Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса Стюарт Иэн

Математика начинается с чисел, и числа остаются ее основой, хотя сама наука давно ушла от простых операций с ними. Выстраивая на основе чисел всё более отвлеченные и сложные концепции, она развилась в обширную и разнообразную область мысли, выходящую далеко за рамки школьной программы. Современная математика больше занимается исследованием формы, структуры и составляющих нашего мира, нежели числами как таковыми. Ее методы стали очень отвлеченными и часто абстрактными. Она задает направление в науке, промышленности, бизнесе и даже искусстве. Математика универсальна и вездесуща.

Всё начинается с чисел

За тысячелетия математики – представители разных культур – успели создать на основе чисел множество надстроек: геометрию, исчисление, динамику, теорию вероятностей, топологию, теорию хаоса, сложности и т. д. Журнал Mathematical Reviews, где приводятся ссылки на все новые материалы, выделяет в ней более 100 основных областей, содержащих не одну тысячу более узких. По всему миру насчитывается свыше 50 тыс. математиков-исследователей, и каждый год они публикуют более миллиона страниц научных текстов. Всё это новые открытия, а не вариации на тему уже существующих.

Математики часто пользуются логикой для создания еще более фундаментальной концепции, чем числа, – это математическая логика и теория множеств. Однако и здесь отправной точкой остается идея числа.

Числа кажутся простыми и понятными, но их внешняя простота обманчива. Операции с ними порой чрезвычайно сложны, и верный результат требует немалого труда. Но и тут намного легче оперировать числами, чем физическими объектами, которые они описывают. Да, они подразумевают предметы, но не являются ими: вы можете подержать в руках две чашки, но не число 2. Числа выражаются символами, но разные культуры используют разные знаки для одних и тех же чисел. Числа – абстракция, и всё же они составляют основу нашего общества: без них оно не сможет выполнять свои функции. Это один из видов умственных построений, но мы чувствуем, что они не утратят своего значения даже в случае гибели человечества из-за глобальной катастрофы, когда не останется разума, способного их воспринимать.

Запись чисел

История математики начинается с изобретения выражающих числа письменных символов. Привычный нам набор цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью которого можно представить любое, даже самое огромное, число, изобретен относительно недавно, всего около 1500 лет назад. А его расширение до десятичных знаков, значительно увеличившее степень точности, и вовсе насчитывает всего 450 лет. Пятьдесят лет назад появились первые компьютеры: они так глубоко внедрили математические расчеты в нашу жизнь, что мы и не замечаем их присутствия. А 20 лет назад началось победное шествие самых мощных и высокоскоростных вычислительных машин, заполонивших офисы и дома.

Без чисел невозможно существование привычной нам цивилизации. Они повсюду, как незримые слуги, неутомимо трудятся за кулисами: передают сообщения, следят за грамотностью напечатанного нами текста, составляют маршрут полета в отпуск, фиксируют покупки, обеспечивают эффективность и безопасность лечения. Есть и противоположная сторона медали: они делают возможным изобретение ядерного оружия, точно наводят на цель бомбы и ракеты. Далеко не всегда математика служит исключительно благим целям.

Как же удалось достичь такого расцвета этой невиданной области? Всё началось 10 тыс. лет назад на Ближнем Востоке с маленьких глиняных фигурок. Даже тогда счета содержали сведения о том, кто чем владел и в каком количестве, – хотя еще не было ни письма, ни знаков для чисел. Вместо знаков древние счетчики использовали маленькие глиняные фигурки. Одни имели форму сферы, другие – конуса, третьи – яйца. Были и цилиндры, и диски, и пирамиды. Археолог Дениз Шмандт-Бессера пришла к выводу, что фигурки представляли основные ценности того времени. Глиняные сферы обозначали меры зерна, цилиндры – животных, яйца – кувшины масла. Самые древние фигурки датируются 8000 г. до н. э., и их широко использовали в последующие 5000 лет.

Со временем фигурки становились всё более изысканными и специализированными. Были найдены конусы в виде ломтей хлеба и даже ромбовидные символы пива. Шмандт-Бессера считает, что эти фигурки – не просто приспособления для счета. Это первый, самый важный шаг к изобретению цифровых символов, арифметики и математики. Однако из-за своей необычности он кажется случайным.

Всё произошло потому, что фигурки использовались для записи: возможно, собранных налогов, или финансовых операций, или как законное доказательство права на собственность. Их достоинством была простота, с которой счетчики могли поделить их на группы, чтобы определить, сколько животных или зерна имеет или имел человек. Но был и недостаток: фигурки легко подделывались. Для предотвращения махинаций с ними счетчики стали заворачивать их в своего рода глиняные конверты – аналог печати. Чтобы определить, сколько каких фигурок в каждом конверте, его было достаточно разбить. Восстановить его не составляло особого труда.

Всё же необходимость постоянно раскалывать и восстанавливать конверты казалась чиновникам древней Месопотамии слишком утомительной, и они придумали кое-что получше. Они стали метить конверты особыми символами, обозначающими их содержимое. Если там было семь сфер, то и на конверте они рисовали семь кружков.

Наступил момент, когда до месопотамских чиновников дошло: если есть символы, то можно обойтись и без фигурок; чтобы знать, что внутри конверта, нет нужды его разбивать. В результате этого очевидного, но судьбоносного открытия появился набор письменных символов для чисел, разной формы для разных классов предметов. Все прочие, включая и те, которыми пользуемся мы, – производные от этих бюрократических приспособлений древности. Именно замену фигурок символами можно считать изобретением письменности.

Единицы счета

Первые знаки нельзя считать ранними примерами записи чисел. Это просто царапины, метки, выражающие числа в виде серии насечек, например ||||||||||||| для обозначения 13. Самая древняя из известных на сегодняшний день таких надписей – 29 насечек на бедренной кости бабуина, сделанная 37 тыс. лет назад. Эту кость нашли в пещере в горах Лебомбо, на границе между Свазилендом и ЮАР. Место называется Пограничной пещерой, а артефакт – костью Лебомбо.

В отсутствие машины времени нельзя с уверенностью утверждать, что означал каждый символ, но можно делать обоснованные предположения. В лунном месяце 28 дней, значит, насечки, должно быть, связаны с фазами Луны.

В Европе обнаружены похожие артефакты. Пятьдесят семь насечек на волчьей кости из бывшей Чехословакии разбиты на 11 групп по пять с двумя лишними; этой находке 30 тыс. лет. Дважды по 28 будет 56: это может быть обозначение для двухмесячного лунного отрезка времени. И снова у нас нет способа проверить это предположение. Но насечки явно что-то значат, их сделали не просто так.

Еще одна древняя математическая запись, на кости Ишанго из Заира, была сделана 25 тыс. лет назад (прежняя оценка в 6000–9000 лет пересмотрена учеными в 1995 г.). На первый взгляд эти царапины по краям кости кажутся случайными, но здесь может быть скрытый смысл. Один ряд состоит из простых чисел от 10 до 20: это 11, 13, 17 и 19, и в сумме они дают 60. В другом ряду мы видим 9, 11, 19 и 21, что также в сумме равно 60. Третий ряд представляет способ умножения двух чисел: одно из них несколько раз удваивают, а другое делят пополам. Но не исключено, что всё это лишь совпадение или что кость Ишанго – древний лунный календарь.

Первые цифры

Исторический путь от счетных фигурок к современным цифрам долог и извилист. Тысячелетиями народ Месопотамии развивал сельское хозяйство, и на смену кочевому образу жизни пришел оседлый, породив ряд городов-государств: Вавилон, Эриду, Лагаш, Шумер, Ур. Ранние символы на глиняных табличках усложнились до пиктограмм, передающих значения слов в упрощенном виде. Они упрощались всё больше и больше, и в итоге осталось ограниченное число клиновидных отметин, выдавленных на глине сухой палочкой с острым плоским концом. Меняя угол давления, можно было получать отметки разной формы. К 3000 г. до н. э. шумеры создали сложную письменность, названную клиновидной.

История этого периода чрезвычайно сложна; доминировали то одни города, то другие. В какой-то момент высшего расцвета достиг Вавилон: из месопотамских песков ученые выкопали более миллиона глиняных табличек. Несколько сот из них, посвященных математике и астрономии, демонстрируют удивительно глубокие познания древних в этих областях. В частности, вавилоняне были просвещенными астрономами и сумели создать сложнейшую систему математических символов, с помощью которых могли передавать точные астрономические данные.

Числовые символы вавилонян ушли далеко от простых насечек и считаются самыми древними в своем роде. Использовались два разных вида клинышков: тонкий вертикальный обозначал цифру 1, а толстый горизонтальный – 10. Эти знаки, собранные в группы, представляли числа от 2 до 9 (для вертикальных клиньев) и десятки от 20 до 50 (для горизонтальных). Но ряд кончался на 59, после чего тонкий вертикальный клин уже обозначал число 60.

Таким образом, вавилонская система счисления основана на 60, т. е. является шестидесятиричной. В ней каждый символ обозначает либо какое-то число, либо его же, умноженное на 60, либо умноженное на 60 и еще раз на 60 – в зависимости от его положения.

Таков же принцип счисления в нашей десятеричной системе, где значение каждого символа умножается на 10, или 100, или 1000 в зависимости от его положения. Например, в числе 777 первая 7 значит «семь сотен», вторая – «семь десятков», а третья – «семь единиц». У вавилонян серия из трех (символа для 7) будет иметь иное значение, хоть и основанное на том же принципе. Первый символ будет значить 7 60 60, т. е. 25 200; второй 7 60 = 420, третий – 7. Значит, группа из трех символов означает 25 200 + 420 + 7, или 25 67. Артефакты с вавилонской системой счисления, основанной на 60, обнаруживаются до сих пор. И 60 секунд в минуте, и 60 минут в часе, и 360 градусов в окружности уходят корнями в Древний Вавилон.

Кость Ишанго: насечки и представленные ими числа

Простые единицы счета удобны тем, что их можно наносить по одной в течение долгого времени, не изменяя и не удаляя предыдущие. Их используют и сейчас, часто в группах по пять: пятая палочка по диагонали пересекает первые четыре

Древние единицы счета можно найти в элементах современных символов. Наши цифры 1, 2 и 3 явно произошли от насечек: одна горизонтальная, две горизонтальные, связанные косой чертой, и три горизонтальные, связанные косыми чертами

Из-за сложности передачи клинописи ученые изображают вавилонские числа «гибридом» из наших десятеричных знаков и вавилонских шестидесятиричных. Так, тройка клинописных символов для 7 будет выглядеть как 7,7,7. А 23, 11, 14 обозначает вавилонские символы для 23, 11 и 14, написанные по порядку, с числовым значением (23 60 60) + (11 60) + 14, или 83 474 в десятичной системе счисления.

Символы для малых чисел

Мы используем десять знаков не только для обозначения сколь угодно больших чисел: эти же символы отлично справляются и с числами сколь угодно малыми. С этой целью мы используем десятичный разделитель, обозначаемый запятой. Цифры слева от нее обозначают целые числа, справа – их доли, дроби. Дробная часть представляет десятые, сотые доли и т. д. Число 25,47 значит две десятки плюс пять единиц плюс четыре десятых плюс семь сотых.

Вавилоняне знали этот фокус и с пользой применяли его в своих астрономических записях. Ученые использовали в качестве вавилонского эквивалента десятичного разделителя знак «точка с запятой» (;), но это шестидесятеричная «запятая», и числа справа от нее кратны ¹/₆₀, (¹/₆₀ ¹/₆₀) = ¹/₃₆₀₀ и т. д. Например, последовательность чисел 12,59;57,17 составит

12  60 + 59 + ⁵⁷/₆₀ + ¹⁷/₃₆₀₀,

что в сумме приблизительно равно 779,955.

На данный момент известно около 2000 вавилонских астрономических табличек. Большинство из них относительно простые и содержат перечень предсказываемых затмений, других регулярных астрономических событий и краткие данные по ним. Около 300 табличек заслуживают большего интереса и восхищения: на них отмечены пути Меркурия, Марса, Юпитера и Сатурна.

Вавилонские символы для чисел от 1 до 59

Какой бы увлекательной ни была история Вавилона, нашу всемирную историю она задевает лишь по касательной, в основном в части чистой математики. Однако, судя по всему, именно приложение к астрономии стало важным толчком к более активному развитию этой науки. Вот почему полезно отметить поразительную точность, с которой вавилоняне описывали астрономические события. Например, они определили период обращения Марса (отрезок времени между двумя его появлениями в одной и той же точке на небосклоне) в 12,59;57,17 дня в своем исчислении, т. е. примерно 779,955 нашего дня, как упоминалось выше. Современные данные – 779,936 дня.

ДЛЯ ЧЕГО ЧИСЛА СЛУЖИЛИ ИМ

Вавилонская табличка Юпитера. Вавилоняне использовали свою систему счисления для торговли, счета и более отвлеченных и сложных целей, например астрономии. Здесь способность их системы с высокой точностью представлять дроби оказалась особенно важной. Многие сотни табличек хранят данные о движении планет. Среди них есть одна, относительно плохо сохранившаяся, с ежедневными данными о движении Юпитера примерно за 400 лет. Она была создана в самом Вавилоне около 163 г. до н. э. Эта типичная запись содержит числа 126 8 16;6,46,58 – 0;0,45,18 – 0;0,11,42 + 0;0,0,10, что соответствует различным величинам, используемым для вычисления положения планеты в небе. Заметьте: числа с тремя шестидесятеричными знаками после запятой чуть точнее, чем их аналоги из пяти чисел в десятичной системе.

Древние египтяне

Наверное, самой великой из древних цивилизаций была египетская. Период ее расцвета на плодородных берегах Нила и его дельты приходится на 3150–31 гг. до н. э., с долгой додинастической историей, простирающейся до 6000 г. до н. э., и медленным упадком под властью Рима после 31 г. до н. э. Египтяне были великими строителями, со сложной высокоразвитой системой верований и церемоний, а также скрупулезными летописцами. Но их математические достижения бледнеют в сравнении с открытиями вавилонян.

Древнеегипетская система записи целых чисел проста и незамысловата. У них были символы для 1, 10, 100, 1000 и т. д. Повторяя их до девяти раз, они затем складывали их, чтобы получить значение числа.

Например, чтобы изобразить число 5724, египтяне должны были нарисовать рядом пять символов для 1000, семь символов для 100, два символа для 10 и четыре для 1.

Египетские числовые символы

Число 5724, записанное египетскими иероглифами

Специальные обозначения некоторых дробей (части «глаза Гора»)

Специальные символы для некоторых дробей

Дроби для египтян были лишней головной болью. В разные периоды они использовали для дробей разные наборы знаков. В Старом царстве (2700–2200 гг. до н. э.) применялись специальные обозначения для наших дробей: ¹/₂, ¹/₄, ¹/₈, ¹/₁₆, ¹/₃₂ и ¹/₆₄, которые получены повторяющимся делением пополам. Эти символы включали части «глаза Гора», или иероглифа Уаджет.

Самую известную древнеегипетскую систему записи дробей относят к Среднему царству (2200–1700 гг. до н. э.). Она начинается с определения каждой дроби в виде ¹/_n, где n – положительное целое число. Для обозначения n символ (иероглиф для буквы R) ставили сверху стандартных египетских символов чисел. Значит, например, ¹/₁₁ будет написана так: . Другие дроби соответственно отображались добавлением необходимого числа таких «единичных дробей». Например, ⁵/₆ = ¹/₂ + ¹/₃.

Интересно, что при этом египтяне не писали ²/₅ как ¹/₅ + ¹/₅. Судя по всему, здесь работало правило: использовать разные единичные дроби. Существовали также разные обозначения для некоторых простых дробей, например ¹/₂, ²/₃ и ³/₄.

Египетские обозначения дробей очень неуклюжие и плохо приспособлены для вычислений. Они были пригодны для официальных отчетов, но остались вне поля зрения последующих культур.

Числа и народы

Независимо от вашего отношения к арифметике вы не посмеете отрицать весомое влияние чисел на нашу цивилизацию. Эволюция культуры в целом и математики в частности шли рука об руку на протяжении последних четырех тысячелетий. Сейчас уже практически невозможно отделить причину от следствия: я не рискну уверенно заявить, что именно математические открытия ускоряли глобальные изменения в культуре или, напротив, культурные запросы определяли направление математической мысли. Скорее, оба утверждения содержат зерно истины, ведь математика и культура неразделимы.

ДЛЯ ЧЕГО ЧИСЛА СЛУЖАТ НАМ

Многие современные автомобили оборудованы системой спутниковой навигации. Само устройство относительно дешево. Небольшой прибор, устаовленный в машине, в любой момент точно определит ваше местоположение и покажет на карте – часто с броской наглядной расцветкой и в трехмерной проекции – ближайшие окрестности и дороги. Голосовое управление объяснит, как лучше всего добраться до нужного места. Звучит как нечто из научной фантастики. Необходимой частью этой системы, не помещенной в вашу коробочку, является GPS (Global Positioning System – Глобальная система определения координат), состоящая из 32 спутников на околоземной орбите. Они постоянно подают сигналы, и с помощью этих знаков навигатор определит положение автомобиля с точностью до метра.

Математика задействована во многих аспектах работы GPS-сети, но здесь мы упомянем один: как используются сигналы спутника для определения локации машины.

Радиосигналы движутся со скоростью света, т. е. примерно 300 тыс. км/с. Компьютер в салоне машины – чип в купленной вами коробочке – может вычислить расстояние от вашей машины до спутника, измерив время, за которое сигнал последнего достигает машины. В среднем это около 0,1 с, но для современной техники не составит труда определить это с большей точностью. Однако нужно так составить сигнал, чтобы он сам содержал информацию о времени.

По сути, спутник и приемник в автомобиле играют одну и ту же мелодию, и мы сравниваем время ее звучания. «Ноты», пришедшие со спутника, будут с небольшой задержкой проигрываться в машине. По аналогии эта мелодия может звучать примерно так:

МАШИНА: …На этот горный склон крутой / Ступала ль ангела нога?

СПУТНИК: На этот горный склон крутой / Ступала ль…

Здесь «мелодия» спутника проигрывается с задержкой примерно на три слова в самой машине. И спутник, и приемник должны исполнять одну «песню», и исполняемые «ноты» должны быть легко определяемы, чтобы можно было точно измерить разницу во времени.

Конечно, в спутниковой навигационной системе не звучат песни. Сигнал состоит из коротких импульсов, чья продолжительность определяется псевдослучайным кодом. Это последовательность цифр, случайная на первый взгляд, на самом деле подчиняется определенным математическим правилам. Они известны и спутнику, и приемнику, которые могут генерировать одинаковую последовательность импульсов.

Однако они имеют одно существенное различие. Многие культурные скачки очевидны. Новые веяния в архитектуре, новые виды транспорта, даже новые формы организации правительственной бюрократии так или иначе заметны всем.

Математика обычно скрыта за кулисами. Когда вавилоняне использовали свои астрономические наблюдения для предсказания затмений Солнца, публика впадала в экстаз от точности, с которой жрецы предвидели столь ужасающее событие. Но даже высшее жречество не знало почти ничего о применяемых методах. Они были в курсе, как прочесть таблички с нужными им данными, но для них главным было то, как воспользоваться знанием. Как именно удалось его достичь, оставалось тайной за семью печатями, доступной только специалистам.

Некоторые жрецы получали неплохое математическое образование – как и все культурные переписчики. Они обучались почти так же, как и писцы, особенно в первые годы, но им не требовалось доскональное знание математики, чтобы пользоваться преимуществами новых открытий в этой области. Так сложилось исторически, и так всё будет и впредь. Математикам редко вручают награды за кардинальные перемены в нашем мире. Сколько раз вы видели чудеса современного мира, созданные компьютерами, без малейшего намека на то, что они эффективны лишь в том случае, если запрограммированы на использование сложнейших алгоритмов для решения проблем, и что основой почти любого алгоритма служит математика?

Важный раздел математики, лежащий на поверхности, – арифметика. Но с появлением карманных калькуляторов, способных рассчитывать стоимость покупок или величину налогов, ее оттеснили еще дальше. По крайней мере, многие из нас всё еще отдают себе отчет в том, что арифметика есть где-то там. Мы живем в полной зависимости от чисел, будь то расчеты доходов и налогов, общение с людьми в другом полушарии, исследование поверхности Марса или испытание нового лекарственного средства. Всё это уходит корнями в Древний Вавилон, к писцам и учителям, изобретавшим эффективные способы изображать числа и оперировать ими. Они использовали свои познания в арифметике в двух направлениях: в приземленной деятельности простых людей (например, измерение земельных наделов или подсчет налогов) и в возвышенной работе человеческого разума (предсказание солнечных затмений или движения планет в небесной сфере).

Сегодня мы поступаем так же. Мы используем простейшие вычисления, незначительные даже для арифметики, для сотен мелких дел: добавления в нужной концентрации средства от паразитов в пруд с золотыми рыбками, покупки нужного числа рулонов новых обоев для спальни, составления маршрута таким образом, чтобы потратить меньше бензина и сэкономить. А наша культура использует высшую математику в науке, технологиях и всё больше в торговле. Изобретение цифр и арифметического счета наряду с обретением речи и письма занимает законное место среди достижений, которые отличают нас от обучаемых обезьян.

В математике существует два основных типа рассуждений: символьный и наглядный. Символьная выкладка ведет историю от числовой записи, и мы вкратце ознакомились с тем, как это привело к изобретению алгебры, где символы могут обозначать скорее обобщенные числа («неизвестные»), чем какие-то конкретные («7»). Начиная со Средних веков и до наших дней математика всё больше опирается на символы: если хотите убедиться, достаточно взглянуть на любой современный математический текст.

Начала геометрии

Наравне с символами математики используют схемы и диаграммы, открывающие неограниченные возможности для визуализации научных выкладок. Картинки менее формальны, чем символы, и чаще всего именно это ставит под вопрос целесообразность их использования. Широко распространено убеждение, будто картинка дает менее строгую и логичную выкладку, чем подсчеты с помощью символов. Это верно: изображение всегда оставляет больший простор для толкований. Более того, картинка может содержать скрытые намеки. Мы не можем изобразить некий «обобщенный» треугольник: любой треугольник будет иметь свою форму и размеры, которые порой не соответствуют случайно выбранной фигуре. Но поскольку визуальная интуиция остается очень мощной особенностью нашего мозга, наглядные образы играют важную роль в математике. Фактически они определяют вторую по важности идею предмета после чисел, т. е. его форму.

Табличка YBC 7289 с клинописными числами

Увлечение математиков формами имеет долгую историю. Даже на вавилонских табличках мы находим диаграммы. Например, на табличке с регистрационным номером YBC 7289 есть квадрат с двумя диагоналями. Его стороны отмечены клинописными символами, означающими 30. Выше на одной из диагоналей стоит 1;24,51,10, а под нею 42;25,35, которое равно произведению первого числа на 30, а также длине этой диагонали. Таким образом, 1;24,51,10 – длина диагонали меньшего квадрата со стороной, равной единице. Теорема Пифагора утверждает, что она равна корню квадратному из 2, и мы обозначаем его как 2. 1;24,51,10 приближает 2 с точностью до шести цифр после запятой.

Первая систематизация с использованием схем, ограниченным применением символов и изрядной долей логики встречается в описании геометрии Евклидом. Он следовал традиции, восходящей к культу Пифагора, чей расцвет пришелся на 500 г. до н. э. Однако Евклид настаивал, что любое положение математики должно иметь логическое доказательство для признания его достоверности. В записях Евклида есть важное нововведение – использование в доказательствах рисунков и логических построений. И многие века слово «геометрия» тесно ассоциировалось с этим подходом.

В этой главе мы проследим истори геометрии от Пифагора через Евклида и его предшественника Евдокса до позднего периода греческого классицизма, вплоть до его «наследников» Архимеда и Аполлония. Эти ранние геометры проложили путь для всех дальнейших работ с наглядными суждениями в математике. Также они установили стандарты логического доказательства, сохранившиеся неизменными на протяжении тысячелетий.

Пифагор

Сегодня мы принимаем как должное то, что математика дает нам ключи к законам существования природы. Первые систематизированные записи об этом пришли к нам от пифагорейцев – приверженцев мистического культа, датируемого промежутком между 600 и 400 гг. до н. э. Его основатель Пифагор родился около 569 г. до н. э. на Самосе. Место и дата его смерти покрыты мраком, но в 460 г. до н. э. основанный им культ подвергся нападкам и искоренению, а тайные места сборищ были уничтожены. В одном из них, доме Мило в Кротоне, более 50 захваченных пифагорейцев вырезали на месте. Многие из выживших сбежали в Фивы в Верхнем Египте. Не исключено, что одним из этих людей был сам Пифагор. Но даже если это всего лишь красивая выдумка, мы практически ничего не знаем о Пифагоре наверняка. Имя его у всех на слуху, главным образом из-за знаменитой теоремы о прямоугольном треугольнике, но мы даже не уверены, доказал ли ее он сам.

Зато нам известно гораздо больше о философии и убеждениях пифагорейцев. Они понимали, что математика – не реальность, а абстрактная концепция. В то же время они верили, что эта абстракция как-то воплощается в «идеальной» концепции, существуя в некоем странном воображаемом мире. То есть, например, нарисованный палочкой на песке круг – безуспешная попытка круга стать идеальным, совершенно ровным и невообразимо тонким.

Самым важным аспектом философии пифагорейцев была идея, что в основе всего лежат числа. Они выражали свою веру с помощью мифологических символов и подкрепляли ее практическими наблюдениями. В мистическом плане они считали, что число 1 – первичный источник всего во Вселенной. Числа 2 и 3 символизируют женское и мужское начала. Число 4 – символ гармонии, а также четырех стихий (земля, воздух, огонь и вода), из которых сотворено всё сущее. Пифагорейцы придавали особое мистическое значение числу 10, потому что 10 = 1 + 2 + 3 + 4 и объединяет в себе первичную единицу, женское начало, мужское начало и четыре стихии. Более того, эти числа образуют треугольник, а вся геометрия Древней Греции построена на свойствах треугольников.

Число 10 в виде треугольника

ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ

Главным доказательством своей концепции Вселенной чисел пифагорейцы считали музыку: они обнаружили ряд поразительных связей между гармонией звуков и простыми дробями. В результате несложных экспериментов они открыли, что если натянутая струна издает определенный звук, то вместе со струной вдвое меньшей длины она будет издавать гармоничные созвучия, которые сейчас называют октавой. Струна длиной в ²/₃ и ¹/₃ от первой также создают гармоничные звуки.

Сегодня эти числовые аспекты музыки относят к физике колебания струн, которые служат основой для теории волн. Количество волн, помещающихся в заданной длине струны, является целым числом, и эти числа образуют простые соотношения. Если они не укладываются в простую пропорцию, соседние звуки накладываются друг на друга, создавая несогласованные «биения», неприятные для слуха. На самом деле всё намного сложнее и включает особенности восприятия нашего мозга, но в любом случае мы видим физическое обоснование открытия пифагорейцев.

Пифагорейцы говорили о существовании девяти небесных тел: Солнце, Луна, Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер и Сатурн плюс центральный огонь, отличный от Солнца. В их космологии числу 10 придавалось столь серьезное сакральное значение, что они включили в эту систему Антихтон (Антиземля, Противоземля) – загадочную планету, скрытую от нас Солнцем.

Это две подобные формы

Как мы уже знаем, целые числа 1, 2, 3 и т. д. естественно приводят нас ко второму виду чисел – дробям. Математики называют их рациональными числами. Это дроби вида ^a/_b, где a и b – целые числа (также b не равно 0, иначе вся дробь не имеет смысла). Дроби могут делить целые числа на сколь угодно малые части, а значит, длину стороны геометрической фигуры можно аппроксимировать настолько близко, насколько мы пожелаем, с помощью рациональных чисел. Кажется вполне естественным, что можно в точности разделить число так, чтобы все длины были рациональными.

Если бы это было возможно, геометрия стала бы намного проще: два любых отрезка можно было бы представить целыми числами, кратными длине небольшого отрезка, и так получить их общую длину, сложив множество копий таких отрезков. Кому-то это может показаться неважным, но мы значительно упростили бы понимание теории длин, площадей и особенно подобия фигур (которые имеют одинаковую форму, но разный размер). С помощью схем, сформированных из бесконечного множества копий одной и той же базовой формы, можно доказать что угодно.

К несчастью, этой мечте не суждено было осуществиться. По легенде, один из пифагорейцев, Гиппас из Метапонта, обнаружил, что это утверждение ошибочно. В частности, он доказал, что диагональ единичного квадрата (квадрата со стороной, равной одной единице), иррациональна, не является дробью. Известно (хоть это и непроверенные данные, но отличная история), что он оплошал, озвучив этот факт, когда пифагорейцы пересекали на лодке Средиземное море. Его «товарищи по цеху» пришли в такое негодование, что вышвырнули его за борт, и он утонул. Но, скорее всего, дело ограничилось его отлучением от братства. Каким бы ни было наказание, оно явно говорит о том, что его открытие не привело пифагорейцев в восторг.

Современное толкование наблюдений Гиппаса состоит в том, что 2 – иррациональное число. На взгляд пифагорейцев, этот факт был ударом в спину их беззаветной вере в то, что корни Вселенной уходят в числа – целые. Дроби – отношения целых чисел – еще кое-как вписывались в это мировоззрение, но для чисел, которые доказуемо не являлись дробями, здесь места не было. Вот и вышло, что утопленный или отлученный бедняга Гиппас стал первой жертвой иррациональности – или, скорее, религиозных убеждений.

Укрощение иррациональности

Но греки всё же нашли способ справиться с иррациональностью – благодаря тому, что любое иррациональное число можно аппроксимировать рациональным. Чем точнее приближение, тем сложнее рациональное число, и всегда остается некоторая погрешность. Делая ее всё меньше, мы получаем возможность изучать свойства иррациональных чисел, исследуя аналогичные свойства ближайших к ним рациональных. Проблема в том, чтобы поставить эту идею на те рельсы, которые были бы совместимы с подходом греков к геометрии и доказательствам. Это оказалось выполнимой, но сложной задачей.

Греческая теория иррациональных чисел была сформулирована Евдоксом примерно в 370 г. до н. э. Он стремился представить любую величину, рациональную или иррациональную, в виде соотношения двух отрезков – иными словами, парными отрезками. Таким образом, дробь ²/₃ можно представить как два отрезка, один длиной в две единицы и другой в три (соотношение 2:3). 2 можно представить парой, составленной диагональю единичного квадрата и его стороной (и это будет соотношение 2:1). Обратите внимание: здесь оба отрезка могут быть построены геометрически.

Здесь главный секрет – определить, когда эти два соотношения будут равны. Когда a: b = c: d? Греки не имели такой системы счисления, которая позволила бы им сделать это простым делением длины одного отрезка на длину другого, и вынуждены были сравнивать a: b с c: d. А Евдокс предложил громоздкий, но точный способ сравнения, укладывающийся в условности греческой геометрии. Идея была в том, чтобы сранивать целочисленные произведения ma и nc. Этого можно было достичь, соединяя m копий а непрерывной цепью и точно так же n копий b, а затем использовать те же множители m и n для сравнения mb и nd. Евдокс рассуждал: если соотношения a: b и c: d не равны, мы можем подобрать m и n так, чтобы увеличить разницу до такой степени, что ma > nc, но mb < nd. Действительно, так мы можем установить равенство соотношений.

Равны ли соотношения a: b и c: d?

Такое определение требует специальных навыков, зато прекрасно вписывается в ограниченные возможности греческой геометрии. Так или иначе, оно работает; более того, оно позволило греческим геометрам взять теоремы, легко доказуемые с помощью рациональных отношений, чтобы расширить их действие до иррациональных.

Часто они использовали так называемый метод исчерпывания (или, иначе, истощения), в котором некоторые видят предка современного метода пределов и интегрального исчисления. Этим методом они доказали, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса. Доказательство основывалось на простом факте, открытом Евклидом: площади двух подобных многоугольников соотносятся в той же пропорции, что и квадраты их соответствующих сторон. Круг представлял проблему: он не был многоугольником. Тогда греки построили две последовательности многоугольников: одну помещавшуюся внутри круга, а вторую – снаружи. Каждый следующий многоугольник всё ближе подходит к кругу, и из метода исчерпывания, доведенного до совершенства Евдоксом, следует, что площади самых близких к кругу многоугольников стремятся к его площади и в итоге совпадут с ней.

Евклид

Самым известным греческим геометром, хотя, возможно, и не самым талантливым математиком, считается Евклид Александрийский. Он внес огромный вклад в историю науки, собрав труды предшественников и сведя их воедино, и его «Начала» – шедевр всех времен и народов. Евклид создал не меньше десяти трудов по математике, из которых до нас дошло только пять, и те в поздних копиях, в виде фрагментов. До наших дней не дожил ни один подлинный документ из Древней Греции. Пять имеющихся текстов Евклида называются «Начала», «О делении», «Данные», «Явления» и «Оптика».

«Начала» считаются основным трудом Евклида, который окончательно утвердил разделение геометрии на двумерную (планиметрию) и трехмерную (стереометрию). «О делении» и «Данные» содержат разные дополнения и комментарии в части геометрии. «Явления» посвящены астрономии, сферической геометрии и исследованию геометрических фигур на поверхности сферы. «Оптика» также относится к этой области и может считаться первой попыткой исследования геометрии перспективы – способности человеческого глаза преобразовать трехмерное изображение в двумерную картинку.

Пожалуй, лучшим трудом Евклида можно считать исследование логики пространственных отношений. Если форма имеет определенные свойства, логично, что они определяют и другие ее характеристики. Например, если у треугольника равны все три стороны, т. е. он равносторонний, то должны быть равны и все три его угла. Такой вид утверждений, когда делается допущение, а потом приводится его логическое следствие, называется теоремой. Здесь это теорема о свойствах равностороннего треугольника. Менее интуитивно понятна, зато более известна теорема Пифагора.

«Начала» состоят из 13 книг, выстроенных в логической последовательности. В них обсуждаются геометрия плоскости (планиметрия) и некоторые аспекты геометрии пространства (стереометрии). Важный момент – доказательство существования пяти геометрически правильных многогранников: тетраэдра, гексаэдра (попросту куба), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра. Основные фигуры планиметрии – линия и круг, часто встречающиеся в разных сочетаниях: например, треугольник – сочетание трех прямых линий. В стереометрии мы имеем дело с плоскостями, цилиндрами и сферами.

Теорема Пифагора: если треугольник прямоугольный, площадь большого квадрата А равна сумме площадей двух других, В и С

Для современных математиков представляет интерес не столько содержание трудов Евклида, сколько их логическая структура. В отличие от предшественников, он не просто принимает известную теорему как истину. Он ее доказывает.

Что значит доказать теорему? Рассказать своего рода математическую историю, где каждый следующий шаг – логическое следствие предыдущих. Каждое очередное утверждение должно быть подкреплено отсылкой к предыдущим и быть выводом из них. Евклид понимал, что этот процесс не может идти вглубь до бесконечности: он должен с чего-то начинаться, и начальное утверждение не требует доказательств: иначе пришлось бы начинать действия с чего-то еще.

Чтобы запустить процесс, Евклид составил несколько основных определений: четких, ясных утверждений для таких основных «технических» понятий, как линия или круг, по сути очевидных. Типичный пример такого определения: тупым называется угол больше прямого.

Эти определения предоставили терминологию, необходимую для формулировки не требующих доказательств утверждений, которые Евклид разделил на два вида: общие утверждения и постулаты. Типичное общее утверждение: объекты, равные одному и тому же, равны и между собой. А типичный постулат: все прямые углы равны между собой.

Мы уже объединили оба эти типа утверждений в один и называем их аксиомами. Математические аксиомы – исходные утверждения, не требующие доказательств. Мы считаем, что аксиомы – как правила игры, и верим, что они всегда выполняются. Мы уже не задаемся вопросом, верны ли эти правила, – мы уже не думаем, что эта игра единственная в своем роде. Всякий, кто собирается участвовать в какой-то конкретной игре, должен соблюдать ее правила; иначе он волен выбрать другую, но в ней правила первой не будут работать.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Правильный многогранник, или платоново тело, – выпуклый многогранник, который состоит из равных граней в виде правильных многоугольников и имеет равное число ребер, выходящих из каждой вершины. Пифагорейцы описывали пять таких правильных многогранников.

Пять платоновых тел

• Тетраэдр образован четырьмя правильными треугольниками.

• Куб (гексаэдр) образован шестью квадратами.

• Октаэдр образован восемью правильными треугольниками.

• Додекаэдр образован 12 правильными пятиугольниками.

• Икосаэдр образован 20 правильными треугольниками.

Их связывали с четырьмя стихиями Античности: землей, воздухом, огнем и водой – и с пятым элементом – квинтэссенцией.

Во времена Евклида и позже, почти 2000 лет, математикам такое не могло и в голову прийти. Практически все относились к аксиомам как к самоочевидным истинам, чью незыблемость никто не посмел бы оспорить. Евклид недаром приложил все свои таланты, чтобы сделать аксиомы именно такими, – и почти преуспел. Однако одна – аксиома параллельности – оказалась особенно сложной и не такой уж очевидной. Многие ученые пытались вывести ее из более простых общих понятий. Позже мы увидим, к каким поразительным открытиям привели эти попытки.

Опираясь на эти простые утверждения, «Начала» обеспечивали доказательства всё более сложных геометрических теорем. Например, в книге I, теореме 5 доказывается, что углы у основания равнобедренного треугольника (у которого две стороны одинаковой длины) равны. Эта теорема была известна целому поколению викторианских школьников как pons asinorum, или «мост ослов»: чертеж, используемый в доказательстве Евклида, напоминал мост. Вдобавок это был первый серьезный камень преткновения для школяров, которые пытались зазубрить теорему, а не понять ее. В книге I, теореме 32 доказано, что сумма углов треугольника на плоскости равна 180°. В книге I, теореме 47 сформулирована теорема Пифагора.

Евклид выводил каждую свою теорему из уже доказанных теорем и разных аксиом. Он выстроил башню логики, которая тянулась всё выше, опираясь на фундамент из аксиом и используя логические выводы в качестве строительного раствора, скреплявшего кирпичи.

Сегодня нас уже не до конца удовлетворяет логика Евклида, потому что в ней есть множество прорех. Евклид слишком многие вещи принимает как данность, в наше время его список аксиом не считается полным. Например, кажется очевидным, что если линия проходит через какую-либо точку внутри круга, то она должна где-то пересекать круг, если продлить ее до нужной длины. Да, это очевидно, если вы нарисуете чертеж, но есть примеры, показывающие, что это вовсе не следует из аксиом Евклида. Евклид был выдающимся ученым, но слишком убежденным в том, что свойства, явно очевидные на чертежах, не нуждаются ни в доказательстве, ни в аксиоматике.

Всё гораздо серьезнее, чем кажется на первый взгляд. Есть немало известных примеров ошибочных суждений, ставших следствием мелких ошибок на изображении. Одно из них – «доказательство», что всякий треугольник имеет две равные стороны.

ЕВКЛИД АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ 325–265 гг. до н. э.

Евклид известен благодаря своему труду по геометрии «Начала» – выдающемуся и основополагающему тексту в преподавании математики на протяжении 2000 лет.

О жизни Евклида известно очень мало. Он преподавал в Александрии. Примерно в 45 г. до н. э. греческий философ Прокл писал: «Евклид ‹…› жил во времена Птолемея Первого ‹…› потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает о Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели “Начала”; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии. Значит, Евклид был старше платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена ‹…› он был поклонником Платона, исповедовал его философию и в знак этого в своих “Началах” назвал правильные многогранники платоновыми телами, составляющими основу Вселенной».

Золотое сечение

Книга V «Начал» уводит нас в новом и неизведанном направлении от книг с первой по четвертую. Она непохожа на традиционную геометрию и, по сути, кажется бессмысленным набором слов. Как, например, понимать утверждение: «Если одни величины равно кратны по отдельности другим величинам, то и все первые совместно кратны всем вторым» (предложение 1 книги V)?

И дело не в изложении (которое я упростил). Доказательство ясно показывает нам, что имел в виду Евклид. Английский математик XIX в. Август де Морган изложил это понятным языком в своей книге по геометрии: «Десять футов десять дюймов в десять раз больше, чем один фут и один дюйм».

Чего же добивался Евклид? Пытался придать банальности вид теоремы? Или загадочной глупости? Вовсе нет. Для нас это темная материя, но она подводит к самой важной части «Начал» – общей теории отношений, построенной Евдоксом Книдским. Современные математики предпочитают работать с числами. Нам это привычнее, поэтому я часто буду переводить идеи древних греков на этот язык.

Евклид не избежал трудностей при работе с иррациональными числами. Кульминацией «Начал» – и, возможно, их главной темой – стало доказательство существования пяти правильных многогранников: тетраэдра, куба (гексаэдра), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра. Евклид доказывает два допущения: больше не существует других правильных многогранников; эти пять действительно существуют: их можно построить геометрически, и их грани совпадают совершенно точно.

Два правильных многогранника, додекаэдр и икосаэдр, включают пятиугольники: у додекаэдра грани имеют форму пятиугольников, а каждые пять граней икосаэдра, собранные вокруг общего угла, образуют пятиугольник. Правильные пятиугольники связаны с тем, что Евклид называет «крайним и средним отношением». На отрезке АВ точка С располагается так, что отношение AB: АС равно отношению AC: BC. Меньшая часть отрезка относится к большей, как большая ко всему отрезку. Если вы нарисуете пятиугольник и впишете в него пятиконечную звезду, стороны последней будут относиться к сторонам пятиугольника точно так же.

В наши дни это отношение известно как золотое сечение. Оно равно (1 + 5) / 2, и это иррациональное число. Оно приблизительно равно 1,618. Древние греки смогли доказать, что оно иррационально, с помощью геометрических свойств пятиугольника. Значит, и Евклид, и его предшественники отдавали себе отчет в том, что для полного понимания свойств додекаэдра и икосаэдра им придется иметь дело с иррациональными числами.

Отношение диагоналей к сторонам образует золотое сечение

Крайнее и среднее отношение (золотое сечение). Длина верхнего отрезка относится к длине среднего так же, как длина среднего – к нижнему

Таков традиционный взгляд, изложенный в «Началах». Дэвид Фоулер в своей книге «Математики Академии Платона» («The Mathematics of Plato’s Academy») утверждает, что это может толковаться иначе. Возможно, главной темой труда Евклида была теория иррациональных чисел, а рассуждения о правильных многогранниках – второстепенное приложение к ней. Действительно, мы можем интерпретировать текст Евклида по-разному, но одна особенность «Начал» говорит в пользу этой альтернативной теории. Основная часть теории чисел не нуждается в классификации правильных многогранников. Зачем же тогда Евклид включил их в свой труд? И только их прямая связь с теорией иррациональных чисел делает понятным такой ход.

Архимед

Величайшим из древних математиков считается Архимед. Он сделал важнейший вклад в геометрию, был первопроходцем в деле приложения математики ко всем явлениям мира и непревзойденным инженером. Но для математиков он будет памятен прежде всего исследованиями формы круга, шара и цилиндра. Для нас они связаны с числом (пи), приблизительно равным 3,14159. Конечно, греки не работали с напрямую: они представляли его геометрически, как отношение длины окружности к диаметру.

Ранние культуры уже имели представление о том, что длина окружности всегда одинаково соотносится с ее диаметром и что она длиннее примерно в три раза, может, чуть больше. Вавилоняне считали это число равным 3 ¹/₈. Известное нам по школе знаменитое приближение для числа  – «архимедово число», равное 3 ¹/₇, – ближе к истине, но тоже неточное. Архимед пошел намного дальше, в духе Евдокса подведя твердые доказательства под свои результаты. Насколько смогли установить древние греки, отношение между длиной окружности и диаметром должно быть иррациональным числом. И сейчас мы точно знаем, что так оно и есть, хотя с доказательством пришлось подождать до 1761 г., когда его открыл Иоганн Генрих Ламберт. Но как бы то ни было, Архимед, не сумев доказать, что  – рациональное число, вынужден был принять, что оно иррациональное.

Греческая геометрия лучше всего работает с многоугольниками – фигурами, образованными прямыми линиями. Но окружность – кривая, и Архимед подбирается к ней с помощью аппроксимирующих многоугольников. Чтобы вычислить , он сравнил длину круга с периметрами многоугольников двух последовательностей: в одной фигуры были вписаны в круг, в другой – описаны вокруг него. Периметр прямоугольника в круге должен был быть меньше длины окружности, а периметр наружного – больше. Для простоты Архимед брал правильные многоугольники, деля их стороны пополам, начиная с шестиугольника и получая соответственно 12 сторон, 24, 48 и т. д. Он остановился на 96. Его вычисления дали результат 3 ¹⁰/₇₁ < < 3 ¹/₇, т. е. значение оказалось между 3,1408 и 3,1429.

Архимедовы исследования шара заслуживают особого внимания: мы не только знакомы с его строгим докзательством, но и знаем, как оно было открыто, – и уж в этой истории никакой строгости нет. Обоснование приводится в его книге «О шаре и цилиндре». Он доказывает, что объем шара равен двум третям от объема описанного около него цилиндра, а площадь поверхности шара равна площади боковой поверхности этого цилиндра. Говоря современным языком, Архимед доказал, что объем шара равен ⁴/₃ r³, где r – радиус; а площадь его поверхности равна 4r². Эти формулы используются и по сей день.

В доказательствах Архимед использовал метод исчерпывания. Он имеет важное ограничение: вам необходимо знать результат заранее, чтобы повысить свои шансы доказать его. Много веков ученые не могли понять, как Архимеду удалось это узнать. Но в 1906 г. голландский ученый Йохан Гейберг наткнулся на пергамент XIII в. с записанными на нем псалмами и обнаружил под ними более ранние стертые записи. Оказалось, это труды Архимеда, причем некоторые из них были неизвестны. Такие документы (записи, затертые на пергаменте ради новых текстов) называются палимпсестами. (Поразительно, но этот же манускрипт содержит еще две утраченные работы древних авторов.) Одна из работ Архимеда, «Послание к Эратосфену о методе» (книга «Метод механических теорем»), объясняет, как угадать объем шара. Идея в том, чтобы нарезать фигуру на сколь угодно тонкие слои и поместить их на одном конце рычага, а на другом – такие же слои цилиндра и конуса, чьи объемы Архимед уже умел вычислять, и взвесить. По закону равновесия рычага мы найдем требуемое значение объема шара. Сам пергамент был приобретен частным лицом за 2 млн долл. в 1998 г.

АРХИМЕД СИРАКУЗСКИЙ 287–212 гг. до н. э.

Архимед родился в греческих Сиракузах в семье астронома Фидия. Он побывал в Египте, где предположительно изобрел архимедов винт, который вплоть до наших дней широко используется для подъема воды из Нила в ирригационные каналы. Предположительно он побывал и в Александрии у Евклида; по крайней мере, он точно вел переписку с александрийскими математиками.

Его математические способности были непревзойденными и обширными. Он использовал их в полном объеме и построил огромные боевые машины, пользуясь своим законом рычага, чтобы забрасывать врагов тяжелыми обломками камней. Его машины оказались незаменимы во время обороны Сиракуз, осажденных римлянами в 212 г. до н. э. Он даже сумел использовать оптическую геометрию отраженного света, чтобы поджечь атаковавшие город с моря римские корабли.

До наших дней сохранились его работы «Квадратура параболы», «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах», «О равновесии плоских фигур», «О плавающих телах», «Измерение круга», «Псаммит» («Исчисление песчинок»), а также «Стомахион» и «Послание к Эратосфену о методе», обнаруженные в 1906 г. Йоханом Гейбергом.

Архимедов винт

С БОЛЬШОЙ ТОЧНОСТЬЮ

С помощью более изощренных методов значение несколько раз определялось с точностью до миллиардных долей. Эти вычисления интересны использованными методами, в качестве теста для компьютеров, а также из научного любопытства, хотя их результат не имеет особого значения. На практике обычно достаточно пяти-шести цифр после запятой. Последним рекордом было число с 1,24 трлн цифр, вычисленное Ясумаса Канадой и командой из девяти сотрудников в декабре 2002 г.[1] Работа длилась 600 часов и проводилась на суперкомпьютере фирмы Hitachi.

Проблемы древних греков

Греческая геометрия имела ограничения; некоторые из них удалось преодолеть благодаря применению новых методов и концепций. Евклид фактически ограничил геометрические чертежи теми, что можно было выполнить с помощью линейки без делений и пары ножек циркуля (здесь акцент на слове «циркуль»: слово «пара» используется так же, как в выражении «резать бумагу парой ножниц», так что не будем излишне педантичны). Иногда говорят, что он сделал это обязательным требованием, но оно касалось его чертежей, а не общих правил. С помощью дополнительных инструментов можно было построить и иные фигуры – идеальные в той же степени, в какой может быть идеальным круг, начерченный циркулем.

Шар и описанный вокруг него цилиндр

Например, Архимед знал, что вы можете сделать трисекцию угла при помощи линейки с двумя зафиксированными метками. Греки называли этот метод построения «невсис». Теперь нам известно (судя по всему, это уже предполагали греки), что точная трисекция угла при помощи линейки и циркуля невозможна, а значит, вклад Архимеда расширил границы возможного. Еще две знаменитые проблемы того времени – удвоение куба (построение тела, чей объем вдвое больше объема исходного) и квадратура круга – построение квадрата, равновеликого площади заданного круга. Их также невозможно решить только при помощи циркуля и линейки.

Дальнейшее расширение разрешенных операций в геометрии – введение нового вида кривых, конических сечений, – отразилось в арабских работах о кубических уравнениях, созданных около 800 г. н. э., и широко применялось в механике и астрономии. Эти кривые, что крайне важно для истории математики, получаются при пересечении плоскости с двойным конусом.

Палимпсест с трудами Архимеда

Конические сечения

Сегодня мы знаем три главных типа таких конических сечений.

• Эллипс – замкнутая овальная кривая – возникает, когда плоскость пересекает только одну половину конуса. Окружность – разновидность эллипса.

• Гипербола – кривая с двумя бесконечно длинными ветвями – получается, когда плоскость пересекает обе половины конуса.

• Парабола – переходная кривая между эллипсом и гиперболой, параллельная воображаемой линии, проходящей через вершину конуса и лежащей на его поверхности. Имеет только одну ветвь, уходящую в бесконечность.

Конические сечения подробно изучал Аполлоний Пергский, перебравшийся из Перги в Малой Азии в Александрию, чтобы учиться у последователей Евклида. Его главный труд, «Конические сечения», написан около 230 г. до н. э. и содержит 487 теорем. Евклид и Архимед лишь косвенно изучили некоторые свойства конусов, но пришлось написать целую книгу, чтобы собрать все теоремы Аполлония. Одна из важнейших его идей заслуживает особого внимания. Это упоминание о фокусах эллипса (либо гиперболы). Фокусы – две особые точки, характерные для этих двух фигур. Они имеют много свойств, но для нас важно одно: сумма расстояний от любой точки эллипса до обоих его фокусов есть величина постоянная (равная удвоенному большому диаметру эллипса). Фокусы гиперболы имеют то же свойство, но здесь этой же постоянной величине соответствует разница между аналогичными расстояниями.

ЧТО ГЕОМЕТРИЯ ДАЛА ИМ

Примерно в 250 г. до н. э. Эратосфен Киренский использовал геометрию для определения размеров Земли. Он заметил, что в полдень летнего солнцестояния светило находится практически прямо над Сиеной (нынешним Асуаном), поскольку его лучи падают прямо в вертикальную штольню колодца. В тот же день года тень от высокой колонны в Александрии показывает, что солнце отклонилось на ¹/₅₀ от полной окружности (около 7,2) от вертикали. Греки знали, что Земля круглая, а Александрия расположена практически на одном меридиане с Сиеной, и, согласно геометрии, дуга окружности сферы совпадет с расстоянием от Александрии до Сиены и равна 0,02 окружности Земли.

Эратосфен знал, что верблюду нужно 50 дней на переход от Александрии до Сиены, если он будет проходить каждый день по 100 стадий. Значит, расстояние от Александрии равно 5000 стадий, а длина окружности Земли равна 250 тыс. стадий. К несчастью, мы не можем точно сказать, какова была длина стадии у древних грекв. Наиболее вероятной величиной считается 157 м, т. е. окружность Земли по данным Эрастофена равна 39 250 км. Современные данные – 39 840 км.

Как Эратосфен измерил окружность Земли

С помощью конусов греки производили трисекцию угла и удвоение куба. При помощи других специальных кривых, особенно квадратрисы, они также могли найти квадратуру круга.

Древние греки внесли две основные идеи в развитие нашей цивилизации. Первая – систематизированный подход к геометрии. Используя ее как инструмент исследований, греки открыли форму и размеры нашей планеты, ее взаимодействие с Солнцем и Луной и даже сложнейшие связи с остальной Солнечной системой. Они использовали геометрию, прокладывая два туннеля с обоих концов так, чтобы они точно встречались посередине, тем самым вдвое сокращая время строительства. Они умели строить гигантские и мощные механизмы, исходя из таких простейших принципов, как закон рычага, и в мирных, и в военных целях. Они использовали геометрию для строительства кораблей и в архитектуре. Такие их постройки, как Парфенон, до сих пор показывают, что математика и красота неразрывны. Поразительная элегантность Парфенона – результат искусных подсчетов, использованных архитекторами для преодоления ограничений визуального восприятия и избавления от ошибок в самом основании, на котором построен храм.

Второй важный вклад древних греков – систематическое использование логических заключений для подтверждения формулы: то, что утверждается, может быть доказано. Эта философия породила логическую аргументацию, но свою самую убедительную форму она приобрела в геометрии Евклида и его последователей. Дальнейшее развитие математики было бы невозможным без этого прочного логического фундамента.

Новый стадион Уэмбли. В постройке использованы принципы, открытые в Древней Греции и успешно развитые за много веков

ГИПАТИЯ АЛЕКСАНДРИЙСКАЯ Около 370–415 гг. н. э.

Гипатия – первая женщина-математик, о которой упоминается в письменных источниках. Она была дочерью Теона Александрийского, тоже математика, и, скорее всего, училась у него. К 400 г. н. э. она возглавила александрийскую школу неоплатонистов и преподавала там философию и математику. Многие исторические источники подтверждают ее учительский талант.

Мы не знаем, насколько талантлива была Гипатия как математик, но она помогла Теону написать комментарии к «Альмагесту» Птолемея, а также участвовала в подготовке новой редакции «Начал», на которой основаны все последующие издания этой книги. Ее перу принадлежат комментарии к «Арифметике» Диофанта и «Коникам» Аполлония Пергского.

Среди слушателей Гипатии оказалось много последователей новой тогда религии – христианства; в их числе был и Синезий Киренский. Сохранились некоторые его письма к Гипатии с искренними похвалами ее способностям. К несчастью, многие ранние христиане воспринимали философию и науку, преподаваемые Гипатией, как язычество и были недовольны ее влиянием на учеников. В 412 г. у недавно избранного патриарха Александрии Кирилла возникли разногласия с римским префектом Орестом. Гипатию с Орестом связывала тесная дружба, а ее преподавательский и ораторский дар расценили как прямую угрозу христианству. Ученую, обвиненную в разжигании охватившей Александрию смуты, растерзала толпа религиозных фанатиков. Но некоторые источники утверждают, что Гипатия слишком увлеклась политикой и сама навлекла на себя гнев толпы.

Ее гибель была ужасной: женщину буквально расчленили самым варварским способом, используя осколки черепицы (по некоторым источникам – раковины устриц). Затем ее останки сожгли. Возможно, Гипатию обвинили в колдовстве, и тогда это первая публичная казнь ведьмы толпой фанатичных христиан, ведь по закону Константина II ведьму полагалось казнить, «разрывая кости железными крюками».

Оба эти вклада не утратили значения и по сей день. Современное инженерное искусство – компьютеризированное проектирование и производство, например, – невозможно без солидной базы геометрических принципов, открытых в Древней Греции. Любое здание строится так, чтобы не развалиться под своим весом, а многие даже способны выстоять при землетрясениях. Кирпичная башня, подвесной мост, футбольное поле – очередная дань геометрии древних греков.

И рациональное мышление, и логические аргументы по-прежнему существуют. Наш мир стал слишком сложным и потенциально слишком опасным, чтобы принимать решения скорее исходя из своих убеждений, чем из реального положения дел. И научный метод был выстроен так тщательно именно для того, чтобы преодолеть глубоко сидящее в нас желание верить, будто то, что мы якобы знаем и что нас устраивает, истинно. В науке особое внимание как раз направлено на то, чтобы доказать ошибочность таких глубинных убеждений. И только те идеи, что устояли перед самыми жестокими попытками их развенчать, могут быть признаны близкими к правде.

ЧТО ГЕОМЕТРИЯ ДАЕТ НАМ

Формула Архимеда для вычисления объема шара действует и сейчас. Одно из приложений, требующих особенно точного значения , – стандарты мер и весов, используемые всеми учеными. Например, многие годы метр определялся как длина стержня из определенного вида металла при определенной температуре.

Все больше современных единиц измерения сейчас описывают в таких величинах, как, например, время, необходимое атому определенного элемента для совершения какого-то числа колебаний. Но многие единицы измерений по-прежнему основаны на физических объектах, и масса тела – одна из них. Сегодня один килограмм можно определить как массу одного особого шара из чистого кремния, хранящегося в Париже. Шар был обработан с необычайно высокой точностью. Плотность кремния также была измерена очень точно. А формула Архимеда необходима для вычисления объема шара, который связывает плотность с массой.

Принцип трассировки луча и получение отражения

Еще один пример современного применения геометрии – компьютерная графика. Кинематограф всё шире использует возможности сгенерированного компьютером изображения (computer-generated is, CGI), и часто это необходимо, чтобы включить в картинку отражения – в зеркале, бокале вина, любой поверхности, отражающей свет. Без них теряется реалистичность. Самый эффективный способ этого добиться – трассировать луч. Когда мы смотрим на сцену под каким-то определенным углом, наш глаз реагирует на луч света, отраженный от объекта на сцене и попавший в глаз с этого направления. Мы можем отследить путь этого луча в обратном направлении. От любой отражающей поверхности луч отскакивает, так что исходный и отраженный угол одинаковы (см. рис. выше). Перевод этого геометрического факта в численные выражения позволяет компьютеру трассировать луч по обратному пути, сколько бы точек отражения ни потребовалось ему, прежде чем он встретит на своем пути что-то непрозрачное (здесь может быть несколько точек – если, например, поставить перед зеркалом бокал вина).

Мы так привыкли к нашей системе счисления с использованием десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, что для некоторых настоящим потрясением становится существование иных способов изображения числа. Но даже в наши дни во многих культурах – арабской, китайской, корейской – для десяти цифр применяют другие символы, хотя все комбинируют их для обозначения больших чисел при помощи метода позиционирования (сотни, десятки, единицы). Но разница в обозначениях может быть еще больше. Десять – вовсе не такое уж незаменимое число. Да, оно отражает число пальцев на обеих руках, удобно для счета, но если бы у нас было по семь пальцев или подвенадцать, то очень схожие системы работали бы ничуть не хуже, а то и лучше.

Римские цифры

На Западе многие знакомы по крайней мере с одной альтернативной системой – римскими цифрами. Например, год 2007 в ней выглядит как MMVII. Многие из нас смогут, если им напомнить, назвать по меньшей мере два способа изображения чисел, которые не являются целыми: обычные дроби, как ³/₄, и десятичные, например 0,75. Но есть еще один способ цифровой записи, используемый в калькуляторах: экспоненциальная запись для изображения сколь угодно больших и сколь угодно малых чисел, например 5 10⁹ для пяти миллиардов (часто в виде выражения 5Е9 на экране калькулятора) или 5 10^–6 для пяти миллионных.

Эти системы символов развивались тысячелетиями, и в культурах появлялись самые разные их альтернативы. Мы уже упоминали о шестидесятеричной системе вавилонян (которая, естественно, удовлетворила бы любое существо с 60 пальцами) и более простые, но ограниченные египетские символы со странным делением на доли. Позже в Центральной Америке майя изобрели и использовали двадцатеричную систему. Человечество остановилось на современной символике относительно недавно, и она также прошла через фильтр из традиций и условностей. И хотя математика – наука концепций, а не символов, удачный выбор символов для нее очень важен.

Греческие цифры

Историю символов для изображения цифр продолжили древние греки. Греческая геометрия стоит на порядок выше вавилонской, а вот арифметика – насколько мы можем судить по сохранившимся источникам – нет. Греки даже сделали большой шаг назад: они не воспользовались возможностями позиционной системы счисления. Они предпочли особые символы для чисел, кратных 10 или 100, так что, например, символ для 50 имел мало общего с изображениями 5 или 500.

Первые свидетельства записи чисел в Греции датируются примерно 1100 г. до н. э. Около 600 г. до н. э. они изменились и к 450 г. до н. э. скорректировались еще раз с принятием аттической системы счисления, немного похожей на римскую. В ней использовались символы I, II, III и IIII для чисел 1, 2, 3 и 4. Для числа 5 греки взяли заглавную «пи» (), возможно потому, что это первая буква в слове «пента» («пять»), 10 изображалось как , первая буква в слове «дека» («десять»), 100 – как , первая буква в «гекатон» («сотня»), 1000 – как , первая буква «хилиои» («тысяча»), 10 000 – как , первая буква «мюриой» («мириада».). Позже заменили на . Итак, число 2178, например, было бы записано как III.

Пифагорейцы сделали числа основой своей философии, но мы так и не знаем, как они их изображали. Их одержимость квадратными и треугольными числами позволяет предположить, что они обозначали числа сочетаниями точек. В период классицизма, между 600 и 300 г. до н. э., греческая система снова изменилась, и 27 разных букв их алфавита стали выражать числа от 1 до 900, как в этой таблице.

Здесь мы уже видим строчные греческие буквы, дополненные тремя дополнительными, заимствованными из финикийского алфавита: (стигма), (коппа) и (сампи).

Чтобы отличать буквы, обозначающие цифры, греки ставили над ними горизонтальную черту. Для чисел больше 999 значение их символа могло быть умножено на 1000, если перед ним поставить штрих.

Разные способы, предложенные греками, удовлетворяли потребность записывать результаты подсчетов, но не были приспособлены для выполнения самих расчетов (попробуйте, например, представить себе умножение на ). Возможно, процесс подсчета был заменен использованием абака или просто камешками в песке, особенно в ранние времена.

Дроби греки записывали несколькими путями. Первый – числитель, за ним один штрих (), а за ним знаменатель с двумя штрихами (). Часто знаменатель записывали дважды. Итак, ²¹/₄₇ будет выглядеть как:

,

где равно 21, а  – 47. Также они использовали дроби, похожие на египетские, где имелся особый символ для ¹/₂. Некоторые греческие астрономы, особенно Птолемей, использовали шестидесятиричную вавилонскую систему для точности, но греческие символы для самой записи чисел. Это вовсе не похоже на то, чем мы пользуемся сегодня. Фактически это полный хаос.

Индийские цифры

Символы, которые используются сейчас в десятеричной системе, часто называют индийско-арабскими, потому что они происходят из Индии, откуда их позаимствовали арабы и позже усовершенствовали.

Самые ранние индийские цифры больше всего напоминают символы древних египтян. Например, в текстах кхароштхи, датируемых 400 г. до н. э. – 100 г. н. э., встречаются такие обозначения чисел от 1 до 8:

| || ||| X |X ||X |||X XX

Страницы: 12345678 » ... »»