Камень ломает ножницы. Как перехитрить кого угодно: практическое руководство Паундстоун Уильям
Подвергшиеся манипуляции числа могут представлять большую проблему, чем полностью выдуманные. В данном случае манипуляция означает, что кто-то ради личной выгоды уменьшил или увеличил реальную цифру. Изменение не обязательно должно быть таким грубым, как переправка 1 на 7. Зачастую достаточно достичь какого-то предела, цели или порога. Средства на представительские расходы обычно ограничены, при превышении либо не возмещаются суммы, либо требуются дополнительное подтверждение или документы. Можно ожидать, что предъявленные к возмещению цифры сосредоточатся чуть ниже границы.
«Это обычная практика для государственных чиновников», – заметил Марк Нигрини. Он изучил одно правительственное агентство. В нем сотрудникам выдавались закупочные карточки на сумму до 2500 долларов. Результат: «масса закупок на сумму 2500, 2499, 2496 долларов… Очевидно, это гениальные люди, которые говорили: “Не пишите 2501, пишите 2496 долларов. Я единственный из 35 000 правительственных чиновников знаю арифметику!” Однако все мы склонны думать как все, и поэтому каждый считает себя единственным».
Один из способов выявить исправления – проверка второй цифры. Сосчитайте, сколько раз каждая из десяти цифр встречается во втором знаке числа, справа от первой цифры. Для 74991 доллара вторая цифра – 4, и именно ее нужно учитывать при подсчете. Изобразите результаты в виде гистограммы.
Вторые цифры: числа, подвергшиеся манипуляции
С реальными числами не следует ожидать слишком большой вариации в частоте вторых цифр. Закон Бенфорда предсказывает, что самой распространенной второй цифрой будет 0, с частотой появления 12 процентов, а реже всего должна встречаться 9 – в 8,5 процента случаев. Однако зачастую вы видите такую диаграмму, как представлена на рисунке на следующей странице. Сплошная линия – это идеальная кривая Бенфорда для вторых цифр, а столбики – реальные результаты подсчета. На первый взгляд разница не очень велика, однако она существенна. В столбиках показан избыток цифр 8 и 9, а также нехватка всех остальных. Это может произойти при «круглом» лимите, например, 1000 долларов. Обычно люди указывают расходы, немного не дотягивающие до порога.
Эффект порога – довольно распространенное явление, но не стоит делать поспешных выводов, когда вы сталкиваетесь с чем-то подобным. Наемный работник, знающий, что компания оплачивает расходы на еду до 50 долларов, может попробовать питаться на 49 с мелочью. Он не делает компании одолжение, а просто играет по установленным правилам.
С другой стороны, работник, преувеличивший расходы на еду – или фальсифицирущий их, – тоже имеет все основания не превышать установленного порога. Получив такие результаты, вы, возможно, захотите проверить поведение сотрудника – либо он представляет к оплате чеки, не превышающие порога, либо не переходит установленные границы, либо тут есть признаки подделки.
Иногда установленные пороги оканчиваются цифрой 5, например, 25 долларов. В таком случае на манипуляцию может указывать избыток троек и четверок во второй цифре.
Кевин Лоуренс приходил к инвесторам с беспроигрышным бизнес-планом. Его компания под названием Health Maintenance Centers (HMC) разрабатывала электронное оборудование и программное обеспечение для оздоровительных клубов: благодаря аппаратуре проще следить за состоянием клиентов на тренажерах. Это превратило бы каждое занятие в стрессовый тест, позволяя тренеру или врачу регулировать нагрузки и режим тренировок. Лоуренс продал акции и ценные бумаги HMC на сумму 74 миллиона долларов 5000 инвесторам по всей стране.
17 января 2002 г. Комиссия по ценным бумагам и биржам подала иск против Лоуренса и HMC, обвинив в мошенничестве в инвестиционной сфере. Обещанное IPO так и не состоялось. Вместо этого принадлежавшие инвесторам 163 миллиона долларов ушли к Лоуренсу и его подельникам. Комиссия обвиняла Лоуренса, что он потратил 2,1 миллиона долларов на 23 роскошных автомобиля, 1 миллион долларов на яхты 1,7 – на недвижимость и драгоценности, в том числе на обручальное кольцо стоимостью 330 тысяч долларов для Стейси Грей, еще одной обвиняемой.
Вероятно, Лоуренс не собирался мошенничать. Просто он принадлежал к тому типу предпринимателей, у которых привлекать деньги получается лучше, чем вкладывать их в успешные проекты, – его можно сравнить не с Берни Мэдоффом, а скорее с Максом Бялыстоком[16]. Числа в бухгалтерской документации HMC отражали реальные операции. Но результаты некоторых цифровых тестов выглядели в высшей степени подозрительно. К сожалению, тесты провели только после того, как проблемы HMC получили огласку (органы судебно-бухгалтерской экспертизы г. Лейк-Освего, и независимо от них Марк Нигрини). Если бы инвесторы HMC проанализировали распределение цифр раньше, то могли бы сохранить деньги и избежать ущерба.
В гистограмме вторых цифр платежей компании HMC (см. следующую страницу) цифры 0 и 5 встречаются гораздо чаще, чем в кривой Бенфорда. Цифра 9 игнорировалась и встречалась значительно реже, чем 8. Это указывает, что кто-то часто использует круглые числа, такие как 10 (всего 459 раз), 15 000 (122 раза) или 1 000 000 долларов (4 раза). HMC часто оперировала круглыми числами.
Точно так же поступают колумбийские наркокартели и бабушки, выписывающие чек внукам на день рождения. Круглые цифры не обязательно должны вызывать подозрение. Вы идете к банкомату и снимаете со счета круглую сумму, например, 300 долларов. Вы не знаете, на что потратите деньги, и поэтому просто выбираете сумму из предложенных на сенсорном экране вариантов круглых чисел. Когда мы придумываем денежные суммы, не пытаясь никого обмануть и делая их похожими на случайные, то почти всегда выбираем круглые числа.
Вторые цифры: Health Maintenance Centers
Единственное, что отличает круглые числа от остальных – в некоторых обстоятельствах они не похожи на реально бывающие в бизнесе. Компании обязаны торговаться за наиболее выгодное соглашение и не покупать больше, чем необходимо. Даже если цены представляют собой круглые числа, броуновское движение скидок, льгот, транспортных расходов и налогов делают подавляющее большинство цен некруглыми. Наука четного ведения дел излучает гравитационное поле, подтягиваюее величины, выраженные в долларах, к кривой Бенсона. Когда с деньгами обращаются небрежно или пытаются что-то скрыть, долларовые величины имеют тенденцию отклоняться от идеала.
Руководители HMC пользовались средствами компании как личными чековыми счетами. Или банкоматом. Выяснилось, что 111 платежей HMC составляли 301,50 доллара. Сотрудникам выдали банковские карты с доступом к счетам компании. Лимит снятия наличности составлял 300, и банк брал комиссионные в размере 1,50.
Большое количество таких выплат, как 10, 15, 20 и 25 долларов, объяснялось банковской комиссией за выдачу наличных по чекам за телеграфные переводы. Эти услуги предназначены для частных клиентов. У компаний есть более дешевые способы перемещения денежных потоков. В лучшем случае это указывает, что сотрудники HMC не были заинтересованы в экономии средств инвесторов. Кроме того, возникает вопрос, почему собственные чеки HMC были недостаточно хороши?
Ответ тоже дают числа. Еще одно подтверждение дала банковская комиссия.
Расследование показало, что HMC использовала чеки и переводы, чтобы перемещать большие круглые суммы от одной сомнительной организации в другую, и в конечном итоге большая часть этих денег оседала в карманах руководителей компании. Финансовое мошенничество, вероятно, должно было затруднить понимание происходящего.
На протяжении пяти лет до краха энергетическая компания Enron, печально знаменитая своим мошенничеством, публиковала следующие данные о доходах:
1996 – 13 289 миллиардов долларов
1997 – 20 273 миллиардов долларов
1998 – 31 260 миллиардов долларов
1999 – 40 112 миллиардов долларов
2000 – 100 789 миллиардов долларов
Задним числом мы знаем, что эти числа фиктивны, и сочинил их финансовый директор компании Эндрю Фастоу. Руководство Enron попало под гипноз прямой зависимости между доходом и стоимостью акций. Цена на акции компании вывешивалась даже в лифте. Фастоу нашел способ сообщать о доходах, подтверждавших ту цену, которую все хотели видеть.
Президент Enron Джеффри Скиллинг большую часть рабочего дня тратил на переубеждение последователей «Фомы неверующего». На конференции по телефону, впоследствии ставшей знаменитой, Ричард Грабман, аналитик компании Highfields Capital, заметил: Enron – единственная среди известных ему компаний, не публикующая бухгалтерский баланс или отчет о движении денежных потоков вместе с данными о доходах. «Да, большое спасибо, – ответил Скиллинг. – Мы ценим ваше замечание… козел!»
Немногие данные, опубликованные компанией Enron, выглядели подозрительно. Когда компания намеревается продать миллион устройств, то результат 998 300 неудовлетворительный. Три из пяти сумм, указанных как доход, лишь немного превышали психологически значимые круглые числа – 20, 40 и 100 миллиардов долларов.
Каждая из превышающих порог сумм имеет вторую цифру 0. Закон Бенфорда предсказывает, что вероятность появления 0 в качестве второй цифры составляет 11,97 процента. Если вы имеете дело с несколькими числами, немного превышающими порог, эта вероятность уменьшается. Шансы на то, что три из пяти чисел будут иметь второй цифрой 0, составляют 1 из 75.
Доход – самый яркий показатель, обычно упоминаемый в СМИ. Подобных показателей не так много, однако именно они влияют на цену акций. Еще одна часто цитируемая цифра – прибыль на акцию. Вот как она выглядит у компании Enron:
1996 – 1,08 доллара
1997 – 0,16 доллара
1998 – 1,01 доллара
1999 – 1,10 доллара
2000 – 1,12 доллара
Прибыль на акцию впечатляет гораздо меньше, чем доход компании. В Enron стремились поддерживать ее выше одного доллара за акцию, и данные за пять лет показывают небольшой рост. Из общего тренда выбивался 1997 г. В объяснении указывалось, что доход до выплаты налогов и процентов составлял 0,87 доллара на акцию, но «факторы, влияющие на сопоставимость» уменьшили его до 0,16 доллара. Творческий подход к бухгалтерии позволил Enron собрать расходы и снижение цен в одну большую кучу – ужасный 1997 год – и сохранить для остальных годов прибыль на акцию выше одного доллара.
Идея Enron состояла в том, что значение имеет доход компании, а не прибыль на акцию. Доходом легче манипулировать. В начале 2001 г. сотрудники Enron снова заговорили об удвоении дохода до красивого круглого числа, 200 миллиардов долларов. Осуществлению великолепного плана помешали длительные сроки тюремного заключения, а именно к ним приговорили руководителей компании.
Так поступали не только в Enron. В проведенных позже исследованиях анализировались вторые цифры опубликованных доходов или прибыли всех крупных американских корпораций. Компаний много, они разной величины, в самых разных отраслях, а значит, опубликованные числа должны довольно точно соответствовать закону Бенфорда. Так и оказалось – за исключением вторых цифр 0 и 9. Нулей было больше, а девяток меньше ожидаемого.
Назовем это аномалией Enron. Вместо того чтобы показать прибыль в размере 99 центов на акцию, компании находят способы сделать так, чтобы она превысила 1 доллар. Исследования совокупных данных не позволяют определить, какие именно корпорации лукавят, но их доля должна быть существенной.
Присутствует также небольшая аномалия для второй цифры 5. 24 цента на акцию компании обычно округляют до 25.
Нигрини отмечает, что в данных об убытках наблюдается противоположная тенденция. Самая большая сумма убытков, о которой сообщили американские корпорации, составила 99 280 миллионов долларов.
Это число взято из формы 10-К компании American International Group (AIG) за 2008 г.
Теперь посмотрим на вторые по величине убытки американских корпораций:
99 696 миллионов долларов
Это убытки компании AOL TimeWarner’s за 2002 г. Замечаете сходство? Самые большие убытки американских корпораций выглядят как цены в магазине, где все товары продаются по 99 центов.
С учетом того, что крупные и предположительно уважаемые корпорации имеют тенденцию выбирать психологически более комфортную сторону круглых чисел, можно представить, насколько хуже обстоят дела в стартапах и развивающихся компаниях. Банкам, венчурным капиталистам и инвесторам часто нужно сформировать представление о кредитоспособности компании из ограниченного объема данных. Значимыми показателями могут быть не только доход или выручка, но также количество проданного товара, число загрузок или кликов. Эти показатели могут публиковаться поквартально, ежемесячно, еженедельно или ежедневно. Но независимо от системы измерения наблюдается тенденция превышения значимых порогов.
Эффективный тест на реальность данных – проверить вторые цифры на избыток 0. Сколько чисел, едва превышающих важный порог, считать подозрительными? Первым делом сосчитаем, сколько значимых показателей вам предоставили. Обозначим это число как N. Затем сосчитаем, в скольких из этих чисел вторая цифра 0. Обозначим это число Z.
Откроем таблицу. Вам потребуется использовать так называемую функцию биномиального распределения. Знать, что это такое, вовсе не обязательно. Эта функция встроена в Excel или в любую совместимую финансовую программу. Наберите в ячейке Excel:
=1-BINOM.DIST (Z-1, N, 0,1197, TRUE)
Введите числа или ссылки на содержащие их ячейки для Z и N. Программа рассчитает вероятность того, что в списке из N чисел окажется Z нулей в качестве второй цифры.
Пример. Допустим, в начале 2001 г. вы задумались о покупке компании Enron, и ее руководство предоставило вам десять приведенных выше цифр – доход компании и прибыль на одну акцию в течение пяти лет. Тогда N будет равняться 10, а Z — 5.
Вычтем 1 из Z и полученное число 4 вставим на место первого аргумента функции. Значение второго аргумента будет 10, а третий аргумент – вероятность, согласно закону Бенфорда, что вторая цифра будет 0, то есть 0,1197. По поводу аргумента «TRUE» волноваться не следует – просто напечатайте его.
Результат вычислений – 0,368 процента, или 1 из 272. Это значит, есть серьезные основания подозревать, что компания Enron просто завысила все эти важные показатели, выбирая их случайно.
Какая вероятность заставит вас отказаться от покупки? Ни один статистик вам этого не скажет. Происходят и совпадения. Для венчурного капиталиста цель не в обеспечении точности финансовых показателей, а в том, чтобы доказать благонадежность и установить комфортный уровень.
Сравним. При испытаниях нового лекарства для публикации в медицинском журнале обычно требуется уровень уверенности 1 из 20 (5 процентов). Исследователю нужно показать: вероятность того, что наблюдаемый эффект случаен, не превышает 5 процентов.
Критерий 5 процентов произволен. Он не должен иметь какого-либо значения для бизнеса. Тем не менее, вы можете выбрать его как отправную точку для принятия решения. Если шансы меньше 5 процентов, считайте это предупреждением. В таком случае следует запросить дополнительные данные.
Повторите процесс с новыми числами, проведя расчеты для изменившихся N и Z. Снова вероятность меньше 5 процентов? Это немного напоминает оценку нового ресторана. Вы идете туда один раз и остаетесь недовольны – но возможно, у шеф-повара просто был неудачный день. Посетите ресторан несколько раз, и вы получите более точное представление об истинном положении дел.
Означает ли высокая доля нулей в качестве второй цифры, что компания завышает показатели? Стоит ли иметь с ней дело? Решать вам. Но есть вероятность, что она не совсем честна.
В 1980-х и 1990-х гг. налогоплательщики больше всего боялись аудиторских проверок Налогового управления США, выполнявшихся под эгидой Национальной исследовательской программы (NRP). Генератор случайных чисел выбирал девятизначный номер. «Счастливый» обладатель карточки социального страхования с этим номером подвергался доскональному аудиту и должен был представить документы, подтверждающие каждую запись в налоговой декларации. Проверка случайно выбранного налогоплательщика и анализ всех данных позволили Налоговому управлению понять, какие строчки декларации подделываются чаще всего. С научной точки зрения все было идеально – но не с политической. Многие налогоплательщики выражали недовольство, и в середине 1990-х конгресс вынудил Налоговое управление свернуть NRP.
После закрытия программы налоговые органы сосредоточились на аналитике. Мало кто сомневался, что анализ данных использует закон Бенфорда, однако не склонное к откровенности Налоговое управление этого не подтверждало. Тем не менее, еще в 1998 г. газета New York Times сообщала: «Налоговые органы нескольких государств и нескольких американских штатов, включая Калифорнию, для проверок крупных компаний и финансовых фирм используют программное обеспечение на основе закона Бенфорда».
Макс Нигрини занимался этим задолго до сборщиков налогов. В одном из первых исследований налоговых деклараций США он проанализировал такие записи, как процентный доход и выплаты по ипотеке, благотворительные взносы, доходы от прироста капитала и расходы малого бизнеса, подпадающие в «раздел С». Они значительно отличались от распределения Бенфорда. Больше всего подозрений вызывали арендная плата и административные расходы малого бизнеса из раздела С.
Нигрини обнаружил: незадокументированные расходы налогоплательщиков с низким доходом выглядят подозрительнее, чем у налогоплательщиков с высоким доходом. Небогатые люди знают, что риск проверки для них невелик, и поэтому чаще фальсифицируют данные. С другой стороны, богатые имеют возможность нанять профессионалов для составления финансовых отчетов, и те их убедят не делать глупостей.
Парадокс в том, что Нигрини не мог сказать, какие именно декларации неточны. Малый бизнес по большей части сообщает всего одну сумму в качестве арендной платы. Какие-то из этих чисел реальные, а какие-то преувеличены. И только массив из многих тысяч сумм аренды заставил заподозрить мошенничество.
Открытия Нигрини необыкновенно полезны для налоговых органов, причем не только потому, что указывают на строки налоговой декларации и типы доходов, требующие особого внимания, но и при составлении инструкций и изменении законодательства. В настоящее время Налоговая служба США требует от ипотечных заимодателей сообщать о процентных ставках в форме 1098, а проценты по потребительскому кредиту больше вообще не рассчитываются. С 2011 г. биржевые маклеры, а с 2012 г. паевые инвестиционные фонды обязаны сообщать в налоговые органы базовую стоимость ценных бумаг В 2012 г. Налоговое управление провело выборочные проверки лиц с высоким движением наличности.
Несколько лет назад Управление налоговых сборов Великобритании применило цифровые тесты к британским налоговым декларациям и выяснило: у владельцев малого бизнеса в суммах продаж слишком часто встречаются две первые цифры 14. Причина очевидна – в то время британское законодательство позволяло малому бизнесу пользоваться упрощенной формой отчетности, если сумма продаж не превышала 15 тысяч фунтов стерлингов. С тех пор этот порог поднимался несколько раз. И каждый раз вместе с ними на новый уровень поднимались манипуляции.
Для расчета федерального подоходного налога американские налогоплательщики со средним доходом используют налоговую таблицу. Эти таблицы составлены с шагом 50 долларов. В 2011 г. не состоящий в браке человек с облагаемым налогом годовым доходом 71 049 долларов должен был заплатить подоходный налог в размере 13 894 долларов. Но если он заработал на один доллар больше (71 050), то его доход попадал в другую строчку таблицы, и сумма налога увеличивалась на 12 долларов (13 906).
Вы, наверное, подумаете, что никто не станет мошенничать с налоговой декларацией из-за 12 долларов. Нигрини проанализировал две последние цифры сумм облагаемого налогом дохода и обнаружил свидетельства, что при заполнении декларации налогоплательщики подправляли суммы дохода, чтобы они оказывались чуть ниже границы. Слишком много чисел оканчивались на 48 или 49, 98 или 99. А количество сумм дохода, немного превышавших границу (оканчивавшихся на 50 или 51, 00 или 01) было меньше ожидаемого.
Чтобы доказать сознательное уклонение от налогов, Нигрини сравнил налогоплательщиков, пользовавшихся налоговыми таблицами, с теми, которые должны умножать облагаемый налогом доход на предельную налоговую ставку. Во втором случае в числах не обнаружилось никаких признаков манипуляции.
Облагаемый налогом доход вычисляется из других записей декларации, и его невозможно изменить – в противном случае появится математическая ошибка. Налогоплательщик, слега превысивший порог, должен вернуться назад и найти способ прибавить пару долларов к вычетам или на несколько долларов сократить поступления. В самом невинном случае это может указывать на налогоплательщика с остро отточенным карандашом в руке: он порылся в памяти и обнаружил там забытый налоговый вычет. Менее оптимистичный вариант – налогоплательщик не откажется от мелкого мошенничества, если шанс быть пойманным невелик.
Формула аудита для Налоговой службы США генерируется при помощи прогнозной аналитики. Статистические корреляции позволяют предсказать, какие налоговые декларации имеют наибольшую вероятность оказаться нечестными и поэтому заслуживают дополнительной проверки. В компьютерах Налоговой службы США хранятся все налоговые декларации, и не приходится сомневаться, что эта информация используется должным образом. То, что в этом году ваш облагаемый налогом доход оказался на доллар меньше порогового значения, может быть совпадением. Но если за последние десять лет сумма слегка не дотягивает до …00 или …50, это уже не совпадение.
Эффект порога позволяет выполнить очень простой тест на честность. И вполне возможно, что такой тест присутствует в процедуре аудита. Дело не в том, что налоговые органы волнуются из-за нескольких долларов. Но если налогоплательщик постоянно жульничает с налоговой сеткой и в его декларации присутствуют другие настораживающие признаки, такие как расходы малого бизнеса, подпадающие в «раздел С», или крупные пожертвования на благотворительность, это вызывает подозрение.
Поэтому лучше быть кристально честным в мелочах. Машина для предсказаний наблюдает за вами и знает больше, чем вы думаете.
Политическая блогосфера с огромным энтузиазмом восприняла закон Бенфорда. Он приобрел репутацию волшебного черного ящика: для выявления мошенничества на выборах требуются лишь результаты подсчета голосов на избирательных участках, доступные любому блогеру, сидящему в гостиной у матери. Результатом стало растущее количество заявлений о подтасовках. Обвинения в украденной победе, пересыпанные жаргоном статистиков (а его почти никто не понимает), были подхвачены журналистами (а им следовало бы проявить больше ответственности). В интернете ошибки можно опровергнуть, но не стереть. А еще нужно учитывать, что существует новая теория заговора, и у нее имеются приверженцы.
Подавляющее большинство заявлений такого рода основаны только на проверке первых цифр. Такой тест никогда не бывает окончательным, а в некоторых случаях вообще ничего не значит. Необходимо сравнивать тенденции, проявившиеся на этих выборах, с теми, что наблюдались на предыдущих. Это делается редко.
Фанатичные блогеры также занимаются «добычей данных». На федеральных выборах и выборах штатов избиратели голосуют на нескольких тысячах участков. Проверьте достаточно большое количество участков, и вы обязательно наткнетесь на те, где статистика выглядит подозрительно. Они не подозрительны, если смотреть на общую картину, но именно общая картина ускользает от внимания фанатиков.
Идею проверки выборов посредством анализа цифр приписывают Александру Собянину. Он изучил коррупционные парламентские выборы 1993 г. в России, получившие печальную известность. Собянин предложил несколько статистических тестов. Один из них основывался на законе Бенфорда и все строились на допущении, что придуманные числа будут отличаться от аутентичных. Собянин утверждал: проверка выборов 1993 г. выявила подтасовки. Вывод этот по меньшей мере неопровержим. За этим последовали и другие подобные заявления. После выборов 2009 г. в Иране, когда президентом на второй срок был избран Махмуд Ахмадинеджад, Нигрини проанализировал результаты по участкам и обнаружил свидетельства фальсификации.
Недавняя статья Джозефа Декерта, Михаила Мягкова и Питера С. Ордешука называется «Неприменимость закона Бенфорда для выявления мошенничества на выборах» (The Irrelevance of Benford’s Law for Detecting Fraud in Elections). Авторы предупреждают, что у нас нет достаточного количества исследований, показывающих, насколько хорошо результаты честных выборов согласуются с законом Бенфорда. Один из неизвестных факторов – разница в размерах округов. Обычно предполагается, что избирательные комиссии делают округа приблизительно равными, избегая существенных различий. Если только нет тайных причин для манипуляций избирательными участками… Кто знает?
Представьте себе сельскую местность в штате Айова, где избирательные участки одинаковые – по 5000 избирателей на каждом. Это консервативный регион, предпочитающий Митта Ромни Бараку Обаме в соотношении 70 на 30 процентов. Ромни набирает в среднем 3500 голосов на каждом участке, а Обама 1500 – с небольшими вариациями. Первые цифры количества голосов на участке у Ромни будут 3, а у Обамы 1. Волшебный черный ящик зажигает красный сигнал! Но все в порядке. Просто мы анализируем регион, где распределение участков и политических предпочтений ровное, как кукурузное поле.
В этой ситуации результаты обоих кандидатов могут вызвать ложную тревогу. Еще большее беспокойство вызывают случаи, когда подозрения связаны только с одним из кандидатов. Довольно часто какой-либо кандидат в городских районах пользуется большей популярностью, чем в сельских (или наоборот). В таких ситуациях результаты одного из кандидатов лучше согласуются с законом Бенфорда, чем у другого.
Чтобы использовать распределение цифр для выявления мошенничества на выборах, необходимо понимать, как происходит мошенничество. В некоторых странах коррумпированные аппаратчики садятся и придумывают числа, а затем выдают их за результаты голосования на участках. В российских выборах результаты на многих участках бесстыдно круглые (оканчиваются на 0) – без каких-либо попыток скрыть обман. «Разумеется, мошенничество было, – говорит Владимир Шевчук, член избирательной комиссии Татарстана, о российских выборах 2000 г., – но одна из его причин – неэффективный механизм подсчета бюллетеней… Чтобы соблюсти процедуру, требуется не одна ночь, а больше. Люди смертельно устают и поэтому прибегают к уловкам».
В Америке мошенники могут зарегистрировать избирателей, взяв фамилии с местного кладбища, и этими голосами заполнить избирательные урны в пользу своего кандидата, или просто «потерять» бюллетени, поданные за соперника. Суммарное воздействие большинства фальсификаций определяется умножением результатов кандидата на коэффициент, зависящий от того, сколько голосов, по мнению фальсификаторов, нужно для победы. Это сложно определить с помощью закона Бенфорда. Одно из свойств закона в том, что можно умножить весь массив данных на любой коэффициент, и при этом числа по-прежнему будут соответствовать распределению Бенфорда.
Для выявления сфальсифицированных общих результатов больше подходят тесты последних цифр. Хотя маловероятно, что придумывать числа будет один человек. Если целая армия нечестных сотрудников избирательных комиссий придумает по одному числу каждый, то групповой эффект нивелирует любые персональные особенности. Придется оперировать лишь относительно универсальными характеристиками придуманных чисел.
Анализируя выборы 2012 г. в Нигерии, Бернд Бербер и Александра Скакко предложили исследовать сдвоенные последние цифры (00, 11, 22… 99). Как мы уже видели, они реже всего встречаются среди придуманных чисел, и это обстоятельство может послужить сигналом, предупреждающим о необходимости дальнейшей проверки.
Трудность анализа цифровых результатов выборов в том, что фанатиков зачастую не интересуют поиски истины. Они хотят, чтобы любая аномалия воспринималась как неопровержимое доказательство нечестности. Если последующее расследование не выявляет мошенничества, они все равно могут заявить о фальсификации, опираясь только на анализ цифр. К таким заявлениям следует относиться скептически.
Любой анализ цифр основан на допущении, что «плохие парни» о нем не знают. Пока это верно, но когда-нибудь ситуация изменится.
В прошлом лишь немногие криминалисты знали об отпечатках пальцев. Теперь даже самые тупые взломщики пользуются резиновыми перчатками. Есть множество способов противостоять анализу цифр, и они не очень сложны.
Нигрини оптимистично предположил: распространение знаний о законе Бенфорда может стать средством устрашения, подобно знанию об отпечатках пальцев и анализе ДНК. Тот, кто решится на мошенничество, должен будет спланировать искажение данных, а затем скорректировать числа так, чтобы они соответствовали распределению Бенфорда. Это дополнительная работа. Кроме того, корректировка данных уменьшит степень фальсификации или потребует дополнительных действий, а они-то выдадут мошенника – или то и другое вместе.
Проблема в том, что преступников не так просто испугать – на то они и преступники. Такие люди плохо представляют отдаленные последствия своих действий. Это палка о двух концах. Все видели полицейские сериалы, однако криминалистические методы остаются эффективными, поскольку большинство преступлений совершаются под влиянием эмоций, без планирования. Это справедливо и для многих финансовых и электоральных преступлений. Растратчик начинает красть потому, что проигрывает в Лас-Вегасе. Предприниматель «улучшает» бухгалтерский баланс перед встречей с инвестором. Правящая партия начинает жульничать в последнюю минуту, когда выясняется, что проигрыш возможен.
При любом применении анализа цифр полезно задать себе вопрос: какова вероятность, что лицо, предоставляющее данные, знает о законе Бенфорда, предполагает, что числа могут быть подвергнуты криминалистическому анализу, и обладает достаточной математической подготовкой, чтобы принять контрмеры.
• Вторые цифры финансовых данных могут помочь в выявлении манипуляции. Переходя границу круглого числа, манипулятор в качестве второй цифры относительно часто выбирает 0 и относительно редко 9.
• Если цель – не превысить круглое число, манипулятор в качестве второй цифры относительно часто выбирает 9 и относительно редко 0. Такое часто встречается в затратах на представительские расходы.
• Сам по себе анализ цифр не может ничего «доказать». Его ценность состоит в том, что он выявляет данные, заслуживающие дополнительной проверки опытным аудитором. Следует скептически относиться к заявлениям (например, о фальсификациях на выборах), основанным на проверке первых цифр с помощью закона Бенфорда.
13
Как распознать финансовые пирамиды
С 1970-х гг. до 2008 г. три старых сотрудника принадлежащей Бернарду Л. Мэдоффу компании Investment Securities – Дэвид Кугель, Аннет Бонджорно и Джоан Крупи – вели всю документацию. «Вместе с ними я создавал фиктивные биржевые торги, появлявшиеся в рекомендациях, которые консультанты по инвестициям давали клиенту», – признался Кугель федеральному судье. Фиктивные торги должны были соответствовать рентабельности инвестиций, а ее Мэдофф сам установил для каждого из клиентов. Это было управление активами из перевернутого мира. Вместо того чтобы высчитывать рентабельность торгов, Кугель и компания сочиняли торги, соответствующие нужной рентабельности.
Берни Мэдофф – если можно верить его словам – начинал совсем не так: «Я… был удачлив в самом начале, но через какое-то время заблудился и отказался признать поражение». Вскоре после этого Мэдофф начал выдумывать числа.
Управление активами основано на доверии. Как инвестору узнать, отражают ли представленные отчеты реальное положение дел? Стандартный совет – получше разобраться в людях и иметь дело только с доверенными менеджерами. Именно так и поступали клиенты Мэдоффа. Бегущая строка на сайте компании сообщала: «Клиенты знают, что Бернард Мэдофф лично заинтересован в безукоризненной оценке, добросовестном ведении сделок и высоких этических стандартах».
Другое эмпирическое правило – никогда не инвестировать в то, чего вы не понимаете. Чувства – это хорошо, но в сложном современном мире финансов нереалистично. Некоторые люди действительно «не понимают», что такое депозитный счет денежного рынка или индексный фонд. Значит, они должны держать деньги в матрасе? В любом случает тот, кто инвестирует средства с помощью творящего чудеса менеджера, не должен рассчитывать на исчерпывающее объяснение, как тот делает деньги. Это секретный рецепт.
Инвесторы Мэдоффа верили, что он добился рентабельности приблизительно 10 процентов в год, причем с низкой волатильностью и на протяжении нестабильного десятилетия. Несмотря на все, что вы слышали, нельзя сказать, что это слишком хорошо, чтобы быть правдой. Другие инвестиционные менеджеры добивались и лучших результатов.
Джим Симонс основал фонд Medallion за пару лет до Мэдоффа. С 1988 г. рентабельность Medallion составляла в среднем 45 процентов в год. Симонс – математик, нанимающий только математиков и других ученых, изолирующий их на северном берегу Лонг-Айленда, где они придумывают сверхсекретные торговые алгоритмы. Особенно больших успехов фонд добился при падении рынка. Лучшим годом для Medallion был 2000 г. – рентабельность 99 процентов. В 2008 г. Medallion заработал 80 процентов. «Когда все вокруг бегают, как курица с отрубленной головой, – говорил Симонс, – для нас это очень хорошо».
Симонс, как и всякий, рассчитывающий на такую рентабельность, не делится подробностями. Успешные хедж-фонды должны постоянно придумывать новые стратегии, поскольку старые уже воспроизведены конкурентами и исчерпали себя. Если раскрывать методы инвесторам, то секреты начнут утекать быстрее.
Характеристика этого бизнеса как черного ящика прекрасно иллюстрируется одним скандальным инцидентом. Университет Стоуни-Брук попросил Симонса, когда-то преподававшего там, порекомендовать хорошего менеджера для благотворительного фонда. Симонс познакомил руководство университета с… Берни Мэдоффом. Университет инвестировал средства с помощью Мэдоффа и потерял 5,4 миллиона долларов. Некоторые смотрели на показатели рентабельности Мэдоффа и верили им. Симонс знал, что они сфабрикованы.
Вероятно, данное правило следовало бы сформулировать иначе: никогда не инвестируйте в то, чего не понимают неспециалисты, больше, чем вы готовы потерять. Многие из жертв Мэдоффа нарушили это правило, доверив ему практически все свои активы. Одна из самых подозрительных черт в Мэдоффе – его откровенность. Он утверждал, что использует стратегию синтетических фьючерсов. Этот жаргон понятен профессионалам (хотя никто не может понять, как Мэдофф заставил стратегию работать так эффективно, как следовало из его заявлений). По крайней мере, некоторые клиенты получали отчеты, где якобы фигурировали все сделки. Это давало возможность вычислить систему Мэдоффа, если бы таковая существовала.
Как минимум один человек попытался. В 1991 г. Эда Торпа – менеджера хедж-фонда, и известного как изобретателя метода подсчета карт в игре блэкджек, – попросили высказаться по поводу инвестиций некой компании. Торп увидел, что рентабельность, обеспеченная Мэдоффом, просто фантастическая. Заинтересовавшись, он обратился к Мэдоффу за дополнительными подробностями сделок. Получив отчеты, быстро определил, что здесь что-то не так. 16 апреля 1991 г. Мэдофф якобы приобрел по поручению клиента 123 опциона Procter & Gamble. Торп выяснил, что в этот день торговались всего 20 опционов Procter & Gamble. В других случаях Мэдофф тоже утверждал, что купил или продал больше ценных бумаг, чем в тот день выставлялось на торги. Торп посоветовал клиенту забрать деньги.
Лучший способ проверить инвестиционного менеджера – иметь доверенного специалиста. Репутация Торпа, скорее всего, помогла ему получить нужную информацию о сделках.
Марк Нигрини утверждает: числа как таковые могли бы указать на мошенничество Мэдоффа или ему подобных. У Мэдоффа были как минимум две группы фальшивых чисел: ежемесячная рентабельность (очевидно, ее сочинял он сам) и фиктивные торги (придуманные его подчиненными). Торги фальсифицировали три человека, и они следили за тем, чтобы цены соответствовали реальным. Учитывая, что цены фиктивных сделок ограничены дневным диапазоном колебаний и предписанной рентабельностью, предсказать распределение цифр невозможно. Однако месячная рентабельность, вероятно, бралась непосредственно из головы Берни Мэдоффа. Рентабельность относится к тем показателям, которые любой менеджер, даже самый скрытный, обязан сообщать инвесторам.
По крайней мере в одном случае показатели рентабельности Мэдоффа были раскрыты – для инвестиционного фонда-донора Fairfield Sentry. Основанный в 1990 г. Уолтером Ноэлом и Джеффри Такером, фонд выводил Мэдоффа на глобальный рынок, предлагая «алгоритмическую технологию» Мэдоффа богатым организациям во всем мире (минимальные инвестиции 100 тысяч долларов). Abu Dhabi Investment Authority, JPMorgan Chase, Banco Bilbao Vizcaya Argentaria (Испания), Nomura Holdings (Япония) и многие швейцарские банки – все они приобрели кусочек волшебства Мэдоффа через фонд Fairfield Sentry.
В первый месяц (декабрь 1990 г.) Fairfield Sentry объявил о рентабельности 2,77 процента. Месячные показатели рентабельности публиковались вплоть до октября 2008 г., когда она составляла небольшую отрицательную величину, 0,06 процента. К тому времени активы фонда достигли 7 миллиардов долларов и превысили десятую часть всех активов под управлением Мэдоффа. Доллар, вложенный в Fairfield Sentry в декабре 1990 г., должен был превратиться в 6,04 доллара к октябрю 2008 г. – если бы вы смогли его забрать. Это означает среднюю рентабельность 10 процентов в год.
Еще более удивительным выглядит стабильность заявленной рентабельности. На графике показано, сколько стоил доллар, инвестированный в Fairfield Sentry, по сравнению с долларом, инвестированным в компанию из группы S & P 500. Рентабельность Fairfield Sentry оказалась стабильнее не только биржевого индекса, но и облигаций американского казначейства.
Мэдофф и S & P 500
Мэдофф знал о волатильности все. Но когда дело доходило до сочинения фиктивных чисел, он опирался на не отличающиеся рациональностью инстинкты, присущие всем людям. Очевидно, Мэдофф чувствовал потребность поддерживать месячную рентабельность близкой к объявленной им же средней. Только один раз (в январе и феврале 2003 г.) у него встречаются две отрицательные рентабельности подряд.
Взглянув на график, вы можете сказать, что рентабельность не бывает такой стабильной. В этом случае вы не доверите деньги Мэдоффу – и правильно сделаете. Инвесторов Fairfield Sentry (среди них были самые дальновидные банкиры мира) вряд ли назовешь наивными. Они понимали, что любой руководитель хедж-фонда заявляет, что умеет тем или иным способом ходить по воде. И полагали, что неестественно низкая волатильность Мэдоффа объяснялась особенностями его успешного алгоритма – каким бы тот ни был.
Все пошло наперекосяк в августе 2008 г. Компания JPMorgan Chase изъяла из фонда Fairfield Sentry 250 миллионов долларов. Официальная версия гласила, что они «были обеспокоены недостатком прозрачности». Тем временем Мэдофф и Fairfield Sentry создавали новый фонд. Он должен был увеличить количество заемных средств, чтобы достичь рентабельности 16 процентов. Fairfield Sentry якобы предупреждал инвесторов, что всякий, кто осмелится забрать деньги, и всякий, кто сделает глупость и не инвестирует в новый фонд, понесет суровое наказание: его лишат возможности вкладывать деньги в любой из будущих фондов Мэдоффа.
Мэдофф был арестован 11 декабря 2008 г.
Месячная рентабельность фонда Fairfield Sentry указывалась с точностью до сотых долей процента. Это означает, что в нашем распоряжении всего две или три значащие цифры. Округление уничтожает информацию (в данном случае это означает, что Мэдоффу не было нужды придумывать эту информацию). Несмотря на это, можно заметить, что месячная рентабельность Мэдоффа выглядит необычно.
Давайте начнем с первых цифр – теста, в котором закон Бенфорда проявляется нагляднее всего. Нигрини рекомендует пропускать отрицательные величины (или анализировать их отдельно), поскольку при фальсификации стоит задача минимизировать убытки. Я также исключил несколько случаев, когда числа оказывались меньше двух значащих цифр. Остается 190 величин, двух– и трехзначные положительные числа. Столбики гистограммы отображают реальное распределение цифр, а сплошная линия – идеальное распределение Бенфорда.
Первые цифры: рентабельность Fairfield Sentry
Сорок процентов показателей рентабельности начинаются с цифры 1. Это гораздо больше 30 процентов, предсказываемых законом Бенфорда. Цифры от 2 до 5 представлены недостаточно, а цифры 7 и 8 с избытком. Эти различия статистически значимы.
Мэдофф заявлял о рентабельности приблизительно 11 процентов в год. Значит, месячная рентабельность должна быть близка к 1 проценту. Эти числа были необыкновенно стабильны и никогда слишком сильно не отклонялись от среднего значения. Если принять все за чистую монету, то следует ожидать непропорциональной доли месяцев с рентабельностью в диапазоне от 0,70 до 1,99 процента. Это создаст избыток первых цифр 7, 8, 9 и 1, а также недостаток всех остальных.
Именно такую картину мы и наблюдаем – за одним-единственным исключением. Первая цифра 9 почти точно соответствует распределению Бенфорда. Это контрастирует с повышенной по сравнению с законом Бенфорда частотой появления последних цифр.
Наиболее вероятное объяснение – манипуляция. Подобно всем остальным, Мэдофф понимал, что рентабельность более 1,00 процента воспринимается как гораздо большая, чем например 0,99 процента. Месячная рентабельность, гипотетически начинающаяся с цифры 9, была повышена до >1,00+ процента. Другое правдоподобное объяснение придумать невозможно, даже если вы поверите утверждению Мэдоффа о фантастически низкой волатильности. По какой еще причине стабильная рентабельность будет перескакивать через числа, начинающиеся на 9?
Две последние цифры: рентабельность Fairfield Sentry
Теперь обратимся к двум последним цифрам месячной рентабельности. Гистограмма, иллюстрирующая распределение двух последних цифр, похожа на неровный штакетник с несколькими отсутствующими планками. Некоторые пары цифр встречаются гораздо чаще остальных. Самый высокий пик на гистограмме – 86. Такими были последние две цифры восьми показателей месячной рентабельности фонда Fairfield Sentry. Три пары встречаются по шесть раз: 14, 26 и 36.
Такая особенность наблюдается при неосознанном повторении придуманных чисел. Этот вывод становится еще более убедительным, если взглянуть на повторяющиеся пары цифр: 86, 14, 26 и 36. Все, кроме одной, оканчиваются на 6.
На самом деле девять пар последних цифр оканчиваются на 6, а всего они встречаются 33 раза. В два раза чаще, чем ожидается.
Рентабельность Fairfield Sentry также можно проверить при помощи тестов на сдвоенные последние цифры и на убывающие пары. При общем количестве 190 чисел следует ожидать приблизительно 19 сдвоенных цифр в качестве последних. В реальности их 24 – больше ожидаемого (не забывайте, что мошенники обычно избегают сдвоенных цифр). Единственное, что вызывает легкое подозрение, – пара 55, не любимая фальсификаторами, не встречается вообще.
Убывающих пар (10, 21, 32…) всего девять, и встречаются они 17 раз, что в точности соответствует ожиданиям.
Другими словами, показатели рентабельности Fairfield Sentry, похоже, были подправлены так, чтобы в большем числе месяцев превысить 1 процент. Подозрительным также выглядит большое количество чисел, оканчивающихся на 6 и 86. Два других признака придуманных чисел отсутствуют. В целом эти результаты не доказывают, что показатели рентабельности были придуманы, однако опубликованные числа доверия не внушают.
Как потенциальный инвестор вы в первую очередь должны решить, достаточно ли комфортно вы будете себя чувствовать, вкладывая деньги, а не доказывать, что Мэдофф мошенник. Если вы окажетесь в подобной ситуации, разумно будет попросить более подробные показатели рентабельности, с большим количеством значащих цифр. Такой запрос не несет в себе угрозы конфиденциальности в отношении алгоритмов торгов. Если менеджер ответит отказом, следует подумать, нужно ли доверять деньги тому, кто даже не хочет сообщить инвесторам точную цифру рентабельности.
Уже после скандала журналист CNBC раздобыл результаты партий в гольф, сыгранных Мэдоффом. Сам Мэдофф сообщал о 20 партиях в таких клубах, как Palm Beach Country Club, Atlantic Golf Club и Fresh Meadow Country Club. Счет отличался таким же необычным постоянством, как и рентабельность его инвестиций, причем три из 20 партий он завершил за 86 ударов.
• Финансовые мошенники могут фабриковать данные и манипулировать ими. Следует с недоверием относиться к любым числам, лишь немного превышающим психологически значимый порог.
• Тест двух последних цифр может выявить нечестных менеджеров, неосознанно отдающих предпочтение определенным парам цифр.
Часть вторая
Теория легкой руки
14
В зоне
Израильско-американский психолог Амос Тверски, имевший рост 5 футов 9 дюймов, был страстным поклонником баскетбола. Он смотрел матчи, активно болел и сам играл с друзьями, причем весьма агрессивно. «Он был грубым на площадке, – рассказывала мне жена Тверски Барбара. – Приходил домой весь побитый. Я говорила ему, что баскетбол – бесконтатный вид спорта!»
Будучи болельщиком, Тверски знал о теории легкой руки. Убеждение, что существуют победные серии, широко распространено среди баскетболистов, тренеров, спортивных комментаторов и болельщиков. Причем не простых победных серий, а предсказуемых. Якобы у игрока, сделавшего несколько результативных бросков подряд, «легкая рука», или он находится «в зоне». Значит, в следующий раз он с большей вероятностью попадет в корзину, чем промахнется.
Это логично. Удачные броски повышают уверенность в себе, что само по себе хорошо. Успех порождает успех. Теория легкой руки вплетена в рассуждения спортивного комментатора и влияет на игровую стратегию. Игроки стараются передать мяч удачливому товарищу по команде: у него больше шансов отправить мяч в корзину. Команда соперников, наоборот, старается прервать пасы игроку с легкой рукой и блокировать его броски.
Многие болельщики считают теорию легкой руки само собой разумеющейся и не требующей доказательств. Просто понаблюдайте немного за игрой, и вы увидите сами. Игроки, сами оказывавшиеся «в зоне», тоже не сомневаются. Первис Шорт из команды Golden State Warriors однажды сказал:
«Ты пребываешь в собственном мире. Это трудно описать. Но корзина кажется такой широкой. И что бы ты ни делал, ты знаешь, что мяч в нее попадет».
Когда предлагается предъявить доказательства, зануды-болельщики начинают сыпать примерами победных серий. 8 декабря 1992 г. Доминик Уилкинс из клуба Atlanta Hawks сделал 23 результативных броска подряд. 22 января 2006 г. Коби Брайант принес клубу Los Angeles 81 очко в игре против Toronto. Оба случая считаются самыми яркими примерами легкой руки.
Тверски вел в Стэнфорде семинар. Он рассматривал эксперименты по имитации случайности. Один из его студентов, Томас Гилович, предложил выполнить исследование эффекта легкой руки. Он считал, что некая связь существует. Учитывая, что людям трудно придумывать случайные последовательности, можно предположить, что они также плохо понимают события, близкие к случайным, например, баскетбольные броски. Гилович предположил, что болельщики преувеличивают значение легкой руки.
«Я пошел к Амосу, чтобы поговорить об этом, – рассказывал Гилович, – и с удивлением обнаружил, что он заинтересовался». Однако Тверски настаивал, что полосы удач не существует. Это миф! В игре больше случайности, чем полагают болельщики.
«Он сказал, что по-настоящему проверить это нельзя, поскольку невозможно получить достаточно данных, – вспоминал Гилович. – За год, проведенный в Гарварде, он собрал лишь небольшой массив данных. И тогда я сказал, что смогу собрать достаточно информации, чтобы проверить эту идею».
Для этого Гиловичу требовалась полная запись попаданий и промахов, причем в их реальной последовательности. В то время только один клуб НБА вел такую статистику – Philadelphia 76ers. Их педантичный статистик Харви Поллак предоставил записи, и идея Гиловича легла в основу статьи. Другой студент, Роберт Валлоне, вызвался помочь со статистикой. Гилович, Валлоне и Тверски опубликовали результаты работы в журнале Cognitive Psychology в статье под названием «Легкая рука в баскетболе: О неправильном восприятии случайных последовательностей» (The Hot Hand in Basketball: On the Misperception of Random Sequences). Она вызвала споры, не утихающие до сих пор.
Статья посвящена не только баскетболу. Спорт становится поводом для обсуждения того, как наш мозг воспринимает окружающую смесь предсказуемого и случайного. Три автора с разных точек зрения анализируют теорию легкой руки. Они провели опрос среди игроков НБА и болельщиков из студенческой среды, спрашивая, повышается ли после удачного броска вероятность того, что игрок не промахнется и в следующий раз. Подавляющее большинство ответили утвердительно. Исследователи изучили записи бросков клубов Philadelphia 76ers и Boston Celtics (у них были данные бросков из-за трехочковой линии) и подвергли их статистическому анализу. Они также провели эксперименты с трехочковыми бросками среди мужских и женских команд Корнеллского университета, предлагая добровольцам делать ставки на легкую руку.
Во всех случаях свидетельств эффекта легкой руки обнаружено не было. Все верили в свою способность предсказать то, что на самом деле непредсказуемо (и ставили деньги).
В статье проводится важное разграничение между легкой рукой и полосой удач. Совершенно очевидно, что бывают случаи, когда игрок совершает необычно большое число метких бросков подряд благодаря – за неимением лучшего слова – удаче. Аналогичные полосы везения случаются в рулетке, в игре в кости и в лотерее. Разумные люди соглашаются: везение в рулетке непредсказуемо и зависит только от удачи.
Точно такое же разграничение психологи проводят между легкой рукой и талантом. Не подлежит сомнению, что одни спортсмены лучше играют в баскетбол, чем другие. Игрок с поставленным броском имеет больше шансов попасть в кольцо несколько раз подряд. Джулиус Ирвинг, бывшая звезда баскетбола, 52 процента всех очков набрал в сезоне 1981–82 гг. Можно сравнить это с результатом подбрасывания монетки со смещенным центром тяжести, с вероятностью выпадения орла 52 процента. Будет ли у доктора Джулиуса победных серий больше, чем серий орлов при подбрасывании монеты, и будут ли они длиннее? Если да, то это свидетельствует в пользу теории легкой руки. Иначе можно предположить, что победные серии Ирвинга – лишь проявление обычной случайности.
Исследования подтвердили последнее. Талант игрока определял общую вероятность попадания мяча в корзину, однако победные серии оказались не длиннее, чем можно было бы ожидать от случайности.
Вполне возможно, что игроки другой команды прилагали больше усилий для блокирования меткого баскетболиста, поскольку верили в легкую руку. Это может скомпенсировать эффект, который существует на самом деле. Чтобы проверить такую возможность, группа Гиловича организовала трехочковые броски среди команд Корнеллского университета. Соперники в данном случае отсутствовали, и никакая стратегия не вносила искажений в результат. Это был чистый тест теории легкой руки, и результат его оказался точно таким же. Легкая рука – иллюзия.
Тренер команды Celtics Ред Ауэобах был знаменит тем, что мог предсказать исход матча в середине игры. Убежденный, что его команда вышла на непобедимую серию, он закуривал сигару. Когда ему рассказали о статье, посвященной легкой руке, Ауэрбах спросил: «Да кто он такой? Ну, провел исследование, а мне какая разница?».
«В бросках по кольцу в баскетболе важно столько факторов, – говорил Бобби Найт, тренер Indiana Hoosiers, – что подобные статьи абсолютно ничего не значат».
Спортивный комментатор NCAA Билли Паркер посоветовал статистику «познакомиться с реальной жизнью».
С тех пор теория легкой руки подробно рассматривалась в литературе по психологии и статистике, в посвященных баскетболу блогах, в спортбарах, а иногда и в СМИ. Большое количество исследований подтвердили выводы GVT (аббревиатура фамилий Гиловича, Валлоне и Тверски). В 2011 г. вышла статья Тэла Неймана и Йонатана Левенштейна из Иерусалимского университета. Они анализировали броски с игры в мужской и женской американских баскетбольных лигах. Игрок, пытающийся забросить мяч в корзину с игры, может сделать это из двух зон, двухочковой и трехочковой; второй вариант сложнее. Решение зависит от уверенности в себе. Исследование показало: профессиональные баскетболисты после удачного трехочкового броска с большей вероятностью повторяли попытку. Возможно, верили в легкую руку. Коби Брайант, названный в сезоне 2007–08 гг. самым ценным игроком, после успешного трехочкового решался на следующий такой же бросок почти в четыре раза чаще, чем после промаха.
Но Брайант, подобно всем остальным, совершал ошибку, руководствуясь результатами своих действий. Нейман и Левенштейн показали, что вероятность меткого трехочкового броска после попадания в кольцо чуть меньше, чем после промаха – 36 процентов против 38 процентов.
Исследователи также обнаружили, что у игроков короткая память. Решение о попытке трехочкового броска принималось в основном по результатам последнего попадания. Предпоследний удачный бросок оказывал уже меньшее влияние, а всё, что произошло раньше, в буквальном смысле забывалось и никак не влияло на принятие решения. Выбор игроков НБА относительно броска был так же предсказуем, как выбор людей, игравших с машиной для предсказаний.
Вера в легкую руку (или ее отрицание) присутствует и во многих других видах спорта. Для этого даже придумали общий термин – серийность. Существует представление о большей, чем для случайных явлений, вероятности выигрышных или проигрышных серий в бейсболе, футболе, теннисе и гольфе – а если точнее, то в любом виде спорта, где ведется статистика. Серии применимы к отдельным игрокам и победным играм или сезонам; о сериях также говорят применительно к скачкам и собачьим бегам.
В настоящее время не подлежит сомнению, что легкая рука не всегда миф. По-настоящему легкая рука, похоже, проявлется в боулинге. Если игрок сбивает все десять кеглей первым броском (страйк), то получает десять очков плюс количество кеглей, сбитых за два последующих броска. Такая система мотивирует игрока стараться изо всех сил после страйка – и это помогает. Накопленные данные показывают: игроки в боулинг, осваивающие страйк, с немного большей вероятностью повторяют его или делают спэр (выбивают десять кеглей за два удара).
Существуют также свидетельства серийности в некоторых соревнованиях. Победа в теннисном матче требует выигрыша двух из трех сетов. Игрок, выигравший первый сет, может прибегнуть к прессингу по всему корту (если можно так выразиться), чтобы добиться победы на втором. То же самое относится к профессиональным гольфистам, когда от квалификации на вожделенный чемпионат их отделяют одна или две игры. Эффект легкой руки существует в индивидуальных видах спорта, где система отсчета поощряет следующие друг за другом победы. Командные виды спорта в большей степени случайны, и в них слишком много переменных, недоступных контролю отдельного человека.
Но сказанное не меняет ситуации: болельщики настроены видеть серийность там, где ее нет. Благодаря вирусному распространению через интернет вера в легкую руку в настоящее время только усилилась. Охваченные этой страстью блогеры по-прежнему яростно нападают на статью Гиловича, Валлоне и Тверски, написанную несколько десятилетий назад. «Когда вся ваша жизнь убеждает вас в чем-то, и вы на самом деле испытываете это, а затем вам говорят противоположное, то вы сопротивляетесь, – объяснял Гилович. – Я не имею в виду, что люди, верящие в легкую руку, подобны тем, кто считает, что земля плоская, но когда человек впервые заявил, что земля не плоская, это выглядело безумием».
Идея легкой руки – следствие непонимания природы ситуации, проявляющейся в экспериментах по имитации случайности. На самом деле группа Гиловича выполнила именно такой эксперимент, только новой разновидности. Они показали испытуемым последовательности из значков Х и О, и попросили определить, какая из них случайная, а какая нет. Участникам эксперимента также предлагалась легенда, что последовательности представляли собой запись попаданий и промахов при бросках в кольцо в баскетболе. Обе воспринимались как реальные данные.
Чтобы вы почувствовали это на собственном опыте, приведу пример полоски из белых и черных квадратов (ее легче воспринимать визуально, чем буквы). Представьте, что черные квадраты – это меткие броски в баскетбольную корзину, а белые – промахи:
В 1985 г. большинство людей согласились, что подобные последовательности случайны.
Это неудивительно – как и то, что они ошиблись. Вот как выглядит случайная последовательность:
В ней меньше чередований черного и белого, а также более длинные серии одного цвета, чем на первой диаграмме.
Суть случайности – непредсказуемость. Если вы – и все остальные – не в состоянии угадать, что будет дальше, значит, это случайное явление. Примером случайности может служить подбрасывание монеты. Вторая диаграмма представляет собой результат подбрасывания монеты 50 раз, где черные квадраты обозначают орла, а белые решку. Вероятность того, что за белым квадратом последует черный (или наоборот) составляет 50 процентов.
Но когда группа Гиловича показала испытуемым эту случайную последовательность, только 32 процента признали ее случайной. Большинство были убеждены, что ряды одинаковых символов слишком длинные, чтобы считать их совпадением. Это позволяет предположить, что легкая рука не просто спортивный миф, а универсальная иллюзия.
Психологи протестировали последовательности, в которых вероятность чередования составляла 40, 50, 60, 70, 80 и 90 процентов. Ощущение случайности было наибольшим при частоте чередований 70 или 80 процентов. В первой из приведенных выше диаграмм она составляет 75 процентов; это вероятность того, что за белым квадратом последует черный, и наоборот.
И только когда вероятность чередования увеличивается до 90 процентов, большинство людей считают, что чередование слишком ритмично, чтобы быть случайным. Вот пример последовательности с уровнем чередования 90 процентов:
Это почти идеальная последовательность черного и белого. Встречается только два повторения одного и того же цвета подряд, причем длина – всего два квадрата.
Как и во всех других случаях, фокусники использовали эти идеи задолго до того, как о них написали психологи. Иллюзионисты давно знали, что честно перетасованная колода карт рискует показаться зрителям не случайной. В ней обязательно попадутся «подозрительные» группы похожих карт, например, четыре картинки подряд. Статистику это не покажется странным – в отличие от обычного человека.
В некоторых фокусах используется колода, выглядящая лучше, чем действительно перетасованная. Карточный аналог последовательностей с избытком чередования, нами они воспринимаются как случайные. В так называемой раскладке Си Стеббинса карты чередуются в строгом порядке: черная-красная-черная-красная-черная-красная. Масти во всей колоде тоже разложены не случайно: трефы-червы-пики-бубны. Значения следуют в таком порядке: Т–4–7–10–K–3–6–9–Д–2–5–8–В. Может сложиться впечатление, что эти закономерности взяты с потолка. Ничего подобного. Колода только выглядит случайной.
Раскладку Стеббинса запомнить просто, и в этом суть. Фокусник, видящий нижнюю карту снятой колоды, мгновенно вычисляет следующую… а она становится верхней картой вновь сложенной и выровненной колоды. При желании он может назвать эту карту, а также любую другую карту в колоде.
В большинстве случаев мы очень хорошо умеем обманывать сами себя. Поняв, что «легкая рука» – иллюзия, мы начинаем видеть ее примеры повсюду. Многие пользователи iPod жалуются, что функция воспроизведения в случайном порядке работает не так, как должна. Это не может быть случайным – только что плеер проиграл четыре песни Лил Уэйн подряд! Но такие серии должны встречаться. Дефект не в программе, а у нас в голове.
Расписание автобусов на оживленных улицах Манхэттена почти ничего не означает, потому что из-за плотного потока транспорта и многочисленных светофоров автобусы приходят практически в случайном порядке. Однако график движения совсем не выглядит случайным. Создается впечатление, что ты ждешь автобуса 20 минут, а затем сразу приходят два или три подряд.
Специалист по когнитивной психологии Стивен Пинкер сообщает об эксперименте. Добровольцы должны нажимать кнопку, услышав звуковой сигнал. Участники эксперимента знали, что сигналы будут поступать в случайном порядке. Они жаловались, что машина неисправна: «Сигналы приходят пачками. Вот так: бип-бип-бип-бип-бип… бип… бип-бип… бип-бип-бип-бип-бип». Они не понимали, как выглядит случайность, объясняет Пинкер.
Когда легкая рука проявляется в двух или трех пространственных измерениях, а не только в одном, временном, это называется иллюзией кластеризации. Во время воздушных налетов на Лондон ходили слухи, что немецкие бомбы не попадают в кварталы, где живут нацистские шпионы. Карты показывали группы попаданий в одни районы и ни одного попадания в другие. Британская разведка восприняла эти слухи достаточно серьезно, разделила карту Лондона на квадраты и тщательно следила, куда падают бомбы. В результате они пришли к выводу, что бомбы действительно падают случайно. Статистик Уильям Феллер заметил: «Нетренированному глазу случайность видится как регулярность или тенденция к образованию групп». Многие отказывались верить. Как спрашивал Чико Маркс[17]: «Ты веришь мне или своим глазам?»
На первый взгляд вера в легкую руку противоречит более известному «заблуждению игрока». 18 августа 1913 г. в казино Монте-Карло «черное» выпало 26 раз подряд. Примерно после 15-го раза об этом стало известно всем посетителям. Игроки побросали карты и игральные кости, и у стола с рулеткой собралась целая толпа. Большинство желали поставить на «красное». Они верили, что после стольких «черных» подряд вероятность того, что в следующий раз выпадет «красное», выше обычной. Когда это убеждение опровергалось – после того, как вслед за остановкой колеса в очередной раз выпадало «черное» – многие удваивали ставку, убежденные, что в следующий раз вероятность «красного» еще выше.
Заблуждение игрока – это вера, что случайный результат, не выпавший в прошлом, с большей вероятностью случится в ближайшем будущем. Это обоснованное заблуждение («я давно уже должен выиграть!» – думает каждый неудачник), но все-таки заблуждение, побуждающее неудачников продолжать игру, не учась на ошибках. Будь у любителей азартных игр хотя бы инстинкт самосохранения, как у крыс, преодолевающих лабиринт, они бы поняли: когда я играю, ничего хорошего не происходит. Вместо этого они продолжают делать ставки и в ответ на проигрыш могут даже поднимать их. К сожалению, колесо рулетки не может знать, что именно эти люди должны выиграть. Шансы остаются прежними.
Вполне возможно, что вы уже запутались. Создается впечатление, что я утверждаю: люди верят в продолжение победных серий… за исключением случаев, когда они верят в прямо противоположное. Ничего подобного. Заблуждение игрока и теория легкой руки – две стороны одной медали. И то, и другое – следствие «закона малых чисел».
Это полушутливое правило сформулировали в 1971 г. Амос Тверски и Дэниел Канеман. Оно гласит:
«Интуиция людей относительно случайной выборки, похоже, подчиняется закону малых чисел, гласящему, что закон больших чисел также применим и к малым».
Чтобы понять его смысл и оценить шутку, нужно знать, что такое «закон больших чисел». Это одна из главных формул вероятности. Когда я подбрасываю монету, то орел и решка не обязательно выпадут одинаковое число раз. Для этого потребуется очень длинный случайный процесс. Но если я бросаю монету большое количество раз, то пропорция орлов приближается к ожидаемой величине (50 процентов).
Закон больших чисел утверждает, что от очень маленькой выборки нельзя ожидать, что она будет отражать процесс в целом. Мы все об этом знаем и иногда шутим на эту тему (даже неспециалисты). Средняя американская семья состоит из 2,6 человека. Но кто мог бы себе представить такое в реальности?
Закон малых чисел Тверски и Канемана применим в области психологии. Он гласит, что мы безосновательно ждем от маленькой выборки отражения реальной ситуации. Если подбросить монету десять раз, то закон больших чисел свидетельствует о возможности получить смещенный результат, например, семь решек и три орла. Но люди думают иначе. Покажите им монетку, на их глазах семь раз из десяти упавшую решкой вверх, и большинство скажет, что с монетой что-то не так.
Я не утверждаю, что монета не может быть дефектной. Если из 1000 раз 700 выпал орел, то у монеты почти наверняка смещен центр тяжести. Но в семи из десяти нет ничего подозрительного, даже если это единственные данные.
Другими словами, мы ждем, что маленькая выборка будет похожа на персонажей телевизионного реалити-шоу: один увалень, одна глупая блондинка, один гей, один черный, один азиат и так далее. Они должны «представлять всю Америку». Но в так называемых реалити-шоу это делается намеренно. Случайная выборка из всего населения страны может оказаться смещенной в ту или иную сторону.
В статье, посвященной эффекту легкой руки, предлагается единая теория, описывающая как легкую руку, так и заблуждение игрока. Гилович, Валлоне и Тверски писали:
«Итак, представление о случайности, основанное на репрезентативности, лежит в основе двух связанных между собой предубеждений. Во-первых, оно порождает веру, что после длинной серии решек вероятность орлов выше – это знаменитое заблуждение игрока… Во-вторых, оно побуждает людей отрицать случайность последовательностей, содержащих ожидаемое число вариантов, поскольку даже, к примеру, четыре орла подряд – что вполне вероятно для последовательности из 20 бросков монеты – придают последовательности нерепрезентативный вид».
Что заставляет людей переходить от заблуждения игрока к теории легкой руки и наоборот? Столкнувшись с тем, что считается механическим и не подлежащим контролю со стороны человека, мы впадаем в заблуждение игрока. Но если задействована воля человека, мы предпочитаем верить в легкую руку.
Любитель азартных игр признает непредсказуемость маленького шарика, катящегося по колесу рулетки. И одновременно он верит в закон малых чисел. Единственный способ примирить эти два убеждения – вообразить Госпожу Удачу, притормаживающую колесо рулетки, чтобы после череды черных выпало красное, просто ради того, чтобы уравнять шансы. Это заблуждение игрока.
И наоборот, у баскетбольного болельщика нет причин верить в случайность игры. Ее ход определяется мастерством, стратегией и достижениями спортивной медицины (помимо удачи). Когда у игрока победная серия, нерепрезентативная в долговременном плане, просто поверить в загадочный эффект легкой руки.
В человеческой жизни вера в легкую руку, вероятно, играет большую роль, чем заблуждение игрока. Заблуждение игрока – это вера наивных людей, относящаяся в основном к оборудованию для азартных игр. Более информированные читатели могут презрительно фыркнуть при упоминании Госпожи Удачи, манипулирующей картами и игральными костями. Теория легкой руки применяется в отношении действий человека. И совсем не очевидно, что вера в легкую руку не имеет под собой оснований – и в баскетболе, и во всем остальном. Гилович не знал о ложности этого представления, пока не занялся исследованиями. Умные люди могут верить в легкую руку и на основании этой веры принимать важные решения.
Вы слыхали об оптимисте, падавшем с Empire State Building? Пролетев 50 этажей, он сообщил: «Пока все хорошо!»
Эта шутка может послужить хорошим введением к понятию эвристики репрезентативности. Канеман и Тверски придумали этот термин для описания тенденции верить, что ограниченный опыт отражает общую картину (эвристикой называют творческое, интуитивное мышление). Оптимист из шутки не имеет опыта падения с небоскребов, но уверен, что его короткий полет – пролетел 50 этажей целый и невредимый! – отражает уготованную ему судьбу.
Однажды Канеман и Тверски стали в шутку предсказывать будущую профессию маленьких детей своих знакомых. Бойко болтающий трехлетний малыш, говорили они, станет адвокатом, когда вырастет. Они понимали, что делают необоснованные предсказания, опираясь на недостаточные данные. К их немалому удивлению, окружающие соглашались относительно будущего каждого ребенка. Проанализировав это явление, Канеман и Тверски поняли, что их слова всего-навсего соответствовали стереотипам. Разговорчивый ребенок отражает стереотип об адвокате, и это верифицирует прогноз.
Но что в этом плохого? Ничего, пока вы принимаете предсказание за то, что оно есть на самом деле – за догадку, вряд ли верную, поскольку профессий множество и адвокатов среди взрослого населения страны сравнительно немного.
В известной статье, написанной в 1972 г., Канеман и Тверски утверждали: мноие наши неформальные оценки вероятности основываются на репрезентативности. Они исследовали поведение людей, описывая гипотетические ситуации и предлагая оценить вероятность. Выяснилось, что люди ошибаются одинаково.
Читать бесплатно другие книги:
