Форма реальности Элленберг Джордан

(1 – ¹/₂) (1 – ¹/₈) (1 – ¹/₃₂) (1 – ¹/₁₂₈)…

где знаменатель каждой дроби вчетверо больше предыдущего. Снова геометрическая прогрессия! Это произведение примерно равно 0,419, то есть довольно далеко от 0,5. Такая асимметрия – признак какой-то более глубокой геометрической структуры на совокупности всех остовных деревьев; оказывается, существует осмысленный способ сказать, когда последовательность остовных деревьев образует арифметическую прогрессию![663]

Но чтобы объяснить это, мне пришлось бы углубиться в захватывающие подробности, а мы еще не спасли демократию. Поэтому вернемся к нашим избирательным округам.

Как только у вас в руках окажется остовное дерево, разделить сеть на части не составит труда: просто сделайте проигрывающий ход, убрав ребро и разъединив граф. Любой ваш выбор разделит граф на две части; если немножко постараться, то можно найти ребро, которое делает их примерно равными по размеру. (Если не выходит, возьмите другое дерево и начните заново.) Получится приблизительно такая картинка: и слева, и справа одну из частей я выделил, а другую – нет.

Теперь вы более или менее знаете, как работает ReCom[664]: берете удвоенный округ, выбираете наугад остовное дерево (например, проведя игру со случайным удалением ребер[665]), выбираете в нем случайное ребро, режете его – и ваш граф распадается ровно на два новых округа.

Я хочу сделать одну оговорку. Существует огромная разница между случайным блужданием посредством метода ReCom на пространстве карт и случайным блужданием с помощью тасований на пространстве способов расположить карты в колоде в каком-то порядке. Во втором случае мы имеем теорему о семи тасованиях, где под теоремой я подразумеваю именно теорему: есть математическое доказательство, что определенного количества тасований (шести!) достаточно, чтобы добраться до любого возможного порядка карт, и, сверх того, с помощью нескольких тасований (семи!) можно обеспечить примерно одинаковую вероятность всех расположений карт в колоде. Когда дело касается округов, никаких теорем нет. О геометрии разбиений на округа мы знаем гораздо меньше, чем о геометрии тасований. Пространство всех разбиений может выглядеть, скажем, так:

В этом случае, начав с одного конца, вы потенциально можете долгое время случайно блуждать по одной части, прежде чем доберетесь до другого конца перешейка. Может даже оказаться, что пространство всех разбиений может быть разделено на две (или даже больше) отдельные части. А вдруг там есть неоткрытая страна возможных карт Северной Каролины, принципиально отличная от всех, когда-либо предлагавшихся математиками, компьютерами или недобросовестными политиками; и вполне может быть, что для этих карт десять республиканских мест из тринадцати – как раз самое обычное дело. Если мы не можем исключить такую вероятность, то имеем ли мы право говорить, что нынешняя карта с мошенническим построением границ – это выброс?

Да, насколько я понимаю. Мы не можем с абсолютной уверенностью знать, существует ли где-нибудь некое секретное хранилище альтернативных карт, но мы знаем, что на практике, если взять карту Северной Каролины, составленную законодательным собранием, и начать ее менять, то она становится менее республиканской, что бы вы с ней ни делали. Такой эксперимент дает четкое подтверждение – в любом значимом статистическом смысле, – что эта карта сфальсифицирована. Это не доказательство мошенничества картографов. Если уж на то пошло, то таким доказательством не являлись бы даже их электронные письма или заявления, прямо утверждающие, что они подтасовывают разбиение; в конце концов, нет никакого доказательства в евклидовом смысле, что они на самом деле не пытались просто набрать: «Давайте приступим к делу и начертим карты, которые беспристрастно отражают волю людей», но их пальцы соскользнули, и вместо этого получилось: «Давайте проведем границы этого штата так, чтобы мы не могли проиграть». Это доказательство в смысле закона, но не в смысле геометрии.

СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ ПРОТИВ СЭНДВИЧА С ТУНЦОМ

Ансамбль карт, составленных с помощью случайных блужданий, оказался в самом центре судебных дел о джерримендеринге, которые Верховный суд рассматривал весной 2019 года. Суть была не в том, чтобы доказать, что карты составлены в пользу какой-то партии; этот вопрос не оспаривался. Томас Хофеллер, архитектор карты Северной Каролины, уже дал показания, что его целью было «создать как можно больше избирательных округов, в которых кандидаты от Великой старой партии будут успешными»[666] и «минимизировать количество округов, в которых дмократы… могли бы избрать своего кандидата». Вопрос стоял так: сработал ли этот план? Вы не можете отбрасывать карту только потому, что ее стремились сделать нечестной. Вы должны доказать, что она такой и получилась.

Метод ансамбля – лучший инструмент, который у нас для этого есть. Более старые идеи, например разрыв эффективности, в запросах истцов в основном отсутствовали. Истцы просили суд признать[667], что карта Северной Каролины – выброс, который выделяется среди нейтральных аналогов, как бородавочник в помете поросят. Они утверждали, что анализ выбросов и есть тот самый «контролируемый стандарт», который разыскивает суд. Джонатан Маттингли, математик из Университета Дьюка и участник группы, создавшей ансамбль карт для выборов в висконсинскую ассамблею, сделал то же самое и для округов Северной Каролины по выборам в конгресс, продемонстрировав, что в его ансамбле из 24 518 карт нашлось всего 162, в которых республиканцы выиграли бы 10 округов. На существующей карте Северной Каролины доля демократов штата была так эффективно распределена по трем округам, что они получили там 74, 76 и 79 %; ни на одной из 24 518 смоделированных карт таких перекошенных округов не нашлось.

В своем консультативном заключении математики излагали аналогичные аргументы, хотя наши графики были красивее.

Затем последовали прения, которые для всех нас, кто рассматривал это судебное дело через призму математики, стали полным разочарованием. Как будто и не было многих лет прогресса в изучении разбиения на округа, словно мы вернулись к избитому вопросу, дают ли 55 % в общем голосовании 55 % мест в законодательном органе. Пол Клемент, защищавший карты Северной Каролины, говорил судье Соне Сотомайор: «Я думаю, что вы уловили то, что мои друзья с той стороны считают проблемой, а именно отсутствие пропорционального представительства». Судья Сотомайор пыталась сообщить Клементу, что дело не в этом, но он продолжал, обращаясь уже к Стивену Брайеру: «Вы не можете говорить даже в целом о выбросах или крайностях, если не знаете, от чего они отклоняются. И я так понимаю, по вашему вопросу и по вопросу судьи Сотомайор, что людей беспокоит отклонение от принципа пропорционального распределения». «На самом деле…» – вмешалась Соня Сотомайор. «Вы все время так говорите, но я не думаю, что это правильно», – возразила Елена Каган. Это не остановило Клемента, который высказался насчет положения в Массачусетсе. Он заметил, что республиканцы никогда не имели в конгрессе представителя от Массачусетса, хотя треть населения штата принадлежит к республиканской партии: «Никто не думает, что это нечестно, поскольку вы реально не можете начертить такие районы, потому что они распределены равномерно. Для них это, возможно, и печально, но я не думаю, что это нечестно».

Бедственное положение республиканцев Массачусетса также обсуждалось в заключении математиков. Наше мнение в основном совпадало с мнением Клемента, за исключением одной важной детали: то, что, по его словам, истцы просят обеспечить, на самом деле то, что истцы просят запретить. Нет ничего нечестного в том, что республиканцы в Массачусетсе не обладают пропорциональным представительством. Вы можете создать ансамбль карт, целые тысячи карт, нарисованных безо всяких гнусных партийных целей, и любая из них отправит в конгресс девять демократов и ноль республиканцев[668]. Вот почему наблюдательная группа Common House не просила Верховный суд гарантировать пропорциональное представительство. Пропорциональное представительство – плохой критерий справедливости. Карта для Массачусетса, составленная с прицелом на пропорциональное представительство, не была бы защищена от обвинений в джерримендеринге и на самом деле была бы такой же жульнической, как и карта «Агрессивный Джо».

Однако многие судьи полагали, что их призвали решать именно вопрос пропорционального представительства. Нил Горсач беспокоился, что если он вынесет решение против Северной Каролины, то «нам придется в качестве обязанностей для каждого отдельного случая разбиения рассматривать доказательства, чтобы определить, почему это было отклонением от нормы пропорционального представительства; в этом вопрос?»

Вопрос был не в этом. Горсачу, похоже, было сложно это принять. Ближе к концу прений между Горсачем и Эллисон Риггз, представляющей Лигу женщин-избирателей, состоялся действительно потрясающий обмен мнениями по поводу мошеннической карты. Риггз объясняет, что ее клиент просит суд всего лишь исключить наиболее вопиющие жульничества с большой партийной предвзятостью. Тогда у штатов оставалось бы много простора для выбора среди остальных 99 % всех карт, и они могли бы использовать любые внепартийные критерии, какие им нравятся. Горсач перебивает…

Судья Горсач. Но относительно… Извините, что прерываю, советник, но простор от чего?

Мисс Риггз. Простор для…

Судья Горсач. От… сколько простора, от какого стандарта? И разве… разве ответ, который вы хотите… я понимаю, что вы не хотите его давать, но разве настоящий ответ здесь – не простор от пропорционального представительства до, скажем, семи процентов?

Мисс Риггз. Нет.

После еще одного раунда препирательств Горсач, похоже, признает, что Риггз не собирается принимать его принудительный пересказ. «Нам нужна точка отсчета, – говорит он. – А она, я все еще думаю, если это не пропорциональное представительство, то какую точку отсчета мы должны использовать, по вашему мнению?»

Он задавал вопрос, на который только что ответила Елена Каган: «То, что недопустимо, – это отклонение от того, что предложил бы штат без таких партийных соображений».

Для математика читать стенограмму дискуссии – все равно что вести небольшой семинар, когда только один студент читал материал. Судья Каган понимает суть. Она ясно и лаконично формулирует тот количественный аргумент, который ее просят рассмотреть. А затем… все ведут себя так, будто она не сказала ни слова. Соня Сотомайор и Джон Робертс говорят мало, но в основном по делу. У Стивена Брайера есть собственный тест на джерримендеринг, который не нравится ни одной из сторон. А Горсач, Сэмюэль Алито и в какой-то степени Бретт Кавано с помощью Пола Клемента совместно конструируют какую-то вымышленную версию дела, в которой истцы просят суд навязать штатам некую форму пропорционального представительства.

Если вам нужно отдохнуть от ансамблей, случайных блужданий и выбросов, то вот как бы выглядели прения, если бы речь шла о заказе сэндвича.

Мисс Риггз. Мне горячий сэндвич с сыром.

Судья Алито. Окей, один бутерброд с тунцом.

Мисс Риггз. Нет, я попросила сэндвич с сыром.

Судья Кавано. Я слышал, что бутерброд с тунцом – это хорошо.

Судья Горсач. Вы хотите открытый или закрытый бутерброд с тунцом?

Мисс Риггз. Я не хочу бутерброд с тунцом, я хочу…

Судья Горсач. Такое ощущение, что вы просто не хотите выйти и сказать это, но разве вы хотите не бутерброд с тунцом…

Мисс Риггз. Нет.

Судья Каган. Она просила сэндвич с сыром. Это не бутерброд с тунцом, потому что в нем нет тунца.

Судья Горсач. Но если, по вашим словам, вы не хотите бутерброд с тунцом, чего вы хотите? Предполагается, что мы должны для вас сделать сэндвич…

Судья Алито. Вы приходите сюда, просите горячий сэндвич на поджаренном хлебе с сыром на нем. По мне, так это бутерброд с тунцом.

Судья Брайер. Никто никогда не заказывает печеночный паштет, но давали ли ему настоящий шанс?

Мистер Клемент. Основатели имели все возможности сделать вам бутерброд с тунцом, но они решили этого не делать.

Возможно, вы уже знаете, чем все это закончилось, а если не знаете, то догадываетесь. Верховный суд 27 июня 2019 года большинством 5–4 постановил, что вопрос о том, конституционен ли партийный джерримендеринг или нет, выходит за рамки компетенции федеральных судов; если пользоваться специализированным термином, то он «не подлежит юрисдикции суда». Попросту говоря, штаты могут с неограниченным энтузиазмом жульничать с границами своих карт. Судья Робертс, написавший решение, объяснил:

Претензии к партийному джерримендерингу неизменно выражаются в стремлении к пропорциональному представительству[669]. Как излагала судья О’Коннор, такие претензии основаны на «убеждении, что чем больше отклонение от пропорциональности, тем подозрительнее план разбиения».

Робертс все же признает в самом конце своего решения, что пропорциональное представительство – вовсе не то, что требовали истцы в деле Ручо, однако большая часть из написанного им посвящена повторению своего несогласия с этим несуществующим требованием. Конституционное утверждение, что ничьи права голоса не могут быть ущемлены, настаивает он, «не означает, что влияние каждой партии должно быть пропорциональным числу ее сторонников».

Нет, я не сделаю вам бутерброд с тунцом. Вы же знаете, что мы не подаем здесь бутерброды с тунцом!

Я не юрист и не буду выдавать себя за юриста. И не стану притворяться, что вопросы конституционного права в этом деле были простыми. Простые дела не доходят до Верховного суда. Так что я не собираюсь рассказывать вам, что с точки зрения закона большинство приняло неправильное решение. Если это то, что вы ищете, то рекомендую прочитать особое мнение судьи Каган, которое настолько язвительно и мрачно, что временами кажется, будто она вот-вот разразится сардоническим смехом.

Для Робертса крайне важно, что в прошлом суды в явном виде разрешали определенную степень партийных перекосов в разбиении на избирательные округа. Перед судом стоял вопрос, не наступит ли в какой-то момент такая вещь, как чересчур. Большинство в деле Ручо сказали «нет». Если это соответствует конституции, то и переусердствовать – конституционно. Или, точнее, если суд не может установить четкую, согласованную или универсальную грань между допустимым и запрещенным, то суд вообще не может рассматривать этот вопрос. Это правовая версия парадокса кучи, который восходит к Евбулиду, оппоненту Аристотеля. Этот парадокс предлагает определить, сколько зернышек пшеницы нужно, чтобы получилась куча (по-гречески – сорит). Одно зернышко – это не куча, два зернышка – тоже. На самом деле добавление одного зернышка к какому-то количеству зерен, которое нельзя считать кучей, тоже ее не даст: три зерна не куча, четыре зерна не куча и так далее. Рассуждая таким образом, мы приходим к выводу, что такого понятия, как куча зерен пшеницы, не существует, однако кучи пшеницы каким-то образом существуют[670].

Робертс считает, что ситуация с джерримендерингом подобна парадоксу кучи. Он говорит, что любая линия, проведенная между «приемлемым джерримендерингом» и «извините, но это уже чересчур», неизбежно будет субъективной и в итоге окажется сложной и зависящей от конкретного дела (возможно, его устроило бы правило, что 99 зерен не куча, а 100 – уже куча; однако не устроило бы положение, когда пороговая величина зависит от того, имеем мы дело с зернами или с песчинками).

Я понимаю его точку зрения. Но все же продолжаю думать о Неваде. Это единственный из 50 штатов, не требующий связности избирательных округов. Невада ориентирована на демократов, и в ней 21 избирательный округ для выборов в сенат штата. В принципе законодательный орган штата может заполнить три округа полностью республиканцами и сбалансировать состав остальных округов так, чтобы в них было около 60 % демократов. Это практически гарантированно закрепит места в сенате, то есть в верхней палате штата будет супербольшинство 18–3, которое сохранится, даже если штат качнется вправо и выберет губернатора-республиканца. В соответствии с решением по делу Ручо, нет однозначного способа установить, что такой план – это чересчур. Иногда юридическая позиция – даже если она обоснована с точки зрения закона – лишена здравого смысла.

В конце концов, вынесенное большинством решение затрагивает один технический момент: что партийный джерримендеринг – это политический вопрос. Это означает, что даже при нарушении конституции Верховному суду запрещено вмешиваться. При этом то, что результаты джерримендеринга «разумно кажутся нечестными» и фактически «несовместимы с демократическими принципами», не оспаривается; это реальные цитаты из решения суда! И неубедительные протесты составителей, что их карты на самом деле не обеспечивают надежного преимущества на выборах, отклоняются практически без комментариев. Однако, как пишет судья Робертс, сам по себе факт, что нечто нечестно, несовместимо с демократическими принципами и дьявольски эффективно, не означает, что нарушения конституции входят в компетенцию суда. Джерримендеринг воняет, но не настолько сильно, чтобы конституция уловила этот запах.

В этом решении чувствуется какой-то дискомфорт: не только в признании, что джерримендеринг препятствует демократии, но и в четко выраженном желании, чтобы этим вопросом занимался кто-то другой, а не Верховный суд. Возможно, в конституциях штатов найдется что-нибудь, запрещающее джерримендеринг, предполагает Робертс. А если нет, то, может быть, избиратели в заинтересованных штатах устроят протест или изменят систему путем референдума, если живут в штате, где законодательный орган не может немедленно отменить результаты такого голосования. Или, может, что-нибудь предпримет конгресс США?

В моем представлении Робертс ассоциируется с работником завода, уходящим после смены в 17:05 и замечающим, что здание загорелось. Рядышком на стене висит огнетушитель, он может его схватить и устранить возгорание, но тут в его голове проносится куча противоречивых мыслей, ведь на карту поставлен принцип! Уже больше 17 часов, его рабочее время закончилось. В правилах профсоюза четко сказано, что он не может работать без оплаты сверхурочно. Если он потушит огонь, то создаст прецедент: теперь он связан обязательствами каждый раз, когда здание загорится после окончания рабочего дня. Вероятно, рядом есть кто-нибудь, кто работает допоздна и может потушить пожар. В конце концов, есть же пожарная часть – это она обязана тушить пожары! Правда, неизвестно, как быстро они приедут, да и, честно говоря, пожарная часть города обычно не сильно торопится. И тем не менее официально это их работа, а не его.

«МОЖНО СВЕРГНУТЬ ТОЛЬКО В РЕЗУЛЬТАТЕ ПОЛИТИЧЕСКИХ ПОТРЯСЕНИЙ»

Для противников джерримендеринга решение Верховного суда не стало долгожданным счастливым концом, но могло стать счастливым началом, ведь судья Робертс не ошибался, говоря о существовании и других возможных путей реформ. В течение года после решения по делу Ручо в Северной Каролине округа по выборам в конгресс были запрещены коллегией судей штата – как нарушающие конституцию Северной Каролины. Верховный суд Пенсильвании сделал то же самое в 2018 году (именно в этот момент губернатор пригласил Дачина, одного из создателей алгоритма ReCom, помочь составить новые, более честные карты). Палата представителей приняла закон[671], заблокированный сейчас руководством сената, по которому должны создаваться внепартийные комиссии, которые будут формировать округа для выборов в палату (но не округа для выборов в законодательные органы штатов, над которыми конгресс власти не имеет[672])[673].

Да и само рассмотрение столь резонансного дела сделало проблему джерримендеринга гораздо более заметной в глазах общественности. Сатирическое шоу Last Week Tonight на канале HBO включило двадцатиминутный блок, посвященный проблеме разделения на избирательные округа. Старшеклассник из деформированного до уродливости техасского десятого округа по выборам в конгресс придумал настольную игру о джерримендеринге – «Творец карт»; и она разошлась тысячами экземпляров после того, как заклятый враг джерримендеринга Арнольд Шварценеггер поддержал ее в социальных сетях. Сегодня о джерримендеринге знает больше людей, чем когда-либо ранее, а когда люди о нем знают, они его не одобряют; 55 из 72 административных округов Висконсина (как демократические, так и республиканские) приняли резолюции[674], требующие проводить беспартийное разбиение.

Избиратели Мичигана и Юты на общем референдуме одобрили создание новых внепартийных комиссий для формирования избирательных округов. В Вирджинии, где карта состряпана республиканцами, одной двухпартийной группе в законодательном органе удалось провести поправку, передающую контроль над разбиением независимой комиссии. Однако этот штат так быстро сдвинулся влево, что в 2019 году демократы преодолели джерримендеринг и получили большинство в обеих палатах. Многие члены новоиспеченного большинства, оказавшись на руководящей позиции перед очередной переписью, внезапно потеряли энтузиазм к реформе.

В особом мнении судья Каган говорит, что не стоит ждать слишком многого от политического процесса. Политический процесс – это как раз то, что пытается ограничить джерримендеринг. Например, в Мэриленде ситуация с жульнической картой для выборов в конгресс сохраняется даже с губернатором-республиканцем: демократы обладают большинством с правом вето в законодательном органе штата и, похоже, сохранят существующую карту.

Как Висконсину получить более честные карты? В конституции штата так мало говорится о границах избирательных округов (а то, что говорится, уже привычно игнорируется), что трудно представить себе успешное оспаривание действующих карт в суде[675]. Висконсинцы не имеют возможности выдвинуть на общее голосование какую-нибудь избирательную инициативу, так как это должен делать законодательный орган, но законодательный орган устраивает сложившееся положение вещей. Висконсин мог бы избрать нового губернатора, который наложил бы вето на жульническую карту, созданную республиканцами, – по сути, так и было сделано в 2018 году. Однако ходят слухи, что законодательный орган штата планирует потребовать у судов Висконсина объявить, что разбиение на избирательные округа – дело исключительно законодательного органа и не требует подписи губернатора; вполне возможно, это найдет отклик в судебной системе штата. Если такое произойдет, то трудно понять, как жители Висконсина смогут хоть как-то высказываться по этому вопросу.

В Мичигане независимая комиссия по разбиению на округа сталкивается с судебными исками от республиканцев штата с того самого дня, как 61 % жителей штата проголосовали за ее появление. В Арканзасе группа Arkansas Voters First, выступающая за реформу системы деления на округа, собрала более ста тысяч подписей в разгар пандемии, чтобы внести поправку в конституцию на ноябрьском голосовании; однако секретарь штата заявил, что эти петиции недействительны, поскольку фраза в соответствующей форме, удостоверяющая, что платные агитаторы прошли проверку на наличие судимости, неправильно сформулирована[676]. Политика штатов изобилует местами, где можно наложить вето, поэтому политические фракции, стремящиеся охранять свою территорию, располагают массой способов защитить себя от общественности.

И тем не менее я оптимист. Американцы привыкли пожимать плечами при виде избирательных округов совершенно разных размеров, говоря, что именно так и ведется игра; сейчас же большинство людей, с которыми я беседовал, шокированы тем, что такую практику вообще допустили. Мы склонны не любить нечестность, а наши представления о честности неотделимы от математического мышления. Разговоры с людьми о темном искусстве джерримендеринга – это своеобразная форма преподавания математики, а математика имеет свойство подкупать человеческий разум, особенно когда переплетена с другими вещами, которые нас глубоко волнуют: властью, политикой и представительством. Джерримендеринг имел громадный успех, когда осуществлялся за закрытыми дверьми. Я хочу верить, что он не сохранится в открытом и хорошо проветриваемом помещении.

Заключение. Я доказываю теорему, и дом расширяется

Британский архитектор Герберт Бейкер, один из творцов индийской колониальной столицы Нью-Дели, утверждал, что новый город нужно строить по неоклассическому плану. Архитектура с местным колоритом не соответствовала бы целям империи. «Хотя при таком стиле у нас есть средства, чтобы выразить обаяние и очарование Индии, – писал он, – он не обладает конструктивными и геометрическими качествами, необходимыми для воплощения той идеи закона и порядка, которую британская администрация создала из хаоса». Геометрию можно рассматривать как метафору непререкаемого (по определению) авторитета, математический аналог естественного порядка, сосредоточенного на короле, отце или колониальном администраторе. Монархи Франции тратили несметное количество пистолей, разбивая регулярные парки, идеальные линии которых сходились к дворцу, представлявшему тот неизменный порядок, который они считали аксиомой[677].

Возможно, самым чистым примером такой точки зрения можно назвать короткий роман «Флатландия»[678], написанный в 1884 году директором английской школы Эдвином Эбботтом. Повествование ведется от имени квадрата. (Первые издания были опубликованы под псевдонимом Квадрат в качестве автора[679].) Действие книги происходит в двумерном мире, обитатели которого, подобно книжным червям Сильвестра, не способны воспринять направление в третье измерение. Жители плоскости (люди) – это геометрические фигуры, форма которых определяет их положение в обществе. Чем больше у человека сторон, тем выше его статус, а самыми высокопоставленными считаются многоугольники с таким большим количеством сторон, что они почти неотличимы от окружностей. Основную массу населения составляют равнобедренные треугольники, социальное положение которых зависит от угла между равными сторонами. У солдат этот угол очень мал; ниже их только женщины; они вообще представляют собой отрезки и изображены в романе как ужасные, практически безмозглые создания, смертельно опасные в силу своей остроты и практически невидимые, если смотреть не сбоку, а спереди. (А как насчет неравнобедренных треугольников? Их считают дефективными и помещают в лечебные учреждения, изолируя от нормального общества. При отклонении формы фигуры от правильной может милосердно применяться эвтаназия.)

Квадрат во сне оказывается в Лайнландии, и гордый одномерный король этой страны не может постичь объяснения своего гостя, что за пределами его владений есть целая плоская вселенная. После пробуждения Квадрат шарахается от бестелесного голоса, исходящего от крохотной окружности, невесть как проникшей в его дом. Окружность непостижимым образом увеличивается и уменьшается; разумеется, потому, что это не окружность, а сфера, поперечное сечение которой является той плоскостью-вселенной, где обитает рассказчик, и меняется по мере движения сферы вверх и вниз в третьем измерении. Сфера пытается объяснить Квадрату истинное устройство мира, но не преуспевает в этом и поднимает рассказчика над плоскостью, чтобы он мог увидеть свой мир снаружи. Вернувшись на свою плоскость, Квадрат пытается рассказать об увиденном. Но, как и следовало ожидать, его сажают в тюрьму, и роман заканчивается тем, что рассказчик остается в заточении, а его откровения проигнорированы.

Публикацию «Флатландии» встретили недоумением и пренебрежением. New York Times писала: «Это очень загадочная[680] и очень тягостная книга, и во всех Соединенных Штатах и Канаде ею могут насладиться максимум шесть, от силы семь человек». Тем не менее она стала любима школьниками, увлекающимися геометрией, регулярно переиздается и по ней снято несколько фильмов. В детстве я перечитывал ее много раз.

Однако я не понимал тогда, что эта книга – сатира, высмеивающая, а не приветствующая старомодную социальную иерархию Флатландии. Эбботт вовсе не считал женщин пустоголовыми смертельными иглами – он был сторонником равенства в образовании. Он входил в совет организации Girls’ Public Day School Company[681], которая финансировала среднее образование женщин. Поскольку я не знал, что автор был англиканским священником, чьи публикации, кроме этого романа, носили преимущественно теологический характер, я, конечно же, не улавливал христианской аллегории, оживляющей всю эту историю: принципы геометрии не навязывают деспотический социальный порядок, а позволяют выйти из него тем, кто готов принять реальность другого мира.

Сила геометрии в этом повествовании состоит в том, что двумерное существо может с помощью чистого разума вывести свойства мира более высоких измерений, который оно не может непосредственно наблюдать. По аналогии с известными ему квадратами наш герой способен вычислить, что у куба должно быть восемь вершин и шесть граней, каждая из которых является квадратом, как и он сам. На этом этапе аналогия с христианством разрушается или становится крайне подрывной, поскольку Квадрат идет дальше и спрашивает сферу, что ей известно о четвертом измерении, о котором можно рассуждать совершенно аналогичным образом. Сфера отвечает, что это смешно, что никакого четвертого измерения не существует и что это глупость.

Известную нам геометрию можно использовать для поддержки традиционных взглядов. Но геометрия, которой мы еще не знаем, представляет собой угрозу. В XVII веке в Италии иезуиты[682] пресекали попытки математиков создать теорию бесконечно малых и вычислять площади и объемы ранее недоступных фигур; все, что выходило за рамки Евклида, считалось подозрительным. В Англии ньютоновское исчисление подвергалось церковным нападкам, и его приходилось защищать. Например, Джеймс Джурин написал книгу «Геометрия, не являющаяся другом неверия, или Защита сэра Исаака Ньютона и британских математиков». Но она станет таким другом, если ваша вера недостаточна! Геометрия (особенно новая) предлагает местоположение авторитета, который соперничает с установленным порядком. В этом смысле она может оказаться дестабилизирующей силой и радикальной мерой.

ДУША ФАКТА

Рита Дав – поэтесса, получившая Пулицеровскую премию, бывший поэт – лауреат США, профессор английского языка в Вирджинском университете, где в свое время математическими размышлениями занимались Томас Джефферсон и Джеймс Джозеф Сильвестр; однако в начале 1960-х она была закомплексованным ребенком в Акроне (штат Огайо). Ее отец, промышленный химик, был первым чернокожим химиком-исследователем в компании Goodyear Tire[683]. Дав вспоминает:

Мы с братом собирались вместе, чтобы решить домашнее задание по математике[684]. Мы часами пытались решать сложную задачу самостоятельно, прежде чем сдаться и обратиться к отцу, потому что он был настоящим знатоком математики, и, если у нас возникал вопрос по алгебре, он говорил: «Ну, это было бы проще, если бы вы использовали логарифмы». Мы протестовали: «Но мы же ничего не знаем о логарифмах!» Но он все равно доставал логарифмическую линейку, и через пару часов мы знали логарифмы, но вечер был потерян.

Это воспоминание превратилось в стихотворение Flash Cards («Карточки для обучения»)[685].

Карточки для обучения

Я была математиком-вундеркиндом, хранителем
апельсинов и яблок. Что тут непонятного,
говорил мне отец; чем быстрее
я отвечала, тем быстрее они появлялись.

Я могла наблюдать за бутоном на герани учителя,
за пчелой, жужжащей на мокром окне.
Тюльпанное дерево[686] всегда тянулось после сильного дождя,
и я втягивала голову, когда мои ботинки шлепали по дому.

Отец закидывал ноги после работы
и расслаблялся с бокалом виски и «Жизнью Линкольна».
После ужина шло натаскивание, и я поднималась в темноту

перед сном, перед тем как тонкий голос пищал
числа, когда я крутилась на колесе. Я должна была угадывать.
«Десять, – повторяла я, – мне всего лишь десять».

Это стихотворение отображает факты арифметики как авторитет, навязанный сверху. (Вдвойне: там есть и строгий отец, и любящий математику Авраам Линкольн, появляющийся в названии книги.) В стихотворении есть и привязанность. Дав говорит: «Вы также осознаете, что вас любят[687], потому что тратят на вас свое время. Мой отец был тогда очень суров, эти карточки появлялись перед сном. Тогда я их ненавидела, но сейчас я довольна». Однако в конце вы перебираете ногами на колесе в темноте, выдавая ответы как можно быстрее и правильнее. Такова математика в понимании множества школьников.

Большинство выдающихся поэтов не написали ни одного математического стихотворения, а у Дав их целых два. Вот еще одно.

Геометрия

Я доказываю теорему, и дом расширяется[688]:
окна плавно взмывают и парят у потолка,
потолок со вздохом уплывает вдаль,

поскольку стены очищаются от всего,
кроме прозрачности, унося с собой запах гвоздики.
Я под открытым небом,

и над окнами, превратившимися в бабочек,
солнечный свет вспыхивает там, где они пересеклись.
Они устремляются к какой-то точке недоказанной истины.

Какая огромная разница! Там, где арифметика – утомительная работа, геометрия – своеобразное освобождение. Озарение настолько мощное, что раздвигает стены (или делает их невидимыми; это поэзия, и я не думаю, что мы должны углубляться в точную физику подобного сценария). Пересечения плоскостей в пространстве становятся живыми существами, которые могут красиво упорхнуть, даже если вы не можете прикрепить их к двумерной странице. То, что происходит в разуме, когда открывается вот такое доказательство, – это что угодно, но только не утомительная логическая работа.

В геометрии есть нечто особенное – то, ради чего стоит писать стихи. В других местах школьной программы вы в конце концов обязаны полагаться на авторитет учителя или учебника, когда дело касается того, кто воевал во французских или индейских войнах или какова основная продукция Португалии. В геометрии у вас есть собственное знание. Сила в ваших руках.

Именно поэтому флатландцы и итальянские иезуиты справедливо считали геометрию опасной. Она – альтернативный источник авторитета и власти. Теорема Пифагора верна не потому, что Пифагор так сказал, а потому, что мы сами можем доказать, что она верна. Смотри!

Однако истина и доказательство – не одно и то же. Именно на этом и заканчивается стихотворение Дав: «…точке недоказанной истины». Пуанкаре оказывается там же, когда настаивает на необходимой роли интуиции. Он пишет:

Только что сказанного мною достаточно[689], чтобы показать, насколько тщетно было бы пытаться заменить свободную инициативу математика каким-либо механическим процессом. Для получения реально ценного результата недостаточно громоздить вычисления или иметь машину для упорядочивания; ценность заключена не в порядке вообще, а в неожиданном порядке. Машина может хвататься за голый факт, однако душа этого факта всегда будет ускользать от нее.

Мы используем формальное доказательство в качестве опоры, чтобы расширить возможности нашей интуиции, однако это было бы лестницей в никуда, если бы мы не использовали его, чтобы добраться до места, которое мы каким-то необъяснимым образом могли увидеть.

Мы, математики, представляемся миру людьми, чьи знания вечны и неоспоримы, поскольку мы все это доказали. Доказательство – важный инструмент для нас, мерило нашей уверенности, так же как это было для Линкольна. Однако суть не в этом. Суть в понимании вещей. Нам нужны не просто факты, а души фактов. Именно в момент понимания, когда стены стали прозрачными, а потолок улетает, мы и творим геометрию.

Несколько лет назад российский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре. Это была не единственная гипотеза Пуанкаре, но именно она связывается с его именем, поскольку оказалась трудной, а попытки справиться с ней, как правило, приводили к появлению новых интересных идей; вот так действительно хорошая гипотеза оправдывает себя.

Я не собираюсь точно формулировать гипотезу Пуанкаре. Она касается трехмерных пространств, но не обязательно нашего; скорее Пуанкаре спрашивает о несколько более геометрически богатых трехмерных пространствах – пространствах, которые можно искривлять и сгибать[690]. Представьте, что Квадрат, вынутый из Флатландии его трехмерным гостем, обнаружил бы, что плоскость, на которой он жил, – на самом деле поверхность сферы[691] или вообще какого-нибудь сложного пончика, а затем сказал бы своему новому другу: а что, если ваш трехмерный мир на самом деле имеет какую-то сложную форму, видимую только из четвертого измерения? Как вы могли бы об этом судить?

Вот один из способов узнать, живете вы на пончике или на сфере. На поверхности пончика можно сделать замкнутую петлю из эластичной веревки так, чтобы ее нельзя было стянуть в точку, сколько бы вы ни пытались. Сфера – другое дело: любая веревочная петля на поверхности стягивается в точку.

Трудновато представить себе это в нашем трехмерном пространстве, но почему бы не попробовать? Веревочную петлю, которую вы держите в руке, наверняка можно стянуть в точку, не покидая Вселенной.

Но как насчет космического корабля, который удаляется от Земли на много гигапарсеков, а потом возвращается домой? Если представите его путь в космосе как длинную-длинную петлю, очевидно ли, что можно стянуть ее в точку? Геометрия Вселенной в таких масштабах так же недоступна нашим прямым наблюдениям, как и мелкомасштабные странности внутри электрона.

Пуанкаре понял, что понятие о таких стягиваемых и нестягиваемых петлях играет фундаментальную роль. Его гипотеза заключалась в том, что есть только один вид трехмерного пространства без нестягиваемых петель – то, с которым мы знакомы. Убедитесь, что все петли можно стянуть, и вы знаете все, что нужно знать о форме пространства.

Честно говоря, Пуанкаре не строил в точности таких предположений. Он просто спросил в статье 1904 года (года выставки), так ли это, не останавливаясь ни на одном из двух вариантов. Возможно, от конкретики его удержал консервативный характер, а может быть, тот факт, что четырьмя годами ранее он высказал другую подобную гипотезу, которая, как он сам признал в работе 1904 года, оказалась полностью неверна. Такое встречается чаще, чем вы думаете. Даже великие математики высказывают множество ложных предположений. Если вы никогда их не делаете, значит, не высказываетесь о достаточно сложных вещах.

Перельман ответил на вопрос Пуанкаре, используя такие методы, которые французский математик едва ли мог вообразить. Его доказательство поднимается на уровень выше, используя геометрию всех геометрий, позволяя загадочному трехмерному пространству без петель течь через пространство всех пространств, пока оно не станет стандартным трехмерным пространством, которое мы знаем и любим.

Это не простое доказательство.

Однако новые идеи из работы Перельмана обусловили огромную волну работ с этими абстрактными потоками и расширили понимание математиков о том, какой может быть геометрия. Сам Перельман в этом не участвовал[692]. Бросив свою бомбу, он уединился в своей маленькой квартирке в Санкт-Петербурге, отказавшись и от медали Филдса, и от премии в миллион долларов, учрежденной Институтом Клэя за решение этой проблемы.

Позвольте предложить мысленный эксперимент. Что, если бы гипотезу Пуанкаре доказал не российский геометр-интроверт, а машина? Скажем, внук внука «Чинука», который, вместо того чтобы разбираться с шашками, взялся бы за эту задачу трехмерной геометрии.

Предположим также, что доказательство (подобно идеальной стратегии «Чинука» для шашек) было бы чем-то совершенно непонятным для человеческого разума, цепочкой чисел или формальных символов, правильность которой мы можем проверить, но не можем понять ни в каком значимом смысле.

Тогда, несмотря на тот факт, что одна из самых известных проблем геометрии была бы решена, а истинность гипотезы раз и навсегда установлена, мне было бы все равно. Абсолютно! Поскольку суть не в том, чтобы знать, что истинно, а что ложно. Истина и ложь не так уж интересны. Это факты без души. Уильям Тёрстон, выдающийся современный специалист по неевклидовым трехмерным геометриям и разработчик грандиозной стратегии классификации всех таких геометрий, которую успешно завершила работа Перельмана, не имел времени для промышленного взгляда на математику как фабрику истин: «Мы не пытаемся выполнить какую-то абстрактную норму по производству определений, теорем и доказательств[693]. Мера нашего успеха – позволяет ли людям то, что мы делаем, лучше понимать математику и думать о математике более ясно и эффективно». Математик Дэвид Блэквелл выразился более прямолинейно: «Вообще-то мне неинтересно заниматься исследованиями, и никогда не было интересно. Мне интересно понимать, а это совершенно другое дело»[694].

Геометрия – это люди. Она универсальна и вечна, проявляясь в тех же формах в любом когда-либо существовавшем человеческом сообществе, но она также находится прямо здесь, располагаясь во времени и пространстве среди людей. Она здесь, чтобы научить нас чему-то, заставив дом расширяться.

Блэквелл специализировался в теории вероятностей, много работал с марковскими цепями, однако, подобно Линкольну, Дав и Рональду Россу, находил вдохновение в евклидовой плоскости. По его словам, геометрия была «единственным курсом, который позволил мне увидеть, что математика действительно красива и полна идей». Блэквелл вспоминает одно доказательство, возможно даже доказательство с мостом ослов: «Я все еще помню понятие вспомогательной линии[695]. Перед вами утверждение, которое выглядит довольно загадочно. Кто-то проводит одну линию, и внезапно все становится очевидным. Это красиво».

«ПОБЕДИЛИ МЕНЯ ДЕТИ МОИ!»

В Талмуде есть знаменитая история о печи Ахная[696]. Группа раввинов горячо спорит, как это обычно бывает в группе раввинов. Суть вопроса: будет ли печь, если разрезать ее на части, а затем скрепить обратно с помощью песка, подчиняться законам о ритуальной чистоте, которые регулировали печь из чистого камня? Впрочем, неважно, о чем был спор; важно, что один раввин, Элиэзер бен Гиркан, твердо придерживался мнения, отличного от остальных. Ситуация накалилась. Как говорится в Талмуде, Элиэзер привел в тот день «все возможные аргументы в мире», но их не приняли. Тогда Элиэзер обратился к более эффектным формам доказательства. Он сказал:

– Если я прав, то пусть рожковое дерево подтвердит мою правоту!

Тут же соседнее рожковое дерево вырвало с корнем, и оно отлетело на сто локтей. Но рабби Йеошуа возразил:

– Рожковое дерево – это еще не доказательство.

Тогда Элиэзер сказал:

– Если я прав, то пусть ручей подтвердит это!

Воды ручья потекли вспять. Однако и это их не убедило:

– Какая разница, ручей тоже ничего не доказывает.

Тогда Элиэзер сказал:

– Если я прав, то пусть стены Дома Учения подтвердят это!

Стены накренились внутрь. Но даже это не впечатлило оппонентов[697].

Элиэзер разыграл еще одну карту.

– Если я прав в толковании Торы, то пусть небеса подтвердят мою правоту!

И раздался сверху голос Бога:

– Зачем противитесь вы словам рабби Элиэзера? Ведь в таких вопросах он всегда прав!

Встал тогда рабби Йеошуа и сказал:

– Глас Божий – тоже не доказательство! Не на небе Тора уже, а на земле, она записана, и данные нам правила ясны; в Торе сказано: «по большинству склоняться», а большинство против мнения рабби Элиэзера.

И Бог засмеялся и сказал: «Победили меня дети мои, победили меня».

Эта история о разногласии порождает множество разногласий. Некоторые считают Йеошуа героем, подобно Прометею восставшим против власти Бога. В этой истории он – юрист, и я думаю, что Авраам Линкольн встал бы на его сторону. Партнер Линкольна Уильям Херндон описывал его так: «Он безжалостно анализировал факты и принципы[698]. Только после такого всестороннего рассмотрения он мог сформировать идею и выразить ее, но не раньше. У него не было ни веры в голословные утверждения, ни уважения к ним, даже если они исходили из традиции или от авторитета».

Другие предпочитают Элиэзера, который отстаивал свои убеждения один против всех. Писатель Эли Визель говорит о тезке-раввине так: «Элиэзер мне также нравится за одиночество[699]. Он был тем, кем был, никогда не пытался сдаться, оставался верен себе, что бы ни говорили другие. Он был готов к одиночеству». Это перекликается со словами Александра Гротендика, который в 1960-х годах перестроил геометрию с нуля и чьих работ мы не касались, хотя книга уже подошла к концу (ну ладно, может быть, в следующий раз). Он вспоминал свои дни учебы в Париже:

В те критические годы я научился быть одиноким… добираться к вещам, которые хотел изучать, собственным путем, а не опираясь на представления общего мнения, явные или молчаливые, исходящие от более или менее обширного клана, членом которого я оказался или который по иной причине претендовал на то, чтобы его заявления считались авторитетными. Это молчаливое общее мнение информировало меня в лицее и в университете, что не следует беспокоиться о том, что на самом деле подразумевается при использовании таких терминов, как «объем», что считалось «очевидно не требующим доказательства», «общеизвестным», «беспроблемным» и так далее. Но я не прислушивался к ним… Именно в этом поступке «выхода за пределы», в том, чтобы быть личностью, а не пешкой в общем мнении, в отказе оставаться в жестком круге, который другие очерчивают вокруг себя, – именно в этом акте уединения человек находит истинное творчество. А все остальное будет само собой разумеющимся следствием[700].

И все же Гротендик стал Гротендиком только благодаря плодородной почве французской геометрии, питавшей его идеи, и мгновенному восприятию его инноваций десятками математиков парижского кружка.

Когда мы по-настоящему глубоко размышляем о геометрических вещах (пытаемся создать схему распространения пандемии; бродим по дереву стратегий, управляющих какой-либо игрой; разрабатываем рабочий протокол для демократического представительства; осознаем, какие вещи близки между собой; пробуем представить внешний вид дома, находясь внутри, или, подобно Линкольну, критически подходим к собственным убеждениям и предположениям), мы в каком-то смысле одиноки. Но одиноки вместе со всеми остальными людьми на земле. Каждый занимается геометрией по-разному, но все ею занимаются. Это, как следует из названия, способ измерения мира и, следовательно (только в геометрии мы говорим «следовательно»), способ измерения себя.

Благодарности

Мой агент Джей Мандель, его помощница Шан-Эшли Эдвардс и все сотрудники William Morris Endeavor неустанно поддерживали меня в течение всего времени работы над этой книгой. Мне было приятно снова сотрудничать с редактором Скоттом Мойесом в Penguin Press. Они постоянно стремятся публиковать книги, которые авторы хотят писать, а не заставляют авторов писать книги, которые они хотят продать. Спасибо всем, особенно Миа Каунсил, Лиз Каламари и Шине Патель, а также Лауре Стикни из Penguin UK и Стефани Росс, создавшей потрясающую обложку.

Благодарю Райли Мэлоун, которая написала мне прошлым летом и спросила, не нужна ли мне помощница в исследованиях. Конечно, нужна! Часы, которые она провела, разыскивая ответы на мои странные вопросы, проверяя факты и оспаривая мои формулировки, очень помогли в создании книги. Редактор Грег Виллепик мастерски прошелся по всей рукописи гребенкой наноуровня и спас меня от нескольких досадных фактических ошибок, включая год моей собственной бар-мицвы.

Мне повезло, что я могу опереться на друзей, знакомых и незнакомцев, которые отвечали на вопросы, отрабатывали идеи и терпеливо объясняли мне конституционное право и квантовую физику. Среди тех, кто мне помог: Амир Александер, Марта Алибали, Дэвид Бейли, Том Банхофф, Мира Бернштейн, Бен Блум-Смит, Барри Бёрден, Дэвид Карлтон, Рита Дав, Чарльз Франклин, Эндрю Гельман, Лиза Голдберг, Маргарет Грейвер, Элизенда Григсби, Патрик Хоннер, Кэтрин Хорган, Марк Хьюз, Патрик Ибер, Лалит Джейн, Келли Джеффрис, Джон Джонсон, Малия Джоунс, Дерек Кауфман, Эммануэль Ковальски, Адам Кухарски, Грег Куперберг, Джастин Левитт, Ваньлинь Ли, архивариусы Лондонской школы гигиены и тропической медицины, Джефф Манделл, Джонатан Маттингли, Кен Майер, Лоренцо Найт, Дженнифер Нельсон, Роб Новак, Кэти О’Нил, Бен Орлин, Чарльз Пенс, Уэс Пегден, Дуглас Поланд, Бен Рехт, Джонатан Шеффер, Том Скокка, Аджай Сети, Лиор Зильберман, Джим Стейн, Стив Строгац, Жан-Люк Тиффо, Чарльз Уокер, Трэвис Уорвик, Эми Уилкинсон, Роб Яблон, Теншик Юн, Тим Ю и Аджай Зутши.

Отдельное спасибо тем, кто читал разделы книги в незаконченном и неотредактированном виде и существенно их улучшил: Карл Бергстром, Мередит Бруссард, Стефани Бёрт, Алес Дэвис, Лалит Джейн, Адам Кухарски, Грег Куперберг, Дуглас Поланд, Бен Рехт, Лиор Зильберман, Стив Строгац, а также суперредактору Мишель Ших, которая прочитала большую часть книги и помогла мне поверить, что все это имеет смысл.

Я благодарен Муну Дачину, который показал мне, что джерримендеринг не только важная политическая проблема, но и проблема, содержащая в себе глубокую и интересную математику, а также Грегори Хершлагу за дополнительный анализ данных по выборам 2018 года в Висконсине.

Как всегда, я счастлив работать в Висконсинском университете в Мэдисоне, который неизменно поддерживает мою писательскую деятельность. Университетский кампус наподобие нашего – практически идеальная среда для написания такой масштабной книги, как эта: в пешей доступности найдется специалист по любой теме. Также есть множество мест, где можно выпить кофе.

Первым моим учителем геометрии был Эрик Уолстейн, который умер от COVID-19 в ноябре 2020 года. Я хотел бы, чтобы он мог научить математике еще много детей.

Еще одна вещь, которую я хотел бы отметить, – это все те темы, которые было бы здорово затронуть в книге по геометрии, но их в книге нет, поскольку у меня не хватило времени и места. Я хотел написать об «объединителях и разделителях» и теории кластеризации; Джуде Перле и использовании направленных ациклических графов в изучении причинности; навигационных картах Маршалловых островов; компромиссе между исследованием нового и применением старого и многоруких бандитах; бинокулярном зрении у личинок богомола; максимальном размере подмножества решетки размером N на N, чтобы никакие три точки не являлись вершинами равнобедренного треугольника (если решите эту задачу, дайте мне знать); гораздо больше о динамике, начиная с Пуанкаре и заканчивая бильярдами, Синаем и Мирзахани; гораздо больше о Декарте, который начал объединять алгебру и геометрию, но каким-то образом почти не упоминается в книге; и гораздо больше о Гротендике, который продвинул это объединение гораздо дальше, чем Декарт мог мечтать; теории катастроф; дереве жизни. Заниматься геометрией в реальном мире – значит всегда одновременно учитывать реальное и идеальное, а писать книги – во многом то же самое: идеал этой книги – то, что вы и я должны просто представить, но я надеюсь, что та реальная вещь, которую вы держите в руках, – достаточно хороший набросок.

Книга – это результат труда всей нашей семьи. Мой сын CJ разобрался и проанализировал данные по выборам в Висконсине за много лет, а дочь AB нарисовала некоторые иллюстрации, и все были терпеливы, когда я озадачивался вопросом, с чего я вообще взял, что написать целую книгу по теме, которую существенная доля людей (как им кажется) ненавидит, – это хорошая идея. А Таня Шлам, как всегда, была опорой и первым и последним читателем всего, что вы видите на странице; она делала неровные фразы гладкими, кривые пассажи – прямыми, а непонятные объяснения – ясными. Без нее ничего бы этого не было.