Игра в имитацию Ходжес Эндрю

На этом этапе разные ученые-математики стали применять различные подходы. Среди них существовала точка зрения, что изучение аксиом арифметики является само по себе абсурдным занятием, ведь в математике нет ничего более примитивного, чем целые числа. С другой стороны, можно было, конечно, поставить вопрос, существует ли некоторое выражение сути фундаментальных свойств целых чисел, из которой могут быть выведены остальные. В своих исследованиях Дедекинд рассматривал и этот вопрос и в 1888 году доказал, что вся арифметика берет свое начало из трех основных идей: 1 есть число; если n есть число, то и n+1 тоже есть число; принцип индукции позволяет сформулировать подобные утверждения для всех чисел. При желании эти идеи могут быть представлены, как абстрактные аксиомы в духе «столов, стульев и пивных кружек», на которых может быть построена вся теория чисел, не ставя вопрос, какое значение несут символы «1» или «+». Год спустя, в 1889 году, итальянский математик Джузеппе Пеано представил эти аксиомы в более привычной для современной математики форме.

В 1900 году Гильберт приветствовал новый век, поставив перед миром математических наук семнадцать нерешенных проблем. Вторая из них заключалась в доказательстве последовательности «аксиом Пеано», от которого, как он показал, зависела строгость математических дисциплин. Ключевым словом было «последовательность». Так, в арифметике ранее были известны теоремы, доказательство которых требовало выполнения тысячи математических операций, к примеру, теорема Гаусса, которая объясняет, что каждое целое число может быть представлено в виде суммы четырёх квадратов. Тогда как можно быть уверенным наверняка, что не существует подобной длинной последовательности выводов, которая бы привела к противоположному результату? В чем же найти то основание для веры в подобные математические суждения о всех числах, если они не поддаются проверке? И как абстрактные правила игры Пеано, по которым символы «1» и «+» не несут в себе исходного смысла, могут гарантировать свободу математики от противоречий? Эйнштейн сомневался относительно законов движения. Гильберт сомневался даже в утверждении, что дважды два равняется четырём — или по крайней мере сказал, что на то должна быть причина.

Первая попытка ответить на этот вопрос была предпринята в работе Готлоба Фреге «Основы арифметики: логически-математическое исследование о понятии числа», опубликованной в 1884 году. В ней ученый выразил свой логистический взгляд на математику, по которому законы арифметики выводились при помощи логический связей между объектами окружающего мира, а ее последовательность подтверждалась миром реальных вещей. С точки зрения Фреге, «1» обозначало нечто конкретное, а именно предмет окружающего мира: «один стол», «один стул», «одна пивная кружка». Таким образом, утверждение «2 + 2 = 4» должно было соответствовать тому факту, что, если добавить два предмета к уже имеющимся двум предметам, в результате и в совокупности мы получим четыре предмета. Цель работы Фреге заключалась в том, чтобы рассмотреть отвлечённо такие понятия, как «любой», «предмет», «другой» и так далее, и затем на их основе построить теорию, по которой законы арифметики могли быть выведены из наиболее простых идей существования.

Однако, в этой работе Фреге опередил Бертран Рассел, который занимался изучением похожей теории. В своей теории типов ему удалось конкретизировать идеи Фреге, сформулировав понятие «класса» как логическое понятие. Суть его теории состояла в том, что некоторое множество, содержащее в себе один лишь предмет, могло быть определено тем свойством, что при извлечении этого предмета из множества, предмет будет тем же самым. Такая идея позволяла описывать исключительность с точки зрения единообразия или равенства. Но тогда и равенство могло определяться с точки зрения удовлетворения того же самого ряда утверждений. Таким образом, понятие числа и аксиомы арифметики, как оказалось, могли быть выведены из самых простых идей об объектах, утверждениях и пропозициях.

К сожалению, на деле все обстояло не так просто. Рассел стремился определить множество с одним элементом при помощи идеи равенства, не используя при этом понятие вычисления. Тогда он смог бы определить число «один», как «множество всех множеств с одним элементом». Но уже в 1901 году Рассел заметил логические противоречия, возникающие при попытке использовать понятие «множества всех множеств».

Сложность заключалась в возможном возникновении ссылающихся на самих себя, внутренне противоречивых утверждений, например: «Это утверждение ложно». Подобная проблема возникла в теории множеств, которую разработал немецкий математик Георг Кантор. Рассел заметил, что аналогичный парадоксу Канора возникает и в его теории типов. Тогда он выделил два вида «классов»: множества, которые не содержат сами себя в качестве подмножества, и множества, которые содержат сами себя в качестве подмножества. С точки зрения Рассела, «в обычном понимании класс не является членом самого себя; человечество, например, не является человеком». Но множество абстрактных понятий или множество всех множеств могут иметь подобное свойство. Получившемуся парадоксу Рассел попытался дать следующее объяснение:

Предположим, что существует множество всех собственных множеств, которые не содержат себя в качестве подмножества. Представим одно из таких множеств: является ли оно подмножеством самого себя? В случае, если оно является подмножеством самого себя, значит, оно относится к тем множествам, которые не содержат себя в качестве подмножества, то есть оно не является подмножеством себя. В случае, если оно не является подмножеством самого себя, значит, оно относится к тем множествам, которые не содержат себя в качестве подмножества, то есть оно является подмножеством себя. Таким образом, в каждом из двух предположений — что оно является и не является подмножеством самого себя — возникает противоречие относительно другого предположения. В этом и состоит суть парадокса.

Такой парадокс не поддавался решению при попытках понять его истинный смысл. Философы могли обсуждать парадокс сколько им было угодно, но все их обсуждения не относились к делу, которым занимались Фреге и Рассел. Вся эта теория была создана с целью вывести арифметические законы из наиболее простых логических допущений при помощи автоматического, не допускающего двойного толкования, деперсонализированного метода. Независимо от истинного смысла парадокса Рассела, он представлял собой лишь последовательность символов, которые, согласно установленным правилам игры, неумолимо ведут к внутреннему противоречию всей последовательности. В этом и заключалось главное бедствие. В любой чисто логической системе не существовало возможности для какого бы то ни было несоответствия. Если бы в результате логических рассуждений было выведено утверждение «2 + 2 = 5», за ним последовал бы вывод, что «4 = 5» и «0 = 1», а значит любое число было бы равно нулю и любое утверждение было бы тождественно «0 = 0» и таким образом являлось бы истинным. Поэтому в условиях подобной игры математика должна была представлять собой нечто, полностью лишенное внутренних противоречий, иначе она теряла свой смысл.

Десять лет ушло на попытки Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда устранить этот дефект. Существенная трудность заключалась в том, что внутренним противоречием обладала и попытка назвать любой набор объектов «множеством». Понятие требовало более точного определения. И хотя парадокс Рассела был не единственной проблемой, возникшей в теории типов, только ему была посвящена значительная часть совместной работы учёных «Principia Mathematica», в которой Рассел и Уайтхед стремились показать, что вся математика сводится к логике с помощью набора аксиом и нескольких основных понятий, то есть обосновать логицизм. Для этого была введена иерархия различных видов множеств, которые были названы «типами». Формальные объекты этой иерархии разделяются на типы: объекты, множества объектов, множества множеств, множества множеств множеств и так далее. В рамках разработанной теории типов теперь было невозможно сформулировать понятие «множества всех множеств». Между тем, такой подход значительно усложнил теорию, сделав её на порядок более сложной, чем система счисления, принципы которой она и должна была подтвердить. Оставалось неясным, являлась ли теория типов единственным полем для разработки идей о множествах и числах, пока к 1930 году не были разработаны альтернативные системы, автором одной из которых являлся фон Нейман.

На первый взгляд безобидное требование доказательства полноты и последовательности математики открыло для научного сообщество настоящий ящик Пандоры, полный проблем. В одном смысле, математические суждения казались верными, как ничто другое; в другом, они представлялись не больше чем символами на бумаге, которые при попытках объяснить их смысл приводили к непостижимым разумом парадоксам.

Как и в саду Зазеркалья путь к самой сути математики вел в чащу замысловатой специальной терминологии. Подобное отсутствие какой бы то ни было связи между математическими символами и миром физических объектов очаровывало пытливый ум Алана. В конце предисловия к своей работе «Введение в математическую философию» Б. Рассел написал: «Здесь, однако, с точки зрения дальнейших исследований, как и везде, метод более важен, чем результаты, а метод не может быть объяснен в достаточной мере в рамках этой книги. Остается надеяться, что некоторые читатели заинтересуются настолько, чтобы продолжить изучение метода, которым математическая логика помогает прояснить традиционные проблемы философии». Таким образом, можно считать, что книга выполнила свое истинное предназначение с точки зрения автора, поскольку Алан всерьёз заинтересовался проблемой теории типов, а в более широком смысле столкнулся с вопросом, который волновал прокуратора Иудеи Понтия Пилата: «Что есть истина?».

Кеннет Харрисон был также знаком с некоторыми идеями Рассела, и они с Аланом могли провести несколько часов, обсуждая их. Однако, к неудовольствию Алана, его товарищ не мог не задаваться вопросом: «Но какая же польза от всего этого?». На что Алан, возможно, с радостным тоном в голосе отвечал, что, разумеется, никакой пользы в этом нет. И скорее всего, вскоре он нашел более увлечённых собеседников, поскольку осенью 1933 года он был приглашен на еженедельное вечернее заседание Клуба Моральных Наук, чтобы прочитать свою работу. Честь быть приглашенным на подобное заседание редко выпадала на долю кого-то из студентов, и уж тем более тех, кто не учился на факультете Моральных Наук, как раньше называли факультет философии и сопутствующих дисциплин в Кембридже. Подобная перспектива выступить перед лучшими специалистами в области философии могла вызвать некоторое беспокойство у Алана, тем не менее в письме к матери он сообщил об этом со своим привычным невозмутимым тоном:

26 ноября 1933 года

… мне предстоит представить свою работу на заседании Клуба Моральных Наук в эту пятницу. Работа некоторым образом связана с философией математики. Надеюсь, они узнают для себя много нового по этой теме.

В протоколе заседания Клуба Моральных Наук от 1 декабря 1933 года, в пятницу было отмечено:

Шестое заседание осеннего триместра было проведено в комнатах мистера Тьюринга в Кингз-Колледже. А.М. Тьюринг представил членам клуба свою работу под названием «Математика и логика». В ней он выдвинул свое предположение, что чисто логистическое представление математики не соответствует ее требованиям; и что математические суждения обладают множеством интерпретаций, и логистическое высказывание является лишь одной из них. После следовало обсуждение.

Р. Б. Брейтуэйт (подпись).

Ричард Брейтуэйт, выпускник философского факультета, являлся одним из молодых членов совета Кингз-Колледжа, и скорее всего именно по его рекомендации Алан получил приглашение на заседание клуба. Вне всяких сомнений к концу 1933 года Алан Тьюринг с головой погрузился в работу, пытаясь одновременно решить два вопроса чрезвычайной сложности. И в области квантовой физики, и в области чистой математики, задача состояла в том, чтобы установить связь между миром абстрактного представления и физическим миром, между символом и объектом.

Долгое время немецкие математики находились в самом центре мира научных исследований, как в области математики, так и в сферах остальных научных дисциплинах. Но уже к концу 1933 года от центра научного мира остались лишь руины, когда атмосфера в Геттингенском университете радикально изменилась. Здесь следует отметить, что Геттингенская математическая школа — это, в первую очередь, школа Гильберта. Его научные интересы охватывали практически всю математику: теорию чисел, алгебру, функциональный анализ, геометрию, логику. В каждой из этих областей он получил выдающиеся результаты. И именно школа Гильберта понесла при нацизме наибольшие потери. Джон фон Нейман был вынужден уехать в Америку, и после никогда оттуда не возвращался, другие математики прибыли в Кембридж. «Несколько выдающихся немецких ученых еврейского происхождения должны прибыть в Кембридж в этом году», — писал Алан в письме от 16 октября. — «По крайней мере двое из них точно будут числиться на факультете математики, а именно — Борн и Курант». Отсюда можно предположить, что он посещал курс лекций по квантовой механике, которые профессора Борн читал в том же семестре, или лекции по дифференциальным уравнениям, которые читал Курант в следующем семестре. Вскоре Борн переехал в Эдинбург, Шрёдингер обосновался в Оксфорде, но для большинства ученых Америка все же представлялась более доброжелательной и открытой для научных эмигрантов страной, нежели чем Великобритания. Новый Институт перспективных исследований, тесно сотрудничающий с Принстонским университетом во многих совместных проектах, взял на работу ряд учёных, бежавших из Европы от угрозы нацизма. О переезде Альберта Эйнштейна в Принстон французский физик Поль Ланжевен однажды сказал: «Это равносильно тому, что Папа Римский переехал из Ватикана в Новый Свет. Папа Римский мира физики переехал, и теперь Соединенные Штаты станут центром изучения естественных наук».

Но внимание нацистского бюрократического аппарата привлекло не только еврейское происхождение некоторых ученых, но и сами научные идеи, даже в области философии математики:

Но гораздо большим удивлением для англичан стал сам факт того, что государство или политическая партия могли интересоваться абстрактными идеями.

Между тем для читателей «Нью стейтсмен» враждебные чувства Гитлера, выраженные в Версальском мирном договоре, только подтвердили то, о чем всегда говорили Кейнс и Дикинсон. Сложность состояла в том, что учтивость по отношению к Германии теперь могла расцениваться как уступка её бесчеловечному режиму. Однако, консерваторы рассматривали новую Германию с точки зрения соотношения сил государств, и в этой перспективе она представляла новую потенциальную угрозу Великобритании, но вместе с тем и сильный «оплот», заслоняющий страну перед мощью Советского Союза. Неоднозначность сложившейся ситуации привела к возрождению Кембриджского Антивоенного движения в ноябре 1933 года. В связи с этим Алан писал:

12 ноября 1933 года

Многое произошло на этой неделе. В кинотеатре Тиволи должен был состояться показ фильма «Our Fighting

Navy», который по сути представляет собой явную пропаганду милитаризма. В ответ на это Антивоенное движение организовало протест. Организация оказалась не так уж хороша, и в итоге нам удалось собрать лишь 400 подписей, из которых 60 или чуть больше были собраны среди студентов Кингз-Колледжа. В конечном счете фильм все же изъяли из проката, но скорее из-за шумихи, которую милитаристы подняли у здания кинотеатра, когда они узнали о нашем протесте и почему-то вбили себе в головы, что мы собираемся закрыть кинотеатр.

Следующий его комментарий: «Вчера здесь состоялась вполне успешная антивоенная демонстрация», — скорее всего, относился к церемонии торжественного возложения венков в День перемирия, которая в этом году в большей степени носила характер политического заявления. Но не все разделяли мнение сторонников пацифизма. Так, один из друзей Алана, Джеймс Аткинс стал называть себя пацифистом, в то время как сам Алан не вошел в их ряды. Тем не менее, предположение о том, что Первая мировая война была устроена на скорую руку в личных интересах производителей вооружения, стало крепнуть в умах многих людей. Возможно, Алан разделял всеобщее ощущение, что прославление военной техники может приблизить начало второй мировой войны, и этого нельзя допускать.

На данном этапе большое влияние на Алана вновь оказал Эддингтон, который сам был квакером и сторонником интернационализма. И на этот раз уже не своими рассуждениями о «пустословии» квантовой механики, а курсом лекций по методологии науки, который Алан посещал в осеннем семестре 1933 года. В своих лекциях Эддингтон затронул тему тенденции распределения научных измерений при нанесении на граф, который в техническом смысле называли «нормальной» кривой. Шла ли речь о размахе крыльев плодовых мушек рода Drosophilae или о размере выигрышей Альфреда Беутелла в казино Монте-Карло, показания будут стремиться к центральному значению и определенным образом исчезать по обеим сторонам от него. В теории вероятности и статистике объяснение этого феномена стало проблемой фундаментальной важности. Эддингтон выдвинул свои предположения, но они не убедили юного Алана, от природы обладающего изрядной долей скептицизма, и тогда он решил предоставить собственное научное объяснение, основанное на точном результате, которое бы полностью отвечало строгим стандартам чистой математики.

К концу февраля 1934 года ему это удалось. Его работа не претендовала на звание научного открытия, тем не менее она принесла первые результаты в сфере математических исследований. И весьма предсказуемо для работы Алана в ней была найдена та связь чистой математики с физическим миром. Однако, когда он решил показать результаты своей работы, ему сообщили, что результат уже был получен в 1922 году неким Линдебергом и носил название Центральной предельной теоремы. Привыкшему работать независимо, Алану даже в голову не пришло сначала узнать, существуют ли уже результаты подобной работы. Вместе с тем, учитывая независимых характер его исследования и полноту приведенного объяснения, ему посоветовали выдвинуть работу в качестве магистерской диссертации.

Весной Алан вместе с компанией студентов из Кембриджа отправился кататься на лыжах в австрийских Альпах в период с 16 марта по 3 апреля. Поездка была спланирована, чтобы укрепить связь с Франкфуртским университетом, который предоставил участникам свою лыжную хижину неподалеку от австрийской коммуны Лех, расположенной на границе с Германией. Дух сотрудничества между университетами был подпорчен тем обстоятельством, что немецкий лыжный тренер оказался горячим поклонником нацизма. По возвращении в Кембридж Алан писал:

29 апреля 1934 года

… Мы получили весьма забавное письмо от Миши, немецкого руководителя нашей лыжной команды… Он пишет: «… но в своих мыслях я на вашей стороне, где-то посередине»…

Высылаю вместе с письмом своё исследование, которое я провел в прошлом году для Czber из Вены, поскольку не нашел никого, кто мог бы заинтересоваться им здесь, в Кембридже. Однако, мне представляется возможным, что он уже умер, поскольку его учебники публиковались еще в 1881 году.

Но ничто не могло отвратить приближения выпускных экзаменов, которые в Кембридже традиционно носили название Трайпос. Экзамены по второй части учебной программы были проведены в дни с 28 по 30 мая, и за ними незамедлительно последовала сдача работ второй группы, которая проходила с 4 по 6 июня. В перерыве между экзаменами Алану пришлось спешно вернуться в Гилдфорд, чтобы навестить отца. Разменявший уже шестой десяток, мистер Тьюринг перенес операцию на простате, после чего он уже не мог насладиться всеми радостями своего отменного здоровья, которым некогда так гордился.

Несмотря на это, Алан блестяще сдал экзамены и получил звание «спорщика второго разряда» наряду с восьмью другими студентами. Для Алана экзамены не несли особого значения, и поэтому он с пренебрежением отнесся к ажиотажу своей матери, которая незамедлительно начала оповещать всех знакомых телеграммами, и даже попытался убедить её не приезжать 19 июня на торжественную церемонию в день получения диплома. И всё же в реальном мире полученное звание означало многие привилегии, а также стипендию научного сообщества Кингз-Колледжа в размере 200 фунтов годовых, что позволило ему остаться в Кембридже и попытаться вступить в научное общество университета. Такие серьезные амбиции требовали той уверенности, которой ему недоставало в 1932 году, но тепрь он был готов. Несколько других выпускников его курса также решили остаться в Кембридже, и среди них были его друзья — Фред Клейтон и Кеннет Харрисон. К тому времени Дэвид Чамперноун начал заниматься экономикой и еще не получил свой диплом. Джеймса смутил абстрактный характер второй части учебной программы, в связи с чем результаты он получил невысокие. И пока он находился в раздумиях, с чего ему стоит начать свою карьеру, в течение нескольких месяцев он давал частные уроки, не забывая время от времени навещать Алана.

Тем временем промышленность развивалась, а вместе с ней и остальной мир за пределами университета, и под конец студенческих лет Алана начала одолевать депрессия. Тогда он решил ослабить свою окрепшую за эти годы привязанность к Кембриджу и вскоре стал производить впечатление не такого угнетенного и подавленного человека, как раньше, представив миру нового себя — человека острого ума с хорошим чувством юмора. И всё же он так и не смог найти себя в обществе «эстетов» или «атлетов». Он продолжил заниматься греблей, и завязал дружеские отношения с другими членами лодочного клуба, однажды осушив целую пинту пива залпом. Вечера он проводил, играя в бридж со своими старыми приятелями, хотя они никогда не позволяли ему вести счет, зная о его математических талантах. Любому, кто пожелал заглянуть в его комнату, открывался вид на разбросанные повсюду книги, записи и оставшиеся без ответа письма о носках и трусах от миссис Тьюринг. На стенах висели различные памятные вещи, например, фотография Кристофера, и только некоторые могли заметить вырезки из журнала с изображениями мужчин, выражавших определенную сексуальную притягательность. Алану также нравилось проводить время в лавках и на уличных рынках в поисках интересных вещей. Так, во время поездки в Лондон он однажды приобрел скрипку на Фаррингтон-Роуд и взял несколько уроков игры на ней. Но даже это не могло сделать из него настоящего «эстета», хотя в нем все же были некоторые «эстетские» черты поведения, которые становились заметны, когда он принимал напыщенный вид, присущий настоящему английскому характеру. Все это озадачивало миссис Тьюринг, в особенности просьба сына подарить ему на Рождество плюшевого медведя, объясняя свое желание тем, что в детстве у него никогда такой игрушки не было. В семье Тьюрингов существовала традиция в праздник обмениваться подарками более практичными и полезными для развития своих способностей. Но у него было свое мнение и по этому вопросу, и вскоре плюшевый мишка по имени Порги поселился в его комнате.

Окончание курса не принесло значительных изменений в жизнь Алана, за исключением того, что он бросил греблю. После дня вручения дипломов он решил отправиться в путешествие по Германии на велосипеде и пригласил своего знакомого Дениса Уильямса, студента первого курса факультета Моральных наук, составить ему компанию. Их знакомство состоялось в Клубе моральных наук, а после они виделись в лодочном клубе Кингз-Колледжа и во время горнолыжной поездки в Австрию. На поезде они добрались до Кёльна, и уже оттуда, пересев на велосипеды, начали свое путешествие по стране, преодолевая не менее тридцати миль каждый день. Одной из целей поездки было посещение Геттингенского университета, где Алан мог встретиться с компетентным специалистом, по-видимому, в связи со своим исследованием Центральной предельной теоремы.

Несмотря на царивший в Берлине определенный режим власти, Германия оставалась лучшей страной для учебной поездки, привлекая студентов невысокими ценами за проезд и молодежными гостиницами. Едва ли молодые люди могли не заметить развешанные повсюду флаги с изображением свастики, но англичанам они казались скорее нелепостью, нежели чем дурным предзнаменованием. Однажды они остановились в шахтёрском городке и видели, как горняки напевали песню по дороге на работу — зрелище прямо противоположное претенциозности нацистских демонстраций. В молодежной гостинице Денис имел возможность пообщаться с немецким путешественником и в знак дружеского расположения попрощался нацистским приветствием «Heil Hitler!», как обычно делали многие другие иностранные студенты из уважения местному обычаю. (Здесь следует заметить, что также были известны и случаи нападений на студентов, которые отказывались произносить нацистское приветствие). В тот самый момент в комнату зашел Алан и случайно стал свидетелем этой сцены. Чуть позже в разговоре с Денисом он заметил: «Тебе не стоило ему это говорить, он социалист». Должно быть, он уже поговорил с тем немцем ранее, и Дениса поразил тот факт, что Алан мог так просто вывести незнакомца на столь откровенное признание своих политических взглядов, идущих вразрез с установленным в стране режимом. Не то чтобы Алан вел себя как сторонник антифашистского движения, он не мог смириться и выполнить что-либо, если в корне был с этим не согласен. Другим событием для Дениса во время поездки стало знакомство с двумя мальчиками-англичанами из среднего класса. Денис заметил, что было бы вежливо пригласить их к себе на стаканчик. «Положение обязывает», — ответил Алан, и от этих слов Денис почувствовал себя малодушным и лицемерным человеком.

Случилось так, что ребята оказались в Ганновере на следующий день или через день после расправы Гитлера над штурмовиками СА, произошедшей 30 июня 1930 года и получившей название «ночи длинных ножей». Знание немецкого языка у Алана, хотя и почерпнутое из учебников по математике, превосходило языковые способности Дениса. И он перевел другую статью из газеты о том, как накануне начальнику штаба СА Эрнсту Рёму в камеру принесли свежую газету со статьей о его разоблачении и казни сторонников, и пистолет с одним патроном, надеясь, что, прочитав статью, Рём застрелится, но тот отказался и был убит. Алан и Денис были удивлены скорее тем вниманием, которое английская пресса уделила его гибели. Однако последствия этой расправы с некоторыми политиками Веймарской республики, которые были давними оппонентами нацистов, имели особое значение для власти Гитлера и его намерений превратить Германию в «гигантский конный завод». С точки зрения признательных консерваторов, эти события ознаменовали конец «загнивающей» Германии. Позже, когда Гитлер уже полностью утратил свою популярность, их мнение кардинально изменилось, и нацистский режим обрел эпитеты «развращенный» и «загнивающий». Но за всей этой историей нетрудно было углядеть определенный лейтмотив, мастерски организованный самим Гитлером: идея о предательстве гомосексуалиста.

У некоторых студентов Кембриджского университета один только вид новой Германии с ее грубостью и жестокостью мог вызвать желание примкнуть к общественному движению антифашистов. Но поступки такого рода не были характерны для Алана Тьюринга. Всегда с симпатией относившийся к делу антифашистов, он оставался человеком вне политики. Путь к свободе он видел в другом, в преданности своему делу. Пускай другие делают то, на что они способны; Алан желал достичь чего-то правильного, чего-то истинного. Ведь спасенная от угрозы нацизма цивилизация должна продолжить свое развитие.

Летом и осенью 1934 года он продолжал работать над своей диссертацией о центральной предельной теореме теории вероятности. Последний срок, установленный для предоставления работ, истекал 6 декабря, но Алан вручил её комиссии на месяц раньше и был уже всецело готов к своему следующему шагу. Проблему для исследования Алану предложил Эддингтон, сыгравший значительную роль в его ранней научной деятельности. Другую идею для диссертации ему подал Гильберт, хотя и не напрямую. Пока члены комиссии знакомились с его работой, Алан приступил к курсу «Основы математики» третьей части учебного плана, который читал профессор Макс Ньюман.

Наряду с Джоном Генри Уайтхедом этот английский математик в свои сорок лет был признан выдающимся исследователем в области топологии. Этот раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в отличие от геометрии не рассматривает метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). В 1930-х годах топология объединяла и обобщала большую часть чистой математики. В Кембриджском университете Ньюман считался передовым деятелем, поскольку в учебной программе все еще главенствовала классическая геометрия.

В основу топологии легла теория множеств, таким образом Ньюман принял участие и в разработке теории множеств. Также он принял участие в Международном математическом конгрессе в Болонье в 1928 году, на котором Гильберт представлял Германию, исключенную ранее в 1924 году. На этом съезде Гильберт снова заявил о необходимости изучения оснований математики. И именно в рамках научного подхода Гильберта, нежели чем с позиции продолжения курса логистики Рассела, Ньюман читал свои лекции студентам. Несомненно, подход Рассела начал постепенно терять интерес, как только сам Рассел покинул Кембриджский университет в 1916 году, когда впервые был осужден и лишен своего звания профессора в Тринити-Колледже. Что касается его современников, то Людвиг Витгенштейн к тому времени изменил область своих интересов, Гарри Нортон сошел с ума, а Фрэнк Рэмси ушел из жизни в 1930 году. Судьба распорядилась таким образом, что Ньюман остался единственным человеком в Кембриджском университете, обладающим обширными познаниями в области математической логики, хотя, следует отметить, что были и другие не менее выдающиеся специалисты в этой области, и среди них — Брейтвейт и Харди, чей интерес составляли различные методы и подходы в изучении математических наук.

В сущности программа Гильберта представляла собой более подробный вариант работы, над которой он начал трудиться в 1890-е годы. В ней не предпринималось попыток ответить на вопрос, занимавший Фреге и Рассела, а именно — чем на самом деле является математика. В этом отношении она носила менее философский характер и казалась менее претенциозной. С другой стороны, она имела большие перспективы в том отношении, что в ней автор ставил более глубокие и трудноразрешимые вопросы о природе таких систем, которые представил Рассел. Фактически Гильберт сформулировал проблему, требовавшую ответа на вопрос: в чем, в принципе, заключались пределы возможностей аксиоматической системы, подобной представленной в «Принципах математики». Существует ли способ выяснить, что могло быть доказано, а что нет в рамках подобной теории? Подход Гильберта назвали формалистским, поскольку он пытался интерпретировать математику через формализацию, которая, в принципе, превращает ее из системы знаний в игру со знаками и формулами, в которую играют по фиксированным правилам, сравнимую с шахматами. Допустимые шаги доказательства рассматривались как допустимые ходы в шахматной игре, фигурам соответствовал ограниченный — или неограниченный — набор знаков в математике; произвольной позиции фигур на доске — сочетание знаков в формуле. Одна формула или несколько формул рассматривались Гильбертом как аксиомы. Их аналог в шахматной игре — установленная правилами шахматная позиция в начале игры. По этой аналогии «игра шахматными фигурами» означала «производимые вычисления», а определенные формулы шахматной игры (например, если имеется два коня и король — поставить мат возможно лишь если защищающийся допустит грубую ошибку) соответствовали определенным правилам вывода, согласно с которыми новые формулы могли быть получены из заданных формул.

На конгрессе 1928 года Гильберт представил более конкретную формулировку своих вопросов. Во-первых, можно ли назвать математику полной в том смысле, что для каждого осмысленного утверждения (например, «всякое натуральное число есть сумма четырех квадратов целых чисел») существует свое доказательство или же опровержение. Во-вторых, можно ли назвать математику непротиворечивой или последовательной в том смысле, что утверждение «2 + 2 = 5» ни при каких условиях не могло быть получено в результате ряда операций, соответствующих правилам вывода. И, в-третьих, является ли математика разрешимой? Под этим имелось в виду, существовал ли определенный метод, который мог бы в принципе быть применен к любому утверждению и который гарантировано сможет ответить на вопрос, является ли утверждение верным.

В 1928 году ни одна из этих проблем не была решена. Однако Гильберт был уверен, ответ на каждый из его вопросов в результате окажется положительным. Ранее в своем докладе на Международном конгрессе в Париже он заявил: «Мы все убеждены в том, что любая математическая задача поддается решению. Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе, когда мы приступаем к решению математической проблемы, ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus», — и когда в соответствии с уставом университета Гильберт ушел в отставку в 1930 году, он заявил следующее:

Пытаясь привести пример неразрешимой проблемы, философ Конт однажды сказал, что науке никогда не удастся распознать секрет химического состава небесных тел. Спустя несколько лет эта проблема была решена… Истинная причина, из-за которой, по моему мнению, Конт не смог найти неразрешимую проблему, заключается в том, что в действительности такой вещи, как неразрешимая проблема, вообще не существует.

Такой взгляд на науку, казалось, был позитивнее, чем сами позитивисты. Однако, на том самом съезде юный чешский математик Курт Гёдель представил результаты своей работы, наделавшей немало шума.

Гёделю удалось доказать теорему о неполноте арифметики, которая гласила: не каждая определенная математическая проблема доступна строгому решению. Своё исследование он начинал с аксиом Пеано для арифметики целых чисел, а позже расширил его, применив простую теорию типов таким образом, чтобы система представляла множества целых чисел, множества множеств целых чисел и так далее. И всё же его доказательство оставалось применимым к любой формальной математической системе, которая включала в себя теорию чисел, а тонкости аксиоматики не играли решающей роли.

Затем ему удалось доказать, что все операции, производимые в ходе доказательства, то есть правила логической дедукции, применяемые в «шахматной партии», сами по себе являются арифметическими. Из этого следует, что используемые при доказательстве операции вычисления и сравнения с целью выявить, корректно ли одна формула заменена другой, точно так же верность текущего хода в шахматной партии может быть просчитана при помощи вычисления и сравнения возможных позиций шахматных фигур. Фактически Гёделю удалось доказать, что формулы его системы могут быть закодированы в виде целых чисел. Таким образом, целые числа могли представлять собой утверждения о них самих. В этом и заключалась основная идея его работы.

Затем он продолжил своё исследование и показал, как сами доказательства могут быть закодированы в виде целых чисел. Таким образом он получил целую теорию арифметики, закодированную в самой арифметике. Здесь он использовал идею, что, если математика рассматривается лишь как игра знаков, значит в ней могут быть также задействованы и числовые знаки, то есть цифры. Гёделю удалось доказать, что свойство «доказуемости» ровно настолько же арифметическое, как и свойства квадрата или прямоугольника.

В результате такого кодирования стала возможной запись арифметических высказываний, ссылающихся на самих себя, как в случае, когда человек говорит «Я говорю неправду». Более того, Гёделю удалось построить одно особое суждение, которое обладало таким свойством и в сущности заключалось в фразе «Это высказывание нельзя доказать». Из этого следовало, что данное суждение не имело доказательства своей верности, поскольку в таком случае возникло бы противоречие. Однако по той же причине назвать его неверным тоже не представлялось возможности. Подобное высказывание не могло быть доказано или опровергнуто методом логической дедукции из аксиом, таким образом Гёдель доказал неполноту арифметики, которую Гильберт обозначил в одном из своих вопросов.

Тем не менее удивительным свойством особого высказывания Гёделя оставалось то, что в силу своей «недоказуемости», в некотором смысле оно было верным. Но чтобы назвать его верным, требовался наблюдатель, который мог бы взглянуть на систему со стороны. Работая в пределах системы аксиоматики, подобное представлялось бы невозможным.

Следующая особенность заключалась в том, что доказательство требовало назвать арифметику последовательной. И если бы арифметика в действительности оказалась бы непоследовательной, каждое высказывание автоматически стало бы «доказуемым». Таким образом Гёдель сузил область исследования поставленных вопросов, доказав, что формальная система арифметики может быть либо непоследовательной, либо неполной. Также он показал, что последовательность арифметики не может быть доказана в пределах собственной системы аксиоматики. Для подобного доказательства было необходимо установить, что существует некоторое суждение (например, 2 + 2 = 5), верность которого не могла быть доказана. Однако, Гёдель смог показать, что подобное суждение обладает тем же свойством, каким обладает фраза «Это высказывание нельзя доказать». Именно так ученому удалось расправиться с первыми двумя вопросами, поставленных перед наукой Гильбертом. Арифметика не имела доказательства своей последовательности, более того, она не могла быть одновременно последовательной и полной. Это поразительное заявление ознаменовало новый этап в исследованиях, поскольку Гильберт до этого момента надеялся, что его программа сможет свести все факты воедино. И большим огорчением оно стало для тех, кто стремился увидеть в математике нечто абсолютно совершенное и неопровержимое. Однако, вместе с этим открытием возник ряд новых вопросов.

Последние лекции курса, который читал Ньюман, были посвящены доказательству теоремы Гёделя, и таким образом Алан достиг границы известных науке знаний. И все же третий вопрос Гильберта оставался еще открытым, хотя теперь он рассматривался с точки зрения своей «доказуемости», а не «верности», как ранее. Полученные Гёделем результаты не исключали возможность существования некоторого метода определения, какие суждения являются доказуемыми, а какие — нет. Возможно, некоторые утверждения Гёделя следовало исключить. Но существовал ли определенный метод или, как выразился Ньюман, «механический процесс», который мог бы быть применен к математическому утверждению и в результате которого возник бы ответ, доказуемо ли данное утверждение?

С одной стороны, такое требование казалось почти невыполнимым и затрагивало самую суть всего, что было известно о математике с позиции креативного мышления. Так, в 1928 году Харди отнесся к этой идее с особым негодованием, заявив:

Разумеется, не существует такой теоремы, и это довольно удачное для нас обстоятельство, поскольку если бы она существовала, для решения всех математических проблем нам бы потребовался механический набор правил, и наша математическая деятельность на этом бы и завершилась.

Тем временем в науке оставалось множество теорем и суждений, которые веками не находили своего доказательства или опровержения. Такой оставалась известная под названием Великая или Последняя теорема Ферма, предполагающая невозможность разложить куб на два куба, биквадрат — на два биквадрата и, в общем случае, любую степень, большую двух, в сумму таких же степеней. Другим примером явилась гипотеза Гольдбаха, формулировка которой заключалась в том, что каждое четное число больше 2 можно представить как сумму двух простых чисел. Трудно было поверить, что не находившие многие годы своего решения теоремы могли в действительности найти его попросту исходя из некоего набора установленных правил. Более того, сложные проблемы, которые были решены, такие как теорема Гаусса о четырех квадратах, редко находили доказательство подобным путем применения «механического набора правил», и скорее задействовали творческое воображение, создавая новые абстрактные алгебраические идеи. Как заметил Харди, «только неискушенный непрофессионал может себе представить, что открытия в математике происходят по одному повороту рычага какой-то сверхъестественной машины».

С другой стороны, с развитием математики стало возникать все больше и больше проблем, так или иначе связанных с «механическим» методом. Харди мог полагать, что, разумеется, он не мог охватить всю математику, но после исследований Гёделя ничто уже не казалось самим собой разумеющимся. Вопрос требовал более глубокое его изучение.

Оказавшаяся столь содержательной фраза Ньюмана о «механическом процессе» никак не выходила у Алана из головы. Тем временем, весна 1935 года ознаменовала два других решительных шага вперед. Избрание в члены Совета Кингз-Колледжа было назначено на 16 марта. К тому времени одним из членом коллегии выборщиков стал Филип Холл, который усомнился в заслугах Алана, заявив, что повторное открытие Центральной предельной теоремы не могло показать весь скрытый потенциал молодого ученого. Однако, поддержка не заставила себя ждать. Кейнс, Пигу и ректор Джон Шеппард уже успели по достоинству оценить его достижения. Итак, Алан был первым выпускником своего курса, кто получил это звание среди остальных сорока шести членов Совета колледжа. В Шерборнской школе по этому поводу был объявлен короткий учебный день, и ученики быстро сочинили в честь Алана клерихью:

На тот момент Алану было лишь двадцать два года. Членство в Совете означало получение трехсот фунтов годовых в течение трех лет, причем срок этот обычно растягивался до шести лет, и никаких определенных обязанностей. Также это звание обеспечило Алану, который предпочел остаться в Кембридже, проживание в общежитии и питание, а также место за профессорским столом. В первый же вечер своего пребывания с новым званием в профессорской он обыграл ректора в рамми и получил от него несколько шиллингов. И все же время за ужином он предпочитал проводить как раньше — в компании своих старых приятелей: Дэвида Чамперноуна, Фреда Клейтона и Кеннета Харрисона. В общем, членство никак не изменило его привычек и привычный ход жизни, но вместе с тем подарило три года свободы и независимости, когда он мог выбрать себе занятие по вкусу, той свободы, которую ему сулил постоянный ежегодный доход. Между тем, к своему новому званию он также добавил должность куратора группы студентов в находящемся по соседству Тринити-Холле. И когда они заходили к нему в комнату в надежде найти там нечто экстравагантное, коим отличались многие выпускники Кингз-Колледжа, иногда их любопытство вознаграждалось и у камина появлялся плюшевый мишка Порги, которого Алан усаживал перед раскрытой книгой, подпертой линейкой, приговаривая: «Порги этим утром особенно прилежен».

Избрание в члены Совета совпало с тем, что сам Алан назвал своим «открытием мелкого масштаба», хотя это была его первая работа, принятая на публикацию. Она представляла собой вполне точный результат исследования теории групп, и уже 4 апреля Алан сообщил о нем Филипу Холлу (чья научная деятельность также касалась этой области), при этом заметив, что «подумывает заняться более серьезным исследованием в этой области». Вскоре работа была представлена Лондонскому математическому обществу и опубликована позднее в том же месяце.

Суть работы заключалась в небольших усовершенствованиях статьи фон Неймана, в которой он развил теорию «почти периодических функций», описав их с точки зрения их отношений к «группам». Случилось так, что позже в том же месяце у фон Неймана состоялась поездка в Кембридж. В его планы входило провести целое лето вдали от Принстона, и тем самым у него возникла возможность прочитать курс лекций в Кембриджском университете на тему «почти периодических функций». Несомненно Алан познакомился с ним в том же семестре после посещения курса лекций.

Но, несмотря на общий научный интерес, они были очень разными людьми. Когда Алан Тьюринг только родился, Яношу Нейману, старшему из трех сыновей в состоятельной еврейской семье венгерского адвоката, уже исполнилось восемь лет. У него не было возможности ходить в подготовительную школу, и к 1922 году, когда Алан еще только пускал бумажные кораблики в Хазельхерсте, восемнадцатилетний фон Нейман опубликовал свою первую работу. Янош из Будапешта вскоре стал Иоганном из Гёттингена и одним из учеников Гильберта, и некоторое время спустя после переселения в 1930-х годах в США на преподавательскую должность в Принстонском университете, его имя на английский манер изменилось на Джон, а английский стал его четвертым языком. Статья на тему «почти периодических функций» значилась пятьдесят второй в довольно внушительном общем списке исследований, начинающимся работами об аксиомах теории множеств и квантовой механике и заканчивающимся изучением топологических групп, которые представляли собой обоснование квантовой теории с точки зрения чистой математики, не считая многочисленных тем различных других исследований.

Но даже несмотря на то, что Джон фон Нейман был признан одной из величайших личностей в математике двадцатого века, он был известен не только своей интеллектуальной деятельностью. Большой любитель раздавать остальным указания, он отличался изощренным, колоритным чувством юмора, проявлял неподдельный интерес к машиностроению, а также обладал обширными познаниями в истории, не говоря уже о заработке в десять тысяч долларов вдобавок к основному личному доходу. Во многом он производил впечатление совершенно непохожее на то, которым обладал двадцатидвухлетний молодой математик в поношенном пиджаке спортивного кроя с проницательным умом, но слишком застенчивый, отчего порой в его голосе слышались дрожащие нотки, к тому же испытывающий определенные проблемы с одним языком, что уж тут говорить о четырех. Но для математических наук все эти вещи не имели особого значения, и, возможно, именно под впечатлением от встречи с выдающимся ученым Алан написал в письме домой от 24 мая: «… я подал заявку на поездку в Принстонский университет в следующем году».

Другой причиной тому мог послужить то обстоятельство, что его друг Морис Прайс, с которым он познакомился еще на вступительных экзаменах в 1929 году, а после долгое время поддерживал с ним связь. В сентябре планировал уехать в Принстонский университет, получив грант на обучение. В любом случае, становилось предельно очевидным, что Принстонский университет приобрел славу нового Геттингена для научного сообщества, и вскоре над Атлантикой установился нескончаемый поток выдающихся математиков и физиков. Массовая миграция ученых возникла вследствие смещения интеллектуального потенциала из Европы, и в частности Германии, в Америку. И теперь любой ученый, который хотел чего-то добиться в своих исследованиях, как Алан, не мог игнорировать сложившуюся ситуацию.

Алан продолжил работать над теорией групп на протяжении всего 1935 года. Также его не покидала мысль о работе в области квантовой механики, и поэтому он обратился к профессору физико-математических наук Ральфу Говарду Фаулеру, чтобы тот мог ему помочь в выборе подходящей проблемы для исследований. Фаулер в свою очередь предложил попытаться описать диэлектрическую постоянную воды, которая являлась его излюбленной темой для исследований. Однако, Алан не преуспел в этой области. В результате его работа над этой проблемой, а вместе с ней и над целой областью математической физики, которая привлекала внимание многих амбициозных молодых ученых 1930-х годов, была прекращена. Его внимание привлекло нечто другое, совершенно новая проблема, находящаяся в самом сердце математики, но что более важно — проблема, которая нашла отклик и в его сердце. Решение этой проблемы не требовало знаний, приобретенных по учебной программе Трайпоса, и затрагивало только всеобщие знания о природе вещей. Но такая, на первый взгляд, крайне заурядная проблема привела его к идее, впечатлившей многих.

Алан приобрел привычку каждый день устраивать забеги на большие расстояния вдоль реки и дальше, порой достигая городка Или, расположенного в двадцати километрах от Кембриджа. Но именно в деревне Гранчестер, как он признался позднее, когда он остановился прилечь на поле, к нему неожиданно пришло решение третьего вопроса Гильберта. Должно быть, это открытие произошло где-то в начале лета 1935 года. «При помощи некоторого механического процесса», — однажды заявил Ньюман. И после этой фразы Алан начал размышлять о машинах.

«Ведь, разумеется, человеческое тело представляет собой машину. Очень сложную машину с намного и намного более сложным устройством, чем любая другая, созданная человеком, но все-таки машина». Такое парадоксальное предположение однажды было высказано Бревстером в его книге. С одной стороны, тело является живым существом, точно не машиной. Но с другой стороны, если сместиться на более детальный уровень описания и рассмотреть его с точки зрения «маленьких живых кирпичиков», его по праву можно было назвать машиной.

Проблема Гильберта о разрешимости не затрагивала детерминизма физики, или химии, или биологических клеток. Вопрос касался более абстрактных вещей. Он представлял собой свойство заблаговременного решения без возможности возникновения чего-то нового. Операции должны были в таком случае представлять собой операции с символами, но не с объектами, обладающими массой или особым химическим составом.

Перед Аланом стояла задача абстрагировать это свойство и применить его в сфере математических преобразований символов. Люди лишь говорили, в частности Харди, о неких «механических правилах» для математиков, о вращении ручки какой-то «сверхъестественной машины», но никто так и не принялся за моделирование такой машины. И именно это он и намеревался сделать. И хотя на самом деле его сложно было назвать тем самым «неискушенным непрофессионалом», о котором говорил Харди, он принялся решать проблему в своей особой безыскусной манере, непоколебимой перед необъятностью и сложностью математики. Свою работу он начал с чистого листа и первым делом попытался представить себе в общих чертах машину, которая бы могла решить проблему Гильберта, а именно предоставить ответ, имеет ли доказательство или опровержение любое представленное ей математическое суждение.

Разумеется, уже существовали машины, которые производили операции с символами. Такой машиной была пишущая машинка. Еще в детстве Алан мечтал изобрести пишущую машинку. У миссис Тьюринг имелась печатная машинка, и он в первую очередь задал себе вопрос: что имеется в виду, когда пишущую машинку называют «механическим» устройством? Это означало лишь то, что ее ответ на каждое конкретное действие оператора, был строго определенным. Можно было заранее с предельной точностью сказать, как машина будет вести себя в случае любого непредвиденного обстоятельства. Но даже о скромном устройстве пишущей машинки можно было сказать больше. Ответ механизма должен зависеть от его текущего состояния или того, что сам Алан назвал текущей конфигурацией машины. Так, например, пишущая машинка обладает конфигурацией «нижнего регистра» и конфигурацией «верхнего регистра». Эту идею Алану удалось облечь в более общую и абстрактную форму. Его интересовали такие машины, которые в любой момент времени могли находиться в одной из конечного числа возможных «конфигураций». Таким образом, как и в случае с клавиатурой пишущей машинки, при условии существования конечного числа операций, производимых машиной, появлялась возможность дать полную оценку ее образу действий, которая не может быть изменена.

Тем не менее, пишущая машинка обладала еще одним свойством. Ее каретка могла передвигаться, эти перемещения соотносились с листом бумаги, и печать символов происходила независимо от его положения на странице. Алан включил и эту идею тоже в свое представление машины более общего вида. Она должна была обладать «заложенными» конфигурациями и возможностью перемещать свою позицию на линии печати. Действие машины не зависело от своей позиции.

Не принимая во внимание остальные ненужные детали вроде полей, контроля за линией печати и другие, эти основные идеи давали достаточное представление об устройстве пишущей машинки. Ограниченное количество возможных конфигураций и позиций, и то, каким образом клавиша знака соотносилась с печатным символом, клавиша переключения регистра — смену положения от «нижнего» к «верхнему» регистру, а также клавиша пробела и функция возврата каретки на одну позицию назад. Все эти функции являлись наиболее важными для устройства машинки. Если бы любой инженер получил подобное описание функций устройства, в результате у него получилась бы типичная пишущая машинка, не учитывая ее цвет, вес, форму и другие признаки.

Но пишущая машинка обладала слишком ограниченным набором функций, чтобы служить моделью. Несомненно, она оперировала символами, но могла лишь записывать их, а также требовала присутствия машиниста, отвечающего за выбор символов и изменения конфигураций и позиций устройства, по одному за раз. Так какой же, задавался вопросом Алан Тьюринг, была бы машина наиболее общего вида, которая могла оперировать символами? Чтобы быть машиной, она должна обладать свойством пишущей машинки, иметь заданное количество конфигураций и четко определенное действие, закрепленное за каждой из них. И при этом она должна была иметь возможность выполнять намного больше. Таким образом, он представил в своем воображении машины, которые по сути представляли собой более мощные пишущие машинки.

Для простоты описания он представил машины, имеющие лишь одну рабочую строку. Это было лишь технической особенностью устройства, которая позволяла не учитывать наличие полей и контроля линии письма. Между тем оставалось важным, чтобы количество поступаемой бумаги было неограниченным в обе стороны. В представлении Алана каретка его супер-пишущей машинки могла перемещаться на неограниченное количество позиций вправо и влево. Для большей определенности он представил бумагу в виде ленты, разделенной на ячейки таким образом, чтобы в каждую ячейку мог записан один символ. Так машины Тьюринга обладали конечным количеством действий, при этом сохраняя возможность работать на неограниченном пространстве.

Следующей необходимой функцией для машины была возможность считывать информацию или, по словам самого Алана, «сканировать» ячейку ленты, на которой остановилось считывающее устройство. Также она должна была обладать функцией не только записи символов, но и уметь их стирать. При этом она могла переместиться только на одну ячейку за раз. В таком случае какие действия оставались для машиниста пишущей машинки? Алан действительно отметил в своей работе возможность того, что он сам называл «машинами выбора», в которых внешний оператор должен принимать решения в определенных моментах работы устройства. Вместе с тем целью его работы было создание именно автоматических машин, для работы которых не потребуется вмешательство человека. С самого начала он хотел всесторонне изучить то, что Харди называл «сверхъестественной машиной», — механический процесс, который смог бы решить третью проблему Гильберта путем считывания предоставленного математического суждения, и в конечном результате записывая решение: имеет ли оно доказательство или нет. Существенной идеей для подобного устройства оставалась возможность производить решение без вмешательства человеческого суждения, воображения или интеллекта.

Любая «автоматическая машина» должна была работать сама по себе, производя считывание и запись информации, перемещаясь вперед и назад, в соответствии с тем, как она была задумана. На каждом этапе ее работы действия должны быть строго определены текущей конфигурацией и считанным символом. Для большей точности конструкция машины должна была уметь определять свое действие в случае каждой комбинации конфигурации и считанного символа:

записать новый (заданный) символ в пустую ячейку, или оставить уже записанный символ в неизменном виде, или стереть символ и оставить ячейку пустой;

остаться в прежней конфигурации или сменить ее на другую (заданную) конфигурацию;

переместиться на ячейку влево, или вправо, или остаться в текущей позиции.

Если всю эту информацию, определяющую действия машины, записать, получится «таблица переходов», имеющая конечное количество действий. Такая таблица может полностью описать работу машины, и независимо от того, была ли машина сконструирована или нет, такая таблица могла представить всю необходимую информацию о ее работе. С абстрактной точки зрения, именно таблица и являлась самой машиной.

С изменениями, вносимыми в таблицу, изменялось бы и поведение самой машины. Бесконечное множество таблиц соответствовало бы бесконечному множеству возможных машин. Алану удалось воплотить неясную идею «определенного метода» или «механического процесса» в чем-то более точном — «таблице переходов». Теперь ему оставалось ответить на один очень конкретный вопрос: может ли одна из таких машин, одна из таких таблиц произвести решение вопроса, который поставил Гильберт?

Рассмотрим пример подобной машины. Приведенная ниже «таблица переходов» полностью описывает машину Тьюринга с функцией счетной машины. Начиная с позиции сканирующего устройства слева от двух групп единиц, разделенных одной пустой ячейкой, машина просуммирует две группы и остановится. Таким образом, это действие изменит заданное состояние ленты.

В этом случае машина должна заполнить пустую ячейку и стереть последнюю единицу. Следовательно, в машине должны быть заложены четыре конфигурации. В первой конфигурации головка считывающего устройства движется по ленте, пока не обнаружить первую группу единиц. Когда она начнет считывать первую группу, машина меняет свою конфигурацию на вторую. Пустая ячейка служит сигналом изменения конфигурации на третью, в которой считывающее устройство движется по второй группе, пока не обнаружит другую пустую ячейку, что послужит сигналом развернуться и войти в четвертую и последнюю конфигурацию, чтобы стереть последнюю единицу и остановиться на текущей позиции.

Полная таблица, описывающая это действие, будет выглядеть следующим образом:

Просканированный символ

Но даже такая простая машина, описанная в примере выше, могла выполнять не только суммирование. Такая машина могла производить действие распознавания, например, «найти первый символ справа». Машина с более сложной программой могла производить умножение, повторяя действие копирования одной группы единиц, при этом стирая по одной единице из другой группы, и распознавая, когда необходимо прекратить производить данные действия. Такая машина также производить действие принятия решений, например, она могла решить, является ли число простым или составным, делится ли оно на другое заданное число без остатка. Совершенно очевидно, что этот принцип мог быть использован самыми различными способами, чтобы представить вычисления в механистическом виде. Оставался неясным только один вопрос: могла ли подобная машина решить третью проблему Гильберта?

Проблема казалась слишком сложной, чтобы попытаться решить ее, записав таблицу определенных действий для ее решения. И все же существовал один метод, который позволял довольно изворотливо подойти к решению вопроса. Тогда Алан стал думать о «вычислимых числах». Основная идея заключалась в том, что любое «действительное число» могло быть вычислено одной из его машин. К примеру, можно было создать машину, чтобы вычислить разложение на десятичные дроби числа . Для этого потребовалось лишь записать ряд действий по сложению, умножению, копированию, и так далее. В случае бесконечного десятичного ряда, машина продолжала бы непрерывно работать и потребовалось бы неограниченное количество ячеек на ее ленте. Однако устройство могло высчитывать каждый десятичный разряд за определенное количество времени, при этом используя определенную длину рабочей ленты. А вся информация о процессе могла быть записана в таблицу переходов с определенным количеством записанных конфигураций.

Таким образом, он нашел способ представить такое число, как , с бесконечным десятичным разложением в виде таблицы с конечным числом действий. То же самое можно было проделать и с квадратным корнем из трех, или с натуральным логарифмом семи, или с любым другим числом, вычисляемым по некоторому правилу. Подобные числа он назвал «вычислимыми числами».

Точнее говоря, сама машина не обладала бы никакими знаниями о десятичных числах или десятичных разрядах. Она могла лишь производить последовательность цифр. Последовательность, кторая могла быть произведена одной из его машин, Алан назвал «вычислимой последовательностью». Тогда вычислимая бесконечная последовательность, перед которой стояла десятичная запятая, могла определить «вычислимое число» между 0 и 1. Это означало, что любое вычислимое число между 0 и 1 могло быть определено в виде таблицы с конечным числом действий. Для Алана оставалось важным, чтобы вычислимые числа всегда были представлены в виде бесконечной последовательности цифр, даже если все цифры после определенного момента были нулями.

Теперь все эти таблицы с конечным числом действий можно было расположить в некотором роде по алфавитному порядку, начиная с самой простой и заканчивая наиболее большой и сложной. Их можно было представить в виде списка или посчитать; и это означало, что все вычислимые числа также можно было представить в виде списка. Разумеется, выполнить на практике подобное было достаточно сложно, но идея была довольно ясной: квадратный корень из трех в таком случае будет значиться 678-м в списке, а логарифм числа — 9369-м. Такая мысль казалась потрясающей, поскольку в такой список могло войти любое число, полученное в результате выполнения арифметических действий, например, вычисления корня уравнения, или используя математические функции, например, синусы и логарифмы, — любое число, которое могло возникнуть в сфере вычислительной математики. И в тот самый момент, когда он пришел к этой мысли, он узнал ответ на третий вопрос Гильберта. Возможно, именно это он неожиданно понял, остановившись отдохнуть на лугу в Гранчестере. И полученному ответу он был обязан прекрасному математическому устройству, которое все это время ожидало своего часа.

Всего полвека назад, кантор пришел к мысли, что можно поместить все дроби — все рациональные числа — в единый список. Наивно было полагать, что дробей существовало больше, чем целых чисел. Но Кантор смог доказать, что в узком смысле это предположение было неверным, поскольку все они могли быть подсчитаны и помещены в список с алфавитным порядком. Не принимая во внимание дроби с сокращающимся множителем, список всех рациональных чисел между 0 и 1 начинался бы следующим образом:

1/2 1/3 1/4 2/3 1/5 1/6 2/5 3/4 1/7 3/5 1/8 2/7 4/5 1/9 3/7 1/10…

Но Кантор не остановился на достигнутом и изобрел особый математический трюк, который получил название «диагональный метод Кантора» и мог быть использован в качестве доказательства существования иррациональных чисел. Для этого рациональные числа представлялись в виде бесконечных разложений десятичной дроби, и соответственно список всех подобных чисел между 0 и 1 начинался бы следующим образом:

5000000000000000000.…

3333333333333333333.…

2500000000000000000.…

6666666666666666666.…

2000000000000000000.…

1666666666666666666.…

4000000000000000000.…

7500000000000000000.…

1428571428571428571.…

6000000000000000000.…

1250000000000000000.…

2857142857142857142.…

8000000000000000000.…

1111111111111111111.…

4285714285714285714.…

1000000000000000000.…

……

……

Суть математической уловки Кантора состояла в том, чтобы рассмотреть диагональное число, начинающееся

5306060020040180.…

а затем изменить каждую его цифру, например прибавив к каждой по единице, за исключением изменения 9 на 0. В таком случае бесконечный десятичный ряд будет начинаться следующим образом:

6417171131151291.…

Это число не могло быть рациональным, поскольку оно отличалось от первого в списке рационального числа в первом десятичном разряде, от 964-го рационального числа в 964-м десятичном разряде, и так далее. Таким образом, число не могло входить в список. А поскольку список содержал все рациональные числа, диагональное число не могло быть рациональным.

Такое наблюдение о существовании иррациональных числах не было новым — об этом было известно еще Пифагору. Суть диагонального метода заключалась в другом. С его помощью Кантор хотел показать, что ни один список не мог включать все «действительные числа», то есть, все числа с бесконечным десятичным рядом, поскольку любой предложенный список определял другое число с бесконечным десятичным рядом, которое бы не учитывалось. Метод Кантора доказал, что в более узком смысле существует больше действительных чисел, чем целых чисел. В результате появилась особая теория бесконечных рядов.

Однако важным для задачи Алана Тьюринга явилось то, что этот метод показал, как рациональное число могло в результате привести к иррациональному числу. Следовательно, точно таким же образом вычислимые числа могли привести к невычислимым числам при помощи диагонального метода Кантора. И как только он пришел к этой мысли, Алан понял, что ответ на вопрос Гильберта на самом деле был отрицательным. Не существовало никакого определенного метода для решения всех математических проблем. Поскольку само существование невычислимого числа могло служить примером одной из неразрешаемых проблем.

Но чтобы представить ясный результат работы, оставалось еще многое сделать. С одной стороны, в его доводах было нечто парадоксальное. Сама уловка Кантора казалась тем самым «определенным методом». Диагональное число имело достаточно четкое и ясное описание, так почему его нельзя было вычислить? И как могло нечто, полученное в результате механистических действий, быть невычислимым? И что бы пошло не так при попытке вычислить его?

Предположим, некто попытался создать «машину Кантора», чтобы произвести подобное диагональное невычислимое число. В общих чертах работа устройства начиналась бы с пустой ленты и записи единицы в пустой ячейке. Затем оно бы произвело первую таблицу, выполнило ее, остановившись на первой записанной цифре и прибавив к ней единицу. После этого считывающее устройство снова начало работу с числом 2, произвело вторую таблицу и выполнило ее до второй записанной цифры, записало результат, добавив единицу. Эти действия выполнялись бы непрерывно и, когда устройство считало бы число 1000, машина произвела бы тысячную таблицу, выполнила ее до тысячной цифры в последовательности, прибавила единицу и записала результат.

Одна часть этого процесса, разумеется, могла быть выполнена при помощи одной из его машин, поскольку процесс «поиска отметки» в заданной таблице и распознавания, какие действия должна выполнить соответствующая машина, сами по себе являлись «механистическим процессом». Машина могла произвести подобные действия. Трудность состояла в том, что таблицы изначально были задуманы в двухмерной форме, но это было лишь технической задачей представить их в том виде, который мог быть помещен на рабочую ленту. На самом деле они могли быть представлены в виде целых чисел почти тем же образом, как Гедель представил формулы и доказательства в виде целых чисел. Алан назвал их «дескриптивными» (описательными) числами, таким образом для каждой таблицы существовало свое дескриптивное число. По сути, это было лишь технической особенностью, средством для записи таблиц на рабочую ленту и их систематизации в «алфавитном порядке». Но за этим скрывалась та же самая блестящая идея, которую уже использовал Гедель, которая состояла в том, что между «числами» и производимыми с ними операциями не было никакого существенного различия. С точки зрения современной математики, все они представляли собой лишь символы.

Из этого следовало, что одна машина могла воспроизводить действия, выполняемые любой другой машиной. Такое устройство Алан назвал универсальной машиной. Она должна была считывать дескриптивные числа, зашифровывать их в таблицы, а затем производить действия этих таблиц. Универсальная машина могла выполнять любые действия, которые производила любая другая таблица, если для этой машины было указано дескриптивное число на рабочей ленте. Такая машина могла выполнять любые действия, и этого было достаточно, чтобы на время крепко задуматься. Более того, такая машина имела совершенно определенны вид, и Алан разработал соответствующую таблицу для универсальной машины.

Механизация Канторова процесса не представляла особой сложности. Трудность состояла в другом необходимом условии, а именно — в создании таблиц в их «алфавитном порядке» для вычислимых чисел. Предположим, что таблицы зашифрованы в виде дескриптивных чисел. На деле они не могли использовать все целые числа. В действительности разработанная Аланом система зашифровывала бы даже самые простые таблицы в виде громаднейших чисел. Но это не имело бы никакого значения. Существенным образом это оставалось вопросом механистического характера, чтобы по очереди обрабатывать целые числа и пропускать те, что не соответствовали указанной таблице. Действительно серьезная проблема представлялась не такой очевидной. Вопрос был следующим: в случае с предоставленной (скажем) 4589-ой и должным образом описанной таблицей, как можно было с уверенностью сказать, что в ходе ее выполнения получится 4589-ая по счету цифра? Или то, что она произведет вообще какие-нибудь цифры? Ведь устройство могло двигаться вперед и назад в непрерывно повторяющемся цикле операций, не производя ни единой новой цифры. В таком случае машина Кантора застрянет на одном действии и никогда не сможет завершить свою работу.

Ответ оставался неизвестным. Не существовало ни единого способа проверить заранее, что таблица сможет произвести бесконечную последовательность цифр. Мог существовать способ для одной определенной таблицы, но не для всех. Ни один механистический процесс и ни одна машина не могли работать над всеми таблицами переходов. Лучшим советом в такой ситуации оставалось: возьми таблицу и попробуйте ее выполнить. Но при таком подходе требовалось неограниченный запас времени, чтобы выяснить, произведет ли таблица бесконечную последовательность цифр. Ни одно правило не могло быть применено к любой таблице с той гарантией, что она предоставит ответ за конечный промежуток времени, что и требовалось для записи диагонального числа. Поэтому процесс Кантора не мог быть механизирован, а невычислимое диагональное число соответственно не могло быть вычислено. Таким образом, идея избавилась от своего внутреннего противоречия.

Дескриптивные числа, которые производили числа с бесконечным десятичным рядом, Алан назвал «удовлетворительными числами». Так он показал, что не существует особого способа определить «неудовлетворительное число». Ему удалось точно установить пример того, в существовании чего Гильберт сомневался — неразрешимой проблемы.

Были и другие способы продемонстрировать, что ни один «механистический процесс» не мог исключить неудовлетворительные числа. Самым эффектным сам Алан считал тот способ, который ставил вопрос с самоссылкой. Поскольку, если такая машина для проверки и существовала, способная определить нахождение неудовлетворительных чисел, она могла быть применена по отношению к самой себе. Но в таком случае, как он доказал, это привело бы к внутреннему противоречию. Поэтому такой машины быть не может.

Так или иначе ему удалось обнаружить неразрешимую проблему и теперь требовалось решить лишь технические вопросы, чтобы доказать, что решение вопроса Гильберта соответствовало той форме, в которой он был изложен. Можно было сказать, что программа Гильберта получила смертельный удар в лице юного Алана Тьюринга. Ему удалось доказать, что математика никогда не будет исчерпана никаким конечным множеством операций. Он коснулся проблемы в самом ее сердце и решил ее при помощи одного простого, но не лишенного особого изящества наблюдения.

Однако это была не просто математическая уловка или его логическая изобретательность. В ходе решения проблемы он сумел создать нечто новое — саму идею своих машин. И следовательно, оставался один вопрос: действительно ли включало его описание такой машины то, что могло считаться «определенным методом»? Достаточно ли было такого набора действий: считывания и записи информации, перемещения и остановки считывающего устройства? Было крайне важно, чтобы это в действительности было так, поскольку в обратном случае всегда будет таиться подозрение, что некоторое расширение функций устройства позволило бы ему решить больший ряд проблем. Чтобы ответить на эти вопросы, Алану пришлось продемонстрировать способность его машин вычислять любое математическое число. Он также показал, что его машина могла обладать программой производства каждого доказуемого утверждения в рамках представления Гильберта о математике. Также он предоставил работу с всесторонним изучением вопроса, которая по праву считалась одной из наиболее захватывающих математических исследований, в котором он смог объяснить определение на примере того, какой процесс происходит в сознании человека, когда производит вычисление, записывая его на бумаге:

Вычисление обычно выполняется путем записи определенных символов на бумаге. Предположим, что лист бумаги поделен на квадраты, в точности как в тетради в клетку. В элементарной арифметике порой используется двумерность бумаги. Но этого можно избежать; также я считаю, что многие согласятся с отсутствием в том необходимости для производимых вычислений. Поэтому смею предположить, что вычисление может быть выполнено на одномерном листе бумаги, то есть на ленте, разделенной на квадраты. Также предположу, что количество возможных напечатанных символов конечно. Если мы допустим, что число символов может быть бесконечным, тогда появилась бы возможность существования символов, различных в произвольно небольшой степени.

«Бесконечное число символов» не соответствовало ничему в реальности. Есть немало оснований возразить тому, что существует бесконечное число символов, поскольку такая арабская цифра, как 17 или 999999999999999 обычно рассматривается в качестве одного символа. Подобным образом в любом европейском языке слова рассматриваются как отдельные символы (хотя китайский язык, например, стремится обладать счетным бесконечным множеством символов).

Но ему удалось избавиться от этого возражения при помощи своего наблюдения, что различия, с нашей точки зрения, между простыми и составными символами заключаются в том, что составные символы, если они слишком длинные, не могут быть оценены при одном взгляде на них. Это жизненный факт. Мы не можем с первого взгляда определить являются ли 9999999999999999 и 9999999999999999 одним числом.

Таким образом, он считал себя вправе ограничить функции машины заданным набором действий. Дальше он выразил наиболее важную идею для своего исследования:

Действия компьютера в любой момент времени строго определены символами, которые он считывает, также как и его «состояние» в текущий момент. Мы можем предположить, сто существует некоторый предел B для числа символов или ячеек, которые компьютер может считывать за одну единицу времени. Чтобы считать следующие символы, ему придется сделать шаг к следующей ячейке. Также предположим, что число подобных состояний, которые должны быть приняты во внимание, также конечно. Причины тому по своей природе схожи с теми, что возникают при ограничении количества символов. Если мы допустим бесконечное число состояний, некоторые из них будут «в некоторой степени похожими» и вследствие этого могут быть перепутаны. Следует еще раз подчеркнуть, что подобное ограничение не оказывает серьезного влияния на производимое вычисление, поскольку использования более сложных состояний можно попросту избежать, записав больше символов на рабочую ленту.

Слово «компьютер» здесь использовалось в своем значении, относящемся к 1936 году: лицо, выполняющее вычисления. В другом месте своей работы он обратился к идее, что «человеческая память неизбежно является ограниченным ресурсом», но эту мысль он выразил в ходе своего размышления о природе человеческого разума. Его предположение, на котором основывались его доводы, о том, что состояния были исчислимы, было довольно смелым предположением. Особенно примечательно это было тем, что в квантовой механике физические состояния могли быть «в некоторой степени похожими». Далее он продолжил рассуждать о природе вычислений:

Представим, что производимые компьютером операции разложены на «простые операции», настолько элементарные, что невозможно представить дальнейшего их разложения на еще более простые операции. Каждая такая операция несет в себе некоторое изменение в физической системе, которую представляют собой компьютер и его лента. Нам известно состояние системы при условии, что мы знаем последовательность символов на рабочей ленте, которую считывает компьютер (возможно, в особом установленном порядке), а также состояние компьютера. Мы можем предположить, что в ходе простой операции не может быть изменено больше одного символа. Любые другие изменения могут быть разложены на более простые изменения подобного вида. Ситуация относительно ячеек с изменяемыми таким образом символами точно такая же, как и в случае со считанными ячейками. Таким образом, мы можем без ограничения общности предположить, что ячейки с измененными символами равнозначны считанным ячейкам.

Помимо подобных изменений символов простые операции должны включать в себя изменения распределения считанных ячеек. Новые считываемые ячейки должны в тот же момент распознаваться компьютером. Думаю, что разумно будет предположить, что такими могут быть лишь те ячейки, расстояние которых от наиболее близко расположенной к только что мгновенно считанной ячейке не превышает определенное установленное число ячеек. Также предположим, что каждая из новых считанных ячеек находится в пределах L — ячеек последней считанной ячейки.

В связи с «немедленным распознаванием», можно полагать, что существуют другие виды ячеек, которые так же немедленно распознаются компьютером. В частности, отмеченные специальными символами ячейки могут считаться немедленно распознаваемыми компьютером. Теперь, если такие ячейки отмечены одинарными символами, их может быть только конечно количество, и мы не должны разрушать нашу теорию, добавляя отмеченные ячейки к тем, что были считаны. С другой стороны, если они отмечены последовательностью символов, мы не можем рассматривать процесс распознавания в качестве простой операции. Этот ключевой момент следует рассмотреть подробнее на примере. Как известно, в большинстве математических работ уравнения и теоремы нумеруются. Обычно нумерация не выходит за пределы (скажем) 1000. Таким образом, становится возможным распознать теорему, лишь взглянув на ее порядковый номер. Но в случае особенно большой работы мы можем столкнуться с теоремой под номером 157767733443477. В таком случае, далее в тексте работы мы можем встретить следующую фразу: «… отсюда (применяя теорему 157767734443477) мы имеем…». И чтобы понять, какая теорема имеется в виду, нам придется сравнить каждую цифру этих двух чисел, возможно даже вычеркивая цифры карандашом, чтобы случайно не посчитать их дважды. И если несмотря на это по-прежнему можно предположить, что существуют другие «немедленно распознаваемые» ячейки, это не опровергает мое утверждение при условии, что ячейки могут быть обнаружены в ходе некоторого процесса, производимый машиной моего типа…

Таким образом, простые операции должны включать:

(a) Изменения символа одной из считанных ячеек

(b) Изменения одной из считанных ячеек на другую ячейку в пределах L-ячеек одной из ранее считанных ячеек.

Может случиться так, что некоторые из этих ячеек повлекут за собой изменение состояния. Таким образом, наиболее простая единичная операция должна быть принята из следующих:

(A) Возможное изменение (a) символа вместе с возможным изменением состояния;

(B) Возможное изменение (b) считанных ячеек вместе с возможным изменением состояния.

Произведенная в таком случае операция определена, как было предположено (выше), состоянием компьютера и считанными символами. В частности, они определяют состояние компьютера после выполнения операции.

«Теперь мы можем сконструировать машину, — писал далее Алан, — чтобы выполнить работу этого компьютера». Смысл его рассуждений был очевиден: каждое состояние вычислителя представлялось в виде конфигурации соответствующей машины.

Поскольку эти состояния казались слабым местом в его рассуждениях, он привел альтернативное подтверждение своей идеи, что его машины могли произвести любой «определенный метод», который в них не нуждался:

Мы (все еще) предполагаем, что вычисление производится на рабочей ленте; но при этом не станем вводить «состояние», рассматривая его физический и более определенный аналог. Вычислитель всегда может прервать свою работу, уйти и забыть о ней, а позже вернуться и снова приняться за нее. В таком случае он должен оставить примечания или инструкции (записанные в привычной форме), поясняющие, как следует продолжить начатую работу. Такое примечание и является аналогом состояния. Предположим, что вычислитель работает несистематически и не производит больше одного шага за один эпизод своей работы. Тогда примечания должны разъяснять, какой шаг он должен выполнить, после чего он должен оставить примечание для следующего шага. Таким образом, состояние прогресса производимого вычисления на любом этапе будет полностью определен примечанием и символами на рабочей ленте…

Эти доказательства разительно отличались друг от друга. На самом деле, они были взаимодополняющими. В первом случае рассматривалось разнообразие мыслей одного человека — число состояний его разума. Во втором же человек рассматривался как бездумный исполнитель предписанных указаний. В обоих случаях мысль Алана касалась противоречия свободы воли и детерминизма, только в одном с точки зрения внутренней воли, а в другом — внешних ограничений. Эти подходы к решению проблемы не имели дальнейшего разъяснения в статье, но послужили хорошей почвой для дальнейших исследований.

Невероятным импульсом для исследования Алана послужила проблема разрешимости, или Entscheidungs problem, поставленной перед учеными-математиками Гильбертом. Вместе с тем ему удалось не только ответить на вопрос, но и сделать при этом нечто большее. Отсюда кажется совершенно естсественным, что свою статью, описывающую основные идеи и ход его рассуждений, он назвал «О вычислимых числах применительно к Entscheidungsproblem». Тем не менее именно лекции Ньюмана помогли выявить нужное направление, в котором возникла возможность решить поставленный вопрос. Так, Алан смог разрешить один из ключевых вопросов в математике, с шумом ворвавшись в научный мир будучи еще никому неизвестным молодым ученым. Его решение проблемы касалось не только абстрактной математики или некоторой игры символов, оно также включало в себя рассуждения о природе отношений человека и физического мира. Это нельзя было назвать наукой с точки зрения проводимых наблюдений и предсказаний. Все, что он сделал — создал новую модель, новую основу. Его методы были сродни той игре воображения, которую использовали Эйнштейн и фон Нейман, ставя под сомнение существующие аксиомы вместо того, чтобы оценивать результаты. Его модель даже не была по-настоящему новой, поскольку раньше уже существовали многие подобные идеи, даже на страницах детской книги «Чудеса природы», представляющие мозг в виде машины, телефонного узла или офисной системы. Ему оставалось лишь объединить такое простое механистичное представление человеческого разума с ясной логикой чистой математики. Его машины, которые в дальнейшем будут называться машинами Тьюринга, стали той самой связью между абстрактными символами и физическим миром. А его образное мышление оказалось, в особенности для Кембриджского университета, пугающим своим индустриальным настроем.

Очевидно, что идея машин Тьюринга была как-то связана с его более ранним изучением теории детерминизма Лапласа. Хотя отношение было достаточно косвенным. С одной стороны, можно было утверждать, что «дух», о котором он ранее рассуждал, не являлся «разумом», решающим задачи интеллектуального характера. С другой стороны, описание машин Тьюринга не имело никакого отношения к физике. Тем не менее, он приложил все усилия, чтобы изложить тезис о «конечном множестве умственных состояний», подразумевающий материальное основание разума, вместо того, чтобы придерживаться лишь доказательства «предписанных указаний». И казалось, что к 1936 году он действительно перестал верить в идеи, которые еще в 1933 году называл в письме миссис Морком «утешительными» — идеи выживания духа и духовной связи. Вскоре он предстал в роли убедительного сторонника материалистических взглядов и признал себя атеистом. Так, Кристофер Морком был похоронен дважды, и Вычислимые Числа ознаменовали окончательное прощание Алана с другом детства.

Однако за внешним изменением скрывалась особая последовательность действий и постоянство. Раньше его заботило то, как совместить идеи воли и духа с научным описанием вопроса именно потому, что он достаточно остро ощущал влияние материалистических взглядов и вместе с тем чудесную силу человеческого разума. Головоломка осталась прежней, но теперь он подошел к ее решению с иной стороны. Вместо того, чтобы пытаться победить детерминизм, он попытался объяснить проявления свободы. Даже у нее должна была быть причина. В какой-то момент Кристофер отвлек его внимание от представления природы, полной чудес, и теперь он ввернулся к своему прежнему мироощущению.

Его постоянство также выражалось и в его непрекращающихся попытках найти определенное, простое и практичное решение парадокса детерминизма и свободы воли, не только в устном философском ключе. Раньше в своих стремлениях он поддержал идею Эддингтона об атомах в человеческом мозге. Он оставался глубоко заинтересованным в области квантовой механики и ее интерпретаций, но он больше не желал заниматься проблемами «пустословия». Теперь он нашел свое собственное дело, представив новый образ мысли об окружающем мире. По сути квантовая физика могла охватывать все существующее, но на практике, чтобы выразить какое-нибудь суждение о мире, требовалось сразу несколько разных уровней описания. Дарвинистский «детерминизм» естественного отбора зависел от случайной «мутации» отдельных генов. Детерминизм химии выражался в системе взглядов, по которому движение отдельных молекул было «случайным». Центральная предельная теорема явилась примером, каким образом при помощи точно установленной системы из полного хаоса мог возникнуть определенный порядок вещей. Наука, как отметил Эддингтон, признала множество различных случаев детерминизма, а вместе с тем множество различных проявлений свободы. В машине Тьюринга Алану удалось создать свой случай детерминизма в виде автоматической машины, производящей операции в рамках логической системы мышления, которую он считал подходящей для изучения человеческого разума.

Вся работа была выполнена им самостоятельно, ни разу он не обратился с обсуждением строения его машин к Ньюману. Лишь однажды он коротко обсудил теорему Геделя с Ричардом Брейтуэйтом во время ужина за профессорским столом. В другой раз он задал вопрос о методе Кантора молодому члену Совета Кингз-Колледжа Алистеру Уотсону (как оказалось, стороннику коммунистов), который только недавно сменил свою область интересов с математики на философию. Он поведал о своих мыслях Дэвиду Чамперноуну, и тот ухватил суть идеи создания универсальной машины, но с издевкой заметил, что такая машина уместится только в здание Алберт-Холла. Это замечание было довольно справедливым и было принято во внимание, поскольку если у Алана и имелись мысли представить свою идею, предложив практическое ей применение, то в самой статье их уже не было. Чуть южнее от Алберт-Холла располагался Музей наук, где хранились останки «Разностной машины» Чарльза Бэббиджа, похожей универсальной машины, спроектированной многими годами ранее. Вполне вероятно, что Алан имел возможность увидеть ее, но даже в таком случае, она не имела очевидного влияния на его идеи и особенности машинного языка. Его «машина» не имела ни одного очевидного аналога в чем-либо современном 1936 году, если только в общих чертах вобрала в себя некоторые черты изобретений, появившихся с развитием электротехнической промышленности: телетайпы, телевизионная разверстка изображения, автоматическая телефонная связь. Это было полностью его собственное изобретение.

Довольно объемистая статья, полная новых идей, с проделанной большой технической работой и ощущением, что множество мыслей не умещались в рамки печатного слова. Работа «Вычислимые числа», должно быть, полностью вырвала Алана из привычной жизни на целый год, начиная с весны 1935 года. Где-то в середине апреля следующего года, вернувшись из поездки в Гилфорд на пасхальные каникулы, он передал машинописный текст работы лично в руки Ньюману.

Оставалось множество вопросов без ответа относительно открытий, совершенных Геделем и Аланом, и того, что имели в виду под свои описанием разума. В конечном решении программы Гильберта оставалось много неопределенностей, хотя оно определенно подавило надежду слишком наивного рационализма иметь возможность решить любую проблему путем вычисления. Для некоторых, включая самого Геделя, неудача попытки доказать последовательность и полноту математики служило новым примером превосходства разума над механизмом. С другой стороны, машина Тьюринга открыло возможности для новой области детерминистической науки. Она служила моделью, в которой наиболее сложные процессы строились из элементарных составляющих — состояний и позиций, считывания информации и ее записи. Вместе с тем она предполагала под собой чудесную математическую игру ума, в которой любой «определенный метод» представлялся в стандартной форме.

Алан доказал, что не существует никакой сверхъестественной машины, которая смогла бы решить все математические проблемы, но в ходе своего доказательства он открыл нечто столь же удивительное: идею универсальной машины, которая могла воспроизвести работу любой другой машины. Также ему удалось доказать, что любое действие, выполняемое человеком за машиной, могло быть произведено самой машиной без вмешательства человека. Таким образом, существовала единая машина, которая путем считывания помещенного на ленту описания работы других машин, могла производить тот же результат, что и умственная деятельность человека. Одна машина могла заменить операциониста! Электрический разум существует!

Между тем смерть Георга Пятого ознаменовала собой переход от протеста против старого порядка к страху перед тем, что могло ожидать впереди. Германия уже победила новое Просвещение и поставила железное клеймо на идеалистах. В марте 1936 года был снова оккупирован Райнленд, и это означало только одно: будущее теперь зависело от политики усиления военной мощи и подготовки к войне. Кто тогда мог увидеть во всем этом связь с судьбой кембриджского математика? И все же связь была, поскольку однажды Гитлер потеряет Райнленд, и именно тогда универсальная машина сможет найти в мире свое практическое применение. Эта идея появилась в результате личной потери Алана Тьюринга. Но между идеей и ее воплощением произойдет в результате жертвы миллионов людей. Но этим жертвам не придет конец даже после свержения власти Гитлера; для мировой Entscheidungs problem также не было найдено решения.