Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса Стюарт Иэн

К 1860 г. теория групп перестановок была уже хорошо развита. Теория инвариантов – алгебраических выражений, которые не меняются, когда происходят некие изменения с переменными, – привлекла внимание к различным бесконечным множествам преобразований, таким как проективная группа всех проекций пространства. В 1868 г. Камиль Жордан изучал группы движений в трехмерном пространстве, и в ходе его исследований два направления слились в одно.

Изощренные концепции

Начала появляться новая алгебра, для которой объектами изучения стали не неизвестные числа, а более изощренные концепции: перестановки, преобразования, матрицы. Прошлогодние процессы с наступлением нового года уходили «в архив». Правила алгебры, долгое время остававшиеся незыблемыми, всё чаще нуждались в изменении, чтобы удовлетворить нужды новых структур. Наряду с группами математики взялись за изучение структур так называемых колец и полей, не говоря уже о разных новых видах алгебр.

Стимулы для этого изменения взгляда на алгебры пришли из уравнений в частных производных, механики и геометрии. Это обусловило развитие групп Ли и алгебры Ли. Другим источником вдохновения была теория чисел: здесь алгебраические числа можно было использовать для решения диофантовых уравнений, понимания законов взаимности и даже атак на Великую теорему Ферма. И кульминацией всего происходящего стало доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом в 1995 г.

Ли и Клейн

В 1869 г. норвежский математик Софус Ли подружился с немецким математиком Клейном.Они оба интересовались линейной геометрией – ответвлением проективной геометрии, открытым Юлиусом Плюккером. Ли высказал очень оригинальную идею: мол, теория Галуа для алгебраических уравнений должна иметь аналог для дифференциальных уравнений. Алгебраическое уравнение может быть решено в радикалах, только если обладает необходимыми свойствами симметрии, – это так называемая разрешимая группа Галуа. Ли предположил, что и дифференциальное уравнение может быть решено классическими способами, только если оно остается неизменным в непрерывном семействе преобразований. Ли и Клейн работали над вариантами этой идеи в 1869–1870 гг. Кульминацией стало описание геометрии через инварианты групп, данное Клейном в 1872 г. в его «Эрлангенской программе».

Она стала результатом нового подхода к евклидовой геометрии – с точки зрения симметрии. Жордан уже указал, что симметрии евклидовой плоскости представлены разного рода движениями без деформации тела: переносом, когда плоскость скользит в каком-то направлении; вращениями, которые поворачивают ее вокруг некой фиксированной точки; отражениями, которые переворачивают ее вокруг неподвижной линии, и, что менее очевидно, зеркальными отражениями, которые отражают и затем переносят ее в направлении, перпендикулярном линии зеркала. Эти преобразования образуют евклидову группу, и они жесткие – в том смысле, что они не меняют расстояния между точками. Соответственно, они не меняют и углы. Теперь длины и углы являются основными понятиями евклидовой геометрии. И Клейн понял, что это и есть инварианты для евклидовой группы: величины, которые не меняются, когда группа подвергается преобразованию.

ФЕЛИКС КЛЕЙН 1849–1925

Клейн родился в Дюссельдорфе в элитарной семье: его отец был секретарем главы прусского правительства. Он собирался стать физиком и отправился учиться в Университет Бонна, но устроился подрабатывать в лаборатории Юлиуса Плюккера. Тот вроде бы должен был заниматься прикладной математикой и экспериментальной физикой, но его интересы сосредоточились на геометрии, и Клейн попал под его влияние. Диссертация Клейна, датированная 1868 г., была посвящена линейной геометрии, ее приложениям к механике.

В 1870 г. Клейн работал вместе с Ли над теорией групп и дифференциальной геометрией. В 1871 г. он совершил открытие, что неевклидова геометрия – это геометрия проективной поверхности с определенным коническим сечением. Этот факт весьма откровенно и бескомпромиссно доказал, что неевклидова геометрия логически обоснована, точно так же как и евклидова. Этот довод практически положил конец дискуссии о статусе неевклидовой геометрии.

В 1872 г. Клейн стал профессором университета в Эрлангене, и в своей «Эрлангенской программе» 1872 г. он унифицировал практически все известные в то время виды геометрии и четко описал связи между ними, рассматривая геометрию через инварианты группы преобразований. Так геометрия стала ответвлением теории групп. Клейн написал статью по этой теме для своей торжественной речи (при утверждении его профессором), но так и не смог обнародовать ее в тот день. Сочтя Эрланген недостаточно продвинутым местом, ученый в 1875 г. перебрался в Мюнхен. Он женился на Анне Гегель, внучке великого философа. Через пять лет он переехал в Лейпциг, где расцвел его талант математика.

Клейн был уверен, что лучшая его работа была по теории функций комплексного переменного, где он провел глубокое исследование инварианта функций для различных групп преобразований комплексной плоскости. Особенно подробно в этом контексте он развил теорию простой группы порядка 168. В решении проблемы униформизации комплексных функций он вступил в соперничество с Пуанкаре, но резко подорвал здоровье – возможно, из-за слишком напряженной борьбы.

В 1886 г. Клейн занял должность профессора в Университете Гёттингена и сосредоточился на административной деятельности – учреждении самой внушительной в мире математической школы. Он возглавлял ее вплоть до ухода на пенсию в 1913 г.

Если вам известны евклидовы группы, вы сможете вычислить их инварианты и также из них получить евклидову геометрию. То же относится и к другим видам геометрии. Эллиптическая подразумевает изучение инварианта группы движений в пространстве с положительной кривизной, гиперболическая – инварианта группы движений в пространстве с отрицательной кривизной, проективная – изучение инварианта групп проекций и т. д. Точно так же, как координаты отражают связь алгебры с геометрией, инварианты выражают связь теории групп с геометрией. Каждый вид геометрии определяет группу всех преобразований, которые сохраняют соответствующие геометрические концепции. Верно и обратное: каждая группа преобразований определяет соответствующую геометрию, со своими инвариантами.

Клейн использовал эти взаимосвязи, чтобы доказать, что одни виды геометрии практически не отличаются от других, поскольку их группы идентичны, за исключением интерпретации. Более глубокий смысл этой идеи в том, что всякий вид геометрии определяется его симметрией. Есть лишь одно исключение – риманова геометрия поверхностей, чья кривизна может меняться от одной точки к другой. Она не совсем вписывалась в программу Клейна.

Группы Ли

Общие усилия Ли и Клейна привели Ли к открытию одной из самых важных идей в современной математике – идеи группы непрерывных преобразований, известной сейчас как группа Ли. Это концепция, совершившая революцию не только в математике, но и в физике, ведь группы Ли включают большинство самых важных видов симметрий физической Вселенной, для которой именно симметрия остается важнейшим организационным принципом – как для основополагающих философских взглядов на описание окружающего мира с помощью математических законов, так и для чисто технических расчетов.

Софус Ли создал теорию групп Ли на всплеске научной активности осенью 1873 г. Концепция групп значительно развилась со времени его ранних работ. В современных терминах группа Ли – структура, обладающая как алгебраическими, так и топологическими свойствами, тесно связанными между собой. Точнее говоря, это группа (некое множество) с операцией композиции, удовлетворяющей различным алгебраическим тождествам, особенно ассоциативному закону и топологическому многообразию (пространство, локально сходное с евклидовым, с несколькими фиксированными измерениями, которое может быть искривлено или еще как-то деформировано на глобальном уровне), с непрерывным законом композиции (малые изменения в элементах в итоге дадут малое изменение в результате). Концепция Ли была более конкретна: группа непрерывных преобразований со многими переменными. Он пришел к изучению таких групп преобразований в поисках теории разрешимости или неразрешимости дифференциальных уравнений, аналогично тому, как вышло у Галуа с алгебраическими уравнениями. Но его открытие обусловило великое множество математических приложений, причем изначально Ли нацеливался вовсе не на это.

Пожалуй, самым простым примером групп Ли является множество поворотов окружности. Любой из них однозначно определен углом от 0 до 360°. Это множество относится к группам, потому что композиция из двух поворотов также является поворотом – как сумма соответствующих углов. Это будет одномерное многообразие, потому что углы один к одному соответствуют точкам окружности, а небольшие дуги окружности – не более чем слегка искривленные отрезки той самой прямой, которая и является одномерным евклидовым пространством. Наконец, композиционный закон непрерывен, потому что малые изменения в углах в результате сложения дадут небольшое изменение их суммы.

Более любопытным примером будет группа всех поворотов в трехмерном пространстве с фиксированным началом координат. Каждый поворот здесь определяется осью – прямой, проведенной через начало координат в произвольном направлении, – и углом поворота вокруг этой оси. Для определения оси необходимы две переменные (скажем, долгота и широта точки, в которой ось встречается с соответствующей сферой с центром в начале координат) и третья переменная для определения угла поворота. Так, эта группа имеет размерность 3. В отличие от группы поворотов окружности, она некоммутативна: здесь результат объединения двух преобразований зависит от порядка их выполнения.

В 1873 г. после углубленной работы с ДУЧП Ли вернулся к теории групп преобразований, исследуя свойства бесконечно малых (инфинитезимальных) преобразований. Он показал, что такие преобразования непрерывной группы не являются замкнутыми относительно композиции, но обязательно замкнуты относительно новой операции, названной скобкой Ли и обозначаемой как [x,y]. В матричной записи это выражение называется коммутатором xy yx для x и y. Полученная в результате алгебраическая структура известна нам как алгебра Ли. Вплоть до 1930-х гг. термины «группа Ли» и «алгебра Ли» не использовались: вместо этого говорилось о непрерывной и инфинитезимальной группах соответственно.

Существуют сильные взаимосвязи между структурами группы Ли и алгебры Ли, которую сам ученый описал в трехтомном труде «Теория групп преобразований», созданном совместно с Фридрихом Энгелем. Соавторы подробно обсудили четыре классических семейства групп, два из которых – группы поворотов в n-мерном пространстве для четного или нечетного n. Эти два случая были выбраны из-за своих выраженных особенностей. Например, при нечетном числе измерений поворот требует фиксированной оси, а в пространстве с четным числом измерений она не обязательна.

Киллинг

Очередной значительный шаг в развитии теории групп сделал Вильгельм Киллинг. В 1888 году он заложил основу теории структуры для алгебр Ли, в частности создал классификацию всех простых алгебр Ли – основных строительных блоков, из которых собираются все остальные алгебры Ли. Киллинг начал с известной структуры для самой понятной простой алгебры Ли – специальной линейной алгебры sl(n) для n 2. Начнем со всех матриц размера n n с комплексными числами при условии, что скобка Ли для двух матриц A и B равна AB BA. Эта алгебра Ли не только простая, но и подалгебра sl(n). Для всех матриц, чьи диагональные значения в сумме дают 0, она действительно простая. Она имеет размерность n² 1.

Ли знал структуру этой алгебры, и он показал, что любая простая алгебра Ли имеет схожую структуру. Замечательно, что он смог это доказать, исходя лишь из знания того, что алгебра Ли простая. Его метод состоял в привязке любой простой алгебры к геометрической структуре под названием «система корней». Он использовал методы линейной алгебры для изучения и классификации системы корней, а затем выводил структуру соответствующей алгебры Ли от этой системы. Значит, классификация возможной геометрии системы корней равнозначна классификации простых алгебр Ли.

Результат работы Киллинга трудно переоценить. Он доказал, что простые алгебры Ли укладываются в четыре бесконечных семейства, ныне известных как A_n, B_n, C_n и D_n. Вдобавок есть пять исключений: G₂, F₄, E₆, E₇ и E₈. На самом деле Киллинг считал, что исключений шесть, но два оказались равнозначными алгебрами, описанными в разных выражениях. Размерности в исключительных алгебрах Ли равны 14, 56, 78, 133 и 248. Они по-прежнему несколько загадочны для ученых, хотя мы четко понимаем, почему они существуют.

Простые группы Ли

Из-за столь тесной связи между группами Ли и соответствующими им алгебрами классификация простых алгебр Ли ведет к классификации простых групп Ли. В частности, четыре семейства A_n, B_n, C_n и D_n являются алгебрами Ли для четырех классических семейств групп преобразований. Ими же являются, соответственно, группы всех линейных преобразований в (n + 1) – мерном пространстве, группы поворотов в (2n + 1) – мерном пространстве, симплектическая группа в пространстве с 2n измерениями, что особенно важно в классической и квантовой механике и оптике, и группа поворотов в 2n-мерном пространстве. Несколько заключительных штрихов к этой истории были добавлены позже, в частности введение Гарольдом Скоттом Макдональдом Коксетером и Евгением Дынкиным графического подхода к комбинаторному анализу системы корней, известного сейчас как диаграммы Коксетера – Дынкина.

Группы Ли важны для современной математики по многим причинам. Например, в механике многие системы обладают симметрией, и это позволяет найти решения для динамических уравнений. В основном именно симметрии образуют группы Ли. В математической физике изучение элементарных частиц во многом опирается на математический аппарат групп Ли, опять-таки благодаря определенным принципам симметрии. Исключительная группа Киллинга Е₈ играет важную роль в теории суперструн – основополагающем направлении в поисках связей между квантовой механикой и общей теорией относительности. Сделанное Саймоном Дональдсоном в 1983 г. эпохальное открытие о том, что четырехмерное евклидово пространство обладает нестандартными дифференцируемыми структурами, открывает новый взгляд на группы всех поворотов Ли в четырехмерном пространстве. Теория групп Ли по-прежнему жизненно важна для всех отраслей математики.

Абстрактные группы

В «Эрлангенской программе» Клейна особый упор делается на то, что исследуемые группы состоят из преобразований, т. е. элементы группы действуют в некотором пространстве. И большая часть ранних работ по теории групп предполагает такую структуру. Но более поздние исследования потребовали нового уровня абстрагирования: сохранить свойства группы, но отказаться от понятия пространства. Группа состоит из математических объектов, которые могут быть объединены для получения аналогичных объектов, но они не обязательно должны быть преобразованиями.

Это могут быть числа. Два числа (целые, рациональные, действительные, комплексные) могут быть сложены, и результатом также станет число такого же вида. Числа образуют группу с помощью операции сложения. Но число – не преобразование. Несмотря даже на роль групп как преобразований, объединивших геометрии, от понятия связанного с ними пространства лучше отказаться, чтобы объединить теорию групп.

Одним из первых математиков, решившихся предложить такой шаг, стал Артур Кейли в трех своих статьях от 1849 и 1854 гг. Он говорил, что группа содержит набор операторов 1, a, b, c и т. д. Объединение ab двух любых операторов должно быть другим оператором; особый оператор 1 удовлетворяет условию 1a = a и a1 = a для всех операторов a; ассоциативный закон (ab)c = a(bc) должен сохраняться. Но его операторы по-прежнему опирались на что-то еще (множество переменных). Кроме того, он пропустил решающее условие: для любого a должно быть обратное a, такое, что aa = aa = 1. Так Кейли хотя и подобрался к призу, но промахнулся на волосок.

В 1858 г. Рихард Дедекинд позволил членам группы быть произвольными сущностями, а не только преобразованиями или операторами, однако включил в свое определение коммуникационный закон ab = ba. Эта идея отлично послужила для его цели – теории чисел, но оставляла в стороне самые любопытные группы в теории Галуа, не говоря о более широком математическом мире. Современная концепция абстрактной группы была предложена Вальтером фон Диком в 1882–1883 гг. Он допускал обратимость, но отрицал необходимость закона коммутативности. Полноценный аксиоматичный подход к группам появился позже, в 1902 г., благодаря дуарду Хантингтону, Элиакиму Муру (1902) и Леонарду Диксону (1905).

С абстрактной структурой группы отделились от конкретной интерпретации, и их теория стала стремительно развиваться. Ранние исследования по большей части касались частных случаев: ученые, заинтересовавшиеся примерами отдельных групп или каких-то особых их типов, старались выявить их общие черты. Необходимые в этой области основные понятия и методы появились на удивление быстро, и теперь эта тема процветает.

Теория чисел

Еще одним источником новейших алгебраических идей стала теория чисел. Начало ей положил Гаусс, представив ученым то, что сейчас называется гауссовыми целыми числами. Это были комплексные числа a + bi, где a и b целые числа. Сумма и произведение этих чисел имеют такой же вид. Гаусс открыл, что понятие простых чисел обобщается на гауссовы целые числа. Они простые, если не могут быть выражены как произведение других гауссовых целых чисел, за исключением тривиальных случаев. Разложение гауссовых целых чисел на простые множители уникально. Некоторые из простых чисел, например 3 и 7, остаются простыми, даже если выражены через гауссовы простые числа, другие – нет: например, 5 = (2 + i)(2 – i). Этот факт тесно связан с теоремой Ферма о простых числах и их представлении как суммы двух квадратов, причем гауссовы простые числа иллюстрируют эту теорему и родственные ей.

Если мы разделим одно гауссово целое число на другое, полученный результат окажется не обязательно гауссовым целым числом, но, по крайней мере, близким к нему: он будет иметь вид a + bi, где a и b – рациональные числа. Это и есть гауссовы числа. Используя более общий подход, ученые, занимающиеся теорией чисел, открыли, что происходит нечто одинаковое, если мы возьмем любой многочлен p(x) с целыми коэффициентами и затем рассмотрим все линейные комбинации a₁x₁ + … + a_nx_n от его корней x₁, …, x_n. Положим, что a₁, …, a_n – рациональные числа, тогда мы получаем систему комплексных чисел, которая замкнута относительно сложения, вычитания, умножения и деления; это значит, что, когда эти действия применяются к такому числу, в результате получается число подобного же рода. Такая система представляет собой поле алгебраических чисел. Если же вместо этого мы потребуем, чтобы a₁, …, a_n были целыми, то система станет замкнутой относительно сложения, вычитания и умножения, но не деления: тогда мы получим кольцо алгебраических чисел.

Самым знаменитым приложением этих новых числовых систем стала Великая теорема Ферма – утверждение о том, что уравнение Ферма, xⁿ + yⁿ = zⁿ, не имеет целочисленного решения, если n равно или больше 3. Никому не удавалось восстановить якобы найденное Ферма «чудесное доказательство», и чем дальше, тем больше было сомнений в том, что он в принципе его создал. Но был достигнут и некоторый прогресс. Ферма нашел доказательство для третьей и четвертой степеней, Петер Лежён Дирихле в 1828 г. преодолел пятую степень, Анри Лебег нашел доказательство для седьмой степени в 1840 г.

В 1847 г. Габриель Ламе заявил, что нашел доказательство для любой степени, но Эрнст Эдуард Куммер указал на допущенную им ошибку. Ламе без доказательств принял утверждение, что единственность разложения числа на простые множители справедлива для алгебраических чисел, но это неверно для некоторых (скорее, для большинства) полей алгебраических чисел. Куммер показал, что единственность не соблюдается для поля, полученного в исследовании Великой теоремы Ферма для 23-й степени. Однако это не обескуражило Куммера, и он нашел способ обойти возражение, изобретя новый математический аппарат – теорию идеальных чисел. В 1847 г. он доказал теорему Ферма для всех подряд степеней вплоть до 100, за исключением 37, 59 и 67. Развивая свое изобретение, ученый сумел справиться и с этими случаями в 1857 г. К 1980-м гг. эти методы позволили найти доказательства для всех случаев до 150 000-й степени, но их возможности к этому моменту оказались практически исчерпаны.

Кольца, поля и алгебры

Определение Куммера для идеального числа было громоздким, и Дедекинд заново сформулировал его в терминах идеалов – специальных подсистем целых алгебраических чисел. Благодаря школе Давида Гильберта в Гёттингене, в частности Эмми Нётер, эта отрасль науки получила солидный фундамент в виде аксиом. В их списке, кроме групп, были определены три другие алгебраические системы: кольца, поля и алгебры.

В кольце определены такие действия, как сложение, вычитание и умножение, причем они удовлетворяют всем обычным законам алгебры, за исключением коммутативного для умножения. Если же в системе выполняется и он, значит, мы имеем дело с коммутативным кольцом.

ЭММИ АМАЛИЯ НЁТЕР 1882–1935

Эмми Нётер появилась на свет в еврейской семье математика Макса Нётера и Иды Кауфманн. В 1900 г. она получила право преподавать языки, но решила связать свое будущее с математикой. К тому времени в немецких университетах уже позволяли женщинам обучаться на неофициальной основе с позволения их профессора, чем Нётер и пользовалась с 1900 по 1902 г. в Университете Эрлангена. Затем она перебралась в Гёттинген, чтобы прослушать курсы лекций Гильберта, Клейна, Минковского в 1903 и 1904 гг.

Она написала докторскую диссертацию под руководством Пауля Гордана в 1907 г. Диссертация была посвящена вычислениям очень сложной системы инвариантов. Для мужчины следующим шагом стало бы получение степени хабилитированного доктора, но это было невозможно для женщины. Она оставалась дома в Эрлангене, ухаживая за больным отцом, однако продолжала свои исследования и быстро заслужила репутацию серьезного ученого.

В 1915 г. ее снова пригласили в Гёттинген Клейн и Гильберт, приложившие все силы, чтобы получить для нее разрешение работать на факультете. Им удалось добиться своего в 1919 г. Вскоре после своего прибытия она доказала фундаментальную теорему, известную как теорема Нётер, о связывающей симметрии физической системы с законом сохранения. Ряд ее работ Эйнштейн использовал для формулировки некоторых частей своей общей теории относительности. В 1921 г. она написала статью по теории колец и идеалов, изложив ее с точки зрения абстрактной аксиоматики. Ее работа заметно повлияла на классический труд Бартеля Леендерта ван дер Вардена «Современная алгебра». Когда Германия оказалась под властью нацистов, Нётер уволили из-за еврейского происхождения, и она эмигрировала в США. Ван дер Варден говорил, что для нее взаимоотношения между числами, функциями и преобразованиями абсолютно прозрачны и легко поддаются обобщению и обработке, подчиняясь общей концепции.

Для поля определены такие действия, как сложение, вычитание, умножение и деление, и они удовлетворяют всем обычным законам алгебры, в том числе и коммутативному для умножения. Если последний не работает, мы имеем дело с алгебраическим телом.

Любая алгебра подобна кольцу, но число ее элементов можно также умножить на различные константы, действительные, комплексные числа или – в самом общем случае – на поле. Законы сложения самые обычные, а умножение должно удовлетворять набору разных аксиом. Если при этом выполняется ассоциативность, мы имеем дело с ассоциативной алгеброй. Если они удовлетворяют законам, связанным с коммутатором xy – yx, то это будет алгебра Ли.

Существуют десятки, если не сотни, различных типов алгебраических структур, каждая со своим списком аксиом. Некоторые были созданы только для изучения последствий отдельных интересных аксиом, но большинство обязаны своим появлением необходимости решить какую-то определенную проблему.

Простые конечные группы

Высшим достижением исследований XX в., посвященных конечным группам, стала успешная классификация самых простых из них. Это открытие Киллинг совершил, работая с группами и алгебрами Ли. Это буквально привело к полному описанию всех возможных базовых элементарных кирпичиков для конечных групп, а именно простых групп. Если под группой подразумеваются молекулы какого-то вещества, простыми группами будут образующие их атомы.

ЭНДРЮ УАЙЛС род. 1953

Эндрю Уайлс родился в Кембридже в 1953 г. В возрасте десяти лет он прочел о Великой теореме Ферма. Тогда он решил стать математиком и доказать ее. К тому времени, как ученый получил докторскую степень, он практически отказался от этой идеи, поскольку теорема казалась неразрешимой. Уайлс предпочел заняться теорией чисел эллиптических кривых – вроде бы совершенно другой областью математики. Он переехал в США и стал профессором в Принстоне.

К 1980-м гг. уже стало ясно, что между Великой теоремой Ферма и глубокими и трудными вопросами по эллиптическим кривым есть неожиданная связь. Герхард Фрай сделал ее явной с помощью так называемой гипотезы Таниямы – Симуры. Когда Уайлс узнал об идее Фрая, он прекратил все другие исследования, чтобы полностью сосредоточиться на Великой теореме Ферма. После семи лет исследований он убедил себя, что нашел доказательство, основанное на особом случае гипотезы Таниямы – Симуры. Как выяснилось, в этом доказательстве была серьезная дыра, но Уайлсу с Ричардом Тейлором удалось ее закрыть: полное доказательство было опубликовано в 1995 г.

Другие математики вскоре расширили доказательство гипотезы Таниямы – Симуры, продолжая развивать новый метод. За свою работу Уайлс удостоился больших почестей, в том числе премии Вольфа. В 1998 г., уже не подходя по возрасту для конкурса на Филдсовскую премию и медаль, по традиции присуждаемые ученым до 40 лет, он был награжден специальной серебряной тарелкой от Международного математического союза. В 2000 г. он был посвящен в рыцари-командоры ордена Британской империи.

Классификация Киллинга для простых групп Ли доказала, что они могут относиться к одному из четырех бесконечных семейств A_n, B_n, C_n и D_n с пятью исключениями: G₂, F₄, E₆, E₇ и E₈. Возможными классификациями всех простых конечных групп занимались слишком многие математики, чтобы перечислить их поименно, но общее направление в решении этой проблемы было задано Даниэлем Горенштейном. Его ответ, опубликованный в 1988–1990 гг., до странности знаком: список бесконечных семейств и список исключений. Но в нем уже гораздо больше семейств, а число исключений увеличилось до 26.

Семейства включают знакопеременные группы (известные еще Галуа) и ряд групп типа Ли, похожих на простые, но заданных над разными конечными полями, а не над комплексными числами. В этой области есть несколько любопытных вариаций. Исключениями оказываются 26 отдельных групп с некоторыми намеками на общие свойства, но без унифицированной структуры. Первое доказательство того, что классификация полная, пришло из совокупности трудов сотен математиков общим объемом около 10 тыс. страниц. Ряд самых важных частей доказательства так и не был опубликован. Последние работы тех, кто продолжает исследовать эту область, посвящены построению более простой и прозрачной классификации, – подход, ставший возможным благодаря тому, что ответ уже известен. Результаты выходят в свет в виде сборников статей, объем которых в сумме уже составляет около 2000 страниц.

Самой загадочной из входящих в число исключительных простых групп и самой большой из них остается так называемый монстр. Его порядок таков:

2⁴⁶ 3²⁰ 5⁹ 7⁶ 11² 13³ 17 19 23 29 31 41 47 59 71,

что равно

808017424794512875886459904961710757005754368000000000,

это приблизительно 8 10⁵³. Существование монстра предположили в 1973 г. Бернд Фишер и Роберт Грисс. В 1980 г. Грисс доказал, что он существует, и построил его алгебраическую конструкцию как группу симметрии алгебры с 196 884 измерениями. Этот монстр, судя по всему, имеет неожиданные связи с теорией чисел и комплексным анализом, сформулированные Джоном Конвеем как «гипотеза чудовищного вздора». Гипотеза была доказана в 1992 г. Ричардом Борчердсом, за что он получил Филдсовскую медаль – самую престижную награду для математика.

Великая теорема Ферма

Применение алгебраических числовых полей к теории чисел стремительно развивалось во второй половине ХХ в., причем возникало всё больше связей с прочими областями математики, включая теорию Галуа и алгебраическую топологию. Кульминацией этой работы стало доказательство Великой теоремы Ферма почти через 350 лет после ее первого упоминания.

Идея, обеспечившая возможность решения этой задачи, пришла из прекрасной области, заключенной в самом сердце современных трудов по диофантовым уравнениям, – теории эллиптических кривых. Это те кривые, у которых полный квадрат равен кубическому многочлену, и они представляют ту область уравнений Диофанта, которая понятна математикам. Однако сам предмет не лишен своих нерешенных проблем. Самой значительной остается гипотеза Таниямы – Вейля, названная в честь Ютаки Таниямы и Андре Вейля. Она гласит, что любую эллиптическую кривую можно описать в терминах модулярных функций – обобщений тригонометрических функций, в частности изучавшихся Клейном.

ЧТО АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА ДАЛА ИМ

В своем труде «Исследование законов мышления», опубликованном в 1854 г., Джордж Буль показал, что алгебра применима к логике, и в результате открыл то, что сейчас называется булевой алгеброй.

Я могу дать лишь набросок высказанных Булем идей. Самыми важными логическими операциями являются не, и, или. Если утверждение S истинно, то утверждение «не S» ложно, и наоборот. Утверждение «S и T» будет истинно тогда и только тогда, когда оба утверждения, S и T, истинны. Утверждение «S или T» истинно, когда истинны либо S, либо T, либо они оба одновременно. Буль обратил внимание на то, что если вместо Т мы поставим 1, а вместо S – 0, алгебра этих логических операций будет очень напоминать обычную, если мы примем, что 0 и 1 – целые числа по модулю 2; тогда 1 + 1 = 0 и – S по абсолютной величине равно S. Тогда «не S» есть 1 + S, «S и Т» есть ST и «S или T» есть S + T + ST. Сумма S + T соответствует исключающему или (xor на языке компьютерщиков). «S xor T» истинно при условии, что истинно либо T, либо S, но не оба одновременно. Буль открыл, что его курьезная алгебра логики полностью самосогласована, если вы запомните ее немного странные правила и будете использовать их систематически. Это был один из первых шагов в сторону формальной теории математической логики.

В начале 1980-х гг. Герхард Фрай открыл связь между Великой теоремой Ферма и эллиптическими кривыми. Предположим, что решение для уравнения Ферма существует; тогда вы можете построить эллиптическую кривую с очень необычными свойствами, такими, что даже само существование такой кривой покажется невероятным. В 1986 г. Кеннет Рибет развил эту идею, доказав, что если гипотеза Таниямы – Вейля верна, то кривая Фрая существовать не может. Получается, предположенное ранее решение теоремы Ферма тоже не может существовать, что доказывает Великую теорему Ферма. Этот подход основан на гипотезе Таниямы – Вейля и к тому же показывает,что Великая теорема Ферма – не просто исторический курьез. Напротив, она лежит в основе современной теории чисел.

Эндрю Уайлс с детства мечтал найти доказательство Великой теоремы Ферма, но, став профессионалом, решил, что это не более чем отдельная проблема – пусть нерешенная, но не такая уж и важная. Работа Рибета заставила его изменить мнение. В 1993 г. он заявил о доказательстве гипотезы Таниямы – Вейля для отдельного класса эллиптических кривых, достаточно общем, чтобы найти доказательство Великой теоремы Ферма. Но когда статья уже была готова к публикации, в ней обнаружился серьезный пробел. Уайлс был готов сдаться, когда «внезапно, неожиданно на меня снизошло это невероятное откровение… это было столь неописуемо прекрасно, столь элегантно и просто, и я оцепенел, не в силах поверить». При участии Ричарда Тейлора он пересмотрел свое доказательство и сумел исправить пробел. Его статья вышла в 1995 г.

В одном мы можем быть уверены: что бы ни подразумевал сам Ферма, заявляя, что у него есть доказательство его Великой теоремы, его подход был совершенно иным по сравнению с методами Уайлса. Нашел ли Ферма на самом деле простое и изящное доказательство, или он обманывал сам себя? Эту загадку, в отличие от самой теоремы, мы не разгадаем никогда.

Абстрактная математика

Развитие всё более абстрактного подхода в математике представляется естественным следствием роста разнообразия ее областей. Когда математика по большей части имела дело с числами, алгебраические символы служили не более чем простой заменой им. Но по мере развития математики росли и символы сами по себе, всё больше обретая самостоятельную жизнь. Смысл их становился всё менее важным по сравнению с правилами, по которым с ними можно было манипулировать. Но даже эти правила не были под запретом: традиционные законы арифметики, например коммутативный, далеко не всегда справлялись с новым контекстом.

И не только алгебра стала абстрактной. И анализу, и геометрии тоже пришлось сфокусироваться на более отвлеченных понятиях, причем по тем же причинам. Поворотным временем в изменении общего подхода стал период с середины XIX до середины XX в. Потом начался период консолидации, когда математики старались сбалансировать противоречия между требованиями абстрактного формализма и прикладной науки. Абстракция и обобщения шли рука об руку, но абстракция также способна и затенять значение математики. По крайней мере, больше не возникало споров о необходимости абстракции как таковой: подобные методы доказали свою важность в решении множества давних задач, таких как Великая теорема Ферма. И то, что еще вчера казалось не более чем отвлеченными играми разума, завтра могло запросто стать жизненно важной областью науки или источником хорошего дохода.

ЧТО АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА ДАЕТ НАМ

Поля Галуа создали надежный фундамент для системы кодирования, которая широко используется в различных коммерческих предложениях, особенно для CD и DVD. Всякий раз, слушая музыку или смотря видео, вы используете абстрактную алгебру.

Эти методы получили название кодов Рида – Соломона, в честь Ирвинга Рида и Густава Соломона, открывших их в 1960 г. Эти коды с исправлением ошибок, основанные на многочленах, с коэффициентами в конечных полях, применяются при кодировании данных, таких как музыка или видеосигналы. Известно, что многочлен степени n однозначно определяется своими значениями в различных точках. Идея состоит в вычислении многочлена в более чем n точках. Если здесь нет ошибок, любое подмножество из n точек восстановит тот же самый многочлен. Если это не так, то, исходя из предположения, что количество ошибок не слишком велико, мы всё еще сможем вывести нужный многочлен.

На практике данные представлены в виде кодированных блоков с 2^m – 1 m-байтных символов в каждом, где байт – двоичный символ: 0 или 1. Чаще всего выбирается значение m = 8, потому что многие старые компьютеры работают в байтах – последовательностях из восьми битов. Тогда число символов в блоке равно 255. Один обычный код Рида – Соломона содержит 223 байта закодированных данных в каждом 223-байтном блоке, и оставшиеся 32 байта отводятся на символы четности, в которых указано, должны ли определенные комбинации цифр в данных быть нечетными или четными. Такой код может исправлять до 16 ошибок в одном блоке.

Все важные элементы евклидовой геометрии: прямые, углы, окружности, площади и т. д. – так или иначе связаны с измерением. Отрезок прямой имеет длину, угол – определенный размер, он может немного отличаться от прямого (90°), варьируя между 89 и 91°, окружности определяются с помощью их радиусов, площадь фигуры зависит от длины ее сторон. Скрытый элемент, благодаря которому работает геометрия Евклида в целом, – это длина, метрическая величина, которая остается неизменной при движениях и определяет евклидов эквивалент концепции движения – конгруэнтность.

Топология

Новые типы геометрии тоже оказались метрическими. В неевклидовой геометрии можно определять длину и угол, они просто имеют другие свойства, нежели длина и угол на евклидовой плоскости. С открытием проективной геометрии всё изменилось: проективные преобразования могут изменять длину, а также угол. Евклидова геометрия и два основных вида неевклидовой относительно жесткие. Проективная более гибкая, но даже здесь есть более тонкие инварианты, и в представлении Клейна это определяет геометрию как группу преобразований и соответствующих инвариантов.

На исходе XIX в. математики начали развивать еще более гибкую разновидность геометрии – столь гибкую, что она получила название «геометрия на резиновом листе». Нам более привычно иное наименование – топология. Это геометрия форм, которые можно исказить чрезвычайно запутанными способами. Прямые могут искривляться, сжиматься или растягиваться; окружности сжимают так, что они превращаются в треугольники или квадраты. Единственное, что имеет значение, – непрерывность. Трансформации, разрешенные в топологии, непременно должны быть непрерывными в смысле анализа. Грубо говоря, это значит, что если две точки изначально достаточно близки между собой, они и в итоге останутся близкими, – отсюда и образ резинового листа.

Здесь всё еще слышны отголоски привычного метрического образа мышления: «достаточно близкие» – метрическая концепция. Но к началу ХХ в. математики избавились и от них, и топологические преобразования обрели независимое существование. Это тут же повысило научный статус топологии, вплоть до того, что она заняла ведущую роль в математике, – хотя с самого начала производила впечатление очень странной и бессодержательной области. Если преобразования настолько гибкие, то что же тогда может быть инвариантом? На поверку выходит, что очень многое. Однако тип инварианта, который тогда вступил в игру, еще никогда не рассматривался в геометрии. Связность: сколько именно частей имеет этот объект? А отверстия: то ли видна петля, то ли туннель сквозь объект? Узлы – как они образовались и можно ли их распутать? С точки зрения тополога, и бублик, и чашка кофе идентичны (зато не идентичны бублик и стакан); однако оба отличаются от круглого мяча. Простой узел отличается от узла-восьмерки, но для доказательства этого потребовалось изобрести новый подход, и долгое время вообще никому не удавалось доказать, существуют ли узлы.

Кажется невероятным, чтобы нечто столь зыбкое и расплывчатое могло оказаться для нас столь важным. Но внешность обманчива. Непрерывность – одно из фундаментальных качеств мира природы, и любое сколь-нибудь серьезное исследование непрерывности приводит к топологии. Даже сегодня мы косвенно пользуемся топологией наряду со множеством других техник.

Вы не найдете примеров откровенной топологии у себя на кухне – по крайней мере явных. (Хотя иногда вы можете заметить ее элементы в хаотичной работе посудомоечной машины, использующей беспорядочные перемещения двух вращающихся лопастей для пущей эффективности процесса. Кроме того, наше понимание феномена хаоса зиждется на топологии.) Главными практическими потребителями топологии стали теоретики квантовых полей, – возможно, это не очень привычное использование слова «практический», но, несомненно, важная область физики. Другое приложение идей топологии демонстрирует молекулярная биология, где с помощью топологических концепций ученые исследуют изгибы и повороты молекулы ДНК.

В скрытом виде топология приносит информацию в математический мейнстрим в целом и способствует развитию других методов с более очевидным практическим применением. Это строгое исследование качественных геометрических характеристик – в противоположность количественным, таким как длина. Вот почему математики придают топологии такое значение, хотя вполне возможно, что остальной мир об этом не знает.

Многогранник и кенигсбергские мосты

Как полноправная наука топология обособилась только в 1900-х гг., но она уже проявлялась и ранее в математических исследованиях. Два вопроса в предыстории топологии были рассмотрены Эйлером: его формула для многогранника и решение задачи о кенигсбергских мостах.

В 1639 г. Декарт отметил любопытную черту нумерологии правильных тел. Взять, к примеру, куб. Это 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Сложите 8 и 6, и вы получите 14, на 2 больше, чем 12. А как насчет додекаэдра? У него 12 граней, 30 ребер и 20 вершин. И 12 + 20 = 32, что на 2 больше 30. То же повторяется у тетраэдра, октаэдра и икосаэдра. Та же особенность, судя по всему, присуща практически всем многогранникам. Если тело имеет F граней, Е ребер и V вершин, то F + V = E + 2, что можно переписать как

F – E + V = 2.

Декарт не опубликовал свое открытие, но записал его в своем манускрипте, прочитанном Лейбницем в 1675 г.

Эйлер первым опубликовал это соотношение в 1750 г. Он добавил доказательство в 1751 г. Его увлекли эти взаимоотношения, потому что он пытался разработать классификацию многогранников. В работе над классификацией ученому приходится учитывать любое общее свойство предметов, подобное этому.

Многогранник с отверстием

Существует ли формула, верная для всех многогранников? Не совсем так. Если наш многогранник имеет форму рамы для картины, с квадратным поперечным сечением и прямыми углами, то у него 16 граней, 32 ребра и 16 вершин, т. е. здесь F + V – E = 0. Причиной такого несоответствия оказывается наличие отверстия. Фактически если многогранник имеет g отверстий, то

F + V – E = 2 – 2g.

Что же это – отверстие? Ответ найти труднее, чем кажется. Во-первых, речь идет о поверхности многогранника, а не о его сплошном внутреннем пространстве. В реальной жизни для того, чтобы сделать отверстие в чем-либо, мы внедряемся в его твердую сплошную внутренность, но приведенные выше формулы не имеют отношения к ней – только к граням, образующим его поверхность, заодно с их ребрами и вершинами. Всё, с чем мы имеем дело, лежит на поверхности. Во-вторых, единственный вид отверстий, влияющий на численные данные, – те, что пронзают тело насквозь, образуя туннель с двумя концами. Проще говоря, это не такое отверстие, которое может вырыть рабочий на дороге. В-третьих, такие отверстия могут не быть на поверхности, хотя отчасти именно поверхности очерчивают их. Отверстие существует только в качестве пустого места в бублике, но даже в этом случае вы покупаете твердую внутренность бублика.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОШИ ДЛЯ ФОРМУЛЫ ДЕКАРТА – ЭЙЛЕРА

Удалим одну грань и растянем поверхность тела на плоскости. Это уменьшит F на 1, т. е. теперь мы доказываем, что в результате плоская конфигурация для ребер, линий и точек удовлетворяет формуле F – E + V = 1. Чтобы этого достичь, сначала преобразуем все грани в треугольники, начертив, если надо, добавочные диагонали. Каждая из новых диагоналей оставит V неизменной, но увеличит и E, и F на 1, так что F – E + V не изменится. Теперь начнем удалять ребра начиная с наружных. Каждое из удалений уменьшает и F, и E, так что F – E + V cнова останется тем же. Когда вы закончите с удалением плоскостей, у вас останутся в случае тетраэдра три ребра и три вершины не имеющие замкнутых контуров. Одну за другой удалим крайние вершины заодно с ребрами, подходящими к ним. Теперь и E, и F уменьшатся на 1, и cнова F – E + V остается таким же. Этот процесс остановится только на последней вершине. Теперь F = 0, E = 0 и V = 1, так что F – E + V = 1, что и требовалось доказать.

Пример доказательства Коши

Наверное, проще исходить из определения, что значит «не отверстие». Многогранник не имеет отверстий, если его можно непрерывно деформировать, получая искривленные грани и ребра, пока он (вернее, его поверхность) не превратится в сферу. Для таких поверхностей F + V – E на самом деле всегда будет равно 2. И обратное утверждение верно: если F + V – E = 2, многогранник можно деформировать в сферу.

Непохоже, что многогранник в виде рамы для картины можно деформировать в сферу, – куда же денется отверстие? Для строгого доказательства этого мы не должны заглядывать дальше того факта, что для этого многогранника F + V – E = 0. Такое соотношение невозможно для поверхностей, способных деформироваться в сферу. Итак, числа многогранников описывают для нас важные особенности их геометрии, и последние могут быть топологическими инвариантами – неизменными при деформациях.

Сейчас формула Эйлера кажется нам замечательным намеком на очень полезную связь между комбинаторными аспектами многогранника, такими как количество граней, и его топологическими аспектами. Получается, что проще двигаться в обратном направлении.

Чтобы вычислить количество отверстий на поверхности, возьмем F + V – E – 2, разделим на 2 и изменим знак:

g = –(F + V – E – 2)/2.

Курьезный вывод: теперь мы можем вычислить количество отверстий в многограннике, не давая определения отверстия.

Преимущество такой процедуры в том, что она естественна для многогранника, не требует визуального контакта с ним в окружающем трехмерном пространстве – того, как видят отверстие наши глаза. Необычайно разумный муравей, обитающий на поверхности многогранника, может решить, что там есть какое-то отверстие, даже если видит только поверхность. Эта естественная точка зрения присуща топологии. Она изучает форму предметов как таковую, саму по себе, а не как часть чего-то еще.

На первый взгляд задача о кенигсбергских мостах не имеет отношения к комбинаторике многогранников. Город Кенигсберг (ныне Калининград), некогда принадлежавший Пруссии, расположен по обоим берегам реки Преголя, на которой есть два острова. Те связаны с берегами и друг с другом семью мостами. Понятно, что жители Кенигсберга долго гадали, можно ли так проложить маршрут воскресной прогулки, чтобы только один раз пройти по каждому из мостов.

Задача о кенигсбергских мостах

Загадку в 1735 г. решил Эйлер; хотя правильнее будет сказать, он доказал, что здесь нет решения, и объяснил почему. Он использовал два важных приема: упростил задачу и сократил ее до самых элементарных требований, а затем обобщил ее, сравнив со всеми головоломками такого рода. Он указал, что для решения важны не размеры и форма островов, а то, как именно связаны между собой острова, берега и мосты. Всю проблему можно было изобразить простой схемой точек (вершин), соединенных линиями (ребрами), как это показано наложением на нашей карте.

Чтобы составить такую схему, мы расположим по одной вершине на каждом массиве суши: северный берег, южный берег и два острова. Соединим две вершины ребром всякий раз, когда есть мост, связывающий соответствующие фрагменты суши. Тогда мы получаем четыре вершины A, B, C и D и семь ребер, по одному для каждого моста.

Теперь задачу можно заменить более простым эквивалентом на схеме. Возможно ли найти на ней маршрут – связанную последовательность ребер, чтобы он включал по одному разу каждое ребро?

Эйлер определил два типа маршрутов: открытый, у которого начало и конец находятся в разных вершинах, и замкнутый, у которого начало и конец приходятся на одну вершину. Он доказал, что именно для этой схемы не существует маршрута ни одного из этих типов.

Ключом к загадке станет рассмотрение валентности каждой вершины: в данном случае это число сходящихся в ней ребер. Сперва рассмотрим вариант замкнутого маршрута. Здесь каждое ребро, приходящее к вершине, соединяется с другим – следующим, по которому маршрут покидает эту вершину. Если замкнутый маршрут возможен, количества ребер для каждой вершины должны, соответственно, быть четными. Иными словами, у всех вершин должна быть равная валентность. Но на схеме мы видим три вершины с валентностью 3 и одну с валентностью 5 – всё это нечетные числа. Значит, замкнутого маршрута не существует.

Те же критерии мы применяем к открытому маршруту, но здесь получится минимум две вершины с нечетной валентностью: одна в начале и другая в конце. Поскольку на схеме Кенигсберга есть четыре вершины с нечетной валентностью, открытого маршрута не существует.

Эйлер сделал еще один важный шаг – доказал, что эти необходимые условия для существования маршрута являются также достаточными при условии, что на диаграмме есть связь (т. е. две любые вершины связаны каким-либо путем). Это общее свойство доказать несколько труднее, и у Эйлера ушло некоторое время на поиски решения. Сейчас мы можем записать доказательство в нескольких строках.

Геометрические свойства плоских поверхностей

Два открытия Эйлера кажутся принадлежащими к весьма далеким друг от друга разделам математики, но при внимательном рассмотрении легко заметить общие для них детали. Они используют комбинаторику схем многогранников. Одно считает грани, ребра и вершины, а другое – валентности; одно выводит общие соотношения между тремя числами, другое ищет что-то общее в имеющихся маршрутах. Но они явно родственны по духу. И даже больше, причем эта особенность оставалась незамеченной на протяжении более чем столетия: оба являются инвариантами непрерывных преобразований. Само расположение вершин и ребер здесь не имеет значения: нам важно лишь то, как они связаны между собой. Обе проблемы покажутся одинаковыми, если мы нарисуем эту схему на резиновом листе, который потом деформируется. Единственный способ создать значимые различия – разрезать или разорвать этот лист и склеить потом его куски; но эта операция уничтожит саму непрерывность.

ЛЕНТА МЁБИУСА

Топология может преподнести сюрпризы. Самый известный из них – лента Мёбиуса (лист Мёбиуса). Чтобы ее получить, нужно взять длинную полоску бумаги и склеить ее противоположные концы, повернув один из них вполоборота. Без поворота мы получим обычный цилиндр. Различие между этими двумя поверхностями станет понятно, если мы попробуем их покрасить. У цилиндра мы легко сможем выкрасить наружную поверхность в красный цвет, а внутреннюю в синий. Но если вы начнете красить красным одну сторону ленты Мёбиуса и будете поступательно двигаться от окрашенной части к неокрашенной, окажется, что вы выкрасили в красный цвет всю ленту. Из-за полуоборота внутренняя поверхность соединилась с наружной.

Еще одно отличие проявится, если вы разрежете ленту пополам вдоль всей ее длины. Да, она разделится на две части, но они останутся связанными друг с другом.

Проблески общей теории первым заметил Гаусс, время от времени пытавшийся привлечь внимание коллег к необходимости некой теоретической базы для геометрических свойств схем. Он также изобрел новый топологический инвариант, который мы сейчас называем коэффициентом зацепления, для исследований магнетизма. Это число определяет, как одна замкнутая кривая обкручивается вокруг другой. Гаусс вывел формулу для подсчета коэффициента зацепления на основе аналитических выражений, описывающих кривые. Такой же инвариант, число оборотов (или индекс точки) для замкнутой кривой по отношению к точке, был использован в одном из доказательств Основной теоремы алгебры.

Наибольший вклад в становление топологии внесли студент Гаусса Иоганн Листинг и ассистент Август Мёбиус. Листинг учился у Гаусса в 1834 г., и в его труде «Предварительные исследования по топологии» впервые используется термин «топология». Сам Листинг сначала применял выражение «геометрия позиций», но его уже пустил в обиход Карл фон Штаудт для описания проективной геометрии, и Листингу пришлось искать другой вариант. Кроме того, Листинг искал способ обобщения формулы Эйлера для многогранников.

Мёбиус сумел четко обозначить важную роль непрерывных преобразований. Его нельзя было назвать самым продуктивным ученым, но он отличался чрезвычайно кропотливым подходом к любой исследуемой им теме. В частности, именно он обратил внимание на то, что у поверхности отнюдь не всегда есть две четко разделенные стороны, приведя в пример свою знаменитую ленту. Эту поверхность независимо друг от друга открыли и Мёбиус, и Листинг в 1858 г. Листинг опубликовал свое открытие в книге «Der Census Rumlicher Complexe» («Описание пространственной сложности»), а Мёбиус – в статье об исследовании свойств поверхностей.

Долгое время идеи Эйлера о многогранниках оставались в стороне от основных направлений математической мысли, но в какой-то момент несколько маститых ученых открыли новый подход к геометрии, который они назвали тогда analysis situs, т. е. анализ размещений. Под этим подразумевалась качественная теория форм как самостоятельная дисциплина, дополняющая более привычную тогда количественную теорию длин, углов, площадей и объемов. Этот взгляд делался всё более популярным по мере появления новых открытий в традиционных исследованиях основных направлений математики. Ключевым шагом стало открытие связей между комплексным анализом и геометрией поверхностей, сделанное Риманом.

Сфера Римана

Очевидный способ осмысления комплексной функции f состоит в том, чтобы интерпретировать ее как отображение из одной комплексной плоскости в другую. Базовая формула для такой функции, w = f(z), предлагает нам взять любое комплексное число z, применить к нему f и получить другое комплексное число w, связанное с z. Геометрически z принадлежит одной комплексной плоскости, а w – фактически второй, независимой копии комплексной плоскости.

Но эта точка зрения была не особо популярна среди ученых, и причиной тому стали так называемые сингулярности. Комплексные функции часто имеют такие интересные точки, в которых их регулярное, нормальное поведение становится странным. Например, функция f(z) = 1/z ведет себя очень предсказуемо во всех точках, за исключением 0. Когда z = 0, значение функции равно 1/0, что не имеет смысла для обычного комплексного числа, хотя с помощью некоторой доли воображения его можно представить как бесконечность (символ .). Если z слишком близко подойдет к 0, 1/z окажется особенно большим. Бесконечность в этом смысле не число – это всего лишь термин, описывающий численный процесс: число становится сколь угодно большим. Гаусс уже отметил, что бесконечости такого рода создают новый тип поведения при комплексном интегрировании. Это оказалось существенным.

Риман счел полезным включить в ряд прочих комплексных чисел и нашел для этого красивый геометрический способ. Разместите единичную сферу так, чтобы она оказалась поверх комплексной плоскости. Теперь ассоциируйте точки на плоскости с точками на сфере с помощью стереографической проекции. Это значит соединить точку на плоскости с северным полюсом сферы и посмотреть, где эта линия будет пересекать сферу.

Сфера Римана и комплексная плоскость

Такая конструкция называется сферой Римана. Новая точка – своего рода северный полюс сферы: единственная точка, которая не соответствует какой-либо точке на комплексной плоскости, и будет являться бесконечностью. Поразительно, как прекрасно эта конструкция вписывается в стандартные расчеты в комплексном анализе, ведь теперь уравнение вроде 1/0 = обретает безукоризненный смысл. Точки, в которых комплексная функция f принимает значение , называются полюсами, и на поверку выходит, что вы сможете больше выяснить о f, если знаете, где лежат ее полюса.

Одна лишь сфера Римана не привлекла бы столь пристального внимания ученых к топологическим аспектам комплексного анализа, но второе свойство сингулярности, под названием точка ветвления, сделало топологию незаменимой. Простейший пример – комплексная функция квадратного корня, f(z) = z. Большинство комплексных чисел имеет два разных квадратных корня, как и действительные числа. Они различаются лишь знаком: один положительный, другой отрицательный, причем по модулю они равны. Например, квадратные корни из 2i равны 1 + i и –1 – i, почти как действительные квадратные корни из 4 равны 2 и –2. Но есть одно комплексное число с одним квадратным корнем: 0. Почему? Потому что + 0 и –0 равны.

Чтобы понять, почему 0 оказывается точкой ветвления для функции квадратного корня, представим cебе для начала точку 1 на комплексной плоскости и выберем один из двух квадратных корней. Явным выбором станет 1. Теперь постепенно перемещайте точку вокруг единичной окружности и по мере движения выбирайте для каждого положения точки тот из квадратных корней, который меняется непрерывно. К тому моменту, когда вы пройдете половину окружности до –1, квадратный корень пройдет лишь четверть окружности, до + i, поскольку –1 = + i или – i. Продолжая путь по кругу, мы вернемся в исходную точку 1. Но квадратный корень, двигающийся с половинной скоростью, остановится только у –1. Чтобы вернуть его к исходному значению, точке придется пройти окружность полностью дважды.

Риман нашел способ справиться с такой разновидностью сингулярности: он удвоил сферу Римана до двух слоев. Они отделены друг от друга, за исключением точек 0 и  – второй точки ветвления. В них слои сливаются – или, наоборот, разветвляются от одиночного слоя при 0 и . Возле двух этих особых точек геометрия слоев выглядит как винтовая лестница: необычно то, что если вы подниметесь на два полных оборота по этой лестнице, то окажетесь там, откуда начали. Геометрия этой поверхности говорит нам очень многое о функции квадратного корня, и та же идея остается верной для других комплексных функций.

Сфера

Тор

Тор с двумя отверстиями

Описание поверхности смутное, и возникает вопрос: что у нее за форма? Вот здесь и вступает в игру топология. Мы можем непрерывно деформировать винтовую лестницу во что-то более легкое для визуализации. Специалисты по комплексному анализу открыли, что топологически всякая поверхность Римана является либо сферой, либо тором, либо тором с двумя отверстиями, либо тором с тремя отверстиями и т. д. Число отверстий g известно как род поверхности, и это то же g, которое встречалось нам в обобщенной формуле Эйлера для поверхностей.

Ориентируемые поверхности

Понятие рода оказалось важным для многих глубинных вопросов в комплексном анализе, что вынудило ученых обратить внимание на топологию поверхностей. Постепенно стало ясно, что существует второй класс поверхностей, отличных от торов с g отверстиями, но тесно с ними связанный. Отличие в том, что торы с g отверстиями – ориентируемые поверхности; интуитивно это означает, что они имеют две четко различающиеся стороны. Они наследуют это свойство от комплексной плоскости, имеющей верхнюю и нижнюю стороны, поскольку винтовые лестницы соединяются так, что это различие сохраняется. Если вместо этого вы соедините два лестничных пролета так, чтобы пол одного из них повернулся вверх, то стороны, ранее бывшие раздельными, соединятся.

О возможности соединения такого рода первым заговорил Мёбиус, чья лента имела одну сторону и один край. Клейн пошел дальше, концептуально склеив в круглый диск края ленты Мёбиуса, чтобы избавиться от края. Получившаяся поверхность, в шутку прозванная бутылкой Клейна, имеет только одну сторону и вовсе не имеет краев. Если мы попытаемся изобразить ее в привычном трехмерном пространстве, ей придется пройти себя насквозь. Но в качестве абстрактной поверхности (или поверхности, помещенной в четырехмерное пространство) она не пронзит себя.

Теперь теорему о торах с g отверстиями можно переформулировать так: любая ориентируемая поверхность (или конечное пространство без границ) топологически эквивалента сфере с g дополнительными отверстиями (где g может быть равно 0). Есть соответствующая классификация и для неориентируемых (односторонних) поверхностей: они могут быть образованы поверхностью под названием проективная плоскость путем добавления g отверстий. Бутылка Клейна как раз и является проективной поверхностью с одним отверстием.

Комбинация этих двух результатов называется теоремой о классификации поверхностей. Она позволяет описать в топологическом эквиваленте любую возможную поверхность (или конечное пространство без границ). С доказательством этой теоремы топология двумерных пространств – поверхностей – может считаться вполне изученной. Это, конечно, не значит, что на любой вопрос о поверхностях теперь легко найти ответ, но по крайней мере это дает хороший задел для исследований новых сложных проблем. В любом случае, теорема о классификации поверхностей – чрезвычайно важный инструмент двумерной топологии.

Бутылка Клейна. Видимое самопересечение – не более чем иллюзия, возникающая из-за трехмерности изображения

ЖЮЛЬ-АНРИ ПУАНКАРЕ 1854–1912

Анри Пуанкаре родился во французском Нанси. Его отец Леон был профессором медицины в Университете Нанси, его мать звали Эжени Лануа. Его кузен, Раймон Пуанкаре, стал французским премьер-министром и даже занимал пост президента страны во время Первой мировой войны. Анри отлично успевал по всем предметам в школе, особенно выделяясь в математике. Прекрасная память и способность легко представить себе объемное изображение даже самой сложной формы помогали компенсировать его слабое зрение: ученик едва различал классную доску, не говоря уж о том, что на ней было написано.

Его первой должностью был пост преподавателя в университете города Кан в 1879 г., но уже в 1881 г. он удостоился гораздо более денежного и престижного места в Парижском университете. Там он стал одним из ведущих математиков своего времени. Он работал систематически – каждый день по четыре часа, разбитых на два двухчасовых промежутка, утром и вечером. Но полет его мысли не поддавался столь строгой организации, и зачастую он принимался писать статью, не имея даже представления о том, к чему приведет его новое исследование и как оно закончится. Его отличала высочайшая интуиция, и лучшие идеи приходили часто в те моменты, когда он размышлял о чем-то постороннем.

Среди своих современников он, несомненно, был самым выдающимся математиком, сделавшим немало важных открытий в теории комплексного переменного, дифференциальных уравнений, неевклидовой геометрии и топологии – которую отчасти и создал. Он много занимался прикладными исследованиями в области электричества, сопротивления материалов, оптики, термодинамики, теории относительности, квантовой теории, астрономии и космологии.

Он завоевал главный приз в конкурсе, объявленном в 1887 г. королем Швеции и Норвегии Оскаром II. Темой была объявлена «задача трех тел» – исследование движения гравитационно взаимодействующих трех тел. В поданную на конкурс работу закралась ошибка, которую удалось быстро исправить. В результате были открыты возможности того, что сейчас известно под названием «хаос»: беспорядочное, непредсказуемое движение в системе, подчиняющейся детерминированным законам. Также он опубликовал несколько чрезвычайно популярных и известных книг: «Наука и гипотеза» (1901), «Ценность науки» (1905), «Наука и метод» (1908).

Тем, кто хочет научиться мыслить в понятиях топологии, часто помогает представление об изучаемом пространстве как о единственном существующем предмете. Вовсе ни к чему пытаться вписать его в окружающее пространство. Это позволяет полностью сосредоточиться на внутренних свойствах пространства. Представьте на минуту мелкое существо, обитающее, так сказать, на топологической поверхности. Как может такая козявка, не имея представления обо всем окружающем ее пространстве, пытаться понять, на чем она обитает? Как прикажете ей давать характеристики такой поверхности «изнутри»? К 1990 г. стало ясно, что единственный способ ответить на этот вопрос – представить существование на этой поверхности замкнутых петель и способы их деформации. Например, на сфере любая замкнутая петля может непрерывно деформироваться до точки – стянувшись в нее. Окружность, вращающаяся вокруг экватора, может постепенно смещаться к северному полюсу, делаясь всё меньше, пока не совпадет с самим полюсом.

И наоборот, всякая поверхность, не эквивалентная сфере, содержит петли, которые не могут быть деформированы до точки. Они проходят сквозь отверстие, и то не дает им стягиваться. Итак, сфера может быть определена как единственная поверхность, в которой всякая замкнутая петля может стянуться до точки.

Топология в трех измерениях

Естественным шагом после плоскостей – двумерных топологических пространств – становится трехмерное пространство. Теперь объектами изучения станут многообразия в понимании Римана, за исключением того, что понятия расстояния игнорируются. В 1904 г. Анри Пуанкаре, один из величайших математиков всех времен, пытался понять свойства трехмерных многообразий. Он открыл ряд методов для достижения этой цели. Один из них, гомология, изучает взаимоотношения между областями в многообразиях и их границами. Другой – гомотопия – отслеживает изменения, происходящие с замкнутыми петлями в многообразиях в процессе их деформации.

Гомотопия тесно связана с методами, отлично служившими при изучении плоскостей, и Пуанкаре искал аналогичные результаты для трехмерного пространства. Так он пришел к одному из самых важных вопросов математики.

Он помнил о свойстве сферы как единственной поверхности, у которой всякая замкнутая петля может стянуться. Работает ли это свойство в трех измерениях? На первых порах он предположил, что да. Это казалось очевидным, и ученому даже не пришло в голову, что он делает необоснованное допущение. Позже ему стало ясно, что одна из правдоподобных версий этого утверждения откровенно ошибочна, а другая тесно связанная с нею формулировка может оказаться верной, несмотря на сложности с доказательством. Он задал вопрос, впоследствии названный гипотезой Пуанкаре. Если трехмерное многообразие (без границ, или конечного пространства, и т. д.) обладает тем свойством, что всякая замкнутая петля в нем может стянуться до точки, то такое многообразие топологически должно быть эквивалентно 3-сфере (естественному аналогу обычной сферы).

Последовавшие попытки доказать теорему завершились успешными обобщениями для четырех и более измерений. Топологи продолжали работу с изначальной гипотезой Пуанкаре, в трех измерениях, – без успеха.

В 1980-х гг. Уильям Тёрстон высказал идею, которая могла бы превзойти гипотезу Пуанкаре, будучи более амбициозной. Его гипотеза геометризации пошла дальше, обобщая свойства всех трехмерных многообразий, а не только тех, где всякая замкнутая петля может стянуться. Отправной точкой стала новая интерпретация классификации поверхностей в терминах неевклидовой геометрии.

Тор можно получить, взяв квадрат в евклидовой плоскости и отождествив его противоположные края. Тогда он плоский – с нулевой кривизной. У сферы имеется постоянная положительная кривизна. Тор с двумя или более отверстиями может быть представлен как поверхность с постоянной отрицательной кривизной. Иными словами, топология поверхностей может быть заново интерпретирована в терминах геометрии трех типов: одного евклидова и двух неевклидовых, точнее, собственно евклидовой геометрии, эллиптической геометрии (положительная кривизна) и гиперболической (отрицательная кривизна; геометрия Лобачевского).

Может ли быть нечто аналогичное в трех измерениях? Тёрстон указывал на ряд осложнений: оказывается, здесь задействовано не три, а восемь типов геометрий. И уже нет возможности использовать какую-то одну из них для данного многообразия: последнее должно быть разбито на несколько частей, чтобы для каждой использовать свою геометрию. Он сформулировал свою гипотезу геометризации: всегда есть систематический способ разбить трехмерное многообразие на части, каждая из которых соответствует одной из восьми геометрий.

ЧТО ТОПОЛОГИЯ ДАЛА ИМ

Один из простейших топологических инвариантов был открыт Гауссом. При исследованиях электрических и магнитных полей его заинтересовало, как могут быть связаны две замкнутые петли. Он изобрел коэффициент зацепления, который обозначает, сколько раз одна петля оборачивается вокруг другой. Если число зацеплений не равно 0, петли не могут быть разделены с помощью топологического преобразования. Однако данный инвариант не помогает достоверно определить, когда две соединенные петли невозможно разделить, ведь в некоторых случаях инвариант связывания равен 0, однако петли разделить невозможно.

Слева: петли с коэффициентом зацепления 3. Справа: эти связи нельзя разделить топологически, хотя их коэффициент зацепления равен 0

Он даже составил аналитическую формулу для такого числа, взяв интеграл подходящей величины вдоль соответствующей кривой. Открытия Гаусса положили начало такой современной отрасли математики, как алгебраическая топология.

Теперь гипотеза Пуанкаре становится ее прямым следствием, поскольку условие, что все петли стягиваются, исключает семь геометрий, оставляя только геометрию постоянной положительной кривизны – трехмерной гиперсферы.

Альтернативный подход предлагает геометрия Римана. В 1982 г. Ричард Гамильтон открыл в этой области новые приемы, основанные на математических идеях, которые были использованы Альбертом Эйнштейном для обоснования общей теории относительности. По Эйнштейну, пространство-время можно считать изогнутым, а кривизна описывает силу притяжения. Она измеряется так называемым тензором кривизны, который имеет более простого родственника, известного как тензор Риччи (назван в честь его изобретателя Грегорио Риччи-Курбастро). Изменения в геометрии Вселенной, связанные со временем, описываются уравнениями Эйнштейна, где говорится, что кривизна пропорциональна силе тензора. В результате гравитационные искривления Вселенной стараются со временем выпрямиться, и уравнения Эйнштейна количественно описывают эту идею.

Тот же фокус можно проделать и с использованием версии кривизны Риччи, и мы получим ту же модель поведения: поверхность, подчиняющаяся уравнениям для потока Риччи, естественным путем стремится к упрощению своей геометрии, более справедливо распределяя свою кривизну. Гамильтон показал, что гипотеза Пуанкаре для двумерного пространства может быть доказана с помощью потока Риччи – на основании того, что поверхность, на которой все петли стягиваются, упрощает саму себя по мере того, как следует потоку Риччи, так что в конце получается идеальная сфера. Гамильтон также предложил обобщить этот подход для трехмерного пространства и даже добился определенного успеха в своих исследованиях, пока не натолкнулся на ряд трудностей.

Перельман

В 2002 г. Григорий Перельман произвел сенсацию, выложив несколько своих статей на arXiv – сайте, созданном физиками и математиками для нерецензируемых публикаций и подчас даже еще не законченных исследований. Так ученые могли избежать проволочек из-за реферирования, неизбежных при официальной публикации своих открытий. Ранее этой же цели служили периодически издававшиеся на бумаге неофициальные препринты. На первый взгляд статьи Перельмана посвящены потоку Риччи, но на самом деле становится понятно, что если открытия автора верны, они послужат доказательством гипотезы геометризации, которую сформулировал Пуанкаре.

Основную идею предложил еще Гамильтон. Возьмите произвольное трехмерное многообразие, снабдите его понятием расстояния так, чтобы можно было применить поток Риччи, и позвольте многообразию следовать потоку, упрощая себя. Главным возможным осложнением становятся особенности, которые возникнут там, где многообразие сжимается, когда оно перестает быть гладким. При сингулярности предложенный метод не работал. Свежая идея состояла в том, чтобы устранить эти сингулярности, тем самым открыть появившиеся отверстия и удалить все препятствия для потока. Если многообразию удастся упростить самое себя полностью после того, как появилось только конечное число сигулярностей, каждая часть будет поддерживать только одну из восьми геометрий, и операции, обратные вырезанию (хирургия, или перестройка Морса), покажут нам, как снова склеить эти части в целое и восстановить многообразие.

Гипотеза Пуанкаре стала столь знаменитой по другой причине: она была включена в список восьми математических задач тысячелетия, составленных Институтом Клея, и за их решение – подкрепленное вескими доказательствами – можно получить приз в миллион долларов. Но у Перельмана оказалась своя особая причина не желать этой награды – вернее, не желать никакой награды, кроме самого решения, поэтому ученый и не имел особого стимула расшифровать свои малопонятные наброски на arXiv в нечто более достойное публикации.

ГРИГОРИЙ ПЕРЕЛЬМАН род. 1966

Перельман родился в 1966 г. в стране, называвшейся тогда СССР. Он выиграл золотую медаль, набрав 100 %-ный результат в школьной Международной олимпиаде по математике. Перельман работал и в США, и в Институте Стеклова в Санкт-Петербурге, но так и не получил преподавательской должности. Его замкнутый и неуживчивый характер стал очередным дополнением к расхожему представлению о математиках как о людях не от мира сего. Остается только пожалеть, что его история усиливает стереотип эксцентричного математика.

Эксперты в этой области науки были вынуждены предлагать свои версии развития его идеи, стараясь заполнить пробелы в его логике и в итоге добившись результата, приемлемого в качестве доказательства. Некоторые из таких исследований были опубликованы, и понятная и четкая версия доказательства Перельмана одобрена сообществом топологов. В 2006 г. ему присудили медаль Филдса за исследования в этой области, но и от этого приза ученый отказался. Как видим, не всех манит мировая слава.

Топология и реальный мир

Топологию изобрели, поскольку математика не могла функционировать без нее; это было вызвано решением ряда основных вопросов в областях вроде комплексного анализа. Она решает вопрос «Какова форма этого предмета?» в очень простом, но глубоком виде. Более привычные геометрические понятия, такие как длина, теперь можно было рассматривать как дополнительные свойства к основной информации, полученной с помощью топологии.

Когда-то было высказано несколько первых топологических идей, но лишь к середине XIX в. топология стала полноправной областью математической науки со своими сущностью и влиянием, когда у математиков сложилось достаточно полное представление о топологии плоскостей, или двумерных форм. Расширение исследований на более многомерные пространства приняло бурный характер в конце XIX – начале XX в., во многом благодаря работам Анри Пуанкаре. Дальнейшие важные шаги были совершены в 1920-х гг. Новый взлет в этой области приходится на 1960-е, хотя по иронии судьбы именно тогда топология окончательно ушла от привычной нам прикладной науки.

Разбив аргументы традиционных критиков чистой математики в ХХ в., развившаяся в результате теория стала неотъемлемой частью многих областей математической физики. Ученым удалось справиться даже с самой ее неразрешимой проблемой, а именно гипотезой Пуанкаре. Сейчас уже ясно, что главными препятствиями для развития топологии всегда становились ее внутренние противоречия, лучше всего решаемые с помощью абстрактных понятий. Ее связям с реальным миром пришлось подождать, пока не были до конца отработаны основные техники исследования.

ЧТО ТОПОЛОГИЯ ДАЕТ НАМ

В 1956 г. Джеймс Уотсон и Френсис Крик открыли тайну строения двойной спирали молекулы ДНК – основы, на которой записывается и хранится генетическая информация. Сегодня топология узлов используется для понимания того, как распутать две нити спирали, определяющих схему развития всякого живого организма.

Спираль ДНК напоминает двужильную веревку, где одна жила виток за витком закручена вокруг другой. При делении генетическая информация попадает в обе новые клетки благодаря тому, что пряди спирали расплетаются и копируются, чтобы потом образовать пару. Любой, кому приходилось расплетать достаточно длинный обрезок обычной веревки, знает, как это трудно: нити норовят закрутиться в узлы в ответ на любую попытку их разделить. В случае ДНК всё еще хуже: сами спирали свернуты, как будто канат смотан в катушку. Представьте себе километровые нити, закрученные в подобие теннисного мяча, и вы получите отдаленное представление о сложной структуре ДНК в клетке.

Генетической биохимии остается лишь искать способы сплетать и расплетать эти нити достаточно точно, аккуратно и быстро: на них держится сама жизнь! Но как этого добиться? Биологи научились с помощью ферментов разрезать цепочку ДНК на куски, достаточно короткие для подробных исследований. Любой сегмент ДНК представляет собой сложный молекулярный узел, причем один и тот же узел может стать неузнаваемым после неких манипуляций, искажающих его вид.

Новые техники в изучении узлов открывают и новые направления атаки для молекулярных генетиков. И здесь топология узлов уже выходит за границы чистой математики, превращаясь в важный практический инструмент для биологов. Недавно была открыта математическая модель взаимосвязи между оборотами спирали ДНК и количеством образуемых ею суперклубков.

Узлы нитей ДНК

В своей научно-фантастической книге «Машина времени» Герберт Уэллс описывал скрытую природу пространства и времени в стиле, уже нам знакомом, но наверняка вызвавшем бы недоумение у современников из викторианской эпохи: «И всё же существуют четыре измерения, из которых три мы называем пространственными, а четвертое – временным». В поддержку своего мнения он добавляет: «Правда, существует тенденция противопоставить три первых измерения последнему, но только потому, что наше сознание от начала нашей жизни и до ее конца движется рывками лишь в одном направлении этого последнего измерения… Однако некоторый философские умы задавали себе вопрос: почему же могут существовать только три измерения? Почему не может существовать еще одно направление под прямым углом к трем остальным? Они пытались даже создать Геометрию Четырех Измерений». Его главный герой идет еще дальше: преодолевает традиционную ограниченность человеческого сознания и путешествует в четвертом измерении, времени, как если бы это было одно из «нормальных» измерений пространства.

Четвертое измерение

Искусство автора научной фантастики состоит в умении подать читателям самые невероятные вещи, и Уэллс сообщает читателям, что всего около месяца тому назад профессор Саймон Ньюком излагал эту проблему перед Нью-Йоркским математическим обществом. Здесь Уэллс мог даже ссылаться на реальное событие. Нам известно, что Ньюком был маститым астрономом и даже читал лекцию о четырехмерном пространстве примерно в то же время. Он выражал свежие веяния в математической и научной мысли, освободившейся от традиционного представления о том, что пространство имеет только три измерения. Само по себе это не делает возможным путешествие во времени, но позволяет Уэллсу сформулировать некие наблюдения о человеческой натуре современников, отправив путешественника во времени в беспокойное будущее.

«Машина времени», увидевшая свет в 1895 г., отражала одержимость четвертым измерением, свойственную викторианской эпохе. Это непостижимое, невидимое человеку пространство традиционно считалось местом обитания всяческих призраков, духов или даже самого Всевышнего. Четвертое измерение понравилось не только шарлатанам и писателям: о нем принялись рассуждать ученые, и понятие такого пространства формализовали математики. Прошло лишь несколько десятилетий, и мы видим, что математики привычно оперируют не только четырьмя, но и пятью, и шестью, и десятью, и миллионом, и даже бесконечным числом измерений. Приемы и образ мышления, сложившиеся в многомерной геометрии, стали применяться практически во всех отраслях науки – вплоть до биологии и экономики.

Многомерные пространства пока остаются практически неизвестными вне научного сообщества, однако трудно представить себе современное мышление без использования этих методов, какими бы отстраненными они ни казались с точки зрения обыденной жизни. Ученые в попытке объединить две основные теории о законах существования физической вселенной, теорию относительности и квантовую механику, склоняются к предположению, что актуальное для нас пространство скорее имеет девять или десять измерений, а не три, как нам обычно кажется. В свете нового всплеска дискуссий о неевклидовой геометрии трехмерное пространство всё чаще рассматривается как всего лишь одно из многих, а не единственное возможное.

Эти изменения стали реальны благодаря тому, что такие понятия, как пространство и измерение, стали интерпретироваться более обобщенно, не противореча привычному пониманию этих слов в быту или СМИ, однако оставляя лазейку и для других возможностей. Для математиков пространство обозначает набор неких объектов с определенным расстоянием между каждыми двумя из них. Воспользовавшись приемом Декарта, предложившего идею координат, мы можем определить число измерений пространства по количеству чисел, необходимых для описания некоего объекта. Принимая за объекты точки и используя обычное понятие расстояния на плоскости или в пространстве, мы находим, что плоскость имеет два измерения, а пространство – три. Но возможны и другие наборы объектов с четырьмя измерениями или более.

Предположим, что объекты – сферы в трехмерном пространстве. Нам потребуется четыре числа (x, y, z, r), чтобы описать сферу: три координаты для ее центра (x, y, z) плюс радиус r. Иными словами, пространство всех сфер имеет четыре измерения. Примеры вроде этого показывают, что даже самый естественный математический вопрос легко приводит нас к многомерным пространствам.

Конечно, современные математики давно ушли дальше. Абстрактно четырехмерное пространство определяется как множество всех числовых четверок (x₁, x₂, x₃, x₄). Пространство с n измерениями – для любого целого n – определяется как множество всех наборов (x₁, x₂, …, x_n) из n чисел. В каком-то смысле это уже знакомая история: интригующее и загадочное понятие многомерности рассыпается до тривиальности – очередной длинной цепочки чисел.

Сейчас нам понятна такая точка зрения, но ей потребовалось немало времени, чтобы укрепиться в сознании ученых. Математики отчаянно спорили, едва ли не с пеной у рта, о значении и реальности существования многомерных пространств. Понадобилось почти 100 лет, чтобы эти идеи распространились достаточно широко. Однако использование этих пространств и связанного с ними геометрического воображения оказалось столь эффективным, что возражения иссякли сами собой.

Трех- или четырехмерное пространство

Ирония в том, что современная концепция многомерных пространств была порождена алгеброй, а не геометрией – как следствие неудачной попытки развить трехмерную числовую систему, аналогичную двумерной системе комплексных чисел. Разделение между двумя и тремя измерениями восходит к «Началам» Евклида. Первая часть его книги посвящена геометрии плоскости – двумерному пространству. Вторая же связана с геометрией тел – это геометрия трехмерного пространства. Вплоть до XIX в. само слово «измерение» воспринималось исключительно в этом знакомом контексте.

Греческая геометрия была не более чем формализацией наших визуальных и тактильных ощущений, позволяющих мозгу выстроить мысленную модель отношений расстояний во внешнем мире. Она изначально ограничена возможностями наших органов чувств и восприятия мира, в котором обитаем. Греки верили, что геометрия описывает реальное пространство, где мы живем, и делали вывод, что физическое пространство должно быть евклидовым. Отвлеченный математический вопрос «Может ли четырехмерное пространство существовать в некоем концептуальном плане?» перекликался с физическим «Может ли существовать реальное пространство с четырьмя измерениями?». А этот вопрос перекликался с «Могут ли существовать четыре измерения где-то внутри нашего знакомого пространства?». Иными словами, существовало убеждение, что четырехмерное пространство невозможно.

УИЛЬЯМ РОУЭН ГАМИЛЬТОН 1805–1865

Математический гений Гамильтона проявился так рано, что он был назначен профессором астрономии в Тринити-колледже в Дублине, еще будучи студентом, в возрасте 21 года. Этот пост принес ему титул королевского астронома Ирландии.

Он совершил немало прорывов в математике, но самым значимым всегда считал открытие кватернионов. Он утверждал: «Кватернионы ‹…› полностью сформировались и зажили своей жизнью 16 октября 1843 г., когда я пешком шел с леди Гамильтон по Дублину и оказался на мосту Брум. Там я в буквальном смысле тут же ощутил замкнутую гальваническую цепь мысли, и искры, выпавшие из нее, были фундаментальными уравнениями для i, j и k – в точности в том виде, в каком я использовал их с тех пор. Я тут же выхватил из кармана записную книжку, которая до сих пор хранится у меня, и сделал наброски. И в тот же миг мне стало ясно, что ради этого результата я трудился не покладая рук последние десять, а то и пятнадцать лет. В тот момент я почувствовал, что проблема решена, и мой ум испытал желанное облегчение от того груза, что не давал мне покоя целых пятнадцать лет».

Гамильтон немедленно вырезал свое уравнение на камнях моста:

i² = j² = k² = ijk – 1.

Геометрия начала избавляться от оков этого ограниченного мировоззрения, когда алгебраисты итальянского Ренессанса невольно натолкнулись на возможность более глубокого расширения концепции чисел, признав существование квадратного корня из –1. Валлис, Вессель, Арган и Гаусс разработали принципы интерпретации получаемых в результате комплексных чисел в виде точек на плоскости, избавив тем самым числа от оков одномерности вещественной прямой. В 1837 г. ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон упростил эту тему до алгебраического выражения, определив комплексное число x + iy как пару действительных чисел (x, y). Он далее определил сложение и умножение таких пар правилами:

(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)

(x, y)(u, v) = (xu – yv, xv + yu).

При таком подходе пара вида (x, 0) ведет себя как действительное число x, а особая пара (0, 1) – как i. Идея проста, но для ее принятия потребовалось изобрести изощренную концепцию математического мировосприятия.

Следом Гамильтон обратил свое внимание на нечто более амбициозное. Было хорошо известно, что комплексные числа дают возможность разрешить множество проблем математической физики, связанных с задачами на плоскости, используя простые и изящные методы. Такому же приему для трехмерного пространства не было бы цены. И ученый попытался изобрести трехмерную числовую систему в надежде, что соответствующие вычисления решат важные проблемы математической физики в трехмерном пространстве. Он по умолчанию предположил, что эта система будет удовлетворять всем обычным законам алгебры. Но, несмотря на героические усилия, он так и не нашел такую систему.