Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса Ливио Марио

В одном из семи скетчей, вошедших в фильм «Все, что вы хотели знать о сексе, но боялись спросить», Вуди Аллен играет придворного шута, который потешает средневекового короля и его свиту. Шут воспылал страстью к королеве и дает ей афродизиак, рассчитывая ее соблазнить. Королева отвечает шуту взаимностью – но увы: на ней пояс верности с огромным висячим замком. Очутившись в этой неловкой ситуации в спальне королевы, шут нервно бормочет: «Надо быстренько что-то придумать, пока не наступило Возрождение и мы все не начали писать картины!»

Шутки шутками, а эта гипербола – вполне понятное описание того, что делалось в Европе в XV и XVI веках. Эпоха Возрождения и в самом деле породила такое изобилие шедевров живописи, скульптуры и архитектуры, что и в наши дни эти поразительные произведения искусства составляют львиную долю нашей культуры. Что же касается науки, то именно в эпоху Возрождения произошла гелиоцентрическая революция в астрономии, вождями которой были Коперник, Кеплер и особенно Галилей. Новые представления о Вселенной, которое обеспечили наблюдения Галилея при помощи телескопа и открытия, которые он сделал на основе опытов по механике, возможно, послужили основным стимулом для математических открытий следующего века. Появились первые признаки крушения аристотелевской философии и сомнений в теологической идеологии церкви, и философы начали искать новый фундамент для чертогов человеческих познаний. Математика с ее определенным (на первый взгляд) корпусом незыблемых истин, казалось, была самым подходящим кандидатом на роль новой отправной точки.

Тем, кто взял на себя достаточно честолюбивую задачу открыть формулу, которая так или иначе упорядочит все рациональное мышление и объединит все познания и в науке, и в этике, стал юный французский офицер и аристократ Рене Декарт.

Мечтатель

Декарта[53] (рис. 21) принято считать и первым великим современным философом, и первым современным биологом. Если к этим внушительным титулам добавить еще то обстоятельство, что английский философ-эмпирик Джон Стюарт Милл (1806–1873) назвал одно из достижений Декарта в математике «величайшим шагом, сделанным в прогрессе точных наук за всю их историю» (Цит. по Sedgwick and Tyler 1917), начинаешь понимать, каким неизмеримо мощным интеллектом обладал Декарт.

Рис. 21

Рене Декарт родился 31 марта 1596 года во французском городе Лаэ. В честь своего самого знаменитого уроженца город в 1801 году был переименован в Лаэ-Декарт, а с 1967 года называется просто Декарт. В восемь лет Декарт поступил в иезуитскую коллегию Ла Флеш, где изучал латынь, древнегреческий язык, математику, физику и схоластическую философию до 1612 года. Поскольку Декарт был довольно слабого здоровья, ему позволялось вставать позже других, хотя его соученики поднимались ни свет ни заря – в пять часов утра. Став взрослым, он по-прежнему посвящал раннее утро размышлениям в постели и однажды признался французскому математику Блезу Паскалю, что для него единственный способ сохранять здоровье и творческие силы – это никогда не вставать, пока не захочется. Вскоре мы убедимся, что это утверждение оказалось пророческим до трагизма.

После коллегии Ла Флеш Декарт окончил университет города Пуатье и получил степень бакалавра права, однако юриспруденцией никогда не занимался. Декарт обладал пытливым умом и мечтал повидать мир, поэтому решил пойти на службу в армию принца Морица Оранского, которая тогда стояла в городе Бреда в Соединенных Провинциях (в Нидерландах). Именно в городе Бреда произошла случайная встреча, которая оказала сильнейшее воздействие на интеллектуальное развитие Декарта. Легенда гласит, что Декарт гулял по улицам и вдруг увидел доску, на которой была написана какая-то трудная математическая задача. Декарт попросил первого встречного перевести текст с голландского либо на латынь, либо на французский. Несколько часов спустя Декарт сумел решить задачу, тем самым доказав самому себе, что и вправду обладает определенными способностями к математике. А прохожий-переводчик оказался не кем иным, как голландским математиком и физиком Исааком Бекманом (1588–1637), влияние которого на физико-математические изыскания Декарта ощущалось еще много лет[54]. Следующие девять лет Декарт провел в метаниях между бурной парижской жизнью и службой в нескольких армиях. В Европе, терзаемой религиозными и политическими распрями, в самом начале Тридцатилетней войны Декарту было довольно просто находить себе битвы и присоединяться к батальонам на марше, будь то в Праге, Германии или Трансильвании. Однако в этот же период, по собственному выражению, он «с головой погрузился в изучение математики».

Десятого ноября 1619 года Декарту приснилось три сна, которые не просто оказали колоссальное воздействие на всю его оставшуюся жизнь, но и, возможно, знаменовали зарю современного мира[55]. Впоследствии, описывая эти события, Декарт писал в записных книжках: «Я был полон восторга и открыл основы изумительной науки». О чем же были эти судьбоносные сны?

На самом деле два из трех снов были страшные. В первом сне Декарт попал в сильнейшую бурю, и ветер развернул его, заставив крутануться на левой пятке. Кроме того, Декарта очень пугало непреходящее ощущение, что при каждом шаге он может упасть. Появился какой-то старик и попытался подарить ему заморскую дыню. Второй сон тоже был кошмаром. Декарт оказался запертым в комнате, кругом били зловещие молнии и летали искры. Третий сон представлял собой резкий контраст с первыми двумя – это была картина спокойного сосредоточенного размышления. Декарт осматривал комнату и видел, как на столе то появляются, то исчезают книги. В числе прочего там появился поэтический сборник под названием «Corpus Poetarum» и энциклопедия. Декарт открыл сборник наугад и увидел первую строку стихотворения римского поэта Авсония, жившего в IV веке. Строка гласила: «Quod vitae sectabor iter?» – «Какую дорогу в жизни мне избрать?» Словно бы из ниоткуда появился загадочный незнакомец и процитировал другую фразу – «Est et non» («Да и нет» или «Существует или нет»). Декарт хотел показать ему строку Авсония,но тут видение развеялось.

Как часто бывает со снами, подлинная их ценность состоит не в непосредственном содержании, которое бывает причудливым и запутанным, а в интерпретации, которую предпочитает дать им сам сновидец. В случае Декарта три загадочных сна привели к потрясающим последствиям. Декарт решил, что энциклопедия символизирует коллективное научное знание, а поэтический сборник – философию, откровение и энтузиазм. «Да и нет» – одну из знаменитых противоположностей Пифагора – он истолковал как истинное и ложное. (Что касается дыни, то неудивительно, что некоторые психоаналитические интерпретации предполагают эротические ассоциации с ней.) Декарт был совершенно уверен, что сны подталкивают его в направлении унификации всего корпуса человеческих знаний посредством логических рассуждений. В 1621 году он подал в отставку, однако продолжил путешествовать и изучать математику в течение еще пяти лет. Все, с кем он в то время встречался, в том числе влиятельный духовный лидер кардинал Пьер де Берюль (1575–1629), приходили в восхищение от остроты и ясности его ума. Многие уговаривали Декарта обнародовать его соображения. Будь на месте Декарта другой молодой человек, подобные мудрые отеческие советы оказали бы на него такое же воздействие, как лаконичная профориентация «Пластмассы!» на героя Дастина Хоффмана из фильма «Выпускник», однако Декарт был непохож на других. Поскольку он уже поставил перед собой цель искать истину, убедить его оказалось легко. Он переехал в Голландию, где в то время была относительно спокойная обстановка, способствующая интеллектуальным занятиям, и в течение следующих 20 лет выпускал одну гениальную книгу за другой.

Рис. 22

Первый свой шедевр об основах науки – «Рассуждение о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках» – Декарт опубликовал в 1637 году (на рис. 22 приведен титульный лист первого издания). К этому трактату он написал три поразительных приложения – об оптике, метеорологии и геометрии. Затем вышла работа по философии – «Размышления о первой философии» (1641) и по физике – «Первоначала философии» (1644). К этому времени Декарт уже прославился по всей Европе, и среди его почитателей и корреспондентов была, например, принцесса-изгнанница Елизавета Богемская (1618–1680). В 1649 году Декарт получил приглашение обучать философии саму королеву Кристину Шведскую (1626–1689) – фигуру весьма колоритную. У Декарта всегда была слабость к особам голубой крови, и он согласился. Более того, его письмо к королеве было так полно восхищенных слов, подобающих придворному XVII века, что сегодня его невозможно читать без усмешки: «Осмелюсь возразить Ее Величеству, что она не в силах отдать мне приказание столь трудное, чтобы я не был всегда готов сделать все возможное, дабы исполнить его, и что будь я даже шведом или финном по рождению, я не мог бы проявить большего рвения и лучше подходить для служения Вам». Двадцатитрехлетняя королева, отличавшаяся стальным характером, потребовала, чтобы Декарт наставлял ее в философии ни свет ни заря – в пять часов утра. В стране, где было так холодно, что, как писал Декарт другу, даже мысли замерзали, это оказалось смертельно[56]. «Я здесь не в своей стихии, – писал Декарт, – и желаю только отдыха и покоя, а эти блага не могут подарить тебе даже самые могущественные короли на свете, если ты сам не в состоянии их себе обеспечить». Декарт всего несколько месяцев сражался с суровой шведской зимой темными утренними часами, чего умудрялся избегать всю жизнь, а потом подхватил воспаление легких. И умер в возрасте пятидесяти трех лет 11 февраля 1650 года в четыре часа утра, словно хотел уклониться от очередной побудки. Человек, чьи труды знаменовали начало современной эпохи, пал жертвой собственного снобизма и капризов юной королевы.

Рис. 23

Декарт был похоронен в Швеции, однако в 1667 году его останки частично перевезли во Францию. Там их несколько раз переносили с места на место[57], но в конце концов похоронили 26 февраля 1819 года в одной часовне собора Сен-Жермен-де-Пре. На рис. 23 мое фото рядом с простой черной мемориальной доской, установленной в честь Декарта. Череп, считавшийся черепом Декарта, переходил в Швеции из рук в руки, пока его не приобрел химик по фамилии Берцелиус, который перевез его во Францию. Теперь череп хранится в Музее естественных наук – филиале Музея человека в Париже. Его часто выставляют в витрине напротив черепа неандертальца.

Что значит «современный»

Когда на человека вешают ярлык «современный», то обычно имеют в виду, что он из тех, кто способен спокойно общаться со своими собратьями по профессии, живущими в ХХ, а теперь уже и в XXI веке. Подлинно современным человеком Декарта делает то, что он осмелился подвергнуть сомнению все философские и научные утверждения, сделанные до него[58]. Как-то раз он отметил, что образование лишь усилило его растерянность и заставило осознать собственное невежество. В своем прославленном «Рассуждении о методе» Декарт писал: «О философии скажу одно: …в течение многих веков она разрабатывается превосходнейшими умами и, несмотря на это, в ней доныне нет положения, которое не служило бы предметом споров и, следовательно, не было бы сомнительным (здесь и далее цитаты из “Рассуждения о методе” даны в пер. Г. Слюсарева и А. Юшкевича)». Хотя судьба многих философских идей самого Декарта свидетельствует о таких же существенных недочетах в его предпосылках, на которые указывали более поздние философы, освежающий скептицизм, с которым он относился даже к самым основным понятиям, делает его, конечно, современным до мозга костей. Однако главное для нашей книги даже не это: Декарт понимал, что методы и процесс рассуждений в математике приводит именно к той определенности, которой так не хватало схоластической философии прежних времен[59]. Он недвусмысленно провозглашал следующее:

Те длинные цепи выводов, сплошь простых и легких, которыми геометры обычно пользуются, чтобы дойти до своих наиболее трудных доказательств, дали мне возможность представить себе, что и все вещи, которые могут стать для людей предметом знания, находятся между собой в такой же последовательности (курсив мой. – М. Л.). Таким образом, если воздерживаться от того, чтобы принимать за истинное что-либо, что таковым не является, и всегда соблюдать порядок, в каком следует выводить одно из другого, то не может существовать истин ни столь отдаленных, чтобы они были недостижимы, ни столь сокровенных, чтобы нельзя было их раскрыть.

В некотором смысле это смелое заявление идет даже дальше воззрений Галилея. Не только физическая Вселенная написана на языке математики – логике математики следует все человеческое знание. По словам Декарта: «Я убежден, что она [математика] превосходит любое другое знание, переданное нам людьми, так как она служит источником всех других знаний» (Пер. М. Гранцева). Поэтому одной из целей Декарта стало продемонстрировать, что мир физики, который для него был реальностью, подлежащей математическому описанию, можно изобразить, не полагаясь на чувственное восприятие, которое так часто нас подводит. Он настаивает, что разум должен тщательно просеивать все то, что видит глаз, и обращать восприятие в идеи. В конце концов, утверждал Декарт, «сон никогда не может быть отличен от бодрствования с помощью верных признаков» (Здесь и далее цитаты из «Размышлений о первой философии» даны в переводе С. Шейнман-Топштейн). Однако Декарт задавался и таким вопросом: если все, что мы воспринимаем как реальность, на самом деле только сон, откуда мы знаем, что и Земля, и небо – не своего рода «сонный обман», который наслал на наши чувства некий «злобный демон, наделенный беспредельным могуществом»? Или, как выразился однажды Вуди Аллен: «Вдруг все лишь иллюзия и ничего на самом деле не существует? В таком случае я, конечно, переплатил за ковер».

Этот шквал болезненных сомнений и привел Декарта к формулировке его самого знаменитого принципа: «Cogito ergo sum» – «Я мыслю, следовательно, существую»[60]. Иначе говоря, за любыми мыслями обязательно стоит сознание. Как ни парадоксально, в самом акте сомнений сомневаться нельзя! На этом довольно шатком основании Декарт попытался построить полный алгоритм поиска надежных знаний. Декарт вплотную занимался всем, что его интересовало, – философией, оптикой, механикой, медициной, эмбриологией, метеорологией – и везде оставил свой значительный след. И все же, несмотря на убежденность в способности человека строить причинно-следственные связи, Декарт не считал, что фундаментальные открытия можно совершать при помощи одной лишь логики. В сущности, он пришел к тому же выводу, что и Галилей: «Я заметил, что в логике ее силлогизмы и большинство других правил служат больше для объяснения другим того, что нам известно, или… учат тому, чтобы говорить, не задумываясь о том, чего не знаешь, вместо того чтобы познавать это». Декарт пошел другим путем и, поставив перед собой поистине героическую цель заново изобрести или заложить основы целых научных дисциплин, попытался применить принципы, которые он получил при помощи математического метода, чтобы точно знать, что он на верном пути. Эти строгие законы он описал в своих «Правилах для руководства ума». Начинать надо с истин, в которых нет никаких сомнений (подобно аксиомам в евклидовой геометрии), трудные задачи следует разбивать на более простые, переходить от зачаточного к сложному и дважды проверять всю процедуру, дабы убедиться, что не было упущено ни одного возможного решения. Нет нужды говорить, что даже столь тщательно выстроенный и строгий процесс не обеспечил выводам Декарта полную безошибочность. Более того, хотя Декарт прославился в основном колоссальными прорывами в философии, именно его достижения в математике сохраняют актуальность и по сей день. Расскажу об одной его идее, простой, как все гениальное. Это ее Джон Стюарт Милл назвал «величайшим шагом, сделанным в прогрессе точных наук за всю их историю».

Математика карты Нью-Йорка

Рис. 24

Взгляните на фрагмент карты Манхэттена на рис. 24. Если вы стоите на углу Тридцать четвертой улицы и Восьмой авеню, а у вас назначено свидание на углу Пятьдесят девятой улицы и Пятой авеню, найти дорогу не составит труда, верно? Именно в этом и заключалась идея новой геометрии по Декарту. Он снабдил свое «Рассуждение о методе» приложением «Геометрия» объемом в 106 страниц[61]. Трудно поверить, что эта поразительно простая концепция совершила настоящую революцию в математике. Начал Декарт с почти что тривиального факта: как показывает карта Манхэттена, пара чисел однозначно определяет положение точки на плоскости (например, точка А на рис. 25, а). Затем, опираясь на этот факт, Декарт разработал мощную теорию кривых – аналитическую геометрию. В честь Декарта пара перпендикулярных прямых, которая дает нам систему отсчета, получила название «Декартова система координат». По традиции горизонтальную линию называют «ось х», вертикальную – «ось у», а точку их пересечения – «начало координат». Например, точка, обозначенная А на рис. 25, а, имеет координаты х = 3 и у = 5, что принято обозначать упорядоченной парой чисел (3, 5) (обратите внимание, что начало координат обозначается (0, 0)). А теперь предположим, что мы хотим как-то охарактеризовать все точки на плоскости, которые находятся на расстоянии ровно 5 единиц от начала координат. Разумеется, это и есть геометрическое определение окружности с центром в начале координат и с радиусом в 5 единиц (рис. 25, b). Если вы возьмете точку (3, 4) на этой окружности, то окажется, что ее координаты удовлетворяют равенству 3² + 4² = 52. Более того, легко показать (при помощи теоремы Пифагора), что координаты (x, y) любой точки этой окружности удовлетворяют равенству х² + у² = 5². Но и этого мало: точки на окружности – это единственные точки на плоскости, для которых верно уравнение х² + у² = 5². Это значит, что алгебраическое уравнение х² + у² = 5² характеризует окружность точно и однозначно. Иначе говоря, Декарт открыл[62] способ выразить геометрическую кривую алгебраическим уравнением или численно – и наоборот. Наверное, когда речь идет просто об окружности, кажется, будто в этом нет ничего особенно интересного, однако все на свете графики – будь то недельные колебания фондовой биржи, температура на Северном полюсе за последние сто лет или темп расширения Вселенной – основаны на гениальной идее Декарта. Алгебра и геометрия внезапно перестали быть двумя независимыми отраслями математики и превратились в два представления одних и тех же истин. Уравнение, описывающее кривую, неявно содержит все мыслимые свойства этой кривой, в том числе, например, все теоремы евклидовой геометрии. Но и это еще не все. Декарт показал, что если начертить в одной и той же системе координат разные кривые, то точки их пересечения задаются общими решениями соответствующих алгебраических уравнений. Таким образом Декарт сумел задействовать мощности алгебры, чтобы исправить неприятные недостатки классической геометрии. Например, Евклид определял точку как сущность, не имеющую ни частей, ни величины. Это довольно темное определение навсегда кануло в забвение, когда Декарт определил точку на плоскости просто как упорядоченную пару чисел (x, y). Но даже эти открытия – всего лишь верхушка айсберга. Если две переменные величины x и y можно соотнести таким образом, чтобы каждому значению х соответствовало одно и только одно значение у, они составляют так называемую функцию, а функции воистину вездесущи. Когда вы отслеживаете уменьшение веса во время диеты, рост вашего ребенка в дни рождения или зависимость расхода топлива от скорости вождения, все эти данные можно выразить в виде функций.

Рис. 25

Функции – это хлеб насущный современных физиков, статистиков и экономистов. Если много повторяющихся научных экспериментов или наблюдений дают одни и те же функциональные соотношения, то они иногда получают почетное звание законов природы – математических правил поведения, которым, оказывается, подчиняются все природные явления. Например, закон всемирного тяготения Ньютона, к которому мы еще вернемся в этой главе, гласит, что если расстояние между двумя точечными массами удвоить, то сила притяжении между ними всегда уменьшается в четыре раза. Таким образом, идеи Декарта открыли дверь систематической «математизации» практически всего чего угодно – вот она, самая суть идеи, что Бог – математик. С чисто математической точки зрения, установив эквивалентность двух отраслей математики, алгебры и геометрии, которые, как полагали раньше, вообще не связаны друг с другом, Декарт расширил горизонты математики и проложил дорогу современному анализу, который позволяет математикам безо всякого труда переходить от одной математической субдисциплины к другой. Таким образом, математика не просто получила возможность описывать широкий диапазон явлений, но и сама по себе стала шире, богаче и всеохватнее. Как выразился великий математик Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813): «Пока алгебра и геометрия следовали разными путями, прогресс их был медленным, а область применения ограниченной. Однако когда эти две науки объединились, то напитались свежими соками друг от друга и с тех пор бодро шагают к совершенству».

Несмотря на все важнейшие достижения Декарта в математике, сфера его научных интересов математикой не ограничивалась. Он говорил, что наука – будто дерево: корни ее – метафизика, ствол – физика, а три основные ветви –механика, медицина и мораль. Выбор ветвей может поначалу показаться неожиданным, но на самом деле ветви прекрасно символизируют три главные области, в которых Декарт хотел применить свои новые идеи: Вселенная, человеческий организм и человеческое поведение. Первые четыре года своего пребывания в Голландии – с 1629 по 1633 – Декарт писал трактат по физике и космологии «Мир» («Le Monde»)[63]. Однако, когда книга была уже готова к печати, Декарт получил крайне неприятные известия. В письме к своему другу и критику естествоиспытателю Марену Мерсенну (1588–1648) он жаловался.

Я собирался послать вам мой «Мир» в подарок на Новый год, и еще две недели назад я был полон решимости отправить вам хотя бы часть, если всю книгу не удастся напечатать вовремя. Однако вынужден сказать, что за это время я взял на себя труд поинтересоваться в Лейдене и Амстердаме, можно ли там достать «Диалог о двух системах мира» Галилея, поскольку я вроде бы слышал, что его напечатали в Италии в минувшем году. Мне сообщили, что его и вправду напечатали, однако весь тираж немедленно сожгли в Риме, а самого Галилея отдали под суд и заключили в тюрьму. Я пришел в такой ужас, что едва не решил сжечь все свои бумаги или по крайней мере сделать так, чтобы их никто не увидел. Ведь я не мог даже помыслить, чтобы Галилей – итальянец и, насколько я понимаю, в добрых отношениях с Папой – был обвинен в преступлении по какой бы то ни было причине, кроме того, что он попытался, а так, несомненно, и было, заявить, что Земля движется. Я знаю, что эту точку зрения уже осудили некоторые кардиналы, но, кажется, слышал, что о ней все равно публично рассуждают в Риме. Должен признать, что если это представление ложно, значит, ложны и все основные принципы моей философии (курсив мой. – М. Л.), ведь его можно легко вывести из них. И оно так тесно вплетено в каждую фразу моего трактата, что я не могу убрать его, не нанеся ущерба всей работе. Однако я ни за что на свете не хотел бы публиковать книгу, в которой даже одно-единственное слово вызвало бы неодобрение церкви, поэтому предпочел отозвать трактат из печати, лишь бы не выпускать его в изуродованном виде.

От идеи публиковать «Мир» Декарт и вправду отказался (правда, незавершенная рукопись все же увидела свет в 1664 году), однако большинство результатов включил в свои «Первоначала философии», которые вышли в 1644 году. В этом систематическом рассуждении Декарт сформулировал свои законы природы и теорию вихрей. Два из этих законов сильно напоминают знаменитые Первый и Второй законы Ньютона, но остальные, в сущности, неверны[64]. Согласно теории вихрей, Солнце находится в эпицентре смерча, возникшего в вечной вселенской материи. Планеты вращаются в этом вихре, словно листья в речном водовороте. В свою очередь, планеты формируют свои вторичные вихри, которые движут спутниками. Хотя теория вихрей Декарта – это полнейшее заблуждение (на что беспощадно указывал впоследствии Ньютон), она все равно вызвала интерес, поскольку это была первая серьезная попытка сформулировать теорию Вселенной в целом, основанную на тех же законах, что действуют на поверхности Земли. Иначе говоря, для Декарта не было разницы между явлениями земными и небесными: Земля для него была частью Вселенной, подчиняющейся единым физическим законам.

К сожалению, Декарт нарушил собственные принципы и не заложил в основу своей подробной теории ни непротиворечивой математической модели, ни наблюдательных данных. Тем не менее сценарий Декарта, по которому Солнце и планеты так или иначе возмущали однородную материю Вселенной вокруг них, содержал некоторые элементы, которые значительно позднее стали краеугольным камнем теории гравитации Эйнштейна. Согласно эйнштейновой общей теории относительности, гравитация – это не какая-то загадочная сила, которая действует на огромных пространствах космоса. Правильнее сказать, что массивные тела вроде Солнца искажают пространство вокруг себя: примерно так же батут провиснет, если положить на него увесистый шар для боулинга. А планеты просто движутся в этом искаженном пространстве по кратчайшим возможным траекториям.

Я преднамеренно исключил из этого крайне сжатого изложения идей Декарта практически все его фундаментальные философские идеи, поскольку это увело бы нас слишком далеко от природы математики (о его представлениях о Боге мы еще поговорим в этой главе). Однако я не могу устоять перед искушением процитировать здесь забавное замечание английского математика Уолтера Уильяма Роуза Болла (1850–1925), сделанное в 1908 году:

Что касается его [Декарта] философских теорий, достаточно сказать, что он разбирал те же вопросы, которые обсуждались последние две тысячи лет – и, вероятно, с тем же жаром будут обсуждаться еще две тысячи лет. Едва ли стоит упоминать, что сами эти вопросы очень важны и интересны, однако на них так и не было дано никаких ответов по существу, которые можно было бы строго доказать либо опровергнуть: удается разве что сделать то или иное объяснение более или менее вероятным, и всякий раз, когда философ вроде Декарта полагал, что он наконец-то дал окончательный ответ на какой-то вопрос, у его последователей оставалась возможность указать на логические несообразности в его аргументации. Я где-то читал, что философия всегда занималась в основном взаимоотношениями Бога, Человека и Природы. Первыми философами были древние греки, которые в основном занимались отношениями Бога и Природы, а с Человеком разбирались отдельно. Христианская церковь была так поглощена отношениями Бога и Человека, что полностью пренебрегала Природой. Наконец, современные философы озабочены главным образом отношениями Человека и Природы. Насколько точно подобное историческое обобщение представлений, превалировавших в различные эпохи, я сейчас обсуждать не хочу, однако та часть этого утверждения, которая относится к современной философии, обозначает все недостатки сочинений Декарта.

Свой трактат о геометрии Декарт завершает следующими словами: «И я надеюсь, что наши потомки будут благодарны мне не только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что мною было добровольно опущено, с целью предоставить им самим удовольствие найти это» (рис. 26). Он и представить себе не мог, что человек, которому в год его, Декарта, смерти сравнялось всего восемь лет, продвинет его представления о математике как о сердце науки далеко вперед. Этот непревзойденный гений, пожалуй, имел возможность получить «удовольствие найти это» столько раз, сколько не выпадало на долю больше никому за всю историю человечества.

Рис. 26

И стал свет

Великому английскому поэту XVIII века Александеру Поупу (1688–1744) в год смерти Ньютона исполнилось тридцать девять лет (на рис. 27 изображена могила Ньютона в Вестминстерском аббатстве)[65]. Поуп попытался подвести итог достижениям Ньютона в своей известной эпиграмме.

Был этот мир извечной тьмой окутан.

«Да будет свет!» – И вот явился Ньютон.

(Пер. С. Маршака).

Спустя почти сто лет после смерти Ньютона лорд Байрон (1788–1824) вписал в свою эпическую поэму «Дон Жуан» следующие строки.

Впервые от Адамовых времен

О яблоке разумное сужденье

С паденьем и с законом тайных сил

Ум смертного логично согласил.

(Пер. Т. Гнедич)

Рис. 27

В глазах последующих поколений ученых Ньютон и в самом деле был и остается фигурой мифологического масштаба, пусть даже и опровергавшей эти самые мифы. Знаменитые слова Ньютона «Если я и видел дальше других, то лишь потому, что стоял на плечах гигантов» зачастую приводят как образец смирения и великодушия, с которыми ученые должны судить о величайших своих открытиях. Но на самом деле Ньютон, вероятно, вложил в эту фразу завуалированный сарказм – она содержится в ответе на письмо человека, которого он считал своим заклятым научным врагом: это был плодовитый физик и биолог Роберт Гук (1635–1703)[66]. Гук не раз и не два обвинял Ньютона в том, что тот крадет у него идеи – сначала по теории света, затем по теории всемирного тяготения. Двадцатого января 1676 года Гук избрал более миролюбивый тон и в личном письме к Ньютону объявил: «И ваши рассуждения, и мои [касательно теории света], думается мне, направлены на одно и то же, то есть на открытие истины, и я полагаю, что оба мы вполне способны вытерпеть возражения». Ньютон решил сыграть в его игры. В своем ответе на письмо Гука, датированном 5 февраля 1676 года, он писал[67]: «Декарт сделал хороший шаг вперед [речь идет о декартовой теории света]. Вы сделали несколько важных дополнений, в особенности – подвергнув философскому осмыслению цвета тонких пластин. Если я и видел дальше других, то лишь потому, что стоял на плечах гигантов». Поскольку Гук был далеко не гигантом, а, наоборот, коротышкой и к тому же сильно сутулился, самая знаменитая цитата из Ньютона вполне могла означать попросту, что Гуку он решительно ничем не обязан! К тому же Ньютон никогда не упускал случая поддеть Гука, утверждал, что его теория не оставила камня на камне «от всего, что он [Гук] говорил», и отказывался публиковать собственную книгу о свете – «Оптику» – до смерти Гука. Все это свидетельствует о том, что такое толкование его высказывания имеет полное право на существование. Однако когда дело дошло до теории всемирного тяготения, вражда между учеными достигла кульминации[68]. Когда Ньютон услышал, что Гук претендует на авторство закона всемирного тяготения, его обуяла такая жажда мщения, что он педантично искоренил любые упоминания о Гуке из последней части своей книги по этому вопросу. Двадцатого июня 1668 года Ньютон так писал своему другу астроному Эдмонду Галлею (1656–1742).

Ему [Гуку] лучше было бы отказаться от этого дела, потому что он неспособен сделать его. Ведь по его словам совершенно ясно, что он не понимал, что с этим делать. Разве это не чудовищно? Математики, которые все выясняют, согласуют и вообще делают все дело, должны довольствоваться тем, что они всего лишь сухие вычислители и поденщики, а этот, который не делает ничего, только притворяется и сует свой нос куда попало, получит славу за все изобретения как своих последователей, так и всех, кто был до него.

Ньютон совершенно недвусмысленно указал, почему он считал, что у Гука нет никаких заслуг: Гук не умел формулировать свои идеи на языке математики. И в самом деле, то качество, которое, собственно, и выделяет теории Ньютона из общего ряда, та присущая им особенность, которая и превращает их в нерушимые законы природы, – это и есть тот самый факт, что все они выражены на кристально ясном, самосогласованном языке математических уравнений. А теоретические идеи Гука, напротив, при всей своей – во многих случаях – изобретательности, выглядели всего лишь как собрание подозрений, домыслов и натяжек[69].

Кстати, в феврале 2006 года были обнаружены рукописные протоколы заседаний Королевского общества с 1661 по 1682 год, которые долгое время считались утраченными. Рукописи, содержащие более 520 страниц, начертанных рукой самого Гука, были обнаружены в одном доме в Гемпшире, где, видимо, последние полвека хранились в буфете. В протоколах за декабрь 1679 года речь идет о переписке между Гуком и Ньютоном, где они обсуждали эксперимент, который подтверждал бы, что Земля вращается.

Ньютон – вернемся к его научной стратегии – опирался на концепцию Декарта, гласящую, что Вселенную можно описать математически, и превратил ее в рабочую реальность. В предисловии к своему фундаментальному труду «Математические начала натуральной философии» («Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» или просто «Principia») он провозгласил следующее[70].

…Сочинение это нами предлагается как математические основания физики. Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления. Для этой цели предназначены общие предложения, изложенные в книгах первой и второй. В третьей же книге мы даем пример вышеупомянутого приложения, объясняя систему мира, ибо здесь из небесных явлений, при помощи предложений, доказанных в предыдущих книгах, математически выводятся силы тяготения тел к Солнцу и отдельным планетам. Затем по этим силам, также при помощи математических предложений, выводятся движения планет, комет, Луны и моря (здесь и далее пер. А. Крылова).

Как только мы поймем, что Ньютон в своих «Началах» и в самом деле выполнил все обещания, которые дал в предисловии, остается только ахнуть от восхищения. Очевиден также намек на превосходство сочинения Ньютона над трудами Декарта: Ньютон решил назвать свою книгу «Математические начала» в пику «Первоначалам философии» Декарта. Того же метода математических рассуждений Ньютон придерживается и в своем трактате, в большей степени основанном на экспериментальных данных – в книге о свете «Оптика» (Newton 1730). Он открывает книгу следующим предуведомлением: «Мое намерение в этой книге – не объяснять свойства света гипотезами, но изложить и доказать их рассуждением и опытами. Для этого я предпосылаю следующие определения и аксиомы (здесь и далее пер. С. Вавилова)». И далее излагает свои мысли так, словно пишет книгу о евклидовой геометрии – дает краткие описания и утверждения. Затем, в конце книги, Ньютон еще раз подчеркивает: «Как в математике, так и в натуральной философии исследование трудных предметов методом анализа всегда должно предшествовать методу соединения».

Мастерство, с которым Ньютон владел математическим аппаратом, иначе как чудесным не назовешь. Этот гений, по странному историческому совпадению родившийся в год смерти Галилея, сформулировал фундаментальные законы механики, расшифровал законы, описывающие движение планет, заложил теоретическую основу явлений света и цвета, а также основы интегрального и дифференциального исчисления. Одних этих достижений было бы достаточно, чтобы отвести Ньютону почетное место в галерее самых выдающихся ученых. Однако на первое место на пьедестале почета волшебников – на месте, отведенном для величайшего ученого всех времен и народов – его поставили именно труды по гравитации. Эти труды заполнили пропасть между Землей и небесами, позволили свести воедино астрономию и физику и поместили всю Вселенную под один математический «зонтик». Как же появился на свет этот шедевр – «Начала»?

Я задумался о том, что тяготение простирается до самой Луны

Уильям Стьюкли (1687–1765), врач и антиквар, друг Ньютона (несмотря на почти сорокалетнюю разницу в возрасте), впоследствии стал первым биографом великого ученого. В своих «Мемуарах о жизни сэра Исаака Ньютона» («Memoirs of Sir Isaac Newton’s Life» он рассказал нам одну из самых знаменитых легенд в истории науки[71].

Пятнадцатого апреля 1726 года я навестил сэра Исаака в его квартире в доме Орбелла в Кенсингтоне, и мы с ним пообедали и провели целый день вдвоем… После обеда, поскольку погода стояла теплая, мы вышли в сад попить чаю в тени яблонь – только он и я. Помимо всего прочего, он рассказал мне, что идея всемирного тяготения пришла ему в голову точно в таких же обстоятельствах, только значительно раньше [в 1666 году, когда Ньютон приехал из Кембриджа домой из-за эпидемии]. Это было связано с падением яблока, когда Ньютон сидел в задумчивости. И он подумал: почему яблоко всегда падает перпендикулярно земле? Почему оно летит не вбок и не вверх, но всегда только к центру Земли? Несомненно, причина в том, что Земля его притягивает. Должно быть, в веществе заключена какая-то притягательная сила, причем сумма притягательной силы вещества Земли сосредоточена, как видно, в центре Земли, а не с какой-то ее стороны. Именно поэтому яблоко падает перпендикулярно, то есть к центру. Таким образом, если вещество притягивает вещество, это должно быть пропорционально его количеству. Поэтому и яблоко притягивает Землю, как и Земля – яблоко. То есть существует сила, которую мы зовем тяготением, которая распространяется через всю Вселенную… Таково было рождение этих поразительных открытий, благодаря чему он выстроил философию на прочном фундаменте, к вящему изумлению всей Европы.

Когда произошла легендарная история с яблоком – именно в 1666 году или нет, – в сущности, неважно; главное – эта легенда сильно недооценивает гениальность и уникальную глубину аналитического мышления Ньютона[72].

Хотя нет никаких сомнений, что первую свою рукопись о теории гравитации Ньютон написал до 1669 года, ему не нужно было своими глазами увидеть падение яблока, чтобы понять, что Земля притягивает тела вблизи своей поверхности. Да и формулировка закона всемирного тяготения не могла опираться исключительно на зрелище падающего яблока. Более того, многое указывает, что некоторые важнейшие понятия, без которых Ньютон не мог заявить о существовании универсальной силы тяготения, сложились лишь к 1684–85 годам. Идеи такого масштаба в анналах науки столь редки, что даже человек феноменального интеллекта – такой как Ньютон – мог прийти к ней лишь посредством длинной цепочки интеллектуальных шагов.

Все началось, вероятно, еще в юности Ньютона, при крайне неудачном знакомстве с «Началами» Евклида, объемистым трактатом по геометрии[73]. По признанию самого Ньютона, сначала он «читал только формулировки теорем», поскольку, по его мнению, они были до того очевидны, что он «не понимал, кому может быть интересно писать для них доказательства». Первой теоремой в трактате, которая заставила его задуматься и написать несколько строчек рассуждений, была теорема о том, что «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен квадратам двух других сторон» – теорема Пифагора. Как ни странно, хотя Ньютон во время обучения в Колледже Св. Троицы в Кембридже читал книги по математике, многие работы, доступные в его время, прошли мимо него. Очевидно, они ему были просто не нужны!

Пожалуй, самое сильное влияние на направление математической и научной мысли Ньютона оказала именно «Геометрия» Декарта. Ньютон прочитал ее в 1664 году и перечитывал несколько раз, пока «постепенно не овладел всем ее содержанием». Идея функций и их свободных переменных обеспечивала гибкость, которая и открыла перед Ньютоном поистине безграничные возможности. Аналитическая геометрия не только проложила Ньютону путь к дифференциальному и интегральному исчислению, а тем самым и к изучению свойств функций, их графиков и касательных к ним – она воспламенила у Ньютона исследовательский дух. Позади остались занудные построения при помощи циркуля и линейки – на смену им пришли произвольные кривые, выраженные алгебраически. Затем, в 1665–66 годах, на Лондон обрушилась страшная эпидемия чумы. Когда количество жертв за неделю достигло нескольких тысяч человек, колледжи Кембриджа пришлось закрыть. Ньютон был вынужден оставить занятия и вернуться домой в далекую деревушку Вулсторп. Там, в сельской тиши, Ньютон предпринял первую попытку доказать, что сила, которая удерживает Луну на орбите вокруг Земли, и тяготение Земли – та самая сила, из-за которой падают яблоки, – на самом деле одно и то же. Ньютон описал свои первые подступы к закону всемирного тяготения в заметке, написанной около 1714 года[74].

И вот в том же [1666] году я задумался о силе тяготения, которая простирается до самой орбиты Луны, и, обнаружив, как рассчитать силу, с которой шар, вращающийся внутри сферы, давит на поверхность сферы, по закону Кеплера, согласно которому квадраты периодов вращения планет относятся как кубы их расстояний от центров орбит, я вывел, что силы, удерживающие планеты на орбитах, должны быть обратно пропорциональны квадратам их расстояний от центров, вокруг которых они вращаются, и таким образом сравнил силу, требуемую для удержания Луны на орбите, с силой тяготения на поверхности Земли, и ответы оказались почти одинаковыми. А было это в два чумные года, 1665 и 1666, ведь именно тогда я был в том возрасте, который более всего способствует изобретательности, и математика и философия увлекали меня особенно сильно.

Рис. 28

Здесь Ньютон ссылается на свой важный вывод (из законов движения планет Кеплера), что гравитационное притяжение двух сферических тел меняется обратно пропорционально расстоянию между ними. Иначе говоря, если бы расстояние между Землей и Луной утроилось, сила тяготения, которая действовала бы на Луну, оказалась бы в девять раз (три в квадрате) меньше.

По не вполне понятным причинам Ньютон, в сущности, отложил сколько-нибудь серьезные исследования гравитации до 1679 года[75]. Затем он получил два письма от своего злейшего врага Роберта Гука, которые оживили в нем затухший было интерес к динамике в целом и к движению планет в частности. А пробудившееся любопытство привело к колоссальным результатам: опираясь на свои недавно сформулированные законы механики, Ньютон доказал второй закон движения планет Кеплера. Точнее, он показал, что при движении планеты по эллиптической орбите вокруг Солнца линия, соединяющая планету с Солнцем, заметает за равные промежутки времени равные площади (рис. 28). Кроме того, Ньютон доказал, что «для тела, вращающегося по эллипсу… притяжение, направленное к фокусу эллипса… обратно пропорционально квадрату расстояния». Все это были важные вехи на пути к «Началам».

«Начала»

Весной или летом 1684 года Ньютона в Кембридже навестил Галлей. Он уже некоторое время обсуждал законы движения планет Кеплера с Гуком и со знаменитым архитектором Кристофером Реном (1632–1723). Во время этих бесед за чашкой кофе в кофейне и Гук, и Рен заявили, что уже несколько лет назад независимо вывели закон всемирного тяготения, обратно пропорционального квадрату расстояния, однако ни тот ни другой так и не смог представить полное математическое доказательство. Галлей решил задать Ньютону наболевший вопрос: знает ли он, какой была бы орбита планеты, подвергавшейся воздействию силы, которая меняется обратно пропорционально квадрату расстояния? К его изумлению, Ньютон ответил, что уже несколько лет назад доказал, что орбита эта – эллипс. Эта история рассказана в заметке математика Абрахама де Муавра (1667–1754), страничка которой приведена на рис. 29[76].

Рис. 29

В 1684 году доктор Галлей приехал навестить его [Ньютона] в Кембридже, и когда они провели вместе некоторое время, доктор спросил его, какова, по его мнению, та кривая, которую описывали бы планеты, если предположить, что сила притяжения к Солнцу обратно пропорциональна квадрату расстояния до него. Сэр Исаак тут же ответил, что это будет эллипс, и доктор, вне себя от радости и изумления, спросил, откуда он это знает; что же, говорит Ньютон, я это вычислил; на это доктор Галлей попросил его, не откладывая, показать ему выкладки, и сэр Исаак поискал в своих бумагах, не нашел их, однако пообещал заново записать и послать доктору.

Галлей еще раз приехал к Ньютону в ноябре 1684 года. Между этими визитами Ньютон лихорадочно трудился. Де Муавр кратко описывает этот период.

Дабы исполнить свое обещание, сэр Исаак уселся за работу, однако никак не мог прийти к тому же выводу, который, как он полагал, ему удалось ранее получить со всей строгостью, однако он попробовал пойти другим путем, который, хотя и оказался длиннее прежнего, привел его еще раз к тому же выводу, а затем тщательно исследовал, по каким же причинам те вычисления, которые он проделал до этого, оказались неверными, и… добился, чтобы оба доказательства привели к одному и тому же результату.

Этот суховатый отчет не дает даже самого отдаленного представления о том, чего на самом деле достиг Ньютон за несколько месяцев между двумя визитами Галлея. Он написал целый трактат «De Motu Corporum in Gyrum» («О движении тел по орбитам»), где доказал почти все законы о движении тел по круглым и эллиптическим орбитам и все законы Кеплера и даже решил задачу о движении частицы в сопротивляющейся среде (например, в воздухе). Галлей был потрясен. К вящей своей радости, он в конце концов уговорил Ньютона опубликовать все эти поразительные открытия, и тогда наконец и сложились все условия для написания «Начал».

Поначалу Ньютон полагал, что эта книга будет всего лишь углубленной и расширенной редакцией трактата «О движении». Однако, приступив к работе, он обнаружил, что некоторые темы нуждаются в дальнейшем обдумывании. Особенно его беспокоили два вопроса. Один состоял в следующем. Ньютон первоначально сформулировал закон всемирного тяготения так, словно и Солнце, и Земля, и остальные планеты были математическими материальными точками, не имеющими измерений. Разумеется, он понимал, что на самом деле это не так, поэтому считал, что применительно к Солнечной системе его результаты лишь приблизительны. Некоторые исследователи даже полагают, что он в очередной раз отложил работу над законом всемирного тяготения после 1679 года именно потому, что такое положение дел его не устраивало[77]. Что же касается силы, действующей на яблоко, тут все было еще хуже. Ведь очевидно, что те части Земли, которые находятся прямо под яблоком, гораздо ближе к нему, чем те части, которые находятся по ту сторону земного шара. Как же вычислить результирующую силу притяжения? Астроном Герберт Холл Тернер (1861–1930) описывал мысленные терзания Ньютона в статье, напечатанной в лондонской «Times» 19 марта 1927 года.

В то время ему уже приходило в голову общее представление о том, что тяготение меняется обратно пропорционально расстоянию, однако он видел существенные препятствия обобщению этого закона, о которых умы меньшего масштаба и не подозревали. Главное из них ему удалось преодолеть лишь в 1685 году… Дело в том, что нужно было увязать силу притяжения Земли, действующую на тело, расположенное далеко, скажем, на расстоянии Луны, с силой притяжения, которая действует на яблоко вблизи земной поверхности. В первом случае различные частицы, составляющие Землю (чтобы сделать свой закон универсальным, Ньютон хотел распространить его на каждую из них в отдельности), находятся от Луны на примерно одинаковом расстоянии – и с точки зрения величины, и с точки зрения направления, – однако их расстояния до яблока и в том и в другом отношении сильно разнятся. Как же сложить или свести в единую результирующую силу все отдельные силы притяжения в последнем случае? И в каком таком «центре гравитации» они могут быть сосредоточены – да и существует ли он?

Окончательный прорыв произошел весной 1685 года. Ньютон сумел доказать необходимую теорему: для двух сферических тел «сила, с которой одна сфера притягивает другую, обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами». То есть сферические тела с гравитационной точки зрения ведут себя так, словно это точечные массы, сосредоточенные в их центрах. Значение этой теоремы и ее красивого доказательства подчеркивал математик Джеймс Уитбред Ли Глейшер (1848–1928). В обращении к участникам празднования двухсотлетия «Начал» Ньютона (в 1887 году) Глейшер сказал такие слова (Glaisher 1888).

Лишь когда Ньютон доказал эту великолепную теорему – а мы с его собственных слов знаем, что он никак не ожидал столь красивого результата, пока не получил его после математических выкладок – перед ним открылась вся механика Вселенной… Насколько же иначе стали видеться Ньютону его построения, когда он обнаружил, что его результаты для Солнечной системы, которые он предполагал лишь приблизительно верными, оказались на самом деле абсолютно точными! Можно представить себе, как этот внезапный переход от приблизительности к точности вдохновил Ньютона на еще более усердный интеллектуальный труд. Теперь в его власти было с абсолютной точностью применять математический анализ к решению актуальных астрономических задач.

Другой вопрос, который, очевидно, не давал Ньютону покоя еще тогда, когда он писал первые черновики трактата «О движении», – то обстоятельство, что он пренебрегал силой, с которой планеты притягивают Солнце. Иначе говоря, в первоначальной формулировке Ньютон свел Солнце просто к неподвижному центру сил такого рода, какой, по словам Ньютона, «едва ли существует» в реальном мире. Эта конструкция противоречила третьему закону самого же Ньютона, согласно которому «сила действия равна силе противодействия». Каждая планета притягивает Солнце с точно такой силой, с какой Солнце притягивает планету. Поэтому Ньютон добавил: «Если имеются два тела [например, Земля и Солнце], ни притягиваемое, ни притягивающее тело не могут быть в состоянии покоя». Эта незначительная на первый взгляд поправка на самом деле стала важным недостающим звеном в цепи рассуждений, которые привели к формулировке закона всемирного тяготения. Мы можем попробовать проследить логику Ньютона. Если Солнце притягивает Землю, то Земля должна тоже притягивать Солнце с той же силой. То есть Земля не просто вращается вокруг Солнца – скорее они оба вращаются вокруг общего центра тяжести. Но это еще не все. Все другие планеты также притягивают Солнце, и каждая планета, само собой, ощущает не только притяжение Солнца, но и притяжение всех других планет. Такую же логику можно применить к Юпитеру с его спутниками, к Земле и Луне и даже к яблоку и Земле. Вывод гениально прост: существует одна и только одна гравитационная сила, и действует она между двумя любыми массами в любой точке Вселенной. Именно это и было нужно Ньютону. «Начала» – 510 страниц убористого латинского текста – вышли в свет в июле 1687 года.

Ньютон провел наблюдения и опыты с погрешностью всего в четыре процента и из них вывел математическую формулу тяготения, которая оказалась точной с погрешностью в одну миллионную и даже меньше. Он впервые объединил объяснения природных явлений с мощным инструментом предсказания результатов наблюдений. Физика и математика оказались связаны навек – а развод науки и философии стал неизбежен.

В 1713 году вышло второе издание «Начал», которое основательно переработали и сам Ньютон, и в особенности математик Роджер Котс (1682–1716). На рис. 30 приведен его фронтиспис. Ньютон, который никогда не отличался добротой и приветливостью, даже не поблагодарил Котса за отличную работу в предисловии к книге. И все же, когда Котс в тридцать три года скончался от лихорадки, Ньютон выразил некоторую признательность: «Если бы он прожил дольше, мы бы наверняка что-нибудь узнали».

Любопытно, что некоторые самые примечательные соображения Ньютона о Боге появились лишь в его размышлениях о «Началах» уже после подготовки второго издания. В письме к Котсу 28 марта 1713 года, менее чем за три месяца до завершения работы над вторым изданием «Начал», Ньютон пишет: «Рассуждения о Боге на основании [природных] явлений относятся, несомненно, к области натурфилософии». Более того, Ньютон изложил свои идеи о Творце, который «вечен и бесконечен, всемогущ и всеведущ» в «Общем поучении», которое присовокупил к «Началам» в качестве завершающего штриха.

Рис. 30

Однако осталась ли прежней роль Бога во Вселенной, которая становилась все более и более математической? Или Бог тоже все больше и больше становился математиком? Ведь до формулировки закона всемирного тяготения регулировка движения планет считалась безусловной прерогативой Господа. Как же Ньютон и Декарт видели такой сдвиг в сторону научного объяснения природных явлений?

Бог-математик Ньютона и Декарта

И Ньютон, и Декарт, как и подавляющее большинство их современников, были людьми религиозными. Французский философ-энциклопедист Франсуа-Мари Аруэ (1694–1778), более известный под псевдонимом Вольтер, который довольно часто и много писал о Ньютоне, сказал, как известно, что «Если бы Бога не было, Его пришлось бы выдумать».

Для Ньютона доказательством существования Бога было само существование мира и математическая правильность наблюдаемой Вселенной[78]. Первым к подобного рода причинному рассуждению прибег теолог Фома Аквинский (ок. 1225–1274), и оно подпадает под общефилософские категории космологического аргумента и телеологического аргумента. Коротко говоря, космологический аргумент – это утверждение, что поскольку физический мир так или иначе возник, должна быть какая-то Первопричина, то есть Бог-Творец. Телеологический аргумент, он же «аргумент от устройства мира», – это попытка вывести существование Бога из разумности системы мироздания. Вот как Ньютон изложил в «Началах» свои соображения по этому поводу: «Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного и премудрого существа. Если и неподвижные звезды представляют центры подобных же систем, то все они, будучи построены по одинаковому намерению, подчинены и власти единого». Весомость космологического, телеологического и других аргументов в качестве доказательства существования Бога много сотен лет служила предметом философских споров[79]. Лично у меня сложилось впечатление, что теисты не нуждаются в подобных аргументах, так как уже убеждены в своей правоте, а на атеистов они все равно не действуют.

Ньютон на основании универсальности своих законов добавил еще одну поправку. С его точки зрения, то, что все мироздание управляется одними и теми же законами и при этом стабильно, служило очередным доказательством Божественного руководства, особенно если учесть, что «свет неподвижных звезд – той же природы (курсив мой. – М. Л.), как и свет Солнца, и все системы испускают свет друг на друга, а чтобы системы неподвижных звезд от своего тяготения не падали друг на друга, он их расположил в таких огромных одна от другой расстояниях».

В своей книге «Оптика» Ньютон ясно и недвусмысленно заявил, что не считает, будто существование Вселенной можно объяснить только законами природы как таковыми, поскольку Бог есть создатель и хранитель всех атомов, составляющих вещество Вселенной: «Ибо тот, кто создал их [атомы], расположил их в порядке. И если он сделал так, то не должно философии искать другое происхождение мира или полагать, что мир мог возникнуть из хаоса только по законам природы». Иначе говоря, для Ньютона Бог, помимо всего прочего, был математиком – и вовсе не в переносном смысле, но практически буквально: Бог-Творец создал физический мир, который подчиняется математическим законам.

Декарт был настроен более философски, чем Ньютон, поэтому вопрос о доказательстве существования Бога очень его занимал. Для него путь от уверенности в собственном существовании («Я мыслю, следовательно, я существую») к способности выстроить непротиворечивую систему объективной науки должен был пройти через этап неопровержимого доказательства существования совершенного высшего существа – Бога. Этот Бог, как считал Декарт, и есть в конечном итоге первоисточник всей истины и единственная гарантия верности человеческих умозаключений. Это рассуждение, подозрительное тем, что замкнуто само на себя (его даже называют «картезианским порочным кругом»), критиковали уже современники Декарта, в особенности французский философ, теолог и математик Антуан Арно (1612–1694). Арно задал вопрос, сокрушительный в своей простоте: если нам нужно доказывать существование Бога, чтобы гарантировать верность человеческого мыслительного процесса, как нам верить этому доказательству, которое само по себе есть плод человеческого разума? Несколько отчаянных попыток вырваться из этого порочного круга сделал Декарт, но многие философы, его последователи, не считали, что его старания привели к успеху. Таким же сомнительным было и «дополнительное доказательство» существования Бога. Оно подпадает под общефилософскую категорию онтологического аргумента. Философ и богослов Св. Ансельм Кентерберийский (1033–1109) первым предложил подобного рода логическое рассуждение в 1078 году, и с тех пор оно то и дело всплывало в разных обличьях. Ход рассуждений примерно таков. Бог по определению настолько совершенен, что это величайшее мыслимое существо. Однако если Бога нет, тогда можно помыслить и об еще более великом существе – о таком, которое мало того что наделено всеми совершенствами Бога, но еще и существует. Это противоречит определению Бога как величайшего мыслимого существа, а следовательно, Бог существует. По словам Декарта, «отделять существование Бога от его сущности столь же немыслимо, как отделять от сущности треугольника свойство равенства трех его углов двум прямым углам».

Подобные логические маневры особенно никого не убеждали, и многие философы утверждали, что для того, чтобы доказать существование чего-то, что находится в стороне от физического мира, а особенно чего-то столь огромного, как Бог, одной логики недостаточно (см. Dennett 2006, Dawkins 2006, Paulos 2008).

Как ни странно, Декарта обвинили в тайном атеизме, и в 1667 году его труды попали в составленный католической церковью Список запрещенных книг. В свете того, что Декарт напирал на идею Бога как единственной гарантии истины, это обвинение было более чем нелепо.

Оставим в стороне чисто философские вопросы и обратимся к самому интересному в свете темы нашей книги представлению Декарта – о том, что Бог создал все «вечные истины». В частности, Декарт заявлял, что «математические истины, которые вы называете вечными, заложены Богом и полностью зависят от Него – не меньше, чем остальные Его создания». Итак, картезианский Бог был более чем математиком – в том смысле, что он создал и математику, и физический мир, полностью основанный на математике. Согласно этой точке зрения, которая превалировала в конце XVII века, люди, очевидно, всего лишь открыли математику, но не изобрели ее.

А главное – труды Галилея, Декарта и Ньютона глубочайшим образом изменили отношения между математикой и физикой. Во-первых, стремительное развитие физики стало мощнейшим стимулом для математических исследований. Во-вторых, законы Ньютона сделали даже самые отвлеченные отрасли математики – в частности, математический анализ, – сутью физических объяснений. И, наконец, самое важное – грань между физикой и математикой стерлась до полного исчезновения, и математические открытия и огромные области физических исследований практически слились воедино. Все эти достижения вызвали у математиков прилив энтузиазма, какого, возможно, они не знали еще со времен древних греков. Математики поняли, что именно им предстоит покорить весь мир, а это подарило им безграничные возможности для открытий.

Мир не стоит на месте. Все, что нас окружает, либо движется, либо постоянно меняется. Даже твердая Земля под ногами на самом деле вертится вокруг своей оси, вращается вокруг Солнца и – вместе с Солнцем – движется вокруг центра нашей галактики Млечный Путь. Воздух, которым мы дышим, состоит из триллионов молекул, которые движутся – хаотически, без остановки. А одновременно кругом растут растения, распадаются радиоактивные материалы, температура атмосферы растет и падает в зависимости от времени суток и времени года, а ожидаемая продолжительность жизни просто возрастает. Однако эта космическая неугомонность сама по себе не отменяет математику. Ньютон и Лейбниц разработали отрасль математики под названием математический анализ[80] именно затем, чтобы можно было строго анализировать и строить точные модели и движения, и перемен. К настоящему времени этот невероятный научный инструмент достиг такой мощности и универсальности, что его можно применять для решения самых разных задач – от движения космического челнока до распространения инфекционной болезни. Подобно тому как кино передает движение, разбивая его на последовательность неподвижных кадров, математический анализ измеряет перемены с таким маленьким шагом, что это позволяет определять количества, существующие лишь мимолетно, например мгновенную скорость, ускорение или темп изменения.

Математики так называемой эпохи Рационализма (конец XVII–XVIII вв.), следуя по стопам титанов Ньютона и Лейбница, расширили и дополнили математический анализ и разработали еще более мощную отрасль дифференциальных уравнений, которая находит еще более широкое практическое применение. Это новое орудие позволило ученым строить подробные математические теории самых разных явлений – от музыки, порожденной струнами скрипки, до передачи тепла, от движения волчка до течения жидкостей и газов. Некоторое время именно дифференциальные уравнения были излюбленным инструментом прогресса в физике.

Одними из первопроходцев в исследовании новых горизонтов, которые открывали дифференциальные уравнения, были члены знаменитой семьи Бернулли[81].

Между серединой XVII и серединой XVIII веков эта семья подарила миру целых восемь выдающихся математиков. Не меньше, чем математическими достижениями, эти одаренные личности прославились и внутрисемейными распрями (описанными в Hellman 2006). Скандалы между разными Бернулли всегда были связаны с соперничеством за первенство в математике, но при этом задачи, о которых они спорили, казалось бы, не играют в наши дни такой уж важной роли. Однако решение этих хитрых головоломок зачастую прокладывало дорогу гораздо более серьезным математическим открытиям.

В целом нет никаких сомнений, что семейство Бернулли играло важную роль в становлении математики как языка самых разнообразных физических процессов.

Примером того, как сложно было устроено мышление двух самых блистательных Бернулли – братьев Якоба (1654–1705) и Иоганна (1667–1748) – может служить следующая история. Якоб Бернулли был одним из основателей теории вероятностей, и мы еще вернемся к нему в этой главе. Однако к 1690 году Якоб с головой погрузился в изучение задачи, которую за двести лет до него сформулировал и исследовал еще величайший деятель эпохи Возрождения Леонардо да Винчи: какую форму примет гибкая, но нерастяжимая цепочка, закрепленная за концы (как на рис. 31)? Леонардо в своих записных книжках несколько раз рисовал такие цепочки. Считается, что эту задачу задавал и Декарту его друг Исаак Бекман, однако не осталось никаких свидетельств, что Декарт пытался ее решить. Впоследствии эта задача получила название «задача о цепной линии»[82]. Галилей считал, что это должна быть парабола, однако французский иезуит Игнас-Гастон Пардис (1636–1673) доказал, что это не так. Правда, сам Пардис тоже не сумел математически вывести правильную форму цепочки.