Вселенная в зеркале заднего вида. Был ли Бог правшой? Или скрытая симметрия, антивещество и бозон Хиггса Голдберг Дэйв

Представьте себе, что вы с друзьями решили основать Лигу физиков-супергероев — в такое иногда играют детишки. Правда, обычно это детишки-домоседы. Кто окажется в списке? Если в вас не взыграет бес противоречия, начнете вы, скорее всего, с Эйнштейна. Так все делают[48]. Возможно, вы назовете Макса Планка, Вернера Гейзенберга, Эрвина Шредингера или Вольфганга Паули — крупных игроков, в честь которых называли всякое разное.

Человек излишне чувствительный (например, я) на этом месте утратит благоразумие и поднимет крик, что большая часть вашего списка, а то и весь он целиком состоит исключительно из белых мужчин, причем покойников. После нескольких минут нервного мычания и хмыканья вы наконец назовете Мари Кюри, которая, как вам помнится, открыла радиоактивность и первой в истории дважды удостоилась Нобелевской премии — после нее этот рекорд держался полвека. Между прочим, рано вздыхать с облегчением: все равно стыдно, что вы вызвали ее со скамейки запасных, с нее надо было начинать.

Однако эта глава не о ней — и это тоже хорошо, поскольку я и сам из домоседов и поэтому исчерпал свой словарь футбольных терминов. Ну или баскетбольных. Неважно.

Эта глава — и, честно говоря, все разговоры о симметрии как таковой — посвящена моему любимому математику Амалии Эмми Нётер. Большинство поклонников популярной физики и даже студентов-физиков никогда не слышали об этом титане нашей научной эры. И это никуда не годится, поскольку за весь XX век лишь считаные единицы внесли такой колоссальный вклад в понимание того, как на самом деле устроена вселенная. Эмми Нётер и ее главное открытие — теорема Нётер — раз и навсегда объяснили, каковы роль и значение симметрии.

Эмми Нётер грозит подорвать систему академического образования

История Эмми Нётер во многом повторяет историю Эйнштейна. Оба родились в конце XIX века в еврейских семьях на территории нынешней Германии. Он в Ульме, в Вюртемберге, она — в Эрлангене в Баварии. Отец Эмми был выдающимся математиком и работал в Эрлангенском университете, и она решила пойти по его стопам.

Это была задача не из простых. В немецкие университеты в самом начале XX века девушек практически не брали — не разрешали ни присутствовать на занятиях, причем эту политику горячо поддерживало большинство преподавателей, ни даже держать экзамены экстерном. В 1898 году факультетский совет в Эрлангене даже вынес постановление, что допускать на занятие женщин — это подрыв всей системы академического образования. Гораздо проще было пойти по пути, который открылся перед Эмми после окончания школы: у девушки были прекрасные способности к языкам, и она вполне могла преподавать английский и французский.

Однако Нётер решила добиться того, чтобы пройти полный курс университетской математики вольнослушательницей, а в 1903 году сумела сдать университетские экзамены в нюрнбергской гимназии и была официально зачислена в Эрлангенский университет: туда как раз разрешили брать девушек. Ее научным руководителем был Пауль Гордан, близкий сотрудник ее отца Макса Нётера. Подобно многим другим чистым математикам той эпохи, Гордан занимался разработками в новооткрытой области квантовой механики и открыл коэффициенты Клебша-Гордана, при помощи которых описывают спин и орбитальное движение электрона.

В 1908 Нётер получила степень доктора философии, после чего ей пришлось изрядно потрудиться, чтобы найти себе официальную должность в академической среде — и это несмотря на очевидные таланты. Как известно, с подобными же трудностями столкнулся и Эйнштейн — и в результате прозябал в швейцарском патентном бюро, пока не прославился на весь мир в 1905 году, который так и назвали — «Чудесный год». Между тем Нётер провела следующие восемь лет на должности научного сотрудника без жалованья при Эрлангенском университете и время от времени подменяла отца на лекциях.

Эмми Нётер специализировалась на математических инвариантах. Поскольку мы сталкиваемся с инвариантами впервые, а для понимания сути симметрии они очень важны, приведу простое определение — это первое определение чего-то помимо симметрии, с которым я вас здесь познакомлю.

Инвариант — это число, которое не меняется в результате преобразования.

Преобразование — это что-то вроде вращения или перемещения системы с места на место. Инварианты — это контрапункт симметрий. Симметрия описывает, какого рода преобразования можно применить к системе, не меняя ее, а инвариант — это само то, что, собственно, не меняется.

Чтобы еще сильнее вас запутать, позвольте привести пример того, что, как выясняется, не является инвариантом при определенного рода преобразованиях: это продолжительность. Возьмите за основу что-нибудь незыблемое — тиканье часов, биение сердца, вращение Земли вокруг Солнца. В том, как воспринимается течение времени, важную роль играет психология, однако на рациональном уровне большинство из нас согласны, что должна быть какая-то абсолютная мера того, сколько времени проходит между двумя событиями.

А вот и нет.

Как мы увидим в следующей главе, одно из самых странных следствий из специальной теории относительности состоит в том, что промежуток времени между двумя событиями очень даже зависит от личности того, кто его измеряет. Классический пример — пилот звездолета, летящего с околосветовой скоростью, будет стареть медленнее нормального. Поставьте ему кардиомонитор и измерьте частоту сердцебиения по пути. Если пилот летит со скоростью больше 99 % скорости света, кардиомонитор на борту звездолета покажет 100 ударов в минуту, а внешнее измерение покажет, может быть, всего два удара в минуту.

В ходе подобного измерительного эксперимента не меняется ничего, кроме точки зрения — а значения при этом получаются совсем разные. Как сказали бы профессионалы, «Продолжительность не есть инвариант состояния движения». Поскольку мы обычно перемещаемся со скоростью, которая составляет ничтожную долю скорости света, то в нормальной обстановке вообще не можем наблюдать этот эффект.

Но на самом деле инвариантных величин очень много. Например, как мы убедились, сила тяжести обратно пропорциональна квадрату расстояния между двумя телами. Однако величина этой силы совершенно не зависит от направления. Например, в Канберре вы весите ровно столько же, сколько в Канзасе.

Нётер написала об инвариантах диссертацию и изучала эту тему во время последующей работы в Эрлангене. Если вы уже сообразили, почему именно Нётер поняла, каково значение симметрий в законах физики, вы не одиноки.

В 1915 году Эйнштейн обнародовал общую теорию относительности. Не тратя лишних слов, скажу, что это была одна из самых революционных научных идей в истории человечества, которая преобразила наши представления о том, как устроены пространство, время и гравитация. Теория была немыслимо изящна и глубоко симметрична, однако никто на самом деле не понимал, на чем она держится. Выдающиеся математики Давид Гильберт и Феликс Клейн в 1915 году пригласили Нётер в Геттингенский университет, чтобы помочь выявить скрытые симметрии.

Бутылка Клейна

Нётер и Гильберт уже были знакомы. В 1903 году, после окончания обучения в качестве вольнослушательницы, Нётер год провела в Геттингене и посещала занятия у Гильберта и Клейна, а также у Карла Шварцшильда, который предложил первую рабочую модель черной дыры, и Германа Минковского, чья математика легла в основу специальной теории относительности.

В нормальных обстоятельствах специалист уровня Нётер сразу же стал бы профессором. Однако помешали сексистские предрассудки — как и в Эрлангене. Гильберт был вне себя. На заседании ученого совета он воскликнул:

Не понимаю, каким образом пол кандидата может стать доводом против приема на место приват-доцента! Мы же в университете, а не в бане!

Пришлось Гильберту и Нётер искать лазейку в правилах, и в результате Гильберт был оформлен как руководитель курса, а Нётер — как постоянный приглашенный лектор, хотя до того, чтобы платить Нётер хотя бы медный грош, дело так и не дошло. И лишь в 1922 году прусский министр науки, культуры и народного образования наделил Нётер хоть каким-то официальным титулом и назначил ей жалованье — да и тогда скудное. Есть свидетельства, что подобные лишения были связаны не только с тем, что Эмми была женщина, но и с тем, что она была еврейка, либерал и пацифист. Как писал Гильберт в некрологе Эмми Нётер:

С 1930 года, с тех пор, как я получил постоянную должность в Геттингене, я всерьез хлопотал в министерстве о лучшей должности для Эмми Нётер. Мне стыдно было занимать столь привилегированное положение рядом с ней — ведь я знал, что как математик она во многих отношениях гораздо выше меня. Успеха я не добился… Традиции, предубеждения, сторонние соображения оказались сильнее ее научных достижений и научного величия, которые к тому времени никто не отрицал.

При всем при том оказалось, что пригласить Эмми в Геттинген — просто невероятно удачная мысль. Почти сразу по приезде Нётер вывела теорему, получившую впоследствии ее имя, и к 1918 году отшлифовала ее настолько, что можно было публиковать. И именно в этот момент начинается физическая часть нашей истории.

До этого момента я просто рассказывал вам про симметрии и разбирался в следствиях из них. Наверное, вы уже подумывали, что подо всем этим должен скрываться какой-то основополагающий принцип. И оказались правы!

Без долгих слов — теорема Нётер!

Нётер обеспечила нам обобщение:

Теорема Нётер (первая). Каждой симметрии соответствует свой закон сохранения.

Растерялись? Постойте рядом и никуда не уходите. Законы сохранения для физиков — это хлеб насущный. Мы с ними уже встречались, просто так не называли. В любой реакции, какую только нам случалось открыть, положительные и отрицательные заряды всегда создаются и взаимоуничтожаются в точном соответствии. Если Большой взрыв породил электрически нейтральную вселенную — а это весьма разумное предположение, — то законы сохранения требуют, чтобы она и сейчас оставалась нейтральной.

Соотношение между законами сохранения и инвариантами совсем не очевидное. Если имеешь дело с инвариантом, то берешь систему и делаешь с ней что-нибудь — поворачиваешь оси координат, переносишь точку отсчета, двигаешь стрелки часов и показываешь, что некоторые числа — то есть как раз инварианты — при этом не меняются. А закон сохранения, со своей стороны, описывает величины, которые не меняются со временем. Например, общее количество энергии или заряд во вселенной не меняются, это сохраняющиеся величины.

Несмотря на то что в обоих описаниях есть слова «не меняются», при простом взгляде на инварианты и законы сохранения совсем не очевидно, какое отношение они имеют друг к другу.

Подсказка. Как я отметил в первой главе, между веществом и антивеществом нет никакой разницы, кроме слабого взаимодействия. Это все равно что сказать, что между веществом и антивеществом наличествует симметрия. Это С-симметрия, зарядовое сопряжение. Поэтому мы делаем вывод, что вещество и антивещество должны создаваться и уничтожаться в равных количествах. Поскольку заряды у вещества и антивещества противоположны, общий заряд во вселенной должен быть сбалансирован в каждый момент времени. Это и есть закон сохранения.

Предположение Нётер выглядит довольно просто — и чуть ли не бессодержательно — пока не вдумаешься. Концептуальная проблема для нас состоит в том, что Нётер была математик, а значит, все подробности выглядят как куча формул. А поскольку выводить эти формулы мы не будем, невредно начать с некоторых выводов — просто чтобы вы знали, что вас ждет. Итак, согласно теореме Нётер:

Инвариантность времени Закон сохранения энергии

Инвариантность пространства Закон сохранения импульса

Инвариантность вращения Закон сохранения момента импульса

Переварить это непросто. Каждая строка описывает симметрию, которую мы уже видели в реальной вселенной. Всем этим я хочу сказать, что законы физики не меняются, если перевести часы вселенной, перейти в другое место или указать в другом направлении. Стрелки означают, что если есть первое, второе неминуемо последует.

Мы сделали далеко идущие выводы из того, что законы физики, судя по всему, не меняются со временем. Это не просто предположение: у нас есть весьма надежные доказательства, в том числе и находка в деревне Окло в Габоне.

Великий вклад Нётер в физику состоит в математическом доказательстве, что пока законы физики не меняются со временем, энергия не может ни создаваться, ни уничтожаться.

Подобным же образом, если учесть, что законы физики, судя по всему, везде одинаковы, теорема Нётер говорит нам, что импульс во вселенной сохраняется. Если вы летите через глубокий космос, нельзя рассчитывать, что вы впоследствии затормозите и остановитесь — вы будете вечно дрейфовать на той же скорости. Это вам, вероятно, известно как Первый закон Ньютона.

Почему теореме Нётер уделяется так мало внимания даже среди тех, кто изучает и преподает физику — уму непостижимо. Вот как об этом пишет Ли Смолин:

Связь между симметриями и законами сохранения — одно из величайших физических открытий XX века. Однако мне кажется, что лишь немногие неспециалисты слышали и об этом открытии, и о его авторе — великом немецком математике Эмми Нётер. А ведь для физики XX века это не менее важно, чем масштабные идеи вроде невозможности преодоления скорости света.

…Я рассказываю об этом каждый раз, когда читаю лекции по введению в физику. Однако ни в одном учебнике этого уровня о Нётер ни слова. А без теоремы Нётер невозможно до конца понять, почему велосипед не падает[49].

А теперь начнется самое интересное. Сейчас мы узнаем, откуда на самом деле берутся законы физики.

Принцип Ферма

Вся эта несусветица с инвариантами, симметрией и законами сохранения на первый взгляд оторвана от жизни. Перейдем к конкретике.

Представьте себе относительно простую систему — например, рогатку, при помощи которой вы запускаете злых птичек в воздух, чтобы сшибать простенькие заслонки, где прячутся зеленые свинки. В любой момент вы можете определить силу, с которой рогатка действует на птичку, сопротивление воздуха, силу гравитации и тому подобные взаимодействия со всеми твердыми телами в окружающей среде. После чего можно вычислить скорость птички. Повторяйте эти вычисления — и дело в шляпе, вы можете предсказать движение птички!

Так работает физика в игре «Angry Birds», и если это вполне устраивает птичек, а также Ньютона и Галилея, значит, и нас устраивает.

Однако ньютонов подход к физике иногда оказывает нам медвежью услугу. Прежде всего, из него не сразу понятно, почему, собственно, определенные системы ведут себя так, а не иначе.

Позвольте задать простой вопрос: почему свет распространяется по прямой? Ньютон знал, что на это ответить. В нормальной обстановке свет распространяется по прямой, потому что на него не действуют никакие силы. Это и есть краеугольный камень Первого закона Ньютона.

Первый закон Ньютона: тело находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно, если оно не вынуждено изменить свое состояние под воздействием какой-либо силы.

В I в. до н. э. Герон Александрийский, математик и инженер, предложил иную точку зрения на движение света. Свет знает[50], куда хочет попасть. И выбирает кратчайший путь. Герон играл в эту игру с зеркалами и показал, что если отразить луч при помощи зеркала и направить его в определенную точку, то какую точку ни выберешь, кратчайшим путем окажется тот самый, по какому протянется луч света.

Так вышло, что решение Герона независимо формулирует закон отражения: угол падения равен углу отражения. Хотите проверить закон сами — возьмите вместо фотона теннисный мячик и бросайте его в стенку под каким-нибудь углом.

Шестнадцать веков спустя Пьер де Ферма[51] обобщил этот закон на движение света при любых обстоятельствах.

Принцип Ферма: Свет распространяется так, чтобы провести в пути минимальное время.

На первый взгляд это упрощенческое заявление, но на самом деле оно очень лукавое. Откуда свет, собственно, знает, как выбрать самый быстрый маршрут? Если хотите пример из реальной жизни, подойдите к бассейну с мелкого конца и суньте в воду ногу под углом. Обратите внимание, что нога словно бы сломается под поверхностью.

Голландский физик Христиан Гюйгенс дал этому феномену абсолютно ньютонианское объяснение. В воздухе свет распространяется быстрее, чем в воде. Если вы сядете и подумаете об этом, то, вероятно, даже удивитесь. Разве свет не всегда распространяется со скоростью с? На самом деле скорость света — это скорость света в вакууме. А когда начинаешь распространять волны в воде, все замедляется. Грубо говоря, чем плотнее среда, тем медленнее распространяется свет.

Гюйгенс считал, что свет — это последовательность распространяющихся волн. Так и есть. Принцип Гюйгенса гласит, что на каждом шаге распространения свет можно представлять себе как череду расходящихся круглых волн. По ту сторону от поверхности, где вода, волны распространяются медленнее и в результате интерферируют в точности так, что нам кажется, будто свет сгибается вниз.

Представить себе свет как волну почему-то труднее, чем, скажем, звук. Звуковые волны преспокойно забираются за углы, а вот видеть, что за углом, невозможно.

Чем мучиться и воображать картину интерференции бесчисленных круглых волн, распространяющихся на стыке двух сред, давайте лучше представим это себе на наглядной аналогии — куда проще и куда сентиментальнее.

Представьте себе эскадрон солдат, которые идеальным строем шагают по пляжу к океану. Передний ряд расположен под углом к кромке воды, поэтому один из солдат вступит в воду первым, за ним второй, третий — и в конце концов в воду войдет последний в ряду. Естественно, такое же повторится и со всеми остальными рядами. Идти по воде получается гораздо медленнее, чем по пляжу, поэтому те солдаты, которые ступят в воду первыми, заметно затормозятся. Те, кто войдет в воду сразу после этого, едва не налетят на них. В процессе угол, под которым ряды расположены к кромке воды, станет гораздо острее.

Свет на границе сред

Принцип Ферма дает нам другой подход, который не требует рассуждений о том, что происходит в каждый отдельно взятый миг как с лучом света, так и с солдатами, представьте себе, что на берегу сидит мускулистый красавец — прямо как Дэвид Хассельхофф в «Спасателях Малибу». Он видит пловца, который борется с волнами. Какой маршрут ему выбрать? Опять же по берегу он может бежать гораздо быстрее, чем в воде. Значит, ему нужно покрыть как можно больше горизонтального расстояния по берегу, а потом поплыть перпендикулярно кромке воды, чтобы добраться до утопающего как можно скорее.

Но вот что поразительно: стоит пробиться через математические выкладки, и выяснится, что у Гюйгенса и у Ферм получаются одинаковые пути. Вычисления Гюйгенса ничего не говорят о глобальных свойствах системы. Каждый солдат изо всех сил старается шагать по прямой, но сопротивление воды искривляет картину переднего ряда.

Эмпирические отношения, описывающие преломление света на стыке двух сред, известны уже довольно давно. Это называется закон Снеллиуса, и открыл его[52] в 1621 году голландский математик с потрясающим именем Виллеброрд Снеллиус.

Закон Снеллиуса — это простое соотношение между углом, под которым свет попадает на поверхность, где ему предстоит преломиться, относительной скоростью света в разных средах и углом, под которым свет выйдет с другой стороны. С практической точки зрения, если вы хотите делать линзы или любую другую оптику, больше вам ничего знать и не требуется. Вся эта интерференция волн и минимизация пути света даже и не нужны!

Чем же так полезен подход Ферма при всей своей извилистости? В лучшем случае просто получишь тот же результат, что и при применении принципа Гюйгенса. Дело в том, что принцип Ферма придуман не для того, чтобы получить правильный ответ: он призван объяснить, что происходит на самом деле.

Принцип Ферма оказался на удивление полезен для современных открытий. Один из поразительных прогнозов, которые дала общая теория относительности, — время возле массивного тела, например, звезды или черной дыры, течет медленнее, чем вдали от него. Поскольку свет по-прежнему хочет пробежать по самому быстрому маршруту, он отклонится от прямой линии, чтобы объехать вызванные гравитацией пробки поблизости от черной дыры. Проще говоря, тот самый принцип, который предсказывает поведение призм, предсказывает и то, что массивные тела искривляют свет.

Часто бывает, что самый короткий путь — не прямой. Вот, например, вам нужно добраться из Филадельфии в Пекин. Какой маршрут выбрать? Если вам случалось летать трансокеанским рейсом и, чтобы не свихнуться от скуки, наблюдать за перемещением самолета по компьютерной карте, возможно, вы заметили, что самолет летит не по той линии, которая вам по наивности представлялась прямой. Пекин с Филадельфией находятся примерно на одной широте — около 40 градусов. И все же путь, по которому полетит ваш самолет, пройдет севернее Аляски.

Этот путь по большой дуге проделывает именно то, что предлагает Ферма. Это тот маршрут между Филадельфией и Пекином, который минимизирует дистанцию. Примерно то же самое у вас получится, если вы возьмете глобус, воткнете булавки в точки старта и финиша и туго-туго натянете между ними резинку. На карте большая дуга выглядит странно, однако это самый естественный маршрут в мире. Если вы полетите по прямой и нанесете свой маршрут на карту, как в кино про Индиану Джонса, путь по большой дуге получится сам собой.

Однако Ферма, как вы вскоре убедитесь, не просто подсказывает ближайший путь до Пекина — он еще и закладывает фундамент для формулирования всех физических законов, основанных на симметрии, а это возвращает нас прямиком к Эмми Нётер.

Как построить лучшие в мире американские горки

Принцип Ферма очень хорош и правилен, если нас интересует исключительно распространение света, но если мы пытаемся разобраться в устройстве мироздания, придется копнуть поглубже. Принцип Ферма не объясняет создание частиц и античастиц, существование сил, полей, расширение вселенной и примерно миллион прочих явлений, наблюдаемых во вселенной, где мы живем.

У физиков и математиков — а в XVII веке разница между ними совсем не была колоссальной — подобные задачи на минимизацию нашли выражение в попытках найти новые интересные способы приложения только что открытых законов Ньютона. Одна из самых известных задач того времени — поиск кривой под названием «брахистохрона»[53].

Представьте себе, что вы хотите построить самые-самые распрекрасные американские горки — ну чтобы уж точно все ахнули. Вы можете предельно минимизировать силу трения, но при попытках построить идеальную форму непременно наткнетесь на маленькую математическую тайну. Проектировать американские горки надо так, чтобы вагонетка, стартующая из состояния покоя в точке А, как можно быстрее очутилась внизу, в точке В.

Загадка брахистохроны не теряла актуальности некоторое время, а потом, в 1696 году, Иоганн Бернулли — представитель очень знаменитой семьи, где было много выдающихся математиков — заявил, что решил задачу, и не без самодовольства поставил ее перед другими математиками: потягайтесь, мол, со мной.

Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам в мире. Для умного человека нет ничего привлекательнее честной и трудной задачи, возможное решение которой стяжает им славу и останется в веках… Если кто-то сообщит мне решение представленной задачи, я публично объявлю, что он достоин похвалы[54].

Сам Бернулли придумал очень хитроумное решение задачи, так что похвалялся он, наверное, не зря. Вагонетка американских горок едет чем ближе к земле, тем быстрее — а Бернулли представил себе очень сложную линзу, материал которой чем выше, тем плотнее, так что свет, проходя сквозь нее сверху вниз, будет бежать чем ближе к земле, тем быстрее. Потом Бернулли применил принцип Ферма — и потребовал, чтобы луч прошел заданное расстояние за минимальное время.

Полученная кривая получила название перевернутой циклоиды и очень похожа на обычную миску, только очень точную, математически выведенную.

Все это стало возможным в основном благодаря тому, что лет за десять до этого Исаак Ньютон опубликовал свой трактат «Principia Mathematica». К тому времени, как Бернулли опубликовал свой вызов, Ньютон уже работал управляющим Королевского монетного двора, однако же нашел время подумать над задачей о брахистохроне. Решил он ее за один вечер перед сном — совсем иначе, чем Бернулли, геометрическим методом. Был он таким математическим врединой, что даже не стал подписываться. Но Бернулли все равно понял, кто это, отметив: «По когтю опознаю льва».

Находить форму кривых в XVII веке было очень модно. Другая знаменитая задача касалась поиска кривой с названием «таутохрона»[55]. Если сделать американские горки такой формы, то откуда бы вы ни пустили вагонетку, она доберется до низу за одно и то же время. Эту задачу решил в 1659 году Христиан Гюйгенс — тот самый, что описал свет как волну. Почему это такое большое достижение, становится понятно, если учесть, что до публикации «Principia Mathematica» оставалось еще почти 30 лет.

Циклоида

Я заговорил о таутохроне, поскольку выясняется, что она представляет собой точно такую же кривую, что и брахистохрона — циклоиду. Помимо того, что таутохрона — ответ на математическую задачу, она приносит много пользы, поскольку на тех же принципах можно построить и точные часы. На протяжении почти всей мировой истории единственными точными часами на свете было Солнце, а поскольку XVII век был периодом географических открытий и мореплавания, солнечные часы, конечно, уже не годились.

Обратите внимание, что в самом низу таутохрона очень похожа на кривую, которую описывает маятник. И не случайно. Маятники потому и позволяют часам так точно отмерять время, что при условии, что отклонение будет относительно малым, колебания занимают в точности одно и то же время — вот почему дуга маятника так хорошо вписывается в донышко циклоиды. Галилей еще в юности отметил этот факт экспериментально. Ему было скучно, он наблюдал за колебаниями люстры в соборе в Пизе и отметил, что размах колебаний уменьшается, однако время (в ударах сердца) остается постоянным.

Итак, перед нами интересный вопрос: судя по всему, движение частиц, волн и света определяется решениями одних и тех же задач на минимизацию. Найди путь, по которому луч света попадет из точки А в точку В за минимальное время — и надо же, найдешь ту линию, которую он опишет в реальной жизни!

Задачи о брахистохроне и таутохроне показывают, что точно так же можно рассуждать и о движении частиц, обладающих массой. Похоже, минимизация времени в пути — это нечто глубинное и важное.

Ньютон и Бернулли потому-то (отчасти) и были гениями, что сумели решить эти задачи, не располагая никаким общим руководством к решению. В сущности, им пришлось угадывать и перебирать возможные решения, пока они не пришли к идее самого короткого времени.

Все изменилось в XVIII веке, когда Леонард Эйлер и его ученик Жозеф Луи Лагранж обнаружили общее правило, которое позволило им минимизировать по траектории любую величину — хоть время, хоть расстояние.

Не хотелось бы погрязнуть в математике, поэтому давайте вспомним знакомый пример: полет из Филадельфии в Пекин. Возможных путей из одной точки в другую буквально бесконечное множество, хотя большинство из них предполагает извивы и зигзаги. А мы хотим найти простое соотношение, связывающее путь, который нам нужен — то есть тот, который окажется короче всего — с реальностью, в которой нам надо двигаться по выгнутой поверхности Земли.

Эйлер и Лагранж описали способ вычислить кратчайший путь, и неудивительно, что их метод в значительной степени опирался на недавно разработанные Ньютоном методы математического анализа.

Вселенская лень

Все эти разговоры о минимизации времени хороши, когда мы обсуждаем лучи света, полеты самолетов и американские горки, однако, как выяснилось, все законы Ньютона можно вывести, исходя из тех же предпосылок.

В 1747 году Пьер-Луи Моро де Мопертюи открыл принцип, которому дал название «Принцип наименьшего действия»[56]:

Это принцип наименьшего Действия, принцип столь мудрый и достойный высшего Существа и изначально свойственный всем природным явлениям: воплощение его мы наблюдаем не только при любых переменах, но и при всяком постоянстве, демонстрируемом Природою. При столкновении тел движение распределяется таким образом, чтобы количество Действия было по возможности наименьшим — при условии, что столкновение имеет место. При равновесии тела расположены таким образом, что если им предстоит претерпеть небольшое перемещение, количество Действия будет наименьшим.

Слово «Действие» — это очередной странный научный термин: вроде бы слово знакомое, но потом понимаешь, что его почему-то пишут все время с большой буквы (или, скажем, курсивом) и никогда не заменяют синонимом. Значит оно не то, что вы думаете. При ближайшем рассмотрении оказывается, что оно значит даже не то, что думал Мопертюи.

Чтобы понять, что такое действие, мне придется сначала сказать несколько слов об энергии. Речь об энергии заходила у нас уже неоднократно, и такое ощущение, что мы все время говорим о разном. И в самом деле, энергия бывает самых разных сортов, которые подпадают под несколько широких категорий.

Энергия покоя. Ядерный бензобак. Готова высвободиться в соотношении E = mc ².

Кинетическая энергия. Именно то, о чем вы думаете, когда (и если) думаете об энергии, в том числе энергия выпущенной пули, локомотива и летающих криптонцев.

Потенциальная энергия. Энергия взаимодействия; когда вы взбираетесь по лестнице и пыхтите, то не потому, что находитесь в плохой форме, а потому, что увеличиваете свою потенциальную энергию.

Создавать и уничтожать энергию невозможно, зато ее можно конвертировать из одной формы в другую. Крошечная разница в энергии покоя между четырьмя атомами водорода и одним атомом гелия производит колоссальное количество излучения. Выпрыгните из самолета — и ваша гравитационная потенциальная энергия превратится в поистине огромную кинетическую.

Энергия — это средоточие всей физики, и в 1834 году Уильям Р. Гамильтон сумел найти достойное применение трудам Эйлера и Лагранжа. Подобно тому как Ферма показал, что свет хочет минимизировать время в пути, принцип Гамильтона — такое название он получил — требует, чтобы частицы двигались так, чтобы минимизировать Действие Мопертюи, а для этого нужно немного подправить определения.

В сущности, действие — это среднее по времени от величины под названием лагранжиан. Да, я понимаю, я опять подсунул вам научный термин[57] — зато очень полезный. Возьмите совокупную энергию движения, отнимите совокупную энергию взаимодействия — и получите именно его:

Лагранжиан = кинетическая энергия — потенциальная энергия.

Запустите игрушечную ракету. Сначала у нее будет много-много кинетической энергии, а когда ракета достигнет максимальной высоты, это будет означать, что вся кинетическая энергия превратилась в потенциальную. По пути вниз потенциальная энергия превращается обратно в кинетическую.

Иначе говоря, средний лагранжиан, то есть действие, равен нулю. Хотя пример с ракетой уже проще некуда, из него можно извлечь важный урок: действие будет минимальным, если приблизительно половина энергии расходуется в движении, а половина вкладывается в потенциал. Такова и есть цель: минимизируй действие — и получишь траекторию, которую проделают реальные ракеты (а также звезды и атомы).

Волшебство принципа Гамильтона состоит в том, что если удастся вычислить лагранжиан для какой-то системы — например, для движения ракеты, — можно просто применить подход Эйлера и Лагранжа для минимизации действия, а потом получить траекторию ракеты. Иначе говоря, если знаешь, каково взаимодействие энергий в системе, а следовательно, и лагранжиан, значит, ты знаешь абсолютно все необходимое, чтобы предсказать эволюцию системы в будущем.

А в результате принцип Гамильтона позволяет перекинуть мостик от принципа минимизации к «выведению» законов Ньютона. Именно для этого он, в сущности, и придуман. Казалось бы, зачем идти таким извилистым путем, чтобы прийти к результату, который мы и так уже знаем? Я постоянно проделывал это во время занятий механиков на младших курсах, даже не понимая, почему мы делаем именно так, а не иначе.

Лагранжиан ракеты

Этому, разумеется, есть технические причины. Принцип Гамильтона позволяет решать сложные задачи со строгими ограничениями, что было бы невозможно, если бы ими попытался заниматься непосредственно Ньютон, однако для нас у этого принципа есть и другое, более важное достоинство. И к нему вели все наши разговоры начиная с принципа Ферма.

Если есть симметрия, инвариантом остается именно лагранжиан, то есть, в сущности, все участвующие во взаимодействии виды энергии.

Вернемся к Нётер и к тому, что на самом деле означает ее теорема

На страницах этой книги я уже перечислил очень много симметрий, но ни разу не говорил о том, что же на самом деле должно быть инвариантом. Что же это такое, что не меняется, если смотреть в зеркало, переводить часы вселенной, обращать время вспять или взять и повернуть всю конструкцию?

Эмми Нётер докопалась до глубинной истины. Она поняла, что инвариант — это именно лагранжиан.

Нётер обнаружила, что одни манипуляции меняют энергию, а другие — нет. Например, если пропорционально увеличить всю вселенную, расстояние между двумя телами увеличится, а это снизит гравитационную энергию. Однако для особых видов симметрии вроде поворота, которые не изменяют энергию, а следовательно, и лагранжиан, как раз и вступает в силу соотношение, которое открыла Нётер: симметрия влечет за собой какую-то сохраняющуюся величину[58].

Например, законы физики сегодня в точности такие же, как вчера, а поэтому, согласно теореме Нётер, во вселенной сохраняется энергия.

Мы уже убедились, что энергия способна менять форму. В пище, которую мы едим, запасена химическая энергия, которую мы обращаем в тепло (мы же, как-никак, теплокровные) и движение. Однако если сложить все возможные составляющие энергии во вселенной — энергию массы E = mc ², движение всех частиц и гравитационные и электрические взаимодействия между этими частицами — получится огромное число, а теорема Нётер как раз и говорит нам, что это число до конца времен останется точно таким же, как и сегодня.

Идею сохранения энергии придумала не Нётер. Эта идея заложена в первом законе термодинамики. Зато Нётер показала, что первый закон — всего лишь следствие из неизменности законов физики.

Подобным же образом, раз законы физики одинаковы и прямо здесь, и в трех метрах отсюда, теорема Нётер учит нас, что импульс сохраняется. Сохранение линейного импульса тоже не новость. Его открыл в XVII веке Исаак Ньютон, и все три его знаменитых закона — разные способы описать сохранение импульса в замкнутой системе.

Однако вот в чем загвоздка. Мы уже видели, что время и пространство тесно взаимосвязаны. Теория относительности покажет, что одно можно заменять другим. Как мы увидим, это означает, что импульс и энергия — две стороны одной медали.

В теореме Нётер скрыто гораздо больше. Она описывает и объясняет сохранение спина, электрического заряда, «цвета» (эквивалент заряда в сильном ядерном взаимодействии) и т. д. и тому подобное — и в конечном итоге закладывает математическую основу практически подо всю стандартную модель физики частиц.

Если учесть все это, становится непонятно, каким образом Нётер оказалась в значительной степени забытой. Мне думается, отчасти это объясняется тем, что при помощи теоремы Нётер можно проделать лишь совсем немного вычислений. Установишь, что налицо сохранение энергии, заряда и еще с полдюжины других величин — и все. Больше никаких полезных вычислений и не требуется, и не получается. Некоторые сохраняемые величины вообще можно выбить из формул при помощи грубой силы, только кому это нужно?!

Мы видели, что биография Нётер во многом пересекается с биографией Эйнштейна. Но есть между ними и другие, более мрачные параллели. Нётер, как и Эйнштейн, в 1933 году бежала в США. Эйнштейн осел в Принстоне, в незадолго до того созданном Институте передовых исследований. Нётер оказалась в расположенном неподалеку колледже Брин Мор. А затем — всего через два года после переезда в Америку — у Эмми Нётер обнаружили рак, а после операции она умерла от какой-то загадочной инфекции. Эмми было всего 53 года. Вот как писал о ней Эйнштейн:

По мнению большинства самых сведущих ныне живущих математиков, фройляйн Нётер обладала самым значительным творческим математическим гением с тех пор, как женщинам была дана возможность получать высшее образование.

А для нашей книги главное, что Нётер наконец-то объяснила, почему симметрия проявляется практически во всех физических законах, управляющих вселенной. Симметрия — это не просто что-то красивое и элегантное. Из существования симметрии следуют физические законы! В сущности, Нётер обратила симметрию в порядок.

Признайтесь: вы так любите популярную физику во многом за то, что она дарит надежду, что вам когда-нибудь удастся применить полученные знания для создания «ТАРДИСа» или гиперпространственного двигателя. Мы уже вкратце поговорили о множественной вселенной, высших измерениях, обращении стрелы времени. Еще один расхожий мотив научно-фантастических произведений впервые упомянула Урсула ле Гуин в своем романе «Планета Роканнона» — это устройство под названием ансибль. Вот как она сама о нем говорила:

Ансибль не требует ни радиоволн, ни какой бы то ни было формы энергии. Принцип, по которому он действует, — постоянство одновременности — в какой-то мере аналогичен гравитации… Он порождает сообщение в любых двух местах одновременно. Где угодно.

Забавно, что это определение полагается на одно из самых популярных заблуждений, касающихся гравитации: что она будто бы распространяется мгновенно. На самом деле гравитационные сигналы перемещаются со скоростью света. Но даже и без этого — возможно ли вообще создать ансибль?

Одним словом — нет.

Я понимаю, что выступаю в точности как тот зануда, который вечно поправляет вам ошибки в клингонском, но что есть, то есть. Предел скорости света — это не просто настоятельная рекомендация, это закон. Впрочем, предположим, вы настойчивы и зададите следующий вопрос: а почему?

Ответ «Потому что я так сказал» не был для вас веским доводом и в глубоком детстве, и — представьте себе — с тех пор ничего не изменилось. Чтобы понять, почему нельзя создать ансибль, нам придется — вы верно догадались — углубиться еще в одну фундаментальную симметрию пространства и времени.

Откуда у нас такое чувство, будто мы центр вселенной?

Еще в третьей главе мы обнаружили — и это никого не удивило — что Земля расположена не в центре вселенной. Мы вращаемся вокруг Солнца, Солнце — вокруг галактики Млечный Путь, галактика — вокруг местного сверхскопления Девы. Если все суммировать, получится, что мы рассекаем пространство со скоростью примерно полтора-два миллиона километров в час. Вы что-нибудь заметили? Я — нет.

Не то чтобы я хотел давать вам очередной повод для беспокойства, но если вдуматься, и в самом деле леденит душу, что мы так стремительно мчимся по вселенной. Этак недолго и вовсе перестать выходить на улицу, чтобы не смело в глубокий космос. Примерно такой же экзистенциальный ужас обуял Галилея почти 400 лет назад. Он потратил массу сил на опровержение доводов всяких профанов, которым мысль, что Земля вращается вокруг Солнца, была как нож острый. В своем «Диалоге о двух главнейших системах мира» Галилей уговаривает очернителей играть с мухами и бабочками и скакать на месте, будто сумасшедшие:

Уединитесь с кем-либо из друзей в просторное помещение под палубой какого-нибудь корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; пусть будет у вас там также большой сосуд с водой и плавающими в нем маленькими рыбками; подвесьте, далее, наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; рыбы, как вы увидите, будут плавать безразлично во всех направлениях; все падающие капли попадут в подставленный сосуд, и вам, бросая какой-нибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одну сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же; и если вы будете прыгать сразу двумя ногами, то сделаете прыжок на одинаковое расстояние в любом направлении. Прилежно наблюдайте все это, хотя у нас не возникает никакого сомнения в том, что пока корабль стоит неподвижно, все должно происходить именно так. Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит.

(Пер. А. Долгова)

Пока скорость и направления не меняются, нет никакого объективного способа разобраться, двигаетесь ли вы со своими тараканами. Вот почему, если возникнет желание, можете поиграть в бильярд или в пятнашки на борту самолета — и если не будет турбулентности, выглядеть вы будете точно так же, как во время игры на твердой почве.

Хотя при слове «относительность» вы, вероятно, сразу думаете «Эйнштейн», Галилей до многого додумался первым. Галилеева относительность утверждает, что надо учитывать лишь относительное движение. Вы мчитесь сквозь пространство со скоростью миллион километров в час, и я тоже, но поскольку мы движемся вместе, то вполне можем выстроить мировоззрение вокруг идеи, что мы все сидим неподвижно.

Эта стройная картина распадается — по краней мере с практической точки зрения — когда речь идет о вещах масштабных. Когда просыпаешься, долго проспав на заднем сиденье во время дальней поездки, не станешь глядеть в окно и предполагать, что все это время стоял, а горы просто сами собой приблизились, чтобы тебя порадовать. Подобный эгоцентризм — это глупо, однако если вам приятно представлять себе, будто вы сидите на месте, а вся вселенная мчится мимо, то и Галилею это очень нравилось.

Практическую роль играет только одно — относительное движение двух тел. Если мы с вами находимся в звездолетах, которые мчатся друг другу в лоб со скоростью 1000 километров в час, столкновение будет ощущаться точно так же, как если бы вы сидели сиднем, а я решил протаранить ваш звездолет на скорости 2000 километров в час. Скорости складываются: 1 + 1 = 2.

Представьте себе, что я не собираюсь вас таранить, а решаю не разбивать собственный звездолет — и вместо этого стреляю в вас из лазерной пушки. Буква L в слове laser означает light — «свет», а это значит, что отдельные фотоны перемещаются — ну, готовы? — со скоростью света. Однако, если верить Галилею, скорость света зависит от скорости источника. Если я лечу на вас со скоростью 1000 километров в час, разумно ожидать, что фотоны будут лететь в сторону вашего звездолета со скоростью (c + 1000) километров в час — а не со скоростью света, как предполагает их название.

В чем дело? Разве скоростей света много, а не одна?

О мировом эфире и обязательности насмешек над древними

Вплоть до XIX века казалось вполне разумным предполагать, что если, скажем, далекам взбрело в голову вас ис-ко-ре-нить, лучи их лазеров будут двигаться быстрее, если вы полетите им навстречу, чем если вы — что было бы мудрым решением — броситесь удирать.

В конце концов, Гюйгенс доказал, что свет — это волна, а все волны, которые изучались до того момента, распространялись в какой-то среде. Сейсмические волны (землетрясения) должны распространяться в камне. Водяные волны — по воде. Звуковые — в воздухе. Логично предположить, что какая-то среда должна быть и у звуковых волн. Существование среды играет очень важную роль, поскольку волны, распространяющиеся в среде, будут двигаться быстрее, если перемещаются по течению, а не против.

Почти весь XIX век господствовала теория, что вся вселенная пронизана неосязаемой жидкостью под названием светоносный эфир, а световые волны — это рябь в этой жидкости. Если бы эфир действительно существовал, скорость света от конкретной звезды зависела бы от относительного движения наблюдателя и звезды, а также от течения самого эфира.

Сейчас мне стыдно и неловко. Я попал в накатанную колею: традиция велит сначала рассказать об эфире — идея которого едва ли пришла бы вам в голову независимо, — а затем тут же объяснить, почему эта гипотеза оказалась ошибочной. После чего все от души смеются над тем, какие дурачки были ученые прошлого, не то что мы.

Да, теория эфира действительно ошибочна, но я скажу несколько слов о том, откуда нам, собственно, известно, что она ошибочна. Аргументировать это куда проще, чем измерить. Основной довод — то, что мы движемся вокруг Солнца в разных направлениях в разное время года. Если бы гипотеза об эфире была верна, скорость света зависела бы от направления и летом и зимой была бы разная.

В целом общепринято, что окончательный крест на теории эфира поставил опыт Альберта Майкельсона и Эдварда Морли в 1887 году, хотя похожие эксперименты многократно проводились и до, и после. Майкельсон и Морли использовали устройство под названием интерферометр, при помощи которого можно было измерять отклонения скорости света в зависимости от времени года, времени суток и ориентации устройства. И не обнаружили решительно ничего. Вообще никаких отклонений. Как писал об этом английский физик сэр Джеймс Джинс полвека спустя:

Развитие событий было одинаковым независимо от того, находился мир в покое в предполагаемом эфире или же сквозь него дул эфирный ветер со скоростью миллион миль в час. Складывалось такое впечатление, что предполагаемый эфир не играет особой роли в ходе вещей… и им, таким образом, вполне можно пренебречь.

Если нет никакого эфира, значит, свет перемещается не на чем-то, а сам по себе, а следовательно, не похож на ранее известные волны. Это явление — как и очень, очень многие другие — объяснил в 1905 году Эйнштейн[59]. Речь идет, само собой, о специальной теории относительности.

Как построить защитное силовое поле

Эйнштейн был в полном восторге от единых законов электромагнетизма Джеймса Клерка Максвелла. Еще бы! Уравнения Максвелла — образец простоты и элегантности и описывают почти все: от того, почему игла компаса указывает на север, и того, почему, если потереть воздушный шарик, он прилипнет к стене, до устройства атомов.

Одно из уравнений — так называемый закон Фарадея — описывает, как магнитное поле, меняющееся со временем, может генерировать электрическое поле. Другое уравнение — закон Ампера[60] — показывает, в свою очередь, что меняющееся со временем электрическое поле генерирует магнитное поле. Это «туда-обратно» показывает, почему там, где нормальные люди говорят о свете, физики упоминают какое-то там электромагнитное поле. Эйнштейн обнаружил, что разделение электромагнетизма на электричество и магнетизм — это, в сущности, вопрос точки зрения.

Магнетизм в движущейся системе отсчета

Рассмотрим два звездолета, капитаны которых (мы с вами) злобно глядят друг на дружку и всерьез подумывают, не пойти ли на таран. Миролюбивая инопланетянка Алиса хочет создать примитивное силовое поле, чтобы не дать нам претворить в жизнь худшие свои порывы. Устройство довольно простое: Алиса щедро поливает обшивку наших звездолетов электронами. Стоит звездолетам сблизиться, и электроны расталкивают нас в стороны.

Это силовое поле работает исключительно на электричестве, магнетизм в уравнении вообще не фигурирует.

Между тем мы с вами, осознав тщетность попыток уничтожить друг дружку, решили сформировать альянс и лететь через глубокий космос на своих покрытых электронами кораблях бок о бок. Алиса, предпочитающая держаться чуть позади, отмечает неожиданное явление. С ее точки зрения наши звездолеты по-прежнему отталкиваются друг от друга из электростатической силы, однако эта сила уже не так велика, как в состоянии покоя. Дело в том, что каждый из движущихся звездолетов создает электрический ток, и наши токи создают магнитное поле. Поскольку мой звездолет чувствует магнитное поле, генерируемое вашим звездолетом, и наоборот, звездолеты притягивают друг друга.

Краткий итог. Заряд сам по себе означает отталкивание. Заряд плюс ток означает и отталкивание, и притяжение, которое частично уменьшает отталкивание.

Но тут-то и начинается самое интересное. Единственная разница между первым случаем, когда налицо только электрическое отталкивание, и вторым, когда есть и электрическое отталкивание, и магнитное притяжение, состоит в том, считаете вы, что заряды движутся, или нет. Если Алиса решит лететь с той же скоростью, что и мы, и в том же направлении, то может сделать так, что магнитные поля и вовсе пропадут и, следовательно, изменит силы, действующие между нашими кораблями, не притронувшись к нам и пальцем.

Как Эйнштейн подправил Галилея

Эйнштейн не видел в этом проблемы. Он принял как данность и странное поведение электрических и магнитных полей, и постоянство скорости света, которое доказали Майкельсон и Морли[61], и разработал новую теорию — специальную теорию относительности. Эйнштейн исходил из двух простых предположений.

1. Для любых систем отсчета, для которых справедливы законы механики, справедливы и одни и те же законы электродинамики и оптики.

2. Свет всегда распространяется в пустом пространстве с определенной скоростью с, которая не зависит от состояния движения источника света.

Эйнштейн предположил, что во вселенной наличествует еще одна, причем очень важная симметрия. Что-то — скорость света и законы физики — остается инвариантом, даже когда наблюдатели движутся с разными скоростями. Эта симметрия не носит имени Эйнштейна, однако в ней суммированы его постулаты.

Лоренц-инвариантность. Физический закон записывается в таком виде, чтобы его результаты не зависели от ориентации и скорости системы.

В частности, первый постулат Эйнштейна означает, что все эксперименты должны приводить к одним и тем же результатам для наблюдателей, находящихся в инерциальных системах отсчета, — то есть всякого, кто в зависимости от вашей точки зрения находится в покое, либо движется с постоянной скоростью и никуда не сворачивает.

Внесу ясность и приведу несколько оговорок. Не всякому дано быть наблюдателем в инерциальной системе отсчета. Например, когда разгоняешь автомобиль, тебя вжимает в спинку сиденья — и прямо чувствуешь, что движешься не с постоянной скоростью. Специальная теория относительности потому и специальна, что полагается на наличие инерциальной системы отсчета.

Эйнштейн додумался до колоссальной идеи, симметрии, которой мы уже касались в контексте второго закона термодинамики: пространство и время совсем не так различны, как все раньше думали. В зависимости от того, как двигаешься, пространство и время с легкостью перемешиваются друг с другом. Мы еще не готовы заниматься искривлением пространства-времени, однако в качестве осознанной и продуманной разминки давайте рассмотрим идею, которая, как ни странно, с ним связана: повороты в обычном пространстве.

Теорема Пифагора

С теоремой Пифагора вы, несомненно, знакомы:

A² + B ² = C ²

Это равенство обманчиво простое на вид. Переменные А и В — длины коротких сторон прямоугольного треугольника, а С — длина его большой стороны, гипотенузы.

Теорема Пифагора рассказывает нам отнюдь не только о быте и нравах треугольников как таковых. Она учит вычислять расстояние между точками. Наверное, подобные задачи вы помните еще со школьных лет: пройдите 3 километра на восток, потом 4 километра на север. Продеритесь через вычисления — и обнаружите, что вы в 5 километрах от начальной точки.

Чтобы связать это с реальной жизнью, рассмотрим маленький кусочек плана города Вашингтона.

Многие города удобно устроены так, что их улицы идут примерно в направлении основных сторон света. Вашингтон — идеальный тому пример: нумерованные улицы идут с севера на юг, а улицы с буквенными обозначениями — с востока на запад.

Итак, приведу пример, найденный в результате лихорадочных поисков в Google Maps. Если хочешь пройти от станции метро «Джудикери-север» на углу Четвертой и Е-стрит Северо-Западного квадранта до станции «Чайнатаун» на углу Седьмой и Джи-стрит, сначала надо пройти около 600 метров на запад по Е-стрит, а потом 250 метров на север по Седьмой.

Естественно, можно просто спуститься в метро и прокатиться по красной линии, и если проделать нужные вычисления, окажется, что продолжительность поездки составит около 650 метров. Вот вам практическое применение теоремы Пифагора, хотя мы слегка изменили названия переменных:

x ² + y ² = расстояние ²

Подобной традицией мы обязаны трудам математика и философа XVII века Рене Декарта. Декартова система координат позволяет наносить все события и предметы во вселенной на своего рода карту. Например, место предмета по направлению с запада на восток принято обозначать буквой х. По направлению с юга на север мы обычно помечаем его положение как у. Возможностью перемещаться еще и по вертикали, скажем, на лифте, я пренебрегаю, но если у вас есть к этому тяга, можете назвать это направление движения z.

План Вашингтона

С моей стороны было бы преступным упущением не указать на то, что на поверхности Земли декартова система координат терпит полный крах. Земля-то круглая, а значит, создать идеальную, без искажений карту, которая покрывала ее целиком, невозможно[62]. Ничего страшного, именно поэтому мы взяли для примера лишь крошечный фрагмент земной поверхности — несколько городских кварталов.

Предположим, вы спустились в метро на станции «Джудикери-сквер», и тут какой-то особо зловредный и предприимчивый специалист по городской планировке решил взять и повернуть все городские улицы, пока вы под землей. Он переставляет дома и перекладывает все мостовые, и теперь все улицы ориентированы на несколько градусов в сторону от первоначального направления. Зачем ему это понадобилось? Кто его знает.

Главное — то, что хотя сами станции метро никуда не сдвинулись, адрес у них стал другой. Улицы по-прежнему составляют сеть, только уже другую. Пешеход в этой новой версии Вашингтона по-прежнему хочет пройтись от «Джудикери-сквер» до станции «Чайнатаун». Он идет по улице, помеченной буквой, и сворачивает на нумерованную. То есть оба отрезка, составляющие путь от станции до станции, уже не те, что раньше, и тем не менее протяженность пути, который вы проделали на метро, в точности таков же, что и раньше!

С вращательной симметрией мы уже сталкивались неоднократно — от очевидной изотропии вселенной на крупном масштабе до экспериментального факта, что по микроскопическим взаимодействиям невозможно определить направление. Мы даже убедились в том, что эта самая вращательная симметрия непосредственно приводит к сохранению момента импульса.

Короче говоря, с теоремой Пифагора вы познакомились в глубоком детстве, однако это вовсе не игрушки.

Что такое расстояние в пространстве и во времени?

Пространство и время очень похожи друг на друга, но не идентичны. Если постулаты специальной теории относительности верны — а на данный момент они выдержали все мыслимые экспериментальные проверки, — то нам придется найти способ слепить пространство и время в единое пространство-время. Сам Эйнштейн предостерегал от опасностей, которые таятся в чересчур усердных попытках представить себе четыре измерения: