Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса Ливио Марио

В главе 1 я отмечал, что успех математики в создании физических теорий имеет две стороны – одну я назвал «активной», другую «пассивной». Активная сторона отражает то, что ученые формулируют законы природы в сугубо прикладных математических терминах. То есть они используют математические понятия, соотношения и равенства, иногда – разработанные с прицелом на дальнейшее практическое применение, а иногда – придуманные непосредственно ради конкретной задачи. В таких случаях исследователи обычно полагаются на то, что им представляется, что между свойствами математических понятий и наблюдаемыми феноменами или результатами экспериментов есть определенное сходство. В таких случаях эффективность математики не вызывает особого изумления, поскольку вполне можно сказать, что теории нарочно подогнаны под наблюдения. Однако у активной стороны есть одно удивительное качество – это точность, о которой я еще расскажу в этой главе. «Пассивная» эффективность относится к тем случаям, когда разрабатываются совершенно абстрактные математические теории, безо всякого намерения найти им прикладное применение, однако впоследствии эти теории вдруг превращаются в физические модели с мощными прогностическими способностями.

Ярким примером сочетания активной и пассивной эффективности математики служит теория узлов.

Узлы

Об узлах даже слагают легенды. Наверняка вы помните древнегреческую легенду о Гордиевом узле. Оракул предсказал жителям Фригии, что их следующим царем будет первый, кто въедет в столицу на повозке, запряженной быками. Так царем стал Гордий – землепашец, который, ни о чем не подозревая, въехал в город именно в тот день. Преисполнившись благодарности, Гордий посвятил богам свою повозку и привязал ее к шесту сложнейшим узлом, который никому не удавалось развязать. Затем было получено пророчество, что тот, кто развяжет узел, станет властелином всей Азии. Судьба распорядилась так, что развязал узел (дело было в 333 году до н. э.) не кто иной, как Александр Македонский, и он и в самом деле впоследствии захватил всю Азию. Однако его решение мы не назвали бы ни изящным, ни даже честным: рассказывают, что он просто разрубил узел мечом!

Однако, чтобы познакомиться с узлами, нам не нужно углубляться в историю Древней Греции. Ребенок, завязывающий шнурки, девушка, заплетающая косу, бабушка, вяжущая свитер, моряк, швартующий судно, – все они прибегают к помощи тех или иных узлов. Узлам дают всякие неожиданные названия – «рыбацкий штык», «кошачья лапа», «мартышкина цепочка», «канадская восьмерка», «тещин узел» и «эшафотный узел»[144]. А в истории морские узлы сыграли такую важную роль, что в XVII веке в Англии им посвятили огромное множество книг. Одну из них, кстати, написал тот самый английский моряк и искатель приключений Джон Смит (1580–1631), который прославился романтическими отношениями с индейской принцессой Покахонтас.

Математическая теория узлов родилась в 1771 году, когда была опубликована статья французского математика Александра Теофила Вандермонда (1735–1796)[145]. Вандермонд первым понял, что узлы можно изучать в рамках геометрии расположения, иначе называемой топологией, которая изучает исключительно соотношения, зависящие от взаимного расположения, не обращая внимания на размеры и вычисления. Следующим математиком, внесшим вклад в формирование теории узлов, был «Князь математики» немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс. В заметках Гаусса содержатся рисунки и детальные описания узлов, а также аналитические исследования их качеств. Однако при всей значимости работ Вандермонда, Гаусса и нескольких других ученых XIX века главный толчок в развитии современной математической теории узлов был сделан с неожиданной стороны – при попытке объяснить структуру вещества. Эта идея зародилась в голове прославленного английского физика Уильяма Томсона, который в наши дни известен как лорд Кельвин (1824–1907). Томсон сосредоточил свои усилия на формулировке теории атомов, основного строительного материала вещества[146]. Он предложил весьма оригинальную гипотезу: атомы – это узлы, завязанные из трубочек эфира, загадочной субстанции, которая, как тогда полагали, пронизывает все пространство. Согласно этой модели, разнообразие химических элементов как раз и объясняется богатейшим разнообразием узлов.

Рис. 54

Если умозаключения Томсона в наши дни и кажутся чистым чудачеством, то лишь потому, что у нас было целое столетие, чтобы принять и экспериментально проверить верную модель атома, в которой электроны вращаются по орбитам вокруг ядер. Однако дело было в Англии в 60-е годы XIX века, и Томсон очень заинтересовался стабильностью сложных колец дыма и их способностью вибрировать – в то время считалось, что эти два качества необходимо учитывать в моделях атомов. Чтобы разработать эквивалент таблицы Менделеева из узлов, Томсон должен был классифицировать узлы, разобраться, какие возможны их виды, и именно необходимость создания такой таблицы и пробудила серьезный интерес к математике узлов.

Как я уже объяснил в главе 1, математический узел выглядит совсем как знакомый каждому узел на шнуре, только концы шнура намертво сращены. Иначе говоря, математический узел изображается замкнутой кривой без свободных концов. Несколько примеров приведено на рис. 54, где трехмерные узлы изображены в виде проекций (теней) на плоскости. Чтобы обозначить положение любых двух участков шнура в пространстве, при пересечении двух участков шнура нижний участок изображается прерванной линией.

Самый простой узел, так называемый тривиальный, или незаузленный узел, – это просто замкнутая кривая без узлов (рис 54, а). Трилистник (рис. 54, b) имеет три пересечения, а восьмерка (рис. 54, с) – четыре. По теории Томсона эти три узла могли, в принципе, служить моделями трех атомов возрастающей сложности – например, атомов водорода, углерода и кислорода соответственно. К тому времени назрела насущнейшая необходимость в создании полной классификации узлов, и за нее взялся друг Томсона, шотландский физик и математик Питер Гатри Тэт (1831–1901).

Когда математики изучают узлы, то задаются примерно теми же вопросами, что и простые смертные, когда смотрят на обычную завязанную веревку или запутанный моток шерсти. Это и правда узел? Эквивалентны ли эти узлы друг другу? Последний вопрос можно переформулировать понятнее: можно ли преобразовать один узел в другой, не разрывая шнуры и не проталкивая один участок шнура сквозь другой, словно сцепленные кольца в руках фокусника? То, насколько это важный вопрос, видно на рис. 55, где показано, как при помощи определенных манипуляций можно получить два совсем разных облика одного узла. В конечном итоге теория узлов ищет способы строго доказать, что те или иные узлы, например трилистник или восьмерка (рис. 54, b и 54, c), и в самом деле разные, игнорируя чисто внешние различия других узлов, например тех двух, которые изображены на рис. 55.

Рис. 55

Свою работу над классификацией Тэт начал отнюдь не с поиска легких путей[147]. Поскольку Тэт не располагал никакими строгими математическими принципами и руководствоваться было нечем, он составлял списки кривых с одним пересечением, двумя пересечениями, тремя и так далее. В сотрудничестве с достопочтенным Томасом Пенингтоном Киркманом (1806–1895), также математиком-любителем, он начал разбирать кривые, чтобы исключить повторы эквивалентных узлов. Задача была отнюдь не тривиальная. Надо понимать, что у каждого пересечения есть два варианта того, какой из участков шнура лежит сверху. Это означает, что если кривая содержит, скажем, семь пересечений, нужно рассмотреть 2 2 2 2 2 2 2 = 128 узлов. То есть человеческой жизни заведомо не хватит, чтобы подобным интуитивно очевидным образом расклассифицировать узлы более чем с десятью пересечениями. Тем не менее труды Тейлора не остались незамеченными. Великий Джеймс Клерк Максвелл, сформулировавший классическую теорию электричества и магнетизма, отнесся к теории атома Томсона с большим почтением и сказал, что она «удовлетворяет большему числу требований, чем все остальные модели атома, представленные по сей день». Он прекрасно знал, какой вклад сделал в это начинание Тэт, и даже сочинил по этому поводу эпиграмму (Knott 1911).

(Расправь свою перепутаницу в идеальное плетение, зафиксировав взаимопроникающие петли и связи.)

К 1877 году Тэт расклассифицировал альтернирующие узлы вплоть до семи пересечений. Альтернирующие узлы – это такие, где пересечения идут по очереди то сверху, то снизу, как нить в полотне. Тэт сделал и более прагматичное открытие – он сформулировал основные принципы, которые впоследствии получили название гипотез Тэта. Кстати, эти гипотезы оказались столь фундаментальными, что до конца 80-х годов XX века противостояли любым попыткам строго их доказать. В 1885 году Тэт опубликовал таблицы узлов вплоть до десяти пересечений и решил на этом остановиться. Независимо от него профессор из Университета штата Небраска Чарльз Ньютон Литтл (1858–1923) также опубликовал в 1899 году таблицы неальтернирующих узлов до десяти пересечений включительно (Little 1899).

Лорд Кельвин всегда относился к Тэту с теплотой и благодарностью. На церемонии в Питерхаус-колледже в Кембридже, где выставляли портрет Тэта, лорд Кельвин сказал так.

Помнится, Тэт как-то заметил, что наука – единственное, ради чего стоит жить. Сказано было искренне, но сам Тэт доказал, что это не так. Он был великий чтец. Он мог наизусть читать Шекспира, Диккенса, Теккерея. Память у него была чудесная. Все, что он хотя бы раз прочитал с симпатией, он запоминал навсегда.

Увы, к тому времени, как Тэт и Литтл завершили свой подвижнический труд над таблицами узлов, гипотетическая модель атома, предложенная Томсоном, уже оказалась окончательно списана со счетов. Однако интерес к узлам не угасал – с той лишь разницей, как выразился математик Майкл Атья, что «изучение узлов стало эзотерической областью чистой математики».

Область математики, где качества вроде размера, гладкости и – в некотором смысле – даже формы не играют никакой роли, называется топологией. Топология, геометрия резинового листа, изучает те качества, которые остаются неизменными при любом растяжении и деформировании пространства (нельзя только протыкать дыры и отрывать куски)[148]. Узлы по своей природе принадлежат именно к топологии. Кстати, математики различают узлы – отдельные петли с узлами – линки – наборы петель с узлами, перепутанные между собой, – и косы – наборы вертикальных струн, привязанных к горизонтальной планке сверху и снизу.

Если сложность классификации узлов не произвела на вас должного впечатления, задумайтесь вот о каком весьма красноречивом факте. Таблица Чарльза Литтла, опубликованная после шести лет работы в 1899 году, содержала сорок три неальтернирующих узла с десятью пересечениями. Эту таблицу семьдесят пять лет изучали самые разные математики – и все считали, что она совершенно верна. А потом, в 1974 году, юрист и математик из Нью-Йорка Кеннет Перко экспериментировал с веревками на полу собственной гостиной (Perko 1974). И, к своему изумлению, обнаружил, что два узла из таблицы Литтла – на самом деле один и тот же. Теперь мы считаем, что разных неальтернирующих узлов с десятью пересечениями всего сорок два.

В ХХ веке топология достигла блестящих успехов, однако в области теории узлов прогресс шел относительно медленно. В числе главных целей математиков, изучавших узлы, было выявить качества, которые на самом деле отличают узлы друг от друга. Такие качества называются инвариантами узлов – и это величины, которые для любых двух разных проекций одного и того же узла имеют в точности одно и то же значение. Иначе говоря, идеальный инвариант – это буквально «отпечаток пальца» узла, характерное качество узла, которое не меняется ни при каких деформациях. Пожалуй, самый простой инвариант, который сразу приходит в голову, – это минимальное число пересечений при изображении узла. Например, сколько ни пытайся развязать узел-трилистник (рис. 54, b), число пересечений никогда не станет меньше трех. К сожалению, минимальное число пересечений не может служить самым удобным инвариантом по целому ряду причин. Во-первых, как показывает рис. 55, не всегда просто определить, изображен ли узел с минимальным числом пересечений. Во-вторых, и это главное, у двух разных узлов может оказаться одинаковое минимальное число пересечений. Например, на рис. 54 есть целых три разных узла с шестью пересечениями и не менее семи разных узлов с семью пересечениями. Таким образом, минимальное количество пересечений не отличает большинство узлов друг от друга. Наконец, минимальное количество пересечений именно в силу своей чрезвычайной простоты не дает представления о свойствах узлов в целом.

Прорыв в теории узлов произошел в 1928 году, когда американский математик Джеймс Уэдделл Александер (1888–1971) открыл важный инвариант, который стали называть многочленом Александера (Alexander 1928). Вообще говоря, многочлен Александера – это алгебраическое выражение, в котором для маркировки узла используется взаимное расположение пересечений. Если у двух узлов разные многочлены Александера, то узлы тоже совершенно точно разные, и это прекрасно. Плохо другое – два узла с одинаковыми многочленами Александера все равно могут оказаться разными узлами. То есть многочлен Александера – инструмент необычайно полезный, но для различения узлов все же несовершенный.

Последующие сорок лет математики провели в исследованиях системы понятий для многочлена Александера и тщательном изучении свойств узлов. Почему же они так углубились в эту область? Очевидно, не ради какой-то практической пользы. Модель атома Томсона была уже давно позабыта, а другой задачи, которая требовала бы решения на основе теории узлов, в поле зрения не наблюдалось – ни в естественных науках, ни в экономике, ни в архитектуре, ни в других дисциплинах. Математики тратили бесконечные часы на изучение узлов из чистого любопытства! Для них идея узлов и принципы, которые ими управляют, обладали изысканной красотой. Внезапное озарение, полученное благодаря многочлену Александера, было для математиков таким же непреодолимым искушением, как и задача покорить гору Эверест для Джорджа Мэллори, который, как известно, на вопрос, почему ему так хочется взобраться на эту гору, ответил: «Да потому что она есть!».

В конце 1960-х годов плодовитый англо-американский математик Джон Хортон Конвэй описал процедур постепенного «развязывания» узлов и тем самым вскрыл глубинные отношения между узлами и их многочленами Александера (Conway 1970). В частности, Конвей предложил две простые «хирургические» операции, которые могли послужить основой для определения инварианта узла. Операции Конвея, получившие названия флип и сглаживание, схематически изображены на рис. 56. При флипе (рис. 56, а) для трансформации пересечения верхний участок струны пропускают под нижним (на рисунке также видно, как проделать эту трансформацию с настоящим узлом на веревке). Обратите внимание, что флип, очевидно, меняет самую природу узла. Например, легко убедиться, что узел-трилистник с рис. 54, b в результате флипа станет незаузленным узлом (рис. 54, а). Операция сглаживания по Конвею вовсе убирает пересечение (рис. 56, b) – для этого нужно «разрезать» струну и «склеить» не те концы.

Рис. 56

Благодаря трудам Конвея математики стали по-новому понимать устройство узлов, но все же еще лет двадцать были уверены, что других инвариантов узлов (наподобие многочлена Александера) уже не найдется. Однако в 1984 году положение дел резко изменилось.

Новозеландско-американский математик Вон Джонс вообще не изучал узлы. Он исследовал мир еще более абстрактный – так называемые алгебры фон Неймана. И неожиданно для себя обнаружил, что в алгебрах фон Неймана есть некое соотношение, подозрительно похожее на одно соотношение из теории узлов. Тогда Джонс встретился с Джоан Бирман, специалистом по теории узлов из Колумбийского университета, чтобы обсудить, что с этим можно сделать. Изучение этого соотношения в результате выявило совершенно новый инвариант узлов – так называемый многочлен Джонса (Jones 1985). Математики сразу признали, что многочлен Джонса – куда более тонкий инвариант, чем многочлен Александера. В частности, он позволяет отличать узел от его зеркального отражения (то есть «левый» трилистник на рис. 57 от «правого»), а многочлены Александера для таких узлов тождественны. Однако главное даже не это, а то, что открытие Джонса вызвало у специалистов по теории узлов небывалый прилив энтузиазма. Когда было объявлено об открытии нового инварианта, в мире узлов внезапно вспыхнула бешеная активность, прямо как на фондовой бирже в день, когда Федеральная резервная система ни с того ни с сего понижает процентные ставки.

Рис. 57

Однако, невзирая на то, что за прошедшие три десятилетия были обнаружены и другие инварианты, пока не удается составить полную классификацию узлов. Вопрос о том, какой именно узел можно превратить в другой узел, если вертеть его и крутить, не прибегая к помощи ножниц, остается без ответа. Пока что самый удачный инвариант – это творение русско-французского математика Максима Концевича, который получил за него Филдсовскую медаль в 1998 году и Премию Крафорда в 2008 году. Кстати, в 1998 году Джим Хосте из Колледжа Питцера в Клермонте в штате Калифорния и Джеффри Уикс из Кантона в штате Нью-Йорк составили таблицу всех узлов до шестнадцати пересечений включительно. Точно такую же таблицу независимо от них составил Морвен Тистлетвейт из Университета штата Теннесси в Ноксвилле. В каждой из этих таблиц содержится ровно 1 701 936 разных узлов!

Но главная неожиданность таилась не столько в прогрессе теории узлов как таковой, а в том, какой мощный и внезапный толчок она дала самым разным не связанным с ней наукам[149].

Хитросплетения жизни

Стимулом для создания теории узлов была ошибочная модель атома, однако кончина этой модели не обескуражила математиков. Напротив, они с превеликим энтузиазмом пустились в далекий и опасный путь и стали разбираться в узлах как таковых. Легко представить себе, в какой восторг они пришли, когда теория узлов вдруг оказалась ключом к пониманию фундаментальных процессов, в которых участвуют молекулы жизни. Неужели вам мало такого замечательного примера «пассивной» роли чистой математики в объяснении природных явлений?

Дезоксирибонуклеиновая кислота, она же ДНК, – это генетический материал всех клеток на свете. Она состоит из двух очень длинных цепочек, которые миллионы раз перекручены, так что получается двойная спираль. По всей длине этих цепочек, которые можно представить себе как боковины лестницы, чередуются молекулы сахара и фосфата. Ступеньки этой лестницы состоят из пар оснований, соединенных водородными связями по определенным правилам (аденин создает связи только с тимином, а цитозин – только с гуанином; рис. 58).

Когда клетка делится, первым делом начинается самовоспроизведение – репликация ДНК, чтобы каждой из дочерних клеток досталось по копии. Подобным же образом в процессе транскрипции, при которой генетическая информация из ДНК копируется в РНК, участок двойной спирали ДНК раскручивается, и образцом для копирования служит только одна из двух цепочек. После завершения синтеза РНК цепочки ДНК снова скручиваются в спираль. Однако и репликация, и транскрипция – дело непростое, поскольку ДНК так туго скручена и перепутана (информацию нужно хранить в компактном виде), что без особых технологий распаковки процессы, лежащие в основе самой жизни, не могли бы идти гладко. Кроме того, чтобы процесс репликации дошел до конца, получившиеся молекулы ДНК должны быть без узлов, а родительская ДНК в конце концов должна вернуться к первоначальной конфигурации.

Рис. 58

Рис. 59

Всем этим развязыванием и распутыванием занимаются особые вещества – ферменты[150]. Ферменты умеют пропускать цепочки ДНК друг через друга – для этого они на время разрывают их и связывают освободившиеся концы по-другому. Знакомо, правда? Именно такие хирургические операции предложил Конвей для распутывания математических узлов (как изображено на рис. 56). Иначе говоря, с топологической точки зрения ДНК – сложный узел, и для репликации и транскрипции нужно, чтобы ферменты его развязали. С помощью теории узлов можно понять, насколько трудно распутать ДНК, и таким образом можно изучать свойства ферментов, которые отвечают за распутывание. Мало того, при помощи средств экспериментальной визуализации – электронной микроскопии и электрофореза в полиакриламидном геле – ученые могут наблюдать и измерять изменения в образовании узлов и сцеплений ДНК, вызванные ферментами (на рис. 59 показана электронная микрофотография узла ДНК). Помимо всего прочего, изменение числа пересечений в узле ДНК дает биологам возможность оценить скорость реакций с участием ферментов: на сколько пересечений в минуту может повлиять фермент в той или иной концентрации.

Однако теория узлов нашла неожиданное применение не только в молекулярной биологии. Об узлах речь идет и в теории струн – современной попытке сформулировать универсальную теорию, объясняющую все взаимодействия в природе.

Вселенная по струнке?

Гравитация – это сила, которая действует на самых больших масштабах. Она удерживает звезды в галактиках, она влияет на расширение Вселенной. Замечательная теория, описывающая гравитацию, – это общая теория относительности Эйнштейна. А в глубинах атомных ядер владычествуют совсем другие силы и совсем другая теория. Сильное ядерное взаимодействие связывает частицы под названием кварки, и из них создаются знакомые многим протоны и нейтроны – главные компоненты видимого вещества. Поведение частиц и сил в субатомном мире регулируется законами квантовой механики. Едины ли законы для кварков и галактик? Физики считают, что законы должны быть едины, хотя пока еще не понятно, почему. Уже несколько десятков лет физики пытаются построить «Теорию Всего» – всеобъемлющее описание законов природы. В частности, они хотели бы ликвидировать разрыв между большим и малым при помощи квантовой теории гравитации – примирить общую теорию относительности с квантовой механикой. На данный момент лучшим кандидатом на звание Теории Всего считается теория струн[151]. Первоначально эта теория была разработана для ядерного взаимодействия как такового, но в 1974 году физики Джон Шварц и Джоэль Шерк привлекли к ней внимание широкой физической общественности уже в ином качестве. Основная идея теории струн довольно проста. Элементарные субатомные частицы, например электроны и кварки – вовсе не точечные сущности, не имеющие структуры. Напротив, элементарные частицы представляют разные виды вибраций одной и той же фундаментальной струны. Согласно этой теории, космос наполнен тоненькими и гибкими, будто резиновыми, петлями. Скрипичную струну можно ущипнуть и получить разные гармонии, точно так же разные вибрации этих переплетенных струн соответствуют разным частицам вещества. Иначе говоря, мир подобен симфонии.

Поскольку струны – это замкнутые петли, движущиеся в пространстве, то с течением времени они заметают области (так называемые мировые листы) цилиндрической формы (рис. 60). Если струна испускает другие струны, цилиндр разветвляется, образуется что-то вроде рогульки. Если взаимодействует сразу много струн, получается сложная система переплетенных изогнутых цилиндров – вроде сплавленных друг с другом пышек.

Рис. 60

Изучая сложные топологические структуры подобного рода, специалисты по теории струн Хироси Оогури и Кумран Вафа обнаружили неожиданную связь между количеством таких пышек, сложными геометрическими свойствами узлов и многочленом Джонса (Ooguri and Vafa 2000). Но еще раньше Эдвард Виттен, один из главных игроков на поле теории струн, выявил соотношение между многочленом Джонса и самой основой теории струн – так называемой квантовой теорией поля (Witten 1989). Затем модель Виттена переосмыслил с точки зрения чистой математики Майкл Атья[152]. Так что теория струн и теория узлов живут в идеальном симбиозе. Теория струн, с одной стороны, получила много полезных результатов при помощи теории узлов, а с другой – и сама натолкнула на интересные открытия в этой области.

В гораздо более широком масштабе теория струн ищет объяснения самой сущности вещества – причем движется примерно в том же направлении, что и Томсон, когда придумывал модель атома. Томсон (ошибочно) полагал, что узлы могут дать ответ на вопрос о строении атомов. И вот по интересной прихоти судьбы специалисты по теории струн обнаружили, что узлы и в самом деле позволяют сделать некоторые выводы.

История теории струн – это великолепный пример нежданного могущества математики. Как я уже упоминал, даже «активная» сторона эффективности математики сама по себе, когда ученые генерируют математические теории, необходимые для описания наблюдаемых физических феноменов, иногда – если речь заходит о точности – приносит невероятные сюрпризы. Рассмотрим вкратце одну область физики, где важную роль играют обе стороны математики, и «активная», и «пассивная», – область, примечательную именно тем, какой поразительной точности удалось там добиться.

С аптечной точностью

Галилей и другие итальянские ученые-экспериментаторы вывели законы падения тел, а Ньютон взял эти законы в сочетании с законами движения планет, которые открыл Кеплер, и на основе объединенных данных сформулировал математический закон всемирного тяготения. При этом Ньютону пришлось разработать совершенно новую область математики – интегральное и дифференциальное исчисление, – которое позволило в полной мере воплотить все качества законов движения и тяготения. С учетом погрешности современных Ньютону экспериментов и наблюдений, он сумел проверить собственный закон всемирного тяготения лишь с точностью хуже, чем четыре процента. А впоследствии оказалось, что по точности этот закон превосходит все мыслимые ожидания. К концу 50-х годов ХХ века погрешность экспериментов составляла менее одной десятитысячной доли процента.

Но и это еще не все. Целый ряд недавних спекулятивных теорий, целью которых было объяснить, как так вышло, что наша Вселенная расширяется с ускорением, предположили, что законы гравитации на очень маленьких расстояниях могут вести себя необычно. Вспомним, что по закону всемирного тяготения Ньютона притяжение уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния. То есть если удвоить расстояние между двумя массами, то сила тяготения, действующая на каждую массу, ослабеет в четыре раза. Новые сценарии предсказывали отклонения от этого поведения на расстояниях меньше миллиметра. Эрик Адельбергер, Дэниел Капнер и их коллеги из Университета штата Вашингтон в Сиэтле провели серию остроумных экспериментов, чтобы проверить предсказанные такими сценариями отклонения в зависимости от расстояния (Kapner et al. 2007). Самые свежие результаты, обнародованные в январе 2007 года, показали, что закон обратных квадратов действует даже на расстоянии пятидесяти шести тысячных миллиметра! Выходит, математический закон, сформулированный более трехсот лет назад на основе весьма скудных наблюдательных данных, оказался не просто феноменально точным, но и действует на расстояниях, на которых до самого недавнего времени нельзя было даже проводить подобные измерения!

Остался один важный вопрос, который Ньютон вовсе оставил без ответа: как же действует гравитация? Каким образом Земля, находящаяся от Луны на расстоянии почти 400 000 километров, влияет на движение Луны?

Ньютон об этом недостатке своей теории прекрасно знал и открыто признавал в «Началах».

До сих пор я изъяснил небесные явления и приливы наших морей на основании силы тяготения, но я не указывал причины самого тяготения. Эта сила происходит от некоторой причины, которая проникает до центра Солнца и планет без уменьшения своей способности и которая действует… повсюду на огромные расстояния, убывая пропорционально квадратам расстояний… Причину же этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю (пер. А. Крылова).

Решить эту задачу и восполнить пробел, оставленный Ньютоном, удалось Альберту Эйнштейну (1879–1955). В 1907 году у Эйнштейна появилась весьма серьезная причина интересоваться гравитацией – оказалось, что его специальная теория относительности прямо противоречит закону всемирного тяготения Ньютона[153].

Ньютон полагал, что гравитация действует мгновенно, что планеты сразу же чувствуют силу тяготения Солнца, а яблоко – притяжение Земли. С другой стороны, столпом специальной теории относительности Эйнштейна служит утверждение, что никакой предмет, энергия или информация не могут перемещаться быстрее света. Как же может гравитация действовать мгновенно? Как показывает нижеприведенный пример, последствия этого противоречия могли бы привести к полному краху наших самых фундаментальных представлений, в том числе представления о причинно-следственной связи.

Представьте себе, что Солнце внезапно исчезло. Земля, лишившись силы, которая удерживает ее на орбите, согласно Ньютону должна начать движение по прямой, не считая мелких отклонений, вызванных гравитацией прочих планет. Однако обитатели Земли будут видеть Солнце еще около восьми минут, поскольку именно столько нужно свету, чтобы преодолеть дистанцию от Солнца до Земли. Иначе говоря, движение Земли изменится раньше, чем исчезнет Солнце.

Чтобы разрешить это противоречие и одновременно найти подход к вопросу, на который не ответил Ньютон, Эйнштейн окунулся в поиски новой теории гравитации с жаром на грани одержимости. Задача была неподъемная. Любая новая теория должна была не только обладать всеми поразительными достоинствами ньютоновой, но и объяснять, как гравитация устроена и как она действует, причем так, чтобы это не противоречило специальной теории относительности.

После нескольких фальстартов и долгих блужданий по извилистым тропам, которые в конце концов заводили в тупик, Эйнштейн в 1915 году все же достиг своей цели. Многие считают, что его общая теория относительности – одна из самых красивых теорий в истории науки.

Основой потрясающего открытия Эйнштейна стала идея, что гравитация – всего лишь искажение ткани пространства-времени. По Эйнштейну, планеты, словно мячики для гольфа, чей путь определяется горками и впадинками на неровном поле, следуют по искривленным траекториям в искривленном пространстве, которое соответствует гравитации Солнца. Иначе говоря, в отсутствие вещества или других форм энергии пространство-время (единая ткань из трех пространственных измерений и одного временного) было бы плоским. Вещество и энергия искажают пространство-время точно так же, как тяжелый шар для боулинга заставляет батут провисать. В этой криволинейной геометрии планеты описывают самые что ни на есть прямые траектории, и это и есть проявления гравитации. Когда Эйнштейн решал задачу о том, как «устроена» гравитация, то заложил еще и основу для ответа на вопрос, с какой скоростью она распространяется. А вопрос о распространении сводится к определению, с какой скоростью может изменяться кривизна пространства-времени. Это примерно как подсчитывать скорость распространения ряби по воде. Эйнштейн сумел показать, что согласно общей теории относительности гравитация распространяется в точности со скоростью света – и это ликвидировало противоречия между ньютоновой теорией и специальной теорией относительности. Если Солнце исчезнет, орбита Земли начнет меняться восемь минут спустя, тогда же, когда мы пронаблюдаем исчезновение нашего светила.

То, что Эйнштейн сделал краеугольным камнем своей новой теории мироздания искривленное четырехмерное пространство-время, означало, что ему была срочно нужна математическая теория подобных геометрических сущностей. В полном отчаянии он писал своему бывшему соученику, математику Марселю Гроссману (1878–1936): «Математика, наиболее изящные области которой я раньше считал чистейшей роскошью, вызывает у меня величайшее уважение». Гроссман посоветовал Эйнштейну обратиться к неевклидовой геометрии Римана (о ней мы уже говорили в главе 6) – он считал, что именно этот инструмент, геометрия искривленных пространств с произвольным числом измерений, и необходим Эйнштейну. Вот он, ярчайший пример «пассивной» эффективности математики, которую Эйнштейн не замедлил признать: «В сущности, геометрию можно считать самой древней областью физики, – объяснил он. – Без нее я не смог бы сформулировать теорию относительности».

Кроме того, общую теорию относительности удалось проверить с поразительной точностью. Проделать эти измерения было совсем не просто, поскольку относительные величины искривлений пространства-времени, вызванных объектами вроде Солнца, измеряются десятитысячными долями процента. Первоначально измерения ограничивались наблюдениями в пределах Солнечной системы (например, крошечными отклонениями орбиты Меркурия от расчетов, выполненных согласно законам Ньютона), однако в последнее время стали возможны и более экзотические проверки. Среди лучших экспериментальных доказательств – данные наблюдений над астрономическим объектом под названием двойной пульсар.

Пульсар – это необычайно компактная звезда, излучающая в радиодиапазоне, масса которой несколько больше массы Солнца, а радиус – всего около 10 километров. Плотность такой звезды – ее еще называют нейтронной звездой – так высока, что несколько кубических сантиметров ее вещества обладают массой в миллиард тонн. Многие такие нейтронные звезды очень быстро вращаются и при этом излучают радиоволны из магнитных полюсов. Если магнитная ось пульсара несколько наклонена относительно оси вращения, как на рис. 61, радиолуч с одного или другого полюса пересекает наш луч зрения лишь один раз за оборот, словно луч маяка. В таком случае радиоизлучение будет словно бы пульсировать, отсюда и название. Иногда случается, что два пульсара вращаются вокруг общего центра тяжести по тесным орбитам, образуя систему двойного пульсара.

Двойной пульсар служит превосходной лабораторной установкой для проверки общей теории относительности по двум причинам: (1) радиопульсары – это отменные часы, поскольку частота вращения у них настолько стабильна, что они даже точнее атомных часов, и (2) пульсары так компактны, что их гравитационные поля очень сильны, что приводит к значительным релятивистским эффектам. Эти особенности позволяют астрономам очень точно измерять изменения промежутка времени, которое требуется свету, чтобы добраться до Земли, вызванные орбитальным вращением двух пульсаров в гравитационном поле друг друга.

Рис. 61

Недавняя проверка общей теории относительности была основана на измерениях кривой блеска двойного радиопульсара PSR J0737–3039A/B (этот «длинный телефонный номер» указывает небесные координаты объекта), продолжавшихся в течение двух с половиной лет. Два пульсара в этой системе совершают оборот по орбите всего за два часа двадцать семь минут, а система находится на расстоянии около двух тысяч световых лет от Земли (световой год – это расстояние, которое проходит за год свет в вакууме, около 9,5 триллионов километров). Группа астрономов во главе с Майклом Крамером из Манчестерского университета измерила релятивистские отклонения этих пульсаров от ньютоновского закона движения. В октябре 2006 года были опубликованы результаты (Kramer et al. 2006), которые соответствовали предсказаниям общей теории относительности с погрешностью всего в 0,05 %!

Кстати, и специальная, и общая теории относительности играют важную роль в той самой системе GPS (Global Positioning System), которая помогает нам определять свое местоположение на Земле и прокладывать путь из одной точки в другую на машине, на самолете или пешком. GPS определяет текущее положение приемника, измеряя время, за которое до него доходит сигнал с нескольких спутников, и проводя тригонометрические расчеты на основании известного положения каждого спутника. Специальная теория относительности предсказывает, что атомные часы на борту спутников идут медленнее (с отставанием на несколько миллионных секунды в сутки), чем на Земле, из-за их относительного движения. При этом общая теория относительности предсказывает, что часы на спутниках идут быстрее (на несколько стотысячных секунды в сутки), чем часы на Земле, из-за того что высоко над земной поверхностью искривление пространства-времени, вызванное массой Земли, становится меньше. Без этих поправок ошибки в определении местоположения на земном шаре накапливались бы со скоростью около десяти километров в день.

Теория гравитации – лишь один из множества примеров, показывающих, как замечательно и с какой поразительной точностью математические формулы описывают законы природы. В этом случае, как и во многих других, мы получаем из уравнений гораздо больше, чем в них вложили. Как теперь доказано, точность обеих теорий – и Ньютона, и Эйнштейна, – значительно превосходит точность наблюдений, ради объяснения которых эти теории были задуманы.

Возможно, лучший пример того, какой потрясающей точности способна достичь математическая теория, – это квантовая электродинамика, теория, описывающая все явления с участием электрически заряженных частиц и света. В 2006 году группа физиков из Гарвардского университета определила магнитный момент электрона (меру взаимодействия электрона с магнитным полем) с точностью до восьми триллионных (Odom et al. 2006). Само по себе это потрясающее достижение экспериментальной физики. Но если принять во внимание еще и то, что новейшие теоретические расчеты, основанные на квантовой электродинамике, дают такую же точность и эти два результата полностью соответствуют друг другу, становится ясно, что точность просто неимоверна. Услышав о таких успехах, один из основателей квантовой электродинамики физик Фримен Дайсон заметил: «Просто поразительно, как точно Природа отплясывает под мотивчик, который был так небрежно сочинен пятьдесят семь лет назад, и как экспериментаторы и теоретики измеряют и рассчитывают этот ее танец с точностью до триллионных долей».

Однако точность – не единственный повод славить математические теории. Есть еще и предсказательная сила. Приведу всего два простых примера – один из XIX века, другой из ХХ. Первая теория предсказала новое явление, вторая – существование нескольких элементарных частиц.

Джеймс Клерк Максвелл, сформулировавший классическую теорию электромагнетизма, в 1864 году предсказал, что, согласно его теории, переменные электрические или магнитные поля должны генерировать распространяющиеся волны. Эти волны – знакомые всем нам электромагнитные волны, в частности радиоволны, – первым обнаружил немецкий физик Генрих Герц (1857–1894) в результате серии опытов, которые он провел в конце 80-х годов XIX века.

В конце 60-х годов XX века физики Стивен Вайнберг, Шелдон Глэшоу и Абдус Салам разработали теорию, которая объединяет электромагнитное и слабое взаимодействия между элементарными частицами[154]. Теперь эта теория известна под названием теории электрослабого взаимодействия. Она предсказала существование трех частиц (W⁺-, W^— и Z-бозонов), которые раньше никто не наблюдал. В 1983 году существование этих частиц было однозначно подтверждено в ходе экспериментов на ускорителе (где элементарные частицы сталкивают друг с другом при очень высоких энергиях), которые проделали физики Карло Руббиа и Симон ван дер Мер.

Физик Юджин Вигнер, тот самый, который ввел в обращение фразу «непостижимая эффективность математики», предложил называть все эти неожиданные достижения математических теорий «эмпирическим законом эпистемологии» (эпистемология – дисциплина, изучающая происхождение и пределы знаний). Если бы этот «закон» был неверен, резонно утверждает он, ученым «не хватило бы мужества и уверенности», без которых «нельзя было бы успешно исследовать законы природы». Однако Вигнер не предлагал никаких объяснений эмпирическому закону эпистемологии. Для него это был некий «чудесный дар», за который мы должны быть благодарны, хотя и не представляем себе его происхождение. В сущности, для Вигнера этот «дар» и составлял суть вопроса о непостижимой эффективности математики.

Думаю, мы собрали уже достаточно данных, чтобы хотя бы попытаться ответить на вопросы, которыми задались в самом начале. Почему математика так эффективна, почему она настолько прекрасно объясняет происходящее в мире вокруг нас, что даже позволяет добывать новые знания? И открываем мы ее или изобретаем, в конце концов?

Два вопроса – (1) «Существует ли математика независимо от человеческого разума?» и (2) «Почему математические понятия применимы отнюдь не только в том контексте, в каком их первоначально разрабатывают?» – тесно взаимосвязаны. Тем не менее я постараюсь разобрать их не одновременно, а последовательно, чтобы не усложнять дискуссию.

Прежде всего, вы вправе поинтересоваться, чем считают математику современные математики – изобретением или открытием. Вот как описали положение дел математики Филип Дэвис и Реубен Херш в своей чудесной книге «Математический опыт» («The Mathematical Experience», Davis and Hersh 1981).

Большинство авторов, пишущих на эту тему, похоже, согласны, что типичный профессиональный математик – платоник [считает математику открытием] по будням и формалист [считает ее изобретением] по воскресеньям. То есть когда он занимается математикой, то убежден, что имеет дело с объективной реальностью, чьи свойства пытается определить. Но все же, когда ему приходится оценивать эту реальность с философской точки зрения, ему оказывается проще всего притвориться, будто он в нее на самом деле не верит.

Честно говоря, у меня складывается впечатление, что это можно сказать и в наши дни про многих математиков и физиков-теоретиков – изменились разве что требования политкорректности, связанные с демографическим составом математиков, и теперь у меня возникает искушение написать везде не «он», а «он или она». Однако же некоторые математики ХХ века в действительности занимали вполне определенную позицию – ту или иную. Скажем, Г. Г. Харди в своей «Апологии математика» (Hardy 1940) отстаивает чисто платоническую точку зрения.

Для меня и, думаю, для большинства математиков существует другая реальность, которую я буду называть «математической реальностью», и среди математиков или философов нет единого мнения относительно природы математической реальности. Одни полагают, что она существует «в умах» и что мы, в некотором смысле, конструируем ее. Другие считают, что она лежит вне нас и не зависит от нас. Человек, который мог бы дать убедительное описание математической реальности, разрешил бы очень многие из труднейших проблем метафизики. Если бы такой человек мог включить в свое описание и физическую реальность, то он разрешил бы все проблемы метафизики. Мне не следовало бы обсуждать любой из этих вопросов, даже если бы я был достаточно компетентен для этого, но я изложу свою позицию догматически, чтобы избежать малейшего недопонимания. Я убежден в том, что математическая реальность лежит вне нас, что наша функция состоит в том, чтобы открывать или обозревать ее, и что теоремы, которые мы доказываем и великоречиво описываем как наши «творения», по существу представляют собой наши заметки о наблюдениях математической реальности. Эту точку зрения в той или иной форме разделяли многие философы самого высокого ранга, начиная с Платона, и я буду пользоваться языком, естественным для человека, разделяющего эту точку зрения.

Прямо противоположную точку зрения отстаивают математики Эдвард Каснер (1878–1955) и Джеймс Ньюмен (1907–1966) в своей книге «Математика и воображение» («Mathematics and the Imagination», Kasner and Newman 1989).

То, что математика занимает высокое положение, несравнимое с положением любой другой области целенаправленного мышления, неудивительно. Она обеспечила столько достижений естественных наук, она стала столь незаменимой в делах практических и столь легко превращается в шедевр чистой абстракции, что лишь естественно признать ее главенство среди прочих интеллектуальных достижений человека.

Несмотря на это главенство, предлог для первой значительной оценки математики представился лишь недавно – с появлением неевклидовой и четырехмерной геометрии. Мы вовсе не стремимся принизить достижения математического анализа, теории вероятности, арифметики бесконечных величин, топологии и прочих дисциплин, о которых мы говорили. Каждая из них расширила пределы математики и углубила как ее смысл, так и наше понимание физической Вселенной. Однако ни одна из них не способствовала математическому самоанализу, познанию того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом более, чем неевклидова ересь.

Эта ересь была полна критического боевого духа, и благодаря этому мы преодолели представление о том, что математические истины будто бы существуют независимо, отдельно от нашего разума. Нам даже странно, что такое представление вообще бытовало. А все же именно так и думал Пифагор, а также Декарт и сотни прочих великих математиков до XIX века. Сегодня математика избавилась от оков, сбросила кандалы. Какова бы ни была ее сущность, мы понимаем, что она свободна, как разум, и ловка, как воображение. Неевклидова геометрия – это доказательство, что математика, в отличие от музыки сфер, творение самого человека и подчиняется лишь тем ограничениям, какие накладывают на нее законы мышления.

Математическим утверждениям как таковым присущи точность и окончательность – однако здесь картина совсем иная: перед нами разнообразие противоположных мнений, типичное скорее для философских диспутов или политических дебатов. Стоит ли нам удивляться? Вообще-то нет. Вопрос о том, изобретена математика или открыта, – отнюдь не вопрос самой математики.

Идея «открытия» предполагает какое-то прежнее существование в некой Вселенной, или реальной, или метафизической. Понятие «изобретения» задействует человеческий разум, либо индивидуальный, либо коллективный. Поэтому вопрос обращен к целой совокупности дисциплин, в которую входят и физика, и философия, и математика, и психология познания, и антропология – и он совершенно точно не ограничивается одной лишь математикой, по крайней мере, не прямо. А поэтому не исключено, что математика даже не обладает самым подходящим инструментарием для ответа на этот вопрос. Ведь, к примеру, поэты, способные творить словами настоящие чудеса, не обязательно лучшие лингвисты, а величайшие философы обычно не специалисты по нейрофизиологии. Поэтому ответ на вопрос «открыта или изобретена» можно получить (да и то не обязательно) лишь в результате дотошного исследования множества различных данных, полученных в самых разных сферах.

Метафизика, физика, психология познания

Те, кто считает, что математика существует во Вселенной, не зависимой от людей, также распадаются на два враждующих лагеря, поскольку по-разному понимают природу этой Вселенной[155]. Во-первых, есть «истинные» платоники, для которых математика существует в абстрактном вечном мире математических форм. Далее, есть и те, кто считает, что математические структуры – это на самом деле подлинная часть мира природы. Поскольку я уже довольно подробно писал о чистом платонизме и некоторых его философских недостатках, остановимся на второй точке зрения[156].

Пожалуй, крайнюю и самую спекулятивную версию «математики как части физического мира» поддерживает мой коллега-астрофизик Макс Тегмарк из Массачусетского технологического института.

Тегмарк полагает, что «наша Вселенная не просто описывается математикой, она и есть математика (курсив мой. – М. Л.)» (Tegmark 2007 a, b). Свою аргументацию он начинает с утверждения, что существует внешняя физическая реальность, которая не зависит от человека. С этим, пожалуй, не поспоришь. Далее он рассуждает о том, какой могла бы быть природа универсальной теории, описывающей подобную реальность (физики называют ее «теорией всего»). Поскольку физический мир никак не зависит от людей, полагает Тегмарк, его описание должно быть свободно от любой человеческой «нагрузки» (в особенности – от человеческого языка). То есть окончательная теория не может включать в себя понятий вроде «субатомных частиц», «вибрирующих струн», «искривлений пространства-времени» и прочих конструкций, созданных человеческим разумом. На основании этого соображения Тегмарк делает вывод, что единственно возможное описание космоса предполагает исключительно абстрактные понятия и соотношения между ними, а это, как он полагает, и есть рабочее определение математики.

Аргументация Тегмарка в пользу математической реальности, безусловно, очень интересна, и если бы она оказалась верной, это был бы существенный шаг в сторону ответа на вопрос о «непостижимой эффективности» математики. Во Вселенной, которая тождественна математике, едва ли стоит удивляться, что математика идеально соответствует природе. К сожалению, мне не кажется, что доказательства Тегмарка убедительны. Переход от существования внешней реальности, независимой от человека, к выводу, что, по словам Тегмарка, «нужно поверить в так называемую гипотезу математической Вселенной – в то, что наша физическая реальность представляет собой математическую структуру», требует, как мне представляется, некоторой подтасовки. Когда Тегмарк пытается охарактеризовать математику как таковую, то говорит: «Для современного логика математическая структура в этом и заключается – она представляет собой набор абстрактных сущностей, между которыми есть какие-то отношения». Но ведь этот современный логик – человек! Иначе говоря, Тегмарк на самом деле вовсе не доказывает, что наша математика не изобретена людьми, он это попросту предполагает. Более того, французский нейробиолог Жан-Пьер Шанже в ответ на подобное утверждение указал (Changeux and Connes 1995): «Утверждать, будто математические объекты обладают физической реальностью – на том же уровне, что и природные явления, которые мы изучаем в биологии – приводит, по-моему, к досадной эпистемологической проблеме. Как физическое состояние, имеющее место внутри нашего мозга, может отражать другое физическое состояние, внешнее по отношению к нему?»

Большинство прочих попыток поместить математические объекты непосредственно во внешнюю физическую реальность опираются на эффективность математики в описании природы как на доказательство. Тогда получается, что нет никакого другого объяснения для эффективности математики, а это, как я покажу в дальнейшем, не так.

Если математика обитает не в платоновском мире, лишенном пространства и времени, и не в мире физическом, означает ли это, что математика целиком и полностью изобретена человеком? Совсем нет. Более того, в следующем разделе я покажу, что по большей части математика состоит из открытий, а не из изобретений. Однако, прежде чем двинуться дальше, стоит изучить мнения современных специалистов по психологии познания. Зачем? Очень просто: даже если математику целиком открыли, эти открытия все равно делали люди-математики при помощи своего мозга.

В последние годы психология познания достигла потрясающих успехов, поэтому было бы естественно ожидать, что нейробиологи и психологи обратят внимание на математику, в частности на поиски оснований математики в когнитивных способностях человека. Поверхностный обзор выводов, к которым пришло большинство психологов-когнитивистов, поначалу оставляет впечатление, будто перед тобой воплощение афоризма Марка Твена: «Для человека с молотком все на свете – гвозди». Практически все нейрофизиологи и биологи твердо считают, что математика есть человеческое изобретение – разница лишь в том, на какие аспекты познания они делают упор. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что, хотя интерпретация когнитивных данных далеко не однозначна, нет никаких сомнений, что усилия когнитивистов – это очередной новаторский этап поисков оснований математики. Приведу небольшую, но характерную подборку высказываний психологов-когнитивистов.

Французский нейробиолог Станислас Дехане, который интересуется в основном восприятием чисел и количеств, в своей книге «Чувство числа» («The Number Sense», Dehaene 1997) пришел к выводу, что «таким образом, числовая интуиция глубоко укоренена в нашем мозге». В сущности, эта позиция близка к позиции интуиционистов, которые хотели свести всю математику к интуитивному пониманию натуральных чисел в чистом виде. Дехане утверждает, что открытия в области психологии арифметики подтверждают, что «число принадлежит к “естественным объектам мысли”, врожденным категориям, согласно которым мы оцениваем мир». По результатам исследования племени мундуруку – изолированного сообщества амазонских аборигенов – Дехане и его коллеги в 2006 году обобщили это утверждение и на геометрию (Dehaene et al. 2006): «Спонтанное понимание геометрических понятий и схем этим изолированным человеческим сообществом – свидетельство того, что основные представления о геометрии, как и базовая арифметика, – это универсальная составляющая человеческого разума». С последними выводами были согласны не все когнитивисты (см., например, Holden 2006). В частности, некоторые ученые указывают на то, что успехи представителей мундуруку, участвовавших в геометрическом исследовании, когда им нужно было найти кривую среди прямых, прямоугольник среди квадратов, эллипс среди кругов и так далее, возможно, объясняются не врожденными знаниями в области геометрии, а лишь способностью зрительно выделять «лишний предмет».

Жан-Пьер Шанже в увлекательном диалоге о природе математики с математиком (платоновского толка) Аланом Конном (Changeux and Connes 1995) приводит следующее утверждение.

Причина, по которой математические объекты не имеют ничего общего с вещественным миром… в их генеративном характере, в способности порождать другие объекты. Здесь следует подчеркнуть, что в мозге существует своего рода «вместилище сознания», некое физическое пространство, предназначенное для моделирования и создания новых объектов… в некотором отношении эти новые математические объекты – как живые существа: подобно живым существам, они подобны физическим объектам, способным очень быстро эволюционировать; но в отличие от живых существ – за исключением вирусов – они эволюционируют в нашем мозге.

Наконец, самое категорическое суждение в споре «изобретение или открытие» сделали специалист по когнитивной лингвистике Джордж Лакофф и физиолог Рафаэль Нуньес в своей довольно спорной книге «Откуда взялась математика» (Lakoff and Nez 2000). Как я уже отмечал в главе 1, они объявили следующее.

Математика – естественная составляющая человеческого бытия. Она возникает из нашего тела, нашего мозга, нашего повседневного опыта взаимодействия с миром [то есть Лакофф и Нуньес утверждают, что математика возникает из некоего «встроенного разума»] … Математика – это система человеческих понятий, которая находит невероятное применение обычным инструментам человеческого познания… Человеческие существа ответственны за создание математики – и мы продолжаем быть ответственными за ее разработку и расширение. У портрета математики человеческое лицо.

Ученые-когнитивисты основывают свои выводы на данных, накопленных в результате многочисленных экспериментов, и считают эти данные вполне убедительными. В ходе некоторых таких опытов изучалась функциональная визуализация мозговой деятельности во время решения математических задач. Иногда изучались математические познания младенцев или племен охотников-собирателей вроде мундуруку, не получавших никакого образования, а также людей с различными поражениями головного мозга. Большинство исследователей согласны, что некоторые математические способности, похоже, присущи нам от рождения. Например, все люди с первого взгляда различают группы из одного, двух и трех объектов (это называется субитизация). Вероятно, от рождения мы обладаем и некоторыми очень ограниченными арифметическими способностями – умением группировать, распределять попарно и решать очень простые задачи на сложение и вычитание, как, вероятно, и элементарными геометрическими понятиями, хотя второе утверждение более спорно. Нейрофизиологи выявили также особые отделы мозга – к ним относится, в частности, ангулярная извилина в левом полушарии, – отвечающие, судя по всему, за манипуляции с числами и математические выкладки, но при этом не имеющие отношения ни к языку, ни к рабочей памяти (см., например, Ramachandran and Blakeslee 1999).

Согласно Лакоффу и Нуньесу, главный инструмент, позволяющий продвинуться дальше врожденных способностей, – это конструирование концептуальных метафор, мыслительный процесс, переводящий абстрактные понятия в более конкретные. Например, концепция арифметики коренится в одной из самых фундаментальных метафор собирания предметов. С другой стороны, относительно абстрактная булева алгебра классов метафорически связывает классы с числами. Сложный сценарий, разработанный Лакоффом и Нуньесом, предлагает интересную точку зрения на то, почему одни математические понятия людям усвоить проще других. Некоторые исследователи, например нейрофизиолог-когнитивист Розмари Варли из Шеффилдского университета, предполагают, что по крайней мере некоторые математические структуры паразитируют на языковых способностях – то есть математические понятия развиваются благодаря заимствованию ментальных инструментов, которые отвечают за создание языка (Varley et al. 2005; Klessinger et al. 2007).

Когнитивисты подвели весьма солидную базу под ассоциацию нашей математики с человеческим разумом и против платонизма. Но вот что интересно: самый сильный, по моему мнению, довод против платонизма выдвигают не нейробиологи, а сэр Майкл Атья, один из величайших математиков ХХ века. Я уже упоминал вскользь о его аргументации в главе 1, но здесь хотелось бы остановиться на ней поподробнее.

Если бы пришлось выбирать одно-единственное понятие из нашей математики, которое с наибольшей вероятностью существует независимо от человеческого разума, на чем бы вы остановились? Большинство из нас, скорее всего, пришло бы к выводу, что это должны быть натуральные числа. Что может быть естественнее, «натуральнее», чем 1, 2, 3, …? Даже немецкий математик Леопольд Кронекер (1823–1891), склонный к интуиционизму, как известно, провозгласил: «Господь сотворил натуральные числа, все остальное – дело рук человека». Поэтому, если удастся доказать, что даже натуральные числа как понятие берут начало в человеческом разуме, это будет серьезный довод в пользу парадигмы «изобретения». Вот как это формулирует Атья (Atiyah 1995): «Представим себе, что разумом наделено не человечество, а какая-нибудь огромная одинокая медуза в глубинах Тихого океана. Все ее сенсорные данные определялись бы движением, температурой и давлением. Поскольку все это – чистейший континуум, в такой обстановке не может появиться ничего дискретного, и медузе нечего было бы считать». Иначе говоря, Атья убежден, что даже такое фундаментальное понятие, как натуральные числа, и то было создано человеком посредством абстрагирования элементов физического мира (как сказали бы когнитивисты, «посредством закладывания метафор»). Иначе говоря, число 12, например, отражает абстракцию качества, общего для всего, что объединяется по дюжине, точно так же как слово «мысль» отражает самые разные процессы, происходящие у нас в мозге.

Возможно, то, что Атья привлекает для доказательства гипотетическую вселенную медузы, читателю не понравится. Возможно, читатель возразит, что Вселенная только одна, деваться из нее некуда и любое предположение следует изучать в контексте этой Вселенной. Однако это, в сущности, все равно что признать, что понятие натуральных чисел каким-то образом зависит от Вселенной человеческого опыта! Обратите внимание, что именно это и имеют в виду Лакофф и Нуньес, когда говорят, что математика «встроена».

Итак, я только что приводил доводы за то, что понятия нашей математики коренятся в человеческом разуме. Вероятно, вы спросите, почему же я раньше так настаивал, что математика по большей части открыта – именно такой точки зрения придерживаются платоники.

Изобретение и открытие

В повседневной жизни разница между открытием и изобретением иногда совершенно очевидна, а иногда несколько размыта. Никто не станет утверждать, будто Шекспир открыл Гамлета, а мадам Кюри изобрела радий. Однако же новые лекарства от некоторых болезней обычно принято называть открытиями, хотя на самом деле они зачастую появляются в результате тщательного синтеза новых химических соединений. Давайте остановимся на вполне конкретном примере из математики, который, думается мне, не только поможет прояснить, чем открытие отличается от изобретения, но и позволит взглянуть по-новому на процесс развития и прогресса математики.

В книге VI фундаментальных «Начал» Евклида мы обнаруживаем определение деления отрезка на две неравные части неким заданным способом (оно же применительно к площади приводится и раньше, в книге II). Согласно Евклиду, если отрезок АВ делится точкой С (рис. 62) таким образом, что соотношение длин сегментов (AC/CB) равно отношению длины всего отрезка к более длинному сегменту (AB/AC), говорят, что отрезок делится «в крайнем и среднем отношении». Иначе говоря, если AC/CB = AB/AC, то каждое из этих отношений называется «крайним и средним отношением». С XIX века это отношение известно широкой публике как золотое сечение[157]. В результате несложных алгебраических вычислений получается, что золотое сечение равно