Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной Строгац Стивен
Наконец мать сделала доброе дело и по настоянию своего брата Уильяма Эйскоу и учителя Стокса позволила Исааку вернуться в школу. В 1661 году Ньютон успешно ее окончил и поступил в Тринити-колледж в Кембридже в качестве студента-сайзера. Так тогда называли тех, с кого не брали денег за обучение, но они зарабатывали себе на жизнь, помогая более богатым студентам. Иногда Исаак питался их объедками. (Мать могла себе позволить содержать сына, но этого не делала.) В колледже у него было мало друзей, и такая ситуация сохранится в течение всей его жизни. Он никогда не был женат и, насколько известно, никогда не заводил романов. Он редко смеялся.
Первые два года обучения в колледже были посвящены аристотелевской схоластике, что в то время было стандартом. Но затем разум юноши зашевелился. Прочитав книгу по астрологии, он заинтересовался математикой и обнаружил, что не в состоянии понять ее без знания тригонометрии, а тригонометрию – без знания геометрии, поэтому засел за «Начала» Евклида. Сперва все описанные результаты казались ему очевидными, но все изменилось, когда он добрался до теоремы Пифагора.
В 1664 году Исааку назначили стипендию, и он всерьез погрузился в математику. Изучив стандартные труды того времени, он быстро освоил основы десятичной арифметики, символическую алгебру, пифагоровы тройки, перестановки, кубические уравнения, конические сечения и бесконечно малые. Особенно его увлекли два автора – Декарт с его аналитической геометрией и касательными и Джон Валлис с исследованиями бесконечного и поиском площадей фигур.
Игра со степенными рядами
Изучая зимой 1664–1965 годов трактат Валлиса «Арифметика бесконечного», Ньютон наткнулся на нечто волшебное[210]. Это был новый способ поиска площадей под кривыми – способ, который был одновременно и простым, и общим.
По сути, он превратил принцип бесконечности в алгоритм. Традиционный принцип бесконечности предлагает вычислять площадь сложной области, представляя ее в виде бесконечного ряда более простых областей. Ньютон следовал этой стратегии, но модернизировал ее, используя в качестве строительных блоков не формы, а символы. Вместо обычных осколков, полосок или многоугольников он использовал степени x, такие как x2 или x3. Сегодня мы называем такую стратегию методом разложения функций в степенные ряды.
Ньютон рассматривал степенные ряды как естественное обобщение бесконечных десятичных дробей. В конце концов, бесконечная десятичная дробь – это не что иное, как бесконечный ряд степеней чисел 10 и 1/10. Цифры в подобного рода записи говорят нам, сколько степеней 10 и 1/10 здесь содержится. Например, числу = 3,14… соответствует такой ряд:
Конечно, чтобы записать любое число этим способом, мы должны разрешить себе использовать бесконечное количество цифр – именно это требует бесконечная дробь. По аналогии Ньютон предположил, что он может составить любую кривую или функцию из бесконечного числа степеней x. Фокус состоял в том, чтобы выяснить, сколько их нужно для искомой комбинации. В ходе своих изысканий он разработал несколько методов поиска нужных сочетаний.
Ньютон наткнулся на свой метод, размышляя о площади круга. Обобщив старую задачу, он обратил внимание на конструкцию, которую раньше никто не замечал. Вместо того чтобы смотреть на стандартные формы вроде целого круга или четверти круга, он занялся фигурой необычной формы – «круговым сегментом» ширины x, где величина x могла быть произвольным числом от 0 до 1, а радиус круга составлял 1.
Это был первый творческий шаг. Преимуществом использования величины x было то, что Ньютон мог непрерывно регулировать форму области, словно поворачивая какую-то рукоятку. Небольшое значение x, близкое к 0, давало тонкий вертикальный сегмент круга, тонкую полоску, стоявшую на его краю. Увеличение x утолщало сегмент. Приближение x к 1 давало знакомую форму четверти круга. Меняя x в ту или иную сторону, Ньютон мог получать все промежуточные формы.
С помощью раскованного экспериментирования, распознавания закономерностей и вдохновенных догадок (стиля мышления, почерпнутого из книги Валлиса) Ньютон обнаружил, что площадь круглого сегмента можно выразить с помощью следующего бесконечного степенного ряда:
То, откуда взялись все эти диковинные дроби и почему все степени x здесь нечетные числа, было секретным «соусом» Ньютона. Он «приготовил» его с помощью рассуждения, которое можно изложить следующим образом[211]. (Не стесняйтесь пропустить остальную часть абзаца, если вам это рассуждение не особо интересно. А если вас, наоборот, интересуют подробности, ищите их в примечаниях.) Ньютон начал работать с круговым сегментом, используя аналитическую геометрию. Он написал уравнение окружности в виде x2 + y2 = 1, откуда получил для y выражение
Производная степенного ряда для площади сегмента круга дала ему не менее удивительный ряд для площади самого круга:
Хотя еще многое предстояло сделать, тем не менее это уже был замечательный результат. Ньютон составил окружность из бесконечного количества более простых частей – более простых с точки зрения интегрирования и дифференцирования. Все составляющие были степенными функциями вида xn, где n – целое число. Для всех отдельных степенных функций было легко посчитать и производные, и интегралы (функции площади). Точно так же численные значения xn можно вычислить с помощью простой арифметики, используя только многократное умножение, а затем снова преобразовать в ряд с помощью всего лишь четырех арифметических действий. Тут не нужно было беспокоиться о квадратных корнях и прочих хлопотных функциях. Если бы Ньютону удалось найти такие степенные ряды для других кивых, а не только для кругов, их можно было бы тоже проинтегрировать безо всяких проблем.
Это поразительно, Исааку Ньютону едва исполнилось 22 года, а он уже нашел путь к святому Граалю анализа. Преобразуя кривые в степенные ряды, он мог систематически находить площади под ними. Обратная задача для степенных функций была парой пустяков, если учесть уже табулированные Ньютоном пары функций. Поэтому так же просто можно было разобраться с любой кривой, если ее можно было выразить в виде суммы степенного ряда. Таков был его алгоритм. И он был невероятно мощным.
Затем он попробовал другую кривую, гиперболу с уравнением y = 1 / (1 + x), и обнаружил, что и ее можно записать в виде степенного ряда
Этот ряд, в свою очередь, привел его к ряду для площади области под гиперболой на отрезке от 0 до x, гиперболического аналога кругового сегмента, изученного им ранее. Этот ряд определяет функцию, которую Ньютон назвал гиперболическим логарифмом, а мы сегодня именуем натуральным логарифмом:
Логарифмы привлекали Ньютона по двум причинам. Во-первых, они позволяли во много раз ускорять вычисления, во-вторых, были применимы к сложной проблеме в теории музыки, над которой он работал: как разделить октаву на идеально равные музыкальные интервалы, не жертвуя при этом приятной гармонией традиционной шкалы. (На языке теории музыки Ньютон использовал логарифмы, чтобы оценить, насколько точно равномерное разделение октавы может аппроксимировать традиционную систему чистого строя.)
Благодаря чудесам интернета и историкам из проекта Newton вы можете прямо сейчас перенестись в 1665 год и посмотреть на работу молодого Ньютона. Его рабочие записи из колледжа есть в бесплатном доступе по адресу http://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-04000/. Загляните через его плечо и найдите страницу 223 (в оригинале 105v), вы увидите, как он сравнивает музыкальные и геометрические прогрессии. Взгляните на нижнюю часть страницы, чтобы понять, как он соединяет свои вычисления с логарифмами. Затем перейдите на страницу 43 (в оригинале 20r) и ознакомьтесь с тем, как он выполняет квадратуру гиперболы и использует свой степенной ряд, чтобы вычислить натуральный логарифм числа 1,1 с пятьюдесятью знаками.
Разве обычный человек станет вычислять логарифмы с точностью до пятидесяти знаков? Казалось, он упивался новообретенной силой, которую ему дали степенные ряды. Позже, размышляя над экстравагантностью своих расчетов, он несколько конфузливо признался: «Стыдно сказать, в какое число мест я тащил тогда эти вычисления, не имея при этом никаких других дел; ибо тогда я действительно получал слишком много удовольствия от таких изобретений»[212].
Если вас это утешит, то никто не совершенен. Когда Ньютон впервые выполнил эти вычисления, он допустил мелкую арифметическую ошибку. Его расчеты были верны только до 28-й цифры. Позднее он обнаружил ошибку и исправил ее.
После атаки на натуральный логарифм Ньютон применил степенные ряды к тригонометрическим функциям, которые возникают каждый раз там, где есть окружности, циклы и треугольники, то есть в астрономии, геодезии или навигации. Однако здесь Ньютон не был первым. Более двух веков назад математики из Кералы в Индии открыли степенные ряды для синуса, косинуса и арктангенса[213]. В начале 1500-х Джьештадева и Нилаканта Сомаяджи приписали эти формулы Мадхаве из Сангамаграмы (около 1350 – около 1425), основателю Керальской школы математики и астрономии, который вывел их и выразил в стихах примерно за двести пятьдесят лет до Ньютона. В известном смысле логично, что степенные ряды появились в Индии. Именно здесь родились десятичные дроби, а, как мы видели, Ньютон полагал, что делает для кривых примерно то же, что бесконечные десятичные дроби для арифметики.
Суть в том, что степенные ряды вооружили Ньютона универсальным инструментом анализа. С ними он мог брать интегралы, находить корни алгебраических уравнений и вычислять значения неалгебраических функций, таких как синусы, косинусы и логарифмы. Как заметил ученый, «с их помощью анализ справляется, я бы сказал, со всеми задачами»[214].
Ньютон как мастер мэшапа
Я не верю, что Ньютон делал это сознательно, но в своей работе со степенными рядами он вел себя как мастер математического мэшапа[215]. Он подошел к задаче площади в геометрии через принцип бесконечности древних греков и сплавил его с индийскими десятичными дробями, исламской алгеброй и французской аналитической геометрией.
Некоторые математические заимствования видны в структуре его уравнений. Например, сравните бесконечный ряд чисел, использованный Архимедом при квадрировании параболы:
с бесконечным рядом символов, которые Ньютон использует при квадрировании гиперболы:
Если вы подставите
Более того, сходство в их работе распространяется и на рассматриваемые ими геометрические задачи. Оба берут сегменты; Архимед использует свой ряд для квадрирования (нахождения площади) сегмента параболы, а Ньютон – свой усовершенствованный степенной ряд
для квадрирования кругового сегмента и другой степенной ряд
для квадрирования сегмента гиперболы.
На самом деле ряды Ньютона неизмеримо мощнее, чем ряд Архимеда, потому что позволяли находить площади не одного, а бесконечного количества круговых и гиперболических сегментов. Вот что дал ученому абстрактный символ x. Он позволил ему непрерывно и безболезненно менять задачи; менять форму сегментов, сдвигая x влево или вправо, и в результате то, что казалось одним бесконечным рядом, на деле оказывалось бесконечным семейством бесконечных рядов, по одному ряду для каждого конкретного x. Такова мощь степенных рядов. Они дали возможность одним махом решить бесконечно много задач.
Однако повторюсь: Ньютон не решил бы ни одной задачи, если бы не стоял на плечах гигантов. Он объединил, синтезировал и обобщил идеи своих великих предшественников. Он унаследовал принцип бесконечности от Архимеда; научился касательным у Ферма; родиной десятичных дробей была Индия; переменные восходят к арабской алгебре; представление кривых на координатной плоскости позаимствовано из трудов Декарта; раскованные ухищрения с бесконечностью, дух экспериментирования и открытость к допущениям и индукции пришли от Валлиса. Он смешал все это вместе, чтобы создать нечто новое – то, что мы до сих пор используем для решения задач анализа: универсальный метод степенных рядов.
Частный анализ
Пока Ньютон работал со степенными рядами зимой 1664–1665 годов, Европу захлестнула страшная эпидемия, двигавшаяся, подобно волне, от Средиземного моря в Голландию. Когда бубонная чума достигла Лондона, она еженедельно убивала сначала сотни, а затем и тысячи людей. Летом 1665 года Кембриджский университет был временно закрыт. Ньютон отправился домой в семейную усадьбу в Линкольншире.
В течение следующих двух лет он стал лучшим математиком в мире. Но изобретения современного анализа было недостаточно, чтобы занять его ум. Он также открыл закон всемирного тяготения (закон обратных квадратов для гравитации) и применил его к движению Луны, изобрел телескоп-рефлектор и экспериментально показал, что белый свет состоит из всех цветов радуги. Ему не было еще и двадцати пяти. Как он позднее вспоминал, «в те дни я был в расцвете сил юности и думал о математике и философии больше, чем когда-либо впоследствии»[216].
В 1667 году, когда чума утихла, Ньютон вернулся в Кембридж и продолжил свои уединенные занятия. К 1671 году он свел разрозненные части анализа в единое целое. Он разработал метод разложения функций в степенные ряды, значительно улучшил существующие теории касательных, используя идеи движения, установил и доказал основную теорему анализа, которая решила задачу площадей, составил таблицы кривых и их функций площадей и свел все это в хорошо настроенную систематизированную вычислительную машину.
Но за стенами Тринити-колледжа он был невидим. Как, собственно, и хотел. Свой секретный источник он держал при себе. Замкнутый и подозрительный, он болезненно относился к критике и ненавидел спорить с кем бы то ни было, особенно с теми, кто его не понимал. Как он позднее объяснял, ему не нравится, когда его «изводят мелкие недоучки в математике»[217].
У него была еще одна причина для беспокойства: он знал, что его работа может быть подвергнута нападкам с точки зрения логики. Он использовал алгебру, а не геометрию и беспечно играл с бесконечностью, первородным грехом анализа. Джона Валлиса, чья книга так повлияла на молодого Ньютона, когда тот был студентом, жестко критиковали за то же самое. Томас Гоббс[218], политический философ и второсортный математик, назвал «Арифметику бесконечного» «паршой символов»[219] за то, что она опирается на алгебру, и «гнусной книгой»[220] за использование бесконечности. И Ньютон должен был признать, что его собственная работа была всего лишь анализом, а не синтезом. Она годилась для открытий, но не для доказательств. Он преуменьшал значение своих методов работы с бесконечностью, считая их «недостойными публичных выступлений»[221], а много лет спустя сказал: «Наша обманчивая алгебра вполне пригодна для поиска результатов, но совершенно не годится для создания текстов и передачи их потомкам»[222].
По этим и другим причинам Ньютон скрывал свои достижения. И все же какая-то его часть жаждала признания. Он был сильно расстроен и подавлен, когда Николас Меркатор опубликовал в небольшой книжке Logarithmotechnia, вышедшей в 1668 году, тот же самый ряд для натурального логарифма, который Ньютон открыл тремя годами ранее. Шок и разочарование оттого, что его опередили, побудили Ньютона написать в 1669 году короткую рукопись и распространить ее частным образом среди его немногих доверенных приверженцев. Книга с полным названием «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (De Analysi) выходила далеко за пределы логарифмов. В 1671 году он расширил ее до своего главного труда по анализу – «Трактата о методах рядов и флюксий», известного также как De Methodis, однако рукопись не увидела свет при его жизни; он тщательно берег ее и хранил для личного пользования. De Analysi была опубликована только в 1711 году, а De Methodis появилась только после смерти ученого, в 1736 году.
Наследие Ньютона включало пять тысяч страниц неопубликованных математических рукописей, так что миру потребовалось время, чтобы открыть для себя Исаака Ньютона. Однако в стенах Кембриджа его считали гением. В 1669 году Исаак Барроу, первый лукасовский профессор математики[223] и человек, которого с наибольшим основанием можно назвать наставником Ньютона, ушел в отставку и рекомендовал его на свое место.
Это была идеальная должность для Ньютона. Впервые в жизни он был финансово обеспечен. Здесь не требовалось много преподавать. У него не было аспирантов, а студенты неохотно посещали его лекции, что тоже было неплохо, так как они все равно его не понимали. Они не знали, как относиться к этой странной сухопарой монашеской фигуре в алом одеянии, с мрачным лицом и серебристыми волосами до плеч.
После окончания работы над De Methodis ум ученого оставался таким же лихорадочным, как и всегда, однако не анализ теперь составлял его главный интерес. Он углубился в библейские пророчества и хронологию, оптику и алхимию, разделял свет на цвета с помощью призм, экспериментировал с ртутью, нюхал химические вещества, и иногда пробовал их на вкус, топил днем и ночью печь, пытаясь превратить свинец в золото. И, как и Архимед, пренебрегал питанием и сном. Он искал секреты Вселенной и не желал ни на что отвлекаться.
Но отвлечься пришлось: в 1676 году он получил письмо из Парижа от некоего Лейбница. У того было несколько вопросов о степенных рядах.
Глава 8. Измышления разума
Как Лейбниц узнал о неопубликованной работе Ньютона? Это было несложно. Слухи об открытиях английского ученого ходили много лет. В 1669 году Исаак Барроу в надежде продвинуть своего протеже послал копию De Analysi без указания автора своему знакомому математику Джону Коллинзу, который находился в то время в центре переписки между британскими и континентальными математиками. Коллинз был поражен результатами, изложенными в книге, и спросил Барроу об авторе. С разрешения Ньютона Барроу раскрыл его имя: «Я рад, что работа моего друга доставила вам такое удовольствие. Его зовут мистер Ньютон; он сотрудник нашего колледжа, очень молодой… но необычайно гениальный и сведущий в этих вещах»[224].
Коллинз никогда не умел хранить секреты. Он дразнил своих корреспондентов отрывками из De Analysi и поражал их результатами Ньютона, не объясняя, откуда они взялись. В 1675 году он показал степенные ряды Ньютона для синуса и арксинуса датскому математику Георгу Бору, а тот сообщил о них Лейбницу. Лейбниц отправил письмо секретарю Лондонского королевского общества, родившемуся в Германии, но постоянно жившему в Лондоне дипломату и ученому Генри Ольденбургу: «Я вижу, что он [Бор] принес нам эти работы, которые кажутся мне весьма изобретательными, а последний ряд особенно выделяется определенной редкой элегантностью, так что я был бы признателен, достославный сэр, если бы вы прислали мне доказательство»[225].
Ольденбург передал эту просьбу Ньютону, но тот не слишком обрадовался. Отправить доказательство? Ха! Вместо этого он через Ольденбурга ответил Лейбницу целыми страницами загадочных устрашающих формул, которыми был набит труд De Analysi. За пределами узкого круга знакомых Ньютона никто не видел подобной математики. Вдобавок Ньютон подчеркнул, что этот материал устарел: «Я пишу довольно коротко, поскольку эти теории давно стали мне неприятны – до такой степени, что я уже почти пять лет от них воздерживаюсь»[226].
Однако Лейбница такое замечание не остановило, и он написал ответ, надеясь расшевелить Ньютона и извлечь еще какую-нибудь информацию. Во всем этом он был новичком. Дипломат, логик, лингвист и философ, он только недавно заинтересовался высшей математикой. Он много общался с Христианом Гюйгенсом, ведущим математическим умом Европы, поэтому был в курсе последних событий. Всего за три года занятий Лейбниц обогнал всех на континенте. Все, что ему сейчас требовалось, – выяснить, что знает Ньютон… и что утаивает.
Чтобы выудить информацию из англичанина, Лейбниц попробовал другой подход. Он попытался произвести на него впечатление, но просчитался. Он предложил Ньютону некоторые собственные наработки, а именно один бесконечный ряд, которым гордился: под видом подарка, но фактически как намек, что он достоин того, чтобы ему раскрыли секрет.
Ньютон ответил через Ольденбурга спустя два месяца, 24 октября 1676 года. Он начал с лести, назвав Лебница «весьма выдающимся»[227] и похвалив его бесконечный ряд, отметив, что он «заставляет нас также надеяться на другие великие вещи от него»[228]. Следовало ли воспринимать такие комплименты всерьез? По-видимому, нет, поскольку следующая строка была полна ядовитого сарказма: «Разнообразие способов достижения одной и той же цели доставило мне большое удовольствие, поскольку мне уже известны три способа получения рядов такого рода, так что я едва ли мог ожидать, что мне сообщат какой-то новый»[229]. Другими словами, спасибо за то, что показали мне то, что я умею делать тремя другими способами.
В оставшейся части письма Ньютон просто играл с Лейбницем. Он раскрыл некоторые свои методы для бесконечных рядов, объясняя их в педагогической манере, более подходящей для школьников. К счастью для потомков, эти части письма настолько прозрачны, что мы можем точно понять, что имел в виду Ньютон.
Но когда он добрался до своих самых ценных открытий (революционных методов из второго трактата по анализу, De Methodis, включая основную теорему, которая еще не стала известной), вежливое изложение Ньютона закончилось: «Основания таких операций на деле достаточно очевидны, но поскольку я не могу продолжить их объяснение сейчас, я предпочту скрыть их в таком виде: 6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12vx. На этом основании я также пытался упростить теории, касающиеся нахождения квадратур кривых и получил некоторые общие теоремы»[230].
С помощью этого шифрования Ньютон раскрыл Лейбницу свой самый заветный секрет, фактически говоря ему: «Я знаю нечто, чего не знаешь ты, и даже если ты впоследствии откроешь это, эта криптограмма докажет, что я знал это раньше»[231].
А вот чего Ньютон не знал – так это того, что Лейбниц уже открыл этот секрет самостоятельно.
В мгновение ока
Между 1672-м и 1676 годом Лейбниц создал собственную версию анализа. Как и Ньютон, он установил и доказал основную теорему, осознал ее значимость и построил вокруг нее алгоритмическую систему. Он писал, что с ее помощью смог «в мгновение ока»[232] вывести почти все теоремы о квадратурах и касательных, известные в то время, – за исключением тех, которые Ньютон по-прежнему скрывал от мира.
Когда Лейбниц написал два письма Ньютону в 1676 году, любопытствуя и прося доказательств, он понимал, что излишне напорист, но ничего не мог с собой поделать. Как он однажды признался своему другу, «я часто ощущаю себя обремененным недостатком, который в этом мире имеет большое значение, а именно нехваткой изысканных манер, поэтому часто порчу первое впечатление о себе»[233].
Тощий, сутулый и бледный[234], Лейбниц был не из тех, чья внешность привлекает внимание, но его ум был прекрасен. Он был самым разносторонним гением[235] в век гениев, среди которых были Декарт, Галилей, Ньютон и Бах.
Хотя Лейбниц создал свой вариант анализа через десятилетие после Ньютона, обычно по нескольким причинам его считают соавтором. Он первым опубликовал результаты, причем в стройной удобоваримой форме, да и воспользовался продуманными элегантными обозначениями, которые актуальны до сих пор. Более того, Лейбниц привлекал последователей, которые распространяли его слово с евангельским рвением. Они написали влиятельные учебники и проработали предмет с плодовитой детальностью. Позднее, когда Лейбница обвиняли в краже анализа у соперника, эти ученики яростно его защищали и с тем же запалом контратаковали Ньютона.
Подход Лейбница к анализу более элементарен, чем у Ньютона, и во многих случаях интуитивно понятнее[236]. Это также объясняет, почему изучение производных издавна называется дифференциальным исчислением, а операция взятия производной – дифференцированием. Причина в том, что при подходе Лейбница истинное сердце анализа – понятие дифференциала, производные же вторичны и являются позднейшим продуктом.
Сегодня мы забываем, насколько важны были дифференциалы. Современные учебники преуменьшают их значимость, переопределяют и обеляют их, поскольку они (ах!) бесконечно малы. В этом качестве они кажутся парадоксальными, странными и пугающими, поэтому многие учебники – просто на всякий случай – запирают бесконечно малые где-то на чердаке, как мать Нормана Бейтса в фильме «Психо». Но на самом деле их не стоит бояться. Правда.
Давайте же с ними познакомимся.
Бесконечно малые величины
Бесконечно малая величина – весьма туманная вещь. Предполагается, что это самое крохотное число, которое вы можете себе представить, но при этом не равное нулю. Короче говоря, бесконечно малая величина меньше, чем все, но больше, чем ничто. Еще парадоксальнее то, что бесконечно малые величины бывают разных размеров.
Бесконечно малая часть бесконечно малой величины – еще неизмеримо меньше. Мы могли бы назвать это бесконечно малой величиной второго порядка.
Точно так же как существуют бесконечно малые величины, существуют бесконечно малые длины и бесконечно малые времена. Бесконечно малая длина – это не точка, она больше точки, но меньше, чем любая длина, которую вы можете себе представить. Аналогично бесконечно малый временной интервал – это не мгновение, не одна точка во времени, но он короче любого мыслимого промежутка времени.
Понятие бесконечно малых величин возникло как способ говорить о пределах. Вспомните пример из главы 1, где мы рассматривали последовательность правильных многоугольников, которая начиналась с равностороннего треугольника и квадрата и продолжалась пятиугольниками, шестиугольниками и другими правильными многоугольниками со все большим числом сторон. Мы отмечали, что чем больше сторон рассматриваем, тем больше многоугольник становится похож на окружность. У нас возникало искушение сказать, что окружность – это многоугольник с бесконечным числом бесконечно малых сторон, но мы прикусили язык, поскольку это понятие, казалось, вело к бессмыслице.
Мы также обнаружили, что если взять любую точку на окружности и смотреть на нее в микроскоп, то любая крохотная дуга, содержащая эту точку, будет при увеличении выглядеть все прямее и прямее. В пределе с бесконечным увеличением она будет идеально прямой. В этом смысле действительно полезно думать об окружности как о бесконечном множестве прямых фрагментов и, следовательно, как о многоугольнике с бесконечным числом бесконечно малых сторон.
И Ньютон, и Лейбниц пользовались бесконечно малыми величинами, но в то время как Ньютон впоследствии отказался от них в пользу флюксий (которые представляют собой отношение бесконечно малых первого порядка и поэтому конечны и респектабельны, как, собственно, производные), у Лейбница был более прагматичный взгляд[237]. Он не беспокоился о том, существуют ли они на самом деле. Он считал их полезным и эффективным способом переформулировать рассуждения о пределах. Он также рассматривал их как удобные бухгалтерские средства, которые высвобождают воображение для более продуктивной работы. Как он объяснял одному коллеге: «С философской точки зрения я верю в бесконечно малые числа не больше, чем в бесконечно большие. Я рассматриваю те и другие как измышления разума, предназначенные для сжатого изложения, пригодного для анализа»[238].
А что сегодня по этому поводу думают математики? Существуют ли в реальности бесконечно малые величины? Это зависит от того, что вы подразумеваете под реальностью. Физики говорят нам, что бесконечно малые в реальном мире не существуют. В идеальном мире математики на обычной прямой действительных чисел бесконечно малым величинам места нет, однако они существуют в некоторых нестандартных числовых системах, обобщающих действительные числа[239]. Для Лейбница и его последователей они существовали как измышления разума, которые оказались удобными и пришлись кстати. Вот так мы и станем о них думать.
Куб чисел, близких к 2
Чтобы посмотреть, насколько поучительными могут быть бесконечно малые, давайте возьмем конкретный пример. Рассмотрим арифметическую задачу. Сколько будет 2 в кубе (то есть 222)? Естественно, 8. А как насчет 2,0012,0012,001? Понятно, что чуть больше 8, но насколько именно?
То, что мы сейчас ищем, – это способ мышления, а не численный ответ. Общий вопрос таков: если мы незначительно меняем в задаче входное число (в данном случае с 2 на 2,001), то как оно изменится на выходе? В данном случае с 8 на 8 плюс нечто, и структуру этого нечто мы и хотим понять.
Поскольку совладать с искушением подглядеть ответ нелегко, давайте посмотрим, что нам скажет калькулятор. Набираем 2,001, нажимаем кнопку x3 и получаем:
(2,001)3 = 8,012006001.
Структура числа после десятичной запятой такова:
0,012006001 = 0,012 + 0,000006 + 0,000000001.
Подумайте об этом так: малое плюс сверхмалое плюс сверхсверхмалое.
Мы можем пояснить такую конструкцию с помощью алгебры. Предположим, что величина x (в нашем случае 2) слегка изменяется и становится равной x + x (в нашем примере 2,001). Символ x означает приращение x, то есть небольшое изменение x (у нас x = 0,001). И когда мы спрашиваем, чему равно (2,001)3, мы на самом деле спрашиваем, чему равно (x + x)3. Перемножив его (используя треугольник Паскаля или формулу бинома), получаем:
(x + x)3 = x3 + 3x2x + 3x(x)2 + (x)3.
В нашей задаче, где x = 2, это уравнение принимает вид
(2 + x)3 = 23 + 3(2)2x + 3(2)(x)2 + (x)3 = 8 + 12x + 6(x)2 + (x)3.
Теперь мы видим, почему добавка к 8 состоит из трех частей различной величины. Малая, но главная часть равна 12x = 120,001 = 0,012. Оставшиеся части 6(x)2 и (x)3 отвечают за сверхмалую 0,000006 и сверхсверхмалую 0,000000001 величины. Чем больше множителей x входит в слагаемое, тем оно меньше. Вот почему они ранжируются по размеру. Каждое лишнее умножение на маленькое число x делает малую величину еще меньше.
В этом небольшом примере хорошо видна ключевая идея дифференциального исчисления. Во многих ситуациях, касающихся причины и следствия, дозы и реакции, входа и выхода, а также иной взаимосвязи между переменной x и зависящей от нее переменной y, небольшое изменение на входе x приводит к небольшому изменению на выходе y. Это небольшое изменение, как правило, организовано структурированным способом, который мы можем изучить, а именно: изменение на выходе организовано иерархически из нескольких частей. Они ранжированы по размеру от малого вклада до сверхмалого и еще меньших вкладов. Такая градация позволяет нам сосредоточиться на части, пусть и малой, но вносящей основной вклад, и пренебречь всеми остальными частями – сверхмалыми и еще меньшими. Именно в этом и состоит основная идея. Хотя малое изменение мало, оно колоссально по сравнению с другими (как в нашем примере число 0,12 огромно по сравнению с 0,000006 и 0,000000001).
Дифференциалы
Такой способ мышления, когда мы пренебрегаем всеми вкладами в правильный ответ, кроме самой крупной, львиной доли, может показаться только приблизительным. И это так, если изменения на входе вроде числа 0,001, добавленного нами к 2, – это конечные изменения. Но если мы рассмотрим бесконечно малые изменения на входе, то наш метод мышления станет точным. Ошибок не будет. Львиная доля становится всем. И, как мы уже говорили в этой книге, бесконечно малые изменения – именно то, что нам нужно, чтобы понимать наклоны, мгновенные скорости и площади криволинейных областей.
Чтобы посмотреть, как это работает на практике, давайте вернемся к примеру выше, когда мы пытались вычислить куб числа, слегка превышающего 2. Только теперь изменим число с 2 на 2+dx, где dx – бесконечно малое приращение x. Это понятие по своей сути не отличается осмысленностью, так что не думайте о нем слишком усердно. Главное тут – знать, что понимание того, как это работает, упрощает вычисления.
Предыдущая формула (2 + x)3 = 8 + 12x + 6(x)2 + (x)3, в частности, теперь сокращается до более простой:
(2 + dx)3 = 8 + 12dx.
Что произошло с остальными слагаемыми вида 6(dx)2 + (dx)3? Мы их отбросили. Ими можно пренебречь. Эти сверхмалые и сверхсверхмалые величины пренебрежимо малы по сравнению с 12dx. Но почему тогда мы сохранили 12dx? Разве эта величина не пренебрежимо мала по сравнению с 8? Да, но если бы мы отбросили еще и ее, то не учли бы вообще никаких изменений, и ответ остался бы 8. Поэтому рецепт таков: для изучения бесконечно малых изменений сохраните слагаемые, включающие dx в первой степени, и игнорируйте все остальные.
Такой способ мышления, использующий бесконечно малые величины вроде dx, можно переформулировать в терминах пределов и сделать совершенно кошерным и строгим. Современные учебники действуют именно так. Но быстрее и проще использовать бесконечно малые величины. Специальный термин для них в этом контексте – дифференциалы Это название проистекает от их представления в виде разностей x и y, когда эти разности в пределе стремятся к нулю[240]. Это похоже на то, что мы видели, когда рассматривали параболу под микроскопом и наблюдали, как кривая становится все прямее и прямее при увеличении.
Производные через дифференциалы
Позвольте вам показать, насколько простыми становятся некоторые идеи, если подходить к ним через дифференциалы. Например, что такое наклон кривой, если рассматривать ее в виде графика на координатной плоскости? Как мы узнали из нашей работы с параболой в главе 6, наклон – это производная, определяемая как предел y / x, когда x стремится к нулю. А чем он будет в терминах дифференциалов? Просто dy / dx. Словно кривая составлена из крохотных прямых линий.
Если мы представим dy как бесконечно малое приращение по вертиали, а dx – как бесконечно малое приращение по горизонтали, то наклон будет просто их отношением, как и всегда для наклонного пандуса, и, следовательно, составит dy / dx.
Чтобы применить этот подход к конкретной кривой (например, y = x3, которую мы использовали, возводя в куб числа, слегка превосходящие 2), вычислим dy следующим образом. Пишем:
y + dy = (x + dx)3.
Как и раньше, раскрываем скобки справа и получаем
(x + dx)3 = x3 + 3x2dx + 3x(dx)2 + (dx)3.
Теперь в соответствии с нашим рецептом отбрасываем слагаемые (dx)2 и (dx)3, потому что они не входят в львиную долю. Таким образом, у нас получается
y + dy = (x + dx)3 = x3 + 3x2dx.
А поскольку y = x3, упрощаем уравнение до вида
dy = 3x2dx.
Деление обеих частей на dx дает соответствующий наклон
В точке x = 2 это дает наклон 3(2)2 = 12. То же число 12, что мы видели ранее. Именно поэтому изменение с 2 до 2,001 давало нам (2,001)3 8,012. Это означает, что бесконечно малое изменение x около 2 (назовем его dx) преобразуется в бесконечно малое изменение y около 8 (назовем его dy), которое в 12 раз больше (dy = 12dx).
Между прочим, аналогичные рассуждения показывают, что для любого положительного n производная y = xn равна dy / dx = xn-1; этот результат мы уже упоминали ранее. При небольших дополнительных усилиях мы могли бы распространить его на отрицательные, дробные и иррациональные n.
Большое преимущество бесконечно малых в целом и дифференциалов в частности состоит в том, что они облегчают вычисления. Они срезают путь. Освобождают разум для более творческого мышления, так же как алгебра делала это для геометрии в давние годы. Вот за это Лейбниц и обожал дифференциалы. Он писал своему наставнику Гюйгенсу: «Мой анализ обеспечил мне практически без размышлений огромную часть открытий, которые относятся к этой теме. Что мне больше всего нравится в моем анализе, так это то, что он предоставляет те же преимущества перед древними в геометрии Архимеда, которые Виет и Декарт дали нам в геометрии Евклида или Аполлония, освобождая нас от необходимости работать с воображением»[241].
Единственное, что нехорошо с бесконечно малыми величинами, – это то, что они не существуют, по крайней мере в системе действительных чисел. Да, и еще одно – они парадоксальны. Они не казались бы осмысленными, даже если бы существовали. Один из последователей Лейбница, Иоганн Бернулли, понял, что они обязаны удовлетворять бессмысленным уравнениям вроде x + dx = x, хотя dx – это не ноль. Хм. Ну нельзя же получить все сразу! Бесконечно малые величины действительно дают правильные ответы, как только мы научимся с ними работать, а предоставляемые ими выгоды с лихвой компенсируют все психические расстройства, которые они могут вызывать. Они подобны лжи Пикассо, которая помогает нам осознать истину.
В качестве еще одной демонстрации мощи бесконечно малых величин Лейбниц использовал их для вывода закона синусов для преломления света, предложенного Снеллом. Вспомните главу 4: когда свет переходит из одной среды в другую (скажем, из воздуха в воду), он изгибается в соответствии с математическим законом, который не раз был установлен в течение столетий. Ферма объяснил его своим принципом наименьшего времени, но изо всех сил пытался решить задачу оптимизации, которую подразумевал его принцип. С помощью своих дифференциалов Лейбниц с легкостью вывел закон синусов[242] и с явной гордостью отметил, что «другие весьма ученые мужи искали многими хитроумными способами то, что человек, сведущий в этом анализе, может достичь в этих строках, как по волшебству»[243].
Основная теорема анализа через дифференциалы
Еще одним триумфом дифференциалов Лейбница стало то, что они сделали основную теорему прозрачной. Вспомним, что она относится к функции накопления площади A(x), которая определяет площадь под кривой y = f(x) в интервале от 0 до x. Теорема гласит, что при сдвиге x вправо площадь под кривой накапливается со скоростью самой f(x). Таким образом, f(x) является производной A(x).
Чтобы понять, откуда берется этот результат, предположим, что мы увеличиваем x на бесконечно малую величину dx. Как изменится площадь A(x)? По определению, она изменится на величину dA, то есть новая площадь равна старой плюс ее приращение, A + dA.
Основная теорема получается сразу же, как только мы наглядно представим, чему должно равняться dA. Как видно из рисунка ниже, площадь изменяется на бесконечно малую величину dA, которая представляет собой узкую вертикальную полоску между x и x + dx.
Эта полоска – прямоугольник с высотой y и основанием dx. Поэтому его площадь равна произведению этих величин, то есть y dx или, если угодно, f(x)dx.
В действительности такая полоска будет прямоугольником только при бесконечно малом приращении. В реальности для полоски конечной ширины x изменение площади A будет состоять из двух частей. Основной вклад внесет прямоугольник площади yx. Намного меньше по площади маленький, криволинейный сверху, похожий на треугольник кусочек, располагающийся над этим прямоугольником.
Вот еще один случай, когда мир бесконечно малых величин приятнее реального. В реальном мире нам пришлось бы учитывать площадь этой крышечки, а это сделать непросто, поскольку она зависит от формы кривой. Но когда ширина прямоугольника стремится к нулю и «становится» dx, площадь крышечки оказывается пренебрежимо малой по сравнению с площадью прямоугольника. Это сверхмалая величина по сравнению с малой величиной.
В результате получается, что dA = y dx = f(x)dx. Бум! И вот вам основная теорема анализа. Или, как это более вежливо переформулируют в нынешние дни (в наше заблудшее время, когда дифференциалы отвергнуты ради производных),
Это в точности то, что мы установили в главе 7 с помощью примера с малярным валиком.
И последнее: когда мы рассматриваем площадь под кривой как сумму бесконечного числа бесконечно узких прямоугольных полосок, то записываем это как[244]
Этот символ с длинной шеей, похожий на лебедя – фактически растянутая буква S, которая напоминает нам, что здесь происходитсуммирование[245]. Это суммирование определенного рода, характерное для интегрального исчисления, подразумевающее сумму бесконечного количества бесконечно узких полосок, объединенных в единую связную область. Символ называется знаком интеграла. Лейбниц ввел его в рукописи 1677 года и опубликовал в 1686-м. Это самый узнаваемый символ математического анализа. Число 0 под этим знаком и величина x над ним указывают на конечные точки интервала на оси x, над которым выстроены прямоугольники. Эти точки называются пределами интегрирования.
Как Лейбниц пришел к дифференциалам и основной теореме?
Ньютон и Лейбниц пришли к основной теореме анализа разными путями. Ньютон – размышляя о движении, постоянном спутнике математики. Лейбниц же зашел с другой стороны. Хотя у него не было математического образования, ранее он какое-то время занимался целыми числами, сочетаниями и перестановками, а также дробями и суммами определенного рода.
Более глубоко погружаться в эту науку он начал после встречи с Христианом Гюйгенсом. В то время Лейбниц находился с дипломатической миссией в Париже и был очарован рассказами Гюйгенса о последних достижениях в математике, поэтому захотел узнать больше. С чудесной педагогической прозорливостью (или это была удача?) Гюйгенс поставил перед учеником задачу, которая и привела немецкого математика к основной теореме[246].
Гюйгенс предложил Лейбницу вычислить бесконечную сумму:
(Точки в знаменателе означают умножение.) Чтобы понять задачу, начнем для разминки с простого варианта. Предположим, что сумма не бесконечна, а содержит, скажем, только 99 слагаемых. Иными словами, нам нужно вычислить
Если вы не найдете какого-то хитроумного трюка, то расчеты будут утомительными, хотя и несложными. При достаточном терпении (или при наличии компьютера) и упорстве можно сложить все 99 дробей. Однако пропала бы суть, а она тут в том, чтобы найти элегантное решение. Элегантные решения ценятся в математике не только потому, что красивы, но и потому, что сильны. Проливаемый ими свет часто можно использовать для решения других задач. В нашем случае элегантный свет, быстро обнаруженный Лейбницем, позволил ему открыть основную теорему анализа.
Он решил задачу Гюйгенса с помощью блестящего трюка. Когда я увидел его впервые, у меня было ощущение, что я наблюдаю за фокусником, извлекающим кролика из шляпы. Если вы хотите испытать схожие эмоции, пропустите аналогию, которую я сейчас проведу. Но если предпочитаете понимать то, что кроется за этим волшебством, смотрите на то, что за ним стоит.
Представьте человека, который поднимается по очень длинной лестнице с разной высотой ступенек.
Предположим, что наш герой решил измерить общую высоту подъема – от нижней ступени до верхней. Как ему это сделать? Ну, он всегда может сложить высоту всех отдельных ступенек. Такая мало вдохновляющая стратегия походила бы на сложение 99 дробей в вышеописанной сумме S. Так можно сделать, но эта работа не из приятных, потому что лестница у нас неправильная. А если в ней миллионы ступенек, то складывать их высоту – напрасный труд. Должен существовать способ получше.
И он есть – использовать альтиметр (высотомер). Это устройство, которое измеряет высоту над уровнем моря или земли. Если бы у Зенона на рисунке был высотомер, он бы решил задачу, просто определив высоту верхней точки, высоту нижней точки, а затем вычел бы одно из другого. Вот и все: общий подъем по вертикали равен разности этих двух величин. Такая разность равна сумме высот всех ступенек. Какой бы неправильной ни была лестница, это правило верно всегда. Его успех опирается на тот факт, что данные высотомера тесно связаны с величиной ступенек: для каждой ступеньки ее высота равна разности между последовательными показаниями высотомера. Иными словами, высота ступеньки – это разность высот ее вершины и ее основания.
Сейчас вы, вероятно, думаете: какое отношение имеет альтиметр к исходной задаче сложения большого числа сложных дробей? Ну, прежде всего, если бы мы смогли найти аналог высотомера для сложной суммы, она стала бы легкой. Это было бы эквивалентно разности между показаниями в верхней и нижней точке, что фактически и придумал Лейбниц. Он нашел высотомер для суммы S. Это позволило ему записать каждый член в этой сумме в виде разности двух последовательных показаний высотомера, что, в свою очередь, дало возможность вычислить сумму с помощью вышеописанной идеи. Затем он применил высотомер и к другим задачам. В итоге все это привело Лейбница к основной теореме анализа.
Вооружившись такой аналогией, давайте снова вернемся к сумме S.
Теперь перепишем каждое слагаемое в виде разности двух других чисел – точно так же, как высота каждой ступеньки была разностью между показанием альтиметра вверху ступеньки и внизу. Начнем с первого слагаемого:
Правда, пока не очевидно, куда это приведет, но оставайтесь с нами. Сейчас мы увидим, насколько полезно переписать дробь 1/(12) в виде разности двух аликвотных дробей 1/1 и 1/2. (Аликвотной называется дробь, числитель которой равен 1. Эти последовательные дроби станут играть роль последовательных показаний альтиметра.) Если арифметическое преобразование выше кажется неясным, попробуйте воспроизвести его справа налево. Справа мы вычитаем дробь 1/2 из дроби 1/1; в середине приводим их к общему знаменателю; слева упрощаем числитель.
Аналогично мы можем переписать в виде разности двух аликвотных дробей все остальные слагаемые в сумме S:
и так далее. В результате наша сумма S примет такой вид:
Теперь мы видим метод в этом безумии[247]. Взгляните повнимательнее на структуру суммы. Почти все слагаемые входят в нее дважды, один раз с плюсом, а другой – с минусом. Например, число 1/2 сначала вычитается, а потом добавляется и в результате пропадает. То же верно для 1/3: оно встречается дважды и исчезает. Остальные дроби, до 1/99 включительно, ведут себя так же. Исключения – первое и последнее слагаемое в сумме S, у которых нет парных элементов с другим знаком. В результате, когда дым рассеивается, остаются только они. Поэтому результат таков:
Это вполне логично в свете аналогии с лестницей и снова говорит нам, что общая сумма высот всех ступенек определяется как высота вверху минус высота внизу.
К слову, S упрощается до 99/100. Это и есть ответ на задачу с 99 слагаемыми. Лейбниц понял, что с помощью того же трюка может справиться с любым числом слагаемых. Если в сумме будет N членов, а не 99, то в результате получится:
Все это проясняет ответ на изначальный вопрос Гюйгенса: когда N стремится к бесконечности, слагаемое 1/(N + 1) стремится к нулю, а потому S стремится к 1. Следовательно, это предельное значение 1 и будет ответом для задачи Гюйгенса.
Ключевой идеей, позволившей Лейбницу найти эту сумму, была ее весьма конкретная структура: оказалось, что ее можно переписать в виде суммы последовательных разностей (в данном случае в виде разности аликвотных дробей). Такая структура привела к масштабным сокращениям, как мы видели выше. Подобные суммы сегодня в математике называют телескопическими, поскольку они напоминают те старе складные подзорные трубы, которые вы могли видеть в фильмах про пиратов. Аналогия тут в том, что исходная сумма предстает в разложенной форме, но вследствие разностной структуры ее можно привести к более компактному виду. При этом выживают только слагаемые без партнеров, с которыми их можно сократить, – те, которые находятся на концах телескопа.
Естественно, Лейбниц задался вопросом, применим ли трюк с телескопированием к другим задачам. Такую идею стоило реализовать, учитывая, насколько мощной она могла быть. Если бы он, столкнувшись с длинным списком чисел, которые требуется сложить, мог записать каждое число в виде разности последовательных чисел (которые еще нужно определить), телескопический трюк сработал бы снова.
Это заставило Лейбница задуматься о площадях. Ведь определение площади под какой-то кривой на координатной плоскости сводится к суммированию длинного списка чисел – площадей множества тонких вертикальных прямоугольных полосок.
На этом рисунке отражена идея, к которой он пришел. Здесь только восемь прямоугольных полос, но вы должны попробовать представить такую же картинку с миллионами и миллиардами более тонких прямоугольников или, еще лучше, бесконечно много бесконечно тонких прямоугольников. К сожалению, это трудно нарисовать или визуализировать, поэтому-то я и использую только восемь прямоугольников.
Для простоты предположим, что у всех прямоугольников одинаковая ширина. Назовем ее x. Высоты прямоугольников равны y1, y2, …, y8. Тогда общая площадь всех аппроксимирующих прямоугольников составит
y1x + y2x + … + y8x.
Такую сумму восьми чисел было бы удобно «телескопировать», если бы мы нашли какие-нибудь волшебные числа A0, A1, A2, …, A8, разности которых дают площади прямоугольников
y1x = A1 – A0,
y2x = A2 – A1,
y3x = A3 – A2,
и так далее, вплоть до y8x = A8 – A7. Тогда общая площадь всех прямоугольников телескопически сложилась бы так:
y1x + y2x + … + y8x = (A1 – A0) + (A2 – A1) + … + (A8 – A7) = A8 – A0.
А теперь подумайте, что будет, если мы выполним предельный переход к бесконечно узким полоскам. Их ширина x превратится в дифференциал dx. Их переменные высоты y1, y2, …, y8 станут y(x) – функцией, которая определяет высоту бесконечно узкого прямоугольника, стоящего над точкой x. Сумма бесконечного числа таких прямоугольников станет интегралом y(x)dx. При этом, как и в предыдущих случаях телескопирования, сумма A8 – A0 превращается в A(b) – A(a), где a и b – значения x на левом и правом краю области. Вариант телескопирования для бесконечно малых величин дает нам точную площадь под кривой:
Но как найти эту волшебную функцию A(x), которая сделает все это возможным? Что ж, давайте посмотрим на все вышеописанные уравнения вида y1x = A1 – A0. Они превращаются в
y(x)dx = dA,
поскольку прямоугольники становятся бесконечно тонкими. Если записать тот же результат в терминах производных, а не дифференциалов, поделив обе части на dx, то мы получим
Вот так мы находим аналоги волшебных чисел A0, A1, A2, …, A8, вызывающих телескопирование. В пределе для бесконечно тонких полосок они определяются неизвестной функцией A(x), производная которой – как раз наша функция y(x).
Все это – обратная задача и основная теорема анализа в версии Лейбница. Он писал: «Поиск площадей фигур сводится к следующему: по заданному ряду найти суммы или (для лучшего объяснения) по заданному ряду найти другой, разности которого совпадают с членами данного ряда»[248]. Таким образом, разности и телескопические суммы привели Лейбница к дифференциалам и интегралам, а от них – к основной теореме, равно как флюксии и расширяющиеся площади привели Ньютона к тому же тайному источнику.
Борьба с ВИЧ с помощью анализа
Хотя дифференциалы – это измышления разума, с момента их изобретения они весьма глубоко повлияли на наш мир, общество и нашу жизнь. В качестве современного примера рассмотрим вспомогательную роль, которую они сыграли в понимании и лечении ВИЧ, вируса иммунодефицита человека[249].
В 1980-х годах десятки тысяч жизней в США и сотни тысяч по всему миру стала уносить загадочная болезнь. Никто не знал, что это, откуда она взялась и что ее вызывает, но ее воздействие было явным – она настолько ослабляла иммунную систему больных, что они оказывались уязвимы для редких видов рака, пневмонии и оппортунистических инфекций[250]. Смерть от болезни была медленной, мучительной и уродливой. Врачи назвали болезнь синдромом приобретенного иммунодефицита, или СПИДом. Больные и врачи были в отчаянии. Никакого лекарства не просматривалось.
Первые исследования показали, что виноват ретровирус. Механизм его действия был коварен: вирус атаковал и инфицировал белые кровяные тельца, называемые T-хелперами, – ключевой компонент иммунной системы. Оказавшись внутри, вирус захватывал генетический аппарат клетки и заставлял его создавать новые вирусы. Затем эти новые вирусные частицы выходили из клетки, попадали в кровоток и прочие жидкости организма и искали новые клетки для заражения. Иммунная система реагировала на это вторжение попыткой вычистить вирусные частицы из крови и убить как можно больше зараженных T-лимфоцитов, но при этом убивала важную часть самой себя.
Первый антиретровирусный препарат для лечения ВИЧ появился в 1987 году. Хотя он и замедлял ВИЧ, мешая процессу вторжения, он не демонстрировал ожидаемой эффективности и вирус часто приобретал устойчивость к нему. В 1994 году появился другой класс препаратов – ингибиторы протеазы. Они препятствовали ВИЧ, внедряясь во вновь образованные вирусные частицы, мешая их созреванию и превращая их в незаразные. Хотя ингибиторы протеазы также не были панацеей, они оказались настоящей находкой.
Вскоре после появления ингибиторов протеазы группа исследователей под руководством доктора Дэвида Хо (ранее учился физике в Калифорнийском технологическом институте, поэтому, вероятно, хорошо знаком с анализом) и специалиста по математической иммунологии Алана Перельсона провела исследование, которое изменило взгляды врачей на ВИЧ и произвело настоящую революцию в методах лечения болезни. До работы Хо и Перельсона было известно, что нелеченая ВИЧ-инфекция, как праило, проходит три стадии[251]: первичная острая стадия продолжительностью несколько недель, хроническая и парадоксально бессимптомная стадия длительностью до десяти лет и терминальная стадия СПИДа.
На первой стадии вскоре после заражения ВИЧ у человека появляются симптомы, сходные с гриппозными: лихорадка, сыпь, головная боль, а количество T-хелперов (также известных как CD4-клетки) в крови резко падает. Нормальное количество T-лимфоцитов составляет около 1000 клеток на кубический миллиметр крови; после первичного заражения ВИЧ их число падает до нескольких сотен. Поскольку T-лимфоциты помогают организму бороться с инфекцией, их уменьшение серьезно ослабляет иммунную систему. Между тем количество вирусных частиц в крови (известное как вирусная нагрузка) резко возрастает, а затем, когда иммунная система начинает борьбу с ВИЧ-инфекцией, падает. Гриппозные симптомы пропадают, больному становится лучше.
В конце первой стадии вирусная нагрузка стабилизируется на определенном уровне, который, как ни странно, может поддерживаться годами. Врачи называют этот уровень точкой отсчета. Пациент без лечения может прожить десяток лет без ВИЧ-симптомов, а данные лабораторных исследований ничего не покажут, кроме постоянной вирусной нагрузки и низкого, постепенно падающего количества T-лимфоцитов. Однако в итоге бессимптомная стадия заканчивается и начинается СПИД, для которого характерно дальнейшее снижение количества T-лимфоцитов и резкое повышение вирусной нагрузки. Как только у нелеченого больного развивается полномасштабный СПИД, оппортунистические инфекции, рак и иные осложнения обычно приводят к его смерти за два-три года.
Ключ к разгадке тайны находился в длительной бессимптомной стадии. Что происходит в это время? Спит ли ВИЧ в организме? Другие вирусы, как известно, впадают в спячку. Например, вирус генитального герпеса скрывается в нервных узлах, чтобы ускользнуть от иммунной системы. Вирус ветряной оспы делает то же самое, годами скрываясь в нервных клетках, но иногда просыпаясь и вызывая опоясывающий лишай. Причина латентности ВИЧ была неизвестна, однако Хо и Перельсон ее выяснили.
В ходе исследования 1995 года они давали больным ингибитор протеазы не в качестве лечения, а для сбора сведений. Прием препарата провоцировал активную реакцию организма пациента, что и позволило Хо и Перельсону – впервые в истории – отследить динамику иммунной системы в борьбе с ВИЧ. Они обнаружили, что после приема ингибитора протеазы количество вирусных частиц в организме больного падало экспоненциально быстро. Скорость снижения была невероятной: иммунная система каждые два дня выводила половину всех вирусных частиц в кровотоке.
Дифференциальное исчисление позволило Хо и Перельсону смоделировать это экспоненциальное снижение и извлечь из него удивительные следствия. Сначала они представили изменяющуюся концентрацию вируса в крови как неизвестную функцию V(t), где t – время после введения ингибитора протеазы. Затем они выдвинули гипотезу об изменении концентрации вируса dV за бесконечно малый интервал времени dt. Их данные указывали на то, что каждый день из крови удаляется постоянная доля вируса, так что, возможно, это свойство сохранится и при экстраполяции на бесконечно малые интервалы dt. Поскольку величина dV / V – это относительное изменение концентрации вируса, их модель можно было записать символами в виде такого уравнения:
Здесь коэффициент пропорциональности c – это скорость выведения, мера того, насколько быстро организм избавляется от вируса.
Приведенное уравнение – пример дифференциального уравнения. Оно связывает дифференциал функции dV с самой функцией V, а также с дифференциалом dt времени. Проинтегрировав обе части с помощью основной теоремы, Перельсон и Хо решили его относительно V(t) и обнаружили, что справедливо соотношение
ln[V(t) / V0] = – ct,
где V0 – первоначальная вирусная нагрузка, а ln – натуральный логарифм (та самая логарифмическая функция, которую изучали Ньютон и Меркатор в 1660-е годы). Отсюда можно найти, что
V(t) = V0 e-ct,
где e – основание натуральных логарифмов. Это подтверждало, что вирусная нагрузка в модели действительно снижалась экспоненциально. Наконец, подобрав экспоненту в соответствии с экспериментальными данными, Хо и Перельсон оценили ранее неизвестное значение скорости выведения c.
Для тех, кто предпочитает использовать производные, уравнение модели можно записать так:
Здесь dV / dt – это производная V. Она показывает, насколько быстро растет или падает концентрация вируса. Положительное значение производной означает повышение, отрицательное – снижение. Поскольку концентрация V положительна, величина – cV должна быть отрицательной, поэтому и производная должна быть отрицательной, что означает снижение концентрации, как и показал эксперимент. Кроме того, пропорциональность между dV / dt и V означает, что чем ближе V к нулю, тем медленнее спад. На интуитивном уровне это замедление спада V подобно тому, что происходит, когда вы наполняете раковину водой, а затем открываете сток. Чем меньше воды в раковине, тем медленнее она стекает, поскольку уменьшается давление воды, заставляющее ее течь. При такой аналогии количество вируса подобно количеству воды, а стекание – оттоку вируса в результате работы иммунной системы.
Смоделировав действие ингибитора протеазы, Перельсон и Хо скорректировали свое уравнение, чтобы описать условия до введения препарата. Они предположили, что уравнение будет иметь вид
В этом уравнении P означает исходный (не замедленный) темп репродукции вирусных частиц – еще один параметр, неизвестный в то время. Перельсон и Хо предполагали, что до введения ингибитора протеазы в каждый момент зараженные клетки продуцировали новые вирусные частицы, которые потом заражали новые клетки, и так далее. Именно возможность такого взрывного распространения и делает ВИЧ настолько разрушительным.
Однако на бессимптомной стадии, похоже, существует некое равновесие между воспроизводством вируса и его выведением иммунной системой. На этом установившемся уровне вирус размножается с такой же скоростью, как и выводится. Это позволило понять, почему вирусная нагрузка может не меняться годами. В аналогии с водой это подобно происходящему при одновременном открытии и крана, и стока. Вода достигает стабильного уровня, когда поступление жидкости равно ее оттоку.
Если на некотором уровне концентрация вируса не меняется, то ее производная должна быть равна нулю: dV / dt = 0. Следовательно, стабильная вирусная нагрузка удовлетворяет соотношению
P = cV0.
Перельсон и Хо использовали это простое уравнение, чтобы оценить жизненно важный параметр, который никто не мог измерить ранее: количество вирусных частиц, ежедневно удаляемых иммунной системой. Оказалось, что эта величина – миллиард вирусных частиц в день.
Число получилось неожиданно огромным и впечатляющим. Оно указывало на то, что во внешне, казалось бы, спокойные десять лет бессимптомной стадии в организме больного ежедневно происходит титаническая борьба. Каждый день иммунная система выводит миллиард вирусных частиц, а зараженные клетки порождают миллиард новых. Иммунная система вела яростную тотальную войну с вирусом и боролась с ним практически до полной остановки.
В 1996 году Хо, Перельсон и их коллеги провели полномасштабное исследование, чтобы лучше понять, что они, возможно, упустили в 1995 году. На этот раз они собирали сведения о вирусной нагрузке через более короткие интервалы времени после введения ингибитора протеазы, поскольку хотели получить больше информации о начальном запаздывании, которое наблюдалось при поглощении, распределении и проникновении препарата в клетки-мишени. После введения препарата исследователи измеряли вирусную нагрузку пациентов каждые два часа в течение шести часов, затем каждые шесть часов в течение двух суток, а потом один раз в день в течение недели. Перельсон усовершенствовал модель с дифференциальным уравнением, чтобы учесть запаздывание и отследить динамику еще одной важной переменной – изменяющегося количества зараженных T-лимфоцитов.
Когда ученые заново провели эксперимент, сравнили данные и прогнозы модели и снова оценили параметры, они получили еще более ошеломляющий результат: каждый день производилось и выводилось из организма десять миллиардов вирусных частиц. Более того, было обнаружено, что инфицированные Т-лимфоциты живут всего пару дней. Удивительно короткая продолжительность жизни добавила еще один кусочек головоломки с учетом того, что как раз падение числа Т-лимфоцитов – отличительный признак ВИЧ-инфекции и СПИДа.
Открытие, что репликация ВИЧ происходит настолько ошеломляюще быстро, изменило сам подход врачей к лечению ВИЧ-положительных пациентов. До работы Хо и Перельсона врачи ждали, пока ВИЧ выйдет из предполагаемой спячки, прежде чем назначать противовирусные препараты. Считалось, что это позволяет беречь силы до тех пор, пока иммунная система не станет по-настоящему нуждаться в помощи, поскольку вирус часто становился устойчивым к действию лекарств, а тогда уже ничего не могло помочь. Поэтому обычно склонялись к мнению, что разумнее подождать, пока заболевание продлится достаточно долго.
Работа Хо и Перельсона в корне изменила эту точку зрения[252]. Спячки не было. ВИЧ и организм ежесекундно сцеплялись в отчаянной схватке, и иммунная система нуждалась в любой возможной помощи, причем как можно скорее после критичных первых дней заражения. И теперь было понятно, почему ни одно лекарство не действовало долго. Вирус воспроизводился так быстро и мутировал с такой скоростью, что мог найти способ противостоять практически любому медицинскому препарату.
Математика Перельсона помогла количественно оценить, сколько лекарств нужно использовать в комбинации, чтобы подавить и победить ВИЧ. Учитывая измеренную скорость мутации ВИЧ, величину его генома и только что полученную оценку для ежедневно продуцируемых вирусных частиц, он математически показал, что ВИЧ много раз в день генерирует все возможные мутации на всех основаниях генома. Поскольку даже одна мутация может вызвать резистентность к лекарству, на успех лечения одним препаратом надежды было мало. У двух препаратов, введенных одновременно, шансов было больше, однако расчеты Перельсона показывали, что каждый день происходила и значительная доля двойных мутаций. А вот комбинацию из трех препаратов вирусу одолеть было бы трудно[253]. Согласно математическим расчетам, шансы на то, что вирус сможет одновременно подвергнуться трем мутациям, чтобы противостоять комбинированной терапии из трех лекарств, составляли примерно 10 миллионов к одному. Когда Хо и его коллеги в клинических исследованиях протестировали коктейль из трех препаратов на ВИЧ-инфицированных пациентах, результаты оказались замечательными. Уровень вируса в крови падал вдвое каждые две недели и после следующего месяца уже не выявлялся.
Это не означало, что ВИЧ исчез. Последующие эксперименты показали, что вирус может агрессивно восстанавливаться, если пациенты сделают перерыв в лечении. Проблема в том, что ВИЧ может скрываться в различных частях тела. Он может находиться в небольшом количестве в тайных местах, куда лекарствам нелегко проникнуть, или залегать в латентно инфицированных клетках и покоиться, не воспроизводя себя, – хитрый способ избежать действия препаратов. В любой момент эти спящие клетки могут проснуться и начать атаковать организм. Вот почему так важно, чтобы ВИЧ-инфицированные больные продолжали принимать лекарства даже тогда, когда вирусная нагрузка невелика или не обнаруживается.
И хотя тройная комбинированная терапия не может устранить ВИЧ, она превращает его в хроническое заболевание, с которым можно справиться – по крайней мере тем, у кого есть доступ к лечению. Это дало надежду там, где ее практически не было.
В 1996 году журнал Time назвал Дэвида Хо человеком года[254]. В 2017-м Алан Перельсон получил премию Американского физического общества[255], присуждаемую за исследования в области биологической физики, за «весомый вклад в теоретическую иммунологию, который спасает жизни». Он по-прежнему использует математический анализ и дифференциальные уравнения для изучения динамики вирусов. Последние работы ученого связаны с вирусом гепатита С[256], от которого страдают около 170 миллионов человек по всему миру и который ежегодно убивает примерно 350 тысяч. Он – основная причина развития цирроза и рака печени. В 2014 году с помощью математических разработок Перельсона были созданы безопасные и удобные для приема (один раз в день) таблетки для лечения гепатита С. Невероятно, но они излечивают почти всех больных.
Глава 9. Логическая вселенная
Во второй половине XVII века анализ бесконечно малых претерпел метаморфозы, став настолько системным, полезным и мощным, что многие историки уверяют, что именно тогда он и был «изобретен». Согласно этой точке зрения, до Ньютона и Лейбница существовал некий протоанализ, а после них – анализ. Я бы так не сказал. Для меня анализ зародился еще во времена Архимеда, обуздавшего бесконечность.
Как бы там ни было, между 1664-м и 1676 годом анализ пережил драматические изменения, а вместе с ним изменился и мир. В науке это позволило читать книгу природы, о чем мечтал Галилей. В области технологий положило начало промышленной революции и информационному веку. А в философии и политике наложило отпечаток на современные представления о правах человека, обществе и законах.
Я бы не стал говорить, что анализ изобрели в конце XVII века, скорее, я бы описал произошедшее как эволюционный прорыв, аналогичный поворотному событию в биологической эволюции. На заре жизни организмы были относительно простыми. Это были одноклеточные создания, нечто вроде нынешних бактерий. Эра такой одноклеточной жизни продолжалась около трех с половиной миллиардов лет, то есть большую часть истории Земли. Однако примерно полмиллиарда лет назад возникло невероятное разнообразие многоклеточной жизни, названное биологами кембрийским взрывом[257]. Буквально за несколько десятков миллионов лет – доли секунды по меркам эволюции – внезапно появились многие из основных типов животных. Аналогично и анализ стал «кембрийским взрывом» для математиков[258]. С его появлением начали развиваться самые разные области математики. Их происхождение видно по их названиям, связанным с анализом, по прилагательным, таким как дифференциальный, интегральный и аналитический – например, дифференциальная геометрия, интегральные уравнения или аналитическая теория чисел. Эти области высшей математики подобны многим видам многоклеточной жизни. При такой аналогии микробы математики – это самые ранние ее темы: числа, формы, задачи со словами. Подобно одноклеточным организмам они доминировали в математике большую часть ее истории. Однако после «кембрийского взрыва» анализа триста пятьдесят лет назад появились и стали процветать новые формы математической жизни, изменившие окружающий ландшафт.
Большая часть истории жизни – рассказ о движении организмов в сторону усложнения, которое строится на предшественниках. Это же справедливо и для математического анализа. Но куда ведет эта история? Есть ли какое-то направление у эволюции анализа? Или она, как некоторые говорят о биологической эволюции, не направлена и случайна?
В рамках чистой математики эволюция анализа была историей скрещивания и его преимуществ. Старые области математики обрели новую жизнь после скрещивания с анализом. Например, давнее изучение чисел и их закономерностей оживилось благодаря появлению инструментов, основанных на анализе, таких как интегралы, бесконечные суммы и степенные ряды. Получившийся гибрид называется аналитической теорией чисел. Аналогичным образом дифференциальная геометрия использовала анализ, чтобы пролить свет на структуру гладких поверхностей, и открыла новые горизонты, о которых даже не подозревала, – невообразимые криволинейные формы в четырех измерениях и выше. В этом смысле «кембрийский взрыв» анализа сделал математику более абстрактной и более мощной, а также придал ей ореол семейственности. Анализ выявил сеть скрытых взаимосвязей, соединяющих воедино все ее части.
В прикладной математике эволюция анализа – это история нашего расширяющегося понимания изменений. Как мы уже видели, анализ начался с изучения кривых, где изменения были изменениями направления, и продолжился изучением движения, когда изменения стали изменениями местоположений. После своего «кембрийского взрыва», и особенно с развитием дифференциальных уравнений, анализ перешел к изучению изменений в более общем смысле. Сегодня дифференциальные уравнения помогают нам предсказывать распространение эпидемий, место появления урагана и сколько платить за опцион на покупку акций в будущем[259]. Во всех областях человеческой деятельности дифференциальные уравнения стали основой для описания изменений в вещах вокруг и внутри нас, от субатомного уровня до самых дальних уголков космоса.
Логика природы
Самый ранний триумф дифференциальных уравнений изменил ход развития западной культуры. В 1687 году Исаак Ньютон предложил систему мира[260], которая демонстрировала силу разума и положила начало эпохе Просвещения[261]. Он открыл несколько уравнений – законы движения и тяготения, – которые смогли объяснить загадочные закономерности, обнаруженные Галилем и Кеплером в падении тел на Земле и в орбитах планет Солнечной системы, и тем самым устранил пропасть между земным и небесным. После Ньютона существовала только одна Вселенная, с одинаковыми законами, действовавшими везде и всегда.
В своем фундаментальном трехтомном шедевре «Математические начала натуральной философии» (чаще называемом просто «Начала») Ньютон применил свои теории к самым разным вещам: форме Земли с ее слегка выпуклой талией, вызванной центробежными силами при вращении; ритму приливов и отливов; эксцентрическим орбитам комет; движению Луны – задаче настолько сложной, что Ньютон даже пожаловался своему другу Эдмунду Галлею, что от нее у него «разболелась голова, и он так часто не мог уснуть, что больше не думал об этом»[262].
Сегодня при изучении физики студентам сначала преподают классическую механику – механику Ньютона и его последователей, после чего сообщают, что ее вытеснили теория относительности Эйнштейна и квантовая теория Планка, Эйнштейна, Бора, Шрёдингера, Гейзенберга и Дирака. В этом, безусловно, немало правды. Новые теории опровергли представления Ньютона о пространстве и времени, массе и энергии, да и самом детерминизме, заменив его в случае квантовой теории более вероятностным, статистическим описанием природы.
Однако это не изменило роли анализа. И в теории относительности, и в квантовой механике законы природы по-прежнему записываются на языке анализа, с предложениями в виде дифференциальных уравнений. Для меня величайшее наследие Ньютона заключено именно в этом. Он показал, что природа логична. Причина и следствие в мире ведут себя во многом так же, как доказательство в геометрии, когда одна истина вытекает из другой, с той лишь разницей, что в мире одно событие вытекает из другого, а в нашем разуме – одна идея из другой.
Эта сверхъестественная связь между природой и математикой восходит к пифагорейской мечте. Связь между музыкальной гармонией и числами, открытая пифагорейцами, побудила их провозгласить, что всё есть число. В чем-то они были правы. Числа важны для работы Вселенной, собственно, как и формы: в книге природы, о которой мечтал Галилей, слова были геометрическими фигурами. Но какими бы важными ни были числа и фигуры, не они настоящие движущие силы в этой игре. В драме Вселенной формы и числа подобны актерам; их незримо направляет невидимое присутствие и логика дифференциальных уравнений.
Ньютон первым проник в эту логику Вселенной и построил вокруг нее систему. До него это было невозможно из-за отсутствия необходимых понятий. Архимед не был знаком с дифференциальными уравнениями. Не знали их и Галилей, Кеплер, Декарт и Ферма. Лейбниц знал, но не обладал такой склонностью к науке, как Ньютон, и его математической виртуозностью. Тайная логика природы была дарована только Ньютону.
Центральной частью его теории стало дифференциальное уравнение движения:
F = ma.
Читать бесплатно другие книги:
