Notice: Undefined variable: contentRead in /var/www/www-root/data/www/knizh.ru/funcs.php on line 681
Notice: Undefined variable: row in /var/www/www-root/data/www/knizh.ru/funcs.php on line 719
Notice: Trying to access array offset on value of type null in /var/www/www-root/data/www/knizh.ru/funcs.php on line 719
�������������� ����������� ���������� ������� ������ ���
���������� ����� R ������������ ��� R (f, k) � ���������� ������ ������. �� �������������� ����� �����, ��� R (3,3) = 6. ����� ������ ����������� � ����������� ������, �� ����������� ���������� ������� �������. ��������, � �������, ��� R (5,5) ����� � ���������� �� 43 �� 49, �� ��� ������ �������� �������� ��������.
������ ������� ����� ����� �������, � ������� ���������� ����� ���������� (����, �����, ��� ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½î – ���� ����� ������������ �����, �� ���� ���������� ��, ��� ����������� ��� �����) ����� ������������ ����� �������� ������. ������������ ��������� ������������� ����� ������ ��� ������ ��� ���� ����� ������������ ��� R (3,3,3), ������ 17.
���������� ������������ ��������� ���� ����. ���������� �����, � ������� ���� ����, �������� ���� � ����������, ����� ����������������, �������. ��� ������, � ������� ��� ��������: F. P. Ramsey, On a problem of formal logic, Proceedings of the London Mathematical Society 30 (1930) 264�286. ��� ����� ������������ �� ��������, ����� ����� � ������, � �� � �������������.
����� �����
R.�L. Graham and B. L. Rothschild, Ramsey theory, Studies in Combinatorics (ed. G.-C. Rota) Mathematical Association of America 17 (1978) 80�99.
���� �������� � ������� ���� ��������
� 1981��. �. ������� ������� 161 ��������� � ������������� ��������, �������� ������� �� ��� ������� ���� ���������� � ������������ �������� �� ��������� � ��������� ���������� ������. � ��������� ���������� 69�% ������ ������� ���� ��� ���� �������� ������; ���������� ������������ �� �� ������� 77�%. ��� ������������ ��������� ����� ��������� 93�% �� ���������� � 88�% �� ������������. ��� �������� ����� ��� ������������ �������� �� ��������, ���� �� ������� ���������� ������ ��� ����������, � � �������, ������ ���������� �� ����� ������� �������������� ���� �����������. ��.: O. Svenson, Are we all less risky and more skillful than our fellow drivers? Acta Psychologica 47 (1981) 143�148.
��� �� ������ ����������� ��� ������ ������ ������ ������⠖ ������������, ��������, ������, ���������������� ������������, ���� ������� � ������ �����. �� �������� �����������: ��� ���� �� �������� ����������� ������������ � ����������� � ����. � ������ ������������ ����� ���� ��������� ��������������� ��������������, �������, ����� ���� ����������� � ���������, �� ������� � ���� � �������� �������� ����������� � ���������� ������ ������������ ������� � ��������.
�� ����, ��� ��, � � ����������� ���� ��������.
���������� � ���������
�������� ��� ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½à – ��� 4 � 13,�� ������ ����.
��������������, ������ ������������. ߅
���� ������� � ����� ��������, ������.
����� �� ����� ��� ������� �������������, ��� �� ������ ������� ����� �� ����� �������������� ����������.
����. ���������. ���� ����, ������, ������� � ���, ��� ������ �����������, ������� �� ������, ��������� �������������� ���������� � ����, ��� ����� �� ���. � �����, ��� ��� �����, � �.��. �����������, ��� ������������ ���� ������ ��� ����� ����� p, � ����� ����� s. ������������� �� ������ p, � � ���� s. �� ��� �����, ��� ������ �� ��� ����� ��, ��� �����, �� �� ����� ����������� ��������.
����������� �� �� ������ ����� �����, p �� ����� ���� ������������� ���� �������, ����� ��� 35. ���� 35�� ��� 5 7, � ����� ����� �������� ��� ����� ��� ������������ ���� �����, ������� 1, ����������, ��� ��� �� ����� ������ ��, ����� ��� ����� ������� � ����. �� ����������� ������� p �� ����� ��������� ���� �������� �����, ������ ��� 5 = 125, ��������� ����� ����� �������������� ������ ��� 5 25.
����, ��� �������,�� ������� �.
������� ����, p �� ����� ���� ����� qm, ��� q�� ������� �����, � m�� ���������, ��������� ��� ������ d ������ 1, ������� �������� ��������� m, qd ����� ������ 100.
����, ������
��� �������, p �� ����� ���� ������ 67 3 5, ��� �������������� �� ��������� ����� ���������: 67 15, 201 5 � 335 3. ��������� � ���� ��������� ������� ������������ ����� ������ 100, �� ��� ������� ���������� ����� �� �������� ��������, � �������� ������ ���� ������, � ������� 67 � 15.
�������.
������, ���� ��������� �������� ��� ������ ��� ���, �� � ���� ������� � � ��� ������ �� �� ������ �� ��������� ��������� ��� ����� �����. � �����, ��� s �� �������� ������ ���� ����� �����. �� ����� �� ���� �� ���� ������, ������ ��� � ��� ������, �� ���� �� ������ ���-��� ����� � ����� s. �������, ��� �� ������ �������, ��� ���� s = 200, �� ��� ����� ������ ��������� 100, � ���� s = 199, �� ��� ��������� 100 � 99.
������������.
������ ��������� ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½å… ï¿½ ������ ����,�� ���������, ��� ����� s ����� ��������� ������ �� ��������� �����: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51 � 53.
���� ������ �� � ������� �������������� ���������� �
���, � ���������� ��� ������� ���������� ������ ��������,�� �������� ������� ��.�� ������ ��� ����� �� ����� ���� �������, ��� ����������� �� ����� ���� ����������.
������, �� ������� ������ ����������� �� ��� ����� ��, ��� � ������ ��� ��� ���������. � � ���� ������ �� ������ ����������, ��� ������ ���������� ������ ��� �����! ��� ��� � ������ ��������� ��� ��������� ���� ����� � ����� ������� � �����������, ��� 10 �� 11 ��������� s ����� ���� �� ��������� ������������, ����������� � ������������� ��� ������� �������� s. ��������� �� ������� ���, ��� ��� ������ ������ ��� �����, ��� 10 ����� s ����� ����� ��������� �� �������������. �������� ������������ ��������� ������� �����, 17, � ������������ ������������, �� ����������� ���� ������ �������� s. � ������ 52, ������� ���������, ���� ����������� 17 ��� 4 + 13, � ������ � ���� ������. �������������, ��� ����� ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½à – ��� 4 � 13.
� ��������� ����� � ����� �����������������.
��������� ����-������ �� ��������� ��� ������-����� � �������� � ���� ����������,�� ����������� ��, ������ ��������� ����� �� ������ ������.�� �� ������� � ����, ��� ���� ��������������� ����� ����������.
������ ��������
� 1930��. ������ ��� � ������� ������� ��������, ��� � ��������� ������� ������ �������� ���� ������ �������, ��� ���������� ��������. ������ ��� � 1946��. �������, ��� ��� ��������������� ������������ � ����� ������ �������� ������������� ���������� ����� ����� ������ �� �������, ��� ���������� ��������. � 1967��. �. �������� �������, ��� ������ �������� ������ ����� �������� ��������, � � 1994��. ������ ��������� � �. �. ���� ��������, ��� �� ������ ���� ���������� ��������� �������.
��� ��������� ������������� ���
M.�R. Schroeder, Diffuse sound reflection by maximum-length sequence. Journal of the Acoustical Society of America 57 (1975) 149�150.
����� ������������� ������
�������� � ������
Jnos Pach and Ethan Sterling, Conway's conjecture for monotone thrackles, American Mathematical Monthly 118 (June/July 2011) 544�548.
��������������� ��������
������� � ���� �������
� ����� ������ ��� ���� �����, �� � ����� ������ ������ � �������� ����� �������� ������.
���� ����� �� ������� ���, ��� ��� �������� ������.
�����! �������!
��������� ���� �� �����������, ������. ������ ��� �� ���� ��� ��� ������������� ������ �� �����������,�� �������� �������� � ��������, � �� �������������:�� ����� ������. ����� �������, ��� � ����� ������������ ������� ������ ������ � ����� ������, � ����� ������ �������� ��� �� ������������� �������. ������ � ����, ��� �������� ���� �� �������� � ������ ���� (��. ������� ����� ������ �� �������). ����� ����� � ������� ���� �� ����������� �������� � ��������� �� � ����� ���� (������� ������� ������). ����� ��������� ����������� ������� ������, ����� ����������� ����� � �.��.
����� �������, ��� ����� ������� ���������� ������ �� ���� ����������� ������� ����� �������� ����������,�� ���������� ������ �.
����! �������, ���� ��� ����������, ������ ���� ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ì – � ��������� �� �������� ������ ���� ������. � �� ������, ��� ���������� ��� ����� ����� ���������� � �������������� ������ ���� ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ê – ������ � �����. ��� ��� � ������ ������, �� ������� ����, ������� ����������.
����������. �� � �� �� ����� ��������
��������. ���������� ���������. �� ���� ���, ��� ������� ������, �� ������ � ����� �����, � �� �� ������ ��������. �������� � ���, ����� ��������, ��� ����� ����� ������� ������������� � ������ � ����� ����� �������� � ������ � ���� �� ����������, ���? ������ ��� ����� ������� ������� �� ����� �������� � ��������, ��� ������� ��������� ���������� ������� �������� ����������.
���������, ��� � �������.
����� ����� �������,�� ������ ����.�� �� ���� ����� ������� ������. �������� �������� �� ��, ��� ������ ���, ����� �� ��������� ����� �������, ���� ��������. ����� �������, ���� �� ���������� �������� ����� ������, �� �� ������ �������� ����� ����, � ���� ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½å – �� ������.
� ������ � ��� �� ������:
���� ��� ����� �� ���� �������, ��� �� ��������� ������� ������������?
���� ������� �������.
����� ������, ��� �� �����, �������� �� ������ ��� ���� ���������, ���������� ������ ������� ������ ������������ ����. ������ ����������, � ������ �������� ������ ������ ������ ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½à – �������, ����� �� �� ����������, ������ ��� ���������� �� �� ������. ���� ��� ����� ������, ���������� ����� � ������ ����; ���� ��������, ���������� � �����.
�������, ����������� ����� ������� ���� ��������� � ����� ����� ���� �������������� ����, ���� �������� �� ����� ������ �������. � ����� ������ �������� �������� �� ������, � ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½å – �� ��������, ��� ��� ���� �� ������ ������� �� ���� ������� ������ ���� ������.
�������������� ��������� ����� ��� ����� ����.
����, ����
���������,�� ������� �� ���� � ��������� ������� �� ������,�� ��������� �� ����������� ����� �������� ���� �����. �� � ����� ��������� ��� �� �����, ����� ���� ��������� ����������������. ������� �������� ����������� ������ � ����� �������, � ���� ������ ��������, �� ������ ����, ��� ��� ������ ����� �������.
��, �����, �� ������ ��� ����� ����, �� ��, � �����.
ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½î… ï¿½ ����� �, �� �����������, ������ ��������� ��� ����, � �������� �����:
������� ����.
������� � ������� ������� � ������������
������ ���������� ���� ����� ���������� ���, ����� ������ �� ��� ������� ��������� ����. ��������� ��� ���� �������������� �������������, ����� ��� �������� ���� �����, � ����� ��������� ��������� ������, ����� �� ��� � ����������� ���������� � ��������� ������ � ���� ��������. ������ � ����� �������� ����� ��������� �����, ������� ����� ������ �������, ����� �� ������� ���� �������. ����� ������� �������� ���� �����, ������ �� ������� �������� ��������� �������; �������������, ��� ��� ������ ���� �������� � ������ �����.
����-����������
������� �����. ��� ����� ������ ��������� �������� ��� ����� �� 4r, ������� �������������, r = 3.
� ������ � �����������.
������������ �������� �������� �� �����������, �� ��� ����� (����������, ��������� ����� ����� �����������) ���� ������� ������������ ������� ����� 950��. �.��. � 1229��. �������� ���� �������, � ����� ����� (������������) ���������� ������ � ������� �� ������� ���� ����� ������ ���������. ����� ��� ���� ������� ������� � ������������ ��� ������ 177-����������� ������������� �������������� ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½à – �������� ������� ����������� �����.
� 1840-� ��. ���������� �������� ���������� ��� ���������, ����������� �� ���� ����� � ��������������� (���� �������), ������� �������� �� �����-�� ����� ���������� �������������� ������ � ������ �������� �� �������� � �����. � 1906��. ������� ������ ����� ������� ���������, ��� ����� ����������� ���������� �����-�� ������������ ��������. �� ��������������� ��� � � 1910 � 1915���. ����������� ���-����� �������� �� ���������. ������ ����� ����� ����� ��� ������� �������������� ��������, �� � �� ����� �� ������� ���� ��������. � 1920-� ��. ���������� ������ ���� ����������� ������������; �1998��. �������� �����-�� ������� �������� � ��� � ���� ��������� ��������� ��������������� ����� ���������� ����� �������� ���������� ������������ ��������, ������� ����������, ��� � 1920��. ���� �������� ��� ������� �� ���������. ����� ������ ������� � ������ �������� �� ��������� ����, ��� ���������� ������� ����� �������������� ���������� � �������� ����� �� ��� ������ ��� ������� �����. �������� ��� ���������� ��������� ����������� (�� ��������� ������� Der Spiegel, ��� ��� ���������� �������� Amazon ����� �����) �� $2����. � 1999 �� 2008��. �������� ��� ���������� ����������� � �������������� ����� �������� � ��������� � ��������������� ������� ������������ �� ���������� ����������, ����� ������� ���� ���������� ������� ������.
����� �������� ����� ��������� (��������� ����������� ���� � �����������) ��������� �������. ������ � ���� �������� 1, ���������� ������ ���� �������� � ������� ������. ���� ��������� ����� ���� � ����� x = 1 �� �������������� ������, �� ������ ������� � ����� ����� x �� 0 �� 2 ����� (x(2 x)), � ��� ����� ��������������� ��������� ���� ��������, � ������ x (2�� x) = 2x�� x.
����� ���������� �����, ���������� ��������� ������ y = x ������ ��� x, ����� �� ��� 0x2. ������� ����� ������ � ����� x ������������ ����� ���� �������� x � �������� x. ��� ����� ��������������� ���� �������� � ��� �� ������������� ������������������, ��� ��� ����� ����� ������� ���� � ������� ������ ����� (2x�� x) + x = 2x.
�������� ��� ��� ������� � ����� x = �1, �� ���������� 1 ����� �� ������ ���������. �� ������ ������ �� � �������� �������������� ���� �������� 1, ���������� �� ���������� x ������ �� ��� �� �����.
� ������ ������� ��� ������� ���� � ������ � ���� � �� �� ����� x = �1, ��� ��� ��� �� ����� �������������� � ���� ������������ �����. ��������������� (� ����������������) ����� ����� ������ 1 � ������������� �� ����������� �� 0 �� 2. ����� �������, ��� �������� �������. ����� ����� �������� ��������� � ��� ��������, �� ���� � ����� x = 1. �������������, �� ������ ������,
����� ���� + ����� ������ = ����� ��������,
� ��������� ����� ��������������� ������, �� ����� ���� + ����� ������ = ����� ��������.
������ ������� ��� ����, ��� ����� ������ ���������� ���� ����� ������ �������� (���� ����� ������� ��������� �� ������, �������?), ��� ��� ����� ���� ����� ���� ������ ������ ��������. ����� �������� ����� ������� ��������� (r), ���������� �� ������ (2r), �� ���� 2r �������������, ����� ���� ����� �� ���� ��������, �� ���� (4/3)r.
������� ����������� ����� ������� ����� ��� ������ ����������� ���������.
�� ������ ���� ������� �������������, �� ��� ����� ������� �� ��� �����������, ��������� ������������ �������������. ��������, ��� ����������� ��� ��� ����� 250��. �� �.��. ���� ����� ������ ������ ���� �������, ��� ���������� ����� �� ����� ������� ��������������.
������ � �������� �����
W.�L. Allen, I. C. Cuthill, N. E. Scott-Samuel, and R. J. Baddeley. Why the leopard got its spots: relating pattern development to ecology in felids, Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences 278 (2011) 1373�1380.
�������������� ��������
���� ����� ����������, ��� ��� ������ ����� ������������� �� �������������, �� ����� ���� ��� ������ �������� � �������� ������������ ������� �� ���������: ����� �������� �������������� 8,7.
��������� �������� ����������, ��������� ������ ����������� n-���������, � ����������, ��������� � ����, ����� sec /n, ��� sec�� ��� ������������������ ������� ������, � ���� ���������� � ��������. (���� ������ �������� ���� � ��������, �������� �� 180�.) ����� �������, ��� ������ n ������ ����������, ��������� ������ ����������� n-��������� �� �������, �����
S = sec /3 sec /4 sec /5 � sec /n[38].
�� ����� ������ ������ ����� ������������ ��� n, ����������� � �������������. ������� ��������:
lnS = lnsec /3 + lnsec /4 + lnsec /5 + � + lnsec /n.
���� x ���, lnsec x ~ x/2, ��� ��� ���� ��� ����� �������� � �����
1/3 + 1/4 + 1/5 + � + 1/n,
������� ��� n, ����������� � �������������, ��������. �������������, lnS �������, ��� ��� � S �������. ����� ������ ���� �� n = 1 000 000 ���� 8,7 � �������� �������� ������ �������.
� ����� �� ���� ������, � ����� � ����������� ������ �� �������� ������ �������� �����[39]. ���� ����� ����� ��� ������ � ����� ����������� � ����������� ������� ������� � ������� �������, �������� � 1940��. �� �����: ������ ����, ���� ���� ������� ������������� � ����������� ����� ����, ���� �������� ������ ������ ������ ������������ ������ ����� ������������� ����������.
� ��������, �������.
����������� �������
�� � ������ ����� ��� ��� �������� ������������� �����, �� ������ ��������� ������������:
���������� �� ��� ������������ ��������� ������,�� ������ ����,�� � �������� ����� ��� �������� � ������� ����������. ��� ����� ��������� ����� �� 0 �� 7 �� ��� �������� ���, ����� ����� ����� � ������ �� ��� ��������� 14.
������ �� ����� ���� ����� �����, �� ������ ������������ ������������� � ���� ���� ����� 14.
����, ������, ��� ��������: ������ ���� �����, ������� �� ����� � ������ �����.
��� ��������, ��� ��� ����������, ����, �� ��� �������������, ��� �� ����� ������������ �����, ���������� 0; ��� ��������, ��� ������ ����� �� ��������� ����� (��� ������������� �� ������ ����� ����� ��������� ������������ �������). ����� ������� �� ������� ����� ���������, ������� ���������� �����������.
����� ������.
������ ����������� ��� ����������� ���� �����.
������ � ����� ������ ����� 1,�� ������� �,�� �� ��������� ��� ����� � ����� ���� 13, ��� ��� ��� ������ ���� 6 � 7, ��� ���� 0167. ���� ��� ��� 1, �� ���� 2, �� ������������ ��������� ������� 0257. ���� ������� ���������� � 03, ��������� ��� ���������: 0347 � 0356. �������, ������������ � 04, ����� �� �������������, ��������� �������� 10 ��������� ���� ����� �� 5, 6, 7 ����������. ���������� ��������� 05, 06 � 07.
������, �� ������ � ������,�� ������ ���� ����,�� ��� ������������ ��������� ��������, �������� ��������� �����-����,�� ���
0167�0257 0356 0347
�� 0257�� ��� �������� �������, � 0347�� �����������. �������� ���, �� �����, ��� ������� �� ���
�� �������� ������� � ��������.
�������� ��������!
�����, ����?
����� ������ ��� ������ � ������, ������, �������� �� ��������, ��� ��� ��������� �� ������� ������ ���� �����-�� ������� ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½é… ï¿½ ��� �� ������ ������ ������ ��������, ��� � ���������, �� ���� �� ��������� ������ �����. ����� ���������� ��� ��������� �����, ����� ������ � ������ �������� ����������� ���� � ������� ������ ��������� ������.
����. ��� ����� ��������, ����?
����� �����, ������. ��� ��������� ������� ���������� ����� ���� ����� ��, �������� �� ��������� �� ���� �� ����� ����������� ����� ����������� ���.
��������������� ���� ������������� �������!�� ���������� �.
����� ������, ������! ����, ���� � ����� ������� ����������� ���������� � ���, ������ ��� ����� �� ����������������� ������� ������ �� �������
������ ����� ������� ��:
Maurice Brearley, 'Oar arrangements in rowing eights', in Optimal Strategies in Sports (ed. S. P. Ladany and R. E. Machol), North-Holland 1977.
John Barrow, One Hundred Essential Things You Didn't Know You Didn't Know, W. W. Norton, New York 2009.
��� � ������������ ����, ��� ���� �������������� ���������� ������ � ������ ������� ��������.
������ ������, ��������������� ����� 1877��. ����������� ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½é – ������������ ������ � ������� ���� ����������.
������ �� ���������� ��������������
���� ������ � �������� ������ ����� ����� ������� ������ �������������� �������������, ��� ��, �������� ����������� ������������. ��� ���������� ���� ���������� ���������� ������� ������ �� ��� ���������� ��� �� ���������� ������� � �� ����� �����.
������ � ������ ���������. � ���� ������ ����� �, ��������������, ������ ����� ���������; ������� �� r1, r2, r3 � r4. ������ ��������� ������ ��� �� ������� �����, ���� ��������� �������� ������, ��� ��� r1r1 = e, ��� e�� ��� ������� ������������� (������� �� �������). �� �� ����� ������� � �� ��������� ����������. ����� �������, ��� ���������� ���������� ��������� ������������ ����� ������������ ����� ������:
r1r4r3r4r2r1r3r1,
��� ������������������ �������� 14342131 ����� ���� ����� ������������������� ����� 1, 2, 3, 4, ��� �� ���� ����� �� ����������� ��� ���� ������. � �������, ������������������ 14332131 ���� �� �����. ������� � ���, ��� ����� r3r3�� ��� ���� � �� �� ���������, ����������� ������, �� ���� e, ������� �� ���������� �������� �������� � ������ ����� ���� ���������.
���� ����� ������� ����������, �� ��������� ���������, ����������� � �������� ��������� � �������, ���� ��������, ������� ��������� � ��������������. ����� �������, �� �������� ��������� ����
r1r4r3r4r2r1r3r1 = e
(������ ����� ������� � �������), ��� e �������� ������� �� �������. ������� ������� ��� ������� ��������� � ���������������� ����������� ��������������� ��������, ����� ��������, ��� ����� ��������� �� ����������� �������. ����������� ��.:
T. J. Dekker, On reflections in Euclidean spaces generating free products, Nieuw Archief voor Wiskunde 7 (1959) 57�60.
M. Elgersma and S. Wagon, Closing a Platonic gap, Mathematical Intelligencer in the press.
J. H. Mason, Can regular tetrahedrons be glued together face to face to form a ring? Mathematical Gazette 56 (1972) 194�197.
H. Steinhaus, Problem 175, Colloquium Mathematicum 4 (1957) 243.
S. Swierczkowski, On a free group of rotations of the Euclidean space, Indagationes Mathematicae 20 (1958) 376�378.
S. Swierczkowski, On chains of regular tetrahedra, Colloquium Mathematicum 7 (1959) 9�10.
����������� �������
����� �� ��������� �������, �� �� �� ������,�� ������ ����.�� �� �� ������ ��� ������: �������������� ���.
������� ������, ����,�� ������� �.�� �� ������ ��������, ��� ����� ��������� ��� ��������������. ������� � ������� ���� �����������, � ����� ��������� ������ �������� ����������� ������, ���������� ������ � ���������� ����. � ���������� ������� �� ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½å – ��� ���. �� ����. ����� � ������� ��������� �������, ��� ���������� ������,�� �� ������� ������������ ������ ��� ������� � ����� ����� ����.
�� ������ � ������������� ���������� ����.
���� ������ ������� �� ������� 1 � ������� 5, ������ ���� A ������ ���� ���������. ���� �������� �� 1, ������������ ���������� ��������� ����� �������� ���� B, ����� ��������� ��������� C � D. ����� �� ������ ��������������� ������ E ��� F. ������, �� ������� ���� E. ����� �� �� ����� ��������������� F, ������ ��� ��� �������� ��� � ������� 4, �� ������� ����� ���� ��� ��� ���. ������ �� �� ����� ��������������� � ������ A, ������ ��� ��� �������� ��� � ������� 1, �� ������� ���� ���. �� �� ����������, ���� �� ������� F ������ E. � ��������.
��������, ������?
��������, ����, ��� � �������� �����������,�� �� ������ �����.�� ������� ��, ��� ���������, ����� �� ����������� ��� �� ��������,�� ��������� �,�� ������ �����
�������������.
����, ����, ������ �� ��������! �������������, ������ �� ����� �������!
���������. � ��� ������ ���, ��� ������� ����� ������.
������� ��, ��������, ������� ��� �� �������� ������.
�����.
������� � � ������. ��� � �������?
��������.
����
���� ���-��� ��������, ������. �� ������� ������ ������� �� ��������. �� �������� ������, ��� ������� �� ������ �������� �� ������� ������������ ���� �����.
���� �� �� �������, ��� ������ ���� ����� �� ������ ��������� � ������, � ��� ������ ���������� �������.
����. �� �� ����� ���������� �� ��� ���������. ������ ����� ��� ����?
���-��!�� � ������� ���� ������� �� ���.
�����? ���?
�������� �������������� ���������. � ����� ���� �� ����������� ��������, ����. �� ����, ������ ������ ��-��!�.
��� ����������� �� ��� �������� ����� ���������, ������. ��� ��� �� ����, �� � ������ ������� �� ������.
����� �������, ����. ��� ������� ���� ������� ���, ��� � �����: ��� ������ ������� ����� ���������, ���� �������� ����� ���� � ������ �� ����� A.
�������.
����� ��� ������� 1 � 4 �� ���� ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½å – �� ����� ���� ���� � �� �� �������.
��� ����� ����. ���,�� ������ � ����� ���������,�� ���� ��������. ������ ��� �����, ��� ����� ���� ��������� � �������� ���������? �� �� ������� �� ����� �����.
���� ���� � ������ ���, ������, ��� ���������� �� ������� ���� ���� �������, ��������������� ���� ��������. �� ����� ���������� �������, ��� ����� ���� ������ ���������� � ���������.
����. � �������� �����, ��� �� ������� ��� ������ ���������.
��� ���� ������ �������, ����: ���������� �������� ������� ����� E � F. �� ��������� �����, ���������, �� ���� ����������.
����. ���� �����������, ��� �������� �� ������ ���������� � ����� B, ������ �����, ���� ������� 1 � 4 ���������. ��������� ��� ������������ ���� ���������� ����� ���������.
��� ��������� ���� A ���������� ������ � �������� ����������� � ���, ��� ��� �� ������ �������� ����������. �������� ��������: ������� � ������� 1 �����, ����� A, �������� ��� ��������� ��������� �������: BCD ��� DCB, � ����� EF ��� FE. ����� ����, �� ����� ������ � ������ �� ���� ��������, � ����� ������� � �������. �������, � ����� �� ������ ��������� ���� A. �������� ��������� ��������:
������� ������.
�������� � ���� ���� ���� ������, ����,�� ������� �.
���� ������ ���������� ���� ������, ������, �� �� ����� ��������������, ������� �� ��� ����� � ������� ����������� ��� ��������� �� ���������� ������������.
� � ���������� ������� �������.
����� �� ������ � ����?
��� ���� � ����, ������, ��� �� �� ����������� ��� ��������� ��������. � �������� ���� ����
� ����� ������� ���� ������� �� ���, �� �� ���� ��� ����������� �� ����� �� �� �� ���� ������, �� ����� ������� ������� ��� �������� �����.
��� �����, ���, ��������� ��� �������, ���������� ����� �� �����.
������ �� ���������
�� ����� ������������ �������. ����� � � ������ �������: Laurent Bartholdi and Andr Henriques. Orange peels and Fresnel integrals, Mathematical Intelligencer 34 No. 4 (2012) 1�3.
"� ����� ������������ ������". ������ �������: Luc Devroye.
"���� � ��������� ��������". ��������� ������� � ���������: Moloy De.
"�����������, ����� � ������". ������� �� Not A Wake: Mike Keith.
"�������������� �����". �����: Daniel Mathews, Jonathan Alperin, Jonathan Rosenberg.
"������� �������� �����". ����: http://getyournotes.blogspot.co.uk/2011/08/why-do-some-birds-fly-in-v-formations.html
"������������� ��������". ������������� ��������: Moloy De � Nirmalya Chattopadhyay.
"������� �������� ����". ������� �������� ����: �������� �� ����������� Stephen Gledhill.
"������ �������� ��� ��������". �������� ��� ��������: Gerard Butters, Frederick Henle, James Henle and Colleen McGaughey. Creating clueless puzzles, Mathematical Intelligencer 33 No. 3 (Fall 2011) 102�105.
"������� �������� �����". �������: Eric W. Weisstein, ��������� ������� ������ MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/BrocardsConjecture.html
"����������� ��������". ������ ����: Steven Snape.
"�������� � ����������". ����: ����������� ������ ������������ ���������� � ��������.
"������� ������". ������ ����� ����: [George Steinmetz, � ���������� Anastasia Photo].
"������� ������". ������ ������ ����: ������ ������ HiRISE �� �������� ����� Mars Reconnaissance Orbiter, NASA.
"������� ������". ����� ������ �������: Rudi Podgornik.
"������� ������". ����� ����� �������: Veit Schwmmle and Hans J. Herrmann. Solitary wave behaviour of sand dunes, Nature 426 (2003) 619�620.
"�������� ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½è – �������������� ������". �������: Persi Diaconis, Susan Holms and Richard Montgomery, Dynamical basis in the coin toss, SIAM Review 49 (2007) 211�223.
"��������������� ��������". 3-��� � 4-�� �������: Joshua Socolar and Joan Taylor. An aperiodic hexagonal tile, Journal of Combinatorial Theory Series A 118 (2011) 2207�2231; http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00283-011-9255-y
������� �� ���������� ��������������. �������: Michael Elgersma and Stan Wagon, Closing a Platonic gap, The Mathematical Intelligencer (2014) ��������� � ������.
��������� ������� ���������������� � ������������ � ��������� Creative Commons Attribution 3.0 Unported � ��������� ���������, ��� ��������� � ������������ ����������:
�������� �������� �����, ������� �����������. Krishnavedala.
"����������� ��������". ������� ����� Ricardo Liberato.
"����������� ��������", "���, ��� �������� �� ������ �������� ����������III". Tekisch.
"���� �����". Andreas Trepte, www.photo-natur.de
"����� ����". Braindrain0000.
"����� ����", "��� �������, ��������������� �������� ����������� ���������". LutzL
"����-����������". ��������, ����� Walters Art Museum.
