Форма реальности Элленберг Джордан

Второй его страстью была математика. Он вспоминал свое первоначальное геометрическое образование: «Что касается математики[352], то Евклид был для меня удивительно непостижим, пока я не добрался до утверждения 36 в Книге I, и его смысл внезапно раскрылся передо мной и больше не представлял для меня никаких трудностей. Я стал очень хорошо разбираться в геометрии и решал задачки для себя; помню, что одну решил во сне рано утром». Будучи молодым врачом в Мадрасе, он взял с полки какую-то книгу по небесной механике, которую не видел со студенческих лет, и испытал то, что назвал величайшим бедствием – внезапным погружением в математическую одержимость. Он купил в местном магазине все книги по математике и за месяц прочитал их: «До конца вариационного исчисления[353], хотя в школе я не продвинулся дальше квадратных уравнений». Он был поражен тем, насколько легко ему все дается, и приписал это тому факту, что его никто не заставлял это делать: «Образование должно в основном[354] сводиться к самообразованию во время или после школы, иначе оно вообще никогда не приблизится к завершению».

С этой точкой зрения не согласится ни один преподаватель математики. Я бы хотел, чтобы мои объяснения у доски были настолько убедительно ясными, а мой путь по материалу – настолько эффективным и прямым, чтобы ученики за пятьдесят минут моего урока дошли со мной до полного овладения темой. Однако образование в трактовке Росса – это самообразование. Да, наша работа как учителей – объяснять, но в той же степени нашу работу можно рассматривать как разновидность маркетинга. Нам нужно продать ученикам идею, что стоит потратить время вне занятий на настоящее изучение материала. И лучший способ это сделать – позволить нашим горячим чувствам к математике выплеснуться в нашей речи и поведении.

Оглядываясь назад с высоты среднего возраста, Росс вспоминает эти горячие чувства в типично поэтической манере:

Это был как интеллектуальный, так и эстетический энтузиазм[355]. Доказанное утверждение походило на идеально сбалансированную картину. Бесконечный ряд угасал в будущем, как долгие вариации какой-нибудь сонаты… Эстетическое чувство на самом деле представляет собой интеллектуальное удовлетворение от достигнутого совершенства; но я видел также будущее совершенство, которого можно достигнуть с помощью могущественного оружия чистого разума. Звезды вечера и рассвета… были теперь вдвое прекраснее, поскольку попали в сети анализа. Вскоре я начал читать о применении математики к движению, теплоте, электричеству и атомной теории газов и с самого начала думал о возможном ее применении к объяснению причин существования и распространения болезней… Но я всегда был нетерпелив в своем чтении математики и чувствовал, что хотел бы создавать собственные утверждения; и действительно, они формулировались сами, пока я читал старые.

Это нежелание учиться у предшественников глубоко укоренилось в его характере. Рассказывая о любимом дяде, который увлекался химией (хотя на самом деле он, конечно, говорил о себе), он писал: «Почти все идеи в науке[356] исходят от любителей, таких как мой дядя Росс; прочие джентльмены пишут книги и получают профессорские должности». И как математик он никогда не поднимался выше любителя, хотя это не мешало ему публиковать статьи по чистой математике с довольно громкими названиями («Алгебра пространства»), которые более или менее повторяли идеи, уже существовавшие в литературе, и испытывать разочарование оттого, что профессиональные математики не обращали внимания на его работы.

В середине 1910-х годов Росс был полностью готов взяться за проблему, которую обдумыва еще в Мадрасе, – создание математической теории для эпидемий вроде той, что Ньютон создал для небесных тел. На самом деле это было недостаточно амбициозно для Росса: он хотел разработать теорию, которая описывала бы количественное распространение любого изменения состояния у людей – переходы между религиями, выборы в профессиональные сообщества, призывы в армию и, разумеется, распространение эпидемических заболеваний. Он назвал ее теорией событий. В 1911 году Росс писал своему протеже Андерсону Маккендрику: «Мы в итоге создадим новую науку[357]. Но сначала мы с тобой отопрем дверь, куда сможет войти кто угодно».

И – несмотря на высокое мнение о собственных способностях и склонность к любительству – он сделал то, что должен был сделать, чтобы открыть эту дверь: нанял себе в помощь настоящего математика. Ее звали Хильда Хадсон. Хадсон была гораздо более сильным математиком, чем Росс. Ее первой публикацией стало новое краткое доказательство[358] одного из утверждений Евклида, полученное путем искусного деления квадрата на более мелкие фигуры. Девочке тогда исполнилось десять лет. (Помогло то, что оба ее родителя тоже были математиками.)

Хадсон работала в области, которая объединяет геометрию и алгебру и называется (увы, мы не всегда придумываем изобретательные названия) алгебраической геометрией. Рене Декарт первым систематически использовал идею, что точки на плоскости можно представлять в виде пары чисел – абсциссы x и ординаты y, и это позволяет рассматривать геометрические объекты как алгебраические. Тогда окружность (множество точек, находящихся на определенном расстоянии от данной точки-центра) – это, например, множество пар чисел (x, y), таких, что x² + (y – 5)² = 25[359]. Ко времени работы Хадсон сочетание алгебры и геометрии стало самостоятельным предметом и исследовало не только кривые на плоскости, но и фигуры в пространствах любых размерностей. Хадсон была ведущим специалистом в области так называемых преобразований Кремоны[360] для двух- и трехмерных тел и в 1912 году стала первой женщиной, прочитавшей лекцию на Международном конгрессе математиков.

Если я скажу, что преобразование Кремоны – это «бирациональный автоморфизм проективного пространства», то это будет простым швырянием фонем в вашу сторону, так что позвольте мне пойти другим путем. Что такое ⁰/₀? Наверное, когда-то вы узнали, что нужно отвечать «неопределенность»; это верно, но это также выход для трусов. На самом деле все зависит от того, какие нули вы делите! Каково отношение площади квадрата размером ноль на ноль к его периметру? Разумеется, вы можете сказать, что это не определено, но почему бы не проявить смелость и не определить это? Если сторона квадрата равна 1, то отношение равно ¹/₄, или 0,25. Когда сторона уменьшается до ¹/₂ (и периметр равен 2), то отношение составляет ¹/₈. Если длина стороны 0,1, то отношение равно 0,01 / 0,4 = 0,025. Отношение становится все меньше и меньше, а это означает, что есть только один хороший ответ на вопрос, что произойдет, когда квадрат сожмется в точку: в этом случае 0 / 0 = 0. Теперь рассмотрим отношение длины отрезка в сантиметрах к длине отрезка в дюймах. Что будет с ним, если отрезок начнет сжиматься в точку? Поскольку дюйм равен 2,54 сантиметра, то это отношение составит 2,54 и для длинных, и для коротких отрезков, а потому, когда отрезок сожмется до точки, такое отношение ⁰/₀ должно быть 2,54.

Вы можете последовать примеру Декарта и думать о паре чисел как о точке на плоскости. Точка (1, 2) находится на 1 правее и на 2 выше начала координат. Отношение ²/₁ – это наклон прямой, соединяющей точку (1, 2) и начало координат (0, 0). Когда точка расположена в самом начале координат (0, 0), нет никакой соединяющей прямой, поэтому нет и наклона. Простейший вид преобразования Кремоны – заменить плоскость очень похожей геометрией, где точка (0, 0) заменяется множеством точек – на самом деле бесконечным количеством точек! Каждая запоминает не только свое место (0, 0), но и наклон – как если бы вы отслеживали не только свое местоположение, но и направление, по которому туда добрались[361]. Подобное преобразование, когда одна точка превращается в бесконечное множество, называется раздутием. Хадсон изучала гораздо более сложные преобразования Кремоны в пространствах более высокой размерности; вы могли бы назвать их общей геометрической теорией присваивания значений тем «неопределенным» отношениям, от которых отказался бы более робкий вычислитель.

В 1916 году, в самом начале работы с Россом, Хадсон опубликовала целую книгу о построениях в стиле Евклида с помощью циркуля и линейки[362] – теми же инструментами Авраам Линкольн тщетно пытался квадрировать круг. Хадсон отличалась такой мощной геометрической интуицией, что ее работы иногда критиковали за недостаточность доказательств: для нее были очевидны вещи, которые стоило бы подкреплять в письменной форме для тех из нас, кто менее способен мысленно представлять геометрические поверхности. Нет никаких подтверждений, что Росс, несмотря на всю свою любовь к геометрии, как-то участвовал или интересовался работой Хадсон в сфере чистой математики. Возможно, это и к лучшему, потому что алгебраической геометрией занималось много итальянцев.

Первая статья Росса и Хадсон начинается с солидного списка ошибок из предыдущей работы Росса. Росс ссылался на то обстоятельство, что он был за границей, когда оттиски статьи прислали для проверки; я же предпочитаю думать, что Хадсон начала свое сотрудничество с Россом с ненавязчивого замечания об ошибках в работе, выполненной им до ее появления. О взаимодействии между ними известно очень мало: Росс упомянул Хадсон в своих мемуарах всего один раз, однако интересно представить отношения между этими двумя очень разными учеными. Росс обладал непомерными амбициями, Хадсон – глубинными знаниями математики. У Росса были звания, должности и награды, Хадсон в эпоху практически чисто мужского преподавательского состава была простым лектором. Если у Росса и были религиозные чувства, то он не придавал им большого значения; в жизни набожной Хадсон христианство было основополагающим. После публикации труда о преобразованиях Кремоны в 1927 году она, похоже, оставила математику и многие годы работала в студенческом христианском движении. Ее эссе 1925 года «Математика и вечность» – замечательный документ того интеллектуального мира, где вера и наука ощущали определенную необходимость оправдывать себя друг перед другом. «Мы можем думать о присутствии Бога на уроке алгебры[363], – писала Хадсон, – лучше, чем на кухне брата Лаврентия[364]; и в полном одиночестве в скромном уголке исследовательской работы – лучше, чем на вершине горы». Каждый математик, верующий или нет, поймет, что она имеет в виду в следующей сентенции, которую следует помнить:

Идеи чистой математики истинны[365], не приблизительны и не сомнительны; возможно, они не самые интересные или важные мысли Бога, но они – единственные, о которых мы точно знаем.

Идеи Росса о росте эпидемии определялись базовым принципом – единственным, который лежит в основе всего математического прогнозирования: что произошло сегодня, произойдет и завтра. Все мрачные детали заключаются в выяснении того, что это означает на практике.

Вот самое простое, что это может означать. Предположим, носители заразного вируса в течение периода своей заразности (скажем, 10 дней) инфицируют в среднем двух человек. Если мы начали с 1000 зараженных, то через 10 дней будет примерно 2000 инфицированных. Исходная тысяча теперь не заразна, однако новые 2000 через 10 дней заразят примерно 4000, еще через декаду вирус подхватят около 8000 человек и так далее. В результате за первый месяц число заражений составит:

день 0: 1000;

день 10: 2000;

день 20: 4000;

день 30: 8000.

Такая последовательность называется геометрической прогрессией, хотя связь с геометрией тут несколько туманна. Название дано по той причине, что каждый член последовательности является средним геометрическим между предыдущим и последующим. Но что означает «среднее» и почему оно геометрическое?

Среднее значение, к которому вы, вероятно, привыкли, отображается точкой, делящей отрезок числовой прямой ровно пополам. Среднее 1 и 9 – это число 5, так как 5 отстоит на 4 и от 1, и от 9. Такое среднее называется средним арифметическим (думаю, из-за того, что возникает в результате операций сложения и вычитания), а последовательность чисел, в которой каждый член является средним арифметическим между предыдущим и последующим, называется арифметической прогрессией.

Среднее геометрическое – это другой вид среднего. Чтобы узнать среднее геометрическое для 1 и 9, возьмите прямоугольник со сторонами длиной 1 и 9.

Среднее геометрическое – это длина стороны квадрата, площадь которого равна площади этого прямоугольника. (Греки очень любили думать о площадях в терминах квадратов; это была одна из причин, почему они пытались безуспешно квадрировать круг.) Среднее геометрическое было любимым у Платона; по некоторым сведениям, он считал[366] его самым истинным средним. Площадь нашего прямоугольника 1  9 = 9; если у квадрата та же площадь, то длина его стороны – число, которое дает 9 при умножении на себя. Это длинный способ сказать 3. Таким образом, 3 – это среднее геометрическое для чисел 1 и 9, и

1, 3, 9

образуют геометрическую прогрессию.

Сегодня мы обычно определяем среднее геометрическое другим, хотя и эквивалентным способом: среднее геометрическое двух чисел x и z – это такое число y, что выполняется соотношение:

y / x = z / y[367].

Сравните эту четкую формулу со словесными узлами, которые пришлось закручивать Платону при объяснении геометрического среднего:

Прекраснейшая же из связей такая[368], которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция, ибо, когда из трех чисел – как кубических, так и квадратных – при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и соответственно последнее к среднему, как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места, выяснится, что отношение необходимо остается прежним, а коль скоро это так, значит, все эти числа образуют между собой единство[369].

Оцените достоинства алгебраических обозначений!

Вирусы распространяются в геометрической прогрессии не потому, что им нравится вычислять площади прямоугольников или они читали Платона, а потому, что механизм распространения вируса требует, чтобы отношение между заражением за прошлую и нынешнюю декады было таким же, как между заражением за нынешнюю и следующую декады. То, что происходит сегодня, произойдет и завтра, и в нашем примере количество новых случаев каждые десять дней умножается на 2. Когда последовательность чисел возрастает в геометрической прогрессии, мы говорим, что она растет экспоненциально. Люди часто используют словосочетание экспоненциальный рост как синоним очень быстрого роста, однако первое выражение гораздо конкретнее. Каждый учитель математики хотел бы иметь пример, который действительно продемонстрирует ученикам, что такое экспоненциальное поведение. К сожалению, в данный момент такой пример у нас под рукой.

Наша стандартная интуиция плохо приспособлена к осознанию экспоненциального роста. Мы привыкли к физическим объектам, движущимся примерно с постоянной скоростью. Если вы едете со скоростью 60 километров в час, то пройденное с каждым часом расстояние выглядит так:

60 километров, 120 километров, 180 километров, 240 километров…

Это арифметическая прогрессия – разность между каждым ее членом и следующим числом никогда не меняется, и числа растут с постоянной скоростью.

Геометрическая прогрессия – совсем другое дело; наш мозг интерпретирует ее как медленный, устойчивый, управляемый рост, а потом вдруг резкая и устрашающая крутизна. Однако в геометрическом смысле скорость увеличения никогда не меняется. Очередная декада похожа на предыдущую, просто вдвое хуже. Катастрофа полностью предсказуема, но мы почему-то не способны целиком ее воспринять. Обратите внимание на слова Джона Эшбери – вероятно, единственного крупного американского поэта, затронувшего этот вопрос в стихотворении 1966 года «Словами делу»:

В Италии, одной из наиболее сильно пострадавших стран в первые дни вспышки COVID-19, потребовался месяц, чтобы болезнь убила первую тысячу человек. Следующая тысяча умерла за четыре дня. А 9 марта 2020 года, когда болезнь уже стала распространяться по всему миру, один представитель американского правительства[370] агрессивно преуменьшил угрозу, сравнив ситуацию с ежегодной эпидемией гриппа, от которой страдают тысячи американцев: «На данный момент подтверждено 546 случаев коронавируса с 22 летальными исходами. Подумайте об этом!» Через неделю по 22 американца умирали от COVID-19 уже ежедневно. Еще через неделю – почти в десять раз больше.

Дело в том, что геометрические прогрессии бывают хорошими и плохими. Предположим, носители болезни передают возбудителя в среднем не двум людям, а всего 0,8. Тогда геометрическая прогрессия инфекций выглядит так:

день 0: 1000;

день 10: 800;

день 20: 640;

день 30: 512;

а в следующие четыре дня улучшение еще заметнее:

день 40: 410;

день 50: 328;

день 60: 262;

день 70: 210.

Это экспоненциальное убывание – математическое подтверждение победы над эпидемией.

Указанное число – отношение членов геометрической прогрессии (еще его называют знаменателем прогрессии) – имеет очень большое значение. Если знаменатель больше 1, то вирус быстро распространяется и добирается до значительной доли населения, если меньше, то эпидемия сходит на нет и затухает. В эпидемиологических кругах его обозначают R₀. По оценкам, во время весенней волны эпидемии испанки в 1918 году[371] R₀ равнялся 1,5. Во время эпидемии переносимого комарами вируса Зика в 2015–2016 годах R₀ составлял примерно 2. Для эпидемии кори в Гане в 1960-х годах он был 14,5!

Эпидемия с маленьким R₀ выглядит так:

Большинство людей обычно заражают всего одного человека (или вообще никого), и в результате цепочка инфекций, как правило, заканчивается, не успевая сильно распространиться. Когда R₀ чуть больше 1, вы видите примерно такую картину:

Когда же R₀ существенно больше 1, вы наблюдаете быстрый экспоненциальный рост: процесс постоянно ветвится[372] и вирус распространяется все дальше и дальше п популяции.

Если после заболевания у человека вырабатывается иммунитет, то эти ветви к нему не вернутся и не образуют цикл, поэтому такая эпидемическая сеть будет отражать уже знакомую нам геометрическую структуру – дерево.

Существование этого принципиального порога при R₀ = 1 было центральной идеей Росса при изучении малярии. Открытие, что малярию переносят комары, стало не только огромным достижением, но и породило определенный пессимизм. Убить комара легко, убить всех комаров трудно. Поэтому можно решить, что остановить распространение малярии невозможно. Однако Росс настаивал, что это не так. Пока существуют комары-анофелесы, некоторые из них будут кусать зараженного малярией человека, а затем, немного полетав, укусят тех, у кого малярии еще нет. Поэтому болезнь продолжит распространяться. Но если плотность комаров настолько мала, что волшебное число R₀ будет меньше 1, то каждую неделю будет все меньше и меньше случаев заболевания, и эпидемия экспоненциально пойдет на убыль. Вам не нужно полностью останавливать передачу, достаточно остановить ее в соответствующей степени.

Именно эту идею продвигал Росс в 1904 году на выставке в Сент-Луисе. С помощью рассуждений о случайном блуждании он хотел показать, что, после того как количество комаров в какой-то местности уменьшится, потребуется довольно много времени, чтобы туда залетело достаточное количество анофелесов, чтобы ситуация снова преодолела эпидемический порог.

Это также ключевая идея в борьбе с COVID-19. Хорошо, что нам не обязательно полностью устранять вероятность передачи болезни; это и невозможно. Контроль над эпидемией – это не перфекционизм.

Весной 2020 года, в самом начале пандемии COVID-19 в Соединенных Штатах, болезнь явно демонстрировала признаки плохой геометрической прогрессии. Число случаев COVID-19 росло примерно на 7 % в день. Это означало, что каждую неделю их количество увеличивалось в 1,07  1,07  1,07  1,07  1,07  1,07  1,07  1,6 раза, то есть примерно на 60 %. Если бы так продолжалось и дальше, то 20 000 подтвержденных случаев в день в конце марта превратились бы в 32 000 в первую неделю апреля и в 420 000 в середине мая. Через сто дней, в начале июля, получилось бы по 17 миллионов новых случаев ежедневно.

Видите здесь проблему? Вы не можете поддерживать темп в 17 миллионов новых случаев каждый день, потому что тогда через три недели количество зараженных американцев станет больше, чем общее число американцев. Именно подобные чересчур легкомысленные рассуждения привели к тому, что одна отважная группа исследователей во главе с Мартином Мельцером из агентства CDC[374] написала в 2001 году после терактов 11 сентября, что преднамеренное распространение вируса оспы в Соединенных Штатах может всего за год привести к 77 триллионам заражений[375]. (Один из коллег заметил: «Время от времени доктор Мельцер теряет контроль над своим компьютером»[376].)

Что-то неладно в нашей истории с геометрической прогрессией.

Вернемся к магическому числу R₀, которое показывает, сколько новых заражений генерирует один инфицированный человек. R₀ – это не константа. Число зависит от биологических характеристик конкретной инфекции (которые могут отличаться для разных штаммов), от количества людей, с которыми ежедневно сталкивается больной во время периода заразности (можем ли мы его сократить при соответствующем лечении?), и от того, что происходит во время таких встреч. Стоят ли люди близко друг к другу или соблюдают дистанцию в шесть футов[377] согласно нынешним рекомендациям? Носят маски или нет? Встречаются на улице или в плохо проветриваемом помещении?

Однако даже в случае, когда в болезни или поведении людей ничего не изменилось, показатель R₀ со временем меняется[378]. У вируса просто заканчиваются объекты для заражения. Например, предположим, что мы достигли точки, когда инфицировано уже 10 %. Больной может беспечно и бессимптомно резвиться, как обычно, и по-прежнему кашлять рядом с тем же количеством людей, что и раньше, но теперь каждый десятый из них либо уже болен, либо выздоровел, а значит, имеет иммунитет против повторного заражения[379]. Поэтому в течение периода заразности человек инфицирует в среднем уже не двух человек, а только 90 % от этого числа, то есть 1,8. Когда заражено 30 % населения, R₀ падает до 0,7  2 = 1,4. Если же заражено 60 %, то R₀ становится 0,4  2 = 0,8, и мы пересекаем критический уровень. Теперь R₀ не больше, а меньше 1, и мы движемся по хорошей геометрической прогрессии, а не по плохой.

На самом деле доля инфицированных может даже не достигать 60 %. Давайте обозначим ее P. Тогда наш новый R₀ = (1 – P)  2, и, как только это число будет меньше 1, эпидемия начинает экспоненциально затухать. Это случится, когда 1 – P = ¹/₂, откуда P = ¹/₂. Таким образом, эпидемия с изначальным значением R₀ = 2 начнет затухать, когда половина населения заражена. Это называется коллективным иммунитетом. Эпидемия не может продолжаться, когда достаточное количество людей невосприимчивы к болезни. Однако это «достаточное количество» зависит от исходного значения R₀. Если оно, как в случае кори, равно 14, то вам понадобится (1 – P) = ¹/₁₄, а это означает, что иммунитет должен выработаться у 93 % населения; вот почему даже небольшое количество детей, не делающих прививку от кори, становится причиной уязвимости населения ко вспышке заболевания. Для болезни с более умеренным R₀ = 1,5 ситуация разворачивается при заражении 33 %. Если предположение, что для COVID-19 значение параметра R₀, лежащее между 2 и 3, справедливо, то нынешняя пандемия пойдет на спад, когда затронет от половины до ²/₃ населения планеты[380].

Но это масса людей, болезней и удручающее число смертей. Поэтому эпидемиологи мира, расходясь во многих существенных деталях, в целом единодушны в том, что нельзя пускать дело на самотек. Нет, нет и еще раз нет!

Проще всего, если вы увлекаетесь математикой, думать о пандемии как о кривой, нарисованной на миллиметровке или на экране, с числами, отражающими абстрактные величины, изменяющиеся во времени. Однако нельзя забывать, что они отображают реальных людей, которые заболели или умерли. Поэтому нужно периодически останавливаться и думать об этих людях. Один из них – Джон Хортон Конвей – умер от COVID-19 11 апреля 2020 года. Он был геометром[381] и много чем еще занимался, однако почти вся его математика так или иначе включала рисование картинок.

Я познакомился с Конвеем во время своей постдокторантуры в Принстоне и постоянно задавал ему вопросы по математике. У него всегда находился развернутый, информативный и поучительный ответ, хотя он никогда непосредственно не отвечал на тот вопрос, что я задал. Тем не менее я многому у него научился! Конвей не усложнял жизнь намеренно, просто таков был его образ мышления – скорее ассоциативный, чем дедуктивный. Вы спрашивали его о чем-то, а он рассказывал, о чем напомнил ему ваш вопрос. Если вам требовалась конкретная информация, ссылка или утверждение теоремы, вас ожидал долгий окольный путь с неизвестным местом назначения. Офис Конвея был забит забавными головоломками, играми и игрушками, которые в известном смысле были развлечение, но одновременно и частью его математики. Казалось, он думал о математике всегда. Однажды прямо посреди улицы его посетила идея какой-то теоремы из теории групп, и в результате его сбил грузовик. Впоследствии он называл эту теорему «орудием убийства»[382].

Все математики воспринимают математику как своеобразную игру, но Конвей был уникален в своем упорстве воспринимать игру как своеобразную математику. Он был заядлым изобретателем игр[383] и любил давать им забавные названия: Col, Snort, Loony, Dud, Sesqui-up, Phutball[384]. Однако это было не развлечение ради развлечения. Из развлечений он выстраивал теорию. Мы уже встречались с его математическими играми в этой книге: именно Конвей разработал представление об играх класса «Ним» как о своего рода числах; и его коллега Дональд Кнут использовал эту идею в написанной в 1974 году книге с крайне экстремальным для того времени названием Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathematics and Total Happiness («Сюрреальные числа»[385]). Книга написана в виде диалога двух студентов, которые натолкнулись на священный текст, излагающий теорию Конвея: «Вначале везде была пустота, и Джон Хортон Конвей начал создавать числа…»[386]

Именно Конвей в конце 1960-х годов первым нарисовал на бумаге список всех узлов с одиннадцатью или меньшим числом пересечений; он разработал собственную систему записи (изобрел множество собственных обозначений) для небольших частей узла, где переплетаются нити (Конвей назвал их плетениями[387]).

Один из узлов реестра Конвея впоследствии получил его имя – это тот самый упоминавшийся уже нами узел, о котором нейронная сеть заявила, что его трудно понять, а Лиза Пиччирилло тем не менее доказала о нем теорему.

Конвей, пожалуй, наиболее известен в мире за пределами теоретической математики благодаря игре «Жизнь» – простому алгоритму, создающему невероятно сложные и постоянно меняющиеся конфигурации, которые выглядят практически как живые – отсюда и название[388]. Однако его раздражала такая слава, поскольку он считал игру «Жизнь» (справедливо) гораздо менее глубокой, чем большая часть его математических результатов. Поэтому я закончу не игрой «Жизнь», а одной из моих любимых теорем – действительно геометрической теоремой, которую Конвей доказал вместе с Кэмероном Гордоном в 1983 году[389]. Возьмите любые шесть точек в пространстве. Существует десять различных способов разбить эти точки на две группы по три. (Проверьте!) Для каждого разбиения вы можете соединить обе тройки точек, чтобы получить два треугольника. Конвей и Гордон доказали, что среди разбиений всегда будет как минимум одно, при котором эти треугольники будут сцепленными, как звенья цепи.

Для меня метод доказательства выглядит даже изящнее самого факта. В реальности Конвей и Гордон доказывают, что число разбиений, приводящих к сцепленным треугольникам, должно быть нечетным. Однако ноль – число четное! Следовательно, должно быть хотя бы одно разбиение, при котором треугольники сцеплены. Кажется довольно странным доказывать существование какого-то объекта на основании того, что таких объектов должно быть нечетное число, однако на самом деле ничего необычного тут нет. Предположим, у тумблера лампочки два положения. Если вы вошли в комнату и увидели, что лампа не в том состоянии, как вы ее оставили, то вы понимаете, что кто-то щелкнул выключателем. Однако причина, почему вы это поняли, в том, что состояние лампы говорит вам, что выключателем щелкнули нечетное число раз.

Опасность заболеть COVID-19 одинакова не для всех. Риск серьезных симптомов, госпитализации и смерти намного выше у пожилых людей, чем у молодежи и лиц среднего возраста. В Соединенных Штатах есть также расовые и этнические отличия. В июле 2020 года подтвержденные случаи заболеваний COVID-19 в США делились по расам так[390]:

36,6 % – латиноамериканцы;

35,3 % – белые нелатиноамериканцы;

20,8 % – черные.

Распределение смертей от COVID-19 выглядело иначе:

17,7 % – латиноамериканцы;

49,5 % – белые нелатиноамериканцы;

22,9 % – черные.

Эти цифры могут удивить, если вы слышали что-либо о неравенстве в американском здравоохранении, которое почти повсеместно подразумевает сравнение не в пользу несветлокожих американцев. Но при этом смертность среди белых людей, на долю которых приходилось всего 35 % подтвержденных случаев заболевания COVID-19, составила 49,5 % от всех смертей. Получается, что среди белой части населения вероятность летального исхода в результате заболевания COVID-19 гораздо выше. Почему?

Как я узнал от математика и писателя Дейны Маккензи, причина в возрасте. Белые люди чаще умирают от COVID-19, потому что пожилые люди чаще умирают от COVID-19, а белые люди в целом старше. Если разбить все случаи по возрастным группам, ситуация будет выглядеть совершенно иначе. Среди американцев от 18 до 29 лет белые составляют 30 % случаев заболеваний, но всего 19 % смертей. Среди людей от 85 лет и старше белые составляют 70 % всех случаев и 68 % смертей. Фактически в каждой конкретной возрастной категории взрослых, установленной агентством CDC, случай COVID-19 у белого американца будет фатален с меньшей вероятностью, чем у типичного американца того же возраста. И тем не менее объединение данных по всем группам создает впечатление, что болезнь сильнее поражает белых. Это явление известно как парадокс Симпсона, и его следует учитывать каждый раз, когда изучаемое явление затрагивает неоднородную популяцию. На самом деле парадокс – неподходящее название, потому что здесь нет никакого противоречия, а просто есть два разных способа рассматривать одни и те же данные, и оба верны. Например, правильно ли сказать, что COVID-19 поразил Пакистан меньше, чем США, поскольку население Пакистана моложе и потому менее уязвимо? Или правильно ли сравнивать вероятности, что заболеет пожилой пакистанец и его американский сверстник? Урок парадокса Симпсона не в том, какую точку зрения принять, а в том, чтобы держать в уме одновременно и целое, и части.

Специалисты сходятся в одном: невозможно избежать самого ужасного сценария развития событий без тестирования – гораздо более масштабного, чем проводится сейчас. Чем больше тестов мы делаем, тем лучше знаем, как развивается COVID-19 и на какой стадии мы находимся.

Вот еще одна старая математическая задачка. У вас есть 16 золотых монет: 15 настоящих массой по 10 граммов и одна фальшивая, в которой всего 9 граммов. У вас есть весы, но каждое взвешивание стоит доллар. Как найти подделку с наименьшими затратами?

Безусловно, вы решите задачу, взвесив каждую монету и потратив при этом 16 долларов. На самом деле один доллар можно сэкономить: если вам все время не везло и вы 15 раз натыкались на честные монеты, то после 15 взвешиваний знаете, что оставшаяся монета – фальшивая. Так что незачем тратить больше 15 долларов.

Однако можно действовать разумнее. Разделите монеты на две группы по восемь в каждой и взвесьте первую группу: ее общий вес составит либо 80, либо 79 граммов. Теперь вы знаете, в какой группе находится фальшивка. Итак, вы сузили круг подозреваемых до восьми монет. Снова разделите их на две группы по четыре и взвесьте одну группу. В итоге вы сократили варианты до четырех (и заплатили при этом 2 доллара). Еще через два деления пополам вы гарантированно найдете фальшивую монету, при этом в общем потратите всего 4 доллара.

Как и во многих подобных головоломках, здесь используется какое-то дополнительное условие, чтобы придать задаче смысл: в реальной жизни взвешивание не стоит так дорого!

А вот биологические тесты – стоят, и это возвращает нас к инфекционным заболеваниям. Предположим, что вместо 16 монет у вас 16 новобранцев для армии и один отличается от остальных – только не весом, а тем, что болен сифилисом. Во время Второй мировой войны эта болезнь была серьезной проблемой: в 1941 году «Нью-Йорк Таймс» обвинила[392] «большую банду танковых проституток, обслуживавших солдат механизированных подразделений в придорожных закусочных и дансингах от Чикаго до обеих Дакот» в заражении тысяч солдат сифилисом и гонореей: «на свободе, без лечения, заразных и представляющих опасность для сограждан».

Вы можете выявить инфицированных, проведя анализ крови с помощью реакции Вассермана. Это вполне реально для 16 новобранцев, но совершенно неприемлемо для 16 тысяч. «Проверка отдельных участников большой популяции – дорогостоящий и утомительный процесс», – заметил Роберт Дорфман – известный профессор экономики из Гарварда, который в 1950-х и 1960-х годах первым применил математические модели к коммерческим задачам. Однако в 1942 году[393] он еще работал статистиком на государственной службе, шестью годами ранее окончив колледж, где решил сконцентрироваться на математике после того, как пришел к выводу, что у него нет будущего в первоначальном призвании – поэзии. Выше процитирована первая фраза его классической статьи «Обнаружение дефектных членов больших групп»[394], в которой он вводит в эпидемиологию идею решения задачки о монетах. Вы не можете использовать в точности ту же стратегию, что работала для монет, ведь половина от 16 тысяч солдат – это все равно очень много! Однако предположим, говорит Дорфман, что вы разбиваете новобранцев на группы по пять человек, а затем смешиваете кровь членов каждой группы в сывороточный коктейль и проверяете его на сифилитический антиген. Отсутствие антигена означает, что вы можете сообщить всем пятерым, что они здоровы; в противном случае вызываете их и проверяете каждого по отдельности.

Насколько удачна такая идея, зависит от степени распространения сифилиса в популяции. Если заражена половина войск, то почти все сгруппированные пробы дадут положительный результат, и в итоге почти все участники пройдут тест дважды, что сделает обнаружение дефектных элементов еще более утомительным и дорогостоящим. Но если сифилисом заражены всего 2 % новобранцев? Вероятность, что данная выборка даст негативный результат, равна произведению вероятностей, что каждый солдат из проверяемой пятерки не болен сифилисом. Поэтому в нашем случае вероятность негативного результата в пятерке такова:

0,98  0,98  0,98  0,98  0,98  0,90.

Если солдат 16 000, то получается 3200 групп; из них примерно 2880 будут чистыми, и для повторной проверки остается около 320 групп, то есть 1600 солдат. Их придется проверять по одному. В результате вы проведете тест 3200 + 1600 = 4800 раз, и это огромная экономия по сравнению с проверкой каждого из 16 000 человек! Причем вы можете даже улучшить метод: Дорфман определил, что при уровне заболеваемости в 2 % оптимальный размер групп – по 8 человек, что сводит задачу примерно к 4400 тестам.

Связь с коронавирусом очевидна: если у нас недостаточно тестов, чтобы проверить всех по одному, может быть, стоит взять мазок у 7–8 человек, объединить пробы в одном контейнере и протестировать их все разом?

Предупреждение: протокол Дорфмана для выявления сифилиса в реальности никогда не использовался. Дорфман даже работал не в армии: он трудился в Управлении по контролю над ценами, когда вместе с Дэвидом Розенблаттом, которого призвали на службу и провели тест с помощью реакции Вассермана, вынашивал идею группового тестирования на сифилис. Однако оказалось, что на практике она не работает: разбавление образцов[395] слишком затруднило обнаружение следов антител.

Коронавирус – совсем другое дело. Тест полимеразной цепной реакции, который обнаруживает этот вирус, значительно усиливает даже крошечный след вирусной РНК. Это делает групповое тестирование целесообразным, а в случаях низкой распространенности заболевания и нехватки специалистов и оборудования – весьма привлекательным.

Такое тестирование проводилось в больницах Германии[396] и Хайфы, а одна лаборатория в Небраске[397] протестировала 1300 проб в неделю, группируя их по пять, что, как сообщалось, вдвое сократило общее количество требуемых тестов. Ухань – город в центральном Китае[398], где началась пандемия, – использовал объединенные выборки для тестирования 10 миллионов человек за считаные дни.

Специалисты, действительно не понаслышке знакомые с групповым тестированием, – это ветеринары, которым приходится быстро и точно выявлять небольшие вспышки заболеваний в крупных плотных группах домашних животных. Иногда они оценивают сотни образцов с помощью одного-единственного теста. Один мой знакомый ветеринар-микробиолог сказал мне, что не видит причин, по которым их протоколы нельзя использовать для быстрой проверки людей на коронавирус, хотя какую-то часть процедур придется менять. «Нельзя посадить тысячу человек на ленту конвейера и ректально проверять каждого по мере прохождения», – заметил он (как мне показалось, с некоторым сожалением).

Итак, теперь мы полностью готовы приступить к теории событий Росса и Хадсон применительно к распространению пандемии. И начнем с придумывания некоторых чисел. (Настоящий эпидемиолог оценивал бы их как можно точнее. По мере распространения пандемии и расширения знаний о динамике болезни такая процедура все больше будет отличаться от «придумывания чисел».) Предположим, что в первый день наших попыток построить график распространения вируса заражено 10 000 человек из миллионного населения нашего штата, а оставшиеся 99 % населения по-прежнему восприимчивы к инфекции, то есть уязвимы. Таким образом:

уязвимы (день 1) = 990 000;

инфицированы (день 1) = 10 000.

Если я раз за разом буду набирать слова уязвимый и инфицированный, то они примелькаются и утратят свое значение, так что для краткости переключимся на буквы У и И: У(день 1) = 990 000, И(день 1) = 10 000.

Ежедневно заражаются новые люди. Допустим, каждый инфицированный в среднем кашляет на кого-то раз в пять дней, то есть получается 0,2 человека в день. Вероятность того, что тот, на кого кашлянули, восприимчив к инфекции, – это доля уязвимого населения штата, то есть У / 1 000 000. Поэтому ожидаемое количество новых инфекций составляет 0,2  И  У / 1 000 000.

Каждое новое заражение уменьшает количество уязвимых людей:

У(завтра) = У(сегодня) – 0,2  И(сегодня)  У(сегодня) / 1 000 000

и увеличивает число инфицированных:

И(завтра) = И(сегодня) + 0,2  И(сегодня)  У(сегодня) / 1 000 000.

Однако мы еще не закончили, потому что – к счастью! – люди поправляются. Надо придумать еще одно число. Предположим, период заразности длится 10 дней, так что в любой день каждый десятый из зараженных выздоравливает. (Это означает, что каждый инфицированный человек за 10 дней заразит примерно двух человек; таким образом, R₀ = 2). Тогда в действительности мы имеем:

И(завтра) = И(сегодня) + 0,2  И(сегодня)  У(сегодня) / 1 000 000 – 0,1  И(сегодня).

Такого рода соотношение называют разностным уравнением, поскольку оно сообщает нам разницу между ситуацией сегодня и завтра. Возможность вычислять эту разницу каждый день позволяет прогнозировать пандемию насолько далеко вперед, насколько мы посчитаем нужным. Вы должны представить этот кусок алгебры в виде какой-то машины, в идеале – со множеством мигающих лампочек и ревущим звуком. Вы помещаете сегодняшнюю ситуацию в машину, она ее прокручивает – и вы получаете ситуацию на завтра. Затем вы берете ее, снова запихиваете в машину, и она выдает ситуацию на послезавтра и так далее.

На второй день число новых инфицированных равно:

0,2  И(день 1)  У(день 1) / 1 000 000 = 0,2  10 000  990 000 / 1 000 000 = 1980,

и поэтому

У(день 2) = У(день 1) – 0,2  И(день 1)  У(день 1) / 1 000 000 = 990 000 – 1980 = 988 020.

На второй день появилось 1980 новых зараженных, но при этом выздоровела десятая часть из тех, кто заражен в данный момент.

И(день 2) = И(день 1) + 0,2  И(день 1)  У(день 1) / 1 000 000 – 0,1  И(день 1) = 10 000 + 1980–1000 = 10 980.

Теперь мы знаем ситуацию на день 2; помещаем ее в машину и получаем прогноз на день 3.

У(день 3) = У(день 2) – 0,2  И(день 2)  У(день 2) / 1 000 000 = 988 020 – 2169,69192 = 985 850,30808.

И(день 3) = И(день 2) + 0,2  И(день 2)  У(день 2) / 1 000 000 – 0,1  И(день 2) = 10 980 + 2169,69192 – 1098 = 12 051,69192.

Эти 69,192 % человека – хорошее напоминание о том, что мы имеем дело всего лишь с вероятностным прогнозом, наилучшим предположением, и не должны ожидать его правильности с точностью до последнего знака!

Вы можете продолжать эту процедуру сколько угодно. Число инфицированных людей день ото дня (округленно, потому что незачем тратить время на столько десятичных знаков) составит:

10 000, 10 980, 12 052, 13 223, 14 501…

Вы можете проверить, что это очень близко к геометрической прогрессии с ежедневным увеличением на 10 %. Но это не точная геометрическая прогрессия: темпы роста чуть-чуть ниже. Число 10 980 на 9,8 % больше, чем 10 000, однако 14 501 только на 9,7 % больше, чем 13 223. Это не ошибка округления, а эффект сокращения доли уязвимого населения, из-за чего у вируса уменьшаются возможности для распространения.

Вряд ли вас вдохновят целые страницы, исписанные числами У(день тот) и И(день этот); мне так точно не хочется их набирать. Именно для таких громоздких вычислений и предназначены компьютеры. С помощью нескольких строк кода вы получите прогноз на какое угодно количество дней. Я, например, получил такую картину:

Пик заражения приходится на 45-й день, когда инфицировано чуть более 16 % населения. В этот момент примерно 34 % населения уже выздоровело[399], а около половины все еще уязвимо. Таким образом, показатель R₀, который вначале был равен 2, уменьшился наполовину и теперь равен 1 – как раз тому пороговому значению, при котором заражение начинает снижаться. Хотя на приведенном графике это не совсем четко отражено, спад в таких моделях обычно не настолько крутой, как подъем: потребовалось 45 дней, чтобы добраться с 1 % инфицированных до пика, и 60 дней, чтобы спуститься с пика обратно до уровня в 1 % зараженных.

Сегодня ученые традиционно приписывают эту модель не Россу и Хадсон, а Кермаку и Маккендрику. Андерсон Маккендрик (адресат письма Росса об открытии двери в новую науку об эпидемиях) был, как и Росс, шотландским врачом со склонностью к математике; он работал с Россом в Сьерра-Леоне. Уильям Огилви Кермак – еще один врач шотландского происхождения, ослепший во время несчастного случая в лаборатории от едкой щелочи, – подобно Хадсон, обладал колоссальной геометрической интуицией.

Кермак никуда не ходил без своей тяжелой деревянной трости, постукивание которой было известно всем в лаборатории Королевского колледжа врачей в Эдинбурге, хотя иногда, когда ему было нужно, «он также имел привычку[400] вешать трость на руку и появляться под руку с кем-нибудь из помощников – бесшумно и неожиданно, иногда доставляя неудобство». В своей статье 1927 года Кермак и Маккендрик ссылаются на предыдущие труды Росса и Хадсон, но их работа, помимо добавления новых идей, была написана проще, с более понятными обозначениями, и казалась более удобной для использования. Их система сегодня известна как SIR-модель, где Susceptible – здоровые восприимчивые (уязвимые) к инфекции люди (они обозначены буквой У); Infected – инфицированные (зараженные, они обозначены буквой И); Recovered – выздоровевшие люди, у которых на данный момент выработался иммунитет. В более сложных моделях используются и другие группы людей, и количество букв в названиях моделей, соответственно, увеличивается.

Как и надеялся Росс, математическая основа, которую он помог создать для изучения распространения болезней, оказалась полезной для понимания и других видов событий. Сегодня мы используем SIR-модели для многих заразных вещей, например твитов. В марте 2011 года землетрясение в регионе Тохоку и последовавшее за ним цунами разрушили атомную электростанцию «Фукусима» и унесли жизни тысяч людей в северо-восточной Японии. Запаниковавшие люди делились информацией в Twitter, причем не всегда здравой. Ходили слухи, что соприкосновение с дождем опасно. Широко разошелся твит: «Для предотвращения побочных эффектов от радиоактивности полезно пить жидкость для полоскания рта, содержащую йод, и есть как можно больше морских водорослей». Эти слухи, даже если они исходили от людей с небольшим количеством подписчиков, распространялись очень быстро, как и поправки от научных авторитетов.

Слухи весьма похожи на коронавирус. Вы не можете их передать, если предварительно не подверглись их воздействию и в какой-то степени не выработали иммунитет. Если вы уже познакомились со слухом и передали его, то последующие ваши встречи с ним вряд ли запустят новый виток распространения. Поэтому вполне логично, что исследователи в Токио обнаружили, что SIR-модель[401] весьма неплохо справляется с моделированием распространения твитов со слухами о землетрясении. Вы можете считать параметром R₀ для слуха среднее число людей, которые им делятся дальше. Если слух не особо интересен, то показатель R₀ невелик, как у гриппа; если же он реально захватывающий, то ситуация становится больше похожа на корь. Последний вид слухов мы называем вирусным, хотя на самом деле все слухи вирусные! Просто одни вирусы заразнее других.

Разностные уравнения подходят не только для моделирования заболеваний. Они лежат в основе целого множества последовательностей, интересных с точки зрения математики. Любите арифметические прогрессии? Можете получить одну из них, предположив, что разность – это фиксированное число:

А(завтра) – А(сегодня) = 5,

и получите (если начнете с 1) последовательность 1, 6, 11, 16, 21…

Если хотите получить геометрическую прогрессию, нужно взять разность, которая пропорциональна текущему значению, скажем:

А(завтра) – А(сегодня) = 2  А(сегодня),

что дает последовательность 1, 3, 9, 27, 81 и т. д., в которой каждый член втрое больше предыдущего. Вы можете взять любое разностное уравнение, какое захотите! Например, возможно, по каким-то причинам вам захотелось, чтобы разность была квадратом текущего значения:

А(завтра) – А(сегодня) = А(сегодня)²,

что приводит к весьма быстро растущей последовательности 1, 2, 6, 42, 1806… Такого рода прогрессии не были известны Платону, их гораздо больше знает «Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей» (OEIS), которая одновременно является важным исследовательским инструментом и невероятно успешным средством прокрастинации для всех известных мне математиков Этот проект запустил математик Нил Слоун[402] в 1965 году: сначала на перфокартах, затем в виде бумажной книги, а потом и онлайн. Вы можете задать машине список целых чисел, а она выдаст вам все, что математический мир знает о нем. Например, вышеприведенная последовательность – это последовательность A007018 в OEIS, и я узнал, что ее n-й член – это «число упорядоченных деревьев, имеющих узлы с полустепенью исхода 0, 1, 2, и таких, что все листья находятся на уровне n». (Снова деревья!)

Если вы хотите несколько усовершенствовать модель (а при моделировании болезней с претензией на реализм, вероятно, так и есть), можно сделать так, чтобы разность между сегодняшней и завтрашней ситуацией зависела не только от произошедшего сегодня, но и от того, что происходило вчера. Попробуем так:

A(завтра) – A(сегодня) = A(вчера).

Чтобы начать вычисления, нам нужны данные за два первых дня. Если и сегодняшнее, и вчерашнее значение равно 1, то завтра будет 1 + 1 = 2. Еще через день A(сегодня) = 2, A(вчера) = 1, поэтому A(завтра) = 3. Эта последовательность продолжается так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

где каждый член – сумма двух предыдущих. Это последовательность Фибоначчи, или A000045 в OEIS, и она настолько знаменита, что ей посвящен целый математический журнал.

Вам может быть неясно, откуда в реальном мире возьмется процесс, порождающий такое разностное уравнение. Сам Леонардо Фибоначчи в своей «Книге абака» в 1202 году предложил эту последовательность на основании совершенно неубедительной биологической модели размножающихся кроликов. Но есть и более древний и хороший способ! Я узнал о нем от Манджула Бхаргавы – не только выдающегося специалиста по теории чисел, но и серьезного исследователя классической индийской музыки и литературы. Он играет на табле[403] и знает поэзию на санскрите. Как и в английском языке, метрическая структура стихов на санскрите определяется различными типами слогов. В англоязычной поэзии мы, как правило, следим за закономерностями в чередовании ударных и безударных слогов, которые называются стихотворными размерами; среди них есть ямб, когда за безударным слогом идет ударный (To BE or NOT to BE), или дактиль, где за ударным слогом следуют два безударных (THIS is the FORest priMEval). В санскритской поэзии[404] ключевое различие проводится между лагху (легким) и гуру (долгим) слогом, при этом гуру вдвое длиннее. Метр (матра-вррта[405]) – это последовательность лагху и гуру, образующих некоторую фиксированную длину. Например, если эта длина равна 2, то есть только два варианта: либо два лагху, либо один гуру.

В английском языке существует четыре способа сложить два слога: безударный – ударный (ямб), ударный – безударный (хорей), ударный – ударный (спондей[406]) или безударный – безударный, который, как я только что выяснил, называется пиррихий[407].

Если у вас три слога, то каждый из этих четырех вариантов порождает еще два: например, после хореической стопы может следовать безударный слог, что дает дактиль, а может ударный, что дает редко используемый размер под названием амфимакр. (Вероятно, самым известным примером его применения в современном американском стихосложении является слоган пива Bud Dry: Why ask why? Try Bud Dry[408].) Итак, существует восемь вариантов для трехсложного размера стиха, шестнадцать для четырехсложного, тридцать два для пятисложного и так далее.

В санскрите все гораздо запутаннее. Если три различных метра длины 3:

лагху лагху лагху;

лагху гуру;

гуру лагху;

и пять метров длины 4:

лагху лагху лагху лагху;

лагху гуру лагху;

гуру лагху лагху;

лагху лагху гуру;

гуру гуру.

Та же самая задача в музыкальных терминах: сколькими способами можно объединить половины и четверти ноты, чтобы получить целую ноту?

Сколько вариантов получится, когда длина матра-вррта равна 5? Подсказкой будет тот порядок, в котором написаны варианты выше. Такой метр может оканчиваться лагху (это значит, что этому предшествует метр длины 4, а таких метров пять) либо гуру (это значит, что перед этим находится метр длины 3, а таких метров три). Всего 5 + 3 = 8 вариантов, сумма двух предыдущих членов. И мы вернулись к последовательности Фибоначчи, или, как любит ее называть Бхаргава, последовательности Вираханки – в честь выдающегося индийского ученого, знатока литературы, религии и математики, впервые нашедшего эти числа (за пять столетий до того, как Фибоначчи задумался над своими кроликами).

В SIR-модели мы отошли от строгой геометрической прогрессии, но не от философии, что все, что происходит сегодня, произойдет и завтра. Нам просто нужно интерпретировать это несколько шире. В арифметической прогрессии ежедневное увеличение одинаково, в геометрической – разное, но оно одно и то же, если считать его в долях от сегодняшнего числа. Правило расчета ежедневного прироста завтра будет таким же, как сегодня. Согласно нашей модели, завтра случится то, что наша гудящая машина произведет из того, что случилось сегодня. Скорость роста может разниться день ото дня, но машина всегда одна и та же.

Такой взгляд на вещи делает нас наследниками и преемниками Исаака Ньютона. Его первый закон утверждает, что тело продолжит двигаться с той же скоростью и в том же направлении, если к нему не будет приложена какая-нибудь сила. Завтра движение будет таким же, как и сегодня.

Однако большинство интересующих нас объектов не двигаются сквозь не дающий трения вакуум по вечной неизменной линии. Подбросьте вертикально теннисный мяч, он пролетит какое-то расстояние, достигнет максимальной точки и начнет опускаться, как наш график инфицирования. Это приводит нас ко второму закону Ньютона, описывающему поведение тел при приложении к ним какой-нибудь силы, например гравитации.

С доньютоновской точки зрения поведение теннисного мяча постоянно меняется. Однако характер этих изменений один и тот же! Если вы подбросили мяч вертикально, его вертикальная скорость через секунду будет на 9,8 м/с меньше. Для движения вниз все наоборот: через секунду скорость мяча в том же направлении будет на 9,8 м/с больше, чем сейчас.

Если вам нужен более единообразный способ это сказать, то можете (и должны!) думать о движении вниз со скоростью 20 м/с как о движении вверх со скоростью –20 м/с. Соответственно, если мяч падает и сейчас его скорость – 20 м/с, то через секунду его скорость будет – 29,8 м/c. Это поначалу путает людей при столкновении с отрицательными числами: когда вы уменьшаете отрицательное число, оно каким-то образом становится больше!

Разница между скоростью сейчас и скоростью через секунду – всегда 9,8 м/с, потому что сила, действующая на теннисный мяч, всегда одна и та же: тяготение Земли. Это еще одно разностное уравнение! Скорость мяча не постоянна в разные секунды времени, но разностное уравнение, предсказывающее будущее поведение скорости, остается тем же[409]. Подбросьте мяч на Венере – и получите другое разностное уравнение[410], но суть останется прежней. Что происходит сейчас, произойдет и через секунду.

Если вы, конечно, не ударите по мячу! Подобные модели предсказывают поведение системы в фиксированных условиях. Встряска или даже легкое вмешательство (например, атмосферы) меняют эти условия, и, соответственно, меняется и прогноз. Реальные системы подвержены множеству всевозможных вмешательств. Во время пандемии мы не пускаем все на самотек, а предпринимаем какие-то шаги! Однако это не делает модели бесполезными. Если мы хотим знать, что произойдет с теннисным мячом после удара, то должны иметь четкое представление, как он двигается под действием одной только силы тяжести. Модели заболеваний не предскажут будущее, поскольку не знают наших возможных действий. Однако они определенно помогут решить, что и когда нам следует делать.

Данные о COVID-19 поступают к нам ежедневно, а не ежечасно или ежеминутно. Но местоположение брошенного мяча можно измерять в гораздо более мелких временных масштабах, чем секунда. Мы могли бы спросить, как меняется скорость мяча каждые полсекунды, или каждую десятую долю секунды, или каждую пикосекунду; в максимально честолюбивом случае мы могли бы захотеть описать мгновенную скорость, с которой меняется скорость движения мяча, то есть скорость изменения скорости. Ньютон с этим справился. Суть его теории флюксий, которую мы сейчас называем дифференциальным исчислением, – разобраться в подобных вопросах. Мы не станем вдаваться в подробности, а скажем лишь то, что если в разностном уравнении сделать промежутки бесконечно малыми, чтобы адекватно описывать непрерывные изменения, то уравнение будет называться дифференциальным. Любая физическая система, эволюцию которой во времени можно описать в терминах ее текущего состояния, регулируется каким-то дифференциальным уравнением. Теннисные мячи на Венере; вода, протекающая по трубам; распространяющееся по металлическому стержню тепло; спутники, вращающиеся вокруг планет, вращающихся вокруг Солнца, – у всех есть собственное дифференциальное уравнение. Некоторые из них легко решить в явном виде, некоторые – трудно, большинство – невозможно.

Язык дифференциальных уравнений – вот что использовали в своих моделях Росс, Хадсон, Кермак и Маккендрик. Росс уехал из Сент-Луиса до того, как Анри Пуанкаре прочитал свою лекцию в последний день работы выставки 1904 года, а если бы остался, то, возможно, получил бы фору в целых десять лет для своих исследований эпидемий. Пуанкаре говорил аудитории:

Что древние подразумевали под законом?[411] Для них он был некоей внутренней гармонией, статической и незыблемой; или же моделью, которой природа старалась подражать. Для нас закон – уже совсем иное, это постоянная связь между сегодняшним и завтрашним явлением; одним словом, это дифференциальное уравнение.

Дифференциальные уравнения, которые Росс и Хадсон применяли к пандемиям, обладают критической точкой; существует пороговый уровень иммунитета – та точка коллективного иммунитета, которая разделяет два совершенно разных вида поведения. Болезнь в популяции с иммунитетом ниже этого уровня будет распространяться экспоненциально (по крайней мере, поначалу). Однако в том случае, когда иммунитет населения выше этой точки, заболевание идет на спад. Динамика двух тел в космосе подчиняется той же простой дихотомии: они либо вращаются друг вокруг друга по эллипсу, либо разлетаются по гиперболе. Однако переход от двух тел к трем порождает фантастический диапазон новых динамических возможностей. Как раз с этими дифференциальными уравнениями боролся Пуанкаре, решая задачу трех тел, сделавшую его известным. Сложное поведение, описанное Пуанкаре, стало началом новой области – теории хаоса. Когда царит хаос, малейшее возмущение текущего состояния может привести к принципиально иному будущему. Каждая точка – критическая.

Пуанкаре уже знал то, что Россу еще только предстояло изучить: дифференциальные уравнения были естественным языком для любых попыток создать что-то вроде ньютоновской физики болезней или – если учесть амбиции Росса – физики всех событий. События завтрашнего дня зависят от сегодняшних.