Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса Ливио Марио
Рис. 31
Прошел всего год с тех пор, как Якоб Бернулли поставил задачу, когда его младший брат Иоганн решил ее (при помощи дифференциального уравнения). Решили ее и Лейбниц, и голландский математик и физик Христиан Гюйгенс (1629–1695), однако решение Гюйгенса было получено не очень ясным геометрическим методом. То, что Иоганн сумел решить задачу, которая поставила в тупик его брата и учителя, было для младшего Бернулли неисчерпаемым источником самодовольства – даже спустя тринадцать лет после смерти Якоба. Иоганн не мог скрыть торжества в письме, адресованном 29 сентября 1718 года французскому математику Пьеру Ремону де Монмору (1678–1719) (цит. по Truesdell 1960).
Вы говорите, что задачу поставил мой брат; так и есть, однако следует ли из этого, что он получил ее решение? Отнюдь нет. Когда он предложил мне рассмотреть задачу (ибо я первым задумался над ней), никто из нас, ни тот ни другой, не сумел ее решить, мы отчаялись и считали, что она не имеет решения, пока господин Лейбниц не опубликовал в Лейпцигском журнале за 1690 год, стр. 360, заметку, что решил задачу, однако решения не представил, словно бы давал время другим ученым, и именно это побудило нас – и брата, и меня – заново взяться за нее.
Сначала Иоганн бессовестно приписывает себе даже саму постановку задачи, а затем с нескрываемым злорадством продолжает.
Старания моего брата ни к чему не привели, мне же повезло больше, ибо я обладаю мастерством (я говорю не хвастаясь, к чему скрывать истину?), позволяющим найти полное решение… Да, безусловно, это потребовало от меня усердных занятий, лишивших меня остатка ночного сна… однако наутро, преисполнившись радости, я бросился к брату, который все так же безуспешно бился над своим гордиевым узлом, но у него ничего не получалось, поскольку он вслед за Галилеем считал, будто цепная линия – это парабола. «Стой! Стой! – говорю я ему. – Не терзай себя больше попытками доказать, что цепная линия тождественна параболе, поскольку это совершенно неверно»… Но затем вы поражаете меня выводом, что мой брат будто бы нашел метод решения задачи… неужели вы и вправду думаете, спрашиваю я вас, что если бы мой брат решил упомянутую задачу, он был бы столь многим мне обязан, что даже не заявил, что входит в число решивших задачу, уступив мне славу и дав в одиночестве выйти на сцену в качестве первого решившего вместе с господами Гюйгенсом и Лейбницем?
Если вам нужны были доказательства, что математики тоже люди, вот они. Однако семейные распри отнюдь не мешали различным Бернулли получать великолепные математические результаты. В первые же годы после эпизода с цепной линией Якоб, Иоганн и Даниил Бернулли (1700–1782) не только решили похожие задачи о провисающих веревках, но и внесли уточнения в теорию дифференциальных уравнений в целом и решили задачу о движении снарядов в сопротивляющейся среде.
История о цепной линии открывает перед нами еще одну сторону могущества математики: математические решения есть даже у тривиальных на первый взгляд физических задач. Кстати, форма цепной линии и в наши дни приводит в восторг миллионы посетителей знаменитых Ворот Запада в Сент-Луисе, в штате Миссури. Это сооружение, ставшее символом города и штата, финско-американский архитектор Ээро Сааринен (1910–1961) и германо-американский инженер-строитель Ханскарл Бандель (1925–1993) спроектировали в форме, близкой к очертаниям перевернутой цепной линии.
Ошеломляющие успехи физики в открытии математических законов, которые управляют поведением мироздания в целом, заставили задаться неизбежным вопросом, не лежат ли подобные принципы также в основе биологических, общественных или экономических процессов. Математикам стало интересно, служит ли математика языком только природы – или человеческой природы тоже? И если подлинно универсальных принципов все же не существует, можно ли при помощи математического инструментария хотя бы моделировать, а следовательно, и объяснять общественное поведение? Поначалу многие математики были убеждены, что «законы», основанные на той или иной версии математического анализа, позволят точно предсказать все события в будущем, и большие, и малые. Такое мнение разделял, например, великий физик и математик Пьер-Симон Лаплас (1749–1827). Пять томов «Mcanique cleste» («Небесной механики») Лапласа предлагают первое полное, хотя и приближенное, решение задачи о движении планет и спутников Солнечной системы. Кроме того, именно Лаплас ответил на вопрос, который ставил в тупик самого Ньютона: почему Солнечная система так стабильна? Ньютон полагал, что планеты из-за взаимного притяжения должны неминуемо упасть на Солнце или разлететься в свободное пространство – и поэтому нужна длань Господня, чтобы Солнечная система осталась целой и невредимой. Лаплас придерживался несколько иных представлений. Он не полагался на вмешательство самого Господ, а просто доказал математически, что Солнечная система стабильна на протяжении периодов времени гораздо более длительных, чем предсказывал Ньютон.
Чтобы решить эту сложную задачу, Лаплас ввел новый математический инструмент – так называемую теорию возмущений, позволявшую вычислить совокупный эффект множества мелких возмущений орбиты каждой планеты. И наконец, в довершение всего, Лаплас предложил одну из первых моделей зарождения Солнечной системы как таковой – согласно его небулярной теории, Солнечная система образовалась из сгустившегося газового облака.
Если учесть все эти поразительные достижения, не приходится удивляться, что в своем «Опыте философии теории вероятностей» Лаплас отважно провозгласил следующее (Laplace 1814, перевод на английский Truscot and Emory 1902).
Любые события, даже те, которые по незначительности своей не должны, казалось бы, подчиняться великим законам природы, все равно определяются ими с той же необходимостью, что и обращение Солнца. Поскольку раньше было неизвестно, что за узы объединяют такие события с системой мироздания в целом, мы на свой страх и риск считали, что они зависят от конечных причин… Следовательно, мы должны считать нынешнее состояние Вселенной результатом ее состояния в прошлом и причиной грядущего. Нужно учесть, что если некий разум сможет охватить все силы, движущие природой, и взаимное расположение всех сущностей, которые ее составляют, и этот разум окажется достаточно велик, чтобы подвергнуть эти данные анализу, он в тот же миг сумеет рассчитать по одной и той же формуле все движения как величайших тел во Вселенной, так и легчайшего атома, и для него не останется ничего неопределенного, и перед взором его предстанет не только прошлое, но и будущее. Человеческий интеллект при всем совершенстве, которое он сумел придать астрономии, лишь бледное подобие такого разума.
Если вам интересно, уточню, что когда Лаплас говорил об этом гипотетическом «высшем разуме», то имел в виду совсем не Бога. В отличие от Ньютона и Декарта, Лаплас был человек неверующий. Когда он подарил экземпляр «Небесной механики» Наполеону Бонапарту, тот, слышавший, что в этом труде нет ни одного упоминания о Боге, заметил: «Месье Лаплас, говорят, вы написали эту объемистую монографию об устройстве Вселенной, но ни разу не упомянули ее творца». На что Лаплас тут же ответил: «Я не нуждаюсь в подобной гипотезе». Это замечание позабавило Наполеона, и он пересказал его математику Жозефу-Луи Лагранжу; тот воскликнул: «Ах! Это прекрасная гипотеза, она многое объясняет». Но на этом история не кончается. Услышав, что сказал Лагранж, Лаплас сухо заметил: «Эта гипотеза, сир, на самом деле вообще все объясняет, но не позволяет ничего предсказать. Я же как ученый обязан обеспечивать вас трудами, позволяющими делать предсказания».
Наступил ХХ век, и достижения квантовой механики, теории субатомного мира, показали, что ожидать полностью детерминистской Вселенной было бы слишком оптимистично. Современная физика, по сути дела, доказала, что предсказать результат каждого эксперимента невозможно в принципе. Скорее, теория предсказывает вероятности разных результатов. Положение в общественных науках, очевидно, еще сложнее из-за огромного количества взаимосвязанных элементов, многие из которых в лучшем случае крайне неопределенны. Ученые XVII века довольно скоро обнаружили, что если речь идет об общественных процессах, то поиск точных универсальных законов наподобие закона всемирного тяготения Ньютона изначально обречен на провал. Некоторое время казалось, что если ввести в уравнение все сложности человеческой натуры, то нельзя делать вообще никаких прогнозов. Если задействовано множество индивидуумов в масштабах всего населения, положение становится еще более безнадежным. Однако некоторые гениальные мыслители не стали отчаиваться, а разработали новый арсенал новаторских математических инструментов – статистику и теорию вероятностей.
Случайности, смерть и налоги
Английский писатель Даниэль Дефо (1660–1731), прославившийся благодаря приключенческому роману о Робинзоне Крузо, был автором также и демонологического сочинения «The Political History of the Devil» («Политическая история дьявола»). В нем Дефо, которому повсюду мерещились дьявольские козни, писал: «Неизбежны лишь смерть и налоги». Бенджамин Франклин (1706–1790) придерживался, похоже, той же точки зрения на неизбежность. В письме, которое он написал в возрасте восьмидесяти трех лет французскому физику Жану-Батисту Леруа, он утверждал: «Наша Конституция – это настоящее дело. Все говорит о том, что она проживет еще долго, однако в этом мире ни в чем нельзя быть уверенным, кроме смерти и налогов».
И в самом деле, течение нашей жизни представляется непредсказуемым – на нас влияют и стихийные бедствия, и человеческие ошибки, и просто случайности, и счастливые, и наоборот. Мы постоянно приговариваем «Всякое бывает» – именно для того, чтобы выразить свою беззащитность перед неожиданным и неспособность влиять на волю случая. Несмотря на эти препятствия, а может быть, и благодаря им математики, социологи, психологи и биологи еще в XVII веке всерьез взялись за методическое изучение неопределенностей. После того как появилась отрасль статистической механики и ученые столкнулись с тем, что самые основы физики – в виде квантовой механики – основаны на неопределенности, физики ХХ и XXI веков с энтузиазмом бросились в гущу схватки. Оружие ученых в борьбе с отсутствием точного детерминизма – способность вычислить шансы на тот или иной результат. Точно предсказать результат невозможно, поэтому приходится довольствоваться расчетом вероятности разных исходов. Инструменты, которые создали, чтобы добиваться успехов в исследованиях на основании простых догадок и умозаключений, – статистика и теория вероятности – не просто заложили фундамент современной науки, но и позволяют изучать самые разные виды общественной деятельности от экономики до спорта.
На теорию вероятности и статистику мы опираемся практически каждый раз, когда надо принять какое-то решение, – иногда бессознательно. Например, вы, скорее всего, не знаете, что в 2004 году в США в автомобильных катастрофах погибло 42 636 человек. Однако если бы это число составляло, скажем, три миллиона, вам бы это наверняка было известно. Более того, эти знания, вероятно, заставили бы вас трижды подумать, прежде чем сесть за руль поутру. Почему же точные данные о жертвах автокатастроф придают нам некоторую уверенность, когда мы решаем сесть в машину и отправиться в путь? Как мы вскоре увидим, главная составляющая их надежности – то, что они основаны на очень больших числах. Количество жертв в городке Фрайо-таун в Техасе, где население в 1969 году составляло всего 49 человек, было бы для нас не таким веским аргументом.
Теория вероятности и статистика – самые главные козыри в рукаве экономистов, политтехнологов, генетиков, страховых компаний и всех тех, кто пытается сделать осмысленные выводы на основании огромных объемов данных. Когда мы говорим, что математика пронизывает все другие дисциплины, даже те, которые раньше не входили в сферу влияния точных наук, то имеем в виду, что дорогу ей проложили именно теория вероятности и статистика. Как же возникли эти столь плодородные ответвления математики?
Слово «статистика» происходит от итальянского «stato» (государство) и «statista» (государственный деятель) и первоначально относилось лишь к сбору фактов правительственными чиновниками. Автором первой существенной работы по статистике в современном смысле был человек довольно неожиданный – лондонский лавочник, живший в XVII веке. Джон Граунт (1620–1674) сызмальства учился продавать пуговицы, иголки и ткани[83]. Поскольку работа оставляла Граунту довольно много свободного времени, он самостоятельно выучил латынь и французский и заинтересовался «Бюллетенями о смертности» – еженедельными сводками о количестве смертей по церковным приходам, которые публиковались в Лондоне с 1604 года. Сам процесс издания этих отчетов был организован в основном для раннего распознавания и предупреждения опустошительных эпидемий. На основании этих грубых данных Граунт стал делать любопытные наблюдения, которые затем и выпустил в свет в виде маленькой – 85 страниц – книжки под названием «Natural and Political Observations Mentioned in a Following Index, and Made upon the Bills of Mortality» («Естественные и политические наблюдения, упомянутые в предлагаемом перечне и сделанные на основе бюллетеней о смертности»). На рис. 32 приведен пример таблицы из книги Граунта, где перечислено целых 63 разновидности недугов и несчастных случаев в алфавитном порядке. В посвящении президенту Королевского научного общества Граунт указывает, что поскольку в его книге упоминаются «воздух, страны, времена года, плодородие, здоровье, болезни, долголетие и связь между полом и возрастом человека», на самом деле это трактат о естествознании. И в самом деле, Граунт отнюдь не ограничился тем, что собрал и представил данные. Например, он исследовал среднее количество крещений и похорон лиц мужского и женского пола в Лондоне и в сельском приходе Ромси в Гемпшире и впервые показал, что соотношение числа мальчиков и девочек при рождении постоянно. Точнее, он обнаружил, что в Лондоне на четырнадцать мальчиков рождается тринадцать девочек, а в Ромси – пятнадцать девочек на шестнадцать мальчиков. Оказалось, что Граунт обладал незаурядным научным мышлением: он высказал пожелание, чтобы «путешественники разузнали, так ли обстоят дела в других странах». Кроме того, он отметил, что «для человечества большое благо, что переизбыток лиц мужского пола служит естественной преградой для полигамии, ведь иначе женщины не смогли бы жить с ними в парах и расходовать средства наравне со своими мужьями, как сейчас, однако же дела обстоят именно так». Сегодня установлено, что соотношение между мальчиками и девочками при рождении составляет примерно 1,05. Традиционно этот избыток объясняют тем, что мать-природа предпочитает порождать мальчиков, поскольку эмбрионы и младенцы мужского пола несколько слабее и не так выносливы, как девочки. Кстати, по не вполне понятным причинам и в США, и в Японии с 1970 годов мальчиков стало рождаться немного меньше.
Рис. 32
Граунт предпринял и еще одну новаторскую попытку – попытался составить «таблицу жизни», распределение возрастов в популяции на основании количества смертей от каждой причины. Очевидно, что эти данные имели большое политическое значение, поскольку из них следовало, сколько в стране мужчин, способных носить оружие, в возрасте от шестнадцати до пятидесяти шести лет. Строго говоря, вывести распределение возрастов Граунт не мог – не хватало информации. И вот тогда-то он и продемонстрировал находчивость и умение найти творческий подход. Вот как он описывает свои методы оценки детской смертности.
Первое наше наблюдение над смертностью и ее причинами должно быть таким: за двадцать лет от всех болезней и несчастных случаев умерли 229 250 человек, из них 71 124 умерли от молочницы, колик, прорезывания зубов, рахита и глистов; в результате преждевременных родов, после крещения, во младенчестве, от увеличения печени, от удушья в постели; то есть около 1/3 всех умерли от этих недугов, которые, как мы полагаем, случаются у детей в возрасте до четырех-пяти лет. Умирали также от оспы, ветряной оспы и кори и от глистов без колик, всего 12 210, и мы предполагаем, что около 1/2 от этого числа, вероятно, были дети моложе шести лет. Если же предположить, что 16 из упомянутых 229 тысяч умерли от невиданной и страшной погибели – чумы – мы обнаружим, что около тридцати шести процентов всех зачатых скончались в возрасте до шести лет.
Иначе говоря, Граунт оценил, что смертность в возрасте до шести лет должна составлять (71 124 + 6 105) (229 250–16 000) = 0,36. При помощи подобных рассуждений и обоснованных догадок Граунт оценил и смертность в преклонном возрасте. Наконец, он заполнил пробел между шестью и семьюдесятью шестью годами при помощи математического допущения о поведении процента смертности в зависимости от возраста. Хотя выводы Граунта не всегда здравы, его исследование положило начало статистике в привычном для нас виде. Его наблюдения над процентными показателями тех или иных событий, которые раньше считались исключительно волей случая или судьбы (например, над смертностью от различных болезней) показали, что эти события, напротив, отличаются строгой регулярностью, – и, таким образом, Граунт ввел в общественные науки чисто научный количественный подход.
Последователи Граунта отчасти переняли его методологию, однако выработали и более точное математическое понимание применения статистики. Как ни удивительно, самые серьезные поправки в «таблицу жизни» Граунта внес астроном Эдмонд Галлей, тот самый, который уговорил Ньютона опубликовать «Начала». Почему всех так волнуют «таблицы жизни»? Отчасти потому, что это был и есть фундамент страхования жизни. Страховые компании (а также брачные авантюристы, которые женятся ради денег!) очень интересуются вопросами наподобие «Если человек дожил до шестидесяти, какова вероятность, что он доживет до восьмидесяти?»
Чтобы построить свою «Таблицу жизни», Галлей изучил подробные записи, которые велись в городе Вроцлав в Силезии с конца XVI века. Вроцлавский пастор доктор Каспар Нойманн при помощи этих списков боролся с бытовавшими в его приходе суевериями, что-де здоровье очень слабеет в определенные фазы Луны или в возрасте, который делится на семь или на девять. В результате статья Галлея под довольно длинным названием «An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, drawn from curious Tables of the Births and Funerals at the City of Breslaw; with an Attempt to ascertain the Price of Annuities upon Lives» («Оценка степени смертности людей на основании любопытных таблиц рождений и похорон в городе Вроцлав, с попыткой установить стоимость пожизненной ренты»)[84] легла в основу математики страхования жизни. Чтобы у вас сложилось впечатление о том, как страховые компании оценивают свои шансы, рассмотрим таблицу Галлея. В частности, из таблицы видно, что из 710 человек, которые были живы в возрасте шести лет, 346 дожили до пятидесяти. Следовательно, соотношение 346/710 или 0,49 вполне можно считать приблизительной вероятностью, что ребенок, доживший до шести лет, доживет и до пятидесяти. Подобным же образом из 242 шестидесятилетних 41 доживет до восьмидесяти. А значит, вероятность прожить с шестидесяти до восьмидесяти можно оценить как 41/242, то есть около 0,17. Логика подобных умозаключений очень проста. Она опирается на опыт прошлого, чтобы рассчитать вероятность разнообразных событий в будущем. Если выборка, на основании которой делается прогноз, достаточно велика (а таблица Галлея основана на населении приблизительно 34 000 человек) и сделаны определенные допущения (например, что смертность не меняется со временем), то на полученные вероятности вполне можно опираться. Вот как эту же задачу описывал Якоб Бернулли[85].
Какой же смертный, я вас спрашиваю, в состоянии оценить количество недугов, происходящих ото всех возможных причин, которые поражают тело человека в каждую из множества его частей и в любом возрасте, и сказать, с какой вероятностью смертельным окажется то или иное заболевание… и на этом основании делать предсказания о соотношении жизни и смерти в грядущих поколениях?
Заключив, что это и подобные предсказания «зависят от условий, которые полностью скрыты от нас, и постоянно обманывают наши чувства бесконечной сложностью своих взаимодействий», Бернулли также предлагает статистический (вероятностный) подход.
Впрочем, есть и другой способ, который приведет нас к искомому и даст возможность по крайней мере a posteriori оценить то, что мы не можем определить a priori, тоесть оценить это по результатам, наблюдаемым во множестве других случаев. В этой связи следует предположить, что при сходных условиях то, что событие состоится (или не состоится) в будущем, будет следовать той же закономерности, которая наблюдалась для похожих событий в прошлом. Например, если мы наблюдали, что из 300 человек одного возраста и той же конституции, как некто Тициус, 200 умерли в течение десяти лет, а остальные остались жить, мы можем с разумной уверенностью заключить, что шансов, что Тициус вынужден будет уплатить долг природе в течение ближайшей декады, вдвое больше, чем шансов, что он проживет дольше этого времени.
Свои математические выкладки, касающиеся смертности, Галлей завершил интересным замечанием более философского толка. Особенно трогателен один абзац.
Помимо применений, описанных выше, вероятно, было бы, пожалуй, позволительно выводить из тех же самых Таблиц, сколь несправедливо мы ропщем на быстротечность жизни и думаем, будто нас обделили, если мы не достигли старости, поскольку из Таблиц явствует, что половина тех, кто появляется на свет, умирает до достижения семнадцати лет: 1238 к тому времени сокращается до 616. Так что вместо того, чтобы сетовать на так называемую безвременную смерть, мы должны со смирением и равнодушием покориться распаду – неизбежному свойству бренного вещества, из которого мы состоим, и нашей хрупкой и прекрасной структуры и состава, и быть искренне благодарными за то, что пережили – причем зачастую на много лет – тот период, до которого не доживает половина всего рода человеческого.
Хотя положение в большей части современного мира по сравнению с печальной статистикой Галлея заметно улучшилось, к сожалению, так обстоят дела не во всех странах. Например, в Замбии уровень смертности детей до пяти лет в 2006 году достиг чудовищной цифры в 182 смерти на 1000 живых новорожденных. И ожидаемая продолжительность жизни в Замбии так низка, что сердце сжимается: всего тридцать семь лет.
Однако статистика занимается не только смертями. Она проникает во все аспекты человеческой жизни – от чисто физических черт до плодов интеллектуального труда. То, что статистика, потенциально способна порождать «законы» для общественных наук, первым понял бельгийский ученый-энциклопедист Ламбер-Адольф-Жак Кетле (1796–1874). Именно ему мы и обязаны введением общестатистического понятия «среднего человека».
Средний человек
Адольф Кетле родился 22 февраля 1796 года в древнем бельгийском городе Генте[86]. Его отец, городской чиновник, умер, когда Адольфу было всего семь лет. Кетле был вынужден сам зарабатывать себе на жизнь и уже в 17 лет стал преподавать математику. В свободные от учительских обязанностей время он сочинял стихи, написал либретто оперы, поучаствовал в создании двух пьес и перевел несколько художественных произведений. При всем при том его любимым предметом осталась математика, и он первым закончил Гентский университет со степенью доктора наук. В 1820 году Кетле был избран членом Королевской академии наук в Брюсселе и вскоре стал принимать активнейшее участие в ее деятельности. Следующие несколько лет были посвящены в основном преподаванию и публикации нескольких трактатов по математике, физике и астрономии.
Первую лекцию по истории науки Кетле обычно начинал следующим глубоким наблюдением: «Чем сильнее развиваются науки, тем дальше они вступают в сферу влияния математики, которая становится словно бы центром, к которому они стягиваются. О том, какого совершенства достигла та или иная наука, можно судить по тому, с какой легкостью ее результаты можно получить путем вычисления».
В декабре 1823 года Кетле за государственный счет направили в Париж, в основном для изучения наблюдательных методов астрономии. Однако оказалось, что трехмесячный визит в тогдашнюю математическую столицу мира направил Кетле в совершенно другую сторону – к изучению теории вероятности. А пламенный интерес к этой теме разжег у Кетле не кто-нибудь, а сам Лаплас. Впоследствии Кетле так писал о своем опыте работы в статистике и теории вероятности (Quetelet 1828).
Случай – это таинственное слово, которое так часто употребляют не к месту – нужно понимать лишь как прикрытие для невежества, это фантом, захвативший абсолютную власть над заурядным умом, привыкшим рассматривать события исключительно в изолированном виде, но рассыпающийся в прах перед философом, чей кругозор охватывает длинную череду событий и чья проницательность не отвлекается на мелкие отклонения, которые исчезают, стоит ему встать на нужную точку зрения и распознать законы природы.
Трудно переоценить значение этого вывода. В сущности, Кетле отрицает роль случая и заменяет его смелым, хотя и не вполне доказанным, предположением, что причины есть даже у общественных феноменов и что закономерности, проявляющиеся в статистических результатах, можно использовать для выявления законов, лежащих в основе общественного порядка.
В попытке проверить свой статистический подход Кетле отважился на масштабное начинание – стал собирать коллекцию из тысяч измерений различных параметров человеческого тела. Например, он изучал распределение обхвата груди 5738 шотландских солдат и рост 100 000 французских призывников, отдельно прослеживая частоту, с которой встречается каждая человеческая черта. Иначе говоря, он графически выразил, сколько призывников имеют рост, скажем, от пяти футов до пяти футов двух дюймов, сколько – от пяти футов двух дюймов до пяти футов четырех дюймов и т. д. В дальнейшем он построил подобные кривые даже и для «моральных», по его выражению, черт, для которых удалось набрать достаточно данных. В число этих качеств входили самоубийства, браки и склонность к правонарушениям. К своему изумлению, Кетле обнаружил, что все человеческие характеристики следовали так называемому нормальному распределению частоты в виде колокольчика (рис. 33). Эту линию также не вполне заслуженно называют гауссианой в честь «князя математики» Карла Фридриха Гаусса. Что бы ни измерял Кетле – рост, вес, длину конечностей и даже интеллектуальные качества, определяемые лучшими на тот момент психологическими тестами, – у него раз за разом получалась одна и та же кривая. Для Кетле она была не в новинку: математики и физики знали ее, еще начиная с середины XVIII века, и Кетле был с ней знаком еще по астрономическим наблюдениям, так что некоторой неожиданностью для него стала лишь связь этой кривой с чертами и качествами человека. Раньше эту кривую называли кривой ошибок, поскольку она появлялась при исследовании всякого рода ошибок и погрешностей в измерениях.
Рис. 33
Представьте себе, например, что вам хочется очень точно измерить температуру жидкости в сосуде. Можно взять точнейший термометр и на протяжении часа сделать тысячу последовательных измерений. Окажется, что из-за случайных ошибок, а может быть, и некоторых колебаний температуры не все результаты будут одинаковы. Скорее, все результаты скопятся вокруг какого-то центрального значения, но иногда температура окажется чуть выше, иногда чуть ниже. Если записать, сколько раз среди измерений встретилось то или иное значение, получится та самая кривая в виде колокольчика, которая, как выяснил Кетле, также описывает черты и качества человека. Более того, чем больше измерений той или иной физической величины будет проделано, тем точнее полученное распределение частот приблизится к нормальной кривой. Непосредственный вывод, который напрашивается из этого при ответе на вопрос о непостижимой эффективности математики, сам по себе поразителен: оказывается, строгим математическим законам подчиняются даже человеческие ошибки!
Кетле сделал и более смелые выводы. Он решил, что если черты и качества человека описываются кривой ошибок, значит, «средний человек» – это тип, который природа стремится породить[87]. По мысли Кетле, подобно тому, как при производстве гвоздей погрешности изготовления приводят к некоему распределению колебаний длины гвоздя возле средней (правильной) длины, ошибки природы распределены вокруг некоего предпочтительного биологического типа. Кетле объявил, что представители одного народа стремятся к какому-то среднему показателю, «словно результаты измерений одного и того же человека при помощи инструментов, грубость которых объясняла бы разброс отклонений».
Очевидно, это было все же слишком смелое обобщение. Конечно, Кетле открыл, что биологические характеристики, и физические, и психологические, распределяются по нормальной кривой частот, и это было необычайно важное открытие, однако нельзя ни считать его доказательством намерений матери-природы, ни рассматривать отдельные вариации просто как ошибки. Скажем, Кетле обнаружил, что средний рост французских призывников составляет пять футов четыре дюйма. Однако на левом конце кривой он обнаружил человека ростом в один фут пять дюймов. Очевидно, нельзя списывать это на ошибку в четыре фута, допущенную при измерении роста в пять футов четыре дюйма.
Даже если пренебречь идеей «законов», которые определяют создание людей по одному шаблону, уже одно то, что распределение самых разных свойств – от веса до IQ – следует одной и той же нормальной кривой, само по себе примечательно. Но этого мало – даже распределение среднего уровня успешных подач в высшей бейсбольной лиге и то более или менее нормально, равно как и доходность фондовых индексов (которые составляются из множества отдельных фондов). Более того, если распределение отклоняется от нормальной кривой, его, как правило, надо основательно проверить. Например, если распределение оценок по английскому языку в какой-то школе отличается от нормального, это наводит на мысль о проверке принятых там правил выставления оценок. Однако это не означает, что все распределения нормальны. Распределение длин слов, которые Шекспир употреблял в своих пьесах, не нормально. Слов из трех-четырех букв у него гораздо больше, чем слов из одиннадцати-двенадцати букв. Среднегодовой доход на семью в США тоже распределяется не в соответствии с нормальной кривой. Например, в 2006 году самые богатые 6,37 % домохозяйств получали примерно треть всего дохода. Это наталкивает на интересный вопрос: если и физические, и интеллектуальные качества людей (определяющие, надо думать, потенциальные способности получать доход) подчиняются нормальному распределению, почему с доходом все иначе? Ответы на подобные социально-экономические вопросы, к сожалению, выходят за рамки этой книги. С нашей нынешней – несколько ограниченной – точки зрения удивляться следует уже тому, что, похоже, все физически измеримые особенности людей, растений и животных (той или иной разновидности) распределяются по одной-единственной математической функции.
Исторически человеческие характеристики служили основой не только для изучения статистических частотных распределений, но и для формулировки математического понятия корреляции. Корреляция – это степень, в которой изменения значения одной переменной приводят к изменениям другой. Например, чем выше женщина, тем больше у нее должен быть размер обуви. Подобным же образом психологи обнаружили корреляцию между интеллектом родителей и школьной успеваемостью детей.
Понятие корреляции особенно полезно в ситуациях, когда между двумя переменными нет точной функциональной взаимозависимости. Например, представим себе, что одна переменная – максимальная дневная температура на юге Аризоны, а другая – количество лесных пожаров в том регионе. Невозможно предсказать, какое количество лесных пожаров возникает при данной температуре, поскольку количество пожаров зависит и от других переменных, в частности, от влажности воздуха и от количества костров, которые разжигают люди. Иначе говоря, любому значению температуры соответствует разное количество лесных пожаров и наоборот. И все же математическое понятие коэффициента корреляции позволяет нам количественно измерить прочность отношений между двумя подобными переменными.
Коэффициент корреляции ввел в арсенал математиков викторианский географ, метеоролог, антрополог и статистик сэр Фрэнсис Гальтон (1822–1911)[88]. Гальтон – кстати, двоюродный брат Чарльза Дарвина – не был профессиональным математиком. Он был человек сугубо практического склада и обычно предоставлял другим математикам доводить свои новаторские понятия до совершенства; особенно ему помогал в этом статистик Карл Пирсон (1857–1936). Вот как Гальтон объяснял понятие корреляции.
Длина локтя коррелирует с телосложением, поскольку длинный локоть обычно предполагает высокий рост. Если корреляция между ними очень тесная, то очень длинный локоть обычно предполагает очень высокий рост, однако если бы она была не очень тесная, то очень длинный локоть в среднем связывался бы всего лишь с высоким, но не с очень высоким ростом, тогда как если бы она была нулевая, то очень длинный локоть не был бы связан ни с какими особенностями роста, а следовательно, в среднем, был бы связан с заурядным ростом.
В дальнейшем Пирсон дал точное математическое определение коэффициента корреляции. Этот коэффициент определяется таким образом, что когда корреляция очень высока – то есть когда колебания одной переменной очень точно следуют за взлетами и падениями другой, – коэффициент приобретает значение 1. Если же две величины антикоррелированы, то есть одна величина возрастает, когда другая уменьшается, и наоборот, коэффициент равен –1. Если две переменные ведут себя так, будто другой и вовсе не существует, коэффициент корреляции равен 0 (например, поведение иных правительств, к сожалению, демонстрирует практически нулевую корреляцию с пожеланиями народа, который они якобы представляют).
От выявления и вычисления корреляций в наши дни зависят и медицинские исследования, и экономические прогнозы. Например, связь между курением и раком легких и загаром и раком кожи изначально была выявлена благодаря обнаружению и вычислению корреляций. Биржевые аналитики постоянно пытаются найти и вычислить корреляции между поведением рынка и другими переменными – и любое подобное открытие приносит фантастические прибыли.
Как быстро выяснили некоторые первые статистики, и сбор статистических данных, и их интерпретация – дело непростое, и заниматься им надо с предельной осторожностью. Рыбак, который пользуется сетью с ячеей в десять дюймов, рискует сделать вывод, будто все рыбы в море больше десяти дюймов – просто потому, что более мелкая рыба к нему в сети не попадается. Это пример эффекта селекции, иначе называемого ошибкой отбора – предвзятости, которая влияет на результаты и вызвана либо используемым для сбора данных аппаратом, либо методами их анализа. Еще одна трудность – размер выборки. Например, современные опросы общественного мнения обычно охватывают не более нескольких тысяч человек. Откуда опрашивающие знают, что мнения, высказанные теми, кто попал в эту выборку, точно отражают мнения сотен миллионов человек? Кроме того, следует понимать, что корреляция не обязательно предполагает причинно-следственные связи. Иногда количество проданных тостеров растет одновременно с количеством проданных билетов на концерты классической музыки, но из этого не следует, что появление в доме нового тостера способствует улучшению музыкального вкуса. Скорее, и то и другое вызвано повышением уровня жизни.
Невзирая на все эти существенные оговорки, статистика превратилась в современном обществе в весьма действенный инструмент – именно она, в сущности, и делает социальные науки науками. Но почему она вообще дает осмысленные результаты? Ответ на этот вопрос дает математика вероятности, которая определяет самые разные стороны современной жизни. Когда инженеры решают, какими предохранительными устройствами снабдить пилотируемую исследовательскую капсулу для астронавтов, физики-ядерщики анализируют результаты экспериментов на ускорителе, психологи оценивают развитие детей по результатам тестов на IQ, фармацевтические компании оценивают действенность новых лекарств, а генетики изучают человеческую наследственность – все это непременно опирается на математическую теорию вероятности.
Игра случая
Серьезные исследования вероятности начались довольно скромно – с попыток игроков понять, как делать ставки в зависимости от шансов на успех[89]. В частности, в середине XVII века один французский аристократ по имени шевалье де Мере, известный игрок, задал целый ряд вопросов об игре знаменитому французскому математику и философу Блезу Паскалю (1623–1662). Паскаль в 1654 году вступил в оживленную переписку по поводу этих вопросов с другим французским математиком того времени Пьером Ферма (1601–1665). По сути дела, в ходе этой переписки и родилась теория вероятности.
Рассмотрим интереснейший пример, который Паскаль исследует в письме, датированном 29 июля 1654 года (Todhunter 1865, Hald 1990). Представьте себе двух аристократов, которые играют в кости, бросая один-единственный кубик. Каждый игрок положил на стол по 32 золотых пистоля. Первый игрок загадал число 1, второй – число 5. Каждый раз, когда на кубике выпадает загаданное игроком число, он получает одно очко. Побеждает тот, кто первым наберет три очка. Однако предположим, что с начала игры число 1 выпадало уже дважды, то есть игрок, загадавший его, получил уже два очка, а число 5 – лишь один раз, то есть его противник получил всего лишь одно очко. Если игра по какой-то причине в этот момент прерывается, как разделить между игроками 64 пистоля? Паскаль и Ферма нашли математически логичный ответ. Если бы игрок, набравший два очка, выиграл при следующем броске, то получил бы все 64 пистоля. Если бы при следующем броске выиграл второй игрок, то у каждого стало бы по два очка, и каждый, следовательно, получил бы по 32 пистоля. Поэтому, если игроки расходятся, не совершив следующего броска, первый игрок мог бы по справедливости сказать: «Я точно получу 32 пистоля, даже если проиграю этот бросок, а что касается остальных 32 пистолей, то их получу либо я, либо вы, наши шансы равны. Так что давайте поделим эти 32 пистоля поровну, а мне отдадим еще и те 32 пистоля, в которых я уверен». Иначе говоря, первый игрок должен получить 48 пистолей, а второй – 16 пистолей. Просто не верится, что из этих тривиальных на вид рассуждений родилась глубочайшая научная дисциплина! Однако именно по этой причине математика и обладает непостижимой и необъяснимой эффективностью, именно поэтому она так загадочна.
Суть теории вероятности можно уяснить из следующих простых фактов[90]. Никто не может точно предсказать, какой стороной вверх упадет подброшенная монетка. Даже если десять раз подряд выпадала решка, это ни на йоту не поможет нам точно предсказать, что выпадет в следующий раз. Однако мы можем совершенно точно предсказать, что если бросить монетку десять миллионов раз, то с очень небольшими отклонениями в половине случаев выпадет орел, а в половине – решка. Более того, в конце XIX статистик Карл Пирсон, набравшись терпения, подбросил монетку 24 000 раз. Решка выпала в 12 012 случаев. В некотором смысле теория вероятности к этому и сводится. Теория вероятности снабжает нас точной информацией о том, как будет выглядеть совокупность результатов большого количества экспериментов, но никогда не предсказывает результат какого-то одного конкретного эксперимента[91]. Если эксперимент может дать n возможных результатов, причем шансы получить каждый из них равны, то вероятность каждого результата равна 1/n. Если бросить кость, не жульничая, то вероятность получить число 4 равна 1/6, поскольку у игральной кости шесть сторон и шансы на то, что выпадет та или иная из них, равны. Представьте себе, что вы бросили кость семь раз подряд и каждый раз получали 4 – какова вероятность получить 4 в результате следующего броска? Теория вероятности дает на это четкий и ясный ответ: вероятность по-прежнему равна 1/6, потому что кость ничего не помнит и все разговоры о «счастливой звезде» и о том, что следующий бросок возместит прежний перекос, не более чем мифы. А правда состоит в том, что если бросить кость миллион раз, результаты выровняются по средним значениям, и 4 будет выпадать почти точно в 1/6 части случаев.
Рассмотрим несколько более сложную ситуацию. Предположим, вы одновременно бросаете три монеты. Какова вероятность получить две решки и одного орла? Ответ мы получим, если переберем все возможные варианты. Обозначим орлов О, а решки Р и получим восемь возможных вариантов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР и ООО. Легко убедиться, что варианту «две решки, один орел» соответствует три комбинации. Следовательно, вероятность этого события 3/8. А в общем виде, если из n результатов с равными шансами m соответствуют событию, которое вас интересует, то вероятность такого составляет m/n. Обратите внимание, что это значит, что вероятность принимает значения от 0 до 1. Если интересующее вас событие не может произойти, то m = 0 (никакой результат ему не соответствует) и вероятность равна нулю. Если же событие произойдет совершенно точно, значит, ему соответствуют все n результатов (m = n) и вероятность попросту составляет n/n = 1. Результаты броска трех монет свидетельствуют и еще об одной существенной особенности теории вероятностей: если у вас есть несколько событий, полностью независимых друг от друга, то вероятность, что произойдут они все, – это произведение отдельных вероятностей. Например, вероятность получить три орла равна 1/8, что равно произведению трех вероятностей получить орла на каждой из трех монет: 1/2 1/2 1/2 = 1/8.
Ладно, подумаете вы, но где можно применять эти фундаментальные понятия теории вероятностей? Разве что в казино или во время других азартных игр? Представьте себе, эти незначительные на первый взгляд законы теории вероятностей лежат в основе современных генетических исследований – изучения наследования биологических характеристик.
Теорию вероятности свел с генетикой один моравский священник[92]. Грегор Мендель (1822–1884) родился в деревне близ границы между Моравией и Силезией (нынешняя деревня Хинчице в Чешской республике). Приняв постриг в августинском монастыре Св. Фомы в Брно, Мендель изучал зоологию, ботанику, физику и химию в Венском университете. Вернувшись в Брно, он начал деятельно экспериментировать с душистым горошком при всевозможной поддержке настоятеля монастыря.
Объектом исследования Мендель выбрал именно душистый горошек, поскольку его легко выращивать, а также потому, что у растения есть и мужские, и женские органы размножения. Следовательно, растения душистого горошка могут размножаться и самоопылением, и скрещиванием с другим растением. При скрещивании растений, которые дают только зеленые зерна, с растениями, которые дают только желтые зерна, Мендель получил на первый взгляд какие-то странные результаты (рис. 34). У растений первого поколения зерна были только желтые. Однако во втором поколении соотношение желтых и зеленых зерен всегда составляло 3:1! Это неожиданное открытие дало Менделю возможность сделать три вывода, ставшие важнейшими вехами становления генетики.
1. Наследование той или иной черты предполагает передачу неких «факторов» (сегодня мы зовем их генами) от родителей потомству.
2. Каждый потомок наследует от каждого родителя по одному такому «фактору» (для каждой отдельной черты).
3. Отдельная черта может не проявиться у потомка, однако передаться следующему поколению.
Но как же объяснить количественные результаты опытов Менделя? Мендель утверждал, что у каждого растения-родителя должно быть два идентичных «фактора» (сегодня мы назвали бы их аллелями – вариантами гена), либо два желтых, либо два зеленых (как на рис. 35). При скрещивании каждый потомок наследует две разные аллели, по одной от каждого родителя (согласно вышеприведенному правилу 2). То есть каждое зерн потомка содержит желтую аллель и зеленую аллель. Почему же тогда в этом поколении все зерна желтые? Мендель объяснил, что желтый – доминирующий цвет и он маскирует присутствие в этом поколении зеленой аллели (правило 3). Однако (опять же в соответствии с правилом 3) доминантный желтый не мешает рецессивному зеленому передаваться следующему поколению. В следующем туре скрещивания каждое растение, содержащее одну желтую и одну зеленую аллель, опыляется другим растением, содержащим ту же комбинацию аллелей. Поскольку потомство содержит по одной аллели от каждого родителя, зерна следующего поколения могут содержать следующие комбинации (рис. 35): зеленая – зеленая, зеленая – желтая, желтая – зеленая или желтая – желтая. Все зерна с желтой аллелью становятся желтыми, потому что желтый цвет – доминантный.
Рис. 34
Рис. 35
Следовательно, поскольку у всех комбинаций равные шансы на возникновение, отношение желтых зерен к зеленым должно составлять 3:1.
Вы, возможно, заметили, что весь эксперимент Менделя, в сущности, ничем не отличается от эксперимента по бросанию двух монет. Назовем зеленые аллели орлами, а желтые – решками и зададимся вопросом, какая доля зерен будет желтой (с учетом того, что доминантная желтая аллель определяет цвет зерен), – и это будет то же самое, что спрашивать о вероятности получить по крайней мере одну решку при бросании двух монет. Очевидно, вероятность равна , поскольку решка есть в трех из возможных четырех результатов (решка – решка, решка – орел, орел – решка, орел – орел). Это значит, что соотношение количества бросков, где получается по крайней мере одна решка, к количеству бросков, где нет ни одной решки, в конечном итоге приблизится к 3:1, как в экспериментах Менделя.
Хотя Мендель опубликовал статью «Опыты по гибридизации растений» в 1865 году (и выступил с докладами на двух научных конференциях), его открытия остались незамеченными – и были обнаружены лишь в начале ХХ века[93]. Точность полученных результатов вызывала некоторые сомнения, но, тем не менее, Менделя считают основоположником математического подхода к современной генетике (см., например, Fisher 1936). Авторитетный английский статистик Рональд Эйлмер Фишер (1890–1962) по следам Менделя заложил фундамент популяционной генетики, отрасли математики, которая занимается распределением генов в популяции и расчетами изменения частотности генов со времени[94]. Сегодня генетики опираются на статистические выборки в сочетании с исследованиями ДНК для прогнозирования возможных характеристик еще не рожденного потомства.
Но все же – как связаны статистика и вероятность?
Факты и прогнозы
Стремясь разобраться в эволюции Вселенной, ученые обычно подходят к этой проблеме с обеих сторон. Одни начинают с тончайших колебаний ткани мироздания в первичной Вселенной, другие изучают все подробности нынешнего состояния Вселенной. Первые разрабатывают масштабные компьютерные модели, которые показывают, как Вселенная развивалась с течением времени. Вторые занимаются детективной работой – пытаются дедуктивно вычислить прошлое Вселенной по множеству характеристик ее нынешнего состояния. Примерно таковы и отношения между теорией вероятности и статистикой. В теории вероятности заданы переменные и первоначальное состояние, и ее цель – предсказать наиболее вероятный конечный результат. В статистике известен результат, но не определены причины, которые к нему привели.
Рассмотрим простой пример того, как эти две области встречаются, так сказать, посередине и дополняют друг друга. Начнем с того факта, что статистические исследования показывают, что измерения самых разных физических величин и даже человеческих черт распределяются согласно кривой нормального распределения. Но на самом деле кривая нормального распределения – это не какая-то одна кривая, а целое семейство кривых, описываемых одной и той же общей функцией, и все они полностью характеризуются всего двумя математическими величинами. Первая из них – среднее значение – это центральное значение, относительно которого распределение симметрично. Эта величина зависит, разумеется, от того, какую именно переменную измеряют (рост, вес, IQ и так далее). Среднее значение одной и той же переменной может быть разным в разных популяциях. Например, средний рост шведов, скорее всего, отличается от среднего роста перуанцев. Вторая величина, определяющая кривую нормального распределения, называется стандартным отклонением. Это мера того, насколько тесно данные сосредоточены вокруг среднего значения. На рис. 36 у кривой нормального распределения (а) самое большое стандартное отклонение, поскольку значения рассеяны шире. Однако тут мы сталкиваемся с интересным фактом. Если с помощью интегрирования сосчитать площадь под кривой, легко математически доказать, что независимо от среднего значения и величины стандартного отклонения, 68,2 % измерений лежат в области, ограниченной одним стандартным отклонением по обе стороны от среднего значения (рис. 37). Иначе говоря, если среднее значение IQ в определенной (крупной) популяции равно 100, а стандартное отклонение равно 15, то 68,2 % людей в этой популяции обладают IQ между 85 и 115. Более того, для всех кривых нормального распределения 95,4 % всех случаев лежат в пределах двух стандартных отклонений от среднего, а 99,7 % данных попадают в пределы трех стандартных отклонений по обе стороны от среднего (рис. 37). Из этого следует, что в вышеприведенном примере 95,4 % популяции обладают IQ между 70 и 130, а 99,7 % – между 55 и 145.
Теперь предположим, что мы хотим предсказать, какова вероятность, что у случайно выбранного человека из этой популяции IQ окажется между 85 и 100. Рис. 37 подсказывает нам, что эта вероятность – 0,341 (или 34,1 %), поскольку по законам теории вероятности вероятность – это количество желаемых результатов, деленное на общее количество возможностей. А если нам интересно выяснить, какова вероятность, что кто-то (случайно выбранный) из этой популяции обладает IQ выше 130, то взгляд на рис. 37 покажет, что эта вероятность равна примерно 0,022, то есть 2,2 %. Примерно так же, опираясь на свойства нормального распределения и на метод интегрального исчисления (для вычисления площади под кривой), можно вычислить вероятность, что значение IQ попадет в тот или иной заданный диапазон. Иными словами, ответы нам дают теория вероятности и ее половинка-помощница статистика – в сочетании.
Как я уже не раз подчеркивал, вероятность и статистика обретают смысл, если имеешь дело с большим количеством событий, но не с отдельными событиями. Этой фундаментальной оговоркой, известной как закон больших чисел, мы обязаны Якобу Бернулли, который сформулировал ее в виде теоремы в своей книге «Ars Conjectandi» («Искусство предположений»; на рис. 38 приведен титульный лист)[95]. В переводе на обыденный язык теорема гласит, что если вероятность, что событие случится, равна p, то p – это самое вероятное соотношение количества случаев, когда это событие происходит, к общему числу попыток. Если же общее число попыток приближается к бесконечности, то доля успешных попыток становится в точности равна p. Вот как Бернулли формулирует закон больших чисел в «Искусстве предположений»: «Еще предстоит выяснить, увеличиваем ли мы при увеличении числа наблюдений и вероятность, что регистрируемое соотношение желаемых случаев к нежелательным приблизится к подлинному значению, и тогда эта вероятность в конце концов превзойдет всякую желаемую точность». Затем он пояснил это на конкретном примере[96].
Рис. 36
Рис. 37
У нас есть урна с 3000 белых и 2000 черных камешков, и мы хотим эмпирически определить соотношение количества белых и черных камешков – а мы его не знаем, – доставая из урн по одному камешку и записывая, когда нам попадается белый камешек, а когда черный (напоминаю, что при этом процессе должно соблюдаться важное требование: каждый камешек, отметив его цвет, следует положить обратно в урну и лишь затем доставать следующий, чтобы количество камешков оставалось постоянным). А теперь мы спрашиваем, возможно ли, увеличив число попыток, добиться, чтобы стало в 10, 100, 1000 раз вероятнее (а в конечном итоге прийти к «совершенной уверенности»), что соотношение количества извлечений белого камешка к количеству извлечений черного камешка приобретет точно такое же значение (3:2), что и подлинное соотношение черных и белых камешков в урне, а не какое-то другое значение? Если ответ отрицательный, то я признаю, что наша попытка оценить посредством наблюдения соотношение результатов в каждом конкретном случае (например, соотношение количества белых и черных камешков) обречена на провал. Но если это так, то мы наконец-то можем при помощи этого метода приблизиться к совершенной уверенности [в следующей главе «Искусства предположений» Якоб Бернулли доказывает, что так и есть] … и мы можем определять количество случаев a posteriori почти с той же огромной точностью, как если бы оно было известно нам a priori.
Рис. 38
Оттачиванию этой теоремы Бернулли посвятил двадцать лет, и она стала с тех пор одним из столпов статистики. В заключение он отметил, что убежден в существовании законов, которые управляют всем, – даже в тех областях, которые на первый взгляд представляются случайными.
Если бы удалось непрерывно пронаблюдать все события с этой минуты и на протяжении вечности (посредством чего вероятность превратилась бы в конечном итоге в уверенность), оказалось бы, что все в мире, даже то, что кажется нам совершенно случайным, происходит по определенным причинам и в определенном соответствии с законом, и что мы, следовательно, вынуждены предположить наличие определенной необходимости – если угодно, предопределения. Насколько я знаю, именно это имел в виду Платон, когда выдвигал доктрину вселенской цикличности и утверждал, что по истечении бесчисленных веков все вернется к первоначальному состоянию.
Мораль этой истории о науке неопределенности очень проста: можно применить математику даже к относительно «ненаучным» областям нашей жизни, в том числе и к тем, которые, как нам кажется, управляются чистой случайностью. Поэтому при попытках объяснить «непостижимую эффективность» математики мы не можем ограничиваться в дискуссии одними лишь законами физики. Рано или поздно нам все равно придется разбираться, что делает математику столь вездесущей.
Невероятное могущество математики не ускользнуло и от знаменитого драматурга и эссеиста Джорджа Бернарда Шоу (1856–1950). Несмотря на то, что прославился он отнюдь не математическими достижениями, Шоу написал очень глубокую статью о статистике и теории вероятности под названием «Напасть игры и благодать страховки» («The Vice of Gambling and the Virtue of Insurance»)[97]. В этой статье Шоу признает, что в его глазах страховка «основана на фактах, которые невозможно объяснить, и на рисках, которые способны вычислить лишь профессиональные математики». Однако далее он делает следующее проницательное замечание.
А теперь представьте себе деловую беседу между купцом, который жаждет торговать за границей, но отчаянно боится потерпеть кораблекрушение или быть сожранным дикарями, и шкипером, который жаждет заполучить грузы и пассажиров. Капитан уверяет купца, что его товары в полнейшей безопасности, как и он сам, буде он пожелает их сопровождать. Однако купец, голова у которого забита приключениями Ионы, Св. Павла, Одиссея и Робинзона Крузо, на это не отваживается. Разговор у них пойдет примерно так.
Капитан: В путь! Спорим на целую гору фунтов, что если ты поплывешь со мною, то в этот же день через год будешь жив и здоров!
Купец: Но если я приму эти условия, то должен буду поспорить с тобой на ту же сумму, что в течение года погибну.
Капитан: Почему бы и нет, если ты все равно наверняка проиграешь?
Купец: Но если я потону, то и ты потонешь, и что тогда станется с нашим спором?
Капитан: И то верно. Тогда я найду тебе какого-нибудь сухопутного жителя, который заключит этот спор с твоей женой и домочадцами.
Купец: Это меняет дело, но как же груз?
Капитан: Ха! Можем включить и его в условия спора. Или пусть у нас будет два пари – одно на твою жизнь, другое на груз. Уверяю тебя, все будет цело. Ничего не случится, а ты насмотришься на заграничные диковины!
Купец: Но если путешествие окончится благополучно и для меня, и для моих товаров, мне придется выплатить тебе сумму, на которую мы спорим. Если я не потону, то разорюсь.
Капитан: И это тоже истинная правда. Но здесь для меня гораздо меньше выгоды, чем ты думаешь. Если ты утонешь, то я тем более утону, ведь я буду последним, кто покинет тонущее судно. И все же позволь убедить тебя набраться отваги и отправиться в путь. Я ставлю десять к одному. Тебя это не соблазняет?
Купец: А, ну, в таком случае…
Капитан открыл страхование – как ювелиры открыли банковское дело.
Для тех, кто вслед за Шоу жалуется, что за все время обучения «не было сказано ни слова о смысле или практическом применении математики», этот юмористический рассказ об «истории» математики страхования будет очень полезен.
До сих пор, если не считать статьи Шоу, мы изучали развитие разных отраслей математики более или менее с точки зрения практикующих математиков. Для них, как и для многих философов-рационалистов вроде Спинозы, платонизм был очевиден. Не было никаких сомнений, что математические истины существуют в своем собственном мире и что человеческий разум способен получить доступ к этим сущностям безо всяких наблюдений – исключительно путем логических рассуждений. Первые признаки потенциальных расхождений между восприятием евклидовой геометрии как собрания вселенских истин и другими областями математики обнаружил ирландский философ Джордж Беркли, епископ Клойнский (1685–1753). В памфлете под названием «Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику» («The Analyst; Or a Discourse Addressed to An Infidel Mathematician») – этим математиком, как полагают, был Эдмонд Галлей – Беркли критикует самые основы интегрального и дифференциального исчисления в том виде, в каком их предлагают Ньютон в «Началах» и Лейбниц[98]. В частности, Беркли показал, что «флюксии» – производные в ньютоновском понимании, то есть мгновенные скорости изменений, определены совсем не строго, а это, с точки зрения Беркли, было основанием усомниться во всей научной дисциплине.
Метод флюксий является тем общим ключом, с помощью которого новейшие математики открывают секреты геометрии и, следовательно, природы. И поскольку именно он позволил им столь замечательно превзойти древних в открытии теорем и решении задач, его развитие и применение стало главным, если не единственным занятием всех тех, кто в наше время считается глубоким, основательным геометром. Но является ли этот метод ясным или же туманным, последовательным или противоречивым, убедительным или необоснованным? Я исследую это с величайшей беспристрастностью и представляю мое исследование на ваш суд и на суд каждого непредубежденного читателя. (Пер. Е. Лагутина.)
Несомненно, Беркли верно выявил суть проблемы – и в самом деле, непротиворечивая теория математического анализа сформировалась лишь к концу 1960 годов. Однако в XIX веке математике предстояло пережить еще более значительный кризис.
Глава 6
Геометры: шок будущего
В своей знаменитой книге «Шок будущего» (Toffler 1970) Элвин Тоффлер определяет заглавный термин как «разрушительный стресс и дезориентацию, которые вызывают у индивидов слишком большие перемены, происходящие за слишком короткое время» (пер. Е. Рудневой). Именно такой шок ожидал математиков, физиков и философов в XIX веке. В сущности, вера в то, что математика предлагает вечные незыблемые истины, вера, державшаяся тысячелетиями, рассыпалась в прах. Этот внезапный интеллектуальный переворот был вызван появлением новых типов геометрий – так называемых неевклидовых геометрий. Хотя большинство неспециалистов о них, наверное, и не слышали, масштаб этой революции в мышлении, которую вызвало появление этих новых отраслей математики, сравнивают с теорией эволюции Дарвина.
Чтобы вполне оценить природу этого колоссального мировоззренческого переворота, придется сделать краткий экскурс в историю математики.
Евклидова «Истина»
До начала ХIX века, если какую-то отрасль знаний и считали апофеозом истинности и несомненности, это была евклидова геометрия, та самая традиционная геометрия, которой учат в школе. Поэтому не приходится удивляться, что великий голландско-еврейский философ Барух Спиноза (1632–1677) назвал свой труд, где предпринял смелую попытку объединить науку, религию, этику и логику «Этика, доказанная в геометрическом порядке». Более того, несмотря на четкие различия между идеальным платоновским миром математических форм и физической реальностью, большинство ученых считали объекты евклидовой геометрии просто дистиллированными абстрактными соответствиями реальных физических предметов. Даже убежденные эмпирики вроде Дэвида Юма (1711–1776), который настаивал, что самые основы науки гораздо более сомнительны, чем можно заподозрить, были убеждены, что евклидова геометрия надежна, как Гибралтарская скала. В «Трактате о человеческом разумении» («An Enquiry Concerning Human Understanding») Юм определяет «истины» двух типов (Hume 1748).
Все объекты, доступные человеческому разуму или исследованию, по природе своей могут быть разделены на два вида, а именно: на отношения между идеями и факты. К первому виду относятся… вообще всякое суждение, достоверность которого или интуитивна, или демонстративна. …К такого рода суждениям можно прийти благодаря одной только мыслительной деятельности, независимо от того, что существует где бы то ни было во Вселенной. Пусть в природе никогда бы не существовало ни одного круга или треугольника, и все-таки истины, доказанные Евклидом, навсегда сохранили бы свою достоверность и очевидность.
Факты, составляющие второй вид объектов человеческого разума, удостоверяются иным способом, и, как бы велика ни была для нас очевидность их истины, она иного рода, чем предыдущая. Противоположность всякого факта всегда возможна, потому что она никогда не может заключать в себе противоречия… Суждение «Солнце завтра не взойдет» столь же ясно и столь же мало заключает в себе противоречие, как и утверждение, что оно взойдет, поэтому мы напрасно старались бы обосновать его ложность демонстративным путем (пер. С. Церетели).
Иначе говоря, хотя Юм, как и все эмпирики, полагал, что любое знание коренится в наблюдении, геометрия и ее «истины» по-прежнему занимали в его представлении привилегированное положение.
Величайший немецкий философ Иммануил Кант (1724–1804) не во всем был согласен с Юмом, однако тоже превозносил евклидову геометрию, приписывая ей и абсолютную точность, и бесспорную достоверность. В своем знаменитом труде «Критика чистого разума» Кант сделал попытку в некотором смысле обратить отношения между сознанием и физическим миром. Кант отошел от представления о том, что физическая реальность накладывает отпечаток на сознание, остающееся, в сущности, пассивным, Кант наделил сознание активной функцией «конструирования» или «переработки» воспринимаемой Вселенной. Он направил внимание вовнутрь и задался вопросом не о том, что мы можем познать, но о том, как именно мы можем познать то, что можем познать[99]. Он объяснил, что хотя наши глаза регистрируют частички света, эти частички не формируют образ в нашем сознании, пока мозг не переработает и не упорядочит информацию. Ключевая роль в этом процессе переработки приписывалась интуитивному или синтетическому априорному представлению о пространстве, которое, в свою очередь, как полагал Кант, основано на евклидовой геометрии. Кант был убежден, что евклидова геометрия – это единственный путь к переработке и концептуализации пространства, и это интуитивное универсальное знание о пространстве и лежит в основе нашего восприятия мира природы. Вот как об этом пишет сам Кант (Kant 1781).
Пространство не есть эмпирическое понятие, выводимое из внешнего опыта… Пространство есть необходимое априорное представление, лежащее в основе всех внешних созерцаний… На этой априорной необходимости основывается аподиктическая достоверность всех геометрических основоположений и возможность их априорных построений. Если бы это представление о пространстве было a posteriori приобретенным понятием, почерпнутым из общего внешнего опыта, то первые основоположения математического определения были бы только восприятием. Следовательно, на них была бы печать случайности, свойственной восприятию, и суждение, что между двумя точками возможна лишь одна прямая линия, не было бы необходимым; всякий раз этому учил бы нас опыт (пер. Н. Лосского).
Проще говоря, по Канту, если мы воспринимаем какой-то предмет, этот предмет непременно пространственный и евклидовский.
Идеи Юма и Канта выдвинули на первый план два разных, но одинаково важных аспекта, традиционно приписываемых евклидовой геометрии. Первое – утверждение, что евклидова геометрия дает единственно возможное точное описание физического пространства. Второе – отождествление евклидовой геометрии с жесткой, не подлежащей сомнению и непогрешимой дедуктивной структурой. В совокупности эти два предполагаемых качества предоставляли математикам, физикам и философам неоспоримые доказательства, что существуют незыблемые и конкретные истины, описывающие вселенную. До XIX века подобные утверждения воспринимались как данность. Но верны ли они на самом деле?
Основы евклидовой геометрии заложил греческий математик Евклид Александрийский примерно в 300 году до нашей эры. Он создал монументальный тринадцатитомный труд под названием «Начала», где попытался воздвигнуть геометрию на хорошо определенной логической основе. Начал он с девяти аксиом, которые, как предполагалось, несомненно истинны, и четырех постулатов, а затем на основе этих аксиом и постулатов исключительно логическими рассуждениями доказал огромное количество теорем.
Первые четыре постулата Евклида крайне просты и на удивление лаконичны[100]. Первый из них, к примеру, гласит, что «от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию» (здесь и далее цитаты из «Начал» Евклида даны в пер. Д. Мордухай-Болтовского). Четвертый – что «все прямые углы равны между собой». А вот пятый постулат – «постулат о параллельности» – сформулирован уже сложнее и значительно менее очевиден: «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то эти две прямые, продолженные неограниченно, встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». На рис. 39 приведен чертеж, иллюстрирующий этот постулат. В истинности этого утверждения никто не сомневался, однако ему явно не хватает краткости и убедительности остальных постулатов. Все указывает на то, что пятый постулат не очень нравился и самому Евклиду: он не прибегает к нему при доказательстве первых двадцати восьми теорем в «Началах»[101]. Эквивалентный вариант «пятого постулата», который чаще всего цитируется в наши дни, впервые появился в комментариях греческого математика Прокла в V веке, однако широко известен как «аксиома Плейфэра» в честь шотландского математика Джона Плейфэра (1748–1819). Он гласит: «если дана линия и точка, лежащая вне ее, через эту точку возможно провести одну и только одну линию, параллельную данной» (см. рис. 40). Два варианта постулата эквивалентны в том смысле, что аксиома Плейфэра (вместе с другими аксиомами) требует первоначального пятого постулата Евклида или наоборот.
С течением веков недовольство пятым постулатом росло, и это привело к целому ряду неудачных попыток все-таки доказать его на основании остальных постулатов и аксиом или заменить его каким-то более очевидным постулатом. Когда эти попытки провалились, другие геометры попытались ответить на интересный вопрос из серии «А что, если»: а что, если пятый постулат на самом деле неверен? Размышления в этом направлении порождали неприятные сомнения в том, так ли уж самоочевидны евклидовы аксиомы – может быть, они просто основаны на повседневном опыте?[102] А окончательный – и крайне неожиданный – вердикт был вынесен в XIX веке: можно создать новые виды геометрий, если произвольно выбрать постулат, отличающийся от пятого постулата Евклида. Более того, эти «неевклидовы» геометрии в принципе способны описывать физическое пространство с той же точностью, что и евклидова!
Рис. 39
Рис. 40
Позвольте мне сделать здесь небольшую паузу, чтобы уяснить значение выражения «произвольно выбрать». В течение тысячелетий евклидова геометрия считалась уникальной и неизбежной – единственно верным описанием пространства. А когда стало ясно, что можно выбирать постулаты произвольно и получать при этом не менее логичное описание пространства, вся концепция перевернулась с ног на голову. Надежная, тщательно выстроенная дедуктивная схема вдруг стала больше похожа на игру, в которой постулаты играли роль правил и не более того. Возьмешь другие постулаты – сыграешь в другую игру. Это открытие имело поистине сокрушительные последствия для понимания природы математики.
Почву для решительной атаки на евклидову геометрию подготовили сразу несколько математиков, обладавших широким мировоззрением. Особенно выделялись среди них иезуит Джироламо Саккери (1667–1733), исследовавший то, к каким последствиям может привести замена пятого постулата каким-то другим утверждением, и немецкие математики Георг Клюгель (1739–1812) и Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777), которые первыми поняли, что могут существовать и другие геометрии, альтернативные евклидовой. И все же нужен был кто-то, кто забил бы последний гвоздь в крышку гроба представлений о том, что единственное возможное описание пространства – это евклидова геометрия. Заслуга принадлежит троим математикам – из России, Венгрии и Германии.
Странные новые миры
Первым, кто опубликовал целый трактат о новом типе геометрии – геометрии, выстроенной на поверхности в форме выгнутого седла (рис. 41, а) – был русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792–1856; рис. 42). В геометрии такого рода (получившей название гиперболической геометрии) пятый постулат Евклида заменен утверждением, что если даны линия на плоскости и точка, лежащая на этой плоскости вне данной прямой, через эту точку параллельно данной прямой можно провести не менее двух прямых. Другое важное отличие геометрии Лобачевского от Евклидовой заключалось в том, что если у Евклида сумма углов треугольника всегда равна 180° (рис. 41, b), то у Лобачевского она всегда меньше 180°. Поскольку работа Лобачевского была напечатана в никому не известном журнале «Казанский вестник», она прошла практически незамеченной, пока в конце 1830 годов не стали появляться переводы на французский и немецкий. Молодой венгерский математик Янош Бойяи (1802–1860), ничего не знавший о работе Лобачевского, разработал похожую геометрию в 1820-е годы[103]. Полный юношеского энтузиазма, Янош писал в 1823 году своему отцу Фаркашу Бойяи (рис. 43): «Я открыл такое великолепие, что сам потрясен… я из ничего создал совершенно новый мир». К 1825 году Янош уже был готов показать старшему Бойяи первые черновики новой геометрии. Рукопись называлась «Наука о пространстве, абсолютно истинная»[104]. Несмотря на восторг молодого человека, его отец сильно сомневался в том, что в идеях Яноша есть здравое зерно. Тем не менее он решил опубликовать новую геометрию в виде приложения к собственному двухтомному трактату об основах геометрии, алгебры и анализа (которому дал завлекательное, по своему мнению, название «Рассуждение о началах математики для прилежной молодежи»). Экземпляр книги Фаркаш послал в июне 1831 года своему другу Карлу Фридриху Гауссу (1777–1855; рис. 44) – не просто самому выдающемуся математику того времени, но человеку, которого наряду с Архимедом и Ньютоном считают одним из трех величайших математиков всех времен. Однако из-за свирепствовавшей тогда холеры книга затерялась, и Фаркаш был вынужден послать второй экземпляр. Шестого марта 1832 года Гаусс написал ему ответ, и высказанные там замечания не оправдали надежд юного Яноша.
Рис. 41
Рис. 42
Рис. 43
Рис. 44
Если я начну с того, что скажу, что не могу похвалить эту работу, вы, разумеется, несколько удивитесь. Однако я не могу сказать иначе. Хвалить ее значило бы хвалить самого себя. Ведь все содержание работы, направление мысли, которое избрал ваш сын, результаты, к которым он пришел, практически полностью совпадают с моими размышлениями, которые отчасти занимают меня последние тридцать-тридцать пять лет. Вот почему я был в некотором замешательстве. Что касается моих собственных трудов, которые я до сей поры почти не поверял бумаге, в мои намерения не входит публиковать их при моей жизни.
Позвольте подчеркнуть, что Гаусс, очевидно, боялся, что последователи Канта, которых он называл «беотийцами» (для древних греков это было синонимом дураков), сочтут это философской ересью. Гаусс продолжал.
С другой стороны, я собирался когда-нибудь все это записать, чтобы эти идеи, по крайней мере, не умерли со мной. Поэтому для меня стало приятной неожиданностью, что мне можно не трудиться, и я очень рад, что опередил меня – причем так поразительно – не кто-нибудь, а сын моего старого друга.
Фаркаш был вполне удовлетворен похвалой Гаусса – он считал, что она «очень приятна», – зато Янош совершенно опустил руки. Почти десять лет он отказывался верить, что Гаусс по праву претендует на первенство, и его отношения с отцом, который, как он считал, поспешил рассказывать Гауссу о его результатах, сильно осложнились. Когда же Янош наконец обнаружил, что Гаусс и в самом деле начал работать над этой задачей еще в 1799 году, то очень озлобился – и все его последующие труды по математике, а он оставил по себе около двадцати тысяч рукописных страниц, по сравнению с юношескими достижениями были весьма посредственны.
Однако в том, что Гаусс и в самом деле много размышлял над неевклидовыми геометриями, сомневаться не приходится[105]. В дневниковой записи за сентябрь 1799 года он писал: «In principiis geometriae egregios progressus fecimus» («Мы сделали энергичные шаги вперед в области основ геометрии»). В дальнейшем, в 1813 году, он отметил: «В теории параллельных прямых мы сейчас зашли не дальше Евклида. Это partie honteuse [позорная часть] математики, которая рано или поздно должна принять совсем другую форму». Спустя еще несколько лет, 28 апреля 1817 года, он утверждает: «Я все больше и больше прихожу к убеждению, что невозможно доказать, что наша [евклидова] геометрия единственна и неизбежна». Наконец – и в противоположность воззрениям Канта – Гаусс заключил, что евклидову геометрию нельзя считать вселенской истиной и что скорее «придется поставить [евклидову] геометрию не на одну ступень с арифметикой, положение которой априорно, а приблизительно на уровень механики». Подобные выводы сделал независимо и Фердинанд Швейкарт (1780–1859), профессор юриспруденции, о чем он позднее и сообщил Гауссу – примерно в 1818–19 годах. Поскольку ни Гаусс, ни Швейкарт своих результатов не публиковали, традиционно считают, что приоритет принадлежит либо Лобачевскому, либо Бойяи, хотя ни того ни другого нельзя, конечно, считать единственными «творцами» неевклидовых геометрий.
Гиперболическая геометрия поразила мир математики, будто молния, и нанесла сокрушительный удар по восприятию евклидовой геометрии как единственного безошибочного описания пространства. До работ Гаусса-Лобачевского-Бойяи евклидова геометрия и представляла собой, в сущности, мир природы. А когда стало ясно, что можно взять другой, произвольный набор аксиом и построить на нем другой тип геометрии, поначалу это вызвало подозрение, что математика все же плод человеческой изобретательности, а не открытие истин, существующих независимо от человеческого сознания. В то же время коллапс непосредственной связи между евклидовой геометрией и реальным физическим пространством выявил фатальные на первый взгляд недостатки самой идеи математики как языка Вселенной.
Новый удар по привилегированному положению евклидовой геометрии был нанесен, когда один из учеников Гаусса Бернхард Риман показал, что гиперболическая геометрия – не единственно возможная неевклидова геометрия. В блестящей речи, прочитанной в Геттингене 10 июня 1854 года (на рис. 45 показана первая страница опубликованной лекции) Риман представил свои представления «О гипотезе, лежащей в основе геометрии»[106]. Начинает он с того, что «геометрия предполагает концепцию пространства, а также задает основные принципы построений в пространстве. Она дает лишь номинальные определения этого, в то время как их сущностные характеристики появляются в виде аксиом». Однако Риман отмечает, что «отношения между этими исходными предпосылками остаются неясными, мы не видим, необходима ли связь между ними, и если да, то в какой степени, или даже возможна ли она a priori. Среди возможных геометрических теорий Риман говорил и об эллиптической геометрии – той, какую можно наблюдать на поверхности сферы (рис. 41, с). Отметим, что в такой геометрии кратчайшее расстояние между двумя точками – не прямая линия, а скорее сегмент окружности большого круга, центр которого совпадает с центром сферы. Этим обстоятельством пользуются авиакомпании: полеты из США в Европу следуют не по прямой линии на карте, а скорее по большой окружности, идущей на север. Легко убедиться, что две любые большие окружности пересекаются в диаметрально противоположных точках. Например, два земных меридиана, которые на экваторе кажутся параллельными, на полюсах пересекаются. Таким образом, в отличие от евклидовой геометрии, где через точку вне прямой можно провести лишь одну параллельную этой прямой линию, и гиперболической геометрии, где можно провести как минимум две параллели, в эллиптической геометрии на сфере параллельных линий нет вообще.
Риман сделал и следующий шаг в разработке неевклидовых концепций и представил геометрии в искривленных пространствах с тремя и четырьмя измерениями и даже больше. Одно из важнейших понятий, разработанных Риманом, – это понятие кривизны, скорости искривления кривой или поверхности. Например, поверхность яйца быстрее всего закругляется у заостренного конца. Риман дал и точное математическое определение кривизны в пространстве с любым количеством измерений. При этом он скрепил узы между алгеброй и геометрией, то есть продолжил дело Декарта. В трудах Римана уравнениям с любым числом переменных нашлись геометрические соответствия – и новые понятия из области новых геометрий стали партнерами алгебраических уравнений.
Рис. 45
Высокое положение евклидовой геометрии – не единственная жертва открытий, которые распахнули перед геометрией в XIX веке совершенно новые горизонты. Представления Канта о пространстве долго не продержались. Вспомним, что Кант утверждал, что данные органов чувств организуются исключительно по шаблонам, которые задал Евклид, еще до того, как регистрируются в нашем сознании. Геометры XIX столетия быстро выработали у себя интуитивное понимание неевклидовых геометрий и научились исследовать мир с этой точки зрения. Оказалось, что евклидово восприятие пространства все-таки не интуитивно, ему учатся. Все эти поразительные открытия натолкнули великого французского математика Анри Пуанкаре (1854–1912) на вывод, что аксиомы геометрии – это «не синтетические интуитивные априорные догадки и не экспериментальные факты. Это договоренности (курсив мой. – М. Л.). Какую именно договоренность из всех возможных мы выбираем, зависит от экспериментальных фактов, но это свободный выбор». Иначе говоря, Пуанкаре считал аксиомы и постулаты всего лишь «замаскированными определениями».
Представления Пуанкаре были вдохновлены не только неевклидовыми геометриями, о которых мы только что говорили, но и бурным ростом других новых геометрий, который к концу XIX века, похоже, совершенно вышел из-под контроля (Poincar 1891). Скажем, в проективной геометрии (проекции получаются, например, если спроецировать на экран изображение на кинопленке) можно буквально менять местами роли точек и линий, так что теоремы о точках и линиях (в этом порядке) становятся теоремами о линиях и точках. В дифференциальной геометрии математики применяют дифференциальное исчисление для изучения локальных геометрических свойств различных математических пространств, например поверхности сферы или тора. По крайней мере, на первый взгляд все эти геометрии и им подобные казались порождением математического вдохновения и воображения, а не точными описаниями физического пространства. Ну и как прикажете в таких условиях отстаивать представление о Боге-математике? Ведь если «Бог всегда остается геометром (пер. Л. Сумм)» (эту фразу приписывал Платону историк Плутарх), которая из множества геометрий соответствует божественным практикам?
Недостатки классической евклидовой геометрии становились все очевиднее, и это вынудило математиков всерьез задуматься об основах математики в целом и об отношениях математики и логики в частности. К этой важной теме мы вернемся в главе 7. Здесь же позвольте лишь отметить, что поколебалось представление о самоочевидности аксиом и постулатов как таковых. А следовательно, именно революция в геометрии, вероятно, оказала самое сильное влияние на представление о природе математики – невзирая на то, что в XIX веке был достигнут значительный прогресс и в алгебре, и в анализе.
О людях, пространстве и числах
Однако математики не могли подступиться к всеохватной теме оснований математики, пока не были решены некоторые «мелкие» вопросы, требовавшие немедленного вмешательства. Во-первых, разработка и публикация неевклидовых геометрий сама по себе не означала, что это были законные отпрыски математики. Над математикой довлел непреодолимый страх перед логической непоследовательностью – перед тем, что если довести эти геометрии до логического конца, это приведет к неразрешимым противоречиям. К 1870 годам итальянец Эудженио Бельтрами (1835–1900) и немец Феликс Клейн (1849–1925) показали, что неевклидовы геометрии последовательны в той же мере, что и евклидова. Однако это не решало более масштабный вопрос о прочности оснований евклидовой геометрии. Кроме того, вставал и важный вопрос о релевантности. Большинство математиков считали новые геометрии в лучшем случае забавными курьезами. Исторически сложилось так, что своим огромным авторитетом евклидова геометрия была обязана именно тому, что считалась описанием реального пространства, а неевклидовы, как поначалу казалось, вообще не имели отношения к физической реальности. Поэтому в глазах большинства математиков неевклидовы геометрии были не более чем бедными родственницами евклидовой. Анри Пуанкаре оказался немного гибче прочих, но даже он утверждал, что если бы люди попали в мир где общепринята какая-нибудь неевклидова геометрия, – и тогда было бы «ясно, что мы не сочли бы более удобным перейти» с евклидовой геометрии на неевклидову. Поэтому назрели два вопроса: (1) можно ли воздвигнуть геометрию в частности и другие математические дисциплины в целом на прочном аксиоматическом логическом основании и (2) каковы отношения между математикой и физическим миром и есть ли они вообще?
Некоторые математики предпочли прагматический подход к логическим основам геометрии. То, что они считали абсолютными истинами, как выяснилось, зиждется скорее на житейском опыте, чем на строгих доказательствах, поэтому они от огорчения обратились к арифметике – математике чисел. Оказалось, что нужными инструментами для восстановления оснований геометрии на базе чисел обладает аналитическая геометрия Декарта, в которой точки на плоскости определялись упорядоченными парами чисел, а окружности – парами, удовлетворяющими определенному уравнению (см. главу 4) и так далее. Считают, что тенденцию к этому сдвигу описал немецкий математик Якоб Якоби (1804–1851), когда переиначил фразу Платона «Бог всегда остается геометром» – и у него получилось «Бог всегда остается арифметиком». Однако все эти усилия, можно сказать, ни к чему не привели – только переместили проблему в другую область математики. Великий немецкий математик Давид Гильберт (1862–1943) все же сумел показать, что евклидова геометрия непротиворечива в той же степени, что и арифметика, – а непротиворечивость последней к тому времени была уже бесспорно установлена.
Теперь отношения математики с физическим миром понимали по-новому. Долгие века интерпретация математики как инструмента для чтения мироздания постоянно получала ярчайшие подтверждения. Галилей, Декарт, Ньютон, все Бернулли, Паскаль, Лагранж, Кетле и другие ученые подвели под естественные науки математический фундамент, и это считалось явным свидетельством того, что природа обладает математической структурой. Резонно спросить: если математика не служит языком мироздания, почему же ей удается так замечательно описывать все на свете – от основных законов природы до человеческих черт?
Разумеется, математики отдавали себе отчет, что математика имеет дело лишь с довольно-таки абстрактными платоновскими формами, однако полагали, что это разумная идеализация реальных физических предметов и явлений. В сущности, ощущение, что книга природы написана на языке математики, укоренилось так глубоко, что многие математики наотрез отказывались даже рассматривать математические структуры и понятия, если те не были прямо связаны с физическим миром. Так обстояло дело, например, с колоритным персонажем по имени Джероламо Кардано (1501–1576). Кардано был состоявшимся математиком, известным врачом и прожженным игроком. В 1545 году он опубликовал одну из самых влиятельных книг в истории алгебры – «Ars Magna» («Великое искусство»). В этом всеобъемлющем трактате Кардано подробнейшим образом изучил решения алгебраических уравнений, от простого квадратного уравнения, где неизвестное появляется во второй степени (x2), до кубических уравнений (x3) и уравнений четвертой степени (x4), чего до него никто не делал. Однако в классической математике количества часто интерпретировались как элементы геометрии. Например, значение неизвестной x определялось как отрезок данной длины, значение x2 – как площадь квадрата, третья степень – x3 – рассматривалась как объем куба со стороной данной длины. Поэтому в первой главе «Ars Magna» Кардано поясняет следующее (Cardano 1545).
Подробным образом мы рассмотрим лишь кубические уравнения, а об остальных лишь упомянем вскользь, хотя и в общем виде. Ведь поскольку positio [первая степень] относится к линии, quadratum [квадрат] к поверхности, а cubum [the cube] к объемному телу, с нашей стороны было бы очень глупо идти дальше этой точки. Природа такого не позволяет. Таким образом, будет показано, как решать все до куба включительно, но все остальное, что мы добавим, как по необходимости, так и из любопытства, будет лишь намечено и не более того.
Иначе говоря, Кардано утверждает, что поскольку физический мир в том виде, в каком мы его воспринимаем органами чувств, содержит всего три измерения, со стороны математиков было бы глупо заниматься более высокими измерениями или уравнениями более высокого порядка.
Похожие мнения высказывал английский математик Джон Валлис (1616–1703), по чьей работе «Arithmetica Infinitorum» («Арифметика бесконечных чисел») Ньютон учился методам анализа. В другой важной книге – «Treatise of Algebra» («Трактат по алгебре») – Валлис прежде всего делает следующую оговорку: «Природа, строго говоря, не допускает более трех (локальных) измерений»[107]. Затем Валлис уточнил.
Линия, пересеченная с другой линией, задаст плоскость или поверхность; если поверхность пересечется с линией, получится тело. Но если это тело пересечется с линией или эта плоскость с плоскостью, что тогда получится? Плоскостная плоскость? Это какой-то уродец, возможный даже в меньшей степени, чем химера [огнедышащее чудовище из греческой мифологии, помесь змея, льва и козла] либо кентавр [в греческой мифологии – существо с телом и ногами коня и торсом и головой человека]. Ведь длина, ширина и толщина полностью описывают пространство. Никакое воображение не способно представить себе четвертое локальное измерение помимо этих трех.
Опять же логика Валлиса понятна: нет никакого смысла даже воображать геометрию, которая не описывает реальное пространство.
В конце концов мнения начали меняться[108]. Впервые представления о том, что потенциальным четвертым измерением может оказаться время, появились у математиков XVIII века. В статье, которая так и называлась – «Dimension» («Измерение») – опубликованной в 1754 году[109], физик Жан Д’Аламбер (1717–1783) писал так.
Выше я указывал, что невозможно представить себе более трех измерений. Один талантливый человек, мой знакомый, полагает, что можно, однако, взирать на продолжительность как на четвертое измерение и что произведение времени на объем в некотором смысле четырехмерно. С этим представлением можно поспорить, однако мне представляется, что в нем помимо чистой новизны есть и здравое зерно.
Великий математик Жозеф Лагранж в 1797 году пошел еще на шаг дальше и сделал еще более смелое заявление (Lagrange 1797).
Поскольку положение точки в пространстве зависит от трех прямоугольных координат, эти координаты в задачах по механике понимаются как функции t [времени]. Таким образом, мы можем считать механику геометрией четырех измерений, а механический анализ – продолжением анализа геометрического.
Эти смелые идеи открыли дорогу расширению математики в области, которые раньше представлялись немыслимыми – в геометрии с любым количеством измерений, – и при этом вопрос о том, имеют ли эти геометрии какое бы то ни было отношение к физическому пространству, полностью игнорировался.
Может быть, Кант и заблуждался, когда полагал, что наше восприятие пространства следует исключительно евклидовым образцам, однако не приходится сомневаться, что мы в состоянии воспринимать естественно и интуитивно не более трех измерений. Мы можем относительно легко представить себе, как выглядел бы трехмерный мир в двумерной платоновской Вселенной теней, но выйти за пределы трех измерений способно лишь подлинно математическое воображение.
Некоторые революционные труды по разработке n-мерной геометрии – геометрии в произвольном числе измерений – принадлежат перу Германа Гюнтера Грассмана (1809–1877). Грассман, у которого было одиннадцать братьев и сестер и который и сам стал отцо одиннадцати сыновей и дочерей, был школьным учителем, не получившим университетского математического образования[110]. При жизни он больше прославился трудами по лингвистике (по большей части изучением санскрита и готского), нежели достижениями в математике. Один его биограф писал: «Похоже, Грассману суждено, чтобы его время от времени открывали заново – всякий раз так, словно бы он был практически полностью забыт». И все же именно Грассману принадлежит заслуга создания абстрактной науки о «пространствах», в которой привычная геометрия – всего лишь частный случай. Свои новаторские идеи (коренившиеся в отрасли математики под названием линейная алгебра) Грассман опубликовал в 1844 году в книге, которую специалисты знают как «Ausdehnungslehre» («Теория расширений», полное название – «Теория линейных расширений. Новая отрасль математики»). В предисловии к этой книге Грассман писал: «Геометрию ни в коем случае нельзя считать… отраслью математики; ведь геометрия изучает нечто, уже имеющееся в природе, а именно пространство. Кроме того, я обнаружил, что должна существовать отрасль математики, которая исключительно абстрактным способом выводит законы, подобные законам геометрии».
Рис. 46
Это радикально новое представление о природе математики. В глазах Грассмана традиционная геометрия, наследие древних греков, имеет дело с физическим пространством и поэтому не может считаться настоящей отраслью абстрактной математики. Для Грассмана математика была скорее абстрактной конструкцией человеческого разума, которая не обязательно находит себе применение в реальном мире.
Изучать тривиальную на первый взгляд цепочку логических рассуждений, которая вывела Грассмана на путь к теории геометрической алгебры, или, лучше сказать, аналитической геометрии, необычайно интересно[111]. Начал он с простой формулы АВ + ВС = АС, которая появляется в любом учебнике по геометрии при разговоре о длинах отрезков (рис. 46, а). Но тут Грассман заметил одну интересную подробность. Он обнаружил, что эта формула остается верной независимо от порядка точек А, В и С, если не просто толковать АВ, ВС и АС как длины, а приписывать им «направление», например, ВА = —АВ. Скажем, если С лежит между А и В (как на рис. 46, b), то АВ = АС + СВ, но поскольку СВ = —ВС, обнаруживаем, что АВ = АС – ВС и первоначальная формула АВ + ВС = АС восстанавливается, если просто прибавить к обеим частям ВС.
Это само по себе довольно занятно, однако расширение Грассмана таило в себе и новые сюрпризы. Обратите внимание, что если бы мы имели дело не с геометрией, а с алгеброй, то выражение вроде АВ обычно означало бы произведение А В. В таком случае предположение Грассмана, что ВА = —АВ, нарушает один из священных законов арифметики – что от перемены мест множителей произведение не меняется. Грассман вполне отдавал себе отчет в такой неприятной вероятности и изобрел новую непротиворечивую алгебру – так называемую внешнюю алгебру, – которая позволяла существовать нескольким операциям умножения и одновременно могла иметь дело с геометрией с любым числом измерений.
К 1860 годам n-мерные геометрии плодились, как грибы после дождя[112]. Мало того, что революционная лекция Римана сделала из пространств любой кривизны и с произвольным количеством измерений фундаментальную область исследований, в развитие этой области внесли существенный вклад и другие математики, например англичане Артур Кэли и Джеймс Сильвестр, а также швейцарец Людвиг Шлефли.
У математиков появилось ощущение свободы от многовековых оков, привязывавших их к понятиям числа и пространства. Исторически сложилось, что к этим оковам было принято относиться столь серьезно, что уже в XVIII веке весьма плодовитый швейцарско-российский математик Леонард Эйлер (1707–1783) заметил, что «математика в целом – наука о количестве или наука, которая изучает способы измерить количество». Ветер перемен повеял только в XIX веке.
Все началось с введения абстрактных геометрических пространств и понятия бесконечности (и в геометрии, и в теории множеств), которые до неузнаваемости размыли представление о «количестве» и «измерении». Затем стали стремительно множиться исследования математических абстракций, и это помогло математике еще сильнее дистанцироваться от физической реальности, вдохнув при этом жизнь и «существование» в сами абстракции.
Вот какой «декларацией независимости» описал новообретенную свободу математики Георг Кантор (1845–1918), создатель теории множеств[113]: «Математика совершенно свободна в своем развитии и связана лишь самоочевидными ограничениями – ее понятия должны соответствовать друг другу логически и при этом состоять в регулируемых определениями строгих отношениях с общепринятыми понятиями, которые были введены раньше и находятся в распоряжении исследователя». К этому алгебраист Рихард Дедекинд (1831–1916) шесть лет спустя добавил[114]: «Полагаю, что понятие числа полностью независимо от идей или представлений о пространстве и времени… Числа – вольное творение человеческого разума». То есть и Кантор, и Дедекинд считали математику абстрактным концептуальным исследованием, которое ограничивается исключительно необходимостью соблюдать непротиворечивость безо всяких притязаний как на вычисления, так и на язык физической реальности. Как подытожил Кантор, «Суть математики целиком и полностью в ее свободе».
К концу XIX века большинство математиков уже придерживалось представлений Кантора и Дедекинда о свободе математики. Цель математики изменилась – теперь это был не поиск истин о природе, а конструирование абстрактных структур, систем аксиом и исследование всех логических следствий из этих аксиом.
Казалось бы, это должно было положить конец всем мучительным раздумьям над вопросом, изобретаем мы математику или же открываем. Если математика – не более чем игра, пусть и сколь угодно сложная, в которую играют по произвольно выдуманным правилам, нет никакого смысла верить в реальность математических концепций. Или все же есть?
Как ни странно, разрыв с физической реальностью вызвал у некоторых математиков прямо противоположные чувства. Вместо того чтобы раз и навсегда решить, что математика есть изобретение человека, они вернулись к первоначальной платоновской идее о математике как о независимом мире истин, чье существование столь же реально, сколь и существование физической Вселенной. Попытки связать математику с физикой эти «неоплатоники» прозвали прикладной математикой – в противоположность чистой математике, которая, как предполагалось, индифферентна ко всему физическому. Вот как об этом написал французский математик Шарль Эрмит (1822–1901) в письме голландскому математику Томасу Иоаннесу Стилтьесу (1856–1894) 13 мая 1894 года[115].
Мой дорогой друг, я очень рад, что вы склонны превратить себя в натуралиста, чтобы наблюдать явления мира арифметики. Доктрина у вас та же, что и у меня, я полагаю, что числа и аналитические функции – не произвольные продукты нашего сознания, я думаю, что они существют вне нас и обладают всеми необходимыми свойствами предметов и явлений объективной реальности и мы находим или открываем их и изучаем их точно так же, как физики, химики и зоологи.
Английский математик Г. Г. Харди, сам приверженец чистой математики, был одним из самых откровенных сторонников современного платонизма. В красноречивом обращении к Британской ассоциации содействия науки 7 сентября 1922 года он объявил следующее[116].
Математики построили очень много разных геометрических систем – и евклидовых, и неевклидовых, для одного, двух, трех и любого другого количества измерений. Все эти системы совершенно и одинаково истинны. Они воплощают результаты наблюдений математиков над их реальностью – реальностью куда более насыщенной и куда более строгой, нежели сомнительная и неуловимая реальность физики… Поэтому функция математика – просто наблюдать факты его собственной суровой и сложной системы реальности, этот неимоверно прекрасный комплекс логических соотношений, который составляет субъект его науки, как будто он – исследователь, взирающий на далекий горный хребет, и регистрировать результаты своих наблюдений на серии карт, каждая из которых – это отрасль чистой математики.
Очевидно, несмотря на то, что все свидетельства того времени указывали на произвольную природу математики, особо упорные платоники не собирались так просто сдаваться. Напротив – они считали, что возможность углубиться, по словам Харди, в «свою реальность», гораздо интереснее, чем и дальше исследовать связи с реальностью физической. Однако независимо от представлений о метафизической реальности математики одно стало очевидно. Даже необузданная на первый взгляд свобода математики предполагала одно несокрушимое и неизменное ограничение – требование логической непротиворечивости. Математики и философы сильнее прежнего понимали, что перерезать пуповину между математикой и логикой ни в коем случае нельзя. Это породило другую идею: можно ли выстроить всю математику на едином логическом фундаменте? И если да, не в этом ли тайна ее эффективности? И наоборот – можно ли применять математические методы при изучении логических рассуждений в целом? Ведь тогда математика станет не только языком природы, но и языком человеческой мысли…
Глава 7
Логики: размышления о рассуждениях
Вывеска на деревенской цирюльне гласит[117]: «Брею тех и только тех жителей деревни, кто не бреется сам». Казалось бы, резонно. Очевидно, что те, кто бреется сам, не нуждаются в услугах цирюльника, поэтому вполне естественно, что цирюльник бреет всех остальных. Но задайтесь другим вопросом – кто бреет цирюльника? Если он бреет сам себя, то, согласно вывеске, должен быть среди тех, кого не бреет. С другой стороны, если он сам себя не бреет, то должен, опять же согласно вывеске, быть среди тех, кого бреет! Так бреет или нет? История знает примеры, когда серьезные семейные склоки случались и по куда менее значительным вопросам. Об этом парадоксе первым написал Бертран Рассел (1872–1970), один из величайших логиков и философов ХХ века, – лишь для того чтобы показать, насколько часто логическая интуиция подводит человека. Парадоксы, они же антиномии, отражают ситуации, в которых вполне приемлемые на первый взгляд суждения приводят к неприемлемым следствиям. В вышеприведенном примере деревенский цирюльник и бреет, и не бреет себя самого. Можно ли разрешить этот парадокс? Одно из простейших решений парадокса – строго в том виде, в каком он приведен выше, – очень просто: цирюльник – женщина! С другой стороны, если бы нам сразу сказали, что цирюльник обязательно мужчина, то абсурдный вывод был бы результатом того, что мы приняли первоначальные суждения. Иначе говоря, такой цирюльник существовать не может. Но какое все это имеет отношение к математике? Оказывается, математика с логикой состоят в ближайшем родстве. Вот как описал эти узы сам Рассел[118].
Исторически математика и логика были совершенно различными дисциплинами. Математика была связана с наукой, а логика с греками. Но обе стали развитыми дисциплинами только в последнее время: логика стала более математической, а математика стала более логической. Как следствие этого, сейчас [в 1919 году] невозможно провести между двумя дисциплинами разделительную линию. На самом деле обе представляют собой нечто единое. Они отличаются так же, как мальчик и мужчина: логика есть юность математики, а математика есть зрелость логики. (Здесь и далее цитаты из «Введения в философию математики» Б. Рассела даны в пер. В. Целищева.)
Здесь Рассел утверждает, что, в сущности, математику можно свести к логике. Иначе говоря, основные понятия математики, даже такие объекты, как, например, числа, можно на самом деле определить в терминах фундаментальных законов рассуждения. Более того, впоследствии Рассел утверждал, что можно сочетать такие определения с логическими принципами – и породить математические теоремы. Первоначально такое представление о природе математики (так называемый логицизм) пользовалось благосклонностью как тех, кто считал математику не более чем сложной игрой, целиком и полностью изобретенной людьми (то есть формалистов), так и обеспокоенных платоников. Первые поначалу обрадовались, когда увидели, как собрание не связанных друг с другом на первый взгляд «игр» объединяется в одну «праматерь всех игр». Последние увидели луч надежды в идее, что вся математика, вероятно, коренится в одном источнике, в котором можно не сомневаться. В глазах платоников это повышало шансы на существование единого метафизического источника. Нечего и говорить, что единый корень математики мог, по крайней мере, в принципе, подсказать, в чем причина ее могущества.
Для полноты картины отмечу, что была еще одна школа мысли под названием интуиционизм, которая всячески противостояла и логицизму, и формализму. Вдохновителем этой школы был голландский математик Лёйтзен Э. Я. Брауэр (1881–1966), отличавшийся некоторым фанатизмом[119]. Брауэр был убежден, что натуральные числа выведены из интуитивных представлений человека о времени и дискретных моментах нашего опыта. С его точки зрения вопрос о том, что математика есть результат человеческой мысли, решался однозначно, поэтому он не видел никакой необходимости в универсальных логических законах наподобие тех, которые представлял себе Рассел. Однако Брауэр пошел гораздо дальше и объявил, что единственные осмысленные математические сущности – это те, которые можно эксплицитно построить на основе натуральных чисел посредством конечного числа шагов. Поэтому он отвергал огромные области математики, для которых были невозможны конструктивные доказательства. Брауэр отвергал и другое логическое понятие – принцип исключенного третьего, согласно которому любое утверждение либо истинно, либо ложно. По Брауэру, напротив, допускались утверждения, которые пребывают в каком-то третьем, лимбическом состоянии, в котором они «остаются нерешенными». Из-за подобных ограничений интуиционистская школа мысли оказалась несколько маргинальной. Тем не менее интуиционистские идеи предвосхищали некоторые открытия в когнитивной психологии, касавшиеся вопроса о том, как люди приобретают математические знания (об этом мы поговорим в главе 9), а кроме того, повлияли на рассуждения некоторых современных философов математики, в частности Майкла Даммита. Даммит придерживался в основном лингвистического подхода и настаивал, что «значение математического утверждения определяет его применение и в то же время полностью определяется этим применением».[120]
Но как же возникло такое тесное партнерство между математикой и логикой? И жизнеспособна ли вообще программа логицизма? Позволю себе дать краткий обзор основных вех за последние четыре столетия.
Логика и математика
Традиционно предметом логики были отношения между понятиями и суждениями и процессы, которые позволяли выделить из этих отношений обоснованные следствия.[121] Приведу простой пример: силлогизмы общего вида «всякий икс – игрек; некоторые зеты – иксы; следовательно, некоторые зеты – игреки» построены таким образом, что автоматически обеспечивают истинность заключения, если верны посылки. Например, «Любой биограф – писатель; некоторые политики – биографы; следовательно, некоторые политики – писатели» приводит к истинному заключению. С другой стороны, силлогизмы общего вида «всякий икс – игрек; некоторые зеты – игреки; следовательно, некоторые зеты – иксы» ложны, поскольку можно привести примеры, когда заключение, несмотря на истинность посылок, окажется ложным. Например, «Любой человек – млекопитающее, некоторые рогатые животные – млекопитающие; следовательно, некоторые рогатые животные – люди».
Если соблюдаются некоторые правила, истинность вывода не зависит от темы утверждений. Рассмотрим следующий силлогизм.
– Убийца миллиардера – либо дворецкий, либо его собственная дочь.
– Дочь не убивала миллиардера.
– Следовательно, убийца – дворецкий.
Он позволяет получить истинный вывод. Обоснованность этого вывода никак не зависит ни от нашего мнения о дворецком, ни от отношений миллионера с дочерью. Обоснованность обеспечена тем, что посылки общего вида «если или p, или q, но при этом не q, следовательно, p» приводят к логически истинному утверждению.
Вероятно, вы заметили, что в первых двух примерах иксы, игреки и зеты играли роли, очень похожие на роли переменных в математических уравнениях: они отмечают места, куда можно вставлять выражения, точно так же, как вместо переменных в алгебре можно подставлять их численные значения. Подобным же образом истинность силлогизма «если или p, или q, но при этом не q, следовательно, p» напоминает аксиомы евклидовой геометрии. И все же нужно было провести в размышлениях о логике почти два тысячелетия, прежде чем математики отнеслись к этой аналогии с должной серьезностью.
Первым, кто сделал попытку свести эти две дисциплины – логику и математику – в одну «универсальную математику», был немецкий математик и философ-рационалист Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716). Лейбниц получил юридическое образование и математикой, физикой и философией занимался по большей части в свободное время. При жизни он был известен в основном тем, что независимо и почти одновременно с Ньютоном вывел основы дифференциального и интегрального исчисления (что привело к жарким спорам за право первенства). В статье, которую Лейбниц практически целиком продумал еще в шестнадцать лет, он исследовал универсальный логический язык – так называемую «универсальную характеристику» (characteristica universalis), – по его мнению, идеальный инструмент мышления. План Лейбница состоял в том, чтобы выражать простые идеи и понятия символами, а более сложные – сочетаниями основных символов. Лейбниц рассчитывал, что сможет буквально вычислить истинность любого утверждения и любой научной дисциплины при помощи одних лишь алгебраических операций. Он предсказывал, что при наличии адекватных логических вычислительных методов философские споры будут решаться подсчетом. К сожалению, в полной мере разработать свою алгебру логики Лейбниц так и не сумел. Помимо общего принципа «алфавита мыслей», ему принадлежат две заслуги: он четко сформулировал, когда надо считать, что две вещи равны, и признал очевидный на первый взгляд факт, что никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. Поэтому при всей своей занимательности идеи Лейбница прошли по большей части незамеченными.
К середине XIX века логика снова вошла в моду, и внезапно вспыхнувший интерес к ней привел к созданию значительных научных трудов. Первые работы такого рода опубликовал Огастес де Морган (1806–1871), а затем – Джордж Буль (1815–1864), Готлоб Фреге (1848–1925) и Джузеппе Пеано (1858–1932).
Де Морган был необычайно плодовитым автором, опубликовавшим буквально тысячи статей и книг на самые разные темы, касающиеся математики, истории математики и философии[122]. Были среди них и довольно экзотические работы – альманах полнолуний (за тысячи лет) и сборник занимательных задач по математике. Когда его как-то раз спросили, сколько ему лет, он ответил: «Мне было х лет в х2 году». Можете сами убедиться, что единственное число, квадрат которого попадает в промежуток от 1806 до 1871 года (годы рождения и смерти де Моргана), – это 43. Однако самые оригинальные достижения де Моргана лежат, пожалуй, в области логики, где он, во-первых, значительно расширил диапазон аристотелевских силлогизмов, а во-вторых, упражнялся в алгебраическом подходе к рассуждениям. Де Морган взирал на логику глазами алгебраиста, а на алгебру – глазами логика. Вот как он описывал свои пророческие воззрения в одной статье: «Именно в алгебре нам следует искать самое привычное применение логических форм… алгебраист обретался в высших сферах силлогизма, постоянного построения соотношений, еще до того, как признали, что подобные сферы существуют».
Одно из важнейших достижений де Моргана в логике – так называемая квантификация предиката. Это несколько помпезное название дано понятию, которое, можно сказать, странным образом ускользало от глаз части логиков классического периода. Последователи Аристотеля вполне справедливо заметили, что из посылок вроде «некоторые зеты – иксы» и «некоторые зеты – игреки» невозможно сделать никаких строгих выводов об отношениях между иксами и игреками. Например, из фраз «некоторые люди любят хлеб» и «некоторые люди любят яблоки» нельзя заключить ничего определенного относительно отношений между любителями яблок и любителями хлеба. До XIX века логики также предполагали, что для того, чтобы из силлогизма следовали какие-то определенные отношения между иксами и игреками, средний термин (зет из вышеприведенного примера) должен быть «универсальным» в одной из посылок. То есть фраза должна включать «все зеты». Де Морган доказал, что это предположение ошибочно. В своей книге «Formal Logic» («Формальная логика»), опубликованной в 1847 году, он указал, что из посылок наподобие «большинство зетов – иксы» и «большинство зетов – игреки» с необходимостью следует, что «некоторые иксы – игреки». Например, фразы «большинство людей любят хлеб» и «большинство людей любят яблоки» заставляют сделать неопровержимый вывод, что «некоторые люди любят и хлеб, и яблоки».
На этом де Морган не остановился и облек свой новый силлогизм в точную количественную форму. Представьте себе, что общее число зетов – z, число зетов, которые одновременно еще и иксы, – х, а число зетов, которые одновременно еще и игреки – у. Пусть в вышеприведенном примере будет всего 100 человек (z = 100), из которых 57 любят хлеб (x = 57) и 69 любят яблоки (y = 69). Тогда, как заметил де Морган, должно быть как минимум (x + y – z) иксов, которые еще и игреки. Как минимум 26 человек (57 + 69 – 100 = 26) любят одновременно и хлеб, и яблоки.
К сожалению, из-за этого хитроумного метода квантификации предиката де Морган оказался вовлечен в неприятный публичный спор. Шотландский философ Уильям Гамильтон (1788–1856) – не путайте с ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном – обвинил де Моргана в плагиате, поскольку Гамильтон за несколько лет до де Моргана обнародовал в чем-то схожие, но гораздо менее проработанные идеи.
В нападках Гамильтона не было ничего удивительного, если учесть, как он относился к математикам и математике. Как-то раз он заявил: «Излишне прилежное изучение математики совершенно лишает мозг интеллектуальной энергии, необходимой для жизни и философии». Лавина едких писем, которые последовали за обвинением Гамильтона, привела к одному положительному результату – хотя этого уж наверняка нкто не имел в виду: она подтолкнула к изучению логики алгебраиста Джорджа Буля. Впоследствии в статье «The Mathematical Analysis of Logic» («Математический анализ логики») Буль делился воспоминаниями (Boole 1847).
Весной нынешнего года мое внимание привлек спор, произошедший между сэром У. Гамильтоном и профессором де Морганом, и интерес, который он вызвал, вдохновил меня возобновить уже почти забытые исследования, которые я начал было в прошлом. Мне показалось, что хотя логику можно рассматривать с точки зрения идеи количества, она обладает и другой, более глубокой системой отношений. Если правомерно рассматривать ее извне, в том виде, в каком она посредством числа связана с понятиями пространства и времени, то правомерно и рассматривать ее изнутри, как основанную на фактах иного порядка, которые находят обиталище в устройстве разума.
Эти скромные слова знаменовали зарождение работы, которая совершила переворот в символической логике.
Законы мышления
Джордж Буль (рис. 47) родился 2 ноября 1815 года в промышленном английском городе Линкольн[123]. Его отец Джон Буль был в Линкольне сапожником, однако очень интересовался математикой и с большим мастерством изготавливал самые разные оптические инструменты. Мать Буля Мэри Энн Джойс работала горничной. Поскольку отец относился к своему ремеслу довольно прохладно, семья была небогатой. До семи лет Джордж ходил в частную школу, а затем – в начальную, где его учителем был некто Джон Уолтер Ривс. В детстве Буль интересовался в основном латынью, которой его учил местный книготорговец, и древнегреческим, который выучил сам. В четырнадцать лет он даже перевел стихотворение Мелеагра – греческого поэта I века до н. э. Гордый отец опубликовал перевод в «Линкольн Геральд», на что один местный учитель напечатал заметку, где выражал сомнение, что такой перевод мог сделать подросток. Бедность семьи вынудила Джорджа Буля в шестнадцать лет начать работать помощником учителя. В последующие годы он посвятил свободное время изучению французского, итальянского и немецкого. Знание современных языков оказалось ему очень кстати, поскольку позволило обратить внимание на работы великих математиков – Сильвестра Лакруа, Лапласа, Лагранжа, Якоби и других. Но и тогда Булю не удалось получить систематическое математическое образование, и он продолжал заниматься самостоятельно – продолжая зарабатывать преподаванием на жизнь и на поддержку родителей, братьев и сестер. Тем не менее математические таланты этого самородка стали понемногу проявляться, и он начал печатать статьи в «Кембриджском математическом журнале».
В 1842 году Буль вступил в регулярную переписку с де Морганом, которому отправлял на отзыв свои статьи по математике. Поскольку у Буля уже складывалась репутация независимого, оригинально мыслящего математика и к тому же он заручился рекомендацией де Моргана, в 1849 году ему предложили место преподавателя математики в Королевском колледже в Ирландии, в городе Корк. Там он и трудился до конца своих дней. В 1855 году Буль женился на Мэри Эверест (в честь ее дяди, географа Джорджа Эвереста, была названа гора), которая была моложе его на семнадцать лет, и у них было пять дочерей. Скончался Буль безвременно в возрасте всего сорока девяти лет. В 1864 году холодным зимним днем он по дороге в колледж попал под ледяной ливень, но настоял на том, чтобы все-таки прочитать все лекции, хотя одежда у него промокла до нитки. А дома жена, по всей видимости, лишь усугубила его состояние, поскольку пыталась «лечить подобное подобным» и ведрами лила воду в его постель. Буль заболел воспалением легких и 8 декабря 1864 года умер. Бертран Рассел искренне восхищался этим гениальным самоучкой: «Чистую математику открыл Буль в работе, которую назвал “Законы мышления” (1854)… На самом деле его книга посвящена формальной логике, а это – то же самое, что математика». Интересно, что и Мэри Буль (1832–1916), и все пять их дочерей сумели прославиться в самых разных областях, от химии до педагогики, что для того времени было весьма необычно.
Рис. 47
«Математический анализ логики» Буль опубликовал в 1847 году, а трактат «Законы мышления», полное название которого звучит как «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей» («An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities») – в 1854 году. Это подлинные шедевры, благодаря которым был сделан огромный шаг вперед в прослеживании параллелей между логическими и арифметическими операциями. Буль буквально превратил логику в разновидность алгебры (которая получила название булева алгебра) и расширил логический анализ до вероятностных рассуждений. Вот что говорил сам Буль (Boole 1854).
Цель следующего трактата [ «Законов мышления»] – исследовать фундаментальные законы тех операций разума, посредством которых выполняется рассуждение, выразить их на символическом языке исчисления и на этом фундаменте основать логику как науку и выстроить ее метод, чтобы сделать сам этот метод основой обобщенного метода для применения к математической доктрине вероятностей и, наконец, собрать, возможно, из различных элементов истины, которые будут выявлены в ходе этих исследований, какие-то сведения о природе и устройстве человеческого сознания.
Булево исчисление можно толковать как применительно к отношениям между классами (собраниями предметов или членов), так и в логике утверждений. Например, если x и y – классы, то отношение x = y означает, что члены у этих двух классов одни и те же, даже если они определены по-разному. Скажем, если все ученики какой-то школы ниже двух метров ростом, то два класса, определенные как x = «все ученики этой школы» и y = «все ученики этой школы, которые ниже двух метров ростом» равны. Если x и y – суждения, то x = y означает, что два утверждения эквивалентны (то есть одно истинно тогда и только тогда, когда второе тоже истинно). Например, утверждения x = «Джон Бэрримор – брат Этель Берримор» и y = «Этель Бэрримор – сестра Джона Бэрримора» эквивалентны (равны). Обозначение «x · y» отражает общую часть двух классов x и y (члены которой принадлежат одновременно x и y) или конъюнкцию (пересечение) суждений x и y (то есть «x и y»). Например, если x – класс всех деревенских дурачков, а y — класс всех существ с черными волосами, то x · y — класс черноволосых деревенских дурачков. Для утверждений x и y конъюнкция x · y (или слово «и») означает, что должны быть верны оба утверждения. Например, если Управление дорожного движения говорит, что «вы должны пройти проверку периферического зрения и сдать экзамен на права», это значит, что нужно исполнить оба требования. По Булю, если два класса не имеют общих членов, то символ «x + y» отражает класс, состоящий из всех членов как класса х, так и класса у. В этом случае утверждение «x + y» соответствует «или x, или y, но не то и другое сразу». Например, если x – это утверждение «колышки квадратные», а у – утверждение «колышки круглые», то x + y означает «колышки или круглые, или квадратные». Подобным же образом «x – y» отражает класс тех членов х, которые при этом не члены у, или утверждение «х, но не у». Буль обозначил универсальный класс (содержащий все возможные рассматриваемые члены) как 1, а пустой или нулевой класс (в котором вообще нет членов) как 0. Обратите внимание, что нулевой класс (множество) определенно не то же самое, что число 0: число 0 – это количество членов в нулевом классе. А еще обратите внимание, что нулевой класс – не то же самое, что ничего, потому что класс без ничего – все равно класс. Например, если все газеты в Албании печатаются на албанском, то класс всех албаноязычных газет в Албании по идее Буля обозначается 1, а класс всех испаноязычных газет в Албании – 0. С точки зрения утверждений 1 означает стандартную истину (например, «люди смертны»), а 0, соответственно, – стандартную ложь (например, «люди бессмертны»).
Читать бесплатно другие книги:
