Путеводитель для влюбленных в математику Шейнерман Эдвард

Глава 3

0,99999999999…

Безусловно, простейший способ записать число один – это цифра 1. Но вы можете столкнуться с тем фактом, что уходящая в бесконечность десятичная дробь 0,999999… представляет собой другой способ записи того же числа. В главе 3 мы присмотримся к этому обстоятельству повнимательнее.

Привычная нам десятичная система счисления удобна и работает отменно, почти без перебоев. Она хорошо подходит для записи целых чисел. 235 – это компактный способ сказать «две сотни, три десятка и пять единиц». Или, на языке математики:

235 = 2 100 + 3 10 + 5 1.

Для некоторых дробных величин десятичная система счисления также чрезвычайно эффективна. Возьмем число 3/4. В десятичной системе его можно записать так: 0,75. Эта запись означает:

Десятичная дробь 0,75 в точности равна 3/4.

Тем не менее если мы предпримем попытку записать 2/7 в виде десятичной дроби, то потерпим фиаско. Если мы попробуем разделить два на семь с помощью калькулятора, то получим неприглядное 0,28571429, причем это будет лишь приближенное значение, не равное в точности 2/7.

Такие числа, как 3/8, могут быть представлены в виде десятичной дроби, потому что знаменатель в них легко представить в виде одной из степеней десятки: 3/8 = 375/1000. Но нельзя найти целое число A, для которого выполнялось бы условие:

так как это подразумевает 2 10 = 7 A. Ни одно целое число A не подходит в качестве решения уравнения, потому что левая сторона не делится на 7, а правая сторона делится. Представить 2/7 в качестве десятичной дроби невозможно. Если только не…

Идея десятичной дроби с бесконечным числом символов содержит в себе один подвох, и сейчас мы выясним, какой именно. Вернемся к началу главы: что означает 0,99999… и почему оно равно 1?

Для начала давайте представим 0,999999… не как одно число, а как ряд чисел, где каждое следующее – это предыдущее с приделанной справа цифрой 9. Вот как выглядит такой ряд:

0,9 0,99 0,999 0,9999 … (*)

и так далее ad infinitum[38]. Ясно, что элементы ряда (*) постоянно возрастают. Каждый следующий элемент пусть ненамного, но больше предыдущего.

Докажем два факта:

1. Все элементы возрастающего ряда (*) меньше 1.

2. Тем не менее для любого числа x, которое меньше 1, рано или поздно отыщется элемент ряда (*), превышающий x.

Представим элементы ряда (*) в виде обыкновенных дробей:

Есть компактный способ записать эти дроби. Знаменатели представляют собой степени десяти: 10¹, 10, 10 и т. д. Каждый числитель на единицу меньше соответствующего ему знаменателя. Перепишем ряд снова:

Очевидно, что n-ный элемент ряда будет выглядеть так:

Легко убедиться, что все члены ряда (*) меньше 1, потому что числитель всякий раз оказывается меньше знаменателя.

Теперь докажем второе утверждение: если число x меньше 1, рано или поздно найдется элемент ряда (*), превышающий x.

Так как x меньше 1, разность (1 – x) положительна. Даже если x невероятно близок к единице, разница между ними будет мизерная, но положительная. Умножим (1 – x) на одну из степеней десяти:

10 (1 – x).

Так как разность (1 – x) положительна, это произведение будет больше 1, если 10 достаточно велико[39]:

10 (1 – x) > 1.

Раскроем скобки:

10 – 10x > 1,

перенесем 1 в левую часть, а 10x в правую:

10 – 1 > 10x,

поделим обе части на 10:

Что мы выяснили? С одной стороны, все элементы интересующего нас возрастающего ряда меньше 1. С другой стороны, какое бы число x меньше единицы мы ни взяли, рано или поздно возникнет элемент ряда, превышающий x (а последующие будут нарастать и все больше удаляться от x).

Наш ряд неуклонно приближается к 1. Математики говорят, что этот ряд стремится к 1. Или, что то же самое, 1 представляет собой предел ряда.

Значение десятичной дроби с конечным числом символов – это сумма определенного количества десятых, сотых, тысячных и т. д. Например:

К сожалению, язык десятичных дробей с конечным числом символов слишком скуден, чтобы выразить, например, 2/7. Поэтому нам необходимо расширить лексикон.

Значение десятичной дроби с бесконечным числом символов равно пределу ряда, где на каждой ступени элемент прирастает на одну цифру. Это сложно, однако дает нам возможность выражать все числа, используя десятичную систему счисления.

Нужно приложить определенные усилия, чтобы увидеть в бесконечной десятичной дроби предел ряда. Попробуем посмотреть проще.

Вернемся к знакомому нам 0,999999… Пусть:

X = 0,999999… (A)

Умножим обе части равенства на 10:

10X = 9,999999… (B)

Вычтем (A) из (B):

9X = 9,000000…

Теперь поделим обе части на 9 и убедимся, что X = 1. Готово! Все оказалось просто.

Этот фокус можно повторить для любой периодической десятичной дроби. Например:

Y = 0,27272727… (C)

Умножим обе части на 100 (чтобы цифры встали в строй):

100Y = 27,27272727… – (D)

и вычтем (C) из (D):

99Y = 27,000000…

Таким образом, Y = 27/99 = 3/11.

Вот видите[40]! Зачем утруждать себя «сходимостями» и «пределами»? Но с бесконечными последовательностями нужно быть осторожнее. Представим себе сумму:

Z = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … (E)

Умножим обе части равенства на 2:

2Z = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … – (F)

и привычно вычтем (E) из (F):

– Z = 1.

Стало быть, Z = –1? Что за абсурд?

Где мы допустили оплошность? Мы ушли в беспредел. Алгоритм, позволяющий установить значение 0,9999999… и 0,2727272727…, дал сбой, когда мы взялись за ряд 1 + 2 + 4 + 8 + 16… Во все трех случаях речь шла о бесконечной последовательности. В чем разница? Ответ: в сходимости. Не понимая толком, что такое сходимость ряда, мы запросто придем к выводу, что сумма положительных чисел может быть отрицательным числом. Операции с выражениями (A) и (B), а также (C) и (D) математически корректны, потому что мы имеем дело со сходящимися последовательностями.

Глава 4

2

Перед началом концерта музыканты настраивают инструменты по одной ноте, чтобы добиться гармоничного звучания. Однако это невозможно. Скоро мы увидим почему.

Целые числа прекрасно ладят с тремя простейшими арифметическими действиями – со сложением, вычитанием и умножением. Мы производим эти операции над двумя целыми числами и получаем целое же число. А вот деление одного целого числа на другое[41] может привести к дробному результату.

Числа, представляющие собой результат деления целого числа на целое, называют рациональными[42]. Например, 1,5 – это рациональное число, потому что равно 3/2.

Целое число 3 рациональное, потому что 3 = 3/1 (а еще 6/2, 12/4 и т. д.). Все целые числа – рациональные.

Целые числа ладят с тремя арифметическими действиями, а рациональные числа – со всеми четырьмя. Сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел всегда будут рациональным числом (с привычной оговоркой о неправомерности деления на ноль).

Рациональные числа пригодны для описания повседневной жизни. Величины, которые мы измеряем, – вес, интенсивность звука, расстояние, цена, температура, время, численность населения, радиочастоты – выражаются рациональными числами.

Но если рациональные числа удобны для работы и над ними можно осуществлять арифметические операции, зачем нам другие числа?

Можно задаться более фундаментальным вопросом: существуют ли другие числа?

Каково расстояние между противоположными вершинами квадрата? Позже, в главе 14, мы обсудим решение этой задачи. Сейчас же достаточно знать, что длина диагонали квадрата 1 1 равна 2

Если умножить число 2 само на себя (другими словами, возвести в квадрат), мы получим 2. Посчитайте приблизительное значение 2 на калькуляторе. А теперь давайте посмотрим, можно ли приблизиться к этому числу с помощью ручки и бумаги.

Начнем с того, что, если возвести в квадрат 0, получится 0, а если возвести в квадрат 1, получится 1. Наша цель 2, а найденные числа меньше. С другой стороны, если возвести в квадрат 2, мы получим 4, а если возвести в квадрат 3, получим 9. Это больше, чем нам нужно.

1 – слишком мало, 2 – слишком много. Попробуем найти величину между 1 и 2, перемещаясь с шагом 0,1, как показано в таблице.

Легко заметить: 1,4 слишком мало для квадратного корня из двух, а 1,5 – слишком велико. Следовательно, 2 лежит между этими двумя величинами.

Продолжим в том же духе. Будем возводить в квадрат числа между 1,4 и 1,5, двигаясь с шагом 0,01. Мы обнаружим, что 1,41 = 1,9881, а 1,42 = 2,0164. Из этого можно сделать умозаключение, что

Мы можем двигаться таким образом все дальше и дальше, приближаясь к 2

Рано или поздно мы либо успокоимся (достигнув числа, фантастически близкого к либо почувствуем отчаяние (увидев, что никогда не сможем точно вычислить 2

Но что означает это «точно»?

Разумный способ определить точное значение числа – представить его в виде рационального числа, то есть отношения двух целых чисел. Если бы мы сумели представить 2 в виде дроби где a и b – целые числа, мы бы нашли его точное значение.

Увы, но такое невозможно. Однако это нужно доказать.

Теорема. 2 не является рациональным числом.

Будем идти от противного, как и в главе 1, где мы подсчитывали количество простых чисел. Предположим, что 2 – рациональное число. Если это допущение приведет к абсурдным выводам, значит, оно несостоятельно.

Итак, приступим. Если 2 – рациональное число, его можно выразить в виде отношения двух целых чисел:

Возведем обе части тождества в квадрат:

Раскроем скобки:

Таким образом:

или:

2b = a. (С)

Если a – целое число, мы можем разложить его на простые множители, причем (согласно основной теореме арифметики) одним-единственным способом:

a = p₁ p₂ … p_n.

Проделаем аналогичную процедуру с b:

b = q₁ q₂ … q_m.

Следовательно, левую часть равенства (С) можно представить в таком виде:

2b = 2 (q₁ q₂ … q_m) = 2 (q₁ q₁) (q₂ q₂) … (q_m q_m).

Несложно заметить, что 2b раскладывается на нечетное число простых множителей.

Аналогично поступаем с правой частью (С):

a = (p₁ p₂ … p_n) = (p₁ p₁) (p₂ p₂) … (p_n p_n).

В отличие от 2b, выражение a раскладывается на четное число простых множителей.

Подытожим. В соответствии с нашим предположением 2b = a. Это означает, что некоторое число одновременно можно разложить на четное и нечетное количество простых множителей. Но это противоречит основной теореме арифметики.

Мы пришли к невозможному выводу. Таким образом, наша изначальная посылка была ошибочна. Следовательно, 2 не является рациональным числом.

Такие числа, как 2 называют иррациональными. Рациональные числа хороши для операций с физическими величинами[43], но их недостаточно для всех математических величин. Длина диагонали квадрата 1 1 – иррациональное число.

Начав с числа 1 и шаг за шагом проделывая операции сложения, вычитания и умножения, мы можем получить любое целое число, но и только. Если мы добавим операцию деления, нам откроются все рациональные числа, но ими же мы и будем ограничены.

Если мы введем операцию извлечения квадратного корня[44], то получим числа, которые не являются отношением целых чисел. Например:

Для удобства мы будем называть конструктивными такие числа, которые можно получить с помощью числа 1 и пяти операций – сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня – с привычными оговорками: нельзя делить на ноль и извлекать корень из отрицательных величин.

Разумеется, возникает вопрос: все ли числа конструктивные?

Древние греки усматривали магическую внутреннюю связь между арифметикой и геометрией. Эта связь подтверждалась операциями с использованием двух инструментов: линейки без делений и циркуля. Возьмем отрезок единичной длины; какова может быть длина отрезков, построенных на его основе с помощью карандаша, линейки без делений и циркуля?

Складываь и вычитать отрезки просто. Пусть у нас есть отрезки длиной a и b. С помощью линейки мы продлеваем первый отрезок. Ставим иглу циркуля в начало второго отрезка, а острие карандаша на другой ножке циркуля – в конец отрезка. После этого мы перемещаем иглу в конец первого отрезка и отмечаем точку на продленной линии. Так мы находим сумму двух отрезков. Что касается вычитания, оно будет означать не приращение, а укорочение отрезков.

Дальше дело пойдет несколько сложнее, но мы вполне способны умножать, делить и даже извлекать квадратные корни из длин отрезков с помощью линейки без делений и циркуля.

Да, это так: с помощью двух простейших инструментов мы можем найти длины, равные всем положительным конструктивным числам!

Было время, когда греки думали, что все числа рациональные, но пифагорейцы доказали, что это не так.

Однако грекам было непросто расстаться с верой в связь арифметики и геометрии. В основе этой веры лежали представления об эстетике. Неужели не все числа можно выразить с помощью линейки без делений и циркуля?

Эта вера подкреплялась решениями двух из трех знаменитых древнегреческих геометрических задач. Наиболее известна задача о трисекции угла: с помощью линейки без делений и циркуля нужно поделить заданный угол на три равных угла[45].

Менее известны две другие головоломки:

• Удвоение куба. Необходимо найти длину ребра куба, чей объем в два раза больше заданного. Если длина ребра первого куба – единица, это равносильно построению отрезка длиной

• Квадратура круга. Необходимо построить квадрат, чья площадь равна площади заданного круга. Если радиус круга равен единице, его площадь равна . Тогда сторона квадрата будет равна

Понадобилось две тысячи лет, чтобы понять: эти задачи неразрешимы[46]. Ни ни не являются конструктивными числами[47]. Решая проблему трисекции угла, мы сталкиваемся с тем фактом, что некоторая величина (косинус 20°) не является конструктивным числом.

Существование неконструктивных чисел опровергает связь между арифметикой и геометрией, гревшую сердца древним грекам, которые решали задачи на построение с линейкой без делений и циркулем.

Если музыканты перед концертом не настроили инструменты, возникает акустический диссонанс: музыка становится неблагозвучной.

Когда на двух инструментах берут одинаковые ноты, акустическая частота звуковых волн оказывается одинаковой. Рассогласованность же действует слушателю на нервы. Впрочем, можно брать и разные ноты, и музыка все равно будет ласкать слух, если эти ноты гармонируют друг с другом. Но как достичь гармонии? Что именно нам приятно слышать?

Этот вопрос волновал еще древних греков. Они выяснили, что, если акустические частоты соотносятся как малые целые числа (например, 2 и 3), сочетание нот ласкает слух. Так был открыт первый музыкальный строй (по легенде, его создал Пифагор[48]). Подбирая частоты для нот, важно выполнить главное требование: частоты нот, находящихся на противоположных концах октавы, должны соотноситься примерно как 2:1. Ради гармоничных звуков древние греки подбирали ноты так, чтобы парное соотношение частот до и фа, а также до и соль выражалось малыми целыми числами. В пифагорейском варианте соотношение между частотами соседних нот было равно 9/8 для целого тона (например, между до и ре) и 256/243 для полутона (например, между ми и фа).

Вот весь пифагоров строй[49]:

Из этого соотношения можно посчитать соотношение, скажем, между частотами нот до и фа. Мы получим частоту фа, если умножим частоту до на

Акустические частоты, соотносящиеся как 4:3, прекрасно звучат вместе.

Мы можем визуализировать звуковые волны, возникающие, когда до и фа звучат вместе. Это будет выглядеть примерно так:

А частота ноты ля окажется немножко выше, звуковая волна будет выглядеть так:

Разница, заметная для глаза, заметна также и для слуха; вы видите диссонанс.

Недостаток пифагорова строя в том, что широко распространенное мажорное трезвучие до мажор – до-ми-соль – звучит как диссонанс; соотношение частот достаточно сложное.

Спустя много веков были найдены другие варианты. Например, так называемый чистый строй, или натуральный строй[50], выглядит так:

В этом варианте частоты до, ми и си прекрасным образом соотносятся как 4:5:6. Но полный тон от до до ре звучит иначе, чем другой полный тон от ре до ми.

И у пифагорова строя, и у натурального строя есть еще один серьезный изъян: если ансамбль исполняет произведение в тональности, скажем, до мажор, а затем музыканты должны переключиться на тональность фа, инструменты придется перенастраивать. Это довольно затруднительно для лютниста, невероятно сложно для клавикордиста и совершенно нереально для тех, кто играет на деревянных духовых.

Исправить изъян можно, если создать музыкальный строй, действующий одинаково хорошо во всех тональностях. Это накладывает два условия:

1. Частоты нот на противоположных концах октавы должны соотноситься как 2:1;

2. Если ноты отделены полутоном, соотношение их частот должно быть таким же, как у остальных полутонов октавы (например, соотношение частот до и ми-диез равно соотношению частот до-диез и ре). Всего в октаве двенадцать полутонов: до, до-диез, ре, ми, ми-диез, фа, фа-диез, соль, соль-диез, ля, ля-диез и си.

Если соотношение частот любых двух соседних нот равно r (условие 2), а соотношение частот двенадцатой и первой ноты равно 2 (условие 1), то r¹² = 2. Следовательно,

Если настроить музыкальные инструменты таким образом, чтобы соотношение частот соседних нот в октаве было равно не придется перенастраиваться при переходе в другую тональность. Этот музыкальный строй называют равномерно темперированным[51], и сегодня им пользуются все профессиональные музыканты.

К сожалению, число иррационально[52]. Иными словами, соотношение частот двенадцати нот в равномерно темперированном строе (за исключением начала и конца октавы) не может быть выражено через соотношение целых чисел. Соотношение частот до и соль в таком случае равно не 3:2, а примерно 1,4983 (число принято округлять до 1,5).

Как это звучит? Сейчас почти все музыкальные инструменты настраивают по равномерно темперированному строю, и они ласкают наш слух. Но что мы теряем?

Вот как выглядит звуковая волна для трезвучия до мажор. В первом варианте частоты нот соотносятся как 4:5:6, во втором подобраны в соответствии с равномерно темперированным строем. Первый вариант выглядит (и звучит!) гораздо гармоничнее.

Преимущество равномерно темперированного строя состоит в том, что в нем нет необходимости постоянно перенастраивать музыкальные инструменты. Но есть один инструмент, способный менять тональность мгновенно: человеческий голос.

Вокальные ансамбли без инструментального сопровождения (например, «парикмахерские» квартеты[53]) не нуждаются в равномерно темперированном строе и берут ноты, соотношение чстот которых можно выразить целыми числами. И мы слышим чудесные хорошо резонирующие звуки.

Глава 5

i

В главе 4 мы поразмышляли над «точным» значением числа 2 и пришли к выводу, что его нельзя выразить в виде соотношения двух целых чисел и, следовательно, оно иррационально. Тем не менее мы можем найти его значение с невероятной точностью.

Число 2 не относится к рациональным числам, однако нас не мучает вопрос, существует ли такое число, что x = 2. Несмотря ни на что, 2 имеет законную прописку где-то между 1,41 и 1,42. Это пример действительного числа[54]. Оно может быть выражено так:

± XXXX, XXXXXXXXXX…

Символом X помечены разные цифры. Число может быть положительным или отрицательным (знак + перед числом ставить не принято), количество цифр до запятой конечно, количество цифр после запятой бесконечно. Скажем, 1 можно записать так[55]:

1,666666666666…

Такие числа, как 3/4, в десятичной системе счисления записываются с конечным числом цифр после запятой (0,75), но ничто не мешает прикрутить справа бесконечное количество нулей: 0,7500000000…

Таким образом,  – реальное число, просто иррациональное. Точнее говоря, существует такое число, что x = 2. Точно так же существует такое число, что x = 3, а именно И так далее… Или нет?

Всякое ли уравнение x = a имеет решение? Если a – положительное действительное число (или ноль), тогда решение равно и ответ можно записать в виде десятичного числа сколько угодно точно. Если мы изобразим график y = x – a (для любого квадратного уравнения он представляет собой параболу), решением будут те точки, где кривая пересекает ось абсцисс, или ось x. Иными словами, это такие значения x, при которых x = a. На первом рисунке вы можете видеть графики y = x – 3 и y = x – 7. Первая парабола пересекает ось абсцисс при вторая парабола – при

Вопрос кардинально меняется, когда мы ищем такое число, что x = –1. А существует ли оно в принципе? Если возвести в квадрат положительное число, ответом будет положительное число, скажем 5 = 5 5 = 25 > 0. Если возвести в квадрат отрицательное число, результат снова будет положительным числом: (–5) = (–5) (–5) = 25 > 0. Если возвести в квадрат ноль, получится ноль. Наше положение выглядит безнадежно.

Мы испытаем еще большее отчаянье, когда нарисуем график уравнения y = x + 1 и увидим, что парабола нигде не пересекает ось абсцисс.

Есть искушение сдаться и объявить: «Нельзя извлекать квадратные корни из отрицательных чисел». На самом деле нам просто не хватает воображения. Да, не существует ни одного действительного числа, удовлетворяющего условию x = –1, но, возможно, есть какие-то другие?

Решение на редкость просто. Раз нет такого действительного числа, что x = –1, то мы просто создадим новое число, назовем его i и поставим условие i = –1.

Конечно, в голове сразу зазвучит сигнал тревоги: «Откуда взялось это число? Выдумывать числа нельзя! Что за чепуха!»

Чтобы облегчить душу, назовем новое число мнимым[56]. В наших глазах такое число – второго сорта: мы не кладем i кубиков сахара в чашку кофе и не боимся, что расстояние до университета окажется равным i миль[57].