Путеводитель для влюбленных в математику Шейнерман Эдвард

Глава 21

Хаос

Что делает событие непредсказуемым? Предыдущие главы были посвящены понятию вероятности. Центральная идея теории вероятностей заключается в том, что некоторые феномены случайны: их нельзя предсказать в точности, поскольку они недетерминированы. Разумно и эффективно рассматривать некоторые феномены внешнего мира, такие как вращение брошенного кубика, в качестве случайных.

Но случаен ли бросок костей в действительности? Возможно, если мы детально знаем все характеристики кубика – от скорости вращения в зависимости от плотности воздуха в комнате до коэффициента трения о поверхность стола, мы сумеем в точности определить, какой гранью вверх он остановится. Возможно, вращение кубика не случайно – просто это чрезвычайно сложное явление.

Есть ли что-нибудь случайное? Физики утверждают, что некоторые феномены действительно непредсказуемы; таков основополагающий принцип квантовой механики. Поведение элментарных частиц, таких как электрон и фотон, нельзя предсказать, поскольку неопределенность – одно из их фундаментальных свойств.

Другие физические, биологические и социальные феномены могут быть чрезвычайно хорошо смоделированы с помощью теории вероятностей. Это потрясающе. Но насколько они случайны? Не исключено, что они чересчур сложны для понимания.

Так возникает главный вопрос этой главы: может ли система быть простой, полностью детерминированной, но все же непредсказуемой?

Ключевая идея этой главы – итерация функций. Под итерацией мы подразумеваем повторение одной и той же операции снова и снова. Что математики подразумевают под функцией?

Функции можно рассматривать в качестве своего рода «черных ящиков», преобразующих одно число в другое[208]. Вообразим, что у черного ящика есть входной лоток, куда мы засыпаем числа, дальше мы крутим ручку, машина делает свое дело, и на выходе из ящика вываливаются новые числа.

Например, представим себе ящик, выполняющий следующую операцию. Мы бросаем туда число, он возводит его в квадрат, добавляет к результату единичку и выплевывает то, что получилось. Дадим этой функции имя; назовем ее «возведи в квадрат и прибавь один». Вот как она работает с числом 3:

Описывать действия функции словами обременительно, гораздо проще использовать математические символы. Что касается числа 3, мы вначале возводим его в квадрат: 3 = 9, а затем прибавляем единичку: 3 + 1 = 10. Как будет выглядеть результат с числом 4? Очевидным образом, 4 + 1 = 17.

Вместо длинных имен (вроде «возведи-в-квадрат-и-прибавь-один»), математики обозначают функцию какой-нибудь буквой, чаще всего f. Число, с которым имеет дело функция, помещают в круглые скобки сразу за буквой, например: f(4).

Эта форма записи удобна для описания функции:

f(x) = x + 1.

Это значит, что функция превращает число x в число x + 1.

Вот еще один пример. Определим новую функцию g таким образом:

g(x) = 1 + x + x.

Чему равно g(3)? Мы подставляем число 3 в формулу и получаем:

g(3) = 1 + 3 + 3 = 13.

Функции можно комбинировать, чтобы одна операция следовала за другой. Подумаем, чему равно f(g(2)).

Это выражение вынуждает нас вычислить функцию f от какой-то величины. От какой? Она зависит от того, чему равно g(2). А чему оно равно? g(2) = 1 + 2 + 2 = 7. А теперь посчитаем f(7) = 7 + 1 = 50. Если уложить всё в одну строчку, получится:

f(g(2)) = f(7) = 50.

Давайте проверим, хорошо ли вы усвоили материал. Посчитайте g(f(2)). Это не 50! Верный ответ – в конце главы.

Вернемся к определению итерации. Как я уже сказал, итерация означает просто повторение одной и той же операции снова и снова. Еще раз: итерация означает просто повторение одной и той же операции снова и снова. Еще раз: итерация означает просто повторение… (Окей, надеюсь, вы уловили юмор.)

Подумаем о функции f(x) = x + 1. Запись f(f(x)) означает, что мы применяем операцию f дважды: берем число x, закидываем его в функцию f, а потом снова закидываем то, что получилось, в функцию f. Вот пример:

f(f(2)) = f(2 + 1) = f(5) = 5 + 1 = 26.

Можно проводить итерацию сколько угодно раз. Например, трижды:

f(f(f(2))) = f(f(5)) = f(26) = 26 + 1 = 677.

Когда мы выходим на четвертую итерацию, запись становится громоздкой. Поэтому вместо f(f(f(f(x)))) мы будем записывать f(x), подразумевая, что верхний индекс означает не возведение в степень, а последовательное применение функции. Для положительного целого числа n выражение f n(x) означает:

Сейчас мы проитерируем функции вида f(x) = mх(1 – х), где m – некое число. Это семейство функций называется логистическим отображением[209]. Во всех случаях мы будем начинать с числа x = 0,1, итерировать функцию и наблюдать за происходящим. Мы начнем с функции:

f(x) = 2,5x (1 – x).

Начнем с x = 0,1 и на первом шаге посчитаем:

f(0,1) = 2,5 0,1 (1–0,1) = 2,5 0,1 0,9 = 0,225.

Применим f снова:

f (0,1) = f(0,225) = 2,5 0,225 (1–0,225) = 2,5 0,225 0,775 = 0,4359375.

Прибегнем к помощи компьютера. Программа, итерирующая f, даст такие результаты:

Заметим, что успешное итерирование все больше и больше приближает нас к 0,6. Есть хороший способ продемонстрировать это наглядно. Отметим на графике величины f(0,1), f(f(0,1)), f(f(f(0,1))) и т. д. На оси абсцисс нанесем номера итераций, n. На каждом шаге будем отмечать значение f n(x) («нулевая» итерация – это наше начальное число 0,1). Соединим все точки отрезками. Вот что получится:

Мы видим, что итерации f(x) сходятся к числу 0,6.

А что, собственно, особенного в числе 0,6? Заметим, что

f(0,6) = 2,5 0,6 (1–0,6) = 2,5 0,6 0,4 = 0,6.

Число 0,6 называют неподвижной точкой функции f, поскольку применение функции к этому числу не меняет его: f(0,6) = 0,6.

Продублируем эксперимент с другой функцией того же семейства; на сей раз возьмем множитель m = 2,8; таким образом, функция приобретает вид f(x) = 2,8 x (1 – x). Как и в предыдущем случае, мы начнем итерирование с x = 0,1. Вот первые 10 значений:

Похоже, итерации выплясывают вокруг 0,64. Продолжим итерировать и построим график:

В пределах первых 10 итераций значения функции слегка колеблются вверх и вниз, но уже на 30-й они выравниваются. На какой величине? Это число между 0 и 1, такое, что f(x) = x. Нам остается решить незамысловатое уравнение:

Итерации f(x) = 2,8 x (1 – x) сходятся к числу 0,642857.

Итерирование логистического отображения f(x) = m x (1 – x) можно рассматривать в качестве простой эволюционирующей системы. Число x показывает состояние системы, а функция f диктует, как система эволюционирует при смещении на один шаг[210]. В двух рассмотренных нами случаях (m = 2,5 и m = 2,8) долгосрочное поведение системы приводит к «равновесию» в неподвижной точке функции.

Мы продолжим исследование итераций логистического отображения в случае m = 3,2. Как и в предыдущих случаях, мы начнем с х = 0,1. Вот первые десять значений:

Что происходит? Итерации не сходятся к одной величине. Значения на четных шагах становятся меньше (это примерно 0,66; 0,64; 0,62; 0,6; 0,57), а на нечетных – растут (примерно 0,72; 0,74; 0,75; 0,77). Значения расходятся, а несходятся!

Начертим график первых 30 итераций, чтобы изобразить наглядно проведение системы:

Посмотрите! Она не выравнивается к одному числу, а осциллирует[211] между двумя величинами. Доведем вычисления до 50-й итерации. Вот последние строчки таблицы:

Долгосрочное поведение системы – осцилляция между двумя величинами, s = 0,799455… и t = 0,5130445… Эти числа таковы, что f(s) = t, а f(t) = s. Правило осцилляции можно изобразить так:

Какое еще поведение функции мы можем наблюдать, итерируя логистическое отображение? В следующем пункте нашей экспедиции m = 3,52. Посмотрим на график итераций f(x), f(x), f(x), …

А вот таблица итераций:

Долгосрочное поведение функции занятно, но по-прежнему стабильно. Система идет по циклу из четырех величин ad infinitum, как показано на иллюстрации.

Мы проследили долгосрочное поведение итераций логистического отображения f(x) = m x (1 – x). Итерации всегда приводили нас к стабильности. В некоторых случаях (m = 2,5 и m = 2,8) система сходилась к одной величине: неподвижной точке функции f. В других случаях (m = 3,2 и m = 3,52) она приобретала стабильный, предсказуемый ритм.

Жизнь хороша. Мы знаем исходную величину: x = 0,1. И мы знаем правило, по которому переходим от одного шага к другому: f(x) = m x (1 – x). Разумеется, мы можем предвидеть поведение функции на любом шаге до бесконечности. Верно?

Настало время для последнего примера: m = 3,9. Доверим подсчет первых 10 итераций компьютеру:

Что происходит? Неясно. Попробуем изобразить на графике первые 30 итераций:

Хм… Ритм не прослеживается. Спокойствие, только спокойствие! Изобразим на графике первые 100 итераций.

Колебания величин выглядят случайными. Разумеется, на самом деле это не так! Значение функции на каждом шаге можно точно подсчитать по формуле f(x) = 3,9 x (1 – x). Но итерации логистического отображения никогда не приведут к стабильности. Хаос будет длиться вечно.

Великолепно: итерации беспорядочны, но система предсказуема на 100 %!

• Мы знаем исходную величину: x = 0,1.

• Мы знаем правило перехода от одного шага к другому: x f(x) = 3,9 x (1 – x).

Следовательно, мы можем вычислить состояние системы, скажем, на тысячной итерации. Верно?

Неверно.

Мы загнаны в угол стечением двух обстоятельств: ошибок округления и чувствительности системы к исходному состоянию. Обсудим каждое из них.

Когда мы проводим вычисления на калькуляторе или на компьютере, результат зачастую оказывается приблизительным. Например, если мы делим 1 на 3, наши приборы выдают десятичную дробь 0,3333333. В ней, скажем, семь знаков после запятой. На самом деле троек после запятой бесконечно много, но калькулятор ограничивается конечным количеством цифр. После нескольких итераций функции f(x) = 3,9 x (1 – x) количество знаков после запятой достигает дюжины. Рано или поздно компьютер выдает лишь приблизительный, а не точный результат. Обычно мы не придаем значения таким ошибкам. Если мы подсчитываем, сколько картин уместится на пустой стене, нас не волнует ошибка на одну триллионную. Почему ошибки округления имеют значение в данном случае?

Они ведут нас к загвоздке – чувствительности системы к исходному состоянию. Посчитаем итерации нашей функции, начиная с двух почти что равных величин: х = 0,1 и х = 0,10001. Интуитивно мы предполагаем, что скромная разница между исходными величинами не играет роли. Так ли это? Что произойдет?

Замечу, что первые десять итераций или около того не приводят к значительным отличиям. Но затем траектории начинают расходиться. Это можно проиллюстрировать на графиках эволюции той и другой системы. Сплошная линия соответствует итерированию системы с исходным значением 0,1. Пунктирная линия иллюстрирует итерирование системы с исходным значением 0,10001.

Каково значение f¹⁰⁰⁰ (0,1)? К чему мы придем, если мы проделаем тысячу итераций функции f(x) = 3,9 x (1 – x)?

Разумеется, мы доверяем вычисления компьютеру, но получается какая-то чепуха. Проиллюстрируем этот факт, проделав вычисления трижды с разным уровнем точности (заданным количеством знаков после запятой). Мы получим следующие результаты:

Ни одна из этих величин не равна f ¹⁰⁰⁰ (0,1) в точности.

Мы будем биться до последней капли крови. Компьютер может работать с произвольной точностью. Он может не округлять полученное значение. К чему это приведет?

Точное значение f (0,1) имеет длину 127 знаков после запятой, а точное значение f (0,1) растягивается после запятой на 255 знаков. Количество знаков после запятой увеличится примерно вдвое на каждой итерации. Нет настолько мощного компьютера, чтобы вычислить точное значение f¹⁰⁰⁰ (0,1).

К чему мы пришли? Несмотря на то что мы знаем исходное состояние системы и правило перехода от одного шага к другому, мы не в силах в точности предугадать ее состояние на 1000-м шаге.

Можно доказать, что точное значение f¹⁰⁰⁰ (0,1) лежит между 0 и 1, и задаться вопросом: какова вероятность того, что f¹⁰⁰⁰ (0,1), скажем, больше 0,5?

Ответ: либо 0, либо 1, потому что здесь нет ничего случайного. Либо f¹⁰⁰⁰ (0,1) > 0,5, либо f¹⁰⁰⁰ (0,1) 0,5, третьего не дано. Никаких «может быть», ничего случайного.

Даже настолько простая система способна оказаться хаотичной. Она абсолютно детерминирована и в то же время непредсказуема.

Огромное количество математических систем ведет себя хаотично, и многие из них позволяют строить модели явлений природы, например в метеорологии.

До сих пор мы говорили об итерациях логистических отображений. Мы закончили обсуждением разных типов функций и тернистой, неразрешимой проблемы их итерации.

Логистическое отображение – функция, заданная простой алгебраической формулой. Однако функции можно задавать иначе. Функция F, о которой сейчас пойдет речь, определена исключительно для положительных целых чисел и задана следующим образом:

Эта функция задается двумя простыми алгебраическими формулами, но мы выбираем формулу в зависимости от того, четное число x или нечетное.

Пример:

• F (9) = 28. Число 9 – нечетное, поэтому мы руководствуемся формулой 3х + 1 и получаем 3 9 + 1 = 28;

• F (10) = 5. Число 10 – четное, поэтому мы руководствуемся формулой x/2 и получаем 10/2 = 5.

Вне зависимости от того, четное число мы подставляем в функцию или нечетное, ее значение будет целым положительным числом.

Короче говоря, если x – целое положительное число, F (x) – тоже целое положительное число.

Мы можем итерировать нашу функцию, потому что выходное значение удовлетворяет условию, наложенному на входное значение. Что мы получим, итерируя функцию при начальном значении x = 12?

• F (12) = 6, отому что число 10 четное;

• F (12) = F (6) = 3, потому что число 6 четное;

• F (12) = F (3) = 10, потому что число 3 нечетное;

• F (12) = F (10) = 5.

Вот удобный способ проиллюстрировать итерации. Мы записываем 12 6, подразумевая, что значение функции от 12 равно 6. Мы можем записать итерации F следующим образом:

Тройка 4 2 1 повторяется! А что дальше? Так как F(1) = 4, F(4) = 2, F(2) = 1, следующие три значения те же самые.

Другими словами, когда мы дошли до числа 1, тройка 4 2 1 будет повторяться до бесконечности.

Начнем с другой величины, скажем с 9. Вот что мы имеем: 9 28 14 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1.

Вот еще один впечатляющий ряд итераций:

27 82 41 124 62 31 94 47 142 71 214 107 322 161 484 242 121 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1.

Мы снова дошли до 1, но после ста с лишним итераций.

Гипотеза Коллатца[213] заключалась в том, что вне зависимости от того, с какого целого положительного числа x мы начинаем, последовательность итераций рано или поздно достигает единицы и тройка 4 2 1 повторяется до бесконечности.

Проблема была решена самым умопомрачительным образом – штурм потребовал чудовищной дотошности математиков-профессионалов и математиков-любителей.

Глава 22

Демократический выбор и теорема Эрроу

Демократия – процесс, основанный на предпочтениях членов общества. Людям дают возможность выразить свое мнение (путем голосования) и затем учитывают их голоса, когда принимают окончательное решение.

Знакомая всем демократическая процедура – выборы, на которых два кандидата претендуют на одну и ту же должность. Избиратели отдают голоса за первого или второго кандидата, и побеждает тот, кто наберет больше голосов.

Ключевая фраза: побеждает тот, кто наберет больше голосов – краеугольный камень демократического общества. Но насколько справедлив этот принцип?

Вообразим, что два кандидата, претендующих на одну и ту же должность, зовутся A и B. Избиратели отдают голос за того или другого[214]. Если отдано n голосов, данные голосования выглядят следующим образом[215]:

Как используется такой профиль предпочтений для принятия решения? Обычно просто подсчитывают, сколько голосов было отдано за каждого кандидата. Победителем оказывается тот, кто набрал больше голосов. Мы назовем такой подход правилом большинства – это метод демократических сообществ. Но это не единственный метод учета профиля предпочтений для принятия решения. Посмотрим на альтернативы.

Правило диктатора подразумевает, что решение принимается на основе голоса одного-единственного человека, скажем избирателя № 1. Если № 1 выбирает A, побеждает A; если № 1 выбирает B, побеждает B. Другие мнения не учитываются.

Мы будем называть правило большинства и правило диктатора методами принятия решений. На входе – голоса избирателей, на выходе – решение о победе того или другого кандидата. В мире используют оба метода, но правило диктатора считается нечестным. Почему?

Для вящей справедливости метод принятия решения должен обладать определенными свойствами. Обидная особенность правила диктатора заключается в том, что голоса не учитываются равным образом. Более формально: справедливый метод принятия решения должен следовать нейтральности учета голосов[216] – не важно, кто голосует, важно, сколько голосов отдано за того или другого кандидата. Правило большинства отвечает требованию нейтральности учета голосов, а правило диктатора – нет.

Если мы руководствуется только теми методами, которые обладают свойством нейтральности учета голосов, мы просто суммируем голоса, отданные за того или другого кандидата. Итоговая статистика может выглядеть следующим образом:

Есть и другой метод. Назовем его правилом алфавита. Побеждает тот кандидат, чье имя идет первым по алфавиту. Тогда в любом случае побеждает кандидат A.

Очевидно, и этот метод несправедлив, но почему?

Он обладает свойством нейтральности учета голосов: все избиратели равны в том плане, что не учитывается ничье мнение! Проблема состоит в том, что кандидаты поставлены в неравное положение. Мы будем говорить, что метод обладает свойством нейтральности учета кандидатов[217], если к кандидатам относятся одинаково; если кандидат сменит имя, это не повлияет на итог выборов.

Чувство справедливости требует нейтральности учета голосов и нейтральности учета кандидатов. Достаточно ли этого?

Есть еще один метод, который мы будем называть правилом нечетности: победу одерживает тот кандидат, который набрал нечетное число голосов. Если A предпочли 20 избирателей, а B – 13 избирателей, побеждает B. Этот метод отвечает требованиям нейтральности учета голосов и нейтральности учета кандидатов.

Или рассмотрим правило меньшинства: побеждает тот, кто набрал меньше всего голосов. Если A предпочли 12 избирателей, а B – 30 избирателей, побеждает A. Этот метод также отвечает требованиям нейтральности учета голосов и нейтральности учета кандидатов.

Два требования, нейтральность учета голосов и нейтральность учета кандидатов, исключают некоторые нечестные методы (такие как правило диктатора и правило алфавита), но кое-какие несуразные методы отвечают тому и другому требованию. Введем новое свойство, позволяющее отсеять разумные методы (такие как правило большинства) от несуразных.

Вот в чем заключается проблема с правилом нечетности. Вообразим, что профиль предпочтений следующий:

Если руководствоваться правилом нечетности, побеждает A.

Теперь предположим, что один избиратель передумал, забрал свой голос за B (проигравшего) и отдал A (победителю). Передумал всего лишь один избиратель; другие остаются при своем мнении. Итог таков:

Правило нечетности приводит B к победе.

Нечестно! Если один избиратель меняет свое мнение и предпочитает победителя проигравшему, это не должно влиять на результат. Правило нечетности нарушает требование монотонности[218].

Есть еще одна проблема с правилом нечетности. Что произойдет, если избирателей четное количество? Рассмотрим две ситуации:

В первом случае победителей нет, во втором случае побеждают оба кандидата. В том или ином случае мы заходим в тупик.

Желательно избегать тупиковых итогов на выборах, чтобы коллективное мнение избирателей приводило к определенному решению. Некоторые методы (такие как првило диктатора) никогда не создают таких проблем. Но некоторые методы, отвечающие требованиям нейтральности учета голосов и нейтральности учета кандидатов, тоже могут завести в тупик: например, если голоса избирателей распределились поровну.

Даже если мы накладываем условия нейтральности учета голосов и нейтральности учета кандидатов, половина голосов может уйти первому кандидату, а другая половина – второму, так что нельзя будет принять внятное решение. Такое вероятно даже в случае правила большинства.

Однако оно не позволяет выбрать победителя в одной-единственной ситуации. Мы будем говорить, что этот метод в целом однозначный, так как позволяет принять решение во всех случаях, кроме одного: когда голоса распределились поровну[219].

Правило меньшинства тоже в целом однозначное (но не монотонное).

Мы определили четыре свойства справедливых выборов: нейтральность учета голосов, нейтральность учета кандидатов, монотонность и однозначность. К счастью, правило большинства обладает всеми этими свойствами. Занесем результаты в таблицу:

Но ведь должны быть альтернативы! Есть ли другие методы принятия решений, отвечающие всем четырем требованиям?

Ответ отрицательный. В 1952 году Кеннет Мэй[220] доказал, что правило большинства – единственный метод, обладающий всеми четырьмя свойствами[221].

Наше интуитивное предчувствие, что правило большинства справедливее всего, подтвердилось со всей математической строгостью. Теорема Мэя говорит о том, что для выборов в случае двух кандидатов есть всего лишь один разумный метод.

Ситуация существенно меняется, если число кандидатов возрастает. Но мы все еще вправе надеяться, что методы вроде правила большинства остаются эффективны.

Начнем с описания того, как именно избиратели отдают голоса. Если кандидатуры выдвинули три (или больше) человека, каждый избиратель должен ранжировать их в своем бюллетене[223]. Статистика может выглядеть так:

Как и раньше, мы ищем методы принятия решений, учитывающие распределение голосов на входе, а на выходе выносящие решение о победителе.

Например, правило диктатора подразумевает, что победа достанется тому, кто возглавляет список предпочтений одного-единственного избирателя № 1. В нашем случае это кандидат A. Прочие голоса игнорируются.

Правило диктатора не отвечает требованию нейтральности учета голосов (хотя требование нейтральности учета кандидатов здесь выполняется). Вероятно, разумнее руководствоваться методами, нейтрально учитывающими голоса, и посчитать, каков приоритет того или иного кандидата для каждого избирателя. Например, в случае трех кандидатов[224] итоговая статистика выглядит так:

Согласно этой статистике, 20 человек поставили на первое место A, 14 предпочли B, 9 предпочли C. Как нам выбрать победителя?

Правило большинства хорошо подходит, когда кандидатов двое. В случае трех кандидатов перевес возникает тогда, когда больше половины избирателей поставили на первое место одного кандидата. Это происходит не всегда, потому руководствоваться правилом большинства становится проблематично. Кроме того, правило большинства не учитывает распределение приоритетов второй и третьей степени. Посмотрим, насколько это важно. Проанализируем следующий профиль предпочтений:

Отмечу, что больше половины избирателей поставили на первое место A. Следует ли из этого, что отдать победу A – лучший выбор? А что значит «лучший»? Математика ответить не в силах. Для нас справедливо то, что соответствует нашей системе ценностей. Проиллюстрируем это обстоятельство. Вообразим, что «кандидаты» у нас – рестораны, а «избиратели» – офисные клерки, ищущие место для проведения корпоратива. Вот информация о ресторанах:

Ситуация вполне реальная. Большинство клерков (24 человека) предпочитает поужинать в стейк-хаусе, но значительное число (20 человек) не любит стейки. Индийская и греческая кухня остались в меньшинстве, но собрали равное число голосов.

Однако абсолютно все отметили ресторан со шведским столом в качестве второго приоритета. Это выглядит хорошим компромиссом, и мудрый босс выбирает заведение со шведским столом для корпоратива. Можно ли построить аналогичный метод принятия решения на выборах?

Профиль предпочтений против бюллетеней

Мы не обсуждали, как именно избиратели заявляют о своих предпочтениях; мы просто исходили из того, что знаем, как каждый избиратель ранжирует кандидатов. Профиль предпочтений – это совокупность списков приоритетов всех избирателей.

Обычно избиратель отмечает в бюллетене одного кандидата, так что возможности расставить приоритеты нет. Такое оправдано, если мы руководствуемся правилом большинства: имеет значение только первый приоритет избирателя.

Иногда используют бюллетени, где можно отметить более одного кандидата. Если руководствоваться правилом первых двух приоритетов, избирателям нужно будет указать двух самых предпочитаемых кандидатов, и нет необходимости уточнять, кто из них важнее.

В этой главе мы принимаем за данность, что у каждого избирателя есть свой рейтинг кандидатов и что заполненный бюллетень дает достаточно информации для использования того или иного метода. В случае правила диктатора ни один бюллетень, кроме бюллетеня диктатора, не имеет значения, а в случае метода Борда (о нем пойдет речь дальше) необходимо знать, на какое место каждый избиратель ставит каждого кандидата.

Иными словами, мы разрабатываем такой бюллетень, который даст достаточно информации для использования выбранного нами метода.

Существует множество методов для проведения выборов, когда кандидатов более двух. Правило большинства идеально подходит в случае выборов среди двух кандидатов, но в других ситуациях кандидат может не получить больше 50 % голосов и, как показывает наш пример с ресторанами, тогда становится неясно, как принять «верное» решение.

Давайте обсудим несколько методов принятия решений и выясним, какой из них самый лучше. Будем использовать следующий профиль предпочтений:

Профиль предпочтений в случае трех кандидатов

• Правило большинства. Это наиболее распространенный метод. Мы выясняем, за какого кандидата отдано наибольшее число голосов, причем не обязательно больше половины. В вышеуказанном профиле предпочтений кандидата А выбрало наибольшее число избирателей (шесть), затем идет В (пять), на последнем месте С (два). По правилу большинства побеждает А.

• Правило первых двух приоритетов. Проблема правила большинства состоит в том, что оно не учитывает рейтинг предпочтений. Правило первых двух приоритетов основано на подсчете того, как много избирателей поставили кандидата на первое или второе место. Для вышеуказанного профиля предпочтений:

– A получил 6 + 1 = 7 голосов (шесть раз на первом месте и один раз на втором);

– В получил 5 + 4 = 9 голосов (пять раз на первом месте, четыре раза на втором);

– С получил 2 + 8 = 10 голосов (дважды на первом месте и восемь раз на втором).

Страницы: «« « ... 345678910 » »»