Тайны чисел: Математическая одиссея Сотой Маркус

Почему бумеранг возвращается назад?

С вращающимися предметами происходят странные явления. Когда вы наносите по футбольному мячу нецентральный удар, он, закручиваясь, отклоняется вбок. Когда вы подкидываете теннисную ракетку, она всякий раз приходит во вращение, прежде чем вы ловите ее. Кажется, что закрученный гироскоп бросает вызов гравитации, удерживая горизонтальное положение. Но классическим примером странного поведения вращающихся предметов является возвращение бумеранга.

Динамика вращающихся предметов очень сложна, она сбивала с толку поколения ученых. Но теперь мы понимаем, что возвращение бумеранга назад обусловлено двумя разными факторами. Первый из них связан с подъемной силой крыла самолета, а второй называется гироскопическим эффектом. Математические уравнения позволяют нам объяснить и в конечном счете предсказать, как геометрия крыла генерирует силу, толкающую его вверх, противодействуя силе гравитации, которая тянет самолет вниз. Крыльям самолета придается такая форма, чтобы воздух обтекал их быстрее сверху и медленнее снизу. Воздух сверху сдавливается и быстрее проталкивается по крылу. По такому же принципу вода течет через трубу: в месте сужения трубы вода течет быстрее.

Одно из основных уравнений гидромеханики, уравнение Бернулли, говорит нам, что большая скорость воздуха над крылом приводит к меньшему давлению, а меньшая скорость воздуха под крылом приводит к большему давлению. Разность давлений под крылом и над ним создает силу, которая поднимает самолет.

Если вы внимательно рассмотрите бумеранг, то увидите, что каждое его плечо по форме напоминает крыло самолета, благодаря этому бумеранг поворачивает в сторону. Для возвращения бумеранга после броска вам нужно запустить его из вертикального положения таким образом (снова представьте самолет), чтобы равое крыло было наверху, а левое крыло внизу. Та же самая сила, которая приподнимает самолет, теперь будет толкать бумеранг влево.

Но у происходящего есть более тонкие моменты. Веди себя бумеранг как самолет, сила, действующая на плечи, просто повернула бы его влево и он бы не вернулся. Бумеранг возвращается назад оттого, что при запуске ему придается вращение, и благодаря гироскопическому эффекту сила, толкающая его влево, постоянно меняет направление. В результате бумеранг описывает дугу окружности.

Когда я бросаю бумеранг, его верхняя часть вращается вперед, а нижняя – назад. Верхняя часть подобна крылу самолета, быстрее движущемуся относительно воздуха, и более высокая скорость должна приводить к большей подъемной силе. Но, действуя на бумеранг, запущенный из вертикального положения, эта сила будет приводить к его крену, и верхняя часть будет наклоняться к горизонтальному положению.

Но здесь на сцену выходит гироскопический эффект. Когда вы ставите вращающийся гироскоп на подставку в вертикальном положении, он ведет себя подобно юле. Но, если вы наклоняете его так, что ось вращения образует некоторый угол с вертикалью, происходит то, что называется прецессией: ось вращения сама начинает вращаться. Именно это происходит с закрученным бумерангом. Его ось вращения – это воображаемая линия, проходящая через центр бумеранга, вращение данной оси приводит к тому, что бумеранг движется по дуге окружности.

Рис. 5.03. Геометрия сил и скоростей бумеранга. Сила F обусловлена подъемной силой, V – скорость, с которой движется центр бумеранга, R – радиус его траектории и W – скорость прецессии

Любой человек, бросавший бумеранг, знает, что не так-то просто заставить его вернуться назад. Вам требуется запустить его таким образом, чтобы скорость V, с которой он вылетает из вашей руки, и угловая скорость[17] S, характеризующая частоту его вращения, были связаны соотношением[18]:

a  S= (2) V.

Здесь а – радиус бумеранга, расстояние от его кончика до оси симметрии. Закручивая сильнее вашу кисть при броске, вы можете увеличить S и добиться, чтобы соотношение выполнялось.

Рис. 5.04. Верхушка бумеранга A движется быстрее, чем его низ B, благодаря вращению

Угол наклона бумеранга зависит от разности скоростей вверху и внизу бумеранга. Верхушка движется со скоростью V + aS, в то время как низ перемещается медленнее, со скоростью V – aS, где угловая скорость S определяет частоту вращения бумеранга вокруг центра (см. рис. 5.04). Поэтому вы можете варьировать наклон бумеранга, изменяя скорости V и S, результатом чего будет изменение скорости прецессии бумеранга при его движении с линейной скоростью V. Если ваш бумеранг не хочет возвращаться назад, вам необходимо освоить кистевое движение, придающее ему правильную угловую скорость S по отношению к линейной скорости V. Соотношение выше поможет вам отладить бросок.

После того как вы освоили искусство броска с возвращением бумеранга, можно поставить вопрос, будет ли он двигаться по дуге большего радиуса, если запускать его с большей скоростью? Математические преобразования позволяют вывести уравнение, задающее радиус траектории бумеранга. И опять уравнение напоминает рецепт, в котором берутся различные ингредиенты, определяющие бумеранг и условия его полета. Эти ингредиенты смешиваются, и на выходе получается радиус. Вот список ингредиентов:

J, момент инерции бумеранга. Он характеризует то, насколько трудно закрутить бумеранг; чем тяжелее бумеранг, тем больше J. Момент инерции также зависит от формы бумеранга;

, плотность воздуха, в котором летит бумеранг;

C_L, коэффициент подъемной силы, – число, определяющее подъемную силу, действующую на бумеранг. Зависит от его формы;

, число 3,14159…;

а, радиус бумеранга.

Радиус траектории бумеранга R определяется перемешиванием данных ингредиентов по следующему рецепту:

Из этого уравнения мы видим, что радиус траектории бумеранга не изменится, если мы будем бросать его сильнее, потому что скорость не входит в число ингредиентов приведенного рецепта[19]. Но что произойдет, если мы сделаем бумеранг тяжелее, прилепив какое-то количество клейкой массы к концам его плеч-крыльев? Уравнение позволяет нам предсказать, что утяжеление массы увеличит момент инерции J, что, в свою очередь, приведет к возрастанию радиуса R. Итак, более тяжелый бумеранг будет лететь по окружности большего радиуса. Это полезно знать при запуске бумерангов в ограниченном пространстве!

С веб-сайта «Тайн 4исел» вы можете загрузить PDF-файл с инструкциями по изготовлению бумеранга.

Как заставить яйцо бросить вызов гравитации?

Возьмите яйцо, сваренное вкрутую. Положите его на стол и приведите во вращение. Яйцо примет вертикальное положение, словно бросая вызов законам гравитации. Не менее удивительно и то, что этот фокус не удастся с сырым яйцом.

Лишь в 2002 г. математики нашли объяснение этого поведения. Энергия вращательного движения преобразуется под действием силы трения поверхности стола в потенциальную энергию, и центр тяжести яйца приподнимается. Если у стола слишком малое либо слишком большое трение, то такого не произойдет. У сырого яйца часть вращательной энергии поглощается жидким содержимым, и остается недостаточно энергии для приподнимания центра тяжести.

Почему маятники не столь предсказуемы, как может показаться на первый взгляд?

И снова Галилео Галилей, мастер применения математики в целях предсказаний, первым раскрыл секрет движения маятника.

Как говорят, в возрасте семнадцати лет он присутствовал на мессе в кафедральном соборе Пизы. Галилей заскучал и стал разглядывать потолок, а потом его внимание привлекла люстра, которая плавно раскачивалась из-за ветра, гулявшего по зданию.

Галилей решил определить время, за которое люстра совершала колебание из стороны в сторону. У него не было наручных или карманных часов (они еще не были изобретены), поэтому он решил измерять время с помощью своего пульса. Великое открытие, совершенное Галилеем, состояло в том, что время колебания существенно не зависело от его размаха. Другими словами, время колебания существенно не изменится, если вы увеличите или уменьшите максимальный угол отклонения. (Я использовал слово «существенно» для указания на то, что при более тщательном исследовании положение вещей несколько усложнится.) Когда ветер дул сильнее, люстра описывала большую дугу, но на колебание уходило то же самое время, как и в случае, когда ветер ослабевал и люстра еле двигалась.

Это открытие было крайне важным, его результатом стало применение качающегося маятника для измерения времени. Когда вы даете ход маятниковым часам, не нужно беспокоиться о том, насколько далеко в сторону вы отводите маятник, особенно если учесть, что размах колебаний уменьшится с течением времени. Но от чего же зависит время совершения одного полного колебания, называемое периодом колебаний? Как изменится период колебаний, если увеличится масса либо возрастет длина маятника?

Как мы можем догадаться по экспериментам Галилея на Пизанской башне, более тяжелый маятник не будет перемещаться быстрее, поэтому период колебаний маятника не будет зависеть от его массы. В противоположность этому, увеличение длины маятника оказывает влияние на период колебаний. Он удваивается при увеличении длины в четыре раза. Увеличьте длину в 9 раз, и период утроится; если длина возратет в 16 раз, период станет в четыре раза больше.

Опять-таки это предсказание можно отобразить с помощью уравнения. Период колебаний T возрастает прямо пропорционально квадратному корню из длины маятника L:

По существу, это другой способ написания уравнения, составленного Галилеем для мячей, падающих с Пизанской башни: g снова обозначает ускорение, обусловленное гравитацией. Причина написания знака приближенного равенства в противоположность знаку равенства = и моего предыдущего употребления слова «существенно» состоит в том, что данное выражение является хорошим приближением для периода колебаний. Пока размах колебаний не слишком большой, данной формулой можно пользоваться для предсказания поведения маятника. Но, если максимальный угол отклонения становится большим – например, маятник начинает движение почти из вертикального положения, – математика становится заметно сложнее. Теперь максимальный угол отклонения начинает оказывать влияние на период колебаний, чего Галилей не заметил, потому что люстра в кафедральном соборе не могла отклоняться настолько сильно. Мы также не наблюдаем данный эффект в напольных часах, потому что размах колебаний их маятника довольно мал.

Математика, необходимая для вывода уравнения, правильно предсказывающего поведение маятника с большим углом колебания, заметно выходит за пределы школьной программы. Ниже приведено начало этой формулы. На самом деле у нее бесконечное число слагаемых, которые вносят вклад в поведение маятника. ₀ – это выраженный в радианах начальный угол, образуемый маятником с вертикалью.

Но это ничто по сравнению с задачей предсказания поведения слегка модифицированного маятника. Вместо одного жесткого стержня, раскачивающегося вправо-влево, представьте, что к нижней части первого маятника шарнирным образом прикреплен второй. Поэтому конструкция в целом несколько напоминает ногу, верхняя и нижняя части которой соединяются в колене. Предсказать поведение этого двойного маятника крайне трудно. И дело не в том, что уравнения становятся существенно сложнее, а в том, что их решения крайне непредсказуемы: результат может быть совсем другим при ничтожном изменении начального положения маятника. Двойной маятник служит ярким примером математического явления, называемого хаосом. Но двойной маятник – не просто забавная настольная игрушка. Математика, лежащая в основе его поведения, имеет важные последствия для ответа на вопрос, который может повлиять на будущее всего человечества.

Сайт http://bit.ly/Myphysicslab – один из многих, где представлена компьютерная модель двойного маятника.

Постарайтесь предсказать, каким будет следующий проход нижней части относительно верхней части маятника – по часовой стрелке или против часовой? Это почти невозможно.

Чтобы изготовить ваш собственный маятник, посетите http://bit.ly/DoublePendulum.

Не разлетится ли Солнечная система?

С того времени, как Галилей первым исследовал падающие шары и раскачивающиеся маятники, математики сформулировали сотни тысяч уравнений, которые предсказывают поведение природы. Эти уравнения образуют фундамент современной науки, они известны как законы природы. Математика наделила нас возможностью создать сложный технический мир современности. Инженеры опираются на уравнения для проверки того, что мосты не упадут, а самолеты полетят в воздухе. Из того, как развивался наш рассказ до сих пор, вы можете заключить, что предсказание будущего всегда будет легким. Отнюдь нет, настолько просто будет не всегда – как открыл французский математик Анри Пуанкаре.

В 1885 г. король Швеции и Норвегии Оскар II предложил премию в 2500 крон тому, кто сможет математически установить раз и навсегда, что либо Солнечная система и дальше будет вращаться как заведенная, либо в какой-то момент времени Земля может оторваться от Солнца и улететь в космос. Пуанкаре счел, что сумеет найти ответ, и начал исследование.

Один из классических приемов, используемых математиками, когда они начинают анализировать сложные задачи, состоит в упрощении изучаемой системы. Они надеются, что это облегчит нахождение решения задачи в целом. Вместо того чтобы исследовать все планеты Солнечной системы, Пуанкаре начал с рассмотрения задачи всего лишь двух тел. Исаак Ньютон уже доказал, что их орбиты будут стабильны: два тела будут двигаться по эллиптическим орбитам вокруг общего центра масс, что будет вечно повторяться.

Рис. 5.05

Начиная с этой отправной точки Пуанкаре стал изучать, что будет происходить при добавлении последующих планет в систему. Но проблемы возникают уже тогда, когда необходимо описать три тела, например Землю, Луну и Солнце. Вопрос о том, стабильны ли их траектории, становится крайне сложным – настолько, что он привел в тупик даже великого Ньютона. Трудность обусловлена тем, что теперь необходимо объединить в рецепте 18 ингредиентов: точные координаты каждого из тел в трех измерениях и их скорости в этих измерениях. Сам Ньютон написал, что «одновременное рассмотрение столь многих причин движения с целью определить движения на основе точных законов, допускающих легкий расчет, если я не ошибаюсь, выходит за пределы возможностей человеческого ума».

Но Пуанкаре не был обескуражен. Он добился значительного продвижения путем ряда последовательных приближений для описания орбит. Он считал, что совершение округления крайне небольших изменений в положениях планет, появившихся в его вычислениях, не повлияет существенно на окончательный ответ. Хотя Пуанкаре не сумел решить задачу полностью, его идеи были настолько изощренны, что ему присудили премию короля Оскара. Однако, когда статья Пуанкаре готовилась к публикации, один из редакторов не сумел проследить за математическими выкладками Пуанкаре и задал вопрос. Не мог бы Пуанкаре доказать предположение, что небольшие изменения в положениях планет приведут лишь к небольшим изменениям в их предсказанных орбитах?

Когда Пуанкаре пытался оправдать сделанное допущение, он неожиданно понял, что совершил ошибку. В противоположность его суждению даже небольшое изменение начальных условий – исходных положений и скоростей трех тел – могло привести к существенно различным орбитам. Его упрощения не работали. Пуанкаре связался с редакторами и попытался остановить выход статьи, потому что публикация ошибочных результатов в честь короля привела бы к скандалу. Статья уже была напечатана, но большинство экземпляров было собрано и уничтожено.

Все это походило на гигантский конфуз. Но, как часто бывает в математике, если что-то идет наперекосяк, обнаружение причины произошедшего может привести к интересным открытиям. Пуанкаре написал вторую, более развернутую статью, в которой обосновал свое мнение, что крайне небольшие изменения могут привести к внезапному распаду внешне стабильной системы. Открытие, совершенное благодаря его ошибке, привело Пуанкаре к одной из важнейших математических концепций последнего столетия: теории хаоса.

Пуанкаре обнаружил, что даже в ньютоновской Вселенной, казалось бы работающей как часы, простые уравнения могут привести к необычайно сложным результатам. И это вовсе не математика случайности или вероятности. Мы имеем дело с системой, которую математики называют детерминированной: она контролируется строгими математическими уравнениями, и, если фиксировать какие-либо начальные условия, всякий раз будет получаться один и тот же результат. Хаотическая система по-прежнему является детерминированной, но крайне небольшое изменение начальных условий может привести к существенно отличному результату.

Позвольте представить небольшой по масштабу пример, который служит хорошей моделью Солнечной системы. Мы поместим на пол три магнита: черный, белый и серый. Над магнитами мы подвесим магнитный маятник, который может свободно колебаться в любом направлении. Этотмаятник будет притягиваться всеми тремя магнитами, и он будет раскачиваться между ними, пока не примет какое-то стабильное положение. Снизу к маятнику прикреплен небольшой контейнер с краской, которая капает и оставляет след. Мы приведем маятник в движение, он будет раскачиваться, а капающая краска отметит его путь. Таким образом мы пытаемся смоделировать астероид, который проносится сквозь Солнечную систему и испытывает притяжение трех планет. В конце концов он столкнется с одной из них.

Это крайне необычно, но почти невозможно повторить эксперимент и получить тот же самый след краски. Сколь усердно вы ни будете стараться привести маятник в то же самое положение и качнуть в прежнем направлении, краска будет прочерчивать совершенно другой след, и в конечном счете маятник может оказаться у любого из трех магнитов. На рис. 5.06 показаны три траектории, начинающиеся почти одинаковым образом, но завершающиеся у разных магнитов.

Уравнения, контролирующие движения маятника, являются хаотическими: крайне небольшое изменение начального положения может самым драматичным образом повлиять на конечный результат. Это характерный признак хаоса.

Рис. 5.06. Самое небольшое изменение начального положения маятника может привести к его движению по совершенно другой траектории между тремя магнитами (которые отмечены небольшими кружками – белым, серым и черным)

Мы также можем воспользоваться компьютерным моделированием, чтобы создать изображение, показывающее, к какому из трех магнитов притянется маятник. Магниты находятся в центре больших областей соответствующего цвета, каждая из которых имеет форму вазы. Если маятник начнет движение, находясь над черной областью, он в конечном счете остановится у черного магнита. Аналогично, при начальном положении над серой или белой областью маятник прекратит движение у серого или белого магнита соответственно. На изображении видны области, в которых небольшое изменение начального положения маятника не повлияет существенно на результат. Так, если маятник начнет свое движение у черного магнита, он скорее всего и завершит там свое путешествие. Но также заметны другие области, в которых цвета быстро меняются на небольших расстояниях.

Рис. 5.07. Компьютерное моделирование, иллюстрирующее поведение маятника, движущегося над тремя магнитами

Это пример той формы, которая столь возлюблена природой, – фрактала. Фракталы отображают геометрию хаоса, и если вы рассмотрите какую-то из этих областей с большим увеличением, то увидите тот же уровень сложности (с чем мы уже встречались на с. 90). Именно эта сложность делает движение маятника столь труднопредсказуемым, хотя описывающие его уравнения довольно просты.

А как быть, если на кону не конечное положение раскачивающегося маятника, а будущее Солнечной системы? Возможно, небольшое возмущение, вызванное случайным астероидом, приведет к небольшим, но достаточным изменениям, чтобы Солнечная система разлетелась в разные стороны. По-видимому, что-то подобное приключилось в планетной системе солнцеподобной звезды ипсилон Андромеды. Астрономы считают, что странное поведение существующих планет является свидетельством катастрофы, во время которой одна из исходных планет, вращающихся вокруг звезды, была выброшена наружу из-за какого-то возмущения первоначально стабильных орбит. Может ли такое произойти и с нашей планетой?

Для собственного успокоения ученые недавно провели расчеты на суперкомпьютерах, чтобы найти ответ на вопрос, перед которым капитулировал Пуанкаре: существует ли угроза, что Земля улетит от Солнца? Они проследили эволюцию имеющихся орбит планет вперед и назад по времени. К счастью, вычисления показали, что с вероятностью 99 % планеты продолжат бесперебойное вращение по своим орбитам на протяжении 5 миллиардов лет (к тому времени наша звезда станет красным гигантом и поглотит внутренние планеты Солнечной системы). Все же остается однопроцентная вероятность более интересного конечного результата – по крайней мере, с математической точки зрения.

Оказывается, что у внутренних каменистых планет – Меркурия, Венеры, Земли и Марса – менее стабильные орбиты, чем у газовых гигантов – Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна. Если бы эти большие планеты были предоставлены сами себе, у них было бы замечательно стабильное будущее. Однако именно у крошечного Меркурия есть потенциал разнести Солнечную систему вдребезги.

В компьютерном моделировании были замечены странные резонансы, возникающие между Меркурием и Юпитером. Они могут привести к тому, что орбита Меркурия будет пересекать орбиту ближайшей к нему планеты, Венеры. Это может подготовить условия для потенциально убийственного столкновения между Венерой и Меркурием, что способно привести к развалу Солнечной системы. Но произойдет ли это на самом деле? Мы не знаем. Хаос делает предсказание будущего крайне трудным.

Как бабочка может погубить тысячи людей?

Не только Солнечная система подвержена хаосу. Черты хаотического поведения есть у многих природных явлений, будь то возникновение волн-убийц в океане, динамика фондового рынка или биение сердца. Но хаотической системой, сильнее всего влияющей на жизнь каждого, является погода. Вопрос «будет ли Земля вращаться вокруг Солнца через миллиард лет?» не относится к числу первоочередных. Мы желаем знать, будет ли тепло и солнечно на следующей неделе, а также изменится ли существенно климат за последующие 20 лет по сравнению с его нынешним состоянием.

У предсказания погоды всегда был налет колдовства, хотя некоторые из народных примет, относящихся к погоде, оказались верными. «Красный закат – радость пастуха» срабатывает, потому что лучи солнца окрашиваются красным, проходя через большие области ясного неба к западу от пастбища. Поскольку погодные системы в Европе, как правило, приходят с запада, это служит указанием на хорошую погоду в ближайшие дни.

В наши дни метеорологи используют в своей работе множество различных данных, от измерений на морских метеостанциях до изображений и информации, передаваемых со спутников. Также у них есть точные уравнения для описания того, как сталкивающиеся воздушные массы в атмосфере взаимодействуют и создают облака, ветер и осадки. Если у нас есть математические уравнения, контролирующие погоду, их, наверное, было бы просто объединить с метеоданными и провести вычисления на компьютере, чтобы определить, какой будет погода на следующей неделе.

Увы, даже при содействии современных суперкомпьютеров прогноз на две недели вперед по-прежнему ненадежен. Мы не в силах предсказать во всех деталях, какой будет погода сегодня, не говоря уже о более отдаленном будущем. Даже лучшие метеостанции дают показания с ограниченной точностью. Мы никогда не сможем знать достоверную скорость каждой молекулы в воздухе, истинную температуру в каждой точке пространства и точное распределение давления по всей планете, а даже небольшая вариация этих характеристик может привести к сильно отличающимся прогнозам погоды. Это породило понятие «эффект бабочки»: бабочка, машущая крыльями, создает лишь небольшие изменения в атмосфере, но в конечном счете они могут привести к торнадо или урагану на другом конце планеты, уносящему жизни и вызывающему многомиллионные разрушения.

По этой причине метеорологи рассчитывают одновременно несколько прогнозов погоды, каждый из которых отличается небольшими вариациями измерений, полученных со спутников и метеостанций по всему миру. Иногда все эти вычисления ведут к одинаковым результатам, и тогда метеорологи могут быть вполне уверены, что верно предсказывают погоду – хотя она и хаотична – на одну-две недели. Но, если в некоторых расчетах результаты совершенно различны, синоптики понимают, что никоим образом не могут достоверно предсказать погоду даже на несколько дней.

Вспомните наш хаотический маятник, раскачивающийся между тремя магнитами. Согласно компьютерному изображению, существуют области, где маленькие изменения начального положения не приводят к тому, что маятник завершает свое движение у другого магнита.То же самое происходит с погодой. Представьте, что большая черная область на рисунке соответствует погоде в пустыне: там всегда будет жарко, сколь усердно ни махала бы бабочка крыльями. То же можно сказать и про Арктику, соответствующую большой белой области. Но погода в Великобритании соответствует той области изображения, где краски быстро меняются на малом масштабе, то есть небольшие изменения положения маятника приводят к разным результатам.

Знай мы точные положения и скорости всех частиц во Вселенной, мы могли бы достоверно предсказывать будущее. Однако проблема состоит в том, что немного ошибочное определение этих начальных условий может привести к совершенно иному будущему. Вселенная может быть уподоблена часовому механизму, но мы никогда не будем знать положения шестеренок достаточно точно, чтобы воспользоваться ее детерминированной природой.

Орел или решка?

Европейский футбольный чемпионат 1968 г. проходил до введения правила о пробитии пенальти для выявления победителя матча, завершившегося вничью. Поскольку матч между сборными Италии и Советского Союза был безголевым даже после дополнительного времени, была брошена монета для определения того, какая из команд выйдет в финал. С римских времен всеми признавалось, что монета была честным способом решения спора. В конце концов, невозможно предсказать, какой стороной выпадет монета, вращающаяся в воздухе. Или это не так?

Теоретически говоря, если вы точно знаете положение монеты, скорость ее вращения и время падения, вы можете рассчитать, как она приземлится. Но, подобно погоде, не приведет ли крошечное изменение одного из этих факторов к противоположному исходу? Перси Диаконис, математик из Стэнфордского университета в Калифорнии, решил проверить, так ли непредсказуемо подкидывание монеты, как мы думаем. Если условия при каждом броске монеты одинаковы, то, согласно математике, всякий раз будет тот же исход. Но не скрываются ли в подкидываемой монете характерные черты хаоса? Что, если при небольшой вариации начальных условий эти вариации к моменту падения усиливаются настолько, что становится невозможно предсказать, выпадет орел или решка?

С помощью друзей-инженеров Диаконис построил механическую машину по подкидыванию монет, которая могла воспроизводить условия броска снова и снова. Разумеется, от случая к случаю имеются незначительные отличия, но приведут ли они к другому исходу, как было у маятника, раскачивающегося между тремя магнитами? Диаконис обнаружил, что всякий раз, когда он повторял эксперимент со своим механическим подкидывателем, монета выпадала одной и той же стороной. Затем он натренировался и сам бросать монету идентичным образом, в результате у него могли выпасть 10 орлов подряд. Если вы решаете судьбу чего-то броском монеты, удостоверьтесь, что ее не подкидывает человек, подобный Перси Диаконису.

Но что можно сказать о самых обычных людях, которые заметно меняют бросок монеты от случая к случаю? Диаконис задался вопросом, может ли в данных условиях быть предпочтение в выпадении сторон? Чтобы приступить к математическому исследованию, ему понадобился эксперт по вращающимся предметам. Он понял, что нашел нужного человека, когда познакомился с Ричардом Монтгомери. Последний прославился тем, что доказал теорему о падающей кошке – он объяснил способность кошек приземляться на лапы независимо от положения, в котором они были в начале падения. Вместе со статистиком Сьюзен Холмс они показали, что вращающаяся монета, запускаемая щелчком большого пальца, предпочтительно выпадает вверх определенной стороной.

Чтобы преобразовать теорию в фактические числа, исследователям пришлось тщательно проанализировать, как вращающаяся монета движется в воздухе. С помощью высокоскоростной цифровой видеокамеры, способной делать 10 000 кадров в секунду, они запечатлели движение монеты и использовали полученные данные в своей теоретической модели. То, что они обнаружили, может показаться неожиданным: при надлежащем броске монеты одна из сторон выпадает с большим предпочтением. Это предпочтение невелико: в 51 % случаев после приземления наверху оказывается та же самая сторона, которая была наверху при подкидывании монеты. Причина, видимо, связана с той же самой физикой, которая управляет движением бумеранга или гироскопа. Оказывается, что вращающаяся монета также прецессирует подобно гироскопу и чуть больше времени наверху при полете находится та сторона, которая была верхней при запуске монеты. Эта разница в вероятности несущественна для одного броска, но может быть очень значительной в длинной серии бросков.

Есть организации, которые, безусловно, заинтересованы в длинных сериях. Это казино. Их доход напрямую связан с вероятностями за большой промежуток времени. Они полагаются на то, что вы будете ошибаться в предсказании исхода при каждом броске игральной кости или запуске рулетки. Но как и при подкидывании монеты: если вы знаете начальные положения колеса рулетки и шарика, а также их стартовые скорости, вы, теоретически говоря, можете применить ньютоновскую физику, чтобы определить, куда упадет шарик. Если колесо будет стартовать из одного и того же положения с той же самой скоростью, а крупье каждый раз будет по-одинаковому запускать шарик, то он должен упасть на то же самое место. Однако и здесь возникает та проблема, которую открыл Пуанкаре: даже совсем небольшое изменение начальных положений и скоростей колеса рулетки и шарика может иметь самые драматические последствия для результата. То же относится и к игральной кости.

Но это вовсе не означает, что математика не может помочь вам сузить диапазон конечных положений шарика. Вы можете внимательно проследить за тем, как шарик совершает несколько оборотов вокруг колеса рулетки, прежде чем сделать вашу ставку. Поэтому у вас появляется возможность проанализировать траекторию шарика и предсказать конечный пункт его маршрута. Трое восточноевропейцев – венгерка, описанная как «изящная и красивая», и двое «элегантных» сербских мужчин – сумели сделать это. Они использовали математику, чтобы сорвать крупный куш за столом для рулетки в лондонском казино «Риц» в марте 2004 г.

Используя лазерный сканер, спрятанный внутри мобильного телефона, который был соединен беспроводным способом с компьютером, они фиксировали вращение колеса рулетки по отношению к шарику во время первых двух оборотов. Компьютер предсказывал область из шести номеров, куда должен был упасть шарик. Во время третьего оборота колеса рулетки игроки делали ставки. Увеличив шанс своего выигрыша с 1 из 37 до 1 из 6, троица ставила на все 6 номеров из области, предсказанной компьютером. В первый вечер их доход составил  100 000. Во второй вечер они выиграли ошеломляющие  1,2 миллиона. Хотя игроки были арестованы, а потом находились под залогом на протяжении 9 месяцев, в конечном счете их освободили от судебного преследования и позволили сохранить выигранные деньги. Команды юристов пришли к выводу, что они никоим образом не вмешивались во вращение колеса и шарика.

Игроки поняли, что, хотя за столом для игры в рулетку царит хаос, небольшое изменение начальных условий колеса и шарика не всегда радикально меняет результат. Именно на это опираются метеорологи, когда предсказывают погоду. Порою при прогоне компьютерных моделей они обнаруживают, что некоторое изменение сегодняшних погодных условий не имеет драматических последствий для прогноза погоды. Компьютер тех игроков делал то же самое: он просчитывал тысячи различных сценариев, чтобы определить, где может очутиться шарик. Компьютер не мог точно предсказать положение шарика, но области из шести номеров было вполне достаточно, чтобы превратить изначально проигрышное положение игроков в выигрышное.

Исходя из прочитанного, вы могли бы решить, что задачи природы делятся на простые и предсказуемые, вроде шара, падающего с вершины Пизанской башни, и хаотические и труднопредсказуемые, вроде поведения погоды. Однако нельзя сказать, что граница между этими типами задач четко проведена. Иногда какая-то система характеризуется легко просчитываемым и предсказуемым поведением, но при совсем незначтельном изменении одного из параметров становится хаотической.

Кто убил всех леммингов?

Несколько десятилетий назад натуралисты заметили, что каждые четыре года количество леммингов резко уменьшается. Получила широкое распространение теория, что раз в несколько сезонов эти арктические грызуны поднимаются на высокую отвесную скалу и прыгают с края навстречу смерти. В 1958 г. подразделение естествознания компании Walt Disney Productions сняло получивший многие премии фильм «Белая пустошь». В этом фильме были кадры массового самоубийства леммингов, которые выглядели настолько убедительно, что слово «лемминг» стало употребляться для обозначения любого, кто безропотно следует за большинством, даже если их действия потенциально катастрофичны. Поведение этих животных привело к появлению видеоигры, цель которой была в спасении леммингов, идущих бездумным маршем к краю отвесной скалы.

Чтобы увидеть отрывок из «Белой пустоши», пройдите по ссылке http://bit.ly/Whitewilderness.

В 1980-х гг. стало известно, что съемочная группа «Белой пустоши» сфальсифицировала эти кадры. Согласно документальному фильму канадского телевидения, лемминги, которые были специально закуплены для съемок, отказывались прыгать с края скалы – поэтому члены съемочной группы «побуждали» их к этому. Но если внезапное уменьшение численности леммингов каждые четыре года обусловлено не массовым самоубийством, то какова же причина?

Рис. 5.08

Оказывается, что математика снова может дать нам ответ. Простое уравнение скажет, сколько будет леммингов от сезона к сезону. Мы начнем с предположения о том, что из-за воздействия условий и факторов окружающей среды, таких как пищевые ресурсы и хищники, существует максимально допустимая численность леммингов. Назовем ее N. Обозначим за L количество леммингов, выживших с предшествовавшего сезона, и пусть после рождения потомства численность леммингов в новом сезоне увеличивается до K. Часть этих K леммингов не доживет до конца сезона. Доля умерших леммингов составляет L/N, а именно количество леммингов, выживших с предыдущего сезона, поделенное на максимально допустимую численность леммингов. Итак, K  L/N леммингов умирает, и в конце данного сезона остается в живых

леммингов. Чтобы упростить наши расчеты, положим максимальную численность N = 100.

Хотя данное уравнение выглядит просто, у него есть удивительные последствия. Давайте начнем с того, что изучим случай, когда число леммингов удваивается весной, то есть K = 2 L. Из них 2L  L/100 не выживут. Предположим, что в конце первого сезона было 30 леммингов. Тогда уравнение предсказывает нам, что к концу второго сезона будет 60 – (60  30/100) = 42 лемминга. Их численность будет возрастать, пока в конце четвертого сезона не станет 50 леммингов.

С этого момента численность леммингов, выживающих к концу каждого из сезонов, будет постоянной и составит 50. Удивительно и то, что, каково бы ни было исходное количество леммингов в начале первого сезона, численность леммингов к концу каждого из последующего сезонов будет приближаться к половине максимальной численности, и на этом значении она стабилизируется. Итак, когда будет достигнута численность в 50 леммингов, их количество удвоится и составит 100 весной следующего сезона, но к концу следующего сезона 100  50/100 = 50 умрут, и к концу следующего сезона останется снова 50 леммингов (рис. 5.09).

Рис. 5.09. Количество леммингов удваивается каждой весной, но их численность стабилизируется на постоянном значении независимо от того, сколько леммингов было вначале. На графике показана численность леммингов в конце соответствующего сезона

Но что произойдет, если лемминги будут более плодовиты? Когда количество леммингов чуть более чем утраивается весной, их численность не стабилизируется, а скачет между двумя значениями. Если к концу какого-то сезона численность выживших леммингов возрастает, то к концу следующего сезона она падает.

Рис. 5.10. Если количество леммингов утраивается весной, их численность начинает осциллировать

Когда лемминги становятся еще более плодовиты, их численность начинает флуктуировать странным образом. Если возрастание количества леммингов весной описывается множителем 3,5, численность леммингов осциллирует между четырьмя значениями, и эта закономерность повторяется каждые четыре года. (Точный множитель, при котором впервые появляются четыре значения, есть 1 + 6, что приблизительно равно 3,449.) В этом случае мы и обнаруживаем, что в одном сезоне из четырех происходит существенное падение количества леммингов, но не в силу решения совместно покончить с жизнью, а из-за математики.

Рис. 5.11. Когда количество леммингов весной возрастает в 3,5 раза, их численность осциллирует между четырьмя различными значениями

Но по-настоящему интересное изменение динамики численности леммингов происходит, когда увеличение их количества весной описывается множителем, превышающим 3,5699. Тогда их численность от года к году меняется скачками без видимого ритма и причины. Хотя уравнение, определяющее численность леммингов, довольно простое, оно начало выдавать хаотические результаты. Измените исходное количество леммингов, и динамика их численности будет совсем другой. После того как превзойден порог начала хаоса 3,5699, почти невозможно предсказать, как будет варьироваться численность. Мы видим, что уравнение, контролирующее численность леммингов, сначала приводило к совершенно предсказуемым результатам, но с небольшим увеличением плодовитости леммингов внезапно разразился хаос.

Рис. 5.12. Когда увеличение количества леммингов весной описывается множителем 3,5699 или более, изменение их численности становится хаотическим

Правила игры в рыбьи формулы

Это игра для двух участников. Загрузите PDF-файл с веб-сайта «Тайн 4исел» и вырежьте десять рыб и аквариум. В игре исследуется то, как количество рыб меняется на протяжении десяти сезонов. Каждая из вырезанных рыб соответствует одному сезону, и на ее боку имеется пустое поле, куда вы можете вписать число рыб в аквариуме в этом сезоне. В условиях аквариума поддерживается жизнь не более чем 12 рыб. Рыба, дожившая до следующего года, приносит потомство, а потом с определенной вероятностью умирает.

Подкиньте две игральные кости. Число рыб, исходно имеющихся в аквариуме, равно сумме выпавших очков минус один (поэтому данное число лежит в диапазоне от 1 до 11). Назовем это число N₀. Первый игрок выбирает число K от 1 до 50. С его помощью определяется количество потомков у каждой рыбы. Если первоначально имелось N₀ рыб, то в первом году вследствие появления потомства их становится (K/10)  N₀. То есть количество рыб умножается на K/10, этот множитель лежит в интервале от 0,1 до 5.

Не все рыбы доживают до следующего года. Если в конце предыдущего года было N рыб, то к концу следующего их будет

Комбинация с первым слагаемым в круглых скобках соответствует приведенному приросту количества рыб из-за рождения, а комбинация со вторым слагаемым – убыли рыб из-за смертности. Нужно округлить число, определяемое данной формулой, чтобы в аквариуме было целое число рыб (4,5 округляется до 5).

Пусть аквариум содержится на протяжении 10 лет. Счет первого игрока равен сумме количества рыб в конце нечетных лет, а счет второго игрока равен сумме количества рыб в конце четных лет.

То есть, если в конце года с номером i имеется N_i рыб:

счет игрока 1: N₁ + N₃ + N₅ + N₇ + N₉,

счет игрока 2: N₂ + N₄ + N₆ + N₈ + N₁₀.

Делая отметки на боках вырезанных фигурок, вы можете вести учет численности рыб от года к году. Если в какой-то момент все рыбы умирают, игрок 1, выбравший множитель K, проигрывает автоматически.

Вот пример одной из игр. На игральных костях выпало 4. Поэтому сначала в аквариуме было 3 рыбы, N₀ = 3. Игрок 1 выбирает K = 20. Следовательно, количество рыб в конце первого года

Количество рыб в конце второго года

А в конце третьего года их

Количество рыб теперь стабилизировалось, потому что 6 будет повторяться при подстановке в формулу. Итак,

счет игрока 1: 5 + 6 + 6 + 6 + 6 = 29 рыб,

счет игрока 2: 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 рыб.

Игрок 2 побеждает. Посмотрите, что произойдет при изменении множителя K. Поскольку мы округляли числа, в этой игре нет всех тонкостей хаотической модели, которая убила леммингов.

Если вы хотите воспользоваться онлайн-моделированием этой игры, пройдите по ссылке http://bit.ly/Tanksim.

В данной версии моделирования количество рыб в аквариуме также округляется до целого числа, но дробная часть числа подставляется в формулу для расчета количества рыб в следующем году. Например, если вы положите K = 27 и N₀ = 3:

N₁ = 6,075, округляется до 6 рыб

N₂ = 8,09873, округляется до 8 рыб

N₃ = 7,10895, округляется до 7 рыб

N₄ = 7,8233, округляется до 8 рыб

N₅ = 7,352, округляется до 7 рыб

N₆ = 7,68872, округляется до 8 рыб

N₇ = 7,45835, округляется до 7 рыб

N₈ = 7,62147, округляется до 8 рыб

N₉ = 7,50844, округляется до 8 рыб

N₁₀ = 7,58804, округляется до 8 рыб

Счет игрока 1: 6 + 7 + 7 + 7 + 8 = 35 рыб,

счет игрока 2: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40 рыб.

Как делать обводящие прострелы, словно Бекхэм, или закручивать подобно Карлосу

Дэвид Бекхэм и Роберто Карлос выполнили за футбольную карьеру немало удивительнейших штрафных ударов, которые, казалось, противоречили законам физики. Вероятно, самым поразительным был удар, нанесенный Карлосом в матче Бразилии против Франции в 1997 г. Штрафной был назначен в 30 м от ворот. Большинство футболистов просто отдали бы пас партнеру, чтобы продолжить атаку. Но не Роберто Карлос. Он поставил мяч на газон и отступил назад, готовясь к удару.

Французский вратарь Фабьен Бартез выстроил оборонительную стенку, хотя он и не думал всерьез, что Карлос намеревается послать мяч непосредственно в его ворота. И действительно, когда Карлос разбежался и нанес удар, казалось, что мяч пролетит далеко от цели. Зрители в стороне от ворот начали нагибаться, ожидая, что мяч попадет в толпу. Неожиданно, в последние мгновения, мяч свернул влево и залетел в сетку французских ворот. Бартез не мог поверить своим глазам. Он не шевельнулся. «Как ему такое удалось?» – казалось, думал он.

Но удар Карлоса отнюдь не противоречил законам физики, при его исполнении была учтена наука движущихся футбольных мячей. Эффект вращения может приводить к самому невероятному поведению предметов. Если вы ударите по мячу, не придавая ему вращения, то он в своем движении как бы прочертит параболу на фиксированном двумерном листе бумаги. Но, если вы закрутите мяч, неожиданно геометрия его движения становится трехмерной. Он не только будет подниматься и опускаться, но и отклоняться влево или вправо.

Но что же толкает мяч, летящий в воздухе, влево или вправо? Возникающая сила обусловлена эффектом Магнуса, названным в честь немецкого физика Генриха Магнуса, который в 1852 г. первым объяснил воздействие вращения на мячи. (Немцы всегда были хороши в футболе.) Эффект схож с появлением силы, действующей на самолетное крыло. Как я объяснил на с. 254, разность скоростей потока воздуха над и под крылом приводит к уменьшению давления над крылом и его повышению под ним, вследствие чего возникает сила, толкающая крыло вверх.

Для отклонения мяча в полете влево Карлос нанес такой удар, чтобы левая сторона вращалась к нему (ось вращения вертикальна и проходит через центр мяча). Закрученность мяча затем, по существу, приводила к тому, что воздух быстрее обтекал мяч слева, уменьшая давление, – то же самое происходит над самолетным крылом. Давление на другой стороне мяча, напротив, возросло, потому что скорость воздуха там была меньше, ведь та сторона закручивалась навстречу потоку воздуха. Результатом увеличенного давления справа была сила, толкавшая мяч влево, которая в конечном счете и занесла мяч в сетку ворот.

Тот же принцип используется для того, чтобы заставить мяч для гольфа лететь дальше, чем предсказывается уравнениями, сформулированными Галилеем. Но на сей раз ось вращения горизонтальна и перпендикулярна скорости мяча. Когда клюшка наносит удар по мячу, лежащему на колышке, его нижняя часть закручивается в направлении полета. Это снижает скорость обтекающего воздуха и в силу эффекта Бернулли увеличивает давление под мячом. Так и создается направленная вверх сила, противодействующая гравитации, словно обусловленная вращением рука помощи подхватывает мяч и несет как можно дальше.

Но мы еще не включили в наше рассмотрение один ингредиент: сопротивление воздуха. Именно оно позволяет объяснить, почему мяч, запущенный Карлосом, отклонился влево настолько поздно. Как и в случае подъемов и спадов численности леммингов, секрет волшебного трюка Карлоса связан с переходом от хаотического поведения к регулярному. Поток воздуха за мячом может быть либо хаотическим, либо регулярным. Хаотический поток воздуха называется турбулентным. Он возникает, когда мяч движется очень быстро. Регулярный поток воздуха называется ламинарным, он реализуется при меньших скоростях. Переключение с одного вида потока на другой зависит от типа мяча.

Вы можете сами довольно легко увидеть эти виды воздушных потоков, реализующиеся при разных скоростях. Идите спокойно по прямой линии, держа в руках флаг (или полосу ткани) так, чтобы он находился за вами, и посмотрите, как он колышется. Теперь сделайте то же самое со значительно большей скоростью. Вы можете либо высунуть флаг за окно машины, либо бежать с максимальной скоростью навстречу ветру. Теперь флаг будет сильно биться из стороны в сторону. Причиной изменения является то, что воздух, обтекающий какой-либо предмет, например флаг, ведет себя по-разному при разных скоростях. При малых скоростях поток воздуха легко предсказуем, но при больших скоростях он становится заметно хаотичнее.

Но как влияет на летящий футбольный мяч переключение с турбулентного обтекания на ламинарное? Оказывается, что в турбулентном случае воздух оказывает меньшее сопротивление футбольному мячу. Поэтому, когда мяч движется быстро, его вращение не оказывает существенного влияния на изменение его скорости, словно эффект Магнуса уменьшен на этом участке траектории. Но, когда мяч замедляется и проходит точку переключения, турбулентное обтекание уступает место ламинарному, приводящему к значительно большему сопротивлению[20]. При этом переходе сопротивление воздуха возрастает на 150 %. Теперь начинает сильнее сказываться и вращение мяча, неожиданно мяч более заметно отклоняется в сторону. Дополнительное сопротивление также увеличивает подъемную силу, приводя к усилению эффекта Магнуса, и мяч все заметнее толкается в сторону.

Рис. 5.13. Хаотическая турбулентность приводит к меньшему сопротивлению среды, чем регулярное обтекание, называемое ламинарным

Роберто Карлосу требовалось выполнить штрафной не слишком близко к воротам, чтобы он мог нанести удар достаточно сильно для осуществления турбулентного обтекания и чтобы при этом у мяча было время замедлиться, не покидая поля. Когда мяч летит после удара со скоростью 110 км/ч, поток воздуха вокруг него хаотичен, но примерно в середине траектории он замедляется и турбулентность исчезает. Включается торможение, проявляется воздействие вращения мяча, и Бартез капитулирует.

Но данная математика влияет не только на футбол. Наши путешествия также подвержены хаосу, в особенности в воздухе. Большинство людей связывают слово «турбулентность» с просьбой пристегнуть ремни, поскольку они входят в зону, где хаотические потоки воздуха будут их кидать в разные стороны. Самолеты движутся значительно быстрее футбольных мячей, и хаотический поток воздуха, обтекающий их крылья, – турбулентный поток – увеличивает лобовое сопротивление самолета, что приводит к большему расходу топлива и дополнительным затратам.

По результатам одного исследования, снижение турбулентного сопротивления на 10 % могло бы увеличить размер прибыли авиакомпаний на 40 %. Авиаконструкторы всегда ищут способы изменить текстуру поверхности крыла, чтобы поток воздуха стал менее хаотическим. Одна идея состояла в том, чтобы сделать на крыле крошечные параллельные бороздки, расположенные так же плотно, как бороздки на грампластинке. Другое предложение заключалось в нанесении на поверхность крыла миниатюрных зубчиков, называемых дентикулами. Интересно, что кожа акулы покрыта естественными дентикулами, что демонстрирует приоритет природы над инженерами в открытии способа снизить сопротивление среды.

Хотя она изучалась крайне интенсивно, турбулентность, возникающая при движении мяча или крыла самолета, по-прежнему остается одной из самых больших тайн математики. Есть хорошая новость: мы сумели написать уравнения, определяющие поведение воздуха или жидкости. Плохая новость состоит в том, что никто не знает, как их решать! Эти уравнения важны не только для личностей вроде Бекхэма и Карлоса. Многим нужно решать их: синоптикам – чтобы предсказывать воздушные потоки в атмосфере, врачам – чтобы понимать кровообращение в теле, а астрофизикам – чтобы разобраться в эволюции звезд в галактиках. Все эти явления контролируются одной и той же математикой. В настоящее время метеорологи, конструкторы и другие пользуются лишь приближенными методами, но, поскольку за этими уравнениями прячется хаос, небольшая ошибка может сильно повлиять на результат – и предсказания будут совершенно ошибочны.

Эти уравнения называются уравнениями Навье – Стокса в честь сформулировавших их двух математиков XIX в. Их нельзя назвать простыми. Распространенная форма записи этих уравнений выглядит так:

Если вам незнакомы некоторые из символов в этих уравнениях, не печальтесь – немногие люди понимают их! Но для тех, кто сведущ в языке математики, эти уравнения играют ключевую роль в предсказании будущего. Они настолько важны, что первому человеку, решившему их, будет вручена премия в миллион долларов.

Великий немецкий ученый Вернер Гейзенберг, один из создателей квантовой физики, однажды сказал:

Когда я предстану перед Богом, то задам ему два вопроса: почему относительность? И почему турбулентность? Полагаю, на первый вопрос у него найдется ответ.

Когда Роберто Карлоса спросили, как он раскрыл секрет настолько феноменальных обводящих ударов, он ответил:

Я работал над точностью моих штрафных ударов с детства. После каждой тренировки я оставался еще на час, чтобы поупражняться в выполнении штрафных. Как и во всем остальном: чем больше боли и пота, тем больше достижений.

Думаю, то же самое относится и к математике. Чем труднее задача, тем больше будет удовлетворение, когда вы справитесь с ней. Если занятия математикой станут невыносимо тяжелы, вспомните слова Роберто Карлоса: «Чем больше боли и пота, тем больше достижений». И, когда вы окончательно решите одну из величайших математических загадок всех времен, каждый будет думать подобно Бартезу, глядящему на мяч в сетке своих ворот: «Как ему такое удалось?!»