух из них являлась полным квадратом». Его ответ был 41, 80 и 320.

Для проверки: сумма всех трех 441 = 21².

Сумма каждой пары: 41 + 80 = 11², 41 + 320 = 19² и 80 + 320 = 20².

Одним из самых известных уравнений, решенных Диофантом, является любопытное изложение теоремы Пифагора. Мы можем выразить ее алгебраически: если у прямоугольного треугольника со сторонами a, b, c сторона с – самая длинная, то a² + b² = c². Найдено несколько особенных прямоугольных треугольников, у которых стороны – целые числа. Самым простым и известным является треугольник, у которого стороны a, b, c соответственно равны 3, 4, 5; здесь 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Следующий самый простой пример: 5² + 12² = 13².

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц

На самом деле таких пифагоровых троек бесконечное множество. Диофант нашел все возможные решения с целыми числами, которые мы можем сейчас записать в виде уравнения a² + b² = c². Его метод состоит в том, чтобы взять любые два целых числа и получить разницу между их квадратами, удвоить их произведение и сложить их квадраты. Три таких числа обязательно составляют пифагорову тройку, и все треугольники, полученные таким путем, обеспечат нас возможностью строить по ним другие тройки, если все три числа умножить на одинаковую константу. Например, если взять числа 1 и 2, мы получим знаменитый треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц. Соответственно, поскольку есть бесконечно много способов выбрать эти два числа, существует бесконечное множество пифагоровых троек.

ФермА

После Диофанта теория чисел буксовала целое тысячелетие, пока ею не заинтересовался Ферма, сделавший немало важных открытий. Одна из его самых изящных теорем говорит нам, когда данное целое число n представимо в виде суммы квадратов двух чисел: n = a² + b². Решение находится легко, если n – простое число.

Ферма отметил, что существует три главных вида простых чисел:

а) 2, единственное четное простое;

б) простые числа, которые больше на единицу чисел, кратных 4, такие как 5, 13, 17 и т. д., – все нечетные;

в) простые числа, которые меньше на единицу чисел, кратных 4, такие как 3, 7, 11 и т. д., – тоже нечетные.

ЧЕГО МЫ НЕ ЗНАЕМ О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
Даже в наши дни простые числа не раскрыли всех своих тайн. Две самых известных из них – проблема Гольдбаха и гипотеза о бесконечном числе простых чисел-близнецов.
Христиан Гольдбах – известный математик, состоявший в переписке с Леонардом Эйлером. В письме от 1742 г. он формулирует утверждение о том, что каждое целое число, большее 2, можно представить в виде суммы трех простых. Гольдбах считал 1 простым числом. Сейчас оно таковым не считается, потому мы должны исключить числа 3 = 1 + 1 + 1 и 4 = 2 + 1 + 1. Эйлер сделал гипотезу еще строже: каждое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых. Например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 5 + 5 и т. д. Эта гипотеза подразумевает точность гипотезы Гольдбаха. Эйлер не сомневался в своей правоте, но не смог найти доказательство, и до сих пор такового нет. Проверка на компьютере показывает, что гипотеза верна для всех четных чисел вплоть до 10¹⁸. Лучший известный на сегодняшний день результат получен в 1973 г. Чэнь Цзинжунем с использованием сложных методов анализа. Он доказал, что любое достаточно большое четное число является суммой двух простых или суммой простого и полупростого числа (произведения двух простых).
Гипотеза о простых числах-близнецах намного старше и ведет свое начало со времен Евклида. Она утверждает, что существует бесконечно много пар простых чисел-близнецов р и р + 2. Примеры – 5 и 7 или 11 и 13. Опять-таки, у нас нет ни доказательств, ни опровержений гипотезы. В 1966 г. Чэнь доказал, что существует бесконечно много простых чисел р, для которых и р + 2 являются простыми или полупростыми. На сегодняшний день самой большой из них считается пара 2 996 863 034 895 2^{1 290 000} ± 1, обнаруженная в сентябре 2016 г.

Ферма утверждал, что простое число есть сумма двух квадратов, если оно принадлежит к типу a или б, но не является суммой двух квадратов, если принадлежит к типу в. Например, 37 относится к типу б, так как его можно представить как 4 9 + 1, и 37 = 6² + 1² – это сумма двух квадратов. А 31 = 4 8–1 относится к типу в, и если вы испробуете все возможные способы выразить его как сумму двух квадратов, у вас ничего не получится. (Например, 31 = 25 + 6, где 25 – квадрат, а 6 – нет.)

Вывод таков: число является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда любой его простой делитель вида 4k – 1 имеет четную степень. Используя подобные методы, Жозеф-Луи Лагранж в 1770 г. доказал, что любое положительное целое число есть сумма четырех квадратов целых чисел (включая один или два нуля, если необходимо). Ферма еще раньше говорил об этом, но не представил доказательств.

Одно из самых влиятельных открытий Ферм одновременно оказалось самым простым. Оно известно как Малая теорема Ферма, чтобы отличать ее от Последней (иногда называемой Великой), и утверждает, что если р – любое простое число и а – любое целое число, то а^р – a кратно р. Описанное свойство обычно неверно, когда р составное число, но не всегда.

На доказательство самой знаменитой теоремы Ферма ушло 350 лет. Он сформулировал ее примерно в 1640 г. и заявил, что доказал ее, однако всё, что нам известно о ней, – не более чем короткое примечание. У Ферма имелась собственная копия «Арифметики» Диофанта, вдохновившая его на большинство исследований, и он часто записывал на полях свои мысли. Судя по всему, в какой-то момент он задумался над уравнением Пифагора – сложением двух квадратов, чтобы получить тоже квадрат. Он захотел понять, что получится, если вместо квадратов поставить кубы, но не нашел решения. Та же проблема возникла и с четвертой, и с пятой, и с прочими степенями. В 1670 г. сын Ферма Самуэль опубликовал новую редакцию перевода «Арифметики» Гаспара Баше, в которую вошли и заметки на полях, сделанные Ферма.

ПЬЕР ДЕ ФЕРМА 1601–1665

Пьер Ферма родился в 1601 г. во Франции, в городке Бомон-де-Ломань, в семье торговца кожами Доминика Ферма и Клэр де Лонг, дочери потомственного юриста. К 1629 г. он успел сделать ряд важных открытий в геометрии и методах исчисления, но предпочел карьеру юриста и выкупил должность королевского советника парламента (члена высшего суда) в Тулузе в 1631 г. Так он получил приставку «де» к своему имени. После эпидемии чумы, унесшей жизни многих его предшественников, он быстро сделал карьеру. Уже в 1648 г. он стал членом Палаты эдиктов, где и служил до конца жизни, достигнув в 1652 г. высшей должности – председателя уголовного суда.
Он никогда не стремился к академической карьере, но математика была его страстью. В 1653 г. он заразился чумой, и пошли слухи о его скорой смерти, но он выжил. Он вел активную переписку с другими мыслителями своего времени, особенно с математиком Пьером де Каркави и монахом Мареном Мерсенном.
Он работал в сферах механики, оптики, теории вероятностей и геометрии, а его способ определения максимума и минимума функции проложил дорогу современному дифференциальному исчислению. Он стал одним из ведущих математиков мира, но почти не публиковал свои работы, главным образом из-за нежелания тратить время на их подготовку к печати.
Самое долгое влияние на науку имела его теория чисел, где он подтолкнул многих математиков к поиску доказательств ряда теорем и решения задач. Среди них (неверно названное) уравнение Пелля nx² + 1 = y² и утверждение, что сумма двух кубов, не равных нулю, сама кубом быть не может. Это частное утверждение из более общей гипотезы, Последней теоремы Ферма, где кубы заменили n-й степенью для любой величины n 3.
Ферма скончался в 1665 г., через два дня после того, как вынес очередной приговор.

Одной из них стало известное утверждение, что если n 3, сумма двух чисел в степени n не может быть производным числом в степени n. В приписке на полях говорилось: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки».

Кажется маловероятным, что, даже если это доказательство существовало, оно было корректно. Первым и пока единственным стало доказательство Эндрю Уайлса, найденное в 1994 г. Оно использует сложнейшие абстрактные методы, разработанные только в ХХ в.

После Ферма многие выдающиеся математики трудились над развитием теории чисел, среди них Лагранж и Эйлер. За это время удалось найти доказательство многих из сформулированных, но не доказанных Ферма теорем.

Гаусс

Следующий важный шаг в теории чисел сделал Гаусс, опубликовавший в 1801 г. свой шедевр «Арифметические исследования». Книга сразу обеспечила теории чисел ведущую роль в математической науке. Отныне и впредь она оставалась ключевым компонентом математического мейнстрима. Гаусс в основном занимался собственными, новыми исследованиями, но также сумел заложить основы современной теории чисел и систематизировать идеи предшественников.

Одной из самых важных фундаментальных перемен была простая, но великолепная идея – модульная арифметика. Гаусс открыл новый вид числовой системы, аналогичный целым числам, но отличный в одном важном аспекте: некое определенное число, или модуль, было отождествлено с числом 0. Эта любопытная идея оказалась фундаментальной для нашего понимания свойств делимости обычных целых чисел.

Вот как выглядит идея Гаусса. Для целого числа m числа a и b сравнимы по модулю m, обозначенному так:

a b (mod m),

если разница a b делится на m без остатка. Тогда арифметика по модулю m работает точно так же, как простая арифметика, но теперь мы можем заменить m на 0 на любом этапе вычислений. А значит, любое умножение на число m можно игнорировать.

Чтобы передать дух идеи Гаусса, часто прибегают к выражению «арифметика часов». На часах число 12 можно считать эквивалентным 0, поскольку каждые 12 часов их значения повторяются (для континентальной Европы или военных более привычны 24 часа). Семь часов после шести часов будут обозначаться не 13, а 1 час, и по системе Гаусса 13 1 (mod 12). Модульная арифметика подобна часам, для которых потребуется m часов на прохождение полного круга. Ничего удивительного, что модульная арифметика позволяет исследовать любые объекты, которые меняются по повторяющимся циклам.

«Арифметические исследования» используют модульную арифметику как основу для более глубоких идей, о трех из которых мы упомянем в этой книге.

Значительная ее часть описывает дальнейшее развитие наблюдений Ферма о том, что простые числа вида 4k + 1 являются суммой двух квадратов, а простые числа вида 4k 1 – нет. Гаусс подтвердил этот результат как свойство целых чисел, которые можно записать в виде x² + y², где и x, и y – целые числа. Затем он спрашивает, что получится, если вместо этой формулы мы используем общую квадратичную форму: ax² + bxy + cy²? Его теоремы слишком сложны для того, чтобы обсуждать их здесь, но дают практически полное понимание этого вопроса.

Следующая тема – закон квадратичной взаимности, завороживший и лишивший Гаусса покоя на долгие годы. Отправной точкой стал простой вопрос: как выглядят полные квадраты чисел по заданному модулю? Предположим, что модуль равен 11. Тогда получается последовательность квадратов (для чисел меньше 11):

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100,

откуда, уменьшая (по mod 11), получаем:

0 1 3 4 5 9,

где каждое число, не равное 0, появляется дважды. Эти числа и есть квадратичные вычеты по модулю 11.

КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС 17771855

Гаусс был очень развитым ребенком, даже исправлял арифметические ошибки отца. В 1792 г. на стипендию, положенную ему герцогом Брауншвейгским, Гаусс поступил учиться в престижный Каролинум-колледж. Там он сделал несколько важных математических открытий, в их числе квадратичный закон взаимности и теорема о простых числах, но не сумел их доказать. С 1795 по 1798 г. он обучался в Гёттингене, где нашел способ построения правильного 17-угольнка с помощью циркуля и линейки. Его «Арифметические исследования», один из важнейших трудов по теории чисел, увидели свет в 1801 г.
Публичная репутация Гаусса, несмотря на это, опирается на астрономическое предсказание. В 1801 г. Джузеппе Пиацци открыл первый астероид – Цереру. Его наблюдения были столь неполны, что астрономы боялись не найти небесное тело снова, когда то покажется из-за Солнца. Поэтому многие астрономы взялись предсказать, где Церера появится вновь, в том числе Гаусс. Но прав оказался только он. Фактически Гаусс воспользовался методом, ставшим возможным благодаря его открытию, которое известно в наши дни как метод наименьших квадратов и позволяет получить точные результаты в условиях ограниченных наблюдений. Ученый не опубликовал в свое время этот метод, хотя в итоге он лег в основу статистики и наблюдательных исследований.
В 1805 г. Гаусс женился на Иоганне Остгоф, которую горячо любил, а в 1807 г. перебрался из Брауншвейга в Гёттинген, где стал директором обсерватории. В 1808 г. скончался его отец, следом в 1809 г. родами второго сына умерла Иоганна, а вскоре и их новорожденный малыш.
Несмотря на все эти личные трагедии, Гаусс продолжил исследования и в 1809 г. опубликовал «Теорию движения небесных тел, движущихся в конических сечениях вокруг Солнца», в которой есть положения, до сих пор лежащие в основе вычислений небесной механики. Он женился снова на подруге Иоганны, Минне, но это был брак не по любви, а скорее по расчету.
Примерно в 1816 г. Гаусс составил обзор умозаключений из аксиомы параллельности, отличной от других аксиом Евклида, в которых он придерживается точки зрения, скорее всего, появившейся еще в 1800 г.: о возможности существования логически обоснованной геометрии, отличной от евклидовой.
В 1818 г. ему поручили провести геодезическую съемку Ганновера, в ходе которой он сделал несколько значительных вкладов в методы геодезии. В 1831 г., после кончины Минны, Гаусс вместе с физиком Вильгельмом Вебером приступил к изучению магнитного поля Земли.
Он открыл законы, известные нам как правила Кирхгофа для электрических цепей, и даже собрал пусть и неуклюжий, но вполне работоспособный телеграф. Когда в 1837 г. Веберу пришлось покинуть Ганновер, научная активность Гаусса пошла на спад, хотя он продолжал интересоваться трудами коллег, особенно Фердинанда Эйзенштейна и Георга Бернхарда Римана. Гаусс мирно скончался во сне.

Ответ на этот вопрос лежит в области простых чисел. Если p и q – простые числа, когда q является квадратом по mod p? Гаусс открыл, что если нет способа просто и прямо ответить на этот вопрос, то можно задать другой, имеющий прямое отношение к предыдущему: когда p является квадратом по mod q? Например, приведенный выше перечень квадратичных вычетов показывает, что q = 5 является квадратом по модулю p 11. Также верно и то, что 11 является квадратным модулем 5, потому что 11 1 (mod 5) и 1 1². В общем, ответ на оба вопроса один.

Гаусс доказал, что его квадратичный закон взаимности справедлив для любой пары случайно взятых нечетных простых чисел, за исключением тех вариантов, когда оба можно описать как 4k – 1. Тогда на два вопроса есть два противоположных ответа. Например: для любых случайно взятых простых чисел p и q второе число есть квадрат по mod p тогда и только тогда, когда p есть квадрат по mod q, в случае, если p и q не описываются формулой 4k – 1. Иначе q есть квадрат по mod p тогда и только тогда, когда p не есть квадрат по mod q.

Поначалу Гаусс не подозревал, что это не первое утверждение такого рода: Эйлер уже успел отметить ту же зависимость. Но, в отличие от Эйлера, Гаусс сумел доказать, что оно всегда верно. Доказательство оказалось крайне сложным, и у Гаусса ушло несколько лет на то, чтобы ликвидировать эту небольшую, но ключевую брешь.

ЧТО ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ДАЛА ИМ
Одним из самых ранних применений теории чисел являются шестерни. Если два зубчатых колеса помещены так близко, что зубцы одного входят между зубцами другого, причем у одного m, а у другого n зубцов, то их совместное движение будет зависеть от этих чисел. Например, пусть у одного колеса 30 зубцов, а у другого семь. Если большое колесо совершит ровно один полный поворот, что будет с меньшим? Оно будет возвращаться в исходную позицию после 7, 14, 21 и 28 шагов. Тогда ему потребуются еще два завершающих шага до полных тридцати. Это число – остаток, который получается при делении 30 на 7. Значит, движение колес является механическим воплощением примера на деление с остатком, это и есть основа модульной арифметики.

Антикитерский механизм и его реконструкция

Зубчатые колеса использовали еще древние греки для создания замечательного устройства – антикитерского механизма. В 1900 г. в окрестностях острова Антикитера ловец губок Элиас Стадиатис поднял с глубины 40 м бесформенную окаменелость, датированную примерно 65 г. до н. э. В 1902 г. археолог Валериос Стаис обнаружил, что в камне скрыты остатки зубчатого колеса и что на самом деле это часть сложного бронзового механизма. На нем были выгравированы слова, написанные буквами греческого алфавита. По имевшимся у ученых описаниям и форме объекта удалось определить, что это древний астрономический калькулятор. Он состоял минимум из 30 зубчатых колес (по последней реконструкции 2006 г. их было 37). Количество зубцов соответствовало основным астрономическим соотношениям. В частности, два колеса имели по 53 зубца – не самое простое число для изготовления детали. Оно соответствует частоте появления Луны на самом большом удалении от Земли по ходу ее орбиты. Все простые множители из числа зубцов были взяты из двух главных астрономических циклов: метонического и сароса. Рентгенологическое исследование выявило новые надписи и позволило их прочесть; теперь нет сомнений, что прибор использовался для определения положения Солнца, Луны и, возможно, всех известных тогда десяти планет. Эти надписи датируют 150–100 гг. до н. э.
Антикитерский механизм – сложнейший прибор, и, судя по всему, его создавали на основе теории Гиппарха о движении Луны. Вероятно, здесь не обошлось без участия его учеников. Также возможно, что прибор был игрушкой одного из членов царской семьи – судя по изощренности и дороговизне исполнения.

Третья важная тема «Исследований» – то самое открытие, которое подтолкнуло 19-летнего Гаусса посвятить всю свою жизнь математике: геометрическое построение правильного семнадцатиугольника (многоугольника с 17 сторонами). Евклид, использовавший линейку и циркуль, описал построение правильных многоугольников с тремя, четырьмя, пятью и пятнадцатью сторонами; он также знал, что эти числа сторон можно последовательно удваивать делением углов пополам, получая правильные многоугольники с шестью, восемью, десятью сторонами и т. д. Но Евклид не сумел построить многоугольники с семью или девятью сторонами – по сути, ни для одного числа, отличного от перечисленных выше. И на протяжении почти 2000 лет математики считали, что последнее слово осталось за Евклидом и невозможно построить иные правильные многоугольники. Гаусс опроверг это убеждение.

Легко заметить, что проблема в построении правильных p-угольников возникает, когда p – простое число. Гаусс указал, что построение такой фигуры подобно решению алгебраического уравнения:

x^p^{– 1} + x^p^{– 2} + x^p^{– 3} + … + x² + x + 1 = 0.

Теперь, благодаря геометрии координат, построение с помощью линейки и циркуля может быть рассмотрено как последовательность квадратных уравнений. Если построение такого рода существует, оно следует правилу (несовсем тривиально), что p – 1 должно быть степенью 2.

Варианты древних греков, где p = 3 и p = 5, удовлетворяли этому условию: здесь p – 1 равно 2 и 4 соответственно. Но не только эти два простых числа удовлетворяют условию. Например, 17 – 1 = 16, тоже степень 2. Это еще не доказывает, что 17-угольник возможно построить, но дает серьезную зацепку, и Гауссу удалось найти блестящий способ сократить уравнение 16-й степени до последовательности квадратных уравнений. Он утверждал, хотя и не сумел доказать, что построение возможно для любого числа сторон p, если p – 1 составляет степень 2 (по-прежнему с условием, что p – простое число), и построение невозможно для всех других простых чисел. Доказательство вскоре было найдено другими учеными.

Эти особенные простые числа получили название чисел Ферма, потому что именно он их изучил. Он отметил, что если p – простое число и p – 1 = 2^k, то k само должно быть степенью 2. Он составил первую последовательность простых чисел Ферма: 2, 3, 5, 17, 257, 65 537. Он предположил, что числа вида 2²^m + 1 всегда простые, но это оказалось ошибкой. Эйлер открыл, что когда m = 5, то оно имеет множитель, равный 641.

МАРИ-СОФИ ЖЕРМЕН 1776–1831

Софи Жермен была дочерью торговца шелком Амбруаза-Франсуа Жермена и Мари-Мадлен Грюлин. В 13 лет она прочла о том, как Архимеда убил римский солдат за то, что ученый пытался защитить свои чертежи на песке, и твердо решила стать математиком. Несмотря на все усилия родителей, из лучших побуждений пытавшихся ее отговорить, – в те времена математика была не лучшим занятием для юной девушки, – она прочла все труды Ньютона и Эйлера под одеялом по ночам. Наконец родители сдались перед таким упорством и стали ей помогать, обеспечив на всю жизнь финансовую поддержку. Ей удалось получить конспекты лекций Парижской политехнической школы, и она отправила Лагранжу письмо с изложением ряда своих работ под псевдонимом мсье Леблан. Лагранж был впечатлен ее талантом и вскоре выяснил, что автор письма – женщина. Нисколько не смутившись, он с радостью стал ее наставником и покровителем. Они плодотворно работали вместе, и некоторые результаты этих трудов были включены позже в труд Лежандра «Опыт теории чисел» («Essai sur le Thorie des Nombres», 1798).
Самым прославленным из ее собеседников был Гаусс. Софи изучила «Арифметические исследования» и с 1804 по 1809 г. создала целый ряд писем их автору, снова скрывая свой пол под псевдонимом Леблан. Гаусс давал высокую оценку работам Леблана в письмах другим ученым. В 1806 г., когда французы оккупировали Брауншвейг, он обнаружил, что на самом деле мсье Леблан – женщина. Устрашившись того, что Гаусса может постичь участь Архимеда, Софи обратилась за помощью к старинному другу ее семьи, одному из высокопоставленных чинов во французской армии генералу Пернети. Гауссу стало известно об этом ходатайстве, и тогда он узнал, что Леблан и есть Софи.
Но Софи тревожилась напрасно. На Гаусса новость подействовала ошеломляюще, и он написал ей: «Но как передать мой восторг и трепет при открытии, что мой досточтимый корреспондент, мсье Леблан, чудесным образом преобразился в столь поразительное создание… Женщина из-за своего пола и наших предрассудков встречается со значительно более трудными препятствиями, чем мужчина, постигая сложные научные проблемы. Но когда она преодолевает эти барьеры и проникает в тайны мироздания, она несомненно проявляет благородную смелость, исключительный талант и высшую гениальность».
Софи получила ряд результатов в работе над Великой теоремой Ферма, и никто не сумел ее превзойти в этом вплоть до 1840 г. С 1810 по 1820 г. она работала над законами колебаний упругих пластинок и за свой труд получила медаль Французской академии наук. В частности, объявленный Академией конкурс касался так называемых фигур Хладни. Эти неожиданные узоры образуются при вибрации покрытых песком металлических пластинок под действием скрипичного смычка. Хотя и с третьей попытки, но в итоге Софи получила золотую медаль, однако по неизвестным причинам – возможно, в знак протеста из-за несправедливого отношения к ней как к женщине – не явилась на церемонию награждения.
В 1829 г. у Софи развился рак груди, но она продолжила исследования по теории чисел и кривизне поверхностей. Через два года ее не стало.

Далее можно предположить, что существует возможность построить с помощью линейки и циркуля многоугольники с 257 и 65 537 сторонами. В 1832 г. Фридрих-Юлиус Ришло построил многоугольник с 257 сторонами, и его работа не содержит ошибок. Иоганн Гермес десять лет посвятил тому, чтобы построить многоугольник с 65 537 сторонами, и добился успеха в 1894 г. Однако недавние исследования показали, что он ошибся.

Теория чисел становится интересной с точки зрения математики благодаря работам Ферма, открывшего многие закономерности в странном и сложном поведении простых чисел. Но его раздражающее пренебрежение доказательствами своих открытий пришлось компенсировать Эйлеру, Лагранжу и ряду менее значительных ученых, за единственным исключением Великой теоремы. Однако теория чисел в основном как раз и состояла из таких теорем – подчас поражающих своей глубиной и сложностью, но практически не связанных между собою.

ЧТО ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ДАЕТ НАМ
На теории чисел основаны многие коды безопасности, применяемые в интернет-торговле. Самый известный из них – криптосистема RSA (Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман), обладающая уникальной особенностью: зашифрованные сообщения могут быть посланы публично, при этом нет возможности провести обратную процедуру, т. е. дешифровку.
Предположим, Алиса собралась отправить тайное послание Бобу. Предварительно они условились о том, какое значение будут иметь большие простые числа p и q (каждое должно состоять по меньшей мере из 100 знаков), и перемножили их, чтобы получить M = pq. При желании они даже могут обнародовать это число. Также они вычисляют K = (p 1)(q 1), но этот результат держат в секрете.
Теперь Алиса представляет свое послание как число x в пределах от 0 до M – 1 (или последовательность таких чисел, если послание длинное). Для кодирования она выбирает число a, не имеющее общих множителей с K, и вычисляет y = –x^a (mod M). Число a должно быть известно Бобу, его также можно не скрывать.
Чтобы расшифровать сообщение, Бобу необходимо знать b, удовлетворяющее условию ab 1 mod K. Это число (которое существует и уникально) держится в тайне. Чтобы расшифровать y, Боб вычисляет:
y^b (mod M).
Почему это можно дешифровать? Потому что
y^b (x^a)^b x^ab x¹ x (mod M),
согласно обобщению Малой теоремы Ферма, сделанному Эйлером.
Этот метод вполне практичен, поскольку существуют эффективные тесты для поиска больших простых чисел. Но пока нет действенного способа искать простые множители для больших чисел. А значит, даже зная произведение pq, посторонний не сможет вычислить p и q, а без этого невозможно найти значение b – ключ ко всему шифру.

Ситуация кардинально изменилась, когда за дело взялся Гаусс и открыл общие концептуальные основы теории чисел, такие как модульная арифметика. Также своими исследованиями свойств правильных многоугольников он связал теорию чисел с геометрией. С этого момента теория чисел превратилась в заметную нить на пестром ковре математики.

Интуиция Гаусса привела математиков к открытию принципиально новых структур – новых числовых систем, таких как целые исла по mod n, а также математических действий, таких как композиция квадратичных форм. Благодаря новым открытиям теория чисел конца XVIII – начала XIX в. породила абстрактную алгебру конца XIX – начала XX в. Математики уже не боялись выходить за рамки привычных концепций и структур в своих исследованиях. Несмотря на узкоспециализированную тему, «Арифметические исследования» стали значительной вехой на пути создания современного подхода к математике в целом. И это одна из причин, почему математики так высоко оценивают роль Гаусса.

Вплоть до конца XX в. теория чисел пребывала в рамках чистой математики – любопытная сама по себе, с многочисленными способами приложения к собственно математическим исследованиям. Но она всё еще не играла особой роли для остального мира. Однако всё изменилось с момента изобретения цифровой связи в конце XX в. Как только она стала полностью зависеть от чисел, теория чисел предсказуемо оказалась на переднем крае. Чтобы хорошая математическая идея обрела практическое значение, могут уйти годы – а иногда даже сотни лет, – но рано или поздно любая область, некогда считавшаяся важной только среди математиков, находит дорогу в реальный мир и занимает там подобающее ей место.

Глава 8. Система мира

Изобретение исчисления

Самым значительным прорывом в истории математики можно считать исчисление, независимо открытое примерно в 1680 г. Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем. Лейбниц первым опубликовал свой труд, но Ньютон – подталкиваемый патриотично настроенными друзьями – заявил о своем первенстве и обвинил Лейбница в плагиате. Этот конфликт почти на 100 лет разорвал связи между английскими математиками и учеными с континента, и в итоге в проигрыше оказались англичане.

Система мира

Хотя Лейбниц скорее мог бы претендовать на первенство в открытии исчисления, Ньютон превратил его в главную технику зарождающейся отрасли науки – классической физики, позже ставшей главным инструментом в познании человечеством мира природы. Сам Ньютон назвал свою теорию «Система мира». Пожалуй, звучит не очень скромно, зато точно определяет предмет. До Ньютона представления людей о законах природы в основном исходили из идей Галилея о движении тел, в частности параболической траектории полета пушечного ядра, а также открытой Кеплером эллиптической формы орбиты Марса в небесах. После Ньютона математические формулы пронизали почти все области физического мира: движение земных и небесных тел, потока воздуха и воды, передачи тепла, света, звука, силу тяготения.

Тем более любопытно, что в главном опубликованном Ньютоном труде, «Математические начала натуральной философии», исчисление не упоминается вообще. Он посвящен изящному применению геометрии в стиле, заданном древними греками. Но внешность порой обманчива: неопубликованные документы, известные как «Портсмутские бумаги», доказывают, что во время работы над «Началами» Ньютон сформировал представление об идее исчисления. Очень похоже, что ученый использовал методы исчисления в большинстве своих открытий, однако предпочел не распространяться о них. Его наработки были опубликованы уже после его смерти, в книге «Метод флюксий и бесконечных рядов», в 1732 г.

Исчисление

Что такое исчисление? Метод, изобретенный Ньютоном и Лейбницем, проще понять, ознакомившись с более ранними идеями. Исчисление – это математика мгновенных изменений: насколько быстро изменяется определенная величина в это самое мгновение. Вот пример из физики: поезд движется по рельсам; как быстро он едет прямо сейчас? Исчисление делится на две главные ветви. Дифференциальное исчисление обеспечивает методы измерения скорости изменений и в большинстве случаев приложимо к геометрии, в частности при нахождении касательных к кривым. Интегральное исчисление подразумевает противоположное действие: исходя из скорости изменения некой величины, оно позволяет найти саму величину. Геометрические приложения интегрального исчисления включают способы вычисления площадей и объемов. Пожалуй, самым значительным открытием как раз и стала эта неожиданная связь между двумя внешне независимыми геометрическими вопросами: нахождение касательных к кривым и нахождение площадей.

Геометрический смысл производной

Исчисление неразрывно связано с функциями – действиями, когда берется некое исходное число и определяется другое, связанное с ним. Как правило, такое действие описывается формулой, где данному числу, обозначенному как x (возможно, с некими дополнительными условиями), вводится в соответствие число f(x). В качестве примеров можно привести функцию квадратного корня f(x) = x (в этом случае x должно быть неотрицательным числом) и квадратную функцию f(x) = x² (в этом случае для x нет никаких условий).

Первой ключевой идеей исчисления является дифференцирование, т. е. взятие производной функции. Производная – это скорость изменения функции f(x), сравниваемая с изменением x, т. е. скорость изменения f(x) относительно x.

Геометрически скорость изменения – это тангенс угла наклона графика f в точке х. К нему можно приблизиться, определив угол наклона секущей – линии, пересекающей график в двух наиболее близких точках, соответствующих x, и x + h, где h невелико. Угол наклона секущей равен:

Теперь предположим, что h – очень малая величина. Тогда секущая приблизится к касательной на графике в точке x. Так что в определенном смысле необходимый угол наклона – производная f в точке x – будет пределом для этого выражения, поскольку h становится сколько угодно малым.

Попробуем произвести это вычисление для простого примера, f(x) = x². Получаем:

А поскольку h становится всё меньше, угол наклона 2x + h всё ближе к 2x. Производная f – это функция g, равная g(x) = 2x.

Здесь главный концептуальный вопрос в том, что мы подразумеваем под пределом. У математиков ушел почти век на то, чтобы дать ему логичное определение.

Другой ветвью исчисления стало интегральное. Этот процесс проще всего представить как обратный дифференцированию. Интеграл g, описанный формулой

является любой функцией f(x), производная которой – g(x). Например, поскольку производная f(x) = x² есть g(x) = 2x, интеграл от g(x) = 2x равен f(x) = x².

Необходимость в исчислении

Толчок к изобретению исчисления дали два направления. В области чистой математики дифференциальное исчисление эволюционировало из методов поиска касательной к кривой, а интегральное исчисление – из методов расчета площадей плоских фигур и объемов тел. Но главный стимул для исчисления пришел от физиков – в связи с укреплявшимся убеждением в том, что природа имеет свои законы. По причинам, до сих пор не полностью нам понятным, большинство фундаментальных законов природы включают в себя переменные. А значит, их можно исследовать и понять только с помощью исчисления.

В эпохи, предшествовавшие Возрождению, самую точную модель движения Солнца, Луны и планет удалось создать Птолемею. В его системе Земля оставалась неподвижной, а все остальные тела – в частности, Солнце – вращались вокруг по некоему набору (реальных или воображаемых – на усмотрение рассуждающего) окружностей. Последне преобразовались в сферы в работах древнегреческого астронома Гиппарха. Его сферы вращались вокруг гигантских осей, часть из которых были связаны с другими сферами и двигались по ним. Этот вид взаимосвязей казался необходимым для моделей планетарных орбит. Причем некоторые планеты, такие как Венера, Меркурий и Марс, на первый взгляд имели сложные орбиты, включавшие петли. Другие – Юпитер и Сатурн (остальные планеты тогда еще не были открыты) – вели себя более прилично, но даже они временами выкидывали странные штуки, известные еще древним вавилонянам.

Мы уже обсуждали систему Птолемея, известную как эпициклы, где окружности заменяли сферы, но сохранялась единая схема движения. Модель Гиппарха не была достаточно точной по сравнению с фактическими наблюдениями, а модель Птолемея отлично отражала все данные астрономов. Это сделало ее единственно «верной» на тысячу лет. Его труды, переведенные на арабский язык в «Альмагесте», служили астрономам многих культур.

Вера против науки

Но даже «Альмагест» не отражал всех передвижений планет. Вдобавок он был довольно сложен. Примерно в 1000 г. н. э. некоторые арабские и европейские мыслители стали задаваться вопросом, не следует ли объяснить дневное движение Солнца вращением Земли, а кое-кто даже пошел дальше и предположил, что Земля сама вращается вокруг Солнца. Но в то время эти идеи так и остались домыслами.

В эпоху Возрождения научный подход к описанию мира всё больше укоренялся среди передовых мыслителей, и во многом причиной тому были сами религиозные догмы. В то время католическая церковь безраздельно владела умами приверженцев и диктовала им свой взгляд на устройство Вселенной. И дело было не только в том, что христианскому богу приписывалось как само ее сотворение, так и всё, что происходило в ней каждый день. Церковь считала, что единственно верное толкование законов природы можно искать только в Библии, в буквальном смысле. Земля должна была считаться центром всего, непоколебимой основой, вокруг которой вращаются небеса. А человек, как вершина творения, провозглашался причиной создания остальной Вселенной.

Ни одно научное наблюдение не показало до сих пор признаков существования невидимого, непознаваемого творца. Но те же наблюдения поколебали убеждения в том, что Земля – центр Вселенной. И это стало причиной великого противостояния, в котором лишились жизни многие невинные люди, причем зачастую самыми жестокими и варварскими способами.

ИОГАНН КЕПЛЕР 1571–1630

Кеплер родился в семье наемника и дочери трактирщика. Когда в 18 лет он остался без отца (скорее всего, тот погиб в войне между Нидерландами и Священной Римской империей), им с матерью пришлось перебраться к деду, в его трактир. Юноша очень рано продемонстрировал математические способности и в 1589 г. был принят стипендиатом для занятий астрономией под руководством Михаэля Мёстлина в Университете Тюбингена. Здесь он досконально изучил систему Птолемея. В тот период астрономов больше интересовало точное вычисление орбит всех планет, никто не задавался общими вопросами о том, почему они движутся так, а не иначе. Но Кеплера с самого начала завораживали незримые тропы, по которым перемещаются небесные тела, а не предсказуемые сочетания эпициклов. Как только ему удалось познакомиться с системой Коперника, Кеплер поверил, что это и есть единственно верная идея, а не только математическая уловка.
Работа с Браге. В своей книге «Тайна мироздания» (Mysterium Cosmographicum, 1596) Кеплер попытался сопоставить орбитам пяти известных тогда планет (сферу Земли он выделял особо) различные платоновы тела (правильные многогранники). Эта странная модель не идеально сочеталась с фактическими наблюдениями, и Кеплер написал ведущему астроному Тихо Браге. Тот взял его к себе помощником по математической части, чтобы вычислить точную орбиту Марса. После смерти Браге Кеплер продолжал работу над этой проблемой. Браге оставил множество данных, и Кеплер, не жалея сил, пытался уложить их в разумную орбиту. Свой труд, под конец занявший около тысячи страниц, он называл «моей войной с Марсом». Полученная им орбита оказалась настолько точной, что расхождение с современными данными составляет всего несколько минут, накопившихся за прошедшие столетия.
Трудные времена. 1611-й был плохим годом. У Кеплера умер семилетний сын. Следом ушла жена. Император Рудольф, не притеснявший протестантов, отрекся от престола, и Кеплеру пришлось покинуть Прагу. В 1613 г. он женился во второй раз, и вопрос, который возник у него во время свадебных торжеств, привел к написанию книги «Новая стереометрия винных бочек» (1615).
В 1619 г. ученый опубликовал продолжение «Тайны мироздания». Эта книга отражает богатство новой математики, в ней много рисунков, похожих на плиточные узоры, а также многогранников. Во время работы над книгой ему сообщили, что его мать обвинили в колдовстве. При помощи факультета права Университета Тюбингена женщину удалось освободить, отчасти благодаря тому, что дознаватели не успели прибегнуть к предписанным в таком случае пыткам.

Коперник

Масла в огонь подлили в 1543 г., когда польский ученый Николай Коперник опубликовал поразительную, оригинальную и в чем-то еретическую книгу «О вращении небесных сфер». Как и Птолемей, для точности он использовал эпициклы. В отличие от Птолемея, в центр он поместил Солнце, а все остальные небесные тела, в том числе Земля (за исключением Луны), вращались вокруг него. Только Луна ходила вокруг Земли.

Главная причина такого радикального предположения Коперника была вполне прагматичной: вместо 77 эпициклов Птолемея у него оставалось всего 34. Среди эпициклов Птолемея встречалось много повторяющихся окружностей: то и дело обнаруживались фигуры одного и того же размера и скорости вращения, описывающие многие отдельные тела. Коперник обнаружил, что если все эти эпициклы приписать Земле, достаточно всего одного из них. Сейчас мы интерпретируем это в терминах движения планет относительно Земли. Если мы ошибочно предположим, что Земля неподвижна, как может показаться неискушенному наблюдателю, то ее движение вокруг Солнца как раз и придется переносить на другие планеты при помощи того самого дополнительного эпицикла.

Еще одним преимуществом теории Коперника стало то, что он придал всем планетам равный статус. Птолемею понадобились различные механизмы, чтобы описать движение планет, внутренних и внешних. Теперь же единственным отличием оставалось то, что внутренние планеты ближе к Солнцу, чем Земля, а остальные – дальше. Всё это выглядит очень логично и стройно – но было безоговорочно отвергнуто всеми учеными по многим причинам, не только религиозным.

Теория Коперника оказалась сложной, непривычной, а его книга – трудной для прочтения. Тихо Браге, один из лучших астрономов того времени, обнаружил несовпадения между гелиоцентрической теорией Коперника и отдельными мелкими данными, не совпадавшими и с теорией Птолемея. Он попытался найти разумный компромисс.

Кеплер

Когда Браге умер, его научное наследие досталось Кеплеру, который потратил многие годы на поиск закономерностей в изобилии данных. Кеплер был последователем мистической пифагорейской традиции и пытался притянуть к имевшимся у него данным откровенно искусственные объяснения. Самой известной из этих бесплодных попыток найти закономерности в небесах стало его изящное, но ошибочное описание пространственного расположения планет с точки зрения платоновых тел. В его время ученым были известны шесть планет: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер и Сатурн. Кеплер задался вопросом, нельзя ли описать расстояния от них до Солнца с помощью геометрической модели. Более того, он задумался, почему планет именно шесть. Он обнаружил, что они явно оставляют место еще для пяти промежуточных форм, а поскольку геометрия описывала ровно пять правильных тел, это и ограничивает число планет шестью. Он предложил для них шесть сфер, где каждая несет орбиту на своем экваторе. А между ними, точно снаружи от одной сферы и внутри следующей, он разместил пять правильных тел в таком порядке:

Все числа хорошо совпадали, особенно если учесть ограниченные возможности астрономов того времени. Но существовало 120 различных способов разместить пять правильных тел, так что пространство в промежутках могло иметь разные размеры. Ничего удивительного, что один из этих вариантов оказался поразительно близок к реальности. Позже открытие новых планет нанесло роковой удар по всей теории, превратив ее в очередную тупиковую ветвь.

Теория Кеплера о расположении планетарных орбит

Однако в ходе своих исследований Кеплер открыл несколько законов, благодаря которым мы заслуженно считаем его гением. Эти законы Кеплера ученый установил интуитивно, исходя из анализа данных, собранных Тихо Браге. Вот как они звучат.

1. Все планеты Солнечной системы обращаются по эллипсам.

2. За равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет.

Движение планеты за равный промежуток времени

Самой оригинальной чертой работы Кеплера был отказ от классической окружности (якобы единственно возможной самой совершенной формы) в пользу эллипса. Этот шаг дался ученому с большим трудом, только когда он твердо убедился, что всё остальное не удовлетворяет его требованиям. У Кеплера не было оснований надеяться, что три закона будут точнее отражать реальность, чем гипотеза, основанная на платоновых телах, но это случилось. Три закона Кеплера имеют неоценимое значение для науки.

Галилей

Следующей выдающейся фигурой той эпохи стал Галилео Галилей, открывший математические формулы движения маятника и падающих тел. В 1589 г., занимая должность профессора математики в Пизанском университете, он проводил эксперименты по качению шара по наклонной плоскости, но не опубликовал результаты. Однако именно тогда он осознал важность контролируемого эксперимента для изучения законов природы: эта идея стала фундаментальной для науки. Он занимался астрономией и сделал несколько важных открытий, побудивших его признать теорию Коперника о гелиоцентрической планетарной системе. Это обострило его отношения с церковью, обвинившей ученого в ереси и посадившей под домашний арест.

В последние годы жизни, уже окончательно ослабев здоровьем, Галилей создал «Беседы и математические доказательства двух новых наук», где объясняется его работа по движению тел на наклонных плоскостях. Он утверждал, что расстояние, на которое прокатится с постоянным ускорением изначально неподвижное тело, пропорционально квадрату времени. Основой его закона стало более раннее открытие, что снаряд летит по параболе. В сочетании с законами Кеплера о движении планет это заложило основу новой области науки – механики, математического описания движения тел.

Вот так и вышло, что физико-астрономические предпосылки привели ученых к исчислениям. Далее мы познакомимся с их математической основой.

Изобретение исчисления

Изобретение исчисления стало результатом более ранних исследований внешне не связанных проблем, обладавших скрытыми общими чертами. Сюда входит определение мгновенной скорости движения объекта в любой заданный момент, определение касательной к кривой, измерение длины кривой, определение максимального и минимального значения переменных величин, нахождение площади любой фигуры на плоскости и объема любого тела в пространстве. Ряд важных идей и примеров были разработаны Ферма, Декартом и не столь известным англичанином, Исааком Барроу, но методы решения по-прежнему оставались частными для каждой отдельной задачи. Требовался обобщенный поход.

ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЙ 1564–1642

Галилео был сыном Винченцо Галилея, преподавателя музыки, использовавшего эксперименты со струнами для подтверждения своей теории. В десять лет Галилео отдали на обучение в монастырь Валломброза с перспективой сделать его медиком. Но он не интересовался медициной и всё свое время посвящал математике и натуральной философии, которую позже мы назовем естественной наукой.
В 1589 г. Галилео занял пост профессора в Пизанском университете. В 1591 г. его пригласили на более высокооплачиваемое место в Университете Падуи, где он преподавал евклидову геометрию и астрономию студентам-медикам. В то время врачи широко прибегали к астрологии для лечения пациентов, и обе науки являлись обязательной частью программы обучения.
Узнав об изобретении телескопа, Галилео собрал для себя такой прибор. Он настолько поднаторел в этом, что поделился своими наработками с Венецианским сенатом, пообещав ему эксклюзивные права на прибор в обмен на повышение гонораров. В 1609 г. Галилей постоянно наблюдал за небом, и одно открытие следовало за другим: четыре луны Юпитера, отдельные звезды внутри Млечного Пути, горы на Луне. Козимо де Медичи, великий герцог Тосканы, был так впечатлен телескопом, что сделал Галилея своим первым математиком.
Он открыл существование пятен на Солнце и опубликовал свое открытие в 1612 г. К этому моменту собственные астрономические открытия убедили ученого в правоте теории Коперника, и в 1616 г. он публично выразил свое мнение в письме великой герцогине Кристине Лотарингской, утверждая, что теория Коперника отражает физическую реальность и это не просто практический способ упростить подсчеты.
На этот раз папа Павел V издал приказ инквизиции установить, верна или фальшива гелиоцентрическая теория, и инквизиторы признали ее ложью. Галилею приказали отказаться от теории, но на престол взошел новый папа, Урбан VIII, казавшийся более терпимым к этому открытию, и Галилей пренебрег запретом. В 1623 г. он опубликовал работу «Пробирных дел мастер» (итал. «Il Saggiatore»), посвятив ее Урбану. В этом труде мы находим его знаменитое утверждение, что Вселенная «написана на языке математики, и знаки ее – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых нельзя понять ни единого из стоящих в ней слов и остается лишь блуждать в темном лабиринте».
В 1630 г. Галилей испросил позволения опубликовать новую книгу, «Диалог о двух системах мира», – сравнительный анализ геоцентрической и гелиоцентрической теорий. Когда в 1632 г. пришло разрешение на публикацию из Флоренции (но не из Рима!), он издал книгу. В ней утверждалось, что главным доказательством движения Земли являются морские приливы. Теория Галилея о приливах оказалась ошибочной, но церковные иерархи сочли этот труд настоящей бомбой под своей властью. Инквизиция запретила книгу, а Галилея призвали в Рим, на суд по обвинению в ереси. Ученого признали виновным, но пожизненное заключение заменили домашним арестом. Ему повезло по сравнению со многими другими еретиками, для которых сожжение у столба стало обычным наказанием. Под домашним арестом Галилей создал «Беседы», в которых изложил свою теорию движения небесных тел. Ее контрабандой удалось вывезти из Италии и напечатать в Голландии.

Лейбниц

Первый прорыв в этой области сделал Готфрид Вильгельм Лейбниц, юрист по профессии, посвятивший практически всю жизнь математике, логике, философии, истории и многим другим отраслям науки. Примерно в 1673 г. он начал работу над классической проблемой проведения касательной к кривой и обнаружил, что это обратная сторона проблемы измерения площадей и объемов. Последняя требовала найти кривую по заданной касательной, а первая подразумевала в точности обратное действие.

Воспользовавшись этой связью, в итоге Лейбниц сумел открыть то, что мы называем интегралами, используя сокращение omn (сокр. оmnia, лат. «всё»). В его бумагах можно найти такие формулы:

К 1675 г. он уже заменил omn на знак , используемый и по сей день и представляющий собой вытянутую букву s, обозначающую сумму. Он работал с понятиями бесконечно малых приращений dx и dy для величин x и y и использовал их соотношение dy/dx для определения скорости изменения y как функции x. Получается, что если f – это функция, Лейбниц мог написать:

dy = f(x + dx) – f(x),

таким образом,

что и является обычной аппроксимацией секущей угла наклона касательной.

Лейбниц обнаружил, что это определение имеет свои недостатки. Если dy и dx не равны нулю, соотношение dy/dx будет не мгновенной скоростью изменения y, а лишь приближенным значением. Он попытался обойти эту проблему, предположив, что dy и dx – бесконечно малые числа. Бесконечно малым считается число, не равное 0, но меньшее, чем любое другое число, не равное 0. К несчастью, сразу ясно, что таких чисел не существует (половина от бесконечно малого тоже будет не равна 0 и будет еще меньше), и такой подход – не что иное, как игнорирование проблемы.

К 1676 г. Лейбниц знал, как интегрировать и дифференцировать любую степень x, составив формулу

dxⁿ = nxⁿ ^{– 1}dx,

которую сейчас мы пишем так:

В 1677 г. он вывел правила дифференцирования суммы, произведения и частного для двух функций, а к 1680-му – формулу длины дуги кривой и объема тела вращения как интегралов от различных связанных величин.

Нам известны все эти факты, а также относящиеся к ним даты из его неопубликованных записок, но впервые свои идеи о методах исчисления он опубликовал намного позже, в 1684 г. Якоб и Иоганн Бернулли сочли эти записи туманными, назвав их «скорее загадкой, чем объяснением». Но теперь понятно, что к тому моменту Лейбниц успел открыть значительную часть основ исчисления, с возможностью применить их для таких сложных кривых, как циклоида, и приблизиться к пониманию таких концепций, как кривизна. К несчастью, его записки слишком отрывочны и не поддаются прочтению.

Ньютон

Еще одним создателем методов исчисления считается Ньютон. Двое его друзей, Исаак Барроу и Эдмунд Галлей, отдавали должное таланту ученого и убеждали в необходимости опубликовать его труды. Ньютон же очень плохо переносил критику и когда в 1672 г. издал свои исследования природы света, то услышал много нелестного о своей работе, что надолго отбило у него охоту предавать огласке свои открытия. Но эпизодически он всё же отваживался издать некоторые работы и даже написал две книги. А для себя Ньютон продолжал развивать свои идеи о тяготении, и в 1684 г. Галлей снова попытался уговорить его опубликовать эти труды. Но для этого, помимо страха перед критикой, существовало и техническое препятствие. В своих рассуждениях ученый был вынужден объявить планеты точечными частицами с массой, не равной 0, но нулевыми размерами, что не соответствовало действительности и заведомо привлекло бы к нему нежелательное внимание критиков. Он хотел бы заменить эти невероятные точки на сферические тела, но не мог доказать, что силы взаимного тяготения между сферами такие же, как и между предельно малыми точками с равной массой.

Только в 1686 г. Ньютону удалось заполнить этот пробел, и в 1687 г. свет увидели «Математические начала натуральной философии». Они содержали множество свежих идей. Самыми важными стали математические формулы законов движения, расширяющие работы Галилея, и тяготения, основанные на законах Кеплера.

Главный закон движения по Ньютону (есть и дочерние, следующие из него) утверждал, что сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение. Иными словами, скорость является производной от положения тела, а ускорение – производная от скорости. Значит, даже для выражения закона Ньютона нам не обойтись без второй производной положения тела относительно времени, что в современном написании выглядит так:

Только Ньютон вместо этого над x ставил две точки: .

Закон тяготения утверждает, что все материальные частицы притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Так, сила тяготения между Землей и Луной станет сильнее в четыре раза, если Луна будет ближе к Земле в два раза, или в девять, если расстояние уменьшится втрое. И снова, поскольку речь идет о воздействии силы, здесь имеется вторая производная.

Ньютон вывел свой закон из трех законов Кеплера о движении планет. Опубликованный им труд стал высшим достижением классической евклидовой геометрии. Ньютон сознательно избрал этот способ подачи материала, поскольку тот был основан на знакомых математических понятиях, а значит, менее уязвим для критиков. И всё же многие аспекты «Начал» появились на свет исключительно благодаря неопубликованным методам исчисления, открытым Ньютоном.

Среди первых его работ в этой области есть статья под названием «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», которую он распространил среди немногочисленных друзей в 1669 г. В современной терминологии он задается вопросом, как будет выглядеть уравнение для функции f(x), если площадь под графиком равна x^m. (На самом деле вопрос касался более общих явлений, но давайте упростим.) К своему полному удовлетворению, он пришел к выводу, что ответ будет: f(x) = mx^m ¹.

ИСААК НЬЮТОН 1642–1727

Ньютон рос на ферме в небольшой деревушке Вулсторп в графстве Линкольншир. Его отец скончался за два месяца до его рождения, и мать одна управлялась на ферме. Исаака отправили учиться в ближнюю школу, где он не выделялся особыми талантами, разве что отлично умел мастерить механические игрушки. Однажды он наполнил надувной шар горячим воздухом и испытал это средство воздухоплавания, посадив вместо пилота своего кота. Ни шар, ни кота никто больше не видел. Исаак поступил в Тринити-колледж в Кембриджском университете, где вполне успешно обучался по всем предметам – за исключением геометрии. Студентом он не производил впечатления будущего светила науки.
Чума
Позже, когда в 1665 г. великая эпидемия чумы опустошила Лондон и окрестности, студентов поспешно разослали по домам, пока мор не дошел до Кембриджа. Вернувшись на родительскую ферму, Ньютон стал серьезнее относиться к науке в целом и в частности к математике.
Тяготение
В 1665–1666 гг. он вывел свой закон тяготения, объясняющий движение планет, развил законы механики, чтобы проанализировать движения любого рода для всех физических тел, изобрел дифференциальное и интегральное исчисления, совершил важные открытия в оптике. Что характерно, он не спешил публиковать свои труды, но как ни в чем не бывало вернулся в колледж, получил степень магистра и стал членом Тринити-колледжа. Затем его избрали на должность Лукасовского профессора математики, а в 1669 г. подал в отставку предыдущий профессор, Барроу. Ньютон не прославился как преподаватель, на его лекциях было мало студентов.

Подход Ньютона к вычислению производных в основном напоминает подход Лейбница, только вместо dx он использовал o, а значит, его метод грешил той же логической проблемой: он давал приблизительный результат. Однако Ньютону удалось показать: если принять о за бесконечно малую величину, приближение станет намного точнее. И когда мы дойдем до предела, где o станет такой малой, какой нам угодно, ошибка исчезнет. Поэтому Ньютон утверждал, что его результат точен. Он избрел новое слово «флюксия», чтобы подчеркнуть главную идею: величина стремится к 0, но никогда не достигает его.

В 1671 г. он создал более обширный труд, «Метод флюксий и бесконечных рядов». Первая книга, посвященная исчислению, так и не была опубликована вплоть до 1711 г., вторая увидела свет в 1736 г. Однако несомненно, что уже к 1671 г. Ньютон оперировал всеми основополагающими идеями исчисления.

Сановный противник этого метода епископ Джордж Беркли в 1734 г. в своей книге «Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику» указывал, что это противоречит логике: делить числитель и знаменатель на о, если впоследствии о будет равно 0. В итоге вся процедура сводится к тому, что дробь на самом деле выглядит как 0/0, а это, как всем известно, полная бессмыслица. Ньютон возражал, что он не уменьшает о до нуля, он исследует результаты того, что она сколь угодно близко подходит к 0, не становясь ему равной, и вообще его метод исследует флюксии, а не числа.

Математики пытались найти выход в аналогиях с физикой: Лейбниц прибегал к определениям «дух утонченности» и противоположному ему «дух логики», но по сути Беркли был прав. Ученым потребовался век, чтобы обнаружить убедительные ответы на его возражения, найдя для интуитивно открытого «приближения к пределу» строгое определение. Тогда-то исчисление преобразилось в более искусную науку – математический анализ. Но на протяжении этих 100 лет никого, кроме Беркли, так и не обеспокоили логические изъяны, и исчисление развивалось невзирая на них.

Метод процветал, потому что Ньютон был прав, но лишь через 200 лет его интуитивная концепция флюксий была сформулирована с безупречной логикой, в терминах пределов. К счастью для математиков, задержка с этим открытием не застопорила процесс развития науки в целом. Исчисление оказалось слишком востребованным и важным методом, чтобы отказаться от него из-за нескольких логических софизмов. Беркли в негодовании утверждал, что метод только кажется действенным, поскольку в нем различные ошибки взаимно компенсируют друг друга. Он был прав – однако понятия не имел о том, почему ошибки компенсируют друг друга. Ведь если это правда – то это и не ошибки вовсе!

С дифференцированием неразрывно связан обратный ему процесс – интегрирование. Интеграл от f(x), или f(x)dx, восстановит значение функции f(x) до ее дифференцирования. Определенный интеграл

это площадь под графиком между значениями x = a и x = b.

Определенный интеграл

Производные и интегралы решили проблемы, из-за которых буксовали исследования предшественников. Скорости, касательные, максимумы и минимумы можно было вычислить при помощи дифференцирования. Длины, площади и объемы поддавались вычислению с помощью интегрирования. Но и это не всё. Как ни удивительно, но оказалось, что и законы природы могут быть изложены на языке исчисления.

Англия в отстающих

По мере того как росла важность исчисления для передовой науки, рос и престиж ученого, стоявшего у ее истоков. Но кто был этим ученым?

Как мы видим, Ньютон стал задумываться над исчислением примерно с 1665 г., хотя ничего не публиковал на эту тему до 1687 г. Лейбниц, чьи идеи развивались примерно тем же путем, что и у Ньютона, начал исследовать исчисление в 1673 г. и первые труды в этой области издал в 1684 г. Оба работали независимо, но Лейбниц мог узнать о трудах Ньютона, когда побывал в Париже в 1672 г. и в Лондоне в 1673 г. В 1669 г. Ньютон отослал копию «Анализа» Барроу, а Лейбниц встречался со многими людьми, также знавшими Барроу и, возможно, имевшими представление об этой работе.

Когда Лейбниц опубликовал свою книгу в 1684 г., кое-кто из окружения Ньютона ужасно возмутился – вероятно, потому, что Ньютона опередили с публикацией прямо перед финишной чертой. Все они с запозданием осознали, что было поставлено на кон, – и дружно обвинили Лейбница в краже идей Ньютона.

ЧТО ИСЧИСЛЕНИЕ ДАЛО ИМ
Примером ранних попыток использовать исчисление для описания явлений природы можно считать вопрос о подвешенной цепи. Ответ всегда оставался спорным: одни ученые утверждали, что это парабола, а другие не соглашались. В 1691 г. Лейбниц, Кристиан Гюйгенс и Иоганн Бернулли опубликовали предполагаемые решения. Самое удовлетворительное принадлежало Бернулли. Для описания положения цепи он использовал дифференциальное уравнение, исходя из ньютоновой механики и законов движения. Как показало это уравнение, решением стала не парабола, а кривая, известная теперь под названием цепная линия, с уравнением:
y = k(e^x + e^x),
где k – константа.

Подвешенная цепь является графиком цепной линии

Зато несущие цепи на подвесных мостах имеют форму параболы. Эта разница возникает оттого, что цепи несут на себе и вес моста, и собственный. И снова это можно показать при помощи исчисления.

Клифтонский подвесной мост – парабола

Математики на континенте, особенно братья Бернулли, грудью встали на защиту Лейбница, полагая, что именно Ньютон был замешан в плагиате. На самом деле оба сделали свои открытия почти независимо друг от друга, как показали их неопубликованные рукописи. Добавило туману и то, что оба во многом опирались на предыдущую работу Барроу, который, вероятно, имел больше оснований для жалоб, чем любой из них.

Обвинения могли быть легко сняты, но вместо этого спор стал более ожесточенным; Иоганн Бернулли перенес свою неприязнь к Ньютону на всех англичан. Результатом стала катастрофа английской математики: англичане застряли в ньютоновском геометрическим стиле мышления, который сложно было использовать, а математики с континента использовали более формальный алгебраический метод и продвигали исчисление вперед быстрыми темпами. Поэтому большая часть заслуг в математической физике ушла к французам, немцам, швейцарцам и голландцам, а английская математика томилась в тихой заводи.

Дифференциальное уравнение – что это?

Важнейшей идеей, порожденной изобилием трудов об исчислении, стало существование и использование принципиально нового типа уравнений – дифференциальных уравнений. Алгебраические уравнения описывают неизвестную величину с разными степенями. Дифференциальные же гораздо более изощренны: они описывают различные производные от неизвестной функции.

Законы движения Ньютона говорят о том, что если y(t) – высота, на которой частица движется над поверхностью Земли, подвергаясь силе тяготения, то вторая производная d²y/dt² пропорциональна воздействующей на нее силе g:

где m – масса. Это уравнение не определяет функцию y напрямую – оно показывает свойства ее второй производной. Чтобы найти саму y, необходимо решить дифференциальное уравнение. Дважды последовательно интегрируя, получим:

где b – исходная высота частицы, a – начальная скорость. Формула говорит нам, что график, описывающий изменение высоты y относительно времени t, представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Это наблюдение сделал еще Галилей.

Параболическая траектория снаряда

ЧТО ИСЧИСЛЕНИЕ ДАЕТ НАМ
Современная наука изобилует дифференциальными уравнениями: они оказались наиболее распространенным способом моделирования законов природы. Например, без них не обходится построение траектории полета исследовательских космических зондов, таких кк «Маринер», направленный на Марс, или два корабля «Пионер», исследовавших Солнечную систему и предоставивших ученым превосходные снимки Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна, или доставленные на Марс марсоходы «Спирит» и «Оппортьюнити» – шестиколесные роботы, исследовавшие Красную планету.

Марсоход «Спирит» (художественное воспроизведение, НАСА)

Еще один хороший пример – миссия «Кассини», нацеленная на изучение Сатурна и его лун. Среди сделанных в ее рамках открытий – существование морей из жидкого метана и этана на спутнике Сатурна Титане. Конечно, исчисление – далеко не единственный математический метод, примененный в космических исследованиях, но без него ни одна из миссий буквально не оторвалась бы от Земли.
Если вернуться на Землю, можно упомянуть любое воздушное судно, автомобиль, движущийся по дороге, подвесной мост или устойчивое к подземным толчкам здание, в создании которых исчисление сыграло важнейшую роль. Даже наше описание того, как относительно времени меняется популяция животных того или иного вида, исходит из дифференциальных уравнений. То же относится к описанию распространения эпидемий, где построенные с помощью исчисления модели помогают разработать эффективные меры подавления эпидемии. Недавно разработанные модели распространения ящура в Великобритании показали недостаточную эффективность принимаемых мер.

Работы Коперника, Кеплера, Галилея и других ученых Возрождения открыли нам математические закономерности, описывающие реальный мир. Одни модели со временем оказались ошибочными, и от них отказались, другие в точности отражали действительность и развивались дальше. Именно в те давние времена выражение «работает как часы» стало всё чаще применяться к нашей Вселенной. Как выяснилось, она живет по строгим, непреложным законам, несмотря на упорные возражения религиозных иерархов, особенно католической церкви.

Величайшим открытием Ньютона стало то, что законы природы проявляют себя не как закономерности некоторых величин, но как взаимоотношения между их производными. Законы природы написаны на языке исчисления, и здесь важны не значения физических переменных, а скорость, с которой они меняются. Это было величайшее прозрение, и оно породило революцию, завершившуюся появлением более-менее современного научного подхода, который навсегда изменил нашу планету.

Глава 9. Примеры в природе

Формулирование физических законов

Самым важным посланием в «Началах» Ньютона являются не собственно открытые и использованные им законы, но общая идея, что таковые существуют, а также очевидность того, что их можно моделировать математически с помощью дифференциальных уравнений. И в то время как английские математики увязали в бесплодных инсинуациях вокруг предполагаемого (и надуманного) похищения Лейбницем идей Ньютона по поводу исчисления, их коллеги на континенте плодотворно продвигали эти идеи в жизнь, делая важные открытия в изучении механики небесных тел, сопротивления материалов, гидродинамики, а также природы тепла, света и звука – самой основы математической физики. Многие уравнения, полученные в те годы, применяются до сих пор, несмотря на несомненные достижения физики как науки, – а может, как раз благодаря им.