Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений Поскитт Кьяртан
Если разделить 29 фунтов между двумя людьми, каждому человеку достанется фунта, или 14,5 фунта (поскольку 1/2 = 0,5). Это значение выглядит несколько странно, поэтому представим его с двумя знаками после запятой. То есть каждому достанется 14,50 фунта, или 14 фунтов и 50 пенсов.
Так как 100% = 1, а 100 пенсов = 1 фунт, 1% от фунта — это 1 пенс. Если в кофейне Barstucks чашка кофе и пирожное стоят 7 фунтов плюс 15% сервисного сбора, несложно посчитать, сколько это будет: 15% от 1 фунта = 15 пенсов, следовательно, 15% от 7 фунтов — это 15 7 = 105 пенсов. Значит, всего нужно заплатить 7 + 1,05 = 8,05 фунта, и не пытайтесь всучить им 8 фунтов — как знать, что они добавят во взбитые сливки, когда вы придете в ледующий раз.
Как выгадать на скидках
Умение сравнивать дроби и проценты поможет вам сэкономить. Предположим, вам нужно купить много батареек, и вы нашли три магазина, предлагающих разные скидки:
Без учета скидок батарейки в этих магазинах стоят 50 пенсов — где же их выгоднее купить? Для этого необходимо выяснить акционную цену одной батарейки.
Скидка 30%:
В этом случае цена составит 70% от обычной. 50 70% = 50 0,7 = 35 пенсов. (Считать будет проще, если представить 50 0,7 как 5 10 0,7. Тогда 10 0,7 = 7, и ответ будет равен 5 7 = 35.)
Купи 2 и получи 1 бесплатно:
В этом магазине три батарейки предлагают по цене двух. Обычная цена двух батареек 2 50 = 1 фунт, но поскольку за эти деньги можно купить три батарейки, каждая обойдется в 1 3 фунта, то есть около 33 пенсов.
Купи 1 и получи еще 1 за полцены:
Первая батарейка стоит 50 пенсов, а вторая 1/2 50 = 25 пенсов, следовательно, за обе вы отдадите 75 пенсов, то есть одна батарейка обойдется вам в 75 2 = 37,5 пенса.
Наименьшая цена — около 33 пенсов, то есть выгоднее всего предложение «Купи 2 и получи 1 бесплатно». Но тут вы заметили еще один магазин, цена батареек в котором выше, 65 пенсов, зато там проходит акция «Купи 1 и получи еще 1 бесплатно». Во сколько в этом случае обойдется одна батарейка?
Две батарейки стоят 65 пенсов, значит, цена одной составит 65 2 = 32,5 пенса. Это самое выгодное предложение!
Имея дело со скидками, обратите внимание на один момент: предположим, вы покупаете не батарейки, а местную газету. Вам нужен лишь один экземпляр, так что нет смысла покупать две газеты за 65 пенсов, если можно купить одну за 35 пенсов в магазине, где предлагают скидку 30%. Как ни странно, некоторые люди не в силах устоять перед «самым выгодным предложением», даже если им оно не нужно!
Подсказки по процентам
Если вам надо найти указанное количество процентов от «чего-то», выполните с этим «чем-то» следующие действия.
50%: разделить на 2
25%: найти 50% и разделить на 2
10%: разделить на 10
5%: найти 10% и разделить на 2
2%: найти 5% и разделить на 2
1%: разделить на 100
Комбинируя эти варианты, можно быстро вычислить и многие другие значения.
15% от 25 фунтов:
10% от 25 = 2,50, 5% = 1,25. Сложив эти значения, получим 15% = 3,75 фунта.
35% от 70 фунтов:
50% от 70 = 35, значит, 25% = 17,50.
10% от 70 = 7, значит, 35% = 17,50 + 7 = 24,50 фунта.
17% от 150 фунтов:
10% от 150 = 15, 5% = 7,50 и 2% = 3,75. Сложив эти три значения, получим 17% = 26,25 фунта.
Три самых распространенных действия с процентами
Несмотря на то что проценты удобно считать на калькуляторе, разумно иметь представление о том, каким должен быть результат, а не слепо доверять цифрам на экране устройства. Не стоит скандалить с официантами и продавцами, пока не убедитесь, что посчитали все правильно!
Нажимая на калькуляторе кнопку <%>, будьте особенно осторожны. Как правило, кнопку <=> после этого нажимать не нужно. Далее инструкции для калькулятора заключены в угловые скобки.
1.-От
Сколько будет 9% от 200 фунтов?
«От» означает умножение, то есть надо посчитать: 200 0,09 = 18 фунтов. Можно рассуждать так: 9% от 100 — это 9, следовательно, 9% от 200 — это 2 9 = 18 фунтов.
Наберите на калькуляторе < 200 0,09 = > или < 200 9 % >
2.-Плюс
Сколько будет 60 фунтов плюс 12%?
Нечто похожее можно встретить в ресторанном счете — еда-питье стоят 60 фунтов плюс плата за обслуживание. Чтобы вычислить общую сумму, найдем 12% от 60, а затем прибавим 60, таким образом:
60 0,125 = 7,50, далее 60 + 7,50 = 67,50 фунта.
Ваш калькулятор легко справится с этой задачкой в одно действие, если набрать: < 60 + 12,5 % >
Существует чуть более хитрый способ подсчета. Стоимость без наценки за обслуживание равна 60 100%, то есть просто 60 фунтов. Стоимость с наценкой составит 60 (100% + 12,5%). Получается 60 112,5%, или же 60 1,125 = 67,50 фунта.
3.-Без
Сколько будет 160 фунтов без 20%? Такой подсчет понадобится, если нужно узнать конечную цену товара со скидкой или если вы заработали 160 фунтов, но из них вычли 20% налога.
<160 – 20 % >
Можно вычислить, сколько будет 160 фунтов 20%, и вычесть результат из 160 фунтов: 160 0,2 = 32 фунта и затем 160 – 32 = 128 фунтов.
Можно применить другой способ. Обратите внимание: вместо того чтобы платить 100% цены, вы платите 100% – 20% = 80%. Поэтому окончательная цена составит 160 80% = 128 фунтов.
Ошибки при подсчете процентов
При вычислении процентов легко попасть в некоторые типичные ловушки. Вот две периодически встречающиеся ошибки.
Увеличение и уменьшение
Владелец магазина явно хотел снизить цену обратно до 20 фунтов, что же пошло не так?
Когда вы берете некую цену и выполняете с ней более чем одно действие, помните, что 100% — это изначальная цена и все вычисления процентов должны отталкиваться именно от нее.
Продавщица подняла цену на 40%, и новая цена составила 140% от исходной (20 140% = 28 фунтов).
Когда продавщица уменьшала цену на 40%, ей нужно было взять 40% от исходной цены и вычесть это значение из новой цены. Тогда бы цена вернулась обратно к 100%. Ошибка состояла в том, что продавщица приняла новую цену за 100% и взяла 40% от нее.
Вычитание налога
Мы уже знаем, как прибавлять проценты за обслуживание в ресторане и как вычитать проценты из магазинной цены или налог из зарплаты (см. пункты «Плюс» и «Без» в предыдущем подразделе). Однако представьте, что вы купили новый ноутбук за 293,75 фунта с учетом 17,5% торгового налога. Какой была бы цена ноутбука без налогов?
Практически все делают в такой задачке одну и ту же ошибку: ищут 17,5% от 293,75 фунта и вычитают это значение из цены с налогом. Получается 242,34 фунта, что неверно. Ту же ошибку совершила и продавщица в обувном магазине, вычитая 40% из 28 фунтов.
Нужно помнить, что 293,75 фунта — это окончательная цена, которая состоит из цены без налога, умноженной на 1,175. Вот как это можно записать:
Когда при наличии окончательной цены требуется выполнить обратное действие, то есть найти цену без налога, окончательную цену нужно делить на 1,175:
Теперь подставим числа:
293,75 фунта 1,175 = 250 фунтов
Получается, что до обложения налогом ноутбук стоил 250 фунтов, так что если у вас есть возможность вернуть налог, вы получите обратно 43,75 фунта.
ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ
Как известно, потратив деньги, вы становитесь беднее, а сэкономив — богаче… Особенно если понимаете, как начисляются банковские проценты.
Когда вы кладете деньги на сберегательный счет, это называется вклад (или капитал). Он должен принести вам дополнительный доход, то есть проценты, начисляемые исходя из процентной ставки. Проценты на вклады бывают двух видов: простые и сложные.
Простые проценты
Допустим, вы положили 700 фунтов на счет с простой процентной ставкой в 6% годовых. Это значит, что раз в год банк будет вычислять 6% от ваших вложений и добавлять их на ваш счет Если вы внесли 700 фунтов под 6% годовых, проценты, которые вам начислят по завершении первого года, составят: 700 6% = 700 0,06 = 42 фунта, то есть в конце года на вашем счету будет 742 фунта.
Если в течение нескольких лет вы не будете снимать деньги со счета, то какую прибыль по процентам получите? Можно воспользоваться формулой для простых процентов.
простые проценты = p r t
p = первоначальный вклад
r = процентная ставка (в виде десятичной дроби)
t = количество лет
Таким образом, если вы положите в банк 700 фунтов под 6% годовых на 3 года, прибыль по процентам составит: 700 0,06 3 = 126 фунтов. (Не забывайте, 6% нужно преобразовать в 0,06!) Эти деньги поступят на ваш счет, и полная сумма ваших сбережений достигнет 826 фунтов.
Сложные проценты (или как получать больше денег)
Предположим, вы положили в банк 700 фунтов под 6% годовых и через год сняли все деньги. Как мы уже знаем, это 742 фунта. Затем вы решили внести эту сумму обратно еще на год. Теперь прибыль по процентам составит 6% от 742 фунтов, то есть 742 0,06 = 44,52 фунта. Это чуть больше, чем вы получили за первый год, и полная сумма ваших сбережений будет равна 786,52 фунта. Если вы снова заберете эти деньги и тут же положите обратно еще на год, то прибыль по процентам снова возрастет: 786,52 0,06 = 47,19 фунта.
Через три года на вашем счету будет 833,71 фунта. За счет того, что вы забирали и снова вкладывали деньги, вы получили дополнительные 7,71 фунта, то есть вам достались проценты от первоначальной суммы вклада плюс проценты от начисленных прежде процентов! Это называется сложными процентами.
Хорошая новость состоит в том, что банк не заинтересован, чтобы вы каждый год забирали и вкладывали обратно свои деньги, поэтому он будет сам начислять вам сложные проценты. Если он это делает раз в год, используется такая формула:
сложные проценты (годовые) = [(1 + r)t –1] p
Давайте посмотрим, что произойдет с нашими 700 фунтами за 3 года. Подставим 0,06 вместо r, а 700 вместо p:
[(1 + 0,06)3 - 1] 700
При вычислении этого выражения крайне важно соблюдать очередность выполняемых действий (см. раздел «Порядок действий»). Сначала считаем то, что находится в скобках с наибольшей вложенностью, затем степени, после чего умножаем/делим, потом складываем/вычитаем.
[(1 + 0,06)3 – 1] 700 = [(1,06)3 – 1] 700
Внутренние скобки: (1 + 0,06) = (1,06)
Содержимое скобки возводится в 3-ю степень: то есть (1,06)3 = 1,06 1,06 1,06. Не пытайтесь выглядеть круто, возьмите калькулятор!
Степени и калькулятор
Чтобы посчитать (1,06)3, достаточно набрать <1,06 1,06 1,06 = > и получить в итоге 1,191016. Если у васмощный калькулятор, поищите кнопку возведения в степень — на ней может быть написано: xy, или x^y, или даже yx. Чтобы вычислить (1,06)3, наберите <1,06 xy 3 = >; должен получиться тот же результат: 1,191016.
= [1,191016 – 1] 700
Теперь, вычислив степень, уберем внутренние скобки. Во внешних скобках останется 1,191016 1 = 0,191016.
= 0,191016 700
Еще чуть-чуть, и готово...
= 133,71
Итак, проценты составят 133,71 фунта.
Поскольку наш исходный вклад равнялся 700 фунтам, через три года на счету будет 700 + 133,71 = 833,71 фунта. Такой же ответ мы получили ранее, значит, формула верна!
На самом деле в банках применяют еще более сложные формулы, пересчитывая проценты раз в месяц, а то и каждый день, так что прибыль выходит чуть больше… Не правда ли, очень мило с их стороны? К сожалению, у этой арифметики есть и обратная сторона, и если вы пользуетесь кредитной картой, то знаете, что я имею в виду!
Проценты по кредиту (или как терять деньги)
Если вы берете денежный займ или покупаете что-то по кредитной карте, вы платите банку проценты! И чем больше сумма кредита, тем больше придется платить.
Существуют тысячи разнообразных кредитных программ и процентных ставок: в зависимости от того, сколько вы зарабатываете, сколько хотите занять, для чего вам нужны деньги, как скоро можете их вернуть, нравится ли банковским служащим ваша рубашка и т. д. Как блестяще подытожил Боб Хоуп: «Банк — это место, где вам дадут денег, если вы сумеете доказать, что в них не нуждаетесь».
Далее будем считать, что вы взяли займ на 5000 фунтов в конторе «Акула-Кредит» с возмутительной процентной ставкой 10% в месяц. Чтобы погасить кредит, вам нужно будет выплатить и проценты, и так называемый заемный капитал, то есть5000 фунтов.
Взрывные проценты… и выплаты
Навскидку вы можете решить, что за год проценты составят 10% 12 = 120%, и если прибавить это значение к 100%, то получится, что к концу года (при отсутствии каких-либо выплат по кредиту) вам придется выложить 220%. Увы, это не так.
По кредиту всегда взимаются сложные проценты. Спустя первый месяц вы будете должны 110%, спустя второй месяц — уже 110% 110%, спустя третий месяц — 110% 110% 110% и т. д. Подразумевая, что 110% — это 1,1, сколько вы будете должны к концу года? А вот сколько: 1,112 = 3,14, или 314%. Проценты от процентов растут как на дрожжах!
Если в течение года вы не погасите кредит в 5000 фунтов, то через 12 месяцев ваш долг составит 5000 3,14 = 15 700 фунтов. Разумеется, чтобы долг не доходил до таких сумм, нужно совершать регулярные выплаты.
Наименее разумно (если в «Акула-Кредит» вам дадут такую возможность) выплачивать только проценты. Каждый месяц вы смотрите на свой долг, считаете проценты и вносите именно эту сумму. 10% от 5000 = 500 фунтов. Однако ежемесячные выплаты по 500 фунтов не уменьшат ваш заемный капитал — он по-прежнему будет равен 5000, а вы будете выплачивать проценты до конца своих дней.
Если платить чуть больше (скажем, 600 фунтов), заемная сумма в 5000 фунтов начнет уменьшаться — сначала понемногу, но со временем все быстрее и быстрее, и однажды вы погасите долг целиком. Числа в следующей таблице округлены до ближайших целых сумм в фунтах.
Здесь стоит обратить внимание на три момента.
С каждым месяцем проценты уменьшаются. Это значит, что со временем вы будете гасить долг все быстрее и быстрее.
За эти пять месяцев сумма ваших выплат составила 3000 фунтов, и это на 500 фунтов больше, чем если бы вы платили только проценты. Однако вы уменьшили задолженность до 4390 фунтов, то есть возместили 610 фунтов заемного капитала. Дополнительные 500 фунтов снизили долг на 610 фунтов!
Если продолжать таблицу, станет ясно, что для погашения кредита потребуется 18 выплат по 600 фунтов и еще одна финальная выплата в 484 фунта. Общая сумма выплат составит 600 18 + 484 = 11 284 фунта.
А если бы вы смогли выплачивать на 100 фунтов в месяц больше, то задолженность бы уменьшалась еще быстрее и для погашения кредита вам понадобилось бы всего 13 месячных выплат по 700 фунтов и финальная выплата в 105 фунтов. В сумме выплаты составят 700 13 + 105 = 9205 фунтов. То есть дополнительные 100 фунтов в месяц позволят вам сэкономить 2000 фунтов!
Долговая воронка
Серьезной проблемой может стать пропущенный платеж. Это приведет не только к росту процентов, но и к тому, что славные ребята из «Акула-Кредит», скорее всего, наложат на вас штраф. Предположим, выплачивая в месяц минимальные 500 фунтов, вы пропустили первый платеж и были оштрафованы на 200 фунтов.
Ох, не к добру это...
Через 5 месяцев ваш долг составил 6025 фунтов, то есть всего один пропущнный платеж в 500 фунтов вылился в более чем 1000 фунтов дополнительной задолженности — и таким образом долг будет расти бесконечно. Даже если вы больше не пропустите ни одной выплаты, через 12 месяцев вы будете должны 6997 фунтов, через 2 года — 11 268 фунтов, через 3 года — 24 671 фунт, а через 4 года — 66 738 фунтов.
Если бы люди из «Акула-Кредит» не оштрафовали вас на 200 фунтов, через 4 года вы были бы должны 49 099 фунтов. Однако они, безусловно, с радостью это сделают, потому что через 4 года эти 200 фунтов принесут им дополнительно почти 17 000 фунтов по процентам!
Когда вы слышите истории о людях, увязших в заоблачных долгах, как правило, всему причиной послужили несколько пропущенных выплат, штрафы и процентные ставки еще почище тех, что я использовал здесь в качестве примера.
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
До того как около 200 лет тому назад во Франции придумали метрическую систему, люди пользовались сотнями разнообразных единиц измерения длины, веса и объема. В метрической же системе применяются всего три основные единицы измерения, которые очень удобно взаимосвязаны.
Метры, литры и граммы
Изначально метр был определен как 1/10 000 000 расстояния от экватора до Северного полюса вдоль линии, проходящей через Париж. Таким образом, расстояние от экватора до Северного полюса равно 10 000 км, а длина окружности экватора — приблизительно 40 000 км. (В действительности же Земля не идеально круглая, и длина экватора равна примерно 40 075 км.)
Грамм — это вес куба (с длиной сторон 10 мм) воды при температуре 4 °C. (При этой температуре плотность воды максимальна. Иначе говоря, если вода теплее или холоднее, куб воды такого же размера весит немного меньше.)
Литр — количество жидкости, которое поместится в куб с длиной сторон 100 мм. Если этой жидкостью является вода при температуре 4 °C, тогда литр будет весить ровно 1 килограмм. Куб с длиной сторон 1 м вмещает 1000 литров воды, которая весит 1000 кг, или 1 тонну. Иначе говоря, кубический метр воды весит 1 тонну. Если бы в жизни было все так просто...
Хотя значения веса абсолютно точны лишь при 4 °C, при иных температурах они не сильно меняются. Даже когда вода находится на грани кипения, 1000 литров будут весить около 0,96 тонны, что довольно близко к 1 тонне.
Кило, мега и милли
Основные единицы — метры, литры и граммы — можно умножать или делить на степени числа 10, чтобы получить другие единицы измерения, от крайне малых до невероятно больших. Вы, конечно, знаете, что 1 километр — это 1000 метров, а 1 метр — 1000 миллиметров. Из таблички ниже видно, как эти и другие префиксы связаны между собой:
Большие величины
Малые величины
дека (да) 10, или 101
деци (д) 0,1, или 10–1
гекто (г) 100, или 102
санти (c) 0,01, или 10–2
кило (к) 1 000, или 103
милли (м) 0,001, или 10–3
мега (M) 1 000 000, или 106
микро (мк) 0,000001, или 10–6
гига (Г) 109
нано (н) 10–9
тера (T) 1012
пико (п) 10–12
пета (П) 1015
фемто (ф) 10–15
Не забывайте, что маленький знак минус перед степенью означает деление, то есть 106 = 1/106. В наши дни редко используются декаметры, гектометры или дециметры, да и сантиметры несколько устарели. Строитель, измеряющий дверной проем, вряд ли скажет, что его ширина 75 сантиметров, скорее, он скажет: «750 миллиметров». Чтобы перевести миллиметры в метры, нужно просто разделить на 1000, так что 750 мм = 0,75 м.
Другие единицы, которые вам могут встретиться
Тонна: равна 1000 кг, 1 000 000 г, или 1 109 мг. Метрическая тонна практически равна устаревшей английской тонне (однако американская тонна легче — около 0,9 метрической тонны).
Гектар: равен площади 10 000 м2, или площади квадрата со стороной 100 м. Гектар — это примерно 2,5 устаревших акра.
Световой год: эта единица вряд ли пригодится вам в повседневной жизни, но если вы интересуетесь астрономией, имейте в виду, что это расстояние, преодолеваемое светом за один год: 9 500 000 000 000 км. Ближайшая к нашему солнцу звезда находится на расстоянии 4,2 световых года.
На волосок от...
Толщина человеческого волоса около 100 мкм, но что это значит? В одном миллиметре 1000 мкм, стало быть, 100 мкм — это 0,1 мм. То есть диаметр волоса — примерно 0,1 мм.
Преобразование единиц
Зачастую одни единицы измерения нужно преобразовывать в другие, например во время приготовления еды, при покупке одежды, обмене валют или чтении прогноза погоды на следующую неделю. Рассмотрим вкратце, как это делать.
Преобразование единиц британской системы
Хотя метрическая система распространена практически повсеместно, кое-где до сих пор используются единицы британской системы, в частности в старой Британии, американских поваренных книгах и руководствах «Сделай сам». Чтобы без проблем перевести единицы измерения из британской системы в метрическую, важно знать следуюшее:
1 миля = 1,609 километра
1 ярд = 0,914 метра
1 дюйм = 25,4 миллиметра
1 фунт = 454 грамма
1 унция = 28,35 грамма
1 жидкая унция = 28,4 миллилитра
1 акр = 4047 квадратных метров, или около 0,4 гектара
1 британский галлон = 4,55 литра*
1 британская пинта = 568 миллилитров*
1 американский галлон = 3,78 литра*
1 американская кварта = 946 литров*
1 американская пинта = 473 миллилитра*
1 американская чашка = 237 миллилитров*
(*Эти значения относятся только к измерению жидкостей.)
Примечание: 4 американские чашки = 2 американские пинты = 1 американская кварта = 0,25 американских галлона.
Для большинства преобразований понадобится или умножать, или делить — нужно лишь понимать, что именно. Допустим, нам необходимо перевести 28 километров в мили. Если высокая точность не требуется, можно сказать, что 1 миля = 1,6 км. Однако какое именно действие выполнять: 28 1,6 или 28 1,6? Это зависит от того, каким должен быть ответ: больше или меньше исходного значения. Очевидно, что при сравнении 1 мили и 1,6 км число 1 меньше, чем 1,6, то есть значение в милях будет всегда меньше значения в километрах.
Поскольку 28 1,6 дает меньший результат, он и будет правильным, стало быть, 28 км = 17,5 миль.
Метры и миллиметры
Здесь все абсолютно просто, но тем не менее легко ошибиться! 1 м = 1000 мм, значит, нужно умножать или делить на 1000.
Сколько миллиметров в 0,04 метра? Очевидно, что значение должно быть больше, поэтому умножаем: 0,04 1000 = 40 мм.
Сколько метров в 520 мм? Значение должно быть меньше, поэтому делим: 520 1000 = 0,52 метра.
Валюты
Конвертация валют аналогична любым другим преобразованиям единиц измерения. Поскольку я понятия не имею, где вы живете и что во что хотите перевести, будем считать вас пиратом XVII века, который меняет 500 дублонов на гроуты9.
Если 1 дублон = 3,76 гроута, нужно ожидать большего значения в гроутах. Выходит, что 500 3,76 = 1880 гроутов.
Однако стоит иметь в виду, что банк может назначить комиссию за обмен и в результате вы получите меньше, чем ожидали. В таком случае сделайте одолжение, сбросьте этих сквалыг за борт. Йо-хо-хо!
Парадокс обмена валют
А сейчас не расчеты, а информация к размышлению! Влюта страны Шпании называется «шпалы», тогда как в граничащей с ней Франтии в ходу «фраки». И там и там считают, что местная валюта ценнее, чем соседская. Шпания объявила, что 5 фраков стоят 4 шпалы. В ответ Франтия оценила 5 шпал в 4 фрака. Гляньте-ка, на этом можно разбогатеть!
Отлично, вы в выигрыше — но за чей счет?
Температура
Из всех необходимых нам преобразований чуть сложнее дело обстоит с температурой. Большинство из нас пользуются шкалой Цельсия, но в ходу и градусы Фаренгейта, а ученые ориентируются на шкалу Кельвина.
Фаренгейт, °F
Цельсий, °C
Кельвин, K
Точка кипения воды
Читать бесплатно другие книги:
