Деривативы. Курс для начинающих Коллектив авторов
Таким образом, премия по опциону с выигрышем складывается из внутренней и временной стоимости.
Премия по опциону с проигрышем является отражением временной стоимости, поскольку внутренняя стоимость равна нулю.
Чтобы лучше понять сущность внутренней и временной стоимости, посмотрите на следующий график.
Чем ближе цена исполнения опциона к рыночной цене базового инструмента, тем выше временная стоимость опциона.
Очевидно, что для опционов «пут» ситуация будет противоположной. Например, внутренняя стоимость в этом случае будет определяться следующим образом.
Внутренняя стоимость = Цена исполнения – Цена базового инструмента
Итак, теперь вы должны ясно понимать, что означают термины «без выигрыша», «с выигрышем» и «с проигрышем» и из чего складывается опционная премия. Посмотрим теперь, как рассчитывается размер премии.
Определение цены опциона
Опционы используются как инструмент управления риском, и их оценка или цена определяется сочетанием ряда рыночных факторов.
В 1973 году Фишер Блэк и Майрон Шоулз впервые предложили надежную математическую модель, которая позволяла трейдерам оценивать опционные премии. В основе ее лежало понятие нейтрального опционного хеджа.
В настоящее время существуют и другие модели:
• биномиальная модель;
• модель Кокса – Рубинштейна (Cox – Rubenstain);
• модель Гармана – Кольхагена (Garman – Kohlhagen), представляющая собой модификацию модели Блэка – Шоулза.
На разных рынках трейдеры могут пользоваться разными моделями для определения цен опционов, и нет никаких гарантий, что два трейдера назначат одну и ту же премию для одного опциона. Однако трейдеры, торгующие валютными опционами, практически всегда используют модель Гармана – Кольхагена.
Цена исполнения
Мы уже рассматривали взаимосвязь цены исполнения и цены базового инструмента. От разницы между этими ценами зависит, каким будет опцион – без выигрыша, с выигрышем или с проигрышем, что имеет большое значение для определения цены опциона. Чем больше выигрыш по опциону, тем выше будет его премия; и, наоборот, чем больше проигрыш, тем ниже премия.
Цена базового инструмента
На размер премии влияет движение цены базового инструмента.
В случае опционов «колл», дающих право купить базовый инструментпо фиксированной цене исполнения, с ростом цены базового инструмента растет и премия. Если же цена базового инструмента снижается, падает и размер премии.
В случае опционов «пут», дающих право продать базовый инструмент по фиксированной цене исполнения, с ростом цены базового инструмента премия снижается; если же цена базового инструмента падает, размер премии растет.
Эта взаимосвязь отображена в следующей таблице.
Время до истечения срока
При равенстве прочих факторов, чем больше период до истечения срока опциона, тем больше возможностей для благоприятного, с точки зрения держателя, движения цены базового инструмента. Именно поэтому чем больше времени до истечения опциона или чем продолжительнее срок его действия, тем выше размер премии.
Ниже приведен график зависимости размера премии от времени, оставшегося до истечения опциона.
Взаимосвязь между временем, оставшимся до истечения опциона, и стоимостью опционов «колл» и «пут» отображена в следующей таблице.
Процентные ставки
В целом процентные ставки менее других факторов влияют на опционы, они определяют накладные расходы фьючерсного контракта (cost of carry). Однако если размер опциона очень велик, они могут оказаться существенными.
При равенстве прочих факторов с ростом процентных ставок размер премии падает и наоборот.
Этот эффект можно рассматривать как упущенную выгоду. Чтобы купить опцион, покупатель должен либо заимствовать денежные средства, либо снимать средства с депозита. В любом случае он несет издержки, связанные либо с выплатой процента, либо с его неполучением. Если процентные ставки растут, размер упущенной в результате покупки опциона выгоды возрастает, а размер премии в качестве компенсации снижается. Спрашивается, с какой стати покупатель должен получать компенсацию? Это происходит потому, что продавец опциона, получивший премию, может положить деньги на депозит и получить более высокий процент, чем ожидалось. Ситуация меняется на обратную, когда процентные ставки падают, в этом случае премия растет. На этот раз компенсацию получает продавец.
Влияние процентных ставок на стоимость опционов «колл» и «пут» отображено в следующей таблице.
Волатильность
Волатильность – мера быстроты изменения рыночных цен базового инструмента. Это последний и наиболее важный фактор, который включается в модель оценки опционов.
Волатильность измеряет изменение цен без учета направления их движения. Рассмотрим на примере, что это означает.
Пример
На приведенном ниже графике видно, что цена базового инструмента А изменилась на 10 пунктов за 90 дней. Цена же базового инструмента В изменилась на 0 пунктов за 90 дней.
При этом волатильность обоих инструментов идентична, поскольку ежедневно цена инструмента В движется вверх и вниз с той же скоростью, что и постепенно растущая цена инструмента А.
Существует два вида волатильности, которые следует учитывать:
• историческая волатильность (historical volatility);
• подразумеваемая волатильность (implied volatility).
Историческая волатильность
Это стандартное отклонение величины изменения исторических цен в годовом исчислении за некоторый период времени. Историческая волатильность используется для оценки будущей волатильности.
Подразумеваемая волатильность
Это уровень будущей волатильности, который, по мнению рынка, является правильным и должен присутствовать в модели ценообразования опционов. Таким образом, подразумеваемая волатильность – это прогноз процентного диапазона, в пределах которого должна лежать цена базового инструмента на момент истечения срока опциона. Иными словами, подразумеваемая волатильность – это коллективная мудрость рынков.
Значение подразумеваемой волатильности
Волатильность обычно выражается как процент и представляет собой стандартное отклонение, или доверительный уровень для базового инструмента.
Доверительный уровень того, что прогноз волатильности будет правильным для одного стандартного отклонения с каждой стороны от среднего в нормальном распределении, равен 68 %. Для двух стандартных отклонений доверительный уровень составит 95 %.
Пример
Годовая процентная ставка по немецкой марке составляет 4,00 %, а годовая волатильность прогнозируется на уровне 10 %. Таким образом, стандартное отклонение составляет ±0,40, а два стандартных отклонения – ±0,80.
Разброс значений для двух доверительных уровней приведен в следующей таблице.
Подразумеваемая волатильность немного возрастает по мере удаления цены исполнения от положения ATM в обоих направлениях, т. е. В направлениях ITM и OTM. Эту зависимость из-за очевидной аналогии часто называют «кривой улыбки».
На основе подразумеваемой волатильности для наиболее активно продаваемого опциона без выигрыша и «кривой улыбки» трейдеры оценивают размер премии по опционам с различными ценами исполнения и различными контрактными месяцами.
Внебиржевые опционы котируются иначе, чем биржевые. Маркетмейкеры внебиржевого рынка котируют волатильность, которую трейдеры могут использовать в моделях ценообразования для расчета размера премии. В случае биржевых опционов котируется премия, на основе которой можно вычислить подразумеваемую волатильность.
На приведенных ниже экранах показана волатильность цен основных валют в процентном выражении.
Подведем итог.
• С повышением волатильности возрастает вероятность того, что цена базового инструмента изменится по отношению к цене исполнения и опцион даст выигрыш.
•
• С понижением волатильности снижается вероятность того, что цена базового инструмента позволит получить прибыль при исполнении опциона.
•
В таблице показано, как волатильность влияет на стоимость опционов «колл» и «пут».
Опционные риски и коэффициенты чувствительности
Несмотря на то что факторы, определяющие цену опционов, известны, на волатильных рынках жизненно важно непрерывно переоценивать опционные позиции, иначе высокая прибыль может быстро обернуться существенными убытками. Опционные риски держателей и продавцов мы уже рассматривали, однако вернемся к этой теме еще раз, чтобы подчеркнуть их значение.
Держатели
Покупка опционов имеет две привлекательные стороны:
• ограничение ценового риска;
• леверидж.
Если держатель опциона отказывается от исполнения приобретенного им опциона, его убыток ограничивается размером уплаченной премии и известен уже в момент заключения сделки. Леверидж позволяет получить большую прибыль, однако с ним связаны и определенные риски, что продемонстрировано на примере опциона «колл».
Пример
Инвестор А вкладывает 10 000 долларов в корпорацию XYZ, акции которой в настоящий момент продаются по 100 долларов. Инвестор А покупает 100 акций в расчете на то, что их цена вырастет через 6 месяцев.
Инвестор В вкладывает 10 000 долларов в покупку опционов «колл» с ценой исполнения 100 долларов и премией в 10 долларов за акцию. Инвестор В покупает 10 стандартных контрактов на 100 акций каждый. Его затраты составят:
10 10 100 = $10 000.
Инвестор В рассчитывает на то, что цена акций через 6 месяцев вырастет до 120 долларов.
К концу шестого месяца акции XYZ поднимаются до 120 долларов. Инвестор А продает свои 100 акций и олучает прибыль в 2000 долларов, доход на инвестиции при этом составляет 20 %.
Инвестор В исполняет свои опционы и покупает 10 лотов акций по 100 долларов за акцию и сразу же продает их на рынке по 120 долларов.
Доход по сделке составляет 20 000 долларов. Если инвестор В вычтет из него уплаченную премию, то прибыль от использования опционов «колл» составит 10 000 долларов, т. е. доход на инвестиции будет 100 %-ным. Это и есть «эффект рычага» или леверидж – 100 %-ный доход против 20 %-ного при одних и тех же вложениях.
Однако предположим, что цена акций XYZ через 6 месяцев выросла лишь до 110 долларов. Инвестор А в этом случае получит 10 % на инвестиции при продаже акций, а инвестор В при исполнении опционов – нулевую прибыль!
Продавцы
Продавцы покрытых опционов «колл» – участники рынка, владеющие базовым инструментом, отказываются от возможности получения выгоды при росте стоимости базового инструмента выше цены исполнения опциона, однако при этом несут риск падения цены базового инструмента.
Продавцы голых или непокрытых опционов «колл»/«пут» занимают очень уязвимые позиции и могут понести крупные убытки, если стоимость базового инструмента окажется выше/ниже оговоренной цены исполнения.
Кроме того, риск продавца зависит и от стиля опциона. Американский опцион может быть исполнен в любой момент в течение всего срока его действия, а следовательно, несет более высокий риск и стоит дороже европейского опциона.
На приведенных ниже экранах показаны цены «бид»/«аск» опционов «колл» и «пут» PHLX на британский фунт. На них можно увидеть разницу в ценах на американские и европейские опционы.
Коэффициенты чувствительности
Существуют ли еще какие-либо риски, которые следует учитывать держателям и продавцам опционов? Конечно, да. Приведенная ниже несложная модель наглядно иллюстрирует общие риски, присущие производным инструментам. Значимость риска, обозначенная концентрическими окружностями, возрастает по мере приближения к центру.
• Кредитный риск Это риск невыполнения контрагентом своих обязательств, который присутствует в любой финансовой операции. Иначе говоря, это вопрос способности контрагента выполнить условия сделки.
• Рыночный риск Этот риск связан с тем, что стоимость контракта может измениться в результате изменения рыночных условий, например изменения цены базового инструмента.
• Операционный риск Это риск, связанный с ведением бизнеса, который обусловлен возможностью юридических ошибок, неправильного осуществления операций, мошенничества, воровства и т. п.
• Стратегический риск Это риск неправильной трактовки требований клиента, неправильного выбора направления деятельности и т. п.
Менее всего от отдельно взятой организации зависит рыночный риск. Иными словами, стоимость опциона может и будет меняться в зависимости от движения цен и других описанных выше факторов.
В число наиболее значимых рисков, связанных с опционами, входят:
• риск направления, зависящий от движения цены базового инструмента;
• временной риск, возникающий при приближении момента истечения опциона;
• риск волатильности, обусловленный быстротой изменения цены базового инструмента.
При рассмотрении выше вопроса определения цены опционов влияние этих переменных характеризовалось просто, например так: «С ростом цены базового инструмента растет и премия». Вместе с тем изменения должны иметь количественную оценку для того, чтобы их можно было использовать в моделях ценообразования и оценивать влияние.
Переменные, или коэффициенты чувствительности опциона принято обозначать греческими буквами, именно поэтому их еще называют «греками» (Greeks). «Греки», соответствующие им риски и формулы для расчета перечислены в таблице на следующей странице.
Наибольшее значение из этих переменных имеет дельта, поскольку она используется в расчетах при хеджировании позиций. Это важно, поскольку в основе таких моделей ценообразования, как модель Блэка – Шоулза, лежит понятие нейтрального хеджа.
Коэффициент «дельта» и дельта-хеджирование
Коэффициент «дельта»
Это мера чувствительности цены опциона к элементарному изменению (unit change) цены базового инструмента.
Другими словами, коэффициент «дельта» характеризует восприимчивость к движению цены базового инструмента и поэтому играет очень большую роль. Дельта может принимать значения от –1 до +1, и ее взаимосвязь с ценой исполнения показана в следующей таблице.
В случае опционов без выигрыша коэффициент «дельта», равный ±0,5, означает 50-процентную вероятность того, что цена базового инструмента может пойти вверх или вниз относительно цены исполнения. Чтобы увидеть, как работает дельта, рассмотрим следующий пример.
Пример
Трейдер рассматривает возможность покупки опциона «колл» на фьючерсный контракт с ценой 19,00 долларов за тонну. Премия по опциону «колл» с ценой исполнения 19,00 долларов составляет 0,80 доллара. Коэффициент «дельта» этого опциона равен +0,5.
Это означает, что в случае подъема цены базового инструмента до 20,00 долларов за тонну, т. е. на 1,00 доллар, премия увеличится на 0,5 1,00 = 0,50 доллара. Новый размер премии составит 0,80 + 0,50 = 1,30 доллара.
Опцион со значительным проигрышем характеризуется низким или нулевым коэффициентом «дельта», поскольку изменения цены базового инструмента мало сказываются на премии или не влияют на нее вовсе. В этой ситуации для рыночного игрока риск, связанный с базовым рынком, несущественен.
Опцион со значительным выигрышем характеризуется высоким или близким к ±1 коэффициентом «дельта», поскольку любое изменение цены базового инструмента вызывает практически такое же изменение премии. В этой ситуации рыночный риск по опциону идентичен рыночному риску эквивалентной позиции по базовому инструменту.
Коэффициент «дельта» иначе можно рассматривать как меру вероятности того, что опцион в итоге окажется с выигрышем.
Вероятность исполнения опциона с дельтой, близкой к ±1, очень велика, поскольку он имеет значительный выигрыш. Опционы с дельтой, близкой к нулю, чаще всего не исполняются.
Дельта-хеджирование
Существуют два способа расчета хеджирующей позиции на основе значения коэффициента «дельта».
На практике дельту используют для пересчета опционной позиции в эквивалентную фьючерсную позицию. Зачем это нужно? Да затем, что маркетмейкеры часто используют фьючерсы для хеджирования своих рисков по опционам.
Уравнение, используемое для расчета необходимой фьючерсной позиции, совсем простое:
Чтобы понять, как работает дельта-хеджирование, рассмотрим следующий пример.
Пример
Трейдер продает 10 стандартных опционов «колл» без выигрыша с ценой исполнения 19,00 долларов, когда рыночная цена базовых фьючерсов составляет 19,00 долларов. Дельта опциона без выигрыша равна 0,50. Таким образом, эквивалентная фьючерсная позиция:
10 0,50 = 5 стандартных фьючерсов.
Теперь предположим, что цена базовых фьючерсов вырастает до 19,50 доллара. Цена исполнения опциона так и остается равной 19,00 долларам, но значение коэффициента «дельта» вырастает до 0,60.
Теперь эквивалентная фьючерсная позиция, которая нужна трейдеру, составляет:
10 0,60 = 6 стандартных фьючерсов.
Нейтральноехеджирование
Нейтральный опционный хедж имеет очень большое значение для управления рисками, связанными с опционами. Это просто соотношение опционных и фьючерсных контрактов, позволяющее получить нейтральную позицию. На этот раз дельта имеет следующий смысл:
Чтобы понять, как работает нейтральный хедж, рассмотрим следующий пример.
Пример: идеальный хедж
Трейдер продал 10 стандартных опционов «колл» по 19,00 без выигрыша. Стандартный размер каждого контракта равен 1000. Опционная премия составляет 0,80 долларов, коэффициент «дельта» – +0,5.
За продажу опционов трейдер получает следующую премию:
0,80 10 1000 = $8000.
Теперь трейдеру нужно хеджировать свою позицию, но как?
1. Он может попытаться открыть противоположную позицию по таким же опционам, но с более низкой премией. Это маловероятно, если только начальная продажа не была сделана по завышенной цене.
2. Он может хеджировать свою опционную позицию с помощью фьючерсных контрактов. Этот вариант является наиболее вероятным.
Трейдер продал опционы «колл», т. е. предоставил их держателю право купить базовый инструмент при исполнении опциона. Таким образом, позиция трейдера будет короткой, поскольку он обязан продать в случае исполнения опциона.
Для дельта-хеджирования трейдеру нужно купить фьючерсные контракты, т. е. открыть длинную позицию. Вопрос только в том, сколько контрактов ему потребуется. Поскольку дельта равна 0,50, трейдеру требуется 5 стандартных фьючерсных контрактов при рыночной цене 19,00 долларов. Значение дельты для фьючерсов равно ±1, так как они эквивалентны опциону с наибольшим выигрышем. Теперь позиция трейдера такова:
Если по истечении срока цена фьючерсов та же, что была в момент их покупки, и значение коэффициента «дельта» не изменилось, то покупатель не станет исполнять опционы. Трейдер в этом случае может закрыть свою фьючерсную позицию, продав контракты на рынке по 19,00 долларов, а его прибыль по опционам будет равна размеру полученной премии, т. е. 8000 долларов.
Увы, такой сценарий маловероятен!
«Идеальный хедж»[1] существует лишь в японском саду.
Реальный пример
Еще до истечения срока опционов рыночная цена фьючерсов доходит до 19,50 долларов, а коэффициент «дельта» возрастает до +0,60. Теперь трейдеру требуется 6 стандартных фьючерсных контрактов для сохранения нейтральной позиции.
Трейдер должен купить дополнительный фьючерсный контракт по 19,50 долларов. В результате этого он получает:
Поскольку цена фьючерсов выросла, при истечении опционов их держатель использует свое право купить базовый инструмент.
Для того чтобы поставить 10 длинных фьючерсных позиций по 19,00 долларов, трейдер покупает фьючерсы по 19,50 долларов.
Пример: бывает и хуже
Фьючерсные позиции взлетают до 22,00 доллара, а коэффициент «дельта» становится равным 0,9 – значительный выигрыш. Трейдеру требуется уже 9 стандартных фьючерсов, чтобы поддержать нейтральный хедж. В реальности трейдеру приходится непрерывно корректировать свою хеджирующую позицию по мере движения рынка. На момент истечения срока опционов позиция трейдера выглядит следующим образом:
Держатель, вне всякого сомнения, воспользуется своим правом купить базовый инструмент при истечении срока!
Для того чтобы поставить 10 длинных фьючерсных позиций по 19,00 доллара, трейдер покупает фьючерсы по 22,00 доллара.
С помощью дельта-хеджирования трейдеру удалось сократить потенциальный убыток в размере 30 000 долларов до относительно небольшой суммы – 500 долларов.
Последний пример наглядно показывает, насколько существенными могут быть убытки при использовании опционов и как велико значение непрерывного отслеживания и хеджирования опционных позиций. Иначе говоря, он иллюстрирует важность управления рисками при использовании опционов.
Другие коэффициенты чувствительности
Хотя коэффициент «дельта» и дельта-хеджирование обычно имеют наибольшее значение для оценки опционных позиций, ограничиваться ими можно лишь при относительно незначительных изменениях цены базового инструмента. Связь между премией и изменением цены базового инструмента не является линейной. Нелинейность коэффициента «дельта» заставляет вводить дополнительные коэффициенты чувствительности опционов.
Гамма
Это скорость, с которой значение коэффициента «дельта» растет или уменьшается при изменении цены базового инструмента.
Например, если у опциона «колл» коэффициент «дельта» равен 0,50, а «гамма» – 0,05, то рост базового инструмента до ±1 означает, что дельта достигнет 0,55 в случае роста цены и 0,45 в случае ее падения. Коэффициент «гамма» похож на ускорение при разгоне автомобиля до средней скорости и его торможении до остановки.
Коэффициент «гамма» имеет наивысшее значение у опционов без выигрыша (средняя скорость) и падает до нуля у опционов со значительным проигрышем или выигрышем (остановка). Приведенный ниже график показывает взаимосвязь между коэффициентами «дельта» и «гамма» для опционов «колл».
Вега
Это мера чувствительности цены опциона к изменениям волатильности рынка, определяемая как изменение опционной премии на единицу (обычно 1 %) изменения волатильности.
Если коэффициент «вега» опциона равен 0,10, а подразумеваемая волатильность – 12 %, то изменение волатильности до 13 % приведет к изменению премии на 10 тиков. Коэффициент «вега» принимает значения от нуля до бесконечности и падает с течением времени. Высокое значение коэффициента имеют опционы без выигрыша с большими сроками. Чем выше волатильность базового рынка, тем больше вероятность исполнения опциона с прибылью и, следовательно, выше размер премии.
В чем заключается практическая польза коэффициента «вега»? Если трейдер поддерживает нейтральную дельта-позицию, то ввиду того, что он защищен от изменения цены базового инструмента, у него появляется возможность торговать опционами, исходя лишь из соображений волатильности. На графике ниже кривые цен опционов «колл» представлены как полосы, соответствующие 1-процентному изменению волатильности. Чем больше срок опциона, тем шире полоса и тем дальше она располагается от линии истечения срока.
Тета
Этот коэффициент характеризует скорость, с которой кривая цены опциона приближается к линии истечения срока.
Мы уже говорили о том, что по мере приближения даты истечения опциона его временная стоимость снижается. В момент истечения срока у опциона нет временной стоимости, у него есть только внутренняя стоимость. Коэффициент «тета» почти всегда имеет отрицательное значение. Если тета равна –0,05, то опцион теряет 5 тиков в цене за каждый прошедший день. По мере приближения даты истечения опциона тета возрастает.
Ро
Стоимость финансирования позиции по базовому инструменту также учитывается в модели ценообразования опционов.
Коэффициент «ро» является мерой изменения опционной цены на элементарное приращение (обычно 1 %) стоимости финансирования базового инструмента.
Обычно значения коэффициента «ро» невелики, за исключением опционов с большими сроками действия.
Как уже отмечалось, по мере увеличения стоимости финансирования базового инструмента ремии опционов «колл» растут, а премии опционов «пут» падают.
Продавцы опционов «колл», покупающие эквивалентные фьючерсные позиции в целях дельта-хеджирования, перекладывают свои издержки на покупателей этих опционов. Продавцам же опционов «пут» приходится продавать эквивалентные фьючерсные позиции и, следовательно, корректировать премии с учетом роста процентного дохода у покупателей этих опционов.
На этом экране отображена информация по опционам «колл» на наличные немецкие марки.
Обратите внимание на следующее:
1. Коэффициент «дельта» для опционов без выигрыша с ценой исполнения 59,0 равен +0,5573.
2. У опционов с выигрышем высокие значения коэффициента «дельта».
У опционов с проигрышем низкие значения коэффициента «дельта».
3. Коэффициент «гамма» имеет максимальное значение у опционов без выигрыша и падает до нуля у опционов с большим проигрышем и выигрышем.
На этом экране отображена информация по опционам «пут» на фьючерсы на немецкие марки.
Читать бесплатно другие книги:
