200 занимательных логических задач Гусев Дмитрий

110. Попугай действительно может повторять каждое услышанное слово, но он глух и не слышит ни одного слова.

111. Конечно же, спичку, так как без нее нельзя зажечь ни свечу, ни керосиновую лампу. Вопрос задачи является двусмысленным, ведь его можно понимать как выбор между свечой и керосиновой лампой, а также можно понимать как последовательность в зажигании чего-либо (сначала спичка, потом – от нее – все остальное).

112. Диагональ кирпича является гипотенузой прямоугольного треугольника. Один катет этого треугольника равен высоте (или толщине) кирпича, а другой катет равен диагонали его поверхности. Эта диагональ, в свою очередь, является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются длина и ширина кирпича. Ее легко найти по теореме Пифагора. Зная величину этой диагонали и высоту (или толщину) кирпича по той же теореме легко найти его диагональ.

113. Может показаться, что Петр будет спать 14 часов, но на самом деле он сможет поспать всего 2 часа, потому что будильник прозвонит в девять часов вечера. Простой механический будильник не различает дня и ночи и всегда звонит в то время, на которое его поставили. Если бы это был какой-нибудь электронный будильник компьютерного типа, который можно программировать, тогда, конечно же, Петру удалось бы проспать с 7 вечера до 9 утра.

114. Логическая закономерность, что отрицание истины является ложью, а отрицание лжи – истиной действует только тогда, когда речь идет об одном и том же предмете. В данном случае речь должна идти об одном и том же предложении. Если бы это было так, то одно утверждение обязательно было бы истинным, а другое ложным или наоборот. Но в задаче речь идет о двух разных предложениях. Поэтому нет ничего удивительного в том, что они оба являются ложными.

115. Сумма восьми цифр, равная двум может получиться в том случае, если одна из этих цифр двойка, а остальные – нули. Такое восьмизначное число только одно. Это 20 000 000. Но сумма восьми цифр, равная двум также может получиться в том случае, если две из этих цифр единицы, а остальные нули. Таких восьмизначных чисел семь:

11 000 000

10 100 000

10 010 000

10 001 000

10 000 100

10 000 010

10 000 001

Итак, существует восемь восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна двум.

116. Периметр фигуры – это сумма длин всех ее сторон. В данной фигуре 12 сторон. Если ее периметр равен 6, то одна сторона равна 6: 12 = 0,5. Фигура состоит из 5 одинаковых квадратов, со стороной 0,5. Площадь одного квадрата равна 0,5 · 0,5 = 0,25. Следовательно, площадь всей фигуры равна 0,25 · 5 = 1,25.

117. Затруднение при решении данной задачи может возникнуть только из-за запутанно сформулированного условия. Сама же задача очень проста. Требуется всего лишь записать математически то, что выражено в ней словами, т. е. распутать ее словесное условие. Сумма квадратов чисел 2 и 3 – это 2² + 3². Куб суммы квадратов чисел 2 и 3 – это (2² + 3²)³. Сумма кубов этих чисел – 2³ + 3³. Квадрат этой суммы – (2³ + 3³)². Надо найти разность первого и второго:

(2² + 3²)³ – (2³ + 3³)² = (4 + 9)³ – (8 + 27)² = 13³ – 35² = 2197–1225 = 972

118. Это число 2. Половина этого числа равна 1, а половина от половины этого числа (т. е. единицы) равна 0,5, т. е. тоже половине.

119. Рассуждение неверно. Совершено необязательно, что Саша Иванов со временем побывает на Марсе. Внешняя правильность этого рассуждения создается за счет употребления в нем одного слова – «человек» – в двух разных смыслах: в широком – абстрактный представитель (или представители) человечества и в узком – конкретный, данный, именно этот человек.

120. Как видим по условию, для получения оранжевой краски требуется в три раза больше желтой краски, чем красной – 6: 2 = 3. Значит из имеющегося количества желтой и красной красок (по 3 гр. по условию) надо взять в три раза больше желтой краски, чем красной, т. е. 3 гр. желтой и 1 гр. красной. Следовательно, можно получить 4 гр. оранжевой краски.

121. Примем нынешний возраст Вадима за х. Тогда через 13 лет ему будет (х + 13) лет, а два года назад ему было (х – 2) лет. Так как по условию через 13 лет ему будет в четыре раза больше лет, чем два года назад, можно составить уравнение:

4(х – 2) = х + 13

Преобразуем:

4х – 8 = х + 13

4х – х = 13 + 8

3х = 21

х = 7

Итак, Вадиму 7 лет.

122.

Можно убрать и другие две спички.

123. Надо поставить запятую:

5 < 5, 6 < 6

124. Сначала надо выяснить, каков общий возраст всех игроков команды: 22 · 11 = 242. Возраст выбывшего игрока примем за х. После того, как он выбыл общий возраст игроков команды стал равен 242 – х. Поскольку игроков стало 10 и их средний возраст известен (21 год), можно составить уравнение:

(242 – х) : 10 = 21

242 – х = 210

х = 242 – 210 = 32

Итак, выбывшему игроку 32 года.

125. Рассуждение, конечно же, неверно. Эффект его внешней правильности достигается благодаря употреблению понятия «возраст отца» в двух разных смыслах: возраст отца как возраст человека, который является этим отцом и возраст отца как количество лет отцовства. Кстати, во втором значении понятие «возраст», как правило, не употребляется: обычно под словосочетанием «возраст отца» понимается возраст этого человека, а не что-либо иное.

126. Сначала надо разделить 24 кг гвоздей на две равные части по 12 кг, уравновесив их на чашах весов. Затем так же разделить 12 кг гвоздей на две равные части по 6 кг. После этого отложить одну часть, а другую разделить таким же способом на части по 3 кг. Наконец к шестикилограммовой части гвоздей добавить эти 3 кг. В результате получится 9 кг гвоздей.

127. Это был четверг. В этот день Петр правдиво сказал, что вчера (т. е. в среду) он лгал, а Иван солгал насчет того, что вчера (т. е. в среду) он лгал, ведь по условию в среду он говорит правду.

128. Это число 147.

129.

130. В 1001 раз. Для того, чтобы установить это, надо шестизначное число, полученное путем дублирования трехзначного числа, разделить на это трехзначное число. Получится 1001. (См. также задачу 98).

131. Ошибка данного рассуждения заключается в утверждении о том, что если бы не было времени, то не было бы ни одного дня, а значит всегда стояла бы ночь. Как раз наоборот – если бы не было времени, то не могло бы быть ни одного дня и ни одной ночи, ведь понятие ночи (как и понятие дня) относится именно ко времени (и день и ночь – это некие временные интервалы).

132. Примем количество яблок, которые взяла Настя из первой корзины за х, тогда в первой корзине осталось 12 – х яблок. Именно столько яблок и взяла Маша из второй корзины. Значит во второй корзине осталось 12 – (12 – х) яблок. В двух корзинах вместе осталось:

(12 – х) + 12 – (12 – х) = 12 – х + 12–12 + х = 12

Итак, в двух корзинах вместе осталось 12 яблок.

133. Этого не может сказать ни одна свинья, ведь свиньи, как известно, не говорят. Эта не очень серьезная задача основана на двусмысленности вопроса «сколько свиней могут сказать…?» Слово «сказать» в этом вопросе можно понимать буквально – говорить членораздельной человеческой речью, а также его можно воспринимать в переносном значении – кто-то говорит от имени или за тех, которые сами говорить не могут (не умеют).

134. Может показаться, что весы не будут находиться в равновесии: должна перетянуть та чаша, в которой плавает брусок, ведь ведра одинаковые, уровень воды в них один и тот же, но в одном ведре находится еще и брусок, значит оно тяжелее. На самом же деле, несмотря на одинаковый уровень воды в ведрах, ее количество в них не одно и то же. В том ведре, где находится брусок, воды меньше, но так как он вытесняет собой какую-то ее часть, то уровень воды в этом ведре больше, чем должен быть. Кроме того, всякое плавающее тело вытесняет своей погруженной частью столько жидкости (по весу), сколько весит все это тело, т. е. вес вытесненной бруском воды равен весу бруска. А поскольку уровень воды в двух ведрах один и тот же, значит недостающее по весу количество воды в одном из ведер (по отношению к другому ведру) компенсируется весом находящегося в нем бруска. Следовательно, весы с ведрами должны находиться в равновесии.

135. Рассуждение неверно. Ошибка заключается в смешивании двух совершенно различных ситуаций в одних и тех же словах. Когда рабочие строят дом, их усилия складываются, поэтому работа идет быстрее и выполняется за более короткий срок. Когда корабли пересекают Атлантический океан, то их «усилия» не складываются: каждый корабль преодолевает океан все равно «в одиночку», и поэтому время, затраченное на переправу через океан, не уменьшается при увеличении количества кораблей.

136. Стрелка у весов была сдвинута не вправо от нуля, а влево, т. е. весы показывали на 1 кг меньше. Значит Петин портфель весит 3 кг, а Сашин – 4 кг. Вместе их портфели весят 7 кг. Когда они их взвесили, весы показали на 1 кг меньше, т. е. 6 кг.

137. На первый взгляд может показаться, что подобным образом можно расположить только 9 кружочков, но ведь в условии не сказано, что ряды кружочков должны быть горизонтальными или вертикальными. Они могут быть какими угодно. Расположить кружочки можно различными способами:

138. На первый взгляд может показаться, что оставшегося куска хватит на семь стирок. Однако это не так. Если длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое, то его объем уменьшился не в два раза, а в восемь раз:

Если после семи стирок объем куска мыла уменьшился в восемь раз, значит оставшегося куска хватит всего на одну стирку:

139. Кусок материи в 2/3 м надо сложить пополам. Образовавшаяся линия сгиба поделит его на две равные части по 1/3 м. Затем надо сложить его еще раз пополам. Образовавшиеся линии сгиба поделят кусок материи на четыре равные части по 1/6 м. Три таких части – это 3/6 м или искомая 1/2 метра:

140. Палочки на втором рисунке на 1/12 длиннее палочек первого рисунка. Тринадцатая палочка исчезла не бесследно, она как бы растворилась в 12 остальных, удлинив каждую из них на 1/12 своей длины. Прямая АВ отсекает от второй палочки 1/12 ее длины, от третьей 2/12, от четвертой 3/12 и т. д. Когда мы сдвигаем обе части рисунка, то приставляем отсеченный отрезок каждой палочки (начиная со второй) к нижней части предыдущей. Так как каждый отсеченный отрезок больше предыдущего на 1/12, то каждая палочка удлиняется на 1/12 своей длины. На глаз это удлинение не заметно, и исчезновение 13-й палочки на первый взгляд кажется удивительным.

141. Конечно же, композитором, равно как и художником, писателем или ученым надо родиться, ведь если человек не родится, то он не сможет сочинять музыку, рисовать картины, писать романы или делать научные открытия. Эта шуточная задача основана на двусмысленности вопроса: «Действительно ли надо родиться…?» Данный вопрос можно понимать буквально: надо ли рождаться на свет для того, чтобы заниматься каким-либо видом деятельности; а также данный вопрос можно понимать в переносном смысле: является ли талант композитора (художника, писателя, ученого) врожденным, данным от природы, или же он приобретается во время жизни упорным трудом.

142. Рассуждение, конечно же, не верно. Его внешняя правильность основана на почти незаметном исключении еще одного варианта, который в данном рассуждении также необходимо было рассмотреть. Это вариант, когда не видит ни один глаз. Именно он и был пропущен: «Без правого глаза мы видим, без левого тоже, значит глаза необязательны для зрения». Правильное утверждение должно быть таким: «Без правого глаза мы видим, без левого тоже видим, но без двух вместе не видим, значит мы видим или одним глазом, или другим, или двумя вместе, но мы не можем видеть ни одним глазом или без глаз, которые таким образом необходимы для зрения».

143. На первый взгляд может показаться, что попугаю возможно задать до 99 вопросов. На самом же деле можно обойтись гораздо меньшим количеством вопросов. Спросим его так: «Тебе больше 50 лет?» Если он ответит «да», то его возраст от 51 до 99 лет; если же он ответит «нет», то ему от 1 года до 50 лет. Количество вариантов его возраста после первого же вопроса сокращается вдвое. Следующий подобный вопрос: «Тебе больше (можно спросить – меньше) 25 лет?» или «Тебе больше (меньше) 75 лет?» (в зависимости от ответа на первый вопрос) сокращает количество вариантов в четыре раза и т. д. В итоге попугаю надо задать всего 7 вопросов.

144. Этот рисунок можно видеть по-разному. Присмотритесь к нему внимательно и вы заметите, как изображение будет переворачиваться то в одну, то в другую сторону, как бы переливаться на ваших глазах. В одном случае мы видим шесть кубиков – три сверху, два посередине и один снизу, а в другом случае мы видим один кубик – в середине рисунка. Таким образом, всего на рисунке изображено семь кубиков.

145. Тереть теленка можно сколь угодно долго, однако сколько теленка ни три, у него все равно будет четыре ноги. Эта задача – шутка основана на употреблении слова «три» в двух разных смыслах (числительное, обозначающее некое количество и глагол в повелительном наклонении).

146. Рассказчик разделил веревку не поперек, как, скорее всего, может показаться, а вдоль, сделав из нее две веревки такой же длины, как исходная. Когда он связал две части вместе, веревка стала в два раза длиннее, чем была сначала.

147. При вычитании меньшего числа из большего действует одна закономерность: сумма всех цифр разности всегда будет равна 18 (независимо от исходных чисел). Кроме того, второй цифрой разности всегда будет 9. Таким образом, зная последнюю цифру разности (или первую) можно безошибочно установить всю разность.

148. Если бы не семеро, а трое пошли, то все равно те же самые семь рублей и нашли (ведь количество денег под ногами совершенно не зависит от количества идущих людей и никак с ним не связано).

149.

150. На первый взгляд может показаться, что зазор будет настолько маленьким (ведь 10 м – это почти ничто по сравнению с 40 000 км), что в него не сможет пролезть не только человек, но даже кошка. На самом же деле величина зазора будет приблизительно равна 1,6 м, т. е. человек не только сможет пролезть в него, но даже пройти (может быть, слегка наклонив голову). Как известно, длина окружности равна 2R,

где R – ее радиус. Значит радиус окружности равен где l – длина окружности. Таким образом, длина окружности и ее радиус находятся в отношении прямой пропорциональности, но при этом радиус меньше длины. Увеличение длины экваториального обруча – это увеличение длины окружности. Пользуясь вышеприведенной формулой, легко установить увеличение ее радиуса, которое будет величиной зазора, образовавшегося между обручем и поверхностью земного шара. Произведя простые подсчеты, вы увидите, что при увеличении длины экваториального обруча всего на 1 м, его радиус увеличивается приблизительно на 16 см. В такой зазор может пролезть кошка. Увеличение длины обруча на 10 м (как в условии задачи) увеличивает зазор приблизительно на 1,6 м, и в него может пройти человек. Если же длина экваториального обруча увеличится на 100 м, то величина зазора будет приблизительно равна 16 м. В такой зазор вполне сможет «пролезть» пятиэтажный дом. Эта задача будет еще удивительнее и парадоксальнее, если ее сформулировать так. Земной шар стянут обручем по экватору, и точно так же «по экватору» стянут обручем апельсин. Представим, что длина каждого обруча увеличилась на 1 метр. При этом между поверхностями этих тел и их обручами образуется зазор. В каком случае этот зазор будет больше – у земного шара или апельсина? Кажется несомненным, что больше он будет у апельсина. Однако на самом деле в обоих случаях он будет одинаковым, равным примерно 16 см. Доказать это нетрудно. Пусть длина окружности земного шара равна L м, а апельсина l м. Тогда радиус Землиа радиус апельсина. После увеличения длины обруча на 1 м окружность обруча у Земли будет L + 1, а у апельсина l + 1, радиусы их, соответственно, будут . Если из новых радиусов вычесть прежние,чтобы получить величину зазора, то результат и для Земли, и для апельсина будет одним и тем же:

– для Земли,

– для апельсина.

Этот поразительный результат является следствием постоянства отношения длины окружности к ее радиусу.

151. Может показаться, что последний кусок материи будет отрезан по истечении 8 дней, ведь 16: 2 = 8. На самом же деле последний кусок отрезается по истечении семи дней. Ко второму дню кусок материи станет равным 14 метрам. К седьмому дню от него останется 4 метра, следовательно последний раз 2 метра будет отрезано как раз на седьмой день. На восьмой же день от куска материи останется всего 2 метра.

152.

153. Сначала может показаться, что колесо может вращаться как по часовой стрелке, так и против нее, ведь текущая вода реки с одинаковой силой давит на все его лопасти. Однако нижние слои воды, испытывая на себе давление верхних, движутся с меньшей скоростью, а выше лежащие слои воды перемещаются быстрее. Следовательно, они оказывают большее давление на лопасти колеса, которое, таким образом, будет вращаться по часовой стрелке.

154. На первый взгляд кажется, что Иванов должен получить 3 рубля, а Сидоров – 5 рублей. Однако 8 рублей было уплачено не за 8 поленьев (по 1 рублю за полено), а только за третью часть от 8 поленьев, так как трое соседей пользовались огнем в одинаковой мере. Следовательно, 8 поленьев были оценены в 8 x 3 = 24 рубля, и одно полено стоит 3 рубля. Стало быть, Иванов за свои 3 полена должен получить 9 рублей, но он сам воспользовался плитой на 8 рублей, значит, ему причитается всего 9–8 = 1 рубль; а Сидоров за свои 5 поленьев должен получить 15 рублей, на при вычитании из них 8 рублей за использование общей плиты, ему остается 7 рублей. Итак, из уплаченных Петровым 8 рублей Иванов должен взять себе 1 рубль, а Сидоров – 7 рублей.

155. Может показаться, что круги на воде от камня, брошенного в быструю реку, будут вытягиваться в направлении течения и иметь форму эллипсов. В действительности это не так. На поверхности реки волны будут иметь круговую форму, как и на неподвижной водной поверхности. Когда вода течет, то перемещается каждая ее точка, и происходит то, что в геометрии называется «параллельным переносом»: любая фигура перемещается на новое место, но сама нисколько не меняется (круги остаются кругами).

156. Кажется, что такого числа, кроме нуля, не существует. На самом же деле оно есть. Это произведение всех чисел. Вопрос задачи сформулирован так, что побуждает нас искать какое-то конкретное, определенное и конечное число. Но в данном вопросе нет никакого подвоха. Когда мы пытаемся найти определенное число, то сами ставим себя в некие рамки, ограничивая или суживая диапазон своего поиска, ведь числом является любая величина, в том числе и неопределенная, и бесконечно большая. Произведение всех чисел – это тоже число, только бесконечно большое. Такое число, разумеется, делится на все числа (т. е. на все свои множители) без остатка.

157. На первый взгляд такое расположение людей невозможно, ведь 24: 6 = 4, т. е. в каждом ряду может быть по 4, а не по 5 человек. Однако в условии задачи ничего не сказано о расположении искомых рядов, следовательно, оно может быть произвольным. Людей можно расположить так:

158. Если внимательно прочитать условие задачи, то можно заметить, что отец в будущем никогда не будет в шесть раз старше сына, потому что такое соотношение их возрастов могло быть только в прошлом. Однако задачу вполне можно решить, не замечая этой особенности, с помощью простого уравнения. Примем искомый срок за x. Тогда спустя этот срок отцу будет 32 + x лет, а сыну 5 + x лет. Так как отец в это время должен быть в шесть раз старше сына (по условию), то можно составить уравнение:

32 + x = 6 (7 + x)

преобразуем:

32 + x = 42 + 6x

32 – 42 = 6x – x

– 10 = 5x

x = – 10 : 5

x = – 2

Результат решения уравнения на первый взгляд получается довольно странным: отец будет старше сына в шесть раз через «минус два года». На самом же деле ничего странного нет: через «минус два года» означает не что иное, как «два года назад». И действительно, два года назад отцу было 30 лет, а сыну 5 лет, и первый был в шесть раз старше второго. Как то ни удивительно, но уравнение оказалось «внимательнее» нас, «заметив» то, чего не заметили мы.

159. С перчатками дело обстоит не так просто, как с носками, ведь они отличаются друг от друга не только цветом, но еще и тем, что половина из них – правые, а половина – левые. Чтобы с гарантией получить совпадающую пару, надо достать из шкафа 21 перчатку. Если извлечь меньшее количество, например, 20 перчаток, то может получиться, что все они будут на одну и ту же руку (10 серых левых перчаток и 10 черных тоже левых).

160. Может показаться, что нужно совершить миллионы делений тетрадной странички, чтобы она стала размером с атом. На амом же деле надо будет сделать намного меньше делений. Любое последовательное удвоение (в сторону увеличения или уменьшения) – это последовательное возведение 2 в степень: 2¹ = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 2⁴ = 16 и т. д. (увеличение) или 2^-1 = ; 2^-2 = ; 2^-3 = 1/8; 2^-4 = 1/16 и т. д. (уменьшение). Даже устно можно вычислить, что 2¹⁰ 1000 и 2^-10 1/1000 или, что то же самое, 2¹⁰ 10³ и 2^-10 10^-3. Если 10^-24 (примерный вес атома) в восемь раз меньше, чем 10^-3 и, как мы уже выяснили, 10^-3 2^-10, то 10^-24 2^-80. Последовательное же возведение 2 в отрицательную степень – это не что иное, как последовательное деление пополам (см. выше). Значит, потребуется примерно всего 80 последовательных делений тетрадной странички пополам для того, чтобы она превратилась в частицу атомных размеров.

161. Не подумав, можно сразу ответить, что игрушечный кирпичик весит 2 кг, т. е. вдвое меньше. Однако он не только вдвое короче, чем настоящий кирпич, но и вдвое уже, а также вдвое ниже. Следовательно, его объем и вес меньше в 2 2 2 = 8 раз. Значит, игрушечный кирпичик весит 4 кг: 8 = 0,5 кг.

162. На первый взгляд может показаться, что определить высоту башни по ее фотоснимку невозможно. Однако это не так. Если фотография верно передает пропорции изображенных на ней объектов, то высота башни на фотографии во столько же раз больше ее основания, во сколько раз ее реальная высота больше ее реального основания. Значит, необходимо измерить длину основания и высоту башни на фотографии, а также – длину реального основания. Последнее измерение можно сделать с помощью рулетки если башня прямоугольная; если же она круглая, то длину окружности ее основания можно измерить с помощью шнура или той же рулетки, а потом найти диаметр основания, разделив длину окружности на число «пи». Зная все эти величины легко вычислить действительную высоту башни. Допустим, высота и длина основания башни – это, соответственно a и b, а реальные высота и длина основания – это x и y. В этом случае имеем:

163. Поначалу кажется, что это число 1111. И действительно, какое же еще большее число можно изобразить с помощью четырех единиц, не употребляя при этом никаких знаков действий? Однако число, большее 1111 во много раз – это 11¹¹.

164. Это утверждение верно. Трехногий стол всегда будет касаться поверхности, на которой он стоит, концами трех своих ножек, потому что (вспомните геометрию) через каждые три точки пространства проходит только одна плоскость (как и через две точки проходит только одна прямая). Именно поэтому стол с тремя ножками никогда не качается. Четвертая ножка не сделала бы его устойчивее и даже наоборот: пришлось бы всякий раз заботиться о том, чтобы стол с четырьмя ножками не качался, подкладывая под них различные выравнивающие предметы. По этой же причине для устойчивости землемерных и фотографических приборов используют треноги. Как видим, данная задача не физическая (как может показаться), а геометрическая.

165. Обычно кажется, что линия горизонта находится на уровне наших глаз. Однако это впечатление обманчиво. На самом деле линия горизонта расположена ниже уровня глаз, о чем свидетельствует простой схематический рисунок.

Кроме того, даже если бы земля была не шарообразной, а плоской, то линия горизонта все равно находилась бы ниже уровня глаз наблюдателя.

То, что она располагается на уровне глаз – иллюзия. Причем, когда мы поднимаемся над земной поверхностью (например, на воздушном шаре), то кажется, что линия горизонта остается на уровне глаз, т. е. как бы поднимается вместе с нами.

166. Наименьшее целое положительное число, которое можно написать двумя цифрами, не употребляя никаких знаков действий, – это не 10 (как можно предположить), а единица, представленная в виде 1¹, 1², 1³ и т. д. до 1⁹, а также 1⁰, 2⁰ и т. д. до 9⁰ (т. к. любое число в нулевой степени равно единице).

167. Предположение, что угол будет казаться величиной в 8°, неверно. Величина угла никак не изменится при рассматривании его через увеличительное стекло. В этом случае увеличится длина дуги, стягивающей угол, и во столько же раз увеличится радиус этой дуги.

168. Кажется, что при понижении температуры всего на 1° укорочение проволоки и ее углубление в землю будет минимальным, фактически незаметным. Однако это не так. Когда проволока стала короче, уменьшилась длина окружности, стягивающей земной шар, следовательно, уменьшился и ее радиус. Очевидно, что величина уменьшения радиуса и есть величина углубления проволоки в землю. Если длина экваториальной проволоки – 40 000 000 м, то при ее охлаждении на 1°, она укоротилась на 400 м (см. условие задачи). Насколько при этом уменьшится радиус данной проволочной окружности? Вспомним, что радиус любой окружности всегда в 2 или в 6,28 раз меньше ее длины (L = 2R). Значит, если длина окружности уменьшилась на 400 м, то ее радиус стал меньше на 400: 6, 28 64 м. Таким образом, проволока углубится в землю примерно на 64 м, а не на несколько миллиметров, как может показаться.

169. На первый взгляд определить величину угла безо всяких измерений не представляется возможным. Тем не менее, данная задача вполне разрешима. Пусть дан угол AOB (см. рисунок). Построим окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Точки C и D, в которых она пересекается со сторонами угла, соединим отрезком. Получится хорда CD. Далее надо от точки C откладывать хорду CD при помощи циркуля до тех пор, пока его ножка не совпадет с исходной точкой C. При этом надо посчитать, сколько раз была отложена хорда и сколько раз была обойдена окружность. Когда мы откладываем хорду, мы как бы увеличиваем неизвестную нам величину угла AOB в x раз (количество отложенных хорд).

Количество обходов окружности примем за y. Увеличив угол AOB в x раз, мы обошли окружность (360°) · y раз. Таким образом, получается, что AOB · x = 360° · y. Следовательно, AOB = (360 · y): x, т. е. чтобы найти величину угла надо количество обходов окружности умножить на 360° и разделить получившийся результат на количество отложенных хорд. Как видим, задача решается действительно безо всяких измерений. Также она не требует никаких познаний в геометрии, кроме того, что окружность состоит из 360°. Данная задача не столько геометрическая, сколько логическая. Кстати, при отсутствии циркуля можно начертить окружность с помощью булавки и нитки и отложить хорду, используя те же приспособления.

170. 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000

171. Один из отцов приходится другому сыном, т. е. речь идет не о четырех людях, а о трех – это дед, сын и внук. Дед дал сыну 500 рублей, а тот отдал внуку (т. е. своему сыну) 400 рублей. Таким образом, два сына вместе увеличили количество денег на 500 рублей.

172. Площадь основания широкой коробки в 2 2, т. е. в четыре раза больше, чем узкой, а высота ее в три раза меньше. Значит, объем широкой коробки в 4/3 раза больше, чем узкой. Таким образом, низкая, но широкая коробка более вместительна, чем высокая, но узкая. Если содержимое высокой коробки переместить в низкую, оно заполнит собой только 3/4 ее объема.

173. Примем первое из искомых чисел за х, тогда второе последовательное число будет х + 1, а третье х + 2. В этом случае квадрат среднего числа будет (х + 1)², а произведение двух остальных чисел – х(х + 2). Так как квадрат среднего числа должен быть на единицу больше двух остальных чисел, то можно составить уравнение:

(х + 1)² = х(х + 2) + 1

Преобразовав, получаем равенство:

x² + 2х + 1 = x² + 2х + 1,

которое свидетельствует о том, что оно выполняется при всех значениях х, т. е., любые три последовательных числа обладают требуемым свойством. Например, возьмем числа , 3, 4:

3² = 2 · 4 + 1

То же самое будет со всеми другими тремя последовательными числами.

Задачу можно решить проще, если обозначить через х не первое, а второе (среднее) из искомых чисел. Тогда первое число будет х – 1, а второе х + 1, их произведение – (х + 1) (х – 1). Квадрат среднего числа на единицу больше произведения:

х² = (х + 1)(х – 1) + 1

х² – 1 = (х + 1)(х – 1).

Получаем всем известную разность квадратов двух выражений, которая истинна при всех значениях х.

174. Если толщина мягкого слоя вишни, равна толщине косточки, которую он окружает, то диаметр вишни в три раза больше диаметра косточки (также и радиус вишни в три раза больше радиуса косточки):

Значит, объем вишни больше объема косточки в 3 · 3 · 3 = 27 раз (ведь объем шарообразных тел рассчитывается по формуле 4/3 R³). Таким образом, на долю косточки приходится 1/27 всего объема вишни, а на долю мякоти – 26/27 ее объема, т. е. мягкая часть вишни больше косточки по объему в 26 раз.

175. Рассуждение неверно. В тот момент, когда мы наблюдаем Луну или Солнце у горизонта, на восходе или закате, они не только не ближе, но, наоборот, дальше от нас (приблизительно на величину земного радиуса), чем тогда, когда находятся в зените, что хорошо поясняет следующий рисунок:

В зените мы рассматриваем светила из точки А, а у горизонта – из точек В или С. Иллюзия увеличения их размеров у горизонта связана с совершенно другими причинами.

176. Такая проверка недостаточна. Перегибая кусок материи по диагоналям, мы убеждаемся только в том, что все стороны этого четырехугольного куска материи равны между собой. Но среди выпуклых четырехугольников подобным свойством обладает не только квадрат, но и ромб, а последний является квадратом только тогда, когда его углы прямые. Для того, чтобы убедиться еще и в том, что углы при вершинах куска материи прямые, можно перегнуть его по средней линии и посмотреть, совпадают ли углы, прилежащие к одной стороне (у квадрата они совпадают, а у ромба не совпадают).

177. Единицу можно представить в виде суммы двух дробей:

Также единица может быть обозначена следующим выражением:

234567 ^{9 - 8 - 1} = 1,

т. к. любое число в нулевой степени равно единице. Наконец, в следующей записи единица выражена всеми десятью цифрами безо всяких знаков математических действий:

123456789⁰ = 1

178. Искусство «отгадывания» чисел сводится к составлению и решению простейших уравнений. Задуманное вами число собеседник обозначает как х. Далее, вы производите с этим числом какие-либо математические действия, и те же действия производит в уме с числом х ваш собеседник. Например:

Наконец, собеседник просит вас сообщить ему результат всех операций. Зная его, он быстро составляет и решает простое уравнение и «отгадывает» задуманное вами число. Допустим, результатом вышеуказанных операций было 215. Собеседнику остается решить в уме уравнение 70х + 75 = 215 (из которого 70х = 140, х = 2) и назвать задуманное число.

Фокус можно разнообразить, предложив собеседнику (теперь поменяемся с ним местами) задумать какое-либо число и, не называя его вам, вслух производить с ним те математические действия, какие он пожелает. Например, он говорит вам: «Я задумал число, прибавил к нему 2, результат умножил на 5…» и т. п. Вы же в уме проделываете те же действия с числом х. После этого, он сообщает вам результат своих операций, а вы, быстро составляя и решая в уме простое уравнение, «отгадываете» задуманное им число. (Желательно внести ограничение в совершаемые собеседником математические действия, исключив операцию деления, т. к. она значительно усложнит фокус, т. е. пусть он производит с числом только сложение, вычитание и умножение). Необходимо добавить, что в том случае, когда собеседник производит математические действия сам, может получиться, что из уравнения исчезнет х. Например, на каком-то этапе у вас получается х + 20, а собеседник говорит: «Теперь я отнимаю задуманное число». У вас получается х + 20 – х = 20. В этом случае надо попросить его не называть конечного результата всех операций, который, к удивлению собеседника, сообщаете ему вы.

179.

180. На первый взгляд кажется, что наибольшее число, которое можно выразить тремя любыми цифрами безо всяких знаков действий – это 999. Однако гораздо большие числа обозначаются выражениями 99⁹ и 9⁹⁹. Но и эти числа будут ничтожно малы по сравнению с тем числовым великаном, который скрывается за записью 9⁹⁹. Это выражение решается так: 9⁹⁹ = 9^{387 420 489}, т. е. надо найти произведение 387 420 489 девяток, сделав примерно 400 миллионов умножений. Число, которое должно при этом получиться, никому неизвестно, никем не вычислено и не имеет никакого названия. Оно столь велико, что найти его не представляется возможным. Известный отечественный популяризатор науки Я.И. Перельман в своей книге «Занимательная арифметика», пишет, что это число, набранное обыкновенным типографским шрифтом, имело бы в длину примерно 1000 км; если некто взялся бы его записать, то, записывая по две цифры в секунду, он, не переставая, трудился бы день и ночь на протяжении 7 лет; наконец, во вселенной не будет такого количества электронов, какое обозначено этим числом. Если у вас есть компьютер, попробуйте с его помощью вычислить данное число. Ваша думающая электронная машина «скажет» вам, что не может справиться с этой задачей. Видимо, для этого ей не хватит ни мощности, ни оперативной памяти, ни объема жесткого диска… Вот какой удивительный числовой исполин скрывается за внешне скромным выражением 9⁹⁹.

181. Доску надо распилить по диагонали, сдвинуть одну из половинок вверх и приклеить ее, наращивая тем самым длину доски до 100 см, после чего отпилить лишние треугольники сверху и снизу (см. рисунок).

В данном случае задача решается с помощью трех отпиливаний и только одного склеивания, при котором книжная полка будет отличаться большей прочностью по сравнению с предыдущим способом склеивания (см. условие задачи).

182. Для решения этой задачи надо воспользоваться теоремой Пифагора. Если стороны треугольника удовлетворяют условию a² + b² = c², то он обязательно содержит прямой угол. Числа а, в, с из указанного равенства обычно называются пифагоровыми числами, или пифагоровыми основаниями. Значит, если построить треугольник, стороны которого являются пифагоровыми основаниями, то он всегда будет прямоугольным. Первая в натуральном ряду тройка чисел, представляющих собой пифагоровы основания, – это 3, 4, 5 (3² + 4² = 5²). Построив треугольник со сторонами, равными трем, четырем и пяти каким-либо частям (так называемый «золотой треугольник»), мы обязательно будем иметь прямой угол. Такой треугольник можно соорудить безо всяких специальных измерительных инструментов, с помощью любых подручных средств: спичек, карандашей, ниток, веревок и т. п. В натуральном ряду существует бесконечное множество других троек пифагоровых чисел (5 – 12–13, 7 – 24–25, 9 – 40–41, 11–60 – 61, 13–84 – 85, 15 – 8 –17 и т. п.), но наиболее простыми и удобными для практического использования при построении прямых углов являются, конечно же, тройка, четверка и пятерка.

183. Любое двузначное число, умноженное на 10101, дает само себя, продублированное два раза в виде шестизначного числа:

17 10101 = 171717

23 10101 = 232323

39 10101 = 393939

Это происходит по следующей причине:

Таким образом, любое шестизначное число вида ababab делится без остатка на 10101 и в результате дает число вида ab. Но 10101 можно представить как произведение: 3 7 13 37, значит, любое число вида ababab будет без остатка делиться последовательно и на 3, и на 7, и на 13, и на 37 (последовательност, разумеется, может быть любой) и в результате даст число вида ab (см. также задачу 98). Фокус можно разнообразить, если учесть, что число 10101 можно представить и в виде произведения других множителей:

21 13 37

7 39 37

3 91 37

7 13 111

(См. также задачу 98).

184. Может показаться, что для набивки огромной папиросы потребуется в 20 раз больше табака, чем для набивки обыкновенной, т. е. 10 граммов. Однако это не так. Если папироса, выставленная в витрине магазина, длиннее и шире обыкновенной в 20 раз, то ее объем будет больше не в 20, а в 8 000 раз. В этом нет ничего удивительного: папироса представляет собой цилиндрическое тело, а объем цилиндра вычисляется по формуле R²h, где R – это радиус основания цилиндра, а h – его высота. Если толщина цилиндра увеличивается в 20 раз, значит, радиус его основания увеличивается в 20 раз, а выражение R² из формулы увеличивается в 20 20 раз. А поскольку длина папиросы также увеличена в 20 раз, то ее объем увеличивается в 20 20 20 раз. Таким образом, для набивки огромной папиросы потребуется не в 20, а в 8 000 раз больше табака, т. е. не 10 граммов, а 4 килограмма.

185. Сумма всех чисел циферблата равна 78, следовательно, сумма чисел каждого из шести участков циферблата, на которые его требуется разделить, равна 78: 6 = 13. Это рассуждение помогает найти решение задачи:

186. Можно предположить, что совокупный объем первых двух коробок больше объема третьей коробки, неверно рассуждая примерно так: «Первая коробка на 3 см меньше третьей, а вторая – всего на 1 см, значит, первая и вторая коробки вместе, конечно же, занимают больший объем, чем третья коробка». Однако длина ребра куба и его объем не находятся в столь простой зависимости, как может показаться. Простой расчет показывает, что совокупный объем первых двух коробок меньше объема третьей:

6³ + 8³ = 216 + 512 = 728

9³ = 729

728 < 729

187. На первый взгляд великан должен быть тяжелее карлика в два раза. Однако это не так. Если линейные размеры тел увеличиваются в х раз, то их объемы увеличиваются примерно в х³ раз (увеличение объема любого тела так или иначе связано с кубическим увеличением его линейных размеров). Таким образом, двухметровый великан будет объемнее и тяжелее карлика не в два раза, а примерно в восемь раз.

188. Если часы показывают семь часов (неважно – вечера или утра), то между концами часовой и минутной стрелок заключена дуга в 5/12 полной окружности, соответствующая 25 минутам на циферблате. Пять минут на циферблате соответствуют 1/12 полной окружности или, в градусной мере, – 360: 12 = 30°. Следовательно, 5/12 полной окружности составляют 150°, т. е. часовая и минутная стрелки в семь часов образуют угол в 150°.

189.

190. В задаче ничего объяснять не надо: перелет в обоих направлениях занимает одно и то же время, ведь 1 ч. 20 мин. = 80 мин.

Эффект этой шуточной задачи основан на том, что невнимательному человеку может показаться, будто бы 1 ч. 20 мин. является большим временным интервалом, чем 80 мин. Причина такой иллюзии кроется в нашей привычке к десятичной системе мер и денежных единиц: мы часто непроизвольно и бессознательно оцениваем 1 ч. 20 мин. и 80 мин. как 1р. 20 коп. и 80 коп. Задача рассчитана как раз на эту психологическую ошибку.

191. Если один арбуз в 1, 5 раза шире другого, то по объему он больше него в 1, 5 1, 5 1,5 = 3, 375 раз (ведь увеличение объема тела соответствует кубическому увеличению его линейных размеров). Таким образом, больший по размеру арбуз почти в 3, 4 раза объемнее своего соседа, а стоит он только в 2 раза дороже, поэтому выгоднее купить более крупный арбуз.

192. Рассуждение содержит логическую ошибку, которая заключается в том, что выделяющийся среди неинтересных людей какой-нибудь «самый…» человек считается на этом основании интересным, ведь интересный среди неинтересных и интересный на самом деле (т. е. изначально отнесенный в группу интересных) – это совершенно различные объекты, которые в рассуждении неправомерно отождествляются. В этом отождествлении нетождественных изначально понятий, или в подмене одного понятия другим и заключается ошибка, которая сразу, однако, не заметна и поэтому создает видимость правильности предложенного рассуждения.

193. На первый взгляд кажется, что вертолет должен приземлиться там же, откуда и вылетел, ведь он двигался по контуру квадрата. Однако это не так. Надо принять во внимание шарообразность Земли. Когда вертолет летел на север, он двигался по меридиану, далее, летя на восток, он двигался по параллели, потом – опять по меридиану, и, наконец, – снова по параллели. Меридианы Земли сближаются к северу, поэтому участок северной параллели, заключенный между двумя соседними меридианами, короче участка параллели, расположенного южнее. Таким образом, вертолет двигался не по контуру квадрата, а примерно по контуру трапеции, и поэтому он приземлился восточнее места своего вылета.

194. На одной стороне кубического метра находится 1000 миллиметровых кубиков, ведь 1 м = 100 см = 1000 мм. Значит, кубический метр включает в себя 1000 1000 1000 = 1 млрд. миллиметровых кубиков. Поставленные друг на друга, все эти кубики образуют столбик высотой в 1 млрд. миллиметров, или в 1 млн. метров, или в 1000 километров.

195. Часовая и минутная стрелки могут расположиться на одинаковом расстоянии от цифры VI (равно как и от любой другой цифры) в каком угодно часу, потому что минутная стрелка, каждый час догоняя и обгоняя часовую, последовательно проходит все точки циферблата и поэтому один раз каждый час бывает на одном и том же с часовой стрелкой расстоянии от любой его точки. (См. также задачу 102).

196. Построим из имеющихся 12 спичек треугольник со сторонами в три, четыре и пять спичек. Такой треугольник обязательно будет прямоугольным, ведь 3² + 4² = 5². Площадь этого треугольника равна половине произведения его основания на высоту: х 3 х 4 = 6, т. е. шести «спичечным» квадратам. После этого переложим три спички, уменьшая площадь треугольника на два «спичечных» квадрата. В результате получится фигура с площадью в четыре «спичечных» квадрата.

197. Из точки В надо построить окружность радиусом АВ. Затем по этой окружности следует отложить от точки А расстояние АВ три раза, в результате чего получится точка С, которая диаметрально противоположна точке А. Значит, расстояние АС есть двойное расстояние АВ. Далее надо построить окружность из точки С радиусом ВС и точно так же найти точку Д, диаметрально противоположную точке В и, следовательно, удаленную от А на тройное расстояние АВ. Таким способом можно увеличить расстояние между двумя данными точками в любое число раз с помощью одного только циркуля.

198. На первый взгляд может показаться, что кружки одинаковы по вместительности, ведь одна во столько же раз выше, во сколько другая шире. Однако в данном случае высоту и ширину нельзя столь просто сопоставлять. Вместительность кружек связана с их объемом. Объем же любого цилиндрического тела вычисляется по формуле R²h, где R – радиус основания цилиндра, а h – его высота. Если первая кружка вдвое выше другой, то ее объем будет равен R²2h. Вторая кружка, которая вдвое шире, имеет объем (2R)²h = 4R²h. Сократим выражения, обозначающие объемы кружек на R²h, тогда в первом случае получится 2, а во втором 4, т. е. вторая кружка имеет в два раза больший объем и, следовательно, в два раза вместительнее первой.

199. Секрет молниеносного умножения любого трехзначного числа на 999 очень прост: предложенное вам число надо уменьшить на единицу и приписать к нему справа три числа, которые будут «дополнениями» первых трех чисел до девятки, в результате чего получится шестизначное число. Например:

Эта особенность числа 999 заключается в том, что его можно представить как 1000 1:

Фокус можно разнообразить, если разложить 999 на множители:

999 = 9 111 = 3 9 37 = 27 37

Теперь вы якобы «произвольно» называете собеседнику шестизначное число (которое, конечно же, должно быть кратно 999, т. е. должно обладать вышеописанной особенностью, например, 875 124) и уверяете его, что оно поделится без остатка на 37. Он производит деление, и действительно получается без остатка. Далее вы гарантируете ему, что полученный результат будет делиться без остатка на 27. Собеседник совершает деление, которое вновь проходит без остатка. Более того, вы заранее знаете конечный результат. В данном случае вам могут заметить, что шестизначное число было вами заранее подготовлено, на что вы выражаете готовность сходу писать целые колонны произвольных шестизначных чисел (конечно же, якобы «произвольных»), которые обязательно будут делиться без остатка на 37 и на 27 (а также – на три, девять и сто одиннадцать).

200. Можно сразу предположить, что вершины дерева улитка достигнет через 15 суток. Однако такой ответ неверен. Улитка заползет на вершину дерева через 10 суток и 1 день, или через десять с половиной суток. В течение первых 10 суток после начала своего путешествия она поднимется на 10 метров, по 1 метру в сутки. В течение следующего одного дня, она преодолеет еще 5 метров, т. е. достигнет вершины дерева.