Симпсоны и их математические секреты Сингх Саймон

Глава 11

Математика в режиме стоп-кадра

Комедийный мультсериал «Флинтстоуны», впервые вышедший на экраны в 1960 году, состоял из 166 эпизодов, демонстрируемых на протяжении шести сезонов, и стал самым успешным сериалом прайм-тайма на канале ABC. Однако после этого вплоть до 1989 года больше ничего подобного не создавалось, пока «Симпсоны» не начали свой долгий триумфальный путь из пяти сотен эпизодов. Доказав, что комедийные мультсериалы могут быть интересны как детям, так и взрослым, «Симпсоны» способствовали выходу сериалов «Гриффины» (Family Guy) и «Южный парк» (South Park). Кроме того, Мэтт Грейнинг и его команда сценаристов доказали, что комедии вполне могут обойтись без смеха за кадром, что создало условия для появления таких сериалов, как «Офис» Рики Джервейса.

Еще одним новаторским аспектом «Симпсонов», по мнению сценариста Патрика Веррона, стала популяризация шуток в режиме стоп-кадра: «Если они и не были изобретены в “Симпсонах”, то уж точно были усовершенствованы. Такие шутки остаются незамеченными при просмотре в обычном режиме, поэтому, чтобы их увидеть, необходимо остановить кадр. Многие шутки представляют собой просто названия книг или знаки. Подобные вещи трудно включить в игровой фильм».

Шутки в режиме стоп-кадра (которые могут длиться буквально на протяжении одного-единственного кадра или порой чуть дольше) включались в эпизоды «Симпсонов» с самого начала. В «Барте – гение», первом полноценном эпизоде «Симпсонов», мы видим библиотеку, в которой есть «Илиада» и «Одиссея». Но моргните – и вы пропустите их. Разумеется, прикол в том, что эти древнегреческие тексты написаны Гомером.

Шутки в режиме стоп-кадра позволяли увеличить комедийную насыщенность сериала и включать в эпизоды скрытые ссылки, которые были настоящей наградой для зрителей, обладающих знаниями в соответствующей области. В этом же эпизоде один из учеников на мгновение демонстрирует ланчбокс с изображением Анатолия Карпова. Карпов был чемпионом мира по шахматам с 1975 по 1985 год. Еще он установил рекорд как продавец самой дорогой марки из Бельгийского Конго, ушедшей с аукциона в 2011 году за 80 000 долларов. Если зритель не заметил шутку, он ничего не потерял. Однако если хотя бы один человек увидел и оценил ее, то, по мнению сценаристов, это стоило затраченных усилий.

По большому счету, шутки в режиме стоп-кадра – это продукт научно-технического прогресса. В 1989 году, когда были запущены «Симпсоны», примерно у 65 процентов американских семей были видеомагнитофоны. Это означало, что поклонники сериала могли смотреть эпизоды по несколько раз и делать паузу на тех сценах, в которых они заметили что-то забавное. В тот же период примерно у 10 процентов семей были домашние компьютеры, а некоторые даже имели доступ к интернету. В следующем году появилась группа новостей Usenet alt.tv.simpsons, которая позволяла поклонникам сериала делиться, среди прочего, найденными шутками в режиме стоп-кадра.

По мнению автора книги Planet Simpson («Планета Симпсон») Криса Тернера, самая радикальная версия юмора в режиме стоп-кадра присутствует в эпизоде «Гомер – плохой человек» (Homer Badman, сезон 6, эпизод 9; 1994 год), в котором шоу расследований под названием «Голые факты» ошибочно обвиняет Гомера в сексуальных домогательствах. Ведущий шоу Годфри Джонс вынужден в прямом эфире принести извинения и опубликовать список поправок, представленный в форме текста, быстро прокручивающегося по экрану. Обычный зритель видит лишь размытое изображение, но в этот текст включено тридцать четыре шутки за четыре секунды, причем написаны они достаточно разборчиво, чтобы любой желающий мог остановить эпизод и прочитать текст кадр за кадром.

Строки из списка поправок «Голых фактов»:

«Если вы это читаете, значит, вы не живете настоящей жизнью».

«Наши зрители – не жалкие существа, у которых нет секса и которые только пожирают пищу перед телевизором».

«Куэйл знает общие правила гигиены».

«Люди, которые это пишут, не живут полноценной жизнью».

Надпись на стене бара «Диско Стью»:

«Вы должны быть хотя бы немного смуглыми, чтобы сюда войти».

Название торгового предложения «Продажа зимнего безумия»

Товары для вечеринки от Доннера»

Название книги Лизы

«Любовь во времена книжек-раскрасок»

Вывеска на Первой церкви Спрингфилда

«Мы приветствуем другие религии (просто шутка)»

Вывеска на Съезде левшей

«Сегодня проводится семинар: “Амбидекстрия: неприятие левшей?”»

Важно отметить, что шутки в режиме стоп-кадра открыли для сценаристов «Симпсонов» из числа математиков возможность включать в эпизоды некоторые ссылки для истинных нердов. Например, в эпизоде «Полковник Гомер» (Colonel Homer, сезон 3, эпизод 20; 1991 год) впервые появляется кинотеатр Спрингфилда. Внимательные зрители обратят внимание на то, что он называется «Гуголплекс». Для того чтобы оценить эту аллюзию, необходимо вернуться в 1938 год, к разговору американского математика Эдварда Казнера со своим племянником Милтоном Сироттой. Казнер вскользь упоминает, что было бы неплохо найти термин для описания числа 10¹⁰⁰ (10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000). И девятилетний Милтон предлагает слово «гугол».

В книге Mathematics and the Imagination («Математика и воображение») Казнер приводит продолжение разговора с племянником: «Тогда же, когда он предложил слово “гугол”, он дал имя еще большему числу: “гуголплекс”. Гуголплекс гораздо больше, чем гугол, но все же это число конечно, как сразу уточнил сам изобретатель этого термина. Он предположил, что гуголплекс должен быть равен 1 с таким последующим количеством нулей, которое можно написать, пока не надоест».

Казнер справедливо заметил, что в таком случае гуголплекс будет произвольным и субъективным числом, поэтому предложил принять его более точное значение – 10^гугол. Это число представляет собой 1 с гуголом нулей, что гораздо больше количества нулей, которые можно поместить на одной странице размером с обозримую Вселенную, даже если использовать самый мелкий шрифт.

В наши дни термины гугол и гуголплекс широко известны, поскольку Ларри Пейдж и Сергей Брин использовали слово «гугол» в качестве названия своей поисковой системы. Правда, они отдали предпочтение его более распространенному неправильному написанию, поэтому компания называется Google, а не Googol. Такое название подразумевает, что поисковая система обеспечивает доступ к огромному количеству информации. Как и следовало ожидать, главный офис компании Google нарекли Googleplex.

Сценарист «Симпсонов» Эл Джин вспоминает, что шутки в стоп-кадре с кинотеатром «Гуголплекс» в Спрингфилде не было в первоначальном варианте сценария эпизода «Полковник Гомер». Он убежден, что ее включили во время совместной правки сценария – именно на этом этапе авторы из числа математиков обычно оказывают свое влияние: «Да, я определенно принимал во всем этом участие. Насколько я помню, я не предлагал идею гуголплекса, но совершенно точно смеялся над этим. Идея возникла из-за всех этих кинотеатров, которые называют октоплексами и мультиплексами. Помню, когда я учился в начальной школе, умники постоянно говорили о числе гугол. Эту шутку определенно придумали во время редактирования сценария».

Майк Рейсс, который работал с Джином над «Симпсонами» с самого первого сезона, считает, что спрингфилдский «Гуголплекс», возможно, его идея для шутки в стоп-кадре. Рейсс вспоминает, что когда кто-то из коллег-сценаристов назвал эту шутку слишком трудной для понимания, он начал активно ее защищать: «Кто-то сделал замечание, что я предлагаю шутку, которую никто не поймет, но она все же осталась… Это была совершенно безобидная шутка: насколько смешным может быть такое название для кинотеатра?»

Еще одна шутка в режиме стоп-кадра присутствует в эпизоде «ДеньгоБАРТ». В действительности вы уже могли ее заметить в кадре, представленном на рисунке в главе 6. Ниже этот кадр показан крупным планом, что наверняка поможет вам найти представленную в нем остроту.

THE SIMPSONS™ и © 1990 Twentieth Century Fox Television. Все права защищены

Когда Лиза, пытаясь стать первоклассным бейсбольным тренером, обкладывается стопкой книг, мы видим среди них книгу с корешком, на котором написано: eⁱ + 1 = 0. Если вы изучали математику помимо средней школы, то узнаете в этой формуле уравнение Эйлера, которое еще называют тождеством Эйлера. Объяснение этого уравнения имеет уровень сложности, выходящий за рамки данной главы, тем не менее его элементарное и достаточно формальное объяснение можно найти в Приложении 2. Между тем мы с вами сфокусируемся на первом элементе уравнения – особом маленьком числе, известном как e.

Число e было открыто в ходе изучения математиками одного интересного аспекта такого достаточно скучного вопроса, как банковский процент. Представьте себе простой инвестиционный сценарий, когда человек вкладывает 1 доллар на очень удобный и выгодный банковский счет, обеспечивающий доход в размере 100 процентов в год. К концу года на 1 доллар будет начислен процентный доход в 1 доллар, что дает в сумме 2 доллара.

Теперь вместо 100 процентов годовых рассмотрим сценарий, при котором процентная ставка делится пополам, но рассчитывается дважды. Другими словами, инвестор получает процентный доход в размере 50 процентов через шесть и еще 50 процентов через двенадцать месяцев. Таким образом, спустя первые полгода 1 доллар принесет ему процентный доход 0,50 доллара, что в сумме дает 1,5 доллара. За второе полугодие процент начисляется как на 1 доллар, так и на начисленный процентный доход в размере 0,50 доллара. Следовательно, дополнительный процентный доход, который прибавляется по результатам года, составит 50 процентов от 1,50 доллара, то есть 0,75 доллара, что в сумме даст 2,25 доллара процентного дохода в конце года. Такой способ начисления процентного дохода известен как сложный процент.

Как видите, такой сложный процент, рассчитываемый один раз в полгода, обеспечивает более высокий процентный доход, чем простой годовой процент. Остаток на банковском счете был бы даже больше, если бы сложный процент рассчитывался еще чаще. Например, один раз в квартал (25 процентов каждых три месяца), тогда общая сумма процентного дохода составила бы в конце марта 1,25 доллара, в конце июня 1,56 доллара, в конце сентября 1,95 и в конце года 2,44 доллара.

Эл Джин (который держит топор) был в кабинете, когда Майк Рейсс (слева) предложил назвать спрингфилдский кинотеатр «Гуголплекс». На этой фотографии 1981 года они запечатлены во время учебы в Гарвардском университете, в здании журнала Lampoon под названием Lampoon Castle. Патрик Веррон, жонглирующий шариками, – тоже успешный комедийный сценарист, написавший ряд сценариев, в том числе и для эпизода «Симпсонов» «Милхаус из песка и тумана» (Milhouse of Sand and Fog, сезон 17, эпизод 3; 2005 год). Четвертый член группы – Тед Филипс, умер в 2005 году. Несмотря на то что у Филипса тоже был писательский талант, он предпочел карьеру юриста в Южной Каролине, а также был авторитетным краеведом. Его имя упоминается в эпизоде «Радио Барт» (Radio Bart, сезон 3, эпизод 13; 1992 год). Кроме того, так назван персонаж (Дюк Филипс) мультсериала «Критик», созданный Элом Джином и Майком Рейссом.

Из личного архива Майка Рейсса

Если n – это количество периодов начисления сложного процента (другими словами, сколько раз в год он рассчитывается и прибавляется к основной сумме), то для расчета окончательной суммы (F) можно использовать следующую формулу:

F = $(1 + 1n)ⁿ

В случае начисления сложного процента один раз в неделю мы получаем почти на 0,70 доллара больше процентного дохода, чем при начислении простого годового процента. Однако дальнейший расчет сложного процента с еще большей периодичностью обеспечивает совсем незначительное увеличение процентного дохода. Здесь и возникает занимательный вопрос, который очень интересует математиков: если бы сложный процент рассчитывался не только каждый час и даже каждую секунду или микросекунду, а каждое мгновение, то какой была бы сумма на конец года?

Вот вам ответ: 2,718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427… доллара. Наверное, вы догадываетесь, что количество десятичных знаков стремится к бесконечности, а значит, это иррациональное число. Именно его мы и называем числом e.

Число 2,718 обозначено символом e, поскольку оно связано с понятием экспоненциального роста, описывающим поразительные темпы роста в случае, если деньги приносят процент из года в год или нечто другое снова и снова увеличивается фиксированными темпами. Например, если бы стоимость вложенной суммы действительно увеличивалась в 2,718… раза год за годом, то через год 1 доллар превратился бы в 2,72 доллара, через два года это было бы уже 7,39 доллара, через три – 20,09 доллара, затем 54,60 доллара, потом 148,41 доллара, 403,43 доллара, 1096,63 доллара, 2980,96 доллара, 8102,08 доллара и наконец 22 026,47 доллара всего за десять лет.

Столь поразительный темп устойчивого экспоненциального роста редко встречается в мире финансовых инвестиций, но есть конкретные примеры в других областях. Самый показательный пример имел место в сфере технологий и известен как закон Мура, который так назван по имени одного из основателей компании Intel Гордона Мура. В 1965 году Мур подметил, что количество транзисторов, размещаемых на интегральной схеме, удваивается примерно каждые два года, и предсказал, что эта тенденция будет продолжаться. Как и следовало ожидать, закон Мура выполнялся десятилетие за десятилетием. За сорок лет, с 1971 по 2011 год, количество транзисторов удваивалось двадцать раз. Другими словами, за четыре десятка лет их число на интегральной схеме увеличилось в 2²⁰ раз, или примерно в один миллион раз. Именно поэтому у нас теперь есть микропроцессоры с огромной производительностью, себестоимость производства которых существенно снизилась по сравнению с 1970-ми годами.

По аналогии с законом Мура иногда говорят, что если бы производство автомобилей росло таким же стремительными темпами, что и производство компьютеров, то автомобиль Ferrari стоил бы сейчас 100 долларов и мог бы проехать миллион километров на одном литре бензина… но и ломался бы каждую неделю.

Тот факт, что число e связано со сложным процентом и экспоненциальным ростом, – очень интересен, но данное число может предложить миру кое-что еще. Подобно числу , число e всплывает в самых разных ситуациях.

Например, число e лежит в основе так называемой задачи о беспорядках, более известной как задача о шляпах. Представьте, что вы работаете в гардеробе ресторана – принимаете у клиентов шляпы и складываете их в коробки для шляп. К сожалению, вы не отмечаете, кому какая шляпа принадлежит. Когда посетители ресторана, поужинав, приходят за своими шляпами, вы отдаете им коробки со шляпами в случайном порядке и прощаетесь, прежде чем они их открывают. Какова вероятность того, что ни в одной из коробок не находится шляпа, принадлежащая человеку, которому вы только что вручили коробку? Ответ зависит от количества клиентов (n), а вероятность отсутствия совпадений P(n) можно вычислить по следующей формуле[42]:

Таким образом, в случае одного посетителя вероятность отсутствия совпадений составляет 0, поскольку одна шляпа неизбежно попадет к своему владельцу:

В случае двух посетителей вероятность отсутствия совпадений равна 0,5:

В случае трех посетителей вероятность отсутствия совпадений составляет 0,333:

Для четырех клиентов вероятность равна примерно 0,375, а для десяти – около 0,369. Если количество клиентов стремится к бесконечности, значение вероятности становится 0,367879…, что составляет 1/2,718…, или 1/e.

Вы можете сами проверить эту закономерность, взяв две колоды карт и перетасовав их по отдельности, чтобы карты в каждой колоде располагались произвольным образом. Одна колода символизирует случайный порядок, в котором шляпы укладывались в коробки, а другая – случайный порядок, в котором клиенты возвращались за своими шляпами. Положите обе колоды рядом друг с другом и переворачивайте по одной верхней карте в каждой колоде. Если обе карты имеют одинаковую масть и значение, это засчитывается как совпадение. Вероятность отсутствия совпадений после просмотра всех карт обеих колод близка к 1/e, что составляет примерно 0,37, или 37 процентов. Другими словами, если вы будете повторять весь процесс сотню раз, то вас ждет не слишком активная светская жизнь и примерно тридцать семь колод карт с отсутствием совпадений. Хотя задача о шляпах может показаться тривиальной, она представляет собой фундаментальный вопрос такой области математики, как комбинаторика.

Число e также появляется в процессе изучения кривой особого типа, известной под названием катенарная кривая[43], поскольку она имеет форму цепи, провисшей между двумя точками. Этот термин, придуманный Томасом Джефферсоном, происходит от латинского слова catena, что означает «цепь». Форма катенарной кривой описывается следующим уравнением, в котором присутствует два числа e:

Шелковая нить в паутине образует ряд катенарных кривых между лучами паутины, что подтолкнуло французского энтомолога Жана Анри Фабра написать в книге The Life of the Spider («Жизнь пауков») следующее: «Здесь снова появляется похожее на абракадабру число e, начертанное на нитях паутины. Давайте посмотрим туманным утром, какая сетчатая структура была создана за ночь. Липкие нити, имеющие гидрометрические свойства, провисают под тяжестью крохотных капель воды и образуют множество катенарных кривых – нитей прозрачных жемчужин, изящных бус, расположенных в изысканном порядке и повторяющих форму кривой качания. Когда солнечные лучи пронизывают пелену тумана, все это начинает светиться разноцветными огнями и напоминает сверкающие нити бриллиантов. Это и есть число e во всем своем великолепии».

Мы можем также обнаружить присутствие числа e в совершенно другой области математики. Представьте себе, что вы на калькуляторе (если он достаточно «продвинутый») генерируете случайные числа от 0 до 1, а затем непрерывно суммируете их до тех пор, пока сумма не превысит единицу. Иногда вам понадобится два случайных числа, в большинстве случаев – три, время от времени – четыре или более, для того чтобы общая сумма превысила 1. Однако в среднем количество необходимых случайных чисел составляет 2,71828, а это, разумеется, и есть число e.

Существует еще много примеров, демонстрирующих, что число e играет массу разноплановых и фундаментальных ролей в разных областях математики. Это объясняет, почему любители чисел испытывают особую эмоциональную привязанность к числу e.

Один из таких поклонников – Дональд Кнут, почетный профессор Стэнфордского университета и подобная Богу фигура в мире информационных технологий. После написания Metafont (программного обеспечения для создания шрифтов) Кнут решил выпускать обновленные версии этого ПО под номерами, связанными с числом e. Это означает, что первая версия называлась Metafont 2, затем Metafont 2.7, затем Metafont 2.71 и так далее, вплоть до текущей версии Metafont 2.718281. Номер каждой новой версии представляет собой более точное приблиение истинного значения числа e. Это только один из способов, с помощью которых Кнут выражает свой необычный подход к работе. Еще один пример – предметный указатель его фундаментального труда The Art of Computer Programming (том 1)[44], в котором запись «круговое определение» отсылает читателя к записи «определение, круговое», и наоборот.

Руководители Google, которых можно назвать супергиками, также большие поклонники числа e. Когда в 2004 году они продавали акции компании, было объявлено, что Google планирует заработать на этом 2 718 281 828 долларов, что равно числу е, умноженному на 1 миллион долларов. В том же году компания разместила на рекламном щите следующее объявление:

{первое простое число из 10 цифр подряд, найденное в числе e}.com

Единственный способ определить название этого сайта – проанализировать все цифры числа e и отыскать среди них последовательность из 10 цифр, представляющую собой простое число. Каждый человек, обладающий достаточными математическими знаниями, обнаружил бы, что первое простое число из десяти цифр, которое начинается с девяносто девятой цифры числа e, – это 7427466391. Посетив сайт www.7427466391.com, можно было бы увидеть, что это своего рода виртуальный дорожный знак, указывающий путь к другому сайту, который представляет собой портал для тех, кто хочет подать заявление о приеме в Google Labs[45].

Еще один способ выразить свое восхищение числом e – запомнить его цифры. В 2004 году Андреас Литцов из Германии запомнил и назвал 316 цифр, жонглируя при этом пятью шариками. Однако 25 ноября 2007 года Бхаскар Кармакар из Индии превзошел Литцова и без всяких шариков поставил новый рекорд, перечислив 5002 цифры числа e за один час 29 минут 52 секунды. В тот же день он точно назвал 5002 цифры числа e в обратном порядке. Это невероятное достижение, но каждому из нас вполне по силам запомнить десять цифр числа e, выучив следующую мнемоническую фразу: I’m forming a mnemonic to remember a function in analysis («Я создаю эту мнемоническую фразу запоминания функции в анализе»). Количество букв в каждом слове представляет собой соответствующую цифру числа e.

И последнее: сценаристы «Симпсонов» тоже в восторге от числа e. Оно не только присутствует на корешке одной из книг в эпизоде «ДеньгоБАРТ», но и особо отмечается в эпизоде «Сражение перед Рождеством» (The Fight Before Christmas, сезон 22, эпизод 8; 2010 год). Последний фрагмент эпизода сделан в стиле образовательной программы для детей «Улица Сезам», поэтому заканчивается традиционной спонсорской рекламой. Однако вместо фразы «Спонсоры сегодняшней программы “Улица Сезам” – буква c и число 9» зрителям озвучили фразу «Спонсоры сегодняшнего показа “Симпсонов” – символ умляут[46] и число e (не путать с буквой “е”). Это число, экспоненциальная функция которого – производная от него самого».

Глава 12

Еще один кусочек числа 

В эпизоде «Оковы Мардж» (Marge in Chains, сезон 4, эпизод 21; 1993 год) Мардж арестовывают после того, как она забывает заплатить за бутылку бурбона в магазине «На скорую руку». Мардж привлекают к суду, а ее интересы представляет адвокат Лайонел Хац, человек с сомнительной репутацией. Еще до начала суда Хац признает, что это, вероятно, будет трудная битва, потому что у него плохие отношения с судьей: «Он ненавидит меня с тех пор, как я вроде бы наехал на его собаку… Замените слово “вроде” на слово “неоднократно”, а слово “собака” на “сын”».

Стратегия защиты Мардж, которой решил придерживаться Хац, сводится к дискредитации владельца магазина «На скорую руку» Апу Нахасапимапетилона, который выступает в качестве свидетеля по обвинению Мардж в краже. Однако когда он вызывает Апу для дачи свидетельских показаний и спрашивает, забывал ли он когда-либо что-нибудь, Апу пытается показать, что у него идеальная память, и отвечает: «Нет, но я могу назвать число до сорока тысяч десятичных знаков. Последняя цифра 1».

На Гомера это не производит особого впечатления, и он просто думает про себя: «Мм… Пи(рог)».

Поразительное заявление Апу о том, что он запомнил до сорока тысяч десятичных знаков числа , имеет смысл только в случае, если математики уже рассчитали это число с такой точностью. Так какова же была ситуация с его вычислением в 1993 году, когда эпизод вышел на экраны?

В главе 2 мы видели, как математики, начиная с древних греков, использовали многогранники для определения все более точного значения числа и получили в итоге результат с точностью до тридцать четвертого десятичного знака. В 1630 году австрийский астроном Кристоф Гринбергер рассчитал число с помощью многогранников до тридцать восьмого десятичного знака. С научной точки зрения нет совершенно никакого смысла в определении следующих цифр, поскольку данного значения вполне достаточно для выполнения самых сложных астрономических расчетов с максимально высокой точностью. И это не преувеличение. Если бы астрономы установили точный диаметр известной нам части Вселенной, то значения числа до тридцать восьмого десятичного знака вполне бы хватило для расчета окружности Вселенной с точностью до размера атома водорода.

Тем не менее борьба за установление все большего количества цифр числа продолжилась. Эта задача стала напоминать восхождение на Эверест. Число выступало на математическом ландшафте в роли далекой горной вершины, и математики стремились взобраться на нее. Однако стратегия математиков изменилась. Вместо использования медленного подхода с применением многогранников они открыли ряд формул для определения значения числа более быстрым способом. Например, в XVIII столетии Леонард Эйлер вывел следующую элегантную формулу:

Интересно то, что число можно вывести из такой простой последовательности чисел. Это равенство известно как бесконечный ряд, поскольку оно состоит из бесконечного количества членов, и чем больше членов включено в расчеты, тем точнее будет результат. Ниже представлены результаты вычисления числа с использованием одного, двух, трех, четырех и пяти членов ряда Эйлера:

Метод аппроксимации позволяет все плотнее приблизиться к истинному значению числа ; при этом по мере включения дополнительного члена уравнения результат становится точнее. Вычисление числа с помощью пяти членов уравнения дает значение 3,140, что обеспечивает точность до двух десятичных знаков. В случае использования ста членов уравнения число можно рассчитать с точностью до шести десятичных знаков: 3,141592.

Бесконечный ряд Эйлера – достаточно эффективный метод расчета значения числа , но следующие поколения математиков изобрели и другие бесконечные ряды, позволяющие ускорить вычисления. Джон Мэчин, который в начале XVIII столетия был профессором астрономии в Колледже Грешема в Лондоне, разработал один из самых быстро сходящихся, хотя и не такой элегантный бесконечный ряд[47]. Мэчин превзошел все предыдущие достижения, рассчитав значение числа с точностью до ста десятичных знаков.

Другие математики использовали бесконечный ряд Мэчина еще активнее. К их числу относится и английский математик-любитель Уильям Шенкс, который посвятил большую часть своей жизни вычислению . В 1874 году он заявил, что рассчитал 707 цифр числа .

В знак уважения к столь героическому достижению музей науки в Париже, известный под названием «Дворец открытий», украсил свой зал числа надписью со всеми 707 цифрами . К сожалению, в 40-х годах ХХ века в выкладках Шенкса была выявлена ошибка при расчете 527 десятичного знака, из-за чего все последующие цифры оказались неправильными. Дворец открытий вызвал маляров, а репутация Шенкса была безнадежно испорчена Тем не менее 526 десятичных знаков все же оставались рекордным значением для числа на то время.

После Второй мировой войны механические и электронные калькуляторы заменили бумагу и карандаш, которые использовал Шенкс и предыдущие поколения математиков. Силу технологий иллюстрирует тот факт, что Шенксу понадобилась целая жизнь, чтобы вычислить 707 цифр числа , 181 из которых оказались неправильными, тогда как в 1958 году Парижский центр обработки данных без всяких ошибок выполнил те же расчеты на IBM 704 за сорок секунд. Теперь очередные цифры числа начали появляться все более быстрыми темпами, но энтузиазм математиков несколько сдерживало понимание того, что даже компьютеры не способны справиться с этой бесконечной задачей.

Именно этот факт был положен в основу одной из сцен эпизода оригинального сериала «Звездный путь» под названием «Волк в овчарне» (Wolf in the Fold, сезон 2, эпизод 14; 1967 год). Для того чтобы изгнать дьявольскую энергетическую силу, которая захватила звездолет USS Enterprise, Спок дает следующую команду: «Компьютер, это директива класса А. Вычислите значение до последнего знака». Компьютер настолько расстроен этим запросом, что снова и снова кричит: «Нет!» Тем не менее он обязан подчиниться этой директиве и в итоге не может выполнить требуемые вычисления, что каким-то образом изгоняет дьявольскую силу из электрических цепей.

Гениальность Спока в эпизоде «Волк в овчарне» с лихвой компенсирует вопиющую математическую безграмотность, продемонстрированную капитаном Джеймсом Тиберием Кирком в другом эпизоде «Звездного пути», снятом чуть раньше в том же году. Речь идет об эпизоде «Трибунал» (Court Martial, сезон 1, эпизод 20; 1967 год), в котором один из членов экипажа исчезает на борту корабля Enterprise, и никто не знает, жив он или мертв. Кирк, на котором лежит ответственность за судьбу членов экипажа, принимает решение использовать компьютер для поиска пропавшего по его сердцебиению. Вот как он объясняет свой план: «Джентльмены, наш компьютер снабжен аудиосенсором. По сути, он может слышать звуки. Включив усилитель, мы сможем увеличить эту его способность в один в четвертой степени раз». Разумеется, единица в четвертой степени (1⁴) – это все та же единица.

Вскоре после того как французские программисты менее чем за минуту вычислили 707 цифр числа , та же команда рассчитала 10 021 цифру с помощью компьютера Ferranti Pegasus. Затем, в 1961 году, Центр обработки данных IBM в Нью-Йорке вычислил значение числа с точностью до 100 265 цифр. Разумеется, появление более мощных компьютеров привело к вычислению еще большего количества цифр числа . В 1981 году японский математик Ясумаса Канада рассчитал значение с точностью до двух миллионов десятичных знаков. Эксцентричные братья Чудновские (Григорий и Давид) собрали собственный суперкомпьютер DIY в своей квартире на Манхэттене и в 1989 году преодолели барьер в 1 миллиард цифр числа , но впоследствии Канада превзошел их, вычислив в 1997 году 50 миллиардов цифр, а затем, в 2002 году – один триллион.

В настоящее время Сигэру Кондо и Александр Йи лидируют по количеству вычисленных цифр числа . В 2010 году они рассчитали значение с точностью до пяти триллионов знаков, а в 2011-м удвоили этот результат, вычислив число с точностью до 10 триллионов знаков.

Но вернемся в зал суда. Учитывая вышесказанное, Апу мог легко получить доступ к первым сорока тысячам десятичных знаков числа , поскольку в начале 1960-х годов математики уже рассчитали его значение с более высокой точностью. Однако мог ли Апу действительно запомнить число до сорока тысяч десятичных знаков?

Как уже упоминалось выше в контексте числа e, лучший подход к запоминанию ряда цифр состоит в использовании фразы, каждое слово которой содержит соответствующее количество букв. Например, фраза May I have a large container of coffee? («Можно мне большую банку кофе?») дает число 3,1415926; фраза How I wish I could recollect pi easily today! («Как бы мне хотелось легко вспомнить число сегодня!») прибавляет еще одну цифру. Великий британский ученый сэр Джеймс Джинс в промежутках между изучением глубоких вопросов в области астрофизики и космологии изобрел фразу, которая позволяет запомнить семнадцать цифр числа : How I need a drink, alcoholic of course, after all those lectures involving quantum mechanics («Как же мне нужно выпить что-то, разумеется алкогольное, после всех этих лекций по квантовой механике»).

Несколько специалистов по запоминанию развили этот метод. Они могут перечислять цифры числа , рассказывая себе длинные, тщательно продуманные истории, в которых количество букв в каждом слове напоминает им о следующей цифре числа . Этот метод позволил Фреду Грэму из Канады преодолеть барьер в 1000 цифр в 1973 году. В 1978 году американец Дэвид Сэнкер запомнил таким способом 10 000 цифр, а в 1980-м британский мнемонист индийского происхождения Раджан Махадеван преодолел планку в 30 000 цифр (точнее говоря, 31 811 цифр); в 1987 году японский мнемонист Хидеаки Томойори установил новый мировой рекорд – 40 000 цифр. В наше время рекордсменом по запоминанию числа является Чао Лу из Китая, который запомнил в 2005 году 67 890 цифр.

Однако именно рекорд Томойори (40 000 цифр) действовал в 1993 году, когда работа над сценарием эпизода «Оковы Мардж» подходила к концу. Следовательно, заявление Апу о том, что он может вспомнить число до 40 000 десятичных знаков, было прямой ссылкой и данью уважения Томойори, который в то время являлся самым известным и успешным специалистом по запоминанию числа .

Сценарий эпизода писали Билл Окли и Джош Вайнштейн. По словам Вайнштейна, сюжет эпизода «Оковы Мардж» уже был в общих чертах намечен к тому времени, когда ему и Окли поручили над ним работу: «Мы были младшими сценаристами, поэтому нам давали сценарии, от которых все отказывались. Сценарии, строящиеся вокруг Мардж, писать очень трудно. Гомер, например, сразу же вызывает смех, так же как и Красти. Но Мардж – это действительно трудная задача, поэтому связанные с ней сюжеты часто сваливали на таких новичков, как мы».

Вайнштейн и Окли взяли основную сюжетную линию эпизода «Оковы Мардж», разработали детали, написали ключевые шутки и сдали свой вариант сценария. Важно отметить, что во время нашей встречи Вайнштейн стремился подчеркнуть тот факт, что в этой версии сценария число вообще не упоминалось. На самом деле в первоначальном варианте сценария Апу заявил под присягой, что он известен как «мистер память», а также что существует более четырех сотен документальных фильмов о его умственных способностях.

Пожалуй, не стоит удивляться тому, что число не упоминается в первоначальной версии сценария, поскольку ни у Окли, ни у Вайнштейна нет математического образования. Тогда как же появилась в сценарии эта математическая ссылка?

Как обычно, все члены команды сценаристов собрались, чтобы внимательно проанализировать и обсудить первый вариант сценария, с тем чтобы улучшить сюжет и по возможности включить дополнительные шутки. В этот момент коллега Окли и Вайнштейна Эл Джин и увидел повод включить в эпизод немного математики. Благодаря своему неизменному интересу к этой науке Джин знал, что мировой рекорд запоминания числа составляет сорок тысяч десятичных знаков, поэтому предложил изменить сценарий так, чтобы Апу сделал заявление, соответствующее этому рекорду. А когда Апу называет сорокатысячный десятичный знак числа , это придает его словам определенную достоверность.

Все согласились, что это хорошая мысль, но никто не знал, какая именно цифра соответствует сорокатысячному десятичному знаку . Более того, дело происходило в 1993 году, когда интернет еще не получил широкого распространения, Google вообще не существовал, а о поиске в «Википедии» никто даже не слышал. Сценаристы пришли к выводу, что им нужен совет эксперта, и связались с блестящим математиком по имени Дэвид Бейли, который работал в то время в NASA, в Исследовательском центре Эймса[48]. В ответ Бейли напечатал все сорк тысяч десятичных знаков числа и отправил их в студию «Симпсонов». Вот цифры от 39 990-го по 40 000-й десятичные знаки:

Как видите, Апу прав, утверждая, что 1 – это последняя цифра последовательности, которую он запомнил.

Тот факт, что Бейли внес свой вклад в создание «Симпсонов» в качестве математика NASA, был упомянут три года спустя в эпизоде «22 коротких фильма о Спрингфилде» (22 Short Films About Springfield, сезон 7, эпизод 21; 1996 год). Когда главный пьяница Спрингфилда Барни Гамбл вваливается в бар Мо, он узнает, что у Мо для него плохие новости: «Слушай, Барни, помнишь, я сказал, что пошлю твой счет на калькуляцию в NASA? Сегодня пришли результаты. Ты мне должен семьдесят миллиардов долларов».

Заявление Апу по поводу числа в эпизоде «Оковы Мардж» повлияло на другой эпизод, а именно «Много Апу из ничего» (Much Apu About Nothing, сезон 7, эпизод 23; 1996 год). В нем Апу рассказывает о своем прошлом, что проливает свет на то, почему этот человек смог запомнить число до 40 000 десятичных знаков. Когда Апу вспоминает о своем путешествии из Индии в Америку, он говорит Мардж: «Я приехал сюда после окончания Калтеха, Технического института Калькутты. Как лучшего студента из 7 миллионов однокурсников меня отправили учиться в Штаты – и я поехал».

Хотя Технический институт Калькутты – вымышленное учебное заведение, неподалеку от Калькутты действительно есть технический вуз – Бенгальский институт технологий, который, пожалуй, мог бы претендовать на роль альма-матер Апу. Акроним названия этого института BIT как нельзя лучше подходит для учебного заведения, специализирующегося на компьютерных науках и информационных технологиях. Мы также узнаем, что Апу отправился в Америку, чтобы учиться в техническом институте Спрингфилда с гораздо менее благозвучным акронимом SHIT. Под руководством профессора Фринка Апу потратил девять лет на получение докторской степени, предположительно разработав первую в мире программу для игры в крестики-нолики, выиграть у которой могли только самые лучшие игроки.

Дэвид Коэн, писавший сценарий эпизода «Много Апу из ничего», решил, что Апу должен быть скорее программистом, нежели математиком, поскольку сам Коэн изучал в свое время компьютерные науки в Калифорнийском университете в Беркли и посещал занятия вместе с несколькими индийскими студентами. В частности, прошлое Апу основано на биографии одного из ближайших друзей Коэна в Беркли Ашу Реге, который получил работу в NVIDIA, ведущей компании по разработке графических процессоров.

Число сыграло еще одну, более заметную роль в мультсериале «Симпсоны». В заключительных сценах эпизода «Саксофон Лизы» (Lisa’s Sax, сезон 9, эпизод 3; 1997 год), чтобы развить ее зарождающуюся гениальность, Гомер покупает Лизе саксофон. Однако, прежде чем приобрести музыкальный инструмент, Гомер и Мардж решают отправить Лизу в Школу миссис Тиллингхэм для умных девочек и маменькиных сынков. В короткой сцене из прошлого мы видим, как Гомер и Мардж посещают эту школу, где на площадке встречают двух вундеркиндов, придумавших слова для песенки-считалки:

Именно Эл Джин был тем сценаристом, который искусно включил в эпизод эту математическую ссылку. При первом прослушивании песенки декламация самого знаменитого иррационального числа кажется вполне уместной в данной ситуации. Но немного подумав, я задался вопросом: почему число выражено в песенке в десятичной форме?

Десятичная система – это наша стандартная система счисления, в которой первый десятичный знак соответствует десятым (1 10), а каждый последующий – сотым (1 10), тысячным (1 10) и т. д. Наша система счисления сформировалась именно таким образом, поскольку у человека на руках десять пальцев.

Однако если вы внимательно посмотрите на руки персонажей «Симпсонов», то заметите, что у них по четыре пальца на каждой руке, то есть в сумме восемь. Следовательно, счет в Спрингфилде должен основываться на числе 8, что привело бы к совершенно другой системе счисления (известной как восьмеричная система) и, в свою очередь, потребовало бы совсем иного способа представления числа (3,1103755242…).

Математическая сторона восьмеричной системы здесь не важна, в частности потому, что герои сериала «Симпсоны», так же как и мы, используют десятичную систему счисления. Тем не менее остается два открытых вопроса, на которые необходимо ответить. Во-первых, почему у обитателей Спрингфилда только восемь пальцев на руках? Во-вторых, почему в мире «Симпсонов» используется десятичная система счисления, если у персонажей всего по восемь пальцев?

Мутация, которая привела к наличию у персонажей «Симпсонов» восьми пальцев, восходит своими корнями к заре анимации на большом экране. У Кота Феликса, дебютировавшего в 1919 году, было только по четыре пальца на каждой лапе; столько же их было и у Микки Мауса, когда он появился на экранах в 1928 году. Когда Уолта Диснея спросили, почему у этого мышонка, наделенного человеческими качествами, не хватает пальцев, он ответил: «С художественной точки зрения пять пальцев – слишком много для мыши. Его рука напоминала бы гроздь бананов». Дисней также объяснил, что отсутствие у персонажа одного пальца существенно сокращало не только объем работы для аниматоров, но и расходы: «В финансовом плане отсутствие дополнительного пальца на каждом из 45 000 рисунков, из которых состоит короткометражный фильм продолжительностью шесть с половиной минут, сэкономило студии миллионы».

По этим причинам восемь пальцев стали стандартным количеством для мультипликационных персонажей (как животных, так и людей) во всем мире. Единственное исключение – Япония, где четыре пальца на руке могут иметь зловещий оттенок, так как число 4 ассоциируется со смертью, а Якудза, печально известная японская мафия, отрезает мизинец либо в наказание, либо для проверки лояльности. Исходя из этого, британский мультсериал «Боб-строитель» (Bob the Builder) для продажи в 2010 году Японии пришлось изменить, чтобы у персонажей было требуемое количество пальцев.

В то время как у японцев рука с четырьмя пальцами вызывает чувство дискомфорта, все персонажи «Симпсонов» принимают это как должное. В действительности любой другой вариант считается отклонением от нормы. Это становится очевидным в эпизоде «Я женат на Мардж» (I Married Marge, сезон 3, эпизод 12; 1991 год), в частности в сцене рождения Барта. Мы слышим, как Мардж спрашивает Гомера, правда ли их новорожденный сын замечательный, на что Гомер отвечает: «Главное, чтобы у него было по восемь пальцев на руках и ногах».

Кроме того, в эпизоде «Возлюбленный леди Бувье» (Lady Bouvier’s Lover, сезон 5, эпизод 21; 1994 год) мама Мардж и отец Гомера начинают, к ужасу Гомера, встречаться: «Если он женится на твоей маме, Мардж, мы станем братом и сестрой! У нас родятся уродцы с розовой кожей, правильным прикусом и пятью пальцами на каждой руке».

Тем не менее, несмотря на недостаточное количество пальцев, жители Спрингфилда считают в десятичной системе, а не в восьмеричной, поскольку они выражают значение числа как 3,141…. Так как и почему обитатели города, имеющие по восемь пальцев на руках, пришли к десятичной системе счисления?

Одна из возможных причин состоит в том, что древние желтокожие предки Гомера и Мардж использовали для счета не только пальцы рук. Они могли считать, например, с помощью восьми пальцев и двух ноздрей. Это может показаться странным, но в некоторых культурах развивалась система счисления, основанная не только на пальцах. Например, члены племени юпно, обитающего в Папуа-Новой Гвинее, присваивают номера от 1 до 33 разным частям тела, от пальцев до ноздрей и грудных сосков. В этой системе счисления число 31 соответствует левому яичку, 32 – правому, а 33 – «мужскому органу». Европейские ученые, такие как Беда Достопочтенный, также эксприментировали с системами счисления, опирающимися на части тела. Этот английский богослов VIII столетия разработал систему, позволявшую ему считать до 9999, используя жесты и мельчайшие части тела человека. По словам Алекса Беллоса, автора книги Alex’s Adventures in Numberland[49], «Беда Достопочтенный предложил систему счета, которая отчасти была основана на арифметике, а отчасти – на использовании быстрых движений пальцев и рук».

Хотя счет на пальцах рук и ноздрях мог бы объяснить переход персонажей «Симпсонов» на десятичную систему счисления, стоит рассмотреть и другую версию. Можно ли предположить, что числа в анимационной вселенной были изобретены не людьми, а высшей силой? Как рационалист я в большинстве случаев отвергаю подобные гипотезы, но мы не можем игнорировать факт появления Бога в нескольких эпизодах «Симпсонов», причем в каждом эпизоде у него по десять пальцев. В действительности Бог – единственный персонаж сериала с десятью пальцами.

Глава 13

Трехмерный Гомер

Первый эпизод «Маленький домик ужасов на дереве» появился во втором сезоне мультсериала «Симпсоны» и с тех пор традиционно каждый год выходит к Хеллоуину. Как правило, эти особые эпизоды состоят из трех коротких историй, которые могут нарушать привычный ход жизни в Спрингфилде, а их сюжет может включать в себя все, от пришельцев до зомби.

Дэвид Коэн, один из страстных приверженцев идеи включения математики в эпизоды «Симпсонов», написал сценарий к последней части эпизода «Маленький домик ужасов на дереве 6» (Treehouse of Horror VI, сезон 7, эпизод 6; 1995 год). Вне всяких сомнений, этот фрагмент представляет собой самую насыщенную и элегантную интеграцию математики в сериал «Симпсоны» с начала его выхода на экраны четверть века назад.

Сюжет начинается вполне невинно: свояченицы Гомера Пэтти и Сельма без предупреждения приходят в гости. Пытаясь избежать с ними встречи, Гомер прячется за книжным шкафом, где находит таинственный портал, ведущий в другую вселенную. Когда «приятные» голоса Пэтти и Сельмы становятся громче, Гомер слышит, что они хотят, чтобы все помогли им очистить и рассортировать морские ракушки. В отчаянии он проходит через портал, оставив позади двумерный мир Спрингфилда, и попадает в невероятный трехмерный мир. Гомер совершенно сбит с толку новым количеством измерений и замечает нечто шокирующее: «Что здесь творится? Я такой выпуклый. И живот выступает далеко вперед».

Авторы решили создать фигурку Гомера с помощью самой современной технологии компьютерной анимации; затраты на этот пятиминутный фрагмент существенно превысили бы бюджет целого эпизода. К счастью, компания Pacific Data Images (PDI) предложила свои услуги, прекрасно понимая, что «Симпсоны» – это глобальная платформа для демонстрации возможностей новой технологии. В том же году компания PDI заключила с DreamWorks сделку, которая привела к появлению мультфильмов «Муравей Антц» и «Шрек», что стало началом революции в сфере анимационных фильмов.

Когда Гомер подходит к дорожному указателю, на котором обозначены направления x, y и z в новой трехмерной вселенной, он говорит, что стоит на самой продвинутой сцене, которая когда-либо появлялась на телевидении: «Здесь роскошно. Просто стоять здесь – уже дорогое удовольствие. Надо урвать, что можно».

Трехмерный Гомер Симпсон после прохождения через портал в истории «Трехмерный Гомер». Позади Гомера вдалеке парят два математических уравнения

THE SIMPSONS™ и © 1990 Twentieth Century Fox Television. Все права защищены

Оказавшись в новой среде, Гомер делает еще одно уместное замечание: «Просто обалдеть можно. Похоже на фильм о странной сумеречной зоне». Это намек на то, что «Трехмерный Гомер» является отсылкой к одному из эпизодов сериала «Сумеречная зона» (The Twilight Zone) под названием «Пропала девочка» (Little Girl Lost, сезон 3, эпизод 26; 1961 год).

В эпизоде «Пропала девочка» родители маленькой девочки по имени Тина впадают в отчаяние, когда заходят в ее спальню и не находят там дочку. Хуже всего то, что они слышат голос Тины, раздающийся вокруг, но не видят ее. Девочки в комнате нет, но создается впечатление, что она где-то поблизости. Отчаянно нуждаясь в помощи, родители Тины звонят другу семьи Биллу, физику. Билл определяет местонахождение портала и рисует его на стене спальни, после чего заявляет, что Тина перешла в четвертое измерение. Родителям очень трудно понять концепцию четырехмерного пространства, поскольку они (как и все люди) привыкли оперировать исключительно понятиями знакомого им трехмерного мира.

Хотя Гомер переходит из двумерного в трехмерный мир, а не из трехмерного в четырехмерный, в истории «Трехмерный Гомер» происходит та же последовательность событий. Мардж не может понять, что случилось с мужем, поскольку слышит, но не видит его. Она тоже получает советы от ученого, профессора Джона Нерделбаума Фринка-младшего.

Несмотря на весьма неординарную личность профессора Фринка, нельзя недооценивать его гениальность. Научные заслуги профессора становятся очевидными в истории под названием «Фринкинштейн» из эпизода «Маленький домик ужасов на дереве 14» (Treehouse of Horror XIV, сезон 15, эпизод 1; 2003 год), где ему вручает Нобелевскую премию не кто иной, как Дадли Роберт Хершбах, который получил Нобелевскую премию в 1986 году и озвучивает в эпизоде своего персонажа[50].

Подобно физику из «Сумеречной зоны», Фринк рисует мелом на стене очертания портала. За происходящим наблюдают все, кто пришел предложить свою помощь: Нед Фландерс, Шеф Виггам, преподобный Лавджой и доктор Хибберт. Затем Фринк начинает объяснять загадочное событие: «Даже самому недалекому индивидууму, обладающему степенью магистра в области гиперболической топологии, очевидно, что Гомер Симпсон очутился в… третьем измерении».

Заявление Фринка предполагает, что персонажи сериала «Симпсоны» обитают в двумерном мире, а значит, им трудно понять концепцию третьего измерения. Хотя анимационная реальность Спрингфилда гораздо сложнее, поскольку мы постоянно видим, как Гомер и члены его семьи проходят позади или впереди друг друга, что было бы невозможно в двумерном пространстве в строгом смысле слова. Тем не менее в контексте этого фрагмента эпизода «Маленький домик ужасов на дереве» можно исходить из предположения, что Фринк прав, говоря о существовании в «Симпсонах» только двух измерений. Давайте посмотрим, как он объясняет концепцию большего количества измерений, рисуя при этом схему на доске.

Профессор Фринк. Вот обыкновенный квадрат.

Шеф Виггам. Помедленнее, яйцеголовый!

Профессор Фринк. Но предположим, мы достроим этот двумерный квадрат до нашей вселенной при помощи гипотетической оси z. Вот так.

Все. [Изумленно ахают].

Профессор Фринк. Тем самым образуется трехмерный объект, известный как куб, или фринкаэдр, – в честь того, кто его открыл.

Объяснения Фринка иллюстрируют связь между двумя и тремя измерениями. На самом деле этот подход можно использовать для объяснения связи между всеми измерениями.