Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности Тегмарк Макс

Почему я верю в мультиверс IV уровня

Почему эти уравнения, а не другие?

Предположим, что вы физик и нашли, как объединить физические законы в «теорию всего». Пользуясь её математическими уравнениями, вы можете ответить на трудные вопросы, которые лишают физиков сна, например, как действует квантовая гравитация или как решить проблему меры. Футболка с вашими уравнениями стала бестселлером. Вас наградили Нобелевской премией. Вы ликуете, но в ночь перед церемонией не можете уснуть, поскольку так и остался без ответа вопрос, поставленный Джоном Уилером: почему именно эти уравнения, а не другие?

В двух предыдущих главах я обосновывал гипотезу математической Вселенной (ГМВ), согласно которой наша внешняя физическая реальность является математической структурой, и это лишь заостряет вопрос Уилера. Математики открыли много математических структур, и прямоугольники на рис. 12.1 изображают некоторые простейшие из них. Ни одна из этих структур не совпадает с нашей физической реальностью целиком. В 1916 году прямоугольник, помеченный словами «Общая теория относительности», был серьёзным кандидатом на точное совпадение, поскольку он охватывал не только пространство и время, но и различные формы материи. Однако открытие квантовой механики вскоре сделало очевидным, что физическая реальность обладает такими свойствами, которых у этой математической структуры нет. К счастью, теперь вы можете дополнить этот рисунок, добавив открытую вами математическую структуру, за которую вам присуждается премия, и твёрдо зная, что именно этот новый прямоугольник — тот самый, соответствующий нашей физической реальности.

На этом месте я слышу, как дружелюбный голос Джона Уилера вставляет: «А что можно сказать о других прямоугольниках?» Если ваш прямоугольник соответствует физически существующей реальности, то почему не другие?

Все прямоугольники имеют равноценный математический фундамент, соответствующий различным математическим структурам, почему же некоторые из них оказываются «равнее» других, когда дело доходит до физического существования? Может ли существовать фундаментальная необъяснённая экзистенциальная асимметрия в сердцевине реальности, разделяющая математические структуры на два класса — обладающие и не обладающие физическим существованием?

Математическая демократия

Этот вопрос глубоко встревожил меня вечером 1990 года, когда мне впервые пришла в голову идея математической Вселенной и я изложил её своему другу Биллу Пуарье на пятом этаже общежития в Беркли, в коридоре. И лампочка у меня в голове не гасла, пока я не понял, что из этого философского парадокса есть выход. Я сказал Биллу, что соблюдается полная математическая демократия: математическое и физическое существование эквивалентны, так что все структуры, которые существуют математически, существуют также и физически. Каждый прямоугольник на рис. 12.1 описывает реальную вселенную — просто отличную от той, где довелось жить нам. В этом можно усмотреть своего рода радикальный платонизм, согласно которому все математические структуры в платоновском царстве идей существуют где-то в физическом смысле.

Рис. 12.1. Взаимосвязи между фундаментальными математическими структурами. Стрелки, как правило, указывают на добавление новых понятий и (или) аксиом. Сходящиеся стрелки указывают на объединение структур, например алгебра — это векторное пространство, которое также является кольцом, а группа Ли — это группа, которая также является многообразием. Это «фамильное древо», по-видимому, имеет бесконечную протяжённость: на рисунке показана лишь небольшая его часть, у самого основания.

Иными словами, IV уровень параллельных вселенных, соответствующий различным математическим структурам, неизмеримо обширнее тех, с которыми мы до сих пор встречались. Первые три уровня соответствуют некоммуницирующим параллельным вселенным внутри одной математической структуры: I уровень означает просто далёкие области, из которых свет ещё не успел дойти до нас, II уровень охватывает области, которые навсегда останутся недосягаемыми из-за космологической инфляции в разделяющем нас пространстве, а III уровень, эвереттовская Мультивселенная, включает некоммуницирующие части гильбертова пространства квантовой механики. В то время как параллельные вселенные на I, II и III уровнях подчиняются одним и тем же уравнениям (описывающим квантовую механику, инфляцию и т. д.), IV уровень касается выбора уравнений, отвечающих разным математическим структурам. На рис. 12.2 показана четырёхуровневая иерархия мультиверсов, которая является стержневой идеей моей книги.

Как из гипотезы математической Вселенной вытекает мультиверс IV уровня?

Если теория о существовании мультиверса IV уровня верна, то, поскольку у неё нет свободных параметров, все свойства всех параллельных вселенных (включая субъективные восприятия самосознающих структур в них) могут, в принципе, быть выведены бесконечно умным математиком. Но верна ли эта теория? Действительно ли существует мультиверс IV уровня?

Рис. 12.2. Описываемые в этой книге параллельные вселенные образуют четырёхуровневую иерархию, где каждый мультиверс является одним из многих элементов на следующем уровне.

Интересно, что в контексте гипотезы математической Вселенной (ГМВ) существование мультиверса IV уровня не является факультативным. ГМВ утверждает, что математическая структура является самой нашей внешней физической реальностью, а не просто её описанием. Эта эквивалентность между физическим и математическим существованием означает, что если математическая структура содержит самосознающую субструктуру, та будет воспринимать себя как существующую в реальной физической вселенной так же, как мы с вами (хотя, вообще говоря, во вселенной, отличающейся свойствами от нашей). Стивен Хокинг задал знаменитый вопрос: «Что вдыхает огонь в уравнения и создаёт Вселенную, чтобы они описывали её?» В рамках ГМВ никакого огня не требуется, поскольку суть не в том, что математические структуры описывают Вселенную, а в том, что они являются Вселенной. Более того, и создавать ничего не требуется. Нельзя образовать математическую структуру — она просто существует. Но не она существует в пространстве и времени — пространство и время могут существовать в ней. Иными словами, все структуры, которые существуют математически, имеют одинаковый онтологический статус, и самый интересный вопрос не в том, какие из них существуют физически (все они существуют), но какие из них содержат жизнь и, возможно, нас. Многие математические структуры — додекаэдр, например, — недостаточно сложны, чтобы поддерживать самосознающие субструктуры какого-либо вида. Так что скорее всего мультиверс IV уровня напоминает огромную, по большей части необитаемую пустыню, где жизнь заключена в редких оазисах дружественных к биологии математических структур, вроде той, в которой живём мы. Аналогично (гл. 6), мультиверс II уровня по большей части бесплоден, а самосознание заключено в нём в крошечную долю пространства, которой повезло иметь как раз подходящие для жизни значения плотности тёмной энергии и других физических параметров. В мультиверсе I уровня история, похоже, повторяется и жизнь процветает в основном в крошечной доле пространства у самой поверхности планет. Так что мы, люди, находимся в чрезвычайно привилегированном месте!

Исследование мультиверса IV уровня

Наши ближайшие соседи

Потратим немного времени на знакомство с мультиверсом IV уровня и «зоопарком» содержащихся в нём математических структур. Начнём с ближних окрестностей. Хотя мы ещё не знаем точно, в какой математической структуре живём, нетрудно представить себе множество небольших её модификаций, дающих другие корректные математические структуры. Стандартная модель физики элементарных частиц включает определённые симметрии, которые математики обозначают так: SU(3) SU(2) U(1), и если заменить их иными симметриями, получится другая математическая структура с частицами иных типов и силами, где кварки, электроны и фотоны заменены иными сущностями с новыми свойствами. В некоторых математических структурах нет света, а в других отсутствует гравитация. В эйнштейновском математическом описании пространства-времени числа 1 и 3, соответственно задающие количество временных и пространственных измерений, могут быть заменены иными значениями по выбору.

В гл. 6 мы обсудили, как в рамках одной математической структуры с единственным набором фундаментальных законов физики инфляция может порождать различные эффективные физические законы в разных частях пространства, образуя тем самым мультиверс II уровня. Сейчас мы говорим о чём-то более радикальном, где даже фундаментальные законы могут отличаться и где нет, например, квантовой механики. Если теорию струн можно строго определить математически, то существует математическая структура, для которой теория струн является верной «теорией всего», но для всего остального в мультиверсе IV уровня это не так.

Чтобы оценить мультиверс IV уровня, надо раскрепостить воображение, освободиться от предубеждений относительно того, какими должны быть законы физики. Рассмотрим пространство и время. Вместо того чтобы быть непрерывными, как предполагается для нашего мира, они могут оказаться дискретными, как в «Пэкмене» и «Тетрисе» или в игре «Жизнь» Джона Конвея, где движения характеризуется лишь резкими скачками. Если отключить подачу команд пользователя так, чтобы эволюцию во времени можно было рассчитывать детерминистически, все эти игры отвечают корректным математическим структурам. На рис. 12.3 показан упоминавшийся в гл. 3 трёхмерный клон «Тетриса» под названием FRAC, написанный мной с приятелем Пером Бергландом в 1990 году. Если запустить его и не трогать клавиатуру (много очков с такой стратегией не набрать), то игра от начала до конца определяется простыми математическими правилами, заложенными в программу. Они делают её математической структурой, входящей в мультиверс IV уровня. Часто встречаются рассуждения о том, что даже в нашей Вселенной пространство-время может проявлять своего рода дискретность, скрывающуюся в столь малых масштабах, что мы до них ещё не добрались.

Рис. 12.3. FRAC, трёхмерный клон «Тетриса», реализует математическую структуру, где пространство и время дискретны, а не непрерывны.

Рис. 12.4. Компьютерная программа может автоматически генерировать упорядоченный список конечных математических структур, где каждая кодируется последовательностью цифр. В таблице показаны некоторые примеры, заданные при помощи схемы кодирования из моей статьи 2007 года. Слова и диаграммы во второй колонке — это избыточный «багаж», отражающий способы, какими люди называют и иллюстрируют эти структуры.

Или даже так: существует множество математических структур, где нет ни пространства, ни времени, а значит, не имеет и смысла говорить, будто в них что-то происходит. Большинство структур, примеры которых приведены на рис. 12.4, как раз такого типа. Скажем, внутри абстрактного додекаэдра ничего не происходит, поскольку эта математическая структура не содержит времени.

Наш «почтовый индекс» в мультиверсе IV уровня

Как отмечалось в гл. 10, математическая структура — это множество абстрактных элементов с отношениями между ними. Для более систематического изучения мультиверса IV уровня нам понадобится написать компьютерную программу, которая автоматически генерирует список существующих математических структур, начиная с простейших. На рис. 12.4 показаны десять строк этогосписка, составленного с помощью схемы кодирования, которую я описал в статье 2007 года о математической Вселенной.[84] Детали этого метода здесь несущественны, кроме того замечательного свойства, что любая математическая структура с конечным числом элементов обязательно появится в этом списке. А значит, любую из этих математических структур можно задать одним числом — её номером в списке.

Для конечных математических структур все отношения можно описать конечными таблицами чисел, распространяющими идею таблицы умножения на другие типы отношений. Для структур с очень большим числом элементов эти таблицы становятся огромными и кодируются длинными числами, что смещает их вниз по списку. Однако для небольшой доли очень больших структур характерна внутренняя элегантная простота, что сильно упрощает их описание. Рассмотрим математическую структуру, элементами которой являются целые числа: 0, 1, 2, 3, …, и отношения сложения и умножения. Было бы напрасной тратой сил выписывать для задания умножения колоссальную таблицу умножения для всех пар чисел: даже если ограничиться первым миллионом чисел, таблица с миллионом строк и миллионом столбцов содержит триллион клеток. Вместо этого мы учим детей лишь таблице умножения первых десяти чисел, а также простому алгоритму, как использовать эту таблицу для умножения многозначных чисел. Для компьютеров мы описываем умножение ещё эффективнее, чем для детей: когда все числа представлены в двоичной системе счисления, нужно задать таблицу умножения размером всего 2 2 для нулей и единиц и добавить короткую компьютерную программу, которая указывает, как пользоваться таблицей для перемножения сколь угодно больших чисел.

Программа хранится просто как конечная строка нулей и единиц (битовая строка), которую можно интерпретировать как целое число, записанное в двоичной системе. Это даёт альтернативный способ кодирования и нумерации математических структур на рис. 12.4: пусть каждая математическая структура представляется числом, битовая строка которого является кратчайшей компьютерной программой, и её функции определяют все отношения в данной структуре. Теперь структуры будут появляться вверху списка, если их просто описать, даже если они огромны по числу своих элементов. Пионеры теории сложности Рэй Соломонофф, Андрей Колмогоров и Грегори Хайтин определили алгоритмическую сложность (для краткости — сложность) битовой строки как длину компьютерной программы, которая выдаёт эту строку. Это означает, что альтернативный основной список перечисляет математические структуры в порядке возрастания сложности.

Замечательная особенность этого нового списка состоит в том, что он также может содержать математические структуры с бесконечным числом элементов. Так, для определения математической структуры из всех целых чисел с операциями сложения и умножения понадобится просто задать кратчайшую программу, которая способна считывать сколь угодно длинные числа, складывать и перемножать их. Такие алгоритмы есть в системе Mathematica и других программных пакетах компьютерной алгебры. Математические структуры, включающие бесконечное множество точек, образующее континуум, подобно пространству-времени, электромагнитным полям и волновым функциям, нередко можно хорошо аппроксимировать конечными структурами, пригодными для компьютерной обработки. Именно так я с коллегами и выполняю большую долю расчётов в области теоретической физики.

Короче говоря, мультиверс IV уровня можно систематически отобразить путём перечисления математических структур с помощью компьютера и изучения их свойств. Если однажды нам удастся определить, в какой математической структуре мы живём, можно будет сослаться на неё по номеру в основном списке, и мы получим возможность записать свой адрес в полной физической реальности (рис. 12.5). Государства применяют разные схемы записи адресов: в одних почтовые индексы состоят из цифр, в других — из букв, а кое-где индексов нет вообще. Аналогично, способ записи локальной части адреса будет зависеть от математической структуры: в большинстве их нет ни квантовой механики, ни инфляции, а значит, нет ни мультиверсов I, II и III уровней, ни планет, хотя другие структуры могут содержать иные типы параллельных вселенных, о которых мы и не догадываемся.

Рис. 12.5. Для задания адреса в полной физической реальности мне понадобится указать своё положение в мультиверсе IV уровня (номер моей математической структуры), в мультиверсе III уровня (ветвь квантовой волновой функции), в мультиверсе II уровня (постинфляционный пузырь), в мультиверсе I уровня (хаббловский объём), а также положение внутри нашей Вселенной. Я привёл здесь небольшие числа, хотя на каждом из четырёх уровней может быть бесконечно много членов, так что в мой реальный адрес будут входить числа слишком большие, чтобы они поместились на конверте.

Структура мультиверса IV уровня

Исследовать мультиверс IV уровня интересно. Если принять популярное формалистическое определение математики как «изучение математических структур», то исследование мультиверса IV уровня окажется тем самым делом, которым занимаются математики. Для физиков вроде меня, признающих гипотезу математической Вселенной, это равносильно исследованию фундаментальной физической реальности и поиску нашего места в ней. Причём исследовать мультиверс IV уровня проще, чем любой нижестоящий мультиверс или даже нашу Вселенную, поскольку для этого не нужны ни ракеты, ни телескопы — достаточно компьютеров и идей. Так что я получил массу удовольствия, создавая компьютерные программы, перечисляющие и классифицирующие математические структуры.

Занимаясь этим на практике, сталкиваешься с ошеломляющей избыточностью. Существует очень много способов написать компьютерную программу, которая выполняет любое вычисление, и столь же огромное число эквивалентных способов описания конечных математических структур с помощью таблиц чисел, соответствующих, например, способам упорядочения или обозначения элементов. В гл. 10 мы упоминали о том, что математическая структура — это класс эквивалентности описаний. Так что каждая математическая структура должна появляться в основном списке всего однажды, причём заданная лишь одним, самым коротким, из множества эквивалентных описаний.

Для любых двух математических структур можно определить новую структуру путём объединения всех элементов двух исходных структур и отношений между ними. Многие структуры в нашем основном списке как раз составные, и при изучении мультиверса IV уровня есть смысл их игнорировать. Это связано с тем, что нет отношений, соединяющих две части, а значит, самосознающий наблюдатель в одной из таких частей никогда не узнает о существовании другой части и не испытает её влияния. Поэтому он может действовать так, будто другой части вовсе не существует либо она не является частью его математической структуры. Единственный случай, при котором составные структуры могут, вероятно, иметь значение, — когда они входят в решение проблемы меры, изменяя вероятности того, что вам выпадет жить в той или иной математической структуре. Поскольку составные структуры описывать гораздо сложнее, они обычно оказываются гораздо дальше в нашем списке, чем их части, и это может придавать им меньшую «меру». На самом деле для любого конечного числа структур мультиверса IV уровня далеко внизу основного списка существует единая составная структура, содержащая их все.

Хотя математические структуры в мультиверсе IV уровня не соединены каким-либо физически осмысленным образом, на метауровне между ними много интересных отношений. Например, мы только что разобрали, как одна структура может быть объединением других. Или: одна структура может в некотором смысле описывать другую. Элементы первой могут соответствовать отношениям во второй, а отношения в первой описывать, что происходит при комбинировании отношений во второй. В этом смысле содержащая 24 отношения структура «повороты куба» (рис. 12.4) описывается структурой, которую математики называют «группа вращенй куба». Её 24 элемента соответствуют всем возможным поворотам, сохраняющим идеальный куб внешне неизменным. Множество математических структур обладает симметриями куба и, таким образом, имеет основания считаться кубами — например структуры, элементы которых соответствуют граням, вершинам или рёбрам куба, а отношения указывают, как повороты переупорядочивают эти элементы, либо говорят, какие из них чьими соседями являются.

Ограничения, накладываемые на мультиверс IV уровня: неразрешимость, невычислимость и неопределённость

Насколько велик мультиверс IV уровня? Прежде всего, существует бесконечно много конечных математических структур: их так же бесконечно много, как и чисел: 1, 2, 3, …, поскольку все их можно перечислить в одном пронумерованном списке. Но сколько в мультиверсе IV уровня бесконечных математических структур, где каждая состоит из бесконечного множества элементов? Мы видели, что некоторые бесконечные структуры также могут быть заданы и включены в основной список наряду с конечными структурами за счёт использования компьютерных программ, определяющих их отношения. Однако включение бесконечности вызывает множество онтологических проблем. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим математическую структуру, где элементами являются числа 1, 2, 3, …, над которыми определены три отношения (функции) — правила, которые получают на входе числа и определяют новое число согласно следующим определениям:

1. P(n) — для данного числа n, P(n) обозначает наименьшее простое число, большее чем n.

2. T(n) — для данного числа n, T(n) обозначает наименьшее простое число-близнец, большее n (парное простое число — такое, что ближайшее к нему число-близнец отличается от него на 2; примером простых чисел-близнецов служат числа 11 и 13).

3. H(m,n) — для данных двух чисел, m и n, H(m,n) равно 0, если m-ая компьютерная программа в нашем основном списке всех компьютерных программ будет работать бесконечно, если ей на вход подать число n, и H(m, n) равно 1, если, напротив, эта программа завершит работу, сделав конечное число шагов.

Подходит ли эта структура для включения в качестве члена в мультиверс IV уровня, или она недостаточно корректно определена? Первая функция, P(n), совершенно замечательна: нетрудно написать программу, которая начинает проверять, являются ли следующие за n числа простыми, и останавливается, как только находит такое. У нас есть гарантия, что эта программа остановится после конечного числа шагов, поскольку известно, что существует бесконечно много простых чисел (это доказал ещё Евклид). Так что P(n) — пример вычислимой функции.

Вторая функция, T(n), хитрее. Легко написать программу, которая проверяет каждое число, следующее за n, на предмет того, не является ли оно простым-близнецом. Но если подставить число n больше, чем 37 568 016 956 852^666 669 —1 (это самое большое простое число-близнец, известное сейчас), то нет гарантии, что программа когда-нибудь остановится и даст ответ. Несмотря на все усилия математиков, мы до сих пор не знаем, бесконечно ли количество простых чисел-близнецов. Так что мы не знаем, является ли T(n) вычислимой, а значит, и строго определённой функцией. Таким образом, остаётся под вопросом, можно ли математическую структуру, содержащую такое неаккуратно заданное отношение, считать корректно определённой.

Третья функция, H(m,n), ещё более скверная: пионеры кибернетики Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг установили, что не существует программы, которая могла бы вычислить H(m, n) для произвольных аргументов m и n за конечное число шагов, так что H(m,n) — это пример невычислимой функции. Иными словами, не существует программы, способной определять, какие из других программ в конце концов остановятся. Конечно, любая программа либо остановится, либо нет, но хитрость в том, что, как и в случае с простыми числами-близнецами, вам, возможно, понадобится ждать окончания расчётов вечно. Открытие Черчем и Тьюрингом невычислимых функций тесно связано с открытием логиком Куртом Гёделем того факта, что некоторые арифметические теоремы неразрешимы, то есть их нельзя ни доказать, ни опровергнуть за конечное число шагов.

Следует ли рассматривать математические структуры как корректно определённые, даже если они содержат такие отношения, как H, которые нельзя вычислить и на сколь угодно мощном компьютере? Если да, то такая структура может быть известна лишь подобной оракулу сущности, которая способна реально выполнить бесконечное число вычислительных шагов, необходимых для получения ответа. Такие структуры никогда не появятся в обсуждавшемся выше основном списке: он учитывает лишь структуры, определимые с помощью обычных компьютерных программ, а не при участии всемогущего оракула.

Наконец, рассмотрим одну из самых популярных математических структур нашего времени — вещественные числа (наподобие 3,141 592…, где последовательность десятичных цифр тянется до бесконечности). Они образуют континуум, и для задания даже одного произвольного такого числа потребуется список из бесконечного числа цифр, то есть бесконечное количество информации. Это означает, что обычные компьютерные программы не способны обрабатывать такие числа: проблема касается не только выполнения бесконечного числа вычислительных шагов, как в примере с функцией H, но также ввода и вывода бесконечного количества информации.

С другой стороны, работа Гёделя может вызвать беспокойство: не лишена ли смысла ГМВ в применении к бесконечным структурам? Наша Вселенная тогда оказалась бы в некотором смысле противоречивой или неопределённой. Если принять тезис математика Давида Гильберта о том, что «математическое существование сводится, по сути, к отсутствию противоречий», то внутренне противоречивая структура не существует математически, не говоря уже о физическом существовании, как в ГМВ. Стандартная модель физики включает такие повседневно применяемые математические структуры, как целые и вещественные числа. Тем не менее работа Гёделя оставляет открытыми вопросы, не является ли повседневная математика внутренне противоречивой и не существует ли в рамках теории чисел доказательства конечной длины, демонстрирующего, что 0 = 1. На основе такого шокирующего результата можно было бы доказать, что любое синтаксически корректное утверждение о целых числах является истинным, и математика в том виде, как мы её знаем, обрушилась бы, подобно карточному домику.

Подобные сомнения относительно неразрешимости и внутренней противоречивости применимы лишь к математическим структурам, содержащим бесконечно много элементов. Присущи ли бесконечности, неразрешимости и потенциальные внутренние противоречия непосредственно фундаментальной физической реальности? Или это, по сути, миражи, артефакты, возникающие в результате нашей игры с огнём и применения мощных математических инструментов, которые скорее более удобны в использовании, нежели подходят для фактического описания нашей Вселенной? То есть — насколько корректно определёнными должны быть математические структуры, чтобы быть реальными, выступать членами мультиверса IV уровня?

Есть целый спектр интересных возможностей для квалификации структур:

1. Нет структур (т. е. гипотеза математической Вселенной неверна).

2. Финитные (конечные) структуры. Они тривиально вычисляются, поскольку все их отношения можно задать таблицами конечного размера.

3. Вычислимые структуры (отношения в которых определяются останавливающимися вычислениями).

4. Структуры с отношениями, определяемыми вычислениями, которые не обязательно останавливаются (могут потребовать бесконечного числа шагов), подобно примеру с функцией H.

5. Ещё более общего вида структуры, включающие в том числе континуум, где типичные элементы требуют для своего описания бесконечного количества информации.

Гипотеза вычислимой Вселенной

Интересные возможности предоставляет нам гипотеза вычислимой Вселенной (ГВВ). Она состоит в том, чтобы провести границу по варианту № 3 и дисквалифицировать структуры более общего вида:

Математическая структура, которая является нашей внешней физической реальностью, задана вычислимыми функциями.

Я имею в виду следующее: все отношения (функции), которые определяют математическую структуру, могут быть реализованы как вычисления, которые гарантированно останавливаются после конечного числа шагов. Если ГВВ неверна, то ещё более консервативной гипотезой является гипотеза финитной Вселенной (ГФВ). Она проводит границу по варианту № 2: наша внешняя реальность является финитной математической структурой.

Мне кажется интересным, что очень близкие вопросы дебатировались среди математиков без ссылок на физику. Согласно финитистской школе математиков, к которой принадлежали Леопольд Кронекер, Герман Вейль и Рубен Гудстейн, математический объект не существует, если его нельзя построить из целых чисел за конечное число шагов. Это ведёт прямо к варианту № 3.

Согласно ГВВ, математическая структура, которая является нашей физической реальностью, обладает привлекательным свойством вычислимости, а значит, является корректно определённой в строгом смысле (то есть все её отношения могут быть вычислены). Таким образом, у нашей Вселенной не может быть никаких невычислимых (неразрешимых) физических особенностей, а значит, можно не беспокоиться, что работы Чёрча, Тьюринга и Гёделя каким-то образом сделают наш мир неполным или внутренне противоречивым. Я не знаю точно, каковы свойства нашей физической реальности, но уверен, что эти свойства существуют в том смысле, что они корректно определены: природа наверняка знает, что делает.

Многих авторов озадачивало, почему наши физические законы выглядят относительно просто. Например, почему Стандартная модель физики элементарных частиц обладает такими простыми симметриями, которые мы обозначаем как SU(3) SU(2) U(1), и требует всего 32 параметра (гл. 10), тогда как большинство альтернатив значительно сложнее её? Очень соблазнительно думать о том, что свой вклад в эту простоту внесла ГВВ, которая строго ограничивает сложность природы. Может быть, изгнав континуум, ГВВ также поможет уменьшить размер инфляционного ландшафта и разрешить космологическую проблему меры? Она в значительной мере связана с возможностью истинного континуума вечно испытывать экспоненциальное расширение, порождая бесконечное число наблюдателей.

Это были хорошие новости. Однако, хотя ГВВ имеет привлекательные черты, гарантирующие строгую определённость нашей Вселенной и, возможно, снижающие остроту космологической проблемы меры за счёт ограничения того, что считается существующим, она также приводит к серьёзным вызовам.

Прежде всего меня беспокоит, что ГВВ кажется сдачей важных философских высот, так как, по сути, она признаёт: хотя где-то существуют все математические структуры, некоторые из них обладают привилегированным статусом. Но если ГВВ верна, то все остальные математические ландшафты являются, по большому счёту, иллюзиями, фундаментально неопределёнными и в любом смысле несуществующими.

Более насущной является та проблема, что наша нынешняя Стандартная модель (как и все исторически успешные теории) нарушает ГВВ, и совершенно неочевидно, что существует жизнеспособная вычислимая альтернатива. Главная причина нарушения ГВВ состоит в использовании континуума, обычно в форме вещественных и комплексных чисел. Они не могут служить даже исходными данными для финитных вычислений, поскольку в общем случае требуют для своего задания бесконечно много битов. Даже те подходы, в рамках которых предпринимается попытка избавиться от классического континуума пространства-времени путём дискретизации или квантования, обычно применяют непрерывные переменные для других элементов теории, таких как напряжённость электромагнитного поля или амплитуда квантовой волновой функции.

Один из интересных подходов к проблеме континуума состоит в замене вещественных чисел математической структурой, которая имитирует континуум, сохраняя вычислимость, — например алгебраическими числами. Другой подход (он кажется мне перспективнее) состоит в том, чтобы перестать рассматривать континуум в качестве фундаментальной структуры и попробовать относиться к нему как к аппроксимации. Я уже отмечал, что физики никогда ничего не измеряли с точностью более 16 значащих цифр, и нет эксперимента, исход которого зависел бы от гипотезы существования истинного континуума или от способности природы вычислять нечто невычислимое. Поразительно, но многие основанные на континууме модели классической математической физики (например уравнения, описывающие волны, диффузию или течение жидкости) являются не более чем аппроксимацией лежащего в основе поведения совокупностей дискретных атомов. Исследования в области квантовой гравитации указывают на то, что даже классическое пространство-время на очень малых масштабах распадается. Таким образом, нет уверенности, что величины, с которыми мы обращаемся как с непрерывными (вроде пространства-времени, напряжённости поля, амплитуды квантовой волновой функции), не являются лишь аппроксимациями чего-то дискретного. На самом деле некоторые дискретные вычислимые структуры (и даже финитные, удовлетворяющие ГФВ) могут аппроксимировать континуальную физическую модель настолько хорошо, что физики применяют их, когда нужно выполнить практические вычисления, оставляя открытым вопрос о том, что ближе к математической структуре Вселенной — первое или второе. Некоторые исследователи, например Конрад Цузе, Джон Барроу, Юрген Шмидхубер и Стивен Вольфрам, зашли по этому пути настолько далеко, что предполагают и вычислимость, и финитность законов природы, подобно клеточным автоматам или компьютерным моделям. Отмечу, однако, что эти предположения отличаются от ГВВ и ГФВ тем, что требуют вычислимости эволюции во времени, а не просто описания (отношений) структуры.

Ещё один поворот. Физики нашли примеры того, как нечто непрерывное (вроде квантовых полей) может порождать дискретное решение (вроде кристаллической решётки), которая, в свою очередь, кажется похожей на непрерывную среду в больших масштабах, и при этом подвержена колебаниям, которые ведут себя как дискретные частицы, называемые фононами. Мой коллега из МТИ Вэнь Сяоган показал, что «эмерджентные» частицы могут даже вести себя, как частицы в нашей Стандартной модели. Это открывает возможность существования множества слоёв эффективно непрерывных и дискретных описаний, надстроенных над дискретной вычислимой структурой в основании.

Трансцендентная структура IV уровня

Выше мы рассмотрели тесную взаимосвязь математических структур с вычислениями, при которой первые определяются вторыми. С другой стороны, вычисления — не более чем частный случай математических структур. Так, информационное содержание (состояние памяти) цифрового компьютера — эта строка битов (скажем, 1 001 011 100 111 001…) большой, но конечной длины, эквивалентная некоему большому, но конечному целому числу n, записанному в двоичной системе. Обработка информации в компьютере — это детерминистическое правило изменения каждого состояния памяти на другое (применяемое снова и снова). Так что математически это просто отображающая целые числа на себя функция f, которая многократно применяется: n f(n) f(f(n)) … Иными словами, даже самая сложная компьютерная модель — это не более чем частный случай математической структуры, а значит, она включается в мультиверс IV уровня.

На рис. 12.6 показано, как вычисления и математические структуры связаны не только друг с другом, но также с формальными системами — абстрактными символическими системами аксиом и правил вывода, которые математики применяют для доказательства теорем о математических стрктурах. Прямоугольники на рис. 12.1 соответствуют таким формальным системам. Если формальная система описывает математическую структуру, то говорят, что последняя является моделью первой. Более того, вычисления могут порождать теоремы в формальных системах (для некоторых классов формальных систем существуют алгоритмы, способные вычислить все теоремы).

На рис. 12.6 также показано, что во всех трёх вершинах треугольника потенциально существуют проблемы: отношения в математических структурах могут быть неопределёнными, формальные системы могут содержать неразрешимые утверждения, а вычисления могут не останавливаться после конечного количества шагов. Отношения между тремя вершинами и соответствующими трудностями обозначены шестью стрелками, смысл которых я подробно объяснил в статье 2007 года о математической Вселенной. Поскольку разные стрелки изучаются специалистами из разных областей — от математической логики до информатики, — исследование этого треугольника как целого является междисциплинарным. Я думаю, оно заслуживает большего внимания.

Рис. 12.6. Стрелки обозначают тесные взаимосвязи между математическими структурами, формальными системами и вычислениями. Вопросительный знак указывает на то, что всё это аспекты одной трансцендентной структуры, природу которой мы до конца пока не понимаем.

В центре треугольника я поставил вопросительный знак. Он указывает на предположение, что три вершины (математические структуры, формальные системы и вычисления) являются просто аспектами одной лежащей в основе трансцендентной структуры, природу которой мы пока понимаем не до конца. Эта структура — возможно, ограниченная до определённой (разрешимой, останавливающейся) части, как в ГВВ, существует где-то в свободном от «багажа» виде и являет собой всю полноту математического и физического существования.

Следствия существования мультиверса IV уровня

В этой главе мы смогли показать, что фундаментальная физическая реальность является мультиверсом IV уровня, и начали разбирать его математические свойства. Теперь займёмся его физическими свойствами, а также следствиями, вытекающими из самой идеи мультиверса IV уровня.

Симметрии и не только

Если взять конкретную математическую структуру из нашего списка, служащего атласом мультиверса IV уровня, то как вывести физические свойства, которые будут восприниматься находящимся в ней самосознающим наблюдателем? Иными словами, каким образом бесконечно разумный математик, начав с математического определения структуры, выводит физические свойства, которые мы в гл. 9 назвали «консенсусной реальностью»?[85]

В гл. 10 мы показали, что его первым шагом стало бы вычисление того, какими симметриями обладает математическая структура. Свойства симметрии относятся к числу тех немногих типов свойств, которыми обладает любая математическая структура, и они могут для обитателей данной структуры проявляться как физические симметрии.

По большому счёту, вопрос о том, что именно наш математик, исследуя произвольную структуру, должен далее вычислить, неясен. Но меня удивляет, что в конкретной математической структуре, которую мы населяем, дальнейшие исследования её симметрий привели поистине к золотой жиле. Эмми Нётер в 1915 году доказала, что каждая непрерывная симметрия нашей математической структуры приводит к так называемому закону сохранения в физике, то есть к тому, что некоторая величина гарантированно остаётся неизменной и возникает постоянство, которое может быть замечено самосознающими наблюдателями и получить у них «багажное» название. Все сохраняющиеся величины, которые мы обсуждали в гл. 7, соответствуют таким симметриям. Например, энергия соответствует симметрии относительно переноса во времени (то есть тому, что законы физики остаются всегда одинаковыми), импульс соответствует симметрии переноса в пространстве (тому, что законы остаются одинаковыми везде), угловой момент соответствует вращательной симметрии (тому, что пустое пространство не имеет выделенного направления «верх»), а электрический заряд соответствует определённой симметрии в квантовой механике. Венгерский физик Юджин Вигнер обнаружил, что эти симметрии также диктуют все квантовые свойства, которыми могут обладать частицы, включая массу и спин. Иными словами, Нётер и Вигнер показали, что, по крайней мере в нашей математической структуре, изучение симметрий открывает, какого рода «материи» могут в ней существовать. Как говорилось в главе 7, некоторые мои коллеги любят в шутку сказать, что частица — это просто «элемент неприводимого представления группы симметрии». Становится ясно, что почти все наши физические законы вытекают из симметрий, а лауреат Нобелевской премии по физике Филип Уоррен Андерсон пошёл ещё дальше, заявив, что «лишь небольшое преувеличение сказать, что физика сводится к изучению симметрии».

Почему симметрии играют такую важную роль в физике? ГМВ отвечает, что физическая реальность обладает свойствами симметрии, поскольку она математическая структура, а математические структуры обладают свойствами симметрии. Тогда более глубокий вопрос о том, почему конкретная структура, в которой мы обитаем, имеет так много симметрий, становится эквивалентным вопросу о том, почему мы оказались в этой конкретной структуре, а не в другой, обладающей меньшей симметрией. Ответ может состоять отчасти в том, что симметрии, по-видимому, скорее правило, чем исключение для математических структур — особенно крупных, находящихся не очень далеко внизу в основном списке (то есть таких, для которых простые алгоритмы определяют отношения большого числа элементов, из-за чего у всех них много общих свойств). Также может сказываться эффект антропной селекции: как отмечал Вигнер, существование наблюдателей, способных замечать закономерности в окружающем их мире, вероятно, требует симметрий, так что, раз мы являемся наблюдателями, следует ожидать, что мы окажемся в высокосимметричной математической структуре. Представьте себе попытку понять мир, в котором эксперименты никогда не повторяются, поскольку их исход зависит от того, где и когда вы их выполняете. Если бы брошенный камень иногда падал вниз, иногда летел вверх, да и всё остальное вело бы себя внешне произвольным образом, не было бы смысла в развитии мозга.

При современном способе изложения физики симметрии рассматриваются в качестве исходных положений, а не выводов. Так, Эйнштейн построил специальную теорию относительности на основе лоренцевой симметрии (утверждения, гласящего, что вы не можете определить, когда вы находитесь в покое, поскольку все законы физики, включая определяющие скорость света, одинаковы для всех равномерно движущихся наблюдателей). Аналогично симметрия, называемая SU(3) SU(2) U(1), обычно берётся за исходное предположение Стандартной модели физики элементарных частиц. В рамках гипотезы математической Вселенной логика изменяется на противоположную: симметрии — это не предположение, а просто свойства математической структуры, вычисляемые из её определения в основном списке.

Иллюзия начальных условий

В сравнении с тем, как мы обычно обучаем физике студентов МТИ, мультиверс IV уровня — это подход к предмету от совершенно иной начальной точки, и это заставляет реинтерпретировать большинство традиционных физических понятий. Некоторые понятия, такие как симметрии, сохраняют своё центральное положение. Другие, напротив (например, начальные условия, сложность и случайность), интерпретируются как, по сути, иллюзии, существующие лишь в сознании наблюдателя, а не во внешней физической реальности.

Для начала разберёмся с начальными условиями (гл. 6). Никто не сформулировал традиционный взгляд на начальные условия лучше Юджина Вигнера: «Наши знания о физическом мире делятся на две категории — начальные условия и законы природы. Состояние мира описывается начальными условиями. Они сложные, и в них не обнаруживается строгих закономерностей. По большому счёту, физик не интересуется начальными словиями, а оставляет их исследование астроному, геологу, географу и т. д.». Иначе говоря, физики традиционно называют правила, которые нам удалось понять, «законами» и отправляют всё, что мы не можем понять, в категорию «начальных условий». Законы позволяют предсказывать, как эти условия будут меняться во времени, но не дают информации о том, почему всё началось именно так.

Гипотеза математической Вселенной, напротив, не оставляет места для такой произвольной вещи, как начальные условия, полностью исключая их из числа фундаментальных понятий. Это связано с тем, что наша физическая реальность является математической структурой, которая полностью задана во всех аспектах своим определением в основном списке. Предполагаемая «теория всего», утверждающая, что всё «появилось» или «было создано» в не вполне определённом состоянии, будет представлять собой неполное описание, нарушающее ГМВ. Математической структуре не позволено быть частично неопределённой. Так что традиционная физика признаёт начальные условия, а ГМВ их отвергает. И что нам с этим делать?

Иллюзия случайности

Из-за требования полной определённости ГМВ также отвергает другое понятие, играющее центральную роль в физике, — случайность. Что бы ни казалось наблюдателю случайным, в конечном счёте на фундаментальном уровне это должно быть иллюзией, поскольку в математической структуре нет ничего случайного. Тем не менее в учебниках физики это слово встречается часто: квантовые измерения, говорится в них, дают случайные исходы, и тепло в чашке кофе, как утверждается, вызвано случайным движением молекул. И вновь традиционная физика признаёт нечто, отвергаемое ГМВ.

Загадка начальных условий и загадка случайности связаны. По грубым оценкам, требуется почти гугол (10¹⁰⁰) битов информации, чтобы описать реальное состояние всех частиц нашей Вселенной в данный момент. Каково происхождение этой информации? Традиционный ответ включает сочетание начальных условий и случайности: для описания начального состояния Вселенной необходимо множество битов, поскольку традиционные законы физики ничего об этом не говорят, а затем нам нужны дополнительные биты для описания исходов случайных процессов, которые имели место между «тогда» и «теперь». Однако ГМВ требует, чтобы всё было задано точно. Она отвергает и начальные условия, и случайность. Как же объяснить всю эту информацию? Если математическая структура достаточно проста, чтобы её можно было описать уравнениями, умещающимися на футболке, то это, честно говоря, кажется невозможным.

Давайте разберёмся с этим.

Иллюзия сложности

Сколько информации действительно содержит наша Вселенная? Информационное содержание (алгоритмическая сложность) чего-либо — это длина в битах его самого краткого самодостаточного описания. Чтобы оценить тонкость этого вопроса, сначала разберёмся, сколько информации содержит каждый из шести паттернов на рис. 12.7. На первый взгляд, два паттерна слева очень похожи. Это внешне случайные наборы 128 128 = 16 384 чёрных и белых пикселов. Можно предположить, что для описания каждого нужно около 16 384 битов — по одному биту для цвета каждого пиксела. Но хотя это верно для верхнего паттерна, который я построил с помощью квантового генератора случайных чисел, в нижнем есть скрытая простота: это просто двоичные цифры квадратного корня из двух. Этого простого описания достаточно для вычисления всего паттерна 2 1,414 213 562…, что в двоичной системе счисления записывается как 1,0 100 001 010 000 110… Условно примем, что эту последовательность из 0 и 1 можно сгенерировать компьютерной программой длиной 100 битов. Тогда видимая сложность нижнего левого рисунка оказывается иллюзией: мы видим не 16 384 бита информации, а никак не более 100.

Рис. 12.7. Сложность паттерна (сколько битов информации нужно для его описания) не всегда очевидна. Слева вверху 128  128 = 16 384 квадрата, которые случайным образом окрашены в чёрный или белый цвет, что обычно нельзя описать, используя менее 16 384 битов. Маленькие фрагменты этого паттерна (вверху посередине и справа) состоят из меньшего числа случайным образом окрашенных квадратов, а значит, их описание требует меньше битов. С другой стороны, нижний левый узор может быть сгенерирован очень короткой (скажем, 100-битовой) программой, поскольку это просто двоичные цифры числа 2 (0 = чёрный квадрат, 1 = белый). Для описания нижнего среднего квадрата потребуется задать дополнительных 14 битов, указывающих, какие цифры числа 2 в нём используются. Наконец, для правого нижнего рисунка потребуется 9 битов — столько же, сколько и для рисунка над ним. Этот паттерн настолько мал, что здесь не поможет знание того, что это часть 2.

Дело ещё сильнее запутывается, когда доходит до информационного содержания малых частей. В верхнем ряду на рис. 12.7 всё обстоит так, как можно ожидать: чем меньше паттерн, тем он проще и тем меньше информации требуется для его описания — нам нужно по 1 биту для описания чёрного или белого пиксела. Но в нижнем ряду мы видим прямо противоположный пример. Здесь меньшее становится большим в том смысле, что средний паттерн сложнее левого, его описание требует больше битов. Теперь недостаточно просто сказать, что это двоичные цифры 2: следует также указать, с каких цифр начинается паттерн, а на это в данном случае потребуется ещё 14 битов. Короче говоря, целое может содержать меньше информации, чем сумма его частей, а иногда даже меньше, чем одна часть.

Наконец, описание двух крайних справа паттернов на рис. 12.7 требует по 9 битов. Мы знаем, что правый нижний паттерн спрятан среди 16 384 цифр 2, но для такого маленького паттерна это знание уже неинтересно и бесполезно: существует лишь 2⁹ = 512 возможных паттернов длиной 9, так что данный узор прячется в большинстве случайно выглядящих строк из тысячи 0 и 1.

На рис. 12.8 изображена красивая математическая структура, известная как множество (фрактал) Мандельброта. Она обладает тем замечательным свойством, что сложные паттерны существуют в ней на сколь угодно малых масштабах, и хотя многие из них кажутся похожими, повторяющихся среди них нет. Насколько сложны два приведённых изображения? Каждое содержит около 1 млн пикселов, которые, в свою очередь, представляются 3 байтами информации[86] (байт равен 8 битам), а значит, для описания каждого изображения требуется несколько мегабайт. Однако левое изображение можно вычислить с помощью программы длиной всего в несколько сотен байтов, многократно выполняющей простое вычисление z² + c.

Правое изображение тоже простое, поскольку является крошечной частью левого. При этом оно немного сложнее: чтобы указать 20-значный номер одной из 10²⁰ частей, дополнительно требуется 8 байтов информации. Так что вновь меньшее становится большим в том смысле, что видимое информационное содержание увеличивается, когда мы ограничиваем своё внимание малой частью целого, теряя симметрию и простоту, характерные для совокупности частей. А вот ещё более простой пример: алгоритмическое информационное содержание произвольного числа, записываемого триллионом цифр, существенно, поскольку кратчайшая программа, печатающая это число, не может быть чем-то гораздо лучшим, чем просто записью всего триллиона цифр. Однако список всех чисел 1, 2, 3, … может быть сгенерирован совершенно тривиальной компьютерной программой, так что сложность множества меньше сложности типичного его члена.

Рис. 12.8. Несмотря на миллионы искусно раскрашенных пикселов, множество Мандельброта (слева) имеет очень простое описание: точки на рисунке соответствуют тому, что математики обозначают комплексным числом c, а цвет указывает, насколько быстро комплексное число z устремляется к бесконечности, если начать с z = 0 и продолжать вводить его в квадрат, прибавляя c, то есть повторно применяя преобразование z = z + c. Парадоксально, но описание правого изображения требует больше информации, несмотря на то, что оно лишь малая часть левого: если разрезать множество Мандельброта примерно на сто триллионов триллионов частей, оно само окажется одной из них, а информация, содержащаяся на правом изображении, по сути, соответствует её адресу внутри большого изображения, поскольку самый экономичный способ описать её — сказать нечто вроде: «31 415 926 535 897 932 384-й фрагмент множества Мандельброта».

Теперь вернёмся к нашей физической Вселенной и почти гуголу битов, которые, по-видимому, требуются для её описания. Стивен Вольфрам, Юрген Шмидхубер и некоторые другие учёные задумались, не является ли по большей части эта сложность иллюзией, подобно сложности множества Мандельброта или левого нижнего паттерна на рис. 12.7, то есть возникающей благодаря ещё не открытому, но очень простому математическому правилу. Хотя эта идея кажется мне элегантной, я с ней не согласен: по-моему, маловероятно, чтобы все числа, характеризующие нашу Вселенную, от паттернов на картах космического микроволнового фона, полученных WMAP, до положения песчинок на пляже, могли сводиться к почти полному ничто за счёт простого алгоритма сжатия данных. На самом деле, как мы видели в гл. 5, космологическая инфляция явно предсказывает, что первичные космические флуктуации, из которых появилась значительная доля этой информации, распределены как случайные числа, для которых существенное сжатие данных невозможно.

Эти первичные флуктуации задают всё, чем ранняя Вселенная отличалась от легко описываемой идеально однородной плазмы. Почему паттерн первичных космических флуктуаций кажется случайным? В гл. 5 мы видели, что, согласно космологической стандартной модели, инфляция порождает все возможные паттерны в различных областях космоса (в различных вселенных мультиверса I уровня). И, поскольку мы сами находимся во вполне типичной части этого мультиверса, открывающийся нам паттерн будет казаться случайным без каких-либо скрытых закономерностей, которые помогли бы сжать содержащуюся в нём информацию. Эта ситуация очень похожа на нижний ряд на рис. 12.7, где наша Вселенная (соотносимая с правым изображением) соответствует небольшой, кажущейся случайной части мультиверса I уровня (соотносимого с левым изображением), который имеет простое описание. Если вы вернётесь к гл. 6, то увидите, что рис. 6.2 становится эквивалентен нижнему ряду на рис. 12.7 (если дополнить последний так, чтобы на нём умещался гуголплекс двоичных цифр числа 2, а правый рисунок содержал около гугола битов, как наша Вселенная). Хотя это ещё не доказано, среди математиков широко признано, что цифры числа 2 ведут себя как случайные числа, поэтому рано или поздно появляется любая возможная последовательность (так же, как где-то в мультиверсе I уровня появляются вселенные со всеми возможными начальными условиями). Это означает, что последовательность из гугола цифр числа 2 ничего не говорит нам о числе 2, а указывает лишь, какое место в последовательности его цифр мы видим. Аналогичным образом, наблюдение гугола битов информации о кажущемся случайным фоне первичных космических флуктуаций, порождённом инфляцией, даёт нам информацию лишь о том, где в огромном постинфляционном пространстве мы ведём наблюдение.

Реинтерпретация начальных условий

Выше выражалось беспокойство относительно начальных условий. Теперь у нас есть радикальный ответ: эта информация относится не к нашей фундаментальной физической реальности, а к нашему месту в ней. Огромная наблюдаемая нами сложность иллюзорна в том смысле, что реальность очень проста в описании, а гугол битов требуется просто для того, чтобы указать наш адрес в мультиверсе. Поскольку в нашей Галактике много планетных систем с различным числом планет (гл. 6), то когда мы говорим, что в Солнечной системе их восемь, в этом нет фундаментальной информации о нашей Галактике, а есть лишь некоторые сведения о нашем галактическом адресе. Поскольку мультиверс I уровня содержит другие Земли, на небе которых видны все возможные вариации рисунка космического микроволнового фона, информация, содержащаяся на картах WMAP или на фотографии ковша Большой Медведицы, сходным образом говорит о нашем мультиверсном адресе. Аналогично 32 физические константы из гл. 10 указывают наше место в мультиверсе II уровня (если он существует). Хотя мы думали, что вся эта информация относится к нашей физической реальности, она на самом деле относится к нам. Сложность — это иллюзия, она существует лишь в голове наблюдателя.

Первые мысли на этот счёт появились у меня во время велосипедной поездки по мюнхенскому Английскому саду в 1995 году, и я изложил их в статье с провокационным названием «Действительно ли наша Вселенная почти не содержит информации?» Теперь я понимаю, что должен был обойтись без «почти», и вот почему. Наш мультиверс III уровня сильнее напоминает мне множество Мандельброта (рис. 12.8), чем пример с 2 (рис. 12.7), поскольку его части демонстрируют много закономерностей. В последовательности цифр числа 2 одинаково часто встречаются все возможные цепочки цифр, а во множестве Мандельброта многие рисунки (изображения ваших друзей, например) нигде не появляются. Так же, как большинство фрагментов множества Мандельброта, похоже, имеет общий художественный стиль, диктуемый формулой z² + c, большинство инфляционных вселенных в мультиверсе III уровня имеют общие закономерности развития во времени, вытекающие из квантовой механики. Когда я писал «почти не содержит информации», я имел в виду небольшое количество информации, необходимое для описания этих закономерностей, задания математической структуры, которая является мультиверсом III уровня. Но в свете гипотезы математической Вселенной даже эта информация не говорит нам ничего о фундаментальной физической реальности, а лишь указывает наш адрес в мультиверсе IV уровня.

Реинтерпретация случайности

Теперь, когда мы знаем, как интерпретировать начальные состояния, что можно сказать о случайности? Ответ на этот вопрос также следует искать в мультиверсе. Мы видели в гл. 8, что целиком детерминистическое уравнение Шрёдингера в квантовой механике способно порождать впечатление случайности у наблюдателя, находящегося в мультиверсе III уровня, и что ключевой процесс при более общем подходе оказался клонированием, не имеющим ничего общего с квантовой механикой. Например, случайность — это просто ощущение, возникающее у вас при клонировании: вы не можете предсказать, что будете ощущать в следующий момент, если появятся две ваши копии, воспринимающие различные события. В гл. 8 мы убедились, что видимая случайность вызывается клонированием наблюдателя в некоторых случаях. Теперь мы видим, что на самом деле она вызывается клонированием во всех случаях, поскольку ГМВ отвергает фундаментальную случайность (которая послужила бы логически возможным объяснением).

Иными словами, если начальные условия, кажущиеся произвольными, вызваны множественностью вселенных, то кажущаяся случайность вызвана вашей собственной множественностью. Эти две идеи сливаются, если рассматривать те параллельные вселенные, которые содержат субъективно неразличимые ваши копии. В этом случае, когда вы измеряете начальные условия своей вселенной, эта информация будет казаться случайной для всех ваших копий и не будет разницы, интерпретируете вы её как определяемую начальными условиями или случайностью — информация та же самая. Наблюдая, в какой вы вселенной, вы обнаруживаете, какая из ваших копий делает наблюдения.

Почему сложность предполагает мультиверс

Выше мы много рассуждали о сложности Вселенной, но что можно сказать о сложности нашей математической структуры?

ГМВ не предопределяет, высока или низка сложность математической структуры с «птичьей» точки зрения, так что мы рассмотрим оба этих варианта. Если эта сложность чрезвычайно высока, то, очевидно, поиски описания такой математической структуры обречены на провал. Так, если описание структуры требует больше битов, чем опиание наблюдаемой Вселенной, то мы не сможем даже сохранить информацию об этой структуре: она просто не уместится в нашей Вселенной. Примером такой теории высокой сложности была бы стандартная модель с её 32 параметрами (гл. 10), явно заданными вещественными числами, такими как 1/ = 1/137,035 999…, с бесконечным числом десятичных знаков без всякой упрощающей закономерности. Поскольку даже один параметр потребовал бы бесконечного информационного хранилища, эта математическая структура оказалась бы бесконечно сложной и на практике её было бы невозможно описать.

Большинство физиков надеется, что «теория всего» окажется гораздо проще и её можно будет описать количеством битов, которое уместится в книге, а лучше на футболке: это гораздо меньше гугола битов, нужных для описания Вселенной. Такая простая теория должна предсказывать мультиверс независимо от того, верна ГМВ или нет. Почему? Потому что «теория всего» по определению является полным описанием реальности. Если в ней недостаточно битов, чтобы полностью описать нашу Вселенную, то она должна описывать все вероятные комбинации звёзд, песчинок и т. д., чтобы дополнительные биты, которые описывают Вселенную, просто кодировали, в какой из вселенных мы находимся (как в мультиверсном почтовом коде). Адрес на конверте (рис. 12.5) будет тогда иметь относительно короткую последнюю строку, указывающую теорию, но предшествующая ей строка адреса должна содержать около гугола символов.

Живём ли мы в модели?

Только что мы познакомились с тем, как гипотеза математической Вселенной меняет наш взгляд на многие фундаментальные вопросы. Обратимся теперь к другой подобной теме — симулированным реальностям. Та идея, что наша внешняя физическая реальность является некоей компьютерной моделью, долгое время оставалась исключительно предметом научной фантастики (и породила, например, «Матрицу»). Эрик Дрекслер, Рэй Курцвейл, Ханс Моравек и другие учёные утверждали, что появление смоделированного сознания не только возможно, но и неизбежно, а некоторые (например Фрэнк Типлер, Ник Бострём и Юрген Шмидхубер) пошли ещё дальше и выдвинули предположение, что это уже случилось и мы являемся симуляциями.

С чего бы вам думать, что вы — симуляция? Да, многие фантасты предлагали сценарии, в которых будущая колонизация космоса преобразует большую часть материи нашей Вселенной в сверхмощные компьютеры, которые моделируют огромное число наблюдательных мгновений, субъективно неотличимых от ваших. Ник Бострём и другие доказывали, что в этом случае ваше текущее наблюдательное мгновение скорее всего является симулированным, поскольку таких мгновений большинство. Однако, думаю, эта аргументация логически противоречива: если доказательство верно, ваши неотличимые смоделированные копии также смогут им воспользоваться, а значит, существует ещё больше дважды симулированных копий и вы, вероятно, симуляция внутри симуляции. Повторяя этот аргумент, вы придёте к тому абсурдному выводу, что скорее всего являетесь симуляцией внутри симуляции внутри симуляции и т. д. с неограниченным числом уровней погружения. Я думаю, логическая ошибка случилась уже на первом шаге. Если вы склонны допустить, что являетесь симуляцией, то, как подчёркивал Филлип Хелбиг, вычислительные мощности вашей собственной (симулированной) вселенной несущественны: важны вычислительные ресурсы вселенной, в которой осуществляется симуляция, а о ней вы, в сущности, ничего не знаете.

Другие доказывали, что наша реальность по фундаментальным причинам не может быть симуляцией. Сет Ллойд ратовал за промежуточную возможность, согласно которой мы живём в аналоговой симуляции, осуществляемой квантовым компьютером, который, однако, никем не создан: просто структура квантовой теории поля математически эквивалентна этому пространственно распределённому квантовому компьютеру. Подобным же образом Конрад Цузе, Джон Барроу, Юрген Шмидхубер, Стивен Вольфрам и другие рассматривали ту идею, что законы физики соответствуют классическим вычислениям. Рассмотрим эти идеи в контексте гипотезы математической Вселенной.

Ошибочное представление о времени

Допустим, что наша Вселенная действительно является разновидностью вычисления. В литературе, посвящённой симуляции Вселенной, распространено недоразумение, предполагающее, что наше физическое представление об одномерном времени обязательно должно приравниваться к одномерной последовательности пошаговых вычислений. Ниже я докажу, что если ГМВ верна, то вычисления не обязательно реализуют эволюцию нашей Вселенной, а скорее описывают её (определяя все соответствующие отношения).

Соблазн приравнять временные шаги к вычислительным вполне понятен: и те, и другие образуют одномерную последовательность, в которой (по крайней мере, в неквантовом случае) следующий шаг определяется текущим состоянием. Однако этот соблазн проистекает из устаревшего классического описания физики. В теории относительности Эйнштейна в общем случае нет естественной и корректно определённой глобальной временной переменной, а в квантовой гравитации всё ещё хуже — там время появляется только как приближённое свойство конкретной подсистемы, рассматриваемой в качестве часов. В действительности соотнесение времени «с точки зрения лягушки» с компьютерным временем ненадёжно даже в контексте классической физики. Темп течения времени воспринимается наблюдателем в симулированной вселенной совершенно независимо от темпа, в котором компьютер выполняет моделирование, что подчёркивается в научно-фантастическом романе Грега Игана «Город перестановок». Более того, напоминал Эйнштейн, нашу Вселенную, по-видимому, естественнее рассматривать не с «лягушачьей» точки зрения, то есть как трёхмерное пространство, в котором происходят события, а с «птичьей», как четырёхмерное пространство-время, которое просто существует. Поэтому для вычисления всего существующего нет необходимости в компьютере — всё может просто храниться в виде четырёхмерных данных, кодирующих все свойства математической структуры, которая является нашей Вселенной. Тогда отдельные временные срезы при желании можно считывать последовательно и симулированный мир должен казаться его обитателям реальным, как в случае, когда хранятся лишь трёхмерные данные, которые эволюционируют. Итак, роль моделирующего компьютера заключается не в том, чтобы вычислить историю нашей Вселенной, а в том, чтобы специфицировать Вселенную.

Как её специфицировать? Способ хранения данных (тип компьютера, формат данных и т. д.) должен быть несущественен, так что степень, в которой обитатели симулированной вселенной воспринимают себя реальными, должна быть независима от метода, применяемого для сжатия данных. Физические законы, которые мы открыли, являются великолепным способом сжатия данных: они делают достаточным хранение начальных данных на некоторый момент времени, а также уравнений и программ вычисления будущего по этим начальным данным. Выше я объяснял, что начальные данные могут быть чрезвычайно простыми: популярные начальные состояния в квантовой теории поля с такими пугающими названиями, как волновая функция Хартли — Хокинга или инфляционный вакуум Банча — Дэвиса, обладают очень низкой алгоритмической сложностью. Их можно определить в коротких физических статьях, однако моделирование их эволюции во времени породило бы симуляцию не одной вселенной вроде нашей, а огромной декогерирующей совокупности параллельных вселенных. Поэтому весьма правдоподобно, что наша Вселенная (и даже весь мультиверс III уровня) может быть смоделирована очень короткой компьютерной программой.

Типы вычислений

Предыдущий пример отсылает нас к нашей конкретной математической структуре с её квантовой механикой и всем прочим. В более общем виде, как уже говорилось, полное описание произвольной математической структуры является по определению заданием отношений между её элементами. Ранее в этой главе мы видели, что для корректной определённости этих отношений все функции должны быть вычислимыми: должна существовать компьютерная программа, которая рассчитываетотношения за конечное число шагов. Каждое отношение в математической структуре, таким образом, определяется вычислением. Иными словами, если наш мир — корректно определённая математическая структура в данном смысле, то он действительно неразрывно связан с вычислениями, хотя и с вычислениями иного типа, нежели обычно ассоциирующимися с гипотезой симуляции. Эти вычисления не вызывают развития нашей Вселенной, а описывают её, определяя её отношения.[87]

Действительно ли симуляция должна выполняться?

Более глубокое понимание отношений между математическими структурами, формальными системами и вычислениями (треугольник на рис. 12.6) проливает свет на многие трудные вопросы. Один из них — проблема меры, которая досаждала нам в предыдущей главе и которая, по сути, является вопросом, как обращаться с мешающими бесконечностями и предсказывать вероятности того, что мы должны наблюдать. Так, поскольку любая симуляция Вселенной соответствует математической структуре, а значит, уже существует в мультиверсе IV уровня, можно ли в некоем разумном смысле говорить, что она в большей степени существует, если вдобавок запущена на компьютере? Этот вопрос ещё усложняется тем, что вечная инфляция предсказывает бесконечное пространство с бесконечным числом планет, цивилизаций и компьютеров, среди которых могут быть такие, где запущены симуляции, а также с учётом того, что и мультиверс IV уровня включает в себя бесконечное число математических структур (их можно интерпретировать как компьютерные симуляции).

Тот факт, что наша Вселенная (вместе со всем мультиверсом III уровня) может быть смоделирована очень короткой компьютерной программой, вызывает вопрос: создаётся ли некоторое онтологическое различие тем, «запущено» это моделирование или нет? Если, как мы сказали, компьютер нужен лишь для описания, а не для вычисления истории, то полное описание, вероятно, уместилось бы на одной флешке и не потребовало бы процессорной мощности. Кажется абсурдом, что существование этой флешки могло бы как-либо влиять на то, существует ли описываемый ею мультиверс «в действительности». Даже если существование этой флешки имеет значение, некоторые элементы данного мультиверса будут содержать точно такие же флешки и тем самым «рекурсивно» поддерживать собственное физическое существование. Тут нет никакой «уловки-22» или проблемы курицы и яйца (что появилось сначала, флешка или мультиверс?): элементы мультиверса — это четырёхмерные пространства-времена, тогда как «созидание» — это, конечно, понятие, имеющее смысл лишь внутри пространства-времени.

Смоделированы ли мы? Согласно ГМВ, наша физическая реальность является математической структурой, а раз так, она существует независимо от того, есть ли здесь или где-нибудь ещё в мультиверсе IV уровня некто, создавший программу для её моделирования (описания). Тогда единственный остающийся вопрос — может ли компьютерная симуляция сделать нашу математическую структуру в каком-либо разумном смысле более существующей, чем она уже есть. Если мы решим проблему меры, то, вероятно, обнаружим, что моделирование математической структуры немного увеличило бы её меру — на некоторую долю меры той математической структуры, внутри которой она смоделирована. Я предполагаю, однако, что это даст в лучшем случае едва заметный эффект, так что в вопросе, смоделированы ли мы, я бы сделал ставку на ответ «нет».

Отношения между ГМВ, мультиверсом IV уровня и иными гипотезами

Интересные версии о природе фундаментальной физической реальности выдвигались многими исследователями на стыке философии, теории информации, компьютерных наук и физики. На эту тему я рекомендую книги Брайана Грина «Скрытая реальность» и Рассела Стэндиша «Теория ничто».

С философской стороны предположение, наиболее близкое к мультиверсу IV уровня, — это теория модельного реализма Дэвида Льюиса, который утверждал, что «все возможные миры столь же реальны, как и наш мир». Роберт Нозик выдвинул похожее предположение, которое назвал принципом плодовитости. Одна из наиболее распространённых претензий к модальному реализму состоит в том, что, поскольку он утверждает существование всех вообразимых вселенных, он не даёт никаких проверяемых предположений. Мультиверс IV уровня может рассматриваться как уменьшенная, более строго определённая реальность, в силу замены «всех возможных миров» Льюиса «всеми математическими структурами». Представление о мультиверсе IV уровня не предполагает, что существуют все вообразимые вселенные. Мы можем вообразить множество вещей, которые математически не определены, а значит, не соответствуют математическим структурам. Математики публикуют статьи с доказательствами существования, которые демонстрируют математическую непротиворечивость различных описаний математических структур именно потому, что сделать это трудно и не во всех случаях возможно.

Со стороны компьютерных наук наиболее близко связанные предположения состоят в том, что наша физическая реальность — это некоторого рода компьютерная модель или модели, что обсуждалось выше в этой главе. Эта взаимосвязь наиболее ясно показана на рис. 12.6, где эти две идеи соответствуют двум вершинам треугольника: согласно гипотезе моделирования, наша реальность — это вычисление, а согласно ГМВ — математическая структура. Вычисления реализуют эволюцию нашей Вселенной в рамках гипотезы моделирования, но в рамках ГМВ они, скорее, её описывают, определяя её отношения. Согласно теориям вычисляемого мультиверса Юргена Шмидхубера, Стивена Вольфрама и других, эволюция во времени должна быть вычислимой, тогда как согласно гипотезе вычисляемой Вселенной (ГВВ) вычисляемым должно быть описание Вселенной (её связи). Джон Барроу и Роджер Пенроуз предположили, что самосознающих наблюдателей могут содержать лишь структуры достаточно сложные, чтобы удовлетворять требованиям теоремы Гёделя о неполноте. Выше мы видели, что ГВВ, по сути, утверждает прямо противоположное.

Проверка мультиверса IV уровня

Мы показали, что из гипотезы внешней реальности (ГВР) — она утверждает, что внешняя реальность существует совершенно независимо от людей, — вытекает гипотеза математической Вселенной (ГМВ): наша внешняя физическая реальность является математической структурой, а из неё, в свою очередь, следует существование мультиверса IV уровня. Поэтому наиболее прямой способ усилить или ослабить нашу уверенность в мультиверсе IV уровня — это продолжить изучение ГВР. Хотя однозначности относительно ГВР по-прежнему нет, я думаю, справедливо сказать, что большинство моих коллег-физиков под ней подпишется. А недавние успехи стандартных моделей в физике элементарных частиц и космологии оставляют мало места для предположений, будто наша фундаментальная физическая реальность, какой бы она ни была, не может существовать без нас. Рассмотрим тем не менее два потенциальных способа прямой проверки ГМВ и мультиверса IV уровня.

Предсказание типичности

Открытие того, что физические параметры кажутся точно настроенными для жизни (гл. 6), можно интерпретировать как свидетельство в пользу мультиверса, где все параметры принимают значения в широком диапазоне. Эта интерпретация делает существование обитаемой вселенной вроде нашей неудивительным и предсказывает, что именно в ней мы и должны себя обнаружить. В частности, мы видели, что одно из самых сильных свидетельств в пользу мультиверса II уровня появилось из наблюдаемой точной настройки плотности тёмной энергии. Может ли, хотя бы в принципе, точная настройка свидетельствовать и в пользу IV уровня мультиверса?

В 2005 году на физической конференции в Кембридже, прогуливаясь поздно вечером по старинным дворам Тринити-колледжа и беседуя с Энтони Агирре, я вдруг понял, что ответ — «да». И вот почему.

Допустим, подруга привезла вас в незнакомый город. Вы выходите из машины и видите странный набор дорожных знаков (рис. 12.9), запрещающих парковаться везде, за исключением места, где припарковалась она. Оказывается, в рамках экологической кампании новый мэр заказал десять знаков, которые случайным образом расставили на улице. Каждый знак запрещает парковку вдоль всей улицы с левой или с правой стороны от знака. Проделав кое-какие вычисления, вы понимаете, что такой случайный процесс будет обычно запрещать парковку на всей улице и лишь с вероятностью около 1 % останется место, где парковаться разрешено.[88] Это случится, только если все знаки со стрелками влево будут помещены левее всех знаков со стрелками вправо.

Просто совпадение? Если вы, подобно типичному учёному, не терпите необъяснимых совпадений, вы склонитесь к интерпретации, которая не требует такой невероятной удачи: в этом странном городе существует много улиц, возможно, около ста или больше. Это сделает вероятным существование легальной парковки на некоторой улице, и поскольку ваша подруга знает город, совершенно неудивительно, что она выбрала для парковки именно это место. Данный пример точной настройки отличается от рассмотренного в гл. 6: то, что кажется точно настроенным, является не непрерывным, как плотность тёмной энергии, а скорее дискретным: все направления стрелок, указывающих влево и вправо, определённым образом согласованы.

Рис. 12.9. Если на улице случайным образом размещено множество знаков и каждый запрещает парковку на всей улице либо слева, либо справа от знака, то крайне маловероятно, чтобы парковка на улице была разрешена хоть где-нибудь. Это произойдёт, лишь если все стрелки влево располагаются слева от всех стрелок вправо (вверху). Аналогично, если у вселенной есть физический параметр, который должен удовлетворять множеству ограничений, чтобы позволить существование жизни (внизу), априори маловероятно, чтобы существовал хоть какой-нибудь пригодный для жизни диапазон значений этого параметра. Ситуации вроде тех, что показаны на рисунках, могут, таким образом, интерпретироваться как свидетельство существования соответственно множества улиц или математических структур в мультиверсе IV уровня.

Мой пример с парковкой, конечно, дурацкий, но, как показано в нижней части рис. 12.9, в нашей Вселенной мы наблюдаем нечто похожее. По горизонтальной оси отложен параметр, связанный с недавно открытой частицей Хиггса. А в недавней работе Джона Донахью, Крейга Хогана, Хайнца Оберхаммера и их соавторов показано, что эта величина, подобно плотности тёмной энергии, кажется очень точно настроенной: она примерно на 16 порядков меньше, чем было бы естественно ожидать. При этом изменение даже на 1 % вверх или вниз значительно изменяет количество кислорода и производимого звёздами углерода. Увеличение на 18 % радикально снижает способность водорода к ядерным реакциям, в результате которых в звёздах рождались бы хоть какие-нибудь другие атомы, тогда как уменьшение на 34 % приводит к распаду атомов водорода, поскольку протоны проглатывают свои электроны и превращаются в нейтроны. При пятикратном уменьшении этой величины даже одиночные протоны распадаются на нейтроны. Тогда во Вселенной вообще не будет атомов.

Как это интерпретировать? Прежде всего это кажется дополнительным подтверждением существования мультиверса II уровня, в котором варьируют физические параметры. Точно так же, как мультиверс объясняет, почему мы обнаружили плотность тёмной энергии, как раз подходящую для образования галактик, он может объяснить и то, почему обнаруженные свойства поля Хиггса очень подходят для существования более сложных атомов, чем водород. И неудивительно, что мы в одной из тех сравнительно редких вселенных, где существуют и интересные атомы, и интересные галактики, раз уж жизнь требует по крайней мере минимального уровня сложности.

Но возникает вопрос: почему стрелки на нижней схеме согласованы так, что создают хоть какой-нибудь пригодный для жизни диапазон значений в свойствах поля Хиггса? Это, конечно, может быть случайностью: пять произвольно расположенных стрелок образовали бы такой диапазон с вероятностью 19 %, так что нам понадобилась бы лишь небольшая удача. Более того, в силу особенностей ядерной физики эти пять стрелок не являются независимыми, так что я не рассматриваю пример с пятью стрелками в качестве сильного аргумента в пользу чего бы то ни было. Однако вполне вероятно, что дальнейшие физические исследования могут открыть более впечатляющую точную настройку этого дискретного типа, скажем, с десятью или более стрелками, согласованными так, чтобы получался пригодный для существования жизни диапазон значений некоторого физического параметра или параметров.[89] Если это случится, мы сможем рассуждать, как и в ситуации, представленной в верхней части рисунка: что это является свидетельством существования не только других улиц, но и других вселенных, где иные законы физики порождают совершенно иные требования для жизни! В некоторых случаях эти вселенные могут существовать в мультиверсе II уровня, в областях, где те же фундаментальные законы физики порождают иное фазовое состояние пространства с иными эффективными законами. В других случаях, однако, можно сказать, что подобное нереализуемо и другие вселенные должны подчиняться иным фундаментальным законам, что соответствует иным математическим структурам в мультиверсе IV уровня. Иными словами, сейчас мы не имеем прямых наблюдательных подтверждений существования мультиверса IV уровня, однако в будущем мы можем получить их.

Предсказание математических закономерностей

В эссе 1960 года Вигнер утверждал, что «невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой» и что «никакого рационального объяснения этому факту нет». Гипотеза математической Вселенной (ГМВ) предлагает такое объяснение. Она объясняет полезность математики для описания физических законов как естественное следствие того факта, что последние являются математическими структурами и мы просто открываем их шаг за шагом. Различные приближения, из которых складываются наши современные физические теории, успешны потому, что простые математические структуры обеспечивают хорошие аппроксимации для отдельных аспектов более сложных математических структур. Иными словами, наши успешные теории являются не математическими аппроксимациями физики, а математическими аппроксимациями математики.

Одно из ключевых проверяемых предсказаний гипотезы математической Вселенной таково: физики и далее будут находить в природе математические закономерности. Поль Дирак в 1931 году так выразил предсказательную силу идеи математической Вселенной: «Наиболее мощный способ продвижения, который можно предложить сейчас, состоит, пожалуй, в том, чтобы использовать все ресурсы чистой математики в попытках завершать и обобщать математический формализм, образующий соответствующую основу теоретической физики, и после каждого успеха в этом направлении пытаться интерпретировать новые математические явления в терминах физических реальностей».[90]

Насколько успешным до сих пор было это предсказание? Спустя два тысячелетия после того, как пифагорейцы выдвинули идею математической Вселенной, новые открытия позволили Галилею охарактеризовать природу как книгу, написанную на языке математики. Затем были открыты гораздо более глубокие математические закономерности, от движения планет до свойств атомов. Стандартные модели в физике элементарных частиц и космологии открыли новый «непостижимый» математический порядок, охватывающий впечатляющий диапазон: от микрокосма элементарных частиц до макрокосма ранней Вселенной — возможно, позволяющий успешно вывести все когда-либо выполненные физические измерения для определения набора из 32 чисел (табл. 10.1). Не знаю другого убедительного объяснения этой тенденции, кроме следующего: физический мир целиком является математическим.

Я вижу здесь два исхода. Если я ошибаюсь и ГМВ ложна, то физика в конце концов наткнётся на непреодолимое препятствие, из-за которого прогресс станет невозможен: не останется новых математических закономерностей, которые можно было бы открыть, несмотря на то, что мы всё ещё не будем располагать полным описанием нашей физической реальности. Например, убедительная демонстрация того, что в законах природы существует фундаментальная случайность (в противоположность детерминистическому клонированию наблюдателя, который субъективно ощущает случайность), позволила бы отвергнуть ГМВ. С другой стороны, если я прав, то наши поиски понимания реальности не встретят никаких пределов и мы будем ограничены только нашим воображением.

Резюме

• Гипотеза математической Вселенной предполагает, что математическое существование эквивалентно физическому.

• Это означает, что все структуры, которые существуют математически, существуют и физически и образуют мультиверс IV уровня.

• Параллельные вселенные, которые мы рассмотрели, образуют вложенную четырёхуровневую иерархию с растущим разнообразием: I уровень (наблюдаемые далёкие области пространства), II уровень (другие постинфляционные области), III уровень (где-то в квантовом гильбертовом пространстве) и IV уровень (другие математические структуры).

• Разумная жизнь кажется редкой, и I, II и IV уровни большей частью необитаемы.

• Исследование мультиверса IV уровня требует не ракет и телескопов, а в основном компьютеров и идей.

• Простейшие математические структуры можно перечислить с помощью компьютера в виде списка наподобие телефонной книги, где каждая структура имеет собственный уникальный номер.

• Чтобы придать ГМВ смысл, может потребоваться гипотеза вычислимой Вселенной (ГВВ), состоящая в том, что математическая структура, которая является нашей внешней физической реальностью, определена вычислимыми функциями. В противном случае геделевская неполнота и невычислимость Чёрча — Тьюринга будут соответствовать неудовлетворительно определённым отношениям в нашей математической структуре.

• Гипотеза финитной Вселенной (ГФВ), состоящая в том, что наша внешняя физическая реальность является конечной математической структурой, влечёт за собой ГВВ и устраняет всякое беспокойство относительно неопределённости реальности.

• ГВВ/ГФВ могут помочь разрешить проблему меры и объяснить, почему наша Вселенная столь проста.

• Из ГМВ вытекает, что не существует неопределённых начальных условий: начальные условия ничего не говорят нам о физической реальности, а относятся лишь к нашему «адресу» в мультиверсе.

• Из ГМВ вытекает, что фундаментальной случайности не существует: случайность — это просто то, как субъективно воспринимается клонирование.

• Из ГМВ вытекает, что большая часть сложности, которую мы наблюдаем, является иллюзией, существующей только в глазах наблюдателя и отражающей в основном информацию о нашем «адресе» в мультиверсе.

• Описать совокупность вещей может оказаться проще, чем одну из её частей.

• Наш мультиверс проще, чем наша Вселенная, в том смысле, что его можно описать с помощью меньшего количества информации, а мультиверс IV уровня является простейшим из всех и, в сущности, не требует информации для своего описания.

• Вероятно, мы живём не в симуляции.

• ГМВ является принципиально проверяемой и фальсифицируемой.

Насколько велика наша физическая реальность?

Я горжусь тем, дорогой читатель, что вы остались со мной до последней главы. Мы проделали долгий путь от сверхгалактического макрокосма до субатомного микрокосма, встретившись с реальностью более величественной, чем я мог себе представить в детских мечтах, — реальностью с четырьмя уровнями параллельных вселенных.