Опционы. Полный курс для профессионалов Вайн Саймон
Сделайте что-нибудь, что отвлекло бы вас от проблем рынка.
7) Постоянно поддерживайте в себе надежду.
У всех случается тяжелая пора. Однако тем, кто помнит о ветре перемен, в такие моменты просто тяжело, в то время как отчаявшиеся сходят с ума.
8) Совершенствуйте навыки трейдинга.
Работайте над своими навыками и не допускайте ошибки дважды – это укрепляет веру в лучшие результаты своих действий в будущем.
35. Проблемы со стандартными методами минимизации риска
Сталкиваясь с риском, следует помнить: как от него ни спасайся – все равно какая-то часть останется. Важно представлять, насколько рационально оценен этот риск и насколько намеченный план действий предусматривает альтернативы на случай возникновения проблем.
«Рациональность» оценки риска зависит от конкретного человека: насколько точно он знает свои сильные и слабые стороны, отдает отчет в своей будущей реакции на потенциальные неудачи, выделяет сознательные и подсознательные мотивы своих оценок и действий.
Стараясь снизить риск, принимающие решения используют ряд средств. Наиболее популярными из них являются приглашение консультантов, более углубленный анализ информации по данному вопросу и диверсификация.
1. Бесполезные «полезные» советы
Полагаясь на мнение экспертов, инвестор должен тем не менее уметь оценивать проблемы и качество рекомендаций, видеть различие между реальной информацией и личным восприятием ее советником. Важен фактор принятия одинаковой с консультантом шкалы оценки риска. Часто советники не имеют самостоятельного опыта успешной торговли. Еще чаще их рекомендации не учитывают психологическое состояние клиента в свете рыночных условий.
Ниденхоффер в книге «Образование спекулянта» упоминает рекомендации одного популярного аналитика и обращает внимание на нереалистичный метод торговли: аналитик постоянно подменял стоп-ауты (уровни выхода из позиции). Если бы он не фальсифицировал, на какой-то стадии у него накапливались бы потери, не разрешенные трейдерам в реальной жизни. Но «в целом» он хорошо угадывал долгосрочные тенденции.
Поэтому инвестициями, сделанными на основании чужих советов, без предварительного подстраивания их под себя, очень сложно управлять: трудно «втискиваться» в чужую логику. Советы часто вносят неразбериху в собственную стратегию. Пример из жизни: собирая по инструкции шкаф, несколько раз выверяешь свои действия по схеме, хотя она отработана другими. Как же можно следовать чужому совету без длительного его осмысления?!
Полезными часто являются не сами советы, а факты, выделяемые аналитиком. Они-то и позволяют принимающему решение удостовериться в полноте своего анализа. Таким образом, пользуясь чужой оценкой риска, инвестор должен: а) убедиться в сходном с консультантом восприятии риска и б) еще раз профильтровать ее через собственные критерии.
2. Информационные потребности: королевство кривых зеркал
Требования к информации – другая важная область, требующая самоконтроля. Рассмотрим один аспект, весьма важный для российских специалистов, работающих на международных рынках. Характер информации для принятия решения во многом зависит от национальной среды. Так, англосаксам для принятия решения требуется меньше информации (в одинаковой ситуации), чем их континентальным коллегам. Одна из причин: образование континентальной Европы базируется на французско-немецкой модели, придающей особое значение точным наукам. С ранних лет в европейцах воспитывается вера в то, что в основном все поддается исчислению, т. е. количественной оценке. Поэтому при принятии ими решений подразумевается некий порядок, который можно выявить с помощью количественных оценок. Англосаксонское образование, напротив, базируется на гуманитарной основе, и специалисты с таким образованием менее склонны ожидать полную информацию для принятия решения. Отсюда большая предрасположенность к интуитивному их принятию. В большинстве восточных культур меньше ориентируются на анализ новой информации, решениям дают вылежаться. Таким образом, потребность в информации, а также время на ее «переваривание» для оценки риска неодинаковы для людей разных национальных культур. Мы настойчиво рекомендуем учитывать национальные и психологические особенности работы с информацией на международных рынках.
Другой аспект, достойный внимания, – потребность в информации отдельного индивидуума складывается из сознательных и подсознательных потребностей. Очень часто инвестор чувствует необходимость «докопаться до истины». Даже осознавая несбыточность этого пожелания, он откладывает принятие решения. Потребность людей в информации для оценки риска явно завышена и состоит из собственно реальной потребности в ней и подсознательной потребности в самоуспокоении (как лекарства против страха).
Проблема повышенной потребности в информации очень свойственна россиянам, но при этом нужен самоконтроль подсознательных потребностей. Обратной стороной этой черты иногда бывает замедленная реакция на динамику рынка. Вещь опасная. Также негативным моментом является возникновение нередко ложного чувства защищенности: «Я проанализировал всю ситуацию!» Нахождение оптимального соотношения продуманности и интуитивности – один из ключевых элементов успеха.
3. Противоядие как яд
Весьма популярный способ борьбы с рисками – диверсификация. Изначально метод был разработан на основе анализа истории огромного числа акций. Но большинство инвесторов не могут владеть портфелями такого размера. Кроме того, указанный метод разработан с помощью компьютера и не учитывает возможных проявлений эмоциональности у человека, принимающего решения.
Известный менеджер фонда Fidelity Питер Линч называл диверсификацию похожим по звучанию термином diworsification (от английского слова «ухудшение»). Суть его в том, что качественно управлять можно лишь небольшим количеством разных рисков. Поэтому диверсификация должна быть «подогнана» к индивидуальной способности человека, принимающего решение, отслеживать информацию по разным инструментам. Например, если он купил пять акций и цена трех из них начала падать, сможет ли он рационально думать об оставшихся двух? Если нет, значит, его психологический потенциал для оценки риска не рассчитан на пять ценных бумаг.
В менеджменте существует концепция максимального количества прямых подчиненных для поддержания эффективности административных структур: менеджер не может эффективно управлять более чем 5–6 подчиненными.
Доказательством неэффективности диверсификации стала реструктуризация многоотраслевых конгломератов в США в 80-е гг. Концепция, лежавшая в ее основе, утверждала, что одна команда менеджеров не может профессионально разбираться сразу во многих отраслях; если раздробить конгломераты, то специализированные команды смогут достичь лучших результатов. Результат этой реструктуризации проявился в устойчивом росте американского рынка акций в 90-е гг., полностью подтвердившем правильность антидиверсификационной концепции.
4. Альтернативный подход
Диверсификация может быть более полезна как комбинация горизонтальных и вертикальных вариантов. Горизонтальная диверсификация достигается увеличением количества управляемых активов. Вертикальная диверсификация – это разделение рисков в пределах одного актива. Например, вместо того чтобы купить все акции по одной цене, вы можете разбить общий объем на несколько номиналов и купить их по разным ценам. Вертикальная диверсификация предполагает различные уровни входа и выхода, различное их число на различных уровнях, комбинирование используемых инструментов; но всегда – для одного и того же актива.
Вход и выход (стоп-аут) могут быть линейными (основанными на ценовом уровне) и нелинейными (на базе диапазона волатильности). В первом случае вы будете продавать акции автоматически при падении цен на определенный процент. Во втором случае вы установите уровень выхода на каждое одно стандартное отклонение. Второй метод более гибок, так как автоматически изменяет абсолютное значение одного стандартного отклонения при изменении волатильности рынка. Вход и выход могут быть осуществлены посредством разных инструментов. Например, путем приобретения опционов для защиты позиции или ее оптимизации.
Стратегия выхода – это отдельная наука, критическая для всех без исключения деловых ситуаций. Ей часто пренебрегают или упускают из виду при планировании. Автор наблюдал ситуацию, когда трейдер вышел из позиции за секунду до того, как рынок сделал то, чего он ожидал. Типичная ситуация: трейдер купил фьючерсы на S&P и вынужден был «порезать» позицию, когда рынок начал падать. А рынок стабилизировался чуть ниже точки стоп-аута и начал расти!
Стоп-аут не «убил» бы всю позицию сразу, если бы трейдер разделил его на три уровня со средней ценой, равной уровню, на котором трейдер «порезался». Если позиция была бы порезана на первых двух уровнях (один выше первоначального, а другой на первоначальном уровне) и рынок не достиг третьего уровня (ниже первоначального), трейдер заработал бы деньги на трети позиции. В этот вариант стратегии не вовлечен дополнительный риск (так как средняя трех уровней выхода равна первоначальному уровню выхода) – просто вертикальная диверсификация!
1) На прошлой неделе вы начали изучать «метод японских свечей», и он показался вам исключительно продуктивным. Раньше вы неплохо зарабатывали, но по стандартным сигналам пересечения средних. Сегодня «свечи» дали сигнал на покупку, но средние еще «молчат». Что делать?
2) Вы только что вернулись из отпуска. Ваш коллега посоветовал занять позицию с интересным потенциалом. Сейчас вы можете зайти в нее, заплатив немного больше. В прошлом ваш приятель советов вам не давал. Что вы будете делать?
3) Рынок очень волатилен и приближается к значительному сопротивлению. Вы уверены, что он оттолкнется и уйдет вниз, но опасаетесь, что кратковременно он может подняться выше сопротивления. Как вам структурировать позицию? Что, если рынок подбирается к этому уровню сопротивления второй раз за три дня, но вы все равно уверены в уровне?
4) Позавчера ночью вас разбудил брокер и сообщил о «стопе». Вчера рынок «дергался» весь вечер, и вы плохо спали. Ваша норма – пять открытых позиций. Сейчас три позиции открыты, нужно ли вам «заходить» в две новые?
1) Как правило, новые методы смущают трейдеров: они уже не могут пользоваться старыми, так как новые дают немного другие сигналы и «стопы». Другими словами, новый метод собьет вам «внутренний компас». Поэтому рекомендуется наблюдать новые сигналы, пока вы или найдете способ использовать их со старыми, или самостоятельно. В противном случае при смене методов анализа или консультантов вас могут ожидать потери.
2) Если вы не проверили консультанта, не стоит следовать его советам, потому что вы не знаете его параметров риска! Консультант может «резать» (выходить из) позиции позже вас или не выходить совсем! Поэтому необходимо проверить сопоставимость торговых стилей и его результативность.
3) Вам имеет смысл оставить заказ на покупку пут-спреда. Поскольку около важных уровней волатильности возрастают, спред позволит вам быть захеджированным, когда спот оттолкнется вниз и волатильности «осядут». Кроме того, недалеко за уровнем сопротивления вы можете оставить заказ на продажу. Такая комбинация даст вам возможность долго оставаться в позиции и меньше зависеть от угадывания «верха». Это важно, так как часто рынок зависает на критическом уровне или движение случается в другой временной зоне. Если ваши стопы близки к уровню сопротивления и рынок их достигает, вы можете не знать об этом несколько минут. Если он преодолеет сопротивление, «сорвет» стопы и опять начнет падать, у вас не будет возможности зайти снова.
Если же это повторный штурм сопротивления, трейдеры будут ставить заказы на продажу до уровня сопротивления. В этом случае вам лучше разбить заказы на три уровня: один под сопротивлением, другой на уровне сопротивления и третий над сопротивлением. В этом случае ваши максимальные потери не превысят планируемых, а шанс угадать уровень входа в позицию увеличится. Кстати, мы рекомендуем продавать колл-опционы при достижении третьего – самого высокого уровня, так как волатильность будет выше на уровне прорыва.
4) Когда два или три дня рынок вас тревожит, это, скорее всего, выбивает вас из графика работы. Можно предположить, что ваша способность реагировать на несколько рынков и, самое сложное, не позволять переносить настроение от одной позиции на другую, резко снизится. Поэтому, возможно, вам не стоит увеличивать число открытых позиций до обычного.
Дополнительная информация к главе 35
Психология трейдинга в притчах и поговорках
Однажды человек нес с базара птицу. Он уже подходил к дому, как вдруг птица встрепенулась и… заговорила: «Не волнуйся, – сказала она, – я очень образованная птица, можно сказать, мудрец среди птиц! Скажи, если я научу тебя трем истинам, ты меня отпустишь?»
Человек подумал и согласился.
«Первое – никогда не верь в чушь. Как бы тебе ни хотелось верить, но если здравый смысл говорит тебе, что такого быть не может, воздержись от соблазна.
Второе – трезво соизмеряй свои силы, никогда не делай того, в чем твои шансы на успех малы.
Третье – никогда не жалей о содеянном добре».
Человек выслушал истины и отпустил птицу. Вспорхнув, птица уселась на дерево вне его досягаемости и закричала: «Человек! Я намедни проглотила алмаз! Если бы ты меня разделал, ты стал бы богачом! Ты мог бы кормить свою семью всю жизнь! Ты бы…»
Человек обиделся, полез на дерево, но по старости не удержался и упал. Птица же подлетела к нему ближе и сказала: «Ты выслушал мои советы, как будто оценил их, но на первом же экзамене абсолютно провалился! Ну, подумай, какова вероятность того, что птица могла съесть алмаз! В своем почтенном возрасте ты разве не понимал, что на дерево тебе не влезть?! А о великодушии ты забыл сразу, как только в тебе взыграла жадность!» И с тем улетела… Так выпьем же за мудрость вождей: «Практика – критерий истины»!
В этой притче сосредоточены многие истины, столь трудно усваиваемые трейдерами и инвесторами.
Первый урок птицы
Источников соблазнительных идей множество. Например, ожидание неминуемого рыночного сверхдвижения (краха или взлета). Пользуйтесь техническим анализом. Технический анализ – метод прогнозирования рынков, основанный на истории поведения цен. «To be a great trader, you have to be a great price historian» («чтобы быть хорошим трейдером, вы должны великолепно знать историю цен»), – говорит Пол Тьюдор Джонс (Paul Tudor Jones) – один из легендарных трейдеров. Очень часто технический анализ предрекает конец тенденции или «технический прорыв». Кстати, и газеты пестрят броскими прогнозами или конца света, или краха рынка акций США, или вымирания российского населения…
Как правило, предсказания не срабатывают: мир предпочитает эволюцию, а не революцию, рынки колеблются больше 70 % времени в устойчивых интервалах и только 30 % движутся в направлении тенденций.
Почему же так хочется верить в чудо? Американцы с давних времен говорят, что «рынком правят жадность и страх». В данном случае нас влечет жадность: если рынок прорвет, правильная позиция заработает очень много! Но, как правило, то же видят все участники рынка. Отсюда вывод: как ни хочется верить в чудо, тысячи таких, как и вы, видят и знают то же самое и, скорее всего, уже заняли свои позиции, т. е. новые покупатели/продавцы не появятся. А это значит, чудо не свершится!
Именно такие моменты отслеживают биржевые трейдеры и «отжимают» ждущих чуда новичков. Предчувствуя снижение объема новых заказов на критическом техническом уровне[135] и наблюдая возросший объем недавно открытых позиций, они знают, что внебиржевые трейдеры надеются на торговлю с высоким соотношением прибыли к риску. Для этого внебиржевые трейдеры устанавливают стоп-ауты недалеко за соседним техническим уровнем. Дождавшись снижения дальнейшего интереса («все клиенты уже купили»), биржевые трейдеры «прожимают» технический уровень. Рынок доходит до уровня стоп-аутов, взлетает (или резко падает) и затем… идет своим путем в направлении, куда так стремились «несчастные» (cм. график).
По-видимому, желание «верить в чудо» – это сигнал, что нужно двигаться в противоположном направлении?
Второй урок птицы
В других областях люди могут выдавать желаемое за действительное, но в трейдинге рынок – верховный судья. Расплата часто наступает немедленно. Поэтому очень важно быть уверенным, что комментарии рынка, заложенные в основы ваших позиций, «психологически комфортны».
Психологический комфорт в критической ситуации очень часто конфликтует с жадностью на стадии принятия решения. Сплошь и рядом инвесторы увлекаются и забывают, что они располагают малыми средствами, и вкладывают их в одну идею. «Начинающие трейдеры часто проваливаются потому, что начинают со слишком больших позиций», – говорит известный трейдер Брюс Ковнер (Bruce Kovner). Рекомендую начинающим: контролируйте жадность, всегда оставляйте себе шанс вернуться на рынок и «отыграться» в случае потерь.
Аналогична ситуация, когда инвестор берет очень большую позицию, и при первом же неблагоприятном движении рынок «выбивает» его: у инвестора не выдерживают нервы. Мы уже говорили о простом способе самоконтроля. Чтобы избежать «выбивания» из позиций: а) контролируйте свою жадность на всех стадиях ведения портфеля; б) «подкладывайте соломку» под свой будущий страх – прежде чем занимать позицию, осмыслите и выберите минимальный объем, комфортный для данной сделки, и… займите позицию, размер которой в два раза меньше комфортного объема! Такой подход не даст быстрого обогащения, но «удержит вас в игре»!
Умение «оставаться в игре» – первая ступень мастерства трейдера[136]. Часто только по прошествии многих лет люди переходят к следующей стадии – способности стабильно зарабатывать. Если ваши результаты колеблются от прибылей к потерям в широких рамках, это первый признак того, что надо уменьшить размер позиции! Почему? «Чтобы выиграть, нужно рисковать; но, чтобы рисковать, нужно иметь деньги».
Третий урок птицы
Остановимся на контроле над жадностью и на практическом использовании уроков, за которые уже заплачено.
Начнем с того, что «лучше жалеть, что не имеешь позиции, чем не знать, как из нее выйти!» Как часто бывает, увлечешься, наберешь и… «ну зачем я это сделал?!» Необузданные желания разрушают дисциплину. Именно внутреннее осознание избыточного риска часто ведет к неконтролируемому страху или потере веры в свою разумность и способность достичь успеха.
Осуществляя выбранную вами стратегию, учитывайте закон биржевых трейдеров, известный как принцип пирамиды: самый большой объем следует приобретать по самой низкой цене, а минимум – по самой высокой. Руководствуясь этим принципом, какой бы данная цена ни казалась низкой, целесообразно купить только часть позиции. В случае продолжения снижения цен вы сможете купить больший объем по более низкой цене.
Конечно, этот принцип следует использовать, когда рынок находится в интервале и/или когда инвестор консервативен. Эти две ситуации покрывают более 70 % случаев. Но что делать, если рынок прорывается из интервала?
Тогда законом является «when you panic – be the first to panic»! Т. е. если паникуешь, паникуй первым! Эта рекомендация похожа на совет адмирала Колчака: «Если нечто кажется вам очень страшным, идите ему навстречу. И тогда это становится менее страшным». Если вы верите, что рынок на грани новой тенденции, то должны «закрыть глаза и дрожащими губами» отдать брокеру заказ о построении позиции в направлении нового тренда.
Почему такой драматизм? Потому что в момент прорыва рынок, как правило, находится на уровне цен, которых вы давно не видели, причины происшедшего еще не понятны, все вокруг еще надеются на возврат к старому, а уровень стоп-аута далеко… Вы – один против большинства и против своих сомнений… Как правило, такое решение изматывает и оставляет чувство полного насилия над собой… Зато потом, имея часть позиции по выгодной цене, вы можете ее увеличивать с меньшим страхом, даже если опасения ложности прорыва остаются. Т. е. первоначальное насилие над собой делает более легкими дальнейшие решения. Поэтому не бойтесь паниковать… в правильный момент!
И снова о жадности: «Trees do not grow to the skies». Эта поговорка – старинная! Она о том, что деревья не растут до небес. Нечто вроде «знай меру», заработал – часть прибыли отфиксируй.
Какую часть? «When in doubt, do a half»! Когда сомневаешься, что делать с позицией, уменьшай ее наполовину (совет и для частичных стоп-аутов, и для фиксаций прибыли).
Заканчивая мысль о дисциплине и жадности, вспомним два высказывания. Первое – известного американского журналиста в 30-е гг.: «If I buy and the market goes up, I sell! If it goes down, I sell too!» – «Купив акцию, я продаю ее, если цена идет вверх, но если цена идет вниз, я ее тоже продаю!» То есть «не влюбляйтесь» в свои идеи и позиции.
Второе, очень популярное среди биржевиков высказывание: «Bulls make money, вears make money, pigs – get slaughtered»: ««быки» – зарабатывают, «медведи» – зарабатывают, а свиньи попадают на бойню!» Те, кто придерживаются последовательной стратегии, в конце концов имеют высокие шансы заработать. Непоследовательные – проигрывают все!
О памяти
И наконец, последнее – о памяти. Один мой знакомый, в прошлом чемпион СССР по шашкам, рассказал любопытную историю. Однажды его тренер пригласил инструктора с Лубянки, прочитавшего лекцию о том, как научиться забывать. Заметьте, все стараются запомнить, а о том, что нужно уметь забывать, не вспоминают!
Представьте, что каждый день недели вы несете потери. В конце недели становится очень сложно заставить себя что-то делать, так как ваше сознание измучено поражениями. А что, если бы вы могли отвлечься от неудач и забыть их… Навыки «освобождения» памяти чрезвычайно важны для предохранения своего сознания и от паники, и от эйфории! «Не волнуйтесь об ошибках прошлого – даже произошедших три секунды назад. Беспокойтесь о своих следующих действиях», – еще один важный совет Пола Тьюдора Джонса.
Рынок всегда оказывается хитрее самых мудрых из инвесторов. Здесь нельзя не вспомнить классическую поговорку биржевиков: «Те из нас, кому повезло, родились умными, а умные предпочли бы родиться счастливыми!»
Заключение
Начиная работу с опционами, вы вступаете в измерение, которое более существенно, чем в других областях. Это измерение – время. Оно определяет скорость потери стоимости опционов и вынуждает мириться с непредсказуемостью событий в двух измерениях – направлении и времени. Напомним, что в акциях (или других базовых активах) основную роль играет фактор направления цен.
Поэтому тот, кто каждодневно не напоминает себе об ограниченности своих способностей предвидения, кто переоценивает свою выносливость к стрессу, обрекает себя на просчеты и потери. А возможно, и крах! Какой вывод? Постоянно обращать внимание на моделирование теты и психологическую реакцию на события – как собственную, так и компании, где вы работаете.
Вторая особенность работы с опционами – различие их характеристик, даже если они на один базовый актив. Как мы видели, свойства опционов с разными дельтами и сроками истечения различны. Весьма возможно, что вам будет удобно работать только с конкретным сегментом опционов, например месячными двадцатидельтовыми, поскольку именно их динамику вы будете чувствовать наилучшим образом. Но прежде чем вы найдете оптимальный вариант портфеля, необходимо понаблюдать за поведением «греков» опционов, их зависимостью от времени, ликвидностью и другими рыночными изменениями.
Третье – опционы позволяют вам принимать гибкие решения как в отношении цен, так и приспособления к вашим взглядам. Используйте эти возможности инструмента и создавайте стратегии, адекватные вашим прогнозам и финансовым возможностям.
Четвертое – в опционах нет абсолютных понятий «дорогой» или «дешевый». Долгосрочные опционы дороги вначале, но лучше сохраняют стоимость, т. к. их амортизация меньше. Премия опционов с низкой дельтой ниже премии опционов «при своих»; но они не дают одинаковой возможности заработать. По этой же причине нет смысла искать безрисковые прибыли: модель инструмента балансирует цену, риск и возможность дохода.
Иными словами, опционы заставляют уважать риск. Они требуют находить методы работы, с которыми и вы, и ваша компания чувствуют себя комфортно. Взамен они предоставят вам гибкий инструментарий для осуществления ваших планов.
Итак, мы вошли в интересную и многообразную сферу финансовых инструментов, показали целый ряд явных и скрытых проблем рынка опционов, рассмотрели ключи к «высоким технологиям», используемым разными сегментами рынка. Предложенные методы могут быть одинаково эффективны как для краткосрочных операций, так и для долгосрочных программ хеджирования и инвестирования. Успех ваших начинаний во многом предопределят правильное использование этих инструментов и квалифицированный подход к управлению созданными позициями.
Автор надеется, что эта книга поможет вам избежать дорогостоящих ошибок и достичь успеха.
Удачи вам, дорогие мои читатели!
Приложение
Моделирование[137]
I. Математические модели, лежащие в основе опционов
Ознакомившись с формулами, на основании которых оцениваются опционы и управляются опционные позиции, читатель приобретет психологическую уверенность, поскольку отсутствие пробелов в знаниях поможет избежать грубых ошибок в торговле. Но работа на финансовых рынках – это искусство, которое складывается из многих компонентов, лишь одним из которых является знание финансовой математики. Поэтому, хотя психологически важно ознакомиться с формулами, на которых базируются опционы, большинство практиков согласится, что знание формул не является необходимой составляющей успеха.
1. Базовые понятия. Выведение формулы опциона колл
Начнем с рассмотрения стандартного европейского опциона колл (call). Это контракт, дающий владельцу право в определенный момент времени купить определенный актив по определенной цене (цене исполнения).
Опционный контракт является правом, но не обязательством для его владельца. Поэтому, если владелец опциона считает, что исполнение опциона по оговоренной в контракте цене убыточно для него, он может контракт не исполнять. В этом случае неисполненный опционный контракт истечет.
Цену опциона (С) в настоящий момент определяют:
T – время, оставшееся до исполнения опциона (time to maturity);
S – цена спот актива в настоящий момент (spot price);
K – цена исполнения опциона или страйк (strike);
r – непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка (continuously compounded risk-free rate);
S(T) – цена актива в момент исполнения опциона;
– волатильность (изменчивость) цены актива (volatility).
Рассмотрим эти параметры.
Единицей измерения времени (Т) является год. Если до исполнения опциона осталось D дней, то Т вычисляется по формуле:
T = D 365.
Модель Блэка – Шолца была первой моделью для оценки опционов. Она использует в качестве базового актива акции. Модель[138] предполагает, что в момент исполнения опциона цена актива является логнормальной случайной величиной, т. е. логарифм отношения цен актива в текущий момент и в момент исполнения опциона имеет нормальное распределение. Это предположение довольно точно описывает реальные данные и позволяет в текущий момент оценить стоимость актива в будущем. В частности, исходя из него можно найти среднее значение цены актива и вероятность для нее подняться выше определенного уровня.
Для выведения формулы цены опциона Блэк, Шолц и Мертон вывели формулу стоимости акции. Она зависит от времени, оставшегося до исполнения опциона, цены базового актива в настоящий момент, непрерывно начисляемой безрисковой процентной ставки, а также еще одного параметра – волатильности актива.
– волатильность актива – параметр, характеризующий изменчивость цены актива[139].
Цена актива с большей волатильностью подвержена большим изменениям, нежели цена актива с меньшей волатильностью. В реальной жизни волатильность актива меняется в разные моменты времени, однако в данной модели мы считаем ее постоянной на протяжении всего срока действия опциона.
В момент исполнения опциона возможны две ситуации:
1) S(T) > K, т. е. цена базового актива выше цены исполнения – в таком случае прибыль от исполнения опциона равна S(T) K [актив покупается по цене K, а затем немедленно продается по текущей цене S(T)].
2) S(T) K, т. е. цена базового актив ниже цены исполнения – тогда исполнять опцион не имеет смысла, поскольку не дороже будет купить актив по текущей цене. Прибыль от исполнения в этом случае равна 0.
Следовательно, прибыль от исполнения опциона составляет
max[0,S(T) K][140].
Возможная прибыль от исполнения опциона на сегодняшний момент времени составляет:
max[0, S(T) K] e-rT,
где erT – дисконтный фактор, приводящий будущую стоимость к сегодняшней. Возможная прибыль равна внутренней стоимости, умноженной на дисконтный фактор.
Поскольку цена актива – случайная величина, то цена опциона в настоящий момент времени или текущая премия равняется математическому ожиданию возможной прибыли:
C = E{erT max[0, S(T) K)]}.
После подстановки вместо S(T) логнормальной случайной величины и проведения математических выкладок, связанных с вычислением математического ожидания, мы получаем формулу Блэка – Шолца для европейского опциона колл на акцию без начисления дивидендов:
Здесь N(x) – функция распределения стандартной нормальной случайной величины; ее можно определить из таблицы стандартного нормального распределения.
Величины d1 и d2 находятся из следующих равенств:
N(d2) – вероятность того, что опцион будет исполнен, тогда:
K erT N(d2) – дисконтированные средние ожидаемые затраты по исполнению опциона;
S N(d1) – дисконтированное среднее ожидаемое значение цены акции в момент исполнения опциона.
Таким образом, первое и второе слагаемые исходят из ваших средних ожидаемых доходов и расходов при исполнении опциона.
2. Параметры цены опциона
Из формулы Блэка – Шолца вытекает, что цена опциона зависит от следующих параметров:
r – непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка;
T – время, оставшееся до исполнения опциона;
S – цена акции в текущий момент;
K – цена исполнения опциона;
– волатильность акции.
Выясним, как исходные параметры влияют на цену колл-опциона. Для этого рассмотрим изменения каждого параметра, предположив, что остальные остаются постоянными.
Зависимость цены от страйка
С уменьшением K цена возрастает, так как опцион колл с меньшей ценой исполнения предпочтителен, поскольку предоставляет возможность купить актив по более низкой цене. Опцион с меньшим значением K стоит дороже не только потому, что вероятность его исполнения больше, но и потому, что на его исполнении вы больше зарабатываете.
Зависимость цены от волатильности
Чем больше , тем сильнее отклоняется цена акции от некоего среднего значения. С ростом цены акции возможная прибыль по опциону неограниченно возрастает, при уменьшении же цены убытки ограничены заплаченной премией, поскольку вы не обязаны исполнять опцион в убыток себе. Отсюда следует: опцион на актив с большей волатильностью должен стоить больше опциона на актив с меньшей волатильностью.
Зависимость цены от времени, оставшегося до исполнения опциона
Время, оставшееся до исполнения опциона, влияет на цену акции похожим образом. Действительно, чем больше времени до исполнения, тем больше вероятность того, что цена поднимется, и тем больше вероятность получить большую прибыль при исполнении опциона. Учитывая, что наши убытки при падении цены на акцию ограничены, становится очевидным, что с приближением к времени исполнения цена опциона уменьшается. С уменьшением времени уменьшается также и дисконтирующий множитель, приводящий будущую прибыль к сегодняшнему значению. Это увеличивает стоимость опциона, однако в меньшей степени.
Зависимость цены от изменения цены базового актива
С увеличением цены акции увеличиваются ваши ожидания того, что в момент окончания действия опциона его исполнение принесет прибыль. Следовательно, с увеличением цены актива цена опциона колл возрастает.
Зависимость цены от безрисковой ставки
С увеличением безрисковой ставки увеличиваются ваши ожидания относительно будущей цены базового актива, следовательно, с увеличением процентной ставки цена опциона колл увеличивается.
3. Влияние на модель фактора дивидендов
Теперь перейдем к вычислению цены европейского опциона колл для акции, по которой выплачиваются дивиденды. После выплаты дивидендов цена акции уменьшается. Мы предполагаем, что она уменьшается ровно на величину выплачиваемых дивидендов. Следовательно, при оценивании опциона на эту акцию необходимо учитывать будущие уменьшения ее цены. В случае европейского опциона колл предполагается, что цена акции состоит из двух компонент – рисковой и безрисковой.
Безрисковая компонента – это дисконтированная величина всех дивидендов, которые будут выплачены по этой акции до момента исполнения опциона. Сделав предположение о будущих дивидендах и отняв их от сегодняшней цены, можно найти рисковую компоненту. Цена опциона на такую акцию вычисляется как цена опциона на рисковую компоненту. В этом случае мы подставляем в формулу Блэка – Шолца вместо S величину рисковой компоненты. Если DVD (discounted value of dividends) – дисконтированное значение всех дивидендов, выплачиваемых по акции в период действия опциона, то рисковая компонента равна S DVD.
Если рассматривать опционы на индекс, то выплата дивидендов по акциям, входящим в этот индекс, происходит довольно часто. В этом случае с большой степенью точности можно считать, что дивиденты выплачиваются непрерывно.
Пусть нам нужно вычислить цену европейского колл-опциона на акции компании ААА, по которым непрерывно начисляются дивиденды по ставке q, и текущая цена которых S1. Через время Т, т. е. в момент исполнения опциона, средняя ожидаемая цена акции ААА будет не erT (как было бы в случае отсутствия дивидендов), а e(r q)T.
Рассмотрим дополнительно акции идентичной компании ВВВ, по которым не выплачиваются дивиденды, и текущая цена которых S1 eqT. Через время T средняя ожидаемая цена акции ВВВ будет равна S1 eqT erT = S1 e(r q)T, т. е. акции в среднем будут стоить одинаково, а поскольку компании идентичны, то отклонение цены их акций от среднего значения также будет одинаковым.
Следовательно, в момент исполнения опциона акции будут иметь одинаковую стоимость, а значит, исполнение опционов на эти акции с одинаковыми страйками должно либо принести одинаковую прибыль, либо не принести прибыли одновременно.
При условии безарбитражности рынка на текущий момент времени европейский опцион с одним и тем же страйком на обе акции стоит одинаково, и его цена может быть вычислена по формуле Блэка – Шолца для акции без дивидендов после подстановки в нее S1 eqT вместо S.
Итак, C1 – цена опциона колл на акцию с дивидендами имеет следующий вид:
Величины d1 и d2 находятся из следующих равенств:
4. Цена опциона пут. Формула паритета пут/колл
Пока мы рассматривали только опцион колл. Теперь перейдем к рассмотрению опциона пут. Владелец опциона пут имеет право в определенный момент времени продать актив по заранее оговоренной цене. Как и в случае опциона колл, владелец может не исполнять опцион, если его исполнение для него невыгодно.
При расчете премии, выплачиваемой по опциону пут на акцию без дивидендов, можно использовать формулу паритета пут/Колл (put/call parity). Эта формула описывает зависимость между величнами премии по опционам пут и Колл на один и тот же базовый актив, имеющим одинаковый страйк K и время до исполнения Т.
Для вывода зависимости рассмотрим два портфеля.
Первый состоит из одного опциона колл и K erT долларов, которые мы вкладываем под процент r на время T.
Второй состоит из одного опциона пут и одной акции.
Рассмотрим стоимость портфелей в момент исполнения опционов при разных значениях цены на акцию в тот момент времени S.
Первый портфель:
S(T) > K.
В этом случае после исполнения опциона мы получим прибыль S(T) – K, а вложенные в начале периода K e – rT долларов вырастут до K долларов. Следовательно, стоимость портфеля равна
S(T) K + K = S(T),S(T) < K.
В этом случае исполнение опциона невыгодно. Следовательно, стоимость портфеля равна стоимости денег, т. е. K.
S(T) = K.
В этом случае при исполнении и при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = K.
Второй портфель:
S(T) > K.
В этом случае продажа акции по цене K невыгодна, так как текущая цена выше. Стоимость портфеля равна стоимости одной акции, т. е. S.
S(T) < K.
В этом случае мы исполняем опцион и продаем акцию по цене K, которая выше текущего курса. Стоимость портфеля равна K.
S(T) = K.
В этом случае при исполнении и при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = K.
Нетрудно заметить, что в момент исполнения опционов оба портфеля имеют одинаковую стоимость при любом значении цены акции. Условие безарбитражности рынка позволяет сделать вывод, что и в данный момент оба портфеля должны стоить одинаково, т. е.
C + K erT = P + S.
Здесь
S – текущая цена акции;
K – цена исполнения опционов;
C – стоимость опциона колл;
P – стоимость опциона пут.
Полученное равенство называется формулой паритета колл/пут.
Исходя из нее, получаем, что цена опциона пут на акцию без дивидендов равна:
P = K erT N(d2) S N(d1),
где d1 и d2 такие же, как в формуле для цены опциона колл на акцию без дивидендов.
Если на акцию начисляются дивиденды по ставке q, то цена опциона пут равна:
P1 = K erT N(–d2) S e – q T N(d1),
где d1 и d2 такие же, как в формуле для цены опциона колл на акцию с непрерывно начисляемыми дивидендами.
1) Рассматривается акция, по которой непрерывно начисляется дивиденд по ставке q = 5 %. Текущая цена акции $50, волатильность 60 %, непрерывно начисляется безрисковая ставка 7 %. Найдите вероятность исполнения трехмесячного европейского опциона колл на эту акцию в случаях, когда цена исполнения составляет $40 и $60.
2) Инвестор приобрел 5 полугодовых европейских опционов колл на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды. Определите средние затраты инвестора по исполнению опциона колл, если известны следующие данные:
• цена акции в настоящий момент $50;
• цена исполнения опционов $60;
• волатильность акции и безрисковая ставка на следующие полгода равны 70 % и 8 % соответственно.
3) Рассмотрим трехмесячный опцион колл на акции без дивидендов. Текущая цена акции $50, цена страйк $49, безрисковая ставка – 5 %. Сколько стоит трехмесячный опцион пут на эту акцию с таким же значением страйк, если опцион колл стоит $5?
1) Сначала рассмотрим опцион с ценой исполнения $40. Вероятность его исполнения равна N(d2).
d2 = [ln(S /K) + (r q – /2) T] [ T] =
= [ln(50 40) + (0,07 0,05 0,36 2) 0,25] [0,6 0,5] =
= [0,223 0,04] [0,3] = 0,61.
N(d2) = N(0,61) = 0,7291.
Для K = $60 имеем:
d2 = [ln(S /K) + (r q /2) T] [ T] =
= [ln(50 60) + (0,07 0,05 0,36 2) 0,25] [0,6 0,5] =
= [0,182 0,04] [0,3] = 0,74.
N(d2) = N(0,74) = 0,2296.
2) В случае исполнения опционов инвестор должен будет потратить 5 $60 = $300 на покупку акций. В случае неисполнения опционов затраты инвестора равны 0. Средние затраты AC (average costs) будут равны затратам на исполнение, умноженным на вероятность исполнения опционов.
AC = 300 N(d2).
В данной задаче:
S = 50;
K = 60;
r = 8 % = 0,08;
= 70 % = 0,7;
T = 0,5.
d2 = [ln(S /K) + (r – /2) T] [ T] =
= [ln(50 60) + (0,08 0,49 2) 0,5] [0,7 0,707] =
= [0,182 0,083] /[0,495] = –0,54.
N(d2) = N(0,54) = 1 N(0,54) = 0,2946.
AC = 300 0,2946 = 88,38.
