Логика. Учебное пособие Гусев Дмитрий

3.6. Энтимемы и эпихейремы

Поскольку простой силлогизм – это одна из широко распространенных разновидностей умозаключения, он часто используется в повседневном и научном мышлении.

Однако, при его употреблении, мы, как правило, не соблюдаем его жесткую логическую структуру (в которой отчетливо прослеживаются две посылки и вытекающий из них вывод).

Например, вместо того, чтобы сказать:

Все рыбы не являются млекопитающими.

Все киты являются млекопитающими.

Следовательно, все киты не являются рыбами.

мы, скорее всего, скажем: Все киты не рыбы, так как они – млекопитающие, или: Все киты не рыбы, потому что рыбы – не млекопитающие. Нетрудно увидеть, что эти два умозаключения представляют собой сокращенную форму вышеприведенного простого силлогизма.

Таким образом, в мышлении и речи обычно используется не простой силлогизм, а его различные сокращенные разновидности, которые и будут рассмотрены в этом и следующем параграфах.

Энтимема – это простой силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или вывод. Понятно, что из любого силлогизма можно вывести три энтимемы. Например, из силлогизма:

Все металлы электропроводны.

Железо – это металл.

Железо электропроводно.

следуют три энтимемы.

1. Железо электропроводно, так как оно является металлом (пропущена большая посылка).

2. Железо электропроводно, потому что все металлы электропроводы (пропущена меньшая посылка).

3. Все металлы электропроводны, а железо – это металл (пропущен вывод).

Эпихейрема – это простой силлогизм, в котором обе посылки являются энтимемами. Возьмем, два силлогизма и выведем из них энтимемы.

1 силлогизм

Все, что приводит общество к бедствиям, есть зло.

Социальная несправедливость приводит общество к бедствиям.

Социальная несправедливость – это зло.

Пропуская в этом силлогизме большую посылку, получаем

энтимему: Социальная несправедливость – это зло, так как

она приводит общество к бедствиям.

2 силлогизм

Все, что способствует обогащению одних за счет обнищания других, – это социальная несправедливость.

Частная собственность способствует обогащению одних за счет обнищания других.

Частная собственность – это социальная несправедливость.

Пропуская в этом силлогизме большую посылку, получаем энтимему: Частная собственность – это социальная несправедливость, так как она способствует обогащению одних за счет обнищания других.

Если расположить эти две энтимемы друг за другом, то они станут посылками нового, третьего силлогизма, который и будет эпихейремой:

Социальная несправедливость – это зло, так как оно приводит общество к бедствиям.

Частная собственность – это социальная несправедливость, так как она способствует обогащению одних за счет обнищания других.

Частная собственность – это зло.

Как видим, в составе эпихейремы можно выделить три силлогизма: два из них являются посылочными, а один строится из выводов посылочных силлогизмов. Этот последний силлогизм представляет собой основу для окончательного вывода.

3.7. Полисиллогизмы и сориты

Помимо энтимемы и образуемой из нее (т. е. из двух энтимем) эпихейремы существуют еще две разновидности сокращенного простого силлогизма. Это полисиллогизм и образуемый из него сорит

Полисиллогизм, также часто называемый сложным силлогизмом, – это два или несколько простых силлогизмов, связанных между собой таким образом, что вывод одного из них является посылкой следующего. Например:

Фигурными скобками выделены два силлогизма, объединенные в полисиллогизм. Обратим внимание на то, что вывод предыдущего силлогизма стал большей посылкой последующего. В этом случае получившийся полисиллогизм называется прогрессивным. Если же вывод предыдущего силлогизма становится меньшей посылкой последующего, то полисиллогизм называется регрессивным. Например:

Все звезды – это небесные тела.

Солнце – это звезда.

Солнце – это небесное тело.

Все небесные тела участвуют в гравитационных взаимодействиях.

Солнце – это небесное тело.

Солнце участвует в гравитационных взаимодействиях.

Вывод предыдущего силлогизма является меньшей посылкой следующего. Можно заметить, что в этом случае два силлогизма невозможно графически соединить в последовательную цепочку, как в случае прогрессивного полисиллогизма.

Выше говорилось, что полисиллогизм может состоять не только из двух, но и из большего количества простых силлогизмов. Приведем пример полисиллогизма (прогрессивного), который состоит из трех простых силлогизмов.

Сорит, также часто называемый сложносокращенным силлогизмом, – это полисиллогизм, в котором пропущена посылка последующего силлогизма, являющаяся выводом предыдущего. Вернемся к рассмотренному выше примеру прогрессивного полисиллогизма и пропустим в нем большую посылку второго силлогизма, которая представляет собой вывод первого силлогизма. Получится прогрессивный сорит:

Все, что развивает мышление, полезно.

Все интеллектуальные игры развивают мышление.

Шахматы – это интеллектуальная игра.

Шахматы полезны.

Теперь обратимся к рассмотренному выше примеру регрессивного полисиллогизма и пропустим в нем меньшую посылку второго силлогизма, которая является выводом первого силлогизма. Получится регрессивный сорит:

Все звезды – это небесные тела.

Солнце – это звезда.

Все небесные тела участвуют в гравитационных взаимодействиях.

Солнце участвует в гравитационных взаимодействиях.

Сделаем прогрессивный сорит из вышеприведенного прогрессивного полисиллогизма, состоящего из трех простых силлогизмов:

Все материальное имеет физические свойства.

Все объекты Вселенной материальны.

Кванты – это объекты Вселенной.

Фотоны – это кванты электромагнитного поля.

Фотоны имеют физические свойства.

Итак, на практике, т. е. в повседневном мышлении обычно используется не простой, категорический силлогизм, а его различные сокращенные формы: энтимемы, эпихейремы, полисиллогизмы и сориты.

3.8. Умозаключения с союзом «или»

Обе посылки и вывод простого, или категорическом силлогизма являются простыми суждениями (А, I, Е, О). Если же одна из посылок силлогизма или обе его посылки представлены сложными суждениями (конъюнкция, нестрогая и строгая дизъюнкция, импликация, эквиваленция), то мы имеем дело с силлогизмом (или умозаключением) других видов, о которых и пойдет речь далее.

В разделительно-категорическом силлогизме (или умозаключении), как явствует из названия, первая посылка представляет собой разделительное, или дизъюнктивное суждение, а вторая посылка – это простое, или категорическое суждение. Например:

Учебное заведение может быть начальным или средним, или высшим.

МГУ является высшим учебным заведением.

МГУ – это не начальное и не среднее учебное заведение.

Разделительно-категорический силлогизм имеет два модуса. В утверждающе-отрицающем модусе, который также называют модусом понендо толленс (лат. modus ponendo tollens) первая посылка представляет собой строгую дизъюнкцию нескольких вариантов чего-либо, во второй посылке утверждается один из них, а в выводе отрицаются все остальные (таким образом, рассуждение движется от утверждения к отрицанию). Например:

Леса бывают хвойными или лиственными, или смешанными.

Этот лес хвойный.

Этот лес не лиственный и не смешанный.

С помощью условных обозначений логических союзов можно представить форму данного силлогизма в виде следующей записи: ((а в с) а) (¬в ¬с), где (а в с) – это первая посылка в виде строгой дизъюнкции трех простых суждений; а – это вторая посылка в виде утверждения одного из них; ((а в с) а) – это две посылки силлогизма, соединенные знаком конъюнкции; (¬в ¬с) – это вывод силлогизма в виде конъюнкции отрицаний двух оставшихся простых суждений, входивших в первую посылку; знак импликации () показывает, что из посылок следует вывод.

В отрицающе-утверждающем модусе, который также называют модусом толлендо поненс (лат. modus tollendo ponens) первая посылка представляет собой строгую дизъюнкцию нескольких вариантов чего-либо, во второй посылке отрицаются все данные варианты, кроме одного, а в выводе утверждается этот один оставшийся вариант (таким образом, рассуждение движется от отрицания к утверждению). Например:

Люди бывают европеоидами, или монголоидами, или негроидами.

Этот человек не монголоид и не негроид.

Этот человек является европеоидом.

С помощью условных обозначений логических союзов можно представить форму данного силлогизма в виде следующей записи: ((а в с) (¬в ¬с)) а, где (а в с) – это первая посылка в виде строгой дизъюнкции трех простых суждений; (¬в ¬с) – это вторая посылка в виде конъюнкции отрицаний двух из них; (а в с) (¬в ¬с) – это две посылки силлогизма, соединенные знаком конъюнкции; а – это вывод силлогизма в виде утверждения третьего простого суждения, входившего в первую посылку; и наконец, импликацией () объединяются посылки и вывод силлогизма.

3.9. Правила умозаключений с союзом «или»

Первая посылка разделительно-категорического силлогизма (умозаключения) является строгой дизъюнкцией, т. е. представляет собой уже знакомую нам логическую операцию деления понятия. Поэтому неудивительно, что правила этого силлогизма повторяют известные нам правила деления понятия.

1. Деление в первой посылке должно проводиться по одному основанию. Например, силлогизм:

Транспорт бывает наземным или подземным, или водным, или воздушным, или общественным.

Пригородные электропоезда – это общественный транспорт.

Пригородные электропоезда – это не наземный, не подземный, не водный и не воздушный транспорт.

построен по утверждающе-отрицающему модусу: в первой посылке представлено несколько вариантов, во второй

посылке один из них утверждается, в силу чего в выводе отрицаются все остальные. Однако из двух истинных посылок вытекает ложный вывод. Почему так получается? Потому что в первой посылке деление проводилось по двум разным основаниям (в какой природной среде передвигается транспорт и кому он принадлежит). Подмена основания деления в первой посылке разделительно-категорического силлогизма приводит к ложному выводу.

2. Деление в первой посылке должно быть полным. Например, в силлогизме:

Математические действия бывают сложением или вычитанием, или умножением, или делением.

Логарифмирование – это не сложение, не вычитание, не умножение и не деление.

Логарифмирование – это не математическое действие. неполное деление в первой посылке обусловливает ложный вывод, вытекающий из истинных посылок.

3. Результаты деления в первой посылке не должны пересекаться, или дизъюнкция должна быть строгой. Например, в силлогизме:

Страны мира бывают северными или южными, или западными, или восточными.

Канада – это северная страна.

Канада – это не южная, не западная и не восточная страна.

вывод является ложным, т. к. Канада в такой же степени северная страна, в какой и западная. Ложный вывод при истинных посылках объясняется в данном случае пересечением результатов деления в первой посылке, или, что одно и то же, – нестрогой дизъюнкцией. Следует отметить, что нестрогая дизъюнкция в разделительно-категорическом силлогизме допустима в том случае, когда он построен по отрицающе-утверждающему модусу. Например, в силлогизме:

Он силен от природы или же – постоянно занимается спортом.

Он не является сильным от природы.

Он постоянно занимается спортом.

нет ошибки, несмотря на то, что дизъюнкция в первой посылке была нестрогой. Таким образом, рассматриваемое правило безоговорочно действует только для утверждающе-отрицающего модуса разделительно-категорического силлогизма.

4. Деление в первой посылке должно быть последовательным. Например, в силлогизме:

Предложения бывают простыми или сложными, или сложносочиненными.

Это предложение сложносочиненное.

Это предложение не простое и не сложное.

ложный вывод следует из истинных посылок по той причине, что в первой посылке был допущен скачок в делении.

Разделительно-категорический силлогизм в логике часто называют просто разделительно-категорическим умозаключением. Помимо него существует также чисто разделительное умозаключение, или чисто разделительный силлогизм, обе посылки и вывод которого являются разделительным, или дизъюнктивными суждениями. Например:

Зеркала бывают плоскими или сферическими.

Сферические зеркала бывают вогнутыми или выпуклыми.

Зеркала бывают плоскими или вогнутыми, или выпуклыми.

Форму приведенного умозаключения (чисто разделительного силлогизма) можно представить следующим образом: ((а в) (в₁ в₂)) (а в₁ в₂), где (а в) – первая посылка, (в₁ в₂) – вторая посылка, (а в₁ в₂) – вывод.

Итак, умозаключения с союзом «или» могут быть разделительно-категорическими или чисто разделительными.

3. 10. Умозаключения с союзом «если… то»

Если в разделительно-категорическом умозаключении первая посылка – это разделительное, или дизъюнктивное суждение, то в условно-категорическом умозаключении (или силлогизме) первая посылка является условным, или импликативным суждением. Вторая его посылка, как и в разделительно-категорическом силлогизме представляет собой простое, или категорическое суждение. Например:

Если взлетная полоса покрыта льдом, то самолеты не могут взлетать.

Сегодня взлетная полоса покрыта льдом.

Сегодня самолеты не могут взлетать.

Условно-категорический силлогизм имеет два модуса. В утверждающем модусе, который также называют модусом поненс (лат. modus ponens) первая посылка представляет собой импликацию, состоящую, как мы уже знаем, из двух частей – основания и следствия, вторая посылка является утверждением основания, а в выводе утверждается следствие. например:

Если вещество – металл, то оно электропроводно.

Данное вещество – это металл.

Данное вещество электропроводно.

Форма утверждающегомодуса условно-категорического силлогизма: ((а в) а) в, где (а в) – это первая посылка в виде импликации основания (а) и следствия (в); ((а в) а) – это две посылки силлогизма в виде двухчленной конъюнкции, состоящей из уже упомянутой импликации и утверждения основания; в – это вытекающий из посылок вывод силлогизма в виде утверждения следствия.

В отрицающем модусе, который также называют модусом толленс (лат. modus tollens) первая посылка представляет собой импликацию основания и следствия, вторая посылка является отрицанием следствия, а в выводе отрицается основание. Например:

Если вещество – металл, то оно электропроводно.

Данное вещество неэлектропроводно.

Данное вещество – не металл.

Форма отрицающего модуса условно-категорического силлогизма: ((а в) ¬в) а, где (а в) – это первая посылка в виде импликации основания (а) и следствия (в); ((а в) ¬в) – это две посылки силлогизма в виде двухчленной конъюнкции, состоящей из уже упомянутой импликации и отрицания следствия; а – это вытекающий из посылок вывод силлогизма в виде отрицания основания.

Необходимо обратить внимание на уже известную нам особенность импликативного суждения, которая состоит в том, что основание и следствие нельзя поменять местами. Например, высказывание: Если вещество – металл, то оно электропроводно является верным, т. к. все металлы – это электропроводники (из того, что вещество – металл, с необходимостью вытекает его электропроводность). Однако, высказывание: Если вещество электропроводно, то оно – металл, неверно, т. к. не все электропроводники являются металлами (из того, что вещество электропроводно, не вытекает то, что оно – металл). Эта особенность импликации обуславливает два правила условно-категорического умозаключения, или силлогизма.

3.11. Правила умозаключений с союзом «если… то»

1. Утверждать можно только от основания к следствию, т. е. во второй посылке утверждающего модуса должно утверждаться основание импликации (первой посылки), а в выводе – ее следствие. В противном случае из двух истинных посылок может вытекать ложный вывод. Например, в условно-категорическом силлогизме:

Если слово стоит в начале предложения, то его надо писать с большой буквы.

Слово «Москва» надо писать с большой буквы.

Слово «Москва» всегда стоит в начале предложения.

во второй посылке утверждалось следствие, а в выводе – основание (((а в) в) а). Это утверждение от следствия к основанию и является причиной ложного вывода при истинных посылках.

2. Отрицать можно только от следствия к основанию, т. е. во второй посылке отрицающего модуса должно отрицаться следствие импликации (первой посылки), а в выводе – ее основание. В противном случае из двух истинных посылок может вытекать ложный вывод. Например, в условно-категорическом силлогизме:

Если слово стоит в начале предложения, то его надо писать с большой буквы.

В данном предложении слово «Москва» не стоит в начале.

В данном предложении слово «Москва» не надо писать с

большой буквы.

во второй посылке отрицается основание, а в выводе – следствие (((а в) ¬а) в). Это отрицание от основания к следствию и является причиной ложного вывода при истинных посылках.

Вспомним, что среди сложных суждений помимо импликации (а в) есть также эквиваленция (а в). Если в импликации всегда выделяется основание и следствие, то в эквиваленции нет ни того, ни другого, т. к. она представляет собой сложное суждение, обе части которого тождественны (эквивалентны) друг другу. Если первой посылкой силлогизма является не импликация, а эквиваленция, то такой силлогизм называется эквивалентно-категорическим (или – эквивалентно-категорическим умозаключением) Например:

Если число четное, то оно делится без остатка на 2.

Число 16 – четное.

Число 16 делится без остатка на 2.

((а в) а) в)

поскольку в первой посылке эквивалентно-категорического силлогизма нельзя выделить ни основания, ни следствия, то рассмотренные выше правила условно-категорического силлогизма к нему неприменимы (в эквивалентно-категорическом силлогизме и утверждать, и отрицать можно как угодно). Если в условно-категорическом силлогизме два модуса правильных и два неправильных (см. выше), то в эквивалентно-категорическом силлогизме все четыре модуса являются правильными:

1. ((а в) а) в

2. ((а в) в) а

3. ((а в) ¬а) в

4. ((а в) ¬в) а

читатель без труда сможет подобрать примеры для каждого из этих четырех модусов эквивалентно-категорического силлогизма.

Итак, если одна из посылок силлогизма является условным, или импликативным суждением, а вторая – категорическим, или простым, то перед нами условно-категорический силлогизм (также часто называемый условно-категорическим умозаключением). Если же обе посылки представляют собой условные суждения, то это чисто условный силлогизм, или чисто условное умозаключение.

Например:

Если вещество является металлом, то оно электропроводно.

Если вещество электропроводно, то его невозможно использовать в качестве изолятора.

Если вещество является металлом, то его невозможно

использовать в качестве изолятора.

((а в) (в с)) (а с)

В данном случае не только обе посылки, но и вывод силлогизма являются условными (импликативными) суждениями. Другая разновидность чисто условного силлогизма:

Если треугольник является прямоугольным, то его площадь

равна половине произведения его основания на высоту.

Если треугольник не является прямоугольным, то его

площадь равна половине произведения его основания на

высоту.

Площадь треугольника равна половине произведения его

основания на высоту.

((а в) (¬а в)) в

Как видим, в этой разновидности чисто условного силлогизма обе посылки являются импликативными суждениями, но вывод, в отличие от первой рассмотренной разновидности, представляет собой простое суждение.

Итак, умозаключения с союзом «если… то» могут быть условно-категорическими, чисто условными и эквивалентно-категорическими.

3.12. Дилеммы

Помимо разделительно-категорических и условно-категорических умозаключений, или силлогизмов существуют также условно-разделительные умозаключения.

В условно-разделительном умозаключении, или силлогизме первая посылка является условным, или импликативным суждением, а вторая посылка – это разделительное, или дизъюнктивное суждение. Важно отметить, что в условном, или импликативном суждении может быть не одно основание и одно следствие (как в тех примерах, которые мы рассматривали до сих пор), а больше оснований или следствий.

Например, в суждении: Если поступать в МГУ, то надо много заниматься или же надо иметь много денег из одного основания вытекает два следствия, что с помощью условных обозначений можно представить в виде формулы (а в) (а с). В суждении: Если поступать в МГУ, то надо много заниматься, а если поступать в МГИМО, то тоже надо много заниматься из двух оснований вытекает одно следствие – (а в) (с в). В суждении: Если страной праит мудрый человек, то она процветает, а если ей управляет проходимец, то она бедствует из двух оснований вытекает два следствия – (а в) (с d). В суждении: Если я выступлю против окружающей меня несправедливости, то останусь человеком, хотя жестоко пострадаю; если равнодушно пройду мимо нее, то перестану себя уважать, хотя и буду цел и невредим; а если стану всячески содействовать ей, то превращусь в животное, хотя и достигну материального и карьерного благополучия из трех оснований вытекает три следствия – (а в) (с d) (e f).

Если в первой посылке условно-разделительного силлогизма содержится два основания или следствия, то такой силлогизм называется дилеммой, если оснований или следствий три, то он называется трилеммой, а если первая посылка включает в себя более трех оснований или следствий, то силлогизм является полимемой. Чаще всего в мышлении и речи встречается дилемма, на примере которой мы и рассмотрим условно-разделительный силлогизм (также часто называемый условно-разделительным умозаключением).

Дилемма может быть конструктивной (утверждающей) и деструктивной (отрицающей). Каждый из этих видов дилеммы, в свою очередь, делится на две разновидности: как конструктивная так и деструктивная дилемма может быть простой и сложной.

В простой конструктивной дилемме из двух оснований вытекает одно следствие, вторая посылка представляет собой дизъюнкцию оснований, а в выводе утверждается это одно следствие в виде простого суждения. Например:

Если поступать в МГУ, то надо много заниматься, а если

поступать в МГИМО, то тоже надо много заниматься.

Можно поступать в МГУ или МГИМО.

Надо много заниматься.

(((а в) (с в)) (а с)) в

В первой посылке сложной конструктивной дилеммы из двух оснований вытекает два следствия, вторая посылка представляет собой дизъюнкцию оснований, а вывод является сложным суждением в виде дизъюнкции следствий. Например:

Если страной правит мудрый человек, то она процветает,

а если ей управляет проходимец, то она бедствует.

Страной может управлять мудрый человек или проходимец.

Страна может процветать или бедствовать.

(((а в) (с d)) (а с)) (в d)

В первой посылке простой деструктивной дилеммы из одного основания вытекает два следствия, вторая посылка представляет собой дизъюнкцию отрицаний следствий, а в выводе отрицается основание (происходит отрицание простого суждения). Например:

Если поступать в МГУ, то надо много заниматься, или же

надо много денег.

Я не хочу много заниматься, или же – тратить много денег.

Я не буду поступать в МГУ.

(((а в) (а с)) (¬в ¬с)) ¬а

В первой посылке сложной деструктивной дилеммы из двух оснований вытекают два следствия, вторая посылка представляет собой дизъюнкцию отрицаний следствий, а вывод является сложным суждением в виде дизъюнкции отрицаний оснований. Например:

Если философ считает первоначалом мира материю, то он материалист, а если он считает первоначалом мира сознание, то он идеалист.

Этот философ не материалист или не идеалист.

Этот философ не считает первоначалом мира материю, или он не считает первоначалом мира сознание.