Удовольствие от X. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире Строгац Стивен
Спустя несколько минут бесполезных размышлений вы, окончательно расстроившись, готовы сдаться. Но если мы все-таки устоим перед соблазном и продолжим, то нам, возможно, повезет, и мы поймем, что нужно построить всего одну окружность. Давайте посмотрим, что произойдет, если поставить иголку циркуля на один конец отрезка, карандаш на другой, а потом сделать циркулем полный оборот. Выйдет следующее:
Конечно, если бы мы использовали в качестве центра окружности другую конечную точку, то получили бы другое изображение:
Как насчет того, чтобы одновременно нарисовать обе окружности без причины, просто ради интереса?
Вас словно током ударило? Вы даже задрожали от предвкушения? Взгляните еще раз на рисунок. Оттуда на нас «уставилось» соблазнительно округлое изображение равностороннего треугольника. Его верхний угол — точка пересечения окружностей.
А теперь давайте превратим его в обычный прямосторонний треугольник, проведя линии через точку пересечения и конечные точки исходного треугольника. В результате треугольник выглядит точно так же, как равносторонний.
Мы позволили интуиции завести нас так далеко, что теперь и только теперь наступило время логике взяться за доказательство и завершить его. Для наглядности сделаем панорамную съемку полного изображения и промаркируем интересующие нас точки как A, B и C.
А вот и само доказательство. У сторон АС и ВС такая же длина, как и у исходного отрезка АВ, поскольку радиусы обеих окружностей равны длине отрезка AB. АС и ВС — радиусы окружностей, имеющие такую же длину. Следовательно, все три длины равны и треугольник является равносторонним. Что и требовалось доказать.
Идея с радиусами окружностей существует уже много столетий. Действительно, она открывает первую книгу евклидовых «Начал». Но укоренившаяся тенденция предлагать ученикам уже готовую окончательную схему с хитрыми окружностями лишает их радости открытия. Это педагогическая ошибка. Такой подход настраивает молодого человека на то, что идея очевидна. А ведь она может стать озарением для каждого нового поколения, если учить его правильно.
Конечно, ключом к данному доказательству было вдохновенное построение двух окружностей. С его помощью можно доказать еще одну, более известную теорему, которая звучит следующим образом: сумма углов треугольника равна 180°.
В этом случае лучшим будет не доказательство Евклида, а более раннее, приписываемое пифагорейцам. Делается это так. Рассмотрим любой треугольник и обозначим его углы, как a, b и c.
Через верхний угол треугольника проведем линию, параллельную основанию.
Теперь на секунду отвлечемся и вспомним свойства параллельных прямых: если третья прямая пересекает две параллельные прямые, как здесь,
то углы, помеченные как а, равны.
Попробуем применить это свойство углов к сделанным выше построениям, в которых через вершину угла треугольника проведена прямая, параллельная его основанию.
Построив внутренние накрест лежащие углы, мы видим, что угол слева от верхнего угла треугольника должен быть равен a. Аналогичным образом угол справа от верхнего угла равен b. Таким образом, вместе углы а, b и с образуют развернутый угол в 180°. Что и требовалось доказать.
Это одно из самых убедительных доказательств во всех разделах математики. Оно начинается со вспышки молнии, сопровождаемой раскатами грома, — построения параллельной прямой. Как только прямая линия проведена, доказательство, как создание доктора Франкенштейна, начинает гулять само по себе.
И кто знает? Если мы высветим эту другую сторону геометрии — занимательную и интуитивную, где искра воображения может быстро возгореться в доказательство, — то, может быть, ученики запомнят уроки геометрии как уроки, где они научились мыслить логически и творчески[65].
14. Конический заговор
Галереи шепота — это замечательные акустические пространства, обнаруженные под определенными куполами, сводами или сводчатыми потолками. Один из таких сводчатых потолков находится в вестибюле станции метро Grand Station в Нью-Йорке. Это прекрасное место для свиданий: вы можете обмениваться милыми глупостями, находясь на расстоянии сорока футов, разделенные шумным проходом, и будете четко слышать друг друга, а прохожие не услышат ни слова из того, что вы сказали.
Для получения такого эффекта двое должны стать на одной линии в противоположных углах помещения лицом к стене так, чтобы оказаться в геометрических фокусах звука, то есть в точках, в которых сосредотачивается звук, отражающийся от изогнутой стены прохода или потолка. Обычно звуковые волны распространяются во всех направлениях, хаотично отражаются от стен и так сильно перемешиваются, что становятся нераспознаваемы для уха слушателя, находящегося в сорока футах от вас (именно поэтому прохожие не слышат, что вы говорите). Но когда вы шепчете в фокусе, все отраженные волны одновременно прибывают в другой фокус, тем самым усиливая друг друга, благодаря чему ваши слова можно расслышать.
Эллипсы демонстрируют аналогичное чутье на фокус, хотя и в более простой форме. Если мы изобразим отражатель в виде эллипса, то две особые точки внутри него (отмеченные как F1 и F2 на рисунке ниже) будут фокусами, и все лучи, исходящие из источника света в одной из этих точек, отразятся в другой.
Я продемонстрирую удивительные свойства фокусов в эллипсах на двух примерах.
Предположим, что Дарт и Люк[66] занимаются стрельбой из лазеров на эллиптической арене с зеркальными стенами. Они договорились не целиться прямо друг в друга, а стрелять в противника дуплетом. Дарт не очень разбирается в геометрии и оптике и не замечает, что оба находятся в точках фокуса. «Хорошо, — говорит Люк, — только я буду стрелять первым». Но это совсем не похоже на дуэль, потому что Люк не может промахнуться! Куда бы он ни целился, он все равно попадет в Дарта. Каждый его выстрел победный.
Если вы любитель поиграть в бильярдный пул, представьте себе, что играете в бильярд на эллиптическом столе с лузой в одном из фокусов. Чтобы направить кий для трюкового удара, который каждый раз гарантирует попадание, установите бильярдный шар в другом фокусе. Тогда, как бы вы ни ударили по шару и где бы он ни отскочил от стенки стола, он всегда угодит в лузу.
Параболические кривые и поверхности имеют другую поразительную способность — фокусировать параллельно входящие лучи в одной точке. Эта особенность их геометрии очень полезна в случае, если необходимо усилить световые или звуковые волны или другие сигналы. Например, параболические микрофоны могут использоваться для усиления приглушенных разговоров, в связи с чем представляют интерес для слежки, шпионажа и правоохранительных органов. Они также пригодятся для записи звуков природы: пения птиц, голосов животных, а во время телевизионной трансляции спортивных программ позволят услышать, как тренер ругает судей. Параболические антенны тоже способны усиливать радиоволны, поэтому телевизионные спутниковые тарелки и гигантские астрономические радиотелескопы имеют характерную изогнутую форму.
Фокусирующее свойство параболы не пропадает, если развернуть ее в противоположном направлении. Допустим, вы хотите получить в прожекторах и фарах автомобиля точно сфокусированные лучи света. Сами по себе лампочки, даже мощные, недостаточно хороши. Они расходуют слишком много световой энергии, рассеивая ее во всех направлениях. Местом, где лампы находятся в фокусе, является параболический отражатель фары, и — вуаля! — парабола автоматически создает направленный луч. Отражая лучи лампы от посеребренной внутренней поверхности фары, парабола все лучи делает параллельными.
Когда вы оцените фокусирующую способность парабол и эллипсов, то удивитесь, что среди всех геометрических фигур больше практически ни одна не обладает подобными свойствами. Не лежат ли в их основе какие-то фундаментальные закономерности?
У математиков и сторонников теории заговора[67] много общего: мы не доверяем совпадениям, особенно удачным. Отрицаем случайности. Все имеет свою причину. Применительно к реальной жизни такой способ мышления, возможно, кажется несколько параноидальным, но для математика он совершенно нормален. В идеальном мире чисел и фигур странные совпадения обычно являются ключами к тому, чего мы не замечаем, и свидетельствуют о наличии скрытых закономерностей.
Итак, рассмотрим более подробно возможную связь между параболами и эллипсами[68]. На первый взгляд, они не похожи. Параболы имеют форму арки, вытянутой на обоих концах. У эллипсов овальная форма, и они напоминают раздавленные окружности, замкнутые и ограниченные.
Но как только вы выйдете за рамки стандартных представлений и исследуете анатомию этих фигур, то заметите, насколько они похожи. Обе принадлежат к королевской семье кривых; генетическая связь между ними становится очевидной, когда понимаешь, куда нужно смотреть.
Чтобы объяснить, как они связаны между собой, необходимо вспомнить, что в точности означают эти кривые.
Парабола обычно определяется как множество всех точек, равноудаленных от данной точки и данной прямой, не содержащей эту точку. Это труднопостигаемое толкование, но его довольно легко понять, если представить следующую картинку, при этом обозначив данную точку F как фокус, а прямую как L.
В соответствии с определением парабола состоит из всех точек, которые лежат на одинаковом расстоянии от F и L. Например, точка Р, находящаяся прямо под F на полпути к L, точно подходит под это определение.
Бесконечное множество других точек P1, P2… тоже подходят под него, как показано ниже.
>
Точка P1 расположена на одинаковом расстоянии d1 от прямой и фокуса. То же самое верно и для точки P2, но в этом случае имеется в виду некое расстояние d2. Все точки P с таким свойством образуют данную параболу.
Почему мы считаем F фокусом, становится ясно, если представить параболу как кривое зеркало. Оказывается (хотя я не стану это доказывать), если направить луч света прямо на параболическое зеркало[69], все отраженные лучи пересекутся в одной точке F, создавая сильно сфокусированное пятно света.
По такому же принципу работали старые лампы для загара, под которыми предыдущее поколение жарилось в те далекие времена, когда никто не беспокоился о раке кожи.
Теперь давайте обратимся к эллипсу. Он определяется как множество точек, для которых сумма расстояний от двух данных точек является константой. Если перевести это на простой язык, получим инструкцию, как нарисовать эллипс. Возьмите ручку, лист бумаги, чертежную доску, две канцелярские кнопки и кусочек веревки. Положите бумагу на доску. Несильно ее натягивая, прикрепите к ней концы веревки канцелярскими кнопками. Затем зацепите веревку карандашом и натяните ее, образуя угол, как показано ниже. Когда начнете рисовать, следите за тем, чтобы веревка все время была натянута. Начинайте вести карандашом по бумаге вокруг кнопок и, сделав полный круг, получите эллипс.
Линия, полученная в результате, полностью соответствует определению эллипса. Кнопки играют роль двух заданных точек. А сумма расстояний от них до любой точки на кривой всегда постоянна независимо от положения карандаша, потому что неизменно совпадает с длиной веревки.
Где же в этой конструкции фокусы эллипса? Там, где находятся кнопки. Я не буду это доказывать, но именно фокусы позволяют Люку и Дарту все время попадать в противника и загоняют шар в лузу при игре в бильярд на эллиптическом столе.
Вопрос: почему именно параболы и эллипсы имеют такую фантастическую способность фокусировать? Каким секретом они обладают?
Ответ: оба представляют собой поперечные сечения конуса.
Конус? Вы, возможно, не понимаете, причем тут он, но это именно то, что нам нужно. Просто до сих пор роль конуса была скрыта от нас.
Чтобы понять, причем здесь конус, представьте себе, как вы разрубаете его тесаком для разделки мяса, как если бы нарезали салями косо со все более увеличивающимся углом наклона ножа. Если конус разрезать горизонтально, то его сечением будет окружность.
Но если разрезать конус под небольшим наклоном, то его сечение из окружности превращается в эллипс.
Чем больше угол наклона сечения, тем длиннее и тоньше пропорции эллипса. И при критическом угле, равном углу наклона образующей конуса, эллипс превращается в параболу.
Так вот в чем секрет: парабола, в очень узком смысле, замаскировалась под эллипс. Неудивительно, что и она обладает чудесной способностью эллипса фокусировать. Это свойство по наследству передается из поколения в поколение от эллипсов к параболам.
На самом деле окружности, эллипсы и параболы — члены большой дружной семьи, известной под общим названием конические сечения — кривые, полученные путем разрезания поверхности конуса плоскостью. В семействе конических сечений есть еще одна сестра: если конус разрезается очень круто, под большим углом, чем угол наклона образующей конуса, то сечением станет кривая, называемая гиперболой. В отличие от всех остальных кривых, эта состоит из двух ветвей.
Эти четыре типа кривых покажутся еще более тесно связанными, если посмотреть на них с точки зрения алгебры. В алгебре они представлены в виде графиков уравнений второй степени:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,
где константы A, B, C, … определяют, будет ли графиком данной функции окружность, эллипс, парабола или гипербола.
В расчетах эти кривые появляются при исследовании траекторий объектов, перемещающихся под воздействием силы тяжести. Поэтому совсем не случайно планеты солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам с одним из фокусов в центре Солнца; кометы проходят через солнечную систему по эллиптической, параболической или гиперболической траектории; а брошенный ребенком мяч летит по параболической дуге. Все это подтверждает существование конического заговора.
Вспомните об этом, когда в следующий раз будете играть в мяч.
15. Непременное условие
Друг моего отца по имени Дэйв, выйдя на пенсию, поселился в городке Юпитер во Флориде. Когда мне было лет двенадцать, мы всей семьей гостили у него, и он показал нам то, что произвело на меня неизгладимое впечатление.
Дэйву нравилось составлять график времени наступления рассветов и закатов[70], которые он наблюдал в течение всего года. Каждый день он отмечал две точки на своем графике и после многих месяцев наблюдений заметил нечто любопытное. Эти две кривые выглядели как встречные волны. Когда одна из них поднималась, другая опускалась, а когда восход солнца наступал раньше, заходило оно позже.
Но были и исключения. В последние три недели июня, большей части декабря и в начале января время наступления восхода и захода каждый день было одинаково более поздним, что придавало волнам слегка однобокий вид.
Тем не менее закономерность в поведении кривых казалась очевидной: изменение промежутка между ними показывало увеличение или уменьшение продолжительности дня в различные времена года. Путем вычитания значений нижней кривой из значений верхней Дэйв также выяснил, как в течение года меняется продолжительность светового дня. К его удивлению, в этой кривой вообще не было однобокости. Она выглядела абсолютно симметричной.
Он увидел почти идеальную синусоиду. Если вы проходили тригонометрию[71] в средней школе, то, возможно, помните, что рассказывали о ней. Хотя не исключено, что ваш учитель больше говорил о синусоиде как об основном инструменте количественного выражения отношения между сторонами и углами треугольника. Это исходные тригонометрические определения древних астрономов и геодезистов.
Тем не менее тригонометрия, опровергая свое слишком скромное название, в настоящее время выходит далеко за рамки измерения треугольников. С помощью количественного описания круга она также проложила путь анализу всех повторяющихся с определенной частотой явлений — от океанских волн до волн головного мозга. Это ключ к математике циклов.
Чтобы увидеть, как тригонометрия соединяет круги, треугольники и волны, представьте, что маленькая девочка катается круг за кругом на колесе обозрения.
Оказывается, они с мамой интересуются математикой, поэтому решили, что такое катание — прекрасная возможность для эксперимента. Девочка взяла с собой GPS-навигатор, чтобы каждое мгновение регистрировать высоту, на которой находится: и в самой высокой точке, и при движении обратно вниз к земле, и снова, двигаясь вверх и вниз. Результаты выглядят следующим образом:
Это синусоида. Она возникает всякий раз, когда кто-нибудь или что-нибудь движется по горизонтали или вертикали и одновременно по кругу.
На уроках тригонометрии вы обсуждали, как синусоидальная волна связана с синусоидальной функцией? Ну, хорошо, допустим, мы рассматриваем снимок девочки. В запечатленный момент она находится под некоторым углом, назовем его a, по отношению к пунктирной линии на рисунке.
Отметим, что гипотенуза прямоугольного треугольника и радиус колеса обозрения имеют равную длину. Тогда sin a (читается синус a) показывает нам, на какой высоте находится девочка. Точнее, sin a определяется высотой, на которой она пребывает, измеренной от центра колеса с учетом того, что девочка находится под углом a к пунктирной линии.
По мере вращения колеса обозрения угол a будет постепенно увеличиваться и в конце концов превысит 90°, и с этого момента мы больше не сможем его рассматривать как угол прямоугольного треугольника. Означает ли это, что тригонометрию далее нельзя применять?
Нет. Испугавшись, как обычно, математики просто расширили область определения синусоидальной функции до любого угла, а не только для углов менее 90°, а затем представили sin a как высоту расположения девочки выше или ниже центра круга.
График sin a продолжает расти, а затем убывать (и даже становится отрицательным) — это то, что мы подразумеваем под синусоидой. Такие колебания повторяются на протяжении каждых 360°, что соответствует полному обороту.
Такой способ трансформации кругового движения в синусоиду часто встречается в повседневной жизни, хотя не всегда заметен для нас. Гул люминесцентных ламп над головой в наших офисах напоминает, что где-то в энергосистеме генераторы вращаются со скоростью 60 оборотов в секунду, преобразуя свое вращательное движение в переменный ток, то есть в электрические синусоидальные волны, от которых во многом зависит современная жизнь. Когда вы говорите, а я вас слушаю, органы наших тел используют синусоиды: вашего — при генерации звука путем вибраций голосовых связок, а моего — посредством колебаний волосков в ушах, принимающих звуки голоса. Если мы откроем наши сердца этим синусоидам и настроимся на их молчаливый напев, то у них появится сила сдвинуть нас. В этом есть нечто мистическое.
Когда рвется гитарная струна или дети крутят скакалку — во всех этих случаях проявляются синусоиды. Круги на поверхности пруда, гребни дюн, полосы зебры — все это отражение основного механизма формирования закономерностей природы[72], появления синусоидальной структуры на основе повторяемости.
Эти явления обусловлены существованием глубинных математических механизмов. Всякий раз, когда по какой-то причине теряется устойчивость некоего состояния равновесия в физических, биологических или химических процессах, первыми появляются синусоиды или их сочетания.
Синусоиды — это атомы структуры. Они — блоки мироздания природы. Без них не было бы ничего, что придавало бы новый смысл латинскому выражению sine qua non — это «непременное условие».
Действительно, эти слова верны в буквальном смысле. Квантовая механика описывает реальные атомы и, следовательно, всю материю в виде волновых пакетов. Даже в космических масштабах синусоиды представляют собой семена всего сущего. Астрономы исследовали спектр (рисунок синусоидальных волн) космического микроволнового фонового излучения[73] и обнаружили, что эти измерения соответствуют предсказаниям инфляционной космологии[74] — одной из теорий рождения и развития Вселенной. Таким образом, похоже, изначальная синусоида, волнистость в плотности материи и энергии, возникла без Большого взрыва, спонтанно, и породила материю космоса — а также звезды, галактики. И в конечном счете, маленьких детей, катающихся на колесе обозрения.
16. Идти до предела
В средней школе мы с друзьями обожали разгадывать классические головоломки. Что произойдет, если непреодолимая сила встретит неподвижный объект? Легко! Они взрываются. Обычная философия для тринадцати лет.
Но одна загадка долго волновала нас. Если вы продолжаете двигаться, находясь на полпути к стене, вы когда-нибудь до нее дойдете? Как-то очень грустно было думать, что ты все ближе и ближе к цели и все же никогда до нее не доберешься. (Наверное, это и есть метафора подростковой тоски по необъяснимому.) Еще одной проблемой было завуалированное присутствие бесконечности. Чтобы добраться до этой стены, следовало сделать бесконечное число шагов, и в конце они были бы бесконечно малой длины. Ух ты![75]
Вопросы, подобные этому, всегда вызывали головную боль. Около 500 года до н. э. Зенон Элейский[76] сформулировал четыре парадокса бесконечности, которые озадачили его современников, что, возможно, отчасти послужило причиной изгнания данного понятия из математики на столетия. Например, в евклидовой геометрии рассматривалось только конечное число шагов. Считалось, что бесконечность неопределенна и непознаваема, и ее трудно сделать логически упорядоченной.
Но Архимед, величайший математик античности, осознал мощь бесконечности. Он заставил ее решать задачи, которые в противном случае были бы нерешаемы, и в процессе движения к бесконечности приблизился к изобретению интегрального исчисления — почти за 2000 лет до Ньютона и Лейбница.
В следующих главах мы рассмотрим великие идеи, лежащие в основе исчисления бесконечно малых. Но сейчас я хотел бы начать с первой из красивых идей, встречающихся у древних при вычислении площади круга и числа .[77]
Давайте вспомним, что мы подразумеваем под «пи». Это отношение двух расстояний, где одно — диаметр (отрезок между наиболее удаленными точками окружности, проходящий через ее центр), а другое — длина окружности. «Пи» () определяется как отношение длины окружности к ее диаметру.
Если вы вдумчивый исследователь, то вас уже кое-что должно насторожить. Откуда мы знаем, что имеет одинаковое значение для любых окружностей? Может быть, оно различно для больших и маленьких кругов? Ответ на этот вопрос отрицательный, но его доказательство не тривиально. Вот вам интуитивный аргумент.
Представьте, что с помощью ксерокса вы уменьшаете изображение круга, скажем, на 50 %. Тогда все расстояния на рисунке, в том числе длина окружности и ее диаметр, тоже уменьшатся на 50 %. Итак, когда вы разделите длину новой окружности на ее диаметр, уменьшение на 50 % нейтрализуется, и их соотношение останется неизменным. Оно и составляет .
Конечно, здесь мы не сможем узнать величину . Простые эксперименты с веревкой и блюдом достаточно хороши, чтобы получить значение около 3 или, если вы хотите более точный результат, 3. Но, предположим, надо найти значение точно или приближенно, но с любой желаемой точностью. Что тогда? Эта проблема приводила древних в замешательство.
Прежде чем перейти к блестящему решению Архимеда, я должен упомянуть еще об одном случае, когда появляется в связи с кругами. Площадь круга (размер пространства внутри него) вычисляется по формуле
A = r2,
где A — площадь круга, — греческая буква пи, а r — радиус окружности, определяемый как половина диаметра.
Все мы помним эту формулу из средней школы, но откуда она взялась? На уроках геометрии она обычно не доказывается. Если бы мы делали вычисления по ней, то, наверное, смогли бы найти доказательство. Но так ли уж необходимы вычисления, чтобы доказать ее?
Да, необходимы.
Задачу осложняет то, что эти фигуры имеют округлую форму. Если бы они были прямоугольными, проблемы бы не существовало. Найти площади треугольников и прямоугольников легко. А работать с такими изогнутыми формами, как круги, — трудно.
С математической точки зрения можно допустить, что изогнутая форма состоит из большого числа небольших прямоугольных отрезков. Это, конечно, не совсем так, но работает — при условии, что вы доведете их количество до предела, представив бесконечно много бесконечно малых частей. Это важнейшая идея всех вычислений.
Вот один из способов определить площадь круга. Начните с разбиения области на четыре равные части и переставьте их таким образом.
Странная форма с фестонами снизу имеет такую же площадь, как и круг, хотя это построение может показаться бесполезным, так как нам неизвестна площадь ее сегментов. Но по крайней мере мы знаем две важные вещи. Во-первых, две нижние дуги имеют общую длину, равную половине длины окружности исходного круга (потому что другая половина окружности приходится на две дуги сверху). Поскольку длина всей окружности в раз больше диаметра, то ее половина в раз больше половины диаметра, то есть радиуса r. Вот почему на рисунке показано, что r — суммарная длина дуг фестонов в нижней части фигуры. Во-вторых, прямые стороны кусочков имеют длину r, так как каждая из них первоначально была радиусом окружности.
Далее повторим все описанные действия, но на этот раз уже с восемью отрезками круга.
Теперь фигура приобрела менее странную форму. Дуги сверху и снизу по-прежнему существуют, но они не столь ярко выражены. Еще одно усовершенствование: левая и правая стороны изогнутой фигуры стали более вертикальными, чем раньше. Несмотря на все изменения, два факта остаются постоянными: дуги внизу по-прежнему имеют длину r, а каждая сторона — длину r. И конечно, площадь фигуры та же — это площадь исходного круга, так как это просто фигура, составленная из восьми частей круга.
По мере увеличения числа отрезков происходит нечто чудесное: фестоны все больше и больше разглаживаются, превращая фигуру в прямоугольник. Дуги становятся более плоскими, а стороны — почти вертикальными.
В пределе бесконечно большого числа частей фигура превратится в прямоугольник. Но, как и прежде, два факта все еще остаются неизменными: нижняя сторона прямоугольника равна r, а высота — r.
Но теперь задача упростилась. Площадь прямоугольника равна его ширине, умноженной на высоту, то есть произведение r и r дает площадь прямоугольника, равную r2. А так как у преобразованной фигуры такая же площадь, как и у исходного круга, то полученное значение является также и площадью круга!
В таких расчетах приятно то, что бесконечность приходит на помощь. В каждом отдельном шаге фигуры с фестонами выглядели странными и бесперспективными. Но когда вы доходите до ее предела, она становится простой и красивой, и все проясняется. Вот так работает исчисление бесконечно малых в своем лучшем проявлении.
Архимед использовал подобную стратегию, чтобы приблизиться к . Он заменил круг на многогранник с прямыми сторонами, а затем удваивал их число, чтобы приблизиться к идеальной округлости. Но вместо того чтобы согласиться на приближение неопределенной точности, он методично ограничивал , поместив круг между вписанными и описанными многоугольниками, как показано ниже, на 6-, 12- и 24-сторонних фигурах.
Затем с помощью теоремы Пифагора он выразил периметры этих внутренних и внешних многоугольников, начиная с шестигранника и далее для многоугольников с 12, 24, 48 сторонами, и в конечном итоге для 96-стороннего многоугольника. Формула для него позволила доказать, что
В десятичной системе счисления (которой у Архимеда не было) это означает, что находится между 3,1408 и 3,1429.
Этот метод известен как метод исчерпывания[78], быть может, потому что неизвестные значения числа загоняются между двумя известными числами, сжимающии его с двух сторон. Границы сужаются с каждым удвоением, тем самым исчерпывая возможности для маневра числа .
В пределе бесконечно большого числа сторон многоугольников верхняя и нижняя границы неравенств будут сходиться к . К сожалению, этот предел не такой простой, как у фигуры с фестонами, превратившейся в прямоугольник. Число становится неуловимее, чем когда бы то ни было ранее[79]. В настоящее время посчитано его значение более чем с 2,7 триллиона знаков, но вы никогда не будете знать его точно.
Помимо того что Архимед заложил основу для интегрального исчисления, он показал нам силу пошагового приближения. Прошло более двух тысячелетий, и эта стратегия развилась в современных методах численного анализа[80]. Когда инженеры используют компьютеры для проектирования оптимально обтекаемого автомобиля или биофизики моделируют новый препарат химиотерапии в качестве защелки на раковую клетку, они используют численный анализ.
Математики и программисты, ставшие пионерами в области применения этого метода, создали высокоэффективные алгоритмы, которые можно выполнять миллиарды раз в секунду, что позволяет компьютерам решать задачи из всех областей современной жизни — от биотехнологий до Уолл-стрит и интернета. В каждом случае используется стратегия нахождения ряда приближений, сходящегося в пределе к правильному ответу.
И нет предела тому, где это можно применить.
Часть IV. Время перемен
17. Перемены, в которые мы можем поверить[81]
До того как я узнал, что такое исчисление[82], я думал, что это что-то необыкновенное. Мой папа говорил о нем с благоговением. Будучи ребенком Великой депрессии, он не смог пойти учиться в колледж, но, возможно, во время пребывания в южной части Тихого океана, ремонтируя двигатели бомбардировщика B-24, он ощутил, на что способно исчисление. Представьте себе несколько зениток с механическим управлением, ведущих автоматический огонь по заходящим на цель истребителям врага. Отец знал, что исчисление здесь использовалось для прицеливания орудий.
Каждый год около миллиона американских студентов проходят курс исчисления[83]. Но мало кто из них действительно понимает, о чем вообще этот курс, или может объяснить, зачем он нужен. Это не их вина. В этом курсе изучается так много методов, которые следует освоить, и так много новых идей, которые необходимо впитать, что легко пропустить общие положения.
Исчисление функций и интегралов[84] — это математика перемен. Она описывает все — от распространения эпидемий до зигзагов крученого мяча в бейсболе. Этот предмет охватывает большой объем материала, и учебники по размеру соответствующие. Многие превышают тысячу страниц, и работать с ними так же приятно, как открывать дверь с дверной пружиной.
Но в этом объемистом фолианте вы обнаружите две идеи, просвечивающие сквозь толщу материала. Все остальное, как любил повторять золотое правило рабби Гиллель, просто комментарии. Эти две идеи — производная и интеграл. Каждая доминирует в своей области исчислений, названных в их честь: дифференциальное и интегральное исчисления.
Грубо говоря, производная расскажет вам, как быстро что-то меняется, а интеграл — сколько это «что-то» накопит. Они родились в разное время и в разных местах: интегралы в Греции около 250 года до н. э., производные — в Англии и Германии в середине XVII века. Тем не менее (поворот в духе романов Диккенса) они оказались кровными родственниками, хотя ученым и потребовалось более двух тысячелетий, чтобы заметить это родство.
В следующей главе мы исследуем столь удивительную связь и понятие интеграла. Но сначала, в рамках подготовительной работы, рассмотрим производные.
Производные существуют вокруг нас, даже если мы не считаем их таковыми. Например, наклон трапа является производной. Как и все производные, он измеряет скорость изменения. В данном случае — на какую высоту за шаг вы поднимаетесь или спускаетесь. Крутой подъем имеет большую производную. У наклона инвалидной коляски с незначительным перепадом она маленькая.
В каждой области практической деятельности есть собственный вариант производной. Будет ли она предельным доходом или темпом роста, скоростью или наклоном — от любого ее названия по-прежнему веет холодком. К сожалению, многие студенты, прослушав курс дифференциального исчисления, приходят к гораздо более узкому толкованию производной как синонима наклона кривой.
Такая путаница понятна и вызвана она тем, что для отображения количественных отношений мы, как правило, применяем графики. Путем графического изображения у как функции от х мы пытаемся представить, как одна переменная влияет на другую. И при этом совершенно не важно, что понимается под скоростью изменения значений на графике. Это могут быть темпы роста вирусов, скорость струи или нечто, что преобразуется в нечто другое, столь же абстрактное, но что можно изобразить как наклон кривой на графике.
Как и наклоны, производные могут быть положительными, отрицательными или равными 0, что указывает на то, что нечто увеличивается, уменьшается или выравнивается. Рассмотрим летящего по воздуху Майкла Джордана, зависшего над корзиной за секунду до одного из своих феноменальных бросков.
Сразу после прыжка его вертикальная скорость (скорость его подъема, изменяющаяся во времени [кстати, еще одна производная]) будет положительной, потому что он поднимается вверх. Высота подъема спортсмена растет. На пути вниз эта производная отрицательная. В самой верхней точке прыжка, где кажется, что Джордан завис в воздухе, а его подъем прекратился, производная равна 0. В этом смысле он действительно висит.
Здесь действует еще один общий принцип: предметы всегда изменяются медленнее в верхней и нижней точках. В Итаке это особенно заметно. В самое темное время зимы дни не только нещадно коротки, но и очень медленно растет продолжительность светового дня. Как только начинается весна, дни быстро удлиняются. Все это вполне объяснимо. Изменения наиболее вялые в крайних точках именно потому, что производная в них равна нулю. В этом случае процессы моментально успокаиваются.
Это свойство нулевой производной проявляется на пиках и во впадинах и лежит в основе ряда практичных способов применения производных, позволяющих выяснить, где функция достигает своего максимума или минимума. Вопрос о максимуме или минимуме возникает, когда мы ищем самый лучший, или самый дешевый, или самый быстрый способ сделать что-либо.
Господин Жоффрей, мой школьный учитель, который вел у нас вводный курс исчислений[85], умел талантливо преподнести нам условие задач на определение максимума и минимума. Однажды он быстро вбежал в класс и начал рассказывать о своем путешествии через заснеженное поле. Видимо, ветер в одном месте поля намел много снега, покрыв его тяжелым покрывалом, из-за чего учителю пришлось идти гораздо медленнее, а остальная часть поля была чистой, и он шагал по нему легко. В этой ситуации он спросил себя, по какому пути должен идти пешеход, чтобы добраться из пункта А в пункт B как можно быстрее.
Кто-то думал, что нужно тащиться прямо через глубокий снег, чтобы сократить медленную часть пути. Однако в этом случае оставшаяся часть пути заняла бы больше времени.
Еще одна стратегия заключалась в том, чтобы идти по прямой от А к В. Это определенно кратчайшее расстояние, но на преодоление его самой трудной части уйдет больше времени.
Оптимальный путь можно найти с помощью дифференциального исчисления. Это некий компромисс между перечисленными вариантами.
Анализ включает в себя четыре основных этапа. Во-првых, обратите внимание, что общее время в пути, которое мы пытаемся свести к минимуму, зависит от того, где пешеход выбирается из снега. Он может выйти в любом месте, поэтому обозначим как переменную х все возможные точки выхода.
(Ясно, что время в пути зависит также от расположения точек А и В и скорости пешехода в обеих частях поля, но эти параметры заданы. Под контролем пешехода остается только x.)
Во-вторых, с учетом выбора х и известных значений — точки отправления A и пункта назначения B — мы можем вычислить, сколько времени тратит пешеход на путь по быстрой и медленной части поля. Для расчета каждого этапа пути потребуются теорема Пифагора и старая алгебраическая мантра «расстояние равно скорости, умноженной на время». Суммируя пути, проделанные по легкому и трудному участкам, получим формулу для всего времени T пути как функцию от х.
В-третьих, изобразим график зависимости Т от х. В нижней части кривой находится точка, которую мы ищем, соответствующая наименьшему времени пути и, следовательно, самому короткому.
В-четвертых, чтобы найти эту самую нижнюю точку, мы взываем к нулевой производной в соответствии с упомянутым выше принципом. Вычисляем производную от T по х, приравниваем ее к нулю и находим х.
Эти четыре шага требуют знания геометрии, алгебры, а также формул вычисления производных — эти навыки приравниваются к свободному владению иностранным языком, поэтому являются камнем преткновения для многих студентов.
Но окончательный ответ стоит затраченных трудов. Он показывает, что самый быстрый путь подчиняется отношению, известному как закон Снелла. Что? Страшно, что не только свет повинуется этому закону?
Закон Снелла[86] описывает, как преломляются лучи света при переходе из воздуха в воду. Например, когда лучи солнца попадают в бассейн. Свет в воде движется медленнее, так же как и пешеход по снегу, и отклоняется таким образом, чтобы минимизировать время движения. Подобным способом свет преломляется, когда переходит из воздуха в стекло или пластик, что происходит в линзах ваших очков.
Пугает то, что свет ведет себя так, будто он осмысленно изучает все возможные пути[87], а затем выбирает лучший.
18. Хоть ломтиками, хоть кубиками[88]
Математические знаки и символы часто кажутся загадочными, но лучшие из них — это визуальные ключи к их значениям. Символы нуля, единицы и бесконечности очень напоминают пустую дыру, единичную отметку и бесконечную петлю: 0, 1, . А знак равенства = образован двумя параллельными линиями, поскольку, как писал его создатель валлийский математик Роберт Рекорд, в 1557 году: «Больше не существует двух вещей, которые были бы настолько равными».
В исчислениях самый узнаваемый значок — интеграл . Его изящные линии вызывают в памяти музыкальный ключ или резонаторное отверстие скрипки — подходящее совпадение, учитывая то, что некоторые из очаровательных гармоник в математике выражаются интегралами. Но настоящая причина того, что математик Готфрид Лейбниц выбрал именно этот символ, менее поэтична. Это просто буква S для обозначения суммирования, но с длинной шеей.
А что суммируется — зависит от контекста. В астрономии сила притяжения Земли к Солнцу описывается интегралом. Она представляет собой общее воздействие (то есть сумму) всех сил гравитации, порождаемых каждым атомом Солнца на различных расстояниях от Земли. В онкологии растущая масса опухоли может быть смоделирована с помощью интеграла[89]. Он позволяет определить общее количество вводимого при химиотерапии лекарственного средства.
Понимание того, почему в этих случаях требуется интегральное исчисление, а не обычное суммирование, мы получили в начальной школе. Давайте рассмотрим, с какими трудностями мы столкнулись бы, если бы действительно пытались вычислить силу притяжения Земли к Солнцу. Первая трудность заключается в том, что ни Солнце, ни Земля не являются точками. Это гигантские шары, состоящие из колоссального числа атомов. Каждый атом Солнца — это нечто вроде гравитационного буксира для каждого атома Земли. Поскольку атомы крошечные, то их взаимное притяжение почти бесконечно мало, но их бесконечно много и в совокупности они могут составлять ощутимую силу. И надо каким-то образом просуммировать все их воздействия.
Но есть и вторая, более серьезная трудность: притяжение различных пар атомов различно. Для одних оно сильнее, чем для других. Почему? Потому что сила притяжения меняется в зависимости от расстояния: чем ближе объекты, тем сильнее они притягиваются. Атомы самых удаленных друг от друга частей Солнца и Земли испытывают наименьшее притяжение; атомы, находящиеся близко друг к другу, притягиваются сильнее, а те, которые между ними, испытывают среднее по силе притяжение. Интегральное исчисление позволяет просуммировать все эти изменяющиеся силы. Удивительно, но это можно осуществить по крайней мере в идеализированной модели, если считать Землю и Солнце твердыми шарами, состоящими из бесконечного числа точек непрерывной материи, причем каждая из этих точек оказывает бесконечно малое воздействие на другие. Как и во всех исчислениях, бесконечность и пределы, на помощь!
Исторически интеграл сначала появился в геометрии для нахождения площадей криволинейных фигур. Площадь круга можно представить как сумму множества тонких ломтиков пирога. В пределе имеем бесконечное множество кусочков, каждый из которых бесконечно тонкий. Эти кусочки затем можно ловко перестроить в прямоугольник, площадь которого нетрудно найти. Это типичный пример использования интеграла. Идея интегрирования заключается в том, чтобы взять что-то сложное, нарезать его на кусочки и перетасовать так, чтобы было легко складывать.
В трехмерном обобщении этого метода Архимед (а около 400 года до н. э. и Евдокс) рассчитывал объемы различных фигур путем их представления в виде стопки множества пластин или дисков, подобной порезанной на тонкие кусочки колбасе. Посчитав объемы различных ломтиков и гениально проинтегрировав их, Архимед и Евдокс получали полный объем исходной фигуры.
Сегодня будущим математикам и ученым по-прежнему даются в качестве упражнений классические геометрические задачи, требующие решения с помощью интегралов. Это одни из самых сложных в процессе обучения упражнений, и многие студенты ненавидят их. Но нет более верного способа отточить навыки работы с интегралами, которые понадобятся в любой области, где используются количественные вычисления, — от физики до финансирования.
Одна из таких мозгодробительных задач — вычисление объема твердого тела, которое является общей частью двух одинаковых цилиндров[90], пересекающихся под прямым углом.
Требуется очень богатое воображение, чтобы представить себе эту трехмерную фигуру. Поэтому нет ничего постыдного в том, чтобы признать свое поражение и отыскать другой способ ее визуализации. В настоящее время компьютерная графика[91] позволяет легко воспроизвести подобные фигуры[92].
Примечательно, что фигура имеет квадратное поперечное сечение, несмотря на то что является пересечением круглых цилиндров.
Сделаем стопку из бесконечного множества тонюсеньких квадратов, которая сужается от большого квадрата в середине фигуры до все более маленьких квадратиков и превращается в точку вверху и внизу.
Изобразить фигуру — всего лишь первый шаг. Для определения ее объема надо вычислить объемы всех отдельных составляющих ее кусочков. Архимеду удалось это сделать только в силу своей поразительной изобретательности[93]. Он использовал механический метод, основанный на рычаге и центрах тяжести, по сути, взвешивая фигуру в своем сознании, уравновешивая ее другими, уже ему известными. Недостатком его подхода, помимо того что он требовал гениальных способностей, было то, что его можно было применить только к очень ограниченному числу фигур.
Концептуальные проблемы, подобные этой, ставили в тупик лучших математиков в течение следующих девятнадцати веков — до середины XVII столетия, когда Джеймс Грегори, Исаак Барроу, Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц обосновали то, что сейчас называется фундаментальной теоремой интегрального исчисления[94]. Она мощно сковала два типа изменений, которые изучаются в исчислениях: накапливаемые изменения, представленные интегралами, и локальные изменения, представленные производными (см. главу 17). Выявив эти связи, основная теорема значительно расширила вселенную интегралов и уменьшила утомительную работу по их вычислению. В настоящее время ее можно запрограммировать на компьютере. С ее помощью даже задача о пересечении двух цилиндров, которая относилась когда-то к уровню мирового класса, становится общедоступной.
Только простейшие виды изменений могли быть проанализированы до появления основной теоремы интегрального исчисления. Когда что-то меняется постепенно, с постоянной скоростью, алгебра прекрасно работает. Это из области «расстояние равно скорости, умноженной на время». Например, автомобиль движется с неизменной скоростью 60 миль в час, при этом он проедет 60 миль за первый час и 120 миль к концу второго часа.
А как насчет изменений, которые происходят при изменении скорости?
Все вокруг нас постоянно меняется: увеличение скорости упавшего с высотного здания пенни, быстрая смена потоков, эллиптические орбиты планет, наши суточные биоритмы. Только исчисление может справиться с накапливаемым эффектом от неоднородных изменений, подобных этим.
На протяжении почти двух тысячелетий после Архимеда для прогнозирования эффекта от постоянных изменений существовал только один метод — последовательное складывание различных ломтиков. Предполагалось, что вы считаете скорость изменения в пределах каждого ломтика постоянной, затем вызываете аналог «расстояние равно скорости, умноженной на время», чтобы медленно двигаться до конца ломтика, и повторяете это до тех пор, пока все кусочки не будут рассмотрены. В большинстве случаев выполнить это невозможно. Бесконечные суммы слишком сложно вычислять.
Фундаментальная теорема интегрального исчисления позволила решить многие из ранее нерешаемых задач, упростила вычисление интегралов, по крайней мере для элементарных функций (суммы и произведения степеней, экспоненты, логарифмы и тригонометрические функции), которыми описываются многие явления в природе.
С помощью нижеприведенной аналогии я надеюсь пролить свет на основную идею фундаментальной теоремы и то, зачем она нужна. (Ее предложил мой коллега Чарли Пескин из Нью-Йоркского университета.) Представьте себе лестницу, общее изменение высоты которой от нижней до верхней ступенек равно сумме высот всех ступенек. Это верно даже при условии, что высота одних ступенек больше, чем других. Количество ступенек не имеет значения.
Фундаментальная теорема интегрального исчисления работает и для функций. Если проинтегрировать производную функции от одной точки до другой, то получим ее изменение между двумя точками. В данной аналогии функции — это увеличение подъема каждой ступеньки по отношению к уровню земли. Высоты отдельных ступенек — производные. Интегрирование производных — это суммирование подъемов. А две точки — верхняя и нижняя часть лестницы.
Что это нам дает? Предположим, вас попросили просуммировать огромный список чисел. Оказывается, что бы вы ни суммировали, всякий раз вы берете интеграл по частям. Если вам удастся найти соответствующие лестницы — другими словами, если вы сможете отыскать функцию подъема, для которой подходят эти числа, — то вычислить интеграл совсем несложно. Просто нужно из верха вычесть низ[95].
Это огромное достижение в ускорении вычисления стало возможным благодаря фундаментальной теореме интегрального исчисления. Именно поэтому с первых месяцев преподавания курса интегрального исчисления мы требуем от студентов нахождения функции возвышения, что в математике называется первообразной или неопределенным интегралом.
С точки зрения перспективы надежным наследием интегрального исчисления будет своего рода взгляд Veg-O-Matic[96] на Вселенную. Ньютон и его преемники обнаружили, что сама природа открывается по кусочкам. Оказалось, что таким свойством обладают практически все открытые за последние 300 лет законы физики, что бы они ни описывали: движение частиц, тепловые потоки, электричество, воздух или воду. Вместе с основополагающими законами условия в каждом кусочке времени или пространства определят, что произойдет в соседних кусочках. Впервые в истории рациональное прогнозирование стало возможным — не в час по чайной ложке, а семимильными шагами благодаря фундаментальной теореме.
Так что давно пора поменять наш лозунг для интегралов «Хоть ломтиками, хоть кубиками» на «Пересчитайте заново. Есть метод получше».
19. Все о числе e
Некоторые числа — такие знаменитости, что их эстрадные имена состоят всего лишь из одной буквы. Даже самые важные персоны, такие как Мадонна и Принц, не могут с ними сравниться. Самое знаменитое — число , ранее известное как 3,14159…
Следом идет число i из алгебры — это мнимое число настолько радикально, что изменило само понятие числа. Кто там далее в «звездном» рейтинге?
Поприветствуйте e! Прозванное так за свою роль в прорыве экспоненциального роста, число e теперь Зелиг[97] высшей математики. Оно всплывает везде, где можно и нельзя, выглядывает из углов сцены, дразня своим присутствием в нелепых местах. Например, наряду с глубоким математическим анализом, оно вызывает цепную реакцию и бум рождаемости населения; е есть что сказать о том, со сколькими партнерами вы должны иметь романтические отношения прежде, чем остепенитесь.
Но перед тем как перейти к этим вопросам, давайте точно определим, что означает число e[98]. Его численное значение равно 2,71828 — но это не многое разъясняет. Я могу вам сказать, что e равно пределу суммы
по мере увеличения числа членов, участвующих в этой сумме. Но это тоже не особенно полезно. Давайте лучше посмотрим на е в действии.
Представьте себе, что у вас есть депозит в виде сберегательного счета в размере 1000 долларов в банке, который ежегодно выплачивает невероятно щедрую процентную ставку в 100 % годовых. Через год на вашем счете будет 2000 долларов, то есть начальный депозит в размере 1000 долларов плюс 100-процентная ставка по ним, равная еще 1000 долларам.
Прикидываясь дурачком, вы просите у банка еще более выгодные условия: предлагаете выплачивать вам проценты раз в полгода, то есть чтобы банк выплачивал только 50 % ставки в течение первых шести месяцев и 50 % ставки следующие шесть месяцев. Естественно, вы окажетесь в выигрыше, так как будете получать проценты на проценты. Но насколько?
Ответ на этот вопрос следующий: ваша первоначальная сумма в 1000 долларов возрастет на коэффициент 1,50 за первое полугодие и снова на коэффициент 1,50 во втором полугодии. А поскольку 1,50, умноженное на 1,50, равно 2,25, то через год на вашем счете будет 2250 долларов. Это значительно больше, чем 2000 долларов, которые вы можете получить на изначальных условиях.
А что произойдет, если вы еще надавите на банк и убедите его разбить год на более короткие периоды выплаты процентов: по дням, секундам или даже по наносекундам? В этом случае вы смогли бы сколотить небольшое состояние?
Допустим, год поделен на 100 равных пеиодов, после каждого из которых выплачивается 1 % ставки (при процентной ставке 100 % в год, поделенной на 100 частей). Тогда в конце года сумма в 1000 долларов увеличится на коэффициент 1,01, возведенный в 100-ю степень, что приблизительно равно 2,70481. Другими словами, вместо 2000 или 2250 долларов на вашем счете будет большая сумма, но не превышающая 2704,81 доллара.
И наконец, если сложный процент начисляется бесконечно часто (это называется непрерывным начислением), то общая сумма на счете по истечении одного года будет еще больше, но не превысит 2718,28 доллара. Точный ответ: это произведение 1000 долларов на число е, где е определяется как предельное число
Это наиболее существенный вычислительный аргумент в пользу числа е. Как говорилось в предыдущих главах, где мы вычисляли площадь круга и размышляли о притяжении Земли к Солнцу, дифференциальное и интегральное исчисления, основанные на исчислении бесконечно малых, от других разделов математики отличаются тем, что стремятся обуздать ужасающую власть бесконечности. Имея дело с пределами производных или интегральных сумм, необходимо всегда очень осторожно подходить к бесконечности.
В процессе приближения к пределу, который вел к e, мы разделили год на все возрастающее число периодов начисления сложных процентов. Можно сказать, разбили его на временные окошки, которые становились все уже и уже, и в конечном счете подошли к тому, что можно описать как бесконечное множество бесконечно узких окошек. Забавно, что чем чаще в течение определенного периода начисляется процент по вкладу, тем медленнее растут деньги. Тем не менее через год по-прежнему набегает приличная сумма процента, потому что он многократно умножался на протяжении бесконечно многих периодов!
Таков ключ к вездесущности e. Оно часто возникает, когда что-то меняется в результате суммарного действия множества крошечных воздействий.
Рассмотрим кусочек урана в процессе радиоактивного распада. Момент за моментом каждый атом имеет определенный маленький шанс подвергнуться распаду. Произойдет ли это с каждым из них и когда — совершенно непредсказуемо, и каждое такое событие оказывает в целом бесконечно малое влияние. И все же в совокупности эти триллионы событий создают сглаженный, предсказуемый, экспоненциально затухающий процесс радиоактивного распада.
Или подумайте о населении Земли, которое растет в геометрической прогрессии. Во всем мире дети рождаются в случайных местах в непредсказуемые моменты, пока другие люди умирают тоже в случайных местах в непредсказуемые моменты. Каждое событие имеет мизерное в процентном отношении воздействие на демографическую ситуацию в мире, но в совокупности население растет в геометрической прогрессии с очень предсказуемой скоростью.
Есть еще одна причина для появления e, сочетающая в себе огромное число вариантов выбора. Для ее иллюстрации приведу два примера из повседневной жизни, хотя и в очень стилизованной форме.
Представьте себе, что популярный новый фильм показывают в местном кинотеатре. Это романтическая комедия, и сотни пар (намного больше, чем может вместить кинотеатр) выстроились в кассу в очередь за билетами, хотя и отчаялись попасть внутрь. Как только счастливая пара получает билеты, она пробирается в зал и ищет два места рядом. Для простоты предположим, что влюбленные выбирают эти места наугад, там, где есть свободные. Другими словами, они не заботятся о том, будут ли сидеть близко к экрану или далеко от него, на проходе или в середине ряда. Пока они рядом друг с другом, они счастливы.
Допустим, ни одна пара не будет пересаживаться, чтобы освободить место для другой. После того как молодые люди уселись, они никуда не передвигаются. Полное отсутствие вежливости. Зная это, кассир прекращает продавать билеты после того, как остается только одно свободное место. В противном случае начались бы драки.
Сначала, пока в кинотеатре довольно пусто, не возникает никаких проблем. Каждая пара легко находит два места рядом. Но через какое-то время остаются только одиночные места и одиночные промежутки между парами, которые двое не хотят занимать. В реальной жизни люди часто намеренно создают такие промежутки: чтобы положить пальто или не опираться на один подлокотник с неприятным незнакомцем. Но в нашей модели эти промежутки случайны.
Вопрос: если больше не осталось мест для пар, сколько свободных мест еще есть в кинотеатре?
Ответ следующий: оказывается, в кинотеатре с большим залом (когда в ряду много мест) доля пустующих мест примерно равна
что приближается к 13,5 %[99].
Хотя сам расчет слишком сложный для того, чтобы его здесь привести, легко заметить, что 13,5 % находится в правой части диапазона между двумя крайними значениями. Если бы все пары сидели вплотную друг к другу, пустующих мест не было бы.
Тем не менее, если бы они расположились максимально нерационально, то есть всегда оставляя возле себя свободное место (и оставив свободное место в каждом ряду у прохода: на одном или на другом конце ряда, как показано на рисунке ниже), то пустовала бы одна треть мест, потому что каждая пара заняла бы три места: два для себя и одно промежуточное.
Догадываясь, что произвольный выбор должен лежать где-то между идеально рациональным и совершенно неэффективным, иначе говоря, быть средним между 0 и , мы ожидаем что-то около , то есть что 16,7 % мест будут пустовать. И это недалеко от точного результата 13,5 %.
Здесь большое число вариантов возникло из-за того, что у пар был богатый выбор в огромном кинотеатре. Наш следующий пример тоже об организации пар, только теперь не в пространстве, а во времени. То, о чем я говорю, касается довольно болезненной проблемы: со сколькими партнерами я должен встретиться прежде, чем выберу себе супругу[100]. Реальный вариант этой задачи слишком сложен для математического расчета. Рассмотрим упрощенную модель. Несмотря на допущения, невозможные в жизни, в ней все еще сохраняется некоторая душераздирающая романтическая неопределенность.
Предположим, вам известно, сколько потенциальных супругов вы встретите в течение жизни. (Фактическое количество не важно, лишь бы знать наперед, сколько их будет, и чтобы не слишком мало).
Предположим также, что вы могли бы оценить этих людей однозначно (то есть выбрать наилучшего), если бы увидели их всех вместе. К несчастью, это невозможно. Вы встречаете их только по одному и в случайном порядке. Таким образом, вы не можете знать, находится ли предмет ваших мечтаний с первым номером из вашего списка прямо за углом или вы уже встречались и расстались.
И правила этой игры таковы: как только вы позволите кому-то уйти, он (или она) тут же уходит. Второго шанса нет.
Наконец представим, что вы хотите остепениться. В этом случае, если вы порываете с тем «наилучшим на сегодняшний день», кого в прошлом не поместили в верхнюю часть списка, вы будете считать свою личную жизнь неудачной.
Есть ли надежда найти истинную любовь? Если да, то что нужно сделать, чтобы обеспечить себе наибольшие шансы?
Хорошая стратегия, хотя и не самая оптимальная, — разделить свою жизнь с момента, когда у вас начались романтические отношения, и до настоящего времени на две равные части. В первой половине вы мужчина нарасхват[101], а во второй — готовы к серьезным отношениям и собираетесь схватить первого же партнера, который будет лучше тех, с кем вы встречались до этого.
Следуя такой стратегии, есть по крайней мере 25-процентный шанс найти предмет мечтаний. И вот почему: шансов встретить его во второй половине жизни, когда вы созрели для серьезных отношений, у вас 50 на 50, и столько же встретить наилучшего на сегодня в первой половине жизни, когда вы еще легкомысленны. Вероятность, что произойдут оба события, составляет 25 %. В этом случае вы найдете свою истинную любовь.
А все потому, что «наилучший на сегодняшний день» очень высоко поднял планку. Никто из тех, кого вы повстречаете после того, как будете готовы к серьезным отношениям, не будет привлекать вас так, как предмет мечтаний. Но даже в этот момент вы, возможно, станете сомневаться, что предмет мечтаний и есть тот единственный, кто сможет преодолеть планку, поставленную «наилучшим на сегодняшний день».
Однако оптимальная стратегия — начать серьезный поиск партнера немного раньше, после 1/е, или около 37 % от вашей потенциальной взрослой жизни. Это даст вам 1/е шансов найти свою вторую половину.
Разумеется, при условии, что она в это время не будет играть в e-игры.
20. Любит не любит
Читать бесплатно другие книги:
