Симпсоны и их математические секреты Сингх Саймон
Фрактальный ландшафт в данной ситуации особенно уместен, поскольку фракталы как раз и демонстрируют фрактальную (дробную) размерность. Фрактальный ландшафт появляется в процессе перемещения из двумерного в трехмерный мир; именно здесь и можно рассчитывать на присутствие дробной размерности.
Если вы хотите узнать о фракталах больше, прочитайте Приложение 4, в котором приведен краткий обзор этой темы и уделяется особое внимание тому, как объект может быть представлен в виде фрактальной размерности.
Лента Мебиуса из «Двумерного шоссе» перекликается с математической концепцией, присутствующей в эпизоде «Путь всех зол» (The Route of All Evil, сезон 3, эпизод 12; 2002 год). Во второстепенной сюжетной линии эпизода рассказывается о том, что Бендер превращает себя в пивоварню. Идея возникает у него после посещения магазина 7, куда он с коллегами по «Межпланетному экспрессу» заходит за выпивкой. В магазине есть напиток, который обычно пьет Бедер, – пиво Olde Fortran, названное так в честь разработанного в 1950-х годах языка программирования FORTRAN (сокр. от FORmula TRANslation – «перевод формул»). Кроме того, на полках также выставлено пиво St. Pauli’s Exclusion Principle Girl («Эксклюзивная девушка настоятеля святого Паули), в названии которого присутствует ссылка на реальное пиво St. Pauli Girl, а также на один из фундаментальных законов квантовой физики – принцип исключения Паули. Самый большой интерес представляет третий сорт пива – Klein’s, которое разлито в бутылки странной формы. Истинные ценители необычных геометрических фигур узнают в ней бутылку Клейна, которая тесно связана с лентой Мебиуса.
Эта фигура названа в честь Феликса Клейна, одного из величайших немецких математиков XIX столетия. По всей вероятности, судьба Клейна была предопределена еще в момент его появления на свет, поскольку каждый элемент даты его рождения (25 апреля 1849 года) представляет собой квадрат простого числа:
Клейн занимался исследованиями в разных областях, но самой знаменитой является его так называемая бутылка Клейна. Как и в случае ленты Мебиуса, вам будет легче понять форму и структуру бутылки Клейна, если вы сами сконструируете ее модель. Вам понадобятся:
1) лист резины;
2) скотч;
3) четвертое измерение.
Если у вас, так же как и у меня, нет доступа к четвертому измерению, тогда попробуйте себе представить, как теоретически построить псевдобутылку Клейна в трех измерениях. Сначала представьте, что вы скручиваете лист резины в цилиндр и склеиваете его скотчем по длине, как показано на первом рисунке ниже. Затем отметьте два конца цилиндра стрелками, указывающими в противоположных направлениях. Далее (и это самый сложный этап) цилиндр необходимо изогнуть таким образом, чтобы можно было соединить два его конца со стрелками, указывающими в одном направлении.
Именно здесь пригодилось бы четвертое измерение, но вместо этого вам придется проявить смекалку. Как показано на двух средних рисунках, необходимо изогнуть цилиндр, а затем представить себе, что вы просовываете один его конец через отверстие в его же стенке и разворачиваете его внутри вверх. И наконец, после этого самопересечения заверните выступающий конец цилиндра вниз (как показано на четвертом рисунке), для того чтобы соединить два конца цилиндра. Важно, чтобы после такого соединения стрелки на каждом конце цилиндра указывали в одном направлении.
И бутылка Клейна, и бутылка пива Klein’s в «Футураме» – это самопересекающиеся фигуры, поскольку они существуют в трехмерном пространстве. Напротив, в четырехмерном мире бутылке Клейна нет необходимости пересекаться с самой собой. Для того чтобы объяснить, как дополнительное измерение позволяет избежать самопересечения, давайте рассмотрим аналогичную ситуацию с участием меньшего количества измерений.
Вообразите фигуру в форме восьмерки, нарисованную ручкой на бумаге. В этом случае чернильная линия неизбежно пересечет сама себя в центре восьмерки, подобно тому как цилиндр пересекает сам себя посредине бутылки Клейна. Такое пересечение имеет место потому, что линия расположена в двумерной плоскости. Однако эта проблема не возникнет, если добавить третье измерение и сделать восьмерку из куска веревки. Один ее фрагмент можно поднять в третье измерение, поскольку он накрывает второй фрагмент веревки, а значит, ей нет необходимости пересекаться с самой собой. Следовательно, если бы цилиндр из резинового листа можно было переместить в четвертое измерение, то появилась бы возможность сконструировать бутылку Клейна без самопересечения.
Еще один способ понять, почему бутылка Клейна пересекает сама себя в трехмерном пространстве, но е пересекает в четырехмерном, сводится к сравнению нашего восприятия ветряной мельницы в трех и двух измерениях. В трехмерном измерении мы видим, как лопасти ветряной мельницы вращаются перед вертикальной башней. Однако ситуация меняется, если взглянуть на тень ветряной мельницы на траве. В этом двумерном представлении лопасти как будто проносятся сквозь башню снова и снова. В двумерной проекции они пересекают башню, чего не происходит в трехмерном мире.
Очевидно, что форма бутылки Клейна отличается от формы обычной бутылки, что, в свою очередь, указывает на одно удивительное свойство бутылки Клейна, которое становится очевидным, если мы представим, что перемещаемся по поверхности бутылки Клейна, как показано на рисунке ниже. В частности, вообразите, что вы движетесь в направлении, которое указывает черная стрелка, расположенная на внешней поверхности бутылки Клейна.
Стрелка перемещается вверх, затем поворачивает вокруг внешней поверхности горлышка бутылки и уходит за точку пересечения, где конец стрелки становится серым. Это говорит о том, что теперь она проходит по внутренней поверхности бутылки. Переместившись вперед, стрелка возвращается в исходную точку, за исключением того, что теперь она находится внутри бутылки. Если стрелка продолжит свое путешествие вверх, к горлышку бутылки, и снова вниз, к основанию, то она вернется на внешнюю поверхность и в конце концов выйдет на исходную позицию. То, что стрелка может без отрыва перемещаться между внутренней и внешней поверхностью бутылки Клейна, означает, что на самом деле обе поверхности представляют собой фрагменты одной и той же поверхности.
Безусловно, без четко выраженной внутренней и внешней поверхности бутылка Клейна не отвечает основным критериям, по которым ее можно бы было считать бутылкой в привычном понимании. В конце концов, как можно налить пиво в бутылку, у которой внутри – это то же самое, что снаружи?
В действительности Клейн никогда не называл свое творение бутылкой. Первоначально этот объект обозначался термином Kleinsche Flche («поверхность Клейна»), что вполне уместно, поскольку он состоит из одной поверхности. Однако англоязычные математики, по всей вероятности, неправильно перевели этот термин, прочитав его как Kleinsche Flasche, что означает «бутылка Клейна» – и это название прижилось.
И наконец, вернемся к вопросу, который уже поднимался выше: бутылка Клейна и лента Мебиуса тесно связаны друг с другом. Самая очевидная связь заключается в том, что у них есть одно любопытное свойство: у обеих только одна поверхность. Вторая (хотя и менее очевидная) связь состоит в том, что бутылка Клейна, разрезанная на две половины, образует пару лент Мебиуса.
К сожалению, вы не сможете выполнить этот трюк, потому что бутылку Клейна можно разрезать только в случае доступа к четырехмерному пространству. Однако вы можете разрезать ленту Мебиуса. На самом деле я бы даже рекомендовал вам разрезать ее по длине, чтобы посмотреть, что получится в результате.
Если вам понравилось разрезать ленты, вот вам еще одна идея для вашего нового хобби – геометрической хирургии. Сделайте ленту, перевернув ее на 360 градусов (а не на пол-оборота, как в ленте Мебиуса). Что произойдет, если разрезать ее вдоль? Для того чтобы понять столь изощренное рассечение, понадобится изощренный ум.
Глава 17
Теорема Футурамы
Из-за старческих выходок профессора Хьюберта Дж. Фарнсворта легко забыть о том, что он – математический гений. На самом деле в полнометражном мультфильме «Зверь с миллиардом спин» (The Beast with a Billion Backs, 2008) мы узнаем о том, что Фарнсворт лауреат высшей награды в области математики – Филдсовской премии, порой именуемой Нобелевской премией по математике, причем титул ее обладателя считается еще более престижным, поскольку она присуждается только один раз в четыре года.
Профессор регулярно обсуждает свои математические идеи во время курса лекций под названием «Математика квантовых нейтринных полей» в Марсианском университете, пожизненным профессором которого он является. Постоянная должность в штате университета – это, по сути, работа на всю жизнь, а это означает, что профессору Фарнсворту нужно избегать присутствующего в таких случаях риска умственного застоя. Это распространенная проблема в академических кругах, на которую обратил внимание американский философ Дэниел Деннетт в книге Consciousness Explained («Объясненное сознание»): «Молодая асцидия скитается по морю в поисках скалы или коралла, к которому можно было бы прикрепиться и сделать своим домом. Для выполнения этой задачи у нее есть рудиментарная нервная система. Когда она находит такое место и пускает там корни, мозг ей больше не нужен – и она его съедает! (То же самое происходит в случае получения пожизненной должности.)»
Однако вместо того, чтобы впасть в умственный застой, профессор Фарнсворт использовал свою пожизненную должность для проведения исследований в других областях. Так, будучи математиком, он еще и изобретатель. В действительности Грейнинг и Коэн не случайно назвали профессора по имени Фило Тейлора Фарнсуорта (1906–1971) – плодовитого американского изобретателя, обладателя более сотни патентов США, от телевизионной технологии до мини-устройства для управления процессом ядерного синтеза.
Одно из самых причудливых изобретений профессора – «крутометр», который точно измеряет присущий человеку уровень крутости в таких единицах, как мегафонзи. Один фонзи – это мера крутости, присущая герою комедийного сериала «Счастливые дни» (Happy Days) Артуру Фонзарелли. Выбранная Фарнсвортом единица измерения, связанная с культовой фигурой, напоминает другую насмешливо-ироническую единицу измерения такого типа – миллиелену, единицу красоты, основанную на знаменитой ссылке на Елену Троянскую в пьесе Кристофера Марло Doctor Faustus («Трагическая история доктора Фауста»): «Вот этот лик, что тысячи судов гнал в дальний путь, что башни Илиона сжег некогда дотла!»[56] Следовательно, миллиелену можно формально определить как “единицу измерения красоты, соответствующую количеству красоты, необходимой для отправки одного корабля”».
С математической точки зрения самое интересное изобретение профессора Фарнсворта – это мозгообменник, который появляется в эпизоде «Узник Бенды» (The Prisoner of Benda, сезон 6, эпизод 10; 2010 год). Как следует из названия, это устройство перемещает разум одного разумного существа в тело другого. Математика не связана непосредственно с обменом разумами, а необходима скорее для того, чтобы помочь распутать неразбериху, возникающую в результате такого обмена. Прежде чем обсуждать характер этой ментальной арифметики, давайте подробно проанализируем сам эпизод, для того чтобы понять, как именно работает мозгообменник.
Эпизод «Узник Бенды» начинается с надписи, которая гласит: «Что произошло в Лебеде Х-1, останется в Лебеде Х-1», что напоминает известный афоризм «Что произошло в Вегасе, останется в Вегасе». В случае Лебедя X-1 это верно в буквальном смысле слова, поскольку именно так называется черная дыра в созвездии Лебедя, а что бы ни происходило в черной дыре, обречено оставаться там же. Возможно, сценаристы выбрали черную дыру под названием Лебедь X-1 по той причине, что именно она стала предметом знаменитого пари. Математик и космолог Стивен Хокинг сначала сомневался, что этот объект действительно является черной дырой, поэтому заключил пари со своим коллегой Кипом Торном. Однако когда в ходе тщательных наблюдений выяснилось, что Хокинг ошибался, ему пришлось купить Торну годовую подписку на журнал Penthouse.
Название эпизода – это игра слов, основанная на романе Энтони Хоупа The Prisoner of Zenda[57], написанном в викторианскую эпоху. В этом романе Рудольфа, будущего короля Руритании (вымышленной страны), похищает накануне коронации его злой брат. Для того чтобы корона не попала не в те руки, английский кузен Рудольфа использует свое внешнее сходство с будущм королем и выдает себя за него. В общем, весь сюжет романа «Узник Зенды» строится вокруг событий, связанных с тем, что кто-то примеряет на себя новую личность, а это и есть центральная тема эпизода «Узник Бенды».
Обмен личностями начинается с того, что профессор Фарнсворт, воспользовавшись мозгообменником, меняется разумом с Эми, с тем чтобы снова испытать радость молодости, оказавшись в ее теле. Эми также охотно совершает обмен, поскольку теперь она может насладиться едой, зная, что тощее тело профессора может себе позволить набрать немного веса.
Сюжет усложняется, когда Бендер и Эми обмениваются разумами. Разумеется, перед этим в теле Эми находился разум профессора, поэтому теперь он перемещается в тело Бендера, а разум Бендера – в тело Эми. Это позволяет Бендеру совершить ограбление, соблазнив охранников; причем он точно знает, что никто не сможет установить его личность. Тем временем профессор сбегает в Робо-цирк. Ситуация запутывается еще больше после множества дальнейших обменов разумами. Ниже представлен полный список вариантов обмена, имевших место на протяжении эпизода (каждая пара имен обозначает тела, принимавшие участие в обмене разумами, причем не всегда разум находился в своем теле).
1. Профессор Фарнсворт Эми.
2. Эми Бендер.
3. Профессор Фарнсворт Лила.
4. Эми Ведро[58].
5. Фрай Зойдберг.
6. Лила Гермес.
7. Ведро Император Николай[59].
Хотя обменов было всего семь, такое жонглирование разумами привело к существенной путанице. Разобраться в происходящем поможет диаграмма Сили, изобретенная доктором Алексом Сили – большим поклонником «Футурамы» из Лондона. Беглый взгляд на нее позволяет определить, что после семи обменов разумами в теле профессора оказывается разум Лилы, тело Лилы содержит разум Гермеса и т. д.
К концу эпизода все устают от новых тел и хотят опять стать сами собой. К сожалению, из-за сбоя в работе мозгообменника возникает серьезная проблема: если два тела обменялись разумами, устройство больше не может выполнить между ними обмен. В итоге становится не совсем понятно, как вернуть разумы в свои тела.
Сценаристы включили в эпизод сбой в работе мозгообменника, чтобы сделать сюжет интереснее. Однако кому-то надо было найти способ решить эту проблему и обеспечить счастливый конец истории. Ответственность легла на Кена Килера, ведущего сценариста данного эпизода. Килер понимал, что единственный выход из создавшегося тупика – включить в сценарий новых персонажей, способных обеспечить косвенные пути, с помощью которых профессор и остальные герои могли бы вернуться в свои тела. Но вместо того чтобы заняться самим сценарием «Узника Бенды», Килер сфокусировался на более общей задаче: сколько новых людей необходимо включить в группу любого размера, чтобы распутать неразбериху, возникшую в результате обмена разумами?
Эта диаграмма Сили демонстрирует процесс обмена разумами. Кружочками отмечены разумы, квадратиками – тела, а расположенные внутри них буквы соответствуют различным персонажам. Сначала девять пар «разум-тело» совпадают, поскольку каждый разум изначально находится в своем теле. Затем разумы переходят в другие тела после очередного обмена. Например, после первого обмена тело профессора получает разум Эми, и наоборот. Тела всегда остаются на одной горизонтальной линии, тогда как разумы перемещаются в случае обмена либо вверх, либо вниз.
Когда Килер начал исследовать проблему, у него не было никаких догадок по поводу ее решения. Будет ли количество новых людей зависеть от численности членов группы? Если да, то, может, количество новых людей будет прямо пропорционально численности группы или оно находится в экспоненциальной зависимости от ее размера? Или, возможно, существует некое волшебное количество новых персонажей, которые могли бы решить проблему в группе любого размера?
Эту фотографию сделал Патрик Веррон 9 декабря 2009 года, во время вычитки сценария эпизода «Узник Бенды». Кен Килер делает набросок доказательства теоремы Футурамы, стоя на диване в офисе «Футурамы».
Из личного архива Патрика Веррона
Поиск ответа на эти вопросы оказался непростым даже для человека со степенью доктора наук в области прикладной математики. Это напомнило Килеру о нескольких еще более трудных задачах, с которыми он сталкивался в университете. После продолжительного мозгового штурма Килер сформулировал неопровержимое доказательство, которое обеспечивало бесспорный результат. Решение оказалось на удивление изящным. Килер пришел к выводу, что включения всего двух персонажей будет достаточно, чтобы распутать любую неразбериху с обменом разумами, при условии, что оба человека будут задействованы правильно. Доказательство Килера, носящее несколько формальный характер, получило известность как теорема Футурамы, или теорема Килера.
В эпизоде «Узник Бенды» это доказательство представляют «Милейший» Клайд Диксон и Итан «Баблгам» Тейт, два баскетболиста с планеты Мир Глобтроттеров, которые известны также своими способностями к математике и другим точным наукам. На самом деле Баблгам Тейт – старший преподаватель физики в Глобтроттерском университете и профессор прикладной физики в Марсианском университете. Оба персонажа появляются в нескольких эпизодах «Футурамы» и постоянно демонстрируют свои математические таланты. Например, в полнометражном мультфильме «Большой куш Бендера» Баблгам Тейт дает Милейшему Клайду совет по поводу решения уравнения, описывающего путешествия во времени: «Милейший Клайд, используй вариации переменных и выполни разложение детерминанта Вронского»[60].
Когда эпизод «Узник Бендера» приближается к развязке, Милейший Клайд пишет доказательство на зеленой флуоресцентной доске, а затем заявляет: «В принципе не важно, насколько переставлены ваши разумы; они могут быть возвращены с помощью максимум двух дополнительных игроков».
Теорема Футурамы, записанная на доске Милейшим Клайдом в конце эпизода «Узник Бенды». Баблгам Тейт внимательно изучает детали доказательства, тогда как Бендер (в теле которого находится разум профессора Фарнсворта) восхищенно смотрит на доску. Расшифровку представленного на доске доказательства можно найти в Приложении 5.
FUTURAMA © 2002 Twentieth Century Fox Television. Все права защищены
Лучший способ понять доказательство, сформулированное в специальных терминах, – сфокусироваться на том, как оно может помочь героям эпизода «Узник Бендера» найти выход из трудного положения, в которое они попали. Фактически это доказательство описывает хорошо продуманную стратегию устранения путаницы, которая начинается с осознания того, что всех людей, обменявшихся разумами, можно отнести к однозначно определенным множествам; в случае «Узника Бенды» таких множеств два. Тщательный анализ диаграммы Сили позволяет сделать вывод, что в первое множество входят Фрай и Зойдберг. Это становится понятно по двум нижним строкам диаграммы, которые говорят о том, что разум Фрая находится в теле Зойдберга, а разум Зойдберга – в теле Фрая. Данную совокупность можно считать множеством, поскольку мы видим, что для каждого тела есть разум, и единственная проблема состоит в том, что эти тела и разумы перепутаны.
Во второе множество входят все остальные персонажи. Диаграмма Сили показывает, что разум профессора оказался в теле Бендера, разум Бендера – в теле Императора, разум Императора – в теле Ведра, разум Ведра – в теле Эми, разум Эми – в теле Гермеса, разум Гермеса – в теле Лилы, а разум Лилы – в теле профессора, что замыкает множество. Эта совокупность тоже считается множеством, поскольку для каждого тела есть разум, но тела и разумы перемешаны.
Определив множества, Килер включил в общую совокупность еще двоих человек, Баблгама Тейта и Милейшего Клайда, которые затем совершают обмен разумами в каждом из двух множеств. Для того чтобы увидеть процес в действии, давайте начнем с меньшего множества и упорядочим его.
На представленной ниже диаграмме Сили показано, что именно происходит в эпизоде. Мы видим, что этап возврата разумов в свои тела начинается с обмена разумами между Милейшим Клайдом и Фраем (в теле которого находится разум Зойдберга); затем Баблгам Тейт обменивается разумом с Зойдбергом (в теле которого разум Фрая). После еще двух обменов разум Фрая возвращается в свое тело, а разум Зойдберга – в свое.
Милейший Клайд и Баблгам Тейт все еще перепутаны, поэтому очевидно, что на следующем этапе необходимо вернуть их разумы в свои тела, выполнив всего один обмен – и это возможно, потому что они еще не менялись разумами друг с другом. Однако пока это преждевременно. Маскетбольные гении включены в общую совокупность персонажей, обменявшихся разумами, с целью распутать два множества, поэтому их миссия еще не закончена. Следовательно, они должны оставаться с перепутанными телами и разумами, пока не решат проблему со вторым множеством.
Ниже представлена диаграмма Сили, на которой показано девять обменов разумами в процессе упорядочивания второго множества. Нет надобности анализировать ее пошагово, но общая закономерность показывает, как включение Милейшего Клайда и Баблгама Тейта создает место для маневра, необходимое для разрешения ситуации. Оба персонажа вовлечены в каждый обмен разумами, что объясняет высокую плотность диаграммы в нижней четверти. Милейший Клайд и Баблгам Тейт выступают в качестве сосудов для тех разумов, которые ищут свой дом. Получив тот или иной разум, они тут же совершают такой обмен, чтобы этот разум оказался в конечном счете в подходящем теле. Какой бы разум Клайд и Тейт ни получили, они сразу же передают его в соответствующее тело во время следующего обмена и т. д.
Хотя Килер проделал отличную работу, решив задачу обмена разумами и доказав теорему Футурамы, тем не менее важно отметить, что он либо упустил один момент, либо сознательно проигнорировал его, для того чтобы сделать финал эпизода «Узник Бендера» более эффектным. Речь идет о еще одном, более коротком пути решения этой задачи. Если вы помните, для того чтобы распутать любую ситуацию, необходимо ввести двух новых персонажей. Однако в сценарии, который мы анализируем, одно из упорядочиваемых множеств состоит всего из двух человек (разум Фрая в теле Зойдберга и разум Зойдберга в теле Фрая). Следовательно, они могли бы выступить в качестве двух новых персонажей по отношению к более крупному множеству. Это возможно, поскольку Фрай и Зойдберг еще не обменивались разумами ни с одним персонажем, входящим в него.
Двухэтапный процесс возвращения разумов в свои тела, который имеет место в эпизоде, потребовал сначала четырех обменов, а затем еще девяти, что в сумме дает тринадцать обменов. Напротив, если использовать более короткий путь, то все разумы можно было бы вернуть в свои тела посредством всего девяти обменов.
Использование существующего множества для получения двух дополнительных персонажей, необходимых для распутывания другого множества, впервые проанализировал Джеймс Крайм, математик из Кембриджа (Англия). Поэтому некоторые называют этот метод следствием Крайма, которое представляет собой математическое утверждение, вытекающее из теоремы Футурамы.
Теорема Килера вдохновила Рона Эванса, Лихуа Хуана и Туан Нгуен на написание научной работы по теме обмена разумами под названием Keeler’s Theorem and Products of Distinct Transpositions («Теорема Килера и результаты различных транспозиций»), которая была опубликована в журнале American Mathematical Monthly. В этой работе анализируются пути наиболее эффективного разрешения любой ситуации с обменом разумами.
Сам Килер решил не публиковать результаты исследований по задаче с обменом разумами. Он скромно называет свою теорему обычной математической задачей и не очень охотно поддерживает разговоры относительно ее доказательства. По его словам, самое подробное описание ее доказательства было в поддельном сценарии, который он раздал коллегам: «Когда сценарист сдает свой вариант сценария, первый этап процесса редактирования состоит в том, что все остальные сценаристы получают копии и около получаса читают сценарий. В качестве розыгрыша на трех страницах в самом начале сценария я описал сцену, в которой Милейший Клайд во всех подробностях объясняет свою теорему профессору. Некоторые сценаристы с трудом одолели все это описание, ничего не заподозрив, прежде чем поняли, что настоящий сценарий начинается на четвертой странице».
Шутливый сценарий, который Килер использовал для розыгрыша коллег, подчеркивает тот факт, что в основе настоящего сценария к эпизоду «Узник Бендера» лежит поистине интересная и новаторская математическая теорема. Во многом этот эпизод – вершина всех математических ссылок, присутствующих как в «Симпсонах», так и в «Футураме». Майк Рейсс и Эл Джин начали с включения математических шуток в режиме стоп-кадра в эпизоды первого сезона «Симпсонов», а два десятилетия спустя Кен Килер создал совершенно новую теорему, чтобы помочь экипажу «Межпланетного экспресса». На самом деле Килер может претендовать на звание первого сценариста в истории телевидения, который вывел новую математическую теорему исключительно для целей комедийного сериала.
Шутка 1
Вопрос: Что пурпурное и коммутирует?
Ответ: Абелев виноград.
1 балл
Шутка 2
Вопрос: Что лиловое и коммутирует?
Ответ: Абелев полувиноград.
1 балл
Шутка 3
Вопрос: Что питательное и коммутирует?
Ответ: Абелев суп.
1 балл
Шутка 4
Вопрос: Что пурпурное, коммутирует, и ему поклоняется ограниченное количество людей?
Ответ: Конечно, почитаемый абелев виноград.
1 балл
Шутка 5
Вопрос: Что пурпурное, опасное и коммутирует?
Ответ: Абелев виноград с автоматом.
1 балл
Шутка 6
Вопрос: Что большое, серое и доказывает неисчислимость десятичных чисел?
Ответ: Диагональный слон Кантора.
2 балла
Шутка 7
Вопрос: Какая самая длинная в мире песня?
Ответ: «0 бутылок пива на стене».
2 балла
Шутка 8
Вопрос: Что означает «Б.» в имени «Бенуа Б. Мандельброт»?
Ответ: Бенуа Б. Мандельброт.
4 балла
Шутка 9
Вопрос: Как называется молодой собственный баран? (Англ. eigensheep («собственный баран») созвучно с eigen shift – «сдвиг спектра собственных чисел».)
Ответ: Понятное дело, ягненок!
1 балл
Шутка 10
Однажды управляющего королевской фабрики по производству доспехов попросили прислать образец, для того чтобы попробовать получить очень большой заказ на выпуск туник и рейтуз.
Хотя образец туники был утвержден, управляющему сказали, что рейтузы слишком длинные. Он подал новый образец; на этот раз рейтузы были лучше, но чересчур короткие. Он подал еще один образец; теперь рейтузы тоже были лучше, но снова слишком длинные.
Управляющий обратился к математику за советом и, воспользовавшись его инструкциями, сшил еще одну пару рейтуз для доспехов. На этот раз образцы оказались идеальными.
Управляющий спросил математика, как ему удалось рассчитать параметры, на что тот ответил: «Я просто использовал тест на униформную сходимость для расчета подгиба каркаса штанов». (Англ. uniform означает «униформа», а uniform convergence – это «равномерная сходимость».)
4 балла
Шутка 11
Бескнечное число математиков заходят в бар. Бармен спрашивает: «Что желаете?» Первый математик говорит: «Мне полкружки пива». Второй математик говорит: «Мне четверть кружки пива». Третий математик говорит: «Мне одну восьмую кружки пива». Четвертый математик говорит: «Мне одну шестнадцатую кружки пива». Бармен прерывает их, наливает одну кружку пива и говорит: «Знайте свои пределы».
2 балла
Всего – 20 баллов
Эилог
За прошедшие годы мультсериал «Футурама» получил множество наград, в том числе шесть премий «Эмми». Это одна из причин того, почему он вошел в Книгу рекордов Гиннеса как мультсериал, заслуживший самое большое признание критиков.
«Симпсоны» тоже не остались в стороне, удостоены более двух десятков премий «Эмми» и считаются самым продолжительным телесериалом за всю историю. В последнем номере 1999 года, посвященном величайшим достижениям XX века, журнал Time назвал «Симпсонов» лучшим телевизионным сериалом столетия, а также включил Барта в список ста наиболее влиятельных людей столетия, причем Барт Симпсон в нем – единственный вымышленный персонаж. Кроме того, Барт и члены его семьи вошли в историю, став в 2009 году первыми героями телесериала, в честь которых были выпущены марки Почтовой службы США, когда сериал еще был в эфире. В связи с чем Мэтт Грейнинг гордо заявил: «Это самая большая и самая клейкая награда, которую когда-либо получали “Симпсоны”».
Однако помимо столь широкого и вполне заслуженного признания общественности мультсериал пользовался особой популярностью и уважением среди сообщества нердов. Для нас величайшим достижением «Симпсонов» и «Футурамы» было то, что эти мультсериалы превозносят математику и играют с ней. Оба сериала обогатили гикосистему.
Тот, кто не принадлежит к числу нердов, вполне мог бы назвать математические шутки, присутствующие в «Симпсонах» и «Футураме», поверхностными и легкомысленными, но это оскорбило бы ум и самоотверженность двух самых математически одаренных команд сценаристов за всю историю телевидения. Они неизменно пытались донести до зрителей суть самых разных математических концепций, от последней теоремы Ферма до собственной теоремы Футурамы.
Наше общество вполне обоснованно восхищается великими музыкантами и писателями, но мы редко слышим упоминания о скромных математиках. Очевидно, что математика не считается частью нашей культуры. Вместо этого математиков часто боятся и над ними часто насмехаются. Несмотря на это, авторы «Симпсонов» и «Футурамы» вот уже почти четверть века продвигают сложные математические идеи на телевидении в лучшее эфирное время.
Когда пришло время прощаться со сценаристами, я понял, что они гордятся своим математическим наследием. Хотя некоторые из них испытывали чувство грусти в связи с тем, что не смогли реализовать свой потенциал как ученые. Открывшиеся в Голливуде перспективы заставили их отложить мечты о доказательстве великих теорем.
Когда я поднял вопрос о возможном сожалении, Дэвид Х. Коэн высказал свою точку зрения относительно отказа от научной карьеры в пользу телевидения: «Это напоминает о мучительных сомнениях, свойственных нам, сценаристам, особенно тем, кто отказался от карьеры ученого. Для меня высшая цель образования состоит в открытии чего-то нового. Я считаю, что самый достойный способ оставить свой след в этом мире – это расширить представления человека о нем. Мог ли я достичь этой цели? По всей вероятности, нет, поэтому я, скорее всего, принял мудрое решение».
Хотя Коэн не изобрел никакой кардинально новой компьютерной технологии и не решил загадку «P = NP или P NP», он все же считает, что мог внести косвенный вклад в научные исследования: «Я действительно предпочел бы всю жизнь заниматься научными исследованиями, но все же я считаю, что “Симпсоны” и “Футурама” делают математику и другие точные науки увлекательными, что может оказать влияние на новое поколение, а значит, кто-то после меня сумеет достичь того, чего не удалось мне. Безусловно, я могу утешить себя такими мыслями и спокойно спать по ночам».
Что касается Кена Килера, то он оценивает тот период, когда всерьез занимался математикой, как возможность для развития на пути к профессии комедийного сценариста: «Все, что с нами происходит, оказывает на нас определенное влияние. Я уверен в том, что учеба в магистратуре помогла мне стать хорошим сценаристом. И я ни в коем случае не сожалею об этом. Например, я выбрал в качестве серийного номера Бендера число 1729, исторически значимое число в математике. Я считаю, что уже одна только эта ссылка полностью оправдывает мою докторскую степень. Правда, я не знаю, согласен ли с этим мой научный руководитель».
Приложение 1
Использование саберметрики в футболе
Билли Бин начал размышлять о применении методов саберметрики в футболе вскоре после того, как владельцы Oakland Athletics заинтересовались покупкой английских футбольных клубов, таких как Liverpool, Arsenal и Tottenham Hotspur.
Тем не менее еще до Билли Бина некоторые люди анализировали футбол с точки зрения математики. В частности, было проведено тщательное исследование влияния игроков, получивших красные карточки. Этот вопрос заинтересовал бы Лизу Симпсон, которой вручил красную карточку отец во время футбольного матча в эпизоде «Мардж – геймер» (Marge Gamer, сезон 18, эпизод 17; 2007 год).
Три голландских профессора, Г. Риддер, Дж. С. Крамер и П. Хопстакен, написали работу под названием Down to Ten: Estimating the Effect of a Red Card in Soccer («Десять игроков: оценка влияния красной карточки в футболе»), которая была опубликована в 1994 году в Journal of the American Statistical Association. В ней авторы предлагают «модель оценки влияния красной карточки с учетом исходных различий между сильными сторонами команд, а также количества голов, забитых во время матча. Точнее говоря, мы предлагаем неоднородную по времени пуассоновскую модель с учетом воздействия на счет любой стороны в конкретном матче. Мы определяем дифференцированное воздействие красной карточки методом условной оценки максимального правдоподобия вне зависимости от результатов матча».
Авторы работы утверждали, что защитник, который идет на преднамеренное столкновение с нападающим вне штрафной площадки, вносит положительный вклад в игру своей команды, предотвращая гол, однако у этого вклада есть и отрицательный аспект, поскольку данного игрока удалят с поля и он не сможет играть до конца матча. Если инцидент происходит в последнюю минуту матча, то положительный вклад перевешивает отрицательный, потому что игрока удаляют с поля перед самым окончанием матча. Однако если инцидент имеет место в первую минуту матча, то отрицательный вклад превосходит положительный, так как в команде остается всего десять игроков почти на весь матч. Общее воздействие в таких крайних случаях соответствует здравому смыслу, но что происходит, если возможность предотвратить гол посредством преднамеренного столкновения появляется посредине матча? Стоит ли идти на такой шаг?
Профессор Риддер и его коллеги использовали математический подход для определения точки перехода, или того момента матча, после которого удаление с поля становится целесообразным, если подразумевает шанс предотвратить гол.
Если исходить из предположения, что команды хорошо подобраны и нападающий почти наверняка забьет гол, тогда целесообразно пойти на столкновение в любое время после шестнадцатой минуты матча продолжительностью девяносто минут. Если вероятность гола составляет 60 процентов, тогда защитнику следует подождать до сорок восьмой минуты матча, и только потом идти на столкновение с нападающим. Если вероятность гола всего 30 процентов, то защитнику необходимо подождать до семьдесят первой минуты матча, прежде чем делать свое грязное дело. Это не самый достойный способ применения математики в спорте, но все же данный результат можно считать полезным.
Приложение 2
Анализ тождества Эйлера
ei + 1 = 0
Тождество Эйлера примечательно тем, что оно объединяет пять фундаментальных математических констант: 0, 1, , e и i. Наше краткое объяснение поможет пролить свет на то, что значит возвести e в мнимую степень, что, в свою очередь, позволит показать, почему тождество верно. Но для этого необходимо иметь общее представление о некоторых специальных математических понятиях, таких как тригонометрические функции, радианы и мнимые числа.
Начнем с ряда Тейлора, который позволяет представить любую функцию в виде суммы бесконечного числа членов ряда. Если вы хотите больше узнать о построении ряда Тейлора, вам придется изучить этот вопрос самостоятельно, но для наших целей достаточно того, что функцию ex можно представить в следующем виде:
Здесь x может иметь любое значение, поэтому мы можем подставить ix вместо x, где i = 1. Таким образом, мы получим следующий ряд:
Далее сгруппируем члены ряда в зависимости от того, есть ли в них i или нет:
В качестве на первый взгляд неуместного отступления можно также найти пару рядов Тейлора, представляющих функции синуса и косинуса, что дает следующий результат:
Следовательно, мы можем записать eix через sin x и cos x:
eix = cos x + i sin x
В формуле Эйлера присутствует ei, и теперь мы можем подставить вместо x:
ei = cos + i sin
В данном контексте – это угловой размер в радианах, так что 360° = 2 радиан. Стало быть, cos = 1, а sin = 0. Это означает, что:
ei = 1
Следовательно,
ei + 1 = 0
Профессор Кит Девлин, британский математик из Стэнфордского университета и автор блога Devlin’s Angle («Угол Девлина»), придерживается такого мнения: «Как сонет Шекспира схватывает саму суть любви или картина показывает внутреннюю красоту человека, так тождество Эйлера проникает в самые глубины существования».
Приложение 3
Формула доктора Килера для поиска суммы квадратов
В беседе с доктором Сарой Гринволд из Аппалачского университета Кен Килер рассказал следующую историю, связанную с его отцом Мартином Килером, которому было присуще интуитивное понимание математики:
Самое большое влияние на меня оказал отец, который был врачом… Он изучал высшую математику только на первом курсе, но я помню, как однажды спросил его, чему равна сумма квадратов первых n чисел, и он за несколько минут смог вывести формулу: n/3 + n/2 + n/6.
Что меня до сих пор удивляет, так это то, что он сделал это не посредством геометрического (как обычно выводят сумму первых n целых чисел) или индуктивного доказательства. Он предположил, что эта формула должна представлять собой кубический многочлен с неизвестными коэффициентами, а затем определил эти коэффициенты, решив системы из четырех линейных уравнений, выведенных путем вычисления первых четырех сумм квадратов. (И он решил их вручную, без определителей.) Когда я спросил его, как он понял, что эта формула должна представлять собой кубический многочлен, он сказал: «А чем еще она может быть?»
Приложение 4
Фракталы и фрактальные размерности
Обычно мы представляем себе фракталы как структуры, состоящие из самоподобных структур в любом масштабе. Другими словами, общая структура объекта сохраняется, когда мы увеличиваем или уменьшаем его масштаб. Как отметил первооткрыватель фракталов Бенуа Мандельброт, такие самоподобные структуры можно найти в природе: «На примере цветной капусты видно, что объект может состоять из множества частей, каждая из которых подобна целому, но имеет меньший размер. Многие растения обладают таким свойством. Облако представляет собой нагромождение форм, напоминающих облака. Приблизившись к облаку, вы увидите не что-то однородное, а такие же неоднородные структуры, только в меньшем масштабе».
Фракталы также известны тем, что имеют дробную (фрактальную) размерность. Для того чтобы получить представление о том, что это такое, проанализируем конкретный фрактальный объект, а именно треугольник Серпинского, который можно построить следующим образом.
Сначала берем обычный равносторонний треугольник и вырезаем из него центральный треугольник, что приведет к образованию первой из четырех фигур с треугольниками, показанных на рисунке ниже. Эта фигура состоит из трех треугольников, в каждом из которых тоже удаляем центральный треугольник, и в результате получаем вторую из четырех фигур. Затем центральные треугольники снова нужно вырезать, что образует третью фигуру с треугольниками. В случае бесконечного повторения этой процедуры будет построена четвертая фигура, которая и является треугольником Серпинского.
Один из способов получить представление о размерности – проанализировать изменение площади объектов при изменении их длины. Например, увеличение длин сторон обычного двумерного треугольника в два раза приводит к увеличению его площади в четыре раза. В действительности увеличение длин сторон любой двумерной фигуры в два раза приводит к увеличению площади этой фигуры в четыре раза. Однако если мы удвоим длины сторон треугольника Серпинского, показанного на рисунке выше, для того чтобы получить показанный ниже треугольник Серпинского большего размера, это не приведет к четырехкратному увеличению его площади.
Увеличение длин сторон треугольника Серпинского в два раза приводит к увеличению его площади в 3 (а не 4) раза, поскольку треугольник большего размера можно построить только из трех экземпляров исходного треугольника меньшего размера, изображенного на рисунке серым цветом. Не вдаваясь в математические детали, можно сказать, что треугольник Серпинского имеет размерность 1,585 (точнее говоря, log 3/log 2 измерений).
Хотя размерность 1,585 кажется нонсенсом, это имеет смысл в контексте процесса построения треугольника Серпинского, который начинается с обычного двумерного треугольника с большой видимой площадью, но последующее неоднократное (бесконечное число раз) удаление центрального треугольника означает, что полученный в результате треугольник Серпинского имеет нечто общее с сетью одномерных волокон или даже с совокупностью одномерных точек.
Приложение 5
Теорема Килера
В эпизоде «Узник Бенды» Милейший Клайд Диксон пишет доказательство теоремы Килера (также известной как теорема Футурамы) на флуоресцентной зеленой доске. Вот расшифровка этого доказательства.
Во-первых, пусть представляет собой k-циклическую перестановку на множестве [n] = {1, …, n}. Без потери общности запишем:
Пусть <a, b> означает перестановку, которая обеспечивает обмен содержимого a и b.
Согласно предположению, образуется посредством k отдельных перестановок на множестве [n].
Введем два новых элемента и запишем:
Для любого i = 1, …, k пусть представляет собой серию перестановок «слева-направо»:
= (< x, 1> < x, 2> … < x, i>) (< y, i + 1> < y, i + 2> … < y, k>) (< x, i + 1>) (< y, 1>)
Обратите внимание, что каждая перестановка приводит к обмену элемента из [n] на один из элементов {x, }, а значит, все они отличны от перестановок в пределах множества [n], которые привели к образованию , а также от <x, y>. Обычная проверка показывает, что теперь:
Другими словами, возвращает k-цикл в прежнее состояние и оставляет x и y на своих местах (без выполнения < x, y>).
Пусть теперь представляет собой произвольную перестановку на множестве [n]: оно состоит из независимых (ненулевых) циклов, каждый из которых может быть поочередно возвращен в исходное состояние так, как показано выше, после чего x и y можно в случае необходимости поменять местами посредством <x, y>, что и требовалось доказать.
От автора
Я не смог бы написать эту книгу без поддержки сценаристов мультсериалов «Симпсоны» и «Футурама», которые нашли время для интервью и во многих случаях делали гораздо больше, чем от них требовалось, для того чтобы мне помочь. Я особенно признателен таким людям, как Дж. Стюарт Бернс, Эл Джин, Кен Килер, Тим Лонг, Майк Рейсс, Мэтт Селман, Патрик Веррон, Джош Вайнштейн и Джефф Уэстрбук. Дэвид Х. Коэн проявил невероятное дружелюбие и терпение и не жалел своего времени для меня с тех самых пор, как я написал ему первое электронное письмо еще в 2005 году. Должен также отметить, что Кен, Майк, Эл и Дэвид предоставили свои личные фотографии для включения в книгу, так же как и Майк Бэннен. Я искренне признателен компании Fox и Мэтту Грейнингу за разрешение использовать изображения из «Симпсонов» и «Футурамы».
Я благодарен Рони Брунн за информацию о математическом клубе, а также Эми Джо Перри, которая помогла организовать интервью и чувствовать себя как дома во время пребывания в Лос-Анджелесе. Я признателен также профессору Саре Гринволд и профессору Эндрю Нестлеру за то, что нашли время побеседовать со мной. Я советую читателям посетить их сайты, где они найдут еще много интересного о «Симпсонах» и «Футураме».
Это моя первая книга, написанная после того, как я стал отцом, поэтому я благодарю своего трехлетнего сына Хари Сингха, который провел прошедший год, стуча по клавиатуре моего компьютера и пуская слюни на рукопись книги, когда я этого не видел. Он был для меня лучшим отвлекающим фактором из всех возможных.
Когда я закрывался в своем кабинете, миссис Сингх (известная также как Анита Ананд) занималась важной работой: развлекая Хари, пекла кексы, рисовала картинки, ловила бабочек, запускала бумажного змея и играла в прятки. Когда Анита закрывалась в кабинете, чтобы писать свою книгу, Хари либо бегал без присмотра на улице, либо за ним присматривал кто-то другой. Я благодарен за это бабушке Сингх, дедушке Сингху, бабушке Ананд, Натали, Исааку и Махалии.
Как всегда, Патрик Уолш, Джейк Смит-Бозанкет и их коллеги из литературного агентства Conville & Walsh были неизменным источником советов и поддержки. Я получил истинное удовольствие от сотрудничества с новым британским редактором Натали Хант, и мне было вдвойне приятно снова работать с Джорджем Гибсоном, который поверил в меня как в начинающего писателя еще тогда, когда я опубликовал свою первую книгу о последней теореме Ферма.
В своих исследованиях я полагался на различные интернет-источники, созданные преданными поклонниками «Симпсонов» и «Футурамы». Информацию о них можно найти в разделе «Онлайн-ресурсы». Я признателен Дону Дзедзи и Майку Уэббу за советы, касающиеся бейсбола, Адаму Рутенфорду и Джеймсу Крайму за различные идеи, Алексу Сили за интересные предложения, Джону Вудраффу за еще большее количество предложений, а также Лоре Стук за расшифровку моих интервью. Я хотел бы также поблагодарить Сьюзан Пера, которая занималась организацией бумажной и административной работы на протяжении последних десяти лет и даже больше и уходит на пенсию в этом году. Она всегда была суперзвездой и не позволила моей жизни развалиться на части, и я не знаю, как буду без нее обходиться.
И последнее, что мне хотелось бы отметить. Я планировал выпустить эту книгу еще в 2005 году, но мне помешали необоснованные иски, которые выдвинули против меня многие представители альтернативной медицины, от гомеопатов до хиропрактиков. В итоге, вместо того чтобы писать книгу о «Симпсонах» и «Футураме», я в соавторстве с профессором Эдзардом Эрнстом написал книгу под названием Trick or Treatment? Alternative Medicine on Trial («Обман или лечение? Исследование альтернативной медицины»).
После публикации статьи о хиропрактике в Guardian Британская ассоциация хиропрактиков выдвинула против меня иск по обвинениям в клевете. Наряду с делами о клевете против доктора Питера Уилмхерста, доктора Бена Голдакра и многих других это помогло начать кампанию за либеральную реформу в Великобритании. На то чтобы отстоять это дело в суде, понадобились два трудных года, но за это время я понял, что у меня уже есть много верных друзей и появилось много новых.
Первое собрание движения за либеральную реформу организовал Дэвид Аллен Грин вместе с моим адвокатом Робертом Дугансом. Три сотни блогеров, скептиков и ученых собрались в пабе Penderel’s Oak на улице Холборн в Лондоне, где услышали выступления Трейси Браун, Ника Коэна, Брайана Кокса, Криса Френча, Дэйва Гормана и Эвана Харриса. Свои сообщения с выражением поддержки прислали Ричард Вайзман, Тим Минчин, Дара О’Бриэн, Фил Плейт, Сайл Лейн и многие другие. Большинство из этих людей впоследствии лоббировали политиков и выступали на других митингах движения за либеральную реформу.
Это было только начало. Впоследствии я получил поддержку со стороны Образовательного фонда Джеймса Рэнди в Соединенных Штатах Америки, журнала Cosmos в Австралии, групп общества Skeptics in the Pub («Скептики в пабе») во всем мире, фестиваля литературы и искусств Hay Festival, а также таких организаций, как QEDcon, Sense About Science, Science Media Centre, Index on Censorship, English PEN и многих других организаций и частных лиц. Совершенно неожиданно я стал частью большой семьи, члены которой выступают в защиту науки, рационализма и свободы слова. К этой семье принадлежал и доктор Робин Инс, который организовал мероприятие по сбору средств и всегда был готов помочь, как только в этом возникала необходимость. Этот человек – немного ворчливое сокровище нации.
Десятого февраля 2010 года, когда кампания за либеральную реформу отчаянно нуждалась в поддержке, я пообещал, что в своей следующей книге обязательно назову имена людей, которые сделали в том месяце все возможное, чтобы уговорить других подписать петицию в поддержку либеральной реформы. В итоге петицию подписали более шестидесяти тысяч человек, благодаря чему политики узнали о том, что общественность требует более справедливого закона о свободе слова. Как я и обещал, хочу поблагодарить таких людей, как Эрик Эгл, Терез Ахлстам, Жоао Ари, Леонардо Ассумпкао, Мэтью Бейкос, Дилип Банхатти, Дэвид Барретт, Джеймс Барвелл, Ричи Бичем-Патерсон, Сьюзан Бьюли, Рассел Блэкфорд, Роузи, Флориан и Ханс Брюэр, Мэтт Берк, Боб Бери, Коуби Кобб, Криспин Купер, Саймон Коттон, Ребекка Кроуфорд, Энди Ли Дэвис, Малкольм Додд, Тим Дойл, Джон Эмсли, Тони Флинн, Тереза Готт, Шейла Гривз, Шерин Джексон, Эллиот Йокль, Бронвин Климеч, Джон Ламберт, Дэниел Линч, Тоби Макфарлейн, Дункан Макмиллан, Эластар Макра, Кертис Паласюк, Анил Паттни, Микко Петтери Салминен, Колетт Филипс, Стив Робсон, Деннис Ридгрен, Марк Солтер, Джоан Скэнлон, Эдриан Шонесси, Дэвид Спрэт, Джон Старбак, Сара Сач, Райан Тана, Джеймс Томас, Стивен Тордофф, Эдвард Тернер, Айша У., Ли Уоррен, Мартин Вивер, Марк Вилкокс, Питер Уилсон, Билл Роут и Роджер ван Цваненберг.
Сейчас на стене паба Penderel’s Oak висит табличка с надписью: «После четырех лет проведения кампании с участием тысяч людей и сотен организаций старые законы отменены. 25 апреля 2013 года был принят новый Закон о клевете».
Онлайн-ресурсы
Профессора Эндрю Нестлер и Сара Гринволд предоставили прекрасные источники для желающих изучить математические ссылки, присутствующие в мультсериалах «Симпсоны» и «Футураа», в том числе материалы, предназначенные для преподавателей.
«Симпсоны» и математика
http://homepage.smc.edu/nestler_andrew/SimpsonsMath.htm
Задания с участием Симпсонов
http://mathsci2.appstate.edu/~sjg/simpsonsmath/worksheets.html
«Футурама» и математика
http://mathsci2.appstate.edu/~sjg/futurama
Кроме того, еще есть много сайтов, предлагающих общую информацию о «Симпсонах» и «Футураме». На некоторых из них ведутся серьезные дискуссии о математических ссылках, присутствующих в этих мультсериалах.
«Симпсоны»
http://simpsons.wikia.com/wiki/Simpsons_Wiki
«Футурама»
http://theinfosphere.org/Main_Page
Читать бесплатно другие книги:
