Стратегические игры. Доступный учебник по теории игр Диксит Авинаш
Если в Tudor высокий уровень издержек, например 15 (тысяч долларов), то в случае монополии, которой ничего не угрожает, компания максимизирует свою прибыль, установив на автомобили цену 20 (тысяч долларов). При такой цене Tudor продаст 5 (сотен тысяч) автомобилей и заработает 25 [= 5 (20–15) сотен миллионов долларов, или 2,5 миллиарда долларов]. Если Fordor выйдет на рынок и составит конкуренцию Tudor, то равновесие Нэша в этой игре в дуополию обеспечит Tudor операционную прибыль 3, а Fordor 45. Эта операционная прибыль превышает первоначальные затраты Fordor в связи с выходом на рынок (40), поэтому если бы компания знала, что в Tudor высокий уровень издержек, она решила бы выйти на рынок и заработать чистую прибыль в размере 5.
Если в Tudor низкий уровень затрат (5), то при наличии монополии, которой ничто не угрожает, компания установит на свои автомобили цену 15, продаст 10 и заработает прибыль 100. В случае равновесия, сформировавшегося на втором этапе игры после выхода на рынок Fordor, операционная прибыль Tudor составит 69, а Fordor 11, что меньше затрат Fordor в связи с выходом на рынок (40). Следовательно, если бы Fordor знала, что в Tudor низкий уровень затрат, она бы не выходила на рынок и тем самым предотвратила бы убыток 29.
Если у компании Tudor на самом деле высокий уровень издержек производства, но она хочет, чтобы в Fordor считали, будто он низкий, она должна имитировать действия компании с низкими издержками, то есть установить на свои автомобили цену 15. Но эта цена равна себестоимости единицы продукции, а значит, компания получит нулевую прибыль. Будет ли такая жертва Tudor оправданна? Отпугнет ли она Fordor и обеспечит преимущества монополии в дальнейшем?
Полная игра представлена в экстенсивной форме на рис. 8.7. Обратите внимание, что, как и в разделе 3, мы используем здесь игрока по имени «природа», для того чтобы выбрать тип издержек Tudor в самом начале игры. Далее Tudor принимает решение о цене. Мы исходим из предположения, что, если в Tudor низкий уровень издержек, она не установит высокую цену[145]. Но если высокий, она может выбрать либо высокую, либо низкую цену, если захочет ввести конкурента в заблуждение. Fordor не может провести различие между двумя ситуациями, в которых Tudor устанавливает низкую цену на автомобили, поэтому варианты выбора Fordor в отношении выхода на рынок, который она делает в этих узлах, объединяются в одно информационное множество. Следовательно, Fordor должна применить в обоих узлах либо стратегию «выйти на рынок», либо «отказаться от выхода на рынок».
Рис. 8.7. Экстенсивная форма игры «выход на рынок»: низкий уровень издержек в Tudor — 5
В каждом концевом узле первый элемент записи выигрышей (выделено серым цветом) — это прибыль компании Tudor, а второй элемент (выделено черным цветом) — прибыль компании Fordor. Прибыль Tudor суммируется за два периода: первый — когда Tudor — единственный производитель автомобилей данного класса, и второй — когда Tudor может быть либо монополистом, либо участником дуополии в зависимости от решения Fordor о выходе на рынок. Прибыль Fordor охватывает только второй период и отличается от нуля лишь в случае выхода компании на рынок.
Один шаг анализа методом обратных рассуждений позволяет определить, что в нижнем узле, где компания Tudor выбрала высокую цену, Fordor выберет вариант «выйти на рынок», поскольку 45–40 + 5 > 0. Следовательно, мы можем отсечь в этом узле ветвь «не выходить на рынок». В результате у каждого игрока остается две стратегии (исчерпывающих плана действий): у Tudor — стратегия «блефовать», или выбрать низкую цену на период 1 независимо от уровня затрат (сокращенно НН в той системе обозначений, о которой шла речь в главе 3), а также «поступить честно», или выбрать низкую цену на протяжении периода 1, если издержки низкие, и высокую цену, если издержки высокие (НВ). У Fordor — стратегия «независимо от обстоятельств», или выйти на рынок независимо от цены, которую установит Tudor на период 1 (сокращенно РР вместо «рынок, рынок»), и «в зависимости от обстоятельств», или выйти на рынок, только если Tudor установит высокую цену на протяжении периода 1 (сокращенно ОР вместо «отказ, рынок»).
Теперь мы можем представить эту игру в стратегической (нормальной) форме. На рис. 8.8 показан каждый игрок с двумя возможными стратегиями; выигрыши в каждой ячейке — ожидаемая прибыль каждой компании, полученная с учетом вероятности (40 %) того, что в Tudor низкий уровень издержек. Эти расчеты аналогичны выполненным нами для заполнения таблицы на рис. 8.6. Как и тогда, вы можете упростить расчеты, если обозначите концевые узлы дерева игры и определите, какие из них соответствуют каждой ячейке таблицы.
Рис. 8.8. Стратегическая форма игры «выход на рынок»: низкий уровень издержек Tudor — 5
Это простая игра, разрешимая по доминированию. В случае Tudor стратегия «поступить честно» доминирует над стратегией «блефовать». А наилучший ответ Fordor на доминирующую стратегию Tudor «поступить честно» — «в зависимости от обстоятельств». Таким образом, «поступить честно» / «в зависимости от обстоятельств» — единственное равновесие Нэша в этой игре (совершенное равновесие подыгры).
Равновесие, найденное на рис. 8.8, будет разделяющим. Для двух типов издержек компания Tudor устанавливает разные цены на период 1. Это действие раскрывает компании Fordor тип Tudor, которая после этого принимает соответствующее решение о выходе на рынок.
Ключ к пониманию того, почему стратегия «поступить честно» для Tudor доминирующая, можно найти в сравнении выигрышей компании в случае стратегии Fordor «в зависимости от обстоятельств». Вот исходы игры, если стратегия Tudor «блефовать» сработает: Fordor выйдет на рынок, если Tudor установит высокую цену на период 1, и откажется от этого, если Tudor установит низкую цену на период 1. Если в Tudor действительно низкий уровень издержек, то ее выигрыши против стратегии Fordor «в зависимости от обстоятельств» одни и те же независимо от того, какую стратегию она применит — «блефовать» или «поступить честно». Однако если в Tudor высокий уровень издержек, результаты будут разниться.
Если Fordor выберет стратегию «в зависимости от обстоятельств», а Tudor — высокие издержки, Tudor может успешно использовать стратегию блефа. Однако успешный блеф обойдется ей слишком дорого. Если ы в Tudor назначили самую выгодную монопольную цену (стратегия «поступить честно») на период 1, компания получила бы прибыль 25; низкая цена при блефе кардинально сокращает размер прибыли на протяжении периода 1, в данном случае до 0. Более высокая монопольная цена в течение периода 1 стимулировала бы выход Fordor на рынок и уменьшила бы прибыль Tudor за период 2 с монопольного уровня 25 до дуопольного уровня 3. Тем не менее выгода Tudor, полученная на протяжении периода 2 за счет установления низкой цены (стратегия «блефовать») и препятствования выходу Fordor на рынок (25 — 3 = 22), меньше издержек, чем в периоде 1, понесенных вследствие блефа и потери монопольной прибыли (25 — 0 = 25). При наличии малейшей положительной вероятности того, что в Tudor высокий уровень издержек, преимущества от выбора стратегии «поступить честно» превзойдут преимущества от стратегии «блефовать», даже если компания Fordor применит стратегию «в зависимости от обстоятельств».
Если бы низкая цена была не настолько низкой, то при наличии высоких издержек Tudor пошла бы на меньшие жертвы, имитируя тип компании с низкими издержками. Ниже мы проанализируем именно эту возможность.
Давайте представим, что более низкие издержки производства в Tudor составляют 10 на один автомобиль, а не 5. При таком изменении их уровня компания Tudor, в которой на самом деле высокие издержки, по-прежнему заработает прибыль 25 в случае монополии, если изменит цену 20, обеспечивающую максимальную прибыль. Но теперь Tudor как компания с низким уровнем издержек установит цену 17,5 в качестве монополиста (вместо 15) и заработает прибыль 56. Если компания с высоким уровнем издержек будет имитировать их низкий уровень и тоже установит цену 17,5, ее прибыль составит 19, а не 0, как в предыдущем примере; в таком случае потеря прибыли в результате блефа гораздо меньше: 25 19 = 6, а не 25. Если Fordor выйдет на рынок, то прибыль двух компаний в их игре в дуополию составит 3 для Tudor и 45 для Fordor, если в Tudor высокий уровень издержек (как в предыдущем разделе). В дуополии прибыль каждой компании теперь равна 25, если в Tudor низкий уровень издержек; в этой ситуации у Fordor и у Tudor с низким уровнем издержек будет одинаковый уровень затрат на единицу продукции в размере 10.
Теперь предположим, что Tudor относится к типу компаний с низким уровнем издержек с вероятностью 40 % (0,4), а убеждение Fordor в отношении вероятности низких издержек в Tudor верно. Новое дерево игры изображено на рис. 8.9. Поскольку Fordor все так же выберет вариант «выйти на рынок», если Tudor установит высокую цену, ситуация снова будет сведена к игре, в которой у каждого игрока есть ровно две исчерпывающие стратегии и они те же, что и в разделе 6.Б. Таблица выигрышей для нормальной формы игры представлена на рис. 8.10.
Рис. 8.9. Экстенсивная форма игры «выход на рынок»: в Tudor низкий уровень издержек — 10
Рис. 8.10. Стратегическая форма игры «выход на рынок»: в Tudor низкий уровень издержек — 10
Это еще одна игра, разрешимая по доминированию. Но сейчас доминирующей стратегией располагает компания Fordor: она всегда будет выбирать вариант «в зависимости от обстоятельств». А при условии доминирования стратегии «в зависимости от обстоятельств» Tudor всегда будет выбирать «блефовать». Таким образом, «блефовать» / «в зависимости от обстоятельств» — единственное равновесие Нэша в этой игре (совершенное равновесие подыгры). Во всех остальных ячейках таблицы одна компания может добиться большего, переключившись на другое действие. Мы предоставляем вам возможность подумать над тем, почему каждое такое отклонение выгодно компании.
Равновесие, найденное на рис. 8.10, подразумевает объединение. При обоих типах издержек Tudor устанавливает одну и ту же (низкую) цену, а Fordor, видя это, отказывается выходить на рынок. Знание этой цены не дает Fordor никакой информации. По оценке Fordor, вероятность того, что в Tudor низкие издержки производства, остается 0,4; компания определяет ожидаемую прибыль от выхода на рынок в размере 3 < 0, поэтому решает не выходить. Даже если Fordor прекрасно известно, что Tudor блефует в равновесии, риск в связи с раскрытием блефа слишком велик, поскольку вероятность того, что в Tudor действительно низкий уровень затрат, достаточно высока.
Но что если бы эта вероятность была меньше (скажем, 0,1) и Fordor об этом знала? Если все остальные показатели не изменятся, ожидаемая прибыль Fordor от стратегии «независимо от обстоятельств» составит –15 0,1 + 5 0,9 = 4,5–1,5 = 3 > 0. Тогда Fordor выйдет на рынок, какую бы цену ни установила Tudor, и блеф Tudor не возымеет действия. Такая ситуация приводит к формированию нового равновесия, характеристики которого мы рассмотрим ниже.
Теперь проанализируем исходы игры «выход на рынок» в ситуации, когда вероятность достижения Tudor низкого уровня издержек производства в размере 10 составляет всего 10 % (0,1). Все показатели затрат и прибыли те же, что и в предыдущем разделе, изменилась только вероятность. Поэтому мы не приводим здесь повторно дерево игры (рис. 8.9), а покажем только таблицу выигрышей (рис. 8.11).
Рис. 8.11. Стратегическая форма игры «выход на рынок»: низкий уровень издержек в Tudor составляет 10 с вероятностью 0,1
В новой ситуации в игре, представленной на рис. 8.11, нет равновесия в чистых стратегиях. С парой стратегий «блефовать» / «независимо от обстоятельств» Tudor выигрывает, переключившись на «поступить честно»; с парой «поступить честно» / «независимо от обстоятельств» Fordor выигрывает, переключившись на «в зависимости от обстоятельств»; с парой «поступить честно» / «в зависимости от обстоятельств» Tudor выигрывает, переключившись на стратегию «блефовать»; с парой «блефовать» / «в зависимости от обстоятельств» Fordor выигрывает, переключившись на «независимо от обстоятельств». Мы снова предоставляем вам возможность самостоятельно поразмышлять над тем, почему каждое из этих отклонений выгодно.
Таким образом, теперь нам нужно искать равновесие в смешанных стратегиях. Предположим, Tudor смешает стратегии «блефовать» и «поступить честно» с вероятностями p и (1 — p) соответственно. Аналогичным образом Fordor смешает стратегии «независимо от обстоятельств» и «в зависимости от обстоятельств» с вероятностями q и (1 — q) соответственно. Выбранная Tudor p-комбинация должна поддерживать безразличие компании Fordor в отношении выбора между ее двумя чистыми стратегиями «независимо от обстоятельств» и «в зависимости от обстоятельств», поэтому нам нужно, чтобы выполнялось равенство
3p + 3(1 — p) = 0p + 4,5(1 — p), или 4,5(1 — p) = 3, или 1 — p = 2/3, или p = 1/3.
В свою очередь, q-комбинация Fordor должна поддерживать безразличие компании Tudor в отношении выбора между ее двумя чистыми стратегиями «блефовать» и «поступить честно», а значит, необходимо выполнение равенства
27,9q + 50,8(1 — q) = 33,3q + 36,4(1 — q), или 5,4q = 14,4(1 — q), или q = 14,4/19,8 = 16/22 = 0,727.
В таком случае равновесие данной игры в смешанных стратегиях сводится к тому, что Tudor будет выбирать стратегию «блефовать» с вероятностью 1/3, а «поступить честно» с вероятностью 2/3, тогда как Fordor будет выбирать «независимо от обстоятельств» с вероятностью 16/22, а «в зависимости от обстоятельств» с вероятностью 6/22.
В этом равновесии типы Tudor разделены лишь частично. Tudor с низким уровнем затрат всегда устанавливает низкую цену на период 1, тогда как Tudor с высоким уровнем затрат мешивает чистые стратегии и устанавливает низкую цену в одной трети случаев. Если Fordor наблюдает высокую цену на протяжении периода 1, она может быть уверена, что Tudor — компания с высоким уровнем издержек, и всегда будет выбирать стратегию выхода на рынок. Но в случае низкой цены Fordor не будет знать, с каким типом Tudor имеет дело — с компанией с действительно низким уровнем издержек или с блефующей компанией, в которой на самом деле высокий уровень затрат. В такой ситуации Fordor также будет придерживаться смешанной стратегии, выбирая выход на рынок в 72,7 % случаев. Стало быть, высокая цена передает исчерпывающую информацию, тогда как низкая лишь частично раскрывает информацию о типе Tudor. Именно поэтому равновесие такого типа называется полуразделяющим.
Для того чтобы лучше понять смешанные стратегии каждой компании и полуразделяющее равновесие, проанализируем, как Fordor может применить частичную информацию, которую раскрывает низкая цена, установленная Tudor. Видя низкую цену на протяжении периода 1, Fordor сможет использовать это наблюдение для обновления своего убеждения в отношении вероятности того, что Tudor — компания с низким уровнем издержек; это можно сделать с помощью теоремы Байеса[146]. Таблица расчетов представлена на рис. 8.12; она аналогична таблице на рис. 8П.3 в приложении.
Рис. 8.12. Применение теоремы Байеса в игре «выход на рынок»
В этой таблице возможные типы издержек Tudor приведены в строках, а цены, наблюдаемые Fordor, — в столбцах. Значения в ячейках представляют собой вероятность того, что Tudor типа, указанного в соответствующей строке, выберет цену, указанную в соответствующем столбце (в котором отображены вероятности применения чистых стратегий в равновесной смешанной стратегии Tudor). В последней строке и последнем столбце таблицы отображены общие вероятности каждого типа и наблюдения каждой цены соответственно.
Согласно правилу Байеса, когда Fordor увидит, что Tudor устанавливает низкую цену на период 1, она пересмотрит свое убеждение относительно вероятности того, что в Tudor низкий уровень затрат. Для этого Fordor разделит вероятность того, что Tudor с низким уровнем издержек установит низкую цену (значение 0,1 в верхней левой ячейке), на общую вероятность того, что Tudor для двух типов издержек выберет низкую цену (значение 0,4, сумма по левому столбцу). Эти расчеты позволяют получить скорректированное убеждение Fordor относительно вероятности того, что в Tudor низкий уровень издержек: 0,1/0,4 = 0,25. Затем Fordor также уточнит значение ожидаемой прибыли от выхода на рынок: –15 0,25 + 5 0,75 = 0. Стало быть, равновесная комбинация Tudor такова, что компании Fordor безразлично, выходить ей на рынок или нет, если она видит низкую цену, установленную Tudor на период 1. Именно такой исход необходим для поддержания стремления Tudor смешивать чистые стратегии в равновесии.
Исходная вероятность 0,1 того, что в Tudor низкий уровень издержек, слишком низкая, чтобы удержать Fordor от выхода на рынок. Пересмотренная вероятность Fordor составляет 0,25 после наблюдения за низкой ценой, установленной Tudor на период 1. Почему? Именно по той причине, что в случае высоких издержек Tudor не всегда блефует. Если бы это было так, то низкая цена не передавала бы никакой информации и тогда пересмотренная вероятность Fordor составляла бы 0,1 и компания приняла бы решение выйти на рынок. Но если Tudor с высоким уровнем издержек блефует лишь иногда, то низкая цена с большей вероятностью свидетельствует о низких издержках.
В игре «выход на рынок» мы определили равновесия интуитивно понятным способом, а теперь вернемся назад и проанализируем их характер более систематически. В каждом конкретном случае мы сначала убеждались, что стратегия каждого игрока (и каждого типа) оптимальна с учетом стратегий остальных игроков, и применяли концепцию равновесия Нэша. Далее удостоверялись, что игроки делают правильные выводы из своих наблюдений; это потребовало вычисления вероятностей с помощью теоремы Байеса, а именно вероятностей в полуразделяющем равновесии. Совокупность концепций, необходимых для идентификации равновесий в таких играх с асимметричной информацией, оправдывает их обозначение термином байесовские равновесия Нэша. И наконец, хотя это и была весьма незначительная часть примера, мы выполнили анализ методом обратных рассуждений, или совершенного равновесия подыгры. Использование обратных рассуждений дает основания назвать данное равновесие совершенным байесовским равновесием. Наш пример содержит все эти концепции равновесия; вы встретитесь с несколько более сложным вариантом некоторых из них в следующих главах, а также в более полном контексте в ходе дальнейшего изучения теории игр.
Резюме
Столкнувшись с несовершенной или неполной информацией, игроки с разным отношением к риску или разным объемом имеющейся информации могут прибегнуть к стратегическим действиям в целях управления и манипулирования риском и информацией в соответствующей игре. Игроки могут уменьшить риск посредством применения различных схем платежей или его разделения с другими, хотя последний способ осложняют такие аспекты, как моральный риск и неблагоприятный отбор. Иногда риском можно манипулировать в пользу игрока в зависимости от сложившихся в игре обстоятельств.
Игроки, владеющие личной информацией, могут захотеть ее скрыть или обнародовать, тогда как игроки, у которых такой информации нет, могут попытаться ее получить или не делать этого. При наличии асимметричной информации дела убедительнее слов. Для того чтобы раскрыть информацию, необходимо подать достоверный сигнал. Когда обычных слов для достоверной передачи информации достаточно, может возникнуть равновесие дешевого разговора; в его достижении важную роль играет степень согласованности интересов игроков. Когда информационное содержание слов игрока не принимается во внимание, в игре наблюдается равновесие пустого разговора.
В более общем смысле информацию передают любые конкретные действия, предпринятые игроками. Сигнализирование обеспечивает требуемый результат, только если сигнальное действие влечет за собой различные издержки для игроков с разной информацией. Когда простой постановки вопросов для получения правдивой информации недостаточно, может понадобиться схема скрининга, предназначенная для обнаружения конкретного действия. Скрининг обеспечивает требуемые результаты, только когда инструмент скрининга стимулирует других игроков раскрыть правдивую информацию о своем типе; разделение типов возможно лишь при наличии совместимости стимулов. Иногда достоверное сигнализирование или скрининг могут оказаться невозможны; в таком случае равновесие может повлечь за собой объединение типов или вероятен полный крах рынка или сделки для одного из типов. Многочисленные примеры сигнализирования и скрининга можно наблюдать в обычных ситуациях, таких как рынок труда или страхование. Фактические данные о способности игроков достигать совершенного байесовского равновесия говорят о том, что, несмотря на трудности вычисления необходимых вероятностей, такие равновесия встречаются достаточно часто. Различные экспериментальные данные, по всей видимости, в значительной мере зависят от схемы проведения эксперимента.
В равновесии игры с асимметричной информацией игроки должны не только использовать свои наилучшие действия с учетом имеющейся информации, но и делать правильные выводы (обновлять информацию) в процессе наблюдения за действиями других игроков. Этот тип равновесия известен как байесовское равновесие Нэша. При необходимости выполнить требование об оптимальности действий во всех узлах (как в ходе анализа методом обратных рассуждений) данное равновесие становится совершенным байесовским равновесием. Исход такой игры может подразумевать объединение, разделение и чстичное разделение типов в зависимости от особенностей структуры выигрышей и способов уточнения информации, используемых игроками. В некоторых диапазонах параметров такие игры могут иметь различные типы совершенных байесовских равновесий.
Ключевые термины
Байесовское равновесие Нэша
Инструмент скрининга
Моральный риск
Неблагоприятный отбор
Объединение типов
Ограничения совместимости стимулов
Отрицательная корреляция
Положительная корреляция
Полуразделяющее равновесие
Равновесие дешевого разговора
Равновесие пустого разговора
Разделение типов
Самоотбор
Сигнал
Сигнализирование
Скрининг
Совершенное байесовское равновесие
Совместимость стимулов
Типы игроков
Условия совместимости стимулов
Условия участия
Частично раскрывающее равновесие
Упражнения с решениями
S1. В примере с торговлей рисками из раздела 1 у вас был рискованный доход в сумме 160 000 долларов в случае удачи (вероятность 0,5) и 40 000 долларов в случае неудачи (вероятность 0,5). При наличии у вашего приятеля гарантированного дохода 100 000 долларов мы вывели схему, в соответствии с которой вы могли устранить весь свой риск и в то же время немного повысить ожидаемую полезность для приятеля. Предположим, для каждого из вас полезность по-прежнему равна квадратному корню из соответствующего дохода. Однако теперь пусть вероятность удачи составляет 0,6. Придумайте контракт, который позволит вам получить доход в размере 100 000 долларов, когда вас постигнет неудача. Пусть x — это сумма, которую вы выплатите при этом приятелю.
a) При каком минимальном значении x (с точностью до цента) ваш приятель отдаст хотя бы малейшее предпочтение заключению контракта его полному отсутствию?
b) При каком максимальном значении x (с точностью до цента) такой контракт обеспечит вам чуть более высокую ожидаемую полезность, чем его полное отсутствие?
S2. Местная благотворительная организация получила пожертвование на бесплатные обеды для бездомных в своем городе, но ее руководство обеспокоено тем, что этой программой могут воспользоваться студенты близлежащего колледжа, которые не прочь бесплатно поесть. И бездомный, и студент получают за бесплатную еду выигрыш 10. Издержки в связи с необходимостью стоять в очереди за обедом составляют t2/320 для бездомного и t2/160 для студента, где t — количество времени (в минутах), проведенного в очереди. Предположим, сотрудники благотворительной организации не могут определить истинный тип тех, кто приходит бесплатно поесть.
a) При каком минимальном значении времени ожидания t будет достигнуто разделение типов?
b) Через какое-то время сотрудники благотворительной организации уже могут успешно идентифицировать студентов и отказать им в обеде в половине случаев. Студенты, получившие отказ, несут дополнительные издержки в размере 5 в связи с потерей времени в очереди и испытанным стыдом. Уменьшит или увеличит частичная идентификация студентов колледжа ответ, полученный в пункте а? Обоснуйте свой вывод.
S3. Рассмотрим рынок подержанных автомобилей марки Citrus 2011 года, о котором шла речь в разделе 4.Б. Теперь спрос на них резко вырос, и покупатели готовы выложить 18 000 за «апельсин» и 8000 за «лимон». Все остальные показатели те же, что и в примере в разделе 4.Б.
a) Какую цену покупатели были бы готовы заплатить на Citrus 2011 года неизвестного типа, если бы доля «апельсинов» f в общей совокупности подержанных автомобилей Citrus составила 0,6?
b) Сформируется ли рынок «апельсинов» при f = 0,6? Обоснуйте свой ответ.
c) Какую цену покупатели были бы готовы заплатить, если бы значение f равнялось 0,2?
d) Сформируется ли рынок «апельсинов» при f = 0,2? Обоснуйте ответ.
e) При каком минимальном значении f рынок «апельсинов» не рухнет?
f) Объясните, почему повышение готовности покупателей платить приводит к изменению порогового значения f, при котором наступает крах рынка «апельсинов».
S4. Представим, что электрики бывают двух типов: компетентные и некомпетентные. Оба типа электриков могут получить сертификаты, но некомпетентным электрикам для этого понадобится больше времени и усилий. Компетентным электрикам нужно С месяцев, чтобы подготовиться к экзамену на получение сертификата; некомпетентным — в два раза больше. Сертифицированные электрики могут зарабатывать 100 (тысяч долларов) в год, работая на строительных площадках лицензированных подрядчиков. Электрики без сертификата могут зарабатывать только 25 (тысяч долларов) в год, работая на себя (лицензированные подрядчики их не наймут). Каждый тип электрика получает выигрыш, равный S — M, где S — заработная плата, выраженная в тысячах долларов, а M — количество месяцев, потраченных на получение сертификата. При каком диапазоне значений C компетентный электрик примет решение подать сигнал посредством этого инструмента, тогда как некомпетентный решит этого не делать?
S5. Вернемся к примеру с компаниями Tudor и Fordor из раздела 6.А, когда издержки Tudor на единицу продукции составляют 5. Пусть z — вероятность того, что в Tudor действительно низкий уровень затрат на единицу продукции.
a) Перепишите таблицу на рис. 8.8 с учетом значения z.
b) Сколько равновесий в чистых стратегиях существует при z = 0? Обоснуйте ответ.
c) Сколько равновесий в чистых стратегиях существует при z = 1? Обоснуйте ответ.
d) Докажите, что равновесие Нэша в этой игре — это разделяющее равновесие при любом значении z в диапазоне от 0 до 1 (включительно).
S6. Опять же, вернувшись к примеру с Tudor и Fordor, предположим, что старая, авторитетная компания Tudor не расположена к риску, тогда как потенциальный участник рынка Fordor (планирующий финансировать свой проект за счет венчурного капитала) относится к нему нейтрально. Иными словами, полезность для Tudor неизменно равна квадратному корню из общей прибыли за оба периода. Полезность в случае Fordor — просто объем прибыли (если она есть), полученной за второй период. Допустим, издержки Tudor на единицу продукции составляют 5, как и в разделе 6.А.
a) Представьте игру в экстенсивной форме (как показано на рис. 8.7), указав соответствующие выигрыши для компании Tudor, не расположенной к риску.
b) Пусть вероятность z того, что Tudor — компания с низким уровнем издержек, составляет 0,4. Будет ли равновесие в такой игре разделяющим, объединяющим или полуразделяющим? (Подсказка: используйте таблицу, эквивалентную представленной на рис. 8.8.)
c) Выполните задание пункта b при z = 0,1.
S7. Вернемся к ситуации, в которой компания Tudor нейтральна к риску, но с низкими затратами на единицу продукции, равными 6 (вместо 5 или 10, как в разделе 6). Если в Tudor низкий уровень издержек, то компания заработает 90 в рамках монополии, обеспечивающей максимальную прибыль. Если Fordor выйдет на рынок, Tudor заработает 59 в рамках сформировавшейся дуополии, тогда как Fordor — 3. Если в Tudor на самом деле высокий уровень издержек (то есть затраты на единицу продукции составляют 15), а цены установлены на таком уровне, как если бы он был низкий (издержки на единицу продукции составляют 6), то в случае монополии она заработает 5.
a) Нарисуйте дерево этой игры, эквивалентное представленному на рис. 8.7 или рис. 8.9, изменив соответствующие выигрыши.
b) Составьте нормальную форму этой игры исходя из предположения, что вероятность низкой цены в Tudor равна 0,4.
c) Найдите равновесие игры. Оно разделяющее, объединяющее или полуразделяющее? Обоснуйте свой ответ.
S8. Феликс и Оскар играют в упрощенную версию покера. Каждый делает начальную ставку в размере 8 долларов. Затем каждый по отдельности тянет карту, которая с равной вероятностью может оказаться старшей или младшей. Каждый видит свою карту, но не видит карты соперника.
Далее Феликс решает, какое действие выбрать — «выйти из игры» или «поднять ставку» (добавить в банк 4 доллара). Если «выйти из игры», обе карты открываются и сравниваются. Если карты разные, то игрок со старшей картой забирает весь банк. В банке 16 долларов, из которых 8 долларов внес сам победитель, то есть его чистый выигрыш 8 долларов. Выигрыш проигравшего равен 8 долларам. Если карты одинаковые, банк делится поровну и каждый игрок получает свои 8 долларов (выигрыш 0) назад.
Если Феликс сыграет «повысить ставку», Оскару необходимо решить, какое действие выбрать — «сбросить карту» (сдаться) или «раскрыть карту» (добавить в банк сумму в 4 доллара). Если «сбросить карту», то Феликс забирает весь банк независимо от того, какие у него карты. Если «раскрыть карту», то карты открываются и сравниваются. Процедура та же, что описана в предыдущем абзаце, только теперь в банке больше денег.
a) Представьте эту игру в экстенсивной форме (будьте внимательны с информационными множествами).
Если отобразить эту игру в нормальной форме, в распоряжении Феликса есть четыре стратегии: 1) «выйти из игры» в любом случае (сокращенно ВВ); 2) «поднять ставку» в любом случае (ПП); 3) «поднять ставку», если своя карта старшая, и «выйти из игры», если своя карта младшая (ПВ); 4) наоборот (ВП). В распоряжении Оскара тоже четыре стратегии: 1) «сбросить карту» в любом случае (СС); 2) «раскрыть карту» в любом случае (РР); 3) «раскрыть карту», если своя карта старшая, и «сбросить карту», если своя карта младшая (РС); 4) наоборот (СР).
b) Покажите, что таблица выигрышей Феликса выглядит следующим образом.
(В каждом случае вам необходимо определить ожидаемое значение посредством вычисления средних результатов по каждой из четырех возможных комбинаций вытягивания карт.)
a) Исключите как можно больше доминируемых стратегий. Найдите в оставшейся таблице равновесие в смешанных стратегиях, а также определите в нем ожидаемый выигрыш Феликса.
b) Основываясь на своих знаниях теории сигнализирования и скрининга, дайте интуитивное объяснение того, почему в этом равновесии присутствуют смешанные стратегии.
S9. Феликс и Оскар играют в другую версию упрощенного покера и делают начальную ставку в один доллар. Феликс (и только Феликс) тянет одну карту, которая с равной вероятностью может оказаться либо королем, либо дамой (всего есть четыре короля и четыре дамы). У Феликса есть выбор: либо «сбросить карту», либо «сделать ставку». Если он выберет «сбросить карту», игра закончится и Оскар получит доллар Феликса в дополнение к своему доллару. Если Феликс сыграет «сделать ставку», он вносит в банк еще один доллар и уже Оскар решает, что делать: «сбросить карту» или «ответить».
Если Оскар выберет «сбросить карту», Феликс выигрывает банк (в котором начальная ставка Оскара один доллар и два доллара Феликса). Если Оскар выберет «ответить», он вносит в банк еще один доллар в ответ на ставку Феликса, а Феликс открывает карту. Если это король, Феликс выигрывает банк (в котором по два доллара с каждого игрока). Если дама, банк выигрывает Оскар.
a) Представьте эту игру в экстенсивной форме (будьте внимательны с информационными множествами).
b) Сколько стратегий в распоряжении каждого игрока?
c) Представьте эту игру в стратегической форме, где указанные в каждой ячейке выигрыши — это ожидаемые выигрыши с учетом соответствующей стратегии каждого игрока.
d) Исключите доминируемые стратегии, если они есть. Найдите равновесие в смешанных стратегиях. Определите в нем ожидаемый выигрыш Феликса.
S10. Ванда работает официанткой и, соответственно, имеет возможность получать чаевые наличными, о которых ее работодатель не отчитывается перед налоговым управлением. Но доход Ванды от чаевых нестабильный. В хороший год (Х) он высокий, поэтому сумма налога, который она должна выплатить, равна 5000 долларов. В плохой год (П) — низкий, и обязательства Ванды перед налоговым управлением составляют 0 долларов. Налоговое управление знает, что вероятность хорошего года у Ванды равна 0,6, а вероятность плохого — 0,4, но ему неизвестно, как именно сложился у нее текущий налоговый год.
В этой игре Ванда сперва решает, о какой сумме дохода отчитаться перед налоговым управлением. Если она сообщит о получении высокого дохода (В), то заплатит налоговому управлению 5000 долларов, если о низком, то 0 долларов. Налоговое управление, в свою очередь, должно решить, проводить ли аудит доходов Ванды. В случае высокого дохода в нем нет необходимости, поскольку налоговое управление автоматически узнает о выплате Вандой соответствующего налога. Если же доход низкий, то налоговое управление может либо провести (А), либо не проводить (Н) аудит. Процедура аудита обходится налоговому управлению в 1000 долларов административных издержек, а Ванде — в 1000 долларов альтернативных издержек в связи с потраченным временем на сбор банковских выписок и встречи с аудитором. Если налоговое управление проводит аудит в плохой год (П), Ванда не должна выплачивать никаких налогов, хотя и она, и налоговое управление несут издержки по 1000 долларов в связи с данной процедурой. Если налоговое управление проводит аудит в хороший год (Х), Ванде придется выплатить 5000 долларов, которые она должна налоговому управлению, помимо издержек, которые она и налоговое управление понесут вследствие аудита.
a) Представим, что у Ванды был хороший год (Х), но она отчитывается в получении низкого дохода (Н). Предположим также, что налоговое управление проводит налоговый аудит (А). Определите общий выигрыш Ванды и общий выигрыш налогового управления.
b) У кого из участников игры есть стимул блефовать (то есть подавать ложный сигнал)? К чему будет сводиться этот блеф?
c) Представьте эту игру в экстенсивной форме (будьте внимательны с информационными множествами).
d) Сколько чистых стратегий есть в распоряжении каждого игрока в этой игре? Обоснуйте свой ответ.
e) Составьте матрицу игры в стратегической форме. Найдите все равновесия Нэша в этой игре. Определите, являются ли они разделяющими, объединяющими или полуразделяющими.
f) Пусть x — вероятность того, что у Ванды хороший год. В исходной версии игры x = 0,6. Найдите такое значение x, при котором Ванда всегда будет сообщать о низком доходе в случае равновесия.
g) Определите весь диапазон значений x, при которых Ванда всегда будет сообщать о низком доходе в случае равновесия.
S11. Структура системы здравоохранения включает несколько аспектов, касающихся вопросов информации и стратегии. Потребители медицинских услуг (потенциальные и фактические пациенты) располагают более полной информацией о состоянии своего здоровья, образе жизни и т. д., чем могут выяснить страховые компании. Поставщики медицинских услуг (врачи, больницы и пр.) знают о потребностях пациентов больше, чем сами пациенты или страховые компании. Кроме того, врачи больше знают о собственной квалификации и затратах труда, а больницы — о своей материальной базе. Страховые компании могут влдеть определенным объемом статистической информации о результатах лечения или хирургических процедурах, полученной на основании данных за прошедший период. Но результаты зависят от множества ненаблюдаемых, случайных факторов, поэтому правильные выводы об уровне квалификации, затратах труда или материальной базе не могут быть сделаны только исходя из наблюдений. Фармацевтические компании больше других знают об эффективности лекарственных препаратов. Как правило, у всех этих игроков нет естественных стимулов делиться с другими полной или точной информацией. В процессе разработки данной схемы необходимо попытаться рассмотреть все эти вопросы и найти наиболее приемлемые решения.
Проанализируйте с этой точки зрения сравнительные преимущества различных схем оплаты: оплата за предоставленные услуги или выплата гонораров врачам, комплексные премии за год или оплата каждого визита к пациентам и т. д. Какие схемы наиболее выгодны для потребителей медицинских услуг? А для поставщиков медицинских услуг? Проанализируйте также сравнительные преимущества индивидуального страхования и покрытия расходов за счет общих налоговых поступлений.
S12. В телевизионном рекламном ролике известной торговой марки растворимого капучино мужчина принимает подругу у себя в квартире. Он хочет произвести на нее впечатление и предлагает кофе с десертом. Когда дама принимает предложение, мужчина идет на кухню готовить растворимый капучино и одновременно двигает ящики, выбрасывает что-то в мусорную корзину и т. д., чтобы создать такие звуки, как будто их издает первоклассная (и дорогая) кофемашина. Пока он делает все это, из комнаты слышится голос: «Я хочу увидеть эту машину…»
Используйте свои знания игр с асимметричной информацией, чтобы прокомментировать действия этой пары. Обратите внимание на их попытки применить сигнализирование и скрининг и укажите на конкретные примеры каждой стратегии. Выскажите свое мнение по поводу того, кто из участников этой игры лучший стратег.
S13 (дополнительное упражнение; необходимо ознакомиться с приложением). В примере с генетическим тестом предположим, что тест дает отрицательный результат (наблюдается последствие Y). Какова вероятность того, что у этого человека нет дефекта (что соответствует событию B)? Вычислите ее с помощью правила Байеса, а затем проверьте ответ, выполнив перебор 10 000 членов данной совокупности.
S14 (дополнительное упражнение; необходимо ознакомиться с приложением). Вернемся к примеру с автомобилями марки Citrus 2011 года из раздела 4.Б. У покупателя нет возможности по внешнему виду отличить надежные «апельсины» от незадачливых «лимонов». В этом примере, если доля «апельсинов» f в общей совокупности подержанных автомобилей Citrus меньше 0,65, продавец «апельсина» не захочет с ним расставаться за максимальную цену, которую готовы заплатить покупатели, поэтому рынок «апельсинов» обвалится.
Но что если у продавца есть дорогостоящий способ сигнализировать о типе автомобиля? Хотя «апельсины» и «лимоны» почти во всех отношениях идентичны, ключевое различие между ними — это то, что «лимон» ломается гораздо чаще. Зная об этом, владельцы «апельсинов» могут сделать следующее предложение. По запросу покупателя продавец за один день совершит на автомобиле поездку туда и обратно на расстояние 500 миль. (Предположим, это можно проверить по показаниям спидометра и по квитанции с временной меткой, полученной на заправочной станции, расположенной в 250 милях.) Для продавцов автомобилей Citrus обоих типов затраты на эту поездку (с учетом расходов на бензин и потраченное время) составляют 0,50 доллара на одну милю (то есть 250 долларов на поездку длиной в 500 миль). Однако «лимон» в ходе такой поездки выйдет из строя с вероятностью q. Если автомобиль сломается, затраты составят 2 доллара на милю общей длины пути, который он попытался преодолеть (то есть 1000 долларов). Кроме того, поломка автомобиля будет верным признаком того, что это «лимон», поэтому он будет продан всего за 6000 долларов.
Допустим, доля «апельсинов» f в общей совокупности подержанных автомобилей Citrus составляет 0,6, вероятность поломки «лимона» q равна 0,5, а владельцы «лимонов» нейтрально относятся к риску.
a) С помощью теоремы Байеса определите значение fуточ. — долю автомобилей Citrus, успешно преодолевших 500 миль и оказавшихся «апельсинами». Предположим, владельцы всех автомобилей Citrus предпримут такую поездку. Значение fуточ. больше или меньше f? Обоснуйте свой ответ.
b) Используйте fуточ. для определения цены pуточ., которую покупатели готовы заплатить за автомобиль Citrus, успешно проехавший 500 миль.
c) Владелец «апельсина» согласится совершить такую поездку и продать автомобиль по цене pуточ.? Почему да или почему нет?
d) Чему равен ожидаемый выигрыш продавца «лимона» от попытки совершить такую поездку?
e) Как бы вы описали исход данного рынка — как объединяющий, разделяющий или полуразделяющий? Обоснуйте свой вывод.
Упражнения без решений
U1. Джек — талантливый инвестор, но его доходы существенно варьируются год от года. В следующем году он рассчитывает заработать 250 000 долларов, если ему повезет, и 90 000 долларов в случае неудачи. Возможно, это несколько странно для человека с такой профессией, но Джек не расположен к риску, поэтому полезность его доходов равна квадратному корню из полученного дохода. Вероятность того, что Джеку улыбнется удача, составляет 0,5.
a) Какова ожидаемая полезность дохода Джека в следующем году?
b) Какая сумма верного дохода обеспечила бы такой же уровень полезности для Джека, что и ожидаемая полезность в пункте а?
Джек встречает Дженет, чья ситуация во всех отношениях совпадает с его. Дженет тоже инвестор и заработает в следующем году 250 000 долларов, если ей повезет, и 90 000 долларов в случае неудачи; она не расположена к риску, поэтому полезность ее дохода равна квадратному корню из суммы дохода, а вероятность того, что ей будет сопутствовать удача, составляет 0,5. Крайне важно, что Джек и Дженет инвестируют таким образом, что их везение носит совершенно независимый характер. Они договариваются о следующей сделке и вне зависимости от того, кому повезет, всегда будут объединять свои доходы, а затем делить их поровну.
c) Перечислите четыре возможные пары удачных исходов и определите вероятность достижения каждого из них.
d) Какова ожидаемая полезность дохода для Джека или Дженет в рамках их договоренности?
e) Какая сумма верного дохода обеспечила бы тот же уровень полезности для Джека и Дженет, что и ожидаемая полезность, полученная в пункте d?
Как бы невероятно это ни звучало, но Джек и Дженет знакомятся с Крисси, ситуация которой аналогична их ситуации в плане дохода, полезности и удачи. Вероятность того, что Крисси повезет, не зависит от удачи Джека и Дженет. После небольшого обсуждения они решают, что Крисси следует присоединиться к соглашению между Джеком и Дженет, согласно которому все трое будут объединять свои доходы и делить их на три равные части.
f) Перечислите восемь возможных троек удачных исходов и определите вероятность достижения каждого из них.
g) Какова ожидаемая полезность дохода для каждого из инвесторов в рамках их расширенной договоренности?
h) Какая сумма верного дохода обеспечила бы всем троим не расположенным к риску инвесторам тот же уровень полезности, что и ожидаемая полезность, полученная в пункте g?
U2. Снова рассмотрим пример с подержанными автомобилями Citrus 2011 года. Почти все автомобили со временем обесцениваются, то же касается и Citrus. По истечении каждого месяца все продавцы (независимо от типа автомобиля) готовы сбросить цену на 100 долларов, а покупатели, в свою очередь, готовы заплатить за «апельсин» максимальную цену на 400 долларов меньше, а за «лимон» — на 200 долларов меньше. Предположим, события в исходном примере происходят на протяжении месяца 0. Восемьдесят процентов автомобилей Citrus — «апельсины», и эта доля не меняется.
a) Заполните три варианта следующей таблицы для месяца 1, месяца 2 и месяца 3:
b) Постройте график готовности продавцов «апельсинов» принять максимальную цену покупателей на протяжении следующих 12 месяцев. На том же рисунке постройте график цен, которые готовы платить покупатели за подержанный автомобиль Citrus неизвестного типа (с учетом того, что доля «апельсинов» составляет 80 %). (Подсказка: на вертикальной оси отложите значения от 10 000 до 14 000.)
c) Существует ли рынок сбыта «апельсинов» на протяжении месяца 3? Почему да или почему нет?
d) В каком месяце произойдет обвал рынка «апельсинов»?
e) Если бы владельцы «лимонов» не сталкивались с их обесцениванием (то есть никогда бы не соглашались принять цену меньше 3000 долларов), это повлияло бы на момент обвала рынка «апельсинов»? Почему да или почему нет? В каком месяце рухнул бы рынок «апельсинов» в таком случае?
f) Если бы покупатели «лимонов» не сталкивались с их обесцениванием (то есть всегда были бы готовы заплатить за «лимон» до 6000 долларов), это повлияло бы на момент обвала рынка «апельсинов»? Почему да или почему нет? В каком месяце рухнул бы тогда рынок «апельсинов»?
U3. В экономике есть два типа работы — хорошая и плохая, а также два типа работников — квалифицированные и неквалифицированные. Общая совокупность состоит из 60 % квалифицированных и 40 % неквалифицированных работников. На плохой работе работник любого типа производит 10 единиц продукции. На хорошей квалифицированный работник производит 100 единиц продукции, а неквалифицированный — 0 единиц. Спрос на работников достаточно высокий, п оэтому в случае каждого типа работы компании должны оплачивать труд работников в объеме, соответствующем ожидаемому.
Компаниям приходится нанимать каждого работника, не имея данных о его типе и оплачивая его труд до того, как станет известна его фактическая производительность. Однако квалифицированные работники могут подать сигнал о своей квалификации, получив образование. Для квалифицированного работника затраты на повышение образования до уровня n составляют n2 / 2, тогда как для неквалифицированного n2. Эти издержки исчисляются в тех же единицах, что и объем выпущенной продукции, поэтому n должно быть целым числом.
a) При каком минимальном значении n будет достигнуто разделение типов?
b) Предположим, такой сигнал невозможен. Какие рабочие места будут заполнены работниками каких типов и при какой заработной плате? Кто выиграет и кто проиграет в данной ситуации?
U4. Будучи деканом одного из факультетов Университета Сент-Энфорд, вы нанимаете старших преподавателей с семилетним испытательным сроком, после которого рассматривается вопрос о заключении с ними бессрочного контракта и их либо повышают и зачисляют в штат на постоянной основе, либо увольняют.
Существует два типа старших преподавателей — хорошие и блестящие. Преподаватели, тип которых ниже хорошего, уже отсеяны в процессе найма, но у вас нет возможности непосредственно провести различие между хорошими и блестящими преподавателями. Каждый отдельный преподаватель, безусловно, знает, к какому типу он относится. Вы бы хотели заключить бессрочный контракт только с блестящими преподавателями. Если преподаватель зачислен в штат Университета Сент-Энфорд на постоянной основе, его выигрыш составляет 2 миллиона долларов; эта сумма включает в себя ожидаемую дисконтированную текущую стоимость заработной платы, гонорары за консультации и авторские гонорары за публикацию книг плюс денежный эквивалент чувства гордости и радости, испытываемых преподавателем и членами его семьи в случае получения пожизненной должности в Университете Сент-Энфорд. Тот преподаватель, кому будет отказано в заключении бессрочного контракта, получит должность в Колледже Бундокса[147]; текущая стоимость такой карьеры составляет 0,5 миллиона долларов.
Ваши преподаватели могут проводить научные исследования и публиковать их результаты. Но каждая такая публикация требует усилий и времени, а также порождает напряженность в семье. Все это обходится преподавателю достаточно дорого. Денежный эквивалент таких издержек составляет 30 000 долларов на одну публикацию для блестящего преподавателя и 60 000 долларов для хорошего преподавателя. Вы можете установить минимальное количество публикаций N, которое преподаватель должен предоставить, чтобы получить бессрочный контракт.
a) Не выполняя никаких математических вычислений, максимально подробно опишите, что произошло бы в случае полуразделяющего равновесия в данной игре.
b) Существует два возможных типа объединяющих исходов в данной игре. Не выполняя никаких математических вычислений, как можно подробнее опишите, как бы выглядели эти исходы.
c) А теперь предлагаем выполнить некоторые математические вычисления. Найдите множество возможных значений N, при которых вы достигли бы своей цели — отличить блестящих профессоров от просто хороших.
U5. Вернитесь к задаче с компаниями Tudor и Fordor из раздела 6.В, где низкий уровень затрат Tudor на единицу продукции составляет 10. Пусть z — вероятность того, что в Tudor действительно низкие издержки на единицу продукции.
a) Перепишите таблицу на рис. 8.10 с учетом значения z.
b) Сколько равновесий в чистых стратегиях существует при z = 0? Какой тип равновесия (разделяющее, объединяющее или полуразделяющее) наблюдается при z = 0? Обоснуйте свой ответ.
c) Сколько равновесий в чистых стратегиях существует при z = 1? Какой тип равновесия (разделяющее, объединяющее или полуразделяющее) наблюдается при z = 1? Обоснуйте свой ответ.
d) При каком минимальном значении z существует объединяющее равновесие?
e) Объясните на интуитивном уровне, почему объединяющее равновесие не может существовать при слишком низком значении z.
U6. Предположим, компания Tudor не расположена к риску и в ее случае полезность равна квадратному корню из общей прибыли (см. упражнение S6), а компания Fordor нейтральна к риску. Кроме того, допустим, что низкий уровень издержек Tudor на единицу продукции составляет 10, как в разделе 6.В.
a) Представьте игру в экстенсивной форме (как показано на рис. 8.9), указав соответствующие выигрыши для компании Tudor, не расположенной к риску.
b) Пусть вероятность z того, что Tudor — компания с низким уровнем издержек, составляет 0,4. Будет ли равновесие в такой игре разделяющим, объединяющим или полуразделяющим? (Подсказка: используйте таблицу, эквивалентную представленной на рис. 8.10.)
c) Выполните задание пункта а при z = 0,1.
d) (дополнительное задание). Изменит ли нерасположенность Tudor к риску ответ, полученный в пункте d упражнения U5? Объясните, почему да или почему нет.
U7. Вернитесь к ситуации в упражнении S7, в которой компания Tudor нейтральна к риску, а ее низкий уровень издержек на единицу продукции составляет 6.
a) Составьте нормальную форму этой игры с учетом значения z, то есть вероятности того, что Tudor установит низкую цену.
b) Найдите равновесие игры при z = 0,1. Это разделяющее, объединяющее или полуразделяющее равновесие?
c) Выполните задание пункта b при z = 0,2,
d) Выполните задание пункта b при z = 0,3.
e) Сравните ответы, полученные в пунктах b, c и d, с ответом в пункте d упражнения U5. Когда низкий уровень издержек Tudor 6 вместо 10, можно ли достичь объединяющего равновесия при более низких значениях z? Или для объединяющих равновесий требуются более высокие значения z? Объясните на интуитивном уровне, почему это действительно так.
U8. Иногда корпоративные судебные споры могут выступать в качестве сигнальных игр. Вот один пример. В 2003 году компания AT&T подала иск против компании eBay, утверждая, что ее электронные платежные системы Billpoint и PayPal нарушают оформленный в 1994 году патент AT&T на «посредничество в проведении транзакций с помощью системы связи».
Проанализируем эту ситуацию с момента подачи иска. В ответ на этот иск, как и в случае большинства исков о нарушении патентных прав, eBay может предложить AT&T урегулировать ситуацию без обращения в суд. Если AT&T примет предложение eBay, судебного разбирательства не будет; если отклонит, результат определит суд.
Сумма убытков, заявленная AT&T, не подлежит огласке. Поэтому предположим, что AT&T подает иск на сумму 300 миллионов долларов. Кроме того, допустим, что, если дело дойдет до судебного разбирательства, обе стороны понесут судебные издержки (на оплату услуг адвокатов и консультантов) в размере 10 миллионов каждая.
Поскольку eBay действительно занимается бизнесом, связанным с обработкой электронных платежей, она наверняка больше AT&T знает о том, какова ее вероятность выиграть это дело в суде. Для простоты давайте исходить из того, что eBay точно известно, признают ли ее невиновной (н) или виновной (в) в нарушении патентных прав. С точки зрения AT&T, вероятность того, что eBay виновна (в) составляет 25 %, а невиновна (н) — 75 %.
Допустим, в распоряжении eBay есть два возможных действия: щедрое предложение об урегулировании претензий (Щ) в размере 200 миллионов долларов или скупое предложение об урегулировании претензий (С) в размере 20 миллионов долларов. Если eBay сделает щедрое предложение, AT&T примет его и тем самым избежит дорогостоящего судебного разбирательства. Если eBay сделает скупое предложение, то AT&T предстоит решить, принять его (П) и избежать судебного разбирательства или отклонить (О) и отправить дело в суд. Если в ходе судебного разбирательства компанию eBay признают виновной, помимо оплаты судебных издержек ей придется выплатить AT&T 300 миллионов долларов. Если eBay признают невиновной, она не должна AT&T ничего, зато AT&T придется оплатить все судебные издержки.
a) Представьте эту игру в экстенсивной форме (правильно обозначьте информационные множества).
b) У кого из участников игры есть стимул блефовать (другими словами, подавать ложный сигнал)? В чем будет состоять этот блеф? Объясните логику своих рассуждений.
c) Представьте игру в стратегической форме (составьте таблицу игры) Найдите в этой игре все равновесия Нэша. Вычислите ожидаемые выигрыши каждого игрока в случае равновесия.
U9. Вернемся к игре в упрощенный покер между Феликсом и Оскаром из упражнения S9. Каким должно быть соотношение королей и дам, чтобы игра была справедливой? Иными словами, какая доля королей сделает ожидаемый выигрыш равным нулю для обоих игроков?
U10. Феликсу и Оскару наскучила упрощенная версия покера, поэтому они решили сделать ее более интересной, добавив в игру третью карту — валет. Теперь помимо четырех королей и четырех дам в колоде есть еще и четыре валета. Все правила игры остаются прежними, за одним исключением — последствиями ситуации, когда Феликс делает ставку, а Оскар отвечает. При таком раскладе Феликс выигрывает банк, если у него есть король, оба игрока «сравнивают счет» и каждый получает свои деньги обратно, если у Феликса дама, и Оскар выигрывает банк, если эта карта — валет.
a) Представьте игру в экстенсивной форме (правильно обозначьте информационные множества).
b) Сколько чистых стратегий у Феликса в этой игре? Объясните логику своих рассуждений.
c) Сколько чистых стратегий в этой игре у Оскара? Объясните логику своих рассуждений.
d) Представьте игру в стратегической форме. Это должна быть таблица ожидаемых выигрышей каждого игрока в случае той или иной пары стратегий.
e) Найдите единственное равновесие Нэша в чистых стратегиях в этой игре.
f) Можно ли назвать его объединяющим, разделяющим или полуразделяющим?
g) В случае равновесия чему равен ожидаемый выигрыш Феликса в этой игре? Действительно ли это честная игра?
U11. Рассмотрим модель сигнализирования на рынке труда (модель Спенса) со следующими уточнениями. Существуют два типа работников — 1 и 2. Производительность их труда определяется как функции уровня образования E:
W1(E) = E; W2(E) = 1,5E.
Затраты на образование двух типов работников как функции уровня образования составляют
C1(E) = E2/2; C2(E) = E2/3.
Полезность каждого работника равна его доходу минус затраты на образование. Компании, которые пытаются их нанять, поддерживают совершенную конкуренцию на рынке труда.
a) Если информация о типах работников открыта для ознакомления (то есть поддается наблюдению и проверке), найдите выражения для уровней образования, доходов и полезности двух типов работников.
Теперь предположим, что тип работника — это его личная информация.
b) Убедитесь в том, что если в данной ситуации с асимметричностью информации будет предпринята попытка заключить контракты, то тип 2 не захочет получить контракт, предназначенный для типа 1, а тип 1 захочет получить контракт, предназначенный для типа 2; следовательно, «естественное» разделение типов не может преобладать.
