Мир по Эйнштейну. От теории относительности до теории струн Дамур Тибо

Сэр Дж. Томсон предоставил слово первому оратору: представителю Королевского астрономического общества сэру Фрэнку Дайсону – человеку, нашедшему в себе достаточно смелости, чтобы в самый разгар кровопролитной войны принять решение (после предложения, сделанного физиком Артуром Эддингтоном) об организации двух необычных научных экспедиций. Дайсон описал цель экспедиций, использованное оборудование и весьма сложные методы анализа полученных экспериментальных данных. Он закончил свое выступление следующими словами:

«После тщательного изучения фотопластин я могу утверждать, что нет никаких сомнений в том, что эти данные полностью подтверждают предсказание Эйнштейна. Результаты наблюдений вполне однозначны – свет отклоняется в соответствии с законом гравитации Эйнштейна».

Далее он передал слово двум ученым, возглавлявшим экспедиции: первым выступил А. Кроммелин от экспедиции, наблюдавшей затмение в Собрале (Бразилия), а затем – Артур Эддингтон от экспедиции на остров Принсипи, расположенный к западу от африканского побережья. Оба результата наблюдения отклонения света, проходящего вблизи края солнечного диска (около 2 угловых секунд в случае Собрала и около 1,6 угловой секунды в случае Принсипи), подтвердили предсказание Эйнштейна, исключив два других варианта, имеющих объяснение в рамках ньютоновской физики. Несмотря на весьма большой диапазон погрешностей измерения – 6 % для Собрала и почти 20 % для Принсипи – и возможность недооценки даже этих значений, в справедливости предсказаний Эйнштейна и в несоответствии «предсказаний» Ньютона удалось убедить (почти) всех присутствующих в ходе обсуждения после представления результатов.

Физик Людвиг Зильберштейн, единственный настроенный критически, призвал собравшихся к благоразумию. С выразительным жестом в сторону портрета Ньютона, как бы призывая его в качестве свидетеля, он воскликнул: «Ради памяти этого великого человека мы должны действовать чрезвычайно осторожно, прежде чем изменять или пересматривать его закон всемирного тяготения». Но для подавляющего большинства участников дискуссия была уже закончена, и сэр Дж. Томсон, президент Королевского общества и преемник Ньютона в этом титуле, вызвал всеобщее одобрение, подведя итог: «Это самый важный результат, полученный с момента, когда Ньютон огласил свои принципы, и в высшей степени уместно, что он впервые объявлен именно на заседании Общества, так глубоко с ним связанного. Это действительно одно из величайших достижений человеческой мысли». Вместе с тем сэр Дж. Томсон выразил сожаление, что это «величайшее достижение человеческой мысли» было также одним из наиболее непостижимых, поскольку «никто не мог понять закон гравитации Эйнштейна, не имея углубленного знания теории инвариантов и вариационного исчисления».

В конце заседания публика расходилась, оживленно комментируя результаты и обсуждая новый слух о том, что во всем мире в действительности лишь три человека по-настоящему разбираются в общей теории относительности Эйнштейна. Зильберштейн, тот самый, кто призывал к осторожности, и между тем считавшийся одним из немногих специалистов по теории относительности, подошел на выходе к Эддингтону, тому самому, кто инициировал исследования затмения 1919 г., и также обладавшему глубокими познаниями в теории Эйнштейна, чтобы поздравить его с успехом и с тем, что, несомненно, именно Эддингтон – один из тех трех, которые действительно понимают общую теорию относительности. Эддингтон ничего не ответил. «Не будьте таким скромным, Эддингтон!» – продолжал Зильберштейн, по-видимому ожидая, что Эддингтон ответит ему взаимным комплиментом. «Ну что вы, – отвечал Эддингтон. – Мне просто интересно, кто же третий».

Внезапно знаменитый

Встреча 6 ноября 1919 г. вызвала лавинообразный поток газетных статей по всему миру и неожиданно принесла Эйнштейну высокую популярность в средствах массовой информации, которая будет сопровождать Эйнштейна до конца жизни. На следующий день после совместного заседания Лондонского королевского общества и Королевского астрономического общества лондонская Times напечатала статью под заголовком: «Революция в науке. Новая теория Вселенной. Идеи Ньютона отвергнуты». Два дня спустя New York Times также подвела итог встречи в Лондоне и, немного приукрасив, процитировала заключительные слова сэра Дж. Томсона: «Это одно из наиболее важных – если не самое важное – достижение человеческой мысли». На следующий день опять же New York Times опубликовала серию статей, заголовки которых были выбраны таким образом, чтобы заинтриговать читателя: «Весь свет искажается в небе», «Ученые потрясены результатами наблюдений затмения», «Теория Эйнштейна торжествует» или «Теория, которую могут понять лишь 12 человек во всем мире».

Легенда о том, что лишь немногие люди в мире способны понять теорию Эйнштейна, стала, таким образом, распространяться в средствах массовой информации, как лесной пожар. Воспользуемся этим, чтобы прояснить два обстоятельства. Прежде всего отметим, что сегодня каждый студент технического вуза в конце второго курса способен за несколько часов выучить математический формализм общей теории относительности Эйнштейна. Технически это гораздо менее сложная теория, чем, скажем, квантовая теория поля или теория струн. В то же время она остается сравнительно трудной для понимания на концептуальном уровне. Каждый год появляются научные статьи, авторы которых демонстрируют ошибочное понимание основ теории. Более того, некоторые из самых актуальных вопросов в этой области (например, касающиеся изучения взаимодействия двух черных дыр и их гравитационного излучения) настолько сложны как с физической, так и с математической точки зрения, что во всем мире существует лишь небольшая группа специалистов, способных с ними разобраться. И, наконец, сочетание концептуальной тонкости и хитроумной математической формулировки приводит к тому, что даже сегодня (возможно, особенно сегодня) популяризация этой теории остается весьма непростой задачей, как только возникает желание выйти за рамки обычных упрощенных представлений и определенных приближений, которые между тем выхолащивают суть теории.

Как бы то ни было, уникальное сочетание обстоятельств и фактов, сложившихся вокруг теории Эйнштейна в 1919 г., гарантировало ей и ее автору прочную (и оправданную) международную известность. Напомним некоторые из них: свершившаяся широкомасштабная революция в области фундаментальных понятий реальности (пространства, времени, силы, материи); глубина и новизна теории Эйнштейна, благодаря которым большинство ученых было вынуждено признать неспособность в ней разобраться; яркая внешность и прекрасное чувство юмора автора; впечатляющее подтверждение английскими учеными теории, разработанной в Германии; и, наконец, первая возможность снова поднять голову к звездам после только что закончившейся страшной и кровопролитной войны.

«Самая счастливая мысль моей жизни»

Вернемся же к тому ключевому моменту, когда Эйнштейн осознал необходимость обобщения теории относительности, выдвинутой им в июньской статье 1905 г. (с тех пор называемой «специальной» теорией). Спустя два года после выхода статьи, специальная теория относительности привлекла интерес ряда известных (или ставших таковыми впоследствии) ученых. Выдающийся физик-экспериментатор Йоханнес Штарк предложил Эйнштейну написать обзорную статью с основным упором на идеи этой теории, которая прояснила бы ее основные принципы и следствия, а также выявила ее взаимоотношения с экспериментом. Именно в этой статье Эйнштейн прокомментировал полученные Кауфманом экспериментальные результаты в том духе, как было процитировано ранее. Эйнштейн потратил около двух месяцев на эту обзорную статью. Он по-прежнему зарабатывал на жизнь, выступая в качестве эксперта патентного бюро в Берне, и, таким образом, располагал весьма ограниченным свободным временем, которое мог посвятить этому занятию. Тем не менее он использовал все свободные моменты в течении рабочего дня, чтобы поразмышлять о физике. Именно так, в процессе глубокого размышления о значении принципа относительности, в один прекрасный день, проведенный в патентном бюро, в ноябре 1907 г. возникло то, что он назвал «самой счастливой мыслью своей жизни»:

«Я сидел в кресле в патентном бюро Берна, когда вдруг меня озарила следующая мысль: человек, находящийся в состоянии свободного падения, не может чувствовать своего веса. Я был просто поражен. Эта простая и настолько очевидная мысль произвела на меня огромное впечатление. Именно она привела меня к созданию новой теории гравитации».

Поясним физическую подоплеку этой идеи. Для начала вернемся в 1638 г., когда Галилей написал свой главный научный труд «Беседы и математические доказательства двух новых наук». Посредством удивительного сочетания логических рассуждений, мысленных и реальных экспериментов, проведенных на наклонной плоскости^{65}, Галилей смог первым осознать тот принцип, который сегодня известен как свойство «универсальности свободного падения», или «слабый принцип эквивалентности». Приведем вывод, к которому приходит Галилей в результате цепочки рассуждений, [мысленно] меняя соотношение между плотностью рассматриваемых свободно падающих тел и сопротивлением окружающей среды: «Тогда, изучая эти факты, я пришел к выводу, что в среде, полностью лишенной сопротивления, все тела будут падать с одинаковой скоростью»^{66}. Вспомним, что этот факт был непосредственно проверен первыми космонавтами, ступившими на Луну. Используя отсутствие атмосферы (и, следовательно, отсутствие сопротивления, обусловленного наличием среды), они рассмотрели одновременное падение молотка и пера и констатировали, что два объекта падают абсолютно синхронно.

Конечно же, физики не ждали 1969 г., чтобы с большой экспериментальной точностью проверить предположение Галилея о том, что в отсутствии сопротивления среды все тела падают одинаково (т. е. с одинаковым ускорением) во внешнем гравитационном поле. Первые точные экспериментальные подтверждения были получены еще великим Ньютоном, который сравнивал колебания двух маятников одинаковой внешней формы, но разного состава и веса. Ньютон был также первым, кто понял, что это свойство универсальности свободного падения говорит нам нечто важное о природе гравитации. Действительно, фундаментальный закон динамики, предложенный Ньютоном в 1686 г., гласит, что сила F, действующая на тело с массой m и придающая ему ускорение a, определяется простой формулой F = ma. Эта формула говорит нам, что заданная внешняя сила F не будет придавать одинаковое ускорение различным телам. Скажем, если тело A имеет массу в два раза большую, чем тело B, то сила F придаст телу A ускорение в два раза более слабое, нежели телу B. Таким образом, можно сказать, что тело A в два раза более инертно, чем тело B. В итоге фундаментальный закон динамики Ньютона показывает, что масса тела m (мыслимая Ньютоном как количество материи) измеряет инерцию данного тела, т. е. его способность сопротивляться изменению характера движения.

Мы также видим, что любое ускорение, сообщаемое внешним взаимодействием, не обладает свойством универсальности. Например, электрическое поле будет сообщать разные ускорения различным телам. При этом ускорение каждого тела будет зависеть как от величины его массы, так и от величины его электрического заряда. Аналогичным образом ускорение, сообщенное магнитным полем, также не имеет универсальных свойств. С этой точки зрения примечательно, что гравитационное поле, такое как поле земного (или лунного) притяжения, придает одинаковое ускорение всем телам, расположенным в одной и той же точке пространства. В случае гравитационного поля приложенная к телу сила называется его весом. Таким образом, Ньютон понял, что среди всех сил только вес обладает свойством быть в точности пропорциональным массе. Другими словами, гравитационная сила пропорциональна инерции тела, на которое она действует.

Эта глубокая и таинственная связь между тяготением и инерцией была математически включена Ньютоном в его теорию гравитации. По сути, он заявил, что масса играет три разные роли, выступая в качестве меры инерции тела, меры отклика тела на внешнее гравитационное поле и, наконец, в качестве меры самого гравитационного поля, создаваемого телом. За два с лишним века, прошедших со времен работы Ньютона, ученые перестали удивляться тому замечательному факту, что масса имеет заведомо несколько различных значений.

Лифт Эйнштейна

Однако в ноябрьский день 1907 г. Эйнштейн вдруг понял, что связь между инерцией и гравитацией должна обладать важным скрытым значением, которое необходимо прояснить. Таким образом, он начал путь, который продлится восемь лет и на котором ему встретится огромное количество почти непреодолимых препятствий, прежде чем удастся подойти в ноябре 1915 г. к созданию новой теории пространства, времени и гравитации.

Первым этапом этого долгого пути к пониманию был любопытный мысленный эксперимент. Обобщая «подсознательную» интуитивную догадку о том, что человек в свободном падении не чувствует своего веса, Эйнштейн представил, что можно было бы наблюдать в свободно падающем лифте. Из-за универсальности свободного падения любые объекты внутри лифта будут «падать» с одинаковым ускорением во внешнем гравитационном поле. В частности, они будут падать с тем же ускорением, что и сам лифт. Таким образом, по отношению к стенкам лифта все эти объекты будут иметь нулевое относительное ускорение. Другими словами, они должны просто свободно плавать без ускорения, либо всегда оставаясь в покое (если изначально имели нулевую скорость по отношению к стенкам лифта), либо двигаясь прямолинейно с постоянной скоростью (если изначально им сообщалась определенная скорость). Такое поведение знакомо нам из образов, связанных с исследованием космического пространства. Это то, что называют невесомостью, царящей внутри космического корабля при свободном падении в гравитационном поле Земли. Выражаясь физическим языком, можно сказать, что внутренность лифта или космического корабля определяет некоторую систему координат или просто систему. Лифт, таким образом, определяет систему, находящуюся в свободном падении. Тогда можно резюмировать наблюдения, сделанные внутри такой свободно падающей системы, сказав, что внешнее гравитационное поле в ней исчезает.

Эйнштейн рассмотрел также другую ситуацию, когда внешнее гравитационное поле отсутствует. Скажем, вместо того чтобы находится вблизи поверхности Земли (там, где масса Земли создает сильное гравитационное поле), можно находится далеко от каких бы то ни было масс – далеко от Земли, от Солнца, от всей нашей галактики, а также от всех других галактик. [Имеется в виду мысленный эксперимент, в котором можно представить существование такой области.] Давайте снова рассмотрим «лифт», расположенный в области, где нет никакого «реального» гравитационного поля. Затем Эйнштейн представляет, что лифту придают ускорение, вытягивая его с некоторой силой в определенном направлении, которое мы будем называть направлением «вверх». Внутри такого лифта, получающего ускорение «вверх», будет происходить процесс, похожий на тот, что мы часто наблюдаем в различных транспортных средствах: например, в автомобиле, начинающем ускоряться вперед, пассажиров будет прижимать к сидениям, а любые незакрепленные предметы в результате этого ускорения будут перемещаться назад по отношению к корпусу автомобиля. Таким образом, внутри ускоряющегося «вверх» лифта все объекты будут ускоряться «вниз». Это ускорение является универсальным, т. е. одинаковым для всех тел независимо от их массы и состава. Иначе говоря, это ускорение в точности соответствует универсальному ускорению, которое придается лифту «истинным» внешним гравитационным полем. Эйнштейн заключает отсюда, что все происходит так, как если бы ускорение, сообщаемое лифту и воспринимаемое внутри этого лифта, создавалось кажущимся гравитационным полем. Эти мысленные эксперименты указали ему на глубокую связь, которая существует между гравитацией и инерцией: используя различные эффекты ускорения (и тем самым инерционные свойства тел), можно либо избавиться от реального гравитационного поля, либо создать кажущееся гравитационное поле.

В направлении обобщения теории относительности

Почему же Эйнштейн считал существенной эту возможность смены ролей инерции и гравитации в тот момент, когда он писал обзорную статью по специальной теории относительности в 1905 г.? Вспомним главное интуитивное утверждение принципа относительности в том виде, как его сформулировал Галилей: «движение неотличимо от покоя». Однако это утверждение относится только к движению по прямой и c постоянной скоростью. Все знали, что только на корабле, который плавно движется в неизменном направлении, невозможно обнаружить эффект этого движения. Когда корабль резко поворачивает или ускоряется, пассажиры в каюте могут это почувствовать. Таким образом, до Эйнштейна все думали, что принцип относительности применим лишь к прямолинейному и равномерному относительному движению. Между тем Эйнштейн понял, что он может распространить принцип относительности на случай ускоренного движения (как по прямой, так и на криволинейных участках в поворотах). Однако, чтобы разобраться с таким обобщением, необходимо было принять во внимание гравитацию. Он не мог более говорить, что «ускоренное движение неотличимо от покоя», но он мог сказать, что «ускоренное движение неотличимо от гравитационного поля». Другими словами, что существует эквивалентность между ускорением и гравитацией.

Как мы уже говорили, научная методология Эйнштейна состоит, по возможности, в принятии в качестве отправной точки некоторых общих принципов, позволяющих связывать законы физики. Таким образом, в 1907 г. он предложил новый физический принцип: принцип эквивалентности гравитации и ускорения (или гравитации и инерции, поскольку кажущиеся эффекты внешнего ускорения называются «силами инерции»). В руках Эйнштейна этот принцип стал уникальным инструментом для построения в 1907–1915 гг. обобщения теории относительности 1905 г. Эта теория получила название обобщенной теории относительности, или, проще говоря, общей теории относительности.

Теория Эйнштейна одной фразой и одним образом

Общую теорию относительности, или теорию гравитации, Эйнштейна можно резюмировать одной фразой: пространство-время имеет эластичную структуру, которая деформируется из-за присутствия внутри нее массы-энергии.

Мы постараемся помочь читателю понять смысл этой фразы шаг за шагом без использования уравнений или каких-либо математических формул. Возможно, вначале будет полезно предложить определенный образ эластичной структуры, деформированной наличием в ней материи. Этот образ будет, конечно, неполным и в некотором смысле вводящим в заблуждение, но мы постараемся сделать его как можно ближе к тому образу пространства-времени, который создает теория Эйнштейна.

Образ, который мы хотим предложить читателю, – это не упрощенный образ, нередко возникающий в статьях и популярной литературе, где массивный шар помещается на резиновый лист, деформирующийся под его весом. Хотя этот образ действительно содержит аспекты, аналогичные тем, что существуют в теории Эйнштейна, но он создает серьезное неудобство, поскольку содержит некоторые весьма обманчивые черты. Например, он предполагает, что деформация листа может рассматриваться только как искривление во внешнем по отношению к листу пространстве, а также что эта деформация возможна только благодаря внешнему гравитационному полю, действующему на шар. Что действительно отражает суть теории Эйнштейна, так это то, что деформация пространства-времени есть чисто внутреннее свойство, присущее пространству-времени, и нет необходимости в дополнительных измерениях, для того чтобы его представить.

Отметим также, что мы будем стараться, насколько это возможно, избегать использования слова «кривизна» применительно к пространству-времени или выражения «искривленное пространство-время». В самом деле, для большинства людей слово «искривленный» сразу вызывает образ линии или поверхности, которые имеют кривую форму в некотором большем внешнем пространстве, как, например, поверхность сферы в обычном (трехмерном) евклидовом пространстве. Кривизна, о которой говорится в теории Эйнштейна, не есть кривизна такого типа (даже если сфера действительно искривлена в том смысле, который использует Эйнштейн), а представляет собой внутреннюю деформацию, не нуждающуюся в дополнительных измерениях, чтобы существовать. Вот почему мы должны везде заменить слово «кривизна» на слово «деформация», а прилагательное «искривленный» – на «деформированный». Мы надеемся таким образом избежать сковывания воображения читателя вводящими в заблуждение ассоциациями.

Образ, который мы предлагаем в качестве аналога пространственно-временной структуры общей теории относительности Эйнштейна, является кулинарным – блюдо под названием телятина заливная! Более конкретно: представим желе, содержащее длинные волокнистые куски телятины и другие ингредиенты (например, кусочки овощей). Желе символизирует здесь пространственно-временную структуру. Читатель может представить, что если это желе не содержит ни мяса, ни овощей, то оно будет иметь однородную и изотропную структуру, т. е. будет иметь одни и те же свойства повсюду и в любом направлении. Это единообразное состояние желе является аналогом хроногеометрической структуры пространства-времени Минковского в том виде, как она была представлена на рис. 3, т. е. в виде регулярной и единообразной сетки пространственно-временных «песочных» часов. Мы будем называть это состояние «недеформированным» состоянием желе (или пространства-времени).

Затем мы можем рассмотреть несколько различных способов деформации этого единообразного состояния. Если периодично трясти один из краев желе, оно начнет колебаться, или, другими словами, в нем будут распространяться колебательные волны. Эти упругие колебания в желе имеют непосредственный аналог в пространстве-времени, которое также допускает возможность распространения деформационных волн своей структуры, имеющих название «гравитационные волны». Можно также ограничиться статическим сжатием желе, надавливая в противоположных направлениях с двух сторон. Это действие, конечно, деформирует внутреннюю часть желе и притом анизотропным образом: одни направления будут сжиматься, а другие – растягиваться. Наконец, длинные волокна мяса внутри желе являются аналогами мировых линий материальных частиц в пространстве-времени (см. рис. 3). Можно представить, что желе в непосредственной близости от волокон мяса более насыщенное или, проще говоря, содержит большее количество питательных веществ, нежели обычное желе. Это аналогично тому, что пространство-время становится тем больше деформированным, чем ближе оно находится к распределенной массе-энергии.

Деформированное пространство-время

Вернемся к общей теории относительности и определим понятие «деформированного» пространства-времени. Напомним сначала хроногеометрическую структуру «недеформированного» пространства-времени: ту, что имеет место в специальной теории относительности, в том виде, как она определена Пуанкаре и Минковским. Эта структура задается с помощью квадрата интервала между двумя точками пространства-времени, т. е. между двумя событиями. Квадрат интервала между любыми двумя точками получается как алгебраическая сумма четырех квадратов путем обобщения теоремы Пифагора: три из этих квадратов (разностей по длине, ширине и высоте между двумя событиями) входят в сумму со знаком плюс, а четвертый квадрат (разности временных показаний, умноженной на скорость света) – со знаком минус. Исходя из этого геометрическое место точек, удаленных от заданной точки на квадрат интервала, равный +1, формирует в пространстве-времени не (гипер)сферу, а (гипер)поверхность, которая напоминает песочные часы, т. е. два конуса, соединенных узкой горловиной^{67}. Структура такого «недеформированного» пространства-времени является однородной, т. е. одной и той же повсюду в пространстве-времени. Какое бы событие мы ни выбрали для локального изучения пространства-времени, вокруг него мы увидим одинаковую структуру. Кроме того, эта структура является изотропной в том смысле, что в пространстве-времени не существует направления, которое играло бы выделенную роль. Здесь читатель, который смотрит на образ шахматной доски с набором песочных часов, представляющим эту структуру (см. рис. 3), возможно, подумает, что она имеет привилегированное направление в каждой точке пространства-времени. Действительно, каждые песочные часы, казалось бы, обладают осью симметрии: вертикальной осью, проходящей через центр песочных часов, вокруг которой можно вращать данные песочные часы, визуально не меняя их положения. Однако в действительности это кажущееся существование привилегированного направления является артефактом визуализации пространства-времени в трехмерном пространстве, которое зрительное восприятие человека интуитивно интерпретирует как евклидово пространство. В самом деле, вертикальная ось в этой визуализации представляет собой мировую линию наблюдателя, который находится «в состоянии покоя» в пространстве, но имеет непрерывное существование во времени. С другой стороны, принцип относительности говорит нам, что такой наблюдатель не определяет привилегированную систему отсчета. Любые другие наблюдатели, движущиеся с постоянной скоростью по отношению к данному, будут видеть идентичную структуру пространства-времени. Мировые линии этих наблюдателей «в движении» (но движущихся медленнее, чем свет) будут прямыми, наклоненными под углом менее 45° по отношению к «вертикали». Как следствие, если рассматривать конкретные песочные часы, все прямые, проходящие через их центр и остающиеся «внутри» этих песочных часов (т. е. не пересекающие их поверхность), будут осями симметрии для них, и, таким образом, ни одна из них не будет играть выделенную роль. Такова однородная и изотропная структура недеформированного «желе» пространства-времени.

Что же такое хроногеометрическая структура «деформированного» пространства-времени (которое обычно называют «искривленным»)? Это структура, в которой «расстояние-время» между двумя событиями по-прежнему дается определенным «квадратом интервала», но в которой, в отличие от случая пространства-времени Минковского, этот квадрат интервала имеет очень сложное математическое выражение для двух далеких событий. Зато, если рассмотреть очень близкие друг к другу события (как в пространстве, так и во времени), квадрат интервала будет определяться достаточно простой математической формулой, хотя и более сложной по сравнению с соответствующей формулой для пространства-времени Минковского. Как понял Эйнштейн в 1912 г., квадрат интервала между двумя событиями в деформированном пространстве-времени весьма напоминает квадрат расстояния между двумя точками искривленной поверхности, вложенной в обычное евклидово пространство.

В качестве примера искривленной поверхности возьмем поверхность Земли. Если рассмотреть небольшой участок земной поверхности, например участок в один квадратный метр, то, в принципе, его можно отождествить с небольшой частью плоскости (достаточно рассмотреть касательную плоскость к точке, расположенной недалеко от центра рассматриваемого участка). Таким образом, квадрат расстояния (т. е. расстояние, возведенное в квадрат) между двумя точками на этой небольшой поверхности будет в очень хорошем приближении равен квадрату расстояния между двумя точками на плоскости, который в свою очередь может быть получен с помощью теоремы Пифагора. Единственная сложность заключается в невозможности покрыть всю поверхность Земли с ее горами и долинами абсолютно регулярной сеткой координат (таких как длина и ширина).

На плоской поверхности, например на лежащем на столе листе бумаги, можно легко определить местоположение точки с помощью обычной прямоугольной сетки, какая используется в школьных тетрадках или на миллиметровой бумаге. Такую регулярную сетку уже невозможно реализовать на поверхности, имеющей всевозможные выпуклости и впадины. Чтобы зафиксировать любую точку на искривленной поверхности, мы, таким образом, используем два параметра, скажем x и y, которые больше не имеют простого смысла длины и ширины. Например, на поверхности Земли в качестве «первой координаты» x можно использовать долготу, а в качестве «второй координаты» y – широту. Следует отметить, что такие координаты можно использовать, даже когда земную поверхность невозможно аппроксимировать сферой: например, на возвышенности или в низине. При этом нет необходимости вводить третью координату (скажем, высоту над уровнем моря), поскольку двух первых координат (долготы и широты) будет достаточно, чтобы определить положение на Земле, а высота будет определяться некоторой функцией долготы и широты. Отсюда легко видеть, что если использовать сетку, определяемую долготой и широтой, на небольшой части поверхности Земли на склоне горы или ущелья, то эта сетка будет представлять собой деформацию привычной сетки из школьной тетрадки в клетку: поверхность по-прежнему будет разбиваться на ячейки двумя семействами линий, но каждая ячейка будет не квадратом, а чем-то вроде параллелограмма, точнее, ее стороны просто не будут равны друг другу и перестанут пересекаться под прямым углом.

Итак, локально можно сопоставить каждый небольшой фрагмент получившегося разбиения на ячейки с обычным разбиением на параллелограммы, сделанном на касательной плоскости. Обобщение теоремы Пифагора применительно к непрямоугольным треугольникам говорит нам, что квадрат расстояния между двумя узлами такой (плоской) сетки дается суммой квадратов разностей координат между двумя узлами и их удвоенным произведением. Чтобы определить квадрат расстояния между близкими точками вообще любой искривленной поверхности, точки которой фиксируются двумя координатами x и y, необходимо, таким образом, задать в каждой точке три величины: коэффициент перед квадратом dx разности dx между первыми координатами двух точек, коэффициент перед квадратом dy разности dy между вторыми координатами и коэффициент перед удвоенным произведением 2dxdy. [Мы рассматриваем математический предел, в котором точки бесконечно близки, отсюда символ d, обозначающий бесконечно малую разность.] Эти три коэффициента определяют геометрию (geometry) рассматриваемой поверхности и по этой причине обозначаются соответственно как g_xx, g_yy и g_xy, где буква g напоминает нам, что речь идет о геометрии.

Во времена обучения в Цюрихском политехническом Эйнштейн высоко ценил курс Карла Фридриха Гёйзера, посвященный «инфинитезимальной геометрии» поверхностей. Гёйзер читал лекции по теории, разработанной знаменитым математиком Карлом Фридрихом Гауссом и фактически изучающей тот самый квадрат расстояния между бесконечно близкими точками, про который мы только что говорили. В связи с этим в 1912 г. Эйнштейн вспомнил, что геометрия «деформированной» (или неплоской) поверхности определяется с помощью трех величин g_xx, g_yy, g_xy, заданных в каждой точке поверхности. Этот набор данных, определяющий для каждой точки поверхности значения трех величин g_xx, g_yy, g_xy, называется «геометрическим тензором», а точнее, «метрическим тензором» g. Эйнштейн понял, что ему требуется обобщение этого понятия на случай, когда (двумерная) поверхность заменяется на (четырехмерное) пространство-время. Математик Бернхард Риман, студент Гаусса, уже обобщил теорию Гаусса для деформированных пространств произвольных размерностей. Однако Риман рассматривал исключительно случай пространств, которые локально, т. е. в окрестности каждой точки, напоминают обычное евклидово пространство. Другими словами, он изучал пространства, в которых геометрическое место точек, разделенных с данной центральной точкой малым значением квадрата расстояния , имеет форму деформированной (гипер)сферы, т. е. представляет своего рода «мяч для регби»^{68}. Эйнштейн понял, что ему требуется обобщить теорию Римана на случай, когда геометрическое место точек, разделенных с данной центральной точкой малым (положительным) значением квадрата интервала , имеет форму деформированных песочных часов^{69}.

Деформированное пространство-время, таким образом, определяется заданием для каждой точки такого рода деформированных песочных часов. На рис. 8 можно увидеть графическое представление этой идеи, а также сравнить ее с недеформированным случаем пространства-времени специальной теории относительности (см. рис. 3). Затем Эйнштейн понял, что такое деформированное пространство не может быть покрыто обычной квадратной сеткой, подобной той, что мы видим в школьных тетрадях, т. е. с помощью четырех обычных координат (длины, ширины, высоты и времени), использованных им в специальной теории относительности. Как и в случае поверхности Земли, нужно было использовать более общие координаты (аналогичные долготе и широте для деформированной сферы, см. рис. 7). Поскольку пространство-время является четырехмерным, необходимо иметь четыре координаты, чтобы точно определить какое-либо событие. Можно обозначить эти координаты различными способами, из которых наиболее распространенные: (x, y, z, t), (x₁, x₂, x₃, x₄) или (x₀, x₁, x₂, x₃).

Эйнштейн обнаружил (хотя и после долгих лет блужданий, колебаний и сомнений), что в выборе этих четырех координат имеется полная математическая свобода или, другими словами, что никакой конкретный способ фиксации точек пространства-времени не является заведомо предпочтительным. Исходя из этого он пришел к следующему выводу: законы физики должны иметь одинаковый вид в любой системе координат. Эйнштейн назвал этот постулат принципом общей относительности, так как изначально думал, что он является обобщением принципа относительности 1905 г., который ограничивался рассмотрением систем координат, используемых наблюдателями при равномерном относительном движении^{70}. Введение этого постулата позволило очень сильно ограничить допустимую форму законов «релятивистской гравитации» и, таким образом, приблизило Эйнштейна к его самому замечательному открытию, которое Дж. Томсон, Дирак и многие другие физики считали «величайшим достижением в истории человеческой мысли», а именно к созданию общей теории относительности или теории гравитации Эйнштейна.

Итак, первый этап создания общей теории относительности привел к утверждению, что хроногеометрия деформированного пространства-времени задается структурой, представленной на рис. 8: набор событий, удаленных от заданного на бесконечно малый (положительный) квадрат интервала , суть деформированные песочные часы (или на математическом языке – обобщенный гиперболоид). Для явного описания этой структуры необходимо в каждой точке пространства-времени определить математический объект, обозначаемый g и называемый хроногеометрическим или метрическим тензором. тот тензор представляет собой набор из 10 коэффициентов, которые определяют форму теоремы Пифагора – Эйнштейна в произвольной системе координат^{71}. Отметим, что по счастливому стечению обстоятельств символ g может одинаково подразумевать как геометрию пространства-времени, так и гравитацию.

Закон упругости пространства-времени Эйнштейна

Чтобы более наглядно понять смысл теории гравитации Эйнштейна, вспомним теорию упругости, созданную британским ученым Робертом Гуком. Гук был одним из самых плодотворных научных деятелей XVII в. Он внес существенный вклад во впечатляющее количество научных областей и, кроме того, в течение долгого времени был секретарем Лондонского королевского общества. Его работы предвосхитили некоторые открытия Ньютона (касательно общих законов динамики и поведения 1 / r закона тяготения). К сожалению для него, Ньютон, который был гением, но отличался весьма подозрительным и вспыльчивым нравом, игнорировал его достижения и делал все, чтобы принизить важность его работ. Наверное, Ньютон был бы в ярости, увидев такую интерпретацию теории гравитации Эйнштейна (вытеснившую его собственную), которую мы собираемся сделать, используя обобщение закона упругости Гука!

Отправная точка теории Гука довольно проста для понимания. Рассмотрим произвольную упругую структуру, т. е. такую, которая возвращается к своей первоначальной форме после деформирования воздействующей на нее силой. Простой пример упругой структуры – пружина. Рассмотрим пружину, верхний конец которой прикреплен к жесткому массивному телу, а нижний – свободен. Если потянуть вниз за нижний конец пружины или прикрепить к нему груз, то пружина деформируется и растянется. Если прикрепить не слишком тяжелый груз, то можно заметить, что растяжение пружины прямо пропорционально его весу: в два раза больший вес будет давать в два раза большее растяжение. Другими словами, деформация упругой структуры пропорциональна напряжению, действующему на эту структуру. Если обозначить «деформацию» буквой D, а «напряжение» буквой T, то закон упругости Гука сводится к простому утверждению D = T, где  – коэффициент пропорциональности, характеризующий «упругость» рассматриваемой структуры. Чем больше , тем более упругой является структура, т. е. тем больше она деформируется под действием заданного напряжения. Можно также сказать, что обратная коэффициенту величина 1 / измеряет жесткость рассматриваемой структуры. Чем меньше , тем больше жесткость (и тем меньше упругость). Этот универсальный закон упругости справедлив только в ограниченном диапазоне прикладываемого напряжения (не сильно отличным от нуля). Обратите внимание, что напряжения и соответствующие деформации могут прикладываться как в одном, так и в другом направлении, т. е. могут быть положительными или отрицательными. Независимо от знака приложенного напряжения, деформация будет возвращаться к нулю, если напряжение постепенно уменьшается до нуля. Это и есть основное свойство упругой структуры – стремление возвращаться в исходное «недеформированное» состояние, когда деформирующая сила перестает действовать.

В то же время если перейти определенный порог (так называемый «предел упругости»), другими словами, если приложить слишком большое напряжение, то в общем случае мы покинем область упругости для данной структуры. И тогда мы переходим в область «пластичности», где структура приобретает постоянную деформацию, остающуюся после того, как напряжение перестает действовать, и затем в область «разрыва», где структура рвется.

Чтобы немного развить интуицию, а также приблизиться к нашей модели «пространственно-временного желе», рассмотрим в качестве упругой структуры трехмерную среду, имеющую место в случае заливной телятины. То, что мы собираемся сказать, в равной степени относится и к более жесткой среде, такой как металл, однако жесткость металла настолько велика, что интуитивно сложно представить его в качестве упругой структуры. Поэтому мы рассматриваем кусок (однородного) желе. Деформируем этот блок, прикладывая давление, или напряжение, к его краям. Это создает напряженное состояние внутри куска. Такое напряженное состояние описывается (в механике сплошных сред) математическим объектом, называемым тензором напряжений. Этот тензор, который мы обозначим через T (от английского слова tension)^{72}, позволяет вычислять силы внешнего воздействия, действующие на поверхность выделенного элемента объема внутри среды. В газообразной среде T определяется давлением газа.

Нам остается описать, как определяется деформация блока желе D. Когда деформация D мала, она определяется как разница между геометрической структурой деформированного и исходного недеформированного блока. Каким же образом можно измерить геометрическую структуру сплошной среды? Точно так же, как мы поступали выше, анализируя геометрическую структуру пространства при помощи визуализации. Опишем сначала визуализацию геометрии недеформированного блока желе (рассматриваемого в обычном евклидовом пространстве), представляя вокруг каждой точки блока геометрическое место точек, расположенных от данной на единичном расстоянии. Это дает регулярную сеть сфер внутри блока. Теперь мы деформируем блок, т. е. заставляем желе двигаться произвольным, но непрерывным образом (так же как деформируется содержимое тюбика зубной пасты, когда его сжимают). Это непрерывное перемещение деформации желе будет деформировать сеть сфер. Сначала центр каждой сферы смещается. Однако такой эффект сам по себе не связан с напряжением в среде, так как можно было бы, например, переместить весь блок желе вправо на один сантиметр, двигая его целиком и не создавая никакой нагрузки внутри блока. С точки зрения упругости важно, таким образом, измерить, как деформируется каждая сфера, когда она следует за движением желатина вокруг себя. Если рассматривать, как мы делам здесь, небольшие смещения, то можно обнаружить, что сфера деформируется в «эллипсоид», т. е. в своего рода мяч для регби. Поэтому мы будем называть деформацией D математический объект, который измеряет разницу между эллипсоидом и сферой. Видно, что этот объект имеет ту же математическую природу, что и объект, описывающий наличие напряжений в среде, и, таким образом, является тензором, который называют тензором деформации^{73}. Наконец, закон упругости для однородной и изотропной сплошной среды, такой как блок желе, можно получить, если записать наиболее общее линейное соотношение, которое может существовать между двумя математическими объектами одного и того же типа (тензором деформации D и тензором напряжений T)^{74}: D = T.

Немного расширив понимание упругости непрерывной среды (в смысле обычной механики), мы можем вернуться к главной цели этой главы: попытке понять общую теорию относительности как теорию упругости пространства-времени. Для этого необходимо обсудить два вопроса: (i) что является аналогом D, т. е. какой математический объект описывает «деформацию» пространства-времени по отношению к «однородному» пространству-времени Минковского; и (ii) что является аналогом T или, другими словами, какой математический объект описывает причину (или источник) пространственно-временной деформации, т. е. то, без чего пространство-время оставалось бы пространством-временем Минковского. Ответ на вопрос (ii) довольно быстро был получен Эйнштейном путем следующего рассуждения.

Во-первых, Эйнштейн предложил идентифицировать метрический тензор g, описывающий пространственно-временную хроногеометрию, с гравитационным полем. Этот вывод следовал из анализа принципа эквивалентности, открытого Эйнштейном в ноябре 1907 г. Рассмотрим, например, простой случай пространства-времени Минковского. Если наблюдатель исследует пространство-время Минковского, оставаясь при этом в «инерционной» системе отсчета, т. е. в системе, движущейся без ускорения, он не будет наблюдать гравитационное поле (свободные частицы не будут «падать», но будут оставаться в покое или же двигаться с постоянной скоростью), и метрический тензор g, описывающий пространственно-временную хроногеометрию будет тривиальным (т. е. будет задаваться постоянными коэффициентами)^{75}. В то же время наблюдатель, находящийся в ускоряющемся лифте, т. е. использующий координаты, нелинейно связанные с обычными координатами специальной теории относительности, наблюдает два взаимосвязанных явления: (i) метрический тензор g приобретает более сложное выражение с коэффициентами, которые изменяются от одной точки к другой, и (ii) в ускоряющемся лифте возникает кажущееся гравитационное поле, т. е. частицы в нем как будто падают с ускорением. Это ускорение кажущегося притяжения напрямую связано с тем, что коэффициенты g меняются от одной точки к другой.

Осознав, что g = хроногеометрия = гравитация, перейдем к следующему этапу, состоящему в понимании того, что является источником g и тем самым источником гравитации. Со времен Ньютона известно (из-за универсальности свободного падения и равенства действия и противодействия), что масса определяет и то, как действует гравитация (определяя вес), и то, что создает гравитационное поле. Таким образом, источником гравитационного поля по Ньютону является масса. Однако, как говорилось в главе 2, специальная теория относительности полностью изменила и обогатила понятие массы. А именно: оно было заменено понятием массы-энергии – величины, сохраняющейся при любых преобразованиях, в ходе которых в силу уравнения E = mc2 масса может преобразовываться в энергию, и наоборот. В связи с этим Эйнштейн ожидал, что в качестве источника гравитации будет выступать масса-энергия, распределенная во всем пространстве-времени. Наш поиск источника гравитации, однако, не может считаться законченным, поскольку более детальный анализ причин сохранения массы-энергии на основе специальной теории относительности показывает, что плотность массы-энергии на единицу объема является лишь одной из компонент более сложного математического объекта, называемого тензором энергии-импульса. Этот тензор имеет 10 компонент: одна компонента описывает плотность массы-энергии на единицу объема, еще три описывают плотность импульса (или количества движения) на единицу объема, а остальные шесть описывают тензор напряжений в том же смысле, как введенный нами ранее тензор напряжений для трехмерной сплошной среды. Этот десятикомпонентный тензор^{76}, одновременно задающий как плотность массы (являющейся предметом закона Ньютона), так и тензор напряжений (являющейся предметом закона Гука), мы будем обозначать далее через T.

Вернемся к одному из наиболее важных моментов на пути к созданию Эйнштейном общей теории относительности. Как мы уже говорили, первая идея обобщения этой теории возникла у Эйнштейна в 1907 г., когда он все еще работал (по восемь часов в день, включая субботы) в бернском патентном бюро. Однако вскоре в связи с большим интересом к специальной теории относительности 1905 г., а также к некоторым другим его работам сразу несколько научных центров предложили Эйнштейну университетские позиции. В 1909 г. он оставил патентное бюро Берна, чтобы занять должность ассоциированного профессора в университете Цюриха (с той же зарплатой, которую он имел в Берне). Эйнштейн и Милева были счастливы вернуться в Цюрих – город, где они встретились во время учебы в Политехническом университете. Там в 1910 г. родился их второй сын Эдуард. Однако в 1911 г. Эйнштейн принял другой пост, на этот раз в качестве полного профессора, в немецком университете Праги. В Праге он провел лишь один год. Там он посещал литературный салон Берты Фант и встречался с (еврейскими) писателями и мыслителями Праги, в частности с Максом Бродом и Францем Кафкой. Именно в Праге он возобновил (поскольку в 1907–1911 гг. в основном занимался развитием своих квантовых идей, см. ниже) поиски обобщенной теории относительности и получил несколько очень важных результатов. В частности, он более точно понял принцип эквивалентности и пришел к идее о том, что этот принцип влечет наблюдаемое отклонение свеовых лучей, проходящих вблизи контура Солнца^{77}, и сдвиг в красную (более низкочастотную) часть спектра световых лучей, испускаемых с поверхности массивного тела (такого как Солнце).

В конце июля 1912 г. Эйнштейн с семьей возвращается в Цюрих, поскольку принимает должность полного профессора в своем родном Политехническом университете, который завоевал к тому времени более высокий титул Швейцарского федерального технологического института (Eidgenssische Technische Hochschule – ETH). Вероятно, именно в Цюрихе примерно в августе 1912 г. Эйнштейн сделал свой очень важный концептуальный «шаг» в построении общей теории относительности. Он, в сущности, понял то, что мы уже объясняли выше, а именно: (i) что гравитационное поле эквивалентно деформации геометрии пространства-времени и, следовательно, должно описываться 10 компонентами «хроногеометрического тензора» g; (ii) что источником «поля g» является распределение массы-энергии, импульса и напряжения, описываемое объектом с 10 компонентами – тензором энергии-импульса T; и, наконец, (iii) что основное уравнение релятивистской гравитации должно иметь форму закона упругости пространства-времени^{78}: D(g) = T, где D(g) является математическим объектом, сконструированным из g и призванным описывать деформацию пространства-времени или, другими словами, определять насколько пространство-время, имеющее геометрию, описываемую g, отличается от пространства-времени Минковского.

С такими мыслями Эйнштейн отправился к своему старому другу Марселю Гроссману, который был его товарищем еще со времен учебы в ETH (тогда еще бывшего Политехом) и который много раз «спасал его», сначала предоставляя свои конспекты лекций перед экзаменами, затем помогая устроиться в патентное бюро Берна и, наконец, делая все, чтобы ETH предложил Эйнштейну пост заслуженного профессора. Марсель Гроссман был математиком, в 1907 г. он стал профессором геометрии в ETH, а с 1911 г. – деканом факультета математики и физики. Эйнштейн предложил Гроссману сотрудничество в поисках «хорошего определения» математического объекта D(g). Гроссман преподавал в ETH геометрию, и его математические работы также были сосредоточены на проблемах геометрии, но это была другая геометрия – геометрия структур, определяемых как множества прямых линий и точек в однородных пространствах. Гроссман не был знаком с тем типом «неоднородной» геометрии, которая требовалась Эйнштейну. Тем не менее, просмотрев математическую литературу, он быстро понял, что некоторые работы Римана, Кристоффеля, Риччи и Леви-Чивита несомненно содержали математические инструменты, необходимые и достаточные для построения объекта D(g), который искал Эйнштейн. Однако эти математические инструменты были довольно сложны, и, чтобы освоить их, а также понять их физический смысл, Эйнштейну и его другу приходилось прикладывать серьезные усилия в течение многих месяцев (а в случае Эйнштейна – многих лет). Приведем выдержку из письма Эйнштейна своему коллеге Арнольду Зоммерфельду, написанного в период, когда Эйнштейн прилагал «буквально сверхчеловеческие» усилия (используя его выражение) для решения проблемы релятивистской теории гравитации:

«Сейчас я работаю исключительно над проблемой гравитации, и я думаю, что с помощью моего здешнего друга-математика, мне наконец удастся преодолеть все трудности. Однако одно точно – никогда прежде я не испытывал таких мучений, работая над какой-либо проблемой. Я проникаюсь все большим уважением к математическим методам, поскольку прежде обычно рассматривал сложные математические методы как бесполезную роскошь! По сравнению с настоящей проблемой специальная теория относительности была просто детской игрой».

Действительно, Эйнштейн столкнулся с неожиданными техническими трудностями, которые не позволили ему с Гроссманом полностью разобраться с этой проблемой, т. е. построить искомый объект D(g). Тем не менее они подошли весьма близко к этой цели и рассматривали кандидата на роль D(g), который был, по существу, правильным^{79}, но которого Эйнштейн все же отверг из-за кажущегося конфликта между постулированным им принципом общей теории относительности и принципом причинности. Это стоило Эйнштейну еще трех лет «буквально сверхчеловеческой» работы, прежде чем он наконец нашел окончательное решение в ноябре 1915 г. в Берлине. Эйнштейн покинул Цюрих и ETH в 1914 г., чтобы занять пост директора по исследованиям без преподавательских обязанностей в Прусской академии наук в Берлине. Этот пост был создан специально для него, в частности, по инициативе Макса Планка, который, как мы уже видели выше, был первым физиком высшего уровня, осознавшим, что специальная теория относительности по сути является грандиозной концептуальной революцией, сравнимой по размаху с революцией Коперника.

В заключение этой главы, я попрошу еще немного терпения у читателя, конечно же, утомленного долгой дискуссией, посвященной описанию геометрии «искривленного» пространства-времени посредством 10-компонентного объекта g и поиску 10-компонентного объекта D(g), измеряющего деформацию, связанную с g. (Последняя определяется по отношению к недеформированному случаю геометрии Минковского.) Если читатель представит себе, что Эйнштейн должен был в течение пяти лет подряд (1911–1915) непрерывно и настойчиво пытаться вновь и вновь разобраться с этой проблемой, то он, возможно, согласится потратить еще несколько минут, чтобы открыть для себя интуитивное ощущение одного из самых высоких достижений человеческой мысли. Я надеюсь, что на самом деле читатель этой книги вряд ли согласится с мнением, высказанным Ханнесом Альфвеном по случаю празднования 100-летнего юбилея со дня рождения Эйнштейна^{80}:

«Многие, наверное, почувствовали бы облегчение, узнав, что истинная природа физического мира может быть осознана не иначе как Эйнштейном или некоторыми другими гениями. Как это ни парадоксально, вполне возможно, что широкая общественность признала Эйнштейна не потому, что он был великим мыслителем, но потому, что он освободил всех и каждого от обязанности думать».

Математические исследования Римана и его последователей (Кристоффеля, Риччи и Леви-Чивита) общей пространственной (или пространственно-временной) геометрии выявили несколько математических объектов, характеризующих разницу между «деформированным» пространством (часто называемым «искривленным») и жестким, однородным пространством (называемым «плоским»). Визуальн проблема состоит в том, чтобы описать «разницу» между рис. 3 и 8. Вопреки тому, что можно ожидать в наивном подходе (который является достаточным в более простом случае деформации блока желатина), оказывается недостаточно взять разницу в каждой точке между метрическим тензором g деформированной геометрии и простым выражением (со значениями 1 либо –1) этого тензора в недеформированном пространстве (или пространстве-времени). Действительно, мысленный эксперимент с лифтом Эйнштейна показывает, что если используется ускоряющаяся система отсчета (а также, как заметил Эйнштейн, вращающаяся система), то метрический тензор, описывающий хроногеометрию пространства-времени Минковского в такой системе отсчета, принимает довольно сложную форму с коэффициентами g, которые изменяются от точки к точке.

Теперь мы можем вернуться к первоначальной формулировке «самой счастливой мысли» в жизни Эйнштейна. Представим себя в произвольном пространстве-времени, деформированном присутствием материи и напряжения и снабженном нетривиальным метрическим тензором g, и представим свободно падающий лифт в этом пространстве-времени. Первоначальная идея состояла в том, что гравитационное поле исчезает внутри такого свободно падающего лифта, т. е. исчезает в задаваемой стенками лифта системе отсчета (рис. 6). Вопрос в том, полностью ли оно исчезает. Оказывается, что нет, так как два объекта, расположенные внутри лифта, не падают с абсолютно одинаковым ускорением. В самом деле, не находясь в одной и той же точке пространства(-времени), они будут иметь немного разные гравитационные ускорения (отличные также от ускорения падения самого лифта, зависящего от положения центра масс лифта). Таким образом, внутри свободно падающего лифта продолжает существовать небольшой остаток гравитационного поля: та часть, которая не исчезает благодаря падению лифта в силу вариаций гравитационного поля от точки к точке.

Если бы мы находились в рамках ньютоновского описания гравитации, то этот неисчезающий остаток можно было бы связать с тем, что называется «силой прилива». Такое название происходит из следующего факта: Луна (как и Солнце) оказывает гравитационное притяжение на Землю (так же как Земля оказывает гравитационное притяжение на Луну). Поэтому Земля «падает» на Луну (и на Солнце), и наоборот. Земля, следовательно, естественным образом представляет лифт в свободном падении. Падение Земли на Луну компенсирует большую часть ускорения, создаваемого Луной. Представим теперь, что океаны покрывают всю поверхность Земли. Часть океана, расположенная со стороны Луны, будет притягиваться к Луне сильнее, чем центр масс Земли, который, в свою очередь, будет притягиваться сильнее, чем часть океана, расположенная на противоположной от Луны стороне. Поэтому на свободно падающей Земле наблюдается остаточный эффект, который поднимает океан со стороны Луны и который поднимает океан на противоположной стороне Земли, еще более удаляя его от Луны. Этот эффект, который поднимает две части океана на противоположных сторонах, является причиной приливов и отливов (которые, таким образом, определяются двумя остатками гравитационных полей, создаваемых Луной и Солнцем в системе отсчета, связанной с падающей Землей).

Математическая теория (основанная Риманом), описывающая не полностью исчезающий остаток хроногеогравитационного поля g в свободно падающей системе отсчета, привела к возникновению математического объекта, содержащего 20 компонент, – тензора Римана – Кристоффеля R. Это своего рода обобщение «приливного тензора»^{81} ньютоновской гравитации дает наиболее полноценное описание истинной локальной деформации искривленного пространстве-времени. Однако этот тензор не мог быть искомым математическим объектом, который требовался Эйнштейну и который должен был иметь лишь 10 компонент, как и его источник T. После долгих колебаний и сомнений Эйнштейн понял в ноябре 1915 г., что существует только один способ построения объекта с 10 компонентами исходя из R, описывающего пространственно-временную деформацию и удовлетворяющего как принципу общей теории относительности, так и закону сохранения энергии и импульса. Этот 10-компонентный объект, который мы обозначаем D(g), называется «тензором Эйнштейна»^{82}. Таким образом, после восьми лет исследований ему, наконец, удалось написать «уравнения гравитации Эйнштейна»: D(g) = T, где 10 величин в левой части уравнения описывают (частично) локально измеримую деформацию пространственно-временной хроногеометрии, тогда как 10 величин справа содержат источник этой деформации – распределение напряжения и распределение импульса и массы-энергии. Как мы уже говорили, эти 10 уравнений, связывающих деформации в присутствии приложенных внутри среды напряжений, аналогичны базовым уравнениям, описывающим упругость не сильно деформированной среды.

Рисунок 9 иллюстрирует содержание уравнений гравитации Эйнштейна. Присутствие здесь массы-энергии представлено с помощью мировых линий (или пространственно-временных линий), которые оставляют частицы в пространстве-времени. Отметим «волокнистый» характер изображенного на рисунке распределения массы-энергии. Присутствие этого распределения приводит к деформации геометрии пространства-времени, изображенного посредством набора деформированных песочных часов.

Величина пространственно-временной упругости

Мы надеемся, что предложенный нами первоначальный образ на данном этапе стал более содержательным: пространственно-временная структура в образе желе и генерирующая деформацию материя в образе присутствующих в нем волокон. В завершение нам остается определить значение коэффициента , возникающего в уравнениях Эйнштейна и описывающего, как мы уже говорили, упругость пространственно-временного желе. Эйнштейн сумел определить этот коэффициент исходя из требования, что в некотором приближении 10 уравнений D(g) = T воспроизводят ньютоновскую теорию тяготения с единственным гравитационным потенциалом, из которого следует сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния. Он обнаружил, что = 8G/c⁴, где G – гравитационная постоянная Ньютона, возникающая в силе притяжения F = Gmm’ / r между двумя массами m и m’, разделенными расстояние r.

Когда используются обычные единицы, принятые в теоретической физике и измеряющие расстояние в сантиметрах, время в секундах, а массу в граммах, можно найти, что численное значение упругости пространства-времени примерно равно 2 10^–48, т. е. = 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 002! Откуда следует, что пространственно-временная упругость крайне мала или, эквивалентно, что жесткость пространства-времени, измеряемая как величина, обратная упругости, 1 / , чрезвычайно велика. Это объясняет, почему на протяжении тысячелетий можно было предполагать, что пространство и время являются «жесткими» структурами, не поддающимися никакому влиянию присутствия энергии или напряжений. Необходимо сосредоточить огромные плотности энергии или напряжения, чтобы добиться заметной деформации пространственно-временного желе.

Глава 4
Эйнштейновская Игра в Мир

Почему же играет большой Ребенок, которого Гераклит видел в космическом Времени (), Ребенок, играющий в Мир?

– Хайдеггер. Принцип Разума

Смещение Меркурия, беседы со Сфинксом

Берлин, Германия, ноябрь 1915 г.

Ноябрь 1915 г. ознаменовал собой рождение общей теории относительности и, таким образом, рождение нового «Мира» в том смысле, который вкладывал в это слово Минковский (die Welt), в смысле Пространства-Времени. Новый мир Эйнштейна не тот, каким он представлялся на протяжении двух тысячелетий, подобный жесткой шахматной доске для игры силы и материи – игры, не оказывающей никакого влияния на доску. Новый мир Эйнштейна принимает активное участие в игре силы и материи. Таким образом, новая Игра в Мир – это игра для четверых, а именно, игра пространства, материи, времени и силы или, еще точнее, игра для двоих: пространства-времени и массы-энергии, в которой все партнеры взаимно влияют друг на друга. Масса-энергия своим присутствием искривляет пространство-время, и, в свою очередь, деформированная шахматная доска пространства-времени определяет правила, по которым закручивается по ней движение массы-энергии.

Когда же новый Одиссей – Эйнштейн – понял, что, наконец, после восьми лет странствий, блужданий и всевозможных препятствий подошел к концу своего путешествия? Этот момент можно указать с высокой точностью. Это произошло между 11 и 18 ноября 1915 г. Действительно, 11 ноября Эйнштейн отправляет в Прусскую академию наук сообщение, в котором он по существу^{83} говорит об уравнениях D(g) = T, с тех пор носящих его имя. На тот момент у него не было в распоряжении никаких экспериментальных подтверждений его теории. Однако в последующие дни (до 18 ноября, даты, когда он полностью представил Академии свои результаты) он не только показал, что его теория предсказывает отклонение света Солнцем в два раза большее, чем было им предсказано ранее, но также показал, что она объясняет наблюдавшуюся долгое время аномалию, не имеющую удовлетворительного объяснения.

12 сентября 1859 г. французский астроном Урбен Жан Жозеф Леверье отправил для публикации в Парижскую академию наук текст письма, написанного им Эрве Фаю, в котором он подытоживал свои новые результаты. Леверье был к тому времени уже знаменит сделанным им в августе 1846 г. теоретическим предсказанием существования новой планеты – Нептуна, – которая действительно была обнаружена в скором времени, ночью 23 сентября, и именно в том месте, на которое указывали расчеты Леверье. В последующие годы Леверье организовал грандиозную программу построения первой в истории общей теории движения всех планет. Работая над этой теорией и сопоставляя ее со всевозможными доступными результатами наблюдений в целях как можно более точного фиксирования свободных параметров (в особенности неизвестные a priori массы планет), он встретил «серьезную трудность», которая могла поставить под сомнение закон гравитации Ньютона. Трудность касалась скорости вращения большой оси эллипса, по которому Меркурий совершает свое движение вокруг Солнца.

Все помнят, что, по закону Кеплера, планеты вращаются вокруг Солнца по эллиптическим траекториям. Закон гравитации Ньютона предсказывает такое поведение в приближении, когда рассматривается только одна планета, без учета присутствия других планет. В то же время, если учитывать воздействие, оказываемое другими планетами, очевидно, что движение планеты приобретает возмущенный характер и, в частности, что орбита, по которой она движется, более не фиксирована в пространстве, но медленно «поворачивается» вокруг Солнца. Астрономические наблюдения показывают, что такое поведение действительно существует. Поскольку возмущающие силы, действующие на планету, зависят от масс других планет, можно согласованным образом определить (если верен закон Ньютона) массы всех планет, так как ими должны быть обусловлены все наблюдаемые отклонения от эллиптических траекторий. Это и было грандиозной задачей, которой Леверье посвятил более 10 лет работы. Леверье понял, что может явно определить значения всех масс таким образом, чтобы объяснить возмущения всех орбит, с одним исключением: большая ось эллипса ближайшей к Солнцу планеты, Меркурия, смещалась относительно Солнца немного быстрее, чем ожидалось. Леверье смог объяснить около 93 % от всего смещения, но оставалась необъясненная часть, равная 38 угловым секундам в столетие. Можно заметить, что это довольно малая поправка. За одно столетие она достигает угла, под которым виден волосок с расстояния в один метр. Тем не менее Леверье был уверен, что этот необъяснимый эффект имеет место. Столь малый в абсолютном масштабе, он довольно значителен в отношении к прочим характерным величинам: например, с ним связана модификация массы Венеры более чем на 10 %, что исключено всеми прочими наблюдениями. В то же время Леверье надеялся объяснить этот эффект существованием другой планеты, еще более близкой к Солнцу, чем Меркурий. Но это и некоторые другие предположения были отброшены, так как не подтверждались наблюдениями, и к тому же многие из них имели последствия, противоречащие установленным фактам.

Убедительного объяснения избыточного смещения перигелия Меркурия не было более 50 лет. Вместе с тем одновременное увеличение точности наблюдений и развитие теории движения планет только подтверждали открытие Леверье и еще более уточняли значение этого смещения: на начало XX в. оно оценивалось примерно в 43 угловые секунды в столетие.

Эйнштейн знал, что любая теория гравитации, отличная от ньютоновской, будет приводить к дополнительному избыточному смещению орбит. Он также знал, что в релятивистской теории, предлагаемой им, эта добавка будет заметна в основном для ближайшей к Солнцу планеты – Меркурия. В самом деле, чем ближе к Солнцу, тем больше становится деформация пространства-времени, и, следовательно, именно там наиболее заметно должны проявляться эффекты теории. Эйнштейн, таким образом, погрузился(между 11 и 18 ноября) в относительно сложное вычисление движения планет в рамках этой теории.

Прежде всего разберемся, как искривленное пространство-время определяет мировую линию планеты. Уже в 1912 г. Эйнштейн понимал, что его принцип эквивалентности требует такого движения планет в пространстве-времени, чтобы их мировые линии были настолько «прямыми», насколько это возможно, или, другими словами, были по возможности наиболее «длинными»^{84}. В 1913 г. совместно со своим близким другом Микеле Бессо ему удалось выполнить некоторую часть вычислений, рассматривая движение одной планеты.

Однако самую трудную часть еще предстояло выполнить – вычисление метрического тензора g, генерируемого Солнцем. Для этого требовалось решить весьма сложные уравнения, написанные 11 ноября. Эйнштейну удалось вычислить деформации Солнцем хроногеометрии пространства-времени вокруг себя до второго порядка приближения. Объединив эти результаты, он смог получить окончательную величину аномального смещения орбиты Меркурия, предсказываемую общей теорией относительности. Чудесным образом были найдены те самые 43 угловые секунды в 100 лет, которые так долго оставались необъясненными! Как Эйнштейн рассказывал своим друзьям, открытие заставило сердце биться чаще и на несколько дней ввело его в состояние счастливой эйфории.

Эйнштейн часто сравнивал Природу со Сфинксом, который предлагает загадки, но почти никогда не дает ответа. В этом случае Природа прямо говорила ему: «Да, идея о том, что масса-энергия деформирует геометрическую структуру пространства-времени, позволяет легко описать то, что так долго не поддавалось объяснению». Именно тогда Эйнштейн окончательно убедился в том, что общая теория относительности «приподнимает краешек большой завесы»^{85}. Он не сомневался, что и другие предсказания на основе общей теории относительности со временем будут подтверждены. При этом, как мы видели в предыдущей главе, большинство физиков продолжали сомневаться вплоть до 1919 г., когда при наблюдении солнечного затмения было непосредственно проверено второе нетривиальное предсказание теории Эйнштейна: тот факт, что лучи света также искривляются при движении через область пространства-времени, деформированную Солнцем, следуя в ней вдоль наиболее прямых допустимых мировых линий.

Волны вибрации пространственно-временного желе

Другой довольно поучительный пример новых возможностей Игры, возникающих в эйнштейновском мире, связан с тем, что обычно называют «гравитационными волнами». Представляя пространство-время в образе упругого желе, гравитационные волны можно уподобить волнам, распространяющимся внутри желе, когда оно колеблется. Заметим, что кусочек желе можно колебать разными способами: можно либо действовать на волокна материи, находящиеся внутри него, либо создавать периодические напряжения на внешней поверхности желе. Эйнштейн понял по крайней мере в 1916 г., что эти два процесса также возможны в случае пространственно-временного желе: распределение массы-энергии в пространстве-времени может «перемещаться» и, таким образом, возбуждать колебательный процесс в хроногеометрии (к примеру, когда две звезды вращаются вокруг общего центра масс, выписывая двойную спираль в пространстве-времени) или же волны вибрации геометрической структуры пространства-времени могут приходить из бесконечности, распространяясь благодаря упругости пространственно-временного желе и уходя затем назад в бесконечность.

Эйнштейн был первым, кто подверг обе возможности математическому анализу. В 1916-м и затем в 1918 г. он показал, что общая теория относительности в самом деле допускает существование гравитационных волн. Он обнаружил, что скорость распространения этих волн была в точности равна скорости света, т. е. 300 000 км/с. Это много больше скорости распространения упругих волн в обычной твердой среде. Например, скорость волн упругих деформаций в стали равна 5 км/с. Интуитивно ясно, что большая скорость распространения гравитационных волн обусловлена чрезвычайной жесткостью (1 / ) пространства-времени, или, иными словами, очень маленьким коэффициентом упругости, о котором говорилось выше.

Эйнштейн также рассчитал амплитуду гравитационных волн, испущенных движущимся распределением напряжения-массы-энергии. Он также понял, что эти волны сами по себе являются переносчиками энергии и импульса. Отсюда он вывел, что движущийся сгусток напряжения-массы-энергии испытывает потерю энергию в результате излучения гравитационных волн в бесконечность, и в первом приближении получил выражение для ее величины.

Долгое время считалось, что процесс, предсказанный и описанный Эйнштейном^{86}, соответствует столь малому рассеянию энергии, что не может быть обнаружен в реальности. В самом деле, если мы попробуем оценить энергию излучения гравитационных волн, источник которых можно изготовить на Земле (например, цилиндр в несколько тонн, вращающийся с максимально возможной скоростью, при которой он еще не начинает разрываться), то получим ничтожно малые потери энергии. Ситуация изменилась только в 1970 г. с открытием нового астрофизического объекта, способного конденсировать огромную массу в относительно малом объеме.

В этом контексте особенно важным стало открытие американскими астрономами Расселом Халсом и Джозефом Тейлором в 1974 г. двойного пульсара PSR 1913+16. Речь идет о системе, состоящей из двух нейтронных звезд, вращающихся вокруг центра масс по сильно вытянутым эллиптическим траекториям. В такой системе потеря энергии на гравитационное излучение достаточна, чтобы получить эффект, доступный наблюдению. На деле лучший способ описать то, что было обнаружено, следующий. В ноябре 1915 г. Эйнштейн убедился, что в главном приближении общая теория относительности предсказывает взаимодействие между двумя массивными объектами (посредством деформации пространства-времени между ними), описываемое обычным законом тяготения Ньютона F_{Ньютона} = Gmm’/r. Однако уже в следующем приближении общая теория относительности предсказывает отклонения от закона Ньютона. Грубо говоря, эти отклонения зависят от отношения v/c между скоростью на орбите и скоростью света. Вычисления этих поправок весьма сложны. Первая поправка к закону Ньютона, пропорциональная квадрату отношения v/c, была впервые получена^{87} в 1917 г. После открытия двойных пульсаров стало ясно, что требуется значительное увеличение точности вычислений: вплоть до пятой степени отношения v/c.

Конечный результат вида FЭйнштейна = FНьютона (1 + v/с + v⁴/с⁴ + v⁵/с⁵) для эйнштейновского взаимодействия между двумя нейтронными звездами был получен^{88} в 1982 г. Среди всех новых эффектов, входящих в эйнштейновское взаимодействие, слагаемые порядка v⁵/c⁵ играют особую роль. Расчеты показывают, что они отвечают за ту часть гравитационного взаимодействия, которая распространяется между двумя объектами со скоростью света. Другими словами, именно они отражают существование гравитационных волн. Изучение вклада этих слагаемых в движение пульсара показывает, что они служат причиной увеличения частоты обращения системы или, что то же самое, уменьшения периода обращения. Для двойного пульсара PSR 1913+16, чей орбитальный период порядка восьми часов, это уменьшение равно в соответствии с теорией Эйнштейна 67 миллиардным долям секунды за одно обращение. Благодаря очень точным наблюдениям, проводимым в течение нескольких лет, стало возможным измерить уменьшение орбитального периода PSR 1913+16, и результат хорошо совпал, с точностью в несколько десятых процента, с теоретическим предсказанием. Это совпадение – одно из самых красивых подтверждений теории Эйнштейна. Оно также стало первым подтверждением того, что деформации пространственно-временного желе распространяются (в данном случае между двумя нейтронными звездами) со скоростью света.

В 1960-х гг. к ученым, в частности к Джозефу Веберу, пришло понимание того, что возможно, в принципе, детектировать на Земле прибытие гравитационных волн, испущенных в далеких концах Вселенной. Гравитационная волна – это волна деформации пространственно-временной геометрии, распространяющаяся от источника со скоростью света. Поскольку пространственно-временное желе обладает огромной жесткостью, все мыслимые источники (включая самые мощные, такие как две сливающиеся черные дыры) создают крайне малые деформации пространственно-временной геометрии. Однако для лучшего понимания того, как могут выглядеть «волны деформации геометрии», мы последуем Георгию Гамову^{89} и представим себе гравитационные волны такой большой амплитуды, чтобы человек мог их воспринимать непосредственно. На Земле мы привыкли использовать для описания окружающего пространства евклидову геометрию, где работает теорема Пифагора, притом для треугольников любого размера, и где сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов. Исходя из такой «недеформированной» или, как говорят, «плоской» ситуации, давайте проследим, как Гамов описывает внезапное прибытие гигантской волны деформации геометрии на британский морской курорт.

Профессор – ученый с седой бородой и мистер Томпкинс расположились в холле отеля, чтобы пообсуждать общую теорию относительности, в то время как Мауд, дочь профессора, проявляет свои художественные таланты на пляже, расположенном невдалеке. И вдруг:

«Пока профессор вел беседу, вокруг начали происходить очень необычные вещи: одна часть холла вдруг стала чрезвычайно маленькой, сжав в себе все содержимое, тогда как другая часть выросла до такой степени, что мистеру Томпкинсу показалось, будто целая Вселенная могла бы теперь в ней поместится. Ужасная мысль промелькнула в его голове: что если та часть побережья, где рисовала мисс Мауд, оторвалась от остальной Вселенной и он больше никогда не сможет ее увидеть!»

Теоретические расчеты в общей теории относительности, касающиеся испускания гравитационных волн известными (или предполагаемыми) космическими источниками, показали несбыточность того, что так взволновало мистера Томпкинса. На деле любая точка пространства в любой момент времени пронизана волнами геометрических деформаций. Но амплитуда этих волн невообразимо мала. Самые большие геометрические деформации, которые мы могли бы наблюдать на Земле (один или два раза в год), имеют амплитуду порядка 0,000 000 000 000 000 000 001, или 10–21. Это значит, что прибытие такой волны в холл отеля мистера Томпкинса и профессора сожмет ширину холла на 0,000 000 000 000 000 0001 % и вытянет длину в том же отношении. Ясно, что такие малые эффекты не видны невооруженным глазом!

Физик-экспериментатор Джозеф Вебер был в конце 1950-х гг. первым, кто сформировал представление о современных технологиях, способных обнаружить столь малые деформации. Сегодня, спустя полвека совершенствования техники эксперимента, можно рассчитывать на детектирование гравитационных волн в ближайшие годы. В частности, Соединенные Штаты (проект LIGO) и Европа (проекты VIRGO и GEO) имеют недавно построенные гигантские интерферометры с плечом длиной в километры, которые потенциально способны обнаружить такие деформации^{90}. Огромные усилия в разработке технологий были подкреплены интенсивной теоретической работой международного коллектива по вычислению параметров гравитационных волн, испускаемых различными космическими источниками.

Например, один из самых изученных и самых многообещающих типов источников – система из двух «сливающихся» черных дыр, вращающихся вокруг друг друга. Выше мы говорили, что распространение гравитационного взаимодействия между двумя телами системы со скоростью света приводит к постепенному увеличению орбитальной частоты, что само по себе связано со сближением тел. Этот эффект был экспериментально подтвержден для нескольких двойных пульсаров. После сотен миллионов лет сближения два тела оказываются так близко, что начинают вращаться относительно друг друга со скоростью, близкой к скорости света. Тогда их сближение становится все более и более заметным, орбиты приобретают форму двух переплетенных спиралей, и это продолжается до тех пор, пока эйнштейновское гравитационное взаимодействие не станет столь сильным, что объекты «упадут» друг на друга. В случае двух черных дыр это падение по спирали приводит к их «слиянию» в одну более массивную быстро вращающуюся черную дыру. Если бы мистер Томпкинс оказался в непосредственной близости от двух сливающихся черных дыр, он мог бы стать свидетелем искривления геометрии на относительную величину порядка 10 %, что вполне можно наблюдать невооруженным глазом^{91}. Однако, поскольку такие системы достаточно редки во Вселенной, на Земле можно обнаружить лишь сигналы, испущенные системами из очень далеких галактик, расположенных за миллионы световых лет. И потому, учитывая, что амплитуда гравитационных волн во время распространения спадает обратно пропорционально расстоянию от источника, на Земле можно зафиксировать только миниатюрные деформации порядка указанной выше величины.

Размышления обо всем

Другим примером Игры в Мир, нашедшим свое математическое описание в свете теории Эйнштейна, является космология. Термин «космология» существовал и до Эйнштейна, разумеется, но Эйнштейн вдохнул в это слово новый смысл, несравненно более глубокий, нежели ранее. Для понимания, почему космологическое, т. е. глобальное, видение реальности было центральным аспектом его видения общей теории относительности, приведем цитату из письма к Карлу Шварцшильду от 9 января 1916 г., в котором он резюмирует то, что составляет суть этой теории в его понимании:

«Существенная черта моей теории состоит в том, что никакое свойство не может быть приписано пространству самому по себе. Это можно выразить в виде шутки такого толка: если из мира вдруг исчезнет все содержимое, то, следуя Ньютону, останется галилеево инерциальное пространство, тогда как в моем понимании ничего не останется».

Нам потребуется немного уточнить это утверждение, поскольку в настоящее время известно, что общая теория относительности допускает также решения в отсутствие материи. При этом не одно только пространство Минковского является таким решением^{92}, среди прочего существует бесконечное число решений, описывающих вибрационные волны пустого пространства-времени, которые приходят и уходят в бесконечность, не будучи «порождением» какой-либо материи. Силу теории Эйнштейна можно оценить тем, что именно она привела к идее о возможности таких решений. Эйнштейн первым начал думать о силе-материи и пространстве-времени как о неделимом целом. Это неделимое целое имеет название «космос» (в современном, эйнштейновском смысле).

В феврале 1917 г. Эйнштейн написал статью, которая заложила фундамент космологии XX в. и дала первую математическую модель космоса. Трудно переоценить важность концептуального прорыва, который представляет эта статья. Несмотря на то что некоторые современные авторы иногда принижают значимость этой работы, указывая, что в ней была «упущена возможность» предсказания расширения Вселенной. В самом деле, среди прочих упрощающих гипотез Эйнштейн предположил, что космос статичен. Когда же он нашел, что эта гипотеза несовместима с остальными (однородность пространства; замкнутость Вселенной с постоянной положительной кривизной; присутствие равномерно распределенной материи с положительной массой-энергией, но без напряжений), он решил исправить недавно полученные уравнения теории относительности, добавив слагаемое, получившее название «космологическая постоянная». Добавление космологической постоянной позволило ему написать первую единую модель реальности: статический космос Эйнштейна. Вскоре другие ученые, а именно голландец Виллем де Ситтер и русский Александр Фридман, поняли, что возможны также другие модели космоса и что космос, вообще говоря, может быть не только «искривлен пространственно», но и «искривлен во времени» или, другими словами, может расширяться или сжиматься^{93}. Стало ясно, что модификация теории относительности посредством космологической постоянной не является необходимой, если считать космос наполненным материей и искривленным во времени.

Всем известны замечательные плоды такой теории космоса: наблюдения американских астрономов Весто Слайфера и Эдвина Хаббла вкупе с теоретическими работами Жоржа Леметра и Георгия Гамова привели к модели Большого взрыва, которая была подтверждена открытием фонового космического излучения и объяснением плотности космического распределения легких элементов (дейтерий, гелий, литий). Эта модель получила идейное завершение с открытием «первичной фазы инфляции» и того недавно установленного факта, что космос как раз вошел в новую фазу инфляции. За дополнительной информацией мы отсылаем читателя к многочисленной литературе, посвященной описанию современной космологии и ее истоков^{94}.

Мы снова повторяем, что, по нашему мнению, вся концептуальная подоплека космологии XX в. содержится в статье Эйнштейна, написанной в феврале 1917 г. Объединение пространства-времени с силой-материей – содержащего и содержимого – в единое целое было актом исключительного интеллектуального мужества. При этом Эйнштейн осознавал беспрецедентность своего начинания. 4 февраля 1917 г. он писал своему другу Паулю Эренфесту, что «вновь опасается оказаться в психиатрической лечебнице с закрытым ртом из-за теории гравитации». Сегодня релятивистская теория, способная описать огромное количество наблюдений, в большинстве деталей отличается от той, что возникла в голове Эйнштейна в 1917 г. Как ни странно, одна «деталь» эйнштейновского космоса, космологическая постоянная, долго считавшаяся «ошибкой» Эйнштейна, недавно стала восприниматься как существенная и неотъемлемая составляющая модели Вселенной. Сегодня считается, что связанный с ней вклад, получивший новое название темной энергии, представляет около 70 % распределения напряжения-энергии во Вселенной^{95}.

В заключение мы коротко прокомментируем понятие «космического времени» в релятивистской теории. В популярных изложениях научных представлений существует тенденция, когда речь идет о космологии и особенно о Большом взрыве, использовать язык, подразумевающий введение временного потока, отмененного специальной теорией относительности. На самом деле, в ней нет ничего подобного. Пространство-время общей теории относительности точно так же «неподвижно», как и пространство Минковского. Большой взрыв не есть «рождение» Вселенной или ее «сотворение ex nihilo», но есть лишь одна из возможных «границ» сильно деформированного пространства-времени. Используя аналогию между уравнениями Эйнштейна и уравнениями теории упругости, можно сказать, что Большой взрыв (или Большое сжатие, тот же процесс, рассматриваемый наоборот^{96}) есть результат преодоления «порога упругости» пространственно-временного желе и перехода к разрывному режиму. Таким образом, в эой аналогии Большой взрыв есть нечто подобное краю разорванной резинки.

Иными словами, бесчисленное многообразие всевозможных эйнштейновских космологических моделей совсем не означает возвращения понятия временного потока и даже, наоборот, предоставляет удивительные примеры «миров», где нереальность этого потока становится осязаемой. Например, среди всех возможных космологических моделей^{97} можно вообразить пространство-время, где большие взрывы и большие сжатия таковы, что рядом с ними стрела времени^{98} направлена внутрь пространства-времени^{99} (как это происходит в случае границы нашего пространства-времени, называемой «Большой взрыв»). В таком космосе жители разных областей одного и того же пространства-времени (скажем, близких к какой-либо «нижней» границе или близких к какой-либо «верхней» границе) обнаружат, что время «течет» во взаимно противоположных направлениях: что является будущим для одного есть прошлое для другого (рис. 10)! Другой пример релятивистского космоса, ставящий под сомнение обычное понятие временного потока, был предложен в 1949 г. известным математиком (и коллегой Эйнштейна по Институту перспективных исследований) Куртом Геделем. В космосе Геделя время способно «идти по кругу». Фактически в нем существуют мировые линии, представляющие историю живущих в этом космосе наблюдателей, которые замыкаются подобно окружности. Наблюдатель, живущий вдоль одной из таких линий, будет испытывать «вечное возвращение» по Ницше, можно сказать, что он будет проживать свою жизнь «по кругу» (в том смысле, что его жизнь будет конечной и будущее будет перетекать в прошлое), тогда как наблюдатель, живущий вдоль бесконечной мировой линии, такой как прямая, будет ощущать линейное время «без поворотов».

Итак, эти примеры релятивистских моделей Вселенной действительно обладают тем, что могло бы стать причиной ночных кошмаров Бергсона. Однако они дают так же много пищи для размышлений о том, что же такое время и каков философский смысл открытий Эйнштейна.

Большие деформации пространства-времени: нейтронные звезды и черные дыры

Чтобы завершить обзор новых горизонтов, открытых общей теорией относительности, обсудим ситуацию, когда распределение энергии и напряжения настолько сконцентрировано, что приводит к значительным деформациям хроногеометрии пространства-времени. Такая ситуация возникает в случае нейтронных звезд и черных дыр, что представляет два возможных конечных состояния массивной звезды. Напомним, что основная часть жизни звезды уходит на медленное сжигание ее ядерного топлива. Этот процесс приводит к формированию у звезды слоистой структуры с отличными по ядерному составу слоями, окружающими ядро, которое становится все более и более плотным. Когда первоначальная масса звезды достаточно велика, этот процесс в конце концов приводит к катастрофическим последствиям: ядро, уже намного более плотное, чем обычная материя, коллапсирует под действием собственного гравитационного притяжения. В зависимости от массы, содержащейся в ядре звезды, этот коллапс может привести к формированию или нейтронной звезды, или черной дыры.

Нейтронная звезда имеет массу, приблизительно равную массе Солнца при радиусе около 10 км. Материя в такой звезде состоит в основном из нейтронов (протоны и электроны прореагировали друг с другом и, испустив нейтрино, превратились в нейтроны). Плотность массы-энергии внутри нейтронной звезды достигает 100 млн т на кубический сантиметр. Более того, напряжения в такой звезде (в форме давления нейтронного газа) становятся огромными, что также способствует значительной деформации пространства-времени. При решении уравнений Эйнштейна становится ясно, что нейтронная звезда деформирует хроногеометрию пространства-времени намного сильнее, чем Солнце.

Опишем идею относительных деформаций геометрии, вызванных Солнцем или нейтронной звездой. Напомним, что если бы геометрия была евклидова, то сумма углов треугольника равнялась бы 180°. Обычный треугольник – это фигура, полученная соединением трех точек прямыми линиями. Следуя Эйнштейну, [пространственная] геометрия^{100} в области присутствия распределения напряжения-энергии более не является евклидовой. Но, несмотря на это, можно определить треугольник как фигуру, полученную соединением трех точек пространства кратчайшими линиями. Представим треугольник (лежащий в плоскости, проходящей через центр объекта), который описывает звезду (Солнце или нейтронную звезду), т. е. треугольник, касающийся сторонами поверхности звезды. Измерить искривление геометрии можно, сопоставив сумму углов такого «описанного» треугольника со значением в евклидовом «недеформированном пространстве (180°). Для Солнца сумма углов построенного таким образом треугольника больше чем 180° на величину порядка трех угловых секунд. Относительная деформация (три угловых секунды, деленные на 180°) составляет лишь четыре миллионные доли. Очень малая деформация геометрии! В то же время сумма углов треугольника, описанного вокруг нейтронной звезды, больше 180° примерно на 70°. В этом случае относительная деформация составляет порядка 40 %! Мы видим, в каком смысле нейтронная звезда создает большое искривление геометрии. Отсюда можно заключить, что если имеется подтверждение на опыте корректности описания общей теорией относительности гравитационного поля нейтронной звезды, то также имеется и подтверждение применимости теории в случае больших деформаций пространства-времени. Не вдаваясь в детали^{101}, скажем лишь, что четыре различные системы двойных пульсаров позволили получить 10 независимых подтверждений применимости теории относительности в режиме сильных деформаций пространства-времени. Четыре из них заодно подтверждают реальность распространения гравитационных волн, предсказанных теорией относительности. Заметим, наконец, что некоторые из этих подтверждений имеют превосходную точность с относительной ошибкой порядка трех тысячных долей. Можно добавить, что очень большое число наблюдений в Солнечной системе (в особенности «исторический» опыт по измерению смещения орбиты Меркурия) подтвердило предсказания общей теории относительности в режиме малых деформаций хроногеометрии с точностью по меньшей мере порядка трех тысячных, а в одном случае с исключительной точностью в две стотысячные доли (2 10⁵).

Все эти непосредственные проверки (равно как и другие, не упомянутые здесь) делают общую теорию относительности одной из самых хорошо подтвержденных теорий современной науки. По этой причине вполне можно относиться к предсказаниям теории относительности с полной серьезностью, даже если эти предсказания еще не получили непосредственного подтверждения. Это как раз ситуация предельных деформаций пространства-времени, имеющих еще большую величину, нежели в случае таких больших нейтронных звезд, которые способны преодолеть «порог упругости» пространственно-временного желе. Когда к обычной упругой среде (желе, кусок резины или металла) прикладывается очень сильное давление, то она проходит последовательно упругий режим (который является обратимым процессом, т. е. таким, что тело возвращается в недеформированное состояние после прекращения давления), чтобы войти (i) в режим пластичности (когда тело деформируется необратимым образом, но не разрушается), а затем (ii) в режим разрыва (когда тело ломается или рвется). Эти два режима имеют аналог в случае упругости пространства-времени. Можно сказать, что формирование черной дыры соответствует режиму пластичности пространственно-временного желе. Тогда можно сопоставить (как мы уже указывали) формирование космологических сингулярностей^{102} (Большой взрыв или Большое сжатие) с разрывом желе пространства-времени.

Черная дыра является результатом «продолжения» коллапсирования звезды, иными словами, коллапсирования, которое не остановилось на стадии формировании нейтронной звезды. Концепция черной дыры возникла в общей теории относительности не сразу. В январе 1916 г. немецкому физику Карлу Шварцшильду удалось найти первое точное решение только что полученных уравнений Эйнштейна. По идее, эти решения должны были описывать точную форму деформации пространства-времени, создаваемой Солнцем (те же вычисления были проделаны Эйнштейном в ноябре 1915 г., но только до второго порядка приближения). Однако, к удивлению, найденное точное решение обладало странным поведением вблизи своего центра. Эта странность связана с тем, что сегодня называют «горизонтом событий черной дыры», или «границей черной дыры». Потребовалось еще почти 50 лет работы, чтобы понять концептуальный смысл этого поведения. Мы не будем здесь пытаться проследить постепенное развитие концепции черной дыры^{103}, ограничимся лишь тремя важными этапами. Физическая концепция черной дыры как результата «продолженного» коллапсирования звезды была введена Джулиусом Робертом Оппенгеймером и Хартландом Снайдером в 1939 г. Глобальная хроногеометрическая структура черных дыр была описана только в 1960-х гг. в серии работ, в том числе Мартина Крускала и Роджера Пенроуза. Название «черная дыра» было введено Джоном Арчибальдом Уилером на его лекции 29 декабря 1967 г.

Читатель может получить схематичное представление о хроногеометрии пространства-времени черной дыры, возникающей в результате коллапса сферической звезды^{104}, по рис. 11. На нем изображено трехмерное пространство-время с двумя пространственными измерениями и одним временным. Окружность, или, точнее, диск, внизу диаграммы соответствует начальному состоянию в «нулевой» момент времени для звезды в двумерном пространстве. В будущем, т. е. в верхней части рисунка, звезда коллапсирует и последовательно принимает формы дисков, радиусы которых становятся все меньше и меньше. Полученная фигура отражает пространственно-временную историю коллапса звезды. Этот коллапс создает все более плотное распределение массы-энергии-напряжения, которое все больше и больше деформирует хроногеометрию пространства-времени. Для простоты картины мы не стали изображать «песочные часы» (для каждой точки, представляющей события, разделенные с ней небольшим положительным квадратом интервала), но изобразили «световые конусы» (представляющие события, отстоящие друг от друга на интервалы с нулевым квадратом). Более того, мы сохранили только верхнюю часть светового конуса, направленную в будущее. Каждый конус (инфинитезимально) представляет историю испущенной во всех направлениях вспышки света в каждый момент времени и в каждой точке пространства. В общем случае с каждым событием можно ассоциировать «световой коноид» будущего, т. е. фигуру, определенную полной (уже не инфинитезимальной) историей вспышки света, испущенной в данном событии. Как результат, такой коноид есть история светового пузыря, который раздувается из первоначально нулевого радиуа. Внутренность коноида есть «будущее» данного события, т. е. часть пространства-времени, на которую это событие может влиять или куда может посылать информацию. Некоторые из коноидов (в форме тюльпанов и фужеров) представлены на рис. 11.

Существенным элементом, изображенным на рисунке, является образование области пространства-времени (серая зона), откуда ничто не может выйти: ни свет, ни материя, ни информация. Граница между этой серой зоной (называемой «внутренностью черной дыры») и примыкающей к ней светлой зоной называется «горизонтом черной дыры», или поверхностью черной дыры. Те конусы, чьи вершины расположены в светлой зоне («внешность черной дыры»), будут развиваться в коноиды, распространяющиеся (по крайней мере частично) до бесконечности, что отражает возможность распространения сигналов из данной области в бесконечность. В то же время конусы, чьи вершины расположены в серой зоне (внутри черной дыры), будут развиваться без возможности покинуть эту самую зону. И, таким образом, невозможно испустить электромагнитный сигнал в серой зоне так, чтобы он достиг бесконечности. Отсюда и берется прилагательное «черная» для описания этой структуры.

Заметим, однако, что «граница черной дыры», или «горизонт», абсолютно не является черной, на самом деле она представляет собой световой пузырь, который в определенный момент времени начинает покидать центр звезды, но затем застывает в виде пространственно-временного цилиндра. Этот цилиндр (т. е. «верхняя», стационарная часть горизонта) представляет собой пространственно-временную историю светового пузыря, который локально движется наружу со скоростью света, но глобально «бежит на месте». Такое примечательное поведение иллюстрирует факт того, что в черной дыре «напряжения», оказываемые распределением материи, превысили предел упругости и достигли режима пластичности, когда пространственно-временное желе начинает походить на поток, текущий в дыру. В самом деле, можно сравнить бегущий на месте световой пузырь с тем, что происходит вокруг сливного отверстия во время вытекания воды из раковины: на поверхности воды могут распространяться волны, остающиеся на месте по отношению к раковине по причине движения воды в направлении стока.

Отметим еще один важный элемент структуры черной дыры. Временное развитие ее внутренней области ограничено, заканчиваясь на пространственно-временной границе (темно-серая поверхность), где деформация хроногеометрии (в смысле тензора кривизны) становится бесконечно большой. Пространство-время перестает существовать за этой границей, что должно обозначать явление Большого сжатия (или, что то же самое, обращенного во времени Большого взрыва). В нашей аналогии с упругой средой эта граница схожа с тем местом, где происходит разрыв упругого материала. Другими словами, внутренность черной дыры содержит ожидаемый «конец света», где рвется ткань пространства-времени.

Уточним, что кроме глобальной хроногеометрической структуры черной дыры также полезно рассматривать черную дыру в качестве объекта, локализованного в окружающем пространстве и сохраняющегося во времени: другими словами, как своего рода мертвую звезду, оставляющую след в виде трубы в пространстве-времени. Эта труба есть не что иное, как ее горизонт событий, или же поверхность черной дыры, представленная серым цилиндром на рисунке. Изучение физического поведения этого объекта показывает, что ему можно приписать большое количество свойств, присущих обыкновенным телам: как, например, масса, энергия, импульс и момент импульса^{105}. Более того, оказывается, что черная дыра может обмениваться энергией, моментом импульса и электрическим зарядом со своим окружением. Димитриос Христодулу и Ремо Руффини сумели даже показать^{106}, что черные дыры представляют наибольший резервуар свободной энергии Вселенной: в самом деле, 29 % их энергии, сосредоточенной в массе (mc2), может иметь форму кинетической энергии вращения и до 50 % – форму электрической энергии. Это куда больше тех нескольких процентов, которые приходятся на энергию ядерных связей и которые являются источником излучения света в течение всей жизни звезды. Вдобавок к их механическим свойствам (энергия, импульс и т. д.) также весьма полезно приписать черным дырам термодинамические свойства (такие как энтропия^{107} и температура^{108}) и даже локальные диссипативные свойства на их поверхности (такие как удельная поверхностная проводимость^{109} и поверхностная вязкость^{110}).

Хотя на данный момент нет неопровержимых доказательств существования черных дыр во Вселенной (несмотря на некоторые сообщения СМИ, которые в основном касаются явлений, происходящих очень далеко от горизонта событий потенциальной черной дыры), имеется большое количество косвенных свидетельств, указывающих на их существование. В частности, более дюжины двойных систем в нашей галактике, испускающих рентгеновское излучение, вероятно, в действительности состоят из пары: черная дыра и звезда. Более того, центр нашей галактики, по всей видимости, содержит очень компактное скопление массы, эквивалентное трем миллионам солнечных масс, что, вероятно, может быть черной дырой. Детектирование гравитационных волн, испущенных при слиянии черных дыр, в случае успеха принесет прямое и неопровержимое доказательство их существования путем анализа характерных частот «вибрационных» волн, испускаемых конечной дырой, образованной при слиянии двух начальных. В самом деле, можно показать, что черные дыры представляют собой упругие структуры, которые могут вибрировать и заставлять колебаться пространство-время вокруг них, подобно тому, как колокольчик своими колебаниями возбуждает звуковые волны в воздухе.

Глава 5
Свет и энергия как частицы

Эйнштейн был бы одним из величайших физиков-теоретиков всех времен, даже если бы он не написал ни одной строчки о теории относительности.

– Макс Борн

Отныне кажется необходимым ввести во все наши физические и химические теории понятие дискретности, величины, меняющейся скачками, о которой мы не имели ни малейшего представления еще несколько лет назад (Марсель Бриллюэн).

Брюссель, Бельгия, 30 октября – 3 ноября 1911 г.

30 октября 1911 г. в одном из залов «Метрополя», самого красивого отеля Брюсселя, бельгийский промышленный магнат Эрнест Сольве открывает свой первый Cольвеевский научный конгресс. На этот «своего рода неофициальный конгресс» Эрнест Сольве пригласил самых именитых ученых того времени, чтобы обсудить в узком кругу важные перемены, происходящие в фундаментальной науке. Лишь 20 ученым было предложено принять участие в этом мини-конгрессе, каждый из них получил персональное приглашение от Эрнеста Сольве. Около половины из них уже были лауреатами Нобелевской премии или впоследствии получили ее.

Сольве горячо любил науку, хотя и был самоучкой, он сделал свое состояние на промышленном применении химии (а именно, разработка дешевой технологии производства соды). Обладая даром предвидения, он частично использовал свои капиталы для развития существующей науки и для поддержки новых научных идей^{111}. Он также любил встречаться с учеными, поскольку всю свою жизнь сожалел, что из-за болезни в юности ему пришлось оставить учебу и идею поступления в университет. Как он писал, «находиться в контакте с учеными, по возможности становиться немного ученым самому, обдумывать физические факты и таким образом открывать безусловную реальность – это было золотой мечтой всей моей жизни». Его благотворительность, направленная на развитие науки, имела большой успех. В первую очередь это, конечно, организация Сольвеевских конгрессов, которые, став местом активных дискуссий, серьезно повлияли на развитие новых научных идей, а также учреждение фондом Сольве ряда международных институтов в области физики, химии, физиологии и социологии^{112}.

В 1910 г. Эрнест Сольве связывается с великим немецким ученым, специализирующимся в области физической химии, Вальтером Нернстом, и просит его помочь в организации научной встречи по «насущным вопросам» физики и химии. Нернст предлагает Сольве посвятить первый конгресс происходящим в то время революционным изменениям, из-за которых рушились основы физики, ранее считавшиеся непоколебимыми. Он объясняет Сольве, что эта революция (так называемая «квантовая» революция) является результатом работ Макса Планка, его коллеги, физика из Берлина, и (в особенности) работ Эйнштейна. Нернст имеет в виду, в частности, работу Эйнштейна, опубликованную в 1907 г., о «теплоемкости» твердых тел (см. ниже). В этой гениальной работе идея квантов впервые использовалась за рамками теории излучения, в которой существование квантов было предсказано Планком и Эйнштейном. Благодаря Эйнштейну обобщение «квантовых» идей позволило объяснить загадочные температурные свойства определенных твердых тел (в частности, алмазов), которым не могли найти объяснение уже около 50 лет.

В результате с 30 октября по 3 ноября 1911 г. в Брюсселе прошел первый Сольвеевский конгресс по теории излучения и квантам. Список участников, которых было 20, впечатляет. Достаточно упомянуть Хендрика Лоренца (Нобелевская премия по физике, 1902 г.), Марию Кюри (Нобелевская премия по физике, 1903 г., совместно с Пьером Кюри и Анри Беккерелем; и Нобелевская премия по химии, 1911 г.), Макса Планка (Нобелевская премия по физике, 1918 г.), Жана Перрена (Нобелевская премия по физике, 1926 г.), Эрнеста Резерфорда (Нобелевская премия по химии, 1908 г.), Вальтера Нернста (Нобелевская премия по химии, 1920 г.), Вильгельма Вина (Нобелевская премия по физике, 1911 г.), а также Анри Пуанкаре, Поля Ланжевена, Марселя Бриллюэна, Мориса де Бройля (старшего брата Луи де Бройля) и, конечно же, last but not least, Альберта Эйнштейна (Нобелевская премия по физике, 1921 г.). Эйнштейн был самым молодым из участников (на тот момент ему исполнилось 32 года), как можно легко заметить, глядя на знаменитый снимок первого Сольвеевского конгресса. На нем выглядящий абсолютно невозмутимым Эйнштейн непринужденно курит сигару в обществе Ланжевена. Оба стоят невдалеке от весьма пожилого Пуанкаре, расположившегося за столом и, по-видимому, объясняющего какой-то математический результат внимательно слушающей Марии Кюри.

Но вернемся к тому утру 30 октября 1911 г., когда в отеле «Метрополь» начал свою работу первый Сольвеевский конгресс. После приветственных слов Эрнест Сольве открывает конгресс выступлением, в котором он говорит о своем видении теории пространства, материи и энергии. Он признает между тем, что его представления относятся «скорее к физической философии, а не к современной физике». Затем он передает слово председателю конгресса, Хендрику Лоренцу. Вряд ли можно было найти лучшего председателя, чем Лоренц. Родившийся в 1853 г. и получивший в 1902 г. одну из самых первых Нобелевских премий в области физики (первая была присуждена в 1901 г. Вильгельму Конраду Рентгену), Лоренц был корифеем физики. Он также свободно владел (конечно, кроме голландского) французским, немецким и английским языками, что позволяло ему с легкостью управлять конгрессом, на котором все три языка были в ходу. (Счастливые времена языкового разнообразия!) Лоренц выполнял роль председателя дипломатично и с тактом. Всю свою жизнь Эйнштейн относился к нему с глубоким уважением. Он восхищался гармоничностью личности Лоренца и испытывал к нему почти родственную привязанность. Удивительно между тем, что исключительная человеческая симпатия между Эйнштейном и Лоренцом никак не страдала от их зачастую противоположенных научных взглядов: так, «консерватор» Лоренц, во-первых, всегда придерживался концепции эфира и никогда не верил в теорию относительности в понимании Эйнштейна, и, во-вторых, он склонялся к описанию света в виде непрерывного электромагнитного поля, тогда как Эйнштейн стал основоположником «революционной» идеи дискретной природы света (в марте 1905 г., см. ниже). Все это хорошо чувствуется во вступительной речи Лоренца, произнесенной утром 30 октября 1911 г.: в ней он подчеркивает важность вопросов, предложенных для обсуждения. «Я говорю о важности, поскольку эти вопросы касаются самих принципов механики и самых глубоких свойств материи. Может быть, даже, хотя будем надеяться, что этого не случится, основные уравнения электродинамики и наши представления о природе эфира – если еще дозволено использовать это слово – окажутся под сомнением». Однако затем он продолжает в более позитивном ключе:

«[…] Теперь у нас возникает чувство, что мы зашли в тупик, и старые теории все более показывают свое бессилие разорвать сумрак непонимания, окружающий нас со всех сторон. В этом положении любопытная идея об элементарных составляющих энергии, выдвинутая Планком и примененная к решению ряда проблем Эйнштейном, Нернстом и др., стала драгоценным лучом света. Она открывает неожиданные перспективы, и даже тот, кто воспринимает эту гипотезу с недоверием, должен признать ее важность и плодотворность. Поэтому она заслуживает того, чтобы быть в центре внимания наших дискуссий, [даже если], в свою очередь, эта новая идея в ее настоящей форме вызывает серьезные возражения».

Словом, основным предметом обсуждения на осеннем саммите 1911 г. стала серия новаторских работ 1905–1907 гг. самого молодого участника конгресса, Альберта Эйнштейна (не считая, хотя и положившей начало, однако не вызвавшей особого отклика физического сообщества работы Планка 1900 г.). При этом самому Эйнштейну на саммите была отведена роль «заморской знаменитости» – ему предназначалось сделать заключительное выступление.

А что же думал сам Эйнштейн, только недавно получивший позицию профессора (в Праге), об этом Сольвеевском конгрессе – по сути первом международном конгрессе, в котором он принял участие? С одной стороны, по-видимому, он был благодарен за такую возможность подробно обсудить интересующие его вопросы с именитыми коллегами и попытаться убедить и отказаться от своих ошибочных стереотипов. Так, он писал в письмах: «Планк следует предвзятым представлениям, не соответствующим действительности… хотя тут ни у кого нет ясного видения. Во всей этой истории нашлось бы чем порадовать целую компанию чертовых иезуитов», а также: «мне, наконец, удалось убедить Планка согласиться с многими моими идеями, которым он сопротивлялся много лет. Все-таки это человек с врожденным чувством справедливости, который ставит общие интересы выше частных».

С другой стороны, в декабре 1911 г. он писал своему ближайшему другу Микеле Бессо: «Этот конгресс напоминал плач на развалинах Иерусалима. Он не привел ни к чему новому. Мои сбивчивые выступления вызвали большой интерес, но никакой серьезной критики. Я не извлек для себя никакой пользы, поскольку все, что слышал, было мне уже известно».

Если Эйнштейн не почерпнул для себя почти ничего, то его коллеги только сейчас начинали понимать, что за новый мир открывается для физики – мир квантов и что именно Эйнштейн был в нем первопроходцем. Высказывание Марселя Бриллюэна, взятое в качестве заглавия этого раздела, хорошо выражает чувства всех участников конгресса относительно потенциальной значимости явления квантовой дискретности. А как насчет широкой публики? Разделила ли она энтузиазм в связи с открытием этого нового мира? Участвовала ли пресса в обсуждении этого исторически значимого научного события? Да, первый Сольвеевский конгресс действительно стал предметом хроник, однако вовсе не по научным причинам! Французская пресса, а затем присоединившаяся к ней бельгийская на протяжении всего конгресса назойливо атаковала Марию Кюри за ее «любовную связь» с женатым и имеющим четверых детей Полем Ланжевеном [напомним, что Пьер Кюри умер в 1906 г.]. Оба ученых были участниками конгресса в Брюсселе, что делало скандал еще более заметным. Ксенофобская и антифеминистская кампания прессы (с попытками изобразить г-жу Кюри «пришедшей ниоткуда… роковой студенткой») в основном была направлена на то, чтобы не позволить ей стать членом Французской академии наук (и результат был достигнут!). Без этого скандала, возможно, читатели европейской прессы и вовсе не услышали бы о конгрессе, который между тем отметил весьма важный этап в оценке роли квантовой революции, а также в ее распространении. Отметим только, что проявившимся позднее результатом оживленных дискуссий в Брюсселе стал тот факт, что именно благодаря услышанным от Резерфорда, по его возвращении в Манчестер, «потрясающе подробным пересказам обсуждений первого Сольвеевского конгресса» Нильс Бор вдохновился на исследования квантовых эффектов и что Луи де Бройль также загорелся желанием прояснить загадку квантов, читая материалы конгресса, опубликованные (на французском) его старшим братом Морисом де Бройлем.

Но вернемся на несколько лет назад и попробуем понять, каким образом Эйнштейну удалось убедить значительную часть физического сообщества в отсутствии непрерывности в тех областях физики, где прежде непрерывность не подлежала сомнению.

Идея «действительно революционная»

Берн, Швейцария, март 1905 г.

Вернемся к «чудесному году», 1905 г., когда молодой сотрудник бернского патентного бюро заложил основу современной физики. Обычно мы ассоциируем Эйнштейна с теорией относительности, или, точнее, с двумя теориями относительности, но, как свидетельствует высказывание немецкого физика (обладателя Нобелевской премии) Макса Борна, взятое в качестве эпиграфа к этой главе, даже если бы Эйнштейн не написал ни строчки о теории относительности, его другие вклады в теоретическую физику настолько фундаментальны, что их было бы достаточно, чтобы считать их автора одним из величайших физиков в истории человеческой мысли. Каковы же эти другие вклады? И откуда Эйнштейн взял время, чтобы сделать эти фундаментальные вклады, когда, как мы видели, он был поглощен специальной теорией относительности с 1905 по 1907 г., а с 1907 по 1918 г. построением и развитием общей теории относительности? На самом деле Эйнштейн сделал свой самый революционный вклад в физику XX в. за четыре месяца до выхода его статьи о специальной теории относительности в июне 1905 г. И он продолжал предлагать разные инновационные идеи о скрытой природе света и материи на всем протяжении периода с 1905 по 1924 г. Эти идеи совместно с идеями Макса Планка и Нильса Бора легли в основу третьей грандиозной научной революции XX в.: квантовой теории, которая была впервые полностью сформулирована в 1925–1926 гг. в работах Вернера Гейзенберга, Макса Борна, Паскуаля Йордана, Эрвина Шредингера и Поля Дирака.

В марте 1905 г., когда ему только исполнилось 26 лет, Эйнштейн заканчивал статью, предлагающую новый взгляд на природу света и его поглощение и излучение материей. В письме, написанном вскоре после этого своему другу Конраду Габихту, одному из трех членов (вместе с Эйнштейном и Морисом Соловином) «Олимпийской академии», он рассказывал о содержании данной статьи следующим образом: «Там исследуются радиационные и энергетические свойства света с помощью действительно революционного подхода…» Вспомним, что Эйнштейн никогда не считал «революционной» свою июньскую работу по теории относительности 1905 г., он оценивал ее лишь как содержащую определенный концептуальный «шаг». Итак, в чем же заключалась революционность идеи мартовской статьи 1905 г.? Вопреки тому, что все считали строго установленным в то время, идея состояла в том, что световая энергия не распространялась в пространстве непрерывно, но была сосредоточена в маленьких световых квантах (Licht-quanten), т. е. в частицах световой энергии, локализованных в отдельных точках пространства.

Революционность этой идеи можно оценить хотя бы по тому факту, что в течение 20 лет она расценивалась как абсурдная и отклонялась почти всеми физиками! Даже Макс Планк, которого часто считают инициатором квантовой революции, отвергал гипотезу Эйнштейна о световых квантах как ошибочное предположение. И это при том, что Планк был первым физиком-теоретиком, признавшим значимость инновационных концепций Эйнштейна, в том числе его июньской работы по теории относительности 1905 г. В 1913 г. Планк и его коллеги составили отчет о научных достижениях Эйнштейна для выдвижения его кандидатуры в Прусскую академию наук. В этом отчете они высоко оценивали исключительную важность вклада Эйнштейна в физику. В то же время в заключение отчета они посчитали необходимым сделать следующее негативное замечание, которое многое говорит об их отношении к «действительно революционной» идее Эйнштейна:

«В целом мы можем сказать, что среди основных проблем, которыми изобилует современная физика, едва ли найдется та, в которую Эйнштейн не сделал бы выдающийся вклад. Это правда, что иногда он теряет цель в своих предположениях, например в случае с гипотезой о световых квантах; но мы не можем упрекать его в этом, ибо даже в самых точных науках невозможно вводить действительно новые идеи без того, чтобы иногда не рисковать».

Волновая природа света

С начала XIX в. природа света казалась хорошо изученной. Англичанин Томас Юнг (в 1801–1807 гг.) и француз Огюстен Френель (в 1815–1821 гг.) доказали при помощи новаторских экспериментов, что свет ведет себя, как волна. Рябь, распространяющаяся по поверхности спокойного озера, может накладываться одна на другую, это приводит к так называемой интерференции, т. е. чередованию областей, где рябь в результате наложения усиливается, и областей, где она подавляется, оставляя, таким образом, поверхность воды спокойной. Эксперименты Юнга и Френеля показали, что свет из одного источника, но прошедший по разным маршрутам, прежде чем рекомбинировать, интерферирует, т. е. создает чередование светлых и темных областей. Из этого они заключили, что свет представляет собой волновое явление, энергия которого непрерывно распределена в пространстве и которое распространяется поступательно со скоростью 300 000 км/с.

Эта концепция света была подтверждена работами Джеймса Клерка Максвелла (около 1860 г.), который предложил идентифицировать свет с электромагнитной волной, т. е., как мы уже сказали, с колебательным явлением, где электрическое поле преобразуется в ходе своего распространения в магнитное поле, и наоборот. Эксперименты Генриха Герца, проведенные в 1886–1888 гг., установили существование электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью 300 000 км/с, и показали их способность отражаться, преломляться и интерферировать совершенно аналогично световым волнам. Таким образом, после 1887 г. вопрос казался исчерпанным: свет является электромагнитной волной, энергия которой распределяется непрерывно в пространстве.

Червивое яблоко

Как мы только что сказали, эксперименты Генриха Герца установили существование электромагнитных волн и, как казалось, окончательно подтвердили волновую природу света. Вместе с тем, по странной исторической иронии, осуществляя свои эксперименты, Герц случайно обнаружил новый феномен, который благодаря работе Эйнштейна, опубликованной в марте 1905 г., станет одним из самых убедительных доказательств корпускулярной природы света. Этот феномен называется «фотоэлектрическим эффектом», поскольку сочетает в себе свет (на греческом photos) и электричество. За теоретическое открытие фундаментального закона, описывающего фотоэлектрический эффект, в 1921 г. Эйнштейну была присуждена Нобелевская премия.

Чтобы почувствовать, насколько экспериментальное открытие может выглядеть загадочным, не имея какого-либо теоретического объяснения, полезно описать явление, обнаруженное Герцом в 1886 г. Герц получал электромагнитные волны, создавая колебание электрического заряда между двумя медными шарами, расположенными недалеко друг от друга и подключенными к катушке индуктивности. В процессе электрических колебаний между медными шарами формировалась «электрическая дуга», т. е. сильная световая вспышка, возникающая в результате электрической ионизации воздушного зазора между медными проводниками. Этот «осциллятор Герца» генерировал электромагнитные волны радиочастотного диапазона (невидимые, таким образом, человеческим глазом). Для обнаружения этих радиоволн Герц использовал медный стержень, изогнутый в форме кольца, с небольшим зазором между концами (один из них был заострен, тогда как другой имел округлую форму). Когда частота колебаний осциллятора Герца была специальным образом согласована с размером кольца-приемника, Герц мог детектировать электромагнитные волны, фиксируя формирование небольших электрических искр в зазоре. Поскольку фиксировать маленькие искорки было весьма непросто, у Герца возникла идея поместить кольцо-приемник в черный ящик, чтобы легче различать вспышки. Однако, к его удивлению, помещение кольца-приемника в ящик влияло на искры, делая их значительно менее яркими! После детального экспериментального анализа Герц понял, что причину этого странного явления следовало искать во влиянии ультрафиолетового излучения, испускаемого электрической дугой, возникающей между медными шариками производящего радиоволны осциллятора. Герц опубликовал свои наблюдения в 1887 г., однако ему не удалось дать какого-либо объяснения механизма, посредством которого свечение в ультрафиолетовом спектре могло влиять на яркость искр, возникающих в кольце.

После Герца фотоэлектрический эффект экспериментально изучался на протяжении 30 лет. Открытие электрона (примерно в 1897 г.), сделанное благодаря работам Жана Перрена и Джозефа Джона Томсона, позволило лучше понять механизм, лежащий в основе фотоэлектрического эффекта: поверхность твердого тела (меди в случае опыта Герца), освещенная ультрафиолетовым излучением, испускает электроны. Но самый замечательный результат был получен в 1900 г. бывшим ассистентом Герца Филиппом Ленардом. Именно Ленард обнаружил те аспекты этого явления, которые никак не могли вписаться в обычные представления о свете как о волне с энергией, непрерывно распространяющейся в пространстве. Например, один из самых неожиданных эффектов, обнаруженных Ленардом, заключается в следующем: Ленард исследовал эмиссию электронов твердым телом под действием ультрафиолетового излучения, частота которого варьировалась. Он обнаружил, что, когда частота ультрафиолетового излучения становится меньше определенного порогового значения, освещаемая поверхность перестает испускать электроны. Ленард увеличивал интенсивность ультрафиолетового излучения и ожидал в течение значительного времени, однако ничего не менялось! Ни один электрон не покидал освещаемой поверхности. И это притом, что энергии падающей на поверхность световой волны было более чем достаточно для выбивания электронов из твердого тела и передачи им энергии движения. Как объяснить, что одинаковое и, в принципе, вполне достаточное количество световой энергии оказывается совершенно неспособным выдернуть электроны из поверхности, стоит только частоте колебаний света стать меньше определенного порогового значения?

Эйнштейн читал с энтузиазмом работы Ленарда с 1901 г., когда он заканчивал Цюрихский политех. Примерно в то же время он читал и другие работы о природе света, в том числе работу Макса Планка, опубликованную в 1900 г., где указывалось на то, что при обмене энергией между материей и светом происходят странные вещи. Молодой Эйнштейн обладал исключительным талантом выявлять области физики, где было что-то новое и требующее понимания. Чтобы оценить ход мысли, который привел его к разработке революционной гипотезы о квантах света, вернемся немного назад и объясним, о чем шла речь в основополагающих работах Планка.

Черное и красное

В обычном понимании «черным» называется тело, поглощающее падающий на его поверхность свет без какого-либо отражения. В действительности, поскольку свет, воспринимаемый человеческим глазом, находится в так называемой видимой части спектра, т. е. имеет длину волны от 0,4 до 0,8 мкм, тела, которые мы воспринимаем как «черные», могли бы выглядеть «инфрацветными» или «ультрацветными» для существ, способных видеть инфракрасное или ультрафиолетовое излучение. В физике бывает полезно рассматривать различные предельные ситуации, позволяющие упростить описание происходящего. Так вот, в упрощенном описании черное тело определяется как идеальное тело, которое поглощает любой свет, падающий на его поверхность, без всякого отражения или дифракции независимо от длины волны этого света. Тот факт, что тело является черным, т. е. идеальным абсорбером, не мешает ему, в принципе, стать излучателем света. Для этого его достаточно нагреть. Из повседневного опыта мы знаем, например, что кусок металла, выглядящий черным при комнатной температуре, становится красным при достаточном нагреве и даже белым, если его температура становится еще выше. Такое изменение цвета определяет зависимость излучающей способности «черного тела» от температуры.

В качестве практической реализации черного тела можно представить себе небольшое отверстие, проделанное в корпусе печи. Такое отверстие можно считать черным телом в том смысле, что оно полностью поглощает свет: действительно, любой свет, попадающий в это отверстие, будет проникать в печь и, многократно отражаясь и рассеиваясь, полностью поглощаться внутренними стенками. Другими словами, это ловушка для любого падающего излучения. Таким образом, анализ излучающей способности черного тела эквивалентен анализу при фиксированной температуре стенок распределения теплового излучения внутри печи в зависимости от частоты электромагнитных волн, из которых это излучение состоит.

Данная функция распределения теплового излучения печи в зависимости от частоты была хорошо изучена, экспериментально и теоретически, в Германии и Австрии во второй половине XIX в.^{113} В 1896 г. Вильгельм Вин предложил простую математическую формулу для описания этого распределения теплоты печи по частоте, или, иначе, закон излучения черного тела. В течение четырех лет казалось, что закон Вина прекрасно описывает излучение черного тела. Однако в 1900 г. измерения, проведенные в Берлине двумя группами экспериментаторов, показали, что закон Вина, хорошо работающий для относительно больших частот света, не дает правильного описания излучения в области малых частот (т. е. больших длин волн). 19 октября 1900 г. эти результаты позволили физику-теоретику Максу Планку (также работавшему в Берлине) предложить другую, более сложную математическую формулу для описания излучения черного тела. Действительно, как было вскоре подтверждено, новый закон почти идеально воспроизводил экспериментальные результаты.

В этом законе Планка излучения черного тела содержался зачаток одной из самых серьезных революций в истории науки. Планк построил свой закон на основании того, что в английском языке называется educated guess (умная догадка), т. е. гипотезы, основанной на хорошем знании термодинамики черного тела в том виде, как она виделась в то время. Он сразу понял, что его закон должен содержать новую информацию о физике взаимодействия между светом и материей. В течение нескольких месяцев после своей догадки он многократно пытался, используя все свои знания, вывести этот один из наиболее фундаментальных законов физики своего времени. Однако раз за разом ему не удавалось этого сделать. О масштабе его личности как физика можно судить по тому, что даже неоднократные неудачи не смогли заставить его отказаться от поисков в этой новой неисследованной области. В течение многих лет он работал над законом излучения черного тела, поскольку понимал (как показал Вильгельм Вин), что это был один из немногих универсальных законов физики. Действительно универсальных законов физики очень мало. И поэтому он хотел глубже понять, что данный закон говорит о природе. Как он писал позже:

«В течение шести лет я боролся с теорией черного тела. Я должен был найти теоретическое объяснение любой ценой, кроме отказа от двух основных принципов термодинамики, имеющих безусловный и всеобщий характер».

Когда все его попытки вывести предложенную ранее гипотезу потерпели неудачу, он прибег к тому, что называется «жестом отчаяния»: стремясь по-прежнему оставаться в рамках законов физики XIX в., он решил по-новому интерпретировать некоторые из правил статистической физики так, чтобы из них следовал «правильный результат», т. е. результат, эквивалентный предположенному им ранее закону для черного тела. Мы вернемся ниже к предложенной Планком интерпретации и к точке зрения, которая была по этому поводу у молодого Эйнштейна.

Беспорядок и подсчет конфигураций блох

Итак, вернемся к содержанию статьи Эйнштейна, опубликованной в марте 1905 г. Эта статья состоит из нескольких независимых разделов, посвященных разным аспектам теории света и его взаимодействий с веществом. Первый раздел содержит неявную критику работ Планка, о которых мы только что говорили. Фактически Эйнштейн заключает, что правильное применение известных в то время законов физики неминуемо приводит к совершенно определенному закону для излучения черного тела. Этот закон^{114}, однако, имеет два существенных недостатка: (i) он категорически не согласуется с экспериментальными измерениями в области больших частот, где применим закон Вина; и (ii) этот закон физически абсурден, поскольку предсказывает, что любая горячая печь или просто дрова должны выдавать бесконечное количество излучения преимущественно в области очень высоких частот. Другими словами, согласно физике XIX в., присев погреться у костра, можно испечься до смерти независимо от температуры огня! На основании этого результата Эйнштейн, безусловно, приходит к выводу, что работы Планка, в которых утверждалась возможность, оставаясь в рамках физики XIX в., вывести другой закон для черного тела, были математически и физически непоследовательны. Однако его статья не содержит явной критики работ Планка. Это может показаться странным, поскольку переписка Эйнштейна того времени показывает, что полный юношеского огня он всегда был готов критиковать своих коллег-физиков, и в том числе весьма знаменитых. Возможно, в сдержанном стиле статьи Эйнштейна следует искать влияние его ближайшего друга Микеле Бессо, того самого, который помог ему в поиске основной идеи теории относительности. Действительно, в 1928 г. Бессо писал Эйнштейну:

«С моей стороны, я был твоим слушателем на протяжении 1904–1905 гг., и, возможно, я лишил тебя какой-то части твоей славы, помогая формулировать твои сообщения по проблеме квантов, но взамен я оставил тебе возможность обрести нового друга, Планка».

Так или иначе, этот первый результат подорвал уверенность Эйнштейна в законе черного тела, предложенном Планком. В связи с этим в оставшейся части статьи он пользуется исключительно предложенным ранее законом Вина, имеющим хорошие экспериментальные подтверждения для достаточно высоких частот. Исходя из закона Вина и используя законы термодинамики, ему удается вычислить «энтропию» f излучения заданной частоты, содержащегося в заданном объеме V. Напомним, что энтропией физической системы называется определенная мера беспорядка, которая отражает факт нашего, вообще говоря, неполного знания об этой системе.

Чтобы разъяснить понятие энтропии и ее связь с идеей беспорядка, приведем один пример. Рассмотрим шахматную доску или квадрат восемь на восемь, содержащий, таким образом, 64 клетки. В начальный момент времени разместим определенное количество блох на одной из клеток этой шахматной доски и позволим блохам передвигаться свободно, т. е. прыгать в любых направлениях. Будем исходить из того, что края шахматной доски достаточно высоки и не позволяют блохам выпрыгнуть наружу. Спустя некоторое время, в течение которого блохи прыгали повсюду, они распределятся почти равномерно по всем клеткам шахматной доски. Это конечное состояние, очевидно, менее упорядоченное, нежели исходное состояние, в котором, как мы знаем, все блохи были собраны на одной клетке. Можно пойти дальше и количественно оценить увеличение беспорядка между начальным и конечным состояниями, для этого необходимо подсчитать число возможных конфигураций «системы блох». В конечном состоянии каждая блоха может находится с равной вероятностью на любой из 64 клеток шахматной доски. Таким образом, число возможных (равновероятных) состояний для одной блохи равно 64. Если у нас есть две блохи (предполагаемые независимыми и различимыми), то число возможных конфигураций для такой системы из двух блох равно 64 64, т. е. 64. Для трех блох мы получим 64, и в общем случае можно заключить, что число возможных (равновероятных) конфигураций для системы из n блох будет равно 64ⁿ. Заметим, поскольку в начальном состоянии все блохи находились на одной определенной клетке, то в этом состоянии мы имели одну-единственную и четко заданную конфигурацию системы блох.

В целом, основной вывод, который следуе из рассмотренного примера, состоит в следующем. Если мы позволяем определенному количеству, скажем n, блох занимать площадь, в 64 раза большую площади, на которой они находились изначально, то число возможных конфигураций для такой системы умножается на 64ⁿ. Если бы мы рассмотрели другое отношение площадей, скажем конечную площадь в 10 раз больше начальной, то число возможных конфигураций умножилось бы на 10ⁿ. И если бы мы рассмотрели не блох на шахматной доске, а, скажем, мух, исходно ограниченных небольшим объемом и затем выпущенных летать по всему объему комнаты, то число возможных конфигураций нужно было бы умножить на фактор rⁿ, где r – отношение конечного объема к начальному, а n – количество мух. Существенным моментом для дальнейшего обсуждения является то, что число n независимых элементов (или «корпускул») рассматриваемой системы появляется в виде отношения объемов, доступных для системы в конечном и начальном состояниях.

Энтропия и беспорядок

В физике, если имеется система, для которой указаны лишь некоторые глобальные макроскопические характеристики, такие как ее полная энергия и объем, в котором она находится, энтропией называется логарифм числа возможных микроскопических конфигураций системы (также называемых «микроскопическими состояниями»). Напомним, что логарифм числа, по существу, определяется как количество цифр его десятичного представления, стоящих перед запятой, минус один^{115}. Например, логарифм 10 равен 1, логарифм 100 равен 2, логарифм одного миллиона равен 6. Отметим также, что логарифм единицы равен нулю. Другими словами, логарифм L заданного числа N удовлетворяет условию: N = 10^L. Понятие энтропии было введено в середине XIX в. Рудольфом Клаузиусом, когда он пытался лучше понять основополагающую работу Сади Карно. Клаузиус показал, как можно определить энтропию системы, исходя из знания ее термодинамических характеристик, и предложил в качестве аксиомы хорошо известный всем второй принцип термодинамики, согласно которому энтропия изолированной системы может только возрастать. [Напомним, что первый принцип термодинамики гласит, что энергия сохраняется.] Несколько лет спустя венский физик Людвиг Больцман понял, что второй закон термодинамики имеет под собой статистические основания^{116} и что энтропия системы должна быть пропорциональна логарифму числа возможных микроскопических состояний^{117}. Это позволило осознать второй закон термодинамики как простое выражение естественной тенденции изолированных систем стремиться к беспорядку. Примером может служить рассмотренная выше система блох, которая из начального «упорядоченного» состояния спонтанно развивается, последовательно занимая всевозможные доступные состояния, и, таким образом, большую часть времени находится в некотором обобщенном состоянии, утратив свой «первоначальный порядок».

Неизвестное уравнение E = hf

В 1905 г. Эйнштейн был одним из немногих физиков, понимавших глубокую связь между энтропией и числом микроскопических состояний^{118}. Он знал, как, исходя из закона Вина для излучения внутри печи, рассчитать энтропию и затем количество возможных микроскопических состояний для излучения (с фиксированной частотой f), существующего в печи с заданным объемом. Отсюда он вывел коэффициент, на который умножалось число возможных микроскопических состояний излучения, когда доступный для системы объем увеличивался в r раз. Он обнаружил, что этот мультипликативный фактор числа состояний (или, другими словами, фактор «увеличения микроскопического беспорядка») имел тот вид, который мы получили выше в случае блох или мух, распространяющихся в большом объеме: он задавался определенной степенью отношения r, скажем rⁿ. Эйнштейн делает из этого вывод, что показатель n, возникающий в мультипликативном факторе числа микроскопических состояний, может быть истолкован как «число независимых частиц света», присутствующих в излучении частоты f в печи. Такова была его главная аргументация, лежащая в основе революционной идеи о том, что свет, как бушель блох, обладает дискретной структурой и состоит из отдельных световых гранул, названных им «квантами света».

Более того, его рассуждения позволили определить точное значение показателя n, т. е. количество независимых квантов света, присутствующих в излучении. Фактически он нашел, что число n определяется отношением полной энергии излучения (с частотой f) к выражению типа hf, где h – универсальная постоянная, а f – частота излучения. Эйнштейн пришел к выводу, что все происходит так, «как если бы» свет состоял из гранул и каждая гранула света имела бы энергию E, пропорциональную частоте света f – E = hf. Универсальная константа h имеет примерное значение 6,626 10²⁷ г · см · с¹ и называется «постоянная Планка»^{119}.

Уравнение E = hf, полученное Эйнштейном в марте 1905 г., имеет, возможно, даже более фундаментальное значение, чем уравнение E = mc, выведенное им в сентябре того же года. Тем не менее первое уравнение мало известно, тогда как второе знают все. Необходимо заметить прежде всего, что Макс Планк был первым, кто связал, еще в декабре 1900 г., частоту f излучения черного тела с количеством энергии E = hf. Тем не менее уравнение E = hf стало приобретать свой полноценный физический смысл лишь после выхода статей Эйнштейна в 1905 и 1906 гг. Именно по этой причине это уравнение часто называют уравнением Планка – Эйнштейна.

Вопреки обычному представлению, фигурирующему в основной массе научно-популярной литературы, Планк в 1900 г. никоим образом не утверждал, что энергия материи, образующей стенки печи (и тем более энергия света), должна быть физически «квантована» в единицах E = hf, т. е. может принимать лишь значения 0, hf, 2hf, 3hf, 4hf… Планк использовал E = hf, или то, что он назвал «элементами энергии», как вычислительный прием для придания смысла «количеству микроскопических состояний» материи печных стен. В общих чертах он использовал эти элементы энергии точно так же, как мы использовали в приведенном выше примере шахматную доску (с конечным числом клеток) для расчета количества возможных конфигураций блох, распределенных на некоторой площади. В конце концов, все, что имело значение в такой оценке, – это отношение между площадью, доступной в конечном состоянии, и начальной площадью. При этом сам размер элементарной клетки шахматной доски не входил в окончательный результат^{120}. Однако Планк понимал, что результат его вычислений зависит от фактического размера «элементарной клетки», энергии E = hf, которую он использовал, хотя и надеялся на возможность в будущем придать вычислению некоторый смысл, оставаясь в рамках физических представлений своего времени, т. е. базируясь на представлениях об энергии вещества, принимающей всевозможные значения от нуля до бесконечности, и о свете, описываемом как непрерывная волна.

Эйнштейн был первым^{121}, кто осознал связь между дискретностью физических величин (сейчас это называется квантовой дискретностью) и универсальной постоянной h. Если Планка можно считать первооткрывателем (в 1900 г.) новой универсальной физической константы (который понимал с самого начала, что это открытие было зарей новой эпохи физики), то Эйнштейн (в 1905–1907 гг.) стал инициатором создания физики явлений квантовой дискретности (который хорошо понимал, насколько «революционным» было это новое направление).

Первые следствия неизвестного уравнения

Получив фундаментальный результат, в соответствии с которым свет состоит из гранул, несущих энергию E = hf, Эйнштейн заканчивает свою мартовскую статью 1905 г. тем, что выводит из этого утверждения некоторые следствия, доступные для экспериментальной проверки. Наиболее известные из них касаются фотоэлектрического эффекта (именно они после экспериментальной проверки приведут к присуждению Эйнштейну Нобелевской премии). Выше мы объяснили, почему Ленарду казалось странным, что даже при очень большой интенсивности свет не может выбить электроны из поверхности твердого тела, когда частота f световой волны становится меньше определенного порогового значения. Гипотеза световых квантов Эйнштейна легко объясняет этот феномен.

Действительно, если предположить, что основной процесс, в результате которого электроны покидают твердое тело, заключается в «передаче энергии» квантов света E = hf электрону, то из закона сохранения энергии следует, что энергия движения (или «кинетическая энергия») электрона после его выхода из твердого тела есть E_движ = hf W, где W – энергия (т. е. работа), необходимая для высвобождения электрона. Это простая математическая формула показывает (поскольку энергия движения должна быть положительной), что электроны возможно высвободить, только если частота света больше порогового значения f_порог = W/h. Кроме того, когда частота f больше, чем fпорог, эта формула дает очень простое выражение для взаимосвязи между энергией движения электрона и частотой света: E_движ = h (f fпорог). Она позволяла сделать весьма точное предсказание, поскольку Эйнштейн вдобавок указывал численное значение коэффициента пропорциональности h, который в силу универсальности его природы совершенно не зависел от характера твердого тела, откуда экстрагируются электроны. Потребовалось более 10 лет экспериментальной работы, чтобы детально проверить прогноз Эйнштейна. Наиболее точные проверки были получены американским физиком Робертом Милликеном в 1915 г. Сошлемся на то, что сам Милликен говорил (в 1948 г.) о своих результатах:

«Я потратил 10 лет своей жизни, пытаясь проверить уравнение, предложенное Эйнштейном в 1905 г., и, вопреки моим ожиданиям, в 1915 г. был вынужден признать его однозначное подтверждение, несмотря на его необоснованный характер, поскольку мне казалось тогда, что это уравнение противоречит всем нашим представлениям об интерференции света».

Выше мы уже упоминали высказывание Макса Планка (датируемое 1913 г.), в котором он утверждает, что Эйнштейн «ошибся» с его гипотезой световых квантов. Укажем также, что вплоть до января 1924 г. Нильс Бор, Хендрик Антон Крамерс и Джон Кларк Слейтер ставили под сомнение квантовую теорию света Эйнштейна. Все это лишний раз показывает «весьма революционный» характер мартовской статьи Эйнштейна 1905 г. Но молодой сотрудник патентного бюро не останавливался на достигнутом. В 1905–1924 гг. он продолжал исследовать квантовые дискретности и их физические последствия. Кратко обозначим некоторые наиболее важные результаты, полученные Эйнштейном.

Материя и кванты

Берн, Швейцария, март 1906 г.

Вопреки тому, что часто пишут, предположение о том, что энергия материи физически «квантуется» (т. е. может принимать лишь определенные дискретные значения), первым высказал Эйнштейн в марте 1906 г., а не Планк в 1900 г. (результаты Планка, полученные в 1900 г., обсуждались ранее). В продолжение статьи, о которой мы говорили выше, в марте 1906 г. Эйнштейн возвращается к указанному им ранее противоречию между физическими представлениями того времени и экспериментально подтвержденным законом излучения черного тела. Он показывает, что закон черного тела, предложенный Планком в 1900 г., который был в полном согласии с результатами экспериментов, проведенных в Берлине, может быть выведен из общих законов статистической физики (путем подсчета возможных микроскопических состояний) только в предположении, что энергия каждого «материального осциллятора», присутствующего в стенках печи, принимает исключительно дискретные значения: 0, hf, 2hf, 3hf… Здесь, как и у Планка, атомы в стенках нагретой печи, считающиеся ответственными за поглощение и эмиссию теплового излучения черного тела, моделируются, как электрические заряды, прикрепленные к пружине и осциллирующие вблизи равновесного положения. Величина f задает частоту колебаний этой пружины. Требуется предположить также, что стенки заполнены бесконечным количеством осцилляторов, охватывающих всевозможные частоты, поскольку каждый отдельный осциллятор (т. е. заряд, прикрепленный к пружине) не будет чувствителен к свету, имеющему частоту, отличную от частоты f этого конкретного осциллятора.

Можно заметить, что предложенное Эйнштейном в 1906 г. уравнение для квантования энергии материи, E = nhf, где n – целое число (n = 0, 1, 2, 3, …), сильно напоминает уравнение, предложенное годом раньше для энергии световых квантов. Однако оно имеет другой физический смысл (который также отличается от физического смысла «элементов энергии», предложенных Планком в 1900 г.). Здесь E обозначает энергию материальной системы (массу, прикрепленную к пружине), а f задает частоту колебания этой массы. В полном противоречии с законами ньютоновской механики (а также их «релятивистской» модификацией, построенной на базе теории относительности), согласно которым масса, прикрепленная к пружине, может колебаться с произвольной амплитудой и, таким образом, произвольной энергией, Эйнштейн взял на себя смелость утверждать, что энергия колебаний пружины может принимать лишь дискретные значения из ряда 0, hf, 2hf, …, исключая какие-либо промежуточные значения. Хотя эта идея была не менее революционной, нежели гипотеза существования световых квантов, физическое сообщество приняло ее значительно быстрее. Первым это сделал Планк примерно в 1908 г. Необходимо отметить, что эта гипотеза, хотя и противоречила ньютоновской механике, не имела жестких противоречий с хорошо известными экспериментальными фактами. Численное значение постоянной h было весьма мало, в результате чего в лабораторных условиях не удавалось обнаружить квантование энергии обычного (т. е. макроскопического) механического осциллятора. Гипотеза световых квантов, как казалось, находится в сильнейшем противоречии со многими экспериментальными проверками, подтверждавшими волновую природу света (хотя еще в 1905 г. Эйнштейн указывал на то, что оптические лабораторные измерения оперируют лишь средними величинами и поэтому, в принципе, могут объясняться в рамках корпускулярной теории света).

Ледяной алмаз

Берн, Швейцария, ноябрь 1906 г.

В конце 1906 г. Эйнштейн все еще работал в патентном бюро и поэтому по-прежнему мог посвящать лишь немного свободного времени физике. Тем не менее у него было решающее преимущество перед большинством физиков – он был единственным, кто по-настоящему верил в квантование энергии материи. Это в некоторой степени компенсировало ему недостаток времени и давало возможность спокойно думать о всевозможных последствиях явления квантования не только в контексте излучения черного тела, но и других физических систем. Возможно, он вспомнил загадочные экспериментальные результаты, которые были получены среди прочего его профессором физики в Политехническом институте в Цюрихе. Генрих Вебер изучал «удельную теплоемкость» некоторых твердых тел и, в частности, алмазов. «Теплоемкостью» тела называется количество теплоты, которое необходимо сообщить этому телу для того, чтобы повысить его температуру на один градус Цельсия. Конечно, это величина пропорциональна массе рассматриваемого тела. Поэтому полезно рассматривать теплоемкость некоторого образца тела, содержащего определенное количество атомов (скажем, 6,022 10, которое называется «число Авогадро»). Мы будем называть эту последнюю величину «удельной теплоемкостью» рассматриваемого твердого тела.

В 1819 г. французские физики Пьер Дюлонг и Алексис Пти сделали поразительное открытие. Они обнаружили, что удельная теплоемкость большого количества простых элементов всегда одна и та же! Она равна примерно 6 калориям на один градус (и на один моль). Эта замечательная универсальность теплоемкости (простых) твердых тел нашла теоретическое объяснение 50 лет спустя в работах Людвига Больцмана. Объяснение Больцмана было основано на его последних результатах, касающихся статистической интерпретации теплоты. По сути, Больцман интерпретировал теплоту твердых тел как энергию вибрации каждого отдельного атома вокруг положения равновесия. В своих расчетах 1876 г., сделанных на основе предложенной им ранее статистической теории, он вывел зависимость между энергией вибрации и температурой тела, полностью согласующуюся с результатами Дюлонга и Пти^{122}.

Однако в 1876 г. было обнаружено, что некоторые твердые тела имели значительно меньшую удельную теплоемкость, чем 6 калорий на один градус. Это, в частности, относилось к бору, кремнию и алмазу (или графиту, который так же, как и алмаз, состоит из атомов углерода). В 1875 г. Вебер значительно прояснил данный вопрос, показав, что эти три исключения «возвращаются в общий ряд» при высоких температурах. Он экспериментально установил, что удельная теплоемкость зависит от температуры тела и, когда температура становится достаточно большой, приближается к тому самому простому универсальному значению, которое указывали Дюлонг и Пти. Тем не менее оставалось непонятным, почему при уменьшении температуры удельная теплоемкость этих трех материалов становится гораздо меньше, чем 6 калорий на один градус, предсказанных на основании «классической» статистической физики. [Здесь под классической подразумевается физика в том виде, как она виделась до квантовой революции.] В особенности это касалось алмаза, теплоемкость которого принимала значение порядка 1,4 уже при обычных температурах окружающей среды. Иными словами, речь шла о новом явлении, возникающем не только при очень низких температурах.

В ноябре 1906 г. Эйнштейн понял, что идея квантования энергии колебаний механического осциллятора, которую он предложил в марте, служит ключом к решению указанной проблемы. Основная физическая причина состояла в следующем. Согласно Больцману, теплота твердого тела представлялась как энергия колебаний его атомов около положения равновесия. Точный расчет, выполненный Больцманом, предполагал, что эта колебательная энергия может непрерывно меняться от нуля до бесконечности. Из этого он заключал, что энергия вибрации при некоторой температуре T должна быть пропорциональна абсолютной величине T. Эйнштейн воспроизвел те же расчеты, но наложил дополнительное требование – энергия колебания каждого атома, осциллирующего с частотой f, должна принимать только квантованные значения 0, hf, 2hf, 3hf… Тогда он обнаружил, что удельная теплоемкость, равная нулю при очень низких температурах, постепенно возрастает и в конечном счете принимает значение, предсказанное Больцманом, в тот момент, когда энергия теплового движения атомов становится значительно больше чем E = hf. Интуитивно можно понять этот результат Эйнштейна, представляя теплоту окружающего воздуха как силу воздействия, а каждый атом – ребенком на качелях. Если амплитуда колебаний качелей не может непрерывно возрастать от нуля, а может лишь «перепрыгивать» с нулевой амплитуды на первую ненулевую амплитуду «возбуждения», затем на вторую, еще более высокую, и т. д., то слишком слабая сила воздействия будет недостаточна, чтобы совершить первый перескок, и ребенок останется в самом нижнем энергетическом состоянии, т. е. с нулевой энергией возбуждения^{123}.

Затем Эйнштейн сравнил свои предположения с экспериментальными результатами Вебера и др. и обнаружил, что простая математическая формула, которую он вывел для удельной теплоемкости твердого тела, прекрасно описывала экспериментальные данные^{124}. Тот факт, что алмаз ведет себя по-особому при обычных температурах, исходя из квантовых рассуждений, объясняется просто тем, что алмаз обладает высокой твердостью. Дорогие читатели, я надеюсь, что отныне, прикоснувшись к драгоценному камню и почувствовав, сколько тепла нужно для его нагрева, вы будете вспоминать, что это является повседневным подтверждением предложенной Эйнштейном в 1906 г. идеи о квантовании колебательной энергии всех материальных осцилляторов!

Идея, ведущая к лазеру

С 1905 по 1911 г. Эйнштейну удавалось весьма плодотворно совмещать несколько независимых направлений исследования: теорию относительности; беспорядочное (или броуновское) движение, связанное с теплотой; квантовые явления; а также обобщение теории относительности в условиях присутствия силы тяжести. Однако в 1911–1916 гг. он сосредоточивает почти всю свою энергию на том, что впоследствии получит название общей теории относительности. Хотя примерно в 1911 г. Эйнштейн уже понимал, что его принцип эквивалентности (см. главу 3), скорее всего, является ключом к абсолютно новому разделу физики, он так долго безуспешно пытался понять природу квантов, что был счастлив хоть на какое-то время отвлечься от исследований этого направления. Его разочарование в проблеме интерпретации явлений квантовой дискретности можно почувствовать, читая то, что он пишет Микеле Бессо в мае 1911 г.:

«Меня больше не интересует вопрос, существуют эти кванты на самом деле или нет. Я также не пытаюсь более понять их строение, ибо знаю уже, что мой мозг не в состоянии двигаться в этом направлении. Но я тем не менее пытаюсь внимательно исследовать все возможные последствия этого явления, чтобы понять, каково поле применения концепции квантов».

Основная проблема Эйнштейна и всех тех, кого интересовали квантовые явления, заключалась в серьезном логическом противоречии между разными предположениями, которые требовалось принять для объяснения всех наблюдаемых фактов. Например, эксперименты по интерференции света объяснялись посредством волнового описания, тогда как фотоэлектрический эффект благодаря Эйнштейну можно было понять, предполагая, что свет – это совокупность почти независимых корпускул. Можно было бы наивно надеяться (как надеялись Планк и Лоренц), что свет «на самом деле» есть волна и что корпускулярные аспекты являются лишь какими-то артефактами, возникающими при взаимодействии света и материи. Но, используя связь между энтропией и вероятностью, Эйнштейн показал в 1909 г., что флуктуации энергии излучения черного тела в единице объема определяются суммой двух разных вкладов: один из них можно было понять, интерпретируя свет как случайную суперпозицию непрерывных волн, а другой можно было объяснить, только предполагая, что свет – это совокупность независимых локализованных частиц. Затем Эйнштейн писал:

«Я думаю, что следующий этап развития теоретической физики даст нам теорию света, которую можно будет трактовать как своего рода слияние волновой теории и теории излучения [частиц]».

Несмотря на настойчивые попытки с 1909 по 1911 г., Эйнштейн не смог найти ясного теоретического обоснования, позволяющего описать «смешивание» волновых и корпускулярных аспектов поведения света. Отсюда и проистекает его разочарование, выраженное в письме верному другу, Микеле Бессо, в 1911 г.

В 1916 г., чтобы «отдохнуть» после титанической работы, проделанной при построении общей теории относительности (работы, которой он был занят последние годы и которая была, наконец, успешно завершена), Эйнштейн снова возвращается к своей «абсолютно революционной» идее о квантовой природе света и получает несколько результатов, имеющих фундаментальное значение для физики XX в. Его отправной точкой была идея объединения концепции световых квантов с идеей Нильса Бора о квантовании энергии атома.

В 1913 г. Нильс Бор обобщил идею Эйнштейна (1906 г.), согласно которой энергия «осциллятора», т. е. прикрепленного к пружине груза, может принимать лишь дискретные значения 0, hf, 2hf, …, где f – частота колебания. На основании этого Нильс Бор выдвигает смелое предположение, что энергия любой системы атомов не может принимать значения вне определенного дискретного ряда: E₀, E₁, E₂… Затем он допускает, что свет, излучаемый атомом, может иметь лишь определенные частоты (так называемые «частоты перехода»), связанные с разницей между двумя допустимыми энергиями, своего рода обобщением уравнения Планка – Эйнштейна: например, hf₁₀ = E₁ E₀ определяет частоту для излучения, ассоциированного с «квантовым переходом», в котором атом «переходит» из начального состояния с энергией E₁ в конечное состояние с энергией E₀. И, наконец, наиболее инновационный аспект работы Бора заключается в том, что он постулирует новый принцип для определения дискретного набора возможных энергий. В простейшем случае атома водорода (один электрон, движущийся по орбите вокруг протона) его новый принцип заключается в требовании, чтобы «действие» орбитального (кругового) движения электрона, а именно, произведение импульса электрона p = mv на длину его круговой орбиты равнялось произведению некоторого целого числа на знаменитую постоянную Планка h.

В 1916 г. Эйнштейн рассмотрел следующую ситуацию: имеется совокупность атомов (с дискретным спектром допустимых значений энергий E₀, E₁, E₂, …), помещенных в печь, стенки которой нагреты до определенной температуры. Напомним, что такая печь генерирует внутри излучение, энергия которого распределяется по всем частотам. Это распределение соответствует тому, что называется «законом излучения черного тела». В тот момент Эйнштейн не предполагал необходимость знания этого закона. Затем он пишет, что данная система, рассматриваемая как целое (т. е. включая саму печь, излучение и атомный газ внутри печи), достигает того, что называется «термодинамическим равновесием», т. е. состояния равновесия, в котором в среднем каждая часть системы сохраняет постоянную энергию, несмотря на непрекращающийся обмен энергией в каждый момент времени. Не вдаваясь в детали, скажем лишь, что новые результаты Эйнштейна заключаются в следующем^{125}: (i) доказательство того, что кванты света, излучаемого или поглощаемого атомами во время некоторого «квантового перехода» между двумя допустимыми значениями энергии (скажем, E₀ и E₁), несут импульс p = hf / c, где f – «частота перехода», связанная с разностью двух рассматриваемых значений энергии, а c – скорость света; и (ii) открытие нового «квантового» процесса: облучение атома излучением с частотой i>f «вынуждает» атом совершить переход из более высокого энергетического состояния (E₁) в более низкое (E0), сопровождаемый испусканием кванта света c энергией hf и импульсом hf / c, направленным вдоль падающего излучения. [Во время этого процесса вынужденного излучения атом «отскакивает назад» с противоположным импульсом.]

Эти два открытия оказали огромное влияние на развитие физики XX в. Первый результат по сути представлял беспрецедентное, чисто теоретическое открытие новой элементарной частицы – «фотона»^{126}, т. е. частицы света, которая обладала как энергией E = hf, так и импульсом p = hf/c. Новая концепция значительно обогатила введенную 11 лет назад (опять же Эйнштейном) теорию «световых квантов».

Наконец, второй результат, касающийся направленного вынужденного излучения атомов, облучаемых падающим излучением, представляет собой основную идею лазера, значение которого в области фундаментальных исследований, так же как и в области современных технологий, сложно переоценить. Речь здесь не идет о том, что Эйнштейн был «первооткрывателем идеи лазера» в 1916 г. Конечно, нет, такое утверждение несправедливо преуменьшало бы важность многих других теоретических и экспериментальных достижений (полученных, в частности, благодаря американцам Чарлзу Таунсу и Артуру Шавлову, русским Николаю Басову и Александру Прохорову и французам Альфреду Кастлеру^{127} и Жану Бросселю), которые привели в итоге к созданию лазера и современной квантовой оптике. Но мы хотим обратить ваше внимание на ту непрерывность развития цепочки знаний, которая идет от чисто теоретических вопросов о реальности световых квантов до многочисленных прикладных результатов, лежащих сейчас в основе нашей повседневной жизни.

Свет и материя

В конце июня 1924 г. Эйнштейн получил письмо от молодого индийского физика Шатьендраната Бозе. Хотя имя Бозе ему было незнакомо, Эйнштейн сразу же заинтересовался новой идеей, предложенной Бозе и использованной им в статье, приложенной к письму. В ней Бозе предлагает более основательно исследовать идею (сформулированную Эйнштейном) о том, что свет состоит из световых корпускул, переносящих энергию и импульс. Более конкретно, Бозе описал излучение черного тела, т. е. свет в нагретом до определенной температуры резервуаре, как газ из световых квантов. Затем он применил статистические методы Больцмана^{128}, модифицированные квантовыми соображениями Планка и Эйнштейна, для вычисления термодинамических свойств такого газа и пришел, таким образом, к новому выводу закона распределения по частоте излучения черного тела. Напомним, что этот закон, после того как он был «угадан» Планком в октябре 1900 г., уже становился предметом нескольких теоретических исследований, направленных на его обоснование: исследования, предпринятые Планком в декабре 1900 г., а также Эйнштейном в 1906 г. и в более широком контексте в 1916 г. Несмотря на то что сам по себе вывод Бозе имел определенные недостатки, у него было одно большое преимущество перед предыдущими, поскольку он не требовал обращения ни к теории электромагнитных волн Максвелла, ни к свойствам взаимодействия материи и света. Бозе ограничивался исключительно статистическими свойствами газа, состоящего из световых квантов, перемещающихся внутри резервуара.

Сделав собственноручный перевод статьи Бозе на немецкий и затем отправив ее для публикации в один из немецких журналов по физике, Эйнштейн приходит к пониманию, что новая идея, содержащаяся в этой статье, может быть значительно обобщена. В общих чертах рассуждения Эйнштейна заключались в следующем: до 1905 г. было общепринято думать, что свет и материя устроены принципиально по-разному, а именно: свет описывался как непрерывная волна, тогда как материя описывалась как совокупность отдельных миниатюрных частиц. В 1905–1916 гг. Эйнштейн показал, что описание света как совокупности «корпускул света» – по существу, в виде газа из частиц – было весьма плодотворным. Бозе продемонстрировал, как, применяя квантовые идеи (сформулированные Планком и Эйнштейном) к статистике такого газа, можно обнаружить те свойства, которые получались ранее исходя из волновой природы света. Все это показывало, что при использовании идеи «квантов» имеется глубокое сходство между светом и материей. Таким образом, у Эйнштейна возникла идея в рамках квантового подхода распространить статистические расчеты Бозе на изучение термодинамических свойств газа частиц материи.

В ходе этой работы Эйнштейн получил несколько новых фундаментальных результатов, которые оказали большое влияние на развитие физики XX в. Укажем лишь два из этих концептуальных достижений. Первое связано с открытием нового физического явления, которое имеет чисто квантовое происхождение и обычно называется «конденсацией Бозе – Эйнштейна», хотя фактически оно было открыто Эйнштейном единолично в статьях, которые он написал после прочтения работы Бозе. Это явление квантовой «конденсации» означает, что значительная часть общего числа частиц материального газа может (при достаточно большой плотности) находиться в наиболее низком энергетическом квантовом состоянии, т. е. в таком, которое классически соответствует частице «в состоянии покоя» (т. е. частице, не имеющей кинетической энергии). Эффект квантовой конденсации играет важную роль в современной физике, поскольку является основой таких замечательных явлений, как сверхтекучесть и сверхпроводимость, а также потому, что найденная недавно реализация этого эффекта в физике газов из ультрахолодных атомов (или молекул) открывает путь для замечательных достижений в науке и технике^{129}. Заметим между делом, что, как и в случае с некоторыми более ранними «революционными» открытиями Эйнштейна, этот результат был встречен довольно прохладно его коллегами, которые ставили под сомнение реальность явления квантовой конденсации. Физическая значимость этого явления была осознана лишь спустя 15 лет после его предсказания Эйнштейном.

Второй выдающийся результат Эйнштейна в 1924 г. касается сходства между светом и материей. Используя один из своих любимых теоретических методов, а именно метод термодинамических флуктуаций, Эйнштейн изучает флуктуации числа (квантовых) частиц материи, содержащихся в некотором элементарном объеме рассматриваемого газа. Этот анализ представляет собой обобщение того метода, который Эйнштейн применял в случае флуктуаций излучения черного тела. Он выводит, что данные флуктуации определяются суммой^{130} двух членов. Первый из них хорошо известен и представляет собой обычную статистическую флуктуацию, ожидаемую в случае заданного количества классических частиц (т. е. рассматриваемых без учета квантовых эффектов). Второй член имеет иную природу, и Эйнштейн предлагает интерпретировать его «как вклад, учитывающий флуктуации, которые возникают в результате интерференции некоторого процесса излучения, специальным образом ассоциированного с рассматриваемым газом». Другими словами, применяя в обратном направлении логику, позволяющую считать свет (известный своими волновыми свойствами) обладающим корпускулярными свойствами (а именно, состоящим из световых квантов), Эйнштейн предлагает здесь считать частицы материи обладающими волновыми свойствами. Возможно, Эйнштейн пришел к этому выводу в сентябре^{131} 1924 г. В конце ноября или в начале декабря 1924 г. он читает диссертацию Луи де Бройля, присланную ему Полем Ланжевеном, и понимает, что Луи де Бройль уже предлагал (еще в 1923 г.) идею о необходимости ассоциировать «волновое поле с любой частицей материи».

Таким образом, во второй статье, посвященной «квантовой теории идеального газа», завершенной в декабре 1924 г., Эйнштейн после объяснения термодинамических причин необходимости ассоциировать «процесс излучения c газом» частиц материи прямо упоминает «весьма примечательное» утверждение Луи де Бройля и далее выявляет необходимые волновые свойства, связанные с частицей материи. Это суть (a posteriori) естественное обобщение результатов Эйнштейна, касающихся световых квантов. Световую волну, обладающую частотой f, а следовательно, периодом колебания T = 1/f и длиной^{132} L = cT, Эйнштейн связывает с частицей, обладающей энергией E = hf = h/T и несущей импульс p = hf/c = h/L. Что касается Луи де Бройля, то он, в свою очередь, предложил ассоциировать с любой частицей, обладающей энергией E и импульсом p, волну с периодом T и длиной L так, что выполняются условия^{133} E = h/T и p = h/L.

Этой работой, написанной в декабре 1924 г., заканчивается список тех действительно гениальных достижений Эйнштейна, которые заложили основу трех величайших научных теорий – специальной теории относительности, общей теории относительности и квантовой теории – и тем самым определили суть развития физики XX в. Эйнштейн привнес также другие важные научные идеи (одни из которых начинают раскрываться лишь сейчас, а другие до сих пор остаются неосознанными), но стоит признать, что с 1925 г. он перестал быть центральной фигурой мировой теоретической физики. Тем не менее мы еще увидим скрытую важность его исследований, которыми он занимался остаток жизни.

Глава 6
Спор со Сфинксом

Меня не сильно радуют чудесные открытия последнего времени, поскольку я не вижу, чтобы они хоть как-то помогали мне разбираться с фундаментальными вопросами. Я чувствую себя ребенком, который никак не может выучить алфавит, хотя, как ни странно, я все еще не теряю надежду. В конце концов, мы имеем дело не с дамой приятной во всех отношениях, а с настоящим Сфинксом!

– Эйнштейн, письмо Максу фон Лауэ, 23 марта 1934 г.

Решающий разговор

Берлин, Германия, начало 1926 г.

В этот день в начале 1926 г. молодой Вернер Гейзенберг, входя в зал физических семинаров Берлинского университета, сильно волновался^{134}. Ему было всего 24 года, когда его пригласили прочитать лекцию на тему недавно возникшей «новой квантовой механики». В последний раз лихорадочно просматривая свои записи, он видел, как весь цвет мирового физического сообщества рассаживается в первом ряду: Макс Планк, Вальтер Нернст, Макс фон Лауэ и др. Лица этих ученых, известных своими фундаментальными открытиями, были прямо-таки воплощением серьезности и строгой сосредоточенности германской академической жизни. Когда лекция уже должна была начаться, появился тот, кто вызывал у Гейзенберга наибольшее восхищение, работами которого он любовался с юношеского возраста, когда впервые открыл для себя общую теорию относительности в книге «Пространство, Время, Материя»^{135}, и письма которого иногда зачитывал его профессор и научный руководитель в Мюнхене Арнольд Зоммерфельд в качестве иллюстраций к своему курсу. Альберт Эйнштейн вошел в зал и занял место в первом ряду, адресовав Гейзенбергу легкую улыбку, отчасти извиняясь за свое опоздание, отчасти ободряя молодого человека.

Набравшись уверенности, Гейзенберг приступил к описанию физических концепций и математического аппарата новой квантовой теории. В действительности за последние несколько месяцев с необычайной быстротой был разработан практически новый математический формализм, который, как ожидалось, должен был прийти на смену «старой» теории квантов, а точнее, на смену тому разрозненному набору противоречивых идей, появившихся между 1900 и 1924 гг. в результате попыток объяснить квантовую дискретность (существование этой дискретности становилось все более очевидным из анализа различных физических явлений). Открытие, положившее начало теории квантов, – явная структура излучения черного тела – было сделано здесь же, в Берлине, благодаря исключительно точным измерениям Отто Люммера, Эрнста Принсгейма, Генриха Рубенса и Фердинанда Курльбаума, а также благодаря теоретическому «жесту отчаяния» Макса Планка. Но, конечно, больш всего показывали необходимость глубокого пересмотра физических основ ряд посвященных квантам работ Эйнштейна, выпущенных в период между 1905 г. и декабрем 1924 г. К тому же начиная с 1913 г. смелые теории Нильса Бора ясно говорили о том, как можно применять квантовые идеи в атомной физике.

Новый квантовый формализм, о котором рассказывал Гейзенберг, возник из идей Бора относительно структуры атомов и некоторых концепций, предложенных Эйнштейном в 1916 г. в связи с взаимодействием между атомом и электромагнитным излучением. Среди прочего Эйнштейн ввел коэффициенты A, измеряющие вероятность (в единицу времени), с которой атом, изначально находящийся в заданном (квантовом) «состоянии», может совершить «квантовый переход» в другое «состояние» с более низкой энергией с испусканием в произвольный момент времени и в произвольном направлении кванта света^{136}. В исследование физики квантовых переходов Гейзенберга вовлекли его научный руководитель в Мюнхене Арнольд Зоммерфельд, а затем Макс Борн в Геттингене. В октябре 1923 г., после защиты диссертации в возрасте 22 лет, он стал ассистентом Борна и в 1923 и 1924 гг. работал под его руководством, изучая основные идеи и методы. В частности, он освоил использование новых коэффициентов a наряду с эйнштейновскими коэффициентами А, связанными с квантовыми переходами между двумя состояниями атома. Грубо говоря, новые коэффициенты а, называемые «амплитудами квантовых переходов»^{137}, были таковы, что их квадраты равнялись эйнштейновским коэффициентам А.

Основная идея, которая легла в основу новой квантовой теории, пришла Гейзенбергу в начале июня 1925 г., когда он поправлялся после обострения сенной лихорадки, пребывая на острове Гельголанд на севере Германии. Идея состояла в замене обычного понятия непрерывной траектории, описывающей возможное движение электрона^{138} в атоме, набором амплитуд а, связанных с переходами между возможными квантовыми состояниями атома. Каждая амплитуда перехода определяется двумя числами: числом, фиксирующим начальное состояние энергии из дискретного набора возможных квантовых состояний атома, и числом, фиксирующим конечное состояние. Полный набор амплитуд, таким образом, аналогичен шахматной доске или таблице умножения^{139}, каждая элементарная ячейка которой задается двумя числами: координатами по «горизонтали» и по «вертикали».

Пока Гейзенберг объяснял мотивы, которые привели его к идее замены описания посредством непрерывных траекторий электрона в атоме на такие таблицы амплитуд переходов, он с беспокойством поглядывал в сторону Эйнштейна, пытаясь понять его реакцию на эти «колдовские таблицы умножения»^{140}. Хотя ему и не удалось убедить Эйнштейна, его явно удалось заинтересовать, в особенности когда в конце выступления Гейзенберг заметил, что новые «правила умножения» для таблиц амплитуд, введенных им и развитых совместно с Максом Борном и Паскуалем Йорданом, позволили воспроизвести результат Эйнштейна, говоривший, что флуктуации энергии излучения, заключенного в некотором подобъеме, состоят из двух отдельных членов: первый связан с волновым характером излучения, а второй – с его корпускулярным характером^{141}. Этот результат, заключил Гейзенберг, показывает, что новый квантовый формализм способен описывать одновременно как волновые, так и корпускулярный аспекты непрерывных полей (таких как электромагнитное поле).

После семинара Эйнштейн подошел поздравить Гейзенберга с его выдающимися результатами и пригласил составить ему компанию на пути домой, чтобы подробнее обсудить нововведения, лежащие в основе нового формализма. По возвращении домой Эйнштейн попросил его еще раз уточнить физическую мотивацию, ведущую к идее замены непрерывных траекторий бесконечной таблицей амплитуд переходов.

Послушаем ключевую часть их диалога, воспроизведенную впоследствии самим Гейзенбергом^{142}:

ГЕЙЗЕНБЕРГ:…Поскольку в теории естественно вводить лишь наблюдаемые величины, мне казалось правильным не вводить ничего, кроме частот и амплитуд^{143}, выступающих в роли, так сказать, представителей орбит электронов.

ЭЙНШТЕЙН: Неужели вы всерьез думаете, что в физической теории можно ограничится лишь введением наблюдаемых величин?

ГЕЙЗЕНБЕРГ: Я думал, что вы использовали буквально эту же идею в качестве основы вашей теории относительности. Вы специально подчеркивали, что нельзя говорить об абсолютном времени, потому как никто не может наблюдать это абсолютное время. Вы говорили, что только показания часов, сделанные в движущейся или покоящейся системе, являются определяющими для измерения времени.

ЭЙНШТЕЙН: Возможно, я действительно использовал подобного рода философию, но от этого идея не становится менее абсурдной. Или я бы сказал более осторожно, что с эвристической точки зрения возможно было бы полезно помнить, что является по-настоящему наблюдаемым. Однако, в принципе, глубоко ошибочно стремиться строить теорию исключительно на наблюдаемых величинах. В реальности все происходит как раз наоборот. Только теория решает, что является наблюдаемым, а что нет.

Мы выделили последнюю фразу, поскольку она еще долго звучала в голове молодого Гейзенберга и сыграла важную (хотя и малоизвестную) роль в дальнейшем развитии квантовой теории. Скажем лишь, что этот «урок» (теория сама решает, что является наблюдаемым) был усвоен Эйнштейном в результате долгих лет блужданий в поисках конструкции общей теории относительности. В течение многих лет связь между координатами пространства и времени и измерениями длин и промежутков времени (кристально ясная в специальной теории относительности) оставалась весьма туманной в общей теории относительности. Эйнштейн сумел разобраться с причиной такого долгог непонимания лишь в конце 1915 г., когда, уже построив теорию, осознал, что математический формализм теории относительности сам позволяет определить a posteriori то, что является наблюдаемым, когда пространство-время деформируется материей.

«Волны тут, кванты там!»

В начале 1926 г., приблизительно в то же время, когда Гейзенберг выступал на семинаре в Берлине, другой математический формализм был предложен австрийским теоретиком Эрвином Шредингером в качестве замены «старой» теории квантов Планка – Эйнштейна – Бора. Этот формализм, называемый «волновой механикой», согласно самому Шредингеру, уходил корнями в идеи Луи де Бройля, а также в «короткие, но удивительно прозорливые» заметки, сделанные Эйнштейном (в его письмах и статье 1924 г., обсуждавшейся в предыдущей главе). Эта волновая механика казалась абсолютно отличной от матричной механики Борна – Гейзенберга – Йордана. В одной состояние рассматриваемой физической системы (скажем, электрон, движущийся по орбите вокруг ядра атома водорода) описывалось волновой амплитудой А, непрерывной функцией^{144} времени и координат электрона, а другая говорила лишь о дискретных переходах между различными возможными стационарными состояниями атома и описывала их посредством бесконечных таблиц амплитуд переходов a_nm. Два описания, казалось, были диаметрально противоположны друг другу. Первое давало полностью непрерывную картину (как во времени, так и в конфигурационном пространстве системы), тогда как предметом изучения второго были исключительно дискретные переходы системы. Однако, несмотря на это, Шредингер сумел достаточно быстро показать математическую эквивалентность двух подходов. А именно, он доказал, что знание «волнового уравнения», описывающего распространение непрерывной амплитуды А, позволяет в то же время находить возможные стационарные состояния системы, их квантовые энергии и бесконечные таблицы амплитуд переходов между этими состояниями. Грубо говоря, возможные стационарные состояния были аналогичны ряду состояний чистой вибрации упругого объекта, такого, например, как струна фортепиано, которая может звучать в основном тоне или же в обертоне, соответствующем более высокой гармонике (вторая на октаву выше первой, третья на квинту выше второй и т. д.).

На самом деле, какое-то время казалось, что шредингеровское волновое описание было более полным, нежели дискретное описание Борна – Гейзенберга – Йордана. В частности, шредингеровское описание наводило на мысль, что можно даже просто «выбросить» идею квантовой дискретности (несмотря на то что оно позволяло объяснить многие явления, включая эйнштейновскую теорию атомных переходов) и описывать реальность исключительно с точки зрения непрерывных волн.

Изначально Эйнштейн воспринял формализм Шредингера с удовлетворением и даже некоторым облегчением, поскольку этот подход казался ближе его интуитивным представлениям о реальности, нежели колдовские таблицы умножения, используемые Гейзенбергом и компанией. Однако вскоре он был разочарован. В первую очередь потому, что волновая амплитуда А распространяется уже не в обычном трехмерном пространстве: для системы из двух частиц это было шестимерное пространство, для системы из трех частиц – девятимерное, для четырех – двенадцатимерное и т. д. К тому же в волновой механике возникали большие сложности при описании всевозможных экспериментальных фактов, которые в течение 20 лет подводили Эйнштейна и других исследователей к необходимости введения дискретной структуры в квантовой механике. В августе 1926 г. в письме Паулю Эренфесту Эйнштейн следующим образом подытоживает свои чувства:

«Волны тут, кванты там! Реальность тех и других прочнее камня. Но дьявол свел их вместе (и этот союз так же реален и прекрасен)».

Эту неудовлетворенность в отношении парадоксального поведения природы, проявляющей одновременно волновые и корпускулярные свойства, Эйнштейн сохранял до конца своей жизни. Как мы увидим, то, что убедило большинство ученых, не смогло развеять его сомнений.

«Духовое поле» Эйнштейна, «амплитуда вероятности» Борна и «соотношения неопределенностей» Гейзенберга

Нашей целью здесь не является детальное обсуждение развития физической интерпретации математического формализма квантовой теории. Мы собираемся лишь описать ту важную, хотя иногда и скрытую роль, которую в этом развитии сыграли определенные идеи Эйнштейна.

Первое существенное продвижение было сделано Максом Борном летом 1926 г. Как он сам описывал^{145}: «Моим отправным пунктом стало соображение Эйнштейна, касающееся взаимосвязи между полем волны и квантом света. Он [Эйнштейн] сказал приблизительно следующее: волны служат лишь для того, чтобы управлять световыми корпускулами, и в этом смысле он говорил про “духовые поля”, определяющие вероятность выбора того или иного пути… квантом света…» Эти соображения Эйнштейна про некоторое «духовое поле», или «управляющее поле», приватно обсуждались им в 1920-х гг. со многими учеными (Макс Борн, Юджин Вигнер и др.), однако они никогда не публиковались. Как бы то ни было, вполне возможно, именно эти соображения мотивировали Борна на интерпретацию волновой амплитуды A (t, q) физической системы как «амплитуды вероятности» того, что система будет находиться в момент времени t в определенной конфигурации, описываемой переменными q. [Как говорилось выше, когда рассматривается одна частица, q обозначает три пространственные координаты, тогда как в системе из двух частиц q обозначает шесть координат, необходимых для задания положения обеих частиц, и т. д.] Борн далее уточняет (в сноске, добавленной при перечитывании корректуры), что вероятность найти систему в конфигурации q пропорциональна квадрату^{146} амплитуды A (q). И затем подытоживает суть предложенной им интерпретации квантовой теории: «Движение частиц подчиняется закону вероятности, тогда как сама вероятность эволюционирует в соответствии с законом причинности».

Вторая часть этой цитаты намекает на тот факт, что «волновое уравнение Шредингера», написанное им в начале 1926 г., является детерминистским уравнением распространения, т. е. уравнением, позволяющим однозначным образом определить временную эволюцию амплитуды А, если известно ее значение в произвольный начальный момент.

«Вероятностная интерпретация» Борна стала серьезным концептуальным прорывом, хотя она принесла больше проблем, нежели решений. Фактически эта интерпретация была лишь гипотезой и требовала подтверждения исходя из математического формализма квантовой теории. Именно так думал Гейзенберг в конце 1926-го и в начале 1927 г. В то время Вернер Гейзенберг работал в группе Нильса Бора в Копенгагене. Он активно обсуждал с Бором возможную физическую интерпретацию математического формализма, так что их беседы иногда затягивались до поздней ночи. В феврале 1927 г., когда Гейзенберг остался один в Копегагене, поскольку Бор катался на лыжах в Норвегии, ему в голову пришла новая идея о том, как совместить волновое и корпускулярное описания одной и той же квантовой частицы (скажем, электрона). Как он сам рассказывал^{147}, воспоминания о его беседе с Эйнштейном годом ранее сыграли решающую роль в его рассуждении:

«Это было около полуночи, когда я неожиданно вспомнил мои беседы с Эйнштейном и, в частности, его фразу: “Только теория решает, что является наблюдаемым, а что нет”. Я вдруг сообразил, что здесь-то и нужно искать ключ к загадке, которая так занимала нас [его и Бора]. Тогда я решил совершить ночную прогулку по парку, чтобы подумать над значением этой фразы Эйнштейна».

Именно во время этой ночной прогулки, когда он размышлял о значении фразы Эйнштейна, Гейзенберг открыл свои знаменитые «соотношения неопределенностей»^{148}, которые гласят, что произведение «неопределенности» положения частицы и «неопределенности» ее количества движения (или импульса)^{149} обязано быть больше постоянной Планка h^{150}.

Гейзенберг понял, что соотношения неопределенностей позволяют прояснить условия, при которых квантовую частицу можно одновременно описывать и как волну, и как частицу. Например, ранее казалось, что наблюдение в детекторах прямых треков частиц, видимых на макроскопическом уровне, обязывает описывать частицу исключительно как локализованную корпускулу. Однако соотношения неопределенностей показывали, что ненулевая ширина трека хорошо согласуется с проявлением волнового поведения частицы на масштабах расстояний, сравнимых с этой шириной.

Когда Бор вернулся из отпуска в Норвегии, Гейзенберг принялся с энтузиазмом объяснять ему свои новые идеи, возникшие на основе философского утверждения Эйнштейна («Только теория решает, что является наблюдаемым, а что нет»).

Между тем Бор имел собственные соображения по этому поводу и, в частности, был убежден, что интерпретацию квантовой механики необходимо основывать не на логической дедукции, продиктованной самой теорией (как предлагал Эйнштейн), но на новой эпистемологической концепции, введенной ad hoc для толкования квантовой теории и именуемой «принципом дополнительности». Как рассказывал Гейзенберг, в представлении Бора «дополнительность должна была описывать ситуацию, когда можно ухватить одно и то же явление двумя разными способами интерпретации (например, волновым и корпускулярным). Эти два способа должны были взаимно исключаться, при этом дополняя друг друга таким образом, что только суперпозиция двух моделей могла предоставить исчерпывающее описание феномена».

Спор между молодым Гейзенбергом (которому было тогда 25 лет) и Бором (чья работа 1913 г. существенно повлияла на развитие квантовой теории) набирал силу. Гейзенберг восхищался Бором как ученым и почитал его, как отца. Он ожидал, что Бор по достоинству оценит новизну концептуального продвижения, которое представляло собой открытие соотношений неопределенностей. Бор, однако, был весьма сдержан, он критиковал технические детали и, в частности, утверждал, что лишь его идея дополнительности является достаточно общей, чтобы служить основой согласованной интерпретации квантовой теории. Напряжение между двумя физиками нарастало, влияя на их личные отношения. Столкнувшись с непреодолимым упрямством Бора, Гейзенберг был вынужден оставить попытки убедить его в обоснованности общего эпистемологического подхода, предложенного Эйнштейном, и с неохотой принял необходимость использовать язык интерпретации, основанный на принципе дополнительности. Он самостоятельно опубликовал открытие соотношений неопределенностей и их следствий для интерпретации квантовой реальности, оставив Бора писать подробный трактат на тему принципа дополнительности, представленный им через несколько месяцев на Сольвеевском конгрессе осенью 1927 г.

Переломный момент

Пятый Сольвеевский конгресс, состоявшийся в Брюсселе осенью 1927 г., был важнейшим событием. Он стал переломным моментом не только для мирового сообщества физиков-теоретиков^{151}, но и для научной карьеры Эйнштейна. На этом конгрессе Эйнштейн выступил в роли оппонента новой интерпретации квантовой теории, предложенной Бором на основе идей Борна (о вероятностной интерпретации амплитуды A), Гейзенберга (о соотношении неопределенностей), а также на основе концепции дополнительности. Физики-теоретики с большим интересом ожидали реакцию Эйнштейна. Для всех он был не только величайшим физиком современности, но и тем, чьи революционные идеи лежали в основе открытия и понимания квантовой реальности. Физики молодого поколения (Гейзенберг, Йордан, Паули и др.) боготворили Эйнштейна и видели себя его скромными последователями. Собирался ли духовный отец теоретической физики благословить в купели дополнительности новое квантовое дитя, которое все считали его собственным интеллектуальным отпрыском? Оказалось, нет! Эйнштейн не верил в интерпретацию квантовой теории, отстаиваемую Бором.