? – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания Ливио Марио

Лишь немногие великие живописцы в истории человечества были и одаренными математиками. Однако выражение «Человек Возрождения» означает в нашем лексиконе человека, воплощавшего возрожденческий идеал широчайшего кругозора и образованности. Вот и три самых знаменитых художника эпохи Возрождения – итальянцы Пьеро делла Франческа (ок. 1412–1492) и Леонардо да Винчи и немец Альбрехт Дюрер, также сделали весьма значительный вклад в математику. Пожалуй, нет ничего удивительного, что математические изыскания всех троих были связаны с золотым сечением. Самым деятельным математиком из этого блистательного трио виртуозов был Пьеро делла Франческа. Сочинения Антонио Марии Грациани, который приходился родственником правнукам Пьеро и приобрел дом художника, свидетельствуют о том, что Пьеро родился в 1412 году в Борго Сансеполькро в Центральной Италии. Его отец Бенедетто был преуспевающим кожевенником и сапожником. О детстве Пьеро почти ничего больше не известно, однако недавно были обнаружены документы, из которых очевидно, что до 1431 года он провел некоторое время в учениках у художника Антонио Д’Ангиари, работы которого до нас не дошли. К концу 1430 годов Пьеро перебрался во Флоренцию, где начал сотрудничать с художником Доменико Венециано. Во Флоренции молодой художник познакомился с работами художников раннего Возрождения – в том числе фра Анджелико и Мазаччо – и со скульптурами Донателло. Особенно сильное впечатление произвела на него величественная безмятежность работ фра Анджелико на религиозные темы, и его собственный стиль отражает это влияние во всем, что касается светотени и колорита. В последующие годы Пьеро трудился не покладая рук в самых разных городах – в том числе в Римини, Ареццо и Риме. Фигуры кисти Пьеро либо отличались архитектурной строгостью и монументальностью, как в «Бичевании Христа» (сейчас картина хранится в Национальной галерее Марке в Урбино; рис. 45), либо были словно бы естественным продолжением фона, как в «Крещении» (в настоящее время находится в Национальной галерее в Лондоне; рис. 46). Первый историк искусств Джорджо Вазари (1511–1574) в своих «Жизнеописаниях наиболее знаменитых живописцев, ваятелей и зодчих» пишет, что Пьеро с ранней юности выказывал недюжинные математические способности, и приписывает ему написание «многочисленных» математических трактатов. Некоторые из них были созданы в старости, когда художник по немощи уже не мог писать картины. В посвятительном письме герцогу Гвидобальдо Урбинскому Пьеро упоминает одну из своих книг, сочиненную, «дабы разум его не закоснел от неупотребления». До нас дошли три труда Пьеро по математике: «De Prospectiva pingendi» («О перспективе в живописи»), «Libellus de Quinque Corporibus Regularibus» («Книжица о пяти правильных многогранниках») и «Trattato d’Abaco» («Трактат о счетах»).

Рис. 45

Рис. 46

В трактате «О перспективе» (середина 1470 годов – 1480 годы) содержится много отсылок к «Началам» и «Оптике» Евклида, поскольку Пьеро делла Франческа решил доказать, что техника передачи перспективы в живописи полностью основана на математических и физических свойствах визуальной перспективы. На картинах самого художника перспектива представляет собой просторное вместилище, находящееся в полном соответствии с геометрическими свойствами заключенных в нем фигур. По сути дела, для Пьеро сама живопись в первую очередь сводилась к «показу на плоскости тел уменьшенного или увеличенного размера». Такой подход прекрасно виден на примере «Бичевания» (рис. 45 и 47): это одна из немногих картин эпохи Возрождения, где перспектива выстроена и проработана весьма тщательно. Как пишет современный художник Дэвид Хокни в своей книге «Тайное знание» (David Hockney. Secret Knowledge, 2001), Пьеро пишет фигуры «такими, какими, по его убеждению, они должны быть, а не такими, какими он их видит».

По случаю пятисотой годовщины со дня смерти Пьеро, ученые Лаура Джеатти из Римского университета и Лучано Фортунати из Национального совета по исследованиям в Пизе проделали подробнейший анализ «Бичевания» c помощью компьютера. Они оцифровали всю картину, определили координаты всех точек, перемерили все расстояния и составили полный анализ перспективы на основе алгебраических вычислений. Это позволило им точно определить местоположение «точки схода», где пересекаются все линии, уходящие к горизонту от зрителя (рис. 47), благодаря чему Пьеро и сумел добиться «глубины», которая производит такое сильное впечатление.

Рис. 47

Книга Пьеро о перспективе, отличающаяся ясностью изложения, стала стандартным руководством для художников, пытавшихся рисовать плоские фигуры и геометрические тела, а те ее разделы, которые не перегружены математикой (и более понятны), вошли в большинство последующих работ по перспективе. Вазари утверждает, что Пьеро получил солидное математическое образование и поэтому «лучше любого другого геометра понимал, как лучше всего проводить круги в правильных телах, и именно он пролил свет на эти вопросы» (здесь и далее пер. А. Габричевского и А. Бенедиктова). Примером того, как тщательно Пьеро разработал метод рисования правильного пятиугольника в перспективе, может служить рис. 48.

И в «Трактате о счетах», и в «Книжице о пяти правильных многогранниках» Пьеро ставит (и решает) множество задач с участием пятиугольника и пяти платоновых тел. Он вычисляет длины сторон и диагоналей, площади и объемы. Многие решения опираются и на золотое сечение, а некоторые приемы Пьеро свидетельствуют о его изобретательности и оригинальности мышления.

Рис. 48

Пьеро, как и его предшественник Фибоначчи, написал «Трактат о счетах» в основном ради того, чтобы снабдить своих современников-дельцов арифметическими «рецептами» и геометрическими правилами. В тогдашнем мире коммерции не было ни унифицированной системы мер и весов, ни даже соглашений о размерах и формах емкостей, так что без умения вычислять объем фигур было никак не обойтись. Однако математическая любознательность выводила Пьеро далеко за рамки тем, сводившихся к повседневным нуждам. Поэтому в его книгах мы находим и «бесполезные» задачи – например, вычисление длины ребра октаэдра, вписанного в куб, или диаметра пяти маленьких кругов, вписанных в круг большего диаметра (рис. 49). Для решения последней задачи используется правильный пятиугольник, а следовательно, и золотое сечение.

Рис. 49

Алгебраические изыскания Пьеро в основном вошли в книгу, которую выпустил в свет Лука Пачоли (1445–1517) под названием «Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita» («Свод познаний в арифметике, геометрии, пропорциях и пропорциональности»). Труды Пьеро по многогранникам, написанные на латыни, перевел на итальянский тот же Лука Пачоли – и опять же включил (ну, или, выражаясь не столь деликатно, попросту украл) в свою знаменитую книгу о золотом сечении под названием «О божественной пропорции» («Divina Proportione»).

Кто же он был, этот полный противоречий математик Лука Пачоли? Величайший плагиатор в истории математики – или все же великий популяризатор математической науки?

Невоспетый герой Возрождения?

Лука Пачоли родился в 1445 году в том же тосканском городке Борго Сансеполькро, где родился и держал мастерскую Пьеро делла Франческа. Более того, начальное образование Лука получил именно в мастерской Пьеро. Однако, в отличие от других учеников, выказывавшим способности к живописи – некоторым из них, например, Пьетро Перуджино, суждено было стать великими живописцами, – Лука оказался более склонным к математике. Пьеро и Пачоли сохраняли дружеские отношения и в дальнейшем: доказательством тому служит то, что Пьеро изобразил Пачоли в виде Св. Петра Веронского (Петра Мученика) на «Алтаре Монтефельтро». Еще сравнительно молодым человеком Пачоли перебрался в Венецию и стал там наставником трех сыновей состоятельного торговца. В Венеции он продолжил математическое образование под руководством математика Доменико Брагадино и написал первую книгу по арифметике.

В 1470 годах Пачоли изучал теологию и постригся в монахи-францисканцы. С тех пор его стало принято называть фра Лука Пачоли. В последующие годы он много путешествовал, преподавал математику в университетах в Перудже, Задаре, Неаполе и Риме. В то время Пачоли, вероятно, некоторое время учил и Гвидобальдо Монтефельтро, которому в 1482 году предстояло стать герцогом Урбинским. Лучший, пожалуй, портрет математика – это картина кисти Якопо де Барбари (1440–1515), изображающая, как Лука Пачоли дает урок геометрии (рис. 50, картина находится в музее Каподимонте в Неаполе). Справа на книге Пачоли «Summa» покоится одно из платоновых тел – додекаэдр. Сам Пачоли во францисканской рясе (тоже похожий на правильный многогранник, если приглядеться) копирует чертеж из XIII книги «Начал» Евклида. Прозрачный многогранник под названием ромбокубоктаэдр (одно из архимедовых тел, многогранник с 26 гранями, 18 из которых – квадраты, а 8 – равносторонние треугольники), висящий в воздухе и наполовину наполненный водой, символизирует чистоту и вечность математики. Художнику удалось с поразительным искусством передать преломление и отражение света в стеклянном многограннике. Личность ученика Пачоли, изображенного на этой картине, стала предметом споров. В частности, предполагают, что этот юноша – сам герцог Гвидобальдо. Английский математик Ник Маккиннон в 1993 году выдвинул интересную гипотезу. В своей статье «Портрет фра Лука Пачоли», опубликованной в «Mathematical Gazette» и основанной на весьма солидных исследованиях, Маккиннон делает вывод, что это портрет великого немецкого живописца Альбрехта Дюрера, которого очень интересовали и геометрия, и перспектива (а к его отношениям с Пачоли мы еще вернемся чуть ниже). И в самом деле, лицо ученика поразительно похоже на автопортрет Дюрера.

Рис. 50

В 1489 году Пачоли вернулся в Борго Сансеполькро, получив некоторые привилегии от самого Папы, однако местный религиозный истеблишмент встретил его с ревнивой недоброжелательностью. Около двух лет ему даже запрещали преподавать. В 1494 году Пачоли отправился в Венецию печатать свою книгу «Summa», которую посвятил герцогу Гвидобальдо. «Summa» по природе и по размаху (около 600 страниц) – подлинно энциклопедический труд, где Пачоли свел воедино все, что было на то время известно в области арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. В своей книге Пачоли не стесняется заимствовать задачи об икосаэдре и додекаэдре из «Трактата» Пьеро делла Франческа и другие задачи по геометрии, а также по алгебре, из трудов Фибоначчи и других ученых (правда, обычно выражает благодарность автору, как полагается). Пачоли признается, что его главный источник – это Фибоначчи, и говорит, что там, где нет ссылок на кого-то другого, труды принадлежат Леонардо Пизанскому. Интересный раздел «Summa» – бухгалтерская система двойной записи, метод, позволяющий прослеживать, откуда деньги пришли и куда ушли. Эту систему изобрел не сам Пачоли, он лишь свел воедино приемы венецианских купцов эпохи Возрождения, однако считается, что это первая книга по бухгалтерии в истории человечества. Так и получилось, что желание Пачоли «позволить дельцу незамедлительно получать сведения о своих активах и денежных обязательствах» стяжало ему прозвище «Отец бухгалтерии», и в 1994 году бухгалтеры всего мира отмечали пятисотлетие «Summa» в Сансеполькро, как теперь называется этот город.

В 1480 году место герцога Миланского фактически занял Людовико Сфорца. На самом деле он был всего лишь регентом при настоящем герцоге, которому тогда было только семь лет; это событие положило конец периоду политических интриг и убийств. Людовико решил украсить свой двор художниками и учеными и в 1482 году пригласил Леонардо да Винчи в «коллегию герцогских инженеров». Леонардо очень интересовался геометрией, в особенности – ее практическим приложением в механике. По его словам, «Механика – это рай среди математических наук, поскольку именно она порождает плоды математики». А впоследствии, в 1496 году, именно Леонардо, скорее всего, добился, чтобы герцог пригласил ко двору и Пачоли в качестве учителя математики. Леонардо, несомненно, учился геометрии и у Пачоли, а ему привил любовь к живописи.

Во время пребывания в Милане Пачоли завершил работу над трехтомным трактатом «О божественной пропорции», вышедшим в свет в Венеции в 1509 году. Первый том, «Compendio de Divina Proportione» («Компендиум о божественной пропорции»), содержит подробный свод всех качеств золотого сечения (его Пачоли называет «божественной пропорцией) и исследование платоновых тел и других многогранников. На первой странице «О божественной пропорции» Пачоли несколько выспренно заявляет, что это «труд, необходимый всем пытливым, ясным человеческим умам, в котором всякий, кто любит изучать философию, перспективу, живопись, ваяние, зодчество, музыку и иные математические дисциплины, найдет весьма тонкое, изящное и прелестное учение и получит наслаждение от разнообразных вопросов, затрагивающих все тайные науки».

Первый том трактата «О божественной пропорции» Пачоли посвятил Людовико Сфорца, а в пятой главе он перечисляет пять причин, почему, по его мнению, золотое сечение следует именовать не иначе как божественной пропорцией.

1. «Она одна, едина и всеобъемлюща». Пачоли сравнивает уникальность золотого сечения с тем обстоятельством, что «Единый» – «Высочайший эпитет самого Господа».

2. Пачоли видит сходство между тем, что определение золотого сечения включает в себя ровно три длины (АС, СВ и АВ на рис. 24), и существованием Святой Троицы – Отца, Сына и Святого Духа.

3. Для Пачоли непостижимость Бога и то обстоятельство, что золотое сечение – иррациональное число, эквивалентны. Вот как он пишет: «Подобно тому, как Господа нельзя определить должным образом и невозможно постичь его посредством слов, так и наша пропорция не может быть передана постижимыми цифрами и выражена через какое бы то ни было рациональное количество, она навеки останется тайной, сокрытой от всех, и математики именуют ее иррациональной».

4. Пачоли сравнивает вездесущесть и неизменность Бога с самоподобием, которое связывают с золотым сечением: его значение всегда неизменно и не зависит от длины отрезка, который делят в соответствующей пропорции, или с размером правильного пятиугольника, в котором вычисляют соотношения длин.

5. Пятая причина показывает, что Пачоли придерживался даже более платоновских взглядов на бытие, чем сам Платон. Пачоли утверждает, что подобно тому, как Господь дал жизнь мирозданию посредством квинтэссенции, нашедшей отражение в додекаэдре, так и золотое сечение дало жизнь додекаэдру, поскольку невозможно построить додекаэдр без золотого сечения. Пачоли добавляет, что невозможно сравнить остальные платоновы тела (символы воды, земли, огня и воздуха) друг с другом без опоры на золотое сечение.

В самой книге Пачоли постоянно разглагольствует о качествах золотого сечения. Он последовательно анализирует 13 так называемых «эффектов» «божественной пропорции» и каждому из этих «эффектов» приписывает эпитеты вроде «неотъемлемый», «неповторимый», «чудесный», «высочайший» и т. д. Например, тот «эффект», что золотые прямоугольники можно вписать в икосаэдр (рис. 22), он называет «непостижимым». Он останавливается на 13 «эффектах», сделав вывод, что «следует завершить этот перечень ради спасения души», поскольку именно 13 человек сидели за столом во время Тайной Вечери.

Не приходится сомневаться, что Пачоли очень интересовался живописью, и целью создания трактата «О божественной пропорции» отчасти было отточить математическую основу изящных искусств. На первой же странице книги Пачоли выражает желание посредством золотого сечения открыть художникам «тайну» гармонических форм. Чтобы обеспечить привлекательность своего труда, Пачоли заручился услугами лучшего иллюстратора, о каком только мог мечтать любой писатель: сам Леонардо да Винчи снабдил книгу 60 рисунками многогранников как в виде «скелетов» (рис. 51), так и в виде сплошных тел (рис. 52). За благодарностью дело не встало – Пачоли написал о Леонардо и его вкладе в книгу так: «Лучший живописец и мастер перспективы, лучший зодчий, музыкант, человек, наделенный всеми возможными достоинствами – Леонардо да Винчи, который придумал и исполнил цикл схематических изображений правильных геометрических тел». Сам же текст, признаться, не достигает заявленных высоких целей. Хотя начинается книга с сенсационных тирад, далее следует довольно-таки обычный набор математических формул, небрежно разбавленных философскими определениями.

Рис. 51

Рис. 52

Вторая книга трактата «О божественной пропорции» посвящена влиянию золотого сечения на архитектуру и его проявлениям в структуре человеческого организма. В основном трактат Пачоли основан на работе римского архитектора Марка Витрувия Поллиона (ок. 70–25 гг. до н. э.). Витрувий писал:

Центральная точка человеческого тела – это, естественно, пупок. Ведь если человек ляжет ничком на спину и раскинет руки и ноги, а на пупок ему поставить циркуль, то пальцы рук и ног у него коснутся описанной окружности. И подобно тому, как тело человека вписывается в круг, так можно из него получить и квадрат. Ведь если мы измерим расстояние от подошв до макушки, а затем применим эту меру к раскинутым рукам, то окажется, что ширина фигуры в точности равна высоте, как и в случае плоских поверхностей, имеющих форму идеального квадрата.

Ученые Возрождения считали этот отрывок очередным доказательством связи между природной и геометрической основой красоты, и это привело к созданию концепции витрувианского человека, которого так прекрасно изобразил Леонардо (рис. 53, в настоящее время рисунок хранится в Галерее Академии в Венеции). Подобным же образом книга Пачоли начинается с обсуждения пропорций человеческого тела, «поскольку в теле человека можно найти пропорции любых видов, по воле Всевышнего явленные через сокровенные тайны природы».

Рис. 53

В литературе можно часто встретить утверждения, что Пачоли будто бы считал, что золотое сечение определяет пропорции всех произведений искусства, однако на самом деле все совсем не так. Говоря о пропорции и внешнем устройстве, Пачоли в основном ссылается на витрувианскую систему, основанную на простых (рациональных) дробях. Писатель Роджер Герц-Фишлер проследил, откуда взялось распространенное заблуждение, что золотое сечение будто бы служило для Пачоли каноном пропорций: оно восходит к ложному утверждению, сделанному в издании «Истории математики» французских математиков Жана Этьена Монтюкла и Жерома де Лаланда 1799 года (Jean Etienne Montucla, Jrme de Lalande. Histoire de Mathmatiques).

Третий том трактата «О божественной пропорции» (короткая книга в трех частях о пяти правильных геометрических телах), в сущности, представляет собой дословный перевод на итальянский «Пяти правильных многогранников» Пьеро делла Франческа, написанных на латыни. То, что Пачоли ни разу не упоминает, что он всего лишь переводчик книги, вызвало у историка искусств Джорджо Вазари горячее осуждение. Вазари пишет о Пьеро делла Франческа:

Почитаясь редкостным мастером в преодолении трудностей правильных тел, а также арифметики и геометрии, он, пораженный в старости телесной слепотой, а затем и смертью, не успел выпустить в свет доблестные труды свои и многочисленные книги, им написанные, кои и поныне хранятся в Борго, у него на родине. Тот, кто должен был всеми силами стараться приумножить его славу и известность, ибо у него научился всему, что знал, пытался как злодей и нечестивец изничтожить имя Пьеро, своего наставника, и завладеть для себя почестями, которые должны были принадлежать одному Пьеро, выпустив под своим собственным именем, а именно брата Луки из Борго [Пачоли], все труды этого почтенного старца, который помимо вышеназванных наук был превосходным живописцем. (Пер. М. Глобачева)

Так можно ли считать Пачоли плагиатором? Весьма вероятно, хотя в «Summa» он все же воздает Пьеро должное, называя его «монархом в живописи наших времен» и человеком, который «знаком читателю по многочисленным трудам по искусству живописи и силе линии в перспективе».

Р. Эмметт Тейлор (1889–1956) в 1942 году выпустил книгу под названием «Нет царского пути. Лука Пачоли и его время» (R. Emmett Taylor. No Royal Road: Luca Pacioli and His Times). В этой книге Тейлор относится к Пачоли с большой симпатией и отстаивает ту точку зрения, что, есл исходить из стиля, Пачоли, вероятно, не имеет никакого отношения к третьему тому трактата «О божественной пропорции», и это сочинение ему лишь приписывают.

Так это или не так, неизвестно, однако несомненно, что если бы не печатные труды Пачоли, идеи и математические конструкции Пьеро, которые не были опубликованы в печатном виде, вероятно, не стяжали бы той известности, которая им в результате досталась. Более того, до времен Пачоли золотое сечение было известно под устрашающими названиями вроде «крайнее и среднее отношение» или «пропорция, имеющая среднее и два экстремума», и само это понятие было известно одним лишь математикам.

Публикация «О божественной пропорции» в 1509 году вызвала новую вспышку интереса к теме золотого сечения. Теперь концепцию рассматривали, что называется, свежим взглядом: раз о ней издали книгу, значит, она достойна уважения. Само название золотого сечения оказалось наделено теолого-философским смыслом (божественная пропорция), а это также делало золотое сечение не просто математическим вопросом, а темой, в которую могли углубиться интеллектуалы самого разного толка, причем это разнообразие со временем лишь ширилось. Наконец, с появлением труда Пачоли золотое сечение стали изучать и художники, поскольку теперь о нем говорилось не только в откровенно математических трактатах – Пачоли рассказал о нем так, что этим понятием можно было пользоваться.

Рисунки Леонардо к трактату «О божественной пропорции», начертанные (по выражению Пачоли) «его неописуемой левой рукой», также оказали определенное воздействие на читательскую аудиторию. Вероятно, это были первые изображения многогранников в схематическом, скелетоподобном виде, что позволяло легко представить их себе со всех сторон. Возможно, Леонардо рисовал многогранники с деревянных моделей, поскольку в документах Совета Флоренции сохранились записи о том, что город приобрел набор деревянных моделей Пачоли, дабы выставить их на всеобщее обозрение. Леонардо рисовал не только схемы для книги Пачоли, наброски всевозможных многогранников мы видим повсюду в его заметках. В одном месте Леонардо дает приблизительный метод построения правильного пятиугольника. Слияние математики с изобразительным искусством достигает пика в «Trattato della pittura» («Трактате о живописи»), который составил Франческо Мельци, унаследовавший рукописи Леонардо, по его записям. Начинается трактат с предупреждения: «Тот, кто не математик, да не прочтет мои труды!» – едва ли такое заявление найдешь в современных учебниках по изобразительному искусству!

Рисунки геометрических тел из трактата «О божественной пропорции» вдохновили и фра Джованни да Верона на создание работ в технике интарсии. Интарсия – это особый вид инкрустации деревом по дереву, создание сложных плоских мозаик. Около 1520 года фра Джованни создал инкрустированные панели с изображением икосаэдра, причем в качестве образца он почти наверняка пользовался схематическими рисунками Леонардо.

Пути Леонардо и Пачоли несколько раз пересекались и после завершения трактата «О божественной пропорции». В октябре 1499 года оба бежали из Милана, когда его захватила французская армия короля Людовика XII. Потом ненадолго останавливались в Мантуе и в Венеции и на некоторое время осели во Флоренции. За тот период, когда они дружили, Пачоли создал еще два труда по математике, прославивших его имя – перевод на латынь «Начал» Евклида и книгу о математических развлечениях, оставшуюся неопубликованной. Перевод «Начал», который выполнил Пачоли, был аннотированной версией, основанной на более раннем переводе Джованни Кампано (1220–1296), который был напечатан в Венеции в 1482 году (это было первое печатное издание). Добиться публикации сборника занимательных задач по математике и поговорок «De Viribus Quantitatis» («О способностях чисел») Пачоли при жизни так и не смог – он скончался в 1517 году. Эта работа была плодом сотрудничества между Пачоли и Леонардо, и в заметках самого Леонардо содержится довольно много задач из трактата «De Viribus Quantitatis».

Конечно, прославила фра Луку Пачоли отнюдь не оригинальность научной мысли, а его влияние на развитие математики в целом и на историю золотого сечения в частности, и этих его заслуг отрицать никак нельзя.

Меланхолия

Интересное сочетание художественных и математических интересов было свойственно и другому великому мыслителю эпохи Возрождения – знаменитому немецкому живописцу Альбрехту Дюреру.

Дюрера часто считают величайшим немецким художником эпохи Возрождения. Родился он 21 мая 1471 года в имперском городе Нюрнберге в семье ювелира, трудившегося не покладая рук. Уже в 19 лет Альбрехт проявлял недюжинный талант живописца и резчика по дереву и заметно превзошел своего учителя, лучшего нюрнбергского живописца и книжного иллюстратора Михаэля Вольгемута. Поэтому Дюрер на четыре года отправился путешествовать и за это время пришел к убеждению, что математика – «самая точная, логичная и графически выверенная из всех наук» – должна быть важной составной частью изобразительного искусства.

Вернувшись, он пробыл в Нюрнберге совсем недолго, но за это время успел жениться на Агнесе Фрей, дочери преуспевающего ремесленника, а затем снова отправился в путешествие – в Италию – с целью расширить свой кругозор и в математике, и в изобразительном искусстве. Видимо, этой цели он вполне достиг во время визита в Венецию в 1494–1495 году. Встреча с основателем венецианской школы живописи Джованни Беллини (ок. 1426–1516) произвела на молодого художника неизгладимое впечатление, он восхищался Беллини до конца своих дней. В это же время Дюрер познакомился и с Якопо де Барбари, тем самым, который написал портрет Луки Пачоли (рис. 50), а в результате изучил и труды Пачоли о математике и ее значении в изобразительном искусстве. В частности, де Барбари показал Дюреру, как строить мужскую и женскую фигуры при помощи геометрических методов, и это подтолкнуло Дюрера к изучению пропорций и движения человеческого тела.

Возможно, Дюрер встречался с Пачоли и лично – это было в Болонье во время его второго визита в Италию (1501–1507). В письме того времени он упоминает, что поездка в Болонью предпринималась «ради искусства, поскольку там есть человек, который научит меня тайному искусству перспективы». Загадочный «человек из Болоньи», по мнению многих толкователей, – именно Пачоли, хотя предлагаются и другие имена, например, выдающийся зодчий Донато ди Анджело Браманте (1444–1514) и теоретик архитектуры Себастьяно Серлио (1475–1554). Во время того же путешествия в Италию Дюрер снова встретился с Якопо ди Барбари. Однако второй визит для Дюрера был омрачен параноидальными подозрениями: он боялся, как бы другие художники, позавидовав его славе, не навредили ему. В частности, он отказывался от приглашений на обеды из опасения, что кто-нибудь попытается его отравить.

С 1495 года Дюрер демонстрирует серьезный интерес к математике. Он долго изучал «Начала» (приобрел в Венеции латинский перевод, хотя латынь знал не очень хорошо), сочинения Пачоли по математике и изобразительному искусству и авторитетные труды по архитектуре, пропорциям и перспективе римского зодчего Витрувия и итальянского зодчего и теоретика Леона Баптисты Альберти (1404–1472).

Вклад Дюрера в историю золотого сечения состоит и в письменных трудах, и в произведениях изобразительного искусства. В 1525 году вышел в свет его главный трактат «Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit» («Трактат об измерениях при помощи циркуля и линейки»), одна из первых книг по математике, опубликованных в Германии. В этом сочинении Дюрер жалуется, что очень многие художники невежественны в геометрии, «без которой никто не может ни быть, ни стать совершенным художником». В первой из четырех книг, составляющих «Трактат», даны подробные рекомендации, как строить различные кривые, в том числе и логарифмическую (равноугольную) спираль, которая, как мы уже видели, тесно связана с золотым сечением. Вторая книга содержит точные и приблизительные способы построения различных многоугольников, в том числе и два способа построения правильного пятиугольника (один точный, другой приблизительный). В четвертой книге обсуждаются платоновы тела, а также и другие многогранники – некоторые из них Дюрер изобрел сам – и теория перспективы и светотени. Книга Дюрера задумана не как учебник по геометрии, в частности, он дает лишь один пример доказательства. Напротив, Дюрер всегда начинает с практического применения, а затем перечисляет самые основные теоретические сведения. Книга содержит и первые примеры разверток многогранников. Развертка – это рисунок на плоскости, где изображена поверхность многогранника в таком виде, что ее можно вырезать и сложить из получившейся фигуры трехмерный многогранник. Чертеж развертки додекаэдра (связанного, как мы знаем, с золотым сечением), выполненный Дюрером, мы видим на рис. 54.

Рис. 54

Интерес к гравюре и резьбе по дереву в сочетании с интересом к математике отражен в загадочной аллегорической работе Дюрера «Меланхолия I» (рис. 55). Это одна из трех изысканных гравюр (две другие называются «Рыцарь, Смерть и Дьявол» и «Св. Иероним в своей келье»). Предполагается, что эту гравюру Дюрер создал во время приступа меланхолии после смерти матери. Центральная фигура «Меланхолии» – крылатая женщина, в полном отчаянии и апатии сидящая на каменном парапете. В правой руке у нее циркуль, ножки которого растворены, словно для измерений. Почти все, что изображено на этой гравюре, наделено сложным символическим значением, и его толкованию посвящены целые статьи. Например, полагают, что горшок на очаге слева посередине и весы наверху – символы алхимии. «Магический квадрат» справа вверху (то есть квадрат, в котором суммы чисел в каждом ряду, колонке, по диагонали и сумма чисел в четырех углах и сумма четырех центральных чисел равны 34 – кстати, это число Фибоначчи), видимо, символизирует математику (рис. 56). Два средних числа в нижнем ряду составляют 1514 – дату создания гравюры. Вероятно, магический квадрат – следствие влияния Пачоли, поскольку в трактате Пачоли «De Viribus» приводится целый ряд магических квадратов. Видимо, основное значение гравюры со всеми ее геометрическими фигурами, ключами, летучей мышью, морским пейзажем и прочим – это меланхолия, охватившая художника или мыслителя, погрязшего в сомнениях и размышлениях о том, чем он занимается, а между тем время – песочные часы наверху – не стоит на месте.

Рис. 55

Рис. 56

Странный многогранник слева посередине стал предметом серьезного обсуждения и различных попыток реконструкции. На первый взгляд это куб, у которого срезаны два противолежащих угла (что спровоцировало кое-какие фрейдистские интерпретации), но на самом деле это не так. Большинство исследователей сходятся на том, что это так называемый ромбоэдр (геометрическое тело с шестью гранями, каждая из которых – ромб, см. рис. 57), обрезанный так, чтобы его можно было вписать в сферу. Он покоится на одной из треугольных граней, и его передняя часть направлена прямо на волшебный квадрат. Углы грани многогранника также были предметом споров. Многие ученые предполагают, что они составляли 72 градуса, что связало бы фигуру с золотым сечением (см. рис. 25), однако голландский специалист по кристаллографии К. Г. Макгиллаври заключил на основе анализа перспективы, что углы составляют 80 градусов. Загадочные свойства этого геометрического тела прекрасно описаны в статье Т. Линча, опубликованной в 1982 году в «Journal of the Warburg and Courtauld Institutes». Вот к какому выводу приходит автор: «Поскольку изображение многогранников считалось одной из главных задач геометрии перспективы, Дюрер, желая доказать свою осведомленность в этой области, едва ли мог найти для этого способ лучше, чем поместить на свою гравюру геометрическое тело, столь новое и, возможно, даже уникальное, и предоставить другим геометрам решать, что это и откуда оно взялось».

Рис. 57

За исключением авторитетного труда Пачоли и изысканий художников Леонардо и Дюрера на стыке математики и изобразительного искусства, ничего особенно нового в истории золотого сечения в XVI веке не произошло. Хотя многие математики, в том числе Рафаэль Бомбелли (1526–1572) и Франсуа Фуа (Флуссатес) (1502–1594), опирались на золотое сечение при решении самых разнообразных задач, в том числе связанных с правильным пятиугольником и платоновыми телами, более интересные применения нашего соотношения появились лишь в самом конце этого столетия. Однако труды Пачоли, Дюрера и других ученых оживили интерес к учениям Платона и Пифагора. Мыслители эпохи Возрождения внезапно увидели реальную возможность связать математику и рациональную логику с устройством Вселенной – в духе платоновского мировоззрения. Концепции вроде «божественной пропорции», с одной стороны, выстраивали мосты между математикой и устройством мироздания, а с другой – обеспечивали связь между физикой, теологией и метафизикой. И особенно ярко воплотил эту чарующую смесь математики и мистики в своих идеях и трудах не кто иной, как Иоганн Кеплер.

Mysterium Cosmographicum

Иоганна Кеплера помнят в основном как выдающегося астронома, оставившего нам, помимо всего прочего, три закона движения планет, носящие его имя. Однако Кеплер был также и талантливым математиком, тонким метафизиком и плодовитым писателем. Родился он во времена больших политических потрясений и религиозных войн, которые коренным образом повлияли и на его образование, и на жизнь, и на мышление. Кеплер родился 27 декабря 1571 года в Германии, в имперском городе Вайль-дер-Штадт, в доме своего деда Зебальда. Отец Иоганна Генрих, наемный солдат, почти все детские годы сына провел в походах, а во время кратких побывок, по словам Кеплера, вел себя «оскорбительно, резко и задиристо». Когда Кеплеру было около шестнадцати, отец ушел из дома, и больше его не видели. Видимо, он участвовал в каком-то морском походе в составе флота Неаполитанского королевства и умер по дороге домой. Следовательно, воспитывала Кеплера в основном его мать Катарина, работавшая в гостинице, которую держал ее отец. Сама Катарина была женщина со странностями, довольно-таки неприятная, собирала травы и была убеждена в их волшебных целительных свойствах. Стечение обстоятельств – личные обиды, неудачные сплетни и алчность – в конечном счете привело к тому, что Катарина уже в старости, в 1620 году, была арестована по обвинению в ведовстве. В то время подобные обвинения были нередки, в период с 1615 по 1629 год в Вайль-дер-Штадте казнили за колдовство как минимум 38 женщин. Кеплер на момент ареста матери был уже известным человеком, и весть о суде над матерью вызвала у него «несказанное огорчение». В сущности, он взял на себя ее защиту в суде и заручился помощью юридического факультета Тюбингенского университета. Процесс был долгим, но в конце концов обвинение с Катарины Кеплер было снято, в основном благодаря ее собственным показаниям, данным под угрозой страшных пыток: Катарина упорно отрицала свою вину. Эта история передает атмосферу, в которой проходила научная работа Кеплера, и доминирующие в то время умонастроения. Кеплер родился в обществе, всего за полвека до этого пережившем отход Мартина Лютера от католической церкви и его заявление, что единственное, что нужно Господу от человека – это вера. Этому обществу еще предстояло погрузиться в кровавое безумие Тридцатилетней войны. Можно лишь изумляться, как Кеплер, человек из подобной среды, на долю которого выпали такие взлеты и падения, столь бурная жизнь, сумел сделать открытие, которое многие считают подлинным рождением современной науки.

Научные изыскания Кеплер начал еще в школе при монастыре Маульбронн, а затем, в 1589 году, выиграл стипендию герцога Вюртембергского и получил возможность посещать лютеранскую семинарию при Тюбингенском университете. Больше всего его интересовали две темы, теология и математика; в его представлении они были теснейшим образом связаны. Астрономию в то время считали частью математики, и наставником Кеплера в астрономии был выдающийся ученый Михаэль Местлин (1550–1631); связь с ним Кеплер поддерживал и после отъезда из Тюбингена. Во время официальных занятий Местлин, конечно, учил лишь традиционной птолемеевой, геоцентрической системе, согласно которой Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер и Сатурн вращаются вокруг стационарной Земли. Однако Местлин был прекрасно осведомлен о гелиоцентрической системе Николая Коперника, сведения о которой были опубликованы в 1543 году, и в частных беседах обсуждал со своим любимым учеником Кеплером достоинства этой системы. По системе Коперника шесть планет (включая Землю, однако исключая Луну, которая считалась уже не планетой, а «спутником») вращаются вокруг Солнца. Примерно так же, как из движущегося автомобиля можно наблюдать лишь относительное движение других машин, в системе Коперника движение планет во многом попросту отражает движение самой Земли.

Похоже, система Коперника Кеплеру сразу понравилась. Фундаментальная идея этой космологии, согласно которой центральное Солнце окружено сферой неподвижных звезд, причем между Солнцем и сферой остается некоторое пространство, в точности соответствовала представлению Кеплера о мироздании. Кеплер был человек глубоко религиозный и верил, что Вселенная – отражение Творца. Единство Солнца, звезд и пространства между ними были для него символическим подобием Святой Троицы – Отца, Сына и Святого Духа.

Когда Кеплер с отличием закончил факультет изящных искусств и был уже готов завершить теологическое образование, произошло событие, изменившее его выбор профессии: он стал не пастором, а учителем математики. Протестантская семинария австрийского города Грац попросила Тюбингенский университет порекомендовать заместителя для одного из своих преподавателей математики, который скоропостижно скончался, и университет выбрал Кеплера. В марте 1594 года Кеплер не по своей воле отправился в путешествие в Грац в австрийской провинции Стирия; на дорогу ушел целый месяц.

Поняв, что судьба навязала ему карьеру математика, Кеплер преисполнился решимости исполнить свой христианский долг так, как он его себе представлял: постигнуть творение Господне, устройство Вселенной. Поэтому он проштудировал переводы «Начал» и труды александрийских геометров Аполлония и Паппа. Опираясь на основной принцип коперниковой гелиоцентрической системы, Кеплер решил найти ответы на два главных вопроса: почему планет именно шесть и что определяет именно такие расстояния между планетарными орбитами. Вопросы «почему» и «что» в астрономии были в новинку. В отличие от своих предшественников, которым было довольно всего-навсего отмечать наблюдаемые положения планет, Кеплер стремился вывести теорию, которая бы все объясняла. Свой новый подход, выход на новый уровень любознательности Кеплер объяснял очень красиво:

При любых умственных изысканиях бывает так, что начинаем мы с того, что поражает чувства, а затем благодаря своему устройству разум возносится к вышнему, к тому, чего не постигнуть, сколь бы остры ни были наши чувства. То же самое бывает и в астрономических занятиях, когда мы прежде всего воспринимаем глазами различные положения планет в разное время, а затем в дело вступает логика и на основании этих наблюдений ведет разум к постижению устройства Вселенной.

Однако Кеплер задавался еще одним вопросом: при помощи какого орудия Господь проектировал Свою Вселенную? Первые мысли, которые впоследствии сложились в совершенно фантастические ответы на космические вопросы, посетили Кеплера 19 июля 1595 года, когда он пытался объяснить конъюнкцию внешних планет – Юпитера и Сатурна (положение, при котором у двух небесных тел одни и те же небесные координаты). В общих чертах Кеплер понял вот что: если вписать равносторонний треугольник в окружность (так, чтобы его вершины лежали на окружности), а потом вписать другую окружность в этот треугольник (так, чтобы она касалась середин сторон, см. рис. 58), соотношение радиуса большей окружности к радиусу меньшей будет примерно таким же, как соотношение размеров орбиты Сатурна к размерам орбиты Юпитера. Продолжая рассуждать в том же духе, Кеплер решил, что, дабы получить орбиту Марса (следующей планеты, ближе к Солнцу), нужно вписать в маленький круг следующую геометрическую фигуру, то есть квадрат. Однако при этом нужного размера не получилось. Кеплер не сдался, а поскольку он уже ступил на путь платоновского образа мысли – был убежден, что «Господь геометризирует», – то, естественно, сделал следующий геометрический шаг и обратился к трехмерным телам. В результате этого умственного упражнения Кеплер впервые прибегнул к геометрическим телам, связанным с золотым сечением.

Рис. 58

Ответ на первые два вопроса, которые занимали Кеплера, дан в первом его трактате под названием «Mysterium Cosmographicum» («Космографическая загадка»), который вышел в свет в 1597 году. Полное название, приведенное на титульном листе книги (рис. 59; хотя там стоит дата публикации 1596, вышла книга только в следующем году) гласит: «Предварительное введение в космографические рассуждения, содержащее вселенскую загадку восхитительных пропорций Небесных Сфер, а также Истинные и Подлинные Причины их Размеров, Количества и Периодического Движения Небес, доказанные при помощи Пяти Правильных Геометрических Тел».

Рис. 59

Ответ на вопрос, почему планет именно шесть, дался Кеплеру очень просто: потому что правильных платоновых тел ровно пять. Если считать, что они задают промежутки между планетами, получается шесть промежутков, считая внешнюю сферическую границу – небеса с фиксированными звездами. Более того, модель Кеплера призвана дать ответ и на вопрос о размерах орбит. Вот как пишет сам ученый:

Земная сфера есть мера всех остальных орбит. Опиши вокруг нее додекаэдр. Сфера, его окружающая, будет сферой Марса. Опиши вокруг Марса тетраэдр. Сфера, окружающая его, будет сферой Юпитера. Опиши куб вокруг Юпитера. Окружающая его сфера будет сферой Сатурна. Теперь впиши икосаэдр в орбиту Земли. Вписанная в него сфера будет сферой Венеры. Впиши октаэдр в орбиту Венеры. Сфера, вписанная в него, будет сферой Меркурия. Вот тебе и обоснование количества планет.

На рис. 60 показана схема из «Mysterium Cosmographicum», иллюстрирующая космологическую модель Кеплера. Кеплер довольно пространно объясняет, почему он проводит конкретные параллели между платоновыми телами и планетами на основании их геометрических, астрологических и метафизических свойств. Он расположил геометрические тела на основании их отношения к сфере, предположив, что разница меду сферой и остальными геометрическими телами отражает разницу между творцом и творением. Подобным же образом куб характеризуется одним-единственным углом – прямым. Для Кеплера это символизировало одиночество, которое ассоциируется с Сатурном, и т. д. Вообще говоря, астрология была для Кеплера так важна, поскольку «Человек есть венец Вселенной и всего творения», и метафизический подход обосновывался тем обстоятельством, что «математические свойства – причины физических, поскольку Бог с самого начала времен заключал в себе математические объекты как простые божественные абстракции, служившие прототипами для различных количеств на материальном уровне». Положение Земли было выбрано так, чтобы разделять тела, которые можно поставить стоймя (куб, тетраэдр и додекаэдр), от тел, которые «парят» (октаэдра и икосаэдра).

Рис. 60

Расстояния между планетами, полученные из этой модели, в одних случаях вполне совпадали с действительностью, а в других заметно отличались, правда, различие составляло не более 10 %. Кеплер был непоколебимо убежден в правильности своей модели и несоответствия списывал на погрешности измерения орбит. Он разослал экземпляры своей книги различным астрономам, чтобы они высказали свои замечания и предложения; в их числе был и один из самых выдающихся ученых того времени датчанин Тихо Браге (1546–1601). Один экземпляр попал даже в руки великому Галилео Галилею (1564–1642), который сообщил Кеплеру, что тоже уверен в правильности модели Коперника, однако с огорчением признал, что «огромному множеству людей, ибо таково количество дураков», Коперник «представляется достойным предметом для осмеяния и освистывания».

Нет нужды говорить, что космологическая модель Кеплера, основанная на платоновых телах, была не просто совершенно неверной, но и безумной даже по меркам современников ученого. Открытие Урана (следующей планеты после Сатурна, если считать от Солнца) в 1781 году и Нептуна (следующей после Урана) в 1846 году забили последний гвоздь в крышку гроба этой мертворожденной идеи. Тем не менее, нельзя недооценивать значение модели Кеплера в истории науки. Как отметил астроном Оуэн Джинджерич в статье, посвященной биографии Кеплера: «В истории редко случалось, чтобы столь ошибочная книга направила дальнейшее течение науки в столь верное русло». Кеплер опирался на пифагорейскую идею мироздания, и математики назвали бы это большим шагом вперед. Он разработал математическую модель Вселенной, которая, с одной стороны, была основана на имевшихся на тот момент данных наблюдений, а с другой – могла быть опровергнута последующими наблюдениями. Именно это и есть необходимые составные части «научного метода» – организованного подхода к объяснению наблюдаемых фактов на основании модели природы. Идеальный научный метод начинается со сбора фактов, затем предлагается модель, а потом то, что она предсказывает, проверяется в ходе либо искусственных экспериментов, либо дальнейших наблюдений. Иногда этот процесс описывают тремя словами: индукция, дедукция, проверка. В 1610 году Галилей при помощи своего телескопа открыл еще четыре небесных тела в Солнечной системе. Если бы было доказано, что это планеты, теории Кеплера был бы нанесен смертельный удар еще при жизни ученого. Однако, к вящей радости Кеплера, новые тела оказались спутниками Юпитера, подобными нашей Луне, а не новыми планетами, обращающимися вокруг Солнца.

Современные физические теории, нацеленные на объяснение существования всех элементарных (субатомных) частиц и основных взаимодействий между ними, также основаны на математической симметрии и в этом смысле очень похожи на теорию Кеплера, который опирался на симметричные качества платоновых тел, дабы объяснить количество и свойства планет. У модели Кеплера была еще одна общая черта с современной фундаментальной теорией Вселенной: обе теории по своей природе редукционистские, то есть они стремятся объяснить много явлений малым количеством физических законов. Например, модель Кеплера выводит и количество планет, и свойства их орбит из платоновых тел. Подобным же образом современные теории – например, теория струн – опирается на основополагающие сущности (струны), очень маленькие (более чем в миллиард миллиардов раз меньше атомного ядра), из которых выводятся все свойства элементарных частиц. Струны – подобно скрипичной струне – вибрируют и порождают разнообразные «тоны», и все известные элементарные частицы всего-навсего воплощают эти тоны.

Во время пребывания в Граце Кеплер интересовался золотым сечением, что привело к другому интересному результату. В октябре 1597 года ученый написал своему бывшему учителю Местлину о следующей теореме: «Если на отрезке, разделенном в крайнем и среднем отношении, построить прямоугольный треугольник так, чтобы прямой угол лежал на перпендикуляре, проведенном в точке разделения, то меньший катет будет равняться большему сегменту разделенного отрезка». Чертеж к этой теореме представлен на рис. 61. Отрезок АВ разделен точкой С в золотом сечении. Кеплер строит прямоугольный треугольник ADB с гипотенузой АВ так, что прямой угол D лежит на перпендикуляре, проведенном из точки золотого сечения С. Затем он доказывает, что BD (короткий катет прямоугольного треугольника) равен АС (более длинному сегменту отрезка, разделенного в золотом сечении). Кроме применения золотого сечения, такой треугольник примечателен еще и тем, что исследователь пирамид Фридрих Ребер в 1855 году приводит его при доказательстве одной из ложных теорий, предполагавших применение золотого сечения при строительстве пирамид. О трудах Кеплера Ребер не знал, однако применил похожее построение, чтобы подтвердить свое мнение о важнейшей роли «божественной пропорции» в архитектуре.

Публикация «Mysterium Cosmographicum» стала поводом для знакомства Кеплера с Тихо Браге; местом встречи, состоявшейся 4 февраля 1600 года, стала Прага, в то время – резиденция императора Священной Римской Империи. В итоге этой встречи в октябре того же 1600 года Кеплер перебрался в Прагу и стал помощником Тихо Браге (из-за своей лютеранской веры он был вынужден покинуть католический Грац). После смерти Браге 24 октября 1601 года Кеплер стал придворным математиком.

Тихо оставил массу наблюдений, в особенности связанных с орбитой планеты Марс, и Кеплер, опираясь на эти данные, открыл первые два закона движения планет, названные его именем. Первый закон Кеплера гласит, что орбиты известных планет вокруг Солнца – не окружности, а эллипсы с Солнцем в одном из фокусов (рис. 62; для наглядности эллипс вытянут гораздо сильнее, чем на самом деле). У эллипса есть две точки, так называемые фокусы, такие, что сумма расстояний любой точки эллипса до обоих фокусов всегда постоянна. Второй закон Кеплера утверждает, что планета движется быстрее всего, когда она ближе всего к Солнцу (эта точка называется перигелий), а медленнее всего – в самой дальней точке (афелии), так что линия, соединяющая планету с Солнцем, описывает (заметает) равные площади за равные промежутки времени (рис. 62). Вопрос о том, благодаря чему законы Кеплера справедливы, был главной нерешенной загадкой науки почти семьдесят лет после того, как Кеплер опубликовал свои законы. Понадобился гений Исаака Ньютона (1642–1727), чтобы сделать вывод, что планеты держатся на орбитах благодаря силе тяготения. Ньютон объяснил законы Кеплера при помощи уравнений, где законы, описывающие движение тел, сочетались с законом всемирного тяготения. Он показал, что эллиптические орбиты с переменной скоростью (согласно законам Кеплера) и предоставляют собой единственное возможное решение этих уравнений.

Рис. 61

Рис. 62

Героические усилия Кеплера по расчету орбиты Марса (много сотен листов арифметических выкладок и их толкований, которые сам он называл «моей военной кампанией против Марса»), по мнению многих исследователей, знаменуют рождение современной науки. В частности, в какой-то момент Кеплер обнаружил круговую орбиту, которая соответствовала почти всем наблюдениям Тихо Браге. Однако в двух случаях эта орбита предсказывала позиции, отличавшиеся от наблюдений примерно на четверть углового диаметра полной луны. Об этом Кеплер писал так: «Стоило мне предположить, что мы можем пренебречь этими восемью минутами [дуги], и я вписал бы мою гипотезу в соответствующую 16 главу. Но поскольку пренебрегать ими непозволительно, выходит, что эти восемь минут указали путь к полнейшей реформе астрономии».

Годы, проведенные Кеплером в Праге, принесли обильные плоды и в астрономии, и в математике. В 1604 году он обнаружил «новую» звезду, известную теперь как Сверхновая Кеплера. Сверхновая – это мощный взрыв, при котором звезда, конец которой близок, сбрасывает свои внешние оболочки, которые при этом движутся со скоростью в десятки тысяч километров в секунду. В нашей родной галактике Млечный Путь подобная вспышка, по расчетам ученых, должна происходить в среднем раз в сто лет. И в самом деле, Тихо Браге открыл сверхновую в 1572 году (Сверхновая Тихо Браге), а Кеплер открыл свою в 1604 году. Однако с тех пор, по неясным причинам, других сверхновых в Млечном пути не было (кроме еще одной, которая, судя по всему, вспыхнула в 1660 годах, но осталась незамеченной). Астрономы шутят, что подобное отсутствие сверхновых, скорее всего, связано с тем, что после Тихо Браге и Кеплера не было великих астрономов.

В июне 2001 года я побывал в Праге, в доме, где жил Кеплер, по адресу Карлова улица, 4. Сейчас это оживленная торговая улица, и ржавую мемориальную дощечку над номером 4, где значится, что здесь с 1605 по 1612 год жил Кеплер, легко не заметить. Владелец магазинчика, расположенного прямо под квартирой Кеплера, даже не знал, что здесь жил один из величайших астрономов в истории. Правда, в унылом внутреннем дворике стоит маленькая армиллярная сфера с вырезанным на ней именем Кеплера, а возле почтовых ящиков висит еще одна мемориальная дощечка. Однако квартира Кеплера вообще никак не отмечена и не открыта для публики – сейчас это просто жилая квартира, каких много на верхних этажах над магазинами, и ее занимает обычное семейство.

Математические труды Кеплера внесли несколько ярких штрихов в историю золотого сечения. В тексте письма, которое Кеплер написал в 1608 году одному лейпцигскому преподавателю, мы обнаруживаем, что он открыл соотношение между числами Фибоначчи и золотым сечением. Об этом открытии он сообщает также в эссе, где изучает, почему снежинки имеют шестиконечную форму. Кеплер пишет:

Из двух правильных геометрических тел – додекаэдра и икосаэдра… эти два правильных многогранника и, по сути дела, структуру самого правильного пятиугольника невозможно выстроить без божественной пропорции, как называют ее нынешние геометры. Она устроена так, что два меньших члена прогрессии вместе составляют третий, а два последних, если их сложить, составляют непосредственно следующий за ними, и так далее до бесконечности, если не нарушать и продолжать эту пропорцию… Чем дальше мы отходим от номера первого, тем совершеннее становится пример. Пусть самыми маленькими числами будут 1 и 1… сложи их, и сумма будет 2, прибавь это число к последнему из 1, получишь 3, прибавь к нему 2 и получишь 5, прибавь три – получишь 8; 5 к 8–13; 8 к 13–21. Как 5 к 8, так и 8 к 13 – приблизительно, – и как 8 к 13, так и 13 к 21 – приблизительно.

Иначе говоря, Кеплер обнаружил, что отношение последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотому сечению. По сути дела, он открыл и еще одно интересное свойство чисел Фибоначчи – что квадрат любого члена последовательности отличается не более чем на 1 от произведения двух соседних членов последовательности. Например, поскольку последовательность Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …, то если мы рассмотрим 3² = 9, то 9 лишь на 1 отличается от произведений двух членов последовательности, соседних с 3: 2  5 = 10. Подобным же образом 13² = 169 отличается на 1 от 8  21 = 168 и т. д. Это качество чисел Фибоначчи подводит нас к удивительному парадоксу, который первым обнаружил великий изобретатель математических головоломок Сэм Лойд (1841–1911).

Рассмотрим квадрат со стороной 8 (с площадью 8² = 64) на рис. 63. Теперь разрежем его на четыре части по намеченным линиям. Из этих четырех кусочков можно составить прямоугольник (рис. 64) со сторонами 13 и 5 – то есть с площадью 65! Откуда взялся дополнительный квадратик?! Ответ на этот парадокс состоит в том, что на самом деле детали головоломки не сходятся идеально вдоль длинной диагонали прямоугольника, получается длинный узкий параллелограмм, которого не видно из-за жирной линии, обозначающей длинную диагональ на рис. 64, и его площади как раз хватает на площадь одного квадратика-единицы. Само собой, 8 – число Фибоначчи, и его квадрат 8² = 64 отличается на 1 от произведения двух соседних чисел Фибоначчи (3  5 = 65): свойство, которое открыл Кеплер.

Рис. 63

Рис. 64

Наверное, вы уже заметили, что Кеплер именует золотое сечение «божественной пропорцией, как называют ее нынешние геометры». Все научные изыскания Кеплера окрашены сочетанием рациональных рассуждений с христианскими убеждениями. Кеплер был естествоиспытателем-христианином и считал своим долгом понять не только устройство Вселенной, но и намерения ее Творца. Свою гипотезу о Солнечной системе он строил под влиянием сильной тяги к числу 5, перенятой у пифагорейцев, и о золотом сечении писал следующим образом:

Особенность этого соотношения заключается в том, что похожую пропорцию можно построить из целого и большей части, и то, что раньше было большей частью, теперь становится меньшей, а то, что раньше было целым, теперь становится большей частью, а сумма их обладает соотношением целого. Так происходит до бесконечности, а божественная пропорция всегда сохраняется. Я полагаю, что эта геометрическая пропорция и послужила идеей Творцу, когда Он творил подобное из подобного по образу и подобию Своему – и это тоже происходит до бесконечности. Число пять я вижу почти во всех цветках, которые прокладывают путь плодам, то есть творению, и которые существуют не ради себя самих, а ради того, чтобы за ними последовали плоды. Сюда можно включить почти все цветы плодовых деревьев; следует, вероятно, исключить лимоны и апельсины, хотя я не видел их цветов и сужу лишь по плодам или ягодам, которые поделены не на пять, а на семь, одиннадцать или девять долек. Однако воплощение числа пять в геометрии, то есть правильный пятиугольник, строится посредством божественной пропорции, которую мне бы хотелось [предположительно считать] прототипом Творения. Более того, [она] наблюдается и между движением Солнца (или, как я полагаю, Земли) и Венеры, которая стоит на вершине порождающей способности соотношения 8 и 13, которое, как мы еще услышим, подходит очень близко к божественной пропорции. Наконец, согласно Копернику, сфера Земли расположена посередине между сферами Марса и Венеры. Пропорцию между ними можно получить из додекаэдра и икосаэдра, оба из которых в геометрии производятся из божественной пропорции – однако акт творения происходит именно на нашей Земле.

Теперь рассмотрим, как из божественной пропорции проистекают изображения мужчины и женщины. На мой взгляд, размножение растений и продолжение рода у животных состоят в том же соотношении, что и геометрическая пропорция, пропорция, выраженная частями отрезка, или арифметическая или численно выраженная пропорция.

Проще говоря, Кеплер искренне верил, что золотое сечение послужило для Бога фундаментальным инструментом сотворения Вселенной. Из этого отрывка следует также, что Кеплер знал о проявлениях золотого сечения и чисел Фибоначчи в расположении лепестков растений.

Относительно спокойный и плодотворный с профессиональной точки зрения период жизни в Праге кончился для Кеплера в 1611 году, когда его постигла череда несчастий. Сначала умер от оспы его сын Фридрих, затем от заразной лихорадки, которую принесли австрийские оккупанты, скончалась его жена Барбара. В конце концов, император Рудольф отрекся от престола в пользу своего брата Матиаса, известного нетерпимым отношением к протестантам. Поэтому Кеплер был вынужден перебраться в Линц, на территорию современной Австрии.

Венцом трудов Кеплера, созданных в Линце, стала публикация в 1619 году его второй главной работы по космологии – «Harmonice Mundi» («Гармония мира»).

Вспомним, что для Пифагора и пифагорейцев музыка и гармония была первым доводом в пользу того, что космические явления можно описать математически. Созвучные тоны порождали лишь те струны, длины которых соответствовали простым дробям. Соотношение 2:3 звучало как квинта, 3:4 как кварта и т. д. Считалось, что похожее гармоническое расположение планет также порождает «музыку сфер». Кеплер был хорошо знаком с этой концепцией, поскольку прочитал почти всю книгу отца Галилео Галилея Винченцо «Диалоги о древней и современной музыке», хотя и не был согласен с некоторыми идеями Винченц. Поскольку он был также убежден, что создал исчерпывающую модель Солнечной системы, то смог даже рассчитать небольшие «мотивы» для разных планет (рис. 65).

Рис. 65

Поскольку Кеплер был уверен, что «еще до начала вещей геометрия была столь же вечной, сколь и Божественный Разум», «Гармония мира» была по большей части посвящена геометрии. Один аспект этого труда был особенно важен для истории золотого сечения – я имею в виду изыскания Кеплера в области геометрического паркета.

Паркетом в геометрии называют узор или структуру, состоящую из «плиток» одной или нескольких форм, которые полностью покрывают плоскость, не оставляя промежутков – подобно мозаике из плиток на полу. В главе 8 мы увидим, что некоторые математические концепции, наблюдаемые в таких «паркетах», теснейшим образом связаны с золотым сечением. Хотя Кеплер не знал обо всех математических тонкостях паркетов, интерес к отношениям между разными геометрическими фигурами и почитание правильного пятиугольника, который воплощает божественную пропорцию нагляднее всего, позволил ему создать интересную работу о паркете. Особенно Кеплера занимала конгруэнтность («подогнанность» друг к другу) геометрических фигур и тел вроде многогранников и многоугольников. На рис. 66 показан пример из «Гармонии мира». Этот узор паркета составлен из четырех фигур – и все они связаны с золотым сечением: это правильные пятиугольники, пентаграммы, десятиугольники и сдвоенные десятиугольники. Для Кеплера это воплощение «гармонии», поскольку по-гречески это слово означает «соответствие друг другу».

Рис. 66

Интересно, что интерес к паркетам проявляли до Кеплера еще два человека, также сыгравшие важную роль в истории золотого сечения (и уже упоминавшиеся на страницах нашей книги): это Абу-л-Вафа и художник Альбрехт Дюрер. Оба они рассматривали узоры из фигур с пятилучевой симметрией (пример из набросков Дюрера приведен на рис. 67).

Рис. 67

В пятой книге «Гармонии мира» содержится самый значительный результат астрономических исследований Кеплера – Третий закон движения планет. Здесь сполна выразились все его мучительные раздумья по поводу размеров орбит разных планет и периодов их обращения вокруг Солнца. Двадцать пять лет работы сконцентрировались в поразительно простом законе: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет, и это отношение одинаково для всех планет (большая полуось – это половина длинной оси эллипса, см. рис. 62). Кеплер открыл этот основополагающий закон, послуживший Ньютону отправной точкой для формулировки закона всемирного тяготения, когда «Гармония мира» была уже в печати. Не в силах сдержать ликования, ученый объявил: «Я похитил золотые сосуды египтян, чтобы вдали от Египта выстроить жертвенник Господу моему». Суть закона естественно следует из закона всемирного тяготения: сила тяготения тем больше, чем ближе планета к Солнцу, вот почему планеты, которые ближе к нему, вынуждены вращаться быстрее, иначе они упадут на Солнце.

Рис. 68

В 1626 году Кеплер переехал в Ульм и завершил там работу над «Рудольфовыми таблицами» – на тот момент это были самые подробные и точные астрономические таблицы в истории. Когда я в июне 2001 года был в Венском университете, мне показали первое издание таблиц, хранящееся в библиотеке обсерватории (до наших дней дошло 147 экземпляров). На фронтисписе книги (рис. 68) символически изображена история астрономии, а в левом нижнем углу, возможно, находится единственный автопортрет Кеплера (рис. 69). На нем Кеплер трудится при свете свечи под виньеткой, где перечислены главные его публикации.

Рис. 69

Умер Кеплер в полдень 15 ноября 1630 года и похоронен в Регенсбурге. Судьба и после смерти не оставила его в покое, будто бы мало было бурной жизни: войны стерли с лица земли его могилу. К счастью, сохранился набросок надгробия, который выполнил друг Кеплера, и на нем есть и эпитафия ученому:

В наши дни, пожалуй, невозможно представить себе ученого, столь оригинального и плодовитого, как Кеплер. Надо понимать, что на долю этого человека выпали невообразимые страдания: в частности, в 1617–1618 году он меньше чем за полгода потерял троих детей. Наверное, лучше всего о нем сказал английский поэт Джон Донн (1572–1631) в памфлете «Игнатий и его конклав»: Кеплер «вменил себе в обязанность следить, чтобы в небесах без его ведома ничего нового не происходило».

В эпоху Возрождения история золотого сечения потекла по совершенно новому руслу. Эта концепция перестала быть чисто математической. Теперь золотое сечение проложило себе путь в исследования природных явлений и в мир искусства.

Мы уже сталкивались с заявлениями, что архитектурные проекты различных сооружений древности, будь то великая пирамида Хеопса или Парфенон, основаны на золотом сечении. Однако при более пристальном разборе этих заявлений оказывается, что в большинстве случаев они бездоказательны. Представление о «божественной пропорции» и понимание, что без математики невозможно выстроить перспективу, позволили многим художникам примириться с тем, что теперь им придется применять в работе научные методы вообще и золотое сечение в частности. Современный график и живописец Дэвид Хокни в своей книге «Тайное знание» утверждает, к примеру, что начиная примерно с 1430 года, художники начали тайно от всех применять оптические устройства – всевозможные линзы, вогнутые зеркала и camera obscura, дабы придавать правдоподобия своим творениям. Однако применяли ли они золотое сечение? И если да, ограничивалось ли применение золотого сечения изобразительным искусством или же оно проникло и в другие области художественного творчества?

Тайная геометрия для художника

Многие претензии на применение золотого сечения в живописи прямо связаны с тем, что золотому прямоугольнику приписывают особые эстетические свойства. Подлинность (и мнимость) этого эстетического канона мы обсудим чуть дальше. А сейчас мне хотелось бы ненадолго остановиться на гораздо более простом вопросе: действительно ли художники Проторенессанса и эпохи Возрождения основывали композиции своих работ на золотом прямоугольнике? Попытка ответить на этот вопрос заставит нас вернуться в XIII век.

«Мадонна Оньиссанти», известная также как «Мадонна во славе» (рис. 70, хранится в Галерее Уффици во Флоренции) – одна из величайших алтарных картин кисти великого итальянского живописца и зодчего Джотто ди Бондоне (1267–1337). Картина выполнена между 1306 и 1310 годом и изображает Деву Марию, с полуулыбкой восседающую на престоле и нежно поглаживающую колено Младенца Христа. Мадонна с Младенцем окружены святыми и ангелами, расположенными в своего рода «иерархической перспективе». Во многих книгах и статьях о золотом сечении на все лады повторяется утверждение, что будто бы картина в целом и центральные фигуры точно вписываются в золотые прямоугольники (рис. 71).

Рис. 70

Рис. 71

Нечто подобное утверждают и по поводу двух других картин на тот же сюжет: это «Мадонна Ручеллаи» великого сиенского живописца Дуччо ди Буонисенья (иногда его зовут просто Дуччо, ок. 1255–1319), и «Мадонна Санта Тринита» Ченни ди Пепо, известного как Чимабуэ (ок. 1240–1302). Волею судьбы сегодня все три картины висят в одном и том же зале Галереи Уффици во Флоренции. Параметры Мадонн «Оньиссанти», «Ручеллаи» и «Санта Тринита» дают соотношение высоты и ширины в 1,59, 1,55 и 1,73 соответственно. Все эти числа и вправду не очень далеки от золотого сечения, однако два из них ближе к рациональному числу 1,6, чем к иррациональному числу . Если это о чем-то и говорит, то лишь о том, что художники руководствовались советом Витрувия и выбирали простые пропорции, соотношение двух целых чисел, а не золотое сечение. Внутренний прямоугольник «Мадонны Оньиссанти» (рис. 71) оставляет столь же неоднозначное впечатление. Границы прямоугольника на иллюстрациях к книгам – например, к прелестной книге Труди Хэммел Гарланд «Чудесные числа Фибоначчи» (Trudi Hammel Garland. Fascinating Fibonaccis) – обычно проводят очень жирными линями, отчего любые измерения становятся весьма неопределенными, но тут и верхняя горизонтальная линия проведена, прямо скажем, произвольно. Мы помним, как опасно полагаться на одни лишь измерения, поэтому вправе задаться вопросом, есть ли другие основания заподозрить, что эти художники сознательно учитывали при создании своих картин золотое сечение. Ответ на этот вопрос, судя по всему, отрицательный – разве что к этому соотношению мастеров влекло некое подсознательное эстетическое чутье (о вероятности такого поворота событий мы еще поговорим). Вспомним, что все три Мадонны были написаны более чем за два столетия до публикации трактата «О божественной пропорции», который привлек к золотому сечению более широкое внимание.

Французский художник и писатель Шарль Було в своей книге «Тайная геометрия художника, вышедшей в 1963 году (Charles Bouleau. The Painter’s Secret Geometry) придерживается иной точки зрения. Он не приводит в пример конкретные картины Джотто, Дуччо и Чимабуэ, однако пишет, что книга Пачоли знаменует не начало новой эпохи, а конец старой. Було утверждает, что трактат «О божественной пропорции» «свидетельствует об идеях, которые долгие столетия передавались исключительно в устной традиции», когда золотое сечение «считалось выражением совершенной красоты». Будь все действительно так, Чимабуэ, Дуччо и Джотто и в самом деле могли бы сознательно применить общепризнанный стандарт совершенства. К сожалению, я не нашел никаких подтверждений гипотезы Було. Напротив, задокументированная история золотого сечения отнюдь не свидетельствует, что в течение столетий, предшествующих публикации трактата Пачоли, художники питали к этому соотношению какое-то особое уважение. Более того, серьезные специалисты, исследовавшие творчество трех вышеупомянутых художников (см. книги «Джотто» Франчески Флорес Д’Арсэ и «Чимабуэ» Лучано Беллози (Francesca Flores D’Arcais. Giotto; Luciano Bellosi. Cimabue)), ни разу не упоминают, что эти художники могли применять золотое сечение: подобные заявления встречаются только в сочинениях энтузиастов золотого сечения и основаны исключительно на сомнительных доказательствах вроде измерений.

Практически все, кто заявляет о появлении золотого сечения в изобразительном искусстве, упоминают и еще одно имя – Леонардо да Винчи. Некоторые авторы даже приписывают Леонардо изобретение термина «божественная пропорция». Обычно разговоры ведутся вокруг пяти произведений итальянского мастера: это неоконченная картина «Св. Иероним», два варианта «Мадонны в скалах», набросок «Голова старика» и прославленная «Джоконда». О «Джоконде» я здесь говорить не буду по двум причинам: во-первых, эта картина и так уже стала предметом бесчисленного множества пространных спекуляций, как научных, так и популярных, посвященных вопросам, на которые в принципе невозможно дать однозначный ответ, во-вторых, золотое сечение ищут в параметрах прямоугольника, описанного вокруг лица Моны Лизы. В отсутствие каких бы то ни было ясных (и задокументированных) указаний, где именно следует чертить этот прямоугольник, подобная идея подает лишь очередной повод для подтасовки цифр. Однако я еще вернусь к более общей теме пропорций лиц у Леонардо, когда мы будем обсуждать «Голову старика».

Случай с двумя вариантами «Мадонны в скалах» (один хранится в Лувре, в Париже, рис. 72, а второй – в Национальной галерее в Лондоне, рис. 73). Отношение высоты к ширине у картины, которая, как полагают, была написана раньше, примерно 1,64, а у более поздней – 1,58; обе эти величины относительно близки к , однако близки и к простому соотношению 1,6.

Рис. 72

Рис. 73

Датировка и подлинность двух «Мадонн в скалах» также придают интересный поворот заявлениям о присутствии в их параметрах золотого сечения. Специалисты, изучавшие эти две картины, пришли к выводу, что луврская версия, вне всяких сомнений, была создана рукой самого Леонардо, а версия, хранящаяся в Национальной галерее, вероятно, представляет собой результат совместного труда и по-прежнему вызывает споры. Считают, что луврская версия – это одна из первых работ, которые Леонардо написал в Милане, вероятно, между 1483 и 1485 годами. Вариант из Национальной галереи, с другой стороны, по мнению большинства, был завершен около 1506 года. Эти даты важны для нас по той причине, что с Пачоли Леонардо познакомился в 1496 году при Миланском дворе. Семьдесят первая глава трактата «О божественной гармонии» (конец первой части книги), по словам Пачоли, «была завешена сегодня, 14 декабря, в Милане, в нашем тихом монастыре». Следовательно, первая версия (та, в подлинности которой нет никаких сомнений) была завершена примерно за десять лет до того, как Леонардо получил возможность из первых рук узнать о «божественной пропорции». Утверждение, что Леонардо будто бы применял золотое сечение в «Мадонне в скалах», следовательно, сводится к убеждению, что художник будто бы получил представление об этой пропорции и начал ее применять еще до начала сотрудничества с Пачоли. Не то чтобы это было невозможно, однако такая интерпретация ничем не подтверждается.

Оба варианта «Мадонны в скалах» – бесспорные шедевры Леонардо. Пожалуй, ни в одной другой картине он не нашел лучшего воплощения своему художественному принципу: «Каждое непрозрачное тело окружено и окутано по всей поверхности светом и тенью». Фигуры на картинах буквально распахнуты к зрителю, вовлекают его в эмоциональное общение. Утверждать, будто эти картины хотя бы отчасти обязаны силой воздействия простому соотношению частей, без нужды принижает и упрощает гений Леонардо. Давайте не будем обманываться: благоговение, которое охватывает нас при виде «Мадонны в скалах», не имеет практически никакого отношения к тому, применялось ли золотое сечение в композиции картин.

С той же неопределенностью можно судить и о незаконченном «Святом Иерониме» (рис. 74, хранится в музеях Ватикана). Дело не только в том, что картина датируется 1483 годом – то есть написана задолго до переезда Пачоли в Милан: утверждение, которое можно найти в некоторых книгах и статьях (например, у Давида Бергамини (David Bergamini) и редакторов тома «Математика» в серии научно-популярных книг журнала «Life»), что Святой Иероним будто бы точно вписывается в золотой прямоугольник, весьма и весьма натянуто. На самом деле стороны прямоугольника не касаются контуров фигуры, особенно слева, и проходят совсем далеко от головы, зато рука выдается далеко за пределы прямоугольника.

Последний пример гипотетического применения золотого сечения на картинах Леонардо – «Голова старика» (рис. 75, рисунок хранится в Галерее Академии в Венеции). Профиль и схема пропорций нарисованы пером около 1490 года. Около 1530–1504 годов на том же листе были сделаны два наброска всадников сангиной – полагают, что это этюды к фреске «Битва при Ангиари».

Рис. 74

Рис. 75

Сеть вспомогательных линий, конечно, не оставляет сомнений, что Леонардо всерьез интересовался пропорциями лица, однако сделать из этого наброска какие-либо определенные выводы очень трудно. Например, прямоугольник слева вверху – это более или менее золотой прямоугольник, однако линии начерчены так небрежно, что мы не можем ничего утверждать с уверенностью. Тем не менее, этот рисунок, пожалуй, ближе всего подводит к доказательству, что Леонардо и правда определял параметры своих картин при помощи прямоугольников и даже, вероятно, подумывал о том, не применить ли в своем творчестве золотое сечение.

Интерес Леонардо к пропорциям лица, возможно, нашел и другое, не менее любопытное проявление. В статье, напечатанной в «Scientific American» в 1995 году, историк искусства и графический дизайнер Лилиан Шварц рассказала об интересном наблюдении. По мнению Шварц, в отсутствии модели для «Джоконды» Леонардо придал портрету некоторые собственные черты. Предположение Шварц основано на компьютерном сравнении различных параметров лица Моны Лизы и соответствующих черт на портрете сангиной, который, по убеждению большинства исследователей (если даже не по единодушному их мнению) считается единственным автопортретом Леонардо. Однако, как указывали другие искусствоведы, подобие пропорций, вероятно, свидетельствует лишь о том, что при создании этих портретов Леонардо пользовался одними и теми же формулами пропорций (входило в них золотое сечение или нет, неизвестно). Да и сама Шварц отмечает, что те же пропорции, что и на рисунке «Головы старика», Леонардо применяет даже на гротесковых рисунках – серии уродливых лиц с карикатурно увеличенными подбородками, ртами, носами и лбами.

Однако если есть сильные сомнения в том, что сам Леонардо, не просто личный друг Пачоли, но и иллюстратор его трактата «О божественной пропорции», применял золотое сечение в композиции своих работ, значит ли это, золотое сечение не мог применить кто-то другой? Конечно, не значит. В конце XIX века появилось огромное множество ученых трудов, посвященных золотому сечению, и художники, само собой, стали обращать внимание на это понятие. Но прежде чем мы поговорим о художниках, которые и в самом деле опирались на золотое сечение, необходимо развенчать еще один миф.

Несмотря на многочисленные заявления об обратном, французский пуантилист Жорж Сёра (1859–1891), вероятно, не применял золотое сечение в своих работах. Сёра интересовался цветовосприятием и сочетаниями цветов и при помощи особой техники – пуантилизма, или множества разноцветных точек – пытался передать переливчатость, мерцание света. В последние годы жизни он также интересовался художественными средствами передачи различных чувств. В письме, написанном в 1890 году, Сёра вкратце перечисляет некоторые свои воззрения.

Искусство есть гармония. Гармония есть сопоставление подобного и противоположного в тоне, светотени, линии, выбранных по принципу и под влиянием игры света в сценах веселых, легких, печальных. Противоречия – это… в том, что касается линий – прямой угол… веселые линии – линии над горизонталью… спокойствие – горизонталь, печальные линии направлены вниз.

Все эти идеи Сёра выразил в своем полотне «Цирковой парад» (рис. 76, хранится в музее Метрополитен в Нью-Йорке). Обратите особое внимание на прямой угол между балюстрадой и вертикальной линией справа посередине полотна. Вся композиция основана на принципах, которые Сёра почерпнул в книге теоретика-искусствоведа Давида Саттера «Философия изящных искусство применительно к живописи» (David Sutter. La philosophie des Beaux-Arts applique а la peinture, 1870). Саттер писал: «Если доминанта горизонтальна, на ней нужно поместить череду вертикальных предметов, поскольку тогда эта последовательность будет конкурировать с горизонтальной линией».

Рис. 76

Страстные поклонники золотого сечения зачастую приводят анализ «Парада» (наряду с другими работами Сёра, в частности, «Цирком»), в «доказательство», что художник сознательно применял . Даже в чудесной книге «Математика» Бергамини и редакторов журнала «Life» мы читаем: ««Парад», написанный мелкими точками, в характерной манере французского импрессиониста Жоржа Сёра, содержит множество примеров золотых пропорций». Более того, в книге приводится цитата («по словам одного искусствоведа»), где говорится, что Сёра «к каждому своему холсту подступал с золотым сечением». К сожалению, все эти утверждения безосновательны. Горячим сторонником и распространителем этого мифа был родившийся в Румынии священник и писатель Матила Гика (1881–1965), еще один «искусствовед», которого цитирует Бергамини. Гика опубликовал две авторитетные книги – «Эстетику пропорций в природе и в искусстве» («Esthtique des proportions dans la nature et dans les arts», 1927) и уже упоминавшуюся книгу «Золотое сечение», полное название которой – «Золотое сечение, пифагорейские ритуалы и ритмы в развитии Западной цивилизации» («Le Nombre d’Or: Rites et rythmes pytagoriciens dans le dveloppement de la civilisation occidentale», 1931). Обе книги представляют собой полумистические толкования математических фактов. В них рука об руку с точным описанием математических свойств золотого сечения приводятся анекдотические материалы о появлении золотого сечения в искусстве (Парфенон, египетские пирамиды и прочее). Парадоксально, но факт: эти книги были очень авторитетны.

Что касается самого «Парада», горизонтальная линия на нем и в самом деле разделена в пропорциях, близких к золотому сечению (в действительности, в простом соотношении восемь пятых), однако вертикаль – отнюдь нет. Анализ всей композиции этого и других полотен Сёра, а также работ художника-символиста Пьера Пюви де Шаванна (1824–1898), заставляет даже такого горячего сторонника золотого сечения, как художник и писатель Шарль Було, сделать печальный вывод: «Не думаю, чтобы мы могли без подтасовки данных сказать, что его [Пюви де Шаванна] композиции основаны на золотом сечении. То же самое относится и к Сёра». Подробный анализ всех картин, записей и набросков Сёра, который в 1980 году выполнил Роджер Герц-Фишлер, подводит к тем же выводам. Более того, математик, философ и художественный критик Чарльз Генри (1859–1926) еще в 1890 году твердо заявил, что «современные художники полностью пренебрегают» золотым сечением.

Так кто же тогда применял золотое сечение как в своих картинах, так и в теории живописи? Вероятно, первым выдающимся художником и теоретиком искусства, кто сознательно применял золотое сечение, был Поль Серюзье (1864–1927). Серюзье родился в Париже, некоторое время изучал философию, а затем поступил в прославленную школу искусств «Академия Жюлиана». Знакомство с художниками Полем Гогеном и Эмилем Бернаром заставило его перенять их колорит и символистские воззрения. Вместе с художниками-постимпрессионистами Пьером Боннаром, Эдуаром Вилларом, Морисом Дени и другими он основал группу под названием «Наби», что на древнееврейском значит «пророки». Название объяснялось полусерьезным, полушутовским отношением участников группы к своему новому стилю, который они представляли как своего рода религиозное просветление. С этой группой был связан и композитор Клод Дебюсси. Серюзье, вероятно, впервые услышал о золотом сечении между 1896 и 1903 годами, во время одной из поездок к своему другу, голландскому художнику Яну Веркаде (1868–1946). Веркаде был послушником в бенедиктинском монастыре в городе Бойрон на юге Германии. Там группы художников-монахов исполняли довольно скучные композиции на религиозные темы с соблюдением «священных пропорций» согласно теории отца Дидье Ленца. По гипотезе отца Ленца, все величайшие творения древности (Ноев ковчег, египетские шедевры зодчества и пр.) были основаны на простых геометрических понятиях – окружности, равностороннем треугольнике и правильном шестиугольнике. Эта теория показалась Серюзье чрезвычайно привлекательной, и он писал Веркаде: «Представь ебе, [я] много говорил о геометрических параметрах, о которых ты мне рассказывал». Художник Морис Дени (1870–1943) оставил о Серюзье биографические заметки, из которых мы узнаем, что в число «геометрических параметров» отца Ленца входило и золотое сечение. Хотя Серюзье признает, что первоначально изучение математики Бойрона было для него «делом нелегким», идеи о золотом сечении и его предположительной связи с великой пирамидой Хеопса и произведениями древнегреческого зодчества проникла и в важную книгу Серюзье по теории искусств «Азбука живописи» (Paul Srusier. L’ABC de la Peinture).

Похоже, интерес Серюзье к золотому сечению был скорее философским, чем практическим, однако художник и в самом деле применил это соотношение в композиции некоторых своих работ, в основном с целью «подтвердить, а иногда просто проверить свои изобретения в области формы и композиции».

Серюзье проложил концепции золотого сечения путь и в другие художественные объединения, в основном – в среду кубистов. Термин «кубизм» придумал художественный критик Луи Восель (которому мы, кстати, обязаны и словами «фовизм» и «экспрессионизм») после выставки Жоржа Брака в 1908 году. Официальное начало этому движению положили картины «Авиньонские девицы» Пикассо и «Большая обнаженная» Брака. Пикассо и Брак восстали против страстного колорита и неуемных форм экспрессионизма и разработали свой строгий, практически монохромный стиль, сознательно отказавшись от любой тематики, которая могла бы вызвать эмоциональные ассоциации. Предметы вроде музыкальных инструментов и даже человеческие тела разделялись на многогранные геометрические фигуры, которые затем комбинировались, причем перспектива постоянно менялась. Применение геометрических понятий вроде золотого сечения очень подходило для такого анализа формы тел, целью которого было обнажить их структуру. И в самом деле, первые кубисты, в том числе Жак Вийон и его братья Марсель Дюшан и Раймон Дюшан-Вийон, а также Альбер Глез и Франсис Пикабиа в октябре 1912 года организовали в Париже целую выставку, которая так и называлась «Золотое сечение» («Section d’Or»). Несмотря на крайне многообещающее название, золотого сечения не было в композиции ни одной из выставленных картин. Организаторы выбрали этот термин лишь ради того, чтобы подчеркнуть свой интерес к вопросам связи искусства с наукой и философией. Тем не менее некоторые кубисты, в том числе художник испанского происхождения Хуан Грис (1887–1927) и родившийся в Литве скульптор Жак (Хаим-Яков) Липшиц (1891–1973) и в самом деле руководствовались золотым сечением в некоторых поздних работах. Липшиц писал: «В то время я очень интересовался теориями математических пропорций, как и прочие кубисты, и пытался применить их в своих скульптурах. Всех нас очень занимала идея золотого правила или золотого сечения – считалось, что эта система заложена во всем искусстве и архитектуре Древней Греции». Липшиц помогал Хуану Грису при создании скульптуры «Арлекин» (Художественный музей Филадельфии, рис. 77) – для достижения желаемых пропорций художники применили треугольник Кеплера (основанный на золотом сечении, см. рис. 61).

Рис. 77

В начале 1920 годов золотое сечение применял еще один художник – итальянский живописец Джино Северини (1883–1966). В своей работе Северини пытался примирить несколько противоречивые цели футуризма и кубизма. Футуризм отражал стремление группы итальянских мыслителей, работавших в области литературы, изобразительного искусства, театра, музыки и кинематографа, способствовать обновлению итальянской культуры. По словам самого Северини: «Мы решили сосредоточить внимание на предметах в движении, поскольку современный тип чувствительности особенно предрасположен к тому, чтобы ухватить идею скорости». Первый манифест художников-футуристов был подписан в 1910 году и всячески побуждал молодых итальянских художников «глубоко презирать всевозможную имитацию». Оставаясь футуристом, Северини обрел в кубизме «идею меры», которая соответствовала его честолюбивому стремлению «живописными средствами создать объект, столь же совершенный с точки зрения мастерства, что и великолепный буфет работы краснодеревщика». Такое стремление к геометрическому совершенству заставило Северини применять золотое сечение в подготовительных эскизах к нескольким работам (см. «Материнство», сейчас хранится в частной коллекции в Риме, рис. 78). Интересный пример роли золотого сечения в кубистическом искусстве – творчество русской художницы-кубистки Марии Воробьевой, известной как Маревна (1892–1984). В 1974 году Маревна написала книгу «Моя жизнь с художниками “Улья”», где очень увлекательно рассказывает о жизни и работе своих друзей – группы, куда входили художники Пикассо, Модильяни, Сутин, Ривера (от которого у Маревны родилась дочь) и другие – в Париже в двадцатые годы. Хотя Маревна не приводит никаких конкретных примеров, а ее исторические замечания зачастую неточны, из текста следует, что Пикассо, Ривера и Грис применяли золотое сечение как очередной, более сложный способ делить плоскость, предназначенный для знатоков и ценителей.

Рис. 78

В начале ХХ века золотым сечением очень интересовался и американский искусствовед Джей Хембридж (1867–1924). Хембридж выпустил целый ряд статей и книг, где определял два типа симметрии в классическом и современном искусстве. Первый он назвал статической симметрией, и такая симметрия основана на правильных фигурах наподобие квадрата и равностороннего треугольника и, по мнению исследователя, приводила к созданию безжизненных произведений искусства. В создании другой симметрии, которую он назвал динамической, главную роль играли золотое сечение и логарифмическая спираль. Главный тезис Хембриджа состоял в том, что применение динамической симметрии в композиции приводит к созданию живых и трогательных произведений искусства. Сегодня лишь немногие воспринимают его идеи всерьез.

Одним из самых ярых сторонников применения золотого сечения в искусстве и архитектуре был знаменитый швейцарско-французский архитектор и художник Ле Корбюзье (Шарль-Эдуар Жаннере-Гри, 1887–1965). Жаннере родился в Ла-Шо-Де-Фон в Швейцарии, где учился живописи и гравюре. Отец его работал эмальером в часовой мастерской, а мать была пианисткой и учительницей музыкой и, помимо более абстрактных занятий, всячески склоняла сына стать музыкантом-виртуозом… В 1905 году Жаннере стал изучать архитектуру и впоследствии стал одной из самых влиятельных фигур в современной архитектуре. Зимой 1916–1917 года Жаннере переехал в Париж и познакомился там с Амеде Озанфаном, который был вхож в высшее парижское общество художников и мыслителей. Благодаря Озанфану Жаннере познакомился с кубистами и невольно перенял их эстетические взгляды. В частности, Хуан Грис заразил его интересом к системам пропорций и их роли в эстетике. Осенью 1918 года Жаннере и Озанфан устроили совместную выставку в галерее Тома. Точнее, две картины Жаннере соседствовали с куда более многочисленными полотнами Озанфана. Озанфан и Жаннере назвали себя пуристами, а каталог своей выставки озаглавили «Aprs le Cubisme» – «После кубизма». Пуризм возрождает идеи Пьеро делла Франческа и платоновской эстетической теории: он утверждает, что «произведение искусства не должно быть случайным, исключительным, импрессионистским, неорганичным, протестным, картинным – напротив, оно должно быть обобщенным, статичным, выразительным за счет постоянства».

Псевдоним Ле Корбюзье (позаимствованный у предков с материнской стороны, чья фамилия была Лекорбезье) Жаннере взял лишь в 33 года, когда он уже пустил корни в Париже и был уверен в своем будущем. Судя по всему, он в целом хотел перечеркнуть мелкие неудачи прошлого и создать миф о том, что его архитектурный гений расцвел в одночасье. Поначалу Ле Корбюзье относился к применению золотого сечения в искусстве довольно-таки скептически и даже отрицательно – он предостерегал против того, чтобы «замещать здравый смысл мистицизмом при помощи олотого сечения». Более того, подробный анализ архитектурных проектов и «пуристских» работ Ле Корбюзье, который проделал Роджер Герц-Фишлер, показывает, что до 1927 года Ле Корбюзье ни разу не применял золотое сечение. Ситуация резко переменилась после выхода в свет уже упоминавшегося авторитетного труда Матилы Гика «Эстетика пропорций в природе и искусстве», а с появлением в 1931 году его «Золотого сечения» мистические аспекты стали волновать читающую публику еще сильнее. Ле Корбюзье увлекся «Эстетикой» и золотым сечением по двум причинам. С одной стороны, это было следствием его интереса к основным геометрическим формам и структурам, скрытым за природными явлениями. С другой стороны, в семье Ле Корбюзье приветствовали музыкальное образование, и он вполне мог оценить пифагорейское стремление к гармонии, достигаемой соотношениями чисел. Он писал: «Более тридцати лет назад по жилам моих работ – и архитектурных, и живописных – заструился сок математики, ибо музыка никогда меня не покидает». Поиски стандартизированной пропорции достигли пика в создании новой системы пропорций – Модулера.

Предполагалось, что Модулер станет «гармонической мерой человеческого масштаба, применимой универсально в архитектуре и в механике». В сущности, такое определение – не более чем перефразированное знаменитое изречение Протагора, высказанное в V веке до н. э.: «Человек есть мера всех вещей». Естественно, Модулер был основан на пропорциях человеческого тела (рис. 79) – в духе «Витрувианского человека» (рис. 53) и общей философской задачи создать систему пропорций, эквивалентной той, что создала природа. Человек ростом шесть футов (около 183 см), несколько напоминающий знакомого «мишленовского человечка» с рекламы шин, с поднятой рукой (общая высота составляет 226 см, или 7 футов 5 дюймов), вписан в квадрат (рис. 80). Отношение его роста (183 см, 6 футов) к расстоянию от подошв до пупка (на середине общей высоты – 113 см, 3 фута 8,5 дюймов) – это в точности золотое сечение. Общая высота – от подошв до кончиков пальцев поднятой руки – также делится в золотом сечении (на 140 см и 86 см) на уровне запястья опущенной руки. Два отношения – 113/70 и 140/86 – подразделялись далее на более мелкие величины в соответствии с последовательностью Фибоначчи – каждое число есть сумма двух предыдущих (рис. 81). Окончательная версия Модулера (рис. 79 и 81), таким образом, опиралась на две взаимопроникающие шкалы чисел Фибоначчи («красная и голубая серии»). По предложению Ле Корбюзье Модулер должен был обеспечить гармонические пропорции всему – от размеров дверных ручек и шкафов до зданий и городов. В мире, где постоянно росла потребность в массовом производстве, Модулер должен был предоставить модель для стандартизации. Ле Корбюзье выпустил две книги – «Модулер» (1948) и «Модулер II» (1955) (Le Corbusier. Le Modulor; Le Corbusier. Modulor II), которые вызвали пристальное внимание в кругах специалистов по архитектуре и до сих пор служат аргументом в любом споре о пропорциях. Ле Корбюзье очень гордился тем, что ему представился случай показать «Модулер» самому Альберту Эйнштейну – они встречались в Принстоне в 1946 году. Вот как архитектор вспоминал этот момент: «Я плохо говорил, плохо рассказал о Модулере, завяз в трясине причинно-следственных связей». Тем не менее, Эйнштейн написал ему письмо, где сказал о Модулере так: «Это шкала пропорций, благодаря которой сделать плохо станет трудно, а сделать хорошо – легко».

Рис. 79

Рис. 80

Рис. 81

Свою теорию Модулера Ле Корбюзье воплощал на практике во многих своих проектах. Скажем, в предварительных заметках к проекту целого индийского города Чандигарх, где стоят четыре крупных правительственных здания – парламент, дворец правосудия и два музея – мы читаем: «Однако, разумеется, при разработке ритма окон учитывается Модулер… в общей части здания, где, в частности, многочисленные кабинеты и залы суда должны укрываться от солнца, Модулер обеспечивает единство текстуры. В дизайне фасадов Модулер (с точки зрения текстуры) задействует красную и голубую серию в пределах пространств, уже ограниченных оконными рамами».

Разумеется, художники интересовались золотым сечением и после Ле Корбюзье, однако большинство его последователей увлекались скорее математико-философски-историческими качествами этого соотношения, нежели его предполагаемыми эстетическими свойствами. Скажем, английский абстракционист Энтони Хилл в 1960 году применил последовательность Фибоначчи в параметрах своей работы «Конструктивный рельеф» (рис. 82). Подобным же образом современный израильский художник и скульптор Игаль Тумаркин сознательно включил формулу ( = (1+5)/2) в одну из своих картин.

Рис. 82

Итальянец Марио Мерц превратил последовательность Фибоначчи в важную составляющую своих работ. Мерц родился в Милане в 1925 году, а в 1967 году примкнул к художественному течению «Арте повера» (итал. «Arte Povera» – «бедное искусство»), куда также входили художники Микеланджело Пистолетто, Лучано Фабро и Яннис Кунеллис. Название движения (его придумал критик Джермано Челант) объясняется стремлением участников применять в своем творчестве простые повседневные материалы в знак протеста против негуманного общества потребления, каким они его видели. Применять последовательность Фибоначчи Мерц начал в 1970 году в серии «концептуальных» работ, куда входили последовательности чисел и разнообразные спирали.

Мерц так стремился применять числа Фибоначчи, поскольку эта последовательность лежит в основе многих закономерностей роста и развития в природе. В своей работе 1987 года под названием «Ударная волна» («Onda d’urto») художник разместил длинный ряд стопок газет, над каждой из которых сияют неоновые числа Фибоначчи. Работа «Неаполь Фибоначчи» (1970) состоит из 10 фотографий фабричных рабочих, где количество изображенных возрастает в соответствии с последовательностью Фибоначчи от одиночных портретов до группы из 55 человек (десятое число Фибоначчи).

Необоснованные утверждения, что тот или иной художник якобы применял в своем творчестве золотое сечение, множатся, словно грибы после дождя. Одно подобное заявление заслуживает особого разбора, поскольку его без конца повторяют. Голландский художник Пит Мондриан (1872–1944) известен в основном благодаря своему беспредметному геометрическому стилю, который он назвал неопластицизмом. В частности, для композиции многих его картин характерно применение исключительно вертикальных и горизонтальных линий, прямоугольников и квадратов и только основных цветов (иногда – с вкраплениями черного и серого) на белом фоне, как, например, в картине «Буги-вуги на Бродвее» (рис. 83, хранится в Музее современного искусства в Нью-Йорке). Изогнутые линии, трехмерность, реалистичность изображения в его творчестве полностью исключались.

Рис. 83

Наверное, не стоит удивляться, что геометрические композиции Мондриана привлекли пристальное внимание адептов золотого сечения и стали предметом различных спекуляций. Дэвид Бергамини в своей «Математике» признает, что сам Мондриан «толковал композицию своих картин расплывчато», но тем не менее, утверждает, что линейная абстракция «Площадь Согласия» заключает в себе взаимоперекрывающиеся золотые прямоугольники. Шарль Було в своей «Тайной геометрии художника» позволяет себе еще более смелые заявления: он утверждает, что «Французские художники никогда не осмеливались заходить так далеко в чистую геометрию и так строго и последовательно применять золотое сечение, как холодный и безжалостный голландец Пит Мондриан». Далее Було говорит, что в «Буги-вуги на Бродвее» «почти все горизонтали и вертикали, составляющие картину, построены на золотом сечении». Я потратил некоторое время на изучение более серьезных рабо о творчестве Мондриана и не нашел там ни единого упоминания о золотом сечении, и тогда мне стало интересно, как же все было на самом деле: применял или не применял Мондриан золотое сечение в композиции своих картин? В отчаянии я решил прибегнуть к последнему средству и обратился к настоящему специалисту. Это был Ив-Ален Буа из Гарвардского университета, соавтор книги «Мондриан» (Yves-Alain Bois et al. Mondrian), выпущенной в 1999 году к ретроспективной выставке художника. Ответ Буа был совершенно недвусмыслен: «Насколько мне известно, у Мондриана никогда не было никакой системы пропорций, если не считать своего рода сеток из модулей, которые он писал в 1918–1919 годах, но там система выводилась из формата самих картин – восемь на восемь единиц». Далее Буа добавил: «Помнится, и сам Мондриан язвил по поводу того, что в его работах якобы использовались арифметические выкладки». «Думаю, что золотое сечение применительно к Мондриану – чистой воды чушь». Все эти занимательные исторические анекдоты оставляют один нерешенный вопрос. По какой же причине столь много художников задумывались о том, как задействовать золотое сечение в композиции своих работ – если не считать чисто интеллектуального любопытства? Может быть, это соотношение, выраженное в виде золотого прямоугольника, и в самом деле обладает какими-то имманентными эстетическими свойствами, которые ставят его выше других пропорций? Сами по себе попытки ответить на этот вопрос привели к массе психологических экспериментов и написанию множества книг и статей.

Должным образом выбранные пропорции радуют глаз

Словами, вынесенными в название этого раздела, итальянский философ-схоласт Фома Аквинский (ок. 1225–1274) попытался выразить фундаментальные отношения между математикой и красотой. Похоже, людям доставляют удовольствие «формы», обладающие определенной симметрией или подчиняющиеся определенным геометрическим правилам.

При изучении гипотетической эстетической ценности золотого сечения мы сосредоточимся на эстетике очень простых, беспредметных линий и форм, а не на сложном визуальном материале и произведениях искусства. Более того, в большинстве психологических экспериментов, о которых я здесь расскажу, слова «красота» преднамеренно избегали. Вместо него употреблялись слова вроде «приятный» или «привлекательный». Тогда можно обойтись без определения, что такое «красивый», и опереться на тот факт, что у большинства людей есть достаточно четкое представление о том, что им нравится, даже если они не могут объяснить, почему.

Очень многие авторы утверждали, что золотой прямоугольник – самый эстетически приятный прямоугольник на свете. В новое время интерес к этому вопросу был во многом вызван чередой несколько странноватых публикаций немецкого исследователя Адольфа Цайзинга, которая началась с выпущенной в 1854 году книги «Новейшая теория пропорций человеческого тела» (Adolph Zeising. Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Krpers), а ее кульминацией стало посмертное издание труда Цайзинга «Золотое сечение» («Der Goldener Schnitt», 1884). В этих работах Цайзинг сочетал идеи Пифагора и Витрувия в собственной вольной трактовке и на их основании отстаивал ту точку зрения, что «деление на части человеческого тела, структура тела многих животных, для которых характерно хорошее сложение, фундаментальные типы различных видов растений… гармонии самых приятных музыкальных аккордов и пропорциональность самых прекрасных произведений архитектуры и скульптуры» – все это основано на злотом сечении. Поэтому для Цайзинга золотое сечение становилось ключом к пониманию всех пропорций «самых утонченных форм в природе и искусстве». Задачу проверить излюбленную теорию Цайзинга взял на себя Густав Теодор Фехнер (1801–1887), один из основателей современной психологии.

Фехнера считают основоположником экспериментальной эстетики. В одном из своих первых экспериментов он провел опрос общественного мнения: просил посетителей Дрезденской галереи сравнить красоту двух почти одинаковых изображений Мадонны («Дрезденской Мадонны» и «Дармштадтской Мадонны»), выставленных рядом. Обе картины приписывают немецкому художнику Гансу Гольбейну Младшему (1497–1543), хотя было подозрение, что «Дрезденская Мадонна» – всего лишь позднейшая копия. Эксперимент потерпел полный провал: из 11 842 посетителей ответить на вопросы анкеты согласились лишь 113 – и это были в основном художественные критики или люди так или иначе предвзятые.

Первые эксперименты с прямоугольниками Фехнер проводил в 1860 годы, а их итоги подвел в книге «Введение в эстетику» («Vorschule der Aesthetik», 1876). Фехнер горячо протестовал против «нисходящего» подхода к эстетике, который начинается с формулировки абстрактных принципов красоты, а отстаивал развитие экспериментальной эстетики – снизу вверх. Эксперимент Фехнера был достаточно прост: перед испытуемым помещали десять прямоугольников, а затем просили отобрать самый приятный и самый неприятный. По отношению длины и ширины прямоугольники варьировались от квадрата (соотношение 1,0) до продолговатого прямоугольника (соотношение 2,5). Три прямоугольника были более вытянутые, чем золотой прямоугольник, шесть – ближе к квадрату. Согласно тому, как описывал ход эксперимента сам Фехнер, испытуемые часто медлили и колебались, отвергая то один, то другой прямоугольник. Между тем экспериментатор объяснял, что они должны выбрать самый приятный, гармоничный, изящный прямоугольник. В ходе эксперимента Фехнера 76 % испытуемых выбирали три прямоугольника с соотношением сторон 1,75, 1,62 и 1,50, а большинство – именно золотой прямоугольник (1,62). Все остальные прямоугольники получали менее 10 % «голосов» каждый.

Задумывая этот эксперимент, Фехнер был небеспристрастен. Он сам признавал, что на опыт его вдохновило «видение мира, где мысль, дух и материя едины и связаны тайной чисел». Обвинять Фехнера в подтасовке результатов никто не станет, однако некоторые отмечают, что он, вероятно, бессознательно создавал обстановку, способствовавшую желаемому результату. И в самом деле, неопубликованные работы Фехнера показывают, что он проводил подобные эксперименты и с эллипсами, однако в итоге не обнаружил никакого предпочтения золотому сечению и публиковать результаты не стал.

Впоследствии Фехнер измерил параметры тысяч печатных изданий, картинных рам в галереях, оконных рам и других предметов прямоугольной формы. Результаты у него были довольно интересны и зачастую даже забавны. Например, он обнаружил, что игральные карты в Германии печатались несколько более продолговатыми, чем золотой прямоугольник, а во Франции были ближе к нему. С другой стороны, Фехнер обнаружил, что отношение длины и ширины обложек сорока романов из публичной библиотеки близко к . Картины (исследовалась область внутри рамы), по данным измерений Фехнера, были «существенно короче» золотого прямоугольника. Что же касается оконных рам, Фехнер сделал по их поводу следующее наблюдение, которое в наши дни сочли бы политически некорректным: «Лишь в крестьянских домах окна часто бывают квадратными, что согласуется с тем фактом, что люди с низким уровнем образования предпочитают эту форму чаще, чем люди образованные». Далее Фехнер утверждает, что на могильных крестах перекладина в среднем пересекает вертикальный шест в золотом сечении.

В течение всего ХХ века многие исследователи повторяли подобные эксперименты с различными результатами. Те, кто слишком страстно любит золотое сечение, зачастую утверждали, будто эти эксперименты вроде бы подтверждают идею, что золотое сечение эстетически предпочтительнее. Однако более тщательные исследования выявляют крайне непрофессиональную подготовку и методологические дефекты многих таких экспериментов. Иногда оказывается, что результаты, например, зависят от того, как треугольники показывали испытуемым – длинной стороной по вертикали или по горизонтали, – от размера и цвета прямоугольников, от возраста испытуемых, от культурных различий, а особенно – от применявшегося экспериментального метода. В статье, опубликованной в 1965 году, амеиканские психологи Л. А. Стоун и Л. Дж. Коллинз предположили, что предпочтение золотого треугольника, которое отмечали некоторые экспериментаторы, связано с полем зрения человека. Эти исследователи выявили, что «средний прямоугольник» из тех прямоугольников, которые очерчивали внутри и вокруг бинокулярного поля зрения у большого количества испытуемых, обладал отношением длины и ширины, равным 1,5, то есть не очень далеким от золотого сечения. Однако последующие эксперименты не подтвердили этих находок. В ходе эксперимента, который провел в 1966 году Х. Р. Шиффман из Ратгерского Университета, испытуемых просили начертить на листе бумаги «самый эстетически приятный прямоугольник», какой они только смогут. По завершении чертежа испытуемых просили ориентировать фигуру вертикально или горизонтально (относительно длинной стороны) самым приятным образом. Шиффман выявил, что подавляющее большинство предпочитает горизонтальное положение, что соответствует форме поля зрения, однако среднее соотношение длины и ширины было около 1,9 – очень далеко и от золотого сечения, и от «среднего прямоугольника» с параметрами поля зрения.

Психолог Майкл Годкевич из Университета Торонто заставляет еще сильнее сомневаться, что самый «приятный» прямоугольник – это именно золотой прямоугольник. Годкевич первым указал на тот важный факт, что средние преференции группы могут вовсе и не отражать, какой прямоугольник самый «приятный», по мнению отдельного участника эксперимента. Зачастую то, что в среднем выбирают чаще всего, не стоит на первом месте ни у кого. Например, вполне может быть, что марка шоколада, которая у каждого стоит на втором месте, займет первое место в среднем по результатам опросов, но на самом деле ее никто даже не купит! Следовательно, более разумная мера преференции – это именно количество случаев, когда что-то занимает первое место, а не средние значения количества предпочтений. Далее Годкевич отмечает, что если золотое сечение действительно искренне предпочитает большинство, значит, его чаще всего будут выбирать первым номером, независимо от того, какие еще прямоугольники показывают испытуемым.

В 1974 году Годкевич опубликовал результаты исследования, в котором участвовали 27 прямоугольников с соотношением длины и ширины в трех диапазонах. В одном диапазоне золотой прямоугольник был ближе к самому продолговатому треугольнику, в другом находился примерно посередине, в третьем был близок к самому короткому прямоугольнику. Согласно Годкевичу, результаты эксперимента показали, что золотой прямоугольник предпочитали в зависимости от положения в диапазоне прямоугольников и от того обстоятельства, что в более ранних экспериментах применялось среднее ранжирование по преференции, а не учитывалось количество случаев, когда золотой прямоугольник занимал первое место. Годкевич делает вывод, что «На главный вопрос – есть или нет в западном мире надежное, вербально выраженное эстетическое предпочтение определенного соотношения между длиной и шириной прямоугольных фигур – получен, вероятно, отрицательный ответ. Едва ли остается какое бы то ни было разумное основание считать золотое сечение решающим фактором при определении формальной визуальной красоты».

С выводами Годкевича согласны не все. Английский психолог Крис Макманус в 1980 году опубликовал результаты тщательного исследования, где применялся метод сопоставления по парам, то есть суждение выносилось по каждой паре прямоугольников. Считается, что этот метод лучше других экспериментальных методов, поскольку существуют солидные доводы в пользу того, что любое ранжирование – это скорее процесс последовательного сопоставления в парах. Макманус сделал вывод, что «есть умеренно надежные свидетельства в пользу феномена, на котором настаивал Фехнер, хотя метод, которым пользовался для его доказательства сам Фехнер, в лучшем случае можно назвать крайне подозрителеным и приводящим к артефактам». Однако Макманус признал, что «Важно ли при этом золотое сечение как таковое, в противоположность простым соотношениям (1,5, 1,6 или даже 1,75), совершенно неясно».

Можете протестировать самого себя или своих друзей и узнать, какой прямоугольник нравится вам больше всего. На рис. 84 изображено 48 прямоугольников одной высоты, но разной ширины, которая варьируется от 0,4 до 2,5 высоты. Математик Джордж Марковски из Университета штата Мэн пользовался этой коллекцией в своих неофициальных экспериментах. Интересно, займет ли у вас первое место именно золотой треугольник? (Пятый слева в четвертом ряду.)

Рис. 84

Золотая музыка

Пифагор открыл, что разные музыкальные тоны соотносятся между собой как рациональные числа, и этим открытием в наши дни пользуются все струнные квартеты и все симфонические оркестры. Более того, в перечень обязательных образовательных дисциплин, принятый у древних греков и оставшийся неизменным до времен Средневековья, музыка входила как раздел математики, а музыканты сосредотачивали свои усилия на понимании математической основы тонов. Концепция «музыки сфер» – великолепный синтез музыки и математики, и в воображении философов и музыкантов именно она позволяла – пусть и немногим избранным и одаренным – представить себе мироздание как единый величественный замысел. По словам великого римского оратора и философа Цицерона (ок. 106–43 гг. до н. э.) «звук, о котором говорилось выше, производимый необычайно быстрым круговращением всего мира, столь силен, что человеческое ухо не может его воспринять, – подобно тому, как вы не можете смотреть прямо на Солнце, когда острота вашего зрения побеждается его лучами» (Пер. И. Горенштейна). Лишь в XII веке музыка перестала рабски следовать математическим формулам и предписаниям. Однако даже в XVIII веке немецкий философ-рационалист Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) писал: «Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi» («Музыка есть тайное арифметическое упражнение духа, который не знает, что он занят вычислениями»).

Примерно в это же время великий немецкий композитор Иоганн Себастьян Бах (1685–1750) необычайно увлекался разнообразными играми с участием чисел и музыкальных тонов. В частности, он при помощи музыкального шифра закодировал в некоторых своих сочинениях собственную подпись. Согласно старой немецкой системе записи нот буква В соответствовала си-бемоль, а H – си; А – это ля, С – до, поэтому Бах записал свою фамилию ВАСН нотами – си-бемоль, ля, до, си. Кроме того, Бах применял и шифр, основанный на Гематрии. Буквенное обозначение ноты ля – А – соответствует число 1, ноты си – В – числу 2, до – С – числу 3 и т. д., поэтому B-A-C-H = 14, а J-S-B-A-C-H = 41 (поскольку во времена Баха I и J в немецком алфавите были одной и той же буквой). Эрик Альтшулер, математик и большой любитель творчества Баха, в своей увлекательной книге «Баханалия» (Eric Altschuler. Bachanalia, 1994) приводит многочисленные примеры зашифрованных в музыке композитора чисел 14 (ВАСН) и 41 (JSBАCH); он убежден, что Бах сознательно употреблял именно такие последовательности нот. Например, тема первой фуги Баха, в фуге до-мажор из первого тома «Хорошо темперированного клавира», состоит из четырнадцати нот. Кроме того, из двадцати четырех повторений темы в двадцати двух она доведена до завершения, в двадцать третьем – почти до завершения и лишь в одном, четырнадцатом, вообще не завершена. Альтшулер делает вывод, что то, что Бах так увлеченно ставил в своих произведениях шифрованную подпись, сродни пристрастию художников включать автопортреты в создаваемые картины или манеры Альфреда Хичкока исполнять во всех своих фильмах маленькую роль-камео.

Если учесть исторические отношения музыки с числами, на ум сам собой приходит вопрос, играло ли золотое сечение (или числа Фибоначчи) ту или иную роль как в развитии музыкальных инструментов, так и в музыкальных композициях.

Золотое сечение очень часто применяется в конструкции скрипки. Как правило, очертания корпуса скрипки составляют не менее двенадцати кривых – они и создают ее характерные изгибы. Центром самой плоской кривой, внизу, как правило, служит точка, делящая центральную линию скрипки в золотом сечении.

Пожалуй, самые знаменитые скрипки – это инструменты работы Антонио Страдивари (1644–1737) из итальянского города Кремона. На чертежах мастера (рис. 85) видно, что Страдивари особенно тщательно рассчитывал геометрическое положение так называемых эфов – прорезей на передней части корпуса, – и помещал их в точки, определенные золотым сечением. Однако лишь немногие – возможно, таких и вовсе нет, – полагают, будто скрипки Страдивари обязаны своим непревзойденным качеством и звучанием именно золотому сечению. Гораздо чаще «секретом» Страдивари называют лак, клей, древесину и, конечно, мастерство изготовителя. Многие специалисты сходятся на том, что популярность скрипок XVIII века в целом объясняется их прекрасным звучанием в больших концертных залах. Большинство этих специалистов скажет вам также, что никакого «секрета» у скрипок Страдивари нет: это прекрасно выполненное изделие, которое вполне можно повторить, сумма тщательно изготовленных частей, составляющих добротное целое.

Рис. 85

Рис. 86

В связи с числами Фибоначчи упоминают и другой музыкальный инструмент – фортепиано. Октава на клавиатуре фортепиано состоит из тринадцати клавиш, восьми белых и пяти черных (рис. 86). Черные клавиши, в свою очередь, объединены в две группы – две и три. Так вышло, что числа 2, 3, 5, 8 и 13 – последовательные числа Фибоначчи. А то, что главная тональность – до мажор, объясняется отчасти тем, что эту гамму играют только на белых клавишах. Однако очень может быть, что связь между клавиатурой фортепиано и числами Фибоначчи – всего лишь случайность, порождающая необоснованные домыслы. Во-первых, обратим внимание, что хроматическая гамма – на рисунке от ноты «до» до ноты «си» – на которой строится вся западная музыка, состоит на самом деле из двенадцати, а не тринадцати полутонов. Одна и та же нота «до» играется в октаве дважды, дабы подчеркнуть завершенность цикла. Во-вторых и в-главных, расположение клавиш в два ряда, когда диезы и бемоли сгруппированы по два и по три в верхнем ряду, восходит к началу XV века, то есть сложилась задолго до публикации книги Пачоли и тем более до любых серьезных исследований чисел Фибоначчи.

Страстные поклонники золотого сечения утверждают, что это соотношение обладает особыми эстетическими свойствами не только в изобразительном искусстве, но и в музыке, где оно создает особенно приятные созвучия. Например, в книгах о золотом сечении сплошь и рядом пишут, что многие считают, будто самые благозвучные музыкальные интервалы – это большая и малая сексты и что эти интервалы связаны с золотым сечением. Для чистого музыкального тона характерна определенная частота, выраженная в количестве колебаний в секунду, и определенная амплитуда, определяющая громкость в конкретный момент времени. Обычно для настраивания музыкальных инструментов используют ноту ля, которой соответствует частота 440 колебаний в секунду. Большая секста получается из сочетания ля с до: последней соответствует частота около 264 колебаний в секунду. Отношение частот 440/264 сокращается до 5/3 – то есть до отношения двух последовательных чисел Фибоначчи. Большая секста получается, если взять верхнее до (528 колебаний в секунду) и ми (330 колебаний в секунду). В этом случае отношение 528/330 сокращается до 8/5, то есть тоже до отношения двух последовательных чисел Фибоначчи – это уже очень близко к золотому сечению (напомню, что отношения последовательных чисел Фибоначчи стремятся к золотому сечению). Однако и здесь, как и в живописи, понятие «самого благозвучного» музыкального интервала несколько неоднозначно.

Инструменты, ноты у которых фиксированы, например, фортепиано, настраивают по «равномерно темперированному строю», который популяризировал Бах, где каждый полутон обладает таким же отношением частот, что и следующий, поэтому легко играть в любой тональности. Отношение двух соседних частот у хорошо темперированного инструмента равно 2^1/12 (то есть корень 12 степени из 2). Откуда взялось это число? Его происхождение восходит к Древней Греции. Вспомним, что октава получается, если поделить струну на две равные части (то есть соотношение частот должно быть 2 к 1), а квинта – если соотношение частот будет 3 к 2 (то есть при делении струны на две части – две трети и одна треть). Один из вопросов, особенно занимавших пифагорейцев, состоял в том, можно ли создать целое число октав, повторяя процедуру создания квинты (то есть последовательно применяя соотношение частот 3 к 2). В математических терминах это все равно что спросить, существуют ли два целых числа n и m, такие, что (3/2)ⁿ = 2^m. Как выясняется, целых чисел, удовлетворяющих этому равенству, нет, однако при n = 12 и m = 7 мы подходим к решению довольно близко, ведь по странному совпадению 2^1/12 примерно равняется 3^1/19 (корень 19 степени из 3). Поэтому двенадцать частот октавы – это приблизительно равные степени базового соотношения частот 2^1/12. Кстати, хотите верьте, хотите нет, но 19/12 = 1,58, не так уж далеко от .

Золотое сечение в принципе могло бы повлиять на то, какое удовольствие мы получаем от музыкального произведения, если учесть концепцию пропорционального равновесия. Однако положение дел здесь несколько сложнее, чем в изобразительном искусстве. Неудачная композиция картины сразу бросается в глаза. С другой стороны, в музыке нужно выслушать произведение с начала до конца, а потом уже делать выводы. Тем не менее не приходится сомневаться, что опытные композиторы строят свои произведения так, чтобы не только разные части прекрасно гармонировали друг с другом, но можно было оценивать и каждую часть в отдельности – она служит сама себе мерилом.

Мы видели много примеров, когда приверженцы золотого сечения изучали пропорции всевозможных произведений искусства в поисках действительного или мнимого применения . Эти страстные поклонники подвергли подобному обращению и многие музыкальные композиции. Результаты получились очень похожие: наряду с единичными случаями, когда золотое сечение и в самом деле легло в основу той или иной системы пропорций, налицо множество ошибочных предположений.

Пол Ларсон из Университета Темпл в 1978 году заявил, что обнаружил золотое сечение в нотной записи первой европейской музыки – в хоралах «Kyrie» из собрания грегорианских хоралов «Liber Usualis». Тридцать хоралов «Kyrie» в этом собрании созданы с разбросом более чем в шестьсот лет, начиная с Х века. Ларсон утверждал, что проанализировал 146 частей хоралов «Kyrie» и в 105 из них обнаружил значимые «события» (например, начало или конец музыкальной фразы), разделенные в отношении золотого сечения. Однако в отсутствие каких бы то ни было исторических данных, подтверждающих, что композиторы тех времен применяли золотое сечение при создании этих хоралов, и каких бы то ни было рациональных объяснений, зачем это было делать, можно лишь считать, что перед нами, к сожалению, очередной пример жонглирования цифрами.

В целом подсчет нот и ритма нередко выявляет определенные численные соотношения между разными частями музыкальной пьесы, и у того, кто проводит этот анализ, возникает, конечно, понятное и естественное искушение сделать вывод, что композитор сознательно все рассчитал. Однако если нет надежных документальных свидетельств – а во многих случаях их нет – подобные предположения сомнительны.

В 1995 году математик Джон Ф. Путц из колледжа Альма в Мичигане исследовал вопрос о том, пользовался ли Моцарт (1756–1791) золотым сечением в двадцати девяти частях фортепианных сонат, каждая из которых, в свою очередь, состоит из двух отчетливо выраженных фрагментов: сначала идет кспозиция, когда слушателя знакомят с музыкальной темой, а затем разработка, где тема развивается и пересматривается. Поскольку музыкальные произведения делятся на одинаковые по продолжительности единицы под названием «такты», Путц изучил отношение количества тактов в двух частях сонат. Моцарт, который в школьные годы, по свидетельству его сестры, «не говорил и не думал ни о чем, кроме цифр», вероятно, один из лучших кандидатов на то, чтобы строить свои сочинения на математической основе. Более того, и до Путца было опубликовано несколько статей, где утверждалось, что в фортепианных сонатах Моцарта и в самом деле видно влияние золотого сечения. Первые результаты Путца оказались очень многообещающими. В сонате № 1 до мажор, к примеру, в первой части разработка состоит из шестидесяти двух тактов, а экспозиция из тридцати восьми. Отношение 64/38 = 1,63 очень близко к золотому сечению. Однако тщательное изучение всех данных в целом убедило Путца, что нет, Моцарт не применял в своих сонатах золотое сечение и вообще неочевидно, что простое соотношение длительности частей произведения делает его особенно приятным. Поэтому, хотя многие называют музыку Моцарта подлинно божественной, божественная пропорция тут ни при чем.