Как не ошибаться. Сила математического мышления Элленберг Джордан
Когда вы запускаете ракету, траектория ее перемещения выглядит так.
Ракета сначала движется вверх, а затем вниз, образуя параболическую дугу. Сила тяжести изгибает любую траекторию движения по направлению к поверхности Земли; это один из самых фундаментальных законов нашей физической жизни. Но, если мы увеличим масштаб и рассмотрим очень короткий отрезок этой кривой, она будет выглядеть так.
Затем так.
Как и в случае окружности, траектория движения ракеты кажется прямой линией, направленной вверх под определенным углом. Безусловно, эта линия отклоняется под действием силы тяжести, но подобное отклонение слишком незначительно, чтобы увидеть его невооруженным глазом. Приближение к еще более мелкому участку кривой делает линию еще больше похожей на прямую. Чем больше приближение, тем ровнее участок кривой.
А теперь сделаем концептуальный скачок. Ньютон сказал: послушайте, давайте пойдем до конца. Уменьшайте поле зрения до тех пор, пока оно не станет бесконечно малой величиной – настолько малой, что она будет меньше любого размера, который вы можете назвать, но все же не равной нулю. Вы изучаете траекторию движения ракеты не на протяжении очень короткого периода, а в один момент времени. В таком случае то, что было почти прямой линией, становится в точности прямой. Наклон этой кривой Ньютон называл флюксией, а мы называем производной.
Именно этот скачок не был готов совершить Архимед. Он понимал, что многоугольники с более короткими сторонами все более и более приближаются к окружности, но он никогда не говорил о том, что в действительности окружность представляет собой многоугольник с бесконечно большим количеством бесконечно малых сторон.
Некоторые современники Ньютона также не разделяли его точку зрения. Наиболее активно возражал Ньютону Джордж Беркли, который критиковал концепцию бесконечно малых величин Ньютона в крайне издевательском тоне[63], как, к сожалению, сейчас уже не пишут в математической литературе:
А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками (ghosts) исчезнувших величин?[64]
Тем не менее исчисление бесконечно малых все-таки работает. Если вы раскрутите привязанный к веревке камень над головой, а затем резко отпустите его, он улетит по прямолинейной траектории с постоянной скоростью[65] в направлении, в котором, согласно расчетам, он движется в тот момент, когда вы его отпускаете. Это еще одна идея Ньютона: движущиеся объекты склонны перемещаться по прямолинейной траектории, если какая-то другая сила не заставляет объект отклоняться в ту или иную сторону. Это и есть одна из причин, почему линейное мышление настолько естественно для нас: интуитивное восприятие времени и движения формируется у нас под воздействием явлений, которые мы наблюдаем в окружающем мире. Еще до того, как Ньютон сформулировал свои законы, мы, люди, в глубине души знали, что все вокруг нас стремится двигаться по прямой, если только нет причин двигаться иначе.
Бесконечно малые приращения и ненужные затруднения
Критики Ньютона в чем-то были правы: его толкование производной далеко от того, что в наши дни принято называть строгой математикой. Проблема заключается в концепции бесконечно малой величины, которая на протяжении тысяч лет была для математиков камнем преткновения. Трудности начались с древнегреческого философа V столетия до нашей эры Зенона, представителя Элейской школы, который часто задавал по поводу физического мира на первый взгляд невинные вопросы, неизменно перераставшие в серьезные философские дискуссии.
Представляю вам самый знаменитый парадокс Зенона в вольном переложении. Я решаю сходить в магазин за мороженым. Конечно, я не смогу преодолеть весь путь до магазина, пока не пройду половину этого пути. А как только я пройду половину пути, я все равно не смогу добраться до магазина, пока не преодолею половину оставшегося пути. Когда я сделаю это, мне все равно предстоит преодолеть половину оставшегося расстояния – и так далее. Я могу подходить к магазину все ближе и ближе, но, сколько бы этапов этого процесса я ни прошел, на самом деле мне так и не удастся добраться до магазина. У меня всегда будет оставаться пусть крохотное, но все же ненулевое расстояние до моих двух шариков мороженого. Эта аргументация применима к любому другому пункту назначения: в равной мере невозможно перейти улицу, или сделать один-единственный шаг, или взмахнуть рукой. Любое движение исключено.
Говорят, что киник Диоген опроверг доводы Зенона довольно простым методом: он встал и прошел из одного конца комнаты в другой. Это весьма хороший довод в пользу того, что движение все же возможно, а значит, что-то не так с доводами Зенона[66]. Но где же была ошибка?
Разбейте путь в магазин на фрагменты, представленные в числовой форме. Сначала вы проходите половину пути. Затем преодолеваете половину оставшегося пути, то есть 1/4 общего расстояния, и у вас остается еще 1/4 пути. Далее половина оставшегося расстояния составляет 1/8, затем 1/16, затем 1/32. Таким образом, ваше перемещение к магазину можно представить в следующем виде:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …
Сложив десять первых членов этой последовательности, вы получите 0,999. Сумма первых двадцати членов последовательности составит 0,999999. Другими словами, вы действительно приближаетесь – очень-очень приближаетесь – к магазину. Тем не менее, сколько бы членов этой последовательности вы ни сложили, вы никогда не получите 1.
Парадокс Зенона во многом напоминает другую головоломку: равна ли периодическая десятичная дробь 0,99999… единице?
Я видел, как люди едва не вступали в драку из-за этого вопроса[67]. По этому поводу ведутся жаркие споры на самых разных веб-сайтах, от страниц фанатов игры World of Warcraft («Вселенная Варкрафта») до форумов, посвященных творчеству Айн Рэнд. Наша естественная реакция на аргументы Зенона такова: «В конечном счете вы непременно получите свое мороженое». Но в данном случае интуиция подсказывает совсем иной ответ. Большинство людей[68] (если потребовать от них однозначного ответа) скажут, что 0,9999… не равно 1. Это число даже не похоже на единицу, это уж точно. Оно меньше единицы. Однако ненамного меньше! Подобно любителю мороженого в парадоксе Зенона, оно все ближе и ближе подходит к своей цели, но похоже на то, что так и не доберется до нее.
И все-таки преподаватели математики, в том числе и я сам, скажут им: «Нет, это число равно 1».
Как мне привлечь хоть кого-нибудь на свою сторону? Один хороший способ – привести следующие доводы. Все знают, что:
0,33333… = 1/3.
Умножьте обе стороны на 3 – и получите такой результат:
0,99999… = 3/3 = 1.
Если это вас не убедило, попытайтесь умножить 0,99999… на 10, для чего нужно просто перенести десятичную запятую на одну позицию вправо.
10 (0,99999…) = 9,99999…
Теперь надо вычесть раздражающее десятичное число из обеих сторон равенства:
10 (0,99999…) 1 (0,99999…) = 9,99999… 0,99999…
Левая сторона равенства представляет собой просто 9 (0,99999…), поскольку 10 умножить на что-то минус что-то равно 9 умножить на вышеупомянутую величину. А в правой части равенства нам удалось удалить ужасное бесконечное десятичное число, после чего у нас осталось просто 9. В итоге мы получим:
9 (0,99999…) = 9.
Если 9 умножить на что бы то ни было равно 9, тогда это что-то должно быть равно 1, не так ли?
Как правило, чтобы убедить людей, подобных доводов вполне довольно. Но будем честны: в этой аргументации кое-чего не хватает. В действительности приведенные выше доводы не устраняют тревожную неопределенность, вызванную заявлением, что 0,99999… = 1; напротив, они представляют собой своего рода алгебраическое устрашение: «Вы верите в то, что 1/3 равно 0,3 в периоде, не так ли? Ведь вы действительно верите в это?»
Или еще хуже: скорее всего, вас убедили мои доводы, в основе которых лежало умножение на 10. Но как насчет следующего довода? Чему равно:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …?
Здесь многоточие означает, что мы продолжаем вычислять сумму бесконечно, каждый раз прибавляя величину, которая в два раза больше предыдущей. Очевидно, что эта сумма должна быть бесконечной! Однако довод, во многом напоминающий на первый взгляд корректный аргумент в отношении 0,99999…, как будто говорит об обратном. Умножьте представленную выше сумму на 2 – и получите:
2 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = 2 + 4 + 8 + 16 + …
Этот результат очень похож на исходную сумму; на самом деле это и есть исходная сумма (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …), но без 1 в начале, а это значит, что 2 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) меньше (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …). Другими словами:
2 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) – 1 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = 1.
Однако, выполнив упрощающие преобразования, левую сторону этого равенства можно привести к той самой сумме, с которой мы начали, получив при этом такой результат:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = 1.
Именно в это вы готовы поверить?[69] В то, что прибавление все больших и больших чисел до бесконечности приведет вас в область отрицательных чисел?
А вот еще более бредовая идея. Чему равно значение бесконечной суммы:
1 1 + 1 1 + 1 1 + …?
Кто-то может сразу же сделать вывод, что эта сумма составляет:
(1 1) + (1 1) + (1 1) + … = 0 + 0 + 0 + …,
и заявит при этом, что сумма множества нолей, пусть и бесконечно большого, должна быть равной 0. С другой стороны, 1 1 + 1 – это то же самое, что 1 (1 1), поскольку отрицательное значение отрицательного числа – число положительное. Многократное применение этой операции позволяет нам переписать нашу сумму в таком виде:
1 (1 1) (1 1) (1 1) … = 1 0 0 0 …
Данный результат точно так же требует вывода, что данная сумма равна 1!
Так чему же равна эта сумма, 0 или 1? Или она в половине случаев равна 0 и еще в половине случаев – 1? Создается впечатление, что это зависит от того, где вы остановитесь, но ведь бесконечные суммы никогда не останавливаются!
Не делайте пока никаких выводов, потому что на самом деле все еще сложнее. Предположим, наша загадочная сумма имеет значение T:
T = 1 1 + 1 1 + 1 1 + …
Умножение на 1 обеих сторон этого уравнения дает следующий результат:
T = 1 + 1 1 + 1 …
Однако сумма с правой стороны уравнения – это именно то, что вы получите, если возьмете исходную сумму, равную Т, и удалите из нее первую 1, то есть вычтете 1 из этой суммы. Другими словами:
T = 1 + 1 1 + 1 … = T 1.
Таким образом, T = T – 1 – уравнение с участием Т/em>, которое выполняется только в случае, если Т равно 1/2. Может ли сумма бесконечно большого количества целых чисел каким-то волшебным образом превратиться в дробное число? Тот, кто говорит «нет» в ответ на этот вопрос, действительно имеет право как минимум с некоторым недоверием относиться к сомнительным аргументам подобного рода. Но обратите внимание на то, что некоторые люди дают утвердительный ответ на этот вопрос, в том числе итальянский математик и священник Гвидо Гранди, именем которого обычно называют ряд 1 1 + 1 1 + 1 1 + …. В работе, опубликованной в 1703 году, Гранди привел доводы в пользу того, что сумма данного ряда равна 1/2, а также заявил, что этот удивительный вывод символизирует сотворение Вселенной из ничего. (Не беспокойтесь, я тоже не понимаю последний пункт.) Другие выдающиеся математики того времени, такие как Лейбниц и Эйлер, были согласны со странными расчетами Гранди и даже с его интерпретацией[70].
Но на самом деле решение загадки с числом 0,999… (а также парадокса Зенона и ряда Гранди) кроется несколько глубже. Вы совсем не должны поддаваться давлению моих алгебраических доводов. Например, вы можете настаивать на том, что 0,999… равно не 1, а скорее 1 минус некое крохотное бесконечно малое число. Если уж на то пошло, вы можете настаивать и на том, что число 0,333… не равно в точности 1/3, а также отличается от этого числа на некую бесконечно малую величину. Для того чтобы довести данную мысль до конца, потребуется определенное упорство, но это можно сделать. Когда-то у меня был студент по имени Брайан, который изучал математический анализ. Не удовлетворившись теми определениями, которые давались на занятиях, Брайан сам разработал довольно большой фрагмент этой теории, назвав бесконечно малые величины числами Брайана.
На самом деле Брайан не был первым, кто решил заняться этим. Существует целая область математики под названием «нестандартный анализ», которая специализируется на изучении чисел такого рода. Теория, сформулированная Абрахамом Робинсоном в середине ХХ столетия, наконец позволила понять смысл «бесконечно малых приращений», которые Беркли считал такими нелепыми. Цена, которую придется за это заплатить (или, если посмотреть на это с другой стороны, награда, которую вы за это получите), – обилие новых типов чисел, причем не только бесконечно малых, но и бесконечно больших – огромное множество чисел всех форм и размеров[71].
Так случилось, что Брайану повезло – у меня в Принстонском университете был коллега Эдвард Нельсон, крупный специалист в области нестандартного анализа. Я устроил им встречу, с тем чтобы Брайан мог больше узнать об этой области. Впоследствии Эд рассказывал мне, что та встреча прошла не очень хорошо. Как только Эд дал понять, что на самом деле бесконечно малые величины никто не будет называть числами Брайана, Брайан полностью потерял интерес к этой области математики.
(Мораль: люди, начинающие заниматься математикой ради славы и признания, задерживаются в науке ненадолго.)
Но мы так и не приблизились к разрешению нашего спора. Что представляет собой число 0,999… на самом деле? Это 1? Или это некое число, на бесконечно малую величину меньшее 1, – число, принадлежащее к совершенно необычному классу чисел, который даже не был открыт сотню лет назад?
Правильный ответ состоит в том, чтобы вообще не задавать такого вопроса. Что представляет собой число 0,999… на самом деле? По всей вероятности, некую сумму такого рода:
0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + …
Но что она значит? Настоящая проблема заключается в злополучном многоточии. Не может быть никаких споров по поводу того, что значит сумма двух, трех или сотни чисел. Перед нами всего лишь математическое обозначение физического процесса, который мы прекрасно понимаем: возьмите сотню куч чего угодно, смешайте их вместе и определите, сколько и чего у вас получилось. Но бесконечно большое количество? – это совсем другая история. В реальном мире вы не можете получить бесконечно большое количество множеств. Чему равно числовое значение бесконечной суммы? Его не существует – пока мы не зададим это значение. В чем и состояла новаторская идея Огюстена Луи Коши, который в 1820-х годах ввел в математический анализ понятие предела[72].
Лучше всего это объясняет Годфри Гарольд Харди в книге Divergent Series («Расходящиеся ряды»), опубликованной в 1949 году:
Это замечание сейчас тривиально: современному математику и не придет в голову, что какое-либо соединение математических символов может иметь «смысл» до того, как ему придан смысл с помощью определения. Но это не было тривиальностью даже для наиболее выдающихся математиков восемнадцатого века. Определения не были в их обычае; для них не было естественно говорить: «под X мы понимаем Y». С некоторыми оговорками… верно будет сказать, что математики до Коши спрашивали не «как определить 1 1 + 1 1 + …?», а «что есть 1 1 + 1 1 + …?»; и этот склад мышления приводил их к ненужным затруднениям и спорам, зачастую носившим, по существу, чисто словесный характер[73].
И это не просто непринужденный математический релятивизм. Тот факт, что мы можем придать какой угодно смысл той или иной последовательности математических символов, совсем не означает, что нам следует это делать. В математике, как и в жизни, есть как хороший, так и плохой выбор. В математическом контексте правильным считается выбор, позволяющий устранить ненужные затруднения, не создавая новых.
Чем больше членов ряда вы суммируете, тем ближе сумма 0,9 + 0,09 + 0,009 + … приближается к 1. И эта сумма никогда не превысит данное значение. Какое бы плотное оцепление мы ни устроили вокруг числа 1, в конце концов эта сумма после определенного конечного количества шагов пройдет сквозь него, но так и не выйдет наружу с другой стороны. По утверждению Коши, при таких обстоятельствах нам следует просто установить значение бесконечной суммы равным 1. Затем он приложил немало усилий, чтобы доказать, что установление такого значения не приводит к появлению глубоких противоречий где бы то ни было. К моменту окончания своей работы Коши создал понятийный аппарат, сделавшим исчисление Ньютона абсолютно строгим. Когда мы говорим, что в локальном масштабе под определенным углом кривая напоминает прямую линию, то под этим подразумевается примерно следующее: по мере увеличения масштаба эта кривая все больше напоминает прямую линию. В формулировке Коши нет необходимости ссылаться на бесконечно малые числа или любое другое понятие, которое заставило бы скептика побледнеть.
Разумеется, этому есть своя цена. Трудность задачи с числом 0,999… объясняется тем, что она вступает в конфликт с нашим внутренним чутьем. С одной стороны, нам хотелось бы, чтобы сумму бесконечного ряда можно было получить посредством арифметических манипуляций, подобных тем, которые представлены на предыдущих страницах, а в этом случае такая сумма должна быть равной 1. С другой стороны, мы желали бы, чтобы каждое число было представлено в виде уникальной цепочки десятичных цифр, что противоречит утверждению: одно и то же число можно назвать либо 1, либо 0,999… – как нам больше нравится. Мы не можем удовлетворить оба этих желания одновременно – от какого-то из двух придется отказаться. Согласно подходу Коши, который в полной мере доказал свою состоятельность за два столетия, прошедшие с тех пор, как он сформулировал этот подход, отбросить следует именно уникальность разложения на десятичные дроби. Нас не смущает тот факт, что в английском языке две разные цепочки букв (то есть два слова) порой используются для синонимичного обозначения одной и той же вещи; точно так же нет ничего плохого и в том, что разные последовательности цифр могут обозначать одно и то же число.
Что касается ряда Гранди 1 1 + 1 1 + …, он принадлежит к числу рядов, находящихя за пределами теории Коши; другими словами, это один из расходящихся рядов, о которых идет речь в книге Харди. Норвежский математик Нильс Хенрик Абель, один из первых сторонников подхода Коши, написал в 1828 году следующее: «Расходящиеся ряды – это изобретение дьявола, и постыдно основывать на них какое бы то ни было доказательство»[74]. В наше время мы придерживаемся именно точки зрения Харди. Она более терпима: существуют расходящиеся ряды, которым мы должны приписать какое-то значение, а также ряды, в случае которых нам не следует этого делать, – все зависит от контекста, в котором возникает тот или иной ряд. Современные математики сказали бы, что если нам необходимо присвоить какое-то значение ряду Гранди, то это должно быть 1/2, поскольку, как оказалось, все интересные теории, описывающие бесконечные суммы, либо присваивают этому ряду значение 1/2, либо (подобно теории Коши) вообще отказываются приписывать какое бы то ни было значение сумме этого ряда[75].
Чтобы записать точные определения Коши, потребуется приложить немного больше усилий. В частности, это касалось и самого Коши, который не составил достаточно четкого описания своих идей в том виде, в котором они известны в настоящее время[76]. (В математике редко бывает так, что автор идеи дает самое четкое ее описание.)[77] Коши был убежденным консерватором и монархистом, но в области математики он оказался знающим себе цену мятежником и настоящим бедствием для академических властей. Как только Коши понял, как можно обойтись без опасных бесконечно малых величин, он по собственной инициативе переписал свой учебный план в Политехнической школе (cole Polytechnique) таким образом, чтобы тот отображал его новые идеи. Все окружение Коши пришло от этого в ярость: обманутые студенты, записавшиеся на курс изучения основ математического анализа, а не на семинар по новейшим достижениям в области чистой математики; коллеги, считавшие, что студентам, изучающим в Политехнической школе инженерное дело, не нужен предложенный Коши уровень математической строгости; администраторы, распоряжения которых по поводу необходимости придерживаться официальной программы курса обучения Коши полностью игнорировал. Администрация Политехнической школы ввела новый учебный план по математическому анализу и посадила на занятиях Коши стенографистов, чтобы удостовериться, что он будет придерживаться этого плана. Но Коши не стал этого делать. Его мало волновали потребности инженеров. Его интересовала истина[78].
С педагогической точки зрения, трудно защищать поведение Коши. Тем не менее я с пониманием отношусь к его позиции. Одна из величайших радостей математики – неоспоримое ощущение, что ты поймал правильную мысль и докопался до самого ее основания. Такого чувства я не испытывал ни на одном другом уровне своей психической деятельности. А когда вы знаете, как делать что-то правильно, трудно (а для некоторых упрямцев просто невозможно) заставить себя объяснить это неверным способом.
Глава третья. Поголовное ожирение
Комический актер Евгений Мирман часто рассказывает историю, имеющую прямое отношение к статистике. По его словам, он любит повторять на своих выступлениях одну фразу: «Я читал, что сто процентов американцев – азиаты». Какой-нибудь озадаченный зритель обязательно возразит: «Но Юджин, вы же не азиат». В ответе артиста и содержится вся соль шутки: «Но я читал, что я азиат!»
Я вспомнил эту реплику Мирмана, когда натолкнулся в журнале Obesity на статью, в заголовке которой был поставлен весьма неприятный вопрос: «Будут ли все американцы страдать избыточным весом и ожирением?»[79] Как будто одной постановки вопроса было недостаточно, в статье дается ответ: «Да – к 2048 году».
Ровно в 2048 году мне стукнет семьдесят семь, и хотелось бы верить, что в столь почтенном возрасте я все-таки останусь при своем весе и не буду страдать ожирением. Но я читал, что буду!
Статья в журнале Obesity вызвала широкие дискуссии в прессе. В новостях предупреждали о наступлении «ожирения как катастрофы современности»[80]. В Long Beach Press-Telegram была опубликована статья с простым заголовком: We’re Getting Fatter («Мы становимся все более толстыми»)[81]. Результаты исследования, проведенного автором этой статьи, перекликались с последним проявлением лихорадочной, постоянно меняющейся озабоченности американцев по поводу морального статуса нашей страны. Еще до моего рождения парни отращивали длинные волосы, а значит, мы были обречены на то, что коммунисты одержат над нами верх. Когда я был ребенком, мы слишком много играли в аркадные игры[82], что обрекало нас на проигрыш в конкурентной борьбе с трудолюбивыми японцами. Сейчас мы едим слишком много фастфуда, поэтому умрем слабыми и неспособными к самостоятельному передвижению, в окружении пустых пакетов от курятины, запихнутых под диваны, с которых мы уже давно не в состоянии подняться. В статье эта озабоченность была представлена в качестве научно доказанного факта.
Спешу вас обрадовать. Не все из нас в 2048 году будут страдать ожирением[83]. Почему? Потому что не все линии прямые.
Тем не менее, как мы узнали от Ньютона, каждая линия достаточно близка к прямой. Эта идея лежит в основе линейной регрессии – статистического метода, имеющего для социологии то же значение, что и отвертка при ремонте дома. Это инструмент, которым вы почти наверняка воспользуетесь, какая бы задача перед вами ни стояла. Каждый раз, когда вы читаете в газете, что: люди, у которых много двоюродных братьев и сестер, чувствуют себя более счастливыми; граждане стран, где шире представлена сеть экспресс-кафе «Бургер Кинг», больше придерживаются свободной морали; сокращение приема ниацина повышает риск дерматофитоза в два раза; каждые 10 тысяч долларов дохода на 3 % повышают вероятность, что вы проголосуете за республиканцев, – во всех этих случаях вы имеете дело с результатом, полученным методом линейной регрессии[84].
Вот как это работает. Вы хотите установить взаимозависимость между двумя параметрами, скажем между стоимостью обучения в университете и средним баллом по отборочному тесту SAT принятых на учебу студентов. Возможно, вы считаете: чем выше средний балл SAT, тем дороже учебное заведение, – но посмотрите на данные, которые говорят, что это далеко не универсальный закон. В Университете Элона, расположенном на окраинах Берлингтона (штат Северная Каролина), средний совокупный результат по математике и английскому языку составляет 1217 баллов; при этом университет взимает плату за обучение в размере 20 441 доллара в год. Обучение в Колледже Гилфорда, расположенном рядом, в городе Гринсборо, обходится немного дороже – 23 420 долларов, но средний результат первокурсников по SAT составляет там всего 1131 балл.
Вместе с тем, если вы посмотрите на весь список учебных заведений Северной Каролины – тридцать один частный университет, данные об оплате за обучение и о среднем балле которых были представлены в 2007 году в «Сети ресурсов для построения карьеры штата Северная Каролина», – вы увидите четкую тенденцию[85].
На представленном ниже рисунке каждая точка графика соответствует одному из колледжей. Вы видите те две точки, которые находятся в правом верхнем углу, с высоким средним баллом SAT и столь же высокой платой за обучение? Это Университет Уэйк Форест и Университет Дэвидсона. Одинокая точка в нижней части рисунка соответствует единственному частному учебному заведению в этом списке, плата за обучение в котором меньше 10 тысяч долларов, – Колледжу медицинских наук Кабаррус.
Данный рисунок четко показывает, что в учебных заведениях с более высоким средним баллом SAT цена за обучение, как правило, выше. Но насколько выше? Именно здесь на сцену выходит линейная регрессия. Очевидно, что точки на рисунке не образуют прямую линию, но видно, что они находятся не так уж далеко от прямой. Пожалуй, можно было бы вручную нарисовать прямую линию, проходящую посередине этого облака точек. Линейная регрессия исключает угадывание и позволяет найти прямую линию, максимально приближенную ко всем точкам[86]. В случае университетов штата Северная Каролина эта прямая выглядит так, как на следующем рисунке.
Коэффициент наклона изображенной на рисунке прямой равен 28. Это означает следующее: если плата за обучение зависела бы только от баллов SAT, которые задает прямая на графике, тогда на каждый балл SAT приходилось бы дополнительных 28 долларов платы за обучение. Если вам удалось бы поднять средний балл первокурсников на 50 пунктов, тогда вы могли бы назначить более высокую плату за обучение – на 1400 долларов. (Или, с точки зрения родителей, если ваш ребенок на 100 баллов улучшит свой результат отборочного теста, это обойдется вам в дополнительных 2800 долларов в год. Курс по подготовке к тесту оказался более дорогим, чем вы думали!)
Линейная регрессия представляет собой замечательный инструмент: гибкий, масштабируемый и легкий в применении (вы просто нажимаете соответствующую кнопку электронной таблицы). Этот инструмент можно применять к двум наборам данных с участием двух переменных, как в приведенном выше примере, но он работает не менее эффективно и в случае трех или даже тысячи переменных. Каждый раз, когда вам нужно понять, как одни переменные меняют другие переменные и в каком направлении, линейная регрессия – это первое, что следует использовать. Этот инструмент применим буквально к любому набору данных.
Однако в этом заключается не только сильная, но и слабая сторона линейной регрессии. Вы можете применить этот метод, не задумываясь, действительно ли феномен, который вы пытаетесь моделировать, близок к линейному. Но вы не должны так делать. Я сказал, что линейная регрессия подобна отвертке – что действительно так; однако в другом смысле она скорее напоминает циркулярную пилу. Если вы примените этот инструмент без тщательного анализа того, что вы делаете, результаты могут оказаться плачевными.
Возьмем в качестве примера ракету, которую мы с вами запустили в предыдущей главе. Возможно, вы не имеете никакого отношения к ее запуску. А может быть, напротив, представляете собой ту цель, на которую эта ракета направлена. В последнем случае вы особенно заинтересованы в как можно более точном анализе траектории движения ракеты.
Вы могли бы нанести на график положение ракеты по вертикали в пяти точках по времени. Такой график выглядит следующим образом.
Теперь вы в состоянии быстро выполнить линейную регрессию, получив замечательный результат: линию, которая проходит почти через все точки на графике.
(В этот момент ваша рука начинает приближаться к острому полотнищу циркулярной пилы.)
Построенная вами линия представляет собой весьма точную модель движения ракеты: за каждую минуту ракета поднимается на определенное фиксированное расстояние, скажем на 400 метров. Через час ракета окажется в 24 километрах над поверхностью земли. Когда же она опустится на поверхность? Никогда! Направленная вверх наклонная прямая линия по-прежнему стремится вверх. Именно так ведут себя прямые.
(Кровь, травмы, вопли.)
Однако не каждая линия является прямой. А траектория полета ракеты несомненно представляет собой не прямую, а параболу. Подобно окружности Архимеда, вблизи она действительно похожа на прямую, поэтому линейная регрессия сослужит вам большую службу, позволив определить местоположение ракеты через пять секунд после запуска. Но через час? Даже не думайте об этом. Ваша модель говорит о том, что через час ракета находится в нижних слоях стратосферы, хотя на самом деле она, возможно, уже приближается к вашему дому.
Возможно, самое образное предостережение в отношении бездумной линейной экстраполяции сформулировал не статистик, а Марк Твен в романе Life on the Mississippi («Жизнь на Миссисипи»):
…Длина Миссисипи между Каиром и Новым Орлеаном сто семьдесят шесть лет тому назад была тысяча двести пятнадцать миль. После прорыва русла в 1722 году длина стала тысяча сто восемьдесят миль. Когда образовался рукав у Американской излучины, длина стала тысяча сорок миль. С тех пор этот участок реки укоротился еще на шестьдесят семь миль. Следовательно, сейчас ее длина между Каиром и Новым Орлеаном всего девятьсот семьдесят три мили.
…За сто семьдесят шесть лет Нижняя Миссисипи укоротилась на двести сорок две мили, то есть в среднем примерно на милю и одну треть в год. Отсюда всякий спокойно рассуждающий человек, если только он не слепой и не совсем идиот, сможет усмотреть, что в древнюю силурийскую эпоху, – а ей в ноябре будущего года минет ровно миллион лет – Нижняя Миссисипи имела свыше миллиона трехсот тысяч миль в длину и висела над Мексиканским заливом наподобие удочки. Исходя из тех же данных, каждый легко поймет, что через семьсот сорок два года Нижняя Миссисипи будет иметь только одну и три четверти мили в длину, а улицы Каира и Нового Орлеана сольются, и будут эти два города жить да поживать, управляемые одним мэром и выбирая общий городской совет. Все-таки в науке есть что-то захватывающее. Вложишь какое-то пустяковое количество фактов, а берешь колоссальный дивиденд в виде умозаключений. Да еще с процентами[87].
Ремарка в сторону: как получить зачетные баллы на моем экзамене по математическому анализу
Методы математического анализа во многом похожи на линейную регрессию: они носят сугубо механический характер, с ними вполне может справиться ваш калькулятор, а невнимательное применение этих методов сопряжено с большими опасностями. На экзамене по матану вам могут предложить рассчитать вес воды, оставшейся в кувшине после того, как вы проделаете в нем отверстие и позволите воде вытекать определенным потоком на протяжении определенного промежутка времени, и тому подобное. Решая задачу такого рода в условиях нехватки времени, вполне можно сделать арифметические ошибки. Порой это приводит к тому, что тот или иной студент получает нелепый результат, например что вес воды в кувшине составляет 4 грамма.
Если студент получает результат «4 грамма» и в отчаянии торопливо пишет «Я где-то напортачил, но не могу найти ошибку», я даю такому студенту половину зачетных баллов за экзамен.
Если же студент просто пишет «4 грамма» в конце страницы и обводит этот результат кружком, он получает ноль зачетных баллов – даже если вся процедура вывода этого результата была правильной, за исключением того, что где-то посередине страницы единственная цифра оказалась не на своем месте.
Вычисление интеграла или выполнение линейной регрессии – это задачи, которые достаточно эффективно может решать компьютер. Понимание того, имеет ли полученный результат смысл (или принятие решения, стоит ли вообще применять соответствующий метод в данном случае), требует направляющей человеческой руки. Когда мы преподаем математику, предполагается, что нужно объяснить учащимся, как стать таким проводником. Курс математики, который не делает этого, по существу учит студента выполнять функции дефектной версии Microsoft Excel.
Будем откровенны: именно это и происходит на большинстве наших мтематических курсов. Сокращенная история споров (сама представляющая собой предмет споров) состоит в том, что преподавание математики детям вот уже несколько десятилетий является ареной так называемых математических войн. По одну сторону этого противостояния находятся учителя, которые предпочитают делать акцент на запоминании, беглости, традиционных алгоритмах и точных ответах, а по другую сторону – учителя, считающие, что в основе преподавания математики должно лежать выяснение смысла, развитие способов мышления, обучение методом направляемых открытий и аппроксимация. Первый подход называют порой традиционным, а второй – реформистским, хотя предположительно нетрадиционный подход к обучению посредством открытий используется в той или иной форме вот уже десятки лет, а действительно ли так называемые реформы можно считать реформами – это и есть предмет споров. Споров весьма ожесточенных. Во время званого математического ужина вполне прилично обсуждать политические или религиозные вопросы, но начните спорить о математической педагогике – и это грозит закончиться тем, что кто-то из сторонников либо традиционного, либо реформистского подхода обидится и хлопнет дверью.
Я не причисляю себя ни к одному из этих лагерей. Мне не по пути с теми реформистами, которые хотят отказаться от заучивания таблицы умножения наизусть. В процессе серьезных математических размышлений вам неизбежно понадобится умножить 6 на 8, но, если каждый раз для этого доставать калькулятор, вам не удастся достичь того состояния интеллектуальной спонтанности, которая требуется для процесса размышлений. Нельзя написать сонет, выискивая в словаре значение каждого слова.
Некоторые сторонники реформистского подхода заявляют, что классические алгоритмы (например, «сложить два двузначных числа, расположив одно над другим столбиком и в случае необходимости выполнив перенос») следует исключить из учебного курса, чтобы они не мешали ученикам самостоятельно обнаруживать свойства математических объектов[88].
С одной стороны, я считаю эту мысль ужасной: такие алгоритмы представляют собой полезные инструменты, над разработкой которых кто-то упорно работал, и нет никаких оснований начинать все с нуля.
С другой стороны, мне кажется, что в современном мире вполне можно отказаться от некоторых алгоритмов. Например, нам нет необходимости учить студентов извлекать квадратные корни вручную или в уме (хотя второй из этих двух навыков, говорю вам по собственному опыту, можно использовать в качестве замечательного фокуса на вечеринке в кругу яйцеголовых). Калькулятор – не менее полезный инструмент, над созданием которого кто-то упорно трудился; мы также должны использовать этот инструмент, когда того требует ситуация! Меня даже не интересует, могут ли мои студенты разделить 430 на 12 посредством деления столбиком. Меня на самом деле
Читать бесплатно другие книги:
