Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений Поскитт Кьяртан
Играть нужно с другом — вы раздаете по пять карт ему и себе. Коварство фокуса в том, что вы с самого начала знаете, кто победит, а кто проиграет!
Секрет исключительно прост. Независимо от того, как перетасованы карты, игрок, которому достанется одиночная карта, проиграет! Если вы привыкли обращаться с картами, вам не составит труда придержать одну карту вверху или внизу колоды и убедиться, что она досталась нужному игроку. Если же вы не уверены в себе, слегка согните уголок одиночной карты, чтобы видеть, кому она досталась, и знать, кто победит.
Имеет смысл позволить вашему другу несколько раз выиграть, а затем, когда он утратит бдительность, поднять ставки и отыграться.
Некоторые забавные вероятности
Люди обожают судачить о всяких странных случайностях. Вот их небольшая подборка, но не принимайте ее слишком всерьез!
Шансы найти четырехлистный клевер: 1 из 10 000, или 0,01%.
Вероятность, что беременная женщина вынашивает более чем одного ребенка, постепенно возрастает. На сегодняшний день шанс зачать двойню, тройню, а то и больше составляет примерно 3%.
Если во время того, как вы целитесь в мишень, играя в дартс, кто-то вдруг завяжет вам глаза и несколько раз повернет на месте, вероятность, что вы попадете в мишень вслепую, равна примерно 2%. При этом шанс попасть в яблочко составит 1 из 100 000. Но, пожалуйста, не стоит проверять это на практике.
Вероятность при игре в гольф забить мяч с одного удара составляет предположительно 1 из 5000.
Вероятность, что вас поразит молния, примерно 1 из 3 000 000. По любопытному совпадению, такова же вероятность повстречать инопланетянина.
Вероятность, что в следующем столетии в нашу Землю врежется астероид, составляет 1 из 5000. И если этот огромный гадкий астероид таки сделает свое грязное дело, каковы шансы, что аккурат перед этим вы повесите сушиться белье? Примерно 100%.
Какова вероятность получить высший балл на экзаменационном тесте, отмечая варианты наобум? Если в тесте 30 вопросов, каждый с четырьмя вариантами ответа, то вероятность составит 1 из 430 = 1 152 921 504 606 846 976. Если же для прохождения теста достаточно угадать не менее 50% ответов, шансы на победу вычислить гораздо сложнее, но это будет примерно 1 шанс из 364. Впрочем, есть и хорошие новости: вероятность ответить неправильно на все вопросы составляет лишь 1 из 5600.
Две обманчивые вероятности
Люди часто заблуждаются оценивая свои шансы на удачу, а вокруг, увы, полно бессовестных типов, которые этим пользуются, вовлекая доверчивых искателей легкого счастья во всевозможные аферы, а затем облапошивая их. Если вы один из таких прощелыг, вот пара несложных трюков вам на радость. Суть их в том, чтобы сначала убедить жертву, что удача на ее стороне, а затем обчистить до нитки.
Черные и белые карточки
И вот вы сидите за столом с бедным стариной Малькольмом и показываете ему три карточки: одна черная с обеих сторон, другая — белая, а третья с одной стороны черная, а с другой — белая.
Попросите Малькольма перетасовать не глядя карточки под столом, затем вытащить одну карточку и положить ее на стол так, чтобы никто из вас не заметил цвета нижней стороны. Остальные две карточки никто не должен видеть. Пусть верхняя сторона лежащей на столе карточки будет черная.
— Очевидно, это не белая с двух сторон карточка, — говорите вы, — значит, она или черная с белым, или черная с обеих сторон.
Малькольм глубокомысленно кивает в ответ.
— Выходит, что с равными шансами это та или другая карточка. (Малькольм снова кивает.) Спорим на один фунт, что другая сторона черная!
— Нет, спасибо, — отвечает Малькольм. Он что-то подозревает, хотя и не понимает, в чем подвох.
— Ой, да ладно, — подначиваете вы. — Знаешь, давай так: если другая сторона черная, ты платишь мне один фунт, а если белая, я плачу тебе полтора фунта. Годится?
Малькольму это предложение кажется слишком заманчивым, он кладет деньги на стол… и с вероятностью 2 шанса из 3 вы выигрываете. Иными словами, в среднем за три кона игры вы заплатите Малькольму полтора фунта, а он вам два.
А секрет вот в чем: какого бы цвета ни была верхняя сторона карточки, всегда ставьте на то, что другая сторона того же цвета. У двух карточек цвета сторон совпадают, и лишь у одной — разные. Поэтому у Малькольма всего один шанс на выигрыш из трех.
Если Малькольм всерьез задумается, он может догадаться, в чем дело, так что пора переходить ко второму трюку.
Трюк с двумя монетами
Этот трюк очень прост, но при этом весьма необычен! Идеально будет провернуть его с Малькольмом, когда он придет вместе со своей подругой Сандрой. Сандра поможет вам облегчить карманы Малькольма; нужно лишь, чтобы она выполняла ваши просьбы и не подсказывала Малькольму.
И что же получается, сделка выгодна для Малькольма? Конечно, нет. На самом деле вы снова должны выиграть с вероятностью 2 из 3. Хитрость в том, что при бросании монет кажется, будто есть три варианта того, как они могут лечь: два орла, две решки или орел и решка. Однако, взяв монеты разных размеров, вы увидите, что вариантов четыре:
Вы просили Сандру заново бросить монеты, если выпадут две решки, так что этот вариант исключен. Значит, когда дело дойдет до ставок, останется только три варианта. Когда Сандра покажет орла, в двух вариантах вторая монета лежит решкой. Поэтому в двух случаях из трех вы должны выиграть.
Прибыль букмекера
Предположим, перед вами стоит мешок с 12 шариками: один черный, 8 белых и 3 серых. Ваша задача — с закрытыми глазами вынуть один шарик из мешка. Если он черный, вы выиграли, но каковы шансы на победу? Очевидно, 1 из 12, что можно записать как 1/12.
Или же можно сказать, что есть 11 вариантов не вынуть черный шарик против одного варианта выигрыша. Получается коэффициент против выигрыша 11 к 1, который букмекеры обычно записывают как 11/1. Так они и рассчитывают ставки.
Букмекер, который не планирует получить прибыль, предложит вам коэффициент 11/1 против того, что вам попадется черный шарик. Если вы поставите 1 фунт и проиграете, фунт останется у букмекера. Если вы поставите 1 фунт и выиграете, он вернет ваш 1 фунт плюс еще 11 фунтов выигрыша.
Предположим, вы вынимаете шарики из мешка по одному. Вам известно, что 11 раз вы проиграете, а 1 раз выиграете. Если букмекер каждый раз будет предлагать вам коэффициент 11/1 после того, как вы достанете последний шарик, вы заплатите ему 11 1 фунт = 11 фунтов. Он же заплатит вам 1 11 фунтов = 11 фунтов, так что это честный, или чистый, коэффициент.
Вы решаете, что шансы вытащить черный шарик слишком малы, и потому хотите попытаться достать один из 8 белых шариков. Тогда вероятность вашего выигрыша составит 8/12. Букмекер говорит, что шансы против вашего выигрыша 4 к 8, то есть чистый коэффициент равен 4/8, или, после сокращения, 1/2. Если вы поставите 1 фунт и вытащите белый шарик, вы выиграете 1/2 1 фунт = 50 пенсов.
Как переводить букмекерские коэффициенты в вероятности
Наш букмекер также предлагает коэффициент 3 к 1 против того, что вы достанете один из серых шариков. Чтобы убедиться, что это чистый коэффициент, нужно преобразовать его в вероятность выбора серого шарика и посмотреть, верна ли она.
Из букмекерского коэффициента следует вероятность 1/4. Поскольку в мешке 3 серых шарика из 12, это дает вероятность 3/12, то есть 1/4. Выходит, это чистый (честный) коэффициент!
А вот хитрый момент. Положим, нам неизвестно, сколько в мешке шариков, мы только знаем, что они белые, серые и черные. Можно определить, насколько букмекер честен, посмотрев на все его коэффициенты, преобразовав их в вероятности и сложив их.
Черный шарик: коэффициент = 11/1, вероятность = 1/12
Белый шарик: коэффициент = 1/2, вероятность = 2/3
Серый шарик: коэффициент = 3/1, вероятность = 1/4
Если букмекер абсолютно честен, сумма вероятностей даст 1. Можно сложить три простые дроби или взять калькулятор, перевести их в десятичные и уже затем складывать, но в любом случае сумма вероятностей равна 1. Какой благородный букмекер! Жаль, что в реальности таких не существует.
Ставки в спорте (и вероятность того, что Элвис работает в кафетерии)
Что касается ставок в спорте, то здесь не получится столь же легко найти вероятности, как для шариков в мешке. Более того, букмекер не может быть честным в том смысле, о котором мы говорили выше, ведь ему нужно получать прибыль, чтобы платить за свою спортивную машину, массивный золотой браслет и виллу в Португалии.
Давайте полюбуемся на Честного Сида и выясним, какую прибыль он надеется получить.
Сперва преобразуем коэффициенты Сида в вероятности: для 5/4 вероятность будет 4/9 или 0,444, «ровно» означает 1/1, то есть вероятность 1/2, или 0,5, а для 11/2 вероятность составит 2/13, или 0,154. Если сложить все десятичные дроби, получится 1,098.
Это говорит о том, что на каждые 100 фунтов, выплачиваемые Сидом, по его ожиданиям должно прийтись 100 фунтов 1,098 = 109,80 фунта, то есть его прибыль должна составить 9,80 фунта.
Некоторые букмекеры также принимают ирреальные ставки: к примеру, на то, что Элвиса Пресли найдут живым-здоровым и что он работает в кафетерии. Уж лучше купить лотерейный билет, и хотя шанс сорвать джекпот составляет лишь 1/13983816, по сути, это куда более вероятно. Как сказал бы сам Король рок-н-ролла: «Ну что же, раз (из примерно 14 миллионов) это ради денег...»11.
ПРОДВИНУТАЯ МАТЕМАТИКА
Итак, вы добрались почти до конца книги: поздравляю! Как насчет того, чтобы блеснуть интеллектом и доказать, что вам по зубам и более сложные теоретические штучки? Следующие два раздела посвящены математическим понятиям, которые вам вряд ли пригодятся в обыденной жизни, но с ними интересно в общих чертах ознакомиться, особенно если в школьные годы они являлись вам в кошмарах!
Углы, треугольники и тригонометрия
Угол между двумя пересекающимис линиями измеряют в градусах, обозначая их маленьким символом °. Если хотите посмотреть, какого примерно размера угол в 1°, возьмите длинную нитку, сложите ее пополам, проденьте в петлю большой палец и вытяните руку в сторону. Другой рукой возьмите концы нитки и держите их перед собой так, чтобы нитка была натянута. Угол в месте схождения двух концов и составит около 1°.
Угол между сторонами квадрата равен 90° и называется прямым. Если вы сделаете полный поворот вокруг своей оси, вы повернетесь на 360°. Угол в 180° представляет собой прямую линию; а сумма углов любого треугольника всегда будет 180°. Вырежте треугольник из бумаги, оторвите его уголки и, сложив их вместе, получите прямую линию, как показано на рисунке ниже.
Четыре угла любого четырехугольника вместе составляют 360°, так что если их оторвать и сложить, они сойдутся один к одному без зазора.
Возможно, у вас есть калькулятор с кучей таинственных кнопок, которыми вы не пользуетесь? Это обидно, учитывая, что вы за них заплатили, так что давайте вкратце рассмотрим, что такое синус, косинус и тангенс.
Основная идея состоит в том, что если вы знаете длину только одной (или двух) стороны треугольника и его углы, то, воспользовавшись тригонометрией, можете вычислить то, что неизвестно. Проще всего иметь дело с прямоугольными треугольниками, поскольку достаточно знать длину одной из сторон и величину любого угла (помимо прямого), чтобы вычислить его остальные параметры.
Допустим, известна величина одного из углов; если взять сторону, противолежащую этому углу, и разделить на самую длинную сторону, то есть гипотенузу, получится дробь, которая называется синусом угла и обозначается словом sin. (Пишется точно так же, как английское sin, то есть «грех», но не спешите радоваться — порок и разврат здесь ни при чем.)
Предположим, вы пытаетесь достать свой любимый ботинок из водосточного желоба (бог знает, как он туда попал, но, сами понимаете, всякое бывает). В вашем распоряжении 8-метровая лестница, стоящая у стены здания.
Лестница, стена и поверхность земли образуют прямоугольный треугольник. Если вы измерили угол между лестницей и землей (он равен 72°), то можете вычислить, на какой высоте находится желоб, чтобы не теряться, отвечая потом на вопросы работников скорой помощи.
Лестница является гипотенузой треугольника, и она равна 8. Высота, которую мы хотим узнать, — это сторона, противолежащая углу в 72°, так что можем составить простое уравнение:
sin 72° = противолежащая сторона/8
Умножив обе части уравнения на 8, получим
sin 72° 8 = противолежащая сторона
Чтобы вычислить синус на калькуляторе, введите <sin 72 => и получите 0,951.
Затем умножим это число на 8 — выйдет 7,608. Это и есть высота от земли до желоба в метрах!
Косинус (cos) и тангенс (tg) — это дроби, представляющие отношения других сторон треугольника друг к другу.
И это практически все, что вам нужно знать о тригонометрии...
Логарифм: это что за чертовщина?
Всякий раз, когда разговор заходит о самых мрачных и зловещих тайнах математики, как правило, вспоминают о логарифмах. На многих это слово навевает кошмары, полные бессмысленных чисел и язвительных учителей. Однако теперь, когда школа позади, не пора ли все же разобраться, что это такое? Не будет ни тестов, ни контрольных, ни летающих губок для вытирания доски — чудовище не сможет вам навредить.
Логарифмы в 1645 году изобрел шотландец Джон Непер, и на протяжении 350 лет (пока не изобрели калькуляторы) они были единственным верным средством для быстрого умножения и деления очень больших чисел. Так в чем же суть логарифмов?
Возьмем весьма простое выражение:
1000 100 = 100 000
Иначе его можно записать как 103 102 = 105 — это абсолютно то же самое, однако вместо того, чтобы перемножать большие числа, мы просто сложили степени: 3 + 2 = 5. Джон Непер понял, что любое число можно представить в виде степени числа 10, после чего для умножения или деления чисел достаточно лишь складывать или вычитать их степени.
Но вот незадача: такие степени редко бывают красивыми ровными числами, например 78 = 101,89209. Когда степени становятся затейливыми десятичными дробями, их называют логарифмами. Поскольку 78 = 101,89209, можно сказать, что логарифм от 78 равен 1,89209.
Перевод чисел в логарифмы — крайне утомительный процесс, но соратник Непера по имени Генри Бригс облечил его, разработав для подобных преобразований так называемые логарифмические таблицы. Некоторые из таблиц позволяли получить лишь три знака после запятой: 78 = 101,892. А по наиболее точным таблицам Бригса выходило, что 78 = 101,89209460269048. Соответственно, чем точнее логарифмы, тем точнее результат вычислений. (Исаак Ньютон, изучая движения звезд и планет, дошел в вычислении логарифма до 50 знаков после запятой, но его увлеченность граничила с манией.)
Что ж, опробуем логарифмы в деле.
Точный ответ = 1 198 366 848. Погрешность при вычислении с помощью логарифмов составила примерно 1 миллионную!
Быстрый способ вычисления корней
Вы можете находить квадратные и кубические корни путем деления логарифма на 2 и 3.
Будь вы Исааком Ньютоном, которому нужно узнать кубический корень из 591, вы бы сначала нашли по логарифмическим таблицам, что 591 = 102,771587. Затем посчитали бы 2,771587 3 = 0,923862. И наконец, переведя 100,923862 в обычное число, получили бы ответ: 8,391942. (Если перемножить 8,391942 8,391942 8,391942, действительно получится 591.)
Мало того что этот ответ точен — логарифмы позволили сэкономить часы, которые бы ушли на мозгодробительные вычисления!
ГЛОССАРИЙ
Существует много слов для обозначения разных математических понятий, однако эта книга и так достаточно информативна. Поэтому я старался, насколько возможно, обходиться без научной терминологии. Однако все же предоставляю краткий справочник по основным математическим терминам.
E — на экране калькулятора обозначает «экспоненциальную запись», когда результат умножается на степень числа 10.
e — особенное число, равное 2,71828183. Применяется при вычислении прироста чего-либо, например урожая. Также используется при расчете банковских процентных ставок.
Градус — единица измерения углов, обозначается символом °. Также в градусах (Кельвина, Цельсия и Фаренгейта) измеряют температуру.
Делимое — при делении это число, которое делят. В выражении 35 5 = 7 число 35 является делимым.
Делитель — при делении это число, на которое делят. В выражении 48 4 = 12 число 4 является делителем.
Десятичные дроби — числа с десятичной запятой, такие как 0,667 или 365,26.
Диаметр — линия, соединяющая две точки окружности и проходящая через ее центр.
Дуга — участок окружности. Может быть разной величины, от маленького кусочка до почти полной окружности.
Знаменатель — нижнее число в простой дроби. Например, в дроби 4/7 число 7 — это знаменатель.
Иррациональное число — десятичная дробь с бесконечным количеством знаков после запятой, которые не повторяются предсказуемым образом.
Касательная — прямая линия, которая соприкасается с окружностью в одной точке. Если провести к этой точке радиус, он составит с касательной угол в 90°.
p>Квадрат и квадратный корень. Возведение в квадрат — это умножение числа на само себя, например 7 7 = 49. Действие, обратное этому, называется извлечением квадратного корня, например квадратный корень из 49 равен 7.
Квадратное уравнение — алгебраическое уравнение, в которое входит неизвестное значение в квадрате, например x2. Обычно у квадратного уравнения есть два разных решения.
Коэффициент — число, на которое умножается другое число (или содержимое скобок). Например, в выражении 3(2x + 7) число 3 — коэффициент при выражении в скобках, а 2 — коэффициент при x.
Медиана — при наличии упорядоченного набора значений медианой будет значение, стоящее посередине совокупности значений.
Множители — целые числа, на которые заданное число делится без остатка. Множители числа 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30. Простые множители — простые числа, которые нужно перемножить, чтобы получить исходное составное число. Простые множители числа 60: 2 2 3 5 = 60.
Мода — при наличии набора значений модой будет то значение, которое встречается в этом наборе чаще всего.
Неравносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны разной длины.
Нечестный официант (см. подраздел «Загадка про нечестного официанта») — забудьте о 30 фунтах! В итоге женщины заплатили 27 фунтов, 25 из которых попали в кассу, а 2 остались у официанта.
Ноль — пожалуй, самое сложное из чисел, ведь некоторые люди даже не уверены, что оно является числом. Если считать его числом, оно порождает множество проблем, особенно при попытке на него делить. А если это не число, то как оно может получиться из других чисел, например 2 2 = 0?
Округление — замена неудобного числа более простым числом, близким к нему по значению.
Окружность — замкнутая линия, граница круга.
Острый угол — угол, величина которого меньше 90° (то есть меньше прямого угла).
Перпендикуляр — линия, составляющая прямой угол с другой линией или поверхностью.
Пи (или ) — 3,14159265… Название числа, которое получается в результате деления длины окружности на ее диаметр.
Произведение — результат перемножения двух или более чисел. Произведением чисел 4, 7 и 8 будет 4 7 8 = 224.
Простая дробь — дробь, где одно число записывается над другим, например 2/3, в отличие от десятичных дробей, таких как 0,618.
Простое число — число, которое делится без остатка лишь на само себя и на 1.
Прямой угол — угол в 90°, например любой угол квадрата. На рисунках обычно помечается квадратиком.
Равнобедренный треугольник — треугольник, две стороны которого имеют одинаковую длину, и, соответственно, два угла тоже равны.
Равносторонний треугольник — треугольник с одинаковой длиной всех сторон. Все углы такого треугольника равны 60°.
Радиус — расстояние от любой точки окружности до ее центра. Радиус всегда вдвое меньше диаметра.
Разложение на множители в алгебре — преобразование сложного алгебраического выражения в виде произведения более простых выражений. Простейший способ разложения — вынесение множителя за скобки. Например, в выражении 6x2 + 9x оба слагаемых делятся на 3x, поэтому его можно разложить на множители путем вынесения множителя за скобки: 3x(2x + 3).
Раскрытие скобок в алгебре — избавление от скобок путем умножения коэффициента перед скобками на их содержимое. Если раскрыть скобки в выражении 4y(3 2y), получится 12y 8y2.
Рациональная дробь — бесконечная десятичная дробь, в которой цифры после запятой периодически повторяются.
Сегмент — конечный интервал на прямой линии или фигура, которая получится при отсечении части круга прямой линией (см. рис. выше).
Сектор — фигура, похожая на кусок пиццы (см. рис. выше).
Сокращение дробей — деление числителя и знаменателя простой дроби на одно и то же число.
Составное число — любое число, не являющееся простым. Иначе говоря, число, которое делится не только на 1 и на само себя, но и на другие числа.
Среднее арифметическое — разновидность среднего значения, вычисляемая путем сложения ряда чисел и деления их суммы на количество этих чисел.
Степень — количество раз умножения числа на само себя. 45 — это четыре в пятой степени = 4 4 4 4 4 = 1024.
Сумма — сумма ряда чисел как результат их сложения друг с другом.
Транспортир — инструмент для измерения углов; размером и формой обычно напоминает половинку компакт-диска, где вдоль круглого края отмечены числа. Еще транспортиром удобно соскабливать лед с ветрового стекла машины.
Тупой угол — угол, который больше 90°, но меньше 180°. Тупоугольным называют треугольник, один из углов которого тупой.
Угольник — треугольный инструмент для черчения. Обычно либо с одним прямым углом и двумя углами по 45°, либо с одним прямым углом, двумя углами в 30° и 60°. Судя по всему, 90% всех угольников покупают в подарок детям среднего школьного возраста их благонамеренные тетушки.
Упрощение — действия, которые совершают со сложными алгебраическими выражениями, чтобы сделать их проще. Например, выражение 3(2x 4) + 5(1 x) можно упростить, если сначала раскрыть скобки 6x 12 + 5 5x, а затем сложить и вычесть подобные члены выражения, получится x 7.
Факториал (числа n) — это произведение всех целых чисел от 1 до n. Обозначается символом «!». Например, 4! = 4 3 2 1 = 24. На скачках, в которых участвуют 4 лошади, это число соответствует количеству вариантов их финиширования. К сожалению, выяснить, какая лошадь придет первой, факториал не поможет.
Хорда — прямая линия, которая пересекает окружность, не проходя через ее центр (см. рис. выше).
Частное — результат операции деления. Например, 14 2 = 7, здесь 7 частное.
Четырехугольник — любая фигура с четырьмя прямыми сторонами.
Числитель — верхнее число в простой дроби.
Эллипс — фигура, похожая на окружность, но с двумя центрами, называемыми фокусами. Чем дальше они отстоят друг от друга, тем более вытянутым будет эллипс. Планеты вращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, однако орбита Земли очень близка к круговой.
ЧТД
Эти три буквы обычно пишут в конце математических доказательств. Они являются сокращением от фразы «что и требовалось доказать». Это удобный способ заявить: «Вот видите? Я доказал, что это работает».
Надеюсь, я доказал вам, что математика работает, и объяснил, как взаимосвязаны ее разные области. Осталось лишь пожелать вам удачи при следующей встрече с числами! Как выразился мой приятель Блейки: «Большую часть жизни я не понимал, что к чему в математике, а теперь не понимаю, как это можно было не понять».
И на прощание еще один забавный математический фокус.
Выберите любое четырехзначное число, чтобы все его цифры были разными. Хороший способ это сделать — взять девять игральных карт, от туза (это будет 1) до 9, перетасовать и вытянуть четыре случайные карты. Предположим, число будет 4728.
Переставьте цифры, расположв их задом наперед: 8274. Вычтите меньшее число из большего: 8274 4728 = 3546.
При сложении отдельных цифр результата всегда будет 18: 3 + 5 + 4 + 6 = 18.
Хотите знать, в чем секрет? Полагаю, разобраться в этом поможет алгебра, однако есть объяснение получше — это магия.
ОТ АВТОРА
Спасибо замечательным сотрудникам издательства Michael O’Mara, благодаря которым эта книга увидела свет, а также Эндрю Пиндеру за рисунки, Ричарду Коллинзу за корректуру и в особенности редактору Керри Чеппл — без ее участия вам не было бы так интересно читать эту книгу, а мне — ее писать.
ПРИМЕЧАНИЯ
1.Если от слов «десятичная дробь» вас бросает в дрожь, не переживайте. Немного погодя все прояснится.
2.Отметим, что в русской традиции используется иная форма записи процесса деления, но по сути она полностью совпадает с приведенной. Какой формой записи пользоваться — дело привычки. Прим. ред.
3.Обычно этот признак делимости формулируется так: если число, состоящее из двух последних цифр проверямого числа, делится на 4 (или состоит из нулей), то и все число делится на 4. Прим. ред.
4.Автор пропустил признак деления на 8. Вот он: если число, составленное из последних трех цифр исходного числа, делится на 8, то и исходное число делится на 8. Прим. ред.
5.Популярное в Великобритании и США развлечение, заключающееся в отслеживании поездов по их номерам. Прим. перев.
6.Йорк — город на севере Англии. Прим. ред.
7.Это одни из наиболее употребительных типов средних значений, но есть и другие. Прим. перев.
8.Нельзя лишь делить обе части на ноль, иначе Вселенная разрушится. Почему, вы поймете из раздела «Какразрушить Вселенную».
9.Гроут — вышедшая из употребления английская серебряная монета. Прим. перев.
10.Другое название кубоида — прямоугольный параллелепипед. Прим. перев.
11.Строчка из песни «Синие замшевые ботинки», в оригинале Well, it’s one for the money. Прим. перев.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Почему я написал эту книгу
Сложение
Система разрядов
Как быстро проверить кассовый чек
Как это работает
Вычитание
Старый способ
Новый способ
Отрицательные числа
Умножение
Тайны таблицы умножения
Простые числа
Умножение на пальцах
Умножение больших чисел
Надежный способ умножения
Умножение сотен и тысяч
Умножение отрицательных чисел
Читать бесплатно другие книги:
