Математические головоломки профессора Стюарта Стюарт Иэн

Сложно, как азбука

Время от времени математикам на ум приходят безумные, на первый взгляд, идеи, влекущие за собой, как оказывается позже, громадные последствия. ABC-гипотеза – из их числа.

Помните Великую теорему Ферма? В 1637 г. Пьер де Ферма высказал гипотезу о том, что если n 3, то уравнение Ферма

aⁿ + bⁿ = cⁿ

не имеет ненулевых целых решений. С другой стороны, при n = 2 таких решений бесконечно много, вспомнить хотя бы пифагорову тройку 3 + 4 = 5. Прошло 358 лет, прежде чем правоту Ферма доказали Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор (см. «Кабинет…» с. 50).

Дело сделано, можно было бы подумать. Но в 1983 г. Ричард Мейсон вдруг понял, что никто и никогда не рассматривал внимательно Великую теорему Ферма для первых степеней:

a + b = c.

Не нужно быть алгебраическим гением, чтобы найти решения этого уравнения: 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4. Но Мейсон задумался, не станет ли этот вопрос интереснее, если наложить на a, b и c более серьезные ограничения. В результате возникла новая блестящая догадка и родилась новая гипотеза – так называемая гипотеза ABC (или гипотеза Эстерле – Массера), которая произведет настоящую революцию в теории чисел, если кому-нибудь удастся ее доказать. В ее пользу имеется огромное количество численных свидетельств, но доказательство пока, похоже, ускользает, за возможным исключением работы Синити Мотидзуки. Я еще вернусь к ней, когда мы разберемся, о чем, собственно, идет речь.

Более 2000 лет назад Евклид знал, как можно найти все пифагоровы тройки при помощи того, что мы сегодня называем алгебраическими формулами. В 1851 г. Жозеф Лиувилль доказал, что для уравнения Ферма при n 3 подобной формулы не существует. Мейсон заинтересовался более простым уравнением:

a (x) + b (x) = c (x),

где a (x), b (x) и c (x) – многочлены. Многочлен – это алгебраическая комбинация степеней x, такая, к примеру, как 5x⁴ – 17x³ + 33x – 4.

Решения, опять же, найти несложно, но они не могут все быть «интересными». Степенью многочлена называется наибольшая степень x, которая в нем присутствует. Мейсон доказал, что если это уравнение верно, то степени a, b и c меньше числа различных комплексных решений x уравнения a (x) b (x) c (x) = 0. Оказалось, что У. Уилсон Стозерс доказал то же самое в 1981 г., но Мейсон развил эту идею дальше.

Специалисты по теории чисел часто ищут аналогии между многочленами и целыми числами. Естественным аналогом теоремы Мейсона – Стозерса могла бы быть такая: пусть a + b = c, где a, b и c – целые числа, не имеющие общих делителей. Тогда число простых делителей у каждого из чисел a, b и c меньше числа различных простых делителей abc.

К несчастью, очевидно, что это утверждение неверно. Так, если взять сумму 9 + 16 = 25, то имеем 9 = 3 3 (2 делителя), 16 = 2 2 2 2 (4 делителя) и 25 = 5 5 (2 делителя). А их произведение abc = 9 16 25 имеет лишь три различных простых делителя (2, 3 и 5). Упс. Однако математики не сдаются. В данном случае они попытались модифицировать это утверждение так, чтобы оно выглядело правдоподобным. В 1985 г. Дэвид Массер и Жозеф Эстерле сделали именно это. Их вариант утверждения выглядит так:

«Для любого > 0 существует лишь конечное число троек положительных целых чисел, не имеющих общих делителей и удовлетворяющих уравнению a + b = c, таких, что с > d1 + , где d обозначает произведение различных простых делителей abc».

Это и есть гипотеза ABC. Если бы ее удалось доказать, многие глубокие и сложные теоремы, доказанные в последние десятилетия с огромными усилиями и самыми хитроумными методами, оказались бы ее прямыми следствиями и получили более простые доказательства. Более того, все эти доказательства были бы очень похожи между собой: провести несложную рутинную подготовку, а затем применить «теорему ABC», как она бы тогда называлась. Эндрю Грэнвилл и Томас Такер[35] пишут, что разрешение этой гипотезы произвело бы «…необычайный эффект на наши представления о теории чисел. Доказательство или опровержение ее было бы ошеломительным».

Но вернемся к Мотидзуки, уважаемому специалисту по теории чисел с солидным багажом исследований. В 2012 г. он изложил предполагаемое доказательство гипотезы ABC в серии из четырех препринтов – статей, не представленных пока для официальной публикации. Вопреки его намерениям эта публикация привлекла внимание средств массовой информации, хотя с его стороны, конечно, было наивно полагать, что подобного исхода удастся избежать. В настоящее время специалисты проверяют 500 или около того страниц принципиально новой математики, из которых состоит доказательство. Это занимает много времени и усилий, потому что идеи в нем формализованны, сложны и необычны; однако никто не отвергает доказательство только по этой причине. Одна ошибка уже найдена, но Мотидзуки заявил, что она не портит доказательство. Он продолжает публиковать отчеты по ходу проверки, а эксперты продолжают свою работу.

Кольца из правильных многогранников

Восемь одинаковых кубов, плотно составленных гранями, образуют куб вдвое большего размера. Восемь кубов можно составить и так, чтобы они образовали «кольцо» – объемную фигуру с отверстием, топологичеси – тор.

Приложив некоторые усилия, можно проделать то же самое с тремя другими правильными многогранниками: октаэдром, додекаэдром и икосаэдром. Во всех четырех случаях многогранники совершенно правильные и стыкуются друг с другом в точности: это очевидно для кубов и прямо следует из симметрии для трех остальных многогранников.

Однако всего существует пять правильных многогранников, и для одного из них – тетраэдра – этот метод не работает. Поэтому в 1957 г. Гуго Штейнгауз задал вопрос о том, можно ли склеить некоторое количество одинаковых правильных тетраэдров гранью к грани так, чтобы они образовали замкнутое кольцо. Ответ на его вопрос был дан годом позже, когда С. Сверчковский доказал, что подобная комбинация невозможна. Тетраэдр – особый многогранник.

Однако в 2013 г. Майкл Элгерсма и Стэн Вэгон открыли красивое восьмисторонне-симметричное кольцо из 48 тетраэдров. Неужели Сверчковский ошибся?

Вовсе нет, как объяснили Элгерсма и Вэгон в своей статье, посвященной этому открытию. Если изготовить эту комбинацию из правильных тетраэдров, останется небольшой разрыв. Этот разрыв можно закрыть, если удлинить ребра, показанные на рисунке жирными линиями, с 1 до 1,00274, примерно на одну пятисотую, чего человеческий глаз заметить не в состоянии.

Сверчковский спрашивал: если взять много тетраэдров и составить их в кольцо с разрывом, то насколько маленьким может оказаться этот разрыв? Можно ли сделать его сколь угодно маленьким по отношению к размеру одного тетраэдра за счет использования достаточно большого их числа? Ответ на этот вопрос неизвестен до сих пор, при условии что тетраэдры не могут пересекаться друг с другом, однако Элгерсма и Вэгон доказали, что, если разрешить взаимопроникновение, ответ должен быть положительным. К примеру, 438 тетраэдров оставляют разрыв, составляющий примерно одну десятитысячную длины ребра.

Авторы предположили, что ответ должен быть положительным, даже если тетраэдрам не разрешено пересекаться, но конструкции при этом должны возникать значительно более сложные. В доказательство они нашли серию колец со все уменьшающимися разрывами. Нынешний рекорд, открытый в 2014 г., представляет собой почти замкнутое кольцо из 540 непересекающихся тетраэдров с разрывом 5 10^–18.

Дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».

Задача о квадратном колышке

Эта математическая загадка оставалась нерешенной больше 100 лет. Правда ли, что любая простая (без самопересечений) замкнутая кривая на плоскости содержит четыре точки, представляющие собой углы квадрата с ненулевой стороной?

Под «кривой» здесь подразумевается непрерывная линия без разрывов, не обязательно гладкая. Она может иметь острые углы и вообще может быть бесконечно извилистой. Мы настаиваем на ненулевой стороне квадрата, чтобы избежать тривиального ответа, когда одна и та же точка представляет все четыре угла.

Первое печатное упоминание о задаче с квадратным колышком появилось в 1911 г. в ходе конференции на семинаре, который проводил Отто Тёплиц; судя по всему, было обещано доказательство. Однако никакого доказательства опубликовано не было. В 1913 г. Арнольд Эмч доказал, что это утверждение верно для гладких выпуклых кривых, но добавил, что услышал о задаче не от Тёплица, а от Обри Кемпнера. Это утверждение было доказано для выпуклых кривых, аналитических кривых (определяемых сходящимися степенными рядами), достаточно гладких кривых, кривых с симметрией, звездчатых дважды дифференцируемых кривых, пересекающих любую окружность в четырех точках…

В общем, вы поняли. Множество технических гипотез, но никакого общего доказательства и никаких контрпримеров. Может быть, да, может быть, нет. Кто знает?

Существуют обобщения. В Задаче о прямоугольном колышке спрашивается, действительно ли для любого действительного числа r 1 любая гладкая простая замкнутая кривая на плоскости содержит четыре вершины прямоугольника с отношением сторон r: 1. Доказан только случай квадратного колышка (r = 1). Существуют также несколько расширений на более высокие размерности при очень сильных ограничениях.

Невозможный маршрут

Из мемуаров доктора Ватсапа

С тяжелым сердцем…

Я бросил перо, вновь охваченный горем. Дьявольское отродье! Махинации профессора Могиарти вызвали безвременную кончину одного из величайших детективов, когда-либо хромавших по улицам Лондона под видом пожилого русского торговца рыбой. Великолепнейший ум, с каким мне приходилось сталкиваться, выслежен преступником, который – пока Сомс не избавился от него такой страшной ценой! – имел касательство ко всем злодействам в нашем королевстве. За исключением того идиота, который постоянно ставит свой экипаж прямо под нашим окном, где его лошадь…

Позвольте вашему скромному летописцу утереть скупую мужскую слезу и поведать вам об этих трагических событиях.

Целую неделю Сомс пребывал в дурном настроении. Я заподозрил, что он чем-то расстроен, когда он начал навешивать на окно шестой замок и устанавливать третий пулемет Гатлинга.

– Можно и так сказать, – ответил он, когда я озвучил свои подозрения. – Вы бы тоже расстроились, если бы вам едва удалось увернуться от падающего рояля по дороге в парикмахерскую – фирмы Chickering, между прочим, я сразу понял по чугунной раме. Не успел я собраться с мыслями, как мне уже пришлось отпрыгивать с пути ломовой телеги с пивной бочкой, которую понесла четверка лошадей – и которая взорвалась через мгновение после того, как я предусмотрительно укрылся за удачно подвернувшейся стенкой. Эта стенка тут же обрушилась в глубокую яму, что чуть не выбило меня из того скромного равновесия, которое мне удавалось еще сохранять, но я умудрился удержаться наверху, воспользовавшись крюком-кошкой, который всегда ношу в кармане на случай подобных происшествий. Для удобства он складывается, и веревка на нем легкая, но прочная. После этого ситуация несколько осложнилась.

Если бы я хуже знал своего друга, то подумал бы, что он потрясен.

– А вам не пришло в голову, Сомс, что кто-то, может быть, хочет навредить вам?

Он уважительно фыркнул на мою проницательность (по крайней мере, мне так показалось) и уверенно заявил:

– Это Могиарти. Но на этот раз я правильно его оценил. Прямо сейчас, пока мы с вами беседуем, реализуется мой хитрый план и все полицейские Лондона набрасываются на этого… Веллингтона преступного мира… и его миньонов. Скоро все они окажутся за решеткой, и тогда… веревка!

В дверь постучали, и появился какой-то уличный мальчишка.

– Телеграмма для его милости! – Сомс взял клочок бумаги и вручил мальчишке двухпенсовую монету.

– Нынче это стоит шесть пенсов, – заявил мальчишка.

– Кто это сказал?

– Тот, через дорогу, дяденька. Этот мистер Шер…

– Если ты не исчезнешь сейчас же, добавлю подзатыльник, – сказал Сомс. Мальчишка ушел, недовольно бормоча что-то себе под нос. Сомс развернул сложенную бумагу. – Несомненно, известие об успехе опера… – не договорив, он умолк.

– Что такое? – с тревогой спросил я. Лицо Сомса смертельно побледнело.

– Могиарти ушел!

– Как?

– Под видом полицейского.

– Хитрый дьявол!

– Но я знаю, куда он направился, Ватсап. У вас десять минут, чтобы сбегать домой и собрать вещи. После этого мы отправимся в путь: сначала на пароме на материк, потом на нескольких поездах, в карете, в бричке, в омнибусе и на двух осликах. По одному на каждом.

– Но… Сомс! Мы с Беатрис женаты меньше месяца! Я не могу уехать…

– Вашей молодой жене придется со временем привыкнуть к подобным вещам, Ватсап, если мы собираемся продолжать нашу совместную деятельность

– Это правда, но…

– Поверьте мне, самое время начать. Разлука укрепляет сердечную привязанность. Собака – лучшийдруг… в общем, достаточно клише. Ее брат позаботится о ней, пока вы будете в отъезде. Шести недель должно хватить.

Я понял, что он не стал бы просить меня поехать с ним без самой что ни на есть убедительной причины. Я ему нужен, и я должен оказаться на высоте, чего бы это ни стоило мне лично.

– Очень хорошо, – сказал я, стараясь не обращать внимания на самые дурные предчувствия. – Беатрис поймет. Куда мы едем?

– К Штикельбахскому водопаду, – еле слышно ответил он.

Я невольно вздрогнул. Это название вселяло ужас в сердце даже самого опытного альпиниста.

– Сомс! Это же самоубийство!

Он пожал плечами.

– Именно там мы найдем Могиарти. Но сначала нужно туда попасть, – и он вытащил карту.

– На карте показан интересующий нас район Швейцарии. Обратите внимание на речную сеть. Истоки рек находятся на севере, а вниз по течению они уходят за границы страны. Штикельбахский водопад располагается на конце небольшой речушки, которая ответвляется от более крупной реки.

– А куда эта река девается после водопада?

– Уходит под землю и дальше течет по какому-то подземному руслу. Никто не знает, где она вновь выходит на поверхность.

– Странная какая-то геология, Сомс.

– В Швейцарии очень сложный рельеф, Ватсап. Так, идем дальше. Имеется шесть мостов, которые я означил A, B, C, D, E, F. Это единственные мосты в пределах швейцарских границ, соединяющие показанные области. Омнибус останавливается в маленьком городке Фрошмёйзекриг. Там мы наймем осликов и направимся к водопаду. Мы должны все время оставаться в Швейцарии: довольно трудно незаметно пересечь границу государства даже один раз, и было бы в высшей степени неразумно с нашей стороны повторить такую попытку. Я уже выработал маршрут, но, может быть, у вас будут идеи получше.

Я внимательно изучил карту.

– Ну это же просто! Мы проедем по мосту A.

– Нет, Ватсап. Это слишком очевидно. Могиарти будет ждать нас там, это не годится. Мы должны оставить мост A напоследок в надежде сбить злодея со следа. Кроме того, нам следует пересекать каждый мост не более одного раза, чтобы по возможности не привлекать нежелательное внимание и не быть узнанными.

– Тогда мы должны начать с моста B, – сказал я. – Единственное продолжение пути оттуда идет через C, затем D. После этого у нас будет выбор между E и F. Тот и другой ведут к водопаду, так что можно выбрать, к примеру, E. Готово!

– Как я сказал, последним должен идти мост A. Не E.

– Ах да. Тогда мы проходим по A… Нет, это тупик, оттуда к водопаду не попадешь. Поэтому оставим A на потом и пройдем по F… Но нет: это тоже тупик.

Сомс непонятно хмыкнул. Я проверил свой анализ еще раз.

– Может быть, мост F… нет. Если после D мы воспользуемся F, а не E, возникнут те же проблемы. Такого пути не существует, Сомс! – неожиданно меня осенило. – Может, там есть туннель или еще какая-то возможность пересечь одну из рек. Какой-нибудь паром? Или каноэ?

– Нет там никаких туннелей, паромов и каноэ, и нам не надо пересекать реки иначе, чем по мостам. Мостов и твердой земли вполне достаточно.

– Но тогда это невозможно, Сомс!

Он улыбнулся.

– Но, Ватсап, я уже сказал вам, что маршрут, удовлетворяющий всем условиям, существует. На самом деле таких маршрутов существует аж восемь штук, причем разных – то есть в каждом из них мосты пересекаются в разном порядке.

– Восемь? Признаюсь, я не вижу ни одного, – раздраженно сказал я.

Прав ли Сомс? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Последняя задача

Из мемуаров доктора Ватсапа

Я спал плохо и проснулся на рассвете, чтобы застать Сомса уже одетым, бодрым и решительным.

– Пора завтракать, Ватсап! – тепло объявил он. Если его мучили дурные предчувствия по поводу предстоящей встречи, ему удалось их скрыть.

Расправившись с хлебом, мясом и швейцарским сыром, мы оседлали осликов и пустились вверх по узкой тропе. Через несколько километров мы привязали своих верных животных у подножия Штикельбахского водопада. Вспененный поток воды обрушивался вниз между голых стен высокого ущелья, чтобы бесследно исчезнуть в глубокой дыре, оставив после себя радугу, сверкающую в лучах послеполуденного солнца.

К вершине водопада нужно было подниматься по крутой тропинке в скалах. При нашем приближении выше нас на тропе, на фоне светлого неба, появился темный силуэт.

– Могиарти, – сказал Сомс. – Этот зловещий профиль невозможно ни с чем спутать, – он вынул один из своих пистолетов и спустил предохранитель. – Злодей в ловушке, поскольку вниз нет другого пути, кроме этой тропинки. И вообще никакой возможности спуститься – и остаться при этом в живых, во всяком случае. Подождите здесь, Ватсап.

– Нет, Сомс! Я пойду с ва…

– Не пойдете. Избавить мир от этого гнусного существа – мой, и только мой долг. Я подам сигнал, когда можно будет безопасно ко мне присоединиться. Обещайте, что останетесь здесь до его получения.

– Что за сигнал?

– Вы поймете, когда придет время.

Я согласился, несмотря на глубочайшие сомнения, и он ушел вверх по тропе, быстро скрывшись за скальным выступом. Последнее, что я видел, – это пару крепких горных башмаков.

Я ждал. Вокруг царила полная тишина.

Внезапно я услышал крики. Ветер относил слова, и я не мог разобрать смысл. Затем до меня донеслись несомненные звуки борьбы и несколько выстрелов. Потом прозвучал крик, и что-то пролетело мимо меня с потоком воды. Этот предмет был окутан брызгами и двигался так быстро, что я не смог его рассмотреть, но размером он был примерно с человека.

Или с двух человек.

Потрясенный до глубины души, я тем не менее сделал все так, как приказал Сомс. Я ждал.

Сигнала не было.

В конце концов я решил, что что-то пошло не так и это освобождает меня от моего обещания. Я взобрался по тропинке наверх. В верхней точке путь мне преградили скалы, поднимавшиеся здесь еще выше, к небу, и образовавшие гигантский выступ. Заросший мхом уступ вел дальше, к пропасти, куда извергалась река. Ни Сомса, ни Могиарти нигде не было. Но мох, влажный от постоянных брызг, сохранял слабые следы чьих-то ног.

Следы способны многое рассказать человеку, изучавшему детективное дело у настоящего мастера. В нечетких отпечатках с резким глубоким рельефом я узнал башмаки Сомса; другие отпечатки с зигзагообразным рисунком, очевидно, принадлежали Могиарти. Следы вели к краю пропасти, где земля была истоптана в густую грязь – вероятно, в результате той самой борьбы, звуки которой я слышал.

Я в ужасе вдохнул, ибо ни один след не возвращался от этой ужасной кромки.

Я восстановил присутствие духа в достаточной степени, чтобы попытаться сделать то, что сделал бы Сомс, оказавшись в подобных обстоятельствах. Стараясь не наступать на следы, – ибо местная полиция, какой бы некомпетентной она ни была, несомненно захочет осмотреть место происшествия, – я тщательно все изучил.

Сомс, очевидно, шел позади Могиарти, так как его следы иногда накладывались на следы преступника, но не наоборот. Отпечатки Могиарти казались глубже сомсовых, но, с другой стороны, мой друг всегда был легок на ногу. Мрачный вывод был ясен. Сомс преследовал Могиарти до края пропасти; там они боролись; оба они, скорее всего, сцепившись, рухнули вниз навстречу гибели. Их тела теперь находились глубоко внизу в какой-то темной пещере и никогда не будут найдены.

Я поплелся уныло обратно к тропе, где на голых скалах никаких отпечатков, естественно, видно не было. Скала нависала надо мной, и было ясно, что взобраться наверх по ней невозможно. Я рассудил, что, если бы Сомс одержал верх, он подал бы сигнал и ждал моего появления на месте. Если бы победил Могиарти, то вместо Сомса меня встретил бы он, вооруженный до зубов.

Не было никаких сомнений в том, что оба они встретили один и тот же ужасный конец.

И все же, когда я начал спуск обратно в долину, в голове у меня эхом отзывался голос моего друга, и тон его звучал насмешливо. Может быть, подсознание пыталось мне что-то сказать? Скорбь притупила мои аналитические способности, и я едва тащился вниз, к ослам. Под ослами я подразумеваю наших верховых животных; следующими кандидатами, однако, могли бы стать швейцарские полицейские.

Возвращение

Из мемуаров доктора Ватсапа

Прошло три года с того дня, когда благородное самопожертвование Сомса избавило мир от Могиарти. Жилище детектива по адресу Бейкер-стрит, 222b перешло к его брату Спайкрафту, а я всерьез занялся медицинской практикой.

Сутулая фигура в лохмотьях, хромая, проковыляла в мой кабинет.

– Это вы этот самый… который доктор? Который пишет эти самые… дии-тективы в этих… в журналах?

Я признал свой медицинский статус.

– Я действительно пишу, но, к сожалению, Strand пока отказывается печатать мои рассказы.

– О-о. Должно быть, это тот, другой… Но вы тоже годитесь. У меня ужасно болит нога, док.

– Должно быть, это радикулит, – сказал я ему. – Он возникает из-за проблем в спине.

– В моей ноге?

– Нервы из вашей ноги защемились где-то в позвоночнике.

– О господи! У меня в ноге нервы?

– Лягте на кушетку и… – я внимательнее посмотрел на его не слишком чистую одежду. – Нет, сначала дайте мне постелить что-нибудь, – я повернулся к нему спиной и открыл шкафчик.

– Не стоит, Ватсап, – произнес знакомый голос.

Я повернулся, взглянул… и упал в обморок.

Когда я пришел в себя, Сомс водил перед моим носом склянкой с ароматической солью.

– Прошу прощения, дружище! Я был уверен, что вы давно разгадали мой хитрый обман и то, почему он был необходим.

– Вовсе нет. Все это время я считал вас мертвым.

– Ах. Ну, понимаете, когда я столкнул Могиарти в пропасть и увидел, как будут выглядеть следы для любого менее проницательного взгляда, чем мой, я мгновенно понял, что судьба подарила мне великолепную возможность.

– Да! Я понимаю! – воскликнул я. – Хотя подручные Могиарти на Британских островах были арестованы, несколько человек на континенте остались на свободе. Если бы они считали вас мертвым, вы могли бы спокойно сплести новую паутину и заманить их в ловушку. Поэтому вы снабдили нас некоторыми недостоверными данными, достаточными, чтобы убедить неумелую швейцарскую полицию. С того самого момента вы посвящали все свое время и энергию преследованию оставшихся криминальных подонков. Одного за другим вы ликвидировали их. Вы выследили последнего из них в… ну, в Касабланке или еще каком-нибудь столь же экзотическом месте – он никогда больше не потревожит своими делами мир. Так что теперь вы можете открыто объявить, что по-прежнему живы.

– Блестящая цепь рассуждений, Ватсап, – я молча поздравил себя. – Хотя и неверная почти во всем.

Сомс объяснил:

– Единственное, что вы сказали правильно, – это то, что для меня это была посланная свыше возможность исчезнуть. Но мои резоны были совсем не такими, как вы подумали. Я тогда сильно проигрался на скачках и много задолжал, а денег рассчитаться с букмекером не было, и это грозило мне серьезными увечьями. Собрав, наконец, необходимую сумму, я заплатил долг и вновь вернулся в общество.

Мне трудно было в это поверить.

– Я понимаю ваше положение, Сомс. Такое может произойти даже с лучшими из нас. Но как?..

Как Сомс сумел избежать гибели и исчезнуть? Сделайте свои выводы, прежде чем читать дальше, поскольку повелительное наклонение требует немедленного ответа.

Окончательное решение

Сомс устроился перед камином.

– Вот как все было, Ватсап. Когда я поднялся до конца тропинки, Могиарти поджидал меня, притаившись за камнем. Он сшиб меня с ног и потащил к пропасти, чтобы швырнуть в бездну. К счастью, я пришел в сознание и сумел дотянуться до пистолета. В ходе дальнейшей борьбы было сделано несколько выстрелов, но никто не пострадал. Могиарти так старался меня убить, что сам поскользнулся и улетел в пропасть, навстречу гибели. Мне повезло, я не упал вместе с ним, – он произнес это небрежным, совершенно нейтральным тоном, как будто рассказывал мне о чем-то малозначительном.

– Я собирался уже позвать вас, Ватсап, но оглянулся и увидел единственную цепочку следов, оставленную ботинками Могиарти. Следы вели от тропинки к краю пропасти, в обратную же сторону никаких следов не было вообще. Я сразу заметил, что следы эти немного глубже, чем должны были бы быть у человека такого веса, как Могиарти, – я надеялся, Ватсап, что вы этот факт заметите, и точно знал, что полиция его не заметит. Тогда я прошел задом наперед к безопасной тропинке, оставив свои следы поверх следов злодея. Я очень старался, чтобы следы выглядели так, будто я шел в другую сторону.

– Эта мысль действительно приходила мне в голову, Сомс. Но я отказался от нее, поскольку ничего не знал о ваших долгах и, соответственно, не мог придумать никакого мотива. Но уступ был пуст, а на скалу невозможно забраться! Как же вы умудрились спрятаться?

Он проигнорировал мой вопрос.

– Я понял, что если не подам сигнал, то вы в конце концов решите, что ваше обещание потеряло силу, и подниметесь по тропинке. Хватило мгновения, чтобы взобраться вверх, на уступ, где нависающая часть скалы скрыла меня из виду. Об остальном вы можете догадаться сами.

– Но… ведь на скалу взобраться невозможно! – воскликнул я.

Он печально покачал головой.

– Мой дорогой Ватсап, я отчетливо помню, как рассказывал вам о складном крюке-кошке, который всегда ношу с собой именно на такой случай. Согласитесь, нельзя забывать такую важную информацию. Часто для того, чтобы раскрыть величайшую загадку, достаточно одного крохотного факта.

Я повесил голову, поскольку рассказ об этом полезном приспособлении совершенно вылетел у меня из головы, и я ни разу не вспомнил о нем до этого самого момента. Я попытался усмехнуться, получилось довольно криво.

– Да уж, Сомс! Это ужа… сно, э-э, изобретательно!

Он тонко улыбнулся и поменял тему.

– Чаю, Ватсап?

– Было бы замечательно, Сомс.

– Тогда я попрошу миссис Сопсудс…

Дверь распахнулась, и в комнату просунулась голова нашей квартирной хозяйки.

– Могу я чем-нибудь помочь, мистер Сомс?

– …Приготовить нам чай, – вздохнул великий детектив.