Как не ошибаться. Сила математического мышления Элленберг Джордан

Сейчас, в эту самую минуту, где-то в мире какая-нибудь студентка пререкается со своим преподавателем математики, вручившим ей список из тридцати определенных интегралов, на вычисление которых уйдет немалая часть ее драгоценных выходных.

На свете так много всего, чем она хотела бы заниматься. В принципе нет такого дела, за которое она не была бы готова взяться – практически за любое, но только не за решение интегралов. Это абсолютно точно, поскольку на прошлой неделе ей уже пришлось в свои выходные потратить уйму времени на почти такие же тридцать определенных интегралов. В подобном времяпровождении она не видит никакого смысла, о чем заявляет вслух. В их непростой беседе наступает тот самый момент, когда наша студентка собирается задать вопрос, которого любой преподаватель боится больше всего: И когда же мне это пригодится?

По всей вероятности, учитель математики ответит так: «Понимаю, сейчас это занятие кажется вам бессмысленным. Но имейте в виду следующее: вы еще не знаете, чем будете заниматься завтра; сегодня вы не находите никакой связи между интегралами и своим будущим, но вы можете выбрать такую профессию, в которой будет чрезвычайно важно уметь быстро и правильно вычислять определенные интегралы вручную».

Вряд ли подобный ответ удовлетворит студентку, поскольку он лживый. Что понимают и преподаватель и ученик. Количество взрослых людей, которым когда-либо пригодится интеграл (1–3x + 4x²)^–2 dx, или формула косинуса 3, или синтетическое деление многочленов, можно сосчитать на нескольких тысячах рук.

Эта ложь не доставляет особого удовольствия и учителю. Мне ли не знать: за многие годы преподавания математики я давал сотням студентов задание вычислять целые списки определенных интегралов.

К счастью, есть и более подходящее объяснение. Я постараюсь его для вас сформулировать.

«Математика – не просто последовательность вычислений, которые необходимо выполнять механически до тех пор, пока у вас не закончится терпение и выдержка – хотя эта мысль может показаться весьма далекой от того, чему вас учили на курсах, именуемых “математика”. В математике интегралы играют ту же роль, что силовые тренировки и физическая подготовка в футболе. Если вы хотите научиться играть в футбол – а я имею в виду играть по-настоящему, – вам предстоит выполнить множество скучных, однообразных, на первый взгляд бессмысленных упражнений. Используют ли когда-либо эти упражнения профессиональные игроки? На поле никто не поднимает штангу и не бегает зигзагами между конусами. Но все-таки футболисты используют ту силу, скорость, понимание сути игры и гибкость, которую они обрели в процессе выполнения – неделя за неделей – множества утомительных упражнений. Отработка таких упражнений – неотъемлемая часть обучения игре в футбол.

Если вы хотите зарабатывать игрой в футбол на жизнь или даже стать членом университетской команды, вам предстоит провести много скучных выходных на тренировочном поле. Другого пути нет. Но есть и хорошая новость: если интенсивные тренировки вам не под силу, вы все равно сможете играть в футбол – для развлечения, для самого себя. Сделав пас защитнику или забив гол с большого расстояния, вы будете получать такое же удовольствие, как и профессиональный спортсмен. Кроме того, играя в футбол с друзьями, вы почувствуете себя намного здоровее и счастливее, чем если просто сидели бы и смотрели по телевизору игру профессионалов.

Математика представляет собой почти то же самое. Возможно, вы не станете обременять себя профессией, непосредственно связанной с этой наукой. Что вполне нормально, поскольку большинство людей не ставят перед собой такой цели. Тем не менее вы все-таки можете заниматься математикой. По всей вероятности, вы – сами того не зная – уже решаете математические задачи[2]. Математика вплетена в ткань нашего мышления. Кроме того, математика помогает человеку лучше делать свое дело. Знание математики – своего рода рентгеновские очки, позволяющие увидеть структуру мира, скрытую под беспорядочной, хаотичной поверхностью. Математика – это наука о том, как не совершать ошибок, а математические формы и методы выковывались на протяжении многих столетий упорного труда и дискуссий. Владение математическим инструментарием позволит вам составить более глубокое, достоверное и осмысленное представление об окружающем мире. Все, что вам нужно, – это тренер или по крайней мере книга, которая научит вас правилам игры и некоторым базовым тактическим приемам. Я буду вашим тренером. Я научу вас этому».

К сожалению, на занятиях из-за нехватки времени мне не часто приходится произносить подобные речи. Напротив, в книге всегда найдется место и для более пространных рассуждений. Надеюсь, мне удастся оправдать сделанные выше серьезные заявления, показав вам, что математика позволяет решать многие из задач – будь то политика, медицина, коммерция или богословие, – над которыми мы размышляем каждый день.

Однако даже если я и произнес бы свою вдохновляющую речь перед студенткой, у нее – если она действительно проницательна – все равно останутся сомнения.

«Профессор, – сказала бы она, – все это звучит неплохо, но несколько абстрактно. Вы говорите, будто математические знания позволяют нам делать правильные шаги там, где в противном случае мsы обязательно оступились бы. Но что именно вы имеете в виду? Дайте конкретный пример».

И тогда я рассказал бы студентке историю Абрахама Вальда, а также вспомнил бы о его решении проблемы отсутствующих пулевых отверстий.

Рассказ об Абрахаме Вальде и отсутствующих пробоинах

Подобно многим историям времен Второй мировой войны, мой рассказ начинается с того, как нацисты изгнали евреев из Европы, и заканчивается тем, что они горько об этом пожалели. Абрахам Вальд родился в 1902 году в городе, который тогда назывался Клаузенбург и принадлежал Австро-Венгерской империи[3]. К тому времени, когда Вальд достиг подросткового возраста, Первая мировая война уже вошла в учебники, а его родной город стал румынским городом Клуж. Внук раввина и сын булочника, Вальд проявлял математические способности с самых ранних лет. Одаренность мальчика не осталась без внимания, и он получил возможность изучать математику в Венском университете, где увлекся предметами настолько абстрактными, что даже по меркам чистой математики они были слишком трудны для понимания: теорией множеств и метрическими пространствами.

Вальд закончил обучение в середине 30-х годов ХХ столетия, когда Австрия уже находилась в состоянии глубокого экономического спада. Как у иностранца у Вальда не было шансов получить в Вене должность профессора, но его спасло предложение, поступившее от Оскара Моргенштерна. Впоследствии Моргенштерн иммигрирует в Соединенные Штаты Америки и будет участвовать в создании теории игр, а в 1933 году он, будучи директором Австрийского института экономических исследований, нанял Вальда для выполнения элементарных математических задач. Согласие на эту работу – хотя ему и назначили совсем небольшую оплату – оказалось весьма умным решением. В дальнейшем благодаря полученному опыту в области экономики Вальд получил предложение войти в комиссию Коулза – экономической организации, которая в то время находилась в Колорадо-Спрингс. Несмотря на ухудшающуюся политическую ситуацию, Вальд не хотел делать шаг, который навсегда разлучил бы его с чистой математикой. Но затем нацисты захватили Австрию, что помогло Вальду сделать окончательный выбор. После нескольких месяцев работы в Колорадо он получил предложение занять профессорскую должность в Колумбийском университете. Вальд снова упаковал вещи и переехал в Нью-Йорк.

Именно там Абрахам Вальд встретил войну.

Группа статистических исследований (Statistical Research Group; далее по тексту – SRG)[4], в которой Вальд работал на протяжении большей части Второй мировой войны, выполняла секретную программу; ее цель состояла в том, чтобы собрать крупнейших американских специалистов по статистике и использовать их возможности для решения военных задач. Это напоминало Манхэттенский проект, только в качестве оружия, разработкой которого занималась SRG, выступали уравнения, а не взрывчатые вещества. Кроме того, SRG располагалась действительно на Манхэттене, в районе Морнингсайд-Хайтс, в доме 401 на Западной 118-й улице – всего в одном квартале от Колумбийского университета. Сейчас в этом доме находятся квартиры профессоров Колумбийского университета и несколько кабинетов врачей, но в 1943 году это был живой и блестящий мозговой центр военной математики. В одном из помещений располагалась Группа прикладной математики Колумбийского университета; десятки молодых женщин корпели над калькуляторами Marchant, рассчитывая формулы для оптимальной траектории движения истребителя, позволявшей ему постоянно держать вражеский самолет на прицеле. В другом помещении команда исследователей Принстонского университета разрабатывала схемы стратегических бомбардировок. А по соседству группа учных Колумбийского университета работала над созданием атомной бомбы.

Однако SRG была самой сильной и, по большому счету, самой влиятельной из всех этих групп. В SRG царила атмосфера интеллектуальной открытости и интенсивной научной мысли – все работали с ощущением общей цели, которое возникает только при решении задач особой важности. «Когда мы давали рекомендации, – писал руководитель SRG Уилсон Аллен Уоллис, – их использовали. Пулеметы истребителей, вступавших в бой, были снаряжены согласно рекомендациям Джека Вулфовица[5] по поводу того, как смешивать боеприпасы разных типов, – и летчики либо возвращались, либо нет. Топливо ракет, которые запускали самолеты военно-морских сил, проходило проверку в соответствии со схемой выборочного контроля Эйба Гиршика – и эти ракеты либо взрывались и уничтожали наши собственные самолеты и наших летчиков, либо поражали цель»[6].

Математический талант членов группы соответствовал важности задачи. По словам Уоллиса, «как с точки зрения количества, так и с точки зрения качества SRG была самой выдающейся группой специалистов по статистике из всех когда-либо созданных»[7]. В группе работали: Фредерик Мостеллер – впоследствии основатель факультета статистики Гарвардского университета; Леонард Джимми Сэвидж[8] – первопроходец теории принятия решений и большой приверженец области математики, позже ставшей известной как байесовская статистика. В SRG время от времени заглядывал Норберт Винер – математик Массачусетского технологического института, создатель кибернетики. Это был коллектив ученых, в котором почетное четвертое место среди самых толковых занимал Милтон Фридман – будущий лауреат Нобелевской премии по экономике.

А первое место по праву закрепилось за Абрахамом Вальдом. Вальд – преподаватель Аллена Уоллиса в Колумбийском университете – стал для всей группы своего рода высочайшим математическим авторитетом. Впрочем, как «подданный враждебного государства» с юридической точки зрения Вальд не имел права видеть секретные отчеты – те отчеты, которые он собственноручно составлял. В SRG шутили, что секретари обязаны буквально вырывать из-под его пера каждый листок бумаги тут же, как только он его допишет[9]. При этом Вальд практически не вписывался в общую направленность группы: он был очень далек от решения прикладных задач, поскольку его всегда интересовала лишь абстрактная математика. Однако в данном случае верх взяла его личная заинтересованность: посвятить свой талант антифашистской борьбе. Так или иначе, но Вальда сочли именно тем человеком, которого лучше было иметь на своей стороне – тем более, когда возникала необходимость перевести расплывчатые мысли на язык точных математических формулировок.

Задача заключалась в следующем. Вы не хотите, чтобы вражеские истребители сбивали ваши самолеты, поэтому покрываете их броней. Но броня делает самолет более тяжелым, что снижает его маневренность и увеличивает расход топлива. Если на самолете слишком много брони – это проблема; если брони слишком мало – это тоже проблема. Где-то в интервале лежит оптимальное решение. Чтобы вычислить этот идеальный вариант, вы собираете под крышей нью-йоркской квартиры команду лучших математиков[10].

Военные представили на рассмотрение SRG данные, которые, по их мнению, могли бы помочь в решении задачи. Когда американские самолеты выходили из воздушных боев над Европой, они были покрыты дырами от пуль. Однако повреждения распределялись по корпусу самолета не равномерно. Пробоин на фюзеляже было больше, чем на двигателе.

Представители командования увидели возможность повысить эффективность использования самолетов, обеспечив такой же уровень защиты в его уязвимых местах, для этого требовалось правильно распределить количество брони, делая ее слой толще там, где самолет получает больше всего пробоин. Но сколько именно брони следует устанавливать на этих частях самолета? С просьбой найти нужное решение военные обратились к Вальду. И получили совсем неожиданный ответ.

Броню следует укреплять не там, сказал Вальд, где больше всего пробоин, а там, где их нет, то есть на двигателе.

Вальд задался вопросом: где находятся недостающие пробоины? Именно в этом проявилась его проницательность – в простоте поставленной задачи. Речь шла о тех самых отверстиях от поражающих средств – пробоинах, которые покрывали бы кожух двигателя, если повреждения были бы распределены равномерно по всему самолету. В ответе на свой вопрос Вальд не сомневался ни на йоту. Причина, почему на двигателях уцелевших самолетах было меньше повреждений, только одна: в случае прямого попадания в двигатель самолет просто не возвращался из боя. Однако многие самолеты прилетали на базу с фюзеляжем, похожим на швейцарский сыр, – убедительный довод в пользу того, что корпус можно (а значит, и нужно) оставить без дополнительной брони. В военном госпитале вы встретите гораздо больше раненных не в грудь, а в ноги. Но причина не в том, что люди не получают ранений в грудь – просто после таких ранений они, как правило, не выживают.

Вот старый математический прием, который вносит полную ясность в картину происходящего: присвоить некоторым переменным значение 0. В данном случае в качестве такой переменной выступает вероятность того, что самолет, получивший прямое попадание в двигатель, может остаться в воздухе. Нулевое значение этой вероятности означает, что единственное попадание в двигатель неизбежно приводит к падению самолета. Как выглядели бы данные о возвращающихся самолетах в таком случае? У вас есть самолеты, вернувшиеся с дырами от пуль в крыльях, фюзеляже, носовой части, но нет ни одного самолета с пробоинами в двигателе. Военный аналитик может объяснить этот факт двумя причинами: либо немецкие орудия попадают во все части самолета, кроме одной, либо двигатель – это самое уязвимое место. Обе причины объясняют данные о повреждениях на уцелевших самолетах, но второе объяснение гораздо логичнее. Стало быть, броню следует укреплять там, где нет пулевых отверстий.

Выводы Вальда были сразу приняты к сведению, более того, ими руководствовались во время военных действий в Корее и во Вьетнаме[11]. Я не могу точно сказать, сколько американских самолетов спасли его рекомендации, хотя это наверняка известно тем преемникам SRG в современных вооруженных силах, которые занимаются сбором и обработкой данных. Высшие чины американских военных ведомств всегда отдавали себе отчет, что страны побеждают в войнах не потому, что они храбрее противника или более независимы или им чуть больше благоволит Бог. Как правило, победителем становится тот, у кого сбивают на 5 % меньше самолетов, или кто использует на 5 % меньше топлива, или кто обеспечивает пехоте на 5 % более качественное питание[12] при 95 % затрат. О таких вещах не принято говорить в военных фильмах, но именно к ним сводятся сами войны. И на каждом этапе этого пути присутствует математика.

Почему Абрахам Вальд увидел то, чего не смогли увидеть офицеры, обладающие более профессиональными знаниями и пониманием сути воздушного боя? Причина в аналитическом складе ума Вальда – так называемом математическом мышлении. Математик всегда ставит такие вопросы: «Из каких предположений вы исходите? Обоснованы ли эти предположения?»[13] Порой это вызывает раздражение. Однако такой подход может быть весьма продуктивным. В случае с авиационной броней офицеры, сами того не замечая, исходили из предположения, что вернувшиеся самолеты представляют собой случайную выборку всех самолетов. Если действительно так и было бы, мы могли бы, проанализировав распределение пробоин только на уцелевших самолетах, сделать вывод об их распределении на всех машинах. Но, как только вы осознаете, что в своих расчетах опираетесь на такое предположение, вам сразу станет понятно, насколько оно ошибочно: нет никаких оснований ожидать равной вероятности выживания всех самолетов независимо от того, в какую часть машины попадает огнестрельное оружие. Мы вернемся к этой теме в главе пятнадцатой, где в более точных математических терминах выразим мысль о существовании зависимости между уровнем выживаемости самолетов в бою и местоположением пробоин.

Еще одно неоспоримое достоинство Вальда – его особая склонность к абстракции. Вулфовиц, учившийся у Вальда в Колумбийском университете, писал, что ученый отдавал предпочтение задачам «самого абстрактного рода», а также что он «всегда охотно говорил о математике, но был безразличен к ее популяризации и практическому применению»[14].

Особенности характера Вальда действительно мешали ему сосредоточиться на прикладных задачах. Ему было в тягость разбираться в деталях конструкции самолетов и оружия, поэтому он анализировал математические основы происходящего, связывая все в единое целое. Порой такой подход приводит к игнорированию действительно важных аспектов проблемы. Правда, он дает возможность увидеть общую схему, лежащую в основе различных задач, но на поверхности выглядит совсем по-другому. Это позволяет обрести весомый опыт даже в тех областях, в которых на первый взгляд у вас не может быть никаких практических знаний.

Глубинную структуру задачи с пробоинами в авиационной броне математики обозначают термином «систематическая ошибка выжившего». Такая погрешность часто возникает в самых разных ситуациях[15]. Зная о существовании систематической ошибки выжившего – как знал о ней Абрахам Вальд, – вы будете готовы к тому, чтобы обнаружить ее, где бы она ни скрывалась.

Возьмем в качестве примера взаимные фонды[16]. Оценка их эффективности – это именно та область, в которой вам хотелось бы не допустить ни малейшей ошибки. Изменение годового темпа роста стоимости активов фонда на 1 % может составить разницу между ценным инвестиционным активом и убыточным инвестиционным инструментом. На первый взгляд может показаться, что к первому типу инвестиционных активов относятся фонды категории Large Blend (смешанные фонды акций крупных компаний) по версии агентства Моrningstar, показывающие примерно такой же рост, что и индекс S&P 500. За период с 1995 по 2004 год их рост составил 178,4 %, в среднем по целых 10,8 % в год[17]. Похоже, если в то время вы могли бы вложить деньги в те фонды, это принесло бы вам большую прибыль – не так ли?

Так вот, на самом деле все обстоит иначе. Компания Savant Capital в 2006 году провела исследование[18], результаты которого не только проливают свет на эти данные, но и действуют несколько отрезвляюще. Предлагаю подумать, как формируются рейтинги Morningstar. Например, в 2004 году агентство проанализировало темпы роста всех фондов категории Large Blend за прошедшие десять лет.

Но здесь кое-чего не хватает, а именно: фондов, не вошедших в эту категорию. Взаимные фонды не живут вечно. Некоторые из них процветают, тогда как другие прекращают свое существование. К последним, как правило, относятся фонды, не получающие прибыль. Следовательно, оценивать рост стоимости активов взаимных фондов за десятилетний период по данным о фондах, еще существовавших к концу этого периода, – все равно что оценивать эффективность маневров во время воздушного боя, пользуясь методом подсчета количества пробоин в вернувшихся самолетах. Но вдруг мы не обнаружим ни одного самолета, у которого было бы больше одной пробоины? О чем это говорило бы? Конечно, не об умении пилотов мастерски уклоняться от вражеского огня. Скорее всего, это означало бы, что самолеты, получившие два прямых попадания, охваченные огнем, упали на землю.

Результаты исследования компании Savant показывают: если наряду с выжившими фондами включить в расчеты эффективность фондов, прекративших свое существование, рентабельность инвестиций упала бы до 134,5 %, то есть до 8,9 % в год. Показатель гораздо более скромный, не правда ли? Этот вывод подтвердили результаты одного из последних исследований. Журнал Review of Finance провел в 2011 году комплексное исследование, охватившее около пяти тысяч фондов[19]. По его результатам было установлено, что избыточная доходность выживших фондов (всего 2641 фонд) оказалась на 20 % выше того же показателя, рассчитанного с учетом данных о фондах, потерпевших неудачу. Возможно, эффект систематической ошибки выжившего удивил инвесторов, но для Абрахама Вальда он, по всей вероятности, не стал бы неожиданностью.

Математика есть продолжение здравого смысла иными средствами

В этот момент мой юный собеседник прервет мой рассказ вполне обоснованным вопросом: ну и где здесь математика? Да, Вальд был математиком, и вне всяких сомнений, его решение проблемы надежности авиационной брони гениально. Но при чем здесь математика? Ни тригонометрических тождеств, ни интегралов, ни неравенств, ни формул.

Прежде всего следует отметить, что математические формулы все-таки были. Я опустил их, рассказывая историю Вальда, поскольку это только пролог. Во введении к книге о размножении человека, рассчитанной на десятилетних ребят, вряд ли стоит во всех подробностях рассказывать, как детки попадают в мамин живот. Нет, мы напишем что-нибудь в таком роде: «В природе все меняется. Зимой деревья сбрасывают листья, весной снова цветут; обычная гусеница прячется в свой кокон и выходит из него, превратившись в прекрасную бабочку. Ты тоже часть природы, поэтому…»

Мы с вами сейчас находимся именно в такой части книги.

Но мы взрослые люди, поэтому давайте на секунду уйдем от расплывчатых формулировок и посмотрим, как выглядит типичная страница реального отчета Вальда[20].

…можно вычислить нижний предел Q_i. Мы предполагаем, что разность между значениями q_i и q_i+1 находится в определенных пределах. Следовательно, можно вычислить верхний и нижний пределы Q_i.

Предположим:

₁q_i  q_i+1  2q_i

где ₁ < ₂ < 1, таковы, что выполнено:

(A)

Точное решение слишком громоздко, но можно рассчитать приближенные значения верхнего и нижнего пределов Q_i для i < n посредством следующей процедуры. В расчетах используется такой набор гипотетических данных:

Условие А удовлетворено, поскольку подстановка дает нам значение

что меньше, чем

1 – a₀ = 0,22.

НИЖНИЙ ПРЕДЕЛ Q_I

На первом этапе необходимо решить уравнение 66. Это подразумевает решение следующих четырех уравнений с положительными корнями q₀, q₁, q₂, q₃.

Надеюсь, приведенная мною страничка не стала для вас слишком большим испытанием.

Тем не менее, чтобы понять саму идею, лежавшую в основе озарения Вальда, нам не нужны никакие формальные выкладки. Выше я уже все объяснил, причем не прибегая к каким бы то ни было математическим обозначениям. Поэтому вопрос моего студента остается открытым. Где здесь математика? Разве мы не имеем дело просто со здравым смыслом?

Да, именно так. Математика – это и есть здравый смысл. Ведь на базовом уровне все вполне очевидно.

Как можно объяснить кому-то, что прибавление семи вещей к пяти вещам дает такой же результат, что и прибавление пяти вещей к семи вещам? Никак. Этот факт запечатлен в наших представлениях о сведении нескольких объектов в единое целое. Математики любят обозначать специальными терминами те явления, которые описывает наш здравый смысл. Вместо фразы: «Прибавление этого объекта к тому объекту – это то же самое, что прибавление того объекта к этому» – мы говорим: «Сложение коммутативно». А поскольку мы любим использовать символы, то записываем сказанное в таком виде:

при любых значениях a и b

a + b = b + a.

Несмотря на официальный вид этой формулы, мы говорим здесь о факте, который инстинктивно понимает каждый ребенок.

Немного другой случай – умножение. Формула выглядит почти так же:

при любых значениях a и b

a  b = b  a.

Мозг, анализирующий данное утверждение, соглашается с ним не так быстро, как в случае сложения. Разве отвечает здравому смыслу тот факт, что два набора из шести объектов дают в результате то же, что и шесть наборов из двух объектов?

Возможно, это утверждение и не отвечает здравому смыслу, но оно может стать очевидным. Вот одно из моих первых математических воспоминаний. Я лежу на полу в доме своих родителей, щекой на жестком коврике, и смотрю на стереосистему. Скорее всего, я слушаю вторую сторону «Синего альбома» Beatles. Мне, наверное, лет шесть. Это происходит в семидесятых, значит, стереосистема установлена в корпусе из ДСП с прямоугольными отверстиями на боковой панели. Восемь отверстий по горизонтали, шесть отверстий по вертикали. Я лежу и рассматриваю эти отверстия. Шесть рядов отверстий. Восемь столбцов отверстий. Фокусируя свой взгляд то на одном, то на другом, я переключаю свой мозг с рядов на столбцы и наоборот. Шесть рядов с восемью отверстиями в каждом. Восемь столбцов с шестью отверстиями в каждом.

А затем я понял: восемь групп по шесть отверстий – это то же самое, что шесть групп по восемь отверстий. И не потому, что когда-то мне объяснили правило, а потому, что иначе быть не может. Как ни подсчитывай, но количество отверстий в панели останется одним и тем же.

Как правило, мы преподаем математику в виде длинного перечня правил. Вы изучаете эти правила, чтобы подчиняться им, потому что в противном случае вы получите тройку с минусом. Но не это математика. Мы называем математикой изучение вещей, которые происходят определенным образом по той простой причине, что другого способа не существует.

Посмотрим правде в глаза: не все в математике можно сделать настолько доступным для нашей интуиции, как сложение и умножение. Дифференциальное и интегральное исчисление невозможно понять, руководствуясь только здравым смыслом. И все-таки исчисление проистекает из здравого смысла: Ньютон взял наши фактические знания о движении объектов по прямой линии, составил формальное описание этого движения, а затем на основе формальной схемы построил универсальное математическое описание движения. Имея в своем распоряжении теорию Ньютона, вы можете применить ее к решению задач, от которых у вас голова пойдет кругом, если вы не призовете на помощь формулы. Точно так же в нас заложены ментальные системы оценки вероятности неопределенных событий. Однако эти системы довольно слабы и ненадежны, особенно когда речь идет о крайне редких событиях. Именно в этом случае мы подкрепляем свою интуицию фундаментальными теоремами и методами, построив на этой основе математическую теорию вероятностей.

Специальный язык, на котором математики общаются друг с другом, – это замечательный инструмент для точного и лаконичного описания сложных идей. Но из-за непонятности этого языка у людей непосвященных может возникнуть ощущение, что данная область мысли недоступна пониманию обычного человека. Но все не так.

Математика – это как работающее на атомной энергии вспомогательное приспособление, которое вы прикрепляете к своему здравому смыслу, многократно увеличив его охват и эффективность. Несмотря на всю силу математики, ее абстрактность и символику, порой внушающую страх, истинная умственная работа, которая требуется в ней, мало чем отличается от того, как мы размышляем над решением простых повседневных задач. В этом случае, на мой взгляд, полезно представить образ Железного человека[21], пробивающего дыру в кирпичной стене. С одной стороны, сила, пробивающая стену, порождена не мышцами Тони Старка, а совокупностью точно синхронизированных действий сервомеханизмов, которые приводит в движение компактный генератор бета-частиц. С другой стороны, с точки зрения Тони Старка, он просто пробивает стену – точно так же, как он сделал бы и без своего снаряжения, только тогда это было бы гораздо труднее.

Перефразируя Клаузевица, можно сказать, что математика – это продолжение здравого смысла иными средствами[22].

С одной стороны, без строгих структур, которые предоставляет математика, здравый смысл может ввести вас в заблуждение. Именно это произошло с командующими, которые хотели укрепить броней и без того надежные части самолета. С другой – формальная математика без здравого смысла (без постоянного взаимодействия между абстрактными рассуждениями и интуитивными догадками по поводу количества, времени, пространства, движения, поведения и неопределенности) была бы всего лишь бесплодным упражнением в следовании правилам и счетоводстве[23]. Другими словами, математика была бы именно тем, чем считает ее недовольный студент, изучающий математический анализ.

В этом кроется настоящая опасность. В эссе The Mathematician («Математик»)[24], опубликованном в 1947 году, Джон фон Нейман предупреждал:

На довольно большом удалении от своего эмпирического источника и тем более во втором и третьем поколении, когда математическая дисциплина лишь косвенно черпает вдохновение из идей, идущих от «реальности», над ней нависает смертельная опасность. Ее развитие все более и более определяется чисто эстетическими соображениями, оно все более и более становится искусством для искусства. Само по себе это неплохо, если она взаимодействует с примыкающими математическими дисциплинами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если данная математическая дисциплина находится под влиянием людей с исключительно развитым вкусом. Но существует серьезная угроза, что математическая дисциплина будет развиваться по линии наименьшего сопротивления, что вдали от источника поток разветвится на множество ручейков и дисциплина превратится в хаотическое нагромождение деталей и сложностей. Иначе говоря, при большом отдалении от эмпирического источника или после основательного абстрактного «инбридинга» (близкородственного скрещивания. – Ю. Д.) математической дисциплине грозит опасность вырождения.

О какой математике пойдет речь в моей книге?

Если ваше знакомство с математикой ограничивается школьной программой, это означает, что вам известна весьма ограниченная, а в какой-то степени даже ложная версия этого предмета. Школьная математика состоит главным образом из совокупности фактов и правил – фактов, которые нельзя оспаривать, и правил, которые предписаны высшим авторитетом и не подлежат сомнению. Такой подход рассматривает математические концепции как нечто непреложное.

Но математика не неизменна. Даже если речь идет о базовых объектах изучения, таких как числа и геометрические фигуры, наше незнание гораздо больше знания. А то, что мы все же знаем, получено в результате огромных усилий, разногласий и недоразумений. Весь этот труд и смятение тщательно завуалированы в ваших учебниках.

Безусловно, факты фактам рознь. Никогда не было особых споров по поводу того, что 1 + 2 = 3. Но можем ли мы действительно доказать, что 1 + 2 = 3, и как это можно сделать, – вопрос, который блуждает где-то между математикой и философией. Однако это совсем другая история, и мы вернемся к ней в конце книги. Правильность вычислений в данном случае не подлежит сомнению. Проблема кроется совсем в другом. Мы не раз столкнемся с ней на этих страницах.

Математические факты могут быть простыми и сложными, поверхностными и глубокими, что делит математическую вселенную на четыре сектора:

Базовые арифметические факты, такие как 1 + 2 = 3, относятся к категории простых и поверхностных. К этой же категории принадлежат и основные тождества, в частности sin(2x) = 2sin x  cos x или формула корней квадратного уравнения. Возможно, убедить себя в истинности таких тождеств немного труднее, чем в том, что 1 + 2 = 3, но по большому счету они не так уж сложны на концептуальном уровне.

В сегменте сложных и поверхностных фактов находится, например, задача умножения двух десятизначных чисел, или вычисление сложного определенного интеграла, или (при условии, что вы пару лет учились в магистратуре) определение следа Фробениуса на модулярной форме кондуктора 2377. Можно предположить, что по какой-то причине вам понадобится найти ответ на вопрос такого рода, но поиск решения вручную, вне всяких сомнений, покажется слишком раздражающей и невыполнимой задачей. В случае модулярной формы вам, возможно, понадобится серьезное образование даже для того, чтобы понять, о чем идет речь. Однако в действительности знание этих ответов не обогащает понимание окружающего мира.

Сектор сложных и глубоких математических фактов – это именно то, на что тратят большую часть своего времени профессиональные математики, к числу которых отношусь и я. Здесь обитают знаменитые теоремы и гипотезы, такие как гипотеза Римана, последняя теорема Ферма[25], гипотеза Пуанкаре[26], равенство классов P и NP[27], теорема Гёделя и так далее. Каждая из этих теорем касается идей, имеющих глубокий смысл, фундаментальную важность, поразительную красоту и сугубо специальный характер, и каждая из них сама по себе выступает в качестве главного персонажа многих книг[28].

Но только не моей. То, о чем пойдет речь в настоящей книге, относится к верхнему левому сектору, где находятся простые и глуокие факты. Вы сможете непосредственно, с выгодой для себя использовать представленные здесь математические идеи независимо от того, ограничивается ли ваше математическое образование основами алгебры или охватывает гораздо более широкую область математики. И речь идет не о «фактах самих по себе», таких как простые арифметические утверждения, а о принципах, применение которых выходит далеко за рамки привычных представлений о математике. Мы будем говорить о надежных практических инструментах – их применение поможет вам не совершать ошибок.

Чистая математика представляется чем-то вроде монастыря – спокойное место, надежно защищенное от влияния окружающего мира со всей его суетой и противоречиями. Я вырос в стенах такого убежища. Знакомых мне математически одаренных молодых людей интересовало практическое применение математики в физике или геномике, многих влекла черная магия управления хедж-фондами, но все эти подростковые шатания и проблемы выбора были не для меня[29]. Во время учебы в магистратуре я посвятил себя изучению теории чисел, которую Гаусс называл «королевой математики». Из всех чистых дисциплин это была самая чистая – закрытый сад посреди монастыря, где мы размышляли над теми же вопросами о числах и уравнениях, которые занимали умы древних греков и которые едва ли стали менее мучительными за прошедшие две с половиной тысячи лет.

Сначала я работал над теорией чисел в ее классическом виде, доказывая факты о суммах четвертых степеней целых чисел, о которых я при необходимости мог рассказать членам своей семьи на День благодарения, даже если мне и не удавалось объяснить им, как именно я доказал то, что доказал. Но вскоре я увлекся еще более абстрактными областями, изучая задачи, основные элементы которых («остаточно модулярные представления Галуа», «когомология модулярных схем», «динамические системы однородных пространств») невозможно было обсуждать за пределами архипелага университетских аудиторий, коридоров и комнат отдыха, раскинувшегося в водах Оксфорда, Принстона, Киото, Парижа и Мэдисона (штат Висконсин), где я сейчас преподаю. Если я назову все перечисленное волнующим, имеющим смысл и прекрасным и скажу вам, что мне никогда не надоедает размышлять над этими темами, вам придется просто поверить мне, поскольку требуется длительное обучение даже для того, чтобы выйти на уровень, на котором эти объекты изучения попадают в ваше поле зрения.

Но затем произошло нечто интересное. Чем более абстрактными и далекими от реальной жизни становились мои исследования, тем чаще я начал замечать, как много математики присутствует во внешнем мире, за стенами этого убежища. Речь идет не о представлениях Галуа или когомологиях, а о более простых, древних и не менее глубоких понятиях, попадающих в верхний левый сектор нашей таблицы математических концепций. Я начал писать для газет и журналов статьи о том, как выглядит мир сквозь призму математики, и, к своему удивлению, обнаружил, что их охотно читают даже люди, твердящие, как они ненавидят математику. Это было своего рода обучение математике, но обучение, весьма отличающееся от обычных занятий.

Но у такого подхода есть нечто общее с обычными занятиями. Это кое-какие задания, которые предстоит выполнить читателям. Давайте вернемся к эссе фон Неймана «Математик»:

Разобраться в устройстве самолета и понять природу сил, поднимающих самолет в воздух и приводящих его в движение, труднее, чем лететь в салоне самолета, подниматься в нем в заоблачную высь, покрывать огромные расстояния, и даже труднее, чем управлять самолетом.

Только в исключительных случаях процесс удается понять, не научившись применять его практически, руководствуясь инстинктом и опытом[30].

Другими словами, довольно трудно понять математику, не решая математических задач. Царской дороги в геометрии нет, как сказал Евклид Птолемею или – в зависимости от вашего источника – Менехм Александру Македонскому. (Надо признать, популярные изречения, приписываемые древним, вполне возможно, им не принадлежат, но это не делает их менее поучительными.)

В этой книге я не собираюсь вставать в позу и делать величественные жесты в сторону великих математических памятников, не буду учить вас восхищаться ими с большого расстояния. Нам предстоит с головой погрузиться в работу. Мы с вами сделаем кое-какие вычисления. Чтобы донести ту или иную мысль, мне придется, когда это понадобится, прибегать к помощи кое-каких формул и уравнений. Вам не понадобится никаких формальных математических знаний, кроме знаний арифметики, но в то же время вы узнаете о математике многое из того, что выходит за пределы арифметики. Я привожу здесь ряд упрощенных графиков и таблиц. Мы с вами встретим некоторые темы из школьной математики, но вне их обычной среды обитания. Мы узнаем, как тригонометрические функции описывают степени взаимозависимости между двумя переменными, что говорит математический анализ о соотношении между линейными и нелинейными явлениями, а также каким образом формула корней квадратного уравнения служит в качестве когнитивной модели научного познания. Кроме того, мы встретим здесь некоторые математические концепции, изучение которых обычно откладывается до колледжа или до университета. В частности, мы поговорим о таких вещах, как кризис в теории множеств, выступающий здесь в качестве метафоры для судебной практики Верховного суда и судейства в бейсболе; последние достижения в аналитической теории чисел, подтверждающие наличие взаимосвязи между структурой и случайностью; теория информации и комбинаторные схемы, позволяющие объяснить, как несколько студентов MIT выиграли миллионы долларов, разобравшись во внутреннем механизме лотереи штата Массачусетс.

В книге вы найдете рассказы об известных математиках, а также некоторые философские рассуждения. Представлены даже пара доказательств. Зато нет ни домашних заданий, ни тестов.

Глава первая. Стоит ли уподобляться Швеции

Несколько лет назад, в разгар дебатов вокруг «Закона о доступной медицинской помощи», Дэниел Митчелл из либертарианского Института Катона опубликовал в своем блоге статью с провокационным заголовком «Почему Обама пытается сделать Америку больше похожей на Швецию, тогда как сами шведы пытаются быть в меньшей степени шведами?»[31].

Хороший вопрос! Скажем как можно мягче: это действительно кажется несколько странноватым. Почему, господин президент, мы плывем против течения истории, тогда как во всем мире страны с высоким уровнем социального обеспечения (даже богатая маленькая Швеция!) сокращают дорогостоящие социальные льготы и высокие налоги? «Если шведы извлекли уроки из собственных заблуждений и теперь пытаются сократить объем и границы государственного управления, то почему американские политики так стремятся повторять их ошибки?» – пишет Митчелл.

Ответ на этот вопрос требует построения в высшей степени научного графика. Вот как выглядит мир в понимании Института Катона.

Ось x отображает здесь меру «шведскости»[32], а ось y – некую меру благосостояния. Не имеет значения, в каких именно единицах отображены эти показатели. Суть вот в чем: согласно этому графику, чем выше у вас мера шведскости, тем в худшей ситуации находится ваша страна. Шведы, люди далеко не глупые, поняли это и начали двигаться по графику в северо-западном направлении, к благосостоянию, которое обеспечивает свободный рынок. Однако Обама движется не в том направлении.

Позвольте мне нарисовать эту же картину с точки зрения людей, экономические взгляды которых ближе к мнению Обамы, а не Института Катона.

Этот график дает совсем другие рекомендации по вопросу, в какой степени нам следует походить на Швецию. Где мы видим максимальный уровень благосостояния? В точке, в которой мера шведскости больше, чем в Америке, но меньше, чем в Швеции. Если это действительно так, тогда совершенно логично, что Обама увеличивает объем социального обеспечения, тогда как шведы сокращают его.

Разница между этими двумя графиками сводится к различиям между линейностью и нелинейностью[33], одному из основных разграничений в математике. Линия на графике Катона – это прямая[34], тогда как линия на втором графике (с горбом посередине) не является прямой. Прямая – это один, но не единственный тип линий, причем прямые могут иметь самые разные свойства, которых может и не быть у других линий. Самая высокая точка отрезка прямой (в данном примере – максимальный уровень благосостояния) должна находиться либо на одном конце, либо на другом. Такова природа прямых линий. Если снижение налогов способствует росту благосостояния, то чем ниже налоги, тем лучше. Следовательно, если шведы хотят расшведиться, так же должны поступить и мы. Безусловно, противники точки зрения Института Катона могут утверждать, что эта прямая наклонена в другом направлении и проходит с юго-запада на северо-восток. В таком случае объем расходов на социальное обеспечение не может быть слишком большим, а оптимальная политика сводится к тому, чтобы обеспечить максимальный уровень шведскости.

Как правило, когда кто-то заявляет, будто не относится к числу людей, мыслящих линейно, то очень скоро он начнет просить у вас прощения за потерю того, что вы ему одолжили на время. Однако нелинейность действительно существуxет! А в данном контексте мыслить нелинейно крайне важно, поскольку не все линии бывают прямыми. Поразмышляв немного, вы поймете, что графики реальных экономических показателей напоминают второй, а не первый рисунок. Это кривые линии. Логика рассуждений Митчела являет собой пример ложной линейности – не заявляя об этом в явной форме, он исходит из того, что динамику благосостояния описывает отрезок прямой, изображенный на первом рисунке. В таком случае, если Швеция сокращает свою социальную инфраструктуру, значит, нам следует сделать то же самое.

Но, если вы считаете, что уровень социального обеспечения может быть слишком высоким или слишком низким, значит, вы понимаете, что линейная картина происходящего ошибочна. Здесь действует несколько более сложный принцип, чем «больше государственного управления – это плохо, меньше – это хорошо». Генералы, пришедшие за советом к Абрахаму Вальду, столкнулись с аналогичной ситуацией: если на самолетах установить слишком мало брони, они будут сбиты, если слишком много – не смогут взлететь. Вопрос не в том, хороша или плоха дополнительная броня; возможно и то и другое в зависимости от того, сколько брони на самолетах уже установлено. Если и существует оптимальное решение проблемы, то оно находится где-то посередине, а что действительно плохо, так это отклонение от оптимума в любую сторону.

Нелинейное мышление означает следующее: какой путь выбрать, зависит от того, где вы находитесь.

Мысль отнюдь не нова. Уже Гораций, живший во времена Римской империи, писал:

• Est modus in rebus, sunt certi denique fines,
• Quos ultra citraque nequit consistere rectum[35].

• Мера должна быть во всем, и всему есть такие пределы,
• Дальше и ближе которых не может добра быть на свете![36]

Еще раньше Аристотель в своей «Никомаховой этике» предупреждал, что «питье и еда при избытке или недостатке губят здоровье, в то время как все это в меру ‹…› и создает его, и увеличивает, и сохраняет»[37]. Оптимум находится где-то посередине, поскольку зависимость между питанием и здоровьем представляет собой не прямую, а кривую линию с плохим результатом на обоих концах.

Экономическое шаманство

Парадокс в том, что экономисты-консерваторы – вроде исследователей Института Катона – понимают это лучше, чем кто-либо другой. Помните вторую картинку – ту, которую нарисовал я? Тот самый в высшей степени научный график с горбом посередине? Я далеко не первый, кто изобразил это. График такого типа, получивший название «кривая Лаффера», уже почти сорок лет играет центральную роль в экономике республиканцев. Примерно в середине президентского срока Рейгана кривая Лаффера стала настолько распространенной темой экономических дискуссий, что Бен Стайн в фильме Ferris Bueller’s Day Off («Выходной день Ферриса Бьюлера»[38]) экспромтом включил ее в свой знаменитый невыносимо скучный школьный урок:

Кто-нибудь знает, что это? Эй, класс? Кто-нибудь знает? Кто-нибудь встречал это раньше? Кривая Лаффера. Сегодня продолжается дискуссия по этому вопросу… Кто-нибудь знает суть этих дискуссий? Класс? Кто ответит? Есть желающие? Кто-то знает, что это такое? Это значит, в этой точке кривой дохода вы получите точно такую же сумму, как и в этой. Это спорный вопрос. Кто-нибудь знает, как вице-президент Буш назвал это в восьмидесятые годы? Кто-нибудь знает? Насчет экономики? Что-то там… ду-ду экономика? Вуду-экономика, экономическое шаманство.

С кривой Лаффера связана такая легенда. Однажды в 1974 году Артур Лаффер, который был в то время профессором экономики Чикагского университета, ужинал с Диком Чейни, Дональдом Рамсфелдом и тогдашним главным редактором Wall Street Journal Джудом Ванниски в ресторане одного фешенебельного вашингтонского отеля. Во время ужина заговорили о предложенной президентом Фордом схеме налогообложения. Возник спор, и в итоге, как обычно водится среди людей творческих, когда разногласия достигают наибольшего накала, Лаффер схватил салфетку и изобразил на ней рисунок[39].

Здесь горизонтальная ось отображает уровень налогообложения, а вертикальная – объем доходов, полученных правительством от налогов, выплаченных налогоплательщиками. С левой стороны графика налоговая ставка составляет 0 %; в этом случае правительство по определению не получает никакого дохода от налогов. Справа ставка налога составляет 100 %; это означает, что, каким бы ни был ваш доход – будь то прибыль от вашего бизнеса или заработная плата, получаемая вами от работодателя, – абсолютно все уходит в карман дядюшки Сэма.

Но это бессмысленно. Если правительство отнимает у вас все до последнего цента из зарплаты, которую вам платят за то, что вы преподаете в школе, или продаете оборудование, или занимаете пост руководителя среднего звена, – то зачем вам нужна такая работа? Когда уровень налогообложения дойдет до правого края графика, люди вообще перестанут работать. Но если и будут продолжать, то исключительно в системе неофициальной экономики, куда сборщикам налогов доступ закрыт. Правда, в таком случае правительственные доходы тоже будут равны нулю.

Правительство все-таки имеет определенный объем доходов от налогообложения – в случае когда налоговые ставки попадают в промежуточный диапазон посередине кривой, то есть где-то между нулевой долей нашего дохода и всем доходом. Собственно, так и происходит в реальном мире[40][41].

Это означает, что линия, отображающая зависимость между налоговой ставкой и правительственным доходом, не может быть прямой. Если было бы так, объем доходов от налогообложения оказался бы максимальным как с левой, так и с правой стороны графика, однако в обоих случаях он равен нулю. Если текущая ставка подоходного налога действительно близка к нулю, то есть вы находитесь с правой стороны графика, повышение налогов приведет к тому, что в распоряжении правительства будет больше денег для финансирования различных социальных программ, как, возможно, вам и подсказывает интуиция. Однако если подоходный налог близок к 100 %, повышение налогов на самом деле приведет к сокращению правительственных доходов. Если вы находитесь с правой стороны от вершины кривой Лаффера и хотите сократить дефицит бюджета без сокращения расходов, есть простое и замечательное с политической точки зрения решение: снизить уровень налогообложения, тем самым увеличив общую сумму налогов, которые вы взимаете. Какой путь выбрать, зависит от того, где вы находитесь.

Так где мы находимся? Здесь и начинаются трудности. Максимальная ставка подоходного налога в 1974 году составляла 70 %, и мысль о том, что Америка находится на нисходящем участке кривой Лаффера, представляла определенный интерес – особенно для тех счастливчиков, которым повезло платить налоги по этой ставке, распространявшейся только на доход, превышающий 200 тысяч долларов[42]. Кривая Лаффера получила сильного сторонника в лице Ванниски, который донес ее идею до сознания общественности в 1978 году, в книге с довольно самонадеянным названием The Way the World Works («Как устроен мир»[43]). Ванниски по-настоящему верил в эту теорию и отстаивал ее не только с большим рвением, но и с дипломатичным благоразумием, позволившим ему привлечь к ней надлежащее внимание. А ведь даже сторонники снижения налогов считали концепцию кривой Лаффера слишком радикальной. Ванниски совсем не задевало, когда его называли чудаком: «Томас Эдисон был чудаком, Лейбниц был чудаком, Галилей был чудаком и так далее и тому подобное. Каждого, кто выдвигает новые идеи наперекор расхожему мнению, новые идеи, раздвигающие границы устоявшихся научных направлений, считают сумасшедшим»[44].

(Отступление. Здесь важно отметить, что люди, которые выдвигают идеи, выходящие за рамки общепринятого, и которые сравнивают себя с Эдисоном и Галилеем, никогда не бывают правы. Я получаю письма, написанные в таком духе, примерно один раз в месяц, как правило, пишут их люди, «доказавшие» математические утверждения, про которые уже сотни лет известно, что они ложные. Могу вас заверить, что Эйнштейн не говорил людям: «Послушайте, я знаю, что теория относительности звучит как бред сумасшедшего, но ведь то же самое говорили об идеях Галилея!»)

Кривая Лаффера с ее компактным графическим представлением и притягательной парадоксальностью быстро нашла своих сторонников среди политиков, и раньше выступавших за снижение налогов. Экономист Хэл Вариан сказал об этом: «Вы можете объяснить что-то члену Конгресса за шесть минут, а он будет говорить об этом шесть месяцев»[45]. Ванниски стал советником сначала Джека Кемпа[46], а затем Рональда Рейгана, чей богатый опыт работы в Голливуде в 1940-е годы, когда он был всего лишь кинозвездой, заложил основы его представлений об экономике, что понадобилось ему четыре десятилетия спустя. Дэвид Стокман, руководитель административно-бюджетного управления в период президентства Рейгана, вспоминает:

«Я узнал, что такое большие деньги, снимаясь в фильмах во время Второй мировой войны», – так всегда говорил [Рейган. – Д. Э.]. В то время добавочный подоходный налог достиг 90 %. «Можно было сняться в четырех картинах – и вы уже в более высоком разряде налогообложения. Поэтому примерно после четырех фильмов мы бросали работу и уезжали в деревню», – продолжал Рейган. Высокий налог приводит к тому, что люди работают меньше. Низкий налог приводит к тому, что они работают больше. Его опыт доказал это[47].

В наши дни трудно найти экономиста с хорошей репутацией, считающего, будто мы находимся на нисходящем участке кривой Лаффера. Может быть, в этом и нет ничего удивительного, если учитывать, что в настоящее время с самых высоких доходов взимается налог по ставке всего 35 %, которая показалась бы абсурдно низкой на протяжении большей части ХХ столетия. Но даже во времена Рейгана мы, по всей вероятности, находились с левой стороны кривой Лаффера. Экономист Гарвардского университета Грегори Мэнкью – республиканец, возглавлявший совет консультантов по экономическим вопросам при президентстве второго Буша, – пишет в своем учебнике по микроэкономике:

Дальнейшая история не подтвердила гипотезу Лаффера по поводу того, что снижение налоговых ставок приводит к увеличению налоговых поступлений. Когда после избрания на пост президента Рейган снизил налоги, объем налоговых сборов сократился, а не увеличился. За период с 1980 по 1984 год поступления от подоходного налога с физических лиц сократились на 9 % (на человека, с учетом инфляции), хотя средний доход (на человека, с учетом инфляции) возрос на 4 % за тот же период. Тем не менее изменить действующую налоговую политику было трудно[48].

Теперь самое время по достоинству оценить точку зрения сторонников экономики предложения. Прежде всего следует отметить, что максимальное увеличение правительственных доходов не обязательно должно быть целью налоговой политики. Милтон Фридман, с которым мы уже встречались, когда он выполнял секретную военную работу для Группы статистических исследований во времена Второй мировой войны, стал впоследствии лауреатом Нобелевской премии по экономике, советником ряда президентов, последователем либертарианской философии и влиятельным сторонником снижения налогов. Знаменитый лозунг Фридмана звучит так: «Я сторонник снижения налогов в любых обстоятельствах, под любым предлогом и при любой возможности». Он считал, что мы не должны стремиться к вершине кривой Лаффера – точке, в которой налоговые сборы правительства достигают максимума. В понимании Фридмана собранные правительством деньги в конечном счете будут израсходованы тем же правительством, причем в таком случае деньги будут потрачены скорее плохо, чем хорошо.

Сторонники экономики предложения, придерживающиеся более умеренных взглядов, – как, например, Мэнкью, – утверждают, что снижение налогов может усилить мотивацию людей работать больше и открывать новые компании, что в итоге приведет к укреплению экономики, даже если прямой эффект снижения налогов – это сокращение правительственных доходов и увеличение бюджетного дефицита. Экономист, больше сочувствующий идее перераспределения доходов, отметил бы, что это палка о двух концах, поскольку сокращение правительственных расходов может означать, что правительство будет выделять меньше средств на инфраструктуру, менее строго бороться с мошенничеством и в целом предпринимать меньше всех тех действий, которые способствуют развитию свободного предпринимательства.

Кроме того, по мнению Мэнкью, самые богатые люди, платящие налог на верхнюю часть дохода по ставке 70 %, действительно увеличили налоговые поступления после предпринятого Рейганом снижения налогов[49]. Это создает несколько тревожную возможность того, что максимальное увеличение правительственных доходов может быть достигнуто за счет повышения налогов на представителей среднего класса, которым не останется ничего другого, кроме как продолжать работать, при одновременном снижении налогов на накопивших достаточно богатства богатых людей. Но если правительство введет налог, который покажется среднему классу слишком высоким, то возникнет реальная угроза сокращения деловой активности и, напротив, ее усиления в офшорных зонах. При таком развитии событий многим либералам придется примкнуть к точке зрения Милтона Фридмана: возможно, максимальное увеличение правительственных доходов – не такая уж хорошая идея.

Итоговый вывод Мэнкью довольно корректен: «Аргумент Лаффера нельзя назвать полностью необоснованным». Я бы воздал должное Лафферу в большей мере! Его рисунок проиллюстрировал фундаментальную и неопровержимую математическую идею: зависимость между налогообложением и налоговыми поступлениями в казну неизбежно носит нелинейный характер. Безусловно, кривая этой зависимости не обязательно должна представлять собой один ровный изгиб, как на рисунке Лаффера. Эта кривая может иметь форму трапеции.

Или напоминать по форме спину одногорбого верблюда.

Или иметь сильно осциллирующую форму[50][51].

В любом случае, если эта кривая направлена вверх в одном месте, она непременно развернется вниз в другом. Существует такая вещь, как чрезмерная мера шведскости. Ни один экономист не станет спорить с этим утверждением. Кроме того, сам Лаффер подчеркивал, что многие социологи понимали это задолго до него. Лаффер прекрасно осознавал, что его кривая не позволяет определить, является ли экономика той или иной страны обремененной слишком высокими налогами в данное время. Именно поэтому он не привел на своем рисунке никаких конкретных показателей. Когда во время слушаний в Конгрессе[52] один из участников задал вопрос о местоположении точки оптимального уровня налогообложения, Лаффер признал: «Я не могу определить этот уровень, но могу сказать, какими должны быть его характеристики, сэр». Кривая Лаффера говорит только о том, что при определенных обстоятельствах снижение налоговых ставок может привести к увеличению налоговых поступлений, однако определение этих обстоятельств требует выполнения глубоко продуманной, трудной эмпирической работы – работы, описание которой не поместится на салфетке.

С кривой Лаффера все в порядке, не совсем хорошо обстоит дело с тем, как ее используют. Последовавшие за дудочкой Ванниски политики стали жертвой старейшего ложного силлогизма, присутствующего в его книге:

Вполне возможно, что снижение налогов приведет к увеличению объема государственных доходов.

Мне хотелось бы, чтобы снижение налогов привело к увеличению объема государственных доходов.

Таким образом, это именно тот случай, когда снижение налогов приведет к увеличению объема государственных доходов[53].

Глава вторая. Локально прямая, глобально кривая

Метод исчерпывания

Чему равна площадь данного круга?

В современном мире это настолько стандартная задача, что ее можно включать в SAT[54]. Площадь круга равна r², а в нашем случае радиус равен 1, значит, площадь этого круга равна . Однако две тысячи лет назад вопрос был открытым и настолько важным, что привлек внимание Архимеда.

Почему вопрос площади окружности оказался настолько сложным? Во-первых, на самом деле древние греки не считали числом, как считаем мы. В их понимании все числа были целыми, то есть такими, с помощью которых можно что-то подсчитать: 1, 2, 3, 4… Однако теорема Пифагора[55] – первый большой прорыв в древнегреческой геометрии – превратила всю их систему счисления в руины.

Перейдем к следующему рисунку.

Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы (сторона прямоугольного треугольника, которая нарисована здесь по диагонали и не проходит через прямой угол) равен сумме квадратов двух других сторон, или катетов. В данном примере квадрат гипотенузы равен 1² + 1² = 1 + 1 = 2. Это означает, что гипотенуза длиннее 1, но короче 2. Проверяется без всяких теорем – просто на глаз. Сам факт, что длина гипотенузы не представляет собой целое число, не был проблемой для древних греков. Может быть, мы просто измеряли все не в тех единицах. Если мы выберем такую единицу длины, чтобы длина катетов была равна 5 единицам, тогда вы с помощью линейки легко проверите, что в таком случае длина гипотенузы составит почти 7 единиц. Почти – но все-таки немного больше, поскольку квадрат гипотенузы равен:

5² + 5² = 25 + 25 = 50,

но если длина гипотенузы составляла бы 7 единиц, квадрат гипотенузы был бы равен 49.

А если мы взяли бы катеты длиной 12 единиц, длина гипотенузы была бы равна почти 17 единиц, но все же немного короче, поскольку 12² плюс 12² равно 288, что незначительно меньше чем 17², равное 289.

Примерно в V столетии до нашей эры один из представителей пифагорейской школы сделал потрясающее открытие: не существует способа измерить равнобедренный прямоугольный треугольник таким образом, чтобы длина каждой его стороны представляла собой целое число. Современный человек сказал бы, что «квадратный корень из 2 – это иррациональное число», то есть число, которое нельзя представить в виде соотношения двух целых чисел. Но пифагорейцы так не говорили. Разве могли они сказать нечто подобное? В основе их представлений о количестве лежала идея о соотношении целых чисел. Следовательно, в их понимании длина гипотенузы, как оказалось, вообще не есть число.

Это повлекло за собой неразбериху. Вы наверняка помните, что пифагорейцы были крайне своеобразными людьми. Их философия представляла собой рагу из суждений, часть которых мы назвали бы математикой, часть – религией и оставшуюся часть – психическим расстройством. Пифагорейцы были убеждены, что нечетные числа символизируют добро, тогда как четные – зло, что по ту сторону Солнца находится планета Антихтон (Антиземля, Противоземля), а также что нельзя есть бобы, как писали некоторые, потому, что в них находятся души умерших. Ходили слухи, будто Пифагор разговаривал с домашним скотом (он велел животным не есть бобы), а также что он был одним из немногих древних греков, носивших штаны[56][57].

Математика пифагорейцев была неразрывно связана с их идеологией. Легенда (которая, возможно, не совсем соответствует действительности, но дает правильное представление о пифагорейском стиле) гласит, что первым пифагорейцем, открывшим иррациональность квадратного корня из 2, был человек по имени Гиппас; в награду за доказательство этой отвратительной теоремы соратники бросили его в море, где он и утонул.

Но теорему не утопишь. Преемники пифагорейцев, такие как Евклид и Архимед, понимали, что нужно просто закатать рукава и начать все измерять, даже если придется ради этого выйти за пределы высокой стены, окружавшей цветущий сад целых чисел, столь милый их сердцу. Никто не знал, можно ли выразить площадь круга с помощью одних только целых чисел[58]. Однако колеса необходимо строить, а силосные башни заполнять[59], а значит, такие измерения должны быть выполнены.

Первоначальную идею предложил Евдокс Книдский, а Евклид включил ее в 12-ю книгу «Начал». Однако именно Архимед довел их дело до конца. В наши дни мы называем этот подход методом исчерпывания. А начинается он вот с чего.

Изображенный на этом рисунке квадрат называется «вписанный квадрат»: каждый его угол только касается окружности, но не выходит за ее границы. Зачем это делать? Потому что круг – нечто загадочное и пугающее, тогда как с квадратом все просто и ясно. Если у вас есть квадрат, длина стороны которого равна Х, его площадь равна Х умножить на Х – именно поэтому мы и называем умножение числа на самого себя возведением в квадрат! Основное правило математической жизни гласит: если мироздание ставит перед вами сложную задачу, попытайтесь решить вместо нее более простую – с расчетом на то, что упрощенный вариант окажется настолько близким к первоначальной версии, что мироздание не станет возражать против такого решения.

Вписанный квадрат можно разбить на четыре треугольника, каждый из которых представляет собой не что иное, как равнобедренный прямоугольный треугольник, который мы только что нарисовали[60]. Следовательно, площадь такого квадрата в четыре раза больше площади треугольника. Треугольник в свою очередь – это то, что получится, если взять квадрат 1  1 и разрезать его пополам, как бутерброд с тунцом.

Площадь такого бутерброда равна 1  1 = 1, значит, площадь каждого треугольника равна 1/2, а площадь вписанного квадрата составляет четыре раза по 1/2, то есть 2.

Кстати, предположим вы не знакомы с теоремой Пифагора. Так вот, на всякий случай сообщаю: вы ее все-таки знаете! Или как минимум знаете, что она должна гласить применительно к данному прямоугольному треугольнику. Ведь прямоугольный треугольник, представляющий собой нижнюю часть нашего бутерброда, точно такой же, как и верхний левый фрагмент вписанного квадрата. А его гипотенуза – сторона вписанного квадрата. Следовательно, если вы возведете длину гипотенузы в квадрат, то получите площадь вписанного квадрата, которая равна 2. Другими словами, длина гипотенузы есть число, квадрат которого равен 2, или, если использовать привычную и более лаконичную формулировку, квадратный корень из 2.

Вписанный квадрат полностью находится в пределах окружности. Если его площадь равна 2, площадькруга должна составлять минимум 2 единицы.

Теперь давайте нарисуем другой квадрат.

Этот квадрат, который обозначается термином «описанный квадрат», также касается окружности всего в четырех точках, но теперь окружность находится внутри него. Длина сторон такого квадрата равна 2 единицам, значит, его площадь составляет 4 единицы. Следовательно, теперь мы знаем, что площадь круга равна максимум 4 единицам.

Возможно, иллюстрация того, что число должно находиться в пределах от 2 до 4, производит не такое уж большое впечатление. Но Архимед только начинает. Возьмите четыре вершины вписанного квадрата и обозначьте на окружности новые точки, равноудаленные от каждой пары смежных вершин. Теперь у вас на окружности восемь точек, расположенных на равном расстоянии друг от друга. Соединив их, вы получите вписанный восьмиугольник, или, если говорить на техническом языке, «стоп-сигнал».

Вычислить площадь вписанного восьмиугольника немного труднее, но я не собираюсь утруждать вас тригонометрией. Важно, что мы по-прежнему имеем дело с прямыми и вершинами, а не с кривыми, поэтому данную задачу можно было решить с помощью методов, которые были в распоряжении Архимеда. Так вот, площадь восьмиугольника в два раза больше квадратного корня из 2, то есть примерно 2,83.

Вы можете сыграть в ту же игру с описанным восьмиугольником, площадь которого равна 8(2–1), немногим более 3,31.

Таким образом, площадь круга находится в пределах от 2,83 до 3,31.

Но зачем останавливаться на этом? Вы можете обозначить на окружности точки, равноудаленные от вершин восьмиугольника (вписанного или описанного), – и получите шестнадцатиугольник; дополнительные тригонометрические расчеты покажут, что площадь круга находится в пределах от 3,06 до 3,18. Проведите процедуру еще раз, чтобы получить 32-угольник, а затем повторите снова и снова – и вскоре получите нечто похожее на такую фигуру.

Но разве это не окружность? Разумеется, нет! Это правильный многоугольник с 65 536 сторонами! Неужели вы не видите?

Великое озарение Евдокса и Архимеда состоит в том, что на самом деле не имеет значения, что это за фигура – окружность или многоугольник с очень большим количеством очень коротких сторон. Площади этих двух фигур достаточно близки для любых возможных целей. Площадь небольшой области между окружностью и многоугольником была «исчерпана» в процессе нашего неутомимого последовательного приближения. Да, окружность – это кривая, это действительно так. Но каждый крохотный фрагмент этой кривой можно приблизить к идеально прямой линии, подобно тому как крохотный кусочек поверхности Земли, на котором мы стоим, приближен к идеально ровной плоскости[61].

Следует запомнить девиз: локально прямая, глобально кривая.

Или лучше представьте: вы мчитесь по направлению к окружности с большой высоты; сначала вы видите всю окружность;

затем только один сегмент дуги окружности;

а затем еще более мелкий сегмент.

Продолжайте это до тех пор, пока, приближаясь все больше и больше, вы не увидите нечто напоминающее прямую линию. Ползущему по кругу муравью, видящему лишь пространство, непосредственно его окружающее, представляется, будто он ползет по прямой. Точно так же человеку, стоящему на поверхности Земли, кажется, что он стоит на плоскости (если только он не окажется настолько проницательным, что обратит внимание, как на горизонте поднимаются приближающиеся издалека объекты).