Главная
Строгац Стивен
Удовольствие от X. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире
Читать онлайн бесплатно

Удовольствие от X. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире Строгац Стивен

Когда пришла моя очередь, я явился в первый класс, где училась моя дочь, с сумкой, наполненной лентами Мебиуса[154]. Накануне вечером мы с женой нарезали длинные полоски из бумаги и скрутили каждый из них на пол-оборота, вот так:

а затем склеили концы полосок так, чтобы получились ленты Мебиуса.

Для этого увлекательного занятия с формами для шестилетних детей требуются лишь ножницы, карандаши, скотч и немного любознательности.[155]

Когда мы с женой раздали ученикам ленты Мебиуса и указанные выше принадлежности, учитель спросил у детей, каким, по их мнению, предметом они сейчас занимаются. Один мальчик поднял руку и сказал: «Не уверен, каким именно, но точно знаю, что не языкознанием».

Конечно, учитель ожидал от него ответа «искусство» или, скорее, «математика». Однако лучшим ответом стала бы «топология»[156]. (В Итаке кто-нибудь из первоклассников обязательно бы такое выдал. Однако в том году ученик, чьи родители занимались топологией, учился в другом классе.)

Итак, что же такое топология? Это энергично развивающаяся отрасль современной математики, ответвление геометрии, но только более свободное. В топологии две формы рассматриваются как одна, если одна из них непрерывно переходит в другую в результате изгибов, кручения, растягивания или любой другой непрерывной деформации, но при этом ее нельзя разрывать или прокалывать. В отличие от жестких объектов в геометрии, объекты в топологии ведут себя так, как если бы были бесконечно гибкими или сделанными из идеальной резины.

Топология фокусирует внимание на самых глубинных свойствах формы, тех, которые не изменяются после непрерывной деформации. Например, две полоски резины, одна в форме квадрата, а вторая — круга, топологически неразличимы. Здесь не имеет значения, что у квадрата четыре угла и четыре прямые стороны. Эти свойства несущественны. При непрерывной деформации от них можно избавиться, округлив углы квадрата и изогнув его стороны в дуги.

Но есть одна вещь, от которой подобная деформация избавиться не может — это свойственная кругу и квадрату замкнутость линии границы[157]. Обе фигуры ограничены замкнутыми кривыми. Это их общая топологическая сущность.

Подобно этому сущность ленты Мебиуса заключается в ее скрученности на пол-оборота, обеспечивающей форме ее особые свойства. Самое замечательное, что лента Мебиуса имеет только одну сторону и только один край. Другими словами, ее лицевая и обратная поверхности в действительности являются одним и тем же, так же как и ее верхний и нижний край. (Чтобы проверить это, просто ведите пальцем по середине ленты, пока не вернетесь в исходное положение.) Здесь благодаря полуобороту верхний и нижний край бумаги объединились в одну большую непрерывную кривую. Подобным образом объединились и обе стороны. Когда лента склеена, эти ее свойства фиксируются. Готовую ленту Мебиуса можно растягивать и скручивать, уже ничто не изменит того, что у нее одна сторона и один край.

Предложив первоклассникам исследовать вытекающие из этого удивительные свойства ленты Мебиуса, я хотел им продемонстрировать, насколько это интересно и увлекательно.

Сначала я попросил их взять карандаш и аккуратно провести линию посередине ленты. И они сосредоточенно стали рисовать нечто наподобие показанного здесь пунктира.

Сделав один оборот, они остановились, озадаченно переглядываясь. Потом стали шумно обсуждать, почему их линии не замкнулись, как ожидалось. Карандашная линия не вернулась в исходную точку, а оказалась на «другой» стороне поверхности. Это и был первый сюрприз: необходимо дважды пройти по ленте Мебиуса, чтобы добраться до исходной точки.

Внезапно один мальчик расплакался. Когда он обнаружил, что его карандаш не вернулся в исходное положение, он подумал, что сделал что-то не так. Сколько мы его ни убеждали, что он ничего не напутал и именно так и должно получиться, надо было просто пройти еще один круг, оказалось, уже поздно. Валяясь на полу, ребенок безутешно рыдал.

С некоторой опаской я предложил классу сделать еще одно дело — взять ножницы и разрезать ленту по всей длине по средней линии. «Как думаете, что выйдет в результате?» — спросил я у них.

«Они распадутся! Получится две части!» — предположили малыши. Но когда они попробовали, вышло нечто абсолютно невероятное (одна лента двойной длины), и возгласы радости и удивления стали еще громче. Это напоминало какой-то фокус.

После этого внимание ребят уже было сложно удержать. Они полностью увлеклись собственными экспериментами, изготавливая всевозможные варианты лент Мебиуса, закрученные на два или три полуоборота, разрезая их на две, три или четыре части, создавая всевозможные скрученные петли, цепочки и узлы, причем все это сопровождалось возгласами: «Смотрите, что у меня получилось!» А я все не мог успокоить плачущего мальчугана. Полагаю, мой урок не первый довел кого-то из учеников до слез.

Виктория Харт была настолько разочарована унылыми вузовскими курсами математики, что стала прямо в классе заниматься всякими глупостями, рисуя змей, деревья и растянутых слонов и не слушая монотонно бубнившего учителя. Ви Харт, называющая себя «развлекательным матемузыкантом на полной занятости», разместила свои каракули на YouTube и вмиг стала знаменитой. Они были просмотрены сотни тысяч раз, а в случае со слонами — более миллиона. Сама Вики и ее видеоклипы совершенно захватывающие[158].

Два из моих любимых свойств ленты Мебиуса связаны с музыкой и историями Виктории. Самое непостижимое из них — «Музыкальная шкатулка Мебиуса», проигрывающая отрывок из мелодии Ви, навеянной книжками про Гарри Поттера.

Эта мелодия закодирована в серию отверстий, пробитых в перфоленте, которые затем подаются в обычную музыкальную шкатулку. Изобретение Ви состоит в том, что она скрутила концы ленты и склеила их в виде ленты Мебиуса. Вращая ручку музыкальной шкатулки, Ви прогоняла через нее ленту, и мелодия звучала как обычно. Но примерно через пятьдесят секунд (в ее видеоклипе) петля делала один оборот, и, поскольку это была лента Мебиуса, закрученная на пол-оборота, музыкальная шкатулка начинала воспроизводить мелодию, как если бы она была записана на обороте ленты, то есть в перевернутом виде. Та же мелодия повторялась, только теперь перевернутая. Высокие ноты становились низкими, а низкие — высокими. Они играются в том же порядке, но в перевернутом виде, из-за перекрученности ленты Мебиуса.

Еще более потрясающий пример «перевернутого» применения ленты Мебиуса — это «История ленты Мебиуса: Винди и мистер Уг», горько-сладкая притча о недоступной любви. Маленькая приветливая треуголочка по имени Винди, нарисованная стирающимся маркером, живет в плоском мире из прозрачного целлулоида в форме ленты Мебиуса. Она страдает от одиночества и не теряет надежды встретить единственного обитателя своей вселенной — загадочного джентльмена Уга, живущего внизу. Она никогда его не видела: он почему-то всегда отсутствует, когда она останавливается у его дома. Но ей все равно очень нравятся письма, которые он ей пишет, и она все же надеется на встречу.

Предупреждение: пропустите следующий абзац, если не хотите узнать секрет этой истории.

Мистера Уга не существует. Винди — это и есть мистер Уг, только перевернутый вверх тормашками и расположенный на обратной стороне прозрачной ленты Мебиуса. Так получается потому, что Ви хитрым способом печатает буквы и заставляет мир при перекручивании пленки переворачиваться. При этом, когда имя Винди, ее дом или сообщения проходят один раз вокруг ленты Мебиуса и переворачиваются, оказывается, что все они относятся к мистеру Угу.

Мое описание не заменит видео. Вам следует посмотреть его, и вы будете поражены изобретательностью Ви в отношении сочетания уникальной любовной истории с яркими иллюстрациями свойств ленты Мебиуса.

Многие художники также черпали вдохновение в потрясающих свойствах ленты Мебиуса[159]. Эшер использовал их, рисуя муравьев на бесконечной петле. В работах скульпторов и каменотесов, например Макса Билла и Кейзо Ушио, тоже прослеживается мотив ленты Мебиуса.

Вероятно, самая монументальная из всех мебиусоподобных структур — это архитектура Национальной библиотеки Казахстана[160]. Ее проект, созданный датским архитектурным бюро BIG, напоминает спиральные завитки, которые изгибаются вверх-вниз, как в юрте, где «стены становятся крышей, крыша полом, а пол снова стенами».

Свойства ленты Мебиуса дают простор для творчества не только дизайнерам, но и инженерам. Например, лента для записи в виде ленты Мебиуса обладает двойным временем воспроизведения.

Компания BFGoodrich запатентовала конвейерную ленту Мебиуса, которая служит вдвое дольше обычной, поскольку одинаково изнашивается с «обеих» сторон. Другие патенты на тему ленты Мебиуса связаны с новыми конструкциями конденсаторов, хирургических ретракторов и самоочищающихся фильтров для химчистки[161].

Вероятно, самая хитрая область применения топологии та, где лента Мебиуса вообще не используется. Такие вариации на тему кручений и связей могут оказаться полезны в случае, если к вам на завтрак нагрянут гости. Это изобретение Джорджа Харта, папы Ви. Он геометр и скульптор, а в прошлом — преподаватель информатики в университете Стони Брука и куратор музея математики в Нью-Йорке. Джордж придумал, как разрезать бублик пополам так, чтобы две половинки остались сцепленными, как звенья цепи[162].

Преимущество этого изобретения в том, что можно не только развлечь гостей, но и получить дополнительную площадь для намазывания сливочным сыром.

28. Мысли глобально

Появление наиболее известных идей геометрии обусловлено тем, что древние видели мир плоским[163]. В геометрических утверждениях, от леммы о параллельных прямых до теоремы Пифагора, прослеживаются вечные истины о некоем воображаемом двумерном ландшафте плоской геометрии.

Задуманная в Индии, Китае, Египте и Вавилоне более 2500 лет назад, систематизированная и уточненная Евклидом и древними греками, эта геометрия, построенная на представлении о плоской Земле, — основная (и зачастую единственная), которой сегодня учат в старших классах средней школы. Но ведь за последние несколько тысячелетий многое изменилось.

В эпоху глобализации, интернета и межконтинентальных воздушных путешествий всем необходимо иметь представление о сферической геометрии и ее современном обобщении, дифференциальной геометрии[164]. Основным идеям последней около 200 лет. Своим возникновением она обязана Карлу Гауссу и Бернхарду Риману. Дифференциальная геометрия подводит фундамент под такое величественное интеллектуальное здание, как общая теория относительности Эйнштейна. В ее основе лежат красивые концепции, и они могут быть постигнуты каждым, кто когда-либо ездил на велосипеде, смотрел на глобус или растягивал резиновый шнур. Их понимание поможет вам разобраться в нескольких курьезах, которые вы могли заметить во время своих путешествий.

Например, когда я был маленьким, папа любил задавать мне загадки по географии. «Что севернее, — спрашивал он, — Рим или Нью-Йорк?» Большинство людей думают, что Нью-Йорк, но удивительно, оба города находятся почти на одной широте, причем Рим даже немного севернее. На обычной карте мира (где из-за ошибочности меркаторовой проекции[165] Гренландия выглядит гигантской) кажется, что, двигаясь на восток, можно попасть прямо из Нью-Йорка в Рим. Тем не менее пилоты никогда не летят по этому маршруту. Из Нью-Йорка они всегда летят на северо-восток, придерживаясь побережья Канады. Раньше я думал, они это делают из соображений безопасности, но оказалось, был не прав. Просто с учетом кривизны Земли это самый прямой маршрут.[166] Кратчайший способ добраться из Нью-Йорка в Рим — пролететь вдоль канадской провинции Новая Шотландия и Ньюфаундленда, далее проследовать над Атлантикой и наконец, пройдя к югу от Ирландии и пролетев всю Францию, достичь солнечной Италии.

Такой путь называется дугой большой окружности. Как и прямые в обычном пространстве, большие окружности на сфере содержат кратчайшие пути между любыми двумя точками. Яркие примеры больших окружностей — экватор и меридиональные окружности, проходящие через Северный и Южный полюс.

Еще одно свойство, общее для больших окружностей и прямых, заключается в том, что это самые прямые и короткие пути между двумя точками. Возможно, это звучит странно, поскольку все пути на глобусе кривые, так что же тогда подразумевается под «прямой»? Нетрудно заметить, что на шаре одни кривые более изогнуты, чем другие. Кривизна больших окружностей обусловлена лишь тем, что она вынуждена повторять изогнутость поверхности сферы.

Чтобы понять это, представьте, что вы едете на крошечном велосипеде по поверхности шара и пытаетесь не сбиться с определенного пути. Если это часть большой окружности, то переднее колесо велосипеда все время будет направлено строго прямо вперед. Вот в таком смысле большие окружности прямые. В противоположность этому, если вы попытаетесь ехать вдоль линии широты вблизи одного из полюсов, вам придется постоянно держать руль повернутым в сторону полюса.

Конечно, ни одна реальная поверхность не может состоять только из простых плоскостей и сфер. Например, человеческое тело, консервная банка или бублик имеют различного рода отверстия и проходы, которые делают запутанными передвижения по таким поверхностям. В этой ситуации задача поиска кратчайшего пути между любыми двумя точками становится чрезвычайно сложной. Поэтому, вместо того чтобы искать технические решения, применим интуитивный подход. Вот где пригодятся резиновые шнуры.

Представьте скользкий упругий резиновый шнур, который максимально сжимается, оставаясь на поверхности объекта. С его помощью легко определить кратчайший путь между Нью-Йорком и Римом или, в случае необходимости, между любыми двумя точками на любой поверхности. Прикрепите концы шнура к точкам отправления и прибытия и позвольте ему растянуться, но так, чтобы он повторял контур поверхности. Когда шнур растянется настолько, насколько позволяет резина, — вуаля! — получится след кратчайшего пути.

На более сложных поверхностях, чем плоскости или сферы, может произойти нечто необычное: между двумя точками в локальной области может существовать множество кратчайших путей. Например, рассмотрим поверхность жестяной банки из-под консервированного супа с двумя точками, лежащими прямо друг под другом.

Кратчайшим путем между этими точками, как показано выше, явно будет отрезок, и наш упругий резиновый шнур нашел бы это же решение. Тогда что же здесь необычного? Цилиндрическая форма консервной банки открывает новые возможности для разного рода деформаций. Предположим, нам нужно, чтобы, прежде чем оказаться в конечной точке, шнур один раз опоясал консервную банку. (Подобное ограничение накладывается на спираль ДНК, когда она оборачивается вокруг определенных белков в хромосомах.) В этом случае шнур, натягиваясь, образует спираль, подобную спирали на торговых знаках парикмахеров[167].

Такая спиралевидная траектория рассматривается как еще одно решение в задаче о кратчайшем пути в том смысле, что это кратчайший из близлежащих путей. Если немного сдвинуть шнур, то он обязательно станет длиннее, а затем снова натянется и вернется в исходное положение. Можно сказать, что этот кратчайший путь — местный чемпион среди всех путей при однократном обертывании шнура вокруг цилиндра. (Кстати, именно поэтому данная область математики называется «дифференциальной геометрией». Она изучает влияние малых локальных различий (англ. differences) на такие характеристики геометрических объектов, как разность в длине между близлежащими спиралевидными путями.)

Но это еще не все. Есть еще один чемпион, который появится, если обвить шнуром банку дважды, и еще один, если обвить банку трижды, и так далее. На цилиндре существует бесконечное множество локальных кратчайших путей! Но ни один из них не является самым кратчайшим. Прямолинейный путь короче всех других.

Поверхности с отверстиями и ручками имеют много локально кратчайших путей, отличающихся рисунком их переплетения вокруг различных частей поверхности. Следующий стоп-кадр из видео математика Конрада Полтье[168] из Свободного университета Берлина иллюстрирует неоднозначность этих локальных кратчайших путей, то есть геодезических линий, на поверхности придуманной планеты в форме восьмерки, которую специалисты называют тором с двумя отверстиями.

Три показанные здесь геодезические линии различной формы проходят по разным частям планеты, но их объединяет то, что они самые короткие по сравнению с близлежащими путями. И так же, как прямые линии на плоскости или большие окружности на сфере, эти геодезические линии — самые прямые из возможных кривых на поверхности. Они огибают ее, но не перегибаются сами. Чтобы пояснить это, Полтье сделал еще одно учебное видео.

Мотоцикл без водителя едет по геодезическому шоссе, повторяющему рельеф тора с двумя отверстиями. Примечательно, что руль заблокирован так, чтобы мотоцикл двигался только прямо и не мог съехать с дороги. Поэтому нет необходимости им управлять. Это усиливает уже сложившееся мнение о том, что геодезические линии, как и большие окружности на сфере, представляют собой естественное обобщение прямых линий.

После такого буйства фантазии вам, возможно, будет интересно узнать, есть ли у геодезических линий что-либо общее с реальностью. Конечно есть. Эйнштейн доказал, что, когда лучи света движутся по Вселенной, они перемещаются по геодезическим линиям. Знаменитый изгиб света звезд вокруг Солнца, обнаруженный при наблюдении солнечного затмения 1919 года, подтвердил, что свет движется по геодезическим линиям искривленного пространства-времени в соответствии с деформацией, вызванной притяжением Солнца.

На более приземленном уровне математика поиска кратчайших путей имеет решающее значение для маршрутизации трафика в интернете. Однако пространство всемирной сети, в отличие от гладких поверхностей, рассмотренных выше, — это гигантский лабиринт адресов и ссылок, а математические задачи о кратчайших путях трансформированы в задачи нахождения самых быстрых путей[169]. Учитывая множество потенциальных маршрутов, их решение было бы невозможным, если бы изобретательность математиков и компьютерщиков не упростила его.

Иногда люди используют утверждение «кратчайший путь между двумя точками — это прямая линия» в переносном смысле, подтверждая тем самым присутствие здравого смысла. Другими словами, «не усложняй без необходимости». Но преодоление пути с препятствиями способно поднять до больших высот, поэтому и в искусстве, и в математике часто стоит наложить на себя определенные ограничения. Сочиняйте хайку и сонеты или расскажите историю своей жизни всего в шести словах[170]. То же самое верно для всех направлений математики, призванных помочь вам найти кратчайший путь решения той или иной задачи, которую задает вам жизнь.

Две точки. Много путей. Математический экстаз.

29. Анализируй это!

Математика чванлива и самодовольна. Она, подобно главе мафиозного клана, производит впечатление особы решительной, неуступчивой и сильной. Она сделает вам такое предложение, от которого вы не сможете отказаться.[171]

Но наедине с собой математика не всегда так уверена в себе. Она колеблется. Задает себе вопросы и порой сомневается в том, что они правильные. Особенно там, где дело касается бесконечности. Бесконечность может заставить математика бодрствовать ночами, вызывая тревогу, суетливость и чувство экзистенциального ужаса. В истории математики были времена, когда спущенная с привязи бесконечность была настолько взвинчена, что появлялись опасения, что она может все перевернуть с ног на голову.

В сериале «Клан Сопрано» босс мафии Тони Сопрано, страдающий приступами панических атак и пытающийся понять, почему его мать хочет, чтобы его убили, консультируется у врача-психиатра. Под напускной жесткостью скрывается очень смущенный и напуганный человек.

Таким же образом исчисление уложило себя на кушетку психиатра именно тогда, когда казалось, что оно при смерти. После многолетнего триумфа, уничтожив все проблемы, стоявшие на пути, оно начало осознавать что-то нездоровое, настораживающее в самой своей основе. Именно то, что сделало его успешным, — его жестокие навыки и бесстрашие в манипулировании бесконечными процессами — в настоящее время угрожало его уничтожить. И терапией, которая в конечном итоге помогла преодолеть этот кризис, стал, по случайному совпадению, анализ[172].

Вот пример одной из задач, которые волновали математиков XVIII века. Рассмотрим бесконечную сумму

1 — 1 + 1–1 + 1–1 +…

Это числовой эквивалент незатухающих колебаний[173]: шаг вперед, шаг назад, шаг вперед, шаг назад и так далее до бесконечности.

Значит ли это, что данная последовательность чисел имеет какой-нибудь смысл? И если да, то чему она равна в результате?

Оптимист, дезориентированный бесконечно длинным выражением, подобным этому, может надеяться, что некоторые из старых правил, выкованных опытом взаимодействия с конечными суммами, останутся в силе. Например, мы знаем, что 1 + 2 = 2 + 1. Когда мы складываем два числа и более в виде конечной суммы, мы всегда можем поменять их порядок без изменения результата: a + b равно b + a (коммутативный закон сложения). И когда в выражении больше чем два члена, мы можем, поставив скобки, самозабвенно группировать его члены, не влияя на окончательный результат. Например: (1 + 2) + 4 = 1 + (2 + 4): сложение 1 и 2, а затем 4, дает тот же ответ, что и сложение 2 и 4, а затем 1. Это называется ассоциативным (сочетательным) законом сложения. Он работает, даже если суммируются несколько чисел. Мы знаем, что вычитание числа — то же самое, что прибавление отрицательного числа. Например, рассмотрим сумму, состоящую из первых трех членов записанного выше числового ряда, и зададим вопрос: что такое 1–1 + 1? Мы могли бы представить это как: (1–1) + 1 или 1 + (–1 + 1), где во втором выражении в скобках вместо вычитания 1 прибавляем –1. В любом случае ответ будет: 1.

Но когда мы попытаемся обобщить эти правила для бесконечных сумм, то столкнемся с несколькими неприятными сюрпризами. Посмотрите на возникающее противоречие: если мы возьмем ассоциативный закон и доверчиво применим его к 1–1 + 1–1 + 1–1 +… С одной стороны, мы можем сократить положительные и отрицательные единицы, группируя их следующим образом:

1 — 1 + 1–1 + 1–1 +… = (1–1) + (1–1) + (1–1) +… = 0 + 0 + 0 +… = 0.

С другой — можно точно так же, как здесь показано, поставить скобки и сделать вывод, что результат равен 1.

1 — 1 + 1–1 + 1–1 +… = 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) +… = 1 + 0 + 0 +… = 1.

Ни один из этих способов не кажется более убедительным, поэтому какова вероятность, что сумма равна и 0, и 1? Сегодня для нас это предположение звучит абсурдно, но в то время некоторые математики утешились его религиозным подтекстом. Он напоминал им о богословском утверждении, что Бог создал мир из ничего. Как написал в 1703 году математик и священник Гвидо Гранди: «Поставив по-разному скобки в выражении 1–1 + 1–1 +… я могу, если хочу, получить 0 или 1. Но тогда идея творения из ничего (лат. ex nihilo) совершенно правдоподобна».

Тем не менее очевидно, что Гранди предпочитал третье значение суммы, отличное от 0 или 1. Догадаетесь ли вы, какое именно? Подумайте, что можно сказать, если вы с ученым видом валяете дурака.

Правильно. Гранди считал, что истинная сумма равна . И великие математики, в том числе Лейбниц и Эйлер, были с ним согласны. Несколько линий рассуждения подтверждали этот компромисс. Например, 1–1 + 1–1 +… можно выразить с помощью собственных членов следующим образом. Давайте использовать букву S для обозначения суммы. Тогда по определению

S = 1–1 + 1–1 +…

Теперь оставим первую 1 в правой части уравнения в покое и займемся остальными его членами. Они создают собственную копию S, и члены, стоящие справа от первой 1, вычитаются из нее:

S = 1–1 + 1–1 +… = 1 — (1–1 + 1 —…) = 1 — S.

Так что S = 1 — S и, следовательно, S = .

Дебаты по поводу суммы 1–1 + 1–1 +… бушевали почти 150 лет, пока новое поколение аналитиков не водрузило все виды исчисления и его бесконечные процессы (пределы, производные, интегралы, бесконечные ряды) на прочный фундамент раз и навсегда. Они воссоздали предмет с нуля, выстроив строгую логическую структуру, как в Евклидовой геометрии.

Два основных понятия числового ряда — частичные суммы и сходимость. Частичная сумма представляет собой нарастающую сумму. Вы просто суммируете конечное число членов, а затем останавливаетесь. Например, если сложить первые три члена ряда 1–1 + 1–1 +… получим 1–1 + 1 = 1. Давайте назовем это S₃. Буква S обозначает «сумму», а индекс 3 показывает, что мы сложили только первые три члена. Вот несколько первых частичных сумм для этого ряда

S₁ = 1

S₂ = 1–1 = 0

S₃ = 1–1 + 1 = 1

S₄ = 1–1 + 1–1 = 0.

Таким образом, мы видим, что частичные суммы скачут между 0 и 1, и при этом не наблюдается никакой тенденции остановиться на 0, 1, или где-нибудь еще. По этой причине современные математики сказали бы, что сумма 1–1 + 1–1 +… не сходится.

Другими словами, частичные суммы не стремятся ни к какому предельному значению по мере увеличения числа членов, включенных в них. Поэтому сумма этого бесконечного ряда не имеет смысла.

Итак, мы придерживаемся прямой и узконаправленной линии поведения: не тратим впустую время и ограничиваемся анализом только тех рядов, которые сходятся. Значит ли это, что мы избежим встреченных ранее противоречий?

Пока нет. Кошмар продолжается. И это хорошо, что он существует, потому что напуганные им аналитики XIX века открыли более глубокие тайны в самом сердце исчисления, а затем вытащили их на свет. Извлеченные из этого уроки оказались бесценными не только для математики, но и для ее приложений во всех областях — от музыки до медицинской визуализации.

Рассмотрим ряд, известный в гармоническом анализе как знакочередующийся гармонический ряд:

1 — + — + — +…

Вместо одного шага вперед и одного назад здесь шаги становятся все короче и короче. Один шаг вперед, но только полшага назад, затем треть шага вперед и четверть шага назад и так далее. Обратите внимание на следующую закономерность: дроби с нечетным знаменателем имеют положительные знаки, а с четным — отрицательные. Частичные суммы в данном случае равны:

S₁ = 1

S₂ = 1 — = 0,500

S₃ = 1 — + = 0,833…

S₄ = 1 — + — = 0,583…

И если вы рассмотрите достаточно много таких сумм, то обнаружите, что они нацеливаются на число, близкое к 0,69. Действительно, можно доказать, что этот ряд сходится. Его предельное значение равно натуральному логарифму от 2 (обозначается ln2), приблизительно составляющему 0,693147.

Так что же здесь кошмарного? На первый взгляд, ничего. Знакочередующийся гармонический ряд походит на паиньку: сходящийся, с хорошим поведением. Ваши родители похвалили бы его.

Именно это и делает его опасным. Это хамелеон, мошенник, скользкий тип, который может быть кем угодно. Если переставлять его члены в произвольном порядке, вы можете подвести его сумму к любому значению. Буквально. Например, 297, 126 или –42, или 0, или любому другому.

Это выглядит так, будто ряд полон презрения к коммутативному закону сложения. Просто просуммировав его члены в иной последовательности, вы можете изменить ответ, чего никогда не произошло бы с конечной суммой. Поэтому, даже если исходный ряд сходится, в нем по-прежнему будут странности, которые невозможно представить в обычной арифметике.

Вместо того чтобы доказать этот удивительный факт (результат, известный как теорема Римана о перестановке слагаемых в условно-сходящихся рядах)[174], рассмотрим очень простую перестановку, сумму которой легко посчитать. Сгруппируем члены этого ряда таким образом, чтобы к каждому положительному слагаемому прибавлялось два отрицательных.

Далее упростим каждое выражение в скобках, вычитая второй член из первого и оставляя без изменения третий член. Тогда ряд сводится к сумме:

После вынесения за скобки из всех дробей выражения как общего множителя ряд примет вид:

Смотрите, кто вернулся! Бестия в скобках — это снова знакочередующийся гармонический ряд. Но в результате перестановки, даже при сохранении всех его членов, как-то получилось, что он вдвое уменьшился по сравнению с первоначальным! Представленный в таком виде ряд теперь сходится к ln2 = 0,346…

Странно? Да. Ненормально? Да[175]. Но неудивительно ли, что то же самое происходит и в реальной жизни. Как мы уже убедились в ходе прочтения книги, даже самые заумные и надуманные понятия математики часто находят практическое применение. Связь с практикой в данном случае заключается в том, что во многих областях науки и техники (от обработки сигналов и акустики до финансов и медицины) лучше всего представлять различные виды кривых, звуков, сигналов или изображений как группы (или совокупности) более простых кривых, звуков, сигналов или изображений. При этом основными строительными блоками будут синусоиды. Этот метод называется анализом Фурье[176], а соответствующая сумма — рядом Фурье. Но когда рассматриваемый ряд имеет некоторые патологические свойства, как у знакочередующегося гармонического ряда и его невменяемых родственников, сходимость у ряда Фурье может быть действительно очень необычной.

Вот, например, один из рядов Фурье, непосредственно вдохновленный знакочередующимся гармоническим рядом:

Чтобы получить представление о том, как он выгляди на графике, давайте рассмотрим сумму его первых десяти членов.

Частичная сумма 10 членов

Эта частичная сумма (показана сплошной линией) явно пытается приблизиться к более простой волновой кривой в форме зубцов пилы (показано пунктирной линией). Заметим, однако, что вблизи краев зубцов что-то не так. Синусоида «промахнулась» и приняла вид странного пальца, который выходит за пилообразную волну. Чтобы увидеть это отчетливее, посмотрим на увеличение одного из зубцов при x = :

Частичная сумма 10 членов

Попытаемся избавиться от пальца, включив в частичную сумму больше слагаемых. Не повезло. Палец просто становится тоньше и перемещается ближе к краю, но его высота остается примерно такой же.

Частичная сумма 50 членов

Частичная сумма 100 членов

Вину за происходящее можно возложить на знакочередующийся гармонический ряд. Его описанная выше патология сейчас загрязняет ряды, связанные с рядами Фурье. Они отвечают за этот раздражающий палец, который никуда не денется.

Данный эффект, обычно называемый феноменом Гиббса[177], больше, чем просто математический курьез. Он известен с середины XIX века и в настоящее время проявляется в цифровой фотографии и на МРТ-сканировании[178]. Нежелательные колебания, вызванные феноменом Гиббса, могут привести к размытости, мерцанию и прочим непреднамеренным нежелательным визуальным искажениям на острых краях видеоизображения. В медицинской практике их можно ошибочно принять за поврежденную ткань или скрыть повреждения, которые есть на самом деле.

К счастью, сто лет назад аналитики точно определили, что вызывает артефакты Гиббса (см. примечание[179]), и научили нас, как преодолеть эти явления, или, по крайней мере, распознать их в случае появления.

30. Отель Гильберта

В феврале 2010 года я получил электронное письмо от женщины по имени Ким Форбс. Ее шестилетний сын Бен задал ей математический вопрос, на который она не смогла ответить, и она надеялась, что я смогу помочь.

Сегодня 100-й день его пребывания в школе. Сын был очень взволнован и рассказал мне все, что знает о числе 100, включая то, что оно четное. Затем он сказал, что 101 нечетное число, а 1 000 000 — четное и т. д. А потом остановился и спросил: «Бесконечность — четная или нечетная?»

Я объяснил Ким, что бесконечность не может быть ни четной, ни нечетной. Это не число в обычном смысле, и оно не подчиняется правилам арифметики. Например, я писал: «Если бы бесконечность была нечетным числом, при умножении на себя она стала бы четным числом. И обе были бы бесконечностями! Так что в целом понятие четности и нечетности не имеет смысла для бесконечности».

Ким ответила:

Спасибо. Бен удовлетворен таким объяснением. Ему понравилась идея, что бесконечность достаточно велика, чтобы быть одновременно как четной, так и нечетной.

Несмотря на возникшее искажение (бесконечность не нечетная и не четная, а ни то и ни другое), толкование Бена близко к истине. Бесконечность бывает ошеломляющей.

Некоторые из ее странных сторон впервые были освещены в конце XIX века в новаторской работе Георга Кантора[180] по теории множеств[181]. Кантор особенно интересовался бесконечными множествами чисел и точек, подобных множеству {1, 2, 3, 4….} натуральных чисел и множеству точек на прямой. Он определил строгий способ сравнить разные бесконечные множества и обнаружил шокирующее свойство бесконечностей. Оказывается, одни бесконечности больше, чем другие.

В то время теория Кантора вызвала не только неприятие, но и возмущение. Анри Пуанкаре, один из ведущих математиков того времени, назвал ее «болезнью». Однако другой гигант той эпохи, Давид Гильберт[182], увидел в ней долгосрочный вклад в науку и провозгласил: «Никто не может изгнать нас из рая, созданного Кантором».

Моя задача — дать вам некоторое представление об этом рае. Но прежде чем начать, позвольте, следуя подходу, введенному самим Гильбертом, непосредственно рассмотреть множества чисел или точек. Он живо передал странности и уникальность теории Кантора на примере притчи о «Гранд-отеле», который в настоящее время называется отелем Гильберта[183].

Этот отель всегда заполнен, но в нем неизменно остается один свободный номер.

В отеле Гильберта не просто сотни номеров, в нем их бесчисленное множество. Всякий раз, когда прибывает новый постоялец, менеджер переселяет обитателя номера 1 в номер 2; обитателя номера 2 в номер 3 и т. д. Это освобождает номер 1 для нового постояльца и обеспечивает номерами всех остальных (правда, создавая им определенные неудобства при переезде).

Теперь предположим, что приехало бесконечно много новых, причем чем-то раздраженных постояльцев. Это не проблема. Невозмутимый менеджер перемещает обитателя номера 1 в номер 2, из номера 2 в номер 4, из номера 3 в номер 6 и т. д. Этот фокус с удвоением освобождает все нечетные номера (их бесконечное множество) для новых постояльцев.

Вечером того же дня бесконечная вереница автобусов с грохотом подъезжает к стойке регистрации. Их бесконечно много, и, что еще хуже, каждый заполнен бесконечным множеством ворчащих людей, требующих, чтобы отель соответствовал своему девизу: «В отеле Гильберта всегда есть свободные номера».

Менеджер раньше уже сталкивался с такой проблемой и запросто решает ее.

Сначала он проводит трюк удвоения. Это позволяет заселить новых постояльцев в четные номера и освободить все нечетные — хорошее начало, потому что теперь он имеет бесконечное число свободных номеров.

Но достаточно ли этого? Хватит ли нечетных номеров для размещения орд новых постояльцев? Кажется маловероятным, поскольку есть нечто вроде квадратной бесконечности людей, скандалящих из-за этих номеров. (Почему квадратной? Потому что каждый из бесконечного числа автобусов привез бесконечное число пассажиров. Общее количество людей составляет бесконечность, умноженную на бесконечность, чтобы это ни значило).

Вот где логика при работе с бесконечностью становится очень странной.

Чтобы понять, как менеджер собирается решать последнюю задачу, следует визуализировать всех людей, которых он должен поселить.

Конечно, мы не можем показать здесь буквально всех, так как в этом случае диаграмма должна быть бесконечной в обоих направлениях. Но окончательный вариант картинки будет соответствующим. Дело в том, что любой конкретный пассажир автобуса (скажем, ваша тетя Инесс из Луисвилля) обязательно появится где-то на диаграмме, когда мы включим в нее достаточное количество строк и столбцов. В этом смысле каждый пассажир каждого автобуса учтен. Вы называете его имя, и он (или она) обязательно отобразится на некотором конечном количестве шагов к востоку и югу от северо-западного угла картинки.

Задача менеджера — на основании этой диаграммы выработать систему. Он должен построить схему распределения номеров между постояльцами таким образом, чтобы каждый получил свой номер после того, как будет заселено конечное число других людей.

К сожалению, предыдущий менеджер не понял этого, и начался хаос. Когда приезжала очередная колонна автобусов, он так волновался, пытаясь быстро расселить пассажиров первого автобуса, что у него не оставалось времени на яростно кричащих пассажиров других автобусов. На диаграмме ниже проиллюстрирована эта недальновидная стратегия, путь которой всегда соответствовал бы пути на восток вдоль строки 1.

Однако новый менеджер все взял под контроль. Вместо движения вдоль первой строки (обслуживая только первый автобус) он двигался из угла по зигзагообразной схее, как показано ниже.

Он начинает с первой пассажирки автобуса с номером 1 и дает ей первую пустую комнату. Второй и третий свободные номера займут второй пассажир из первого автобуса и первый пассажир из второго автобуса. Оба находятся на второй диагонали от угла диаграммы. Заселив их, менеджер переходит к третьей диагонали и раздает набор ключей от номеров первому пассажиру из третьего автобуса, второму пассажиру из второго автобуса и третьему пассажиру из первого автобуса.

Надеюсь, тактика менеджера — двигаться от одной диагонали у другой — достаточно очевидна. Нетрудно догадаться, что очередь до любого конкретного человека дойдет за конечное число шагов.

Итак, в отеле Гильберта действительно всегда есть свободные места.

Доказательство, которое я только что представил, — известный аргумент из теории бесконечных множеств. Кантор использовал его, чтобы доказать, что положительных дробей ровно столько (соотношений p/q, где p и q — положительные целые числа), сколько и натуральных чисел (1, 2, 3, 4…). Это гораздо более сильное утверждение, чем то, что оба множества бесконечны. Оно говорит о том, что они бесконечны точно в той степени, в какой между ними может быть установлено взаимно-однозначное соответствие.

Вы можете рассматривать это соответствие как систему напарников, в которой каждое натуральное число состоит в паре с некоей положительной дробью, и наоборот. Кажется, что наличие такой системы противоречит здравому смыслу. Это своего рода софистика, приведшая Пуанкаре в ужас. Ибо она предполагает, что мы могли бы сделать исчерпывающий перечень всех положительных дробей, хотя самой маленькой дроби не существует!

И все же есть такой список. Мы его уже нашли. Дробь p/q, в которой пассажиру p соответствует автобус q, а представленное выше доказательство показывает, что каждая из этих дробей может составить пару с определенным натуральным числом 1, 2, 3, …, представляющим собой номер комнаты пассажира в отеле Гильберта.

Позже Кантор также доказал, что взаимно однозначного соответствия между этими парами быть не может. Поскольку множество действительных чисел, лежащих между 0 и 1, неисчислимо и не может быть поставлено в однозначное соответствие с натуральными числами. Для гостиничного бизнеса это означает, что, если все вещественные числа появятся у стойки администратора и начнут звонить в колокольчик, для них не хватит свободных номеров даже в отеле Гильберта.

Докажем это утверждение от противного. Допустим, каждому действительному числу можно дать собственную комнату. Тогда реестр жильцов, которые определены десятичными дробями, и список номеров комнат будут выглядеть примерно так:

Номер 1: 0,6708112345…

Номер 2: 0,1918676053…

Номер 3: 0,4372854675…

Номер 4: 0,2845635480…

Помните, список должен быть полным. Каждое действительное число между 0 и 1 должно появиться в каком-то конечном месте реестра.

Кантор показал, что в подобном перечне отсутствует много чисел. Вот это и есть противоречие. Например, чтобы построить число, которое нигде не появляется в представленном выше списке, спуститесь по диагонали и составьте новое число из подчеркнутых цифр:

Номер 1: 0,6708112345…

Номер 2: 0,1918676053…

Номер 3: 0,4372854675…

Номер 4: 0,2845635480…

Получилась десятичная дробь 0,6975…

Но мы еще не закончили. Следующий шаг — возьмите эту десятичную дробь и измените все ее цифры, заменяя каждую любой другой от 1 до 8[184]. Например, мы могли бы изменить 6 на 3, 9 на 2, 7 на 5 и т. д.

Эта новая десятичная дробь 0,325… является убийцей. Конечно, это не первый номер, так как она имеет другую первую цифру, чем число, находящееся в этом номере. И не второй номер, поскольку у него другая вторая цифра. В общем, она отличается от n-ого числа с n—м десятичным разрядом. Поэтому нигде не фигурирует в списке!

Вывод таков: отель Гильберта не может разместить все действительные числа. Их просто слишком много для этого — бесконечность, выходящая за пределы бесконечности[185].

И с этой унизительной мыслью мы подходим к концу книги, которая началась со сцены в другом воображаемом отеле. Помните? Персонаж «Улицы Сезам» по имени Хамфри, работающий в обеденное время в отеле «Мохнатые лапы», принял заказ у голодных пингвинов: «Рыбка, рыбка, рыбка, рыбка, рыбка, рыбка», и вскоре узнал о силе чисел.

Это было долгое путешествие от рыбок к бесконечности. Спасибо, что оставались со мной.

От автора

Многие друзья и коллеги помогали мне улучшить эту книгу, щедро предлагая мудрые советы по математике, стилистике, истории и другим вопросам. Благодарю Дага Арнольда, Шелдона Акслера, Лэрри Брадена, Дэна Каллахана, Боба Коннелли, Тома Гиловича, Джорджа Харта, Ви Харт, Диану Хопкинс, Герберта Хуи, Синди Клаусс, Майкла Льюиса, Михаэля Мобуссина, Барри Мазура, Эри Ногучи, Чарли Пескина, Стива Пинкера, Рави Рамакришну, Дэвида Ранда, Ричарда Ранда, Питера Ренца, Дугласа Роджерса, Джона Смайли, Гранта Виджинса, Стивена Янга и Карла Циммера.

Хочу выразить признательность коллегам, создавшим иллюстрации для книги и позволившим мне включить их визуальные работы: Рику Алльмендингеру, Полу Бурку, Майку Филду, Брайану Мэдсену, Нику Дейману (Team-fresh), Марку Ньюману, Конраду Полтье, Кристиану Раддеру из OkCupid, Саймону Татэм и Джейн Вонг.

Я безмерно благодарен Дэвиду Шипли за предложение разместить в New York Times серию статей о математике, что стало толчком к написанию этой книги, и особенно за его видение того, как они должны быть структурированы. «Простота, простота, простота», — призывал Торо, и они с Шипли оба были правы. Джордж Калоджеракис, мой редактор в Times, брал свое «перо» в руки, чтобы передвинуть запятые, но только тогда, когда в этом была необходимость, в то же время он защищал меня от более серьезных оплошностей. Его уверенность чрезвычайно обнадеживала. Кэти О`Брайан из производственного отдела, убедившись, что математика всегда права, мирилась с неизбежной типографской суетой с присущими ей изяществом и прекрасным чувством юмора.

Я знаю, мне очень повезло, что Катинка Мэтсон стала моим литературным агентом. Она с самого начала защищала эту книгу с вдохновляющим энтузиазмом.

Пол Джинспарг, Джон Клайнберг, Тим Новикофф и Энди Руина прочитали черновики почти каждой главы, причем их единственной компенсацией за это было удовольствие вылавливать ошибки и использовать свой блестящий ум во благо, а не во зло. Как правило, сложно находиться среди таких знатоков, но не факт, что они действительно знают все. Я искренне благодарен им за усилия и поддержку.

Спасибо иллюстратору Марджи Нельсон за веселость и научное чутье. В этом проекте я часто воспринимал ее как соавтора благодаря умению находить оригинальные способы передачи сущности математических понятий.

Любой писатель благословлен свыше, если у него такой редактор, как Аманда Кук. Как одновременно можно быть такой нежной, мудрой и решительной? Спасибо, Аманда, за веру в эту книгу и помощь в оформлении каждой ее части. Имон Долан, еще один замечательный редактор, вел твердой рукой этот проект (и меня) к финишной прямой с заразительным воодушевлением. Помощники редактора Эшли Джиллиам и Бен Хьюман были скрупулезными и веселыми в работе и хорошо заботились о книге на каждом этапе ее продвижения. Литературный редактор Трейси Рой учила меня, как использовать метафоры, кавычки, да что там говорить, и обычные слова! Но самое важное — оттачивала стиль и четкость мыслей на этих страницах. Выражаю благодарность также журналистке Мишель Бонанно, менеджеру по маркетингу Аише Мирза, техническому редактору Ребекке Спрингер, начальнику производственного отдела Дэвиду Футато и всем сотрудникам издательства Houghton Mifflin Harcourt.

Наконец позвольте выразить сердечную признательность моей семье. Лия и Джо, вы слышали о книге в течение долгого времени, и, верите или нет, она действительно дописана. Естественно, ваша задача — изучить всю математическую теорию, о которой в ней рассказывается. Что касается моей фантастически терпеливой жены Кэрол, которая продиралась сквозь первые n вариантов каждой главы и таким образом узнала истинное значение выражения «как n стремится к бесконечности», позволь мне просто сказать: я люблю тебя. И то, что я тебя нашел, было самым лучшим моим решением.