Прикладные аспекты аварийных выбросов в атмосферу. Справочное пособие Романов Вадим

3.1. Атмосферная диффузия и вовлечение окружающей среды в выброс

Диффузией называют распространение вещества в какой-либо среде в направлении убывания его концентрации, обусловленное движением его частиц: атомов, молекул, ионов, броуновских частиц или отдельных элементарных газовых объемов — молей. При ламинарной диффузии вещество распространяется механизмом теплового движения мельчайших частиц на атомно-молекулярном уровне; при турбулентной — этот процесс происходит под влиянием вихревого беспорядочного движения отдельных макроскопических частиц и образований по сложным непредсказуемым траекториям.

Для инженерных расчетов и оценок большой интерес представляют турбулентные движения газообразной и жидкой среды, так как они реализуются в абсолютном большинстве практических задач.

В отличие от ламинарного плавного движения при турбулентном движении среды происходит интенсивное ее перемешивание, и диффузия в ней многократно усиливается. В настоящее время имеются десятки теорий турбулентности и вероятно не меньше объяснений механизма диффузии, хорошо «работающих» в частных случаях, но не являющихся логически завершенными и универсальными. В работе [50] отмечается, что в окончательном виде проблема турбулентной диффузии еще не сформулирована в окончательном виде как единая физическая модель, способная объяснить все ее многообразные аспекты.

К сегодняшнему дню к проблеме диффузии имеются два основных подхода, на базе которых ответвляются более мелкие и частные: теория градиентного переноса и статистическая теория. Согласно теории градиентного переноса диффузия от источника связана с локальным градиентом концентрации его вещества; статистическая теория рассматривает движение частиц как составную часть сплошной среды. Между этими подходами существует близкая связь, так как они описывают одно и то же явление с разных сторон, но имеются и различия.

Теория градиентного переноса от непрерывного точечного источника в атмосфере является эйлеровой — рассматривающей свойства движения жидкости или газа относительно зафиксированной в пространстве системы координат. Статистическая же теория, рассматривающая движение отдельных частиц, является лагранжевой.

Особое место занимают задачи распространения антропогенных выбросов в виде различных струйных течений разной продолжительности, интенсивности и концентрации загрязнений. Диффузия таких выбросов может рассматриваться на основе теории струй, развитой, например, в работах [91–95]. Описание таких течений с помощью системы дифференциальных уравнений связано с трудностями вычислительного характера. Кроме того, в ряде важных конкретных задач этого рода не удается учесть сложные граничные условия и сильное влияние таких эффектов реальной атмосферы, как дальнодействие пульсаций давления, значительная перемежаемость турбулентного потока, неоднородность и не стационарность ветрового потока и т. п.

Наблюдаемые в опытах и в реальных объектах относительно крупные вихри образуются при турбулентном обмене конечными массами жидкости или газа, происходящими между соседними слоями потока с разной завихренностью и разной средней скоростью. При попадании турбулентной частицы или моля в новый слой среды они обладают избыточной завихренностью и избыточной поступательной скоростью, которые порождают пульсации этих параметров. Отмечается [89], что в период дискретного существования завихренной частицы она воздействует на поток как твердое тело с некоторой угловой скоростью, обтекаемое потоком с относительной скоростью, то есть как вихрь конечного диаметра.

Турбулентное течение сопровождается образованием, перемещением, взаимодействием и затуханием интенсивности вихревого движения различных масштабов. Размеры наиболее крупных вихрей сравнимы с характерными размерами потока (радиусом трубы или устройства выброса, канала, погранично-го слоя и т. п.).

Возникновение вихревых структур, увеличивающихся в размерах по течению, связано с переходом от ламинарного режима к турбулентному. Оно обуславливает интенсивное перемешивание потока и однородность его физических характеристик.

Развитое турбулентное течение характеризуется наличием разномасштабных вихревых структур, способных оставаться когерентными (согласованно протекающими во времени и пространстве) на значительном расстоянии вниз по потоку.

Отметим, что несмотря на длительное изучение когерентных структур, оказывающих существенное влияние на дисперсию механической энергии, сдвиговые напряжения, аэродинамический шум, процессы горения и другие технически важные процессы, взаимодействие вихрей, механика их роста, трехмерные эффекты полей завихренности внутри структур и многие другие вопросы остаются открытыми.

Процесс перемешивания вещества струи с окружающей средой можно трактовать как его диффузию и вовлечение воздуха, происходящих посредством вихревого переноса. Экспериментально установлено, что граница, отделяющая однородную жидкость или газ струйного потока, резко выражена. Она искривляется крупными вихрями, а процесс перемешивания условно можно подразделить на два этапа: диффузия вещества струи и захват внешней среды крупными вихрями и последующее мелкомасштабное перемешивание в центральной части потока.

Струя как бы колеблется относительно своей осредненной границы из-за того, что вертикальная скорость и турбулентность, измеренные в фиксированной точке на некотором расстоянии от оси, имеют перемежающийся характер. Несмотря на это, осредненные по времени профили макроскопических величин, например, таких как скорость и температура являются гладкими и хорошо аппроксимируются дифференцируемыми функциями (например, гауссовскими кривыми).

На Рис. 3.1. схематично изображено движение струи в некоторой среде, сопровождающееся взаимным проникновением вещества потока в среду и среды в поток.

Рис. 3.1. Схема взаимного проникновения вещества струи и окружающей среды в турбулентном потоке: 1 — турбулентный поток; 2 — зона смешения (заштрихована); 3 — окружающая среда; граница струи (__________) и ее мгновенные значения (………….).

Область интенсивного перемешивания диффузии примеси и вовлекаемого вещества имеет форму конического слоя (на рисунке заштрихован), примыкающего к цилиндрическому ядру потока. Ос-ре дне иная граница струи — прямолинейная, мгновенная граница имеет перемежающийся вид и является когерентной структурой. Гребни этой структуры по мере развития течения увеличиваются в размерах и перемещаются вниз по течению.

В условиях знакопеременного направления относительного движения вихрей в турбулентном потоке, когда максимальные разрежения образуются попеременно на его разных сторонах, будет формироваться мгновенная граница потока в виде перемежающейся рельефной поверхности. Эта поверхность передвигается вниз по потоку вместе с некоторой охватывающей ее массой жидкости с некоторой скоростью (Рис. 3.1), зависящей от циркуляции вихря и расстояния до соседнего вихря [88].

Поперечная скорость вихревых неоднородностей V_rp определяется пульсационной скоростью v'. Наличие сносящего ветрового потока приводит к его уширению, сглаживанию поверхностных гребней и увеличению продольной составляющей скорости V_rp. С другой стороны турбулентные движения атмосферы привносят свои пульсационные составляющие, приводящие к увеличению угла расширения потока. Детально эти процессы могут быть описаны только чрезвычайно сложной и громоздкой математической моделью, для которой остается проблематичным формулировка начальных и граничных условий.

Для решения инженерных прикладных задач диффузионные эффекты примесей в атмосфере могут с успехом быть решены при использовании понятия вовлечения, которое интегрально учитывает все перечисленные выше физические явления.

3.2. Параметры расширения струй и клубов

Как отмечалось выше, для описания процессов, происходящих в свободных турбулентных течениях, основным понятием является механизм диффузии или «вовлечения» окружающей жидкой или газообразной среды в выброс; граница потока деформируется крупномасштабными вихрями, а внутри — вихри мелкомасштабные широкого спектра размеров.

Процесс перемешивания внутреннего и внешнего течений происходит в два этапа: захват внешней среды большими вихрями и каскадное мелкомасштабное перемешивание в ядре потока.

Детальная теория механизма вовлечения дается в основополагающей работе Таунсенда [154], но упрощенно описанный выше механизм этого процесса дает представление о физике явления.

Для нахождения параметров расширения струйного потока будем исходить из геометрической интерпретации процесса нарастания его поперечного размера. Все работы, использующие понятие вовлечения, базируются на интегральном (осредненном по поверхности контакта с окружающей средой по периметру контрольного элемента газа) поступлении вещества окружающей среды в турбулентный поток. Считается [5 — 14], что приток воздуха на внешней периферии контрольного элемента газа единичной длины (Рис. 3.1) равен вовлечению Е в струю, то есть

Е = _е · L · w. (3.1)

где

L — длина внешней образующей поперечного сечения S (для круглого сечения L = 2R); w — скорость вовлечения внешнего воздуха в сечение S (среднее по длине l).

Считается, что скорость вовлечения пропорциональна скорости вещества струи V, т. е.

w = а V

где а — коэффициент вовлечения.

В большинстве работ коэффициент а считается постоянным, однако в действительности это не так. Только в одном частном случае осесимметричной изотермической струи при отсутствии сносящего потока, как показывает опыт [11] это соотношение постоянно.

Соотношение w/V характеризует угол раствора струйного потока. Естественно, что оно должно зависеть от плотностей вещества струи и окружающей среды и от их степеней турбулентности. Рику и Сполдинг [96] экспериментально получили зависимость коэффициента вовлечения от плотности. Ими было получено соотношение

w / V = ,

где  = а (/ _е) S.

По данным [12,13] а = 0,08 для осесимметричной струи и а = 0,22 — для струи линейной [14] при экспериментах в лабораторных условиях, что соответствует случаю покоящейся среды (штиль). В такой постановке в настоящее время решаются наиболее «продвинутые» задачи теории струй.

Выражение (3.1) при этом приобретает следующий вид:

где  — новый коэффициент вовлечения.

Вовлечение Е в форме (3.2) при записанных выше постоянных значениях коэффициента а уже учитывает неоднородность плотностей окружающей среды и струи и очевидно вполне приемлемо для лабораторных практически штилевых условий, но оно не зависит от динамических и метеорологических характеристик атмосферного воздуха, которые существенно влияют на турбулентный захват струей внешней среды, и поэтому не пригодно для описания процессов в реальной атмосфере. Зависимость вовлечения при такой записи от динамической активности внешней среды отсутствует и поэтому «одна из основных задач теории турбулентности» (как отмечается в [11]) пока остается не решенной до конца. Для ее решения следует положить С, переменным — связанным интегрально с пульсационными параметрами атмосферы.

Сохраним форму записи (3.2), предполагая однако, что С, (или а) не константа, а некоторый параметр, зависящий от степени турбулентности атмосферы или иначе от ее устойчивости. По классификации Пасквилла [15,50] атмосфера по характеру устойчивости может быть подразделена на 7 градаций или классов (А, В, С, D, Е, F, G), причем каждому классу можно поставить в однозначное соответствие угол расширения турбулентной струи. Докажем, что в такой постановке С, зависит от турбулизации атмосферы, т. е. от коэффициента расширения потока к.

Не нарушая общности, рассмотрим струйный поток плотности с круглого поперечного сечения, распространяющийся со скоростью V в неподвижной среде плотности р_е. Как известно, он имеет вид расширяющегося прямоугольного конуса с переменным углом расширения  = arc tg k (в случае неизотропного потока углы его расширения

_z = ['²]^1/2 в направлении оси Z

и _у = ['²]^1/2 в направлении оси Y,

где

' и ' — пульсации угла вектора скорости в вертикальной плоскости вдоль соответствующих направлений).

Будем вести рассмотрение элементарного газового объема струи, ограниченного нормальными к оси поперечными сечениями «1» и «2» и боковой поверхностью (Рис. 3.2).

Рис. 3.2. Схема вертикального осевого сечения элементарного газового объема струи (на верхнем рисунке заштрихован): «1» и «2» — контрольные сечения, ограничивающие элементарный газовый объем; 3 — приращение газового объема при движении потока от сечения «1» к сечению «2»; 4 — неизотермическая струя.

Так как длина контрольного объема l — мала, то внешнюю его поверхность, контактирующую с воздухом окружающей среды, можно считать прямолинейной конической. Ее образующая на этом рисунке — линия cd.

Вычислим увеличение объема струи Av при ее развитии от сечения «1» к сечению «2». Из рисунка видно, что

Введем среднее или текущее значение радиуса усеченного конуса R и приращение радиуса AR по формулам:

Из решения системы алгебраических уравнений относительно переменных R и AR получаем:

R₂=R + R/2; R₁ = R — R/2. (3.8)

Вычислим выражение в квадратных скобках (3.6) при учете соотношений (3.8). Получаем:

R₂² — 2R₁ + R₁R_a = 3RR (1– R/6R). (3.9)

Так как для развитого турбулентного потока R /R < 1, то R / 6R << 1 и вторым членом в скобках правой части (3.9) можно пренебречь по сравнением с 1. При этом объем кругового конического кольца v записывается так:

v  RRI. (3.10)

Преобразуем эту формулу при учете следующих геометрических соотношений:

S = R²; k = tg  = R/I.

Получаем

В этом соотношении:

S — площадь поперечного сечения контрольного газового элемента в некотором текущем или среднем сечении.

Масса кругового конического кольца с образующей cd находится из уравнения

M = р (3.12)

где  — осредненное по объему значение плотности вещества струи.

Так как AM в точности равна массе поступившего в струю вещества за счет вовлечения окружающего воздуха на пространственно-временном интервале l t:

M = Е I t, (3.13)

то подставив в (3.13) вместо Е его выражение из (3.2), а вместо скорости его значение через дифференциалы I и t, получаем

Приравнивая AM из (3.12) и (3.13а), получаем:

откуда

Из соотношения (3.14) следует, что вовлечение в струйный поток окружающего воздуха полностью определяется его угловым коэффициентом или углом расширения струи.

Найдем теперь связь углового коэффициента расширения клуба с коэффициентом вовлечения в него атмосферного воздуха _к. По аналогии с работой [96], в которой понятие вовлечения используется для струй, запишем выражение для вовлечения вещества в клуб в виде:_

Напомним физический смысл вовлечения — это масса окружающей среды, поступающая в выброс в единицу времени через его единичную поверхность; [Е] = кг/с/кв.м. Поэтому приращение массы выброса в виде клуба AM за интервал времени At запишется так:

M = Е S t, (3.16)

где поверхность вовлечения

S = FR_m²;

Rm — усредненное за интервал t значение радиуса выброса;

F — коэффициент формы (для сферы F = 4n).

С другой стороны, приращение AM можно связать с приращением эффективного радиуса выброса (Рис. 3.3):

M = _m F R_m² R, (3.17)

где _m — усредненное в слое AR значение плотности вещества выброса.

Приравниваем (3.16) и (3.17) при учете (3.5) и связи приращения пути выброса l со скоростью его движения:

l = V t.

Получаем

Так как

то из (3.18) следует окончательная связь

_к = к (3.19)

Из формулы (3.19) следует, что коэффициент вовлечения атмосферного выброса в виде компактного объема в точности равен его угловому коэффициенту в процессе расширения.

Рис. 3.3. Схема расширения клуба в атмосфере: «1» и «2» — пространственные положения клуба в моменты времени t₁ и t₂; 0 — виртуальный центр расширения выброса; R — приращение эффективного радиуса выброса за интервал времени t; 1 — ось траекторного движения клуба;  ветровой поток;……. воображаемый контур клуба «2» в момент времени t₁.

Рассмотрим теперь, как по физическим (метеорологическим) характеристикам атмосферы определить ее устойчивость, характеристики расширения струйного потока и вовлечения в него окружающего воздуха.

3.3. Связь устойчивости атмосферы с погодными условиями и метеорологическими параметрами

В предыдущем разделе было показано, что для расчета физических характеристик струйного потока, поднимающегося на большую высоту, необходимо знание характеристик турбулентности атмосферы (коэффициента вовлечения Q или расширения струи (коэффициента углового расширения к).

В настоящее время существуют два способа определения устойчивости (степени турбулентности) атмосферы: с использованием синоптической информации и с использованием информации о высотном изменении метеорологических параметров.

Первый способ основывается на обработке большого экспериментального материала по дымовым струям, проведенной Паскуиллом (Pasquill) и Мидом (Meade). Ссылки на работы, использующие эти данные в обобщенном виде, приводятся в работе [50]. Все многообразие погодных условий по типу турбулентной активности Паскуилл предложил условно разделить на 7 групп. Эти группы характеризуются как скоростью ветра на высоте флюгера — 10 м, так и солнечной инсоляцией (Таблицы № 3.1 и № 3.2).

Таблица № 3.1.

Таблица № 3.2

Степень инсоляции для дневного времени суток (слабая, умеренная или сильная) можно определить с использованием высоты солнца и доли неба, покрытого облаками. Если небо ясное и солнце высокое, то инсоляция интенсивная. Если небо ясное и высота солнца средняя, то инсоляция умеренная. Если небо переменное и солнце высокое, то инсоляция умеренная. Во всех остальных случаях инсоляция слабая.

Другой способ определения класса устойчивости основывается на использовании информации о градиенте температуры атмосферного воздуха на ближайшей к месту происшествия аэрологической станции [90]. Градиент температуры при этом берется в слое 20 — 120 м, а скорость ветра — на уровне флюгера (Таблица № 3.3)

Таблица № 3.3.

Или в слое 2 — 300 м и скорости ветра на уровне флюгера (Таблица № 3.4).

Таблица № 3.4.

Видоизмененная классификация определения классов устойчивости, представленная в Таблице № 3.4 [90] удобна тем, что всегда имеется синоптическая информация о температуре воздуха на высоте 2 м по синоптическим измерениям, а во-вторых слой в три раза толще, чем в Таблице № 3.2. Значит всегда можно воспользоваться одним или более радиозондовым измерением температуры и скорости атмосферного воздуха. Отметим, что для практического использования можно применять любую из Таблиц 3.1–3.4 в зависимости от наличия информации о атмосфере в районе аварии.

В работе [50] делается вывод о том, что методика Паскуилла позволяет теоретические разработки рассеяния загрязняющих веществ хорошо согласовать с экспериментальными данными. Причем стандартные отклонения горизонтального направления ветра _е при временах осреднения от 10 до 60 мин можно эмпирически связать с измеренными значениями ширины струи и относительной средней концентрацией или дозой для случая непрерывных источников.

На основе этих данных было получено соответствие между группами устойчивости Паскуилла и измеренными значениями _е. Эти данные приводятся в работе [50].

Запишем их в виде таблицы с учетом полученных нами соотношений для коэффициентов к и , и _к (Таблица № 3.5).

Таблица № 3.5.

Из этой таблицы видно, что при одном и том же угле расширения струи и клуба в струю должно вовлекаться в  больше окружающего воздуха, чем в клуб. При одинаковом вовлечении вещества в струю и в клуб расширение струйного потока будет меньше, чем угловое расширение клуба. Этот факт подтверждается данными многочисленных экспериментов. Отметим, что в Таблицу 3.5 не вошел класс, соответствующий очень устойчивой атмосфере (класс G). Кроме того, нами включены значения характеристик расширения потока при покоящемся атмосферном воздухе (класс S-штиль). Устойчивость потока в этом случае полностью определяется турбулентностью вещества струи.

Анализ Таблицы № 3.5 показывает, что числовые значения коэффициентов вовлечения в зависимости от условий окружающей среды могут варьироваться в широких пределах, изменяя массы вовлекаемого в выброс воздуха более, чем в десять раз. Соответственн этим массам будут существенно меняться геометрические, динамические и концентрационные характеристики его вещества. Это подтверждает вывод о недопустимости рассмотрения коэфициентов вовлечения в виде единой постоянной величины независимо от метеопараметров.

Для использования полученных в работах [50] и [90] результатов для случая расчета высокотемпературной струй при аварийных ситуациях типа пожара необходимо сделать допущение о характере стандартных отклонений ветра. Предполагается, что стандартные отклонения направления ветра в горизонтальной и вертикальной плоскостях примерно равны, т. е.

=

где

 — дисперсии углов расширения потока в горизонтальной и вертикальных проекциях соответственно;

 = arc tg(dR/ dl).

Физически это означает, что струя имеет практически круглое сечение. Неизотропность поля ветра относительно поперечных осей не нарушает общности рассмотрения и в большинстве практических задач может не учитываться. Этот эффект следует рассматривать для случаев струйных потоков в непосредственной близости от подстилающей поверхности.

Известно, что величины и , представляющие собой осредненные по времени значения флуктуаций угловых направлений ветра в горизонтальной и вертикальной плоскостях, могут быть получены непосредственно с флюгера.

Подводя итоги этого раздела, можно сформулировать методику нахождения коэффициентов вовлечения, необходимых для создания математических моделей и решения практических задач возникновения и движения в атмосфере газообразных выбросов. Она состоит из трех этапов.

На первом этапе в зависимости от наличия конкретной информации о метеорологических параметрах в месте работы определяется группа устойчивости атмосферы по одной из таблиц 3.1–3.4.

На втором этапе по Таблице № 3.5. находят соответствующую группе устойчивости угловую характеристику расширения турбулентного потока и его коэффициент углового расширения к.

Наконец, по формулам (3.14) или (3.19) определяют числовое значение коэффициента вовлечения в струйный поток или _к в компактный объем (клуб) в зависимости от характера выброса.

3.4. Геометрические характеристики формирующихся кратковременных выбросов

Формирование кратковременного выброса существенно зависит не только от расходных характеристик

источника загрязнений и атмосферной турбулентности (через коэффициент вовлечения), но и от формы выброса и от площади его поверхности контакта с атмосферным воздухом. Через эту увеличивающуюся поверхность происходит вовлечение окружающей «холодной» среды, которая определяет газодинамические концентрационные и энергетические характеристики вещества выброса. Рассмотрим на примере истечения газа из сопла, как формируются кратковременные выбросы.

Наблюдения за истечением кратковременных струй из сопел показывают, что форма выброса в зависимости от времени работы ракетного двигателя в первые мгновения меняется от части сферы, ограниченной сегментом вращения, до полусферы. Затем форма выброса может хорошо быть смоделирована как суперпозиция усеченного конуса и полусферы. Увеличение временной координаты для неизменных атмосферных условий приводит лишь к изменению масштаба выброса, остающегося практически самоподобным.

Поскольку истечение из ракетных сопел происходит с большими скоростями, то в первом приближении может быть оправданным подход при котором считается формирование полусферического выброса происходящим за первый шаг интегрирования задачи. Далее выброс представляется суммой полусферы и удлиняющегося усеченного конуса (Рис. 3.4).

Для определения координаты центра масс полусферического выброса х_* радиуса R = d₀ (Рис. 3.4а) приравняем массы газа в части выброса при х  х_* массе газа в части выброса при х > х_*.

Получаем:

В этом выражении:

— радиус сопла;

Рис. 3.4. Схема формирования кратковременного выброса при истечении газа из сопла: а) переходный процесс возникновения выброса в окрестности сопла; б) развитый самоподобный выброс.

 — уравнение образующей полусферической поверхности выброса;

₁ и ₂ — плотности газа в левой (х х_*) и правой (х > х_*) части выброса, соответственно.

Если предположить, что вещество выброса имеет одинаковую плотность в разных его частях, т. е. ₁ = ₂, то приходим к уравнению относительно искомой координаты центра массы х_*. Получаем:

В уравнении (3.21):  — безразмерная продольная координата центра масс.

Решением уравнения (3.21) является

Необходимо отметить, что координата , полученная выше, не зависит от метеоданных и степени турбулентности атмосферы. Это объясняется принятой нами моделью «раздувания» выброса в первые мгновения истечения до полусферического объема без вовлечения окружающего воздуха.

При рассмотрении дальнейшей эволюции выброса координата его центра масс будет функцией угла расширения его конической части, т. е. будет зависеть от турбулентности атмосферы. Для ее нахождения обратимся к Рис. 3.46.

Как следует из него в предложении однородности вещества выброса объем усеченной части выброса до координаты х„должен быть равен сумме объемов остальной части выброса.

Важной характеристикой при расчетах продольной координаты центра масс кратковременного выброса х_* является х_с — координата его центра масс, совпадающая с точкой сопряжения его конической и сферической частей. Важность знания х_с объясняется существенной разницей в форме выброса в зависимости от того, больше или меньше значение текущей продольной координаты значения х_с. Найдем выражение для х_с.

Координаты сопряжения х_с конической части выброса со сферической определяется приравнивания объемов этих частей выброса.

Получаем:

где

у₁ = кх — уравнение образующей конической поверхности выброса;

 — управление поверхности сферической его части.

Подставив значения у₁ и у₂ в это соотношение, получаем:

Вещественный корень этого уравнения может быть определен по формуле Кардана [172]:

Окончательное выражение для безразмерной продольной координаты сопряжения конической и сферической частей выброса может быть получено при подстановке в соотношение (3.24) вместо р и q их значений. Из-за громоздкости мы его не приводим.

Если известен радиус полусферической «шапки» выброса R, то выражение для продольной координаты сопряжения может быть записано в виде компактного соотношения. Приравниваем объем цилиндрической части выброса

и его сферической части

Получаем:

Из рассмотрения Рис. 3.4 видно, что по мере развития выброса координата его центра масс перемещается с полусферической его части на цилиндрическую часть. В математическом виде это утверждение может быть записано так:

В этих соотношения, как и ранее:

у_х=кх — уравнение цилиндрической образующей конуса;

 — уравнение образующей сферической части поверхности выброса.

После вычисления интегралов имеем следующие соотношения для определения координаты х_*:

При х_* х_с:

v₁ + v₂ = v₃ (3.25)

где

Уравнение (3.25) при учете вида соотношений (3.26), (3.27), (3.28) записывается в виде кубического уравнения

каноническом виде относительно переменной

Это уравнение при учете связи характеристик выброса R и L может быть решено аналитически или численно.

Уравнение (3.29) при учете соотношений (3.30), (3.31), (3.32) записывается так:

Откуда

или при учете соотношения

получаем для х_* окончательное выражение (случай х_* <х_с):

Поперечный размер выброса в месте нахождения его центра масс R„может быть определен при использовании геометрических построений Рис. 3.4.

Здесь, как и ранее, радиус полусферической «шапки» выброса определяется соотношением:

При большом времени истечения вещества из сопла кратковременный выброс перестраивается в струйный. Для струйного выброса значением начального радиуса R₀ можно пренебречь по сравнением с его приращением, т. е.

При этом

и из соотношения (3.29) при учете (3.30), (3.31) и (3.32) получаем асимптотические зависимости для координат центра масс выброса

График зависимости безразмерной координаты центра масс струйного выброса  от коэффициента углового расширения его конической части к представлен на рисунке 3.5.

Как следует из графика этого рисунка увеличение угловой координаты его центра масс приводит к линейному уменьшению . Однако, эта зависимость сравнительно слабая. В диапазоне возможных состояний атмосферы, характеризующихся диапазоном коэффициентов углового расширения 0,087  к 0,364 (классы устойчивости атмосферы от В до Е по классификации Пасквилла) безразмерное значение продольной координаты изменяется от

Рис. 3.5. Зависимость безразмерной продольной координаты струйного выброса продуктов горения из сопла от углового коэффициента расширения струи к.

Найдем теперь выражение для поверхностей вовлечения формирующихся кратковременных выбросов. Считаем, что выходящий из сопла газ механически выдавливает окружающий воздух вплоть до полусферического объема (это состояние вещества выброса соответствует временной координате t₃ на Рис. 3.4а). Вовлечение в выброс начинает происходить при t > t₃ через образующуюся коническую его поверхность.

Площадь вовлечения окружающей среды при этом запишется так:

S_B = (R + R₀) L_.обр

где

 длина образующей конической поверхности,

 — угол конической поверхности выброса.

Учитывая связь угла а и коэффициента углового расширения потока к:

к = tg

находим для образующей следующее L_обр выражение:

Подставляя в выражение для площади вовлечения вместо L_обр его выражение, получаем:

При учете формулы для радиуса R получаем окончательное выражение для поверхности вовлечения кратковременного выброса. Оно имеет вид:

На графике Рис. 3.6 представлена зависимость безразмерной (отнесенной к площади соплового сечения) поверхность вовлечения кратковременного выброса от безразмерной длины выброса для различных значений углового расширения к:

Как следует из этого графика, безразмерная поверхность вовлечения  растет с увеличением безразмерной длины выброса . Увеличение угла расширения потока (фактически коэффициента вовлечения) приводит к более резкому возрастанию .

Рис. 3.6. Зависимость безразмерной площади вовлечения в кратковременный выброс от его безразмерной длины для различных значений коэффициента углового расширения потока.

Вычислим теперь объем кратковременного сформировавшегося выброса, состоящего из усеченного конуса и полусферы. Получаем:

или подставляя вместо R его значение из (3.33), можно получить выражение для объема выброса через его длину и начальный радиус R₀. После громоздких вычислений находим:

3.5. Аэродинамическое сопротивление движению в потоке

При решении задач подъема в атмосфере неизотермических струй и клубов загрязняющих примесей, возникающих при штатной работе и авариях на промышленных объектах, необходимо знать некоторые интегральные характеристики выброса и ветрового потока.

В частности, в уравнения движения струи или клуба в сносящем потоке входят коэффициент вовлечения окружающей среды в выброс g и параметр, характеризующий отклонение струйного потока как целого от ветра — С_х.