Другая история науки. От Аристотеля до Ньютона Калюжный Дмитрий
В период с 1405 по 1433 г. под руководством Чжэн Хэ китайские мореплаватели совершили семь дальних плаваний, во время которых они доходили до берегов Персидского залива и Африки. Обеспечение безопасного плавания… требовало не только значительных географических познаний и навигационных навыков, но и наличия совершенных картографических пособий. Косвенным свидетельством существования таких пособий на борту кораблей китайской эскадры может служить так называемая «Морская карта» экспедиции Чжэн Хэ, составленная в 1621 г., на которой показано восточное побережье Африки. В то же время… эта карта имеет хорошо выраженные особенности, доказывающие наличие арабского влияния… В частности, это влияние можно усмотреть в указании широт отдельных пунктов побережий Африки… через высоту Полярной звезды, выраженную в «пальцах» и «ногтях» (у арабов того времени 1 «палец» («Исаби») = 1°36 , а 1 «ноготь» («Зам») =12,3 )…
В XVII–XVIII вв. картография Китая попадает под сильное влияние французских миссионеров-иезуитов, которые, широко используя китайские материалы и основываясь на астрономических определениях, стали составлять географические карты Китая в привычной для европейцев системе географических координат широты и долготы. С этого периода самобытное развитие китайской картографии практически прекращается и лишь детальные, многокрасочные топографические рисунки художников XVIII–XIX вв. продолжают напоминать о богатых картографических традициях Древнего Китая».
Европейская картография раннего Средневековья
Средневековые европейские карты в высшей степени своеобразны: на них нарушены все реальные пропорции, очертания земель и морей вполне могут быть деформированы для удобства изображения. Но эти карты не имели того практического назначения, которое, естественно, придается им в современной картографии. Они незнакомы ни с масштабом, ни с сеткой координат, но зато им присущи такие признаки, которых современная карта лишена.
Средневековая карта мира совмещала в одной пространственной плоскости всю священную и земную историю. На ней можно обнаружить изображения Рая с библейскими персонажами, начиная с Адама и Евы, тут же встречаются Троя и владения Александра Македонского, провинции Римской империи – все это наряду с современными христианскими царствами; полнота картины, объединяющей время с пространством и целостный историко-мифологический хронотоп, довершается сценами предсказанного в Писании конца света. История оказывается запечатленной на карте, точно так же, как она отражена в иконе, на которой соседствуют герои Ветхого и Нового Заветов, и мудрецы, и правители более поздних эпох. География Средних веков неотрывна от истории. Причем разные части света, а равно и разные страны и пункты обладали в глазах средневековых людей неодинаковым моральным и религиозным статусом. Были места сакральные, и были места профанные. Были и пруклятые места, прежде всего жерла вулканов, которые считались входами в геенну огненную.
За некоторыми исключениями, все уцелевшие образцы западноевропейских карт, изготовленных ранее 1100 года, могут быть на основании их формы разделены на четыре более или менее четко выделяемые группы.
Первую группу составляют чертежи, иллюстрирующие предложенное Макробием деление земной поверхности на зоны. Подобные чертежи встречаются в рукописях уже с IX века. Чертежи этой группы еще нельзя назвать картами в полном смысле этого слова.
Ко второй группе относятся простейшие схематические изображения трех континентов, часто называемые картами типа Т-О или О-Т. Известный тогда мир изображен на них в виде круга, в который вписана буква Т, разделяющая его на три части. Восток оказывается в верхней части карты. Часть, расположенная вверху, над перекладиной буквы Т, представляет Азию; две нижние части – Европу и Африку. Обычно поверхность карты лишена украшений в виде виньеток или каких-либо условных символов, а пояснительные надписи сведены до минимума.
На многих картах типа Т-О основные материки имеют названия по именам трех сыновей библейского патриарха Ноя – Сима, Хама и Яфета, которым по разделу Земли после Всемирного потопа достались Азия, Африка и Европа. На других картах вместо этих имен даны названия материков; на некоторых картах обе номенклатуры присутствуют совместно.
Чертежи третьего типа довольно близки картам типа Т-О, но отличаются большей сложностью. Они сопровождают рукописи сочинений Саллюстия. Чертежи следуют форме карт типа Т-О, но общий вид их значительно оживляется пояснительными надписями и рисунками. На древнейшем их образце X века нет даже обозначения Иерусалима, который неизменно присутствует в центре большинства более поздних карт.
Самой интересной является четвертая группа. Считается, что в конце VIII века некий Беат, священник из бенедиктинского аббатства Валькавадо в Северной Испании, написал комментарий к Апокалипсису. Чтобы представить графически разделение мира между двенадцатью апостолами, сам Беат или кто-то из его современников начертил карту. Хотя ее оригинал и не дошел до нас, в рукописях Х и последующих столетий сохранилось не менее десяти карт, сделанных по ее образцу. Лучший образец – карта из Сен-Севрского собора, датируемая приблизительно 1050 годом.[18]
Помимо сугубо библейских сюжетов, на картах находили место порождения «ереси»: различные мифические земли, биологические монстры и т. п. Эти фантастические элементы оказались весьма живучими, и некоторые из них бытовали на картах вплоть до XVII века. «Изобретателем» этой галереи диковинок считается Солин, автор книги «Собрание вещей, достойных упоминания» («Полихистор»). Солина копировали еще долгое время после того, как его мифы и чудеса были развенчаны, а его биологические монстры «украшали» не только средневековые, но и более поздние карты.
Важное место в картографии Средних веков занимали библейские Гог и Магог. Стойкость этой мифической традиции была настолько велика, что даже такой просвещенный человек, как Роджер Бэкон (ок. 1214–1294) рекомендовал изучение географии, в частности для того, чтобы определить время и направление нашествия Гога и Магога. Эта история была не менее знаменита, чем сейчас – история нашествия татар и монголов того же XIII века.
Кроме Рима и Иерусалима, на «картах мира» можно найти Трою и Карфаген, Критский лабиринт и Колосса Родосского, маяк на острове Фарос у Александрии и Вавилонскую башню.
Географические представления средневековых картографов стали постепенно расширяться лишь в период Крестовых походов 1096–1270 годов, что в известной степени отразилось в наиболее значительном и интересном произведении – Герефордской карте мира (ок. 1275), вычерченной на пергаменте из кожи целого быка монахом Ричардом из Голдингема. Карта помещалась в алтаре Герефордского кафедрального собора и была, по сути дела, иконой.
Другая группа карт трактует распределение земных и водных масс обитаемого мира по схеме природных зон (тропической, умеренных и полярных). Эти карты получили в современной литературе названия «зональных» или «макробиевых». Некоторые из них показывают пять, другие семь зон или климатов Земли.
На зональных картах четко прослеживается идея шарообразности Земли. Земной шар опоясан двумя перекрещивающимися океанами (Экваториальным и Меридиональным), образующими четыре равные четверти шара с континентами. Карты допускают обитаемость не только нашей ойкумены, но и трех других континентов.
На двух зональных картах изображен экватор – это карта аббатисы Геррады из Лансберга в ее сочинении «Сад наслаждений» (ок. 1180) и карта Джона Галифакса из Холивуда (ок. 1220).
В общей сложности науке известно около 80 «макробиевых» карт, наиболее ранняя из которых относится к IX веку.[19]
Арабские карты
Исходные позиции мусульманской географической науки, продиктованные священной книгой ислама – Кораном, базировались на примитивных представлениях о плоской Земле, на которой, подобно кольям, установлены горы и находятся два моря, отделяющиеся друг от друга, чтобы не слились, специальной преградой. География у арабов называлась наукой «о почтовых сообщениях» или «о путях и областях». Интенсивное развитие астрономии и математики неизбежно выводило арабскую географию за рамки космографических догм Корана, так что некоторые авторы стали трактовать ее как математическую «науку о широтах и долготах».
Знаменитый математик и астроном Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми создал «Книгу картин земли», представляющую собой сильно переработанный и дополненный вариант птолемеевой географии; книга широко использовалась и высоко ценилась в арабском мире. В рукописи «Книги картин земли», хранящейся в Страсбурге, имеются четыре карты, из которых наиболее интересны карты течения Нила и Меотиды (Азовского моря). На карте Нила из этой рукописи отмечены границы климатов, природно-климатических поясов.
Своеобразная картографическая и географическая традиции сформировались при дворе Саманидов в Хорасане. Основателем этого направления был Абу-Зейд Ахмед ибн Сахл ал-Балхи (ум. в 934). Им была написана «Книга земных поясов», которая, видимо, представляла собой географический атлас с пояснительным текстом. Карты из труда ал-Балхи перешли в сочинения Абу Исхак ал-Истахри и Абу-л-Касим Мухаммед ибн Хаукаля, оказав влияние на все картографические произведения обоих авторов, что дало возможность одному из первых исследователей арабских карт, Миллеру, объединить их в его «Арабских картах» под общим названием «Атлас Ислама», прочно вошедшим в историко-картографическую литературу.
В картах «Атласа Ислама» идеи геометризма и симметрии господствовали над реальными знаниями. Все географические карты чертились при помощи циркуля и линейки. Геометрическая правильность очертаний морей неизбежно влекла за собой грубое искажение очертаний и несоразмерность (по сравнению с действительными) площадей морей, заливов и суши. Реки и дороги вне зависимости от их натуральных очертаний вычерчивались прямыми линиями. Сеть меридианов и параллелей отсутствовала, хотя географические тексты, сопровождавшие карты, нередко содержали указания широт и долгот.
Условно-геометрическая традиция продолжала господствовать в арабской картографии и в последующий период (XII–XIV века).
Совершенно особняком, без видимой связи с традициями «классической» арабской картографии, стоят труды знаменитого арабского ученого Абу-Абдаллах аш-Шориф ал-Идриси (1099–1162), уроженца Марокко, получившего образование в Кордове и приглашенного в Сицилию королем Рожером II. В 1154 году ал-Идриси по поручению Рожера II составил 70 отдельных карт «населенных областей» и одну общую карту мира. В условиях Сицилийского королевства, в культуре которого значительную роль играли арабы, в картографическом творчестве ал-Идриси, освобожденном от мусульманских пут условности и схематизма, проявилось не только глубокое и давнее знание античной географической науки, но и умение подходить критически к картам Птолемея. Этим умением европейские картографы овладели лишь тремя-четырьмя столетиями позже, в рамках традиционной хронологии.
Каждая «областная карта» ал-Идриси показывала 1/10 часть одного из семи «климатов», а соединение всех карт в определенном порядке давало полную карту мира. Помимо этой прямоугольной карты, на 70 листах ал-Идриси составил круглую карту мира на серебре, наиболее полно отразившую птолемеевские представления.
Нельзя обойти молчанием своеобразное чисто теистическое картографирование – так называемые карты киблы, указывавшие правоверным мусульманам направления, в которых следовало преклоняться так, чтобы быть лицом к Мекке в часы ежедневных молитв в разных странах. В центре карты находится квадратное изображение священного храма Кааба в Мекке с указанием расположения его ворот, углов, черного камня и священного источника Земзем. Вокруг Каабы помещено 12 овалов в форме замкнутых парабол, которые изображают 12 михрабов для разных частей мусульманского мира. Михрабы расположены соответственно географическому порядку этих частей, а каждая из последних представлена в надписи несколькими наиболее известными городами.
Источники свидетельствуют о наличии детальных описаний побережий с указанием расстояний и магнитных румбов между их пунктами у арабов уже в XII веке. Позже подобные описания получили итальянское название портоланов, но уже в трудах ал-Идриси имеется деталь истинного портолана побережий между Ораном и Барка. Первый, действительно известный науке итальянский портолан появился позже.
В дальнейшем наибольший вклад в развитие этого оригинального вида морских карт в XV–XVII веках был внесен итальянскими и каталонскими картографами, а вслед за ними испанскими и португальскими. В этот более поздний период мусульманские картографы сделали, судя по источникам, значительно меньше для развития морской картографии. Известно всего несколько арабских и турецких карт-портоланов, из которых наиболее замечательны и хорошо изучены морская карта Ибрагима ал-Мурши (1461). Нам надо помнить, что карты-портоланы составляли секрет государства, поэтому их небольшое количество вполне объяснимо.
Картография эпохи Возрождения
Практические нужды развития сельскохозяйственного производства и торговли порождали необходимость описаний земельных угодий, сухопутных торговых путей, маршрутов морских каботажных и дальних плаваний, мест, удобных для якорных стоянок кораблей и укрытия их от непогоды. И вот в XIII веке произошло осознание, что географические реалии и их соотношения в пространстве качественно лучше передаются в графической, нежели в текстовой форме, что карта может быть незаменимым пособием в организации хозяйства. Уже около 1250 года появились составленные монахом Мэттью Пэрисом (Матвеем Парижским) дорожные карты Англии и Уэльса. Они представляли собой итинерарии, или списки дорожных станций с расстояниями между ними, но уже иллюстрированные. (Карты Мэттью Пэриса имеют некоторые черты сходства с «Пейтингеровой таблицей», благодаря чему можно предположить наличие некоторой генетической связи этих оригинальных картографических произведений.)
Наиболее быстро пошло дело в морском картографировании. Периплы, описания маршрутов, можно было использовать почти исключительно для плавания в видимости берегов, чтобы навигатор мог следить за указаниями документа об очередности портов и гаваней и расстояний между ними в днях пути. Но для плаваний в открытом море, вне видимости берегов, нужно было знать направление между портами. Решение этой задачи дало изобретение карт-портоланов.
Первое упоминание об использовании карт-портоланов на практике относится к 1270 году, когда мореходы короля Людовика IX, совершавшего по Средиземноморью крестовый поход в Северную Африку, смогли определить после бури положение королевского корабля, используя морскую карту; она не сохранилась.
Из-за секретности этих карт полностью отсутствуют их ранние образцы. Они фактически являлись ключом к заморским рынкам сбыта и колониям, средством обеспечения обогащения для их владельцев. На государственном уровне карты-портоланы рассматривались как секретные материалы, и их свободная циркуляция и внедрение в научную сферу были почти полностью исключены. На испанских кораблях предписывалось хранить карты-портоланы и навигационные журналы скрепленными со свинцовыми грузами, чтобы в случае взятия судна неприятелем немедленно утопить их.
Итак, в начале XIV века карты-портоланы появляются как уже вполне сформировавшийся тип карт. Наиболее ранняя известная карта этого типа, так называемая Пизанская карта, предположительно была вычерчена немногим ранее 1300 года. От этого века до нас дошло не более 100 карт-портоланов. Производство их развивалось первоначально в итальянских городах-республиках и в Каталонии, их языком была латынь. Вычерчивали их обычно на пергаменте, изготовленном из целой овчины с сохранением ее естественной формы. Размеры их колебались от 9045 до 140•75 см.
Функциональной и графической основой карт-портоланов служила центральная роза ветров. Современный магнитный компас обеспечил совмещение древней розы ветров и магнитной иглы. Следует заметить, что изобретение компаса хронологически совпадает со временем появления карт-портоланов.
Но роза ветров имеет более древнее происхождение, чем магнитная стрелка. Первоначально она развивалась независимо и была не более чем удобным способом деления кругового горизонта, а названия ветров использовались для указания направлений. Из розы ветров прочерчивались лучи по числу основных компасных румбов. Вначале использовалось восемь основных ветров; долго удерживалась латинская 12-ветровая роза, затем число ветров дошло до 32. На периферии карты, на лучах основной розы по кругу располагались вспомогательные розы. Розы ветров – основная и вспомогательные – использовались для нанесения на карту контуров береговой линии, портов и т. п., а также для определения в плавании курсового магнитного румба. Средневековый компас позволял прокладывать курс судна с угловой точностью, не превышающей 5°.
На вопрос, откуда пришел компас – из Китая или Европы, ответ очень прост. Из Европы. Арабы использовали для обозначения компаса итальянские, а не китайские термины. В случае же, если бы путь был обратным, а арабы в том и другом случае должны быть посредниками, у арабов были бы китайские термины.
В 1269 году Петрус Перигринус снабдил магнитную стрелку круглой градуированной шкалой и с помощью этого устройства определял магнитные направления на предметы. 1302 год – традиционная дата изобретения неизвестным итальянским навигатором из Амальфи морского компаса, заключавшегося в соединении розы ветров с магнитной иглой. Для обозначения главных точек компаса использовались различные (латинские, франкские, фламандские) названия ветров, а также северная Полярная звезда.
Изготавливая карты-портоланы, европейские картографы впервые по-настоящему осознали роль направлений и угловых измерений в составлении карт. В этом смысле карты-портоланы открывали новый этап в развитии практической картографии.
Карты-портоланы первоначально использовались для обслуживания морской торговли Италии и каталонских портов и охватывали акватории, по которым проходили их торговые пути от Черного моря до Фландрии. Со временем производство карт распространилось в Испании и Португалии, где их изготовление приобрело характер государственной монополии, а карты считались секретными.
Указом короля Испании от 20 января 1503 года в Севилье была учреждена «Палата торговли с Индиями», представлявшая собой государственное ведомство, объединявшее функции министерства торговли и гидрографического департамента для регулирования заокеанских торговых отношений и изучения вновь открытых территорий с обращением особого внимания к Новому Свету. Был создан отдельный географический или космографический департамент этой Палаты, явившийся, возможно, первым в истории гидрографическим департаментом. Пилот-майором (главным лоцманом) этого департамента, ответственным за составление карт и лоций, стал знаменитый путешественник Америго Веспуччи (1451–1512).
С конца XV века гидрографическое управление, подобное испанскому, существовало под названием Палата Гвинеи (позднее – Палата Индии) в Португалии.
В это время карты-портоланы стали объектом незаконной торговли. Официальные карты испанской Палаты хранились в сейфе с двумя замками, ключи от которых были только у Пилот-майора и Главного космографа. После того как Себастьян Кабот (1477–1557) пытался продать англичанам «секрет» мифического Анианского пролива, был издан указ, запрещавший иностранцам занимать руководящие посты в Палате. Но, несмотря на такие тщательные предосторожности со стороны испанского и португальского правительств, сведения о географических открытиях и практика составления карт-портоланов неизбежно распространялись в другие страны.
Затем морская картография начала развиваться в Голландии. Голландцы, досконально изучив берега Северной Европы, создали знаменитый морской атлас «Зеркало моряка», первый том которого вышел в свет в 1584 году. Значительный вклад в картографирование внесла голландская Ост-Индская компания, в частности составив так называемый Секретный атлас, включавший 180 детальных карт.[20] С 1600 года активные картографические работы стала проводить и английская Ост-Индская компания.
Около 1406 года «Руководство по географии» Птолемея было переведено во Флоренции на латынь. Несколько позже появились карты, заменившие собой схоластическую картину мира, которую проповедовали монастырские «карты мира». Уже при самом своем новом рождении в Европе «География» Птолемея, восторженно принятая учеными и в какой-то степени канонизированная, потребовала уточнения в части хорошо знакомого средневековым европейцам Скандинавского Севера и Гренландии.
В 1492 году уроженец Нюрнберга Мартин Бехайм в содружестве с художником-миниатюристом Георгом Хольцшуером создали глобус, получивший известность как первый современный глобус Земли. Небесные глобусы более ранних периодов использовались и раньше византийскими, арабскими и персидскими астрономами, но за период между античностью и XV веком не сохранилось ни одного географического глобуса. Глобус Бехайма, по-видимому, основан на карте мира Генриха Мартеллуса конца XV века и имеет немногим более 50 см в диаметре (20 дюймов).
На глобус нанесены разделенный на 360 неоцифрованных частей экватор, два тропика, арктический и антарктический полярные круги. Показан один меридиан (80 к западу от Лиссабона), который также поделен на градусы; деления не подписаны, но в высоких широтах дана продолжительность наиболее длинных дней. Протяженность Старого Мира на глобусе равна 234° (при истинном значении 131°), и соответственно расстояние между Западной Европой и Азией на нем уменьшено до 126° (на самом деле 229°), что является итоговым выражением доколумбовых представлений о мире.
Применение печати для размножения карт позволило широко использовать сравнительный метод в картографии и таким образом стимулировало ее дальнейшее развитие. В то же время массовое производство карт способствовало в ряде случаев достаточно стойкому закреплению устаревших и ошибочных представлений.
Даже если картограф-составитель имел в своем распоряжении первичные материалы съемок – навигационные описи, карты-портоланы, судовые журналы, он не всегда мог связать эти материалы с имеющимися картами. Лишь с дальнейшим развитием методов астрономических определений координат местности, а также с изобретением тригонометрической съемки (триангуляции) картографы получили возможность определять практически неограниченное количество точек на местности путем измерения углов треугольников, образуемых этими точками, и длины исходного базиса.
Принципы метода триангуляции впервые были сформулированы в 1529 году известным математиком, профессором университета в Лувене Геммой Фризом Регниером (1508–1555). В 1533 году он сброшюровал с фламандским изданием «Космографии» Петра Апиана свою работу «Книжка» («Libellus»). В этом труде он детально описал метод съемки обширного региона или целого государства с помощью триангуляции. Метод триангуляции, во всех аспектах подобный методу Геммы Фриза Регниера, был, по-видимому, независимо изобретен до 1547 года Августом Хиршфогелем (1488–1553).
В 60-х годах XV века Иоганнес Региомонтан (1436–1473) посетил Феррару, где его захватило всеобщее увлечение «Географией» Птолемея, а также мечта создать новую карту мира и европейских государств. Он составил «Календарь», знаменитые «Эфемериды», или астрономические таблицы, и список координат различных мест, в основном почерпнутый у Птолемея. Также Региомонтан вычислил таблицы синусов и тангенсов и издал первое в Европе систематическое руководство по тригонометрии «О треугольниках», в котором рассматривались плоские и сферические треугольники.
Другой известный ученый XVI века, профессор астрономии и математики в Ингольштадте (Бавария) Петр Апиан (1495–1552) занимался составлением различных географических карт, среди которых известны карта мира в сердцевидной проекции, карта Европы и ряд региональных карт. В своем наиболее известном сочинении «Космография или полное описание всего мира» (1524), выдержавшем многочисленные переиздания, Апиан, в частности, дает указания по определению географических долгот посредством измерения расстояний Луны от звезд. Много внимания он уделял также совершенствованию астрономических инструментов.
Характерно, что все эти ученые были специалистами в области геометрии и тригонометрии, имели опыт в астрономических инструментальных наблюдениях и в известной степени были инструментальными мастерами, что неизбежно приводило к пониманию ими применимости геометрии и инструментальных методов к практическим съемкам.
Триангуляция для картографических целей впервые была применена великим фламандским картографом Герардом Меркатором (1512–1594), который в 1540 году издал на четырех листах карту Фландрии. Триангуляционная съемка осталась единичной для своего времени, но она знаменовала начало нового этапа развития картографии, получившей теперь возможность оперативного внесения новых сведений в обзорные карты с безошибочной локализацией этих данных. Большую роль сыграла также разработка новых проекций, из которых отметим лишь используемую до настоящего времени для целей навигации проекцию Меркатора (1541), дающую возможность прокладывать курсы судов по прямой линии.
Мы уже писали, что практика съемок земель в Древнем Риме вызвала необходимость создания специальных инструкций землемерам. Следующие подобные инструкции относятся к XVI веку. (Не случайно мы сомневались в датировке предыдущих инструкций.) Эти инструкции и наставления давали в известной степени нормированную методику полевых работ и составления планов и карт.
Первое руководство, дававшее конкретные указания землемеру, было издано около 1537 году Ричардом Бенизом (ум. в 1546), который был съемщиком у короля Генриха VIII. Текст Бениза не дает никаких указаний по поводу измерения направлений линий, а также не содержит упоминаний какого-либо инструмента для определения меридиана или направления любой другой точки съемки. Следует отметить, что традиция проводить съемку земель линейными методами, с ограниченным привлечением угловых измерений так и не была изжита в европейской картографии вплоть до XVIII века.
В начале XVII века в войнах Нидерландов, и особенно в Тридцатилетней войне (1618–1648), получили развитие массированные перемещения войск воюющих государств на местности. И для обеспечения маневра потребовалось значительно более детальное изучение ландшафта в оперативной картографической форме, с особым вниманием к условиям проходимости для крупных контингентов пехоты, кавалерии и артиллерии. Все это сильно расширило функции военных инженеров, которые наряду со своими прежними занятиями фортификацией начали производить съемки и рекогносцировку местности в топографических масштабах. Первоначально во Франции, а затем и в других странах Европы военные инженеры стали объединяться в специальные подразделения и получать профессиональную подготовку, частью которой было обучение элементам топографической съемки и составлению планов и карт.
Будучи оперативно-тактическими документами, военные карты должны были обладать хорошими измерительными свойствами, поэтому неудивительно, что наиболее ранние их образцы, составленные военными инженерами, указания масштабов имеют уже в 1540–1570 годах, в то время как на гражданских картах это начинается лишь с 70-х годов XVI века. Первой картой, которая была составлена со строгим соблюдением масштаба, считается план города Имолы,[21] созданный Леонардо да Винчи (1452–1519) во время его службы у Чезаре Борджиа в 1502–1504 годах.
Важность угловых измерений для составления военных карт особо отмечена в 1546 году в книге итальянца Никколо Тарталья, служившего у английского короля Генриха VIII. Тарталья описывает компас с визирами, приспособленный для проведения угловых измерений. В конце XVI века в Ирландии военным топографом Ричардом Бартлетом была выполнена замечательная топографическая съемка, которая сильно опередила по точности и достоверности все современные ей работы. Следует подчеркнуть, что съемка Бартлета была редким исключением для того периода; расцвет военной топографии приходится на середину XVIII–XIX веков.
Проиллюстрируем важность картографии следующим примером.
Стремясь к захвату и закреплению за собой вновь открытых земель, испанцы и португальцы после долгих споров совершили условный колониальный раздел мира, установив границы своих сфер влияния по так называемой линии Тордесильяса, за которую в Западном полушарии принимался меридиан 46°37 з. д., а в восточном – 133°23 в. д. Молуккские острова, находящиеся приблизительно под 127°30 в. д., то есть в непосредственной близости от демаркационной линии, были главным источником восточной торговли специями. Потому-то они и стали основной ареной так называемой войны карт между Испанией и Португалией: в этой «войне» стороны всеми силами старались помещать на картах «острова специй» в пределах своих условных зон.
Породив массу картографических фальсификаций, «война карт» оказала тем не менее определенное стимулирующее влияние на изучение космологии и картографии.
Секретное открытие Бразилии
Кто первым ступил на берег Южно-Американского континента? – этим вопросом занялся доктор исторических наук, профессор, академик РАЕН А. М. Хазанов. Он пишет:[22]
«Считается, что крупнейшую страну Южной Америки – Бразилию – открыл в 1500 г. Педру Алвариш Кабрал. Однако я хотел бы предложить свою гипотезу, суть которой состоит в том, что Васко да Гама, возможно, еще до Кабрала, побывал в этой стране. В пользу этой гипотезы можно привести целый ряд «железных» аргументов».
Нам эта версия дает возможность на примере показать важность географии и картографии для государственных дел XV–XVI веков.
Ниже следует изложение статьи А. М. Хазанова.
Географический детерминизм
Физические условия Атлантического океана делали трансатлантические путешествия даже в начале XV века не только вполне возможным, но и не слишком сложным предприятием. Америка ближе к Европе, чем, например Южная Африка, и если южная оконечность Африки была достигнута европейцами в 1488 году, то логично предположить, что Америка могла быть достигнута ими еще раньше. К тому же в середине Атлантического океана находятся острова, которые могли служить отличной опорной базой для такого путешествия. Эти острова были обитаемыми, и их жители к моменту смерти Энрике Навигатора в 1460 году были из всех обитателей Старого Света самыми близкими соседями жителей Америки.
По авторитетному свидетельству адмирала Ла Гравьера, «начиная от Азорских островов бурное море сменяется зоной бризов, таких тихих и постоянных по направлению, что первые навигаторы считали этот путь дорогой земного рая. Корабли входят здесь в зону пассатных ветров».
Уместно привести также мнение Ж. Кортезана: «Если мы сравним препятствия, опасности и бури, с которыми сталкивались первые корабли, путешествовавшие к Азорам, или вдоль побережья Марокко, или на юг, с той крайней легкостью навигации, которую они встречали в зоне пассатных северо-западных ветров, то нельзя не удивиться тому, что навигаторы XV века потратили так много времени, чтобы достичь края этого легкого и соблазнительного пути и открыть Америку».
Известно, что Бенгальское течение делало крайне затруднительным путешествие к мысу Доброй Надежды вдоль западного побережья Африки. Чтобы достичь Индийского океана, кораблям легче было описать большую дугу к западу в Атлантике, подойдя близко к берегу Бразилии, и оттуда с помощью попутных ветров и течения, идущего вдоль меридиана, идти к мысу Доброй Надежды. Так же и в обратном направлении: чтобы быстрее пройти от берега Мина к Португалии, парусные суда предпочитали не идти вдоль Африки, а описывать большой полукруг, который приводил их в Саргассово море, а оттуда к Азорским островам. Иначе они рисковали столкнуться с встречными ветрами, постоянно дующими в этом районе.
С самых первых попыток португальских мореходов следовать курсом на юг Африки, океанические течения и ветры заставляли их проходить так близко к берегам Бразилии, что они никак не могли не заметить признаков, свидетельствующих о близости земли (птиц, веток, кусков деревьев и т. п.).
Во время первого путешествия Васко да Гамы его флотилия в августе 1497 года отошла от африканского берега и отважно углубилась в Атлантику, описав большую дугу к западу. На метеорологической карте Атлантического океана, соответствующей августу, мы можем видеть, какие ветры должен был встретить знаменитый мореплаватель. Знакомство с этой картой, а также с направлением и скоростью течений в Атлантике не оставляет сомнений в том, что флот Васко да Гамы должен был очень близко подойти к Пернамбуку (северо-восточный угол Бразилии). А учитывая реальное расстояние, которое требовалось пройти, и скорость ветров и течений, легко подсчитать, что такое путешествие занимало 40–45 дней.
История этого пути такова. На первом этапе исследователи изучали север Африки. На втором произошло открытие Мадейры и Азорских островов (1419 и 1427 года). Эти острова, будучи освоены и заселены, послужили базой для новых экспедиций. Есть основания утверждать, что открытие островов Флорес и Корву мореплавателем Диогу де Тейви в 1452 году было связано с попыткой достичь острова Семи городов, в результате чего было открыто Саргассово море. Так в ходе все более дальних плаваний португальцы шаг за шагом продвигались все ближе к берегам Бразилии.
Если мы сравним расстояния от Лиссабона до Азорских островов и от них до восточной точки Бразилии, то трудно будет допустить, что после преодоления первого участка понадобилось целых 73 года для преодоления второго, гораздо более легкого сектора Атлантики. Многое тут объясняет максимальная секретность, которой окружил португальский королевский двор плавания своих судов в Атлантике.
Картографический ресурс
Существуют относящиеся ко времени Энрике Навигатора португальские карты 1438, 1447, 1448 годов и самая важная – карта Диогу де Тейви 1452 года. И эта последняя неопровержимо свидетельствует, что в 1452 году или немного раньше Диогу де Тейви осуществил путешествие и провел основательные исследования в Западной Атлантике и подходил к берегам Нового Света. Известны и более поздние португальские карты доколумбова времени, на которых зафиксированы участки атлантического побережья Америки.
Сегодня доказано, что король Жуан II и его космографы имели информацию о местоположении острова Пряностей (Молуккских островов) и знали его географические координаты. Таким образом, когда начались переговоры о Тордесильясском договоре (1494), Жуан II обладал ценными географическими знаниями и ресурсами, которых не было у кастильских суверенов.
Географические карты сыграли огромную роль в истории человечества. В условиях острой испано-португальской конкуренции португальская корона требовала сохранения в глубокой тайне не только географических карт, но и любой информации, касающейся португальских морских путешествий. Особенно неукоснительно это требование соблюдалось в отношении сведений о путешествиях в Западную и Южную Атлантику, имевших своей целью поиски морского пути в Индию. В результате до нас не дошли географические карты или какие-либо другие источники, в которых была бы зафиксирована обширная и надежная информация, подтверждающая плавания португальских навигаторов к берегам Америки в доколумбов период. Тем не менее и сохранившиеся свидетельства дают достаточные основания для того, чтобы утверждать, что такие «секретные» путешествия все же имели место.
Земля в Западной Атлантике
Здесь мы должны обратиться к следующей группе источников – упоминаниям в документах того времени. По соображениям секретности в хрониках не написано прямо о португальских путешествиях к западу от Азор вплоть до упоминания об этом в книге Дарти Пашеку Перейры и до прибытия Педру Алвариша Кабрала в Бразилию в 1500 году. Тем не менее такие путешествия были.
Некоторые прямые или косвенные упоминания в документах 1452, 1457, 1462, 1472–1475, 1484 и 1486 годов о путешествиях на запад и о существовании земли в Западной Атлантике дают право утверждать, что португальцы знали об Антильских островах и побережье Американского континента еще в первой четверти XV века. Судя по всему, открытие Нового Света было начато в 1452 году экспедицией Диогу де Тейви и продолжено путешествием к берегам Америки Жуана Ваз Корти-Реаля в 1472 году.
Особо следует сказать о королевских дарственных грамотах, в которых содержится интересующая нас информация. Самая поразительная из них – грамота от 3 марта 1468 года, предоставляющая в дар Фернау Дулмо капитанию на «великий остров, острова или континент, который был найден и предположительно был островом Семи городов». Мы не знаем, плавал ли сам Фернау Дулмо к этому «великому острову». Вероятно, он сделал это, но результаты его предприятия, как обычно, были засекречены.
Сохранились также документы, упоминающие о путешествии Антониу Леме, который видел острова или континент на западе около 1484 года, и документы анонимных лоцманов, которые после 1460 года тоже видели острова на западе. На их сведения позже опирался Колумб, как он сам признавался.
К этому следует добавить большое число существующих королевских грамот, которые (начиная с 1460–1462 годов) дают капитанам и лоцманам пожалования на какие-то неопределенные «острова» с целью их открытия и заселения. Наиболее любопытные и важные из них – грамоты мадейрцу Руи Гонсалвишу да Камара (1473) и Фернау Телишу (1474).
Один из документов, относящихся к 1486 году, упоминает даже о намерении «снова найти какие-либо земли на западе».
Дуга Васко да Гамы
Частота португальских экспедиций в зону пассатных ветров постепенно возрастала с открытием и колонизацией островов Мадейра, Азоров, островов Зеленого Мыса (Кабо-Верде), с открытиями на берегах Африки, с основанием фактории Арген, с освоением Гвинейского побережья, берега Мина, островов Сан-Томе и Принсипи. Неслучайно именно португальцы накопили так рано столь большой и ценный опыт навигаций. По словам Ж. Кортезана, «только из Португалии можно было осуществить такие путешествия, ибо только здесь существовали в комбинированном виде географические, научные и финансовые возможности, необходимые для реализации этих открытий».
Свидетельства о путешествиях и о возможных открытиях земель или островов на западе множатся, начиная с 1470–1475 годов, и особенно после 1480–1482 годов, то есть после открытия, исследования и колонизации берега Гвинейского залива и островов Сан-Томе и Принсипи. Возвращение кораблей из Гвинейского залива, с островов Кабо-Верде и островов Сан-Томе в Португалию систематически осуществлялось, так сказать, «по воле волн», то есть с помощью штилей Гвинейского залива и бризов Атлантики с обязательным заходом на Азоры, откуда затем уже шли в Лиссабон и другие порты Португалии.
Начиная с 1482 года каравеллы плавали уже на расстояния, вдвое превышавшие обычные для них: от Лиссабона до Сан-Жоржи да Мина. При этом обычным делом стало плавание по большой дуге, выгнутой в сторону Западной Атлантики, причем с каждым разом португальские флотилии описывали все большую по размерам дугу. Такую дугу описывал и Васко да Гама во время своих путешествий в Индию. Не исключено, что он повторял известный ему маршрут.
Специалист по эпохе великих географических открытий Гагу Коутинью, изучавший возможности португальских морских судов, а также силу и направление течений и ветров в Атлантике, пришел к заключению, что дуга, описанная флотом Васко да Гамы в Атлантике во время его первого путешествия в Индию, могла доходить почти до Пернамбуко. А самым, пожалуй, убедительным аргументом в пользу выдвигаемой нами гипотезы может служить весьма любопытный документ – инструкции, которые составил Васко да Гама в феврале 1500 года для Педру Алвариша Кабрала, отправлявшегося в торговую экспедицию в Индию, в ходе которой он, как принято считать, случайно открыл Бразилию. Тот маршрут, которого он советовал придерживаться Кабралу, на самом деле и был лучшим, кратчайшим путем к Бразилии.
Флотилия под командованием Педру Алвариша Кабрала вышла из Лиссабона 8 марта 1500 года и через 45 дней без труда достигла бразильского побережья в Порту-Сегуру, где вскоре «случайно» обнаружила место, в котором смогла запастись водой. И все это соответствовало инструкциям Васко да Гамы, который рекомендовал Кабралу в случае, если у него будет запас воды на четыре месяца, не заходить на острова Кабо-Верде, а как можно быстрее удаляться от штилей Гвинейского побережья. Такая рекомендация однозначно предполагает предварительное знакомство с Бразильским побережьем, так как не было другого места, кроме Бразилии, где можно было бы запастись водой, вплоть до прибытия к мысу Доброй Надежды, если не сделать этого на островах Кабо-Верде.
Это еще один аргумент в пользу гипотезы о том, что Васко да Гама побывал в Бразилии раньше Педру Алвариша Кабрала.
Кабрал так легко достиг Бразилии именно потому, что отлично знал о ее существовании и местонахождении. Он вез с собой секретную инструкцию, предписывавшую ему круто отклониться на запад от первоначального курса и «открыть» Бразилию.
Любопытно, что в пояснениях к карте Кантину 1502 года содержатся подробные сведения о «бразильском дереве» (пау бразил) и его красящих свойствах. Эти сведения не могли быть получены от аборигенов, так как пау бразил можно срубить только железным мачадо, а у местных жителей были лишь каменные орудия. Кроме того, пау бразил росли только в глубинных районах. По мнению историка, профессора Р. Магальяинша, необходимо было не менее пяти лет, чтобы провести исследования, которые бы позволили дать столь подробные пояснения к карте 1502 года. Следовательно, португальцы побывали в Бразилии примерно в 1497 году, а это как раз предполагаемая дата прибытия туда Васко да Гама.
Игра с Колумбом
Разумеется, об этой гипотезе можно говорить в осторожных терминах догадок и предположений, которые могут послужить стимулом и отправной точкой для дальнейших научных поисков. Во всяком случае, она хоть как-то объясняет загадочное упоминание Каштаньеды о том, что Васко да Гама был «опытным в морских делах, в чем он оказал большие услуги Жуану II».
Находит свое объяснение и не менее загадочное упоминание в письме Мануэла I (1498) о золотом руднике, найденном Васко да Гамой в стране, которая не названа.
Кортезан пишет: «Трудно поверить, что какое-либо судно, плывшее с целью открыть какие-либо земли в Западной Атлантике, о существовании которых было известно, не было бы отнесено к Антильским островам или к американскому берегу, учитывая режим ветров и течений в Северной Атлантике. Кроме того, имеются различные надежные свидетельства, хотя и нет бесспорных документальных доказательств, что многие другие португальские суда исследовали западную и южную Атлантику задолго до 1492 года. Если и нельзя доказать с неоспоримыми документами в руках, что американская земля была достигнута неизвестными или известными навигаторами до того, как Колумб приплыл в первый раз на Антилы в 1492 году, еще труднее этот тезис опровергнуть логическими аргументами».
А профессор Кимбле пишет: «Существование земель за Азорами было известно или подозревалось в Португалии… Подозрения Жуана II о существовании такой страны, как Бразилия, переросло в убеждение». Кимбле напоминает, что, по свидетельству Лас Касаса, Колумб направил свое третье путешествие к Южному континенту, о существовании которого ему рассказал Жуан II.
Как известно, Жуан II ответил Колумбу отказом на предложение достичь Индии западным путем. Он сделал это после консультации с советом экспертов (Жозе Визинью, Моизиш, Родригу, Диогу Ортиш) – несомненно лучших и самых информированных космографов тогдашней Европы. Судя по всему, эти эксперты знали о том, что на западе есть острова или целый континент, но они точно знали, что это не Индия. После путешествия Бартоломеу Диаша в 1488 году Жуан II имел в своих руках непосредственный доступ к Индии курсом на восток и владел достаточно надежными знаниями о реалиях Западной Атлантики. Поэтому его не слишком заботило путешествие Колумба.
Скорее всего, Жуан II знал с самого начала, что план Колумба неосуществим. Но он знал также и то, что генуэзец найдет на западе некие земли, а это отвлечет его и его хозяев на некоторое время от поисков подлинной Индии. Так объясняются некоторые таинственные события, вроде дружеского письма, отправленного Жуаном II Колумбу в 1488 году, или его поведение во время переговоров в Тордесильясе, и дружеский прием Колумба в Лиссабоне после его возвращения из Нового Света. Как правильно отмечает Кортезан, фактически Колумб был пешкой в руках Жуана II, который умело использовал его как ценную фигуру на шахматной доске.
Любопытна запись Колумба в дневнике его первого путешествия насчет того, что широта, которую он наблюдал в Пуэрто-Гибара (на Кубе, но он думал, что находится на побережье Китая), была 42° с. ш., в то время как в действительности это 21°06 . Ошибка в 21°. Невероятно, чтобы такой искусный навигатор, как Колумб, учившийся у португальцев, мог допустить такую ошибку. Скорее всего, он сообразил, что все открытые им земли в соответствии с договором Алкасова-Толедо 1480 года находятся в португальской зоне. Поэтому он изобрел параллель, которая помещала их в испанскую зону. Так Колумб пытался обмануть своих хозяев.
Жуан II наверняка имел точную информацию о широте земель, открытых Колумбом. Он пригласил его вернуться в Мадрид через Лиссабон. Приняв это предложение, Колумб заехал в Лиссабон в 1493 году с новостью и твердым убеждением, что достиг Индии. Люди из окружения Жуана II подумывали физически ликвидировать его, но король не разрешил. Он принял Колумба с подчеркнутой любезностью и в то же время объявил земли, открытые Колумбом, принадлежащими Португалии на основании португало-кастильского договора Алкасова-Толедо 1480 года.
Загадки Тордесильясского договора
Все это очень напугало суверенов Кастилии. Они предложили переговоры, чтобы выяснить, в чьей зоне находятся открытые Колумбом земли в свете договора Алкасова-Толедо. Жуан II принял это предложение. В ходе начавшихся переговоров в Тордесильясе он проявил невероятную настойчивость и упорство, добиваясь, чтобы демаркационная линия португальских и испанских владений прошла по меридиану в 370 лигах к западу от островов Кабо-Верде, и настоял на своем. Согласно Тордесильясскому договору 1494 года линия раздела была установлена именно так.
Чем объяснить упорное, почти маниакальное настаивание на этом Жуана II? Возможно единственное объяснение: к этому времени он имел точные знания реалий Западной Атлантики, и 370 лиг (как выяснилось после 1500 года) были достаточны для включения в португальскую зону побережья Бразилии. Причем демаркационная линия обеспечила Португалии не только восточную часть Бразилии на западе, но и Молуккские острова на востоке. И его отказ Колумбу, и его поведение на переговорах могли свидетельствовать только о том, что он имел оценку более точную, чем оценка Тосканелли (чья карта послужила побудительным стимулом для Колумба) размеров земного шара.
Он точно знал, что самый короткий путь на Восток – это путь вокруг Африки. Для него было абсолютно ясно, что найденные Колумбом острова не были Индией. Поэтому его не очень-то занимало это «открытие», так как он лучше, чем Колумб, знал размеры пространства, которое надо пересечь, чтобы достичь Востока западным путем. Все это заставляет думать, что Жуан II был достаточно хорошо информирован о землях, которые позже назвали Америкой.
Кто его так хорошо информировал? Васко да Гама.
Конечно, по вопросу об авторстве плана, который привел португальских навигаторов к установлению морской связи между Европой и Индией, мнения историков расходятся. Некоторые считают, что автором идеи был еще принц Энрике Навигатор (Генрих Мореплаватель). Но в любом случае, постепенное накопление знаний о южных странах и морях, об океанических течениях, ветрах и об общих условиях навигации, которые собирали португальские навигаторы начиная от Жил Эаниша (1434), независимо от того, ставили или не ставили они перед собой цель достичь Индию, содействовали тому, что открытие Васко да Гамы стало возможным.
История математики
…Арифметика и геометрия пребывают гораздо более достоверными, чем другие дисциплины,…поскольку лишь они одни занимаются предметом столь чистым и простым, что опыт привнес бы недостоверного, но целиком состоят в разумно выводимых заключениях. Итак, они являются наиболее легкими и очевидными из всех наук и имеют предмет, который нам нужен, поскольку человек, если он внимателен, кажется, вряд ли может в них ошибиться.
И совершенно бесполезно подсчитывать голоса, чтобы следовать тому мнению, которого придерживается большинство авторов, так как, если дело касается трудного вопроса, более вероятно, что истина в нем могла быть обнаружена скорее немногими, чем многими.
Рене Декарт
От буквы к цифре
Процесс формирования математических понятий и приемов решения элементарных задач охватывает огромный промежуток времени. Его начало теряется в глубине веков, а закончился он лишь тогда, когда совокупность этих понятий и методов стала достаточно богатой, чтобы образовать логически связанные системы – начальные формы математических теорий.
Материальные свидетельства, по которым можно изучать этот самый ранний период в истории математики, немногочисленны и неполны. Поэтому приходится привлекать данные общей истории культуры человечества и лингвистики.
Общие начала математики
При всем своеобразии развития математических приемов у разных народов общее для них всех в том, что основные понятия: числа, фигуры, площади, бесконечно продолжающийся натуральный ряд и так далее, возникли из практики. Например, понятие числа понадобилось для пересчета предметов. Вначале счет производился с помощью подручных средств: пальцев, камней и т. д. Так, латинское calculus означает счет камешками.
Запас чисел на ранних ступенях был весьма ограничен, он удлинялся лишь постепенно. А с употреблением все больших и больших чисел возникали и развивались их символы, а сами числа образовывали системы.
В каждой из иероглифических непозиционных систем счисления строится система так называемых узловых чисел (чаще всего 1, 10, 100, 1000,…). Каждое такое число имеет индивидуальный символ – иероглиф. Остальные числа (их называют алгоритмическими) образуются приписыванием с той или другой стороны узлового числа других узловых чисел и повторением их. Так, система чисел, ныне известная как римская, имеет систему узловых чисел: I, V, X, L, С, D, М. Ее происхождение неизвестно. Построена по десятичному признаку с заметным влиянием пятеричной системы, а между тем в латинском языке никаких следов пятеричной системы нет, значит, цифры заимствованы римлянами у другого народа.
Выполнять арифметические действия над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до XIII, а в других странах Западной Европы – до XVI века.
К иероглифической системе относятся и алфавитные системы счисления. В них буквы алфавита, взятые группами по 9, используются соответственно для обозначения единиц, десятков и сотен. Каждой букве при этом дается отличительный знак (титл, черточки над цифрами), указывающий, что буква используется как число. Если букв алфавита было недостаточно, привлекали дополнительные знаки. Типичный пример алфавитной системы – византийская, арабская, славянская. А это и понятно: они вышли из одного источника.
Историки науки считают, что в древнейшее время в Греции применялась так называемая аттическая нумерация, при которой числа 1, 2, 3, 4 обозначались черточками | || ||| ||||. Число 5 записывалось знаком П (древнее начертание буквы «пи», с которой начинается слово «пенте» – пять); числа 6, 7, 8, 9 обозначались П|, П||, П|||, П||||. Число 10 обозначалось Д (начальной буквой слова «дека» – десять). Числа 100, 1000 и 10 000 обозначались Н, X, М – начальными буквами соответствующих слов. Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000.
Эта система очень напоминает римскую, ведь и числа римского счета I, V, X, L, С, D, М одновременно были буквами, и к ним тоже добавляются «палочки». Причем римская система применялась в Европе до перехода на так называемые арабские, а на самом деле индийские цифры, имевшие почти современный вид; Византия перешла на них в XII веке, на 200 лет раньше Западной Европы. Можно предположить, что аттическая нумерация была навязана грекам Византии латинянами, после захвата ими Царьграда и Греции в ходе 4-го Крестового похода 1204 года.
После аттической нумерации греки якобы выбрали другую, ионийскую систему – полагают историки. В ней числа от 1 до 9 обозначаются первыми девятью буквами алфавита. Числа 10, 20, 30,…, 90 – следующими девятью буквами. Числа 100, 200,…, 900 – последними девятью буквами. А мы напомним, что эту систему в IX веке позаимствовали из Византии славяне, так что в Византии она могла быть не позже, а раньше аттической.
Преимущество алфавитных систем в краткости записи, однако они мало пригодны для оперирования с большими числами и требуют значительных усилий для запоминания.
Со временем сформировались позиционные недесятичные, а затем десятичная системы. К позиционным недесятичным системам относится вавилонская, к позиционной десятичной – индийская. О них мы поговорим чуть позже.
Люди в разных местах и в разное время постепенно накапливали эмпирические знания, развивая ремесло, земледелие, обмен и торговлю. Эти знания подвергались систематизации; так выделился особый вид понятий и методов решения задач. Пересчет элементов конечных множеств, а также упорядочивание этих элементов привели к понятию натурального числа, как количественного, так и порядкового. Сравнение масс предметов, объемов сосудов, расстояний дали понятие величины. Изучение формы изделий, зданий, земельных участков вывело к понятию геометрической фигуры, как части геометрического пространства (само слово геометрия в переводе с греческого означает «землемерие»).
Так же из повседневной практической деятельности сформировались и другие математические понятия: площади, объема и прочих абстракций пространственных свойств предметов.
Ведь создание математической науки есть прежде всего переход к абстракциям. Вместо счета стрел, голов скота и т. д. родилось абстрактное понятие числа. Стало возможным предварять непосредственное оперирование с вещами оперированием с их упрощенными, схематическими изображениями и наименованиями (символами).
Наконец, наступил период, когда это знание стало востребованным в заметных масштабах, в обществе образовалась прослойка людей, умеющих пользоваться совокупностью математических приемов. С этого момента, можно сказать, начала существовать математика как наука.
Прежде всего началась арифметика. Предмет ее составляют не числа, а система чисел с ее связями и законами, да и сама арифметика может быть определена как наука об отношениях между числами. Само же слово арифметика происходит от греческого «искусство счета» (арифмос – число и техне – искусство). Что касается слова математика, то от греческого mathema – значение, наука, знание. С толкованием определения математики и сегодня не все достаточно ясно. Довольно сильной является традиция ее трактовки не столько как науки, сколько как языка науки.
О математике Древнего Египта
Все наши познания о древнеегипетской математике основаны главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках.
Один из больших папирусов носит название математического папируса Ринда (по имени обнаружившего его ученого) и находится в Лондоне. Он имеет приблизительно 5,5 метра в длину и 32 сантиметра в ширину. Другой большой папирус, почти такой же длины и 8 сантиметров в ширину, находится в Москве. Содержащиеся в них математические сведения относят примерно к 2000 году до н. э.
Папирус Ринда содержит 84 задачи прикладного характера. При решении этих задач производятся действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга, объемы параллелепипеда, цилиндра, размеры пирамид. Имеются также задачи на пропорциональное деление, а при решении одной задачи находится сумма геометрической прогрессии.
В Московском папирусе собраны решения 25 задач. Большинство их такого же типа, как и в папирусе Ринда. Кроме того, в одной из задач правильно вычисляется объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, а в другой содержится самый ранний в математике пример определения площади кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины, то есть полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания.
При изучении этих папирусов обнаруживается, что у древних египтян сложилась определенная система счисления: десятичная иероглифическая. Для узловых чисел вида 10к (к = 0, 1, 2,…, 7) установлены индивидуальные иероглифы. Алгоритмические числа записывались комбинациями узловых чисел. С помощью этой системы египтяне справлялись со всеми вычислениями, в которых употребляются целые числа. Что касается дробей, то египтяне понимали дроби только как доли единицы: употреблялись лишь дроби аликвотные (вида 1/n) и некоторые индивидуальные, как, например, 2/3, 3/4. Все результаты, которые должны были выражаться дробями вида т/n, выражались суммой дробей. Для облегчения этих операций были составлены специальные таблицы, например таблица чисел вида 2/n (n = 3,…, 101).
Сложились также определенные приемы производства математических операций с целыми числами и дробями. При умножении, например, преимущественно используется способ постепенного удвоения одного из сомножителей и складывания подходящих частных произведений (отмечены звездочкой) (12 12)
1 – 12
2 – 24
*4 – 48
*8 – 96
Вместе – 144
При делении также используется процедура удвоения и последовательного деления пополам. Деление, по-видимому, было самой трудной математической операцией для египтян; в нем наблюдается самое большое разнообразие приемов.
Приведем пример одной из задач.
«Сало. Годовой сбор 10 беша. Какой ежедневный сбор? Обрати 10 беша в ро. Это будет 3200. Обрати год в дни. Это будет 365. Раздели 3200 на 365. Это 8 2/3 1/10 1/2190. Обрати».
Производится постепенный подбор частного. 8 дает разницу между истинным и частичным делимым: 3200–2920 = 280. Сомножитель 2/3 дает: 365 2/3 = 243 1/3. Еще до 280 не хватает 36 2/3. Очередной подбор 1/10 дает уже разницу в 1/6 (так как 36 2/3-36 1/2 = 1/6). Остается только подобрать число, которое, будучи умножено на 365, дало бы 1/6. Это 1/2190. Таким образом, частное отыскивается постепенным подбором, для которого еще нет единого метода.
Часто встречается операция, называемая «хау» («куча»), соответствующая решению линейного уравнения вида ах + bх +… сх = d.
Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют утверждать, что в Египте начали складываться элементы математики как науки. Техника вычислений еще примитивна, методы решения задач неединообразны.
Византийская математика
Основным достижением математической мысли, характеризующим начало византийской математики, было возникновение и развитие понятия о доказательстве. Первым из философов, применившим в математике метод доказательства, считается греческий ученый Фалес из Милета. Фалес доказал, например, равенство вертикальных углов, равенство углов при основании равнобедренного треугольника, один из признаков равенства треугольников и т. д.
Новым было то, что Фалес впервые попытался логически свои выводы обосновать. Тем самым он положил начало дедуктивной математики – той, которая впоследствии была превращена в стройную и строгую систему знаний.
Затем метод доказательства был усовершенствован и развит учеными пифагорейской школы, которые доказали, в частности, утверждение, называемое теперь теоремой Пифагора. Пифагорейцы предприняли первую попытку свести геометрию и алгебру того времени к арифметике. Они считали, что «все есть число», понимая под словом «число» лишь натуральные числа.
Однако натуральных чисел и дробей оказалось недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Анализ полученного доказательства привел к исследованию начальных вопросов теории чисел (четности и нечетности натуральных чисел, разложения чисел на простые множители, свойств взаимно простых чисел и т. д.). Византийские математики эллинского периода предприняли попытку обосновать всю математику на основе геометрических понятий. Они истолковывали, например, сложение величин как сложение отрезков, а умножение – как построение прямоугольника с заданными сторонами.
Недостатком геометрического подхода к математике было то, что он препятствовал развитию алгебры. Византийцы умели в геометрической форме решать квадратные уравнения, но невозможно было представить геометрически четвертую и высшие степени длины, а кроме того, нельзя было складывать выражения разных степеней: эта сумма геометрического смысла не имела. По той же причине в византийской математике не было отрицательных чисел и нуля, иррациональных чисел и буквенного исчисления.
Пифагор первый заметил, что сила и единство науки основаны на работе с идеальными объектами. Например, прямая линия – это не тетива натянутого лука и не луч света: ведь они имеют небольшую толщину, а линия толщины не имеет. То же относится к геометрической плоскости и поверхности воды в спокойном озере или к числу 5 и пяти пальцам на руке. Идеальные объекты (будь то числа или фигуры) встречаются только в маематическом рассуждении.
Все природные тела и процессы суть искаженные подобия идеальных тел и движений, а закономерности идеальных объектов выражаются с помощью чисел. Короче говоря: числа правят миром через свойства геометрических фигур! Но если так, то любые свойства чисел приобретают особое (даже мистическое) значение. Есть числа четные, а есть нечетные; есть простые и есть составные. И еще есть дроби, то есть отношения натуральных чисел; их Пифагор из осторожности называл не числами, а «величинами».
Так в школе Пифагора из арифметики была выделена в отдельную область теория чисел, то есть совокупность математических знаний, относящихся к общим свойствам операций с натуральными числами. В это время уже стали известными способы суммирования простейших арифметических прогрессий. Были рассмотрены вопросы делимости чисел, введены арифметическая, геометрическая и гармоническая пропорции.
Наряду с геометрическим доказательством теоремы Пифагора был найден способ отыскания неограниченного ряда троек «пифагоровых» чисел, то есть троек чисел, удовлетворяющих соотношению a 2 + b 2 = c 2 и имеющих вид: п, (n 2-1)/2, (n 2 + 1)/2, где п – нечетное. Было открыто много математических закономерностей теории музыки.
Едва ли не первой открытой иррациональностью явился 2 1/2. Можно предполагать, что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма последовательного вычитания, известного под именем алгоритма Евклида. Возможно, что некоторую побудительную роль сыграла задача математической теории музыки: деление октавы, приводящее к решению пропорции 1: п = п: 2. Не последнюю роль, по-видимому, играл и характерный для пифагорейской школы общий интерес к проблемам теории чисел.
Вслед за иррациональностью2 1/2 были открыты многие другие иррациональности. Так, Архит доказал иррациональность чисел вида [n(n+1)] 1/2. Теодор из Кирены установил иррациональность квадратного корня из чисел 3, 5, 6,…, 17.
Появление иррациональностей означало для неокрепшей греческой математики одновременное появление серьезных трудностей как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане. Была фактически поставлена под удар вся теория метрической геометрии и теория подобия. Но коль скоро открытие иррациональности показало, что совокупность геометрических величин (например отрезков) более полна, чем множество рациональных чисел, то представилось целесообразным это более общее исчисление строить в геометрической форме. Это исчисление было создано; в литературе оно получило название геометрической алгебры.
Первичными элементами геометрической алгебры являлись отрезки прямой: работой с ними были определены все операции исчисления. Сложение интерпретировалось приставлением отрезков, вычитание – отбрасыванием от отрезка части, равной вычитаемому отрезку. Умножение отрезков приводило к построению двумерного образа; произведением отрезков а и b считался прямоугольник со сторонами а и b. Произведение трех отрезков давало параллелепипед, а произведение большего числа сомножителей в геометрической алгебре не могло быть рассматриваемо. Деление оказывалось возможным лишь при условии, что размерность делимого больше размерности делителя. Оно интерпретировалось эквивалентной задачей приложения площадей. Метод приложения площадей был распространен и на случаи решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям.
Однако довольно быстро выявилась ограниченность области применения методов геометрической алгебры. Средствами построения являлись только циркуль и линейка, и хотя можно представить себе операции с трехмерными образами, но даже такая простая, казалось бы, задача, как построение куба с объемом вдвое больше данного, не поддавалась решению с помощью циркуля и линейки. Задачи же, приводящиеся к уравнениям степени выше третьей, оказывались в геометрической алгебре просто невозможными.
Среди других задач, не имевших решения этими методами, наиболее известны проблемы трисекции угла и квадратуры круга.
История задачи об удвоении куба – пример того, как происходит обогащение математических методов. Из-за этой задачи конические сечения вошли в математику, став средством решения задач, не поддающихся циркулю и линейке. Впрочем, для решения задачи удвоения куба применялись и другие способы. Эратосфен, например, построил прибор (мезолабий), удобный для приближенного удвоения куба. Однако ни один из методов не имел столь большого влияния на развитие античной математики, как конические сечения.
Позже, с развитием алгебры, постановка задачи приобрела алгебраическую форму: может ли операция извлечения кубического корня из рационального числа быть сведена к конечному числу извлечений квадратного корня? Сомнение в возможности такого решения задачи высказал впервые в 1637 году Декарт. Но только еще через 200 лет задача удвоения куба получила окончательное разрешение. В 1837 году Ванцель доказал, что кубические иррациональности не принадлежат ни полю рациональных чисел, ни его расширению посредством присоединения квадратичных иррациональностей.
Второй знаменитой задачей античной древности была задача о трисекции угла, то есть о разделении произвольного угла на три равные части. Эта задача, как и предыдущая, сводится к решению кубического уравнения. Поэтому для нас полностью понятно, что многочисленные попытки произвести трисекцию угла с помощью только циркуля и линейки не могли быть успешными.
Трисекция угла имела столь же длинную историю, как и удвоение куба. Сведение ее к кубическому уравнению было осознано только в IX-Х веках н. э.
Третьей из знаменитых задач древности является квадратура круга, задача об отыскании квадрата, равновеликого данному кругу. Эту задачу в византийской античности рассматривали в обоих аспектах: точном и приближенном. Последний подход привел к введению приближения площади круга вписанными или описанными многоугольниками и к приближенным вычислениям числа «пи», но огромное количество попыток точно квадрировать круг к успеху привести не могли вследствие трансцендентной природы задачи.
Решение проблемы растянулось на много веков. Только в конце XVIII века И. Ламберт и А. Лежандр сумели доказать, что число «пи» не является рациональным числом. Трансцендентность же этого числа, то есть тот факт, что оно не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, была доказана в 1882 году Линдеманом.
Византийские математики эллинского периода, стремившиеся теоретически точно решить задачу о квадратуре круга, этого, разумеется, не знали. Но их усилия принесли развитию математики большую пользу, обогатив ее новыми фактами и методами. Так, был разработан метод исчерпывания, являвшийся предшественником метода пределов. Были введены различные трансцендентные кривые. Наконец, впервые в истории математики были найдены квадрируемые фигуры, ограниченные кривыми линиями.
Появление иррациональностей обусловило необходимость создания общей теории отношений, способной дать определения и ввести операции, применимые как для рациональных, так и для иррациональных величин. Первоначальной основой этой теории стал алгоритм попеременного вычитания, известный как алгоритм Евклида.
В случае, если члены отношения соизмеримы, то алгоритм обрывается. Несоизмеримость не дает конечного алгоритма.
Однако попытка ввести операции над отношениями, определенными таким образом, сразу встретила серьезные математические трудности. Например, чтобы ввести умножение отношений, надо было найти способ определения неполных частных непрерывной дроби – произведения через неполные частные непрерывных дробей-сомножителей. Для этого и в наше время не существует никакой сколько-нибудь элементарной формулы. Наконец, в то время не существовало еще общего понятия величины. В силу этих обстоятельств алгоритм Евклида не сделался основой теории отношений.
На этом примере видно, что математические теории прошлого имеют зачастую много общего с современными математическими теориями. Однако надо учиться выделять специфику их исторического развития, чтобы не впадать в одну из двух ошибок: отождествления прошлого с настоящим или нигилистического отрыва настоящего от прошлого, того отрыва, который делает исследователя слепым перед контурами будущего.
Попытки систематизировать полученные при решении различных конкретных задач результаты предпринимались в византийской математике неоднократно. И успех, в отличие от других областей естествознания, был достигнут в математике потому, что она уже достаточно далеко ушла от реальности и научилась вычленять идеальные объекты и работать с ними. Что интересно, логика работала только в математике; когда хотели ее применить к обычной жизни, тут же сталкивались с различными противоречиями.
Абстрактность предмета математики и установившиеся приемы математического доказательства были основными причинами того, что математика стала излагаться как дедуктивная наука, представляющая логическую последовательность теорем и задач на построение и использующая минимум исходных положений. Сочинения, в которых в то время излагались первые системы математики, назывались «Началами».
Первые «Начала», о которых дошли до нас сведения, приписываются Гиппократу Хиосскому. Встречаются упоминания и о «Началах», принадлежащих другим авторам. Однако все эти сочинения оказались забытыми и утерянными практически с тех пор, как появились «Начала» Евклида, которые получили всеобщее признание как система математических знаний, логическая строгость которой оставалась непревзойденной в течение очень большого времени. Его «Начала» до сих пор лежат в основе всех систематических школьных курсов геометрии. Научные исследования по математике, в особенности элементарной, в очень большой степени опираются на систему Евклида, иногда подражая даже форме его изложения.
В «Началах» тринадцать книг, каждая из которых состоит из последовательности теорем. Иногда к этим книгам добавляют книги №№ 14 и 15, принадлежащие другим авторам и близкие по содержанию к последним книгам Евклида. Первой книге предпосланы определения, аксиомы и постулаты. Определения имеются и в некоторых других книгах (2–7, 10, 11). Аксиом и постулатов в других книгах «Начал» нет.
Определения – это предложения, с помощью которых автор вводит математические понятия путем их пояснения. Например, «точка есть то, что не имеет частей», «куб есть телесная фигура, заключающаяся между шестью равными квадратами» и т. п. Эти предложения Евклида много раз подвергались критике с точки зрения их полноты и логической определенности, однако равноценной или более совершенной системы определений предложено не было.
Дело свелось к тому, что в наше время при аксиоматическом построении математической теории единственным способом описания объектов этой теории и их свойств является сама система аксиом, а объекты вводятся как первичные неразъясняемые сущности. Что же касается определений Евклида, то их следует рассматривать как исторически сложившиеся к его времени абстракции реальных вещей, введение которых в математику освящено традицией. Это – не такой уж редкий, если не сказать наиболее часто встречающийся в истории способ введения математических определений.
В различных изданиях «Начал», а ранее того переписчиками и комментаторами, система аксиом и постулатов Евклида видоизменялась и дополнялась. То, что мы имеем ныне, если угодно, результат большого количества проб и ошибок многих исследователей. Так что, как и многие книги того времени, Евклид – это не имя человека, а некое название труда.
«Начала» Евклида в течение многих веков служили классическим образцом математической строгости и последовательности. Однако были здесь и неблагоприятные для дальнейшего развития математики факторы. Изложение – чисто геометрическое, даже числа представлены как отрезки. Средства геометрического построения, по существу, ограничены только циркулем и линейкой. В «Началах» нет теории конических сечений, алгебраических и трансцендентных кривых, отсутствуют вычислительные методы.
Тем временем при построении математических теорий в Византии выделился специфический класс проблем, для решения которых оказалось необходимым исследовать предельные переходы, бесконечные процессы, непрерывность и т. п. Появилась математика атомистических философских воззрений. Согласно этим взглядам, все тела состоят из бесконечно малых атомов – первовеличин. Эти идеи стали источником представлений о бесконечно малых и о применении их к определению геометрических величин.
Однако о математической стороне подобных высказываний и исследований почти ничего неизвестно. Гораздо больше известно о возражениях противников этих идей. Мы имеем в виду апории Зенона, те логические парадоксы, к которым приводят попытки получать непрерывные величины из бесконечного множества бесконечно малых частиц.
Среди апорий наиболее известны: а) дихотомия, то есть невозможность осуществить движение, так как путь может быть делим до бесконечности (пополам, еще раз пополам и т. д.) и поэтому надо последовательно преодолевать бесконечное множество участков пути; б) Ахиллес, который не может догнать черепаху, так как ему надо последовательно достигать тех мест, где только что находилась черепаха, тем самым исчерпывать бесконечную последовательность отрезков пути; в) полет стрелы делается невозможным, если время считать суммой дискретных мгновений, а пространство – суммой дискретных точек.
Апории Зенона показывали, что, если искать точные доказательства и логически исчерпывающие решения задач, нельзя пользоваться бесконечностью, опираясь на наивные атомистические соображения. Для подобных целей необходимо разрабатывать и привлекать методы, содержащие наряду с разновидностями суждений о бесконечно малых элементы предельного перехода.
Одним из самых ранних методов такого рода является метод исчерпывания. Изобретение его обычно приписывают Евдоксу, а примеры употребления находятся в двенадцатой книге «Начал» Евклида и в ряде сочинений Архимеда. Метод исчерпывания применялся при вычислении площадей фигур, объемов тел, длин кривых линий, нахождении подкасательных к кривым и т. п.
Однако метод был еще весьма несовершенным; и он развивался только в связи с конкретными задачами. Он не приобрел вида абстрактного метода, имеющего развитую систему исходных понятий и единообразные алгоритмы. Единственность предела доказывалась для всякой задачи заново. Этот недостаток не был частным, случайным. Дело в том, что всякая попытка ввести доказательство раз и навсегда для определенного, достаточно широкого класса задач неизбежно влекла за собой необходимость дать рациональное объяснение понятию бесконечно близкого приближения, бесконечно малой величины и т. п. Трудностей, связанных с этим, математики того времени не могли преодолеть.
Тем не менее метод исчерпывания лежал в основе многих конкретных достижений античных математиков, в первую очередь приписываемых Архимеду. До нас дошли десять сравнительно крупных и несколько мелких его сочинений математического характера, написанных преимущественно в виде писем. Основной их особенностью является применение строгих математических методов к разработке экспериментально-теоретического материала из области механики и физики. И вот, в соответствии с научной традицией своего времени Архимед переводил доказательства, полученные методом механической аналогии, на общепринятый язык метода исчерпывания с обязательным завершением последнего, в каждом отдельном случае, доказательством от противного.
Следующей разновидностью методов бесконечно малых является метод, который можно охарактеризовать как метод интегральных сумм. Наиболее яркие примеры применения этого метода находятся в сочинениях Архимеда: «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах». Сущность этого метода в применении, например, к вычислению объемов тел вращения состоит в следующем: тело вращения разбивается на части и каждая часть аппроксимируется описанным и вписанным телами, объемы которых можно вычислить. Сумма объемов описанных тел будет больше, а сумма вписанных тел – меньше объема тела вращения. Теперь остается выбрать аппроксимирующие сверху и снизу тела таким образом, чтобы разность их объемов могла быть сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве указанных тел соответствующих цилиндриков. Единственность предела доказывается, как и во всех других случаях, приведением к противоречию.
Может показаться, что метод интегральных сумм древних и метод определенного интегрирования имеют много общего. Это происходит оттого, что мы излагаем тему современным языком. Но это не так.
Метод интегральных сумм древних опирается на интуитивное, строго не определенное понятие площади и не использует арифметико-алгебраического аппарата. В нем не введены и не определены необходимые общие понятия: предела, интеграла, бесконечной суммы, и не изучены условия применимости высказываемых теорем. Словом, метод применяется индивидуально для каждой конкретной задачи без выделения и оформления его общетеоретических основ.
Наряду с методом интегральных сумм в математике были разработаны и другие, которые ретроспективно могут быть оценены как дифференциальные методы. Примером может служить метод нахождения касательной к спирали в сочинении Архимеда «О спиралях».
Но широкое использование этот метод получил значительно позже, когда в XVI–XVII веках Паскаль, Барроу и Лейбниц создавали свое исчисление дифференциалов. Поэтому не исключено, что работы Архимеда имеют даже существенно более позднее происхождение, чем мы можем предположить. Ведь они послужили исходным пунктом многих исследований ученых-математиков XVI и XVII веков. Лейбниц, один из основателей математического анализа, по этому поводу писал: «Изучая труды Архимеда, перестаешь удивляться успехам современных математиков».
Читать бесплатно другие книги:
