Симпсоны и их математические секреты Сингх Саймон

Глава 8

Шоу простых чисел

Сюжетная линия эпизода «Мардж и Гомер спасают чужой брак» (Marge and Homer Turn a Couple Play, сезон 17, эпизод 22; 2006 год) разворачивается вокруг звезды бейсбола по имени Бак Митчелл («Король хоум-рана»), который играет за бейсбольную команду Спрингфилда Isotopes. Когда у них с женой Табитой Викс возникают супружеские проблемы, результативность Митчела на поле начинает падать, поэтому они обращаются к Гомеру и Мардж за советом как к семейным консультантам. После множества неожиданных поворотов действие достигает кульминации на спрингфилдском стадионе, где Табита появляется на экране Jumbo-Vision и прилюдно признается Баку в любви.

Несмотря на то что в этом эпизоде звучит голос Мэнди Мур, есть отсылка к Джерому Дэвиду Сэлинджеру и «Пьете» Микеланджело, зрителей из числа математиков больше всего взволновало появление особого простого числа. Прежде чем рассказывать о нем более подробно, давайте немного отклонимся от темы и познакомимся с двумя математиками, которые натолкнули сценаристов на мысль об отсылке к этому числу. Речь идет о профессоре Аппалачского университета Саре Гринволд и профессоре из Колледжа Санта-Моники Эндрю Нестлере.

Гринволд и Нестлер заинтересовались мультсериалом «Симпсоны» в 1991 году, когда впервые встретились и подружились во время учебы на математическом факультете Пенсильванского университета. Оба как раз начинали работать над докторскими диссертациями и раз в неделю собирались со студентами магистратуры, чтобы посмотреть «Симпсонов» и вместе поужинать. Нестлер хорошо помнит, почему этот сериал им так нравился: «Сценаристы создали двух нердов: профессора Фринка, ученого, и Мартина Принса, одаренного ученика начальной школы. Кроме них была еще главная героиня – Лиза Симпсон, тоже очень умная и любознательная. Наличие этих персонажей придало сериалу нечто такое, из-за чего интеллектуалам хотелось его смотреть, чтобы в каком-то смысле посмеяться над собой».

Спустя некоторое время Гринволд и Нестлер начали собирать различные математические ссылки в «Симпсонах». Помимо шуток про высшую математику, их внимание также привлекли сцены с математикой в контексте обучения. Нестлер вспоминает, что пришел в восторг от фразы Эдны Крабаппл в эпизоде «Малыш Вигги» (This Little Wiggy, сезон 9, эпизод 18; 1998 год), когда самая суровая учительница Спрингфилда поворачивается к классу и говорит: «Чья машинка сосчитает, сколько будет семь на восемь?»

Через какое-то время Гринволд и Нестлер нашли так много математических шуток, что Нестлер решил создать базу данных со сценами, которые могут заинтересовать математиков. По словам Нестлера, для него это было очевидно: «Я по своей природе коллекционер и люблю все каталогизировать. В молодости я собирал визитки. Мое главное хоби – коллекционирование записей Мадонны; в моей коллекции их уже более 2300».

После того как Гринволд и Нестлер получили докторские степени и занялись преподавательской деятельностью, они стали включать сцены из «Симпсонов» в лекции. Нестлер, докторская диссертация которого была посвящена алгебраической теории чисел, использовал материал из мультсериала в своих курсах, охватывающих такие темы, как матанализ, введение в матанализ, линейная алгебра и дискретная математика.

Научные интересы Гринволд, напротив, фокусировались на сферических многообразиях (специальной области геометрии), поэтому она чаще включала геометрические шутки из «Симпсонов» в свой курс под названием «Математика 1010 (Гуманитарная математика)». Например, обсуждала на лекциях начальную сцену на диване (вступительные кадры каждого эпизода заканчиваются такой сценой, причем в ней всегда присутствует какой-то визуальный элемент юмора) из эпизода «Великий Гомер» (Homer the Great, сезон 6, эпизод 12; 1995 год). В ней Гомер и его семья перемещаются по парадоксальной системе лестниц под воздействием трех сил тяжести, каждая из которых перпендикулярна остальным. Эта сцена представляет собой ссылку на «Относительность», знаменитую литографию голландского художника Маурица Корнелиса Эшера, страстно увлеченного математикой вообще и геометрией в частности.

Необычный подход к преподаванию Гринволд и Нестлера, несколько лет подряд использующих сцены из «Симпсонов» в своих курсах, привлек внимание ряда местных СМИ, что вылилось в интервью в программе Национального общественного радио Science Friday («Научная пятница»). Когда сценаристы «Симпсонов» услышали его, они были поражены тем, что их внутренние нердовские шутки упоминаются теперь даже в университетских курсах по математике, и захотели встретиться с этими профессорами и поблагодарить их за увлеченность как математикой, так и «Симпсонами». В итоге Гринволд и Нестлера пригласили на вычитку очередного эпизода, которым как раз и оказался эпизод «Мардж и Гомер спасают чужой брак».

Двадцать пятого августа 2001 года Гринволд и Нестлер слушали вычитку сценария о беспорядочных отношениях между Баком Митчелом и Табитой Викс. Профессора сидели и наслаждались историей, а сценаристы внимательно анализировали каждую строчку, выискивая хорошие шутки, которые можно было бы улучшить, и плохие, которые следовало выбросить. Немного позже в тот же день, после отъезда профессоров, авторы сравнили свои записи и начали предлагать поправки к сценарию. Все согласились с тем, что это сильный эпизод, но в нем есть одно вопиющее упущение – полное отсутствие даже намека на математику!

Казалось невежливым пригласить Гринволда и Нестлер на вычитку сценария из-за их интереса к математике в «Симпсонах», и при этом представить им эпизод, в котором математики не было. Авторы приступили к повторному анализу сценария, сцена за сценой, в поисках подходящего места для вставки математики. В конце концов один из них заметил, что кульминация эпизода позволяет включить ряд интересных цифр.

Перед тем как Табита во всеуслышание признается в любви к Баку на экране Jumbo-Vision, на нем отображается вопрос с несколькими вариантами ответа, предлагающий зрителям догадаться, сколько людей присутствует на стадионе. В предварительном сценарии числа в них были взяты наугад, однако теперь сценаристы решили заменить их числами с особенно интересными свойствами. Когда они справились с задачей, Джефф Уэстбрук написал Саре Гринволд электронное письмо, в котором было сказано следующее: «Просто замечательно, что вы у нас побывали, поскольку это слегка подстегнуло нас, и мы решили включить в эпизод несколько более интересных математических чисел в честь вашего визита».

Изображение на экране Jumbo-Vision из эпизода «Мардж и Гомер спасают чужой брак»

Три особых числа, появившиеся на экране Jumbo-Vision, случайному зрителю показались бы произвольно выбранными и ничем не примечательными, но зрители с математическим складом ума сразу бы поняли, что каждое из них замечательно по-своему.

Первое число 8191 – простое число. В действительности оно относится к особому классу простых чисел, известному как числа Мерсенна. Этот класс назван в честь Марена Мерсенна, который в 1611 году стал членом ордена минимов в Париже и с тех пор делил свое время между молитвами Богу и поклонением математике. Мерсенн проявлял особый интерес к набору чисел вида 2^p 1, где p – любое простое число. В приведенной ниже таблице показано, что произойдет, если подставить все простые числа меньше 20 в формулу 2^p 1.

Поразительное свойство этой таблицы состоит в том, что формула 2^p 1, похоже, генерирует числа, которые могут быть простыми. На самом деле все числа в правом столбце простые, за исключением числа 2047, поскольку 2047 = 23 89. Другими словами, формула 2^p 1 – это рецепт, использующий в качестве ингредиентов простые числа для образования новых простых чисел. Например, если p = 13, тогда 2 1 = 8191, а это и есть простое число Мерсенна, присутствующее в эпизоде «Мардж и Гомер спасают чужой брак».

Числа Мерсенна считаются звездами в мире чисел, так как могут быть очень большими. Некоторые из них относятся к категории титанических простых чисел (имеют более тысячи знаков), некоторые – гигантских простых чисел (более десяти тысяч знаков), а самые большие называют мегапростыми числами (более одного миллиона знаков). Десять наиболее больших известных простых чисел Мерсенна – это самые большие простые числа из когда-либо найденных. Самое большое число Мерсенна (2^57885161 1), которое было открыто в январе 2013 года, имеет свыше семнадцати миллионов знаков[33].

Второе число на экране стадиона, 8128, известно как совершенное число. Совершенство в контексте числа зависит от его делителей, а именно тех чисел, на которые оно делится без остатка. Например, делители числа 10 – 1, 2, 5 и 10. Число считается совершенным, если оно равно сумме своих делителей, отличных от самого числа. Самое маленькое совершенное число – 6, поскольку 1, 2 и 3 – это его делители, а 1 + 2 + 3 = 6. Второе совершенное число – 28, потому что его делители – 1, 2, 4, 7 и 14, а 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Третье совершенное число – 496, а четвертое – 8128: именно то число, которое появляется в эпизоде «Мардж и Гомер спасают чужой брак».

Об этих четырех совершенных числах знали еще древние греки, однако математикам пришлось больше тысячелетия ждать открытия трех следующих совершенных чисел: 33 550 336 было обнаружено примерно в 1460 году, а затем, в 1588-м, было объявлено об открытии чисел 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Как сказал французский математик XVII столетия Рене Декарт, «совершенные числа, как и совершенные люди, встречаются крайне редко».

Исходя из того, что совершенных чисел очень мало, легко сделать поспешный вывод о существовании их конечного количества. Но тем не менее математики до сих пор не смогли это доказать. Кроме того, все известные совершенные числа четные, поэтому велика вероятность, что и те совершенные числа, которые будут когда-то найдены, также окажутся четными. Но и это пока никто не доказал.

Несмотря на эти пробелы в знаниях, нам все же кое-что известно о совершенных числах. Например то, что четные совершенные числа (а ими могут оказаться все числа такого рода) – это также треугольные числа:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

Кроме того, мы знаем, что четные совершенные числа (за исключением числа 6) всегда представляют собой сумму нескольких следующих подряд нечетных чисел, возведенных в третью степень:

28 = 1 + 3

496 = 1 + 3 + 5 + 7

8128 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15

И последнее, но не менее важное замечание: нам известно о существовании тесной связи между совершенныи числами и простыми числами Мерсенна. В действительности математики доказали, что каждая из этих групп содержит одно и то же количество чисел, и показали, что каждое число Мерсенна можно использовать для генерирования совершенного числа. Следовательно, всего мы знаем сорок восемь совершенных чисел, потому что знаем только сорок восемь чисел Мерсенна.

Третье число на экране стадиона – 8208 – тоже особенное, поскольку оно относится к категории так называемых самовлюбленных чисел[34]. Оно равно сумме своих цифр, возведенных в степень, равную количеству этих цифр:

8208 = 8⁴ + 2⁴ + 0⁴ + 8⁴ = 4096 + 16 + 0 + 4096

Причина, почему это число называют самовлюбленным, заключается в том, что его же собственные цифры используются для генерации самого числа. Создается впечатление, что такое число одержимо собой, почти влюблено в само себя.

Есть масса других примеров самовлюбленных чисел, например 153, которое равно 1 + 5 + 3, однако доказано, что существует их конечное количество. В действительности есть всего восемьдесят восемь самовлюбленных чисел, среди которых самое большое – 115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401.

Тем не менее, если мы ослабим ограничения, то появится возможность сгенерировать так называемые сумасбродные самовлюбленные числа. Они могут быть образованы с помощью собственных цифр любым возможным способом. Вот несколько примеров сумасбродных самовлюбленных чисел:

6859 = (6 + 8 + 5)⁹

24739 = 2⁴ + 7! + 3⁹

23328 = 2 3^3! 2 8

Итак, благодаря визиту Гринволд и Нестлера в эпизоде «Мардж и Гомер спасают чужой брак» появились простое число Мерсенна, совершенное число и самовлюбленное число. На протяжении многих лет мультсериал «Симпсоны» оказывал влияние на методику преподавания, теперь же ситуация изменилась на прямо противоположную: профессора оказали влияние на «Симпсонов».

Но почему авторы мультсериала выбрали именно эти числа для демонстрации на экране Jumbo-Vision? Ведь существуют сотни видов интересных чисел, и любые могли бы сыграть свою роль в эпизоде. Например, так называемые числа-вампиры, цифры которых можно разделить таким образом, чтобы образовались два новых числа (известных как «клыки»), произведение которых равно исходному числу. Например, 136 948 – это число-вампир, поскольку 136 948 = 146 938. Еще более интересный пример – число 16 758 243 290 880, потому что его клыки можно сформировать четырьмя разными способами:

1675824290880 = 1982736 8452080

1675824290880 = 2123856 7890480

1675824290880 = 2751840 6089832

1675824290880 = 2817360 5948208

Если бы сценаристы захотели использовать в высшей степени особенное число, они могли бы выбрать безукоризненное число. Таких чисел всего два, поскольку они должны удовлетворять двум строгим требованиям, имеющим отношение к совершенству. Во-первых, общее количество делителей этого числа должно быть совершенным числом; во-вторых, сумма этих делителей тоже должна быть совершенным числом. Первое безукоризненное число – 12, так как его делители – 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Количество делителей равно 6, а их сумма – 28, причем 6 и 28 – совершенные числа. Второе безукоризненное число – 6 086 555 670 238 378 989 670 371 734 243 169 622 657 830 773 351 885 970 528 324 860 512 791 691 264.

По словам сценаристов, они выбрали число Мерсенна, совершенное число и самовлюбленное число для эпизода «Мардж и Гомер спасают чужой брак» только потому, что все они примерно равны реальному количеству зрителей на бейсбольном стадионе. Кроме того, именно эти числа первыми пришли им в голову. Поправки в сценарий вносились в последнюю минуту, поэтому авторам некогда было долго думать над выбором чисел.

Но теперь, по прошествии времени, я готов поспорить, что сценаристы выбрали самые подходящие числа, поскольку они еще видны на экране в момент появления Табиты Викс, причем каждое из них как будто представляет собой ее точное описание. Будучи одним из наиболее эффектных персонажей «Симпсонов», Табита считает себя совершенной женщиной в расцвете лет[35], поэтому неудивительно, что она – самовлюбленный человек. В действительности в самом начале эпизода Табита, одетая в откровенное платье, вызывающе танцует перед восхищенными бейсбольными фанатами мужа, так что появление сумасбродного самовлюбленного числа на экране стадиона более чем уместно.

Хотя Гринволд и Нестлер могут показаться исключительными преподавателями, они не единственные, кто обсуждает «Симпсонов» на своих лекциях. Джоэл Сокол из Технологического института Джорджии в курсе лекций под названием «Принятие решений в противостоянии с соперником: практическое применение математической оптимизации» использует слайды с описанием игры «камень, ножницы, бумага», в которую играют герои «Симпсонов». Этот курс лекций посвящен теории игр – области математики, которая занимается моделированием поведения участников в конфликтных ситуациях и партнерских отношениях. Теория игр может помочь нам понять очень многое, от домино до военных действий, от животного альтруизма до переговоров профсоюзов. Точно так же Дирк Матри, экономист Университета штата Пенсильвания, активно интересующийся математикой, использует сцены из «Симпсонов» с игрой «камень, ножницы, бумага», когда рассказывает студентам о теории игр.

На первый взгляд кажется, что «камень, ножницы, бумага» (сокращенно КНБ) – достаточно простая игра, поэтому вас удивит тот факт, что она может представлять какой-либо интерес с точки зрения математики. Тем не менее в руках специалиста по теории игр КНБ становится сложной битвой между двумя соперниками, пытающимися перехитрить друг друга. На самом деле в КНБ много скрытых математических тонкостей.

Но прежде чем их раскрыть, позвольте кратко описать правила игры. В КНБ участвуют два игрока, которые играют по очень простым правилам. Сначала они вместе считают «Раз, два, три…» и на счете «три» показывают рукой один из трех знаков: камень (сжатый кулак), бумага (открытая, плоская ладонь) или ножницы (указательный и средний пальцы образуют букву V). Победитель определяется по принципу «круговой иерархии»: камень затупляет ножницы (побеждает камень); ножницы режут бумагу (побеждают ножницы); бумага заворачивает камень (побеждает бумага). Если оба игрока выбрали один и тот же знак, значит, в этом раунде будет ничья.

За многие столетия в разных культурах сформировались свои варианты этой игры, от индонезийского «слон, человек, уховертка» до «НЛО, микроб, корова», созданного любителями научной фантастики. В последней версии НЛО расчленяет корову, корова поедает микробы, а микробы заражают НЛО.

Хотя каждая культура имеет свои элементы игры, общие правила остаются неизменными. При их наличии можно использовать логику математической теории игр, чтобы определить лучшую стратегию игры. Это было продемонстрировано в эпизоде «Фронт» (The Front, сезон 4, эпизод 19; 1993 год), когда Барт и Лиза играют в КНБ, чтобы решить, чье имя следует указать первым в их совместном сценарии к «Шоу Щекотки и Царапки». Если взглянуть на игру КНБ с точки зрения Лизы, то ее лучшая стратегия зависит от ряда факторов. Например от того, что Лиза знает о сопернике – новичок он или профессионал – и что соперник знает о Лизе, а также какова цель: выиграть или избежать поражения?

Если бы Лиза играла с чемпионом мира, она могла бы воспользоваться стратегией случайного хода, поскольку даже чемпион мира не мог бы предсказать, что она выберет: камень, ножницы или бумагу. Это обеспечило бы Лизе равные шансы на выигрыш, проигрыш или ничью. Однако Лиза играет с братом, а он не чемпион мира по КНБ, поэтому она предпочитает стратегию, основанную на собственном опыте: Барт всегда выбирает камень. В итоге Лиза выбрасывает бумагу, чтобы поедить камень Барта. Как и следовало ожидать, ее план срабатывает. Плохая привычка Барта согласуется с результатами исследования, проведенного Всемирным обществом КНБ, которые гласят, что камень – в целом самый популярный знак, особенно среди мальчиков.

Применение правильной стратегии игры, основанной на теории игр, сыграло в свое время ключевую роль, когда японская компания Maspro Denkoh выставила в 2005 году на аукцион свою коллекцию произведений искусства. Для того чтобы решить, с каким аукционным домом заключить многомиллионный контракт, с Sotheby’s или Christie’s, в Maspro Denkoh устроили между их представителями битву по КНБ. Международный директор отдела импрессионизма и современного искусства Christie’s Николас Маклин отнесся к этому настолько серьезно, что попросил совета у своих одиннадцатилетних дочерей-двойняшек. Опыт двойняшек подтверждали результаты исследования Всемирного общества КНБ, поскольку девочки тоже считали, что камень – самый распространенный ход. Более того, они обратили внимание, что продвинутые игроки знают об этом и выбирают в качестве своего хода бумагу. Интуиция подсказывала Маклину, что в Sotheby’s остановятся именно на этой продвинутой стратегии, поэтому посоветовал боссам в Christie’s сделать еще более тонкий ход, выбросив ножницы. Представители Sotheby’s действительно выбрали бумагу, поэтому Christie’s выиграли.

Еще один уровень математических тонкостей возникает, когда мы придаем игре КНБ дальнейший импульс, включив в нее больше вариантов. Прежде всего необходимо подчеркнуть, что любая новая версия КНБ должна иметь нечетное количество вариантов (N). Это единственный способ сбалансировать игру, так как каждый вариант выигрывает и проигрывает равному количеству других вариантов: (N – 1)/2. Следовательно, не существует такой версии КНБ, в которой было бы четыре варианта хода, но есть версия с пятью вариантами, придуманная программистом Сэмом Кассои и ставшая популярной после появления в восьмой серии второго сезона телесериала «Теория большого взрыва» (The Big Bang Theory, 2008 год), под названием «камень, ножницы, бумага, ящерица, Спок» (сокращенно КНБЯСп). Вот круговая иерархия и жесты для игры «камень, ножницы, бумага, ящерица, Спок».

По мере увеличения количества вариантов вероятность ничьей снижается на 1/N. Следовательно, вероятность ничьей в КНБ составляет 1/3, а в КНБЯСп – 1/5. Если кто-то хочет свести вероятность ничьей к минимуму, то самой большой и лучшей версией КНБ будет созданная художником-аниматором Дэвидом Лавлейсом КНБ-101. Она содержит 101 жест и 5050 возможных вариантов ходов, которые однозначно приведут к выигрышу. Например, трясина засасывает грифа, гриф съедает принцессу, принцесса усмиряет дракона, дракон поджигает робота и т. д. Вероятность ничьей составляет 1/101, что меньше одного процента.

Пожалуй, самое интересное математическое событие, произошедшее благодаря изучению игры КНБ, – это изобретение так называемых нетранзитивных игральных костей, сразу же вызвавших к себе повышенный интерес, поскольку на гранях каждой из них обозначены другие цифры:

Мы с вами можем выбрать по одной игральной кости и сыграть ими друг против друга. Выигрывает тот, чья кость покажет большее число. Так как вы думаете, какая кость лучшая?

В приведенных ниже таблицах показано, что происходит с тремя возможными парами костей: (А против Б), (Б против В), (В против А). Из первой таблицы следует, что кость А лучше, чем кость Б, поскольку она выигрывает в 20 из 36 возможных вариантов развития событий. Другими словами, кость А в среднем выигрывает в 56 процентах случаев.

А как насчет пары «кость Б против кости В»? Вторая таблица показывает, что кость Б лучше, так как она выигрывает в 56 процентах случаев.

В реальной жизни мы привыкли к транзитивным отношениям, которые означают, что если А лучше Б, а Б лучше В, то А должно быть лучше В. Тем не менее, бросив кость А против кости В, мы обнаружим, что кость В лучше, потому что она выигрывает в 56 процентах случаев, как показано в третьей таблице. Именно поэтому такие кости названы нетранзитивными: они не подчиняются обычному правилу транзитивности, так же как и ходы в КНБ. Как уже отмечалось выше, правила КНБ подчиняются нетрадиционной круговой иерархии, а не простой иерархии сверху вниз.

Каждая таблица показывает все возможные варианты развития событий, когда две игральные кости выбрасываются друг против друга. В первой таблице, отображающей ситуацию «А против Б», можно увидеть, что верхний левый квадрат отмечен как А и окрашен в светло-серый цвет, поскольку кость А выигрывает, если на ней выпадает число 3, а на кости Б – число 2. В свою очередь нижний правый квадрат отмечен как Б и имеет темно-серый цвет, так как кость Б выигрывает, если на ней выпадает число 9, а на кости А – число 7. С учетом всех возможных комбинаций можно сделать вывод, что кость А выигрывает в среднем в 56 процентах случаев в игре против кости Б.

Нетранзитивные отношения абсурдны и противоречат здравому смыслу, но именно поэтому они и приводят в восторг математиков, будь то авторы «Симпсонов», университетские профессора… или даже самый успешный инвестор в мире, а именно Уоррен Баффет, чистая стоимость активов которого оценивается примерно в 50 миллиардов долларов. В альбоме выпускников Школы Вудро Вильсона 1947 года под фотографией Баффета стоит весьма дальновидная подпись: «Любит математику; будущий фондовый брокер».

Баффет большой поклонник нетранзитивных игральных костей и часто предлагает людям сыграть с ним партию. Он без всяких объяснений вручает сопернику три нетранзитивные кости и просит первым сделать выбор. Сопернику кажется, будто это ставит его в более выгодное положение, поскольку у него есть шанс выбрать «лучшую» кость. Разумеется, лучшей кости просто не существует, и Баффет сознательно уступает первый ход, чтобы иметь возможность выбрать кость, более сильную по сравнению с той, на которую укажет соперник. Это не гарантирует Баффету победу, но существенно повышает ее вероятность.

Когда Уоррен Баффет решил провернуть этот трюк с Биллом Гейтсом, основатель Microsoft сразу же заподозрил неладное. Он достаточно долго изучал кости, а затем вежливо предложил Баффету сделать выбор первым.

Глава 9

До бесконечности и дальше

В эпизоде «Игра до победного конца» (Dead Putting Society, сезон 2, эпизод 6; 1990 год) рассказывается о турнире по мини-гольфу, в финале которого Барт Симпсон играет против Тодда Фландерса, сына соседа Неда Фландерса. Ставки в игре очень высоки, поскольку отца проигравшего ждет незавидная участь: ему придется косить газон победителя в платье своей жены.

Во время напряженной перепалки Гомер и Нед, для того чтобы укрепить свои позиции, апеллировали к бесконечности:

Гомер. Завтра в это время ты наденешь высокие каблуки!

Нед. Нет, ты наденешь.

Гомер. Нет.

Нед. Наденешь.

Гомер: Нет.

Нед. Наденешь.

Гомер. Нет до бесконечности!

Нед. Наденешь до бесконечности плюс один!

Гомер. Ой!

Я спросил сценаристов, кто из них предложил идею этого диалога, но никто так и не вспомнил, что неудивительно, ведь сценарий был написан больше двадцати лет назад. Тем не менее все сошлись во мнении, что эта перепалка двух отцов нарушила весь процесс написания сценария, поскольку породила дискуссию о природе бесконечности. Так все же бесконечность плюс один больше бесконечности или нет? Данное утверждение имеет смысл или оно бессмысленно? Можно ли его доказать?

В ходе поиска ответов на эти вопросы сидевшие за столом математики упомянули имя Георга Кантора, родившегося в Санкт-Петербурге в 1845 году. Кантор был первым математиком, который действительно пытался осмыслить понятие бесконечности. Однако его объяснения носили исключительно технический характер, поэтому миссия интерпретировать результаты исследований Кантора была возложена на блестящего немецкого математика Давида Гильберта (1862–1943). Гильберт умел находить аналогии, которые делали идеи Кантора о бесконечности более удобоваримыми и доступными для понимания.

Одно из самых известных объяснений бесконечности включало в себя воображаемое здание, известное как отель Гильберта – достаточно большое, с бесконечным количеством номеров, обозначенных числами 1, 2, 3 и т. д. В один особенно оживленный вечер, когда все номера заняты, появляется новый гость, не забронировавший номер заранее. К счастью, владелец отеля доктор Гильберт знает, как решить проблему. Он просит всех постояльцев перебраться из текущего номера в следующий. То есть жилец номера 1 переходит в номер 2, жилец из номера 2 – в номер 3 и т. д. У всех гостей по-прежнему есть номера, но номер 1 теперь свободен и в нем может поселиться новый гость. Этот сценарий подразумевает (и тому есть более строгое доказательство), что бесконечность плюс один равна бесконечности – пожалуй, весьма парадоксальный, но все же неоспоримый вывод.

Это значит, что Нед Фландерс неправ, полагая, что он может взять верх над бесконечностью Гомера, прибавив к ней единицу. В действительности Фландерс оказался бы неправ, даже если бы попытался выиграть спор, прибавив бесконечность к бесконечности, что доказывает еще одна сцена из отеля Гильберта.

Отель снова переполнен, и тут прибывает бесконечно большой автобус. Его водитель спрашивает доктора Гильберта, может ли отель вместить всех пассажиров. Гильберт невозмутим. Он просит всех своих нынешних постояльцев перебраться в номер с числом в два раза больше. То есть гость из номера 1 переходит в номер 2, гость из номера 2 переходит в номер 4 и т. д. В результате имеющаяся бесконечность гостей занимает только четные номера, а бесконечное количество нечетных номеров освобождается. Теперь отель сможет предоставить номера для бесконечного количества пассажиров автобуса.

Пример опять кажется парадоксальным. Возможно, вы даже думаете, что это полная бессмыслица, не более чем оторванные от жизни философские рассуждения. Тем не менее выводы по поводу бесконечности представляют собой нечто большее, чем просто софистику. Математики делают их последовательно, шаг за шагом, выстраивая строгий, прочный фундамент.

Эту мысль хорошо иллюстрирует анекдот, в котором ректор университета жалуется на декана физического факультета: «Почему физикам всегда нужно столько денег на лаборатории и оборудование? Почему вы не можете быть как математический факультет? Математикам нужны только карандаши, бумага и корзина для бумаг. Или еще лучше: почему бы вам не быть как философский факультет? Они просят только карандаши и бумагу».

Этот анекдот высмеивает философов, которым не присуща научная строгость математиков. Математика – это кропотливый поиск истины, потому что каждая новая гипотеза подвергается безжалостной проверке, а затем либо вводится в общую схему знаний, либо выбрасывается в корзину для мусора. Некоторые математические концепции бывают абстрактными и загадочными, но даже они должны пройти процесс тщательного анализа.

Таким образом, отель Гильберта наглядно продемонстрировал, что:

бесконечность = бесконечность + 1

бесконечность = бесконечность + бесконечность

Хотя Гильберту удалось избежать в объяснениях специальных математических выкладок, Кантор, для того чтобы сделать свои парадоксальные выводы о бесконечности, был вынужден глубоко погрузиться в математическую организацию чисел, и такое интеллектуальное напряжение не прошло для него бесследно. Кантор страдал от тяжелых приступов депрессии, проводил много времени в больнице и начал верить в то, что находится в непосредственный связи с Богом. В действительности он считал, что это Бог помог ему сформулировать свои идеи, и верил, что бесконечность – это синоним Бога: «Она реализована в наиболее полной форме, в сверхъестественном существе, в Боге; я называю ее Абсолютной бесконечностью, или Абсолютом». Психическое состояние Кантора было отчасти результатом насмешек и критики в его адрес со стороны более консервативных математиков, которые не могли смириться с его радикальными выводами о бесконечности. К большому сожалению, в 1918 году Георг Кантор умер в полной нищете.

После смерти Кантора Гильберт так прокомментировал попытки своего коллеги постичь математику бесконечности: «Бесконечность! С давних пор ни один вопрос так не будоражил человеческую мысль, как этот; ни одна другая идея не действовала на разум столь побуждающе и плодотворно; но и ни одно другое понятие так сильно не нуждается в разъяснении, как бесконечность».

Гильберт ясно дал понять, что в борьбе за постижение бесконечности принимает сторону Кантора: «Никто не изгонит нас из рая, созданного для нас Кантором».

Помимо математиков, в команду сценаристов «Симпсонов» входили также другие ученые, интересующиеся математикой, например Джоэл Коэн (не имеющий никаких родственных связей с Дэвидом Коэном), изучавший точные науки в Альбертском университете в Канаде; Эрик Каплан, который изучал в Колумбийском университете и в Беркли философию науки; Дэвид Миркин, планировавший стать инженером-электротехником и, прежде чем присоединиться к команде «Симпсонов», окончивший Университет Дрекселя в Филадельфии и работавший в Национальном экспериментальном центре авиационного оборудования. Джордж Мейер получил диплом по биохимии, а затем сфокусировался на математике, безуспешно пытаясь разработать безопасную систему ставок в собачьих бегах. Для мира комедии было настоящим подарком судьбы то, что Мейер бросил эту затею и сделал карьеру в качестве одного из самых авторитетных комедийных сценаристов в Лос-Анджелесе.

Все это говорит о том, что в команде сценаристов «Симпсонов» никогда не было недостатка в людях, желающих вступить в математическую дискуссию в процессе работы над сценарием. Тем не менее, несмотря на явную любовь к отвлеченным темам, авторы сериала понимали, что семинар по поводу бесконечности, Кантора и отеля Гильберта может помешать работе, если проводить его в разгар работы над сценарием. К счастью, было найдено решение проблемы, которое позволяло поощрять математические дискуссии, не нарушая текущий процесс. Таким решением стал математический клуб.

Идея о создании клуба возникла во время разговора, который состоялся в одном из баров Лос-Анджелеса между Мэттом Уорбертоном и Рони Брунн. Уорбертон изучал когнитивную нейробиологию в Гарвардском университете, а затем пришел в команду сценаристов «Симпсонов» и оставался в ней вот уже больше десяти лет, практически с начала выхода сериала на экраны. Брунн имела отношение к миру комедии еще во время учебы в Гарварде и даже была редактором журнала Harvard Lampoon, но после окончания университета сделала карьеру в мире моды и музыки.

«Путь к созданию математического клуба начался с осознания того печального факта, что после окончания университета мой ум стал терять остроту, – объясняет Брунн. – Я завидовала любителям книг, у которых были свои клубы. На самом деле я не очень-то люблю читать романы, но мне требовалась социальная среда для интеллектуальных дискуссий. Однажды вечером в баре я пожаловась Мэтту Уорбертону на явную несправедливость, задавшись вопросом, почему есть клубы любителей книг и нет математического клуба. Он кивнул мне в знак поддержки и продолжил пить свое пиво. Мы поговорили о многочисленных сценаристах «Симпсонов», имеющих математическое образование, и этого оказалось достаточно для того, чтобы я начала действовать».

В противоположность тому, что, возможно, посоветовал бы Брэд Питт, первым правилом математического клуба было как можно больше говорить о математическом клубе. На самом деле его популяризация только приветствовалась. Ключевыми членами клуба стали сценаристы «Симпсонов», но его двери были также открыты для учителей, научных работников и просто жителей Лос-Анджелеса, интересующихся математикой.

Первое заседание клуба состоялось в квартире Брунн в сентябре 2002 года. Вступительную лекцию под названием «Сюрреальные числа» прочитал Дж. Стюарт Бернс, который начал работу над докторской диссертацией по математике перед тем, как стать членом команды «Симпсонов». Коллеги Бренса тоже выступали в математическом клубе с лекциями по таким темам, как «Введение в теорию графов», «Случайный выбор задач в теории вероятностей» и т. д.

Хотя математический клуб представлял собой неформальное объединение друзей и коллег с общими интересами, представленные на его заседаниях лекции зачастую имели безупречную научную репутацию. Кен Килер, лекция которого называлась «Подразбиение квадрата», – один из самых одаренных в математическом плане сценаристов «Симпсонов». Он окончил Гарвардский университет с отличием, что было признанием его блестящего математического таланта, и получил диплом бакалавра в 1983 году. Затем Килер поступил в Стэнфордский университет, чтобы получить диплом магистра по электротехнике, после чего снова вернулся в Гарвард, где защитил докторскую диссертацию по теме «Представление карт и оптимальное кодирование для сегментации изображений» в области прикладной математики. После этого Килера приняли в AT&T Bell Laboratories в Нью-Джерси, на счету сотрудников которых было семь Нобелевских премий. Именно в этот период и пересеклись пути Кена Килера и Джеффа Уэстбрука. Оба работали в одной и той же сфере исследований и совместно написали работу под названием «Укороченное кодирование планарных графов и карт»[36]. Кроме того, Килер и Уэстбрук также были соавторами сценария научно-фантастического телесериала Star Trek: Deep Space Nine («Звездный путь: Глубокий космос 9»), в котором два комика развязали войну, оскорбив своими шутками каждого присутствовавшего в зале инопланетянина.

Численность членов математического клуба неуклонно росла. Иногда, для того чтобы вместить всех желающих, приходилось проводить заседания на улице, используя простыню в качестве экрана проектора. Больше всего членов клуба, порой около ста человек, приходили послушать лекции знаменитых математиков, таких как, например, доктор Рональд Грэм – главный научный сотрудник Калифорнийского института телекоммуникаций и информационных технологий (Cal-(IT)). Кстати, Грэм написал более двух десятков работ в соавторстве с Палом Эрдешем, а также является главным популяризатором концепции чисел Эрдеша. Кстати, у Грэма есть еще один предмет для гордости – число Грэма – самое большое число из когда-либо использовавшихся в математическом доказательстве, которое он открыл в 1977 году. Чтобы получить представление о его истинном размере, возьмем такую величину, как планковский объем, которая является минимальной единицей объема в физике. Один атом водорода содержит 10⁷³ таких объемов. Если бы цифры числа Грэма были записаны на ткани космоса таким образом, чтобы каждая цифра занимала один планковский объем, то всей видимой Вселенной оказалось бы недостаточно, чтобы вместить все цифры этого числа. Возможно, вам будет интересно узнать его последние десять цифр: … 2464195387.

Одну из самых запоминающихся лекций прочитал в математическом клубе Дэвид Коэн, создатель последней теоремы Гомера. Выступление Коэна было особенным потому, что он посвятил его научному исследованию, которое провел перед тем, как стать комедийным сценаристом. После окончания Гарвардского университета Коэн один год проработал в Гарвардской лаборатории робототехники, после чего поступил в Калифорнийский университет в Беркли для получения степени магистра компьютерных наук. Во время учебы в Беркли Коэн изучал так называемую задачу блинной сортировки – именно эта тема и легла в основу его лекции в математическом клубе.

Задачу блинной сортировки впервые сформулировал в 1975 году Джейкоб Гудман, геометр из Городского колледжа Нью-Йорка, известный под псевдонимом Гарри Двейтер (англ. Harry Dweighter, созвучно с harried waiter – «обеспокоенный официант»). Он писал:

«В нашем ресторане не очень аккуратный шеф-повар; когда он готовит блины, они получаются разных размеров. Вот почему, когда я отношу блины клиенту, по пути к столику мне приходится переворачивать несколько верхних блинов (так, чтобы самые маленькие были наверху, а самые большие – внизу). Я повторяю это столько раз, сколько нужно (меняя количество переворачиваемых блинов). Если есть n блинов, чему равно максимальное количество переворотов (как функции n), которое мне придется сделать, чтобы расположить блины в правильном порядке?»

Другими словами, если Гомер отправится в Спрингфилдский муниципальный дом блинов, как показано в эпизоде «Запутанный мир Мардж Симпсон» (The Twisted World of Marge Simpson, сезон 8, эпизод 11; 1997 год), и официант принесет ему n блинов разных размеров, уложенных в случайном порядке, то сколько переворотов ему потребуется сделать в самом худшем случае, для того чтобы расположить блины правильно? Число переворотов блинов обозначается как P_n. Задача состоит в том, чтобы найти формулу определения числа P_n.

Задача блинной сортировки сразу же привлекла внимание математиков по двум причинам. Во-первых, было похоже, что она позволит лучше понять способы решения задач по информатике, поскольку перегруппировка блинов имеет много общего с перегруппировкой данных. Во-вторых, эта головоломка казалась достаточно трудной, а математики просто обожают задачи, граничащие с невозможным.

Несколько простых примеров могут пролить свет на эту задачу. Во-первых, чему равно число переворотов, если в наличии всего один блин? Ответ: нулю, поскольку этот блин не может лежать неправильно. Следовательно, P₁ = 0.

Чему равно число переворотов в случае двух блинов? Тут может быть только два варианта: либо их уложили правильно, либо в обратном порядке. Определить худший случай не составит труда, причем потребуется всего один переворот, для того чтобы обеспечить правильное расположение блинов. Следовательно, P₂ = 1.

Далее, чему равно число переворотов в случае трех блинов? Вычислить это немного труднее, так как существует шесть вариантов их исходного порядка. И в зависимости от него число переворотов, необходимое для расположения блинов в правильном порядке, составляет от ноля до трех в самом худшем случае. Следовательно, P₃ = 3.

В большинстве случаев вы сами можете уложить блины в нужном порядке с помощью приемлемого количества переворотов. Однако порой процесс перестановки неочевиден, поэтому ниже показана серия из трех переворотов. В каждом ряду отображен процесс одного переворота, а именно куда следует вставить лопатку и каким будет порядок укладки блинов в результате переворота.

По мере увеличения стопки блинов задача усложняется в связи с ростом количества вариантов исходного порядка расположения блинов, а также числа возможных способов переворачивания. Более того, создается впечатление, что в последовательности чисел, соответствующих количеству переворотов блинов, нет никакой закономерности:

Из-за сложности выполнения всех перестановок и возможных стратегий переворачивания блинов даже очень мощным компьютерам до сих пор не удалось рассчитать число переворотов в случае двадцати блинов. Кроме того, даже три десятилетия спустя никто не смог отказаться от метода решения «в лоб» с помощью компьютера и найти красивое уравнение для определения числа переворотов блинов. На данный момент единственным достижением в решении этой задачи стало выведение формулы определения границ для числа переворотов блинов. В 1979 году было доказано, что верхняя граница для числа переворотов составляет (5n + 5)/3 переворотов. Это значит, что мы можем взять бессмысленно огромное количество блинов (скажем, тысячу) и точно знать, что число переворотов, необходимых для их укладки в порядке возрастания (или убывания) разера, будет меньше, чем:

Таким образом, учитывая, что выполнить треть переворота невозможно, меньше или равно 1668. Этот знаменитый результат, поскольку он был опубликован в работе Христоса Пападимитриу и Уильяма Гейтса, который нам больше известен как Билл Гейтс, основатель компании Microsoft, а эта работа считается его единственной научной публикацией.

В работе Гейтса, написанной им в период учебы в Гарвардском университете, упоминается также более сложный вариант этой задачи. В задаче о подгоревших блинах фигурируют блины, подгоревшие с одной стороны, которые необходимо уложить в правильном порядке, переворачивая так, чтобы подгоревшая сторона оказывалась внизу. Именно эту задачу решил Дэвид Коэн во время учебы в Беркли.

В 1995 году Коэн написал работу по задаче о подгоревших блинах[37], в которой вычислил верхний и нижний пределы числа переворотов подгоревших блинов: от 3n/2 до 2n 2. Если мы снова используем пример с 1000 блинов, но теперь уже подгоревших, то сможем определить, что число переворотов, необходимых для их укладки подгоревшей стороной вниз, составляет от 1500 до 1998.

Это именно то, что делает сценаристов «Симпсонов» уникальными. Они не только посещают математический клуб, но еще и читают научные лекции и пишут серьезные математические научные работы.

Дэвид Коэн вспомнил историю, которая показывает, как сценаристы порой поражаются сами себе, когда осознают уровень математических знаний своей команды: «Я написал работу о количестве переворотов блинов в соавторстве со своим научным руководителем Мануэлем Блюмом, известным специалистом в области компьютерных наук, и мы отправили ее в журнал Discrete Applied Mathematics. Впоследствии я бросил магистратуру ради написания сценариев для “Симпсонов”. После того как нашу работу приняли, прошел очень большой отрезок времени, прежде чем ее проверили и опубликовали. Таким образом, к моменту ее публикации я уже работал какое-то время в команде “Симпсонов”, и примерно в тот же период туда пришел Кен Килер. Когда в конце концов моя научная статья появилась в журнале, я пришел с ее копией на работу и сказал: “Послушайте, а у меня вышла статья в Discrete Applied Mathematics”. Это произвело впечатление на всех, кроме Кена Килера, который заявил: “Ну да, я тоже опубликовал статью в этом журнале пару месяцев назад”».

С ухмылкой на лице Коэн проворчал: «Вот так вот, я пишу сценарии для “Симпсонов” и даже не могу быть единственным сценаристом сериала, опубликовавшим работу в Discrete Applied Mathematics?»

Глава 10

Теорема страшилы

Как правило, Гомера не считают гигантом мысли; он скорее пользуется репутацией одного из обычных жителей Спрингфилда. В эпизоде «Гомер против восемнадцатой поправки» (Homer vs. the Eighteenth Amendment, сезон 8, эпизод 18; 1997 год) он поднимает тост, который отражает его простую философию жизни: «За алкоголь! Причину и решение всех жизненных проблем!»

Тем не менее время от времени сценаристы все же дают Гомеру оторваться, чтобы исследовать нердовскую сторону его характера. Мы уже видели это в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи» 1998 года; кроме того, есть и несколько эпизодов, в которых Гомер демонстрирует, что может быть образцовым гиком. Например, самый авторитетный в мире научный журнал Nature похвалил его за комментарий, сделанный в эпизоде «Забастовка учителей» (The PTA Disbands, сезон 6, эпизод 21; 1995 год). Поймав дочь на попытке построить вечный двигатель, Гомер твердо ставит ее на место: «В этом доме все подчиняется законам термодинамики!»

Помимо бессмысленного повторения самых фундаментальных законов науки, Гомер периодически принимается за реализацию научных программ. В эпизоде «Томак» (E-I-E-I-D’oh, сезон 11, эпизод 5; 1999 год) он становится фермером и разбрызгивает плутоний на своих полях, чтобы увеличить урожайность. Неудивительно, что в результате вырастают растения-мутанты. Гомер называет их томак, поскольку они похожи на томат, но внутри содержат табак.

Этот эпизод вдохновил Роба Бауэра, поклонника «Симпсонов» из штата Орегон, на повторение достижений Гомера. Вместо использования радиоактивного материала он привил корни табака к стеблю томата и стал ждать, что из этого получится. Это была не такая уж сумасшедшая идея, учитывая, что и томаты, и табак принадлежат к семейству пасленовых, а значит, их прививка может привести в результате к тому, что свойства одного растения передадутся другому. На самом деле в листьях томата Бауэра действительно присутствовал никотин, а это доказывает, что научный факт может быть почти таким же причудливым, как и научная фантастика.

Сценаристы стимулировали расцвет интеллекта Гомера и в эпизоде «Они спасли мозг Лизы», о котором шла речь в главе 7. После того как Стивен Хокинг увозит Лизу от разъяренной толпы, действие перемещается в бар Мо, где беседуют профессор Хокинг и Гомер. На ученого производят впечатление идеи Гомера по поводу космологии: «Гомер, твоя теория пончикообразной Вселенной заинтриговала меня. Я ее у тебя украду».

Хотя это звучит нелепо, но специалисты по космологии с математическим складом ума утверждают, что Вселенная действительно могла бы иметь структуру пончика. Для того чтобы объяснить вероятность такой геометрии, давайте упростим Вселенную, представив себе, что все космическое пространство стало плоским в результате перехода из трех– в двухмерное измерение, так что все сущее расположено на листе. Здравый смысл подсказывает, что этот вселенский лист должен быть плоским и простираться до бесконечности во всех направлениях. Однако космология редко согласуется со здравым смыслом. Эйнштейн учил нас, что пространство может искривляться, что в результате приводит к самым разным сценариям развития событий. Например, представьте себе, что лист Вселенной не бесконечен, а имеет четыре края и напоминает скорее большой прямоугольный лист резины. Далее вообразите, что вы соединяете две его длинные стороны так, чтобы образовать цилиндр, а затем соединяете два конца этого цилиндра, чтобы весь лист превратился в пустотелый пончик. Это и есть та модель Вселенной, которую обсуждали Хокинг и Гомер.

Если бы вы жили на поверхности этой пончикообразной Вселенной, то могли бы перемещаться по серой стрелке и в конце концов вернуться в исходное положение. Вы могли бы также отправиться по черной стрелке и снова оказались бы там, откуда начали движение. Пончикообразная Вселенная ведет себя как космическое пространство в популярной видеоигре Asteroids компании Atari. Если корабль игрока летит на восток, то он исчезает с экрана с правой стороны и снова появляется с левой. Точно так же, если корабль отправляется на север, он доходит до верхнего края экрана, после чего появляется в нижней его части, опять вернувшись в отправную точку.

Безусловно, мы проанализировали эту теорию только в контексте двух измерений, но согласно законам физики трехмерную Вселенную тоже можно свернуть в цилиндр, образуя своего рода пончик. Человеку, не имеющему отношения к математике, почти невозможно представить себе такие манипуляции с трехмерным пространством, но Хокинг и Гомер понимают, что пончик – это идеальная, вполне жизнеспособная, реальная форма для Вселенной. Британский ученый Джон Бердон Сандерсон Холдейн (1892–1964) однажды сказал: «Подозреваю, что Вселенная не только причудливее, чем мы себе представляем, но и причудливее, чем мы можем представить».

В других эпизодах сценаристы создают то или иное триггерное (переключающее из одного положения в другое) событие, которое стимулирует мозг Гомера, что, в свою очередь, позволяет ему добиваться успехов в математике. В эпизоде «ГОМР» (HOMR, сезон 12, эпизод 9; 2001 год) Гомер удаляет из своего мозга карандаш и вдруг осознает, что может использовать высшую математику, чтобы доказать, что Бога не существует. Он показывает доказательство своему богобоязненному соседу Неду Фландерсу, который сначала с подозрением относится к заявлению Гомера, что Бог исчезает под натиском логики. Но затм Фландерс анализирует доказательство и бормочет: «Ну-ка посмотрим… Может быть, он ошибся… Нет. Все верно. Эту бумагу никто не должен видеть». Фландерсу не удается найти ни одной ошибки в доказательстве Гомера, поэтому он решает сжечь лист, на котором оно написано.

Эта сцена отдает дань уважения одному из самых известных случаев в истории математики, когда величайший математик XVIII столетия Леонард Эйлер сделал вид, что доказал нечто противоположное выводу Гомера, а именно – что Бог существует. Инцидент произошел в тот период, когда Эйлер находился при дворе Екатерины Великой в Санкт-Петербурге. Екатерину и ее придворных все больше беспокоило влияние гостившего у них французского философа Дени Дидро, который был убежденным атеистом и, по слухам, приходил в ужас от математики. Эйлера попросили составить фальшивое уравнение, которое бы доказывало существование Бога и положило конец ереси Дидро. Когда Эйлер обнародовал это уравнение, Дидро потерял дар речи. После этого он стал объектом насмешек всего Петербурга и вскоре попросил разрешения вернуться в Париж.

Мозг Гомера получает еще один временный стимул в эпизоде «$прингфилд (или как я перестал бояться и полюбил легальные азартные игры)» ($pringfield (Or, How I Learned to Stop Worrying and Love Legalized Gambling), сезон 5, эпизод 10; 1993 год). В самом начале эпизода Генри Киссинджер (в какой-то мере необъяснимо) совершает прогулку по территории места работы Гомера, Спрингфилдской атомной электростанции. К сожалению, бывший госсекретарь США роняет свои фирменные очки в унитаз, когда заходит в один из туалетов электростанции. Будучи слишком робким, чтобы вытащить их оттуда, и слишком смущенным, чтобы попросить кого-то о помощи, Киссинджер бормочет себе под нос: «Никто не должен знать, что я упустил их в унитаз. Только не я, человек, написавший проект Парижского мирного соглашения».

Вскоре в ту же туалетную кабинку заходит Гомер и обнаруживает в унитазе очки. Разумеется, он не может не вытащить их оттуда, после чего очки как будто наделяют его силой разума Киссинджера. Все еще находясь в туалете, Гомер начинает как заведенный повторять математическую формулу:

Сумма квадратных корней[38] любых двух сторон равнобедренного треугольника равна квадратному корню оставшейся стороны.

На первый взгляд может показаться, что это простое проговаривание теоремы Пифагора, но в действительности это не так по нескольким причинам. Настоящая теорема Пифагора гласит:

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов смежных сторон.

Самое очевидное различие состоит в том, что утверждение Гомера касается равнобедренного треугольника, тогда как теорема Пифагора описывает прямоугольный треугольник. Возможно, вы еще со школы помните, что равнобедренный треугольник имеет две стороны одинаковой длины, тогда как прямоугольный треугольник может иметь стороны любой длины, если один его угол прямой.

В утверждении Гомера есть еще две проблемы. Во-первых, он говорит о «квадратных корнях» сторон треугольника, тогда как в теореме Пифагора идет речь о квадратах сторон. Во-вторых, теорема Пифагора устанавливает зависимость между гипотенузой (самой длинной стороной прямоугольного треугольника) и двумя катетами, тогда как Гомер ставит «любые две стороны» равнобедренного треугольника в зависимость от «оставшейся стороны». В качестве «любых двух сторон» могут выступать либо две равные стороны, либо одна из равных сторон и неравная сторона.

Представленные ниже рисунки и уравнения подытоживают и подчеркивают различия между утверждением Гомера и теоремой Пифагора. Гомер взял стандартный фрагмент математической информации и изменил его, тем самым создав новый вариант теоремы Пифагора, а именно гипотезу Симпсона. Различие между теоремой и гипотезой состоит в том, что истинность первой доказана, тогда как вторая и не доказана, и не опровергнута… пока.

Гипотеза Симпсона касается всех равнобедренных треугольников, а значит, если мы попытаемся ее доказать, то должны продемонстрировать, что она верна для бесконечного множества треугольников. А для того чтобы опровергнуть гипотезу Симпсона, нам будет достаточно найти всего один треугольник, противоречащий ей. Поскольку опровержение кажется более легким, чем доказательство, давайте посмотрим, сможем ли мы найти такой треугольник.

Возьмем равнобедренный треугольник с двумя сторонами длиной 9 и основанием с длиной 4. Равна ли сумма квадратных корней любых двух сторон этого треугольника квадратному корню оставшейся стороны?

9 + 9 = 4 подразумевает, что 3 + 3 = 2, что неверно

Страницы: «« « 123456 » »»