Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса Стюарт Иэн
с особым символом для 10. Первые признаки того, что постепенно приняло вид современной системы чисел, обнаружены в текстах брахми, датируемых примерно 300 г. до н. э. В буддийских текстах того времени найдены прообразы позднейших индийских символов для 1, 4 и 6. Но в системе брахми использовались разные символы для умножения на 10 и на 100, т. е. она оказалась ближе к греческой символике. Разница в том, что здесь предпочтение отдавалось символам, а не буквам алфавита. Брахми не была позиционной системой. К 100 г. н. э. сформировалась ее полная запись. Изображения в пещерах и на монетах доказывают, что ею продолжали пользоваться до IV в. н. э.
В IV–VI вв. на большую часть Индии распространилась власть империи Гуптов, и система чисел брахми преобразуется в систему гупта. Затем ее преобразуют в систему нагари. Суть оставалась прежней, менялись лишь символы.
Возможно, индусы изобрели позиционную систему еще в I в. н. э., но первые достоверные свидетельства использования такой записи чисел относятся к 594 г. Существует официальный документ, датированный 346 г. по календарю Чеди, но ряд ученых считают эту дату поддельной. Однако есть общее мнение, что позиционную систему в Индии стали использовать около 400 г. н. э.
Цифры в системе брахми
Однако, поскольку символов было всего девять, от 1 до 9, возникала проблема двусмысленности обозначения. Например, что значит 25? Это может (в нашей системе) значить 25, или 205, или 2005, или 250 и т. д. В позиционной системе, где значение цифры зависит еще и от ее места, очень важно определить положение так, чтобы избежать двусмысленности. Сегодня мы добиваемся этого, используя десятый символ – ноль (0). А у древних цивилизаций ушло немало времени на то, чтобы выявить проблему и решить ее таким путем. Одной из причин была философская: как может ноль быть цифрой, если цифра обозначает количество предметов? Разве ничто можно сосчитать? Другая – практическая: обычно из контекста и так было ясно, что 25 означает именно 25, или 250, или что-то еще.
Незадолго до 400 г. до н. э. – точную дату установить невозможно – вавилоняне ввели специальный символ, чтобы показать пропущенную позицию в обозначениях цифр. Это освободило писцов от необходимости тратить силы на то, чтобы оставлять тщательно выверенное пустое место, и позволило легко и без ошибок определять число даже в случае, если оно было записано небрежно. Но об этом изобретении почему-то забыли (или оно не дошло до поздних культур), пока его заново не открыли индусы. Манускрипт Бакшали, дата написания которого пока точно не установлена, относят к периоду примерно между 200 и 1100 гг. н. э. Он содержит жирную точку. Джайнистский текст Локавибхаага 458 г. использует идею нуля, но не символ. Позиционная система, всё еще без нуля, представлена Арьябхатой в 500 г. н. э. В дальнейшем индийские математики также использовали понятие «ноль», но не символ. Первое бесспорное использование нуля в позиционной системе, датированное 876 г. н. э., появляется на каменных скрижалях Гвалиора.
Брахмагупта, Махавира и Бхаскара
Самыми выдающимися математиками Древней Индии считают Арьябхату (род. 476), Брахмагупту (род. 598), Махавиру (XI в.) и Бхаскару II (род. 1114). Формально их следовало бы причислить к астрономам, поскольку в то время математика считалась одной из астрономических техник. Их математические выкладки были разбросаны в отдельных главах в трудах по астрономии: никто не придавал им статуса самостоятельной науки.
Арьябхата утверждал, что свой труд «Арьябхатия» он создал в 23 года. Несмотря на краткость изложения, посвященный математике раздел его книги напичкан сведениями: буквенная система записи чисел, правила арифметики, методы решения простых и квадратных уравнений, тригонометрия (включая функции синуса и «обращенного синуса» 1 – cos ). Также ему принадлежит превосходное по точности приближение 3,1416 для числа .
Брахмагупта – автор двух книг: «Брахма-спхута-сиддханта» и «Кханда-кхадьяка». Первая – самая важная: это астрономический текст с углублением в математику, с арифметическими и словесными эквивалентами простой алгебры. Вторая книга в числе прочего включает замечательную интерполяционную формулу для вычисления синусов на основе небольшого числа известных табулированных значений этой функции: используются значения большего и меньшего углов, чем искомый.
Махавира исповедовал джайнизм и включил много положений этой религии в свой труд по математике, «Ганита-сара-самграха». Эта книга во многом повторяет труды Арьябхаты и Брахмагупты, но идет гораздо дальше и в целом намного сложнее. Она содержит описание дробей, перестановок и комбинаций, решение квадратных уравнений, теорему Пифагора и попытку вычислить периметр эллипса.
Бхаскара (известный также как «учитель») написал три известных труда: «Лилавати», «Биждаганита» и «Сиддханта-широмани» («Венец учения»). Согласно Фейзи, придворному поэту при могольском императоре Акбаре, дочь Бхаскары звали Лилавати. Отец решил составить ей гороскоп и вычислить точное время ее свадьбы. Чтобы придать своим манипуляциям наибольшую эффектность, он поместил дырявую чашку в таз с водой, так что в самый ответственный момент она должна была погрузиться на дно. Но Лилавати так низко наклонилась над водой, что жемчужинка с ее расшитого бусами платья отскочила и упала в чашку, закупорив дырку. Чашка так и не утонула, а это означало, что день свадьбы Лилавати никогда не наступит. Чтобы утешить дочь в ее горе, Бхаскара написал для нее труд по математике. Правда, легенда не уточняет, что подумала об этом сама девушка.
Древняя обсерватория Джантар-Мантар возле Джайпура. Сегодня очевидно, что дизайнер был прекрасным математиком
«Лилавати» посвящена сложным идеям арифметики и содержит метод девятки, при котором числа заменяют суммой составляющих их цифр, чтобы проверить результат вычислений. Там же приводятся правила проверки делимости на 3, 5, 7 и 11. Четко прописаны функции нуля как самостоятельной цифры. В «Биждаганите» мы находим способы решения уравнений. «Сиддханта-широмани» связана с тригонометрией: здесь есть таблицы синусов и различные тригонометрические соотношения. Репутация Бхаскари была столь прочной, что его книги переиздавали вплоть до начала XIX в.
ЧТО ДАВАЛА АРИФМЕТИКА ИМСамый древний из дошедших до нас математических текстов Китая – книга, отредактированная Чжан Цаном и датируемая примерно 100 г. н. э. Типичная задача такова: «Два с половиной пикуля риса были куплены за 3/7 ляна серебра. Сколько пикулей можно купить за 9 лянов?» Предполагаемое решение использует математический принцип, названный средневековыми математиками тройным правилом. В современных обозначениях, взяв за х неизвестное искомое количество, найдем:
откуда x = 521/2 пикуля. Пикуль – мера веса, приблизительно равная 60,5 кг.
Индийская система
Индийская система начала распространяться по арабскому миру еще до того, как полностью сформировалась на родине. Ученый Север Себохт так описывал ее использование в Сирии в 662 г.: «Я опущу все дискуссии о науке в Древней Индии ‹…› об их превосходных открытиях в астрономии ‹…› и других ценных методах вычисления ‹…› я хочу лишь сказать, что все эти вычисления были сделаны при помощи девяти цифр».
В 776 г. при дворе Великого халифа появляется путешественник из Индии и демонстрирует свои способности в сиддханта – методе подсчетов, а также в тригонометрии и астрономии. Судя по всему, основой его вычислений служила «Брахма-спхута-сиддханта» Брахмагупты, написанная в 628 г., но в любом случае его труд был прекрасно переведен на арабский.
На первых порах индийской системой пользовались только ученые, и лишь позже этот метод стал распространяться в арабском деловом сообществе, а потом и в быту, вплоть до 1000 г. Но изданный в 825 г. труд Аль-Хорезми «Книга об индийском счете» принес индийской системе широкую известность в арабском мире. Четырехтомный труд другого математика, Аль-Кинди, «О применении индийской арифметики» (830) укрепил уверенность ученых в возможности записать любое число при помощи всего десяти цифр.
Темные века
Арабский и индийский мир делали выдающиеся шаги как в математике, так и в остальных науках, а Европу охватил период относительного застоя, хотя Средние века всё же нельзя назвать темными временами в полном смысле. Было заметно продвижение вперед, но медленное и будто нерешительное. Скорость изменений стала нарастать с момента, когда в Европе распространились научные открытия Востока. Из европейских стран Италия расположена ближе всего к арабскому миру, и вполне естественно, что достижения соседей, умудренных в математике, попадали в Европу через Италию. Венеция, Генуя и Пиза уже в то время были важными центрами торговли, и купеческие корабли ходили отсюда до Северной Африки и восточного побережья Средиземноморья. Они активно обменивали европейскую шерсть и древесину на шелк и специи.
Помимо торговли в прямом смысле – материальными ценностями, – не менее активно велись и «продажи» научных идей. Именно по торговым путям в Европу проникли арабские открытия в математике и других науках, зачастую передаваемые из уст в уста. Благодаря торговле Европа добилась процветания, на смену бартеру пришли деньги, система расчетов, вкладов и пошлин стала намного сложнее. Эквивалентом карманному калькулятору того времени был абак – простые счеты, где костяшки на проволоке изображали числа. Но эти числа требовалось еще и записать на бумаге для легитимности сделок и составления отчетов. Купцы отчаянно нуждались в надежном способе записи чисел, а также в простых и быстрых методах вычислений.
Влиятельной фигурой был в то время Леонардо Пизанский, более известный под прозвищем Фибоначчи, чей труд «Книга абака» был опубликован в 1202 г. (По-итальянски «abbaco» означает «вычисление», так что не стоит путать его с абаком – латинскими счетами.) В своей книге Леонардо познакомил Европу с индийско-арабскими обозначениями цифр.
Эволюция западных символов цифр
В «Книге абака» есть одно нововведение, сохранившееся до наших дней: горизонтальная черта в дроби. Индусы использовали те же символы, но без черты; судя по всему, первыми ее предложили арабы. Фибоначчи применял ее очень часто, но его подход отличается от современного. Например, он мог одну черту использовать как элемент сразу нескольких самостоятельных дробей.
Поскольку дробям в нашей истории отводится крайне важное место, стоит сделать несколько уточнений. В такой дроби, как , 4 в нижней половине показывает, что нужно поделить единицу на четыре равные части, а 3 в верхней половине – что нужно выбрать три из этих единиц. Более формально: 4 – знаменатель, а 3 – числитель. Для удобства работы дроби несколько видоизменились: три четверти изображают как 3/4 или 3/4. Горизонтаьную черту заменила косая, или слеш.
ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКИЙ (ФИБОНАЧЧИ) 1170–1250
Леонардо родился в Италии и вырос на севере Африки, где его отец Гильермо трудился дипломатом, обеспечивая мирную торговлю с Беджаей (современным Алжиром). Сопровождая отца в деловых поездках, мальчик быстро усвоил арабскую систему записи чисел и оценил ее значение. В 1202 г. в своей «Книге абака» он пишет: «Когда отец мой был назначен на должность таможенного чиновника, заведовавшего в Беджае делами стекавшихся к нему пизанских торговцев, он в отрочестве моем призвал меня к себе и предложил несколько дней учиться счетному искусству, сулившему немало удобств и выгод для моего будущего. Наученный благодаря мастерству учителей основам индийского счета, я приобрел большую любовь к этому искусству».
Его книга открывает для Европы индийско-арабский способ записи чисел и содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные исключительно полно и глубоко, а также дает примеры решения практических задач, в частности связанных с торговлей. И хотя прошло еще несколько веков, пока индийско-арабские символы окончательно вытеснили из обихода привычный абак, преимущества этой стройной системы записи и подсчетов вскоре стали очевидны.
Леонардо также известен под прозвищем Фибоначчи (от Filius Bonacci, или «сын Боначчи»), но это имя не появлялось в письменных трудах до XVIII в. Псевдоним был дан ему позже, предположительно Гийомом Либри.
Мы не так часто прибегаем на практике к обыкновенным дробям. Гораздо чаще используются десятичные: например, = 3,14159 – не точно, но вполне достаточно для большинства подсчетов. Стоило бы сделать рывок к десятичным дробям, но мы договорились следовать за идеей, а не хронологией, и придется перейти к дальнейшим фактам. Итак, переносимся в 1585 г., когда Вильгельм Оранский избрал фламандца Симона Стевина советником своего сына Морица, графа Нассауского.
Воспользовавшись возможностью, Стевин сумел сделать хорошую карьеру, став инспектором водных сооружений, главным военным квартирмейстером и под конец – министром финансов. Он быстро осознал необходимость в точных процедурах бухгалтерского учета и обратился к итальянским математикам эпохи Возрождения, а также к переложению для Европы индийско-арабской системы счисления, сделанному Леонардо Пизанским. Он находил вычисления при помощи простых дробей громоздкими и неудобными и предпочел бы более точную и аккуратную систему, предложенную вавилонянами, – если бы в ее основании не находилось число 60. Стевин попытался найти вариант, сочетавший лучшие черты подходов, и изобрел десятеричный аналог вавилонской системы – десятичные дроби.
Стевин опубликовал арифметику десятичных дробей, а также пылкую и аргументированную статью о полезности их применения: «Все необходимые для делопроизводства вычисления можно будет делать с помощью целых чисел, без добавления дробей».
В его системе еще не использовалась знакомая нам запятая, но она очень скоро приняла современный вид. Там, где мы бы написали 5,7731, Стевин писал . Символ обозначал целое число, – одну десятую, – одну сотую и т. д. Привыкнув к этой системе, люди вскоре отказались от символов , и т. д., оставив только , который сократился и упростился до обычной запятой.
Отрицательные числа
Математики все числа, употребляемые при счете, называют натуральными. Добавив к ним отрицательные числа, мы получим множество целых чисел. Рациональные числа – положительные и отрицательные дроби, вещественные числа (действительные) – положительные и отрицательные десятичные дроби со сколь угодно большим числом цифр после запятой.
Как же отрицательные числа вошли в историю?
На заре первого тысячелетия в Китае вместо абака пользовались системой счетных палочек. Чтобы изображать числа, их выкладывали группами.
Верхний ряд на картинке показывает вертикальные палочки, представляющие единицы, сотни, десятки тысяч и т. д., соответствовавшие их положению в ряду символов. Нижний – горизонтальные палочки, представляющие десятки, тысячи и т. д. Здесь мы имеем два чередующихся типа. Подсчеты велись с помощью обоих типов палочек.
Счетные палочки древних китайцев
Для решения системы двух линейных уравнений китайские математики должны были разложить палочки на столе. Они использовали красные для чисел, которые собирались прибавлять, и черные – для вычитания. И тогда для решения системы уравнений, которую мы бы записали так:
3x – 2y = 4
x + 5y = 7,
они бы выложили в виде двух колонок на столе: одно с числами 3 (красные), 2 (черные), 4 (красные) и другое – 1 (красная), 5 (красные), 7 (красные).
Красно-черная система обозначения не приводит нас к отрицательным числам, это пока всего лишь операция вычитания. Однако она уже близка к самой «чжэн фу шу» – концепции положительных и отрицательных чисел. Здесь отрицательное число представлялось с использованием того же набора палочек, что и для положительных, с дополнительной отметкой в виде косой палочки над цифрой.
Уравнения в китайском стиле. Серыми изображены красные палочки
Согласно Диофанту, все числа могут быть только положительными. Он отвергал возможность существования отрицательных решений для уравнений. Но индийские математики считали отрицательные числа очень удобными для обозначения долгов в финансовых подсчетах: задолжать кому-то некоторую сумму в финансовом смысле считалось худшим вариантом, чем вообще не иметь денег. Ясно, что долг должен быть меньше 0. Если у вас было три фунта, а вы заплатили два, то у вас осталось 3–2 = 1 фунт. Иными словами, если у вас был долг два фунта, а вы получили три, ваша чистая прибыль составляет –2 + 3 = 1. Бхаскара замечает, что если конкретная задача имеет два решения, 50 и –5, то второе его категорически не устраивает: «Его не следует учитывать, потому что люди не приемлют отрицательных решений».
Несмотря на эти препятствия, мало-помалу отрицательные числа завоевывали себе место. И в реальных вычислениях их необходимо было как-то обозначать. Иногда они ставили ученых в тупик, иногда показывали долги, иногда обозначали движение вниз, а не вверх. Но какой бы ни была интерпретация, они превосходно служили арифметике и оказались так полезны в подсчетах, что глупо было бы от них отказываться.
Арифметика бессмертна
Мы так привыкли к нашей числовой системе, что готовы считать ее единственно возможной, по крайней мере единственной удобной. Но она развивалась тяжело, со множеством тупиковых ветвей, на протяжении тысячелетий. А еще у нее было много альтернатив, даже в таких ранних культурах, как майя. Иные обозначения для цифр 0–9 остаются в ходу в ряде стран. Да и в наших компьютерах внутренняя система счисления двоичная, а не десятичная: специально встроенные в них программы преобразуют числа в десятичную форму, прежде чем выводят их на экран или принтер.
ЦИФРЫ ДРЕВНИХ МАЙЯЗамечательная система счисления, основанная вместо 10 на 20 символах, была изобретена народом майя, населявшим Южную Америку около 1000 г. н. э. В двадцатеричной системе символы, эквивалентные нашим цифрам 347, будут обозначать следующее:
3 400 + 4 20 + 7 1
(поскольку 20 20 = 400), что равно 1287 в нашей системе обозначения. Настоящие символы майя показаны сверху.
Скорее всего, переход ранних цивилизаций к десятичной системе обусловлен тем, что у человека на руках десять пальцев. Тогда логично предположить, что 20 цифр майя соответствуют 20 пальцам на рках и ногах.
Наша жизнь теперь неотделима от компьютеров, так стоит ли по-прежнему учить детей арифметике? Да, и по многим причинам. Кому-то надо уметь конструировать и собирать калькуляторы и компьютеры и обучать их командам. Для этого необходимо понимать арифметику: как и почему она работает, а не только как ею пользоваться. И если ваши арифметические способности сводятся к чтению чисел на экране калькулятора, скорее всего, вы и глазом мигнуть не успеете, как прозеваете чек с ошибкой в супермаркете. Без владения базовыми арифметическими действиями вы останетесь профаном во всем, что касается математики. Нашей цивилизации очень скоро придет бесславный конец, если мы начнем преподавать арифметику выборочно: ведь нельзя определить по ребенку в возрасте пяти лет, станет ли он инженером или ученым или хотя бы банковским служащим либо бухгалтером.
Конечно, раз вы уже владеете всей премудростью арифметики, использование калькулятора сэкономит кучу времени и сил. И всё же, как вы не станете учиться ходить, опираясь на костыль, так вы не сможете постичь законы взаимодействия чисел, полагаясь только на калькулятор.
ЧТО АРИФМЕТИКА ДАЕТ НАММы постоянно пользуемся арифметикой и в быту, и в торговле, и в науке. До появления электронных калькуляторов и компьютеров мы вдобавок делали подсчеты вручную: при помощи ручки и бумаги, или таких простых приспособлений, как счеты, или арифметических таблиц готовых расчетов (например, таблиц сложения и умножения). Сегодня большинство арифметических действий происходит вне поля зрения, в электронном виде: например, в супермаркете вам выдадут чек с суммой покупки и сдачу, а банк сообщит об изменении суммы на счете – без специального обращения к специалистам. Общее «количество» арифметических действий, происходящих в повседневной жизни каждого из нас, весьма впечатляет.
Арифметические подсчеты в компьютере происходят не в десятичном формате. Используется двоичная система. Это значит, что вместо наших единиц, десятков, сотен, тысяч и т. д. компьютеры используют 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и т. д. – степени двойки, где каждое число вдвое больше предыдущего (именно поэтому карта памяти для вашей цифровой камеры имеет нелепую на первый взгляд емкость в 256 мегабайт). Для компьютера число 100 будет разбито по степеням двойки как 64 + 32 + 4 и сохранено в виде 1100100.
Глава 4. Соблазнение неизвестным
Использование символов в математике выходит далеко за пределы обозначения цифр. Это становится ясно даже при поверхностном знакомстве с любым математическим текстом. Первый важнейший шаг к сложным символьным выкладкам, за пределы изображения цифр, был совершен в области решения задач. Многие древние тексты, вплоть до периода Старого Вавилона, рассказывают читателям о некоем неизвестном количестве, а потом предлагают его определить. Стандартная форма задачи (в литературном изложении) на вавилонских табличках такова: «Я нашел камень, но не знаю его веса». Предоставив дополнительную информацию – «когда я добавил второй камень в половину веса первого, их общий вес составил 15 джин», – ученику предлагают вычислить вес исходного камня.
Алгебра
Такие задачи дали толчок к развитию области знаний, которую мы называем алгеброй: где числа представлены буквами. Неизвестная величина по традиции называется x, а сопутствующие условия излагаются в виде математических формул. Ученикам предлагается с помощью стандартных методов вычислить значение x по формулам. Например, упомянутую выше вавилонскую задачу мы запишем в виде уравнения x + 1/2 x = 15, и мы должны узнать, как вычислить x = 10.
На школьном уровне алгебра – ветвь математики, в которой неизвестные числа обозначены буквами, арифметические действия – специальными символами, а главная задача – вывести неизвестные из уравнений. Типовая задача школьной алгебры – поиск x, заданного в уравнении x2 + 2x = 120. Это квадратное уравнение имеет одно положительное решение, x = 10.
Здесь x2 + 2x = 102 + 2 10 = 100 + 20 = 120. Также оно имеет одно отрицательное решение, x = –12.
Тогда x2 + 2x = (–12)2 + 2 (–12) = 144 – 24 = 120. Древние принимали положительные результаты, но не отрицательные. Мы признаем оба варианта: во многих задачах отрицательные числа имеют реальное значение и соответствуют физически возможным ответам. Вдобавок математика становится проще, если принять их существование.
В продвинутой математике использование символов для обозначения чисел сводится к ничтожной части этой области знаний, отражающей ее первые шаги. Алгебра рассказывает о свойствах выражений и уравнений с использованием буквенных символов, и речь уже о структуре и форме, а не только о числе. Этот более широкий взгляд развился в период, когда математики пошли дальше простой алгебры школьного уровня. Вместо того чтобы пытаться решать конкретные уравнения, они предпочли всмотреться в глубинные структуры процесса решения.
Как развивалась алгебра? Сначала это были задачи и методы. Со временем она приобрела символическую систему обозначений, которую мы считаем ее главным достоинством. Было много систем обозначений, но постепенно одна вытеснила конкурентов. Само название «алгебра» тоже возникло в процессе, и оно имеет арабские корни (об этом говорит начальное «аль», арабский эквивалент артикля the, что и указывает на происхождение).
Табличка из Старого Вавилона с клинописной записью алгебро-геометрической задачи
Уравнения
То, что мы сейчас называем решением уравнений (когда неизвестная величина должна быть найдена на основе имеющейся информации), почти так же старо, как и арифметика. Есть косвенные доказательства тому, что вавилоняне умели решать весьма сложные уравнения еще в 2000 г. до н. э., и прямые свидетельства решения несложных задач в виде клинописных табличек, датируемых примерно 1700 г. до н. э.
Сохранившаяся часть таблички YBC 4652, из периода Старого Вавилона, содержит 11 простых задач для решения, а по сопроводительному тексту можно понять, что изначально их было двадцать две. Вот типичный вопрос:
«Я нашел камень, но не знаю его вес. После того как я взял его вес шесть раз, добавил 2 джина и добавил одну треть от одной седьмой [этого нового веса], умноженной на 24, я взвесил его. В результате получилось 1 ма-на. Сколько весил исходный камень?»
Вес 1 ма-на равен 60 джинов.
В современных обозначениях мы примем за x вес исходного камня в джинах. Тогда решение будет выглядеть так:
(6x + 2) + 1/3 1/7 24(6x + 2) = 60,
и стандартные алгебраические методы дают результат 4 1/3 джина. На табличке есть этот ответ, но нет решения, объясняющего, как он был получен.
Явно его получили не с использованием символических методов, похожих на современные, поскольку ниже в табличке прописаны методы решения с точки зрения типичных учебных примеров: «Поделите пополам это число, добавьте сумму этих двух, извлеките квадратный корень…» и т. д.
Эта задача, заодно с прочими на табличке YBC 4652, представляет то, что сейчас мы зовем линейными уравнениями: неизвестное x входит в него только в первой степени. Любое из линейных уравнений можно представить в виде
ax + b = 0,
с решением x = –b/a. Но в древние времена, когда не было понятий отрицательных чисел и символьных операций, поиск результата был не ак прост. Даже сейчас некоторые школьники не сразу решат задачи с таблички YBC 4652.
Интереснее квадратные уравнения, в которых неизвестное возведено во вторую степень – квадрат. В современной формулировке это уравнение вида:
ax2 + bx + c = 0,
и здесь тоже есть стандартная формула для вычисления x. Подход древних вавилонян к этим уравнениям изложен в задаче на табличке BM 13901:
«Я семь раз добавил сторону моего квадрата и 11 раз – его площадь, [получив] 6;15».
Здесь 6;15 – упрощенная форма вавилонской шестидесятиричной системы и означает 6 плюс 15/60, или 6 1/4 в современных обозначениях. Предлагаемое решение начинается так:
«Запиши 7 и 11. Умножь 6;15 на 11, [получи] 1,8;45. Раздели 7 на 2, [получи] 3;30 и 3;30. Перемножь, [и получи] 12;15. Сложи [это] с 1,8;45, [получи] результат 1,21. Это есть квадрат 9. Вычти 3;30, которое ты перемножал, из 9. Результат вычисления 5;30. Величину, обратную к 11, нельзя найти. На что надо умножить 11, чтобы получить 5;30? [Ответ равен] 0;30, сторона квадрата равна 0;30».
Обратите внимание: табличка указывает читателю, что делать, но не почему. Это не более чем алгоритм. Кому-то необходимо было понять, как это работает, прежде всего чтобы записать способ решения. Но, будучи однажды открытым, он становится доступным каждому обученному. Мы так и не знаем, то ли вавилоняне заучивали алгоритм наизусть, то ли должны были сами объяснять, почему он работает.
Приведенный выше алгоритм выглядит размытым, однако интерпретировать его всё же проще, чем мы могли бы подумать. И здесь очень помогает использование рациональных чисел: мы сразу понимаем, какие правила пошли в ход. Чтобы обнаружить их, достаточно просто привести всё к системе. В современной записи имеем:
a = 11, b = 7, c = 6;15 = 61/4.
Тогда уравнение примет вид:
ax2 + bx = c,
соответственно с данными значениями для a, b и c. Нам нужно найти x. Вавилонское решение диктует нам следующее.
1. Умножить с на а, чтобы получить ас.
2. Разделить b на 2, чтобы получить b/2.
3. Возвести в квадрат b/2, чтобы получить b2/4.
4. Сложить это с ас, что даст ас + b2/4.
5. Извлечь из этого квадратный корень, чтобы получить
6. Вычесть из этого b/2, чтобы получить
7. Разделить это на а, и ответ будет
Это эквивалентно формуле
Вавилоняне явно отдавали себе отчет в том, что их решения являются неким обобщением. Приведенный пример слишком сложен, и его можно считать специальным, подобранным только для данной задачи.
Как относились к своему методу сами вавилоняне и что о нем думали? Похоже, должна была быть некая упрощенная идея, лежавшая в основе такого сложного процесса. Возможно, хотя напрямую это и не доказано, что они изобрели некую геометрическую идею, дополняющую квадрат. Алгебраическая версия этого метода также рассматривается в наши дни. Для ответа на этот вопрос мы его для ясности запишем в виде x2 + ax = b и приведем на рисунке его геометрическую интерпретацию.
Здесь квадрат и первый прямоугольник имеют высоту x; их ширина равна соответственно x и a. Меньший прямоугольник имеет площадь b. По вавилонскому рецепту мы легко делим первый прямоугольник на две половины:
Два новых прямоугольника мы можем переместить и совместить с краями квадрата:
Получившаяся слева фигура так и просится быть дополненной до большого квадрата, с добавлением затененного квадрата.
Чтобы уравнение оставалось верным, такой же квадрат должен быть добавлен и к левой фигуре. Но теперь мы определяем площадь последней как квадрат стороны (x + a/2), и геометрическая схема эквивалентна алгебраическому выражению:
x2 + 2(a/2 x) + (a/2)2 = b + (a/2)2.
Поскольку левая часть – квадрат суммы, мы можем переписать это так:
(x + a/2)2 = b + (a/2)2,
чтобы потом извлечь из него квадратный корень:
и наконец переписать в виде
что в точности повторяет вавилонский вариант решения.
Ни на одной из табличек не найдено подтверждения гипотезе, что вавилоняне воспользовались этой геометрической схемой для получения своего алгоритма. Но такое объяснение не лишено смысла, так как косвенно подтверждается схемами, изображенными на других табличках.
Аль-джабр
Слово «алгебра» происходит от арабского «аль-джабр» – термина, использованного Мухаммадом ибн Мусой аль-Хорезми, ставшим известным в 820 г. В его работе «Краткая книга об исчислении аль-джабры и аль-мукабалы» изложены основные методы решения уравнений с неизвестными.
Аль-Хорезми использует слова, а не символы, но его методы узнаваемы и практически не отличаются от тех, которым нас учат сегодня. «Аль-джабр» означает «восполнение равных количеств к обеим сторонам уравнения». Так, мы начинаем:
x – 3 = 5
и выводим, что
x = 8.
Фактически мы делаем свой вывод, прибавляя по 3 к каждой из сторон. «Аль-мукабала» имеет два смысла. Вот его особый смысл: «вычитание равных количеств из обеих сторон уравнения», чем мы и занимаемся, переходя от
x + 3 = 5
к ответу
x = 2.
Но есть и более общий смысл: «восстановление», т. е. приведение подобных членов в обеих частях уравнения. Аль-Хорезми дает общие правила для шести видов уравнений, с помощью которых можно решить все линейные и квадратные уравнения. В его работах представлены идеи элементарной алгебры, но без использования символов.
Кубические уравнения
Итак, вавилоняне умели решать квадратные уравнения, и их метод был по существу таким же, какому нас учат сегодня. Алгебраически самое сложное в нем – квадратный корень, и присутствует несколько стандартных арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление). Ожидаемым следующим шагом становятся кубические уравнения, включающие неизвестное в кубе. Их мы пишем так:
аx3 + bx2 + cx + d = 0,
где x – неизвестное, а коэффициенты a, b и c – известные. Но до появления идеи отрицательных чисел математики классифицировали кубические уравнения по нескольким отдельным видам, так что, например, выражения x3 + 3x = 7 и x3 – 3x = 7 расценивались как совершенно разные, и для них существовали свои методы решения.
ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИТретья часть «Книги абака» содержит задачу, автором которой, скорее всего, был сам Леонардо: «Некто поместил пару кроликов в место, со всех сторон окруженное стеною. Со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов; кролики никогда не умирают. Сколько пар кроликов бдет через год?»
Эта каверзная задача приводит к любопытной последовательности чисел, получившей широкую известность:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
и т. д. Каждое число – сумма двух предыдущих. Их стали называть числами Фибоначчи и они часто встречаются как в математике, так и в мире природы. Например, у многих цветов число лепестков совпадает с числами Фибоначчи. Это следствие особенностей роста растений и геометрии примордиев – зачатков в виде мельчайших скоплений клеток в точке роста, развивающихся в отдельные лепестки.
Условия задачи Фибоначчи для воображаемой популяции кроликов нельзя воспроизвести физически, но более общее правило (модель Лесли) используется и по сей день для некоторых задач динамики популяций. Их приходится решать, чтобы предсказать популяционные колебания определенного вида животных с учетом спаривания и смертности.
ЧТО АЛГЕБРА ДАЛА ИММногие главы «Книги абака» содержат алгебраические задачи, отвечающие интересам купечества. Одна, не только практическая, выглядит так: «Некто купил 30 птиц – попугаев, голубей и воробьев. Попугай стоит 3 серебряных монеты, голубь 2, а воробей 1/2. Он заплатил 30 серебряных монет. Сколько птиц каждого вида он купил?»
Если x обозначает число попугаев, y – число голубей, а z – число воробьев, то в современной системе мы составим уравнения:
x + y + z = 30,
3x + 2y + 1/2 z = 30.
В мире рациональных чисел эти уравнения будут иметь много решений, но в самом вопросе подразумевается дополнительное условие: x, y, z – целые числа. Тогда есть только один ответ: 3 попугая, 5 голубей и 22 воробья.
Леонардо также приводит ряд задач, посвященных покупке лошади. Один человек говорит другому: «Если ты дашь мне треть своих денег, я смогу купить лошадь». Тот ему отвечает: «Если ты дашь мне четверть своих денег, я смогу купить лошадь». Сколько стоит лошадь? Сейчас уже найдено много решений; среди целочисленных самая малая цена лошади – 11 серебряных монет.
Греки открыли, как использовать конические сечения для решения некоторых кубических уравнений. Современная алгебра доказала, что если коническое сечение пересекается с другой коникой, точки пересечения находятся с помощью уравнения третьей или четвертой степени (в зависимости от конического сечения). Греки не знали об этом как об общем факте, но использовали следствия из него в некоторых частных случаях, применяя коническое сечение как новый вид геометрического инструмента.
Эта линия атаки была дополнена и приведена в систему персидским ученым Омаром Хайямом, более известным как автор четверостиший рубаи. Примерно в 1075 г. он классифицировал кубические уравнения на 14 видов и показал, как решать каждый из них, используя коники, в своем труде «Трактат о доказательствах задач алгебры и аль-мукабалы». Этот труд стал прорывом в геометрии, в нем практически безукоризненно развит геометрический метод решения кубических уравнений. Кое-кто из современных математиков может это оспорить: некоторые задачи у Хайяма решены не полностью, так как он предполагал, что отдельные точки геометрически определены, хотя иногда их не существует. Причина в том, что иногда он считал, будто его коники пересекаются, хотя на самом деле этого не было. Но всё это лишь незначительные огрехи его трудов.
Итак, геометрические методы решения кубических уравнений были найдены, но существуют ли также и алгебраические решения, где самыми сложными составляющими будут кубические корни? Итальянские математики эпохи Возрождения совершили огромный прорыв в алгебре, найдя положительный ответ на этот вопрос. В то время математики зарабатывали себе репутацию, соревнуясь в публичных состязаниях. Каждый участник предлагал противникам свои задачи, и тот, кто решил больше всех, признавался победителем. Зрители вольны были даже заключать пари на исход соревнования. Ставки порой делали и сами участники: описан случай, когда проигравший был обязан угостить победителя (и его друзей) тридцатью обедами. Кроме того, у хорошо проявивших себя участников состязания появлялась дополнительная возможность обзавестись учениками, особенно среди знатной молодежи. Так или иначе, публичные математические бои стали серьезным мероприятием.
Одна из таких дискуссий состоялась в 1535 г.: предстояло встретиться Антонио Фиоре и Никколо Фонтана по прозвищу Тарталья, «заика». Тарталья разнес Фиоре в пух и прах, и слух о его триумфе дошел до ушей Джероламо Кардано. Тот насторожился. Он как раз трудился над всесторонней книгой об алгебре, как раз над тем разделом, что оказался предметом состязания между Фиоре и Тартальей: кубические уравнения. Тогда было принято делить кубические уравнения на три разных типа – опять-таки из-за нежелания признавать отрицательные числа. Фиоре было известно решение лишь для одного типа. А Тарталья поначалу знал решение только для другого типа. В современной нотации его решение для уравнения типа x3 + ax = b выглядит так:
где i – мнимая единица, а
За неделю до состязания Тарталья был в отчаянии и боялся проиграть, но тут его посетило озарение: он понял, как решить остальные типы уравнений. И, конечно, он послал Фиоре только те уравнения, которые тот заведомо не мог решить.
Кардано прослышал об этом соревновании и понял, что оба соперника успели разработать методы для решения кубических уравнений. Мечтая вставить их в свою книгу, он обратился к Тарталье с просьбой поделиться с ним своими наработками. Тарталья, естественно, с неохотой пошел на это, ведь средства к его существованию зависели от них. Он долго колебался, но в итоге всё же его удалось уговорить. Кардано поклялся не публиковать новый метод. Тайна была нарушена в изданном Кардано труде «Великое искусство» («Ars magna»), и Тарталья имел полное право рассердиться. Он публично обвинил Кардано в плагиате.
Хотя Омар Хайям известен большинству из нас как поэт, он был также и выдающимся математиком.
Впрочем, Кардано никогда не мог похвастаться хорошей репутацией. Он был неисправимым игроком, готовым спустить любую сумму в карты, кости или даже шахматы. Так он умудрился проиграть все семейное состояние. С другой стороны, это был гений, талантливый врач, выдающийся математик и опытнейший самопиарщик, хотя его положительные качества часто бледнели на фоне излишней, подчас на грани оскорбления, откровенности. И гнев Тартальи, обвинявшего Кардано в обмане и воровстве, был вполне справедливым. То, что Кардано честно ссылался в своей книге на Тарталью, только усугубило положение. Тот понимал, что в памяти потомков останется автор книги, а не какое-то имя, мельком упомянутое в паре строк.
Но у Кардано было оправдание, и вполне весомое. Оно стоило того, чтобы нарушить обещание, данное Тарталье. Он включил в свою книгу новые открытия, сделанные им и его учеником Лодовико (Луиджи) Феррари, в том числе общее решение уравнения четвертой степени. Это было великое достижение, настоящий прорыв в науке. Конечно, Кардано не преминул включить его в свою книгу. Это считалось вполне законным, ведь открытие сделал его ученик. Однако метод Феррари сводит решение любого уравнения четвертой степени к соответствующему кубическому; следовательно, он основан на методе Тартальи. И Кардано не мог опубликовать работу Феррари, не включив в нее также и метод Тартальи.
А вскоре пришли новости, подсказавшие ему способ выйти из неловкого положения. У того самого Фиоре, что проиграл Тарталье в публичном соревновании, был ученик, Сципион дель Ферро. И до Кардано дошли слухи о том, что дель Ферро решил все три типа кубических уравнений, а не только то, с которым справился Фиоре, и что неопубликованные бумаги дель Ферро оказались в руках некоего Аннибала дель Наве. И вот Кардано с Феррари в 1543 г. отправляются в Болонью, чтобы повстречаться с дель Наве, посмотреть на его бумаги, и там – ясные как день – им открылись решения для всех трех типов уравнений. Итак, у Кардано появилась возможность спокойно заявить, что он опубликовал не метод Тартальи, а открытие дель Ферро.
Но Тарталья не смирился с поражением, хотя и не мог больше опровергать уверения Кардано о том, что приведенное им решение открыто дель Ферро. Тарталья опубликовал пространную и полную гнева диатрибу об этой несправедливости, и его вызвал на публичные дебаты Феррари, горевший желанием отстоять честь наставника. Он одержал грандиозную победу, а Тарталья так и не оправился от этого удара.
Алгебраическая символика
Итальянские математики эпохи Возрождения сделали немало важных алгебраических открытий, но их система записи всё еще была далека от совершенства. На развитие символов современной алгебры ушла не одна сотня лет.
Первым, кто предложил использовать символы для обозначения неизвестных величин, был Диофант Александрийский. Его «Арифметика», написанная примерно в 250 г., изначально содержала 13 книг, шесть из которых дошли до нас в виде позднейших копий. Труд посвящался решению алгебраических уравнений как с целыми, так и с рациональными числами – дробями вида p/q, где p и q – целые числа. Нотация Диофанта сильно отличается от той, которой мы пользуемся сейчас. И хотя «Арифметика» – единственный из дошедших до нас трудов на эту тему, есть некоторые свидетельства того, что Диофант был частью более широкой традиции, а не просто отдельной фигурой.
Арабские математики Средневековья изобрели весьма изощренные методы решения уравнений, но излагали их на бумаге не с помощью символов, а с помощью слов.
Переход к использованию символов состоялся во времена Возрождения. Первым из великих алгебраистов, применившим символы, был Франсуа Виет. Большинство своих результатов он сумел записать с помощью символов, но те существенно отличались от современных. Однако именно он предложил буквы алфавита в качестве обозначения как известных, так и неизвестных. Чтобы избежать путаницы, он рекомендовал согласные B, C, D, F, G… использовать для известных величин, а гласные A, E, I… для неизвестных.
ДЖЕРОЛАМО КАРДАНО (он же Иеронимус Карданус, он же Жером Кардан) 1501–1576
Джероламо Кардано был незаконным сыном миланского стряпчего Фацио Кардано и молодой вдовы Клары Мичери, вынужденной одной растить троих детей. Дети умерли от чумы в Милане, пока Клара рожала Джероламо в Павии. Фацио был способным математиком и передал Джероламо увлечение этим предметом. Джероламо против воли отца пошел изучать медицину в университете Павии: Фацио хотел, чтобы он тоже стал юристом.
Еще студентом Кардано был выбран ректором университета (по местной традиции ректор избирался из студенческой среды) в Падуе, куда он переехал, с перевесом в один голос. Едва успев получить наследство после смерти отца, Кардано промотал все деньги в азартные игры[2]: карты, кости и даже шахматы. Он не расставался с кинжалом и однажды ударил им в лицо противника, которого заподозрил в мошенничестве.
В 1525 г. Кардано получает диплом медика, однако ему пришлось покинуть пост в Миланской коллегии врачей – возможно, из-за скандальной репутации. Он практиковал медицину в деревне Сакка и женился на Лючии Бандарини, дочери капитана местного ополчения. Практика не приносила дохода, и в 1533 г. Кардано снова увлекся азартными играми, и на этот раз проигрыш оказался серьезнее: пришлось заложить драгоценности жены и кое-что из фамильной мебели.
Кардано снова повезло: к нему перешло место отца, преподавателя математики в школе Пиатти. По совместительству он продолжал практиковать медицину, и несколько чудесных выздоровлений заметно укрепили его репутацию врача. В 1539 г., после нескольких неудачных попыток, его снова приняли в коллегию врачей. Он начал публиковать учебные тексты по разным темам, в том числе по математике. Кардано написал замечательную автобиографию «О моей жизни» – альманах, составленный из глав на разные темы. Будучи на вершине славы, он получил вызов в Эдинбург, к одру архиепископа Сент-Эндрюса Джона Гамильтона. Гамильтон страдал от жестокой астмы. Но его состояние резко улучшилось после вмешательства Кардано, и медик покинул Шотландию, став богаче на 2000 золотых крон.
Он стал профессором в университете в Падуе, и всё шло прекрасно, пока его старший сын, Джамбаттиста, не женился тайком на Брандонии Серони, «никчемной, бесстыжей женщине», по оценке самого Кардано. Вместе со своей родней она публично унижала и издевалась над Джамбаттистой, и он отравил ее. Несмотря на все старания Кардано, его сына казнили. В 1570 г. Кардано был обвинен в ереси за то, что посмел составить гороскоп Иисуса Христа. Его посадили в тюрьму, затем отпустили, но лишили права преподавать в университете. Он переехал в Рим, где неожиданно получил отпущение грехов у папы и снова был принят в коллегию врачей.
Он предсказал день своей смерти и постарался доказать свою правоту, совершив самоубийство[3]. Несмотря на всё пережитое, он до самого конца оставался оптимистом.
В XV в. появились первые примитивные символы, прежде всего буквы p и m для сложения и вычитания: plus и minus. Это скорее были сокращения, чем символы. Но и символы + и – появились примерно в то же время. Они пришли из области коммерции, точнее, от немецких купцов, обозначавших перевес или недовес. Математики быстро тоже стали ими пользоваться: первые письменные свидетельства относятся к 1481 г. Уильям Отред ввел символ для умножения и был безжалостно (и справедливо) раскритикован Лейбницем за то, что его очень легко спутать с буквой x.
В 1557 г. английский математик Роберт Рекорд в своей книге «Точильный камень остроумия» ввел символ = для равенства, используемый по сей день. Он писал, что ему в голову не приходило ничего лучше, чем две параллельные линии равной длины. Правда, у него они были намного длиннее, чем те, которые ставим мы, что-то вроде: . Виет сперва писал вместо равенства слово «aequalis», но позже заменил его символом ~. Рене Декарт использовал другой символ – .
Современные символы > и < для «больше» и «меньше» пришли к нам благодаря Томасу Хэрриоту. Круглые скобки () появились в 1544 г., а квадратные [] и фигурные { } изобрел Виет примерно в 1593 г. Декарт использовал символ квадратного корня , представляющего стилизованную букву r для обозначения корня; для кубического корня он использовал символ с.
Чтобы наглядно показать разницу между символами нашего времени и периода Возрождения, приведу цитату из «Великого искусства» Кардано:
5p: R m:15
5m: R m:15
25m: m:15 qd. est 40.
В современных символах получится:
Итак, здесь мы видим p: и m: для плюса и минуса, R для квадратного корня и qd. est для латинского выражения «что есть». Кардано писал
qdratu aeqtur 4 rebus p: 32
там, где мы бы написали
x2 = 4x + 32.
Он использовал разные сокращения, rebus и aeqtur, для неизвестного (предмета) и его квадрата. В остальных местах он использует R как неизвестное, Z для его квадрата и C для куба.
Влиятельной, хотя и малоизвестной фигурой был в свое время француз Никола Шюке, чья книга «Наука о числах в трех частях» («Le triparty еn la science des nombres»), вышедшая в 1484 г., описывала три главные математические темы: арифметику, корни и неизвестные. Его обозначение для корней очень похоже на символ Кардано, но он первым ввел надстрочное написание степени неизвестного. Он называл первые четыре степени неизвестного
Это упущение исправил Декарт. Его запись уже очень близка к современной, за одним исключением. Там, где мы бы написали:
5 + 4x + 6x2 + 11x3 + 3x4,
Декарт писал:
5 + 4x + 6xx + 11x3 + 3x4.
Как видите, xx используется вместо квадрата. Правда, время от времени Декарт тоже писал x2. Ньютон обозначал степени неизвестного так же, как и мы, включая дроби и отрицательные показатели, например x3/2 для квадратного корня из x3. А Гаусс окончательно отказался от xx в пользу x2. И как только это совершил Гроссмейстер, все сочли своим долгом последовать его примеру.
Логика символов
Алгебра началась как способ систематизации задач по арифметике, но ко времени Виета уже жила собственной жизнью. До Виета алгебраические символы и операции рассматривались только как способы записать и выразить арифметические процедуры: во главе угла оставались числа. Виет ввел четкое различие между тем, что он называл логикой символов и логикой чисел. С его точки зрения алгебраическое уравнение представляет целый класс (вид символов) арифметических выражений. Это была новаторская концепция. В труде 1591 г. «Введение в аналитическое искусство» он объясняет, что алгебра – метод оперирования общими формами, а арифметика имеет дело с конкретными числами.
Возможно, вам это покажется педантизмом, но различие с новой точкой зрения значительно. По Виету, алгебраическое вычисление, например (в нашем написании)
(2x + 3y) – (x + y) = x + 2y,
выражает путь действий с символьными обозначениями. Отдельные выражения 2x + 3y и т. д. – математические объекты сами по себе. Они могут быть прибавлены, вычтены, умножены и разделены даже без учета того, какие числа представляют. Но для предшественников Виета то же уравнение – не более чем численное соотношение, верное только тогда, когда конкретные числа подставлены вместо символов x и y. Так алгебра обрела самостоятельную жизнь как раздел математики, посвященный символьным выражениям. Это был первый шаг к ее освобождению от ярлыка приложения к арифметике.
ЧТО АЛГЕБРА ДАЕТ НАМГлавные «потребители» алгебры в современном мире – ученые, старающиеся представить законы природы в виде уравнений. Последние могут быть решены, чтобы выразить неизвестные величины с использованием известных. Техника стала настолько привычной, что никто не замечает, что использует алгебру.
Алгебра очень эффектно была приложена к археологии в сериале «Команда времени», когда несгибаемый телеархеолог решает выяснить, насколько глубок был средневековый колодец. Первой идеей было что-нибудь туда кинуть и измерить время до момента, когда предмет упадет на дно. Это заняло шесть секунд. Соответствующая алгебраическая формула такова:
s = 1/2gt2,
где s – глубина колодца, t – время падения предмета, а g – ускорение свободного падения, примерно 10 м/с2. Поставив 6 вместо t, по формуле мы получим глубину около 180 метров.
Из-за неуверенности в формуле – хотя, как выясняется позже, команда времени вспомнила ее правильно – герои решили опустить в колодец связанные вместе три мерные ленты.
И глубина колодца на самом деле оказалась очень близкой к 180 метрам.
Алгебра покажется нам еще более полезной, если мы будем знать глубину и захотим вычислить время. Теперь нам предстоит решить уравнение для неизвестной t с заданной s и получить результат по формуле
Зная, что s = 180 м, например, мы можем предположить, что t равно квадратному корню из 360/10, или квадратному корню из 36, т. е. шесть секунд.
Глава 5. Вечные треугольники
Евклидова геометрия основана на треугольниках – главным образом потому, что любой многоугольник можно построить из нескольких треугольников, а практически все прочие важные фигуры, такие как круги и эллипсы, аппроксимируются с помощью многоугольников. Метрические свойства треугольников – те, что поддаются измерению, например длина их сторон, величина углов или общая площадь, – описаны разными формулами, подчас весьма изящными. Практическое приложение этих формул, особенно важных для навигаторов и землемеров, дало толчок развитию тригонометрии: само название этой отрасли знаний означает «измерение треугольников».
Тригономерия
Тригонометрия породила несколько специальных функций – математических правил для вычисления одной величины через другую. Они носят названия синус, косинус и тангенс. Тригонометрические функции стали незаменимым инструментом не только для измерения треугольников, но и для математики в целом.
Тригонометрия – наиболее широко используемый математический метод, участвующий буквально во всем: от определения местоположения корабля в навигации до работы спутниковой системы GPS в автомобилях. Ее применение в науке и технике настолько привычно, что происходит практически незаметно: такое характерно для самых универсальных инструментов. Исторически она тесно связана с логарифмами – искусным способом преобразования умножения (что достаточно трудоемко) в сложение (что намного проще). Главные идеи дисциплины были сформулированы между 1400 и 1600 гг., но она имеет длинную предысторию и массу более поздних дополнений, а ее система обозначений развивается до сих пор.
В этой главе мы проведем обзор основных тем: тригонометрические функции, экспоненциальная функция и логарифм. Также мы обратим внимание на несколько приложений, старых и новых. Многие из старых касаются техники счета и почти полностью забыты в наши дни из-за широкого применения компьютеров. Например, мало кто из наших современников до сих пор использует для умножения логарифмы. Никому не придет в голову лезть в таблицы логарифмов, раз компьютер способен моментально вычислить значение любой функции с гораздо большей точностью. Но когда логарифмы только появились, были составлены таблицы готовых расчетов из них, сделавшие их очень полезными, особенно в астрономии, где не обойтись без длинных и сложных вычислений. Составителям таблиц для нужд астрономии приходилось тратить годы – и даже десятилетия – на расчеты. Человечество очень многим обязано упорству этих преданных своему делу первопроходцев.
Читать бесплатно другие книги:
