Величайшие математические задачи Стюарт Иэн
Но, конечно, безопаснее ограничиваться общими наблюдениями, потому что мы всегда можем поучиться у истории. Так что я почти уверен: к тому моменту, когда семь задач тысячелетия наконец решат, многие из них будут восприниматься как мелкие исторические курьезы. «О, когда-то это считалось важным?» Так произошло с некоторыми проблемами из списка Гильберта. Кроме того, можно быть уверенным, что через 50 лет появится несколько крупных областей математики, которых сегодня не существует даже в проекте. Тогда выяснится, что кое-какие базовые примеры и некоторые рудиментарные теоремы в этих областях известны уже давно, но никто не догадывался, что эти случайные кусочки смальты представляют собой фрагменты прекрасной мозаичной картины — глубокой и значительной новой области математики. В свое время так произошло с теорией групп, матричной алгеброй, фракталами и теорией хаоса. Не сомневаюсь, что это произойдет еще не раз, потому что это стандартный путь развития математики.
Существует две основные движущие силы возникновения новых областей. С одной стороны, их порождает внутренняя структура самой математики, а с другой — они являются ответом на новые вопросы о внешнем мире; часто оба фактора действуют одновременно. Как у Пуанкаре процесс решения задачи включал в себя три этапа — подготовку, созревание и озарение, — так и отношения между математикой и ее приложениями не сводятся к простой схеме: физика ставит вопрос, математика дает на него ответ, и дело с концом. На самом деле мы видим сложную систему обмена вопросами и идеями: новые достижения в математике служат стимулами для дальнейших экспериментов, наблюдений или теорий, а те, в свою очередь, мотивируют новые математические исследования. И каждый узел этой сети оказывается, при ближайшем рассмотрении, самостоятельной сетью того же типа, но меньших масштабов.
Окружающий мир стал гораздо обширнее и богаче, чем прежде. До недавнего времени основным внешним источником вдохновения для математики была физика. Некоторые другие области науки тоже играли свою роль: биология и социология стимулировали развитие теории вероятностей и статистики, а философия заметно влияла на математическую логику. В будущем нам предстоит увидеть, как математика начнет все более активно взаимодействовать с биологией, медициной, компьютерными науками, финансами, экономикой, социологией и, очень возможно, политикой, а также киноиндустрией и спортом. Я подозреваю, что некоторые из ближайших к нам по времени великих задач возникнут в биологии, поскольку с ней уже установилась прочная связь. Одна из тенденций — взрывной рост возможностей по сбору биологических и биохимических данных. Так, сегодня небольшие геномы можно секвенировать при помощи устройства размером с флешку (методом нанопорового анализа). Очень скоро то же можно будет проделывать и с большими геномами при помощи тех же или других технологий. В любом случае большая часть соответствующих технологий уже существует.
Потенциально уже эти достижения могут в значительной мере изменить обстановку. Однако нужно еще разобраться, что все эти данные означают. Вообще-то, биология — наука не о данных, а о процессах. Эволюция — это процесс, как и деление клетки, развитие зародыша, зарождение раковой опухоли, поведение толпы, работа мозга и динамика глобальной экосистемы. Лучший известный на сегодня способ понять фундаментальные свойства процесса и разобраться в том, что в нем происходит, как и почему, — это математика. Так что скоро появятся великие задачи новых типов — как разворачивается динамика процесса в присутствии сложной, но очень конкретной организующей информации (ДНК-последовательностей); как генетические изменения взаимодействуют со средой, сдерживая эволюцию; как правила роста, деления, движения, адгезии и гибели клетки формируют развивающийся организм; как поток электронов и химических веществ в сети нервных клеток определяет восприятие и действия организма.
Вычислительные средства — еще один источник новой математики, успевший уже проявить себя. Обычно они воспринимаются как инструмент математических действий, но не стоит забывать, что математика в равной степени является инструментом понимания и организации вычислений. Этот двусторонний обмен приобретает все большее значение для благополучия и развития обеих областей — не исключено, что когда-нибудь в будущем они просто сольются воедино. Некоторые математики считают, что их с самого начала не следовало разделять. Из множества существующих уже сегодня в этой области тенденций на ум приходит вопрос о работе с очень большими массивами данных. Этот вопрос имеет отношение не только к ДНК, о чем уже упоминалось, но и к задаче предсказания землетрясений, к расчету эволюционных процессов, к проблемам глобального климата, фондового рынка, международных финансов и новых технологий. Наша задача — научиться использовать большие массивы данных для проверки и отладки математических моделей реального мира, которые в дальнейшем дадут нам в руки подлинный контроль над сложнейшими системами.
В отношении того, в чем лично я разбираюсь лучше всего, предсказания в основном негативные, но в то же время это подтверждает, что креативность математического сообщества по-прежнему не снижается. Все математики-исследователи время от времени чувствуют, что их предмет как будто обладает собственным сознанием. Задачи решаются так, как это нужно математике, а не математикам. Мы выбираем, какие вопросы рассматривать, но мы не можем выбирать, какие у этих вопросов должны быть ответы. Вообще, такое ощущение характерно для двух крупных школ, которые отличает разное отношение к природе математики. Последователи Платона считают, что «идеальные формы» математики ведут своего рода независимое существование «где-то там», в некоем собственном царстве, отличном от материального мира. (Существуют более тонкие формулировки, которые, вероятно, звучат более здраво, но суть именно в этом.) Вторые видят в математике общечеловеческую концепцию. Но, в отличие от большинства подобных концепций — законодательной системы, денег, этики, морали, математика представляет собой конструкцию с прочной логической основой. Существуют серьезные ограничения на то, какие утверждения вы можете или не можете предлагать остальным. Именно из-за этих ограничений возникает впечатление, что математика сама решает, что ей делать и как развиваться; они же создают у математиков ощущение, что их наука существует сама по себе вне зоны человеческой деятельности. Мне представляется, что платонизм — это описание не того, что есть математика на самом деле, а того, как ощущает математику человек, в ней работающий. Примерно так человек, увидевший розу, кровь или светофор, живо ощущает «красное». Философы называют подобные ощущения «первичными», некоторые из них даже считают, что наше ощущение свободы воли на самом деле представляет собой первичное ощущение того, как мозг принимает решения. Выбирая из нескольких вариантов, мы уверены, что действительно свободны в своем выборе, — хотя не исключено, что динамика мозга в каком-то смысле детерминирована. Тогда платонизм — это первичное ощущение участия в общечеловеческом процессе, ограниченном жесткими рамками логических построений.
Так что может показаться, что математика обладает собственным сознанием, даже если на самом деле она создается коллективной интеллектуальной деятельностью людей. История учит нас, что математическое сознание — в этом смысле — более изобретательно и удивительно, чем можно себе представить. Все это лишь подходы к моему главному утверждению: единственное, что можно с уверенностью предсказать в математике, это ее непредсказуемость. Важнейшие математические вопросы начавшегося столетия возникнут как естественные, иногда даже неизбежные, следствия накопления наших знаний о нынешних великих задачах математики. Однако почти наверняка это будут вопросы, которые никто сегодня не может даже вообразить. Это верно и правильно, и нам нужно этому радоваться.
17. Двенадцать задач на будущее
Не хочу оставить у вас неверное впечатление, что большинство математических задач (за исключением нескольких особенно сложных) уже решено. Математические исследования напоминают изучение новооткрытого материка. По мере того как расширяется уже исследованная область, становится длиннее и граница между известным и неизвестным. Я не утверждаю, что чем больше математических закономерностей мы открываем, тем меньше знаем. Я говорю, что чем больше математических закономерностей мы открываем, тем лучше представляем себе объемы непознанного. Но непознанное изменяется со временем: одни задачи уходят в прошлое, на горизонте появляются другие. А область известного только расширяется, если, конечно, не говорить о случайно утерянных документах.
Чтобы дать вам некоторое представление о том, чего мы не знаем в настоящий момент (помимо тех проблем, о которых мы уже говорили), я приведу 12 нерешенных задач, которые уже некоторое время ставят в тупик математиков всего мира. Я выбрал их таким образом, чтобы несложно было понять суть вопроса. Мы уже видели, что простота формулировок ничего не говорит о том, насколько легким или сложным может быть доказательство. Некоторые из этих проблем еще могут обернуться великими: это будет зависеть в основном не от ответа на вопрос, а от того, какие методы будут придуманы и применены для их решения и к чему соответствующие исследования в конце концов приведут.
Задача Брокара
Для любого целого числа n факториал n! равен произведению
n (n — 1) (n— 2) … 3 2 1.
Это число различных способов расставить по порядку n объектов. К примеру, английский алфавит, содержащий 26 букв, можно расставить
26! = 403 291 461 126 605 635 584 000 000
разными способами. В статьях, опубликованных в 1876 и 1885 гг., Анри Брокар отметил, что
4! + 1 = 24 + 1 = 25 = 5,5! + 1 = 120 + 1 = 121 = 11,7! + 1 = 5040 + 1 = 5041 = 71
представляют собой полные квадраты. Он не обнаружил других факториалов, которые при прибавлении единицы давали бы полный квадрат, и задался вопросом, существуют ли такие. Индийский гений-самоучка Шриниваса Рамануджан независимо задался этим же вопросом в 1913 г. В 2000 г. Брюс Берндт и Уильям Голуэй при помощи компьютера показали, что для факториалов чисел до 1 млрд других решений не существует.
Нечетные совершенные числа
Число является совершенным, если оно равно сумме всех его собственных делителей (т. е. чисел, на которые оно делится без остатка, включая единицу, но исключая само число). Примеры таких чисел:
6 = 1 + 2 + 3,28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Евклид доказал, что если число 2n 1 простое, то число 2n1(2n 1) совершенно. Приведенные выше примеры соответствуют n = 2, 3. Простые числа такого вида называются простыми Мерсенна, их известно 47 штук, и самое большое из них 243 112 609 1 (кроме того, это самое большое известное простое число). Эйлер доказал, что все четные совершенные числа должны иметь такой вид, но никому еще не удалось отыскать хотя бы одно нечетное совершенное число или доказать, что их не существует. Померанс предложил нестрогое рассуждение, которое вроде бы указывает, что таких чисел действительно нет. Любое нечетное совершенное число должно удовлетворять нескольким жестким условиям. По величине оно должно быть не меньше 10300, должно иметь простой делитель больше чем 108, его второй по величине простой делитель должен быть по крайней мере 104; кроме того, у него должно быть по крайней мере 75 простых делителей и по крайней мере 12 различных простых делителей.
Гипотеза Коллатца
Возьмем целое число. Если оно четное, разделим на 2. Если нечетное, домножим на 3 и прибавим 1. Повторим эту операцию бесконечное число раз. Что произойдет?
К примеру, можно начать с числа 12. Получим следующую последовательность:
12 6 3 10 5 16 8 4 2 1,
после чего последовательность 4 2 1 4 2 1 будет повторяться бесконечно. Гипотеза Коллатца утверждает, что конечный результат будет одним и тем же, с какого бы числа мы ни начали. Гипотеза названа в честь Лотара Коллатца, предложившего ее в 1937 г., но имеет и множество других названий: гипотеза 3n + 1, гипотеза градины, гипотеза Улама, проблема Какутани, гипотеза Туэйтса, алгоритм Хассе или сиракузская проблема.
Что делает эту задачу такой сложной, так это то, что нередко числа буквально взрываются. Так, если начать с 27, последовательность поднимется до 9232, но при этом все равно через 111 шагов сойдется к 1. Компьютерное моделирование подтверждает гипотезу для всех первоначальных чисел вплоть до 5,764 1018. Доказано, что не существует циклов, за исключением 4 2 1, в которых было бы меньше 35 400 шагов. Возможность того, что некоторое начальное число дает последовательность, содержащую все более крупные числа, разделенные более мелкими, не исключена. Илья Красиков и Джеффри Лагариас доказали, что для начальных величин вплоть до n по крайней мере n0,84 из них со временем сходится к 1. Так что исключения, если они существуют, встречаются редко.
Существование правильного кубоида
Здесь в качестве начального пункта берется существование пифагоровых троек и формула для них, а затем вся проблема переводится в третье измерение. Эйлеров параллелепипед — это кубоид (блок в форме кирпича) с целыми ребрами, все грани которого имеют целые диагонали. Самый маленький параллелепипед Эйлера открыл в 1719 г. Пауль Хальке. Его ребра составляют 240, 117 и 4; диагонали граней равны 267, 244 и 125. Эйлер нашел формулы для таких прямоугольных параллелепипедов, аналогичные формуле для пифагоровых троек, но они выдают не все возможные решения.
Неизвестно, существует ли совершенный кубоид, т. е. существует ли такой параллелепипед Эйлера, главная диагональ которого тоже имеет целую длину. (Главная диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины прямоугольного параллелепипеда и проходящий сквозь его внутреннюю часть. Таких отрезка четыре, но все они равны по длине.) Известно, что формулы Эйлера не дают примера такого параллелепипеда. Он, если существует, должен удовлетворять нескольким условиям — к примеру, по крайней мере одно его ребро должно быть кратно 5, другое — 7, третье — 11, четвертое — 19. Компьютерные эксперименты показали, что длина одного из ребер должна быть не менее одного триллиона.
Есть достаточно близкие варианты. У прямоугольного параллелепипеда со сторонами 672, 153 и 104 главная диагональ целая, как и две из трех диагоналей граней. В 2004 г. Хорхе Сойер и Клиффорд Рейтер доказали, что существуют совершенные непрямоугольные параллелепипеды. Грани таких параллелепипедов представляют собой не прямоугольники, а параллелограммы, а сам параллелепипед как бы скошен на сторону. Ребра совершенного непрямоугольного параллелепипеда имеют длины 271, 106 и 103; малые диагонали граней равны 101, 266 и 255; большие диагонали граней — 183, 312 и 323; внутренние диагонали (а у такого параллелепипеда они все разные) имеют длины 374, 300, 278 и 272.
Гипотеза об одиночестве бегуна
Эта задача из трудной для понимания области математики, известной как теория диофантовых приближений. Сформулировал ее в 1967 г. Йорг Виллс. А название — гипотеза одинокого бегуна — придумал в 1998 г. Луис Годдин. Положим, что n бегунов бегают по кольцевой дорожке единичной длины с постоянной скоростью, причем скорости всех бегунов различны. Можно ли утверждать, что каждый из бегунов в какой-то момент времени окажется одиноким, т. е. будет находиться на расстоянии более 1/n от остальных? Разумеется, для разных бегунов это будут разные моменты времени. Гипотеза состоит в том, что ответ всегда «да»; на данный момент она доказана для n = 4, 5, 6 и 7.
Гипотеза Конвея о трекле
Трекл — это сеть, размещенная на плоскости таким образом, что каждые два ее ребра имеют ровно одну общую точку (см. рис. 48). Встречаться они могут либо в вершине, либо в точке пересечения, но не то и другое одновременно. Если они пересекаются, то обязательно поперек; это значит, что ни одно из них не может целиком остаться по одну сторону от другого (а это могло бы произойти, если бы они, скажем, соприкасались). Джон Конвей в неопубликованной работе высказал гипотезу о том, что в любой сети такого рода число линий меньше или равно числу точек. В 2011 г. Радослав Фулек и Янош Пач доказали, что любая такая сеть с n точками имеет не более 1,428n линий.
Иррациональность постоянной Эйлера
Не существует готовой «замкнутой» формулы для суммы гармонического ряда
Более того, такой формулы, по всей вероятности, не существует. Однако существует прекрасная ее аппроксимация: по мере того как n увеличивается, Hn стремится к logn + . Здесь — постояная Эйлера, численно равная примерно 0,5772156649. Эйлер вывел эту формулу в 1734 г., а Лоренцо Маскерони изучал постоянную в 1790 г. Ни тот, ни другой не использовали символ .
Постоянная Эйлера — одно из тех странных чисел, которые время от времени возникают в математике (вспомните и e); у них нет красивого или простого выражения, они то и дело появляются в самых разных местах, но при этом складывается впечатление, что они существуют сами по себе. В главе 3 мы убедились, что и , и e трансцендентны: они не являются решениями каких-либо алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Они иррациональны: не выражаются точными дробями. Многие математики считают, что постоянная Эйлера трансцендентна, но мы даже не знаем наверняка, иррациональна ли она. Если все же = p/q для целых p и q, то q равняется по крайней мере 10242 080.
Постоянная Эйлера важна во многих областях математики — от римановой дзета-функции до квантовой теории поля. Она появляется во многих ситуациях и в многочисленных формулах. Поэтому просто возмутительно, что мы не можем решить, рациональна ли она!
Действительные квадратичные числовые поля
В главе 7 мы видели, что одни алгебраические числовые поля имеют единственное разложение на простые множители, а другие — нет. Лучше всего изучены квадратичные алгебраические числовые поля, полученные путем извлечения квадратного корня из некоего числа d, которое не является полным квадратом, более того, не имеет делителей — полных квадратов. Соответствующее кольцо алгебраических целых чисел, состоящее из всех чисел вида a+bd, где a и b — целые числа, если d не имеет вид 4k + 1, и либо целые, либо нечетные целые, деленные на 2, если d имеет такой вид.
Если d отрицательно, то мы знаем, что разложение на простые множители является единственным ровно для девяти чисел: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 и 163. Доказательство единственности в этих случаях относительно понятно, но вот поиск других таких чисел очень сложен. В 1934 г. Ганс Хайльбронн и Эдвард Линфут показали, что к этому списку можно добавить не более одного отрицательного целого числа. Курт Хегнер в 1952 г. предложил доказательство полноты списка, но считалось, что в этом доказательстве есть пробел. В 1967 г. Гарольд Старк нашел полное доказательство, заметив при этом, что оно незначительно отличается от доказательства Хегнера, т. е. что пробел не имел значения. Примерно в то же время Алан Бейкер нашел еще одно доказательство.
Случай, когда d положительно, совсем не такой. Разложение на простые множители единственно для гораздо большего числа значений d. Только до 50 это 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 29, 31, 33, 37, 38, 41, 43, 46, 47. Компьютерные расчеты позволяют получить еще много значений. Насколько нам известно, может существовать бесконечно много положительных значений d, соответствующее которым квадратичное числовое поле однозначно раскладывается на простые множители. Эвристический анализ, проведенный Коэном и Ленстрой, позволяет предположить, что примерно три четверти всех положительных d, по идее, должны определять числовые поля с однозначными разложениями. Проблема в том, чтобы доказать, что эти наблюдения верны.
Муравей Лэнгтона
Годы идут, и становится все более очевидным, что традиционные методы математического моделирования уже не справляются с задачами, которые ставит перед собой человечество: моделированием глобальной финансовой системы, динамики экосистем, роли генов в росте и развитии живых организмов. Во многие из этих систем входит гигантское количество действующих «лиц» — людей, компаний, организмов, генов, взаимодействующих между собой. Нередко эти взаимодействия можно смоделировать при помощи достаточно простых правил. В последние 30 лет получил развитие новый тип модели, который пытается разобраться с поведением подобных систем, что называется, «в лоб». К примеру, чтобы понять, как 100 000 человек будут вести себя на стадионе, мы не станем усреднять их и превращать в своего рода человеческую жидкость, течение которой затем следует рассматривать. Нет, мы строим компьютерную модель из 100 000 отдельных модулей, накладываем на них подходящие ограничения, устанавливаем правила и запускаем процесс моделирования, чтобы посмотреть, что будет делать эта компьютерная толпа. Такого рода модели в математике называют сложными системами.
Чтобы дать вам некоторое представление об этой новой и очень интересной области математики, я опишу одну из простейших сложных систем и объясню, почему мы не понимаем ее до конца. Эта система называется муравьем Лэнгтона. Кристофер Лэнгтон был одним из первых сотрудников Института Санта-Фе, который основали в 1984 г. физики Джордж Коуэн, Марри Гелл-Ман и другие для развития теории и приложений сложных систем. Лэнгтон придумал своего муравья в 1986 г. Технически это клеточный автомат, система клеток квадратной решетки, состояния которых обозначаются цветом. На каждом временном шаге цвет каждой клетки изменяется в соответствии с цветом соседних с ней клеток.
Правила просты до нелепости. Муравей живет на бесконечной квадратной решетке из клеток, и первоначально все они белые. Он всегда носит с собой неиссякаемый горшочек с черной краской и такой же горшочек с белой краской. Он может идти на север, на восток, на юг или на запад. Из соображений симметрии скажем, что первый шаг он делает на север. В каждый момент времени муравей смотрит на цвет клетки, в которой оказался, и перекрашивает ее из черной в белую или из белой в черную. Если клетка была белой, то после перекрашивания муравей поворачивает на 90° направо и делает один шаг вперед. Если клетка была черной, то он поворачивает на 90° налево и делает то же самое. И так до бесконечности. Если вы смоделируете поведение муравья, то сначала он будет рисовать простой симметричный узор из белых и черных квадратов. Время от времени он возвращается на клетку, где уже был, но петля при этом не замыкается, потому что цвет клетки изменился, и муравей повернет в другую сторону. Моделирование продолжается, и рисунок становится хаотичным и случайным. При этом в нем невозможно различить никаких закономерностей: в основе своей это просто беспорядок. На этой стадии можно подумать (и вполне здраво), что такое хаотичное поведение будет продолжаться бесконечно. В конце концов, вернувшись в хаотично раскрашенный регион, муравей непременно сделает серию хаотичных шагов. Если вы будете продолжать моделирование, то следующие примерно 10 000 шагов подтвердят ваше предположение. Однако затем, если вы будете настойчивы, проявится закономерность. В движениях муравья возникнет повторяющийся цикл из 104 шагов, в результате которого он проходит две клетки по диагонали. После этого он будет двигаться, прорисовывая широкую диагональную полосу из черных и белых клеток, которую иногда называют магистралью, и так до бесконечности (см. рис. 49).
Все описанное до сих пор может быть доказано по всей строгости просто последовательным перебором муравьиных шагов. Это будет достаточно длинное доказательство — список из 10 000 шагов, — но все же доказательство. Но математика системы станет более интересной, если мы зададимся чуть более общим вопросом. Что если еще до начала движения муравья мы перекрасим некоторое конечное число клеток решетки в черный цвет? Мы можем выбрать для этого любые клетки: это может быть случайный набор, черный квадрат или Мона Лиза. Их может быть миллион, или миллиард, или еще больше, но не бесконечное количество. Что произойдет?
Обычное движение муравья резко меняется при встрече с любой из новых черных клеток. Он может долго бродить окрест, рисуя сложные орнаменты и раз за разом перерисовывая их заново… Но во всех до сих пор предпринятых попытках, какой бы ни была первоначальная конфигурация, в конце концов муравей непременно принимался за строительство магистрали при поощи все того же 104-шагового цикла. Всегда ли это происходит? Является ли магистраль единственным «аттрактором» движения муравья? Никто не знает. Это одна из фундаментальных нерешенных задач теории сложности. Максимум, что нам известно, — это то, что, какой бы ни была первоначальная конфигурация черных клеток, муравей не останется навечно в пределах ограниченной области поля.
Гипотеза Адамара
Матрица Адамара, названная в честь Жака Адамара, представляет собой квадратную матрицу из нулей и единиц, такую, что в любых двух ее рядах или столбцах половина элементов совпадает, а другая половина — отличается. На рис. 50 можно увидеть матрицы размеров 2, 4, 8, 12, 16, 20, 24 и 28, где 0 и 1 обозначены черным и белым цветом. Такие матрицы появляются во многих математических задачах и в компьютерных науках, в первую очередь в теории кодирования. (В некоторых приложениях, в том числе в задаче, которой первоначально занимался Адамар, белые квадраты соответствуют 1, а не 0.)
Адамар доказал, что подобные матрицы могут существовать только при n = 2 или n, кратном 4. Теорема Пейли 1933 г. доказывает, что матрица Адамара существует всегда для n, кратного 4 и равного 2a(pb + 1), где p — нечетное простое число. Из чисел, кратных 4, под эту теорему не подпадают 92, 116, 156, 172, 184, 188, 232, 236, 260, 268 и другие, более крупные значения n. Гипотеза утверждает, что матрица Адамара существует любых размеров, кратных 4. В 1985 г. К. Савад нашел матрицу размера 268. Есть и другие числа, не удовлетворяющие условию теоремы Пейли, с которыми уже разобрались. В 2004 г. Хади Харагани и Бехруз Тайфех-Резайе нашли матрицу Адамара размера 428, и теперь минимальное значение n, для которого она неизвестна, составляет 668.
Уравнение Ферма — Каталана
Это диофантово уравнение xa +yb = zc, где a, b и c — положительные целые числа, показатели степени. Я назову это уравнение уравнением Ферма — Каталана, потому что его решения имеют отношение как к Великой теореме Ферма (см. главу 7), так и к гипотезе Каталана (см. главу 6). Если a, b и c малы, ненулевые целые решения не особенно удивительны. К примеру, если все они равны 2, мы имеем уравнение Пифагора, которое, как известно со времен Евклида, имеет бесконечно много решений. Так что основной интерес представляют те случаи, когда показатели степени велики. Формально они являются «большими», когда s = 1/a + 1/b + 1/c меньше 1. Известно лишь десять больших решений уравнения Ферма — Каталана:
1 + 2 = 3,
25 + 72 = 34,
73 + 132 = 29,
27 + 173 = 712,
35 + 114 = 1222,
177 + 76 2713 = 210639282,
14143 + 22134592 = 657,
92623 + 153122832 = 1137,
438 + 96223 = 300429072,
338 + 1590342 = 156133.
Первое из этих решений считается большим, потому что 1 = 1a для любого a и для a = 7 в том числе. Гипотеза Ферма — Каталана утверждает, что для больших s уравнение Ферма — Каталана имеет лишь конечное число целых взаимно простых решений. Основной результат доказали в 1997 г. Анри Дармон и Лоик Мерель: не существует решений, в которых c = 3, а a и b равны и больше 3. Больше почти ничего не известно. Дальнейший прогресс, судя по всему, зависит от поразительной новой гипотезы, речь о которой пойдет ниже.
Гипотеза ABC
В 1983 г. Ричард Мейсон обратил внимание на то, что один случай Великой теоремы Ферма никем никогда не рассматривался: речь идет о первых степенях. Иными словами, об уравнении a + b = c.
На первый взгляд, эта мысль абсолютно бессмысленна. Чтобы решить это уравнение для любой из трех переменных, выразив ее через две остальные, не нужны большие познания в алгебре. К примеру, a = c — b. Однако есть еще контекст, который меняет все. Мейсон понял, что, если задать в отношении a, b и c правильные вопросы, все становится намного глубже. Результатом этой необыкновенной идеи стала новая гипотеза теории чисел с далекоидущими последствиями. Будучи доказанной, она помогла бы математикам разобраться с множеством нерешенных на данный момент задач и найти более качественные и простые доказательства некоторых крупнейших теорем теории чисел. Речь идет о гипотезе ABC, в пользу которой говорит огромное количество численных свидетельств. Основана она на свободной аналогии между целыми числами и многочленами.
Евклид и Диофант знали рецепт для пифагоровых троек, который мы сегодня записываем в виде формулы (см. главу 6). Можно ли применить ту же уловку к другим уравнениям? В 1851 г. Жозеф Лиувилль доказал, что для уравнения Ферма для степеней 3 и выше подобной формулы не существует. Мейсон применил аналогичные рассуждения к более простому уравнению
a(x) + b(x) = c(x)
для трех многочленов. Вроде бы это чрезмерно, ведь все решения можно найти при помощи элементарной алгебры. Тем не менее главный результат элегантен и далеко не очевиден: если каждый многочлен имеет делитель, который представляет собой полный квадрат, куб или более высокую степень, то уравнение не имеет решений.
Теоремы о многочленах часто имеют аналоги среди теорем о целых числах. В частности, неприводимые многочлены соответствуют простым числам. Естественный аналог теоремы Мейсона о многочленах в области целых чисел выглядит так. Пусть a + b = c, где a, b и c — целые числа без общих делителей. Тогда простых делителей у каждого из чисел a, b и c меньше, чем различных простых делителей у числа abc. К несчастью, простые примеры показывают, что это неправда. В 1985 г. Дэвид Массер и Джозеф Эстерле модифицировали это утверждение и предложили вариант гипотезы, который не противоречит никаким известным примерам. Очень возможно, что их гипотеза ABC на данный момент является крупнейшей открытой проблемой в математике{45}. Если бы завтра кто-то доказал гипотезу ABC, многие глубокие и сложные теоремы, доказанные в последние десятилетия с громадными усилиями, получили бы новые простые доказательства. Еще одним следствием стала бы гипотеза Маршалла Холла: разность между любым полным кубом и любым полным квадратом должна быть достаточно большой. Наконец, еще одно потенциальное приложение гипотезы ABC — задача Брокара, первая в этой главе. В 1993 г. Мариус Оверхольт доказал, что если гипотеза ABC верна, то уравнение Брокара имеет конечное число решений.
Одно из самых интересных следствий гипотезы ABC связано с гипотезой Морделла. Фальтингс доказал это достаточно хитрым способом, но его результат был бы более убедительным, если бы нам известна была еще одна вещь: предел размера решений. Тогда существовал бы алгоритм поиска их всех. В 1991 г. Ноам Элкис показал, что частный случай гипотезы ABC, в которой различные постоянные ограничены, подразумевает такое улучшение теоремы Фальтингса. Лоран Море-Бэйи показал, что обратное верно. Из достаточно серьезных ограничений на величину решений всего одного диофантова уравнения, y2 = x
Глоссарий
Алгебраическое целое число. Комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами и коэффициентом при наибольшей степени 1. К примеру, i2, удовлетворяющее уравнению x + 2 = 0.
Алгебраическое число. Комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами или эквивалентными рациональными коэффициентами. К примеру, i2/3 удовлетворяет уравнению или эквивалентно 9x + 2 = 0.
Алгебраическое многообразие. Множество в многомерном пространстве, определяемое системой алгебраических уравнений.
Алгоритм. Определенная процедура решения задачи, гарантированно приводящая к ответу.
Арифметическая прогрессия. Последовательность чисел, в которой каждое следующее число равно предыдущему плюс некая постоянная величина, разность прогрессии. Пример такой последовательности: 2, 5, 8, 11, 14… с разностью 3.
Асимптотический. Две величины, определенные через одну переменную, асимптотически равны, если по мере произвольного роста переменной их отношение все сильнее приближается к 1.
Бозон Хиггса. Элементарная частица, существование которой объясняет, почему все частицы обладают массой. О его открытии на Большом адронном коллайдере было объявлено в июле 2012 г.
Вектор. В механике величина, которая характеризуется как размером, так и направлением.
Верхняя граница. Конкретное число, гарантированно большее, чем некая искомая величина.
Вихрь. Жидкость, кружащаяся в водовороте. Может быть любого размера, в том числе очень маленького.
Волна. Возмущение, которое движется сквозь среду — твердое тело, жидкость или газ, не оставляя после себя в среде никаких постоянных изменений.
Вращение (поворот). На плоскости: преобразование, при котором все точки сдвигаются на один и тот же угол вокруг фиксированного центра. В пространстве: преобразование, при котором все точки сдвигаются на один и тот же угол вокруг фиксированной прямой — оси вращения.
Время разрушения решения. Время, после которого решение дифференциального уравнения прекращает существовать.
Гомология (группа). Топологический инвариант пространства, определенный замкнутыми петлями. Две петли гомологичны, если их разность представляет собой границу топологического диска.
Гомотопия (группа). Топологический инвариант пространства, определенный замкнутыми петлями. Две петли гомотопичны, если любая из них может быть непрерывно преобразована во вторую.
Гранецентрированная кубическая решетка. Повторяющаяся в пространстве совокупность точек. Кубики ставятся рядами и один на другой, образуя как бы трехмерную шахматную доску, а затем берутся их вершины и центры всех шести граней (см. рис. 17, 19).
Граница. Край определенной области.
Группа. Абстрактная алгебраическая структура, включающая в себя множество и правило комбинирования двух любых элементов множества, соответствующее трем условиям: в нем выполняется сочетательный закон, существует единичный элемент и каждому элементу соответствует обратный элемент.
Действительное число. Любое число, которое может быть выражено десятичной дробью, возможно, бесконечной. Пример: = 3,1415926535897932385…
Дзета-функция. Комплексная функция, введенная Риманом и представляющая простые числа аналитически. Определяется рядом
который сходится, если действительная часть s больше единицы. Это определение может быть расширено на все комплексные s при помощи процесса, известного как аналитическое продолжение.
Динамическая система. Любая система, которая изменяется во времени по определенным правилам. К примеру, движение планет в Солнечной системе.
Диофантово уравнение. Уравнение, решения которого должны быть рациональными числами.
Диск (топологический). Область на поверхности, которую можно непрерывно преобразовывать в окружность вместе с тем, что у нее внутри.
Дифференциальное уравнение. Уравнение, в котором функция соотносится со скоростью ее изменения.
Дифференциальное уравнение в частных производных. Дифференциальное уравнение, в котором фигурируют скорости изменения некой функции по отношению к двум или более различным переменным (часто это пространство и время).
Додекаэдр. Многогранник, гранями которого являются 12 правильных пятиугольников (см. рис. 38).
Двойственная сеть. Сеть, полученная из данной сети. Чтобы получить ее, каждую область первоначальной сети следует заменить точкой и соединить эти точки ребрами, если соответствующие области граничат (см. рис. 10).
Единственность разложения на простые множители. Свойство, согласно которому любое число может быть записано как произведение простых множителей единственным способом с точностью до порядка записи множителей. Это верно для целых чисел, но не всегда верно в более общих алгебраических системах.
Идеальное число. Число, которое не входит в данную систему алгебраических чисел, но связано с этой системой так, что восстанавливает единственность разложения на простые множители в случаях, когда это свойство нарушается. В современной алгебре заменен идеалом — особым подмножеством той же системы.
Импульс. Произведение массы на скорость.
Индукция. Общий метод доказательства теорем о натуральных числах. Если какое-то свойство истинно для 0 и из его истинности для любого натурального n следует его истинность для n + 1, это свойство истинно для всех натуральных чисел.
Интеграл. Операция исчисления, при которой, по существу, складывается очень большое количество очень маленьких составляющих. Интеграл функции равен площади под ее графиком.
Иррациональное число. Действительное число, которое не является рациональным, т. е. не может быть записано в виде p/q, где p и q — целые числа и q 0. Примерами могут служить 2 и .
Калибровочная симметрия. Группа местных симметрий системы уравнений: преобразования переменных в разных точках пространства может быть различными, но, если обеспечить уравнениям компенсирующее изменение с разумным физическим обоснованием, любое решение системы остается решением.
Калибровочная теория. Квантовая теория поля с группой калибровочных симметрий.
Квадрат. Результат умножения числа на самое себя. К примеру, квадрат 7 равен 7 7 = 49, обозначается 7.
Квадратное уравнение. Любое уравнение ax + bx + c = 0, где x — неизвестное, а a, b, c — константы.
Квантовая теория поля. Квантовомеханическая теория величины, которая пронизывает пространство и может иметь (и обычно имеет) разные значения в разных его местах.
Квантово-волновая функция. Математическая функция, определяющая свойства квантовой системы.
Класс E. Алгоритм, время работы которого для входа размера n пропорционально n-й степени некоей постоянной величины.
p>Класс P. Алгоритм, время работы которого пропорционально некоей постоянной степени размера входа.Класс не-P. Не класс P.
Класс NP. Задача, для которой предлагаемое решение может быть проверено (но необязательно найдено) при помощи алгоритма класса P.
Класс Ходжа. Когомологический класс циклов на алгебраическом многообразии с особыми аналитическими свойствами.
Когомологическая группа. Абстрактная алгебраическая структура, связанная с топологическим пространством, аналогичная гомологической группе, но «двойственная» ей.
Комплексный анализ. Анализ — логически строгие вычисления, осуществляемые при помощи комплексных функций комплексного переменного.
Комплексное число. Число вида a + bi, где i — корень квадратный из 1, а a и b — действительные числа.
Конгруэнтное число. Число, которое может быть общей разностью последовательности трех квадратов рациональных чисел.
Контрпример. Пример, опровергающий некое утверждение. Так, 9 может служить контрпримером к утверждению «все нечетные числа простые».
Корень из единицы. Комплексное число , некоторая степень которого k = 1 (см. рис. 7 и прим. 33).
Коэффициент. В многочлене, таком как 6x 5x + 4x 7, коэффициентами являются числа 6, 5, 4, 7, на которые домножаются различные степени x.
Координата. Одно из чисел в списке, определяющем положение точки на плоскости или в пространстве.
Косинус. Тригонометрическая функция угла, определяемая как cos A = a/c на рис. 51.
Кривизна. Мера искривления пространства в окрестности данной точки. Сфера обладает положительной кривизной, плоскость — нулевой кривизной, а седловидная поверхность — отрицательной.
Круговое число, круговое целое число. Сумма степеней комплексного корня из единицы с рациональными либо целыми коэффициентами.
Куб. Число, умноженное на себя и еще раз на себя. К примеру, куб 7 равен 7 7 7 = 343. Обычно записывается как 7.
Кубическое уравнение. Любое уравнение вида ax + bx + cx + d = 0, где x — неизвестное, а a, b, c, d — постоянные.
L-функция Дирихле. Обобщение дзета-функции Римана.
Логарифм. Натуральный логарифм x (обозначается log x) — это степень, в которую нужно возвести e (= 2,71828…), чтобы получить x. Иными словами, elog x = x.
Логарифмический интеграл. Функция
Максимум. Наибольшее значение чего-либо.
Минимальный контрпример. Математический объект, не обладающий неким желаемым свойством, причем в определенном смысле минимально возможный такой объект. К примеру, карта, которую невозможно раскрасить в четыре краски и состоящая притом из минимального числа областей, при котором это невозможно. Минимальные контрпримеры часто бывают гипотетическими, а цель математика при этом — доказать, что их не существует.
Минимум. Наименьшее значение чего-либо.
Многогранник. Тело, граница которого состоит из конечного числа многоугольников.
Многообразие. Многомерный аналог гладкой поверхности; форма в пространстве, определенная системой полиномиальных уравнений.
Многоугольник. Плоская фигура, граница которой состоит из конечного числа отрезков прямых.
Многочлен. Алгебраическое выражение, к примеру 6x 5x + 4x 7, в котором различные степени переменной x умножаются на константы и складываются.
Множество. Набор (математических) объектов. К примеру, множество целых чисел.
Модульная арифметика. Арифметическая система, в которой числа, кратные некоему заданному числу, называемому модулем, рассматриваются как равные нулю.
Момент импульса. Мера вращения тела.
Натуральное число. Любое из чисел 1, 2, 3…
Неевклидова геометрия. Альтернатива геометрии Евклида, в которой все обычные свойства точек и прямых сохраняются, за исключением допущения о существовании единственной прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку. Существует две разновидности неевклидовой геометрии: эллиптическая и гиперболическая.
Непрерывное преобразование. Преобразование пространства, при котором точки, расположенные очень близко друг к другу, не растаскиваются на большое расстояние.
Неприводимый многочлен. Многочлен, который нельзя получить при перемножении двух многочленов меньших степеней.
Неустойчивое состояние. Состояние динамической системы, к которому она не может вернуться после небольшого возмущения.
Неустранимая конфигурация. Элемент списка подсетей, по крайней мере одна из которых должна обязательно присутствовать в любой сети на плоскости.
NP-полная задача. Конкретная задача NP-класса, такая что если для ее решения существует алгоритм класса P, то любая задача класса NP может быть решена при помощи алгоритма класса P.
Нуль (функции). Если f — функция, то x является нулем f, если f (x) = 0.
Общая теория относительности. Теория гравитации Эйнштейна, в которой сила тяготения рассматривается как кривизна пространства-времени.
Оператор. Особый вид функции A, который при приложении к вектору v дает другой вектор Av. Должен удовлетворять условиям линейности: A(v + w) = Av + Aw и A (av) = aA(v) для любой постоянной a.
Оптимизация. Нахождение максимума или минимума некой функции.
Ось вращения. Фиксированная прямая, вокруг которой вращаются объекты.
Отношение. Отношение двух чисел a и b есть a/b.
Параллельный перенос. Преобразование пространства, при котором все точки сдвигаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Переменная. Величина, которая может принимать любое значение в определенных пределах.
Периодичность. Бесконечная повторяемость одного и того же поведения.
Петля. Замкнутая кривая в топологическом пространстве.
Пифагорова тройка. Три натуральных числа a, b, c, такие что a + b = c. К примеру, a = 3, b = 4, c = 5. По теореме Пифагора такие числа образуют стороны прямоугольного треугольника.
Плоский тор. Тор, полученный отождествлением противоположных сторон квадрата, естественная геометрия которого имеет нулевую кривизну (см. рис. 12).
Поверхность. Форма в пространстве, полученная путем объединения областей, топологически эквивалентных внутренней части круга. Примеры: сфера и тор.
Показатель степени. Число, показывающее, в какую степень возводится переменная x. Для x7 показатель степени 7.
Поле скоростей. Функция, определяющая вектор скорости в каждой точке пространства. К примеру, в потоке жидкости вектор скорости может быть определен в каждой точке, и, как правило, в разных точках он разный.
Порядок кривой. Число раз, которые кривая оборачивается против часовой стрелкивокруг выбранной точки.
Последовательность. Список чисел в определенном порядке. К примеру, последовательность 1, 2, 4, 8, 16… степеней двойки.
Постоянная Эйлера. Специальное число, обозначаемое и приблизительно равное 0,57721 (см. прим. 41).
Построение при помощи линейки и циркуля. Любое геометрическое построение, которое можно реализовать при помощи только неразмеченной линейки и циркуля-измерителя (строго говоря, двух измерителей).
Поток Риччи. Уравнение, описывающее изменение кривизны пространства во времени.
Правильный многогранник. Многогранник, граница которого состоит из одинаковых правильных многоугольников, одинаково организованных возле каждой вершины. Евклид доказал, что существует ровно пять правильных многогранников.
Правильный многоугольник. Многоугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину, а все углы равны (см. рис. 4).
Преобразование. Еще одно слово, обозначающее «функцию»; используется обычно в тех случаях, когда задействованные переменные представляют собой точки в некотором пространстве. К примеру, «повернуть вокруг центра на 90°» — это преобразование квадрата.
Проективная геометрия. Разновидность геометрии, в которой параллельных прямых не существует: любые две прямые пересекаются в точке. Получается из евклидовой геометрии путем добавления новой «прямой в бесконечности».
Простое число. Натуральное число, большее 1, которое невозможно получить перемножением двух меньших натуральных чисел. Первыми простыми числами являются 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Простой идеал. Аналог простого числа для алгебраических числовых систем.
Пятиугольник. Многоугольник с пятью сторонами.
Разложение на простые множители. Процесс, при котором число записывается в виде произведения его простых делителей. К примеру, разложение числа 60 выглядит как 2 3 5.
Размерность. Число координат, необходимых для определения положения точки в данном пространстве. К примеру, размерность плоскости равна 2, а размерность пространства, в котором мы живем (по крайней мере с точки зрения геометрии Евклида) равна 3.
Ранг. Наибольшее число независимых рациональных решений уравнения, определяющего эллиптическую кривую. «Независимых» означает, что они не могут быть получены из других решений при помощи стандартного геометрического построения, которое из комбинации любых двух решений дает третье (см. рис. 25).
Рациональное число. Действительное число вида p/q, где p и q — целые числа и q 0. Пример: 22/7.
Решетка. На плоскости: множество точек, расположение которых повторяется в двух независимых направлениях, как узор на обоях (см. рис. 26). В пространстве: множество точек, расположение которых повторяется в трех независимых направлениях, как атомы в кристалле.
Решетчатая укладка. Набор одинаковых кружков или шариков, центры которых образуют решетку.
Род. Число отверстий в поверхности.
Ромбический додекаэдр. Многогранник, граница которого состоит из 12 одинаковых ромбов — параллелограммов с одинаковыми сторонами (см. рис. 15).
Ряд. Выражение, в котором складывается много — часто бесконечно много — величин.
Сводимая (сократимая) конфигурация. Часть сети, для которой характерно следующее: если сеть, полученную при ее удалении, можно раскрасить в четыре краски, то это можно сделать и с первоначальной сетью.
Симметрия. Преобразование некоторого объекта, при котором его форма в целом не меняется. К примеру, поворот квадрата на 90°.
Сингулярность. Точка, в которой происходит что-то неприятное: скажем, функция становится бесконечной или решение некоего уравнения прекращает существование.
Синус. Тригонометрическая функция угла, определяемая как sin A = b/c (см. рис. 51).
Скорость. Быстрота, с которой изменяется положение тела во времени. Скорость имеет как размер (абсолютную величину), так и направление.
Собственное число. Одно из нескольких особых чисел, связанных с оператором. Если при преобразовании некоего вектора при помощи этого оператора получается вектор, кратный первоначальному, то коэффициент кратности называется собственным числом.
Составное число. Натуральное число, которое можно получить перемножением двух меньших натуральных чисел.
Стандартная модель. Квантовомеханическая модель, описывающая все известные элементарные частицы.
Степенной ряд. То же, что многочлен, но с бесконечным количеством степеней переменной. К примеру, 1 + 2x + 3x + 4x +… В определенных обстоятельствах эта бесконечная сумма приобретает вполне определенное значение, и тогда говорят, что ряд сходится.
Степень. Число, умноженное само на себя заданное количество раз. К примеру, четвертая степень 3 — это 3 3 3 3 = 81, обозначается 34.
Степень многочлена. Наибольшая степень переменной в многочлене. К примеру, степень многочлена 6x 5x + 4x 7 равна 3.
Сфера. Множество всех точек в пространстве, расположенных на заданном расстоянии от некой фиксированной точки — центра. Она круглая, как мяч, но собственно сфера содержит только точки на поверхности мяча, а не внутри него.
Тангенс. Тригонометрическая функция угла, определяемая как tg A = b/a (см. рис. 51).
Топологическое пространство. Форма, которая считается «той же самой», если подвергается любому непрерывному преобразованию.
Топология. Наука о топологических пространствах.
Читать бесплатно другие книги:
