Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной Строгац Стивен

Глава 10. Создание волн

До начала 1800-х понятие тепла оставалось загадкой. Что это такое? Может, жидкость, похожая на воду? Казалось, это действительно текучая субстанция, но вы не могли ни подержать ее в руках, ни увидеть. Вы могли измерить тепло косвенно, отслеживая температуру горячего предмета по мере его остывания, но никто не знал, что происходит внутри остывающего предмета.

Секреты тепла раскрыл человек, который часто ощущал холод. Осиротев в девятилетнем возрасте, Жан-Батист Фурье[292], будучи подростком, страдал астматическим расстройством. Повзрослев, он пришел к выводу, что тепло важно для здоровья. Он поддерживал высокую температуру в своей комнате и даже летом кутался в теплую одежду. Фурье был одержим теплом во всех аспектах своей научной деятельности. Он создал концепцию глобального потепления и первым объяснил, как парниковый эффект регулирует среднюю температуру Земли.

В 1807 году Фурье использовал анализ для решения задачи теплопроводности[293]. Он вывел уравнение в частных производных, которое позволяло ему предсказывать изменение температуры остывающего предмета, скажем предварительно раскаленного железного стержня. Он обнаружил, что может решить такую задачу, как бы неравномерно ни распределялась температура по длине стержня на момент начала охлаждения. Стержень мог иметь горячие и холодные места, но аналитический метод Фурье без проблем справлялся с задачей.

Представьте себе длинный тонкий цилиндрический железный стержень, неравномерно нагретый в кузнечном горне, так что по всей его длине одни его участки горячие, а другие – холодные. Для простоты предположим, что вокруг стержня есть идеально изолирующая муфта, не позволяющая теплу уходить, поэтому единственный путь его передачи – распространение вдоль по стержню от горячих участков к холодным. Фурье постулировал (и эксперименты подтвердили это), что скорость передачи тепла в данной точке стержня пропорциональна разности температуры в этой точке и средней температуры соседних точек. Когда я говорю о соседних точках, я действительно говорю о соседях – вообразите две точки по сторонам от нашей, где каждая к ней бесконечно близка.

В этих идеализированных условиях физика теплопередачи проста. Если точка холоднее соседей, она нагревается. Если горячее – остывает. Чем сильнее перепад температур, тем быстрее температура выравнивается. Если температура в точке равна средней температуре соседей, все уравновешивается и теплопередача не происходит, температура точки в следующий момент останется той же.

Этот процесс сравнения мгновенной температуры точки с мгновенной температурой ее соседей привел Фурье к уравнению в частных производных, которое сегодня известно как уравнение теплопроводности. Оно включает производные по двум независимым переменным: время (t) и положение на стержне (x).

Самая сложная часть задачи, которую поставил перед собой Фурье, состояла в беспорядочном исходном распределении горячих и холодных точек на стержне. Чтобы решить ее, Фурье предложил схему, которая казалась безумно оптимистичной, но почти безрассудной. Он утверждал, что любое исходное распределение температуры можно заменить эквивалентной суммой простых синусоид.

Синусоиды стали его строительными блоками. Он выбрал их, потому что они упрощали задачу. Он знал, что если исходная температура подчинялась синусоидальной закономерности, то и по мере остывания это свойство будет сохраняться.

В этом был ключ: синусоиды не двигаются. Они просто остаются на месте. Правда, они затухали по мере того, как их горячие точки остывали, а холодные нагревались, но с этим легко было справиться: это просто означало, что колебания температуры со временем уменьшаются. Как показано на следующем рисунке, распределение температуры, первоначально представленное пунктирной синусоидой, постепенно уменьшает размах и превращается в сплошную синусоиду.

Важно было то, что во время такого сглаживания синусоидальные волны оставались неподвижны. Они были стоячими волнами.

Таким образом, выяснив, как разделить исходное распределение температуры на отдельные синусоиды, Фурье мог бы решить задачу теплопередачи для каждой волны по отдельности. Он уже знал ответ на этот вопрос: каждая синусоида затухала экспоненциально со скоростью, зависящей от того, сколько гребней и впадин она имела. Волны с большим количеством гребней затухали быстрее, потому что горячие и холодные точки у них располагались ближе друг к другу, что приводило к более быстрому теплообмену между ними и более быстрому установлению равновесия. Зная, как затухает каждый синусоидальный строительный блок, Фурье мог сложить эти результаты и решить исходную задачу.

Загвоздка была в том, что Фурье вызвал к жизни бесконечный ряд синусоидальных волн. Он снова призвал в анализ голема бесконечности и сделал это еще более безрассудно, нежели его предшественники. Вместо бесконечной суммы треугольных осколков или чисел он бесцеремонно использовал бесконечную сумму волн. Это напоминало то, что делал Ньютон с помощью рядов из степенных функций xⁿ, за исключением того, что он никогда не утверждал, что может представить в виде такой суммы произвольные кривые, а тем более ужасы вроде разрывных функций или функций с острыми углами. Фурье же утверждал именно это – кривые со скачками и углами его не пугали. Кроме того, волны Фурье логичным образом возникали из самого дифференциального уравнения в том смысле, что были естественными колебаниями, естественными стоячими формами. Они были приспособлены для теплопередачи. Степенные функции Ньютона не претендовали на звание строительных блоков; синусоиды Фурье – претендовали. Они органично подходили для решения поставленной задачи.

Хотя столь смелое использование синусоид в качестве строительных блоков вызвало споры и подняло трудные проблемы строгости, на решение которых математикам потребовалось целое столетие, сегодня идея Фурье играет важную роль в таких технологиях, как компьютерные синтезаторы речи или МРТ.

Теория движения струны

Синусоидальные волны также появляются в музыке. Это естественные формы колебаний струн гитар, скрипок и фортепиано. Применяя механику Ньютона и дифференциалы Лейбница к идеализированной модели натянутой струны, можно получить уравнение в частных производных для таких колебаний. В подобной модели струна рассматривается как непрерывный массив бесконечно малых частиц, составленных в ряд и соединенных с соседями с помощью упругих сил. В любой момент времени t каждая частица в струне двигается в соответствии с воздействующими на нее силами. Эти силы создаются натяжением струны, когда соседние частицы взаимодействуют друг с другом. При этом каждая частица перемещается в соответствии с ньютоновским законом F = ma. Это происходит в каждой точке x по всей длине струны. Таким образом, получающееся дифференциальное уравнение зависит и от t, и от x и представляет собой еще один пример уравнения в частных производных. Оно называется волновым уравнением[294], поскольку, как и ожидалось, предсказывает, что типичное движение колеблющейся струны – это волна.

Как и в случае теплопередачи, некоторые синусоиды особенно полезны, поскольку при колебаниях регенерируют сами себя. Если концы струны фиксированы, то эти синусоидальные волны не распространяются, а стоят на месте. Если сопротивление воздуха и внутреннее трение струны пренебрежимо малы, то идеальная струна, начав синусоидальные колебания, будет колебаться вечно; при этом частота ее колебаний никогда не изменится. По этим причинам синусоиды служат идеальными строительными блоками и для задачи струн.

Другие формы колебаний могут быть сконструированы из бесконечных сумм синусоид. Например, в клавесинах 1700-х струну часто натягивали плектром, придавая треугольную форму, а затем отпускали.

Хотя треугольная волна и имеет угол, ее можно представить в виде бесконечной суммы идеально гладких синусоид. Иными словами, для получения углов не нужны углы. На рисунке ниже я аппроксимировал треугольную волну, показанную пунктиром в нижней части, тремя все более точными приближениями с помощью синусоид.

Первое приближение – это одиночная синусоида с наилучшей возможной амплитудой (наилучшей в том смысле, что она минимизирует общую квадратичную ошибку для разницы с треугольной волной – ту самую меру оптимальности, которую мы встречали в главе 4). Второе приближение – это оптимальная сумма двух синусоид, а третье – наилучшая сумма трех синусоид. Треугольная волна будет удовлетворять соотношению, установленному Фурье:

Эта бесконечная сумма называется рядом Фурье для треугольной волны. Обратите внимание на интересные числовые закономерности в нем. В синусоидах, которыми являются слагаемые, используются только нечетные числа 1, 3, 5, 7…, а соответствующие амплитуды – это величины, обратные квадратам этих нечетных чисел, причем знаки плюс и минус чередуются. К сожалению, я не могу быстро объяснить, почему все устроено именно так; для этого нам пришлось бы углубиться в дебри анализа, чтобы понять, откуда берутся эти волшебные амплитуды. Но главное в том, что Фурье умел их вычислять. Он мог синтезировать треугольную волну и любую иную произвольную сложную кривую из более простых синусоид.

Масштабная идея Фурье лежит в основе музыкальных синтезаторов. Чтобы увидеть, почему это так, рассмотрим звучание какой-нибудь ноты, например ля первой октавы. Для создания такого звука мы можем ударить по камертону, настроенному на колебания с соответствующей частотой 440 Гц. Камертон состоит из рукояти и двух металлических зубцов. Если ударить по нему резиновым молоточком, зубцы начинают колебаться назад и вперед 440 раз каждую секунду. Эти колебания воздействуют на окружающий воздух: когда зубец двигается наружу, он сжимает воздух, а когда назад – разрежает его. В результате создается синусоидальное изменение давления в воздухе, которое наши уши воспринимают как чистый тон, скучный и бесцветный. Ему не хватает того, что музыканты называют тембром. Мы могли бы сыграть одну и ту же ноту ля на скрипке или фортепиано, и они прозвучали бы теплее и красочнее. Несмотря на то что эти инструменты тоже издают колебания с эталонной частотой 440 Гц, они звучат не так, как камертон (и не похоже друг на друга) из-за различных обертонов (это музыкальный термин для волн наподобие sin 3x или sin 5x в вышеприведенной формуле для треугольной волны). Обертоны придают ноте красочности, добавляя частоты, кратные основной. В дополнение к синусоиде с частотой 440 Гц синтезированная треугольная волна включает синусоидальный обертон с втрое большей частотой (3  440 = 1320 Гц). Этот обертон не такой мощный, как основная синусоида sin x. Его амплитуда составляет всего 1/9 от основной, а остальные обертоны с другими нечетными числами еще слабее. На музыкальном языке эти амплитуды определяют громкость обертонов. Богатство звучания скрипки связано с определенным сочетанием более тихих и более громких обертонов.

Мощь идеи Фурье состоит в том, что звук любого музыкального инструмента можно синтезировать с помощью бесконечного набора по-разному настроенных камертонов. Все, что для этого требуется, – ударить по ним с нужной силой и в нужное время, и – невероятно – но раздастся звук скрипки, фортепиано или даже трубы или гобоя, хотя мы использовали не более чем бесцветные синусоиды. По сути, именно так работали первые электронные синтезаторы: они воспроизводили звук любого инструмента, сочетая большое количество синусоидальных волн.

В старших классах я брал уроки электронной музыки, и это дало мне представление, на что способны синусоиды. Это было в темные времена 1970-х, когда электронную музыку создавал большой ящик, напоминавший обычный коммутатор. Мы с одноклассниками втыкали кабели в разные разъемы, поворачивали ручки и получали звуки с помощью синусоидальных, прямоугольных и треугольных волн. Насколько я помню, синусоидальные волны обладали чистым открытым звуком, как у флейты. Квадратные звучали пронзительно, как сигналы пожарной тревоги. Треугольные издавали металлический звук. С помощью одной рукоятки мы могли менять частоту волны, повышая или понижая тон. Другой можно было корректировать амплитуду, увеличивая или уменьшая громкость. Подключив сразу несколько кабелей, мы могли складывать волны и обертоны в различных сочетаниях, как это делал Фурье, но для нас этот опыт был практическим: мы слышали создаваемые нами звуки. Мы могли видеть формы волн на осциллографе одновременно с их прослушиванием. Вы можете попробовать найти соответствующие видео в интернете. Поищите нечто вроде звука треугольных волн, и найдете интерактивные демонстрации, которые позволят вам почувствовать, будто вы сидите в моем классе в 1974 году и играете с волнами ради собственного удовольствия.

Еще более значимый аспект работы Фурье состоял в том, что он сделал первый шаг к использованию анализа в качестве предсказателя того, как может двигаться и изменяться континуум частиц. Это был огромный шаг вперед по сравнению с трудами Ньютона о движении дискретного множества частиц. За последующие столетия ученые развили методы Фурье и теперь предсказывают поведение других непрерывных сред – например, флаттера на крыле Boeing 787, внешнего вида пациента после лицевой пластики, потока крови по артериям или перемещения земной поверхности после землетрясения. Сегодня эти методы используются в науке и технике повсеместно. Их применяют для изучения ударных волн при термоядерном взрыве; радиоволн для связи; волн в кишечнике, которые помогают усваивать питательные вещества и перемещать продукты жизнедеятельности в нужном направлении; патологических электрических волн в мозге, связанных с эпилепсией и болезнью Паркинсона; а также волн заторов на автострадах с раздражающим явлением фантомных пробок, когда движение замедляется без всяких видимых причин. Идеи Фурье и их различные вариации позволили объяснить все эти явления с математической точки зрения – иногда с помощью формул, иногда путем сложного компьютерного моделирования, так что мы можем объяснить и предсказать эти явления, а в некоторых случаях и управлять ими или устранить их.

Почему синусоиды?

Прежде чем перейти от синусоидальных волн к их двумерным и трехмерным аналогам, давайте выясним, что же делает синусоиды такими особенными. В конце концов, строительными блоками могут быть и другие функции, и иногда они работают лучше синусоидальных волн. Например, чтобы улавливать локальные особенности вроде отпечатков пальцев, ФБР применило вейвлеты. Вейвлеты часто превосходят синусоиды во многих задачах обработки изображений или сигналов – в таких областях, как анализ землетрясений, реставрация или установление подлинности произведений искусства, распознавание лиц.

Так почему же именно синусоидальные волны так хорошо подходят для решения волнового уравнения, уравнения теплопроводности и других дифференциальных уравнений в частных производных? Их преимущество в том, что у них очень специфичные производные. Собственно говоря, производная синусоиды – это та же синусоида, только сдвинутая на четверть цикла. Это замечательное свойство. Оно не выполняется для других типов волн. Как правило, кривая любого рода после дифференцирования изменяется. Ее форма становится другой. Дифференцирование весьма травматический опыт для большинства кривых. Но не для синусоид. После дифференцирования синусоида невозмутимо отряхивается, оставаясь все той же синусоидой. Единственная получаемая ею травма – по сути, и не травма вовсе – это сдвиг волны во времени. Она достигает пика на четверть цикла раньше, чем исходная.

Мы наблюдали несовершенную версию этого явления в главе 4, когда рассматривали увеличение продолжительности светового дня в Нью-Йорке в 2018 году и сравнивали его с ежедневными изменениями продолжительности дня и их скоростью от одних суток к следующим. Мы видели, что обе кривые выглядели примерно синусоидальными, но скорость изменения продолжительности дня создавала волну, сдвинутую на три месяца раньше, чем волна исходных данных. Попросту говоря, самый длинный день в 2018 году был 21 июня, а самое быстрое удлинение дня – на три месяца раньше, 20 марта. Именно этого мы и ожидаем от синусоидальных данных. Если бы данные о длине дня представляли собой идеальную синусоидальную волну и мы бы смотрели на разницу не между сутками, а между соседними моментами, то мгновенная скорость изменений («производная» волна) сама была бы идеальной синусоидой, сдвинутой ровно на четверть цикла. Также из главы 4 мы узнали, почему происходит такой сдвиг на четверть. Это вытекает из глубокой связи между синусоидами и равномерным движением по окружности. (Вы можете вернуться к этим рассуждениям, если сейчас объяснение кажется вам туманным.)

Сдвиг на четверть цикла обадает поразительными следствиями. Это означает, что, взяв две производные, мы дважды сдвинемся на четверть цикла, то есть в общей сложности на половину цикла. А значит, бывший пик превращается во впадину и наоборот. Синусоида перевернулась. В математических терминах это записывается в виде формулы

где символ дифференцирования Лейбница d / dx означает «взятие производной от выражения, стоящего справа». Формула показывает, что взять две производные от синуса равнозначно умножению на –1. Такая замена двух производных простым умножением – фантастическое упрощение. Получение второй производной – полноценная операция анализа, в то время как умножение на – 1 – это школьная арифметика.

Но зачем, можете вы спросить, кому-то вообще понадобилось брать эти две производные? Потому что это делает природа, причем постоянно. Вернее, постоянно делают наши модели природы. Например, в ньютоновском законе движения F = ma ускорение a подразумевает две производные. Вспомните, что ускорение – это производная скорости, а скорость – производная расстояния. Следовательно, ускорение – это производная производной расстояния, или, проще говоря, вторая производная расстояния. Вторые производные встречаются в физике и технологии повсеместно. Они присутствуют не только в упомянутом уравнении Ньютона, но и в уравнении теплопроводности и волновом уравнении.

Вот почему синусоидальные волны так хорошо подходят для таких уравнений. Для них вторые производные сводятся к простому умножению на –1. Фактически операции анализа, которые затрудняют изучение уравнения теплопроводности и волнового уравнения, перестают быть проблемами. Анализ пропадает, поскольку заменяется умножением. Именно это значительно упрощает задачи о движении струны и о теплопередаче для синусоидальных волн. Если бы из них можно было сконструировать произвольную кривую, то она унаследовала бы все достоинства синусоид. Единственная загвоздка – для построения произвольной кривой пришлось бы складывать бесконечное количество синусоид, но это небольшая цена.

Это объясняет, почему синусоиды особенные. У физиков тоже есть собственная точка зрения, и ее стоит понять. Для физика самое замечательное в синусоидах (в контексте задач о колебаниях и теплопередаче) то, что они образуют стоячие волны. Они не двигаются вдоль по струне или стержню, а остаются на месте. Они колеблются вверх-вниз, но никогда не распространяются. Еще более примечательно, что стоячие волны колеблются с единственной частотой[295]. Это редкость в мире волн. Большинство волн – это сочетание многих частот, так же как белый свет – сочетание всех цветов радуги. В этом отношении стоячая волна – это чистая волна, а не смесь.

Визуализация вибраций: фигуры Хладни

Теплый звук гитары и жалобное звучание скрипки связаны с колебаниями, возникающими в деке и корпусе инструмента, в древесине и во внутренних полостях, где звуковые волны колеблются и резонируют. Эти схемы колебаний определяют качество и голос инструмента. Именно это делает творения Страдивари такими особенными – его выразительные уникальные схемы колебаний в древесине и воздухе. Мы до сих пор в точности не знаем, почему одни скрипки звучат лучше других, но ключевым соображением должны быть способы вибрации.

В 1787 году немецкий физик и создатель музыкальных инструментов Эрнст Хладни опубликовал статью, рассказывающую о любопытном способе визуализации этих вибраций. Вместо того чтобы использовать сложные формы (скрипки или гитары), он играл на гораздо более простом инструменте – тонкой металлической пластине, проводя по ее краю скрипичным смычком. При этом он смог заставить пластину вибрировать и звучать (немного похоже на то, как можно заставить звучать наполовину наполненный бокал, проводя пальцем по его ободку). Чтобы визуализировать колебания, Хладни насыпал на пластину мелкий песок. Когда смычок заставлял пластину колебаться, песок слетал с наиболее активно колеблющихся частей и оседал на тех, которые вообще не вибрировали. Получающиеся кривые линии назвали фигурами Хладни[296],[297].

Изображение воспроизведено с любезного разрешения Родриго Тецуо Аржентона

Возможно, вы видели демонстрацию фигур Хладни в музеях науки. Металлическую пластину помещают на громкоговоритель, покрывают песком, а затем приводят в движение генератор звукового сигнала. Поскольку частота звука в громкоговорителе регулируется, пластина может вибрировать в различных резонансных режимах. Каждый раз, когда громкоговоритель переходит на новую резонансную частоту, песок перестраивается в другую фигуру. Пластина делится на соседние области, которые колеблются в противоположных направлениях и разделены узловыми линиями, где она остается неподвижной.

Вероятно, вам кажется странным, что некоторые части пластины не двигаются. Но это не должно удивлять. То же самое мы видели у синусоидальных волн на струне. Точки, в которых струна не двигается, – это узлы колебаний. На пластине есть аналогичные узлы, только здесь это не отдельные точки: они соединены между собой, образуя узловые прямые и кривые линии. Это и есть кривые, обнаруженные Хладни в своих экспериментах. В то время они считались настолько удивительными, что ученого пригласили показать их самому императору Наполеону. Наполеон обладал достаточными знаниями в области математики и техники и был настолько заинтригован, что объявил конкурс и призвал величайших математиков Европы объяснить причину появление этих узоров.

Необходимой математической теории в то время еще не было. Выдающийся ученый Жозеф Лагранж полагал, что эта проблема недостижима и никому не под силу с ней справиться. Действительно, за нее решил взяться всего один человек. Это была Софи Жермен[298].

Величайшее мужество

Софи Жермен самостоятельно изучила математику в юном возрасте. Она родилась в состоятельной семье и увлеклась математикой, прочитав книги об Архимеде из библиотеки отца. Когда родители узнали, чем дочь занимается по ночам, они стали забирать у нее свечи и даже ночные рубашки. Но Софи не сдавалась: закутывалась в одеяла и работала при свете украденных свечей. В конце концов семья смирилась и дала свое благословение.

Софи Жермен, как и всем женщинам той эпохи, не разрешалось посещать университет, поэтому она продолжала заниматься самообразованием, иногда получая записи лекций из соседней Политехнической школы на имя Антуана-Огюста Леблана – учащегося, который оттуда ушел. Не подозревая о его решении, руководство школы продолжало печатать для него конспекты лекций и наборы задач. Софи сдавала работы от его имени, пока один из преподавателей, великий ученый Лагранж, не обратил внимание на заметное улучшение прежде ужасной успеваемости месье Леблана. Лагранж пожелал с ним встретиться и был крайне восхищен и удивлен, узнав, кто на самом деле скрывается за этим именем. Он взялся опекать Жермен.

Первые достижения девушки относились к теории чисел: она внесла важный вклад в одну из самых сложных нерешенных проблем – великую теорему Ферма. Когда Жермен почувствовала, что совершила прорыв, она написала крупнейшему в мире специалисту по теории чисел (и одному из величайших математиков всех времен), Карлу Гауссу, снова воспользовавшись псевдонимом Антуан Леблан. Гаусс восхищался своим загадочным корреспондентом, и в течение трех лет они вели оживленную переписку. Ситуация омрачилась в 1806 году, когда армия Наполеона оккупировала немецкий город Брауншвейг, где жил Гаусс. Опасаясь за жизнь ученого, Софи Жермен попросила друга своей семьи, генерала Жозефа Мари де Пернети, позаботиться о безопасности Гаусса. Когда ученый узнал, что обязан своей безопасностью некой неизвестной ему мадемуазель Софи Жермен, он был озадачен, так как у него не было знакомых с таким именем. Спустя три месяца Жермен в письме раскрыла свое имя. Гаусс был ошеломлен, узнав, что переписывался с женщиной. Признавая всю глубину ее идей и прекрасно понимая, какие предрассудки и преграды ей пришлось преодолевать, он признал, что «несомненно, она должна обладать величайшим мужеством, весьма необычайными талантами и превосходным гением»[299].

Поэтому, когда Софи услышала о конкурсе по решению загадки фигур Хладни, она приняла вызов. Она оказалась единственным, достаточно смелым человеком, который попытался разработать всю необходимую теорию с нуля. Ее решение включало создание нового раздела механики – теории упругости для плоских тонких двумерных пластин, что выходило далеко за рамки предыдущих более простых теорий для одномерных струн и стержней. Она построила свою теорию на принципах силы, смещений и кривизны и использовала методы анализа, чтобы выписать и решить соответствующие дифференциальные уравнения в частных производных для колеблющихся пластин Хладни и чудесных узоров, которые на них появлялись. Однако пробелы в знаниях и нехватка формального образования привели к недостаткам в решении, которые обнаружили судьи. Они посчитали, что задача решена не полностью, и продлили конкурс еще на два года, а затем еще на два. С третьей попытки Жермен таки получила награду парижской Академии наук, став первой женщиной, удостоившейся такой чести.

Микроволновые печи

Фигуры Хладни позволяют наглядно представить стоячие волны в двух измерениях. В повседневной жизни мы имеем дело с трехмерным аналогом фигур Хладни каждый раз, когда пользуемся микроволновой печью[300]. Внутри печи находится трехмерное пространство, и когда вы включаете ее, оно наполняется стоячими волнами. Хотя вы не можете увидеть эти электромагнитные колебания воочию, их можно визуализировать косвенно – подобно тому как Хладни делал это с помощью песка.

Возьмите тарелку, предназначенную для микроволновой печи, и покройте ее полностью тонким слоем мягкого тертого сыра (или используйте что-нибудь иное, что будет лежать ровно и легко плавиться, например тонкую плитку шоколада или кондитерскую посыпку маршмеллоу). Перед тем как ставить тарелку в печь, обязательно выньте вращающийся столик. Это важно, потому что тарелка с сыром (или с чем-то иным) должна стоять неподвижно, чтобы можно было обнаружить горячие точки. Как только вы все это сделаете, включите микроволновую печь на тридцать секунд, не больше. Затем выньте тарелку. Вы увидите места, где сыр расплавился полностью – это горячие точки. Они соответствуют пучностям микроволн – местам, где колебания имеют наибольшую амплитуду, то есть особенно сильны. Они похожи на гребни и впадины синусоидальной волны или те места на пластине в опыте Хладни, где песка нет (поскольку сильные колебания его стряхнули).

В случае стандартной микроволновой печи, которая создает частоту 2,45 ГГц (то есть волны колеблются с частотой 2,45 миллиарда раз в секунду), вы должны обнаружить, что расстояние между соседними расплавленными местами составляет примерно 2,5 дюйма, или 6 сантиметров. Имейте в виду, что это расстояние между пиком и впадиной, то есть только половина длины волны. Чтобы получить полную длину, эту величину нужно удвоить. Таким образом, для стоячих волн в микроволновой печи длина волны составляет примерно 5 дюймов, или 12 сантиметров.

Кстати, с помощью микроволновой печи вы можете вычислить скорость света. Умножьте частоту колебаний (она указана на раме дверцы) на длину волны, которую вы измерили в своем эксперименте, и получите скорость света или величину, близкую к ней. Вот как это будет выглядеть для приведенных мною чисел. Частота – 2,45 ГГц. Длина волны – 12 сантиметров. Умножив эти числа, получаем 29,4 миллиарда сантиметров в секунду. Довольно близко к принятому значению скорости света – около 30 миллиардов сантиметров в секунду. Весьма неплохо для столь грубого измерения!

Как микроволновые печи связаны с радарами

В конце Второй мировой войны компания Raytheon Company искала новые сферы применения для своих магнетронов – мощных электронных ламп, используемых в радарах. Магнетрон – это электронный аналог свистка. Так же как свисток излучает звуковые волны, магнетрон излучает волны электромагнитные. Они могут отражаться от летящего самолета, и тогда можно определить расстояние до него и его скорость. Сегодня радары используются для отслеживания движения чего угодно – от судов и автомобилей до бейсбольных мячей, теннисных подач и погодных явлений.

Однако после войны, в 1946 году, Raytheon Company не знала, что делать со всеми магнетронами, которые производила. Но однажды инженер Перси Спенсер заметил, что, пока он работал с магнетроном, шоколадный батончик у него в кармане превратился в липкую массу. Он понял, что микроволны могут эффективно разогревать пищу. Чтобы изучить эту идею, он попробовал направить магнетрон на яйцо, помещенное в чайник, и оно взорвалось прямо в лицо одному из его коллег. Спенсер также продемонстрировал, что таким способом можно изготавливать попкорн. Связь между радаром и микроволновой печью дала название первой модели микроволновой печи – Radarange[301]. До конца 1960-х годов идея не пользовалась коммерческим успехом. Первые микроволновые печи были слишком большими (почти 6 футов, около 1 метра 80 сантиметров, в высоту) и очень дорогими – эквивалент десятков тысяч долларов в пересчете на нынешние деньги. Но со временем микроволновые печи стали достаточно миниатюрными и дешевыми для того, чтобы их могли себе позволить обычные семьи. Сегодня в промышленно развитых странах они есть как минимум у 90 % семей.

История ра дара и микроволновых печей – свидетельство взаимосвязанности наук. Подумайте о том, что сюда вошло: физика, электротехника, материаловедение, химия и старое доброе случайное изобретение. Не последнюю роль сыграл и анализ. Он предоставил язык для описания волн и инструменты для их изучения. Волновое уравнение, которое появилось в связи с колеблющимися струнами в музыке, использовал Максвелл для предсказания существования электромагнитных волн. А оттуда недалеко было до электронных ламп, транзисторов, компьютеров, радаров и микроволновых печей. При этом незаменимыми оказались методы Фурье. И, как мы вскоре увидим, его методы сыграли определенную роль в появлении нового способа применения высокоэнергетических электромагнитных волн. Эти гораздо более энергичные волны были случайно обнаружены в самом конце XIX века. Никто не знал, что они собой представляют, поэтому в честь неизвестной величины их назвали икс-лучами. Иначе – рентгеновским излучением, в честь первооткрывателя.

Компьютерная томография и визуализация мозга

Микроволны хороши для разогревания пищи, но для заглядывания внутрь наших тел лучше приспособлены рентгеновские лучи. Они позволяют проводить неинвазивную диагностику переломов, трещин черепа и искривлений позвоночника. К сожалению, обычное рентгеновское излучение нечувствительно к слабым изменениям плотности тканей. Это ограничивает их полезность при изучении мягких тканей и органов. Более современная форма визуализации, называющаяся КТ-исследованием, или компьютерной томографией[302], в сотни раз чувствительнее обычных рентгеновских лучей. Ее точность произвела настоящую революцию в медицине.

Слово «томография» означает процесс визуализации чего-либо путем разделения на слои-срезы[303]. При этом методе рентгеновские лучи используются для построения изображения какого-то органа или ткани по одному срезу за раз. Когда пациента помещают в томограф, рентгеновские лучи проходят через его тело под разными углами и записываются детекторами на другой стороне. Имея всю эту информацию – с разных точек под разными углами, – можно гораздо четче реконструировать, через что именно прошли рентгеновские лучи. Другими словами, компьютерная томография – это не просто рассматривание, а умозаключения и вычисления. В действительности самая блестящая и революционная часть КТ – это использование сложной математики. С помощью анализа, рядов Фурье, методов обработки сигнала и компьютеров программное обеспечение определяет свойства ткани, органа или кости, через которые проходят рентгеновские лучи, а затем создает детальную картину этой части тела.

Чтобы понять, какова во всем этом роль анализа, сначала нужно понять, какую проблему решает томография и каким образом.

Представьте себе, как излучение проходит через ткани мозга. По мере прохождения лучи обнаруживают серое вещество, белое вещество, возможные опухоли, сгустки крови и так далее. Эти ткани поглощают энергию излучения в большей или меньшей степени – в зависимости от их типа. Цель томографии – составить карту поглощения по всему срезу. На основе этой информации КТ может обнаружить наличие опухолей или сгустков. КТ не видит мозг непосредственно; она видит схему поглощения рентгеновских лучей в мозге.

Математика здесь работает так. Когда рентгеновский луч проходит через данную точку среза мозга, он теряет часть энергии. Эта потеря похожа на ослабление видимого света, который проходит через солнцезащитные очки и становится менее ярким. Сложность тут в том, что на пути луча встает целая последовательность различных мозговых тканей, а потому они подобны целому ряду солнечных очков, одни перед другими, и все с разной степенью прозрачности, которую мы не знаем. Как раз ее-то мы и хотим выяснить!

Из-за изменчивости степени поглощения для различных тканей, когда лучи проходят сквозь мозг и попадают в детектор на противоположной стороне аппарата, их интенсивность снижается на разные величины. Чтобы вычислить результирующий эффект всех этих затуханий, нужно определить, насколько снижается интенсивность при бесконечно малом продвижении луча через ткань, а затем соответствующим образом скомбинировать все результаты. Такой расчет сводится к интегралу.

Появление здесь интегрального исчисления не должно вызывать удивления. Это самый естественный способ найти подход к решению столь сложной задаче. Как всегда, мы обращаемся к принципу бесконечности. И прежде всего представляем, что путь луча делится на бесконечное количество бесконечно малых шагов, затем выясняем, как интенсивность ослабляется на каждом из них, после чего складываем все эти изменения, чтобы вычислить суммарное ослабление вдоль линии движения луча.

К сожалению, сделав это, мы получим только небольшую часть информации. Мы узнаем общее ослабление рентгеновских лучей только вдоль одного конкретного пути луча. Это мало что говорит нам о срезе мозга в целом. Это мало что говорит даже о том конкретном пути, по которому шел рентгеновский луч. Это просто суммарное ослабление по всей линии, а не закон, по которому происходит ослабевание в каждой ее точке.

Позвольте мне предложить такую аналогию: подумайте, сколькими способами можно сложить целые числа, чтобы получить 6. Так же как число 6 может оказаться результатом сложения 5 + 1, или 2 + 4, или 3 + 3, так и итоговое ослабление рентгеновских лучей может оказаться результатом самых различных последовательностей локальных ослаблений. Например, было сильное затухание в начале пути и слабое – в конце. А может, и наоборот. Или, возможно, затухание было постоянным по всей протяженности. Мы не можем выбрать истинный вариант, имея всего одно измерение.

Но как только мы осознаем эту трудность, тут же понимаем, как с ней справиться. Нужно испускать лучи по множеству разных направлений. В этом суть компьютерной томографии. Пропуская рентгеновские лучи через одну точку в разных направлениях и повторяя этот процесс для различных точек, мы в принципе можем определить коэффициенты ослабления интенсивности в любой точке мозга. Это не совсем то же самое, что смотреть на мозг, но почти настолько же эффективно, поскольку предоставляет информацию о том, какие типы ткани расположены в тех или иных областях мозга.

Таким образом, математическая задача – собрать информацию от всех измерений по всем прямым в единую связную двумерную картину на определенном срезе мозга. Именно здесь на помощь пришел анализ Фурье. Он позволил южноафриканскому физику Аллану Кормаку решить проблему такой обратной сборки[304]. Кормак обратился к анализу Фурье, поскольку за этой задачей скрывается окружность – окружность всех направлений, по которым рентгеновские лучи можно запускать в двумерный срез.

Вспомните, что окружности всегда связаны с синусоидами, а синусоиды – строительные блоки для рядов Фурье. Записав задачу обратной сборки в терминах рядов Фурье, Кормак смог свести двумерную задачу обратной сборки к более простой одномерной задаче. По сути, он избавился от 360° возможных углов. Затем, проявив недюжинное математическое мастерство, он сумел решить одномерную задачу обратной сборки. В итоге по измерениям, сделанным по всем возможным направлениям, он смог определять свойства тканей внутри. Он построил карту поглощений, а это почти то же, что и увидеть сам мозг.

В 1979 году Кормак разделил с Годфри Хаунсфилдом Нобелевскую премию по физиологии и медицине за разработку компьютерной томографии. Ни тот ни другой не были врачами. Кормак разрабатывал математическую теорию томографии на основе анализа Фурье с конца 1950-х годов. Хаунсфилд, британский инженер-электрик, в сотрудничестве с рентгенологами изобрел сканер в начале 1970-х.

Изобретение сканера-томографа – еще одно подтверждение необъяснимой эффективности математики. В этом случае идеи, которые позволили воплотить в жизнь КТ-сканирование, существовали уже более полувека и не имели никакого отношения к медицине.

Следующая часть истории началась в конце 1960-х. Хаунсфилд уже испытал прототип своего изобретения на мозге свиней и отчаянно пытался найти врача-рентгенолога, который помог бы ему работать с людьми, но доктора отказывались с ним встречаться. Все считали его ненормальным, зная, что рентгеновские лучи не показывают мягкие ткани. Например, обычный рентгеновский снимок головы показывал череп, но при этом мозг выглядел как невыразительное облако: опухоли, кровоизлияния и тромбы были не видны. Однако Хаунсфилд утверждал обратное.

Наконец один рентгенолог согласился его выслушать. Разговор не удался. В конце беседы скептически настроенный врач вручил Хаунсфилду банку с человеческим мозгом, пораженным опухолью, и предложил найти эту опухоль с помощью сканера. Как же он был ошеломлен, когда Хаунсфилд вскоре предоставил ему изображения мозга, где отображались не только опухоль, но и места кровотечения.

Слухи о томографе распространились, что привлекло к исследованиям других специалистов. Когда в 1972 году Хаунсфилд опубликовал свои результаты, они потрясли медицинский мир. Рентгенологи внезапно смогли применять рентгеновские лучи, чтобы видеть опухоли, кисты, серое вещество, белое вещество и заполненные жидкостями полости в мозге.

Когда-то волновая теория и анализ Фурье начинались с исследования музыки. По иронии судьбы в ключевой момент развития компьютерной томографии музыка снова оказала неоценимую помощь. Революционные идеи пришли к Хаунсфилду, когда он в середине 1960-х работал в компании Electric and Musical Industries. Сначала он занимался радарами и управляемым оружием, а затем обратился к разработке первого в Британии компьютера, целиком построенного на транзисторах. После таких ошеломляющих успехов EMI решила поддержать Хаунсфилда и предоставить ему для следующего проекта все, что ему потребуется. В тот момент EMI купалась в деньгах и могла себе позволить рисковать. Прибыли компании удвоились после того, как она подписала контракт с группой из Ливерпуля под названием Beatles[305].

Хаунсфилд обратился к руководству с идеей визуализации внутренних органов с помощью рентгеновских лучей, и глубокие карманы EMI позволили ему сделать первый шаг. Он придумал собственный подход к решению математической задачи обратной сборки, не зная, что Кормак уже решил ее десять лет назад. А Кормак, в свою очередь, не знал, что австрийский математик Иоганн Радон решил ее на сорок лет раньше как чисто математическую проблему, не предполагая практического применения. Математические инструменты, необходимые для компьютерной томографии, на полвека опередили свое время.

В своей Нобелевской речи Кормак упомянул, что он и его коллега Тодд Квинто позднее познакомились с результатами Радона и пытались обобщить их на трехмерные и даже четырехмерные области. Должно быть, аудитории было трудно это понять. Зачем кому-то изучать четырехмерный мозг? Кормак объяснял[306]:

Какая польза от этих результатов? Я не знаю ответа. Они почти наверняка дадут какие-то теоремы в теории дифференциальных уравнений в частных производных, и некоторые из них могут найти применение в МРТ или ультразвуковом сканировании, однако это вовсе не обязательно. Да и несущественно. Мы с Квинто изучаем эти темы, поскольку они интересны сами по себе как математические проблемы, и в этом вся суть науки.

Глава 11. Будущее анализа

Название этой главы может вызвать недоумение у тех, кто считает анализ завершенным. Какое у него может быть будущее? Он же закончен, разве нет? Именно это на удивление часто можно услышать в математических кругах. В нынешней интерпретации анализ начался взрывом благодаря прорыву Ньютона и Лейбница. Их открытия привели к золотой лихорадке 1700-х, когда озорные, почти головокружительные исследования позволяли разгуляться голему бесконечности. Предоставив ему полную свободу действий, математики получили множество впечатляющих результатов, но также породили массу бессмыслицы и сумятицы. Поэтому в 1800-х следующие поколения математиков, более строго относившиеся к своей работе, снова загнали голема в клетку. Они убрали из анализа бесконечность и бесконечно малые величины, укрепили фундамент предмета и окончательно прояснили, что на самом деле означают пределы, производные, интегралы и действительные числа. Примерно к 1900 году операции по зачистке были закончены.

На мой взгляд, такое представление об анализе слишком однобоко. Ведь анализ – это не только работы Ньютона, Лейбница и их последователей. Его история началась намного раньше и развивается до сих пор. Для меня анализ определяется его кредо: чтобы решить сложную задачу о чем-то непрерывном, разрежьте ее на бесконечно много частей, решите их и, собрав затем ответы воедино, сможете понять смысл исходного целого. Я назвал это кредо принципом бесконечности.

Принцип бесконечности существовал с самого начала: в работах Архимеда с криволинейными формами; во время научной революции; в ньютоновской системе мира; есть он и сейчас – в наших домах, наших автомобилях и наших офисах. Он помог нам разработать GPS, мобильные телефоны, лазеры и микроволновые печи. ФБР использовало его для сжатия миллионов файлов отпечатков пальцев. Аллан Кормак применил для создания теории КТ-сканирования. И ФБР, и Кормак решали сложную задачу, собрав ее из более простых частей: вейвлеты для отпечатков пальцев, синусоиды для компьютерной томографии. С этой точки зрения анализ – это обширная коллекция идей и методов, используемых для изучения чего угодно: любой закономерности, любой кривой, любого движения, любого природного процесса, системы или явления, которые меняются плавно и непрерывно, а потому могут стать основой для принципа бесконечности. Это широкое определение выходит далеко за рамки анализа Ньютона и Лейбница и включает его потомков: анализ функций нескольких переменных, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, анализ Фурье, теорию функций комплексной переменной и многие другие разделы высшей математики, где появляются пределы, производные и интегралы. С этой точки зрения анализ не завершен. Он по-прежнему развивается.

Но здесь я в меньшинстве. Фактически я его и составляю. Никто из моих коллег по математическому факультету не согласится с тем, что все это анализ, и не без оснований: это было бы абсурдно. Иначе половину курсов в учебной программе пришлось бы переименовать. Наряду с Анализом 1, 2 и 3, у нас был бы Анализ с 4 по 38[307]. Прямо скажем, не очень наглядно. Поэтому мы даем собственные названия каждой ветви анализа и затемняем непрерывную связь между ними. Мы разрезаем анализ на мелкие потребляемые части. Какая ирония, учитывая, что и сам анализ делит непрерывные вещи на части, чтобы облегчить их понимание. Позвольте уточнить: я не возражаю против разных названий курсов. Я всего лишь хочу сказать, что такая нарезка может ввести в заблуждение и заставить нас забыть, что все эти части взаимосвязаны и составляют нечто большее. Цель этой книги – показать анализ как единое целое, помочь ощутить его красоту, единство и величие.

Так что же ожидает анализ в будущем? Как говорится, предсказывать всегда трудно, особенно будущее[308], но я с уверенностью могу предположить, что в ближайшие годы будут преобладать следующие тенденции:

1. Новые приложения анализа к общественным наукам, музыке, искусству и гуманитарным дисциплинам.

2. Продолжение использования анализа в медицине и биологии.

3. Преодоление случайностей, присущих финансам, экономике и погоде.

4. Анализ на службе больших данных и наоборот.

5. Постоянная работа с нелинейностью, хаосом и сложными системами.

6. Развитие партнерства между анализом и компьютерами, включая искусственный интеллект.

7. Расширение границ анализа в квантовой области.

Это очень широкий охват. И, вместо того чтобы говорить понемногу о каждой из упомянутых тем, я сосредоточусь на некоторых из них. После краткого знакомства с дифференциальной геометрией ДНК, где тайна кривых встречается с тайной жизни, мы рассмотрим ряд исследований, которые, я надеюсь, вы сочтете представляющими интерес с философской точки зрения. К ним относятся проблемы прогнозов, связанные с увеличением хаоса, теорией сложности, компьютерами и искусственным интеллектом. Однако для того, чтобы все это обрело смысл, нам нужно рассмотреть основы нелинейной динамики. Изучение такого контекста позволит лучше понять стоящие перед нами задачи.

Индекс сверхспирализации ДНК

Анализ традиционно применялся в «точных» науках – физике, астрономии и химии. Но в последние десятилетия проник в биологию и медицину – в такие области, как эпидемиология, популяционная биология, нейробиология и диагностическая визуализация. На протяжении всего нашего рассказа мы сталкивались с примерами математической биологии, начиная от использования анализа для прогнозирования результатов лицевой пластики до моделирования борьбы ВИЧ с иммунной системой. Однако все они были связаны с какими-либо аспектами загадки изменения, самой современной навязчивой идеи анализа. Следующий же пример взят из старой загадки кривых, которая обрела новую жизнь в трехмерной структуре ДНК.

Загадка связана с тем, как молекула ДНК, аномально длинная и содержащая всю генетическую информацию о человеке, упакована в клетках. Каждая из примерно 10 триллионов клеток нашего организма содержит около двух метров ДНК. Если уложить эти молекулы последовательно друг за другом, то они дойдут до Солнца и обратно несколько десятков раз. Скептик может возразить, что на деле это сравнение вовсе не так впечатляюще, как звучит: оно просто отражает огромное количество клеток в нашем организме. Более информативное сравнение – с размером клеточного ядра, контейнера, содержащего ДНК. Диаметр типичного ядра – около пяти миллионных метра, то есть оно в 400 тысяч раз меньше, чем ДНК, которая должна туда помещаться. Такой коэффициент сжатия эквивалентен тому, как если бы мы в теннисный мячик пытались впихнуть 30-километровую веревку. К тому же ДНК нельзя набивать в ядро случайным образом. Молекула не должна запутываться. Упаковывать надо упорядоченно, чтобы ферменты могли ее читать и переводить в белки, необходимые для функционирования клетки. Упорядоченная упаковка также важна для того, чтобы ДНК можно было аккуратно копировать, когда клетка готова делиться.

Эволюция решила проблему упаковки с помощью катушек – то же самое решение мы используем при хранении длинного куска нитки. ДНК в клетках намотана на «молекулярные катушки», состоящие из особых белков, именуемых гистонами. Чтобы добиться дальнейшей компактности, эти катушки соединяются встык, как бусины на ожерелье, а затем ожерелье сворачивается в шнуровидные волокна, которые сами скручиваются в хромосомы. Эти витки витков витков уплотняют ДНК настолько, что она помещается в тесную квартирку ядра.

Однако катушки не были исходным решением проблемы упаковки, предложенным природой. Самые ранние существа на Земле были одноклеточными организмами, лишенными ядер и хромосом. У них не было катушек, как их нет у современных бактерий и вирусов. В таких случаях генетический материал уплотняется с помощью механизма, основанного на геометрии и упругости. Представьте, что вы туго натянули резиновую ленту, а затем закручиваете ее с одного конца, удерживая пальцами. Сначала при каждом последовательном повороте резиновая лента дает оборот вокруг оси. Эти обороты копятся, но резиновая лента остается прямой до тех пор, пока такое скручивание не достигнет некоего порога. Здесь резинка внезапно переходит в третье измерение и начинается извиваться, словно корчась от боли. Такое скручивание приводит к скомкиванию и компактификации ленты. То же самое делает и ДНК.

Это явление известно как сверхспирализация. Оно часто встречается в циклах ДНК. Хотя мы склонны представлять ДНК в виде вытянутой молекулы с двумя свободными концами, во многих случаях она замыкается, образуя кольцо. Это похоже на то, как если бы вы взяли ремень, перекрутили один его конец на несколько оборотов, а потом застегнули пряжку. После этого число оборотов у ремня не изменить. Оно фиксировано. Если вы станете где-нибудь перекручивать ремень, то в другом месте появятся встречные перекручивания, чтобы компенсировать ваши. Здесь работает закон сохранения. То же самое происходит, когда вы храните садовый шлаг уложенным на полу кольцами друг на друга. При попытке вытянуть шланг в прямую он начнет скручиваться у вас в руках – кольца преобразуются в скручивания. Преобразование может также идти в другом направлении, от скручиваний к кольцам, как с резиновой лентой, которая после ряда скручиваний начинает изгибаться в пространстве. ДНК примитивных организмов использует такое изгибание. Определенные ферменты могут разрезать ДНК, скручивать ее, а затем снова склеивать. Когда молекула ДНК для минимизации энергии ослабляет скручивание, закон сохранения приводит к сверхспирализации молекулы – в итоге она становится более компактной. Получающаяся линия молекулы ДНК больше не лежит в одной плоскости, а изгибается в трех измерениях.

В начале 1970-х американский математик Брок Фуллер дал первое математическое описание трехмерного искажения ДНК. Он предложил величину, которую назвал индексом сверхспирализации ДНК[309], и вывел для нее формулы, используя производные и интегралы, а также доказал ряд теорем об этой величине, которые формализовали закон сохранения для скручиваний и колец спирали. С тех пор изучение геометрии и топологии ДНК[310] – процветающая область науки. С помощью теории узлов математики[311] выяснили механизмы определенных ферментов, которые могут скручивать ДНК, разрезать ее, вносить в нее узлы или связи. Такие ферменты изменяют топологию ДНК и поэтому называются топоизомеразами. Они могут разорвать нити ДНК и снова восстановить их и важны для деления и роста клеток. Они оказались эффективными мишенями для химиотерапевтических препаратов против рака[312]. Механизм действия не вполне ясен, но считается, что такие препараты (ингибиторы топоизомеразы), блокируя действие топоизомеразы, могут селективно повреждать ДНК раковых клеток, что заставляет их совершать самоубийство. Хорошие новости для пациента, плохие – для опухоли.

При применении анализа к сверхспиральной ДНК двойная спираль молекулы считается непрерывной кривой. Как обычно, анализ работает с непрерывными объектами. В реальности это только модель: ДНК – дискретный набор атомов и в ней нет ничего непрерывного. Однако при хорошем приближении ее можно рассматривать как непрерывную кривую, как идеальную резиновую ленту. Преимущество такого подхода – возможность применять аппарат теории упругости и дифференциальной геометрии, двух отпочковавшихся ветвей анализа, чтобы вычислять, как ДНК деформируется под воздействием сил со стороны белков, окружающей среды и при взаимодействии с собой.

Более важный момент заключается в том, что анализ, как обычно, проявляет творческий подход, обращаясь с дискретными объектами как с непрерывными, чтобы пролить свет на их поведение. Такое моделирование приближенное, но весьма полезное. В любом случае это единственный возможный вариант. Без предположения о непрерывности нельзя применить принцип бесконечности. А без него нет ни анализа, ни дифференциальной геометрии, ни теории упругости.

Я ожидаю, что в будущем мы увидим еще больше примеров непрерывного применения анализа и математики к принципиально дискретным биологическим объектам: генам, клеткам, белкам и прочим актерам на биологической сцене. Слишком много можно получить от приближения континуумом, чтобы отказаться им пользоваться. Пока мы не разработаем новую форму анализа, которая будет работать для дискретных систем так же хорошо, как традиционный анализ для континуумов, при математическом моделировании жизни нас по-прежнему будет направлять принцип бесконечности.

Детерминизм и его пределы

Наши следующие две темы – развитие нелинейной динамики и влияние компьютеров на анализ. Я выбрал их потому, что они весьма интригующи с философской точки зрения, поскольку могут навсегда изменить природу прогнозирования и привести к новой эпохе в анализе – и в науке в целом, – где человеческая проницательность может начать угасать, хотя наука сама по себе все еще будет развиваться. Чтобы прояснить, что я имею в виду под этим несколько апокалиптическим предупреждением, нам нужно понять, как вообще возможно предсказание, что оно означало классически и как наши классические представления пересматриваются в связи с открытиями, сделанными за последние десятилетия в нелинейных системах, хаосе и сложных системах.

В начале 1800-х французский математик и астроном Пьер-Симон Лаплас[313] довел детерминизм ньютоновской вселенной в виде часового механизма до логического завершения. Он представил богоподобный интеллект (сегодня именуемый демоном Лапласа), который мог бы отследить положение всех атомов во Вселенной и всех действующих на них сил. Он писал: «Будь такой разум также достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу… для него ничего не было бы неясного, и будущее существовало бы в его глазах точно так же, как прошлое»[314],[315].

По мере приближения к XX веку такая экстремальная формулировка определения Вселенной как часового механизма стала казаться с научной и философской точек зрения несостоятельной сразу по нескольким различным причинам. Одна из причин была обусловлена анализом, и мы должны благодарить за это Софью Ковалевскую[316]. Ковалевская родилась в 1850 году и выросла в аристократической семье в Москве. Когда ей было одиннадцать лет, она обнаружила, что буквально окружена анализом, поскольку стена ее спальни была оклеена листами из курса лекций, которые ее отец посещал в юности. Позднее она писала, что «в детстве проводила целые часы перед этой таинственной стеной, пытаясь разобрать хоть отдельные фразы и найти тот порядок, в котором листы должны следовать друг за другом»[317]. Она стала первой в истории женщиной – профессором математики.

Хотя Ковалевская рано проявила склонность к математике, российские законы не позволяли ей поступить в университет. Она вступила в фиктивный брак, который причинил ей много страданий в последующем, но, по крайней мере, позволил выехать в Германию[318], где она поразила своим талантом нескольких профессоров. Однако даже там Ковалевской официально не разрешали посещать занятия. Она договорилась о частных уроках с Карлом Вейерштрассом и по его рекомендации была удостоена докторской степени за решение нескольких важных задач в анализе, динамике и уравнениях в частных производных. В конце концов она стала профессором Стокгольмского университета и преподавала там восемь лет, однако в 41 год умерла от воспаления легких. В 2009 году лауреат Нобелевской премии Элис Манро опубликовала о ней рассказ под названием «Слишком много счастья».

Взгляды Ковалевской на границы детерминизма сформировались вследствие ее работ по динамике твердых тел. Твердое тело – это математическая абстракция объекта, который нельзя согнуть или деформировать; все его точки жестко соединены друг с другом. Примером может служить волчок. Это твердое тело, состоящее из бесконечного количества точек, а потому более сложный механический объект, чем одноточечные частицы, которые рассматривал Ньютон. Движение твердых тел важно для астрономии – так описываются самые разные явления, от хаотического кувыркания Гипериона[319], маленького спутника Сатурна, похожего на картофелину, до размеренного вращения капсулы космического корабля или спутника.

Изучая динамику твердых тел, Ковалевская получила два важных результата. Первый относился к вращению тела, движение которого можно проанализировать полностью, – так же как Ньютон решил задачу двух тел. Два случая разрешимости задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки были уже известны; Ковалевская нашла третий.

Еще важнее было доказательство, что других разрешимых случаев не существует: она нашла последний. Все остальные не поддаются интегрированию, то есть их динамику нельзя определить с помощью формул в духе Ньютона. И проблемы тут не в недостаточной искусности; Ковалевская доказала, что просто не может существовать формул определенного вида (на математическом языке – мероморфной функции времени), которые могли бы описать вращение тела. Таким образом, она ограничила возможности анализа. Если даже вращающийся волчок мог бросить вызов демону Лапласа, никакой надежды – даже в принципе – найти формулу судьбы Вселенной не было.

Нелинейность

Неразрешимость, обнаруженная Софьей Ковалевской, связана со структурой уравнений для вращающегося твердого тела: эти уравнения нелинейны. Здесь нас не интересует технический смысл нелинейности. Для наших целей достаточно ощутить разницу между линейными и нелинейными системами, а для этого рассмотрим несколько примеров из повседневной жизни.

Чтобы проиллюстрировать, на что похожи линейные системы, предположим, что на весах одновременно взвешиваются два человека – просто ради смеха. Их общая масса будет суммой отдельных масс. Причина в том, что весы – это линейное устройство. Массы людей не взаимодействуют друг с другом и не делают ничего заковыристого, о чем нам следовало бы знать. Например, тела не сговариваются друг с другом, чтобы выглядеть легче, и не вредят друг другу, чтобы казаться тяжелее. Массы просто складываются. В линейной системе, подобной весам, целое равно сумме частей. Это первое ключевое свойство линейности. Второе свойство – причины пропорциональны следствиям. Представьте, что вы натягиваете тетиву лука. Чтобы оттянуть ее на определенное расстояние, требуется определенная сила, а чтобы расстояние увеличилось вдвое, нужно приложить вдвое больше силы. Причина и следствие пропорциональны. Эти два свойства – пропорциональность между причиной и следствием и равенство целого сумме частей – суть того, что значит быть линейным.

Однако многое в природе устроено гораздо сложнее. Когда части системы взаимодействуют, сотрудничают или конкурируют друг с другом, происходят нелинейные взаимодействия. Большая часть нашей повседневной жизни нелинейна: если вы одновременно станете слушать две любимые песни, то не получите двойного удовольствия. То же касается употребления алкоголя или лекарственных препаратов, где эффект взаимодействия может даже привести к смерти. Напротив, сочетание арахисового масла и джема прекрасно. Они не просто складываются – они усиливают воздействие друг друга[320].

Нелинейность отвечает за богатство мира, его красоту и сложность, а нередко и непостижимость. Например, вся биология нелинейна, как и социология. Вот почему гуманитарные науки сложны и математизируются в последнюю очередь.

То же различие между линейностью и нелинейностью относится и к дифференциальным уравнениям, но здесь ситуация менее интуитивно понятна. Единственное, что нужно сказать, – когда дифференциальные уравнения нелинейны, как в случае вращения твердого тела, исследованного Ковалевской, их крайне сложно решать. Со времен Ньютона математики по возможности избегали нелинейных дифференциальных уравнений. Они считаются противными и непокорными.

Напротив, линейные уравнения милы и покладисты. Математики любят их, поскольку они просты. Для их решения существует отлично развитая теория. Действительно, примерно до 1980-х годов традиционное образование в области прикладной математики было практически полностью посвящено изучению методов использования линейности. Годы уходили на освоение рядов Фурье и прочих методов, пригодных для решения линейных уравнений.

Большое преимущество линейности – возможность редукционистского мышления. Чтобы решить линейную задачу, мы можем разбить ее на простейшие части, решить каждую по отдельности и сложить вместе для получения общего ответа. Свое уравнение теплопередачи (которое было линейным) Фурье решил с помощью именно такой редукционистской стратегии. Он разложил сложное распределение температуры на синусоиды, выяснил, как будет меняться каждая синусоида по отдельности, а затем снова скомбинировал их, чтобы спрогнозировать, как будет меняться общая температура вдоль нагретого металлического стержня. Стратегия сработала, потому что уравнение теплопередачи линейно. Оно делится на части, не теряя своей сути.

Софья Ковалевская помогла нам осознать, насколько иным становится мир, когда мы сталкиваемся с нелинейностью. Она поняла, что нелинейность накладывает ограничения на человеческую гордыню. Когда система нелинейна, ее поведение порой невозможно предсказать с помощью формул, даже если оно полностью детерминировано. Иными словами, детерминизм не предполагает предсказуемости. Потребовалось движение волчка – детской игрушки, – чтобы сделать нас более смиренными в отношении того, что мы можем хотя бы надеяться узнать.

Хаос

В ретроспективе мы можем более ясно понять, почему у Ньютона болела голова, когда он пытался решить задачу трех тел. Такая задача неизбежно нелинейна – в отличие от задачи двух тел, которую можно сделать линейной. Нелинейность вызвана не переходом от двух тел к трем, а структурой самих уравнений. Для двух тел, притягивающих друг друга, нелинейность можно устранить с помощью удачной замены переменных в дифференциальных уравнениях. Для трех и большего количества тел это не получится.

Потребовалось много времени, чтобы полностью оценить уничижающие последствия нелинейности. Математики веками ломали голову над задачей трех тел, но даже при наличии определенного прогресса никто не мог разобраться с нею до конца. В конце 1800-х годов французский математик Анри Пуанкаре полагал, что решил ее, но в вычисления закралась ошибка[321]. Когда он ее исправил, задача ему по-прежнему не поддавалась, зато он обнаружил нечто более важное – явление, которые мы сегодня называем хаосом.

Хаотические системы причудливы[322]. Маленькое изменение начальных условий может привести к огромным отличиям в конце. А все потому, что эти маленькие начальные изменения растут экспоненциально быстро. Любая крохотная ошибка или возмущение растут настолько быстро, что в долгосрочной перспективе система становится непредсказуемой. Хаотические системы не случайны – они детерминированы и потому предсказуемы в краткосрочном периоде. Но в долгосрочном из-за высокой чувствительности к начальным условиям во многих отношениях выглядят действительно случайными.

Хаотические системы можно неплохо прогнозировать до определенного момента, называемого горизонтом предсказуемости[323]. До него детерминизм системы обеспечивает прогнозируемость. Например, горизонт предсказуемости для всей Солнечной системы рассчитан примерно на четыре миллиона лет[324]. Для времени, намного меньшего, чем эта величина (например, для одного года, необходимого для вращения Земли вокруг Солнца), все работает, как часы. Но стоит нам продвинуться на несколько миллионов лет, как все резко меняется. Мелкие гравитационные возмущения между всеми телами Солнечной системы накапливаются до такой степени, что мы больше не можем точно прогнозировать ее поведение.

Существование горизонта предсказуемости вытекало из работы Пуанкаре. До него считалось, что ошибки будут расти во времени линейно, а не экспоненциально: если удвоить время, то удвоится и ошибка. При линейном росте ошибок для более длительного прогнозирования достаточно улучшить качество измерения. Но когда ошибки растут экспоненциально быстро, говорят, что система чувствительна к начальному состоянию. В этом случае долгосрочное прогнозирование становится невозможным. Это с философской точки зрения разочаровывающее послание хаоса.

Важно понять, что в этом нового. Люди всегда знали, что для больших сложных систем, таких как погода, трудно делать предсказания. Сюрпризом стало то, что столь же непредсказуемой оказалась система куда проще – вращающееся вокруг точки твердое тело или три притягивающихся тела. Это был шок и еще один удар по наивному лапласовскому смешиванию детерминизма и предсказуемости.

Если говорить о плюсах, то в хаотических системах благодаря их детерминистскому характеру сохраняются остатки порядка. Пуанкаре разработал новые методы анализа нелинейных систем, включая хаотические, и нашел способ извлечь из них скрытый порядок. Вместо формул и алгебры он использовал рисунки и геометрию. Его качественный подход помог посеять семена в таких областях, как топология и теория динамических систем. Благодаря его основополагающей работе теперь мы гораздо лучше понимаем порядок и хаос.

Наглядный подход Пуанкаре

Чтобы привести пример подхода Пуанкаре[325], рассмотрим колебания простого маятника – такого, как изучал Галилей. Используя закон движения Ньютона и учитывая силы, действующие на маятник при раскачивании, мы можем нарисовать абстрактную картинку, показывающую, как меняются угол и скорость маятника в любой момент времени. Эта картинка – по сути, перевод на визуальный язык того, что говорит закон Ньютона. В ней нет ничего нового по сравнению с содержанием дифференциального уравнения. Это просто еще один способ взглянуть на ту же самую информацию.

Рисунок выглядит как метеорологическая карта: на таких картах мы видим стрелки, показывающие локальное направление движения атмосферного фронта в данный момент. Это тот же тип информации, которую предоставляет дифференциальное уравнение. Ту же информацию содержат инструкции по обучению танцам: поставьте левую ногу сюда, правую ногу туда и так далее. Такая карта называется схемой векторного поля. Маленькие стрелки на ней – это векторы, показывающие, как будут меняться угол и скорость маятника в следующий момент, если в данный момент они именно таковы. Изображение векторного поля для маятника выглядит примерно так:

Прежде чем анализировать эту картинку, четко усвойте: она абстрактна в том смысле, что не показывает реалистичный портрет маятника. Узор из поворачивающихся стрелок не похож на груз, подвешенный на веревке. Фотография маятника тоже так не выглядит. (Чтобы дать вам представление, что происходит, под диаграммой векторного поля размещены рисунки положений маятника.) Вместо реалистичного изображения маятника схема векторного поля дает абстрактную картину изменения его положения от одного момента к другому. Каждая точка на схеме представляет собой возможную комбинацию угла и скорости маятника в какой-то момент. Горизонтальная ось показывает угол отклонения маятника, вертикальная – его скорость. В любое мгновение знание этих двух чисел определяет динамическое состояние маятника. Они предоставляют нам информацию, необходимую для предсказания угла и скорости маятника через мгновение, затем еще через мгновение и так далее. Все, что от нас требуется, – следовать за стрелками.

Круговое расположение стрелок около центра диаграммы соответствует простому колебательному движению маятника, когда он отклоняется от вертикального положения и возвращается в него. Волнообразная форма расположения стрелок вверху и внизу соответствует вращению маятника с прохождением верхней точки – подобно пропеллеру. Ни Ньютон, ни Галилей никогда не рассматривали такие вихревые движения; они находились за пределами того, что можно вычислить классическими методами. Однако на рисунке Пуанкаре они отчетливо видны. Такой качественный подход к дифференциальным уравнениям теперь постоянно используется во всех областях, где появляется нелинейная динамика, – от лазерной физики до нейробиологии.

Нелинейность идет на войну

Нелинейную динамику можно весьма успешно применять на практике. В умелых руках британских математиков Мэри Картрайт[326] и Джона Литтлвуда методы Пуанкаре помогли защитить Великобританию от нацистских налетов. В 1938 году Управление научных и промышленных исследований британского правительства обратилось в Лондонское математическое общество за помощью в решении проблемы, связанной со сверхсекретными разработками в области радиолокации. Инженеры, работавшие над проектом радара, были озадачены шумными беспорядочными колебаниями, которые наблюдались в усилителях, особенно при работе устройств с мощными высокочастотными радиоволнами. Они опасались каких-то неполадок с оборудованием.

Просьба правительства привлекла внимание Картрайт. Она уже изучала модели колебательных систем, подчиняющихся подобным «крайне неприятно выглядящим дифференциальным уравнениям»[327], как она описывала их позднее[328]. Они с Литтлвудом стали искать источник беспорядочных колебаний в электронике радара. Усилители были нелинейными и могли реагировать хаотично при слишком быстрых или сильных воздействиях.

Спустя десятилетия физик Фримен Дайсон вспоминал, как слушал лекцию Картрайт о ее работе в 1942 году. Он писал:

Вся разработка радаров во время Второй мировой войны зависела от мощных усилителей, и добиться того, чтобы они делали то, что им положено делать, было вопросом жизни и смерти. Солдаты допекали плохо работающими усилителями и винили производителей в их хаотическом поведении. Картрайт и Литтлвуд обнаружили, что производители не виноваты. Виновато было само уравнение[329].

Идеи Картрайт и Литтлвуда позволили государственным инженерам обойти проблему, управляя усилителями в режимах, где они вели себя более предсказуемо. Картрайт очень скромно оценивала свой вклад. Когда она прочитала, что Дайсон написал о ее работе, она отругала его за то, что он придал ей слишком большое значение.

Дама[330] Мэри Картрайт скончалась в 1998 году в возрасте 97 лет. Она стала первой женщиной-математиком, избранной в Лондонское королевское общество. Она оставила строгие указания, чтобы на поминальной службе не произносили хвалебных речей.

Альянс между анализом и компьютерами

Необходимость решать дифференциальные уравнения во время войны подстегнула развитие вычислительной техники. Механические и электронные мозги, как их в те дни иногда называли, можно было применять для вычисления траекторий ракет и артиллерийских снарядов при реалистичных условиях – с учетом сопротивления воздуха и направления ветра. Эта информация требовалась артиллеристам для поражения целей: все необходимые баллистические расчеты производились заранее и сводились в стандартные таблицы и диаграммы. Для такой задачи нужны были машины с высокой производительностью. При математическом моделировании компьютеры могли продвигать идеализированный снаряд по траектории его полета – один маленький шажок за другим, используя подходящее дифференциальное уравнение для определения нового положения и скорости снаряда. Объединяя все эти маленькие приращения, компьютер получал решение. Только машина могла выполнять все необходимые сложения и умножения – правильно, быстро и без устали.

Наследие анализа очевидно в названиях некоторых ранних компьютеров[331]. Одним из них было механическое устройство под названием дифференциальный анализатор. Его задача заключалась в решении дифференциальных уравнений, необходимых для составления артиллерийских таблиц. Другая машина называлась ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer – Электронный числовой интегратор и вычислитель). Здесь слово «интегратор» использовалось в математическом смысле и относилось к взятию интегралов или интегрированию дифференциальных уравнений. Полностью готовый в 1945 году, ЭНИАК стал одним из первых перепрограммируемых компьютеров общего назначения. Наряду с составлением таблиц стрельбы он также оценивал техническую осуществимость водородной бомбы.

Хотя развитие компьютеров стимулировало военное применение анализа и нелинейной динамики, и эти машины, и разработанная теория нашли себе сферы приложения и в мирное время. В 1950-е годы ученые начали использовать их для решения задач, возникающих в их собственных дисциплинах, а не только в физике. Например, британские биологи Алан Ходжкин и Эндрю Хаксли[332] с помощью компьютера пытались понять, как нервные клетки общаются друг с другом и как электрические сигналы проходят по нервным волокнам. Они провели кропотливые эксперименты по расчету потока ионов калия и натрия через мембрану очень большого и удобного для экспериментирования нервного волокна – гигантского аксона кальмара[333] и в результате эмпирически выяснили, как эти потоки зависят от напряжения на мембране и как это напряжение изменяется при движении ионов. Но чего они не могли вычислить без компьютера, так это скорость и форму нервного импульса, проходящего по аксону. Для определения его движения требовалось решить нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных для напряжения как функции от времени и пространства. Эндрю Хаксли решил его за три недели с помощью ручного механического калькулятора.

В 1963 году Ходжкин и Хаксли получили Нобелевскую премию за открытие ионной основы работы нервных клеток. Их подход вдохновил всех, кто интересовался применением математики к биологии. Она определенно выглядела перспективной областью для использования анализа. Математическая биология[334] – место, где есть простор для нелинейных дифференциальных уравнений. Опираясь на ньютоновские аналитические методы, геометрические методы в стиле Пуанкаре и максимально задействуя потенциал компьютеров, специалисты по математической биологии выводят и добиваются прогресса в решении дифференциальных уравнений, описывающих сердечные ритмы, распространение эпидемий, работу иммунной системы, взаимодействие генов, развитие рака и многие другие загадки жизни. Ничего этого мы бы не сделали без анализа.

Сложные системы и проклятие высокой размерности

Самое серьезное ограничение подхода Пуанкаре связано с человеческим мозгом, который не может представить себе пространства из более чем трех измерений. Естественный отбор настроил нашу нервную систему на восприятие трех измерений обычного пространства – вверх-вниз, влево-вправо, вперед-назад. Как бы мы ни старались, мы не можем изобразить четвертое измерение (я не имею в виду – мысленным взглядом). Однако с помощью символов мы можем попробовать работать с любым числом измерений: Ферма и Декарт показали нам, как это делать. Их координатная плоскость научила нас связывать числа и размерность пространства. Направление влево-вправо соответствовало числу x, вверх-вниз – числу y. Добавив новые числа, мы получим новые измерения. Для трех измерений достаточно x, y и z. Почему бы не взять четыре измерения или пять? Ведь букв еще много.

Возможно, вы слышали, что время – это четвертое измерение. Действительно, в специальной и общей теории относительности Эйнштейна пространство и время слиты в единую сущность, пространство-время, и представлены на четырехмерной математической арене. Грубо говоря, обычное пространство соответствует первым трем осям, а время – четвертой. Эту конструкцию можно рассматривать как обобщение двумерной координатной плоскости Ферма и Декарта.

Но сейчас мы говорим не о пространстве-времени. Ограничение, присущее подходу Пуанкаре, касается гораздо более абстрактной сферы. Это обобщение абстрактного пространства состояний, с которым мы познакомились, когда рассматривали векторное поле для маятника. Тогда мы построили абстрактное пространство с одной осью для угла маятника и с другой – для его скорости. В каждое мгновение угол и скорость качающегося маятника имели конкретные значения, а значит, в тот момент они соответствовали какой-то определенной точке на плоскости для угла и скорости. Стрелки на этой плоскости (похожие на инструкции для танцоров) показывали, как это состояние меняется от момента к моменту – в соответствии с дифференциальным уравнением Ньютона для маятника. Следуя этим стрелкам, мы могли предсказать, как будет двигаться маятник. В зависимости от того, где началось движение, он мог колебаться влево-вправо или вообще вращаться. И вся эта информация содержалась в картинке.

Здесь важно понять, что пространство состояний маятника имеет два измерения, поскольку двух переменных – угла и скорости – достаточно для предсказания будущего поведения маятника. Они дают ровно ту информацию, в которой мы нуждались для прогнозирования угла и скорости в следующий момент, затем в следующий и так далее. В этом смысле маятник по своей сути – двумерная система. Его пространство состояний имеет два измерения.