Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса Стюарт Иэн
Происхождение тригонометрии
Главной проблемой тригонометрии было вычисление по известным данным о треугольнике (длинам сторон, величине углов) остальных его характеристик. Нам будет намного проще описать ее раннюю историю, если мы сперва резюмируем главные черты тригонометрии современной, которая по большей части является не более чем переработанной в XVIII в. областью науки, унаследованной от древних греков, если не от более ранних ученых. Краткое изложение обозначит рамки, в пределах которых мы можем описывать идеи математиков древности, не увязая в недоказуемых и со временем забытых концепциях.
ТРИГОНОМЕТРИЯ: ПЕРВЫЕ ШАГИТригонометрия основана на ряде особых функций, из которых основными считаются синус, косинус и тангенс. Они применимы к углу, традиционно представленному греческой буквой (тета), и могут быть определены в терминах прямоугольного треугольника, чьи три стороны a, b и c соответственно называются прилежащим и противолежащим катетами и гипотенузой.
Тогда:
синус тета равен sin = b/c,
косинус тета равен cos = a/c,
тангенс тета равен tan = b/a.
Получается, что значения этих трех функций для заданного угла определяет геометрия треугольника (одинаковый угол может быть у треугольников разных размеров). Но геометрия подобных треугольников подразумевает, что коэффициент подобия между ними не зависит от их размера. Однако когда эти функции были вычислены и занесены в таблицы, с их помощью стало легко «решать» треугольник (вычислять все его стороны и углы) по величине . Взаимоотношения между тремя функциями были описаны множеством красивых формул. В частности, теорема Пифагора заключает в себе следующее:
sin2 + cos2 = 1.
Судя по всему, тригонометрия ведет происхождение от астрономии, где относительно просто измерить углы, но очень трудно – невообразимые расстояния. Греческий астроном Аристарх в своем труде, датируемом примерно 260 г. до н. э., «О величинах и расстояниях Солнца и Луны», определил, что Солнце удалено от Земли на расстояние, от 18 до 20 раз большее, чем расстояние от Земли до Луны. (Точная цифра ближе к 400, но Евдокс Книдский и Фидий доказывали, что верное число – 10.) Его объяснение было таково: когда Луна достигает половины полного размера, угол между направлениями от наблюдателя к Солнцу и Луне равен примерно 87° (в современных единицах). Используя свойства треугольников, что равнозначно тригонометрической оценке, он определил (в современных единицах), что величина sin 3° лежит между 1/18 и 1/20, что приводит к оценке соотношения расстояний до Солнца и до Луны. Сам метод был верен, не хватало точности наблюдений: точный угол равен 89,8°.
Положение Солнца, Луны и Земли, когда освещена половина Луны
Первые тригонометрические таблицы составил Гиппарх примерно в 150 г. до н. э. Вместо современной функции синуса он использовал очень близкое понятие, что с геометрической точки зрения было совершенно естественным. Представьте себе круг с двумя радиусами, которые образуют угол . Конечные точки радиусов на окружности можно соединить прямой, называемой хорда. Также их можно принять как конечные точки дуги окружности.
Дуга и хорда, соответствующие углу
Гиппарх составил таблицу соответствующих длин дуг и хорд для углов разной величины. Если радиус круга равен 1, то длина дуги равна в радианах. Простые геометрические построения демонстрируют, что длина хорды в современной нотации равна 2sin /2. Итак, мы видим, что вычисления Гиппарха очень близко подводят нас к таблице синусов, хотя они и не были представлены именно в таком виде.
Астрономия
Любопытно, что первые труды по тригонометрии были гораздо сложнее, чем большая часть материала, преподаваемого сегодня в школе, и снова благодаря астрономии (и позже навигации). Здесь мы имеем дело с естественным пространством, которое представляет собой не плоскость, а сферу. Небесные тела можно представить расположенными на воображаемой гигантской сфере. И самым точным представлением о небе будет его внутренняя поверхность, окружающая наблюдателя: на таком расстоянии действительно может показаться, что они лежат на этой сфере.
Как следствие, астрономические вычисления связаны с геометрией сферы, а не плоскости. Соответственно, и требования к ним определяются не плоскостной геометрией и тригонометрией, а геометрией и тригонометрией сферы. Одной из самых ранних работ на эту тему считают сочинение Менелая «Сферика» примерно 100 г. н. э. Пример одной из его теорем, не имеющей аналогов в геометрии Евклида, таков: если два треугольника имеют одинаковые углы, то они конгруэнтны – т. е. совпадают как по размеру, так и по форме (по Евклиду они подобны: имеют одну форму, но, возможно, разные размеры). В сферической геометрии сумма углов треугольника превышает 180°. Например, треугольник, чьи вершины лежат на Северном полюсе и двух точках экватора, разнесенных на 90°, явно имеет три прямых угла, т. е. их сумма равна 270°. И чем больше размеры треугольника, тем больше сумма его углов. Фактически эта сумма минус 180° пропорциональна общей площади треугольника.
Эти примеры показывают, что геометрия сферы имеет свои характеристики и необычные черты. То же относится и к сферической тригонометрии, хотя и здесь основными остаются стандартные тригонометрические функции. Меняются только формулы.
Птолемей
Безусловно, вершиной тригонометрической мысли античности является текст Птолемея Александрийского Megale syntaxis («Великое построение»), датируемый примерно 150 г. н. э. Он больше известен как «Альмагест», что по-арабски означает «величайший», и включает тригонометрические таблицы, снова изложенные в понятиях хорд, вместе с методами вычисления их размеров, а также описание положений светил на небесной сфере. Превосходным примером сложнейшего хода мысли Птолемея служит его теорема, согласно которой если четырехугольник ABCD вписан в окружность (его вершины лежат на этой окружности), то
AB CD + BC DA = AC BD
(произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон).
Четырехугольник, вписанный в окружность, и его диагонали
Современная интерпретация этого факта – знаменитая пара формул:
sin ( + ) = sin cos + cos sin ,
cos ( + ) = cos cos – sin sin .
Главное следствие из этой формулы – возможность легко вычислить синус и косинус суммы двух углов, если вам известны синус и косинус каждого из них. Итак, начиная (например) с sin 1° и cos 1°, вы можете вычислить sin 2° и cos 2°, взяв = = 1°. Затем вы можете получить sin 3° и cos 3°, взяв = 1°, = 2°, и т. д. Вам только необходимо знать, как начать, но всё, что вам позже потребуется, не выходит за рамки арифметики. Вычислений будет довольно много, зато они несложные.
Начать эту цепочку легче, чем кажется, потребуются только арифметический и квадратный корни. Исходя из очевидного /2 + /2 = , теорема Птолемея приводит к тому, что:
Начав с cos 90° = 0, вы можете постоянно делить угол пополам, получая сколь угодно малые углы для синусов и косинусов (Птолемей использовал 1/4°). Затем вы можете пойти в обратную сторону, используя все целочисленные кратные этого малого угла. Начиная с нескольких основных формул тригонометрии и нескольких простых значений величины некоторых углов, вы сможете вычислить величину практически любого угла. Это был выдающийся прорыв, который вывел астрономию на вершину науки на целое тысячелетие.
Еще одним выдающимся достижением «Альмагеста» стало то, как в нем вычислены орбиты планет. Любой, кто занимается наблюдением за светилами, очень быстро замечает, что планеты блуждают между определенных звезд, а пути, по которым они следуют, довольно сложные и могут то поворачивать назад, то сворачиваться в вытянутые петли.
Евдокс, верный заветам Платона, нашел способ представлять эти сложные траектории в виде сфер, наложенных друг на друга. Его идею упростили Аполлоний и Гиппарх, предложив использоать эпициклы – окружности, чьи центры движутся по другим окружностям, и т. д. Птолемей развил идею эпициклов, и это позволило построить очень точную модель планетарных орбит.
Ранняя тригонометрия
Ранние концепции тригонометрии появляются в трудах индийских математиков и астрономов: «Панча-сиддхантика» («Трактат, включающий пять сиддхант» Варахамихиры, 575 г.), «Брахма-спхута-сиддханта» («Усовершенствованное учение Брахмы» Брахмагупты, 628 г.) и более подробный «Сиддханта-широмани» («Венец учения») Бхаскары, 1150 г.
Индийские математики обычно использовали полухорду, или «арха-джива», по сути современный синус. Варахамихира вычислил эту функцию для 24 целочисленных кратных, с 3°45 до 90°. Примерно в 600 г. в книге Маха-Бхаскария привел полезную приблизительную формулу для синуса острого угла, изобретение которой он приписал Арьябхате. Этим ученым принадлежит авторство многих базовых тригонометрических формул.
Движение Марса, наблюдаемое с Земли
Арабский математик Насир-Ад-Дин Туси в «Трактате о полном четырехстороннике» комбинировал плоскостную и сферическую геометрию в единую унифицированную систему и привел несколько базовых формул для сферических треугольников. Он исследовал эту тему скорее с математических позиций, нежели с астрономических. Но на Западе никто не знал о его работах вплоть до 1450 г.
Благодаря тесной привязке к астрономии почти вся тригонометрия оставалась сферической вплоть до 1450 г. В частности, геодезия – нынешняя главная «потребительница» тригонометрии – по сути представляет собой эмпирически разработанные методы, приведенные в систему еще римлянами. Но в середине XV в. плоскостная тригонометрия стала выделяться в отдельную отрасль знаний, и началось это в Северогерманском Ганзейском союзе. Союз контролировал практически всю торговлю, поэтому был богатой и влиятельной организацией. И ему нужны были усовершенствованные методики навигации, наряду с точным измерением времени и практической прикладной астрономией.
Ключевой фигурой того времени был Иоганн Мюллер, более известный как Региомонтан. Он был учеником Георга Пурбаха, начавшего работу над новой редакцией «Альмагеста». В 1471 г. на деньги своего патрона Бернхарда Вальтера он работает над составлением новой таблицы синусов и таблицей тангенсов.
Другие талантливые математики XV–XVI вв. сумели создать собственные тригонометрические таблицы, зачастую поражающие своей точностью. Георг Иоахим Ретик вычислил синусы для окружности с радиусом 1015, причем очень точно, вплоть до 15-го знака после запятой, но умножал все числа на 1015, чтобы получить целые значения – для всех кратных с шагом в одну секунду дуги. Он открыл закон для сферических треугольников:
а также закон для косинусов
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
в своем «Трактате о сферических треугольниках», написанном в 1562–1563 гг., но опубликованном только в 1596 г. Здесь буквы A, B и C обозначают углы треугольника, при этом а, b и c – его стороны, измеренные по углам, которые они образуют с центром сферы.
Виет создал много трудов по тригонометрии, из которых первым был «Математический канон», изданный в 1579 г. Он обобщил и систематизировал разные методы решения треугольников, а именно определение длины всех его сторон и величины углов исходя из другой информации о нем. Он открыл новые тригонометрические тождества, в том числе несколько интересных выражений для синусов и косинусов углов, кратных , представленных через синус и косинус угла .
Логарифмы
Второй темой этой главы были заявлены логарифмы, или log x, одна из важнейших функций в математике. Прежде всего они были важны, потому что удовлетворяли уравнению
log xy = log x + log y
и тем самым могли использоваться для преобразования умножения (очень трудоемкого действия) в сложение. Чтобы перемножить две величины x и y, сперва надо найти их логарифмы, сложить их и затем найти число, логарифм которого является результатом этого сложения (антилогарифм). Это и будет произведение ху.
Как только математики составили таблицы логарифмов, они стали доступны любому, кто знаком с методом. С XVI в. вплоть до середины XX в. практически все научные вычисления, особенно астрономические, использовали логарифмы. Однако уже с 1960-х электронные калькуляторы и компьютеры потеснили логарифмы, сделали их ненужными. Но сама концепция остается жизненно важной для математики: логарифмы прочно занимают ведущие роли во многих отраслях этой науки, включая исчисление и комплексный анализ. Кроме того, многие процессы в физике и биологии были описаны в логарифмических функциях.
Современный взгляд на логарифмы определяет их как функцию, обратную показательной. Используя логарифмы с основанием 10, что вполне естественно для десятичной системы счисления, мы говорим, что x является логарифмом y, если y = 10x. Например, поскольку 103 = 1000, логарифм 1000 (с основанием 10) равен 3. Главное свойство логарифмов определяется свойством показательной функции:
10a + b = 10a 10b.
Но чтобы логарифмами можно было пользоваться, необходимо уметь найти соответствующий x для всякого положительного вещественного y. Согласно утверждению Ньютона и большинства ведущих ученых того времени, главная идея состояла в том, что любое рациональное число 10p/q можно определить как корень q-й степени из 10p. Поскольку любое вещественное число x может сколько угодно близко быть приближенным рациональным числом p/q, мы можем приблизить 10x с помощью 10p/q. Это не самый эффективный способ вычислить логарифм, но самый простой способ доказать его существование.
Исторически изобретение логарифмов шло совсем не так гладко. У его истоков стоит шотландец Джон Непер, барон Мерчистон. Он всю жизнь увлекался самыми эффективными методами вычислений и в итоге сам изобрел знаменитые палочки Непера (или кости Непера). Начиная с 1594 г. он переходит в более отвлеченную область науки, и ему потребовалось 20 лет, чтобы подготовить свой труд к публикации. Судя по всему, он начал исследования с геометрических прогрессий – последовательностей чисел, где каждое последующее является произведением предыдущего на один и тот же множитель. Например, возведение в степень числа 2:
1 2 4 8 16 32 …
или степени десятки:
1 10 100 1000 10 000 100 000 …
Уже давно было замечено, что сложение показателей степени эквивалентно перемножению степеней. Это удобно, если вы перемножаете две целые степени числа 2 или, например, две целые степени 10. Но между этими числами большой разрыв, и степени 2 или 10 не очень помогут, если придется перемножать, например, 57,681 и 29,443.
ПЛОСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯВ наши дни тригонометрия прежде всего развита на плоскости, где геометрия попроще и ее принципы легче понять. Можно только удивляться, как часто новые математические идеи возникают в сложном контексте, а последующие упрощения появляются гораздо позже. Существует теорема синусов и теорема косинусов для треугольников на плоскости, и они стоят того, чтобы на них остановиться. Рассмотрим плоский треугольник с углами А, B и С и противолежащими им сторонами a, b, с.
Тогда теорема синусов имеет следующий вид:
а теорема косинусов:
a2 = b2 + c2 2c cosA
(соответствующие формулы можно получить и для других углов). Мы можем использовать теорему косинусов для того, чтобы найти углы треугольника по его сторонам.
Стороны и углы треугольника
Логарифмы Непера
Пока доблестный барон упорно искал способ заполнить разрывы в геометрических прогрессиях, лейб-медик шотландского короля Якова VI Джеймс Крейг рассказал Неперу об открытии, широко известном в Дании, с громоздким названием «простаферезис». Он применялся к любому способу, который заменял умножение на сложение. Главный метод его практического применения был основан на формуле, открытой Виетом:
Имея таблицу синусов и косинусов, вы легко примените эту формулу для преобразования умножения в сложение. И хотя дело получалось хлопотное, но вычисления занимали меньше времени, чем если бы числа перемножались напрямую.
Непер ухватился за эту идею и развил ее. Он составил геометрические последовательности со знаменателем прогрессии, максимально близким к 1. Тогда вместо степеней 2 или 10 вы должны были использовать, скажем, степени 1,0000000001. Последовательность степеней такого числа очень близка и не зияет неудобными разрывами. По какой-то причине Непер выбрал знаменатель немного меньше 1, точнее, 0,9999999. Так его геометрическая последовательность обратилась назад, от больших чисел ко всё более малым. Фактически он начал с 10 000 000 и затем умножал его на последовательность степеней от 0,9999999. Если мы запишем Naplog x для неперовского логарифма x, получим любопытные результаты:
Naplog 10 000 000 = 0,
Naplog 9 999 999 = 1
и т. д. Так логарифмы Непера, или Naplog x, удовлетворяют уравнению
Naplog (107xy) = Naplog (x) + Naplog (y).
Вы можете использовать их для подсчетов, потому что умножать и делить на степени 10 проще, но тогда потеряете в изяществе. Но это в любом случае гораздо лучше, чем тригонометрическая формула Виета.
Десятичные логарифмы
Очередной важный шаг вперед был сделан на встрече Непера и приехавшего к нему Генри Бригса, первого савильского профессора геометрии в Оксфордском университете.
Бригс предложил заменить идею Непера на более простую: десятичный логарифм (с основанием 10), L = log10 x, удовлетворяющий формуле
x = 10L.
Тогда
log10 x y = log10 x + log10 y,
и всё становится намного проще. Чтобы найти x, достаточно сложить логарифмы x и y и затем найти антилогарифм результата.
Непер скончался до того, как эти идеи получили распространение, в 1617 г., когда только-только увидела свет его «Рабдология», посвященная счетным палочкам. Его авторский способ вычисления логарифмов, «Описание удивительной таблицы логарифмов» (Mirifici Logarithmorum Canonis Decriptio), издали два года спустя. Бригс взят на себя задачу составить таблицу «бригсовских» (десятичных, с основой 10) логарифмов. Он начал с равенства log10 10 = 1 и последовательно брал квадратные корни. В 1617 г. он опубликовал таблицы Logarithmorum chilias prima («Первая тысяча логарифмов»), с 14-значными логарифмами для целых чисел от 1 до 1000. Изданный в 1624 г. труд Arithmetica logarithmica содержал таблицы десятичных 14-значных логарифмов для целых чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000.
ЧТО ТРИГОНОМЕТРИЯ ДАЛА ИМ«Альмагест» Птолемея заложил основы всех последующих исследований движения планет, прежде всего позволил Иоганну Кеплеру сделать вывод об эллиптической форме их орбит. Наблюдения за движением планет осложнялись относительным движением самой Земли, неизвестным фактором во времена Птолемея. Даже если бы планеты двигались с единой скоростью и строго по окружностям, проход Земли вокруг Солнца представлял бы собой головоломную комбинацию двух отдельных круговых движений, чья точная модель выглядела бы гораздо сложнее, чем у Птолемея. По схеме эпициклов Птолемея центр одной окружности вращается по другой окружности. Эта окружность, в свою очередь, может вращаться вокруг следующей, и т. д. Геометрия равномерного движения по окружности естественно подчиняется тригонометрическим функциям, и впоследствии астрономы использовали это свойство для вычисления путей небесных тел.
Схема эпицикла. Планета P равномерно вращается вокруг точки D, которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг точки С
Идея росла, как снежный ком. Джон Спайделл вычислил логарифмы тригонометрических функций (таких как log sin x) и опубликовал свои «Новые логарифмы» в 1619 г. Швейцарский мастер-часовщик Йост Бюрги опубликовал свой труд о логарифмах в 1620 г. и вполне мог сам развить эту идею еще в 1588 г., задолго до Непера. Но история математики зиждется на том, что ученые успели опубликовать – буквально сделать доступным для публики, – а идеи, остававшиеся под спудом, не могли повлиять на развитие науки в целом. В итоге первенство (возможно, по праву) отдается смельчакам, которые запечатлели свои открытия в печатных трудах или по крайней мере в активной переписке (исключение составляют люди, издававшие идеи других как собственные, не имея на то права. Как правило, они остаются за кулисами).
Число e
В тесной связи с предложенной Непером версией логарифмов всегда рассматривается одно из важнейших чисел в математике, известное нам под обозначением e. Его величина приблизительно равна 2,71828. Оно получится, если мы попытаемся перейти от логарифмов к геометрической прогрессии со знаменателем чуть больше 1. Это приведет к выражению (1 + 1/n)n, где n – очень большое целое число, и чем оно больше, тем ближе это выражение к одному определенному числу, которое мы обозначаем е.
Эта формула предполагает, что у логарифма существует натуральное основание, причем это не 10 или 2, а именно е. Натуральный логарифм числа x – это число у, которое удовлетворяет условию x = ey. Сегодня математики натуральный логарифм записывают так: y = ln x. Иногда математики обозначают основание е натурального логарифма: y = loge x, но в школьном курсе математики его обычно опускают, поскольку для высшей математики и науки важен именно натуральный логарифм. Десятичные логарифмы наиболее удобны для вычислений в десятичной системе, но в фундаментальной математике важнее натуральные.
Выражение ex называется экспонентой x, и его по праву можно назвать одним из основополагающих понятий математики. Число e – одно из тех необычных чисел, что так любят математики, и играет огромную роль. Другим таким числом, несомненно, является . Это верхушка айсберга – потому что есть еще много других знаменитых чисел. Их также по праву можно считать самыми важными и особенными, встречающимися повсюду на бескрайнем математическом ландшафте.
Что бы мы без них делали?
Наверное, невозможно переоценить долг человечества перед неведомыми предками, изобретшими логарифмы и тригонометрию и потратившими годы на составление численных таблиц. Их усилия обеспечили качественно иной взгляд на мир, не говоря уже о путешествиях по миру и торговле, получивших методы точной навигации и картографии. На тригонометрических вычислениях основана вся геодезия. Даже сейчас, когда геодезисты пользуются лазерными приборами и производят вычисления с помощью сверхскоростных электронных чипов, концепции построения самих лазеров и чипов уходят корнями в ту самую тригонометрию, что не давала покоя математикам дрених Индии и Аравии.
Логарифмы позволили умножать любые числа быстро и точно. Двадцать лет, потраченных на составление численных таблиц одним математиком, сэкономили десятки тысяч рабочих человеко-лет его последователям, и те смогли полностью посвятить свое время трудоемкому научному анализу. Наука не смогла бы продвинуться дальше без этого метода. И невозможно подсчитать выгоду от него.
ЧТО ТРИГОНОМЕТРИЯ ДАЕТ НАМТригонометрия играет главную роль во всем, что касается картографии, – от строительной площадки до континентов. Точно измерить углы относительно просто, а вот оценить так же точно расстояние – иная задача, особенно для пересеченной местности. Из-за этого геодезисты начинают работу с максимально точного измерения длины базовой линии, представляющей расстояние между двумя определенными точками. Затем они строят сеть треугольников и используют величины их углов плюс тригонометрию, чтобы вычислить длины сторон. Так можно построить очень точную карту любой области. Это процесс получил название триангуляции. Для проверки точности данных после составления первой карты весь процесс может повториться с использованием другой базовой линии.
Триангуляция Южной Африки Лакайля
Приведенный здесь рисунок – не более чем пример: это знаменитая карта Южной Африки, составленная в 1751 г. известным астрономом аббатом Никола Луи де Лакайлем. Его главной целью было создание каталога звезд Южного полушария, но для получения точных результатов ему пришлось начать с измерения дуги меридиана земного шара. Для этого он провел триангуляцию для территории к северу от Кейптауна.
Его результат позволил предположить, что кривизна земного шара меньше в северных широтах, чем в южных: удивительное для того времени явление, подтвержденное дальнейшими измерениями. Земля действительно слегка напоминает по форме грушу. Каталог, составленный ученым при помощи рефракторного телескопа, оказался поразительно точным: в нем обозначено 15 из известных сейчас 88 созвездий и перечислено 10 тыс. звезд.
Глава 6. Кривые и координаты
Мы привычно делим математику на такие самостоятельные области, как арифметика, алгебра, геометрия и т. д., но это скорее дань извечному стремлению человечества всё разложить по полкам. Ведь в математике нет строгих и непреодолимых границ между вроде бы независимыми областями, и проблема, на первый взгляд касающаяся одной сферы, может быть решена методами, изобретенными в другой. Многие великие прорывы в науке совершались именно благодаря неожиданно открытой связи между казавшимися независимыми темами.
ФермА
Греческие математики проследили такие связи между теоремой Пифагора и иррациональными числами, а Архимед использовал механические аналогии и методы для определения объема шара. Истинное значение и важность таких взаимно плодотворных пересечений стали очевидны в короткий период на десять лет раньше и позже 1630 г. За этот короткий отрезок истории два выдающихся математика успели открыть важную связь между алгеброй и геометрией. Фактически они показали, что каждую из этих областей можно преобразовать в другую с помощью координат. Вся геометрия Евклида и его последователей может быть сведена к алгебраическим вычислениям. А вся алгебра может быть интерпретирована в терминах геометрии: кривых и поверхностях.
Кажется, что такие связи могут сделать одну из областей излишней. В самом деле, если всю геометрию можно заменить алгеброй, зачем она нужна? Однако каждая область имеет свою специфическую точку зрения, подчас гораздо более проницательную и плодотворную. Иногда ученому лучше мыслить геометрически, а иногда – алгебраически, чтобы решить задачу.
Первым ученым, создавшим систему координат, был Пьер де Ферма. Он прежде всего известен благодаря своей теории чисел, но также изучал другие вопросы математики, включая вероятность, геометрию и приложение к оптике. Примерно в 1620 г. Ферма, пытаясь понять геометрию кривых линий, начал по сохранившимся до его времени крупицам сведений восстанавливать утраченный труд, названный когда-то Аполлонием «Плоские места». Закончив это, Ферма продолжил собственные изыскания, описанные им в 1629 г., но изданные только через 50 лет в книге «Введение к теории плоских и пространственных мест». Здесь он подробно рассмотрел преимущества преобразования геометрических понятий в алгебраические термины.
Свойства фокусов эллипса
Геометрическое место точек (ГМТ) определяет геометрическую фигуру как множество точек на плоскости или в пространстве, обладающих некоторым свойством. Например, мы можем искать ГМТ, сумма расстояний от которых до двух заданных точек есть величина постоянная. Это эллипс с двумя фокусами. Это свойство эллипса было известно еще древним грекам.
Подход Ферма к координатам
Ферма же обратил внимание на принцип: если условия, налагаемые на точку, можно выразить в виде одного уравнения с двумя неизвестными, соответствующее ГМТ будет кривой – или прямой линией, которую мы будем рассматривать как определенный тип кривой во избежание ненужных расхождений.
Он иллюстрировал этот принцип схемой, на которой две неизвестных величины A и E представлены как расстояния в двух разных направлениях.
Затем он составил несколько отдельных уравнений, связующих А и Е, и объяснил, какие кривые они представляют. Например, если А2 = 1 + Е2, то ГМТ является гиперболой.
Ферма ввел косоугольную систему координат на плоскости (косвенно подразумевая, что этот угол не обязательно должен быть прямым). Переменные А и Е – две координаты, которые мы называем x и y, для любой точки относительно данных осей. Итак, принцип Ферма убедительно утверждает, что любое уравнение с двумя переменными представляет кривую, и его примеры показывают нам, какое уравнение представляет какую кривую из перечня основных кривых, составленного греками.
Декарт
Современное представление о системе координат сложилось в трудах Декарта. В повседневной жизни мы сталкиваемся с двумерными и трехмерными пространствами, и нам нужна вся сила воображения, чтобы представить себе что-то более сложное. Наша зрительная система отображает внешний мир как двумерную картинку для каждого глаза – подобно той, что мы видим на экране телевизора. Мелкие различия в изображениях от каждого глаза наш мозг комбинирует и интерпретирует в ощущение глубины изображения, и мы получаем возможность воспринимать окружающий мир как трехмерное пространство.
Ключом к представлению о многомерных пространствах является идея системы координат, представленная Декартом в виде приложения «Геометрия» к его труду «Рассуждение о методе». Его идея состояла в том, что геометрия на плоскости может быть представлена в алгебраических выражениях. Его подход аналогичен методу Ферма. Выберите точку на плоскости и назовите ее начальной. Проведите две оси – линии, проходящие через начальную точку и пересекающиеся под прямым углом. Обозначьте одну ось как x, другую – y. Тогда любая точка P плоскости будет определяться парой расстояний (x, y), которые говорят нам о том, как далеко находится эта точка от начала, если измерять соответствующие перпендикуляры от точки P до осей x и y. Например, на карте x может обозначать расстояние к востоку от начальной точки (с отрицательными числами, представляющими направление на запад), а y – расстояние к северу от исходной точки (с отрицательными показателями, представляющими направление на юг).
РЕНЕ ДЕКАРТ 1596–1650
Декарт начал изучать математику в 1618 г., став учеником голландского ученого Исаака Бекмана. Он покинул Голландию и путешествовал по Европе, пока в 1619 г. не вступил в баварскую армию. Он продолжал путешествовать с 1620 по 1628 г., побывал в Богемии, Венгрии, Германии, Голландии, Франции и Италии. В Париже в 1622 г. он познакомился с Мареном Мерсенном и с тех пор регулярно переписывался с ним, что позволяло ему постоянно быть в курсе последних достижений ведущих научных школ.
В 1628 г. Декарт осел в Голландии и начал свой первый труд «Мир» (Le Monde), в частности «Трактат о свете», описывавший свойства света. Когда Декарту стало известно о домашнем аресте Галилео Галилея, он испугался и задержал публикацию книги. Только после его смерти работа была издана в усеченном виде. Он продолжил развивать свои идеи о логическом мышлении в большом труде, изданном в 1637 г., «Рассуждение о методе…». У книги было три приложения: «Диоптрика», «Метеоры» и «Геометрия».
Самая его амбициозная книга, «Первоначала философии», увидела свет в 1644 г. Она делилась на четыре части: «Об основах человеческого познания», «О началах материальных вещей», «О видимом мире» и «О земле». Это была попытка подвести единый математический фундамент под всеобъемлющую физическую Вселенную, преобразуя все естественные составляющие в механические объекты.
В 1649 г. Декарт отправился в Швецию, чтобы занять место наставника при королеве Кристине. Королева оказалась ранней пташкой, а Декарт не имел привычки подниматься раньше 11 часов. Необходимость вести уроки математики в пять утра, да еще в холодном сыром климате, подорвала здоровье Декарта. Через несколько месяцев он скончался от пневмонии.
Координаты работают и в трехмерном пространстве, но здесь двух значений уже недостаточно для локализации точки. А вот три достаточно. Кроме направления восток – запад или север – юг нам необходима еще и точка выше или ниже начальной. Обычно для расстояний выше нее мы используем положительное число, ниже – отрицательное. Координаты в пространстве обозначаются (x, y, z).
Поэтому плоскость называют двумерной, а пространство трехмерным. Число измерений зависит от того, сколько чисел нам необходимо для описания данной точки.
В трехмерном пространстве отдельное уравнение, содержащее x, y и z, обычно определяет поверхность. Например, x2 + y2 + z2 = 1 утверждает, что точка (x, y, z) всегда расположена на расстоянии в одну единицу от начальной точки. Это позволяет предположить, что она лежит на единичной сфере с центром в начальной точке.
Обратите внимание, что слово «мера» применяется здесь не в буквальном значении. Мы не пытаемся найти количество измерений пространства через что-то, называемое мерой, чтобы затем подсчитать ее. Мы определяем, сколько чисел необходимо, чтобы определить положение в пространстве, – это и будет размерностью.
КООРДИНАТЫ В СОВРЕМЕННОМ ВИДЕНам легче будет понять, как развивалась координатная геометрия, если познакомимся с тем, как работает современная система. Существует несколько вариантов, но все они основаны на том, что для начала на плоскость наносят две линии под названием оси. Точка их пересечения, общая точка, – начальная точка. Как правило, соблюдается такое условие: одна ось – горизонтальная, другая – вертикальная.
Вдоль каждой оси наносятся целые числа: положительные в одном направлении и отрицательные в другом. Соответственно, горизонтальная ось называется x, а вертикальная y. Символы x и y используются для представления точек с помощью соответствующих осей – это расстояния от начальной точки. Обычная точка на плоскости, на расстоянии x по горизонтальной оси и y по вертикальной, обозначается парой чисел (x, y). Эти числа и есть координаты точки.
Любое уравнение, содержащее x и y, накладывает ограничения на возможные точки. Например, если оно выглядит как x2 + y2 = 1, точка (x, y) должна находиться на расстоянии 1 от начальной, согласно теореме Пифагора. Такие точки образуют окружность. Мы скажем, что x2 + y2 = 1 – уравнение для этой окружности. Любое уравнение соответствует какой-то кривой на плоскости, а любая кривая соответствует уравнению.
Декартова система координат
Декартовы координаты алгебраически тесно связаны с коническими сечениями – кривыми в геометрии, которые древние греки строили как сечения двойного конуса. Алгебраически получается, что конические сечения являются следующим видом простейших кривых линий после прямых. Прямая линия описывается уравнением
ax + by + c = 0
с константами a, b и c. Коническое сечение описывается квадратным уравнением
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0
с константами a, b, c, d, e, f. Декарт отмечал этот факт, но не смог его доказать. Но он разобрал случай, основанный на теореме, которая приписывалась Паппу и давала характеристики коническим сечениям. Он сумел доказать, что там результат описывается квадратным уравнением.
Он пошел дальше и обратился к уравнениям более высокого порядка, описывая более сложные кривые, чем те, с которыми имела дело классическая греческая геометрия. Типичным примером можно считать декартов лист, задаваемый уравнением:
x3 + y3 – 3axy = 0,
которое описывает петлю с двумя концами, уходящими в бесконечность.
Пожалуй, главный вклад концепции координат проявляется именно в этом: Декарт смог уйти от греческого взгляда на кривые как на объекты, построенные с помощью особых геометрических приспособлений, и увидел в них визуальное представление любой алгебраической формулы. Как заметил в 1707 г. Исаак Ньютон, «современный подход, но намного более глубокий [чем у греков], позволяет любую линию в геометрии выразить в виде уравнения».
Более поздние ученые изобрели множество вариантов декартовой системы координат. В письме от 1643 г. Ферма рассматривает идеи Декарта и развивает их для трехмерного пространства. Он упоминает такие поверхности, как эллипсоид и параболоид, описываемые квадратными уравнениями с тремя переменными x, y, z. Важным вкладом было введение Якобом Бернулли полярных координат в 1691 г. Чтобы определять точки на плоскости, он использовал угол и расстояние r вместо пары осей. Теперь эти координаты стали обозначать как (r, ).
Декартов лист
И снова уравнения соответствуют определенным кривым. Но теперь простые уравнения могут описать кривые, которые были чрезвычайно сложными в декартовых координатах. Например, r = описывает спираль, ту самую, что уже известна нам как архимедова.
Полярные координаты
Функции
Важнейшее применение координат в математике – метод графического представления функций.
Функция – не число, но отношение между элементами, когда изменение в одном влечет перемены в другом. Оно часто выражается в формуле, которая приписывает каждому числу, x (возможно, с предварительными ограничениями), другое число, f(x).
Например, функция квадратного корня определяется правилом f(x) = х, т. е. извлечнием квадратного корня из данного числа. Это отношение требует, чтобы x было положительным. Квадратная функция определяется уравнением f(x) = x2, на этот раз нет ограничения для х.
Архимедова спираль
Мы можем геометрически изобразить функцию, определяя координату y по заданному уравнению для x: y = f(x). Это уравнение задает отношение между двумя координатами и таким образом определяет форму кривой. Такая кривая называется графиком функции f.
КТО ИЗ БЕРНУЛЛИ ЭТО СДЕЛАЛ?На развитие математики заметно повлияло швейцарское семейство Бернулли. На протяжении четырех поколений из него выходили выдающиеся математики, поражавшие своим талантом. Часто называемые математической мафией, Бернулли обычно начинали свою карьеру в качестве слуг закона, медицины или церкви, но рано или поздно возвращались к главному призванию – математике, на профессиональном или любительском уровне.
Якоб I (1654–1705)
Изобрел полярные координаты, формулу для радиуса кривизны плоской кривой. Изучил специальные кривые, такие как цепная линия и лемниската. Вывел доказательство, что изохрона (кривая, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки) является перевернутой циклоидой. Изучал изопериметрические фигуры, имеющие кратчайшую длину при различных условиях; позже это привело к развитию вариационного исчисления. Один из первых исследователей теории вероятностей и автор первой книги на эту тему, «Искусство предположений» («Ars conjectandi»). Якоб завещал выгравировать на своей могиле логарифмическую спираль и надпись на латыни: «Eadem mutata resurgo» («Измененная, я вновь воскресаю»).
Иоганн I (1667–1748)
Ввел новые способы счисления и распространил их в Европе. Маркиз де Лопиталь опубликовал труды Иоганна в своем первом учебнике по исчислению (точное название «Анализ бесконечно малых»). Правило Лопиталя для нахождения пределов, раскрывающих неопределенности вида 0/0, – заслуга Иоганна. Написал труды по оптике (отражение и рефракция), об ортогональных траекториях семейства кривых, длинах кривых и нахождении площадей с помощью интегрального исчисления, по аналитической тригонометрии и экспоненциальным функциям. Вычислил брахистохрону (кривую скорейшего спуска) и длину циклоиды.
Николай I (1687–1759)
Занял кафедру Галилея в Падуе. Написал труды по геометрии и дифференциальным уравнениям. Позже преподавал логику и право. Одаренный, но не слишком продуктивный математик. Вел переписку с Лейбницем, Эйлером и другими выдающимися учеными: его главное наследие – около 560 писем. Сформулировал Санкт-Петербургский парадокс в теории вероятностей.
Критиковал использование Эйлером расходящихся рядов. Способствовал посмертной публикации труда Якоба Бернулли «Искусство предположений». Поддерживал Лейбница в его противостоянии с Ньютоном.
Николай II (1695–1726)
Был приглашен преподавать в академии Санкт-Петербурга и утонул восемь месяцев спустя. Дискутировал с Даниилом по поводу Санкт-Петербургского парадокса.
Даниил (1700–1782)
Самый известный из трех сыновей Иоганна. Работал с теорией вероятностей, астрономией, физикой и гидродинамикой. Его труд «Гидродинамика» 1738 г. содержит описание закона Бернулли – связи между давлением и скоростью. Исследовал морские приливы, кинетическую теорию газов и колебание струн. Пионер в исследовании дифференциальных уравнений с частными производными.
Иоганн II (1710–1790)
Младший из трех сыновей Иоганна. Изучал право, но стал профессором математики в Базеле. Работал над математической теорией света и тепла.
Иоганн III (1744–1807)
Как и его отец, изучал право, но в итоге обратился к математике. В 19 лет был приглашен в Берлинскую академию наук. Автор трудов по астрономии, теории вероятностей и периодическим десятичным дробям.
Якоб II (1759–1789)
Автор важных работ по теории упругости, гидростатике и баллистике.
График функции f(x) = x2 оказывается параболой. График функции квадратного корня f(x) = x образует половину параболы, которая «лежит на боку». Чем сложнее функция, тем сложнее описывающее ее уравнение. График функции синуса с уравнением y = sin x – волнообразная кривая.
График функции f
Геометрия координат сегодня
Координаты – одна из тех простых идей, которые заметно изменили нашу жизнь. Мы используем их повсеместно, как правило, не отдавая себе в этом отчета. По сути, все графики в компьютере используют внутреннюю систему координат, а геометрия, демонстрируемая на экране, задана алгеброй. Даже такая простая операция, как поворот фотографии на несколько градусов, чтобы выровнять линию горизонта, основана на геометрии координат.
Графики квадратичной функции и функции квадратного корня
Еще более важное послание от геометрии координат связано с перекрестными связями в математике. Концепция, чья физическая реализация выглядит совершенно иной, может оказаться просто иным аспектом одного и того же объекта. Первое впечатление порой обманчиво. Математика оказалась настолько эффективной во многом потому, что стала способом взглянуть на привычные явления с точки зрения их восприимчивости к новым идеям, переходящим из одной области науки в другую. Математика незаменима для обмена технологиями. И именно перекрестные связи, впервые открытые еще 4000 лет назад, сделали математику таким всеобъемлющим, уникальным предметом.
График функции синус
ЧТО КООРДИНАТЫ ДАЛИ ИМГеометрия координат может применяться на поверхностях более сложных, чем плоскость, например на сфере. Нам хорошо знакома такая система координат на ней, как долгота и широта. Вся картография, а также использование карт в навигации могут рассматриваться как практическое приложение геометрии координат.
Для капитанов главной проблемой навигации было определение широты и долготы, на которых оказался их корабль. С широтой обстояло немного проще: угол подъема солнца над горизонтом зависит от нее и может быть подсчитан. С 1730 г. стандартным инструментом для определения широты был секстант (в наши дни практически вытесненный из обихода системой GPS). Его изобрел Ньютон, но не опубликовал свое открытие. И его самостоятельно заново открыли двое: английский математик Джон Хэдли и американский изобретатель Томас Годфри. До той поры мореходы пользовались только астролябией, которая восходит к арабскому Средневековью.
Долгота и широта в качестве координат
Долгота – более коварная координата. Но проблему в итоге удалось решить при помощи высокоточных часов, выставленных на местное время в начале плавания. Время восхода и захода солнца, а также движение луны и звезд, зависящие от долготы, позволяли определить ее путем сравнения местного времени и того, что показывают часы. История изобретения Джоном Харрисоном хронометра, решившего проблему, изложена в известной книге Давы Собел «Долгота».
ЧТО КООРДИНАТЫ ДАЮТ НАММы по-прежнему используем координаты на картах, но еще одним примером активного применения стали графики колебаний цен на рынке ценных бумаг, где все изменения изображаются в виде кривой. Здесь по оси х отложено время, а по оси у – цена. Трудно перечислить все виды финансовых и научных данных, отображаемых таким способом.
Данные рынка ценных бумаг, представленные в системе координат
Глава 7. Такие разные числа
Несмотря на увлечение геометрией, математики никогда не теряли интереса к числам. Они стали задавать всё более сложные вопросы и на многие из них нашли ответы сами. Ряд вопросов удалось решить позже благодаря новым методам. А некоторые остались нерешенными по сей день.
Теория чисел
Числа всегда нас завораживали. Понятные, незатейливые, 1, 2, 3, 4, 5… Кажется, что может быть проще? Но под этой внешней простотой таятся неведомые глубины, и большинство неприступных вопросов в математике касаются самых очевидных свойств целых чисел. Эта область известна как теория чисел, и на поверку она оказалась очень сложной, поскольку ее составляющие касаются самых основ науки. Как раз простота целых чисел и оставляет так мало возможностей для сложных методов.
Самые первые шаги в теории чисел – которые доказаны фактами, а не одними предположениями – обнаруживаются в трудах Евклида, где эти идеи слегка завуалированы под геометрию. Теория чисел была выделена в отдельную область математики древним греком Диофантом, отрывки работ которого дошли до нас в более поздних списках. Теория чисел пережила период бурного развития в 1600-х гг., а благодаря работам Ферма и дальнейшим разработкам Леонарда Эйлера, Жозефа-Луи Лагранжа и Карла Фридриха Гаусса она превратилась в обширную самостоятельную область математики, тесно связанную со многими науками, на первый взгляд не имеющими к ней отношения. Именно эта связь была использована в конце ХХ в. для ответа на многие – хоть и не все – древние загадки, включая самую известную и интригующую: предположение Ферма, сформулированное им около 1650 г. и известное как Великая теорема (или Последняя теорема).
Большую часть своей истории теория чисел касалась сугубо математических научных трудов и почти не влияла на реальный мир. Если когда-то и существовала ветвь математической мысли, интересная лишь отшельникам, живущим в башнях из слоновой кости, то это могла быть только теория чисел. Однако всё изменилось с изобретением компьютеров. Они работают с электронным представлением целых чисел, и проблемы и возможности, связанные с ними, постоянно возвращают ученых к теории чисел. После 2500 лет существования в виде игр чистого разума теория чисел стала частью реальной жизни.
Простые числа
Любой, кому доводилось перемножать целые числа, замечал их фундаментальные отличия.
Многие числа можно разделить на меньшие части, из которых искомое получается путем их перемножения. Например, 10 можно получить умножением 2 на 5, а 12 равно 3 4. Но некоторые числа так разделить невозможно. Мы не можем выразить 11 как произведение двух меньших целых чисел, то же относится к 2, 3, 5, 7 и многим другим.
Составные числа – те, которые можно выразить как произведение двух меньших. Простые числа – те, которые нельзя так выразить. Согласно этому определению, 1 должно считаться простым числом, но в силу важных причин его решено выделить в отдельный класс и обозначать как единицу. Итак, первые простые числа выглядят так:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41
По этому списку видно, что для простых чисел нет очевидного шаблона (за исключением того, что все, кроме первого, нечетные). Кажется, они появляются беспорядочно, и нет способа предсказать, каким будет следующее в списке. Но даже тогда несомненно, что это число всё же можно определить – одно за другим проверяя все последующие, пока снова не найдете простое.
Несмотря или, скорее, благодаря своему беспорядочному распределению они жизненно важны в математике. Они являются основными строительными блоками для всех прочих чисел, в том смысле, что большие числа получаются умножением меньших.
Химия утверждает, что любая молекула, какой бы сложной она ни была, состоит из атомов – неделимых частиц материи. А математика говорит нам, что любое число, каким бы большим оно ни было, состоит из простых – неделимых. Простые числа – это атомы теории чисел.
Это свойство простых чисел очень полезно, потому что в математике многие вопросы могут быть решены для всех целых чисел, если их решить для простых чисел, а простые числа имеют такие особые свойства, что иногда облегчают процесс. Эта дуальность простых чисел – простота, но непредсказуемость – всегда была предметом любопытства ученых.
Евклид
Евклид описал простые числа в книге VII «Начал» и доказал три их ключевых свойства. В современном изложении это звучит так.
• Любое число можно представить как производное простых чисел.
• Это выражение будет уникальным, за исключением порядка, в котором появляются простые числа.
• Простых чисел бесконечно много.
Однако то, что Евклид на самом деле утверждал, и то, что он доказал, – не совсем одно и то же. Предложение 31 из книги VII утверждает, что всякое составное число измеряется каким-то первым (простым) числом, т. е. его можно точно разделить на это простое число. Например, 30 – составное, и оно точно делится на несколько простых чисел, среди которых есть 5: действительно, 30 = 6 5. Повторяя этот процесс поиска делителя в виде простого числа или множителя, мы можем разложить любое составное число на произведение простых. Так, начав с 30 = 6 5, мы находим, что 6 также является составным (2 3). Теперь 30 = 2 3 5, причем все три множителя простые. Это была факторизация числа 30. Если бы мы начали с 30 = 10 3, нам пришлось бы вместо этого разложить 10, т. е. 10 = 2 5, т. е. 30 = 2 5 3. Получаем те же три простых числа, но перемноженные в другом порядке, – что, конечно, не влияет на результат.
Может показаться очевидным, что, каким бы образом мы ни раскладывали число на простые, мы всегда получим одинаковый результат, за исключением их порядка, но доказать это не так просто. Похожие утверждения для некоторых систем чисел, связанных математическими соотношениями, на поверку оказываются ложными, хотя для обычных целых чисел они и верны. Разложение на простые множители уникально. Евклид доказал ключевой факт, необходимый для утверждения об уникальности, в «Началах». Предложение 30, книга VII: если простое число делит произведение из двух чисел, то оно должно делить по крайней мере одно из них. Уникальность факторизации – прямое следствие предложения 30.
ПОЧЕМУ УНИКАЛЬНЫ И НЕ ТАК ОЧЕВИДНЫ ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИКоль скоро мы признаем простые числа атомами теории чисел, вроде бы логично предположить, что при делении чисел на простые должны всегда получаться одинаковые атомы. В конце концов, атомы – неделимые частицы. Если вы можете поделить число двумя разными способами, не будет ли это расщеплением атома? И вот здесь аналогия с химией немного неточная.
Чтобы понять, что уникальность факторизации не очевидна, мы можем взять неполный набор чисел:
1 5 9 13 17 21 25 29
и т. д. Здесь выбраны числа, которые на единицу больше чисел, кратных 4. Произведения этих чисел также обладают схожими свойствами, т. е. мы можем построить такие числа, умножая меньшие числа подобного типа. Назовем квазипростыми любые числа в этом ряду, не являющиеся произведениями двух меньших в исходном ряду. Например, 9 будет квазипростым: меньше его только 1 и 5, а их произведение не равно 9. (То, что 9 = 3 3, остается в силе, но в исходном ряду у нас не было 3.) Очевидно – и верно, – что каждое составное число в ряду является произведением квазипростых. Однако, хотя эти квазипростые числа оказываются атомами для данного ряда, выходит нечто весьма странное. Число 693 (693 = 692 + 1, где 692 = 173 4, кратно 4) можно разбить двумя разными способами: 693 = 9 77 = 21 33, и все четыре множителя: 9, 21, 33 и 77 – квазипростые. А значит, уникальность факторизации не работает для этого типа чисел.
Предложение 20, книга IX, утверждает: «Простых чисел существует больше вякого предложенного количества простых чисел». В современном изложении это значит, что множество простых бесконечно. В доказательство можно привести пример: представьте, что существует только три простых числа: a, b и c. Перемножьте их и прибавьте единицу, вот так: abc + 1. Это число должно делиться на какое-то простое, но оно не может быть одним из этих трех первоначальных, поскольку они нацело делят abc, но ни одно из них не сможет также разделить abc + 1, ведь тогда им придется делить еще и разницу, которая равна 1. Получается, что мы обнаружили еще одно простое число, а это противоречит предположению о существовании только трех простых чисел a, b, c.
Хотя в доказательстве Евклида использовано всего три числа, та же идея работает и для более длинного списка. Перемножьте все простые числа в нем, добавьте единицу, затем возьмите несколько простых множителей и проверьте результат: вы всегда сгенерируете новое число, которого нет в списке. То есть невозможно составить полный законченный перечень простых чисел.
НАИБОЛЬШЕЕ ИЗВЕСТНОЕ ПРОСТОЕ ЧИСЛОНаибольшего простого числа не существует, но в сентябре 2006 г. было найдено наибольшее известное простое число, равное 232 582 657 – 1, в котором есть 9 808 358 десятичных цифр[5]. Числа вида 2p – 1, где p – простое число, называются числами Мерсенна, по имени ученого, в своем труде «Физико-математические размышления» (1644 г.) показавшего, что эти числа являются простыми для р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257 и составными для всех остальных целых чисел, меньших 257.
Читать бесплатно другие книги:
