200 занимательных логических задач Гусев Дмитрий
166. Какое наименьшее целое положительное число можно написать двумя цифрами, при этом не используя никаких знаков действий?
167. Какой величины покажется угол в 2, если его рассматривать в лупу, увеличивающую в четыре раза?
168. Земной шар стянут по экватору стальной проволокой. Если ее охладить на 1, она укоротится и врежется в землю. Как велико будет это углубление? (Охлаждаясь на 1, стальная проволока укорачивается на 1/100 000 своей длины; длина земного экватора 40 000 км).
169. Каким образом возможно определить величину острого угла (на чертеже), при этом не делая никаких измерений?
170. Как выразить число 1000 восемью одинаковыми цифрами? (Можно использовать знаки действий).
171. Один отец дал своему сыну 500 рублей, а другой своему – 400 рублей. Однако, оказалось, что оба сына вместе увеличили количество своих денег только на 500 рублей. Как такое возможно?
172. Какая из двух прямоугольных коробок с квадратным основанием более вместительна – правая, широкая или левая, которая втрое выше, но вдвое уже, чем правая? (См. рисунок).
173. Можете ли вы найти три последовательных (следующих в натуральном ряду чисел одно за другим) числа, которые отличаются таким свойством, что квадрат среднего числа на единицу больше произведения двух остальных, крайних чисел.
174. Косточка вишни окружена слоем мякоти, который имеет такую же толщину, как и сама косточка. Во сколько раз объем мякоти вишни больше объема ее косточки?
175. Всем хорошо известно, что луна и солнце, наблюдаемые у горизонта, имеют гораздо большую величину, чем когда они висят высоко в небе, находясь в зените. Это связано с тем, что тогда, когда мы наблюдаем луну или солнце у горизонта, они находятся ближе к земле и поэтому выглядят крупнее. Верно ли это рассуждение?
176. Желая проверить, имеет ли отрезанный кусок материи форму квадрата, вы перегибаете его по диагоналям и убеждаетесь, что края этого куска материи совпадают. Достаточна ли такая проверка?
177. Каким образом можно выразить единицу, при этом употребив все десять цифр и знаки математических действий?
178. Собеседник предлагает вам задумать некое число, потом проделать с ним какую-либо последовательность математических действий и сообщить ему результат, после чего называет задуманное число. Как он это делает?
179. Число 24 очень просто выразить тремя восьмерками: 8 + 8 + 8, а число 30 – тремя пятерками: 5 5 + 5. Можно ли выразить числа 24 и 30 тремя другими одинаковыми цифрами (не восьмерками и не пятерками соответственно), при этом используя знаки математических действий?
180. Как тремя любыми цифрами записать возможно большее число, не используя при этом никаких знаков действий?
181. Предположим, что вам надо изготовить книжную полку длиной в 1 м и шириной в 20 см, но у вас есть доска менее длинная, но более широкая – 75 см в длину и 30 см в ширину. Из нее, конечно же можно сделать доску требуемых размеров, отпилив вдоль полоску шириной в 10 см и, распилив ее на три равные части по 25 см, двумя из них нарастить доску посредством склеивания (см. рисунок).
Такое решение задачи является неэкономным по числу операций (три отпиливания и три склеивания), а, кроме того, книжная полка была бы слишком непрочной в том месте, где маленькие планки приклеены к основной доске.
Как из имеющейся доски в 75 см длиной и 30 см шириной изготовить книжную полку требуемых размеров большей прочности с помощью меньшего числа операций?
182. Каким образом возможно построить прямой угол, при этом не производя никаких измерений с помощью специальных инструментов?
183. Собеседник предлагает вам задумать любое двузначное число и продублировать его два раза таким образом, чтобы получилось шестизначное число. Например, 27 – 272727 или 78 – 787878. Далее он, не зная, разумеется, вашего шестизначного числа, предлагает вам разделить его на 37 и гарантирует, что деление пройдет без остатка. Вы производите деление, и, действительно, остатка не имеется. Далее он предлагает разделить получившийся результат на 13 и опять уверяет вас, что остатка не будет. Вы делите и вновь без остатка. Потом он точно так же просит вас разделить результат на 7 и после этого – еще на 3. Окончательное деление снова не дает остатка и, более того, вы получаете задуманное вами двузначное число, которое собеседнику было неизвестно. Каким образом он проделывает этот удивительный, на первый взгляд, фокус?
184. В витрине табачного магазина выставлена огромная папироса, которая в 20 раз длиннее и в 20 раз толще обыкновенной. Если для набивки обыкновенной папиросы требуется полграмма табака, то какое количество табака необходимо, чтобы набить им папиросу, выставленную в витрине магазина?
185. Каким образом разделить циферблат часов (см. рисунок) на шесть частей (любой формы), чтобы сумма чисел, имеющихся на каждом участке была одной и той же.
186. Перед вами три коробки кубической формы. Первая из них имеет ребро размером 6 см, вторая – 8 см, а третья – 9 см. Что больше: объем первых двух коробок вместе взятых или объем третьей коробки?
187. Во сколько примерно раз двухметровый великан тяжелее метрового карлика?
188. Каким образом, не пользуясь измерительными приборами, определить величину угла, образованного часовой и минутной стрелками, когда часы показывают семь часов?
189. Из четырех спичек собрано изображение совка, в котором находится мусор. Каким образом переложить две спички, чтобы мусора в совке не было, а вернее, чтобы он был вне совка?
190. Самолет преодолевает расстояние от одного города до другого за 1 ч. 20 мин. Однако на обратный перелет он затрачивает только 80 мин. Чем это можно объяснить? (Задача-шутка).
191. На рынке продаются два арбуза разных размеров. Один из них в полтора раза шире другого, а стоит он в два раза дороже его. Какой из этих арбузов выгоднее купить и почему?
192. Докажем, что неинтересных людей не существует. Будем рассуждать от противного: допустим, неинтересные люди есть. Соберем их мысленно вместе и выделим среди них самого большого по росту, или самого маленького по весу, или какого-то другого «самого…». Этот выделяющийся среди других человек, несомненно, будет интересен своей нестандартностью, поэтому его нельзя назвать неинтересным и надо исключить из группы неинтересных людей. Далее среди оставшихся неинтересных людей опять выделим какого-нибудь «самого…» и исключим его. И так до тех пор, пока не останется только один человек, которого уже невозможно ни с кем сравнить. Но именно этим он и будет интересен. Таким образом, неинтересных людей не существует. Верно ли это рассуждение? Если нет, то какая ошибка в нем допущена?
193. Вылетев из Петербурга, вертолет пролетел строго на север 500 км, потом повернул на восток и пролетел еще 500 км, далее, повернув на юг, пролетел еще 500 км, и, наконец, повернув на запд, пролетел последние 500 км. Во время полета вертолет находился на одной и той же высоте. Где он приземлился: там же, откуда вылетел или севернее (южнее, западнее, восточнее) этого места?
194. Какой высоты будет столбик, составленный из всех миллиметровых кубиков, заключенных в одном кубическом метре?
195. Часовая и минутная стрелки расположены на одинаковом расстоянии от цифры VI. В котором часу это могло произойти?
196. Из 12 спичек построена фигура креста, площадь которого равна пяти «спичечным» квадратам. Как без помощи измерительных приборов переложить спички таким образом, чтобы новая фигура охватывала площадь, равную только четырем спичечным квадратам?
197. Каким образом увеличить расстояние между двумя точками в три раза, если под рукой нет линейки, а есть только циркуль?
198. Первая кружка вдвое выше второй, но вторая вдвое шире первой. Какая из этих кружек вместительнее?
199. Собеседник просит вас задумать любое трехзначное число, после чего моментально умножает его на 999. Например, вы задумали число 147, но уже через мгновение собеседник сообщает вам результат умножения этого числа на 999, а именно – 146 853. Вы проверяете на бумаге или калькуляторе – все правильно, действительно будет 146 853. Вы просите его повторить эту операцию, называя ему другое трехзначное число, например, 276. Он так же стремительно умножает его на 999 и сообщает вам результат – 275 724. Вы проверяете – все верно. С неизменной легкостью и быстротой собеседник умножает любые предложенные ему трехзначные числа на 999, ни разу не ошибаясь и объясняя это своими «математическими способностями». Вы, конечно же, догадываетесь, что дело здесь не в способностях, а в чем-то другом. В чем же заключается секрет молниеносного умножения любого трехзначного числа на 999?
200. Улитка решила забраться на дерево, высота которого равна 15 метрам. Каждый день она поднималась на 5 метров, но каждую ночь, во время сна, спускалась вниз на 4 метра. Через сколько суток после начала своего путешествия она достигнет вершины дерева?
Ответы и комментарии
1. Такое место на земном шаре, конечно же, есть. Это южный географический полюс. В какую бы сторону от него ни идти, направление будет только одно – на север, ведь вокруг него всюду север. Поэтому стрелка компаса, помещенного на южный полюс, обоими своими концами будет указывать на север. Точно так же стрелка компаса, помещенного на северный географический полюс Земли, двумя своими концами будет указывать на юг.
2. Один из пяти человек должен забрать свое яблоко вместе с корзиной. Эффект этой не очень серьезной задачи основан на двусмысленности выражения «яблоко осталось лежать в корзине». Ведь его можно понимать и в том смысле, что оно никому не досталось, и в том, что оно просто не покидало место своего первоначального пребывания, а это совершенно разные вещи.
3. Это можно сделать различными способами:
4. Крестьянин должен, перевезя козу, вернуться и взять волка, которого он тоже перевозит на другой берег. После этого он оставляет его там, а козу забирает и везет обратно. Здесь он оставляет козу и перевозит к волку капусту, после чего возвращается и, наконец, переправляет на другой берег козу.
5. Из первого мешка надо вытащить одну монету, из второго – две, из третьего – три и т. д. (из десятого мешка – все десять монет). Далее следует все эти монеты вместе один раз взвесить. Если бы среди них не было фальшивых монет, т. е. все они были бы весом по 10 гр., то общий их вес составил бы 550 гр. Но поскольку среди взвешиваемых монет есть фальшивые (по 11 гр.), то общий их вес будет больше 550 гр. Причем, если он окажется 551 гр., то фальшивые монеты находятся в первом мешке, ведь из него мы взяли одну монету, которая и дала лишний один грамм. Если общий вес будет 552 гр., значит, фальшивые монеты находятся во втором мешке, ведь из него мы взяли две монеты. Если общий вес будет 553 гр., значит, фальшивые монеты находятся в третьем мешке и т. д. Таким образом, с помощью только одного взвешивания можно точно установить, в каком мешке находятся фальшивые монеты.
6. Надо взять печенье из банки с надписью «Овсяное печенье» (можно – и из любой другой). Так как банка надписана неправильно, то это будет песочное печенье или шоколадное. Допустим, вы достали песочное. После этого надо поменять местами этикетки «Овсяное печенье» и «Песочное печенье». А поскольку по условию все этикетки перепутаны, то теперь в банке с надписью «Шоколадное печенье» находится овсяное, а в банке с надписью «Овсяное печенье» находится шоколадное, значит надо поменять местами и эти две этикетки.
7. На первый взгляд может показаться, что человек выпьет последнюю таблетку через полтора часа, ведь это именно три раза по полчаса. На самом же деле, он выпьет последнюю таблетку не через полтора часа, а через час. Представим себе, что он выпивает первую таблетку. Проходит полчаса. Он выпивает вторую таблетку. Проходит еще полчаса. Он выпивает третью таблетку. Стало быть, человек выпьет последнюю таблетку через час после начала лечения.
8. Число 66 надо всего лишь перевернуть «кверху ногами». Получится 99, а это и есть 66, увеличенное в полтора раза.
9. Петр завел свои часы и перед уходом запомнил их показание, которое, допустим, равно а. Придя к знакомому, он немедленно узнал у него время, которое равно b. Перед уходом он опять запомнил время по часам знакомого, которое на этот раз было с. Придя домой, Петр заметил, что его часы показывают d. Разность (d – a) – это время его отсутствия дома. Разность (c – b) – это время, проведенное им в гостях. Разность первого и второго времени (d – a) – (c – b) – это время, потраченное на дорогу. Половина этого времени
была потрачена на обратную дорогу. Когда Петр уходил домой, часы его знакомого, как уже говорилось, показывали с. Если прибавить время, потраченное на обратную дорогу, к времени ухода домой, т. е. к с, то получится точное показание часов Петра при его возвращении домой:
10. Надо распилить все 5 звеньев одного куска и с их помощью соединить остальные 5 кусков. При этом общая стоимость работ составит 1 рубль 30 копеек, что на 20 копеек дешевле стоимости новой цепи.
11. На первый взгляд вопрос задачи выглядит бессмысленным, т. к. кажется несомненным, что все точки колеса движутся с одинаковой скоростью. Это верно для движения всех точек колеса вокруг его центра. Но в вопросе задачи речь идет об их движении в направлении поступательного движения колеса. В этом случае оказывается, что точки колеса, находящиеся в его верхней части, движутся в том же направлении, что и колесо, а точки, находящиеся в его нижней части, движутся в обратном направлении (см. рисунок). Следовательно, скорость верхних точек колеса складывается со скоростью движения колеса, а скорость его нижних точек вычитается из нее. Таким образом, в направлении поступательного движения колеса его верхние точки движутся быстрее, а нижние медленнее.
12. На первый взгляд кажется, что такое рассуждение совершенно верно: если один стакан наливается из полного самовара за полминуты, значит, все 30 стаканов выльются из него за 15 минут. Но это верно только в математическом отношении, а в данном случае речь идет о физическом явлении со своими закономерностями. Причем даже если ничего не знать о них, то все равно вполне понятно (даже на основе повседневного жизненного опыта), что свободно вытекающая (откуда угодно) вода выливается не с одной и той же скоростью, не равномерно. Сначала, когда некий резервуар полон водой, ее давление велико, и она вытекает быстрее. По мере опорожнения емкости, давление воды в ней падает, и она начинает течь медленнее. Таким образом, первые стаканы воды выливаются из самовара под большим напором, а остальные под меньшим, поэтому сначала стаканы наполняются быстрее, а потом медленнее. Следовательно, все 30 стаканов выльются из самовара при непрерывно открытом кране не за 15 минут, а за больший промежуток времени.
13. Может показаться, что глубже разрыхлит землю борона с 60 зубьями. Однако это не так. Вспомним, что чем больше площадь опоры какого-либо тела, тем меньшее давление оно оказывает на находящуюся под этим телом поверхность. (По этой причине, например, идущий по снежному сугробу человек проваливается в него каждой ногой, а лыжник не проваливается, свободно скользя по его поверхности). У бороны с 60 зубьями площадь опоры больше, чем у бороны с 20 зубьями, значит, 60 зубьев с меньшей силой давят на землю, чем 20 зубьев. Значит, глубже разрыхлит землю борона с 20 зубьями. (См. также задачу 26).
14. Если начертить подкову в виде дугообразной линии, то разрезать ее двумя прямыми линиями более чем на пять частей, не удастся. Если же нарисовать подкову такой, какова она на самом деле, т. е. имеющей ширину, то задача (может быть и не с первой попытки) является выполнимой.
15. Хозяин дома распилил серебряный брусок в трех местах, разделив его на 4 куска, длина которых была соответственно 1, 2, 4 и 8 дециметров. В первый день он отдал работнику самый короткий кусок. На второй день он забрал у него этот кусок и дал ему двухдециметровый. На третий день он вновь дал ему однодециметровый кусок. На четвертый день хозяин забрал у рабочего однодециметровый и двухдециметровый куски и дал ему взамен четырехдециметровый кусок и так далее.
16. Сначала надо взвесить 16 монет, положив на каждую чашу весов по 8 штук. Если какая-то чаша перевесит, значит в ней и находится более тяжелая монета. Если чаши уравновесятся, тогда искомая монета среди тех 8, которые не были взвешены. Далее из кучи, в которой находится тяжелая монета, надо взять 6 штук и, разбив их по 3, опять взвесить. Если какая-то из чаш весов перевесит, значит среди 3 монет, находящихся в ней, и есть искомая монета. Если чаши уравновесятся, значит, она – среди двух не взвешенных. И, наконец, надо взвесить или эти две оставшиеся монеты на двух чашах весов, или любые две из тех трех, среди которых находится более тяжелая. Во втором случае, если одна из чаш весов перевесит, то тяжелая монета – в ней, а если установится равновесие, то искомая монета – оставшаяся.
17. Из шкафа нужно достать только три носка.
18. Часы пробьют двенадцать часов за шестьдесят шесть секунд. Когда часы бьют шесть часов, то от первого удара до последнего проходит пять интервалов. Интервал составляет шесть секунд (одну пятую часть от тридцати). Когда часы бьют двенадцать, то от первого удара до последнего проходит одиннадцать интервалов. Так как длина интервала равна шести секундам, то для того, чтобы пробить двенадцать, часам требуется шестьдесят шесть секунд (11 6 = 66).
19. Пруд будет покрыт листьями лилии наполовину на 99 день. По условию число листьев каждый день удваивается, и если на 99 день пруд покрыт листьями наполовину, то на следующий день и вторая половина пруда будет покрыта листьями лилии, т. е. полностью пруд покроется ими через 100 дней.
20. Если полторы курицы несут полтора яйца в полтора дня, то за то же самое время (т. е. за полтора дня) три курицы снесут три яйца, а одна курица – одно яйцо. Курица, несущаяся в полтора раза лучше, снесет за то же время (за полтора дня) полтора яйца, т. е. одно яйцо в день. Значит за 15 дней (полторы декады) эта курица снесет полтора десятка яиц. Таким образом, ответ на поставленный вопрос, – одна курица.
21. Поднимаясь на пятый этаж, пассажирский лифт преодолевает четыре пролета, а грузовой минует два пролета до третьего этажа. Таким образом, путь, пройденный пассажирским лифтом, в два раза больше пути, пройденного грузовым. Поскольку пассажирский лифт идет в два раза быстрее, чем грузовой, то они достигнут своих этажей одновременно.
22. Для решения этой задачи надо составить уравнение.
Количество гусей в стае – это х. «Вот если бы нас было столько, сколько сейчас (т. е. х), – сказали гуси, – да еще столько (т. е. х), да еще пол-столько (т. е. ), да еще четверть столько (т. е. ), да еще ты (т. е. один гусь), вот тогда нас было бы 100 гусей». Получается: .
Произведем сложение в левой части равенства:
В стае летело 36 гусей.
23.
24. Для решения этой задачи надо составить уравнение. Обозначим число зверей как х, а число птиц – как у. В зоопарке 30 голов, т. е. х + у = 30, и тогда х = 30 – у. В зоопарке сто ног, т. е. 4 х + 2 у = 100. Подставим в это равенство выражение х = 30 – у. Получим: 4 (30 – у) + 2 у = 100.
Преобразуем: 120 – 4 у + 2 у = 100 или 120 – 2 у = 100, или 20 = 2 у. Значит, у = 10, т. е. в зоопарке 10 птиц. А зверей в зоопарке: 30–10 = 20.
25. Ошибка заключается в возведении каждой части равенства (– 2 = 2) в квадрат. Создается видимость, что над каждой частью равенства совершается одна и та же операция (возведение в квадрат), на самом же деле над каждой частью равенства совершаются различные операции, ведь левую часть мы умножаем на – 2, а правую умножаем на 2.
26. На первый взгляд кажется, что лежать, раздевшись, на голой каменистой поверхности, как на мягкой перине, совершенно невозможно. Однако это не так. Вспомним, что чем больше площадь опоры какого-либо тела на некую поверхность, тем меньшее давление оно оказывает на эту поверхность. Перина кажется нам мягкой, а деревянный пол жестким, потому, что площадь соприкосновения нашего тела с периной намного больше, чем с полом, в силу чего тело намного меньше давит на перину, чем на пол. Следовательно, если устроить голую каменистую поверхность таким образом, чтобы площадь ее соприкосновения с нашим телом была, по возможности, большой, то эта поверхность будет для нас такой же мягкой, как и перина. Для этого можно в каменистой поверхности сделать выступы и углубления, соответствующие рельефу той части нашего тела, которой мы будем лежать на этой поверхности. Но подобную процедуру, по всей видимости, совершить непросто. Можно сделать иначе: лечь, раздевшись, на вязкую, не застывшую глиняную или гипсовую, или цементную и т. п. поверхность на несколько секунд и встать. При этом данная поверхность точно отразит рельеф нашего тела. Когда она застынет и станет жесткой, как камень, можно лечь в образованные в ней нашим телом формы. Площадь соприкосновения тела с поверхностью в этом случае будет велика, его давление на нее будет, наоборот, минимальным, и на такой каменистой поверхности можно лежать точно так же, как и на мягкой перине. (См. также задачу 13).
27. Речь идет о количестве букв в указанных словах. В слове «арфа» их четыре, у «домбры» их шесть, и у «гитары» тоже шесть; хотя поначалу, скорее всего, покажется, что говорится о струнах.
28. Ошибка заключается в делении обеих частей равенства на выражение а – b – c, так как по условию а – b – c = 0, а на ноль делить нельзя.
29. Каким бы образом жуки ни переползали, всегда останется пустая клетка. Для пояснения назовем черными тех жуков, которые сначала сидели на черных клетках, а остальных назовем белыми. После того, как каждый жук переполз на соседнюю клетку, все черные жуки оказались на белых клетках. Однако черных жуков было 13, а белых клеток только 12 (см. рисунок к задаче). Значит, на некоторой белой клетке встретятся, по крайней мере, два жука. Но в этом случае одна клетка доски останется пустой, ведь число клеток равно числу жуков.
30. Утверждение о том, что атомное ядро меньше самого атома в два раза, конечно же, не верно: 10 — 12 см меньше, чем 10 — 6 см не в два раза, а в миллион раз.
31. Если задумано некое четное число, то его всегда можно представить как 2х. Производя с этим числом указанную последовательность действий, получим:
2х 3 = 6х
6х : 2 = 3х
3х 3 = 9х
9х : 9 = х
При удвоении конечного результата получаем 2х, т. е. задуманное число.
32. На первый взгляд вопрос задачи кажется нелепым. Ведь не случайно существует известная поговорка о «воде в решете». На самом же деле носить воду в реште вполне возможно. Опустим решето в растопленный парафин, который покроет тонким слоем проволоку, из которой сделаны ячейки решета. Разумеется, при этом надо следить за тем, чтобы они не оказались заткнутыми парафином, т. е., чтобы решето оставалось решетом (для этого можно проверить наличие в нем отверстий с помощью булавки, как бы «протыкая» его ячейки). Налитая в такое решето вода, не смачивая парафин, образует в ячейках решета тонкие пленки, обращенные выпуклостью вниз, которые и удерживают ее (см. рисунок). Еще более удивительным выглядит тот факт, что на таком решете можно даже плавать: вода не будет проникать внутрь него по той же самой причине.
33. Может показаться, что для решения этой задачи надо произвести некие сложные и тонкие математические расчеты, хотя на самом деле все намного проще. Поскольку велосипедисты ехали со скоростью 50 км/час, а расстояние между ними было 300 км, то встретились они через 3 часа, когда каждый из них проехал по 150 км. Значит, муха летала туда и обратно в течение 3 часов, а т. к. ее скорость равна 100 км/час, то в общей сложности она пролетела 300 км.
34. Утверждение о том, что объем Солнца больше объема Земли приблизительно в 110 раз, потому что во столько же раз больше диаметр Солнца, чем диаметр Земли, не верно. Объем шарообразных небесных тел можно приблизительно вычислить по формуле шара: V = 4/3 R3, где R – радиус шара. Если диаметр Солнца больше диаметра Земли примерно в 110 раз, тогда в таком же соотношении находятся и радиусы Солнца и Земли. Значит для нахождения приблизительной разницы между объемами этих небесных тел, надо 110 возвести в куб. Таким образом, объем Солнца превосходит объем Земли более чем в миллион раз.
35. Самолет в полете «держится» на воздухе, поэтому долететь на самолете до Луны невозможно, ведь воздуха в открытом космосе нет.
36. Решение задачи изображено на рисунке. Если зубчатую часть В вынуть из части А, после чего заново вдвинуть ее между зубьев части А, передвинув на один зуб влево, то получится безукоризненный прямоугольник и даже квадрат.
37. Поначалу может показаться, что рассуждение является верным. Однако это не так. Восход солнца происходит не потому, что оно в какой-то момент времени (соответствующий восходу) начинает посылать на землю свои лучи, а потому, что наша планета вращается вокруг своей оси, постепенно поворачивая свои неосвещенные, темные точки в уже освещенную солнцем область пространства. Таким образом, время восхода, наблюдаемого на земле, никак не связано со скоростью световых лучей, и поэтому если бы даже свет распространялся мгновенно, это никаким образом не влияло бы на изменение времени восхода солнца.
38. Иголка сделана из стали, а монета из меди. Сталь намного тверже меди и поэтому иголкой вполне можно «проколоть» монету. Только вручную это сделать невозможно. Если же попытаться «забить» иголку в монету молотком, то тоже ничего не получится: площадь острого конца иголки настолько мала, что ее кончик будет, вибрируя, «скользить» по поверхности монеты. Для того чтобы иголка была устойчива, надо вбить ее молотком в монету через кусок мыла или парафина, или дерева: этот материал придаст иголке неизменное и нужное направление, и в этом случае она свободно пройдет через медную монету.
39. Может показаться, что эту задачу надо каким-либо образом решать, причем математическим путем, делая какие-либо расчеты или составляя уравнение. Ее условие рассчитано на то, чтобы ввести человека как раз в такое заблуждение. На самом же деле в полном смысле слова решать в этой задаче ничего не надо. Ведь когда поезда встретятся (здесь надо обратить внимание именно на слово «встретятся»), расстояние от каждого из них до Москвы будет одинаковым, как и до Петербурга, т. е. ближе к Москве в момент встречи не будет находиться ни один из указанных поездов.
40. В стакан можно поместить более тысячи булавок. В этом случае ни капли воды из него не выльется, но над краями стакана образуется небольшая водяная выпуклость или «горка». По закону Архимеда тело, погруженное в воду, вытесняет объем воды, равный объему тела. Объем одной булавки настолько мал, что объем водяной «горки» над поверхностью стакана равен объему более тысячи булавок.
41. На портрете изображен сын Петрова. Для решения этой задачи можно составить простую схему:
42. Надо обратиться к любому из воинов со следующим вопросом: «Если я спрошу тебя, этот ли выход ведет на свободу, то ты ответишь мне «да»?» При такой постановке вопроса тот воин, который все время лжет, будет вынужден говорить правду. Допустим, вы, показывая ему на выход к свободе, говорите: «Если я спрошу тебя, этот ли выход ведет на свободу, то ты ответишь мне «да»?» Правдой в этом случае будет, если он ответит «нет», но ему ведь надо солгать и поэтому он вынужден сказать «да».
43. Зрителю кажется, что линия разделена не на одинаковые отрезки: одни из них короче, а другие длиннее. Но это обман зрения, в чем можно убедиться, закрыв двумя полосками бумаги пририсованные к линии сверху и снизу усики или штрихи, которые и создают данную иллюзию. Без этих усиков отрезки будут восприниматься совершенно одинаковыми. Но если и на этот раз мы не доверяем своим глазам, то можно, не прибегая к помощи каких-либо измерительных приборов, перегнуть лист бумаги, на котором начерчен рисунок, пополам в одной из точек. Если при этом две другие ближайшие к ней точки совпадут, значит два отрезка, обозначенные этими тремя точками являются равными. То же самое можно проделать и с другими отрезками.
44. Надо зажечь спичку, подержать ее в стакане несколько секунд, после чего быстро поставить стакан кверху дном в тарелку рядом с монетой. При этом вся вода из тарелки соберется под стаканом и монету можно будет взять с освобожденной от воды поверхности тарелки. Когда мы вносим зажженную спичку в стакан, то воздух в нем расширяется от нагревания и частично вытесняется. Когда мы ставим стакан на тарелку, воздух в нем остывает и возвращается в прежний объем. Но теперь воздуха в стакане меньше, ведь часть его была вытеснена. В образовавшееся пустое пространство внутри стакана устремляется вода из тарелки под действием наружного давления воздуха.
45. Первыми пересекают реку миссионер и каннибал. После этого миссионер возвращается. Затем пересекают реку два каннибала. Один из них возвращается. Потом два миссионера пересекают реку. Миссионер и каннибал возвращаются. Два миссионера пересекают реку. Один каннибал возвращается. Два каннибала пересекают реку. Один каннибал возвращается. Два оставшихся каннибала пересекают реку.
46. Перед понедельником было воскресенье. Если три дня назад было воскресенье, то сегодня – среда. Если сегодня – среда, значит, послезавтра будет пятница.
47. Вор связал веревки вместе. По одной из них он полез к потолку, обрезал вторую веревку на расстоянии примерно 30 см от потолка и позволил ей упасть вниз. Из оставшегося висеть куска второй веревки он связал петлю. Затем, ухватившись за петлю, он перерезал первую веревку и просунул ее в петлю. После этого он спустился по двойной веревке вниз и вытащил веревку из петли.
48. Если таксист глух, как он понял, куда везти девушку? И еще: как он тогда понял, что она вообще что-то говорит?
49. Вода никогда не достигнет иллюминатора, потому что лайнер поднимается вместе с водой.
50. Задуманное число – это х. Над ним совершаются следующие действия:
х 2 + 5 = 2х + 5
(2х + 5) 5 = 10х + 25
10х + 25 + 10 = 10х + 35
(10х + 35) 10 = 100х + 350
100х + 350–350 = 100х
100х : 100 = х
Когда собеседник просит вас назвать результат проделанных математических действий, ему известно, что это 100х + 350. Далее он отнимает от вашего результата 350 и делит то, что получилось, на 100. Таким образом, в итоге, он «отгадывает» задуманное вами число.
51. Поезда проследовали через тоннель в разное время суток.
52. Он рассуждал так: «Каждый из нас может думать, что его собственное лицо чистое. Б. уверен, что его лицо чистое, исмеется над испачканным лбом В. Но если бы Б. видел, что мое лицо чистое, он был бы удивлен смеху В., так как в этом случае у В. не было бы повода для смеха. Однако Б. не удивлен, значит, он может думать, что В. смеется надо мной. Следовательно, мое лицо испачкано».
53. Надо расположить шесть спичек так, чтобы они образовали трехгранную пирамиду. Основание – треугольник должен лежать на столе, а остальные треугольники – в воздухе, сходясь в вершине пирамиды.
54. Нужно сдвинуть верхнюю спичку, образовывая крохотный квадрат в центре фигуры.
55. Точка на тропинке, которую путешественник проходит в одно и то же время суток, как во время подъема, так и во время спуска, существует. В этом легко убедиться с помощью следующей схемы. Ось х – это время суток, а ось у – это высота подъема.
Кривые линии – это, соответственно, графики подъема и спуска. Точка их пересечения – как раз та самая, которую проходит путешественник в одно и то же время суток и на подъеме, и на спуске.
56. На первый взгляд может показаться, что во время поездки мы повстречаем десять поездов. Но это не так: мы встретим не только те десять поездов, которые вышли из Москвы после нашего отправления, но и те, которые к моменту нашего отъезда уже находились в пути. Значит, мы встретим не десять, а двадцать поездов.
57. Статуи надо расположить следующим образом:
58.
59. Обмен выгоден математику и невыгоден торговцу, так как количество денег, которые выплачивает торговец математику, пусть даже ничтожно малое вначале, увеличивается в геометрической прогрессии, а деньги, которые платит математик торговцу, увеличиваются в арифметической прогрессии. Через 30 дней математик отдаст торговцу около 50 тысяч рублей, а торговец будет должен математику более 10 миллионов рублей.
60. Новый год и раньше (т. е. по старому стилю) встречали 1 января. Однако старое 1 января (старый Новый год) сейчас, т. е. по новому стилю попадает на 14 января, поэтому никакого противоречия и недоразумения здесь нет. В условии задачи создается видимость противоречия за счет того, что в одних и тех же словах смешиваются различные понятия: Новый год по новому стилю и Новый год по старому стилю. И действительно, Новый год по новому стилю в старом стиле приходился бы на 19 декабря, а Новый год по старому стилю в новом стиле приходится на 14 января.
61.
62.
63. Человек, который стоит слева, будь он Правдолюбом, на вопрос: «Кто стоит рядом с тобой?» не мог бы ответить то, что ответил – «Правдолюб». Значит, слева не Правдолюб.
Но Правдолюб и не в центре, так как, будучи Правдолюбом, на поставленный вопрос «Кто ты?» он не мог бы ответить так, как ответил – «Дипломат».
Значит, Правдолюб стоит справа и, следовательно, рядом с ним, т. е. в центре находится Лжец, а слева стоит Дипломат.
64. Такой способ путешествий, конечно же непригоден. Атмосфера, притягиваемая Землей, вращается вместе с ней. А если бы даже атмосфера была неподвижной, то, поднявшись в нее с вращающейся Земли, мы некоторое время продолжали бы земное движение по инерции. Кроме того, если бы атмосфера была неподвижной, а Земля продолжала бы в ней вращаться (причем достаточно быстро: см. условие задачи), то в этом случае на земле не переставал бы бушевать грандиознейший ураган, который сделал бы невозможным не только какие-либо путешествия, но и саму человеческую жизнь.
65. Последовательность переливаний представлена в следующей таблице:
Таким образом, разделить 10 литров вина пополам, используя пустые ведра по 7 л и 3 л, можно с помощью 10 переливаний.
66. Катя придет первой, а Андрей опоздает, так как он придет к тому времени, когда на его часах будет 18.05, а на самом деле еще на 10 минут больше – 18.15. Катя постарается прийти по своим часам к 17.50, а на самом деле это будет 17.45.
67. Для решения этой задачи надо составить уравнение. Но сначала на основе запутанного ответа крокодила следует построить следующую схему (возраст попугая в прошлом примем за х):
Итак, на схеме видим, что сейчас крокодилу действительно в 10 раз больше лет, чем было попугаю тогда, когда крокодилу было столько лет, сколько попугаю сейчас. Поскольку разница в возрасте и в прошлом и в настоящем остается одинаковой, составим уравнение:
110 – х = 10 х – 110.
Преобразуем: 110 + 110 = 10 х + х
или 220 = 11 х.
Следовательно: х = 220 : 11 = 20.
Попугаю в прошлом было 20 лет, крокодилу сейчас в 10 раз больше, т. е. 200 лет.
68.
Лодка (это видно из рисунка) прошла два катета прямоугольного треугольника (длиной 30 км и 40 км по условию). Следовательно, гипотенуза этого треугольника и является искомым диаметром. По теореме Пифагора:
Диаметр водоема равен 50 км.
69. Вопрос задачи, на первый взгляд, кажется очень странным, ведь если держать бумагу над огнем, то она обязательно загорится. Но дело в том, что температура кипения воды намного ниже температуры воспламенения бумаги. Поскольку теплоту пламени забирает кипящая вода, бумага не может нагреться до нужной температуры и поэтому не загорается. Надо только, чтобы бумага была достаточно плотной, иначе вода просто порвет ее и выльется на пламя. Для кипячения воды вполне подойдет картонная коробка. То же самое объяснение лежит в основе такого явления, как несгораемая бумажка, плотно намотанная на металлический стержень (или стальной гвоздь) и внесенная в пламя свечи. Теплоту огня будет забирать стержень, не давая бумажке нагреться до нужной температуры и загореться.
70.
71. Сумма диаметров малых окружностей (|А С| + |С D| + |D B|) равна диаметру большой окружности (А В). Поскольку длина полуокружности равна половине произведения числа «пи» на диаметр, то пройденные зайцем и волком расстояния будут одинаковыми. Следовательно, отставание волка от зайца в пункте В не уменьшится, и погоня в данном случае не закончится.
72. Первые два числа очевидны. Это 111 и 3. А третье число – 37, ведь 111 = 37 3, а если некое число делится без остатка на 111, то оно так же делится и на 3, и на 37.
73. Для решения этой задачи надо составить простую схему. Обозначим нынешний возраст Кати как х.
Из схемы следует, что самая старшая – Катя, далее следуют по возрасту Оля и Настя.
74. Все правдолюбцы верно утверждали, что все написанное ими – правда, но и все лжецы ложно утверждали, что все написанное ими – правда. Таким образом, все 35 сочинений содержали утверждение о правдивости написанного.
75. У каждого человека 2 родителя, 4 бабушки и дедушки, 8 прабабушек и прадедушек, 16 прапрабабушек и прапрадедушек. Чтобы узнать, сколько было прапрабабушек и прапрадедушек у всех прапрабабушек и прапрадедушек каждого из нас, надо 16 16. Получится 256. Этот результат получается, конечно же, если исключить случаи кровосмешения, т. е. браки между различными родственниками.
Если принять в расчет, что одно поколение – это примерно 25 лет, то восемь поколений (о которых шла речь в условии задачи) соответствуют 200 годам, т. е. 200 лет назад каждые 256 человек на Земле были родственниками каждого из нас. За 400 лет количество наших предков составит 256 256 = 65536 человек, т. е. 400 лет назад у каждого из нас было 65536 живущих на планете родственников. Если же «открутить» историю на тысячу лет назад, то получится, что все население Земли того времени являлось родственниками каждому из нас. Значит, действительно все люди, по крупному счету, – братья.
76. Можно попытаться, используя инерцию бутылки, резким движением выдернуть платок из-под нее. Но, скорее всего, ничего не получится: положение бутылки слишком неустойчиво. Однако вспомним, что сила трения уменьшается при вибрациях. Кулаком одной руки надо равномерно и несильно стучать по столу недалеко от бутылки, а другой рукой – аккуратно тянуть платок. При опредленной частоте и силе ударов по столу платок начнет плавно выскальзывать из-под бутылки. При этом важно обратить внимание на то, чтобы у края платка была не очень большая кромка: она, как правило, сбивает бутылку в последний момент. Поэтому лучше, чтобы платок вообще был без кромки.
77.
78. В этом рассуждении в одних и тех же словах смешиваются различные математические операции: деление на два и умножение на два. На этом смешении и основан подвох в виде внешне правильного доказательства ложной мысли.
79.
80. Номер для квартиры.
81. Нельзя, так как через 72 часа, т. е. через трое суток, будет опять 12 часов ночи, а солнце ночью не светит (если дело не происходит за полярным кругом в полярный день).
82. У хозяйки 25 рублей, у мальчика 2 рубля. Всего 27 рублей, значит те 2 рубля, которые у мальчика, входят в цифру 27. А в условии задачи к 27 прибавлено 2 рубля, которые у мальчика, и поэтому получается 29. Надо к 27 не прибавлять 2 рубля, а отнимать.
83. Посмотрев на оборот последней страницы тетради по математике, где приводится система мер и весов, вы увидите, что 1 литр равен 1 дм3. Следовательно, в бассейн налили 1 000 000 дм3 воды, или 1 000 м3 воды (т. к. из той же таблицы 1 м = 10 дм). Зная площадь бассейна (1 Га = 10 000 м2) и объем налитой в него воды, легко вычислить его глубину:
В бассейне глубиной 10 см плавать невозможно.
84. Для сравнения указанных величин надо привести квадратный корень и кубический к корню одной степени. Это может быть корень шестой степени. Соответственно, изменятся и подкоренные выражения. Получится 68 и 69. Корень шестой степени из девяти ненамного больше такого же корня из восьми, следовательно, кубический корень из трех больше, чем квадратный корень из двух.
85. Обозначим стоимость линейки как х. Тогда у одного мальчика не хватает до стоимости линейки (х – 24) коп., а у другого (х – 2) коп. При сложении своих денег они все равно не смогли купить линейку. Составим простое неравенство:
(х – 24) + (х – 2) < х
Преобразуем:
х – 24 + х – 2 < х
2х – 26 < х
2х – х < 26
х < 26
Итак, линейка стоит меньше 26 коп., но она стоит больше 24 коп., так как по условию у одного мальчика не хватает до ее стоимости 24 коп. Следовательно, линейка стоит 25 коп.
86. Надо спросить любого депутата: «Вы консерватор?» Если он ответил «да», то сегодня четное число, а если «нет», то нечетное. По четным числам консерваторы скажут правдивое «да», а либералы, говоря неправду, тоже произнесут «да». По нечетным числам, наоборот, консерваторы, отвечая на вопрос, скажут «нет», но либералы, говорящие в эти дни только правду, тоже скажут «нет».
87. На первый взгляд может показаться, что бутылка стоит 1 рубль, а пробка 10 коп., но тогда бутылка дороже пробки на 90 коп., а не на рубль, как по условию. На самом деле, бутылка стоит 1 руб. 05 коп., а пробка стоит 5 коп. (См. также задачу 94).
88. Задачу можно решить простым методом подбора. Допустим, человек родился в 1980 году. Сумма цифр года его рождения – 18. Сколько лет ему будет в 1998 году? 1998–1980 = 18. Итак, в 1998 году возраст человека (18 лет) оказывается равным сумме цифр года его рождения (1980). Человеку 18 лет.
89. На первый взгляд может показаться, что Оля проходит 30 ступенек – в два раза меньше, чем Катя, так как она живет в два раза ниже ее. На самом деле это не так. Когда Катя поднимается на четвертый этаж, она преодолеет 3 лестничных пролета между этажами (между 1-ым и 2-ым, 2-ым и 3-им, 3-им и 4-ым). Значит между двумя этажами 20 ступенек: 60: 3 = 20. Оля поднимается с первого этажа на второй, следовательно, она преодолевает 20 ступенек.
90. Это число 9I, которое при переворачивании вверх ногами превращается в I6. При этом оно уменьшается на 75 (91–16 = 75). При решении этой задачи надо учитывать, что при переворачивании числа вверх ногами его цифры не только переворачиваются, но и меняются местами.
91. Возраст Саши примем за х. Тогда возраст одного его x брата – (х + 3), другого – (х – 3), третьего – , а отца – 3х.
Поскольку всем вместе 95 лет, можно составить уравнение:
Преобразуем:
Итак, Саше 15 лет, одному его брату – 18, другому – 12, третьему – 5, а отцу – 45 лет.
92. На развернутом листе будет 128 дырок. Надо принять во внимание, что при каждом складывании листа количество дырок удваивается.
93. Надо зажечь спичку, и очень быстро, пока она разгорается, опустить ее в бутылку с дымом, который при этом сразу же будет вытеснен.
94. Можно предположить, что фрукты весят 10 кг, а корзинка 1 кг. Но тогда фрукты тяжелее корзинки на 9 кг, а по условию они тяжелее ее на 10 кг. Значит фрукты весят 10,5 кг, а корзинка 0,5 кг. (См. также задачу 87).
95.
Как видим, эта задача представляет собой геометрическое толкование того, что 4 9 = 6 6.
96. Три человека: дед, отец и сын – это два отца и два сына – поймали трех зайцев, каждый по одному.
97. У Насти дома живет один попугай, один котенок и один кролик.
98. Эффект этой задачи-фокуса заключается в том, что увеличение любого трехзначного числа до шестизначного путем его дублирования равносильно умножению этого трехзначного числа на 1001. Кроме того, произведение чисел 13, 11 и 7 также равно 1001. Следовательно, если получившееся шестизначное число разделить в любой последовательности на эти три числа (13, 11, 7), то получится исходное трехзначное число. (См. также задачу 183).
99.
100. Тем или иным языком владеют 90 школьников, так как по условию 10 человек не освоили ни одного языка. Из этих 90 человек 15 не сдали немецкий, так как 75 его сдали по условию, а 7 человек не сдали английский, так как 83 его сдали по условию. Значит всего не сдавших какой-либо один из экзаменов: 15 + 7 = 22 человека из 90. Следовательно, двумя языками овладели 90–22 = 68 школьников.
101. Любая посуда правильной цилиндрической формы, если смотреть на нее сбоку представляет собой прямоугольник. Как известно, диагональ прямоугольника делит его на две равные части. Точно так же цилиндр делится пополам эллипсом. Из наполненной водой посуды цилиндрической формы надо отливать воду до тех пор, пока поверхность воды с одной стороны не достигнет угла посуды, где ее дно смыкается со стенкой, а с другой стороны края посуды, через который она выливается. В этом случае в посуде останется ровно половина воды.
102. Может показаться, что за указанный период стрелки часов совпадут всего три раза: в 12 часов дня, потом в 24 часа этого же дня и в 12 часов следующего дня. На самом же деле часовая и минутная стрелки совпадают каждый час один раз (когда минутная обгоняет часовую). С 6 часов утра одного дня до 10 часов вечера другого дня проходит 40 часов, значит за это время часовая и минутная стрелки должны совпасть 40 раз. Однако 3 часа из этих 40 часов составляют исключение: в первом часу (неважно – дня или ночи) они не совпадают. Для пояснения этого, представим себе, что стрелки совпали в 12 часов (дня или ночи). Следующий раз минутная стрелка догонит часовую не в первом часу, а только в начале второго. Поскольку такая ситуация с 6 часов утра одного дня до 10 часов вечера другого дня имеет место 3 раза (в 12 часов одного дня, потом в 12 часов ночи и в 12 часов другого дня), то в указанный промежуток времени часовая и минутная стрелки совпадут не 40, а 37 раз. (См. также задачу 195).
103. Скорость теплохода примем за х, а скорость реки за у. Поскольку из Нижнего Новгорода до Астрахани теплоход плывет по течению, то его собственная скорость и скорость реки складываются, т. е. до Астрахани он плывет со скоростью (х + у). На обратном пути теплоход плывет против течения, т. е. со скоростью (х – у). Как известно расстояние равно произведению скорости на время. Зная, что теплоход проделывал один и тот же путь за5 и за 7 суток, можно составить уравнение:
5 (х + у) = 7 (х – у)
Преобразуем:
5х + 5у = 7х – 7у
7у + 5у = 7х – 5х
12у = 2х
6у = х
Как видим, собственная скорость теплохода в 6 раз больше скорости реки. Значит по течению (из Нижнего Новгорода до Астрахани) он плывет со скоростью в 7 раз большей скорости реки, ведь в этом случае скорости теплохода и реки складываются. Поскольку плот плывет только по течению, то его скорость равна скорости реки, а значит она в 7 раз меньше, чем скорость теплохода на пути в Астрахань. Следовательно, и времени на тот же путь плот затратит в 7 раз больше, чем теплоход:
5 · 7 = 35 суток.
104. Можно сходу ответить, что 12 куриц за 12 дней снесут 12 яиц. Однако это не так. Если три курицы за три дня несут три яйца, значит одна курица за те же три дня несет одно яйцо. Следовательно, за 12 дней она снесет 12: 3 = 4 яйца. Если же куриц будет 12, то за 12 дней они снесут
12 · 4 = 48 яиц.
105. 111 – 11 = 100
106. Конечно же, это рассуждение неверно. Видимость его правильности и убедительности создается за счет того, что в нем почти незаметно смешиваются и подменяются понятия «сутки» и «день», а вернее – «рабочий день». А это совершенно разные понятия, ведь сутки – это 24 часа, а рабочий день – это 8 часов. В году 365 суток, и это то время, в которое мы и работаем, и отдыхаем, и спим. В рассуждении же понятие «365 суток» подменяется понятием «365 дней» и, предполагается, что все эти дни (а на самом деле – сутки) заняты только работой. Далее из этих «365 дней» вычитается время, затрачиваемое на сон, на отдых и т. д., а это время надо вычитать не из дней (причем рабочих дней), а из суток. Тогда количество дней (рабочих) останется прежним, и недоразумения не возникнет.
107. Надо взять второй наполненный стакан слева и перелить его во второй пустой стакан справа, тогда наполненные и пустые стаканы будут чередоваться.
108. Рассуждение неверно. Говорить о том, что большее количество рабочих сможет построить дом намного быстрее, можно только в пределах целых дней, т. е. если измерять время работы днями. Если же измерять это время часами, а тем более минутами и секундами, то данная закономерность (больше рабочих – быстрее работа) не действует. Ошибка рассуждения заключается в том, что в нем смешиваются различные понятия, обозначающие разные временные интервалы. Понятие «день» почти незаметно подменяется понятием «час», «минута», «секунда», за счет чего и создается видимость правильности и доказанности данного рассуждения.
109. Это слово «неправильно». Оно всегда так и пишется – «неправильно». Эффект этой задачи-шутки заключается в том, что в ней слово «неправильно» употребляется в двух разных смыслах.
Читать бесплатно другие книги:
