Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной Строгац Стивен

Как алгебра расцветала, а геометрия увядала

За столетия до появления алгебры геометрия существенно замедлила свое развитие. После смерти Архимеда в 212 году до нашей эры казалось, что никто не сравнится с ним на этом поле. Ну, почти никто. Около 250 года нашей эры китайский геометр Лю Хуэй усовершенствовал метод Архимеда для вычисления числа [146]. Спустя два столетия Цзу Чунчжи использовал метод Ли Хуэя для многоугольника с 24 576 сторонами. Совершив по тем временам героические вычислительные подвиги, он сузил границы для до восьми цифр:

3,1415926 <  < 3,1415927.

Следующий шаг потребовал еще пяти столетий и был сделан арабским мудрецом Абу Али аль-Хасаном ибн аль-Хайсамом[147], известным на Западе как Альхазен. Он родился в Басре (Ирак) примерно в 965 году и работал в Каире во время золотого века ислама[148], занимаясь всем – от теологии и философии до астрономии и медицины. В своих работах по геометрии Ибн аль-Хайсам вычислял объемы тел, которые Архимед никогда не рассматривал. Но какими бы впечатляющими ни были эти достижения, они были редкими признаками жизни для геометрии, да и ушло на них двенадцать столетий.

В течение того же длительного периода в алгебре и арифметике наблюдался быстрый и существенный прогресс. Индийские математики изобрели понятие нуля и десятичную позиционную систему счисления. В Египте, Ираке, Персии и Китае появились алгебраические методы решения уравнений. Во многом это было обусловлено практическими задачами, связанными с законами о наследстве, налогообложением, торговлей, бухгалтерией, вычислением процентов и прочими вопросами, где требовались числа и уравнения. В те времена, когда алгебра использовала словесные формулировки, решения давались в виде рецептов, пошаговых путей к ответу, как это разъяснялось в знаменитой книге Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми (около 780–850), имя которого осталось в названии пошаговых процедур – алгоритмов. Со временем купцы и исследователи принесли эту вербальную форму алгебры и индо-арабские десятичные цифры в Европу, а арабские сочинения стали переводить на латынь.

В Европе изучение алгебры как самостоятельной символьной системы стало процветать в эпоху Возрождения и достигло пика примерно в 1500 году, когда она приняла современный вид – с буквами для обозначения цифр. Во Франции в 1591 году Франсуа Виет[149] обозначал неизвестные величины гласными буквами, например А и Е, а постоянные величины – согласными, такими как B и G. (Сегодняшние обозначения неивестных x, y, z и постоянных a, b, c появились спустя полвека в работе Рене Декарта). Замена слов буквами и символами значительно упростила работу с уравнениями и поиск решений.

Не менее серьезный прогресс произошел в области арифметики, когда Симон Стевин в Голландии показал, как использовать десятичные дроби[150]. При этом он разрушил старое аристотелевское различие между числами (означавшими целое количество неделимых единиц) и величинами (непрерывными количествами, которые можно было делить до бесконечности). До Стевина индо-арабские цифры уже использовались для целых чисел, но числа меньше единицы выражались обыкновенными дробями[151]. В новом подходе Стевина даже единицу можно было разделить на части и записать с помощью десятичной записи, ставя цифры после десятичной запятой[152]. Сегодня нам это кажется само собой разумеющимся, но тогда это была революционная идея, которая способствовала появлению анализа. Как только единица перестала быть священной и неделимой, все величины – целые, дробные иррациональные – слились в единое семейство чисел на равных основаниях. В результате анализ получил бесконечно точные действительные числа, необходимые для описания пространства, времени, движения и изменений.

Незадолго до того как геометрия скооперировалась с алгеброй, прозвучало последнее «ура!» в честь геометрических методов старой школы Архимеда. В начале XVII века Кеплер нашел объем криволинейных тел (типа винных бочек и бубликов), мысленно представляя их разрезанными на бесконечно тонкие диски, в то время как Галилей и его ученики Эванджелиста Торричелли и Бонавентура Кавальери[153] аналогичным образом вычисляли площади, объемы и положения центра тяжести различных форм – представляя их состоящими из бесконечных множеств линий и поверхностей. И хотя подход этих людей к бесконечности и бесконечно малым величинам был небрежным, а их методы не отличались строгостью, тем не менее они были мощными и интуитивно понятными. Они приводили к ответам гораздо быстрее и проще, чем метод исчерпывания, так что это казалось захватывающим достижением (хотя теперь мы знаем, что Архимед их опередил; та же идея содержалась в его «Методе», который в то время еще томился незамеченным в молитвеннике в монастыре).

В любом случае, хотя прогресс новых последователей Архимеда в то время выглядел многообещающе, такому продолжению старого подхода не суждено было добиться успеха. Там, где было действие, появилась алгебра символов. А вместе с ней наконец были посеяны семена ее самых мощных ответвлений – аналитической геометрии и дифференциального исчисления.

Встреча алгебры с геометрией

Первый прорыв произошел примерно в 1630 году, когда два французских математика (вскоре ставшие соперниками) Пьер де Ферма и Рене Декарт независимо друг от друга связали алгебру и геометрию. Их работа привела к новой области математики – аналитической геометрии, действие в которой развивалось на координатной плоскости – арене, где уравнения оживали и принимали различные формы.

Сегодня мы используем координатную плоскость для построения графиков зависимости между переменными. Например, рассмотрим зависимость количества калорий от моих порой позорных привычек в еде. Иногда я позволяю себе пару кусочков хлеба с корицей и изюмом на завтрак. На упаковке написано, что каждый ломтик содержит колоссальные 200 калорий[154]. (Если бы я хотел есть более здоровую пищу, то мог бы довольствоваться зерновым хлебом, который покупает жена, в нем всего 130 калорий, но в нашем примере я предпочитаю хлеб с корицей и изюмом, потому что 200 – более удобное число с математической точки зрения, пусть и худшее в смысле калорийности, чем 130.)

Вот график числа калорий, которые я получаю вместе с одним, двумя или тремя ломтиками хлеба.

Поскольку в каждом кусочке 200 калорий, то в двух кусках их будет 400, а в трех – 600. Если нанести эти три точки на график, все они окажутся на прямой линии, то есть у нас получается линейная зависимость между числом съеденных кусков и количеством калорий. Если мы обозначим буквой x число кусков, а буквой y – число употребленных калорий, то линейную зависимость можно записать в виде y = 200x. Эту формулу можно использовать для любого количества хлеба. Например, полтора ломтика дадут 300 калорий, и соответствующая точка будет лежать на той же построенной прямой. Поэтому имеет смысл соединять все точки на таких графиках.

Я понимаю, что все это может показаться очевидным, но тем не менее хотел подчеркнуть, что в прошлом это было очевидно не всегда – ведь кто-то же должен был придумать изображать зависимость на такой абстрактной диаграмме. Это не всегда очевидно и сегодня, по крайней мере для детей при их первом знакомстве с подобными графиками.

Здесь есть определенный творческий подход. Прежде всего представление употребления пищи в виде картинки. Это требует гибкости ума. В калориях нет ничего графического. На графике нет реалистичного изображения изюминок и завитков корицы, вложенных в хлеб. Наш график – абстракция, но он дает возможность взаимодействовать различным областям математики: области чисел, таких как число калорий и ломтиков хлеба, области отношений вроде y = 200x и области форм, где есть две перпендикулярные оси, а точки лежат на прямой линии. Благодаря этому слиянию идей скромная диаграмма сочетает числа, зависимости и формы, позволяя объединять арифметику, алгебру и геометрию. Различные ветви математики столетиями работали по отдельности, а теперь слились воедино. (Вспомните, что древние греки ставили геометрию выше арифметики и алгебры и не позволяли им смешиваться, по крайней мере не часто.)

Еще одно слияние относится к горизонтальной и вертикальной осям. Их часто называют осью x и осью y – по переменным, которыми мы их обычно обозначаем. Эти оси – числовые прямые. Подумайте об этом термине: числовые прямые. Числа представлены в виде точек на какой-то прямой. Арифметика соединена с геометрией, причем еще до того, как мы наносим какие-то данные!

Древние греки просто бы истошно орали при таком нарушении протокола. Для них числа означали исключительно дискретные количества, например целые числа и дроби. Напротив, непрерывные количества, такие как длина какой-нибудь линии, считались величинами – принципиально другими сущностями, отличными от чисел. Таким образом, почти два тысячелетия от Архимеда до начала XVII века числа не рассматривались как эквивалент континуума точек на прямой. В этом смысле идея числовой прямой была радикальным нарушением. Сегодня мы даже не задумываемся об этом и ждем, что ученики начальной школы поймут, что числа могут быть наглядно представлены таким образом.

С точки зрения древних греков здесь имеется еще одно богохульство – график полностью пренебрегает сравнением подобного с подобным, скажем яблок с яблоками или калорий с калориями. Вместо этого он показывает ломтики хлеба на одной оси и калории на другой. Их нельзя сравнивать напрямую, и тем не менее мы, не моргнув глазом, делаем это с помощью графиков. Мы просто преобразуем калории и ломтики в числа, означающие действительные числа, бесконечные десятичные дроби, универсальную валюту современной математики. Греки проводили четкие различия между длинами, площадями и объемами, но для нас это просто действительные числа.

Уравнения как кривые

Безусловно, Ферма и Декарт никогда не использовали координатную плоскость для изучения таких осязаемых вещей, как хлеб с корицей и изюмом. Для них она была инструментом изучения чистой геометрии.

Работая независимо друг от друга, каждый из них заметил, что любое линейное уравнение (то есть уравнение, где переменные x и y появляются только в первой степени) дает прямую линию на координатной плоскости. Такая связь между линейными уравнениями и прямыми предполагала возможную связь между нелинейными уравнениями и кривыми. В линейное уравнение вроде y = 200x переменные x и y входят в первой степени, а не возводятся во вторую, третью и любую более высокую степень. Ферма и Декарт поняли, что в ту же игру можно играть с другими степенями и уравнениями. Они могли бы составить любое уравнение, какое пожелают, сделать с x и y все что угодно – возвести одну переменную в квадрат, а другую в куб, перемножить их, сложить, да все что заблагорассудится, – а затем интерпретировать результат как кривую. С определенным везением она может оказаться интересной, возможно, даже такой, которую никто никогда не представлял, а Архимед никогда не изучал. Любое уравнение с x и y становилось новым приключением. Одновременно изменялась точка зрения: вместо того чтобы смотреть на кривую, вы начинали с уравнения и смотрели, какого рода кривую оно дает. Пересадите геометрию на заднее сиденье и дайте управлять алгебре.

Ферма и Декарт начали с рассмотрения квадратных уравнений. В них, кроме констант (например, 200) или линейных членов x и x², должны быть переменные во второй степени, то есть квадратичные члены, такие как y, xy или y². Возведение в квадрат традиционно интерпретировалось как поиск площади, то есть x² означало площадь квадрата со стороной x. В древности площадь считалась величиной, принципиально отличной от длины или объема. Однако для Ферма и Декарта x² было всего лишь еще одним действительным числом; это означало, что его можно отобразить на числовой прямой – ровно так же, как x, x³ или любую иную степень x.

Сегодня предполагается, что даже школьники умеют строить графики уравнений наподобие y = x², и соответствующая кривая оказывается параболой. Примечательно, что все уравнения, содержащие квадратичные члены по x и y, но не включающие члены более высоких степеней, дают кривые только четырех возможных типов: параболы, эллипсы, гиперболы и окружности. Это все. (Если не считать некоторых вырожденных случаев, когда появляются прямые, точки или графика нет вообще, но эти редкие странности мы можем смело игнорировать.) Например, квадратное уравнение xy = 1 дает гиперболу, x² + y² = 4 – окружность, а x² + 2y² = 4 – эллипс. Даже такая страшная на вид зависимость, как x² + 2xy + 2y² + x + 3y = 2 должна быть одним из четырех вышеуказанных вариантов. Оказывается, это парабола.

Ферма и Декарт первыми обнаружили это замечательное соответствие: квадратные уравнения относительно x и y представляют собой алгебраические аналоги конических сечений греков – четырех видов кривых, получающихся при сечении конуса под различными углами. Здесь, на новой арене Ферма и Декарта, вновь, подобно призракам из тумана, вынырнули классические кривые.

Вместе лучше

Новообретенная связь между алгеброй и геометрией оказалась благом для обеих областей. Каждая могла помочь компенсировать недостатки другой. Геометрия обращалась к правому полушарию мозга. Она была интуитивно понятной и наглядной, а истинность утверждений часто была видна с первого взгляда. Однако она требовала определенной изобретательности. В случае геометрии нередко не было ни единого намека, с чего начинать доказательство. Для этого требовались гениальные идеи.

Алгебра же была систематической. С уравнениями можно было разбираться спокойно, почти бездумно: вы могли добавить по одинаковой величине к их обеим частям, сократить слагаемые, выразить относительно неизвестной величины и выполнить дюжину других процедур и алгоритмов по стандартным рецептам. Алгебраические процессы могут успокаивать, как вязание. Но при этом алгебра страдала от пустоты. Ее символы были пусты. Они ничего не означали, пока им не придавали какое-то значение. Нечего было представлять наглядно. Алгебра была левополушарной и механической.

Однако вместе алгебра и геометрия были неудержимы. Алгебра дала геометрии систему. Вместо изобретательности теперь требовалось упорство. Она превращала сложные вопросы, нуждающиеся в понимании, в простые, хотя и трудоемкие вычисления. Использование символов освободило разум и сэкономило время и энергию.

Со своей стороны, геометрия придала алгебре смысл. Уравнения перестали быть бесплодными; теперь они воплощали извилистые геометрические формы. Как только уравнения стали рассматривать с точки зрения геометрии, появился целый новый континент кривых и поверхностей. Пышные джунгли геометрической флоры и фауны ждали, когда их обнаружат, каталогизируют, классифицируют и анатомируют.

Ферма против Декарта

Любой изучающий математику и физику обязательно столкнется с именами Ферма и Декарта. Однако никто из моих учителей или учебников не рассказывал об их соперничестве и о том, насколько злобным мог быть Декарт. Чтобы понять, что стояло на кону в их сражениях, вам нужно больше узнать об их жизни и амбициозных целях.

Рене Декарт (1596–1650)[155] был одним из самых амбициозных мыслителей всех времен. Дерзкий, интеллектуально бесстрашный и презирающий авторитеты, с раздутым эго, не уступавшим по масштабам его гению. Например, о греческом подходе к геометрии, который почитали все математики в течение двух тысяч лет, он пренебрежительно писал: «То, чему нас учили древние, настолько скудно и по большей части настолько ненадежно, что единственный подход к истине, на который я могу надеяться, – отказаться от всех путей, которыми они следовали»[156]. Что касается личных качеств, то он мог быть подозрительным и обидчивым. На самом известном его портрете изображен человек с изможденным лицом, надменными глазами и ехидными усиками. Очень похож на мультяшного злодея.

Декарт намеревался построить человеческое знание на фундаменте разума, науки и скептицизма. Больше всего он известен своими философскими работами, которые увековечила знаменитая фраза Cogito ergo sum («Мыслю, следовательно, существую»). Другими словами, когда все находится под сомнением, несомненно как минимум одно: сомневающийся ум существует. Его аналитический подход, который, похоже, был вдохновлен строгой логикой математики, сегодня принято рассматривать как начало современной философии. В своей самой знаменитой книге «Рассуждение о методе» Декарт ввел новый бодрящий стиль размышления о философских проблемах, а также включил три приложения, представляющие интерес сами по себе: одно посвящено геометрии, в нем он представил свой подход к аналитической геометрии; второе – оптике, что имело большую важность в эпоху, когда телескопы, микроскопы и линзы были новейшими технологиями; а третье – погоде, и о нем почти забыли, за исключением правильного объяснения природы радуги. Его обширного интеллекта хватало на все. Он рассматривал живое тело как систему механических устройств и помещал душу в эпифиз (шишковидное тело мозга). Он предложил грандиозную (но неверную) систему мира, согласно которой невидимые вихри пронизывали все пространство, а планеты носились, как листья в водовороте.

Декарт родился в состоятельной семье. В детстве он был болезненным ребенком, и ему разрешали оставаться в кровати и размышлять, сколько захочется, – привычка, которую он сохранил на всю жизнь, никогда не вставая до полудня. Мать умерла, когда ему исполнился всего год, но, к счастью, оставила ему значительное наследство, что позволило ему в дальнейшем вести праздную жизнь, полную приключений. Он нанялся в голландскую армию, но никогда не видел сражений[157], и у него было достаточно времени для занятий философией. В Голландии он провел большую часть жизни, развивая свои идеи, общаясь и споря с другими великими мыслителями. В 1650 году он с неохотой перебрался в Швецию (которую презирал как «страну медведей, скал и льдин»[158]), согласившись стать наставником шведской королевы Кристины. К несчастью для Декарта, энергичная молодая королева вставала рано и настояла, чтобы занятия начинались в пять часов утра – безумное время для кого угодно, а тем более для Декарта, привыкшего подниматься в полдень. Та зима в Стокгольме выдалась самой холодной за последние десятилетия. Через несколько недель Декарт подхватил пневмонию и умер.

Пьер де Ферма (1601–1665)[159] был на пять лет моложе Декарта и вел спокойную размеренную жизнь представителя верхушки среднего класса. Днем он был юристом и провинциальным судьей в Тулузе, расположенной вдали от парижской суеты, а ночью – мужем и отцом. Придя с работы, он ужинал с женой и пятью детьми, а затем на несколько часов отдавался своей единственной истинной страсти – математике. В то время как Декарт был крупным мыслителем с колоссальными амбициями, Ферма был скромным, тихим, уравновешенным и наивным. Его цели были куда скромнее, чем у Декарта. Он не считал себя философом или ученым. Ему хватало математики. Он занимался ею как любитель, вкладывая душу. Ферма не видел необходимости публиковать свои результаты и не занимался этим. Он делал для себя небольшие заметки в книгах, которые читал, – в классических греческих трудах Диофанта и Архимеда, и время от времени отправлял свои идеи тем ученым, которые, по его мнению, могли бы их оценить. Он никогда не уезжал далеко от Тулузы и не встречался с крупными математиками своего времени, но переписывался с ними через Марена Мерсенна – францисканского монаха, математика и координатора научной жизни того времени.

Именно через Мерсенна и сцепились Ферма с Декартом[160]. Среди математиков живший в Париже Мерсенн был непререкаемым авторитетом. Во времена, предшествовавшие интернету, он связывал людей, ведя обширнейшую переписку. Однако ему в какой-то степени не хватало такта и осмотрительности. У него был талант разжигать конфликты: например, Мерсенн показывал полученные им личные письма и раскрывал конфиденциальные рукописи до их публикации. Вокруг него сложился круг математиков – не совсем, конечно, уровня Ферма или Декарта, но тем не менее достаточно сильных, которые, по-видимому, имели зуб на Декарта. Они всегда насмехались над ним и его грандиозным «Рассуждением о методе».

Поэтому, когда Декарт услышал через Мерсенна, что некий тип в Тулузе – какой-то любитель по имени Ферма – утверждает, что разработал метод аналитической геометрии на десять лет раньше него и что тот же самый любитель (да кто он вообще такой?!) поставил под сомнение его теорию оптики, ученый счел, что ему в очередной раз строят козни. В последующие годы он яростно сражался с Ферма и пытался погубить его репутацию[161]. В конце концов, Декарту было что терять. В «Рассуждении» он утверждал, что его аналитический метод – единственный истинный путь к знанию. И если Ферма мог превзойти его, даже не пользуясь его методом, то весь его проект оказывался под угрозой.

Декарт безжалостно чернил Ферма и в какой-то степени в этом преуспел. Работы Ферма до 1679 года никогда должным образом не публиковались. Его результаты распространялись устно или через письма, но по-настоящему были оценены только спустя долгое время после смерти. Сам Декарт добился успеха. Его «Рассуждение» стало знаменитым, и следующее поколение изучало аналитическую геометрию по нему. Даже сегодня школьники знают о декартовых координатах, хотя первым их придумал Ферма[162].

Поиск анализа, давно утерянного метода открытий

Споры между Ферма и Декартом велись в течение первой половины XVII века, когда математики мечтали найти метод анализа для геометрии[163]. Здесь слово «анализ» (как и в аналитической геометрии) следует понимать в архаическом смысле – как средство получения результатов, а не их доказательства. В то время было широко распространено подозрение, что древние располагали таким методом открытий, но намеренно скрывали его. Декарт, например, утверждал, что древние греки «обладали знаниями видов математики, весьма отличных от тех, что распространены в наше время… но я считаю, что эти авторы потом с каким-то низким коварством, поистине неблаговидным, скрыли это знание»[164].

Казалось, что символьная алгебра могла быть таким утраченным методом. Однако в более консервативных кругах она натолкнулась на реакционный скептицизм. Когда поколение спустя Ньютон сказал: «Алгебра – это анализ для неумех в математике»[165], это было тонко завуалированное оскорбление Декарта, яркого примера «неумех», опирающихся на алгебру как на костыль при решении задач.

При такой атаке Ньютон придерживался традиционного различия между анализом и синтезом. При анализе человек решает задачу с конца, как будто ответ уже получен, а затем возвращается к началу в надежде найти путь к сделанным предположениям. Примерно так действуют школьники, когда, отталкиваясь от ответа, пытаются выяснить, как к нему добраться.

Синтез же идет другим путем. Он начинается с данных, а затем вы, шагая в темноте, пробуя разные варианты, каким-то способом шаг за шагом логически продвигаетесь к решению и в итоге получаете желаемый результат. Как правило, синтез намного сложнее анализа, поскольку вы никогда не знаете, как собираетесь добраться до решения, пока этого не сделаете.

Древние греки считали синтез более логичной и убедительной силой, нежели анализ. Они рассматривали синтез как единственный действенный способ доказать результат; анализ же был практическим способом найти результат. Если вам требовалось строгое доказательство, вы должны были использовать синтез. Вот почему Архимед применял свой аналитический метод уравновешивания форм на качелях для поиска теорем, но затем переключался на синтетический метод исчерпывания, чтобы доказать их.

И хотя Ньютон смотрел на алгебраический анализ свысока, тем не менее в главе 7 мы увидим, что он использовал его с грандиозной эффективностью. Однако не Ньютон был его первым мастером, а Ферма. Изучать образ мышления Ферма очень интересно, потому что он элегантен и доступен, но в то же время чужд и удивителен. Его методы изучения кривых больше не применяются, поскольку в современных учебниках их вытеснили более совершенные способы.

Оптимизация багажной полки

Зачаточная версия дифференциального исчисления Ферма выросла из применения его алгебраических методов к задачам оптимизации[166]. Оптимизация – это изучение способов сделать что-то наилучшим образом. В зависимости от контекста наилучший может означать быстрейший, наибольший, самый дешевый, самый выгодный, наиболее эффективный или какое-то иное понятие оптимальности. Чтобы проиллюстрировать свои идеи самым простым способом, Ферма придумал несколько задач, очень похожих на те упражнения, которые мы, преподаватели математики, до сих пор задаем нашим ученикам. Так что они могут винить напрямую его.

Одна из этих задач, приспособленная к современным реалиям, выглядит примерно так. Представьте, что вы хотите сделать коробку, в которой помещается как можно больше вещей, при соблюдении двух ограничений. Во-первых, коробка должна быть квадратной в сечении, то есть ее ширина и длина должны быть по x сантиметров. Во-вторых, она должна помещаться на верхней багажной полке определенной авиакомпании. Согласно ее правилам перевозки багажа, сумма трех измерений любого предмета багажа (в нашем случае – сумма ширины, длины и высоты коробки) не должна превышать 45 дюймов. Какой выбор параметра x даст коробку наибольшего объема?

Один из способов решить задачу – использовать здравый смысл. Попробуйте несколько вариантов. Скажем, пусть длина и ширина коробки будут по 10 дюймов. Тогда на высоту останется 25 дюймов, потому что 10 + 10 + 25 = 45. Объем коробки с такими размерами составит 10  10  25 = 2500 кубических дюймов. Но, может быть, коробка кубической формы будет лучше? Поскольку у куба длина, ширина и высота одинаковы, то коробка должна иметь размеры 15  15  15 дюймов, что даст объем 3375 кубических дюймов. Если вы повозитесь еще с некоторыми другими размерами, то придете к выводу, что именно куб – оптимальный выбор для формы коробки. И это действительно так.

Эта задача сама по себе не сложная, но она позволяет показать, как именно Ферма рассуждал в ходе ее решения, так как его подход привел к значительно более серьезным вещам.

Как и в большинстве алгебраических задач, первым делом следует перевести всю имеющуюся информацию в символы. Поскольку длина и ширина коробки равны x, то их сумма составит 2x. А учитывая, что высота плюс ширина плюс длина не могут превышать 45 дюймов[167], на высоту остается 45 – 2x дюймов. Таким образом, объем коробки равен x  x  (45 – 2x) кубических дюймов. В результате умножения получаем 45x² – 2x³. Это и есть объем коробки. Обозначим его V(x). Итак,

V(x) = 45x² – 2x³.

Если мы сейчас на мгновение сжульничаем и с помощью компьютера построим график, отложив x по горизонтали, а V по вертикали, то увидим, как кривая возрастает и достигает максимума при x = 15 дюймов, как и ожидалось, а потом снова спускается к нулю.

Широко используемый сегодня альтернативный способ найти это максимальное значение с помощью дифференциального исчисления – вычислить производную функции V(x) и приравнять ее к нулю. В верхней точке кривой угол наклона равен нулю: кривая тут не поднимается и не опускается. Поэтому, если определять наклон через производную (как мы увидим в главе 6), то в точке максимума она должна быть равна 0. Немного алгебры и применения различных правил для производных – и мы получим для точки максимума то же самое значение x = 30.

Однако у Ферма не было компьютеров и графопостроителей, и, конечно же, он не оперировал понятием производной; наоборот, выдвинутые им идеи и привели к производным! Так как же он решал эту задачу? Он использовал особое свойство максимума: горизонтальная линия ниже максимума пересекает кривую в двух точках, как показано ниже, в то время как горизонтальные линии выше максимума вообще не пересекают кривую.

Это подсказывало интуитивную стратегию решения задачи. Представьте, что вы медленно поднимаете горизонтальную линию, начиная ниже максимума. По мере ее постепенного перемещения вверх две точки пересечения с кривой двигаются по ней навстречу друг другу, словно бусины в ожерелье.

В максимуме эти две точки сливаются. Наблюдение за их слиянием и позволило Ферма определить максимум. Он вывел условие, при котором две точки сливаются в одну, образуя так называемое двойное пересечение. С такой идеей все остальное – чистая алгебра, простое манипулирование символами. Это выглядит так.

Предположим, что наши два пересечения происходят в точках x = a и x = b. Тогда, поскольку по построению точки пересечения находятся на одной горизонтальной линии, должно быть справедливо V(a) = V(b). Следовательно,

45a² – 2a³ = 45b² – 2b³.

Теперь полезно перегруппировать слагаемые. Перенесем квадраты в одну часть, а кубы в другую и получим

45a² – 45b² = 2a³ – 2b³.

Вспомнив школьную алгебру, разложим обе части на множители и получим

45(a – b)(a + b) = 2(a – b)(a² + ab + b²).

Разделим обе части на общий множитель a – b. Это корректное действие, поскольку предполагается, что a и b различны (если бы они были одинаковыми, то деление на a – b означало бы деление на 0, что запрещено, как мы говорили в главе 1). В результате получим уравнение

45(a + b) = 2(a² + ab + b²).

А теперь напрягитесь, чтобы разобраться в несколько смущающем логическом выводе. Ферма только что предполагал, что a и b не равны, но тем не менее утверждает, что выведенное уравнение останется верным, когда a и b станут равными – при слиянии в максимуме. Он пытается оправдать это соображение, прибегая к туманному понятию «квазиравенства»[168] («приближенного равенства», adaequalitas). Оно выражает идею, что a и b в точке максимума становятся в определенном смысле равными, но равными не по-настоящему (сегодня мы бы это сформулировали с помощью понятия предела или бесконечной близости). В любом случае он принимает a b, где знак означает приближенное равенство, а затем бесцеремонно подставляет a вместо b в вышеуказанное уравнение и получает

45(2a) = 2(a² + a² + a²).

Это уравнение упрощается до 90a = 6a², откуда получаются два решения: a = 0 и a = 15. Первое, a = 0, дает коробку минимального объема с нулевой длиной и шириной, а значит и объем ее равен 0. Второе, a = 15, дает коробку максимального объема – как раз тот ответ, который мы и ожидали: оптимальная ширина и длина составляют по 15 дюймов.

С современной точки зрения рассуждения Ферма кажутся странными. Он находит максимум, не прибегая к производным. Сегодня, прежде чем решать задачи на оптимизацию, мы изучаем производные; Ферма поступал наоборот. Но это не имеет значения. Его идеи эквивалентны нашим.

Как Ферма помог ФБР

Наследие первых работ Ферма по оптимизации окружает нас повсюду. Наша нынешняя жизнь зависит от алгоритмов, которые решают задачи оптимизации с помощью условий, выражаемых производными. Современные задачи, как правило, намного сложнее, чем у французского математика, но дух остается тем же.

Одно важное применение касается больших массивов данных, когда их полезно кодировать как можно компактнее. Например, в базе ФБР миллионы отпечатков пальце. Для их хранения, поиска и эффективного извлечения эта организация использует методы сжатия данных, основанные на анализе. Умные алгоритмы уменьшают размеры файлов с оцифрованными отпечатками без ущерба для важных деталей. То же самое верно при хранении нами на телефоне музыки или изображений. Вместо того чтобы сохранять каждую ноту и каждый пиксель, алгоритмы сжатия, используемые в форматах MP3 и JPEG[169], экономят место за счет преобразования информации в более эффективную форму. Они также позволяют нам быстро загружать песни и фотографии и отправлять их нашим близким, не слишком забивая их почтовые ящики.

Чтобы понять, какое отношение анализ и оптимизация имеют к сжатию данных, давайте рассмотрим статистическую задачу подбора какой-либо кривой, наилучшим образом соответствующей определенным данным, – задачу, которая возникает повсюду, от климатологии до бизнес-прогнозирования. Изучим данные, показывающие, как изменяется продолжительность дня в зависимости от времени года[170]. Как мы знаем, летом дни длиннее, а зимой короче, но как выглядит общая закономерность? На приведенном ниже графике я отобразил сведения для Нью-Йорка за 2018 год, отложив по горизонтальной оси время от 1 января слева до 31 декабря справа. Вертикальная ось показывает количество минут между рассветом и закатом в разное время года. Чтобы не загромождать картинку, я показал только точки для 27 дней – через каждые две недели, начиная с 1 января.

.

График показывает, что, как и ожидалось, в течение года продолжительность дня увеличивается и уменьшается. Самые длинные дни приходятся на период летнего солнцестояния (21 июня, что соответствует пику около 172-го дня примерно в середине графика), а самые короткие – зимнего солнцестояния, через полгода. В целом же картина напоминает некую плавную волну.

На уроках тригонометрии в школе учителя рассказывают об определенном виде такой кривой – синусоиде. Чуть позже я вам тоже более подробно объясню, что такое синусоида и почему она важна для анализа. А пока нам нужно знать, что синусоида связана с круговым движением. Чтобы увидеть связь, представьте себе точку, которая движется по окружности с постоянной скоростью. Если мы будем следить за ее положением на вертикали, рассматривая его как функцию от времени, то получится синусоида.

Поскольку окружности тесно связаны с циклами, синусоиды появляются везде, где есть циклические явления, – от смены времен года до колебаний камертона и частоты переменного тока в 50 Гц (герц), используемого в лампах и электрических сетях. Раздражающее гудение различных бытовых приборов, как правило, представляет собой звук с частотой 50 Гц (1 Гц = 1 колебание в секунду). Это надежный признак переменного тока, вырабатываемого электрогенераторами, крутящимися с такой частотой. Там, где есть круговое движение, есть и синусоиды.

Любая синусоида полностью определяется четырьмя основными характеристиками: периодом, средним значением, амплитудой и фазой.

Эти четыре параметра истолковываются просто. Период T указывает, сколько времени требуется волне для прохождения одного полного цикла. Для рассматриваемых данных по продолжительности светового дня T составляет 365,25 дня (именно эта лишняя четверть дня – причина, по которой раз в четыре года нужен високосный год, чтобы поддерживать синхронизацию календаря с природными циклами). Среднее значение синусоиды b – это ее сдвиг по вертикали. Для нашего примера это типичное количество минут в световом дне в Нью-Йорке, усредненное по всем дням 2018 года. Амплитуда a волны говорит нам, сколько дополнительных минут света приходится на самый длинный день года по сравнению со средним днем. Наконец, фаза волны c сообщает день, когда волна на пути вверх пересекает свое среднее значение: это происходит около дня весеннего равноденствия.

Эти четыре параметра – a, b, c, T – можно представлять как четыре рукоятки, которые позволяют регулировать форму и положение синусоиды. Они действуют так: b-рукоятка перемещает синусоиду вверх и вниз; c-рукоятка двигает ее влево и вправо; T-рукоятка контролирует, как быстро волна колеблется, сжимая и растягивая ее по горизонтальной оси; и, наконец, a-рукоятка определяет, насколько сильный размах у колебаний.

Если бы мы могли каким-то образом настроить эти рукоятки так, чтобы синусоида проходила через все нарисованные нами ранее точки, то это позволило бы существенно сжать информацию и означало бы, что вместо 27 значений мы бы обошлись всего четырьмя параметрами такой подобранной синусоиды, то есть сжали бы данные в 27/4 = 6,75 раза. В реальности же, поскольку у нас один из параметров – год, по сути, мы можем играть всего с тремя параметрами, что дает нам сжатие в 27/3 = 9 раз. Такое уменьшение возможно, потому что наши данные не случайны. Они подчинены некоторой закономерности, а синусоида воплощает ее и делает за нас всю работу.

Единственная загвоздка – отсутствие синусоиды, которая бы идеально проходила через все точки. Этого следует ожидать при подгонке к реальным данным идеализированной модели: определенные расхождения неизбежны, но всегда есть надежда, что они окажутся незначительными. Для их минимизации требуется найти синусоиду, которая максимально близко подходит к нашим точкам. Вот тут-то в игру и вступает анализ.

На рисунке ниже показана наилучшая синусоида, определяемая алгоритмом оптимизации, который я объясню чуть ниже.

Но сначала обратите внимание, что результирующая кривая подходит не идеально. Например, она недостаточно низка в декабре, когда дни очень короткие и данные попадают ниже кривой. Тем не менее простая синусоида, безусловно, отражает суть происходящего. В зависимости от наших целей такое качество приближения может оказаться достаточным.

Но при чем тут анализ? Он помогает оптимально выбрать четыре параметра. Представьте, что вы поворачиваете эти четыре рукоятки, добиваясь наилучшей настройки, – нечто вроде поворота ручек на радиоприемнике для получения самого сильного сигнала. Фактически это то, что делал Ферма в задаче с багажной полкой, когда искал параметры самой вместительной коробки. Он менял единственный параметр x, длину боковой стороны коробки, и искал сигнал о максимальном объеме коробки. В нашем же случае требуется настроить четыре параметра. Однако основная идея та же. Мы должны добиться сигнала оптимальности, меняя четыре параметра.

Если подробнее, то работает это так. Мы вычисляем погрешность (иными словами, ошибку) для любого конкретного набора значений для четырех параметров, то есть разницу между соответствующей синусоидой и реальными данными во всех 27 точках года. Естественный критерий при выборе наилучшей кривой – чтобы общая ошибка по всем 27 точкам была настолько мала, насколько это возможно. Однако при этом общая ошибка – не самая удачная вещь, потому что нам не нужно, чтобы отрицательные ошибки компенсировали положительные и в результате складывалось ложное впечатление, что кривая подходит хорошо, хотя в реальности это не так. Отклонения вниз так же плохи, как и вверх, и от обоих нужно избавляться; нельзя допускать, чтобы они компенсировали друг друга. По этой причине математики рассматривают не ошибки, а квадраты ошибок. Такая мера отклонения будет всегда неотрицательной, и отклонения в разных точках не смогут при сложении аннулировать друг друга. (Это один из примеров практической пользы правила, что отрицательное число, умноженное на отрицательное, будет положительным. Квадрат отрицательной ошибки дает положительную меру погрешности, как нам и нужно.) Итак, основная идея при подборе четырех параметров синусоиды – минимизировать общую квадратичную ошибку для кривой. Этот подход называется методом наименьших квадратов и работает лучше всего, когда данные подчинены какой-то закономерности, как в нашем случае.

Все это приводит к крайне важному общему выводу: именно закономерности в первую очередь и обеспечивают сжатие. Сжать можно только данные, следующие какому-то шаблону. Со случайными данными это не получится. К счастью, многие вещи, которые интересны людям – отпечатки пальцев, песни и лица, – хорошо структурированы и обладают закономерностями. Подобно тому как продолжительность дня следует простой синусоиде, фотография лица включает брови, дефекты кожи, скулы и прочие характерные признаки. В песнях есть мелодия, гармония, ритмы и динамика. В отпечатках имеются гребни, петли и завитки. Будучи людьми, мы мгновенно распознаем эти закономерности. Компьютеры тоже можно научить их распознавать. Синусоиды идеально подходят для отображения периодических закономерностей, но менее пригодны для представления более резко локализованных особенностей, таких как края ноздрей или родинок.

Для этой цели исследователи, работающие в различных областях, придумали кривые, которые называются вейвлетами[171]. Эти маленькие волны более локализованы, чем синусоиды. Они не распространяются в обоих направлениях, а сильно сконцентрированы во времени и пространстве.

Вейвлеты внезапно появляются, несколько раз колеблются, а затем исчезают. Они похожи на сигналы кардиомониторов или всплески активности, регистрируемые сейсмографами при землетрясениях. Они идеально подходят для изображения резкого всплеска при регистрации мозговых волн, толстого мазка на картине Ван Гога или морщины на лице.

ФБР использовало вейвлеты[172] для преобразования файлов с отпечатками пальцев. Со времени внедрения практики применения отпечатков в начале XX века они хранились в виде чернильных оттисков на бумажных носителях. К середине 1990-х фонды разрослись примерно до двух миллионов карточек и занимали почти половину гектара офисных площадей. Когда ФБР решило оцифровать эти досье, специалисты превратили их в полутоновые изображения с 256 уровнями серого цвета и разрешением в 500 точек на дюйм, вполне достаточным для улавливания всех мелких завитков, петель, краев гребней, разветвлений и прочих идентифицирующих деталей.

Проблема, однако, заключалась в том, что в то время на одной оцифрованной карте содержалось примерно 10 мегабайт данных, что делало невозможной быструю отправку таких файлов местным полицейским участкам. Не забывайте, что это происходило в середине 1990-х, когда самыми передовыми технологиями были модемы и факсы, а передача 10-мегабайтного файла занимала часы. К тому же обмениваться такими файлами, когда в качестве носителей чаще всего применялись дискеты на 1,5 мегабайта, достаточно трудно. Растущие требования по ускорению обработки ежедневно появляющихся тридцати тысяч новых карт с отпечатками и запросов о срочных проверках привели к острой необходимости модернизации системы. ФБР нуждалось в способе сжать файлы без искажений.

Вейвлеты идеально подходили для такой работы. Представляя отпечатки в виде комбинаций множества вейвлетов и оптимально регулируя соответствующие ручки с помощью анализа, математики из Лос-Аламосской национальной лаборатории помогли ФБР[173] уменьшить файлы больше чем в двадцать раз. Это была революция в криминалистике. Благодаря идеям Ферма в современной форме (в сочетании с еще большей ролью вейвлет-анализа, информатики и обработки сигналов) 10-мегабайтный файл можно было сжать всего лишь до 500 килобайт, то есть до размера, вполне пригодного для отправки по телефонным линиям. И это можно было сделать, не жертвуя достоверностью. Эксперты-дактилоскописты высказали свое одобрение. То же самое сделали и компьютеры: сжатые файлы триумфально прошли через автоматическую систему идентификации ФБР. Это были хорошие новости для анализа и плохие – для преступников.

Принцип наименьшего времени

Интересно, что бы подумал Ферма о таком использовании своих идей? Он никогда особо не интересовался прикладной математикой. Ему нравилось заниматься наукой из любви к ней. Тем не менее он внес в прикладную математику один вклад непреходящей важности: первым вывел закон природы из более глубокого закона, используя анализ в качестве логического двигателя. Точно так же как Максвелл сделает с электричеством и магнетизмом два столетия спустя, Ферма перевел гипотетический закон природы на язык анализа, запустил двигатель, ввел в него один закон и получил на выходе другой как следствие первого. Сделав это, Ферма, бессистемный ученый, положил начало стилю рассуждений, который с тех пор доминирует в теоретической науке.

История началась в 1637 году, когда группа парижских математиков заинтересовалась мнением Ферма о последнем трактате Декарта, посвященном оптике. Декарт придерживался определенной теории о том, как изгибается луч света при попадании из воздуха в воду или из воздуха в стекло (эффект, известный как преломление).

Любой, кто когда-нибудь играл с увеличительным стеклом, знает, что свет можно фокусировать, а направление луча – менять. В детстве мне нравилось поджигать листья на дорожке с помощью лупы: я поднимал и опускал ее, пока солнечные лучи не фокусировались в белое пятно большой яркости, из-за чего листья тлели и в итоге загорались. Менее зрелищным образом преломление используется в очках. Линзы в очках фокусируют лучи света так, чтобы они оказывались в нужном месте сетчатки – для исправления дефектов зрения.

Отклонение луча также объясняет иллюзию, которую вы, возможно, наблюдали у плавательного бассейна в солнечный день. Предположим, что на дне бассейна находится некий блестящий предмет, скажем ювелирное украшение.

Вы смотрите на предмет через воду, но он оказывается совсем не там, где кажется, поскольку отраженные от него солнечные лучи преломляются на обратном пути из бассейна, переходя из воды в воздух. По той же причине рыбак, охотящийся на рыбу с острогой, должен целиться ниже ее видимого положения, чтобы попасть в нее.

Такие феномены преломления подчиняются простому правилу. Когда луч света переходит из менее плотной среды (например, воздуха) в более плотную (воду или стекло), он меняет направление в сторону перпендикуляра между двумя средами. А при переходе из более плотной среды в менее плотную луч отклоняется от этого перпендикуляра, как показано на рисунке.

В 1621 году голландский ученый Виллеброрд Снелл уточнил это правило и выразил его количественно, проведя простой эксперимент. Меняя угол a входящего луча и наблюдая, как в результате меняется угол b выходящего луча, он обнаружил, что отношение sin a / sin b для конкретной пары сред всегда остается постоянным. (Здесь sin обозначает синус – ту самую тригонометрическую функцию, волнистый график которой мы рассматривали при изучении продолжительности дня.)

Однако Снелл обнаружил, что значение sin a / sin b зависит от материала двух сред. Воздух и вода давали одно постоянное соотношение, тогда как воздух и стекло – другое. Он понятия не имел, почему работает этот закон синусов. Он просто работал. Это был просто голый факт о свете.

Декарт повторно открыл закон синусов Снелла[174] и опубликовал его в своем труде 1637 года «Диоптрика», не подозревая, что как минимум три человека уже установили его раньше: Снелл в 1621 году, английский астроном Томас Хэрриот в 1602-м и персидский математик Абу Сад ал-Ала ибн Сахль еще в 984-м.

Декарт дал механическое объяснение закону синусов, в котором (ошибочно) предположил, что свет движется быстрее в более плотной среде. С точки зрения Ферма, это звучало странно и противоречило здравому смыслу. Пытаясь быть полезным и будучи наивным и простодушным человеком, тулузский провинциал изложил свои мягкие критические замечания по поводу теории Декарта и отправил их парижским математикам, которые поинтересовались его мнением.

Ферма не знал, что эти люди были заклятыми врагами Декарта и использовали провинциального ученого для своих целей. И, как мог бы предвидеть даже ребенок, когда Декарт узнал о комментариях Ферма, он решил, что на него нападают. Он никогда не слышал об этом юристе из Тулузы. Для него Ферма был малоизвестным любителем-провинциалом, человеком, от которого можно легко отмахнуться, как от назойливого комара. В течение нескольких следующих лет Декарт относился к Ферма снисходительно и заявлял, что тот случайно натолкнулся на его результаты.

Однако перенесемся на двадцать лет вперед. В 1657 году, уже после смерти Декарта, врач и философ Марен Кюро де ла Шамбр попросил Ферма вернуться к старому вопросу о преломлении. Просьба Кюро побудила Ферма внимательно рассмотреть эту задачу, используя свои знания об оптимизации.

Ферма догадывался, что свет использует оптимальность. А точнее, он предположил, что свет всегда следует по пути наименьшего сопротивления между любыми двумя точками, что, по его мнению, означало, что он двигается по самому быстрому маршруту. Такой принцип наименьшего времени[175] объяснял, почему свет движется по прямой в однородной среде и почему при отражении от зеркала угол падения равен углу отражения. Но мог ли принцип наименьшего времени также верно объяснить, почему луч меняет направление при переходе из одной среды в другую? Мог ли он объяснить закон преломления?

Ферма не был в этом уверен. Такие вычисления не из легких. От источника в одной среде к целевой точке в другой свет может двигаться бесконечным числом прямолинейных путей, каждый из которых изгибается на границе двух сред по-своему.

Вычислить минимум среди всех этих времен перемещения было сложно, в особенности на стадии зарождения дифференциального исчисления. У Ферма не было никаких инструментов, кроме старого метода двойного пересечения. К тому же он боялся получить неправильный ответ. Как он написал Кюро, «страх обнаружить после долгих и трудных вычислений какое-то неправильное и фантастическое соотношение, а также моя природная леность оставили этот вопрос в том же состоянии»[176].

Понадобилось пять лет, в течение которых Ферма работал над другими задачами, чтобы любопытство все же взяло верх. В 1662 году он заставил себя произвести нужные вычисления. Это было изнурительно и неприятно. Но, пробираясь сквозь заросли символов, он начал кое-что замечать. Слагаемые стали сокращаться. Алгебра работала. И вот он: закон синусов. В письме Кюро Ферма назвал эти вычисления «самыми необычными, самыми непредвиденными и самыми счастливыми» из всех, что он когда-либо делал. «Я был так удивлен этому неожиданному событию, что едва могу оправиться от изумления»[177].

Ферма применил свою зачаточную версию дифференциального исчисления к физике. До него этого никто не делал. Тем самым он показал, что свет двигается наиболее эффективным способом – не самым прямым путем, а самым быстрым. У света множество возможных путей, но он каким-то образом знает (или ведет себя так, словно знает), как добраться из одной точки в другую максимально быстро. Это стало важной подсказкой к тому, что анализ как-то встроен в операционную систему Вселенной.

Позже принцип наименьшего времени был обобщен до принципа наименьшего действия[178], где термин «действие» имеет технический смысл, в который нам сейчас незачем вдаваться. Было установлено: такой принцип оптимизации, согласно которому природа ведет себя наиболее экономным способом в каком-то точно определенном смысле, верно предсказывает законы механики. В XX веке принцип наименьшего действия был распространен на общую теорию относительности, квантовую механику и другие области современной физики. Он даже произвел сильное впечатление на философию XVII века, когда Готфрид Вильгельм Лейбниц сказал свою знаменитую фразу «Все к лучшему в этом лучшем из миров», и эта оптимистическая точка зрения была позднее спародирована Вольтером в «Кандиде». Идея использования принципа оптимальности для объяснения физических явлений и вывода следствий с помощью анализа зародилась именно с этого вычисления Ферма.

Схватка из-за касательных

Технические методы оптимизации Ферма также позволяли ему находить касательные к кривым. Эта задача по-настоящему приводила Декарта в бешенство.

Слово «касательная» происходит от глагола «касаться». Эта прямая не пересекает кривую в двух точках, а соприкасается с нею в одной точке.

Условия касания аналогичны условиям максимума или минимума. Если мы берем прямую и пересекаем ею кривую, а затем начинаем непрерывно двигать прямую вверх или вниз, то касание возникает, когда две точки пересечения сливаются в одну.

Где-то в конце 1620-х годов Ферма научился находить касательные практически для всех алгебраических кривых (это означает, что кривая выражается многочленом различных степеней x и y; функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными – это синусы, логарифмы и так далее). Благодаря своей идее двойного пересечения он мог вычислить все, что мы делаем сегодня с помощью производных.

У Декарта был собственный метод нахождения касательных[179]. В «Геометрии» 1637 года он с гордостью объявил о нем миру. Не подозревая, что Ферма уже решил эту задачу, Декарт независимо пришел к идее двойного пересечения, но для пересечения кривых использовал не прямые, а окружности. Вблизи точки касания типичная окружность либо пересекает кривую в двух точках, либо не пересекает вообще.

Меняя положение и радиус окружности, Декарт заставлял две точки пересечения сливаться в одну. В итоге окружность касалась кривой – бинго!

Это давало ученому возможность найти касательную к кривой. Одновременно у него получалась нормаль к кривой – прямая, перпендикулярная касательной в точке касания; по ней идет радиус построенной окружности.

Метод Декарта был верным, но неуклюжим. Приходилось производить массу вычислений, гораздо больше, чем в методе Ферма. Однако Декарт тогда даже не слышал о Ферма, поэтому в своей обычной самоуверенной манере полагал, что превзошел всех. В «Геометрии» он хвалился: «Я дам общий способ проведения прямых, пересекающих под прямыми углами кривые линии в любых точках. И я смею сказать, что эта задача является наиболее полезной и общей не только среди известных мне, но также среди всех тех задач, которые я когда-либо желал знать в геометрии»[180],[181].

Позднее, в 1637 году, когда Декарт узнал от своих корреспондентов в Париже, что Ферма опередил его в решении задачи о касательной примерно на десять лет, хотя так и не удосужился опубликовать его, он встревожился. В 1638 году он изучил метод Ферма, ища в нем дыры. Конечно же, их было много! В письме одному посреднику Декарт заявлял: «Я даже не хочу называть его имени, чтобы он не стыдился тех ошибок, что я обнаружил»[182]. Он оспаривал логику Ферма, которая, честно говоря, была расплывчатой и плохо объясненной. Но в конце концов, после обмена несколькими письмами, в которых Ферма спокойно пытался объяснить свои идеи, Декарт был вынужден согласиться, что рассуждения оппонента верны.

Однако, прежде чем признать поражение, он попытался озадачить тулузского математика, предложив ему найти касательную к кривой, определяемой кубическим уравнением x³ + y³ = 3axy, где величина a представляла собой константу. Декарт знал, что с помощью своего неуклюжего метода, использующего окружности, сам он не смог бы ее найти – алгебраические вычисления стали неуправляемыми, поэтому с уверенностью полагал, что и Ферма не справится с задачей с помощью своего метода с применением прямых. Однако Ферма был более сильным математиком и его метод был лучше, поэтому, к немалой досаде Декарта, он разобрался с задачей без особых усилий.

Глядя на землю обетованную

Ферма заложил основы анализа в его современной форме. Его принцип наименьшего времени показал, что оптимизация глубоко вплетена в ткань природы. Работы по аналитической геометрии и касательным проложили путь к дифференциальному исчислению, по которому вскоре последовали другие. А виртуозное владение алгеброй позволило ему определить площади под некоторыми кривыми, которые не смогли найти даже его самые выдающиеся предшественники. В частности, он вычислил площадь под кривой y = xⁿ для любого положительного целого n (другие математики решили задачу для первых девяти случаев, n = 1,2,…,9, однако не смогли найти решение для всех n)[183]. Прорыв Ферма был колоссальным шагом в сторону интегрального исчисления, который закладывал фундамент для будущих прорывов.

И тем не менее его исследования не дотянули до секрета[184], который вскоре откроют Ньютон и Лейбниц, – секрета, который революционизировал и объединил обе стороны анализа. Жаль, что это не удалось Ферма, ведь он подобрался очень близко. Недостающее звено имело отношение к тому, что он придумал, но не счел важным – нечто скрытое в его методе максимумов и касательных. Позднее это назовут производной. Их использование выйдет далеко за рамки кривых и касательных и включит все виды изменений.

Глава 5. Перекресток

Итак, мы подошли в нашей истории к перекрестку. Именно здесь анализ становится современным и переходит от загадки кривых к изучению загадок движения и изменений. Именно здесь анализ начинает интересоваться ритмами Вселенной, ее взлетами, падениями и закономерностями. Анализ больше не довольствуется статическим миром геометрии: он увлекается динамикой. Он спрашивает: каковы правила движения и изменений? Что мы можем уверенно предсказать о будущем?

За четыре столетия, прошедшие с тех пор, как анализ оказался на этом перекрестке, он ушел от алгебры и геометрии в сторону физики и астрономии, биологии и медицины, инженерии и технологий, то есть во все сферы, где есть нескончаемые перемены. Анализ математизировал время и вселил в нас надежду, что мир, в котором мы живем, при всех его несправедливостях, страданиях и хаосе, глубоко в своем сердце, где он следует математическим законам, может быть разумным. Иногда мы можем найти эти законы с помощью науки. Иногда можем понять их с помощью анализа. А иногда можем использовать, чтобы улучшить нашу жизнь, помочь обществу и изменить ход истории к лучшему.

Поворотный момент в истории анализа произошел в середине XVII века, когда загадки кривых, движения и изменений столкнулись на двумерной сетке – координатной плоскости Ферма и Декарта. В тот момент Ферма и Декарт понятия не имели, насколько универсальный инструмент создали. Они задумывали прямоугольную систему координат для использования в чистой математике. Но с самого начала она тоже стала своего рода перекрестком, где уравнения встречались с кривыми, алгебра – с геометрией, а математики Запада – с коллегами с Востока. Далее, уже в следующем поколении, Исаак Ньютон, опираясь на их работы и на труды Кеплера и Галилея, объединил геометрию и физику в великом синтезе. Искра Ньютона зажгла тот огонь, который дал старт эпохе Просвещения и революции в западной науке и математике.

Однако для изложения этой истории нам нужно начать с арены, где все это происходило, – координатной плоскости. Когда сегодня учащиеся начинают заниматься анализом, они проводят на ней массу времени. Название соответствующего предмета – математический анализ функций одной переменной. Мы займемся этой темой в нескольких следующих главах. Сейчас же начнем с функций.

За столетия, прошедшие с тех пор, как кривые столкнулись с движением и изменениями, важность координатной плоскости существенно увеличилась. Сегодня она применяется везде для графического представления данных и выявления скрытых закономерностей. Мы можем использовать ее, чтобы увидеть, как одна переменная зависит от другой, как соотносятся x и y, когда все остальное постоянно. Такие отношения моделируются с помощью функций одной переменной. Символически это записывается как y = f(x), что читается «y равно f от x». Здесь f обозначает функцию, описывающую, как переменная y (называемая зависимой переменной) зависит от переменной x (независимой переменной), если предполагается, что все остальное зафиксировано и неизменно. Такие функции моделируют, как ведет себя мир в самом чистом виде. Причина вызывает прогнозируемый результат. Доза вызывает прогнозируемый эффект. Говоря формально, функция f – это правило, по которому каждому значению x сопоставляется некоторое значение y. Это похоже на машину ввода-вывода: на вход подается число x, а на выходе она выдает число y и делает это предсказуемо и надежно.

Галилей осознал мощь такого намеренного упрощения реальности за несколько десятилетий до Ферма и Декарта. Он аккуратно менял в своих экспериментах ровно одну вещь, не трогая все остальные. Он позволял шару катиться по наклонной плоскости и измерял, как далеко он продвинется за определенное время. Красиво и просто: расстояние как функция времени. Точно так же Кеплер изучал, сколько времени требуется планете для оборота вокруг Солнца, он связал этот период со средним расстоянием от светила. Одна переменная сравнивается с другой, период – с расстоянием. Это был путь к прогрессу и способ прочитать великую книгу природы.

В предыдущих главах мы уже встречались с примерами функций, Когда мы говорили о хлебе с корицей и изюмом, x было количеством съеденных ломтиков, а y – количеством потребленных калорий. В этом случае взаимосвязь выражалась уравнением y = 200x, что дает на координатной плоскости прямую линию. Еще один пример – изменение продолжительности дня в Нью-Йорке в 2018 году в зависимости от времени года. Там переменная x означала день года, а переменная y – количество минут светового дня, то есть время от восхода до захода солнца. Мы установили, что график в этом случае колеблется, словно синусоида: с самыми длинными днями летом и самыми короткими – зимой.

Функция функций

Некоторые функции настолько важны, что на инженерном калькуляторе для них отведены отдельные кнопки. Среди таких математических знаменитостей – x², lgx или 10^x. Следует признать, что большинству людей они не нужны. Отсчитать сдачу или определить размер чаевых вполне можно и без них. В повседневной жизни арифметики обычно вполне достаточно. Вот почему, когда вы включаете на телефоне приложение «Калькулятор», вам по умолчанию показывают базовый вариант с цифрами от 0 до 9, четырьмя арифметическими операциями – сложением, вычитанием, умножением и делением – и кнопкой для процентов. Этого хватает для ведения дел большинству из нас.

Однако для технических профессий числа – это только начало. Ученым, инженерам, финансовым аналитикам, медицинским исследователям приходится работать с отношениями между числовыми величинами, которые показывают, как одна величина влияет на другую. Для описания подобных взаимосвязей и необходимы функции. Они предоставляют инструменты, которые нужны для моделирования движения и изменения.

Вообще говоря, вещи могут меняться одним из трех способов: увеличиваться, уменьшаться или с ними может происходить и то и другое. Иными словами, они могут расти, снижаться или колебаться. Для разных случаев подходят разные функции. Поскольку на следующих страницах мы встретимся с различными функциями, имеет смысл вспомнить некоторые самые полезные из них.

Степенные функции

Для количественного выражения роста часто используются степенные функции, например x² или x³, где переменная x возводится в какую-нибудь степень.

Простейшая из таких функций – линейная, когда зависимая переменная y растет прямо пропорционально x. Например, если y – количество калорий, потребленных при съедании 1, 2 или 3 ломтиков хлеба с изюмом и корицей, то y растет в соответствии с уравнением y = 200x, где x – это число ломтиков, а 200 – количество калорий, приходящееся на каждый ломтик. Однако в данном случае отдельная кнопка x на калькуляторе не понадобится; мы просто умножаем 200 на количество ломтиков и получаем количество калорий.

А вот для следующей по иерархии степени роста (квадратичный рост) наличие отдельной кнопки x² будет весьма полезным. Квадратичный рост интуитивно не так понятен, как линейный. Например, если мы опять изменяем x с 1 до 2 и 3 и задаемся вопросом, как меняются соответствующие значения y = x², то видим, что они проходят значения 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9. Поэтому значения y прирастают все быстрее: сначала y = 4–1 = 3, потом y = 9–4 = 5. Если продолжать, будут появляться последующие нечетные числа: 7, 9, 11 и так далее. Таким образом, при квадратичном росте с увеличением x растет не только значение функции, но и само изменение значений. Сам рост растет быстрее.

Мы уже сталкивались с этой любопытной закономерностью в экспериментах Галилея с наклонной плоскостью, в которых он измерял время качения шаров. Он заметил, что, когда шар выходил из состояния покоя, он катился со временем все быстрее и с каждым последующим приращением времени проходил все большее расстояние, причем последовательно пройденные расстояния возрастали пропорционально нечетным числам 1, 3, 5 и так далее. Галилей пришел к выводу, что эта загадочная закономерность означает следующее: общее расстояние, пройденное шаром, пропорционально не времени, а квадрату времени. Таким образом, квадратичная функция x² возникла при изучении движения весьма естественно.

Показательные функции

В отличие от умеренно растущей степенной функции x или x², показательная (или экспоненциальная) функция, например 2^x или 10^x, описывает гораздо более взрывной вид роста, который увеличивается подобно снежному кому и подпитывает сам себя. При экспоненциальном росте на каждом шаге происходит не прибавление постоянной величины, как при линейном росте, а умножение на постоянный коэффициент.

Например, численность популяции бактерий, живущей в чашке Петри, удваивается каждые 20 минут. Если вначале было 1000 бактерий, то через 20 минут их станет 2000. Еще через 20 минут – 4000, а через последующие такие же 20-минутные интервалы – 8000, 16 000, 32 000 и так далее. В этом примере в игру вступает показательная функция 2^x. В частности, если мы измеряем время в 20-минутных интервалах, то в чашке после x единиц времени будет 1000  2^x бактерий. Подобный экспоненциальный рост характерен для многих быстрых процессов – от размножения настоящих вирусов до вирусного распространения информации в социальной сети.

Экспоненциальный рост также имеет отношение к увеличению денежных средств. Представьте себе сумму в 100 долларов, лежащую на банковском счете, при этом годовая ставка составляет 1 процент. Через год на счету будет 100  1,01 = 101 доллар. Через два года – 101  1,01 = 102,01. Через x лет на счете будет лежать 100  1,01^x долларов.

У показательных функций вроде 2^x или 1,01^x числа 2 или 1,01 называются основаниями. Чаще всего используется основание 10. Никаких математических причин выбора именно этого числа не существует. Его распространение обусловлено случайностью биологической эволюции: у нас оказалось 10 пальцев. Соответственно, и десятичная система в нашей арифметике основана на степенях числа 10.

По той же причине показательная функция, с которой начинающие ученые сталкиваются обычно еще в школе, – это 10^x. Число x называется показателем экспоненциальной функции. Когда x равно 1, 2, 3 или любому иному целому положительному числу, эта величина указывает, сколько раз число 10 умножается на себя. Однако когда x равен 0, отрицательному или дробному числу, то значение 10^x определяется несколько сложнее. Сейчас мы это увидим.

Степени десятки

В науке масса ситуаций, требующих использования степени 10 для облегчения вычислений. В частности, так называемая экспоненциальная запись удобна для очень больших или очень маленьких чисел. Она использует степени 10, чтобы выразить число максимально компактно.

Возьмем число 21 триллион, о котором сегодня много говорят в связи с государственным долгом США. Его можно записать как 21 000 000 000 000 в десятичной системе счисления, либо как 21  10¹² = 2,1  10¹³ в экспоненциальном представлении. Если по какой-то причине нам понадобится умножить это число, скажем, на миллиард, то гораздо проще написать 2,1  10¹³  10⁹ = 2,1  10¹³⁺⁹ = 2,1   1022, чем отслеживать все нули в обычной десятичной записи.

С первыми тремя степенями 10 мы встречаемся каждый день.

1 10¹ = 10

2 10² = 100

3 10³ = 1000

Обратите внимание на закономерность: в левой колонке x растет аддитивно, тогда как в правой 10^x растет мультипликативно, как мы и ожидаем при экспоненциальном росте. В левой колонке каждый шаг добавляет 1 к предыдущему числу, в то время как в правой – умножает предыдущее число на 10. Это интригующее соответствие между сложением и умножением – отличительная черта показательных функций в целом и степеней 10 в частности.

Из-за такого соответствия между колонками справедливо следующее: сложение двух чисел в левой колонке соответствует умножению чисел в правой колонке. Например, 1 + 2 = 3 слева переводится в 10  100 = 1000 справа. Такой переход от сложения к умножению имеет смысл, потому что

10¹⁺² = 10³ = 10¹  10².

Таким образом, когда мы перемножаем степени 10, их показатели складываются, как в нашем случае 1 и 2. Общее правило таково:

10^a  10^b = 10^a+b.

Аналогичным образом вычитание в левой колонке соответствует делению в правой:

3–2 = 1 соответствует 1000/100 = 10.

Эти изящные закономерности подсказывают, как продолжить обе колонки в сторону все меньших и меньших чисел. Принцип такой: всякий раз, вычитая 1 в левой колонке, делим на 10 в правой. Теперь снова посмотрим на верхние строки:

1 10¹ = 10

2 10² = 100/p>

3 10³ = 1000

Поскольку вычитание 1 слева соответствует делению на 10 справа, соответствие продолжается в новом ряду сверху, где будет 1–1 = 0 слева и 10/10 = 1 справа:

0 10⁰ = 1

1 10¹ = 10

2 10² = 100

3 10³ = 1000

Это рассуждение объясняет, почему 100 определяется как 1 (и должно определяться таким образом) – действие, которое озадачивает многих людей. Любой другой выбор нарушил бы закономерность. Это единственное определение, которое продолжает тенденции, установленные в двух колонках.

Действуя в том же духе, мы можем экстраполировать соответствие еще дальше, в область отрицательных чисел в левой колонке. Тогда справа появятся дроби, соответствующие степеням 10:

– 2 1/100

– 1 1/10

0 1

1 10

2 100

3 1000

Обратите внимание, что числа справа всегда остаются положительными, в то время как слева становятся нулем или отрицательными.

Потенциальная когнитивная ловушка при использовании степеней 10 заключается в том, что они могут заставить сильно различающиеся числа казаться ближе, чем они есть на самом деле. Чтобы избежать ее, имеет смысл сделать вид, что различные степени десяти образуют принципиально разные категории. Иногда человеческие языки делают это сами, присваивая различным степеням десятки собственные названия, как если бы это были неродственные виды. Например, для 10, 100 и 1000 у нас есть три не связанных между собой слова «десять», «сто» и «тысяча». Это хорошо и отражает правильную идею, что эти числа качественно различны, хотя и являются соседними степенями числа 10. Любой, кто ценит разницу между пятизначной и шестизначной зарплатой, знает, что один лишний нолик имеет очень большое значение.

Когда слова для обозначения степеней десятки звучат похоже, мы путаемся. Во время президентской кампании 2016 года сенатор Берни Сандерс часто выступал против чрезмерных налоговых льгот для «миллионеров и миллиардеров». Неважно, согласны вы с этой политикой или нет, но, к сожалению, его фраза звучала так, словно с точки зрения благосостояния миллионеры и миллиардеры сопоставимы. На деле же миллиардеры гораздо богаче миллионеров. Чтобы понять, насколько миллион отличается от миллиарда, подумайте о них так: миллион секунд – это чуть меньше двух недель, а миллиард секунд – это примерно 32 года. Первое – это продолжительность одного отпуска, второе – значительная часть жизни.

Это говорит о том, что со степенями десятки нужно обращаться с осторожностью. Это мощные средства сжатия, способные уменьшить гигантские числа до размеров, которые нам проще оценить. По той же причине они так популярны среди ученых. В контекстах, где какие-то количества меняются на несколько порядков по величине, степени десятки часто применяют для создания удобной измерительной шкалы. Примеры включают шкалу pH кислотности и шкалу щелочности, шкалу Рихтера для магнитуды землетрясений, измерение громкости с помощью децибел. Скажем, если показатель pH раствора меняется с 7 (нейтральный раствор, как чистая вода) до 2 (кислый раствор, как лимонный сок), то концентрация ионов водорода увеличивается по величине на пять порядков, то есть в 10⁵, или в сто тысяч раз. Снижение показателя pH с 7 до 2 может показаться всего лишь пятью крошечными шажками, как бы совсем небольшим изменением, хотя на самом деле концентрация ионов водорода изменяется в сто тысяч раз.

Логарифмы

В рассмотренных выше примерах числа в правой колонке, например 100 и 1000, всегда были круглыми. Поскольку степени десятки настолько удобны, было бы здорово, если бы мы могли выражать аналогичным образом и некруглые числа. Возьмем, к примеру, 90. Раз 90 немного меньше 100, а 100 = 10², то, видимо, 90 – это 10 в степени, немного меньшей, нежели 2. Но в какой именно?

Для ответа на такие вопросы и были изобретены десятичные логарифмы[185]. Если на калькуляторе вы наберете 90, а затем нажмете кнопку lg, то получите

lg90 = 1,9542…

Это и есть ответ: 10^1,9542… = 90.

Таким образом, логарифмы позволяют нам записать любое число как степень десятки. Это упрощает многие вычисления, а также раскрывает удивительные связи между числами. Посмотрите, что произойдет, если мы умножим 90 на коэффициент 10 или 100, а затем снова найдем его логарифм:

lg900 = 2,9542…

и

lg9000 = 3,9542…

Обратите внимание на две поразительные вещи:

1. У всех таких логарифмов одинаковая дробная часть: 0,9542…

2. Умножение исходного числа 90 на 10 увеличивает его десятичный логарифм на 1. Умножение на 100 увеличивает логарифм на 2 и так далее.

Мы можем объяснить оба факта, обратившись к правилу: логарифм произведения равен сумме логарифмов Из него следует, что

lg90 = lg(9  10) = lg9 + lg10 = 0,9542… + 1

и

lg900 = lg(9  100) = lg9 + lg100 = 0,9542… + 2

и так далее. Это объясняет, почему у десятичных логарифмов чисел 90, 900 и 9000 будет одинаковая дробная часть: 0,9542… Она соответствует логарифму числа 9, которое входит множителем в эти числа. Различные степени числа 10 дают целую часть этих чисел (в нашем случае 1, 2 и 3). Вследствие этого нам достаточно работать с десятичными логарифмами чисел от 1 до 10. Они отвечают за дробную часть. Логарифмы всех остальных положительных чисел можно будет выразить через них. У степеней десятки собственная работа: они отвечают за целую часть.

Общее правило для логарифмов в символической форме можно записать следующим образом:

lg(a  b) = lga + lgb.

Другими словами, когда мы умножаем два числа и ищем логарифм произведения, результатом будет сумма (а не произведение!) логарифмов отдельных сомножителей. В этом смысле логарифмы заменяют задачу умножения задачей сложения, которая намного проще. Вот почему они, собственно, и были изобретены. Они неизмеримо ускорили вычисления. Вместо того чтобы прикладывать геркулесовые усилия для задач умножения, нахождения квадратных и кубических корней и прочего, математики свели такие вычисления к задачам сложения и эти расчеты стали производиться с помощью готовых таблиц логарифмов. В начале XVII века идея логарифмов уже витала в воздухе, но значительная заслуга в их популяризации принадлежит шотландскому математику Джону Неперу, который в 1614 году опубликовал свое «Описание удивительной таблицы логарифмов». Десять лет спустя Иоганн Кеплер с энтузиазмом использовал новые вычислительные инструменты при составлении астрономических таблиц для положений планет и других небесных тел. Логарифмы были суперкомпьютерами своей эпохи.

Многие люди считают логарифмы сложными, но их смысл можно понять, если провести аналогию с плотницкими работами. Логарифмы и другие функции подобны инструментам. У разных инструментов – разное назначение. Молотки предназначены для забивания гвоздей; дрели – для сверления отверстий; пилы – для разрезания на части. Аналогично показательные функции предназначены для моделирования роста, который подпитывает сам себя, а степенные функции – для моделирования менее агрессивных видов возрастания. Логарифмы полезны по той же причине, что и антистеплер, удаляющий скобки: они отменяют действие другого инструмента. Конкретнее говоря, логарифмы отменяют действие показательных функций, и наоборот.

Рассмотрим показательную функцию 10^x и применим ее к какому-нибудь числу, например 3. В результате получим 1000. Чтобы отменить это действие, нажмем кнопку lgx. Применив ее к числу 1000, мы вернемся к исходному числу 3. Функция lgx – логарифм по основанию 10 – отменяет действие функции 10^x. В этом смысле указанные функции являются обратными одна другой.

Кроме выполнения роли обратной к показательной функции, логарифмы также описывают многие природные явления. Например, наше восприятие высоты тона примерно логарифмическое. Когда высота тона поднимается на последовательные октавы, от одной ноты до до следующей, такое повышение соответствует последовательным удвоениям частоты соответствующих звуковых волн. Хотя при каждом повышении на октаву волны колеблются вдвое быстрее, мы слышим эти удвоения – которые представляют собой мультипликативные изменения частоты – как равные повышения в тоне, то есть равные аддитивные шаги. Поразительно! Наш мозг дурачит нас, заставляя считать, что 1 так же отстоит от 2, как 2 от 4, 4 от 8 и так далее. Каким-то образом мы ощущаем частоту (впрочем, как и громкость) логарифмически.

Натуральный логарифм и его показательная функция

Каким бы полезным ни было основание 10 в пору своего расцвета, в современном анализе оно редко используется, уступив место другому основанию, которое хоть и выглядит заумно, но оказывается куда более естественным, нежели 10. Оно называется числом e и примерно равно 2,718 (чуть позже я объясню, откуда оно берется), однако его численное значение неважно. Важно то, что показательная функция с этим основанием растет со скоростью, равной самой этой показательной функции.

Позвольте повторить это еще раз.

Скорость роста функции e^x в точности равна e^x.

Это чудесное свойство упрощает все вычисления с показательными функциями, если они выражены по основанию e. Ни одно другое основание не может похвалиться такой простотой. Работаем ли мы с производными, интегралами, дифференциальными уравнениями или другими инструментами анализа, показательные функции с основанием e всегда самые удобные, самые элегантные и самые красивые.

Помимо роли в упрощении анализа, основание e естественным образом возникает в сфере финансов и банковском деле. Следующий пример показывает, как оно появляется и как определяется.

Представьте, что вы положили в банк 100 долларов при немыслимой, но крайне соблазнительной ставке в 100 процентов годовых. Это означает, что через год ваши 100 долларов превратятся в 200. Теперь начнем сначала и рассмотрим еще более благоприятный сценарий. Допустим, вы убедили банк начислять проценты дважды в год, чтобы вы могли пользоваться процентами с процентов по мере роста вклада. Сколько вы заработаете в этом случае? Учитывая, что вы просите банк начислять проценты вдвое чаще, справедливо, чтобы процентная ставка за полгода составила половину, то есть 50 процентов. Тогда через 6 месяцев вы получите 100  1,5 = 150 долларов. А за следующие 6 месяцев, в конце года, сумма вырастет еще на 50 процентов и на вашем счету будет 150  1,50 = 225 долларов. Это больше, чем вы получали по первоначальной договоренности, поскольку теперь вам начисляют проценты на проценты.

Страницы: «« « 12345678 » »»