Тайны чисел: Математическая одиссея Сотой Маркус

Если эта форма – линия, количество клеток на бумаге возрастает в 2 раза. Если форма – квадрат, то число клеток увеличится в 4 раза, или в 2. Каждый раз, когда мы уменьшаем размеры клеток на бумаге в 2 раза, число квадратиков, содержащих часть одномерной формы, увеличивается в 2 раза, в то время как для двумерной формы увеличение характеризуется множителем 2. Размерность соответствует степени 2.

Любопытно, что, если вы примените данную процедуру к фрактальной береговой линии, которую мы построили ранее в главе, то увеличение количества клеток при уменьшении их размеров в 2 раза описывается приблизительным множителем 21,26. Итак, с этой точки зрения у нас есть все основания сказать, что размерность равна 1,26. Таким образом, мы создали новое определение размерности.

Вместо клетчатой бумаги вы можете анализировать эти формы с помощью пикселей компьютерного дисплея. Пусть пиксель будет черным, если он содержит часть исследуемой формы, и белым в противном случае. При увеличении разрешения экрана размерность характеризует увеличение количества черных пикселей. Например, если вы переходите от разрешения 16  16 пикселей к разрешению 32  32, то для линии количество черных пикселей удваивается. Для квадрата увеличение количества черных пикселей описывается множителем 4, или 2. Для количества черных пикселей в компьютерном изображении снежинки Коха соответствующий множитель равен 21,26.

В каком-то смысле фрактальная размерность говорит нам, в какой мере эта бесконечная фрактальная линия стремится заполнить пространство, в котором она находится. Давайте построим несколько вариантов нашей фрактальной береговй линии, в которых мы будем делать угол между сторонами, добавляемыми к побережью, все меньше и меньше. При этом результат занимает все больше и больше пространства. Когда мы вычислим размерность каждой из береговых линий в этой последовательности, мы обнаружим, что она все ближе и ближе подходит к 2 (рис. 2.32).

Рис. 2.32. При изменении угла треугольника получающийся фрактал занимает все больше пространства, и его фрактальная размерность возрастает

Если проанализировать фрактальные размерности форм, встречающихся в природе, то обнаружатся некоторые интересные обстоятельства. Фрактальная размерность береговой линии Британии оценивается в 1,25, что довольно близко к показателю построенного нами математического побережья. Мы можем представить себе, что фрактальная размерность говорит нам, как быстро возрастает длина побережья, когда мы используем все более короткие линейки для ее измерения. Фрактальная размерность побережья Австралии оценивается в 1,13, что указывает в каком-то смысле на его менее сложную форму, чем у побережья Британии. Довольно поразительно, что фрактальная размерность береговой линии Южной Африки составляет лишь 1,04, это свидетельствует, что она весьма гладкая. Вероятно, самое фрактальное из всех побережий – у Норвегии с ее фьордами, оно характеризуется размерностью 1,52.

Рис. 2.33. Какова размерность береговой линии Британии?

Для предметов в трех измерениях мы также можем воспользоваться этим трюком, но клетчатую бумагу нужно заменить ячеистой структурой из кубиков. Нужно проследить, как изменяется количество кубиков, с которыми пересекается изучаемая форма, когда их размеры становятся все меньше и меньше. У цветной капусты при этом получается размерность 2,33, у листа бумаги, смятого в шар, будет 2,5, брокколи довольно замысловата с ее 2,66, и поразительно, что фрактальная размерность поверхности человеческого легкого равна 2,97.

Можно ли подделать Джексона Поллока?

Осенью 2006 г. картина, написанная художником XX в. Джексоном Поллоком, стала самой дорогой из когда-либо проданных. По сообщениям прессы, мексиканский финансист Дэвид Мартинес заплатил 140 миллионов долларов (что тогда соответствовало 75 миллионам фунтов) за картину с простым названием «№ 5, 1948».

Картина была создана с использованием фирменной техники Поллока – разбрызгивания краски по холсту. За свою манеру письма он был прозван «Джеком-оросителем»[5]. Критики были шокированы ценой, которая была уплачена за подобное произведение, заявляя: «Что же, я сам мог бы нарисовать такую картину!» На первый взгляд действительно кажется, что любой мог бы разбрызгать краску и надеяться стать миллионером. Но математики обнаружили, что Поллок действовал значительно тоньше, чем можно было бы подумать.

В 1999 г. группа математиков, возглавляемая Ричардом Тейлором из Орегонского университета, проанализировала картины Поллока и открыла, что используемая им прерывистая техника воссоздает фрактальные формы, столь возлюбленные природой. Увеличенные участки картин Поллока сильно напоминают полотна в целом и обладают характерной бесконечной сложностью фрактала. (Разумеется, все большее и большее увеличение в конечном счете приведет к отдельным пятнам краски, но это случится, лишь когда вы увеличите холст в 1000 раз.) Для анализа техники, развитой Поллоком, можно даже привлечь понятие фрактальной размерности.

Поллок начал создавать фрактальные полотна в 1943 г. Фрактальная размерность его ранних картин была в районе 1,45, близко к значениям норвежских фьордов, но при дальнейшем развитии техники фрактальная размерность стала ползти вверх, что свидетельствовало о растущей сложности его произведений. Для завершения одной из последних картин Поллока в технике разбрызгивания, «Синие столбы», потребовалось шесть месяцев. Ее фрактальная размерность равна 1,72.

Рис. 2.34. Фрактальная размерность картины возрастает, когда вы разбрызгиваете все больше краски

Психологи исследовали формы, которые люди находят эстетически привлекательными. Нас постоянно притягивают изображения с фрактальными размерностями между 1,3 и 1,5, что соответствует размерностям многих форм, встречающихся в природе. На самом деле у этого могут быть веские эволюционные причины. Вероятно, так устроен наш мозг, чтобы можно было приспособиться к джунглям вокруг нас. Либо, подобно тому как лучшая музыка находится где-то между крайностями скучных звуков, издаваемых лифтом, и случайным белым шумом, эти формы притягательны для нас, потому что их сложность находится между слишком регулярными и слишком случайными объектами.

Если Поллок создавал фракталы, то насколько трудно воспроизвести его технику? В 2001 г. один техасский коллекционер произведений искусства был немало обеспокоен тем, что на его «Поллоке» не было подписи либо даты. Тогда он обратился к математикам, которые ранее открыли фрактальную размерность, присущую стилю Поллока. Их исследование показало, что у данной картины не было специальных фрактальных свойств, характерных для работ Поллока, то есть она, вероятно, была подделкой. Пятью годами позже комиссия по аутентификации, созданная фондом Поллока – Краснер для вынесения заключения по оспариваемым работам, попросила Ричарда Тейлора и его команду применить фрактальный анализ к коллекции из 32 картин, недавно найденных в камере хранения, которые якобы принадлежали кисти Джексона Поллока. Согласно фрактальному анализу, все они также были подделками.

Это вовсе не значит, что полотна Поллока невозможно подделать, – Тейлор даже создал приспособление, названное им «Поллокайзером», которое рисует подлинно фрактальные картины. Баночки с краской, висевшие на веревках, приводились в движение катушкой индуктивности, запрограммированной на воспроизведение хаотического движения, в результате чего получались вполне убедительные «Поллоки». Поэтому, хотя математика и помогает разоблачать подделки, она способна также сама создавать изображения, которые будут убедительны даже для экспертов.

У фракталов, несомненно, странные формы, ведь их размерности, вроде 1,26 или 1,72, не являются целыми числами. Но мы, по крайней мере, способны нарисовать их изображения. Но теперь положение вещей станет еще более необычным, потому что нам предстоит сделать шаг в гиперпространство, чтобы исследовать формы, которые существуют вне нашего трехмерного мира.

Как видеть в четырех измерениях?

Я все еще помню возбуждение, охватившее меня в тот день, когда я впервые «увидел» в четырех измерениях благодаря выученному языку, который позволял создавать эти формы в сознании. Изобретенный Рене Декартом словарь, преобразующий формы в числа, дает нам возможность видеть в четырех измерениях. Декарт понял, что зачастую видимый мир крайне трудно подвергнуть точному описанию, и ему захотелось создать четкое математическое подспорье для этого.

Головоломка на рис. 2.35 показывает, что не всегда можно доверять глазам. Как говорил Декарт, чувственное ощущение обманчиво.

Рис. 2.35. После расположения фигур в другом порядке кажется, что их суммарная площадь уменьшилась на одну клетку

Хотя на второй картинке лишь переместили формы с первой картинки, создается ощущение, что общая площадь уменьшилась на одну клетку. Как такое возможно? Дело в том, что, хотя и кажется, будто гипотенузы двух треугольников выстраиваются в одну линию, на самом деле они направлены под несколько отличающимися углами. Этого достаточно, чтобы при ином расположении фигур показалось, что потеряна единица площади.

Чтобы обойти проблему чувственного восприятия, Декарт создал эффективный словарь, который переводит геометрию в числа. Сейчас мы с ним хорошо знакомы. Когда мы смотрим на расположение какого-то города на карте, мы определяем его с помощью двух чисел координатной сетки. Эти числа фиксируют положение города относительно точки на экваторе, находящейся точно к югу от лондонского района Гринвич. Они определяют смещение от этой точки в направлении север – юг и восток – запад.

Например, Декарт родился во французском городе под названием… Декарт (впрочем, при его рождении город назывался Ла-Э-ан-Турен), расположенном на 47° северной широты и 0,7° восточной долготы. В словаре Декарта его родной город можно описать двумя координатами следующим образом: (0,7; 47).

Мы можем использовать схожую процедуру и для описания математических форм. Например, если я хочу описать квадрат, используя Декартов словарь координат, то скажу, что это форма с вершинами, расположенными в точках (0; 0), (1; 0), (0; 1) и (1; 1). Каждая сторона квадрата определяется выбором двух вершин, отличающихся одной координатой. Так одна из сторон соединяет вершины (0; 1) и (1; 1).

Для плоского двумерного мира достаточно двух координат, чтобы задать положение любой точки, но если мы хотим дополнительно включить нашу высоту над уровнем моря, то понадобится третья координата. Она также необходима для описания трехмерного куба в терминах координат. Восемь вершин куба задаются координатами (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 1), (0; 1; 1) и, наконец, (1; 1; 1), которые соответствуют вершине, наиболее удаленной от первой.

Опять-таки, ребро проходит между двумя вершинами, отличающимися только одной координатой. Конечно, если вы взглянете на куб, то легко сосчитаете, сколько у него ребер. Но, если у вас нет куба или его зарисовки, вы можете сосчитать количество пар вершин, отличающихся одной координатой. Это нужно иметь в виду, когда мы переходим к формам, изображений которых у нас нет.

В словаре Декарта с одной стороны находятся формы и геометрия, с другой – числа и координаты. Беда в том, что иллюстративная сторона словаря не может идти далее трехмерных форм, потому что отсутствует четвертое физическое измерение, в котором мы могли бы видеть формы более высоких размерностей. Но красота словаря Декарта в том, что другая его сторона может продолжаться дальше и дальше. Чтобы описать четырехмерный объект, мы просто добавляем четвертую координату, которая фиксирует, насколько далеко мы заходим в этом новом направлении. И, хотя я не могу физически соорудить четырехмерный куб, я могу в точности описать его посредством чисел. У него 16 вершин: начинаясь с точки (0; 0; 0; 0), он доходит до точек (1; 0; 0; 0) и (0; 1; 0; 0) и простирается до самой удаленной точки (1; 1; 1; 1). Числа служат кодом для описания формы, и, пользуясь этим кодом, я могу исследовать данную форму без необходимости видеть ее физически.

Например, сколько ребер у этого четырехмерного куба? Каждому ребру соответствует пара точек, отличающихся одной координатой. Из каждой вершины выходят четыре ребра, отвечающие поочередному изменению одной из координат. Итак, у нас получается 16  4 ребер – или нет? Нет, потому что мы сосчитали каждое ребро дважды: один раз как исходящее из вершины на одном его конце и второй раз как исходящее из вершины на другом его конце. Значит, правильное выражение для количества ребер четырехмерного куба будет 16  4/2 = 32. И мы можем не останавливаться, а перейти в пять, шесть или даже большее число измерений и построить гиперкубы во всех этих мирах. Так, у гиперкуба в N измерениях будет 2N вершин. Из каждой вершины выходят N ребер, каждое из которых считается дважды. Поэтому у N-мерного куба будет N  2N – 1 ребер.

Математика наделяет вас шестым чувством, позволяя играть с этими формами, существующими за пределами нашей трехмерной Вселенной.

Где в Париже можно увидеть четырехмерный куб?

Чтобы отпраздновать двухсотлетие Великой французской революции, президент Франции Франсуа Миттеран дал заказ датскому архитектору Йохану Отто фон Спрекельсену на воздвижение чего-то особенного в Ла-Дефанс, деловом квартале Парижа. Строение должно было находиться на одной линии с другими знаковыми зданиями и памятниками Парижа – Лувром, Триумфальной аркой и Луксорским обелиском, что стало называться перспективой Миттерана.

Разумеется, архитектор не разочаровал. Он соорудил Большую арку (La Grande Arche), которая настолько огромна, что внутри ее поместились бы башни собора Парижской Богоматери. Вес Большой арки составляет ошеломительные 300 000 тонн. К несчастью, фон Спрекельсен умер за два года до завершения работ над сооружением, ставшим достопримечательностью Парижа. Но, возможно, не все парижане, которые видят Большую арку каждый день, осознают, что в действительности фон Спрекельсен воздвиг посреди их города четырехмерный куб.

Рис. 2.36. Большая арка в Париже является тенью четырехмерного куба

Впрочем, это не совсем четырехмерный куб, потому что мы живем в трехмерной Вселенной. Но подобно тому, как художники эпохи Возрождения отваживались на отображение трехмерных форм на плоском двумерном холсте, так и архитектор в Ла-Дефанс зафиксировал тень четырехмерного куба в нашей трехмерной Вселенной. Чтобы создать иллюзию того, что мы видим трехмерный куб, когда глядим на двумерное полотно, художник мог бы нарисовать меньший квадрат внутри большего квадрата и затем соединить их вершины для окончания картины куба. Опять-таки это не совсем куб, но изображение наделяет зрителя достаточной информацией: мы видим все ребра и можем представить куб. Фон Спрекельсен воспользовался той же идей, чтобы построить проекцию четырехмерного куба в трехмерном Париже, состоящую из меньшего куба внутри большего куба, причем их вершины соединены ребрами. Если вы посетите Большую арку и тщательно сосчитаете их, то у вас получатся те же 32 ребра, что и в предыдущем разделе, где мы использовали Декартовы координаты.

Всякий раз, когда я навещаю Большую арку, у меня возникает жутковатое чувство из-за воющего ветра, который стремится протащить вас через центр арки. Ветер стал настолько заметной проблемой, что дизайнерам пришлось сделать навес посреди арки для воспрепятствования потоку воздуха, словно строительство тени гиперкуба в Париже открыло портал в другое измерение.

Есть и другие способы представить четырехмерный куб в нашем трехмерном мире. Подумайте, как бы вы сделали трехмерный куб из куска двумерного картона. Сначала вы бы нарисовали шесть квадратов, объединенных в крестообразную форму, причем каждый из квадратов представляет грань куба. Затем вы свернете крестообразную форму в куб. Двумерная заготовка из картона называется разверткой трехмерной формы. Подобным образом в нашем трехмерном мире можно построить развертку, которую в четырех измерениях удалось бы сложить в четырехмерный куб.

Вы можете приняться за изготовление четырехмерного куба с того, что вырежете и сложите восемь трехмерных кубов. Они будут «гранями» вашего четырехмерного куба. Чтобы сделать его развертку, нужно соединить восемь кубов вместе. Сначала склейте в колонну первые четыре куба, один поверх другого. Теперь возьмите оставшиеся четыре куба и приклейте их к граням одного из четырех кубов в колонне. Ваш развернутый гиперкуб теперь должен выглядеть как два пересекающихся креста, что показано на рис. 2.37.

Рис. 2.37. Как сделать четырехмерный куб из восьми трехмерных кубов

Чтобы сложить развертку, вам необходимо начать с соединения верхнего и нижнего кубов в колонне. Следующим шагом стало бы соединение с нижним кубом обращенных наружу граней двух кубов, прикрепленных к противоположным сторонам колонны. Далее надо приклеить грани двух других боковых кубов к двум оставшимся граням нижнего куба. Разумеется, как только вы начнете сворачивать развертку, вы столкнетесь с проблемой: в нашем трехмерном пространстве не хватает места для выполнения этих действий. Вам необходимо четвертое измерение, чтобы собрать гиперкуб в соответствии с моим описанием.

Подобно тому как архитектора вдохновила тень четырехмерного куба, художник Сальвадор Дали был заинтригован идеей о развертке гиперкуба. На своей картине «Распятие, или Гиперкубическое тело» Дали изображает Христа распятым на трехмерной разверткечетырехмерного куба. Для Дали понятие четвертого измерения как чего-то лежащего вне нашего материального мира, резонировало с представлением о духовном мире, находящемся вне нашей физической Вселенной. Его развернутый гиперкуб состоит из двух пересекающихся крестов, и картина наводит на мысль, что вознесение Христа на небо связано с попыткой сложить эту трехмерную структуру в дополнительном измерении, выходящем за пределы физической реальности.

Все наши попытки изобразить четырехмерную форму в трехмерной Вселенной не дадут полной картины, подобно тому как тень или силуэт в двумерном мире предоставляет лишь частичную информацию. Когда мы двигаем и поворачиваем предмет, тень изменяется, но мы никогда не видим все разом. Эта тема была подхвачена писателем Алексом Гарлендом в книге «Тессеракт» (другое название четырехмерного куба). Повествование передает взгляды различных персонажей на главные события, происходящие в преступном мире Манилы. Никакое отдельно взятое суждение не дает полной картины, но, сводя воедино все нити, что подобно разглядыванию множества различных теней, отбрасываемых предметом, читатель начинает понимать возможный сюжет. Но четвертое измерение важно не только для создания строений, картин и романов. Оно также может быть ключом к форме самой Вселенной.

Какова форма вселенной в видеоигре «Астероиды»?

В 1979 г. компьютерная компания Atari выпустила свою самую популярную видеоигру «Астероиды». Ее целью было подбить и уничтожить астероиды и летающие тарелки, одновременно уклоняясь от пролетающих астероидов и ответного огня летающих тарелок. Аркадная версия игры была настолько успешна, что в США потребовалось устанавливать в игровые автоматы большие контейнеры, чтобы вместить возросший поток 25-центовых монет.

Но с математической точки зрения интерес представляет геометрия игры: как только космический корабль пересекает верх экрана, он волшебным образом появляется внизу. Подобным образом при пересечении экрана слева космический корабль снова появляется на экране справа. Получается так, что наш космонавт заперт в двумерном мире, и вселенная целиком видна на экране. Хотя эта вселенная конечна, у нее нет границ. Поскольку космонавт никогда не доходит до края, он живет не внутри прямоугольника, а перемещается в более интересной вселенной. Можем ли мы понять, какова ее форма?

Если космонавт выходит с экрана наверху и снова появляется внизу, то эти части вселенной должны быть соединены. Представьте, что компьютерный экран сделан из гибкой резины, так что мы можем согнуть его и соединить верх с низом. Теперь мы видим, что, когда космонавт летит по экрану вертикально, он на самом деле кружится и кружится по цилиндру.

А что происходит в другом направлении? После того как космонавт исчезает с экрана слева, он снова появляется справа, поэтому два конца цилиндра также должны быть соединены. Если мы отметим точки, где они соединяются, то поймем, что цилиндр нужно согнуть и совместить его основания. Итак, в действительности наш космонавт живет на поверхности бублика, или на торе, как называем ее мы, математики.

С помощью этого куска резины я проиллюстрировал новый способ глядеть на формы, который появился в математике примерно сто лет назад. Для древних греков смысл геометрии (что буквально означает на греческом «измерение земли») состоял в определении углов и расстояний между точками. Но при анализе формы вселенной космонавта из игры «Астероиды» главными для нас были не расстояния, а то, как части формы соединены друг с другом. Этот новый взгляд на формы, когда разрешается сжимать и растягивать их, словно они сделаны из резины или пластилина, называется топологией.

Многие люди используют топологические карты каждый день. Узнаёте карту, показанную ниже? Это геометрическая карта лондонского метро, но она не слишком удобна для ориентирования, хотя и точна географически. Вместо нее лондонцы используют топологическую карту. Ее придумал Гарри Бек в 1933 г. – он сжимал и растягивал геометрическую карту, чтобы получить удобную в пользовании схему метро. Ее аналоги теперь распространены по всему миру.

Рис. 2.38. Геометрическая карта лондонского метро

Вопрос о том, можно ли развязать узел, также является топологическим, потому что при этом мы можем тянуть за веревки, но не разрезать их. Данный вопрос имеет фундаментальное значение для биологов и химиков, потому что человеческая ДНК стремится образовывать странные узлы. Некоторые болезни, например болезнь Альцгеймера, возможно, связаны с тем, как запутывается ДНК, и у математиков есть потенциал для разгадки их тайн.

В начале XX в. французский математик Анри Пуанкаре задался вопросом о том, сколько имеется топологически различных поверхностей. Это соответствует нахождению всех возможных форм, на которых мог бы жить наш двумерный космонавт из игры «Астероиды». Пуанкаре интересовался этими вселенными с топологической точки зрения, поэтому две вселенные должны считаться одинаковыми, если одну из них можно деформировать в другую непрерывным образом, не делая разрезов. Например, двумерная сфера топологически эквивалентна двумерной поверхности мяча для игры в регби, потому что одну можно преобразовать в другую. Но эта сферическая вселенная топологически отлична от тора, по которому летает двумерный космонавт, потому что сферу нельзя деформировать в бублик, не делая в ней разрезов или склеек. Но какие другие формы имеются?

Рис. 2.39. Первые четыре формы в топологической классификации двумерных поверхностей, предложенной Анри Пуанкаре

Пуанкаре сумел доказать, что, какой бы сложной ни была форма, ее всегда возможно деформировать непрерывным образом в одну из следующих форм: сферу, тор с одной дыркой, тор с двумя дырками либо тор с любым конечным числом дырок. С топологической точки зрения это полный список всех возможных вселенных для нашего двумерного космонавта. Именно количество дырок – которое математики называют родом поверхности – характеризует форму. Так, чайная чашка топологически эквивалентна бублику, потому что у них по одной дырке. У чайника же две дырки, одна в носике, а другая в ручке, и его можно преобразовать так, чтобы он выглядел как брецель[6] с двумя дырками. Наверное, необходимы большие усилия, чтобы понять, почему форма на рис. 2.40, в которой также две дырки, может быть деформирована в брецель с двумя дырками. Кажется, что из-за зацепления бубликов потребуется разрезать форму, чтобы успешно деформировать ее, но это не так.

Рис. 2.40. Как расцепить два кольца, непрерывно деформируя их, но не делая разрезов?

В конце главы я объясню, как расцепить кольца, не разрезая.

Откуда мы знаем, что не живем на планете в форме бублика?

В древние времена люди полагали, что Земля плоская. Но, как только они начали путешествовать на большие расстояния, вопрос крупномасштабной формы Земли стал особенно важен. В плоском мире, как считалось, при достаточно долгом странствии можно дойти до края и упасть с него – если, разумеется, мир не бесконечный и тогда нельзя достичь края.

Во многих культурах начали осознавать, что Земля, скорее всего, изогнута и конечна. Самое очевидное предположение для ее формы, несомненно, шар, и несколько древних математиков сделали невероятно точные расчеты его размера, основываясь только на анализе того, как изменяется тень на протяжении дня. Но почему ученые могли быть уверены, что поверхность Земли не сложена в какую-то более интересную форму? Откуда они знали, что мы не живем, скажем, на поверхности гигантского бублика, подобно космонавту из «Астероидов», запертому в своей бубличной двумерной вселенной?

Чтобы найти ответ, отправимся в воображаемое путешествие в этих альтернативных мирах. Давайте поместим исследователя на поверхность планеты и скажем ему, что он находится либо на идеальной сфере, либо на идеальном бублике. Как он сумеет различить эти две возможности? Мы предложим ему взять ведерк белой краски и кисть и идти по прямой линии по поверхности планеты, отмечая свой путь. В конечном счете исследователь вернется на то место, с которого начал движение, прочертив при этом гигантский белый круг вокруг планеты.

Теперь мы дадим ему ведерко с черной краской и скажем идти в другом направлении. На сферической поверхности Земли, какое бы новое направление он ни выбрал, черный путь всегда пересечет белый путь до того, как исследователь вернется к старту. Помните, что он всегда путешествует по прямой линии на поверхности. Точкой, где два пути пересекутся, будет «полюс», противоположный точке, с которой исследователь начинает движение.

Рис. 2.41. Два пути на сфере пересекаются в двух местах

На поверхности планеты, имеющей форму бублика, положение вещей совсем другое. При путешествии с белой краской исследователь мог отправиться к внутренней части бублика, пройти через дырку и выйти на другой стороне. Но если при путешествии с черной краской он отправится по пути, образующему угол 90° с белым путем, то он пройдет вокруг дырки, не заходя внутрь ее. Итак, возможно совершить два путешествия, у которых пересечение происходит лишь в месте начала движения.

Рис. 2.42. На торе есть пути, пересекающиеся один раз

Проблема в том, что поверхность планеты, вообще говоря, не является идеальной сферой либо поверхностью идеального бублика – она искажена. По планете могут ударить метеориты и оставить вмятины, так что исследователь, путешествующий по прямой линии, дойдя до вмятины или нароста, изменит направление своего движения. В действительности вполне может быть такое, что исследователь, начав движение по прямой линии, никогда не вернется в точку старта. Поскольку формы с вмятинами представляют собой лишь слегка искаженные версии сферы или поверхности бублика, возможно, существуют другие способы различить их? Именно здесь проявляется сила топологического подхода, потому что для него не столь важен кратчайший путь между точками, а то, можно ли преобразовать один путь в другой.

Давайте теперь отправим нашего исследователя в путь с белой эластичной веревкой, которую он будет класть на поверхность за собой. Когда путешественник снова вернется к началу, он соединит концы веревки, так что получится петля вокруг планеты. Затем он пойдет в другом направлении с черной эластичной веревкой, пока не вернется к месту старта. Если планета представляет собой шар с несколькими пиками или провалами, то исследователь сможет, не разрезая веревки, переместить черную петлю поверх белой. Но, если у планеты форма бублика, такое не всегда возможно. Если черная веревка обернута вокруг планеты, заходя в дырку бублика, а белая веревка уложена по кругу, проходящему по внешнему краю бублика, то нельзя совместить черную и белую петли, не разрезая их. Итак, путешественник сможет сказать, есть ли в планете дыра, совершив несколько путешествий. Не покидая поверхности планеты, он выяснит, какова ее форма.

Вот два других, более курьезных способа сказать, находитесь ли вы на планете в форме шара или в форме бублика. Представьте, что обе планеты покрыты мехом. Исследователь на бублике сумеет так причесать его, что мех всюду будет лежать гладко. Например, зачесывая мех в дыру с одной стороны и из дыры с другой стороны. Но у исследователя на меховом шаре будут проблемы; как бы он ни старался, обязательно найдется место, где мех будет торчать.

Любопытно, что у этого обстоятельства имеется странное следствие для погоды на этих двух планетах. Можно представить, что направление меха характеризует то направление, в котором дует ветер в этих двух различных мирах. На шаре всегда найдется место, где не дует ветер (там, где торчит мех). Но на бублике ветер может дуть по всей планете.

Другое отличие этих двух планет состоит в картах, которые на них могут быть нарисованы. Поделите каждую из планет на разные страны и затем попытайтесь раскрасить карты так, чтобы любые две страны с общей границей были окрашены в разные цвета. Для сферической поверхности Земли вам всегда будет достаточно лишь четырех красок. Поглядите на фрагмент карты Европы, на то, как Люксембург втиснулся между Германией, Францией и Бельгией, – и становится понятно, что нужны как минимум четыре краски. Но удивительно именно то, что больше и не потребуется – не существует возможности перекроить границы в Европе так, чтобы заставить картографов покупать пятую краску. Но доказать это утверждение нелегко. Для этого математикам пришлось прибегнуть к помощи компьютера – он проверил несколько тысяч карт, чтобы удостовериться, что не существует какой-то патологической, для которой понадобится пятая краска. На рисование всего этого от руки ушло бы слишком много времени.

Рис. 2.43. Для того чтобы раскрасить карту Европы, понадобится четыре краски

А что же у картографов, живущих на планете в форме бублика, – сколько ведерок с краской потребуется им? Оказывается, существуют карты для поверхности бубличной планеты, для которых нужны семь красок. Вспомните, как для игры «Астероиды» мы сворачивали прямоугольный экран, чтобы изготовить бублик. Мы соединяли верх и низ, чтобы сделать цилиндр, а затем соединяли концы цилиндра и получали бублик. На рис. 2.44 представлена карта для поверхности бублика до проведения этих соединений. Для раскрашивания этой карты нужно семь красок.

Теперь, после того как мы совершили путешествие по математике пузырей и бубликов, фракталов и пены, мы готовы взяться за наиглавнейший вопрос математики формы.

Рис. 2.44. Сверните эту карту в форму бублика, для чего сначала совместите верх и низ, а потом соедините концы. Вы обнаружите, что вам понадобится семь красок, чтобы раскрасить ее

Какова форма нашей Вселенной?

Над этим вопросом человечество билось на протяжении тысячелетий. Древние греки полагали, что Вселенная ограничена небесной сферой (твердью), на внутренней поверхности которой нарисованы звезды. Эта сфера вращалась, совершая оборот за 24 часа, что объясняло движение звезд. Но эту модель нельзя признать удовлетворительной: если мы отправимся в космическое путешествие, то что же – в конечном счете налетим на стенку? А если так, то что находится по ту сторону стенки?

Исаак Ньютон одним из первых предположил, что у нашей Вселенной, возможно, нет границы – что она бесконечна. Сколь ни привлекательна идея бесконечной Вселенной, она не соотносится с современной теорией возникновения Вселенной при Большом взрыве и ее последующего расширения из концентрированного сгустка материи и энергии. Мы теперь считаем, что в пространстве находится лишь ограниченное количество материи. Но как Вселенная может быть конечна и при этом не иметь границы?

Эта проблема аналогична той, что стояла перед нашими исследователями мира, у которого конечная площадь поверхности, но нет ни краев, ни границ. Правда, вместо того чтобы быть прижатыми к двумерной поверхности, мы находимся внутри трехмерной Вселенной. Существует ли элегантный способ найти форму этой Вселенной и разрешить очевидный парадокс того, что у нее нет границ и при этом она конечна?

Потребовалось открытие четырехмерной геометрии форм в середине XIX в. для того, чтобы у нас появился возможный ответ. Математики поняли, что четвертое измерение дает им достаточно пространства, чтобы сложить нашу трехмерную Вселенную в формы, у которых конечный объем и при этом нет границ. Так же происходит с конечной по площади двумерной поверхностью Земли или поверхностью бублика, у которых нет краев.

Мы уже видели, как конечная двумерная вселенная в игре «Астероиды» в действительности является поверхностью трехмерного бублика. Но мы же трехмерные путешественники, которые могут перемещаться и в третьем измерении. Возможно, Вселенная, в которой мы живем, подобна вселенной из игры «Астероиды»? Начнем с того, что сделаем стоп-кадр Вселенной после Большого взрыва в тот момент, когда она расширилась до размера вашей спальни. Эта Вселенная размером со спальную комнату конечна по объему, но у нее нет границ – потому что различные части спальни соединены между собой довольно любопытным образом.

Представьте, что вы стоите в середине комнаты лицом к стене (я предполагаю, что у вашей спальни форма куба). Когда вы идете вперед, то не ударяетесь в стену перед вами, а проходите через стену, бывшую за вами. Сходным образом когда вы проходите через стену за вами, то появляетесь из стены впереди. Если вы поменяете направление на 90° и направитесь к стене слева, то, пройдя через нее, вы выйдете из стены справа (и наоборот). Итак, части вашей спальни соединены как в игре «Астероиды».

Но мы – трехмерные путешественники в пространстве, которые могут отправиться и в третьем направлении. Когда мы подлетаем к потолку, то не отскакиваем от него, а проходим сквозь него и выходим из пола. При путешествии в противоположном направлении мы проходим через пол и выходим из потолка.

При этом форма Вселенной соответствует поверхности четырехмерного бублика, или гипербублика. Но подобно тому, как космонавт, запертый в игре «Астероиды», не может выйти из своего двумерного мира, чтобы разглядеть, как свернута вселенная, мы не в состоянии увидеть этот гипербублик. И все же, используя язык математики, мы можем испытать его форму и исследовать его геометрию. К настоящему времени наша Вселенная заметно расширилась за пределы спальной комнаты, но, возможно, она по-прежнему устроена как поверхность гипербублика. Подумайте о свете, который распространяется по прямой линии от Солнца. Быть может, он не исчезает на бесконечности, а, образуя петлю, возвращается назад и попадает на Землю. Если это так, одна из наблюдаемых нами далеких звезд – это наше Солнце, потому что его свет распространялся по всему гипербублику и наконец пришел на Землю. Следовательно, мы можем видеть наше Солнце, когда оно было значительно моложе.

Это кажется невероятным, но представьте, что вы сидите в своей спальне, которая соответствует мини-бублику Вселенной, и зажигаете спичку. Когда вы глядите на стену перед собой, то видите пламя спички перед вами. Теперь обернитесь и посмотрите на противоположную стену. Вы снова увидите спичку, но теперь на несколько большем расстоянии, потому что свет от спички сначала идет к стене перед вами, а затем проходит через противоположную стену и попадает вам в глаз.

Возможно, мы живем не на гипербублике, а на поверхности четырехмерного футбольного мяча. Некоторые астрономы полагают, что мы могли бы жить в форме, которая напоминает додекаэдр с 12 гранями, где как в мини-вселенной размером со спальню, когда вы достигаете одной из граней додекаэдра, то возвращаетесь в вашу вселенную через противоположную грань. Вероятно, мы совершили полный круг и вернулись к той модели, которую Платон предложил две тысячи лет назад. Согласно ей наша Вселенная заключена внутрь стеклянного додекаэдра, к поверхности которого прикреплены звезды. Возможно, современная математика наполнила смыслом эту модель, ведь противоположные грани этой формы теперь соединены и более не представляют стеклянных перегородок вселенной.

Но какие другие формы могли бы быть у нашей Вселенной? Вспомните, как Пуанкаре провел классификацию всех возможных форм, которые могли бы быть у двумерных поверхностей, таких как поверхность нашей планеты. Поверхность может быть свернута как футбольный мяч, бублик, брецель с двумя дырками, с тремя дырками или с большим количеством дырок. Пуанкаре доказал, что какие бы другие формы вы ни постарались изготовить, их можно деформировать в сферу или брецель с дырками.

А что же можно сказать о нашей трехмерной Вселенной – какая форма может быть у нее? Эта задача на миллион долларов называется гипотезой Пуанкаре. Она особенна, потому что в 2002 г. появились новости о ее решении российским математиком Григорием Перельманом. Его доказательство гипотезы Пуанкаре было проверено многими математиками, и теперь признано, что он действительно расклассифицировал все возможные формы, которые могла бы принимать наша Вселенная. Это была первая решенная задача на миллион долларов, но, когда в июне 2010 г. Перельману предложили получить премию, он, к общему изумлению, отказался от нее. Для Перельмана приз был не в деньгах, но в найденном решении одной из величайших задач в истории математики. До того Перельман уже отказался от медали Филдса, математического эквивалента Нобелевской премии. В наш век погони за славой и материальным достатком такой поступок человека, которого вдохновляет доказательство теорем, а не получение призов, представляется невероятно благородным.

После того как математики признали доказательство Перельмана, можно утверждать, что они разобрались во всех возможных формах. Теперь дело за астрономами, наблюдающими за ночным небом: определить, какая из них лучше всего описывает неуловимую форму Вселенной.

Решения

Воображая формы

Разрез пересекает все шесть граней, и каждая грань добавляет ребро к образовавшейся новой грани. Эта форма должна быть симметрична, так что у вас получится шестиугольник.

Расцепление колец

Вот так можно расцепить два кольца, непрерывно деформируя их в тор с двумя дырками.

Рис. 2.45

Глава 3

Секрет победной серии

Участие в играх является существенной частью человеческого опыта. Игры – это безопасный способ исследования ситуаций, происходящих в реальной жизни. «Монополия» – это микрокосм экономики, шахматы – поле сражения 8  8, покер – упражнение в оценке риска. Игры позволяют нам научиться предсказанию того, как при выполнении определенных правил будут развиваться события, и соответственному планированию своих действий. Благодаря им мы знакомимся со случайностями и непредсказуемостью, играющими столь большую роль в игре жизни, организуемой природой. От древних цивилизаций во всем мире нам досталось в наследство захватывающее разнообразие игр. Камешки, бросаемые в песок, палочки, подкидываемые в воздух, жетоны, вставляемые в прорези в деревянных колодках, соревнования с помощью рук и карт с изображениями на них… От древней игры манкала до «Монополии», от японской игры го до покерных столов Лас-Вегаса – в играх неизменно побеждает тот, кто лучше следует математическому, аналитическому подходу. В настоящей главе я покажу вам, как математика может быть секретным оружием к победной серии.

Как стать чемпионом мира по игре «Камень, ножницы, бумага»?

«Дзян-кэн-пон» в Японии. «Ро-шам-бо» в Калифорнии. «Кай-бай-бо» в Корее. «Чин-чон-ча» в Южной Африке. В игру «Камень, ножницы, бумага» играют по всему миру.

Правила очень просты. На счет «три» каждый игрок показывает рукой один из трех знаков: кулак, обозначающий камень, два разведенных пальца вместо ножниц или прямую ладонь, символизирующую бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, и бумага побеждает камень. Если выпадают два одинаковых знака, то результат ничейный.

Логическое обоснование первых двух побед достаточно очевидно: камень затупляет ножницы, ножницы режут бумагу. Но почему камень проигрывает бумаге? Лист бумаги – не слишком-то хорошая защита от камня, запущенного в вас. Но возможно, эта условность дошла до нас из Древнего Китая. В те дни прошение, подаваемое императору, символизировалось камнем. Император указывал на то, принял или нет он прошение, посредством листа бумаги, помещаемого под камнем или над ним. Если камень был покрыт листом бумаги, то в прошении отказывалось, а подавший его проигрывал дело.

Происхождение этой игры довольно трудно проследить. Есть свидетельства, что в нее играли на Дальнем Востоке, она была распространена и у кельтских племен и, вероятно, даже у древних египтян, которые любили игры на пальцах. Но все эти цивилизации уступили первенство в изобретении этой игры разновидности ящериц, которая прибегала к ней в борьбе за выживание задолго до того, как Homo sapiens начал делать жесты.

На западном побережье Америки обитает вид ящерицUta stansburiana, более известный как обыкновенная пятнистая ящерица. У самца этого вида три возможных окраса – оранжевый, синий и желтый, и у каждого из них различная тактика спаривания. Оранжевые ящерицы – самые сильные. Они нападают на синих ящериц и побеждают их. Синие ящерицы больше желтых и охотно вступают с ними в битвы, нанося соперникам поражения. Но, хотя желтые самцы меньше синих и оранжевых, они выглядят как самки, что сбивает с толку оранжевых самцов. Поэтому оранжевые самцы, всегда готовые вступить в бой, не замечают, как желтые ящерицы проскальзывают у них под носом и спариваются с самками. Иногда желтых ящериц называют «пронырами» из-за используемого ими нечестного приема для обмана оранжевых ящериц. Итак, оранжевая побеждает синюю, синяя побеждает желтую, а желтая побеждает оранжевую – мы видим эволюционную версию игры «Камень, ножницы, бумага».

Рис. 3.01

Эти ящерицы участвуют в игре, передавая при этом свои гены. Было бы интересно узнать, разработали ли они какую-то стратегию выигрыша. Оказывается, в их популяции имеется шестилетний цикл, в начале которого доминируют оранжевые ящерицы, потом желтые, затем синие, а потом снова оранжевые. Появляющаяся последовательность в точности такая же, как у людей, которые пытаются победить в этой игре, сражаясь один на один. Если соперник слишком часто выкидывает «камень», вы начинаете показывать «бумагу», но оппонент, видя то, как участившаяся «бумага» побеждает его «камень», переключится на «ножницы», чтобы пресечь бумажную серию. Вы подмечаете это изменение в поведении и снова переходите на «камень».

В своей основе умение побеждать в этой игре состоит в обнаружении закономерностей, что является выраженной математической особенностью. Если вы можете предсказать, как поступит ваш оппонент, исходя из сложившейся у него модели поведения, то вы готовы к победам. Проблема только в том, что вы не желаете, чтобы в вашей реакции было легко заметить ритм, иначе преимущество перейдет к оппоненту. Поэтому состязание обставлено массой психологических нюансов, когда каждый из соперников пытается заметить закономерности в игре оппонента и догадаться, как он мог бы поступить.

Игра «Камень, ножницы, бумага» недавно переросла рамки детских площадок и вышла на уровень международных соревнований. Каждый год чемпиона мира по «Камню, ножницам, бумаге» наряду с вожделенным титулом ожидает приз в $ 10 000. В списке славы доминировали участники из США, но в 2006 г. житель Северного Лондона Боб Купер по прозвищу Камень сумел сдержать свои нервы и завоевать звание. Как он готовился к турниру? «Несколько часов тяжелых тренировок перед зеркалом каждый день». Полагаю, что это помогает укрепить психологическую подготовку к противостоянию с оппонентом, намеревающимся читать ваши мысли. А каков секрет его успеха? Его прозвище подталкивает соперников к мысли, что он будет чаще обычного выкидывать «камень». Поэтому у Боба появляется возможность изрезать «ножницами» «бумагу», которую соперники готовят, чтобы обернуть его «камень». Но после того, как оппоненты догадываются о его уловке, Боб Купер использует математический подход.

С математической, а не психологической точки зрения лучшей стратегией было бы сделать ваш выбор совершенно случайным. Тогда вашему оппоненту будет не на что опираться, потому что в совершенно случайной череде событий то, что произошло ранее, никоим образом не влияет на последующее. Если я подкину монету десять раз, то первые девять бросков никоим образом не могут повлиять на исход последнего броска. Даже если у вас девять раз выпал орел, это не означает, что в десятый раз должна выпасть решка, чтобы навести баланс. У монеты нет памяти.

Стратегия, опирающаяся на рандомизацию, дает вам лишь равный шанс выиграть, потому что при этом игра «Камень, ножницы, бумага» ничем не отличается от подбрасывания монеты для определения победителя. Но, если мне приходится соперничать с чемпионом мира, я соглашусь на любую стратегию, дающую мне тот же шанс выиграть. Мне не приходит в голову много видов спорта, где можно придумать стратегию, дающую вам шанс пятьдесят на пятьдесят победить чемпиона мира. Может быть, спринт на 100 м? Я так не думаю.

Но как можно выбрать ряд исходов и быть совершенно уверенным, что он случаен и не характеризуется какой-то скрытой закономерностью? Это серьезная проблема: мы, люди, печально известны своей неспособностью выдать случайную последовательность – мы настолько склонны к закономерностям, что в любую нашу «случайную» последовательность просачивается структура. Вы можете загрузить PDF-файл с веб-сайта «Тайн 4исел», содержащий игральную кость «Камень, ножницы, бумага». Соберите игральную кость, которая поможет вам делать случайный выбор и победить в игре.

Ножницы и Сезанн

Игра «Камень, ножницы, бумага» использовалась для улаживания разногласий как в детских песочницах, так и на заседаниях директоров компаний. Был знаменитый случай, когда аукционные дома Sotheby’s и Christie’s решили выбрать, кому из них продавать коллекцию импрессионистских полотен Ван Гога и Сезанна, посредством единственного раунда «Камня, ножниц, бумаги». Каждый из аукционных домов должен был за выходные определиться со своим выбором. Sotheby’s нанял за немалые деньги команду аналитиков первого ранга, чтобы те предложили выигрышную стратегию. Аналитики пришли к выводу, что это игра случая и один выбор ничем не хуже другого. Поэтому они предложили «бумагу». А в Christie’s просто спросили одиннадцатилетнюю дочь одного из служащих, что бы сделала она. «Все полагают, что вы покажете “камень”, поэтому выбирают “бумагу”. Значит, нужно показать “ножницы”», – сказала она. Christie’s выиграл контракт на продажу. Сказанное лишь должно продемонстрировать вам, что математика не всегда дает преимущество.

Насколько вы сильны в случайности?

Интуиция зачастую подводит нас в отношении последствий случайности. Давайте я предложу вам пари. Я подкину монету 10 раз. Вы дадите мне  1, если случится так, что выпадут подряд три орла или три решки. Если такого не будет, я дам вам  2. Согласны ли вы на такое пари?

А если я повышу свою ставку до  4? Мне думается, что даже если вы не были уверены сначала, то примете пари теперь. В конце концов, насколько вероятно, что выпадет подряд три орла или три решки при десяти бросках монеты? Как это ни поразительно, такое происходит более чем в 82 % случаев. Поэтому, даже если я выплачиваю по  4 за три идущих подряд одинаковых исхода, я не останусь внакладе при достаточно долгой игре.

Точная вероятность того, что при десяти подбрасываниях монеты выпадет подряд три орла или три решки, равна 846/1024. Вот славные подробности того, как можно получить эту вероятность. Достаточно любопытно, что числа Фибоначчи, с которыми мы познакомились в главе 1, являются ключом к подсчету шансов – это еще одно свидетельство того, что они встречаются повсюду. Если я подброшу монету N раз, то имеется 2N различных исходов. Мы обозначим gN количество комбинаций, когда не встречается трех идущих подряд орлов или решек. С этими комбинациями вы выиграете пари. Мы можем сосчитать gN, воспользовавшись правилом для чисел Фибоначчи:

gN = gN – 1 + gN – 2.

Для приведения чисел в движение нужно только знать, что g1 = 2 и g2 = 4, потому что при одном или двух бросках монеты не может выпасть последовательность из трех орлов или трех решек, ведь мы еще не подкидывали монету три раза. Итак, gN принимает следующий вид:

2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178…

Следовательно, имеется 1024 – 178 = 846 различных комбинаций после десяти подбрасываний монеты, в которых содержится последовательность из трех идущих подряд орлов или решек. Итак, вероятность выпадения такой последовательности равна 846/1024, и я выигрываю приблизительно в 82 % случаев.

Почему правило Фибоначчи оказывается ключом к вычислению gN? Возьмите все возможные комбинации после N –  1 подбрасывания монеты, в которых нет идущих подряд трех орлов или трех решек. Мы обозначили их число gN –  1. Теперь возьмем такую комбинацию после N бросков, что у броска N был противоположный исход броску N –  1. А сейчас возьмем все комбинации после N –  2 бросков, не содержащие трех идущих подряд орлов или решек. Их число равно gN –  2. Пусть у бросков N –  1 и N был противоположный исход по сравнению с броском N –  2. Таким образом вы генерируете все возможные комбинации после N бросков, не содержащие трех идущих подряд орлов или решек.

Как выиграть в лотерею?

Этот вопрос чаще всего задают мне, когда я говорю, что провожу свою жизнь в играх с числами. Но, как и при подбрасывании монеты, числа, выпавшие в розыгрыше предыдущей недели, не могут повлиять на числа ближайшей субботы. В этом и состоит принцип случайности, но некоторых людей не убедить никогда.

Розыгрыши итальянской государственной лотереи проводятся два раза в неделю, они проходят в десяти городах страны. Участники выбирают числа от 1 до 90. В какой-то момент шар с номером 53 отказывался выпадать в Венеции на протяжении почти двух лет розыгрышей. Разумеется, после столь долгого отсутствия он наверняка выпадет на следующей неделе – так думали многие итальянцы. Одна женщина поставила все сбережения своей семьи на то, что выпадет шар с номером 53. Когда он снова не появился, женщина утопилась в море. Были и другие трагические случаи, например когда мужчина застрелил свою семью, а потом убил себя. У него образовался огромный долг после того, как он поставил на шар 53. Как оценивается, итальянцы вложили  2,4 миллиарда – в среднем  150 на семью – в ставки, что выпадет 53.

Были даже призывы к правительству запретить номер 53 в лотерее, чтобы положить конец общенациональной одержимости этим числом. Когда плотина наконец-то была прорвана, и 9 февраля 2005 г. шар 53 показался в розыгрыше, было выплачено  400 миллионов неназванному числу игроков. С неизбежностью нашлись те, кто обвинил правительство в подтасовке лотереи, чтобы не проводить огромные выплаты. Подобный слух циркулировал не впервые. В 1941 г. шар с номером 8 не появился после 201 розыгрыша в Риме. Многие полагали, что Муссолини подтасовал его невыпадение, чтобы направить ставки нации на шар номер 8 на финансирование итальянских военных расходов.

А теперь давайте проверим, насколько вы удачливы, и сыграем в нашу маленькую лотерею. Я не могу обещать вам миллионы фунтов, но зато участие в ней не будет вам стоить ничего. Чтобы сыграть в лотерею, сначала выберите 6 из 49 чисел билета (рис. 3.02).

Рис. 3.02. Лотерея «Тайн 4исел»

Выбрали числа? Чтобы посмотреть, оказались ли они выигрышными, зайдите на веб-сайт http://bit.ly/quickpick.

Чтобы проверить, выиграли ли вы, зайдите на веб-сайт, приведенный выше в тексте в рамке. Выберите 1 ticket, United Kindom and National Lottery (1 билет, Соединенное Королевство и Национальная лотерея), а затем щелкните «Pick Tickets» – «Вытянуть билеты». Если у вас нет доступа к интернету, то посмотрите на заранее выбранные шесть чисел в конце этой главы. Только не надо жульничать. Как и при решении математических головоломок, вы получите значительно большее удовольствие, если получите ответ сами, а не подглядите его.

Каков ваш шанс выбрать правильно все шесть чисел и выиграть в лотерею? Чтобы сосчитать вероятность, нужно найти число всех различных способов выбрать 6 чисел, назовем это число N. Тогда у вас будет 1 шанс из N выиграть в лотерею. Для разогрева давайте найдем число различных способов выбрать 2 числа. У вас есть 49 вариантов для вашего первого числа. Второе число вы можете выбрать 48 способами. Каждый выбор первого числа может сочетаться с одним из 48 оставшихся чисел. Итак, у вас имеется 49  48 различных пар чисел. Но постойте, ведь каждый выбор был сосчитан дважды. Например, если вы выбрали 27 в качестве вашего первого числа, а затем 23 в качестве второго, то получится то же самое, если вы выбрали 23 первым, а 27 вторым. Итак, возможных пар в 2 раза меньше, чем вы подумали сначала, что означает, что число пар, которые вы можете выбрать, равно   49  48.

Теперь перейдем к шести числам. Имеется 49 вариантов выбора первого числа, 48 второго, 47 третьего, 46 четвертого, 45 пятого и, наконец, 44 варианта выбора последнего числа. Что дает 49  48  47  46  45  44 комбинаций шести чисел. Однако мы опять учли каждую комбинацию более одного раза. Например, сколько раз мы сосчитали комбинацию 1, 2, 3, 4, 5, 6? Что же, мы могли выбрать в качестве первого любое из этих шести чисел (и выбрали, скажем, 5). Тогда у нас останется пять возможных способов выбрать второе число (скажем, 1), четыре варианта для следующего числа (скажем, 2), три для последующего (скажем, 6), два для предпоследнего числа (скажем, 4), а последнее число – единственное, которое осталось (в данном случае 3). Итак, имеется 6  5  4  3  2  1 различных способов выбрать шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. То же самое относится к любой комбинации шести чисел. Значит, нам нужно разделить 49  48  47  46  45  44 на 6  5  4  3  2  1, чтобы получить правильное число всех возможных вариантов заполнить наш лотерейный билет. И каков ответ? 13 983 816.

Это число определяет также ваш шанс выиграть, потому что оно дает число всех возможных комбинаций шаров при розыгрыше. Другими словами, ваш шанс выбрать правильную комбинацию среди всех возможных будет 1 из 13 983 816.

А какова вероятность того, что вы не угадали ни одно число? Мы можем найти ее тем же способом, как и ранее. Ваше первое число должно быть одним из 43 невыпавших, второе число – одним из остающихся 42 и т. д. Это дает 43  42  41  40  39  38 разных комбинаций. Но каждая из комбинаций была учтена 6  5  4  3  2  1 раз. Итак, число всех комбинаций, в которых нет ни одного правильного числа, равно 43  42  41  40  39  38, поделенному на 6  5  4  3  2  1, или 6 096 454. Итак, у чуть менее чем половины всех возможных выборов нет ни одного выигрышного числа. Чтобы сосчитать ваш шанс не угадать ни одного числа, нужно разделить 6 096 454 на 13 983 816. Это приблизительно равно 0,436, другими словами, вероятность того, что вы не угадаете ничего, составляет 43,6 %.

Итак, у вас есть шанс 56,4 % угадать хотя бы одно число. А каков шанс, что у вас будет ровно два верных числа? Чтобы найти его, нужно сначала определить количество комбинаций с двумя верными числами. У вас есть выбор из шести для одного правильного числа и выбор из пяти для второго правильного числа. Получается 6  5, но это число опять нужно разделить на 2 в силу двойного учета. Для четырех неверных чисел у вас имеется 43  42  41  40 комбинаций, что нужно разделить на 4  3  2  1 из-за многократного учета. Значит, количество комбинаций, в которых верны ровно два числа, составляет

В таблице 3.01 приведены ваши шансы угадать правильно от 0 до шести чисел, все вероятности рассчитаны таким же способом. Чтобы представить эти числа в перспективе, отметим, что если вы будете покупать билет национальной лотереи каждую неделю, то примерно через год вы можете ожидать, что у одного из ваших билетов будут по крайней мере три правильных числа. Примерно через двадцать лет вы могли бы увидеть билет по крайней мере с четырьмя веными числами. Король Альфред[7], покупай он билет каждую неделю, смог бы к настоящему времени увидеть один билет с пятью выигравшими числами. А если бы первой мыслью, появившейся в голове первого Homo sapiens, была бы идея зайти в ближайший киоск и начать покупать один лотерейный билет каждую неделю, то к настоящему времени он мог бы выиграть один большой приз.

Таблица 3.01. Шанс правильно угадать от 0 до 6 номеров национальной лотереи

Почему числа любят собираться вместе

Ниже приведен способ расчета количества лотерейных билетов, у которых есть хотя бы два последовательных числа. Математики часто применяют хитроумный трюк, состоящий в решении противоположной задачи, это мы сейчас и сделаем. Сначала мы сосчитаем количество билетов без последовательных чисел, затем вычтем результат из полного числа возможных комбинаций, чтобы найти, у какого количества комбинаций будут последовательные числа.

Сначала выберите любые шесть чисел от 1 до 44 (заметьте, что разрешается выбирать именно до 44, а не до 49, вскоре вы поймете почему). Назовите ваш выбор чисел А(1), …, А(6), причем число А(1) – меньшее из выбранных, а А(6) – самое большое. Хотя числа А(1) и А(2) могут быть последовательными, числа А(1) и А(2) + 1 уже не будут таковыми. Так что, если вы возьмете шесть чисел A(1), A(2) + 1, A(3) + 2, A(4) + 3, A(5) + 4 и A(6) + 5, никакие два из них не будут последовательными. (Ограничение на выбор чисел до 44 теперь становится понятным, потому что если А(6) равно 44, то А(6) + 5 равняется 49.)

Используя этот трюк, вы можете сгенерировать все билеты без последовательных чисел. То есть вы просто выбираете шесть чисел от 1 до 44 и разрежаете их, увеличивая каждое из них. Значит, мы найдем число возможных комбинаций, в которых нет последовательных чисел, и оно будет таким же, как число возможных комбинаций по выбору шести чисел от 1 до 44. Последнее равно

Итак, полное количество билетов с последовательными числами будет

13 983 816 – 7 059 052 = 6 924 764.

Если вам когда-либо настолько повезет, что вы выиграете большой приз, вам не захочется, чтобы произошло то, что случилось в Великобритании 14 января 1995 г. Тогда шла лишь девятая неделя национальной лотереи, а джекпот превзошел немалую сумму в  16 миллионов. Когда шесть шаров выпали из лототрона, то победители наверняка прыгали у диванов и кричали от счастья. Но когда они пришли за выигрышем, то каждый из них обнаружил, что ему придется поделить джекпот с другими 132 обладателями счастливых билетов. Каждый из победителей получил пустяк в  122 510.

Но как получилось, что так много людей угадали правильную комбинацию? Дело заключается в том обстоятельстве, которое я отметил, когда мы рассматривали игру «Камень, ножницы, бумага»: мы, люди, печально известны своим неумением выбирать случайные числа. Нужно принять во внимание, что 14 миллионов человек играют в национальную лотерею, и многих из них притягивают схожие числа, например число удачи 7 либо дни рождений или юбилеев (что исключает числа 32–49). Также для выбора многих людей характерно то, что они стремятся распределить свои числа равномерно.

Вот выигравшие числа девятой недели лотереи:

Рис. 3.03

Такое равномерное распределение чисел не слишком-то характерно для случайных процессов: числа могут собираться вместе и отталкиваться с одинаковой вероятностью. Из 13 983 816 различных возможных комбинаций лотерейных билетов у 6 924 764 будут хотя бы два последовательных номера. Это составляет 49,5 %, что очень близко к половине всех комбинаций. Например, в предшествовавшую неделю выпали номера 21 и 22. А в последовавшую неделю были 30 и 31.

Однако не привязывайтесь слишком к последовательным числам. Вы могли бы решить, что комбинация 1, 2, 3, 4, 5, 6 будет умным выбором. В любом случае, как я надеюсь, к настоящему времени вы понимаете, что эта комбинация столь же вероятна, как и любая другая (то есть крайне маловероятна). Если вы сорвете джекпот с этой комбинацией, вы, наверное, рассчитываете получить выигрыш целиком. Но, оказывается, более 10 000 человек в Великобритании используют эту комбинацию каждую неделю – что лишь показывает, насколько разумно британское население. Единственная проблема состоит в том, что в случае выигрыша вам придется делиться джекпотом с другими 10 000 умными людьми.

Как обманывать в покере и показывать фокусы, используя задачу о простых числах на миллион долларов

Игроки-шулеры и фокусники тасуют карты не так, как прочие люди. Но после нескольких часов тренировки можно освоить прием, называемый совершенной тасовкой[8]. При этом колода карт делится на две равные части, и потом карты из разных половин чередуются одна за другой. Если вы играете в покер, такая тасовка очень опасна.

Давайте представим, что четыре человека сидят за покерным столом: сдающий, его сообщник и два ничего не подозревающих игрока, которых сейчас облапошат. Сдающий кладет четырех тузов на верх колоды. После одной совершенной тасовки тузы разделены одной картой, после еще одной – тремя картами, что идеально подходит для того, чтобы сдающий раздал своему сообщнику четырех тузов.

Совершенная тасовка крайне эффективна и в руках фокусника, который может использовать ее интересное свойство. Если вы возьмете колоду из 52 карт и выполните совершенную тасовку 8 раз, то чудесным образом карты в колоде вернутся к своему первоначальному положению. Человеку со стороны кажется, что тасовка совершенно разупорядочивает колоду. В конце концов, восемь тасовок – более чем достаточно для среднестатистического игрока перед началом игры. Действительно, математики доказали, что для обычного игрока достаточно семи тасовок, чтобы колода полностью потеряла свою первоначальную структуру и стала случайной. Но совершенная тасовка – вовсе не обычная тасовка. Представьте, что колода карт в чем-то соответствует монете восьмиугольной формы и совершенная тасовка поворачивает ее на одну восьмую полного оборота. После восьми таких поворотов монета возвращается к своему первоначальному положению.

Но сколько раз потребуется сделать совершенную тасовку с колодой, в которой более 52 карт, чтобы они вернулись к своему первоначальному положению? Если вы добавите двух джокеров и начнете делать совершенные тасовки, то понадобится 52 манипуляции для полного оборота. Однако когда вы добавите еще десять карт и их станет 64, то потребуется сделать лишь шесть совершенных тасовок, чтобы карты в колоде возвратились к исходному положению. Так что же нам говорит математика о количестве совершенных тасовок, необходимых для того, чтобы карты в колоде из 2N карт (число должно быть четным) вернулись к исходному положению?

Пронумеруйте карты 0, 1, 2 и так далее вплоть до 2N – 1, и вы увидите, что совершенная тасовка, по существу, удваивает номер карты. Карта 1 (которая на самом деле является второй картой в колоде) становится картой 2. После еще одной совершенной тасовки она становится картой 4, затем картой 8. Математика будет проще, если мы припишем первой карте номер 0.

Но куда пойдут карты, находящиеся дальше в колоде? Чтобы разобраться в этом, представим часы с часовыми делениями от 1 до 2N – 1. Так, колода с 52 картами соответствует циферблату с делениями от 1 до 51. Если вы хотите знать, куда переместилась карта 32, то удвойте 32. Это означает, что вы стартуете с 32-го часа и отсчитываете 32 часа вперед, что приводит вас к 13 часам. Чтобы понять, сколько раз нужно сделать совершенную тасовку для возвращения всех карт к исходному положению, я должен понять, сколько раз я должен удвоить числа на циферблате дл их возвращения к первоначальной позиции. В действительности я должен проследить за числом 1 и понять, сколько раз я должен удвоить его, чтобы вернуться к 1. Вот что происходит на циферблате с 51 часом при последовательном удвоении 1:

1  2  4  8  16  32  13  26  1

То, что срабатывает для 1, также будет срабатывать для всех остальных чисел. По существу, выполнение 8 совершенных тасовок соответствует умножению номеров карт на 28 = 256. Можно понять, что данная операция означает умножение номера на 1, то есть карта остается на своем месте.

Но как долго вам придется выполнять совершенные тасовки с колодой из 2N карт, чтобы те приняли первоначальное положение? Пьер де Ферма доказал, что если 2N – 1 является простым числом и вы будете продолжать удваивать числа на циферблате с 2N – 1 часом, то после 2N – 2 удвоений числа обязательно вернутся на прежнее место. Итак, для колоды из 54 карт, поскольку 54 – 1 = 53 является простым числом, 52 совершенных тасовок будет наверняка достаточно.

Однако в случае, когда 2N – 1 не является простым, нам понадобится несколько более сложная формула для расчета количества необходимых совершенных тасовок. Если 2N – 1 = p  q, где p и q – простые числа, то (p –  1)  (q – 1) совершенных тасовок будет заведомо достаточно, чтобы колода приняла свой прежний вид. Так, для колоды из 52 карт, поскольку 52–1 = 3  17, наверняка хватит (3–1)  (17–1) = 2  16 = 32 совершенных тасовок. Но в действительности вам достаточно совершить лишь 8 таких манипуляций. (В следующей главе я докажу этот фокус Ферма и объясню, что та же самая математика лежит в основе шифров, которые должны защищать секреты в интернете.)

Подсказка для покера

В популярной версии покера, называемой «техасский холдем», каждому игроку раздаются по две карты картинками вниз. Затем дилер поочередно выкладывает пять карт на стол картинками вверх. Вы должны собрать как можно лучшую комбинацию из пяти карт, выбирая из двух имеющихся у вас и пяти на столе, которая превзошла бы комбинации соперников. Если вам достались две последовательные карты (скажем, 7 треф и 8 пик), вы можете войти в азарт из-за возможности стрита (пяти последовательных карт любых мастей, например 6, 7, 8, 9, 10).

Стрит – весьма сильная комбинация. Поскольку ее вероятность довольно низка, вы можете счесть, что наличие у вас двух последовательных карт – достаточное основание для повышения ставок, потому что вы находитесь на пути к стриту. И вот сейчас вам надлежит вспомнить лотерейную подсказку. Два последовательных числа довольно часто выпадают в лотерее, то же относится и к покеру. Знаете ли вы, что в 15 % раздач техасского холдема имеются две последовательные карты? Однако чуть меньше трети из них дойдут до стрита, когда дилер выложит пять карт на столе.

Математический вопрос, который восходит к работе Гаусса двухсотлетней давности, состоит в следующем: существует ли бесконечно много чисел N, обладающих тем свойством, что колода из 2N карт на самом деле требует полного числа совершенных тасовок? Этот вопрос, как оказывается, связан с гипотезой Римана, задачей на миллион долларов о простых числах, завершающей главу 1. Если простые числа распределены так, как предсказывает гипотеза Римана, то будет бесконечное число колод карт, требующих максимального числа совершенных тасовок. Разумеется, нельзя сказать, что The Magic Circle[9] и картежники по всему миру затаили дыхание в ожидании ответа. Но математикам любопытно знать, как простые числа могут быть связаны с вопросами тасовки карт. Не окажется удивительным, будь они связаны, – простые числа настолько фундаментальны в математике, что появляются в самых странных местах.

Математика в казино: удвоить или обанкротиться?

Вы в казино у колеса рулетки, и у вас 20 фишек. Вы решили, что попытаетесь удвоить свои деньги, прежде чем уйдете. Если вы поставите фишку на красное или черное, то удвоите ее, если угадаете правильно. Так в чем же состоит правильная стратегия – поставить все свои деньги на красное одним махом или же ставить поочередно одну фишку за другой, пока вы либо не проиграете свои деньги, либо получите 40 фишек?

Прежде чем анализировать эту задачу, вы должны уяснить, что каждый раз, когда делаете ставку, вы, по существу, платите казино небольшой взнос за игру. Это станет понятно, когда вы усредните данные по всем своим выигрышам и проигрышам. Если вы ставите на 17 черное и выпадает это число, то казино возвращает вам вашу фишку и дает в придачу 35. Если бы на колесе рулетки было 36 чисел, то игра была бы справедливой, поскольку 17 черное в среднем выпадало бы один раз из 36. Так что, будь у вас 36 фишек и продолжай вы ставить на 17, то за 36 вращений колеса вы в среднем проигрываете 35 раз и один раз выигрываете, в результате вы остаетесь с теми же 36 фишками, с которыми начали игру. Но на самом деле на европейской рулетке 37 чисел, на которые можно делать ставки (от 1 до 36 и 0, который ни черный, ни красный), но казино платит вам выигрыш, как будто на колесе 36 чисел.

Поскольку на колесе 37 чисел, каждый раз, когда вы ставите  1, казино зарабатывает 1/37   1, что приблизительно составляет 2,7 пенса. Время от времени казино приходится делать большие выплаты какому-то игроку, но в конечном счете оно будет зарабатывать деньги благодаря законам вероятности. А в США шансы игроков еще более неблагоприятны, поскольку там на колесе рулетки 38 чисел: от 1 до 36, а также 0 и 00. Мы уже видели, что ставка на одно число обходится вам в конечном счете в 2,7 пенса. Но вы не обязаны ставить на одно число: вы можете, например, делать ставки, что число будет красное или черное, четное или нечетное, или в диапазоне от 1 до 12. Ваши шансы можно рассчитать таким же способом: по существу, какую бы ставку вы ни делали, она обойдется вам в 2,7 пенса за вложенный  1.

Итак, что же вам делать, чтобы повысить ваш шанс удвоения денег? Начнем с того, что, поскольку вы платите за каждую игру, оптимальная стратегия состоит в том, чтобы играть как можно меньше раз. Есть вероятность 18/37, чуть меньше 50 %, что вы уйдете, удвоив свои деньги. Так что, пусть это и будет короткий визит в казино, наилучшая стратегия состоит в том, что поставить все свои деньги на красное одним махом. Вероятность удвоения денег, если вы будете ставить одну фишку за фишкой, составляет

и у вас получается шанс 25,3 %. Значит, вы уменьшаете ваши шансы в 2 раза, если будете ставить каждый раз одну фишку.

Но в каком казино и каким образом лучше всего играть в рулетку? Некоторые заведения при выпадении 0 применяют правило en prison[10] и возвращают вам половину вашей ставки, если вы поставили на красное. По сути это означает, что ваши шансы более благоприятны – в рулетку в таком казино играть дешевле.

При достаточно долгой игре она обойдется вам в

что нужно сопоставить с 2,7 пенса, которые требуется заплатить за какую-либо другую ставку на столе. Итак, если казино использует правило en prison, то при достаточно долгой игре стоимость ставки на красное/черное составляет половину стоимости других ставок.

Вместо того чтобы вернуть назад половину вашей ставки при выпадении 0, казино может предложить вам другой вариант: вы заключаете вашу ставку en prison. Тогда крупье кладет на ставку фишку еn prison – и при выпадении красного при следующем розыгрыше вы получаете прощение и казино возвращает вам вашу ставку (но без какого-либо выигрыша). В ином случае вы теряете свою ставку. Поскольку вероятность того, что вы получите назад свои деньги, составляет 18/37 (чуть меньше 50 %), то вам будет лучше взять половину своих денег, если представится такая возможность, чем заключать вашу ставу в тюрьму и надеяться на выпадение красного.

Итак, очевидно, что обстоятельства складываются не в вашу пользу. Но существует ли какой-нибудь математический прием, чтобы обыграть казино? Вот идея стратегии, называемой мартингейлом. Начните с того, что поставьте одну фишку на красное. Если выпадет красное, вы вернете вашу фишку и в придачу к ней получите еще одну фишку. Если красное не выпадет, то поставьте в следующем раунде две фишки на красное. Если при розыгрыше выпадет красное, то вы вернете свои две фишки и плюс к ним еще две. Вы потеряли одну фишку при первой ставке, так что теперь ваш выигрыш составляет одну фишку. Если же и во второй раз не выпадет красное, то в следующий раз поставьте четыре фишки. Если выпадет красное, то вы получите четыре фишки сверх вашей ставки. Но вы уже проиграли одну фишку в первом раунде, две фишки во втором, поэтому ваш выигрыш составляет… одну фишку.

Данная система игровых ставок состоит в том, что вы каждый раз удваиваете их, пока не выпадет красное. Ваш итоговый выигрыш всегда будет составлять одну фишку, потому что, если красное выпадет в раунде N, то ваш выигрыш в данном раунде будет составлять 2N – 1фишек (поставленное вами количество), но в предыдущих N – 1 раунде вы потеряли L = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2N – 2 фишек. Вот эффективный способ сосчитать, насколько велик ваш проигрыш L. Разумеется, L равен 2L – L. Но как можно переписать 2L?

2L = 2  (1 + 2 + 4 + 8 + … + 2N – 2) = 2 + 4 + 8 + 16 … + 2N – 2 + 2N – 1
Теперь вычтем L = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2N – 2. Мы придем к
L = 2L – L = (2 + 4 + 8 + 16 … + 2N – 2 + 2N – 1) – (1 + 2 + 4 + 8 + … + 2N – 2) = 2N – 1 – 1.

Все числа из первой пары скобок (кроме 2N – 1) появляются во второй паре скобок, вот почему они исчезают из ответа! (Мы уже встречались с данным вычислением, когда складывали рисинки на шахматной доске в нашем поиске простых чисел в главе 1.) Итак, вы выиграли 2N – 1 фишек, а проиграли 2N – 1 – 1. Ваш итоговый выигрыш будет составлять одну фишку.

Конечно, это немного, но данная система ставок на первый взгляд гарантирует вам выигрыш – в конце концов, когда-то ведь должно выпасть красное, не так ли? Так почему же игроки не извлекают свою выгоду в казино, пользуясь этой стратегией? Одна проблема состоит в том, что вам необходимы бесконечно большие финансовые возможности, чтобы гарантировать выигрыш, потому что существует теоретическая возможность того, что всю ночь будет выпадать черное за черным. И, даже если у вас была целая гора фишек, повторяющееся удвоение вашей ставки может очень быстро исчерпать ваш запас (как и в случае рисинок). Кроме того, в большинстве казино устанавливается порог максимальной ставки, именно для того, чтобы не дать игрокам использовать эту стратегию. Например, если максимальная ставка составляет 1000 фишек, ваша стратегия даст сбой после десяти раундов, потому что в одиннадцатом вам нужно будет поставить 210 = 1024 фишки, что уже превосходит порог.

Но даже при наличии максимальной ставки многие игроки поддаются заблуждению, полагая, что если черное выпало восемь раз кряду, то вероятность того, что в следующий раз выпадет красное, должна возрасти. Конечно, шанс увидеть восемь черных кряду довольно невелик, он составляет 1 из 256. Но это никоим образом не увеличивает шанс того, что в следующем раунде выпадет красное: он по-прежнему будет пятьдесят на пятьдесят. Как и у подкидываемой монеты, у колеса рулетки нет памяти.

Если вы хотите сыграть в рулетку, то помните, что говорит математика вероятности: в конечном счете заведение всегда выигрывает – хотя мы увидим в главе 5, что существует возможность использовать другую математику, которая посодействует вам в получении миллионов. Если вы не любите покер или рулетку, то вам может подойти стол для крэпса[11]. Как мы сейчас увидим, у игральных костей очень долгая история.

Сколько граней было у первых игральных костей?

Многие из наших игр зависят от случая. «Монополия», нарды, «Змейки и лесенки»[12] и многие другие зависят от броска кубика, в соответствии с которым вы делаете определенное число шагов вашей фишкой. Первые игральные кости кидали древние вавилоняне и египтяне. Они использовали бабки – мелкие кости конечностей животных, например овец, – в качестве игральных костей. Кости, естественно, оказывались на одной из четырех сторон, но древние игроки вскоре поняли, что из-за несимметричного характера некоторые стороны выпадали чаще других, поэтому начали изготавливать игральные кости вручную, чтобы игра стала более справедливой. Как только они взялись за это, им пришлось исследовать многообразие трехмерных форм, у которых грани будут выпадать с равной вероятностью.

Поскольку отправной точкой игральных костей были бабки, не слишком удивительно, что некоторые из первых симметричных игральных костей изготавливались в форме тетраэдра с четырьмя треугольными гранями. В одной из первых известных нам настольных игр использовались такие пирамидальные кости.

Она называлась «Царской игрой Ура». Несколько ее игральных полей и пирамидальные кости были найдены британским археологом сэром Леонардом Вулли во время раскопок захоронений в древнем шумерском городе Уре (сейчас он находится на территории Южного Ирака). Гробницы относятся примерно к 2600 г. до н. э., игральные комплекты помещались туда, по всей вероятности, чтобы развлекать обитателей в их жизни после смерти. Замечательный образец этого комплекта представлен в экспозиции Британского музея в Лондоне. На игровом поле 20 клеток, по которым соперники, должно быть, перемещали свои фишки в соответствии с броском тетраэдрических игральных костей.

Правила этой игры оставались неизвестными вплоть до начала 1980-х гг., когда Ирвинг Финкель из Британского музея натолкнулся в его архиве на клинописную табличку, относящуюся к 177 г. до н. э. На обратной стороне таблички имелась зарисовка этой игры. Она была предшественником нард, каждый из игроков располагал определенным количеством фишек, которые он перемещал по полю. Но именно использовавшиеся игральные кости наиболее интересны с математической точки зрения.

Проблема, связанная с тетраэдрической игральной костью, в которой четыре треугольные грани, состоит в том, что при приземлении кость обращена вверх одной из своих вершин, а не гранью, как привычный для нас кубик. Чтобы пользоваться ими, два из четырех трехгранных углов помечались белыми точками.

Рис. 3.04. Тетраэдрические кости из «Царской игры Ура»

Игроки бросали несколько пирамидок, и счет соответствовал количеству белых точек наверху. Подкидывание таких костей математически эквивалентно подкидыванию нескольких монет и подсчету количества выпавших орлов.

Ход «Царской игры Ура» сильно зависит от случайного исхода броска костей. В противоположность этому нарды, ее потомок, предоставляют соперникам возможность проявить искусство и стратегию, а не только полагаться на удчу при броске. Но первоначальная игра не исчезла полностью: недавно было обнаружено, что евреи в городе Коччи на юге Индии до сих пор играют в вариант «Царской игры Ура», 5000 лет спустя после состязаний в Древнем Шумере.

Нашли ли «Подземелья и драконы» все игральные кости?

Одной из новинок «Подземелий и драконов» (Dungeons & Dragons), настольной ролевой игры в жанре фэнтези, появившейся в 1970-х гг., был впечатляющий набор игральных костей. Но открыли ли изобретатели игры все возможные игральные кости? Когда мы изучаем, из каких форм получились бы хорошие кости, мы снова возвращаемся к вопросу из главы 2. Если все грани игральной кости представляют собой одинаковую симметричную фигуру и эти грани соединены так, что все вершины и ребра выглядят одинаково, то эта кость является одной из пяти форм: тетраэдром, кубом, октаэдром, додекаэдром или икосаэдром – Платоновым телом (с. 63). Вы можете найти все эти кости в игральном наборе «Подземелий и драконов» (и в PDF-файле, который можно загрузить с веб-сайта «Тайн 4исел»), но у нескольких из этих костей значительно более древнее происхождение.

Например, в 2003 г. на аукционе Christie’s была продана стеклянная игральная кость с двадцатью гранями, относящаяся к римским временам. Ее грани были покрыты странными символами, наводящими на мысль, что она скорее использовалась для предсказания судьбы, чем для игры. Икосаэдр лежит в основе одного из самых популярных в наши дни приспособлений для предсказания судьбы: магического шара 8 (Magic 8 Ball). Внутри шара, наполненного жидкостью, плавает икосаэдр с нанесенными на грани ответами на ваши вопросы. Вы задаете вопрос, трясете шар и, когда икосаэдр приближается к поверхности шара, читаете ответ. Диапазон ответов простирается от «бесспорно» до «даже не думай».

Если же вам нужны всего лишь честные игральные кости, то не нужно быть придирчивым из-за расположения граней. Например, в «Подземельях и драконах» есть игральная кость, представляющая собой две пирамиды с пятиугольными основаниями, соединенными друг с другом. Эта игральная кость имеет одинаковый шанс 1 из 10 приземлиться на любую из ее десяти треугольных граней. Она не является Платоновым телом, потому что вершина у макушки каждой из пирамид отличается от остальных вершин: в ней сходятся пять треугольников, в то время как в вершинах на соединенных основаниях сходится по четыре треугольника. Тем не менее данная игральная кость справедлива: она с равной вероятностью приземляется на каждую из своих десяти граней.

Математики исследовали, из каких других форм получатся честные игральные кости. Относительно недавно было доказано, что если у игральной кости по-прежнему остается какая-то симметрия, то в дополнение к Платоновым телам имеется 20 других форм плюс пять бесконечных семейств игральных костей.

Рис. 3.05. Симметричные формы, из которых получаются хорошие игральные кости

13 из этих дополнительных 20 форм связаны с теми, из которых выходят замечательные футбольные мячи, – Архимедовыми телами из главы 2. Напомним, что грани Архимедовых тел симметричны, но могут быть разной формы. Из них получаются хорошие мячи, но они не совсем подходят для игральных костей. У классического футбольного мяча 32 грани: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. Не получится ли честная игральная кость, если просто написать на этих гранях числа от 1 до 32? Проблема состоит в том, что каждый пятиугольник имеет вероятность быть избранным приблизительно 1,98 %, в то время как каждый шестиугольник – приблизительно 3,81 %. Лишь в последнее десятилетие математики вывели точную формулу для вероятности того, что у игральной кости при ее приземлении наверху окажется какой-либо из пятиугольников. Впечатляющий геометрический расчет привел к следующему устрашающему ответу:

где r =  [2+sin(/5)] –1/2.

Архимедовы тела сами по себе не будут честными игральными костями, но их можно использовать для построения различных форм, которые предоставят на выбор азартных людей новые игральные кости. Ключевым является понимание того, что, хотя в Архимедовом теле грани могут быть разными, вершины в нем одинаковы. Далее используется прием под названием дуальность, переводящий вершины в грани и наоборот. Чтобы представить, какой будет грань у дуального (двойственного) многогранника, вообразите листы картона, помещенные в каждой вершине, затем нужно проследить за пересечением различных листов. Каждый лист картона должен быть ориентирован так, что он перпендикулярен линии, проходящей из центра формы в данную вершину. Например, дуальным многогранником к додекаэдру будет икосаэдр (рис. 3.06).

Рис. 3.06

Процедура применения этого приема к Архимедовым телам приводит к 13 новым игральным костям. У классического футбольного мяча 60 вершин, и у игральной кости, получающейся при замене каждой вершины гранью, будет 60 граней, каждая из которых имеет форму не равностороннего, а равнобедренного треугольника (то есть только две стороны равны). Хотя этот многогранник, дуальный к классическому футбольному мячу, и не является Платоновым телом, каждая его грань имеет равный шанс 1 из 60 выпасть после подбрасывания, поэтому он будет честной игральной костью. Его техническое название пентакисдодекаэдр (рис. 3.07).

Рис. 3.07

Любое из Архимедовых тел может быть сходным образом использовано для создания новой игральной кости. Наверное, самым впечатляющим является гекзакисикосаэдр. Поразительно, что даже с его 120 гранями, каждая из которых представляет неравносторонний прямоугольный треугольник, он будет другой честной игральной костью.

Бесконечные семейства игральных костей получаются благодаря обобщению идеи слепления вместе двух пирамид, основания которых могут иметь какое угодно число ребер. Хотя математики сумели разобраться во всем диапазоне честных игральных костей, у которых имеется симметрия, несимметричные формы, из которых получаются честные кости, по-прежнему окутаны тайной. Например, если я возьму октаэдр и обрежу немного одну вершину, а также противоположную ей вершину, то появятся две новые грани. Если я подкину эту форму, маловероятно, что она приземлится на одну из этих новых граней. Однако, если я отрежу большие куски от двух вершин, одна из двух новых граней скорее окажется внизу, чем восемь остающихся граней. Значит, должно быть некое промежуточное положение, когда при обрезании двух углов каждая из двух новых граней и первоначальных восьми будет выпадать с равной вероятностью, что создаст честную игральную кость с десятью гранями.

У этой формы не будет какой-либо приятной симметрии, как у игральных костей, получающихся из Архимедовых футбольных мячей, но она также будет честной игральной костью. Как свидетельство того, что у математики нет ответов на все вопросы, упомяну, что мы все еще не провели классификацию форм, которые представляют собой честные игральные кости, полученные подобным образом.

Как математика помогает выиграть в «Монополию»

«Монополия» кажется довольно случайной игрой. Вы подкидываете два кубика и мчитесь по игровому полю на машине либо расхаживаете в цилиндре. Где-то вы покупаете собственность, а где-то строите отели. То и дело вы можете занять второе место в конкурсе красоты благодаря карте из благотворительного фонда города, либо вам приходится раскошелиться на  20 за «вождение в пьяном виде». Всякий раз, когда вы проходите поле GO, вы пополняете свои карманы на  200. И каким же образом математика может дать вам преимущество в такой игре?

На каком поле участники чаще всего оказываются в ходе игры? Будет ли им поле GO, где вы стартуете, либо находящаяся от него по диагонали «Бесплатная автостоянка», а может быть, Оксфорд-стрит или район Мейфэр в лондонском издании «Монополии»? Но на самом деле ответом будет поле «Тюрьма». Почему? Что же, вы можете подкинуть кубики и оказаться на поле «Просто посетить» (Just Vsiting) либо очутиться на расположенном от него по диагонали поле, где полицейский скажет вам «Отправиться в тюрьму». Вам также может не повезти, и доставшаяся случайная карта предпишет отправиться прямиком в тюрьму. И это отнюдь не все возможности оказаться в заключении. Если вы выбросите дубль, то опять-таки нужно отправляться туда. Если вы выбросите три дубля подряд, то вас вовсе не наградят за это впечатляющее достижение в кидании игральных костей, а накажут тюремным сроком на три хода.

В результате этих обстоятельств игрок в среднем оказывается на поле «Тюрьма» в три раза чаще, чем на большинстве других полей игрового поля. Пока это не слишком-то помогает, ведь «Тюрьму» нельзя купить. Но именно сейчас математика выдвигается вперед: где игроки скорее всего окажутся после срока в тюрьме? Ответ определяется наиболее вероятным броском костей.

Страницы: «« 1234567 »»

Читать бесплатно другие книги:

Аденоиды без операции
Аденоиды без операции
Лесков Иван
Вы только что узнали, что вашего ребенка надо оперировать, и не находите себе места?Не отчаивайтесь,...
Боже, храни мое дитя
Боже, храни мое дитя
Моррисон Тони
«Боже, храни мое дитя» – новый роман нобелевского лауреата, одной из самых известных американских пи...
Жидкое состояние
Жидкое состояние
Никитин Андрей
Это история о любви и коварстве, о невинной доброте и изощрённом зле, о силе и слабости. История дев...
Поглотитель
Поглотитель
Никитин Андрей
Что произойдёт с людьми, если воздух вдруг станет чёрным? Что делать, если нужно выбирать между спас...
Обещания
Обещания
Барто Алекса
Она осталась одна, без надежды на безоблачное будущее, а впереди – только мучительная смерть. Лишенн...
Когда она ушла
Когда она ушла
Пирс Блейк
Где-то в Вирджинии находят мёртвую женщину, убитую причудливым образом. Пока взявшее на себя расслед...